Factor de Empaquetamiento

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Factor de empaquetamiento atmicoEn cristalografa, el factor de empaquetamiento atmico (FEA), en ingls: Atomic packing factor, APF, es la fraccin de volumen en una celda unidad que esta ocupada por tomos. Este factor es adimensional y siempre menor que la unidad. Para propsitos prcticos, el FEA de una celda unidad es determinado asumiendo que los tomos son esferas rgidas. Para cristales de un componente (aquellos que contienen un nico tipo de tomo), el FEA se representa matemticamente por

donde Ntomos es el numero de tomos en la celda unidad, Vtomo es el volumen de un tomo, y Vcelda unidad es el volumen ocupado por la celda unidad. Matemticamente puede ser probado que para estructuras de un componente, el arreglo ms denso de tomos tiene un FEA alrededor de 0.74. En realidad, este nmero puede ser mayor debido a factores intermoleculares especficos. Para estructuras de mltiples componentes, el FEA puede exceder el 0.74.

Ejemplo

Estructura BCC

La celda unidad para la estructura cbica centrada en el cuerpo, en ingls: Body-centered cubic, BCC, contiene dos tomos: un octavo (1/8) de atomo en cada esquina del cubo y un tomo en el centro. Dado que el volumen de cada tomo ubicado en las esquinas es compartido con las celdas adyacentes, cada celda BCC contiene dos tomos. Cada tomo en las esquinas toca el tomo central. Una linea que sea dibujada desde una esquina del cubo a travs del centro hacia la otra esquina pasa a lo largo de 4r, donde r es el radio de un tomo. Por geometra, la longitud de la diagonal es a3. Por lo tanto, la longitud de cada lado de la estructura BCC puede ser relacionada al radio de cada tomo mediante

Conociendo esto y la formula para el volumen de una esfera((4 / 3)pi r3), es posible calcular el FEA de la siguiente manera:

Para la estructura hexagonal la derivacin es similar. La longitud de un lado del hexgono sera denotada por a mientras que la altura del hexgono se denotara como c. Entonces:

Arreglo hexagonal tridimensional. a = 2r

Entonces es posible calcular el FEA como sigue:

FEA de estructuras comunesMediante procedimientos similares, los factores de empaquetamiento atmico ideales de todas las estructuras cristalinas pueden ser encontrados. Algunos factores comunes se presentan a continuacin, redondeados a la centsima mas prxima.

Cbica simple (CS): 0.52 Cbica centrada en el cuerpo (BCC): 0.68 Hexagonal compacta (HCP): 0.74

Cbica centrada en las caras (FCC): 0.74 Cbica diamante: 0.34

PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METLICAS

La mayora de los metales elementales (90%) cristalizan en tres estructuras cristalinas densamente empaquetadas: cbica centrada en las caras FCC, hexagonal compacta HCP y cbica centrada en el cuerpo BCC debido a que se libera energa a medida que los tomos se aproximan y se enlazan cada vez ms estrechamente entre s. Por lo tanto dichas estructuras densamente empaquetadas se encuentran en disposiciones u ordenamientos de energa cada vez ms baja y estable. Ejemplo Cuntas celdas unidad hay aproximadamente en el Fe puro BCC si las aristas de la celda estuvieran alineadas arista con arista en 1 mm, si a temperatura ambiente la arista es igual a 0.287 X 10-9 nm ?

Estructura Cristalina Cbica Centrada en el Cuerpo BCC En esta celda unidad las esferas slidas representan los centros donde los tomos estn localizados e indican sus posiciones relativas. En esta celda unidad el tomo central esta rodeado de 8 vecinos ms cercanos y se dice que tiene por lo tanto un nmero de coordinacin de 8. Cada una de estas celdas unidad tiene el equivalente de 2 tomos por celda unidad. Un tomo completo esta localizado en el centro de la celda unidad, y un octavo de esfera esta localizado en cada vrtice de la celda unidad, haciendo el equivalente de otro tomo. De este modo, hay un total de 1 (en el centro) + 8 x 1/8 (en los vrtices) = 2 tomos por celda unidad. Los tomos en este tipo de celdas contactan entre s a travs de la diagonal del cubo, y la relacin entre la longitud de la cara del cubo a y el radio atmico R es:

Si los tomos en la celda BCC se consideran esfricos, el factor de empaquetamiento atmico (APF) puede hallarse empleando la siguiente expresin:

El APF de esta celda es 0.68, es decir, el 68% del volumen de la celda esta ocupado por tomos y el 32% restante en espacio vaco. El cristal BCC no es una estructura totalmente compacta, ya que los tomos an podran situarse ms juntos. Muchos metales como el Cromo, Hierro, Wolframio, Molibdeno y Vanadio tienen estructura cristalina BCC. Estructura Cristalina Cbica Centrada en las Caras FCC. En esta celda hay un punto reticular en cada vrtice del cubo y otro en el centro de cada cara del cubo. El modelo de esferas slidas indica que los tomos de esta estructura estn unidos del modo ms compacto posible. El APF de esta estructura de empaquetamiento compacto es 0.74. Esta celda tiene el equivalente a cuatro tomos por celda unidad. Un octavo de tomo en cada vrtice (8 x 1/8=1) y seis medios tomos en el medio (1/2 x 6= 3).

Los tomos en la celda FCC contactan entre s a lo largo de la diagonal de la cara del cubo, de tal forma que la relacin entre la longitud de la cara del cubo y el radio atmico es:

Metales como el Aluminio, el Cobre, el Plomo, el Nquel y el Hierro a temperaturas elevadas (912 a 1394C) cristalizan segn la estructura FCC. Ejemplo El Cu posee una estructura FCC y un radio atmico de 0.1278 nm y considerando que los tomos son esferas slidas que contactan a lo largo de las diagonales de la celdilla unidad FCC. Cul es el valor terico de la densidad del Cu ? Masa atmica del Cu=63.54 g/mol

1/8 * 8= 1 tomo * 6= 3 tomo a 4 tomos en la celda FCC

figura 5

Parmetro de Red:

Volumen de la celda: V=a3 = (0.361nm)3 =0.047nm3x(1X10-9m)3 = 4.7 x 10-29 m3 Masa de los tomos de Cu en la celda:

Densidad Volumtrica:

El valor tabulado experimentalmente es de 8.96 , la diferencia se debe a que los tomos no son esferas perfectas, a la ausencia de tomos en las posiciones atmicas, a defectos en la red, etc. Estructura Cristalina Hexagonal Compacta HCP Los metales no cristalizan en la estructura hexagonal sencilla porque el APF es demasiado bajo. El APF es 0.74 ya que los tomos estn empaquetados de un modo lo ms cercano posible. Cada tomo esta rodeado de otros 12 tomos y por tanto su nmero de coordinacin es 12. La celda HCP posee 6 tomos, tres forman un tringulo en la capa intermedia, existen 6*1/6 secciones de tomos localizados en las capas de arriba y de abajo, haciendo un equivalente a 2 tomos ms, finalmente existen 2 mitades de tomo en el centro de ambas capas superior e inferior, haciendo el equivalente de un tomo ms. La relacin c/a de una estructura cristalina HCP ideal es de 1.633 que indica esferas uniformes tan prximas como sea posible. Los metales Cinc, Cadmio poseen una relacin c/a ms alta que la ideal, lo que indica que los tomos en estas estructuras estn ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celda unidad HCP. Los metales como el Titanio, Berilio, Magnesio Y Circonio entre otros tienen relaciones c/a menores que la ideal. Por tanto en estos metales los tomos estn comprimidos a lo largo de la direccin del eje c.

NDICES DE MILLER

Celdas Cbicas. Los ndices de Miller de un plano cristalino estn definidos como los recprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes x,

y, z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. Las aristas de una celda cbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos de una red se miden en base a estas longitudes unitarias. El procedimiento para determinar los ndices de Miller para un plano de un cristal cbico es el siguiente:

Escoger un plano que no pase por el origen en (0,0,0) Determinar las intersecciones del plano en base a los ejes x, y, z cristalogrficos para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias. Construir los recprocos de las intersecciones. Despejar fracciones y determinar el conjunto ms pequeo de nmeros enteros que estn en la misma razn de las intersecciones. Estos nmeros enteros son los ndices de Miller de un plano cristalogrfico y se encierran entre parntesis sin usar comas. La notacin (hkl) se emplea para indicar los ndices de Miller en sentido general, donde h, k, y l son los ndices de Miller para un plano de un cristal cbico de ejes x, y, y z respectivamente.

Ejemplos

figura 6

Las intersecciones del primer plano son 1, 1, y los recprocos de estos nmeros son 1, 1, 0 no involucran fracciones, siendo los ndices de Miller (1 1 0). Para la segunda figura, las intersecciones son: 1, , a los ejes x, y, z respectivamente, por lo tanto los recprocos son: 1, 0, 0. Los ndices de Miller para este plano son: (1 0 0 ). Finalmente, el tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un ndice de Miller (1 1 1). Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de manera que uno ms cortes se hacen cero, el plano ha de ser desplazado a una posicin equivalente en la misma celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo al original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes son indicados con los mismos ndices de Miller. Si grupos de planos de redes equivalentes estn relacionados por la simetra del sistema cristalino, se llaman familia de planos, y los ndices de una familia de planos son encerrados entre llaves. Por ejemplo, los ndices de Miller de los

planos de la superficie del cubo (100) (010) y (001) se designan colectivamente como una familia con la notacin {100}. Una importante relacin slo para el sistema cbico es que los ndices de una direccin perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los ndices de Miller para ese plano. Por ejemplo, la direccin [100] es perpendicular al plano cristalino (100).

Celda HCP. Se identifica

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