Facilitador: JOSÉ EXIQUIO SÁNCHEZ CECEÑA

08 de octubre de 2014

El sesgo es el grado de asimetría o falta de asimetría de una distribución.

Una forma de estimar el sesgo o nivel de asimetría es la siguiente:

𝐴𝑠𝑖𝑒𝑚𝑡𝑟𝑖𝑎 = 𝑥 − 𝑀𝑜

𝑠

Valor del sesgo Interpretación

Igual a cero Simetría perfecta

Valor muy cercano a 0.1 por la izquierda

Asimetría ligeramente notable

Mayor que 0.1 Asimetría muy notable

Con signo positivo Indica asimetría con cola a la derecha

Con signo negativo Indica asimetría con cola a la izquierda

Valor máximo Interpretación

El Máximo se presenta en un extremo

La gráfica se representa en forma de “J”

El mínimo se presenta en un extremo

La cursa adopta una forma de “J” invertida

Dos valores máximos en un extremo

La curva tiene una forma de “U”

Valor de la moda Interpretación

Bimodal La distribución presenta dos

puntos máximos

Multimodal La distribución tiene mas de

dos puntos máximos

Sin moda La distribución es

rectangular o uniforme

F.1. Simétrica o normal

F.2. Sesgada a la derecha (sesgo positivo)

F.3. Sesgada a la izquierda (sesgo negativo)

F.4. En forma de “J”

F.5. En forma de “J” invertida

F.6. En forma de “U”

F.7. Bimodal

F.8. Multimodal

F.9. Rectangular o uniforme

El tipo de apuntamiento de una distribución se conoce como CURTOSIS, esto indica que tan plana o curva es la distribución.

Generalmente se presentan tres tipos de apuntamientos:

Apuntamiento Descripción

Leptocúrtica

Platicúrtica

Mesocúrtica

Presenta un apuntamiento relativamente alto

Presenta una distribución normal

Presenta una distribución “achatada” o “plana”

Ahora bien, es necesario determinar algunos limites para diferenciar cuando una gráfica tiene un apuntamiento lepto, meso o platicúrtico. Por lo que es necesario calcular un coeficiente de curtosis determinado por la siguiente fórmula:

Coeficiente de curtosis Cc Comportamiento

0.263 Mesocúrtica o Distribución normal

Cc < 0.263 Platicúrtica o Distribución achatada

Cc > 0.263 Leptocúrtica o Distribución apuntada

EJEMPLO 1: Calcular el coeficiente de curtosis de la siguiente gráfica:

8

15 14 11

7

0

5

10

15

20

Alumnos = 11

S = 3.53

𝐶𝑐 = (8 − 11)4+(15 − 11)4+(14 − 11)4+(11 − 11)4+(7 − 11)4

(5)(3.534) − 3

𝐶𝑐 = (−3)4+(4)4+(3)4+(0)4+(−4)4

(5)(155.25) − 3

𝐶𝑐 = 81 + 256 + 81 + 0 + 256

781.25 − 3 =

674

781.25 − 3

𝑪𝒄 = −𝟐. 𝟏𝟑𝟕𝟐𝟖

EJEMPLO 2: Calcular el coeficiente de curtosis de la siguiente gráfica:

28

42 44 47

12

0

20

40

60

6 7 8 9 10

Calificaciones de Alumnos = 7.48

S = 1.19

𝐶𝑐 = 877.57

(173)(1.194) − 3

n = 173

𝐶𝑐 = 877.57

350.39 − 3

𝐶𝑐 = 2.5045 − 3

𝑪𝒄 = −𝟎. 𝟒𝟗𝟓𝟓

EJERCICIO 1. Analizar las medidas de forma de los siguientes datos de una variable, la cual es resultado de una encuesta aplicada por internet, donde los alumnos contestaban su edad.

Xi = Edad fi

15 1

16 20

17 27

18 2

1

20

27

2

0

5

10

15

20

25

30

15 16 17 18

Xi = Edad

𝒙 = 𝟏𝟔. 𝟔

𝒙

𝝈 = 0.7883

−𝝈 +𝝈

1

20

27

2

0

10

20

30

15 16 17 18

Xi = Edad

SESGO

Asimetría = 𝑥 −𝑀𝑜

𝜎

Asimetría = 16.6 −17

0.7883

Asimetría = −0.4

0.7883

Asimetría = - 0.5

𝒙

1

20

27

2

0

10

20

30

15 16 17 18

Xi = Edad

APUNTAMIENTO

𝒙 𝒙 = 𝟏𝟔. 𝟔

∑ = 17.52

𝝈 = 0.7883

𝐶𝑐 = 17.52

(50)(0.78834) − 3

𝐶𝑐 = 17.52

(50)(0.3862) − 3

𝐶𝑐 = 17.52

19.3128 − 3

𝐶𝑐 = 0.9071 − 3

𝑪𝒄 = −𝟐. 𝟎𝟗𝟐𝟖

1

20

27

2

0

10

20

30

15 16 17 18

Xi = Edad

Sesgada a la Izquierda… Asimetría = - 0.5

SESGO

𝒙

APUNTAMIENTO

𝑪𝒄 = −𝟐. 𝟎𝟗𝟐𝟖 Platicúrtica…

EJERCICIO 2. Analizar las medidas de forma de los siguientes datos de una variable, en la misma encuesta, también contestaron una pregunta con respecto a el tiempo que le dedican a la lectura y estos son los resultados:

Xi = Tiempo Lectura 𝑴𝑪𝒊 𝒇𝒊

(0-5] 2.5 1

(5-10] 7.5 5

(10-15] 12.5 26

(15-20] 17.5 59

(20-25] 22.5 31

(25-30] 27.5 6

(30-35] 32.5 2

1 5

26

59

31

6 2

0

10

20

30

40

50

60

70

(0-5] (5-10] (10-15] (15-20] (20-25] (25-30] (30-35]

Xi = Tiempo de Lectura

𝒙 = 𝟏𝟕. 𝟖𝟖

𝒙

𝒔 = 4.9655

−𝒔 +𝒔

SESGO

Asimetría = 𝑥 −𝑀𝑜

𝑠

Asimetría = 17.88 −17.5

4.9655

Asimetría = 0.38

4.9655

Asimetría = 0.076 Sesgada a la derecha.

1 5

26

59

31

6 2

0

10

20

30

40

50

60

70

(0-5] (5-10] (10-15] (15-20] (20-25] (25-30] (30-35]

Xi = Tiempo de Lectura

𝒙

𝒙 = 𝟏𝟕. 𝟖𝟖

𝒔 = 4.9655

APUNTAMIENTO

1 5

26

59

31

6 2

0

10

20

30

40

50

60

70

(0-5] (5-10] (10-15] (15-20] (20-25] (25-30] (30-35]

Xi = Tiempo de Lectura

𝒙

Xi 𝑴𝑪𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟒 𝒇𝒊 ∗ 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟒

(0-5] 2.5 1

(5-10] 7.5 5

(10-15] 12.5 26

(15-20] 17.5 59

(20-25] 22.5 31

(25-30] 27.5 6

(30-35] 32.5 2

𝒙 = 𝟏𝟕. 𝟖𝟖

𝒔 = 4.9655

-15.38 56020.44 56020.44

-10.38 11629.51 58147.58

-5.38 840.65 21857.07

-0.38 0.021 1.29

4.61 453.76 14066.73

9.61 8548.04 51288.25

14.61 46629.00 91258.00

∑ = 292639.36 𝐶𝑐 =

292639.36

(130)(4.96554) − 3

𝐶𝑐 = 292639.36

79036.60 − 3 𝐶𝑐 = 3.7 − 3 𝑪𝒄 = 𝟎. 𝟕

Sesgada a la Derecha… Asimetría = 0.076

SESGO

APUNTAMIENTO

𝑪𝒄 = 𝟎. 𝟕 Leptocúrtica…

1 5

26

59

31

6 2

0

10

20

30

40

50

60

70

(0-5] (5-10] (10-15] (15-20] (20-25] (25-30] (30-35]

Xi = Tiempo de Lectura

𝒙

−𝒔 +𝒔