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by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG
ELEKTROTECHNIK
FORMELSAMMLUNG ELEKTROTECHNIK
FORMELSAMMLUNG ELEKTROTECHNIK .................................................................. 4
ALLGEMEINES:..................................................................................................................... 4 STROMSTÄRKE: ....................................................................................................................... 4 ELEKTRIZITÄTSMENGE (LADUNG):.......................................................................................... 4 STROMDICHTE:........................................................................................................................ 4 SPANNUNG: ............................................................................................................................. 4 POTENTIAL: ............................................................................................................................. 4 WIDERSTAND: ......................................................................................................................... 5 SPEZIFISCHER WIDERSTAND: .................................................................................................. 5 WIDERSTAND VON LEITERN: ................................................................................................... 5 LEITWERT: .............................................................................................................................. 5 LEITFÄHIGKEIT:....................................................................................................................... 5 TEMPERATURABHÄNGIGKEIT DES WIDERSTANDES: ................................................................ 5
Warmwiderstand: ............................................................................................................... 6
STROMKREISGESETZE:..................................................................................................... 6 OHMSCHES GESETZ:................................................................................................................ 6 SERIESCHALTUNG (REIHENSCHALTUNG) VON WIDERSTÄNDEN: ............................................. 6
Stromstärke: ....................................................................................................................... 6 Die Gesamtspannung: ........................................................................................................ 6 Der Gesamtwiderstand: ..................................................................................................... 6 Unbelasteter Spannungsteiler: ........................................................................................... 7 Spannungsabfall:................................................................................................................ 7
PARALLELSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN:......................................................................... 7 Spannung:........................................................................................................................... 7 Der Gesamtstrom: .............................................................................................................. 8 Der Gesamtwiderstand: ..................................................................................................... 8 Der Gesamtleitwert: ........................................................................................................... 8
KIRCHHOFSCHE REGELN: ........................................................................................................ 9 Erste Kirchhofsche Regel (Knotengesetz):......................................................................... 9 Zweite Kirchhofsche Regel (Maschenregel): ..................................................................... 9
ARBEIT UND LEISTUNG:.................................................................................................. 10 ELEKTRISCHE ARBEIT - ENERGIE: ......................................................................................... 10
kWh: ................................................................................................................................. 10 ELEKTRISCHE LEISTUNG: ...................................................................................................... 10
PS: .................................................................................................................................... 10 UMWANDLUNG VON ELEKTRISCHER ENERGIE IN WÄRME: .................................................... 11
Wirkungsgrad:.................................................................................................................. 11
VERHALTEN VON SPANNUNGSERZEUGERN:........................................................... 11 QUELLEN- UND KLEMMENSPANNUNG:.................................................................................. 11
Unbelasteter Spannungserzeuger (Leerlauf): .................................................................. 11 Belasteter Spannungserzeuger:........................................................................................ 12 Kurzschluss: ..................................................................................................................... 12 Innerer Widerstand: ......................................................................................................... 12 Leistungsanpassung: ........................................................................................................ 12
ELEKTROWÄRME:............................................................................................................. 13 WÄRMEMENGE:..................................................................................................................... 13
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FORMELSAMMLUNG ELEKTROTECHNIK
SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT C:....................................................................................... 13 WÄRMENUTZUNGSGRAD:...................................................................................................... 13
MAGNETISMUS:.................................................................................................................. 14 STROM IM MAGNETFELD :..................................................................................................... 14
Stromdurchflossener Leiter (Motorprinzip):.................................................................... 14 Spannungserzeugung durch Induktion der Bewegung (Generatorprinzip): .................... 14 Induktion der Ruhe (Generatorprinzip): .......................................................................... 14
ELEKTRISCHES FELD:...................................................................................................... 15 ELEKTRISCHE FELDSTÄRKE:.................................................................................................. 15 KONDENSATOR: .................................................................................................................... 15
Kapazität (Speichervermögen):........................................................................................ 15 Laden und Entladen des Kondensators:........................................................................... 15
SCHALTUNG VON KONDENSATOREN: .................................................................................... 15 Parallelschaltung:............................................................................................................ 15 Serieschaltung:................................................................................................................. 16
WECHSELSTROM:.............................................................................................................. 16 SINUSFÖRMIGE WECHSELSPANNUNG: ................................................................................... 16
Augenblickspannung: ....................................................................................................... 16 FREQUENZ:............................................................................................................................ 16 KREISFREQUENZ:................................................................................................................... 16 EFFEKTIVWERTE: .................................................................................................................. 17
WECHSELSTROMWIDERSTÄNDE: ............................................................................... 17 OHMSCHER WIDERSTAND: .................................................................................................... 17 SPULEN: ................................................................................................................................ 17
Scheinwiderstand: ............................................................................................................ 18 KONDENSATOR: .................................................................................................................... 18
Kapazitiver Blindwiderstand: .......................................................................................... 18 SCHALTUNGEN VON WIRKWIDERSTÄNDEN, SPULEN UND KONDENSATOREN:....................... 19
LEISTUNG UND ARBEIT BEI WECHSELSTROM: ...................................................... 20 LEISTUNG BEI WIRKLAST (WIDERSTAND):............................................................................ 21 LEISTUNG BEI INDUKTIVER BELASTUNG (SPULE): ................................................................. 21 LEISTUNG BEI KAPAZITIVER BELASTUNG (KONDENSATOR): ................................................. 21 LEISTUNGSDREIECK: ............................................................................................................. 21
Scheinleistung: ................................................................................................................. 21 LEISTUNGSFAKTOR: .............................................................................................................. 22 ARBEIT BEI WECHSELSTROM: ............................................................................................... 22
Wirkarbeit: ....................................................................................................................... 22 Blindarbeit: ...................................................................................................................... 22
DREIPHASENWECHSELSTROM – DREHSTROM: ..................................................... 23 STERNSCHALTUNG: ............................................................................................................... 23
Verkettungsfaktor: ............................................................................................................ 23 DREIECKSCHALTUNG: ........................................................................................................... 24 LEISTUNG BEI DREHSTROM: .................................................................................................. 24
Wirkleistung: .................................................................................................................... 24 Scheinleistung: ................................................................................................................. 24 Blindleistung: ................................................................................................................... 24
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ELEKTRISCHE MASCHINEN:.......................................................................................... 25 TRANSFORMATOREN: ............................................................................................................ 25
Spannungsübersetzung:.................................................................................................... 25 Stromübersetzung:............................................................................................................ 25 Widerstandsübersetzung: ................................................................................................. 25 Wirkungsgrad:.................................................................................................................. 25
MOTOREN: ............................................................................................................................ 26 Drehfelddrehzahl: ............................................................................................................ 26 Polpaare / Drehzahlen ..................................................................................................... 26 Schlupf:............................................................................................................................. 26 Leistungsaufnahme: ......................................................................................................... 26
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FORMELSAMMLUNG ELEKTROTECHNIK Allgemeines:
Stromstärke: Stromstärke = Elektrizitätsmenge / Zeit (Elektronenmenge / Zeit) Formelzeichen: I Einheit: Ampere [A] Definition: Fliessen 6.24*1018 Elektronen pro Sekunde durch einen
Leiterquerschnitt, so fliesst ein Strom von 1 A.
Elektrizitätsmenge (Ladung): Elektrizitätsmenge= Stromstärke I * Zeit t Formelzeichen: Q Einheit: Coulomb C oder Amperesekunde As (1C = 1As)
Stromdichte: Stromdichte = Stromstärke I / Querschnitt A Formelzeichen: J Einheit: A/mm2 oder A/m2
Spannung: Formelzeichen: U Einheit: V
Potential: Die Differenz zwischen zwei Potentialen ergibt die Spannung. Formelzeichen: � Einheit: V Potentiale haben immer ein Vorzeichen. Die Spannungspfeile zeigen immer vom höheren zum niedrigeren Potential.
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Widerstand: Formelzeichen: R Einheit: �
Spezifischer Widerstand: Formelzeichen: � Einheit: �mm2/m Definition: Der Widerstand eines Leitermaterials von 1m Länge und 1mm2
Querschnitt, bei einer Temperatur von 20°C nennt man spezifischen Widerstand.
Widerstand von Leitern:
qlR �*
� [�] l = Leiterlänge [m]
� = Spez. Widerstand [�mm2/m] q = Leiterquerschnitt [mm2]
Leitwert: Formelzeichen: G Einheit: S (Siemens) oder 1/� Definition: Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes.
Leitfähigkeit: Formelzeichen: � (Kappa) Einheit: m/�mm2 Definition: Die Leitfähigkeit ist der Kehrwert des spezifischen
Widerstandes.
Temperaturabhängigkeit des Widerstandes: Definition: Der Temperaturkoeffizient � gibt die Widerstandsänderung
für einen Widerstand von 1� bei Erwärmung um 1K.
�� ��� **20RR [�] R20 = Widerstand bei 20°C � = Temperaturkoeffizient [1/K] �� = Temperaturänderung [K]
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Warmwiderstand:
�� ��� **2020 RRRW [�] oder
)*1(*20 �� ��� RRW [�]
Stromkreisgesetze:
Ohmsches Gesetz:
IRU *� RUI �
IUR �
Serieschaltung (Reihenschaltung) von Widerständen:
Stromstärke: Bei Serieschaltungen ist der Strom an jedem Punkt gleich.
Die Gesamtspannung:
....321 UUUU ���
Der Gesamtwiderstand:
....321 RRRR ��� Zudem:
.)(2
1
2
1 etcRR
UU
�
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Unbelasteter Spannungsteiler: I R1 U R2
21
11 *
RRRUU�
� 21
22 *
RRRUU�
�
Spannungsabfall:
bL
b
RRRUU�
�
*2*1
2 [V] U2 = Spannung beim Verbraucher
U1 = Spannung beim Erzeuger Rb = Widerstand des Verbrauchers RL = Leitungswiderstand (1 Weg)
Parallelschaltung von Widerständen:
Spannung: Die Spannung ist an allen Stellen gleich gross.
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Der Gesamtstrom:
....321 IIII ��� Zudem:
.)(1
2
2
1 etcRR
II
�
Der Gesamtwiderstand:
Im grösste Widerstand fliesst der kleinste Strom; Im kleinsten Widerstand fliesst der grösste Strom.
Der Gesamtwiderstand ist immer kleiner als der kleinste
Einzelwiderstand.
21
21 *RRRRRGes
�
�
Der Gesamtleitwert:
....321 GGGGGes ��� oder:
....1111
321 RRRRGes
���
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Kirchhofsche Regeln:
Erste Kirchhofsche Regel (Knotengesetz): I3 R3 I1 I4 R4 I2 I5 R5
54321 IIIII ���� oder 054321 ����� IIIII
Die Summe der zugeführten Ströme ist gleich der abgehenden Ströme.
Zweite Kirchhofsche Regel (Maschenregel): Uq1 Uq2 I R1 R2 R3 U1 U2 U3
32121 UUUUU qq ���� oder : 032121 ����� UUUUU qq
Die Summe der Quellenspannungen ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle.
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Arbeit und Leistung:
Elektrische Arbeit - Energie: Zusammenhang zwischen Arbeit und Energie: Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten. Energie ist gespeicherte Arbeit � Gleiche Einheit. Definition: =Arbeit, die aufgewendet werden muss, um eine Ladung Q zu
verschieben.
UQW *� [Ws] (oder [VAs]) da Q=I*t ist:
tIUW **� [Ws] durch Einsetzen des Ohmschen Gesetzes:
tRIW **2� oder:
RtUW *2
�
kWh:
1 kWh =3.6 * 106 Ws (kWh ist eine Arbeitseinheit!)
Elektrische Leistung: Definition: = Arbeit pro Zeiteinheit
tWP � [W] (oder [Va])
durch Einsetzen von W=U*I*t ergibt sich:
IUP *� [W] Durch Einsetzen des Ohmschen Gesetzes ergit sich:
RIP *2� oder
RUP
2
�
PS:
1 PS = 736 W
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Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme: Erwärmung von 1kg Wasser um 1K = Wärmemenge von 4186 J (1kcal)
Wirkungsgrad:
zu
ab
WW
�� [-] [%] Wab = abgegebene Arbeit
Wzu = zugeführte Arbeit
zu
ab
PP
�� [-] [%] Pab = abgegebene Leistung
Pzu = zugeführte Leistung
Verhalten von Spannungserzeugern:
Quellen- und Klemmenspannung:
Unbelasteter Spannungserzeuger (Leerlauf): Die Klemmenspannung ist gleich der Quellenspannung
qUU �
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Belasteter Spannungserzeuger: I Ri I*Ri U Ra + Uq - Mit steigender Belastung nimmt die Klemmenspannung ab.
iq RIUU *��
ai
q
RRU
I�
�
Kurzschluss: Bei einem Kurzschluss zwischen den beiden Klemmen der Spannungsquelle fliesst der Kurzschlussstrom Ik:
i
qk R
UI � [A] Uq = Quellenspannung
Ri = Innerer Widerstand
Innerer Widerstand:
IURi�
�� � von 2 verschiedenen Betriebszuständen
Leistungsanpassung:
Die Leistungsabgabe eines Spannungserzeugers ist am grössten, wenn der Belastungswiderstand gleich dem inneren Widerstand ist. Ra = Ri
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Elektrowärme:
Wärmemenge:
tcmQ �� ** [J] m = Masse [Kg] c = spez. Wärmekapazität [J/kg*K] �t = Temperaturänderung [K]
Spezifische Wärmekapazität c:
Stoff c [J/kg * K] Aluminium 921 Kupfer 385 Stahl 460 PVC 880 Wasser 4187 Luft 1006
Wärmenutzungsgrad:
tPmc
S
N
***�
��
�� [-] [%] QN = Nutzwärme
QS = Stromwärme �� = Temperaturunterschied [K] c = spez. Wärmekapazität [J/kg*K] m = Masse [kg] P = Leistung t = Zeit
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Magnetismus:
Strom im Magnetfeld :
Stromdurchflossener Leiter (Motorprinzip): Ein Stromdurchflossener Leiter wird in einem Polfeld (zwischen zwei Magnetpolen) abgelenkt. Und zwar mit der folgenden Kraft:
)(*** zlIBF � [N] B = I = Stromstärke [A] l = Leiterlänge [m] z = Anzahl Leiter
Spannungserzeugung durch Induktion der Bewegung (Generatorprinzip): Die Bewegung einer Leiterschlaufe in einem Magnetfeld (quer zu den Feldlinien) bewirkt eine Ladungsverschiebung in der Leiterschlaufe In der Leiterschlaufe wird eine Spannung induziert:
)(*** zlvBUO � [U] B = [Vs/m2] v = Geschw. des Leiters [m/s] l = Leiterlänge [m] z = Anzahl Leiter
Induktion der Ruhe (Generatorprinzip): Eine Stromänderung bewirkt in beiden Spulen eines Transformators eine Änderung der Feldlinienzahl. Es entstehen Ladungsverschiebungen in den Spulen; es wird Spannung induziert.
tNU
�
���
�0 [V] N = Windungszahl
�� = Flussänderung �t = Zeit der Flussänderung [s]
1
2
2
1
2
1
II
UU
NN
��
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Elektrisches Feld:
Elektrische Feldstärke:
lUE � [V/m] l = Abstand
Kondensator: Eine Anordnung von 2 leitenden Flächen zwischen denen sich ein elektrisches Feld bilden kann, nennt man Kondensator.
Kapazität (Speichervermögen):
UQC � [F] (oder [As/V]) Q = Ladung [As]
U = Spannung [V]
Laden und Entladen des Kondensators: Laden: Beim Laden fliesst kurzzeitig ein Strom. Anschliessend sperrt der
Kondensator den Strom. Speichern: Der Kondensator kann elektrische Ladung speichern. Entladen: Beim Entladen fliesst Kurzzeitig ein entgegengesetzter Strom.
Schaltung von Kondensatoren:
Parallelschaltung:
321 CCCC ���
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Serieschaltung: Die Stromstärke ist in allen Kondensator gleich gross.
321 QQQQ ��� ....*** 2211 CUCUCU ��
321 UUUU ���
3
3
2
2
1
1
CQ
CQ
CQ
CQ
���
321
1111CCCC
���
Wechselstrom:
Sinusförmige Wechselspannung:
Augenblickspannung:
�sin*ÛU � Û = Scheitelwert [V] � = Drehwinkel [°] oder Zeitabhängig:
)***2sin(* tfÛU �� f = Frequenz [Hz] t = Zeit [s]
Frequenz:
Tf 1� [Hz] T = Periodendauer [s]
Kreisfrequenz:
f**2 �� � [1/s] f = Frequenz [Hz]
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Effektivwerte:
2ÎIeff � [A] Î = Scheitelstrom [A]
2ÛUeff � [V] Û = Scheitelspannung [A]
Wechselstromwiderstände:
Ohmscher Widerstand: Ohmsche Widerstände verhalten sich im Gleich- und Wechselstromkreis gleich. Im Wechselstromkreis werden sie meist Wirkwiderstand R bezeichnet.
Spulen: Spulen verhalten sich in Gleich- und Wechselstromkreisen verschieden. Beim Wechselstrom kommt zu dem Drahtwiderstand der induktive Blindwiderstand XL dazu. Der Induktive Widerstand:
LfX L ***2 �� f = Frequenz [Hz] L = Induktivität [H] (Henry) oder
LX L *�� � = Kreisfrequenz [1/s] oder
L
LL I
UX �
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Scheinwiderstand: Der Gesamtwiderstand einer Spule setzt sich aus dem Wirkwiderstandes R und dem induktiven Blindwiderstand XL nennt man Scheinwiderstand Z oder Impedanz.
IUZ �
oder:
22LXRZ ��
Kondensator: Im Wechselstrom verhält sich der Kondensator wie ein Widerstand. Diesen „Widerstand“ nennt man kapazitiven Blindwiderstand XC.
Kapazitiver Blindwiderstand:
C
CC I
UX �
CCfX C *
1***2
1��
�� f = Frequenz [Hz]
C = Kapazität [F] (Farad)
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Schaltungen von Wirkwiderständen, Spulen und Kondensatoren: SERIESCHALTUNG Wirkwiderstand + Spule R; UR XL; UL U; I
Wirkwiderstand + Kondensator R; UR XC; UC
U; I
Wirkwiderstand + Spule + Kondensator R; UR XL; UL XC; UC U ; I
�
��
UR
U UC
UL
�
��
R
R XL
��
U
UR
UL
Uc
��
Z
R
xc
xL
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U
UR
R
XC
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PARALLELSCHALTUNG Wirkwiderstand + Spule IR ; R IL ; xL U
Wirkwiderstand + Kondensator IR ; R IC ; xC U
Wirkwiderstand + Spule + Kondensator
�
IC
IR
I ��
I
IR
IL
1/R�
1/Z1/R
1/Z
��1/xC
1/xL
I
IL
IC
IR
Z
1/xL
1/xC
1/R
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Leistung und Arbeit bei Wechselstrom:
Leistung bei Wirklast (Widerstand):
RIUP *� [W] U = Effektivspannung [V] IR = Effektivstrom [A]
Leistung bei induktiver Belastung (Spule):
LL IUQ *� [Var] U = Effektivspannung an Spule [V] IL = Effektivstrom an Spule [A]
Leistung bei kapazitiver Belastung (Kondensator):
CC IUQ *� [Var] U = Effektivspannung an Kond. [V] IC = Effektivstrom an Kond. [A]
Leistungsdreieck:
S
��
P = Q = S =
Scheinleis
IUS *� [
2 QPS ��
TS-Zürich
U
�
UL
UR
Q
Wirkleistung Blindleistung Scheinleistung
tung:
VA]
2 [VA]
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P
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Leistungsfaktor: Der Leistungsfaktor gibt an, wie viel Prozent der Scheinleistung S als Wirkleistung P umgesetzt werden.
SP
��cos [-] [%]
Arbeit bei Wechselstrom:
Wirkarbeit:
tIUtPWW *cos*** ��� [Ws] [kWh] U = Effektivspannung [V] I = Effektivstrom
Blindarbeit:
tIUtQWB *sin*** ��� [vars] [kvarh] U = Effektivspannung [V] I = Effektivstrom [A] t = Zeit [s]
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Dreiphasenwechselstrom – Drehstrom:
Sternschaltung: Polleiter Uph U Polleier Polleiter I=Iph
phUU *3�
phII �
Verkettungsfaktor:
3���
stUU
nungStrangspannungLeiterspansfaktorVerkettung
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Dreieckschaltung: I Iph U=Uph
phUU �
phII *3�
Leistung bei Drehstrom:
Wirkleistung: ( �cos***3*3 ststst IUPP �� [kW] )
�cos***3 IUP � [kW] U = Polleiterspannung [V] I = Polleiterstrom [A] (U und I sind immer die höheren Werte)
Scheinleistung:
IUS **3� [VA]
Blindleistung:
�sin***3 IUQ � [Var]
�PP *3�
�
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Elektrische Maschinen:
Transformatoren:
Spannungsübersetzung:
2
1
2
1
NN
UU
� U = Spannung [V]
N = Anzahl Windungen
Stromübersetzung:
1
2
2
1
NN
II
� I = Stromstärke [A]
N = Anzahl Windungen
Widerstandsübersetzung:
22
2
1
2
1 üNN
RR
����
����
�� R1 = Widerstand vor Trafo
R2 = Widerstand Sekundärseitig
Wirkungsgrad:
CUFEab
ab
VVPP
��
�� [-] [%] Pab = Abgehende Leistung
VFE = Eisenverlust VCU = Kupferverlust
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FORMELSAMMLUNG ELEKTROTECHNIK
Motoren: Asynchronmotor:
Drehfelddrehzahl:
Der Läufer dreht etwas langsamer als das Drehfeld
pfns � ns = Drehfelddrehzahl
f = Frequenz p = Polpaarzahl
Polpaare / Drehzahlen
Die Drehzahl ist in erster Linie von der Polpaarzahl abhängig
3 Wicklungen � 1 Polpaar � 3'000 U/min 6 Wicklungen � 2 Polpaar � 1’500 U/min 9 Wicklungen � 3 Polpaar � 1'000 U/min
Schlupf:
Asynchronmotoren benötigen einen Schlupf zur Induktion des Läufermotors
100*s
s
nnns �
� [%] ns = Drehfelddrehzahl
n = Läuferdrehzahl (auf Leistungsschild)
Leistungsaufnahme:
�cos***3 IUP � [W] U = Nennspannung [V] I = Nennstrom [A] cos� = Phasenverschiebung [-] (alle Angaben vom Leistungsschild)
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