FUNCIONES ELEMENTALES 1

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD y = mx

Cuando las variables x e y son proporcionales se da entre ellas la relación: x

ym = , siendo m la constante

de proporcionalidad.

� Llamamos función de proporcionalidad a aquella cuya expresión es y = mx, siendo m una constante.

� La inclinación de estas rectas viene dada por la constante de proporcionalidad m, que recibe el nombre de pendiente de la recta.

� La pendiente de una recta es la variación (aumento o disminución) que se produce en la y, cuando la x aumenta una unidad.

a. Si m > 0, la función es creciente.

b. Si m < 0, la función es decreciente.

c. Si m = 0, la función es constante y = 0. La gráfica, en este caso, es una recta horizontal que corresponde con el eje de abscisa.

Representación de la gráfica a partir de su ecuació n y = m · x De la gráfica de una función de proporcionalidad sabemos lo siguiente:

• Es una recta , pues a variaciones iguales de la x corresponden variaciones iguales de la y.

• Pasa por el origen de coordenadas, pues si x = 0 entonces y = m · 0 = 0.

Por tanto, para representarla sólo falta obtener otro punto que se consigue dándole un valor a x y obteniendo el correspondiente valor de y.

Cálculo de la ecuación a partir de la gráfica

Para determinar la ecuación de la recta hay que hallar la pendiente de la misma.

Al ser la pendiente la constante de proporcionalidad, para calcularla basta tomar las coordenadas de cualquier punto de la recta y dividir la 2ª coordenada por la 1ª. Es decir:

ym

x= ,

siendo (x,y) cualquier punto de la gráfica FUNCIÓN AFÍN y = mx + n

� Las funciones de la forma y = mx + n corresponden geométricamente a rectas que no pasan por el origen.

� El término independiente n es el valor de y para x = 0 , se denomina ordenada en el origen y nos determina el punto de corte de la recta con el eje de ordenada: (0, n)

� La pendiente de la recta, m, es el coeficiente de x cuando está despejada la y.

� La pendiente de la recta viene dada por el cociente entre el incremento de la variable y respecto al incremento de la variable x:

Incremento de y ym

Incremento de x x

∆= =∆

� Dos rectas con la misma pendiente son paralelas.

FUNCIONES ELEMENTALES 2

FUNCIONES CUADRÁTICAS

1. La función f(x) = x 2

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x 2 cuya gráfica es:

Características generales

� Su dominio es �

� Su recorrido es [ 0, +∞ )

� Presentan un valor extremo. Este valor mínimo (0,0) es el vértice de la parábola.

� Tienen un eje de simetría. Si trazamos una recta vertical que pase por el vértice, y se dobla el papel por dicha recta, las dos ramas de la parábola, al superponerse, coinciden.

La ecuación del eje de simetría es: x = 0

� Es una función continua.

� Tienen dos ramas:

- Es creciente en (0, +∞)

- Es decreciente en (-∞, 0) 2. La función f(x) = -x 2

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-3 -2 -1 0 1 2 3x

f(x)

Características generales

� Su dominio es �

� Su recorrido es (-∞, 0]

� Presentan un valor extremo. Este valor máximo (0,0) es el vértice de la parábola.

� Tienen un eje de simetría. Si trazamos una recta vertical que pase por el vértice, y se dobla el papel por dicha recta, las dos ramas de la parábola, al superponerse, coinciden.

La ecuación del eje de simetría es: x = 0

� Es una función continua.

� Tienen dos ramas:

- Es decreciente en (0, +∞)

- Es creciente en (-∞, 0)

3. La función f(x) = ax 2

• Vértice: el punto V(0,0).

• Eje de simetría es x = 0

• Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.

• Las ramas de la parábola van :

- Hacia arriba si a > 0

- Hacia abajo si a < 0.

FUNCIONES ELEMENTALES 3

4. Parábolas del tipo y = x 2 + c (desplazamiento vertical)

La gráfica de la función y = x 2 + c, es idéntica a la de y = x 2 , pero con el vértice en el punto (0,c) y desplazada:

� c unidades hacia arriba si c > 0.

� c unidades hacia abajo , si c < 0. 5. Parábolas del tipo y = (x ± k)2 (desplazamiento horizontal)

� La gráfica de la función y = a(x – k)2 es idéntica a la de y = x 2, pero con el vértice en (k,0), la gráfica se desplaza hacia la derecha.

� La gráfica de la función y = a(x + k)2 es idéntica a la de y = x 2, pero con el vértice en (-k,0), la gráfica se desplaza hacia la izquierda.

6. Parábolas del tipo y = a 2 + bx Las funciones del tipo y = ax2 + bx corta siempre al eje OX en dos puntos. Para determinarlos imponemos que y = 0:

Si y = 0 ⇒ ax2 + bx = 0 ⇒ x · (ax + b) = 0 ⇒ x 0

bax b 0 x

a

= + = → = −

Al ser la función cuadrática, el eje de simetría pasa por el punto medio, por tanto su ecuación es b

x2a

= −

El vértice de la parábola siempre está sobre el eje de simetría, por tanto la primera coordenada del vértice es

v

bx

2a= − .

Sustituyendo en la expresión de la función, obtenemos la 2ª coordenada del vértice. 7. Parábolas del tipo y = a 2 + bx + c

1º.- Si a > 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba. El vértice es el mínimo absoluto

Si a< 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo. El vértice es el máximo absoluto.

2º.- Determinación de los puntos de corte con los ejes de coordenadas:

Corte eje OX: Estos puntos son las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0

Corte eje OY: (0,c)

3º.- Determinación del vértice: V= ,2b b 4ac

2a 4a

−−

La abscisa del vértice es el punto medio del segmento determinado por los puntos de corte con el eje X.

4º. - Obtención del eje de simetría: x = xv

5º. - Obtención de algunos puntos de la parábola.

FUNCIONES ELEMENTALES 4

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. FUNCIONES RACIONALES

� Dos variables son inversamente proporcionales cuando el producto de cualquier par de valores

correspondientes es constante. La ecuación x·y = k, o bien, xky = define la función de

proporcionalidad inversa .

� La representación gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa es una curva llamada hipérbola .

1. La función f(x) = kx

Construimos una tabla de valores para la función

x1y =

x -3 -2 -1 1

2−

1

2 1 2 3

y 1

3−

1

2− -1 -2 2 1

1

2

1

3

La gráfica correspondiente es:

Características

� Su dominio de definición � – {0}.

� Su recorrido es también � – {0}.

� La función es discontinua en el punto x = 0.

� La gráfica está formada por dos ramas que están en el 3er y 1er cuadrantes.

� Es una función impar, es decir, simétrica respecto del origen de coordenadas, si tomamos valores opuestos, la función también toma valores opuestos:

� Se dice que el eje de ordenadas, x = 0, es una asíntota vertical :

Si x → 0, x > 0 la función tiene a + ∞

Si x → 0, x < 0 la función tiene a - ∞

� Se dice que el eje de abscisas, y = 0, es una asíntota horizontal :

Cuando la variable toma valores muy pequeños la gráfica se acerca a y = 0 por debajo; mientras que cuando toma valores muy grandes, la gráfica se acerca a y = 0 por encima.

� La función es decreciente en todo su dominio, luego no tiene ni máximos ni mínimos.

Si a > b ⇒ 1 1

a b< ⇒ f(a) <f(b)

� La función pasa por los puntos (1,k) y (k, 1).

� Si k > 0, la función es siempre decreciente, las ramas están en el 1er y 3er cuadrante

� Si k < 0, la función es siempre creciente, las ramas están en el 2º y 4º cuadrante.

FUNCIONES ELEMENTALES 5

2. La función f(x) = k

+ bx

(Desplazamientos verticales)

� La gráfica de la funciónk

y bx

= + se obtiene trasladando verticalmente la gráfica de k

yx

= :

o Si b > 0, se traslada b unidades hacia arriba.

o Si b < 0, se traslada |b| unidades hacia abajo

� La recta y = b es una asíntota horizontal de la función.

� Su dominio es � - {0} y su recorrido es � - {b}

3. La función f(x) =±k

x a (Desplazamientos horizontales)

� La gráfica de k

yx a

=−

es igual a la de k

yx

= trasladada a unidades hacia la derecha.

� La gráfica de k

yx a

=+

es igual a la de k

yx

= trasladada a unidades hacia la izquierda.

� Su dominio es R – {a} → Asíntota vertical: x = a.

� Su recorrido � - {0} → Asíntota horizontal: y = 0.

4. Funciones racionales sencillas

Para representar las funciones racionales de ecuación ax b

ycx d

+=+

, se dividen ambos polinomios y se

aplica el algoritmo de la división, transformando la ecuación anterior en otra de la forma: k

y mx n

= +−

.

Su gráfica es una copia de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa k

yx

= .

� Ejemplos:

xy

x 1=

− �

x 1y 1

x 1 x 1= = +

− −

xy

x 1

−=+

� 1

y 1x 1

= − ++

FUNCIONES ELEMENTALES 6

FUNCIONES IRRACIONALES

Las funciones en las que intervienen el signo radical de cualquier índice se denominan funciones radicales.

Su gráfica es una rama de una parábola horizontal.

A partir de estas gráficas se pueden construir, mediante desplazamientos verticales y horizontales las funciones del tipo baxky +±=

1. La función f(x) = + x

Construimos una tabla de valores para representar esta función:

x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Características de la función:

� Su dominio de definición: [0, +∞ )

� Su recorrido es [0, +∞ )

� Es una función continua.

� Es creciente

� Tiene un mínimo en x = 0

� Ejemplos:

Representa las siguientes funciones:

a) y x 2= − b) y 1 x= −

a) y x 2= −

Dom y = [2, +∞ )

La gráfica es la de la función y x=

trasladada 2 unidades a la derecha

b) y 1 x= −

Dom y = [0, +∞ )

La gráfica de y x=− es la simétrica respecto del

eje OX de la gráfica de y x= .

La gráfica de y 1 x= − es la misma que la de

y x=− trasladada 1 unidad hacia arriba.

FUNCIONES ELEMENTALES 7

FUNCIONES VALOR ABSOLUTO 1. La función f(x) = | x |

La función f(x) = | x | se define de la siguiente manera:

f(x) = | x | ⇒

≥<−

=0xsix

0xsixy

Representamos la función:

Características de la función:

� Su dominio es � .

� Su recorrido es [0, +∞) ya que el valor absoluto de un número es siempre positivo.

� Es continua.

� Es decreciente para x < 0 y creciente para x > 0

� Tiene un mínimo en x = 0

2. La función f(x) = | f(x) |, siendo f(x) cualquier fu nción

Consideremos la función f(x) = |x – 2|, se pueden escribir descompuestas en dos tramos:

� Para x < 2 ⇒ x – 2 < 0 ⇒ f(x) = - (x – 2) = 2 – x

� Para x > 2 ⇒ x – 2 < 0 ⇒ f(x) = x – 2

Por tanto, la función definida a trozos es:

f(x) = |x – 2| ⇒ 2 x si x 2

yx 2 si x 2

− <= − ≥

Su gráfica es :

� Vamos a representar la función f(x) = |x2 - 4|

Para ello representamos la gráfica de la función y = x2 – 4 y a continuación consideramos el simétrico del tramo que está por debajo del eje OX.

FUNCIONES ELEMENTALES 8

FUNCIONES EXPONENCIALES

Las funciones exponenciales son funciones de la forma f(x) = ax,, con a > 0 y a ≠1.

1. La función exponencial y = a x con a>1.

Características de f (x) = ax, a >1

� Dom(f) = � y Rec(f) = �+

� Es creciente, no tiene máximos ni mínimos.

� Es continua

� Pasa por los puntos (0,1) y (1, a)

� El eje OX es una asíntota horizontal por la izquierda.

� Cuando x se hace muy pequeño la función tiende a infinito.

� El aumento de la base supone:

o Una mayor tendencia a aproximarse al eje OX por la izquierda

o Un crecimiento más rápido de la función por la derecha.

2. La función exponencial y = a x con 0 < a < 1.

FUNCIONES ELEMENTALES 9

Características de f(x) = ax, 0 < a < 1

� Dom(f) =� y Rec(f) =� +

� Es decreciente, no tiene máximos ni mínimos.

� Es continua

� Pasa por los puntos (0,1) y (1, a)

� El eje OX es una asíntota horizontal por la derecha.

� Cuando x se hace muy pequeño la función tiende a infinito.

� La disminución de la base supone:

o Una aproximación más lenta al eje OX por la derecha.

o Una mayor aproximación al eje OY por la izquierda.

3. Relación entre las funciones y = a x e

x1

y =a

x -2 -1 0 1 2 2x ¼ ½ 1 2 4

x -2 -1 0 1 2 ( )x

12 4 2 1 ½ ¼

Para valores opuestos de x se cumple que sus imágenes son iguales, es decir:

f(x) = g(-x)

Por tanto, ambas funciones son simétricas respecto al eje vertical.

Además, se cortan en el punto (0,1)

4. Transformaciones geométricas de y = a x

4.1. Traslaciones horizontales

A partir de la gráfica de la función f(x) = ax podemos obtener la de la función g(x) = ax + p

� Si p <0, mediante una traslación horizontal de a unidades hacia la derecha.

� Si p >0, mediante una traslación horizontal de a unidades hacia la izquierda.

4.2. Traslaciones verticales

A partir de la gráfica de la función f(x) = ax podemos obtener la de la función g(x) = ax + n

� Si n>0, mediante una traslación vertical de n unidades hacia arriba.

� Si n <0, mediante una traslación vertical de n unidades hacia abajo.

4.3. Función f(x) = k · a x

Se puede obtener a partir de la gráfica de la función f(x) = ax.

� Si k >1, mediante un estiramiento de factor k.

� Si 0< k < 1, mediante un achatamiento de factor k.

� Si k < 0, su gráfica se obtendría reflejando sobre el eje OX la gráfica de la misma función positiva.

FUNCIONES ELEMENTALES 10

FUNCIONES LOGARITMICAS Las funciones logarítmicas son funciones del tipo f(x) = log a x, donde a>0, a≠ 1.

Características de f (x) = log a x

� Dom(f) = (0,+∞), ya que el logaritmo solo existe para valores positivos.

� Rec(f) = R

� Es creciente si a > 1 y decreciente si a < 1.

� Es continua

� Pasa por los puntos (1,0) y (a,1) ya que log a 1 = 0, log a a = 1

� El eje OY es una asíntota vertical por la derecha.

� Cuando x se hace muy pequeño la función tiende a -∞.

� La función es negativa para valores de x < 1. y positiva para x > 1.

A medida que la base disminuye, la curva se dispara con mayor rapidez hacia +∞.

Para bases inversas, las funciones son simétricas respecto al eje OX.

Las funciones f(x)= ax y g(x)= log a x son inversas, sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x

FUNCIONES ELEMENTALES 11

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. FUNCIÓN SENO

La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.

Características de la función seno

� Dominio: R

� Recorrido: [-1, 1]

� Es una función periódica de período 2 π ya que sen(x) = sen(x + 2 π)

� La función y =sen x es impar, es decir, es simétrica respecto del origen, ya que sen(-x)=-sen x

� La gráfica corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = kπ, para todo número entero k.

� El valor máximo es 1 y se alcanza en x = 2k2π + π , siendo k∈ Z

� El valor mínimo es -1 y se alcanza en x = 3

2k2π + π , siendo k∈ Z

� Positiva en (0,π) y negativa en (π,2π)

2. FUNCIÓN COSENO

La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.

FUNCIONES ELEMENTALES 12

Características de la función coseno

� Dominio: R

� Recorrido: [-1, 1]

� Es una función periódica de período 2 π ya que cos(x) = cos(x + 2 π)

� La función es par, es decir, es simétrica respecto del eje OY, ya que cos(-x) = cos x

� La gráfica corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = k2π + π , para todo número entero

k.

� El valor máximo es 1 y se alcanza en x = 2kπ , siendo k∈ Z

� El valor mínimo es -1 y se alcanza en x = kπ , siendo k∈ Z

� Positiva en ,2 2π π −

y negativa en ,

32 2π π

3. FUNCIÓN TANGENTE

La función tangente es la función definida por: f(x)= tg x. Características de la función tangente:

� Dominio: R - k2π + π

, ya que tg x no está definida si cos x = 0

� Recorrido: R

� Es una función periódica de período π ya que tg(x) = tg(x + π)

� La función es impar, es decir, es simétrica respecto del origen, ya que tg(-x)= - tgx

� La gráfica corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = kπ, para todo número entero k.

� Es siempre creciente, no tiene máximos ni mínimos

� Positiva en (0,π) y negativa en (π,2π)

� Presenta asíntota vertical en x = kπ

Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se pueden aplicar a las funciones trigonométricas.

Funciones