extensions centrales d'algèbres et de groupes de lie de dimension infinie, algèbre de...

Vol. 3s (1995) REPORTS ON M4THEMATIoIL PHYSICS No. 213

EXTENSIONS CENTRALES D’ALGBBRES ET DE GROUPES DE LIE DE DIMENSION INFINIE,

ALGBBRE DE VIRASORO ET GBNBRALISATIONS

CLAUDE ROGER

Universitt Claude Bernard, Lyon 1, URA au CNRS no 746, France (e-mail: [email protected])

(Received Febryry 8, 1995)

This article surveys problems related to central extensions of Lie algebra of vector fields, both from the pure algebraic point of view (cohomological computations) and from the point of view of the geometrical and physical applications. Especially the cases of hamiltonian, contact and unimodular vector fields are developed, including the applications to fluid mechanics.

Ce travail a son origine dans une discussion de I’auteur avec A. A. Kirillov a Marseille en juillet 1991, a propos des extensions centrales de l’algebre des champs de vecteurs hamiltoniens. 11 est nature1 de comparer la situation hamiltonienne a d’autres structures geometriques, et l’apparition dans ces cadres des extensions centrales, dont l’importance est bien connue en theorie des representations et systemes hamiltoniens, peut se considerer comme une gCnCralisation de l’extension centrale qui donne l’algebre de Virasoro. En particulier, un passage de la cohomologie adjointe a la cohomologie scalaire (93) joue un role essentiel dans beaucoup de situations, et se retrouve dans les parties successives de Particle.

Ce travail ne pretend nullement a une grande originalite: le 59 annonce des resultats obtenus par P. Lecomte et l’auteur; dans le $10 le theoreme sur l’universalite de l’extension centrale de l’algebre de Lie des champs unimodulaires est &once pour la premiere fois. Pour le reste, il s’agit surtout dune description synth&ique de resultats Cpars dans la litterature, mais qui gagnent beaucoup a Ctre rassembles et confront&. L’auteur regrette simplement de ne pas avoir eu le temps ni le courage d’approfondir les applications aux representations et aux theories physiques (champs conformes notamment). Diverses parties de ce travail ont fait l’objet d’expos6s de seminaires a Liege, Enschede, Grenoble, Strasbourg, Cruis, Montpellier, Marseille et Lyon. L’auteur tient a remercier toutes celles et tous ceux avec qui il a pu discuter des problemes exposes ici. Citons, dans un ordre quelque peu aleatoire: E. Ghys, P. Iglesias, P. Lecomte, M. De Wilde, V. Ovsienko, B. Khesin, Y. Kosmann-Schwarz-

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bath, J. L. Loday, C. Kassel, M. Golenichtcheva-Koutouzova, A. A. Kirillov, S. Ta- bachnikov, L. Guieu, J. M. Souriau, 0. Sheinman, V. Sergiescu, A. Radul; il remercie Cgalement N. Dumont pour son excellente dactylographie.

1. Rappels: extensions centrales et cohomologie

Nous considererons des algebres de Lie Q sur un corps k (k = Iw ou @).

1.1.

DEFINITION. Une extension centrale de Q de noyau K est une suite exacte d’al-

gebres de Lie 0 + K -+ 6 -+ G -+ 0 telle que K soit central dans &$ (i.e. pour tout

a:EK,Ada:=O). x

Dew extensions centrales 01 -+ !$z sont Cquivalentes s’il existe un isomorphisme . ,.

cp: &+& tel que rrzoo==r.

Une extension centrale est triviale si 6 est Cquivalente au produit direct Q x K. On construit le cocycle associe a une extension de la facon suivante:

soit 0: 6 H $$ une section de ?r et posons Cc(X, Y) = a([X, Y]) - [a(X),,(Y)]; on voit immediatement que r[C(X, Y)] = 0 done C,: 6 x 6 H K est une 2- cochaine.

On verifie facilement que dC,, = 0 oti d: A* (G, K) -+ A*(Q, K) est la differentielle du complexe des cochaines de l’algbbres de Lie 6 a coefficients dans K. Si on change de section, 0 est remplade par g + T avec 7: G H K, on a alors C0+7 = C, + dr.

On associe a l’extension une classe de cohomologie bien definie dans H2(G, K), notee C. Si C = 0, alors C, = dr avec T: Q H K et CT - 7: 0 H & determine un homomorphisme d’algebres de Lie, induisant un isomorphisme d’algebre de Lie e N 6 x K (produit direct). L’extension est done triviale. On montre Cgalement que des extensions Cquivalentes induisent des cocycles cohomologues.

Reciproquement si C: G x 9 H K est un 2-cocycle a valeurs dans K, on construit un crochet de Lie sur l’espace produit & N 6 x K par la formule suivante

[(X7 A), (Y PII = (IX, Yl > C(X7 Y)) e on obtient ainsi une extension centrale. t Nous avons montre le

THI?ORI?ME. L’espace des classes d’isomorphisme d’extensions centrales de noyau K s’identife b H2(G, K)

Remarque: La structure additive de Hz@, K) permet d’induire une addition sur l’espace des classes d’equivalence d’extensions centrales; on peut la construire de la facon suivante. Soient (&,7rr) et (&, 74 deux extensions centrales de noyau K, leur

EXTENSIONS CENTRALES D’ALGBBRES 227

somme est representee par le produit fibre

8 = {(21,22) E 01 x G2;/7451) = r2(52)1

avec 9 -+ G defini par +(zi, x2) = m(sl) = x2(22).

1.2. Extension centrale universelle

On definit de facon naturelle un morphisme d’extensions centrales de S.

Soit F: @I, 7rl) .. -+ (G2,7r2) donne par f et g tels que le diagramme ci-dessous soit commutatif

On dit qu’une extension centrale (e, T) de Q est universelle, si pour toute autre extension centrale de G, soit (??, T’?) il existe une application unique F: (e, x) + (c, Tf).

Si une telle extension existe, elle classifie toutes les extensions centrales non triviales possibles

PROPOSITION. Si HI(G) = 0, I i existe une extension centrale universelle de G

0 + Hz(B) -+ 9 + p --f 0.

Dhnonstration: D’apres le theoreme des coefficients universels [20].

H2(G; K) = Hom(&(G>, K) si K est un G module trivial.

Alors Id: Hz(G) -+ HZ(~) determine un Clement de H2@;H2(G)) qui induit l’extension centrale universelle cherchee. [ L’hypothbse Hi(B) = 0 est necessaire pour

avoir l’unicite de l’application].

Si C E H2(6, K) = Hom(H$), K) alors C: i&(6) -+ K se prolonge en le morphisme d’extensions cherche.

l Le probleme de l’etude des extensions centrales d’une algebre de Lie don&e, se ram&e done a un calcul de sa cohomologie a coefficients triviaux.

Dans le cas oti Hi(G) # 0, l’extension ci-dessus est dite verselle: on peut toujours construire une application F, mais elle n’est plus necessairement unique.

l Une notion analogue, plus delicate, existe pour les groupes.

1.3. Extensions centrales de groupes

Nous commencerons par le cas des groupes “abstraits” sans structure topologique fixee. Soit G un groupe et K un groupe abelien, une extension centrale de G de

228 C. ROGER

noyau K est la don&e d’un groupe & et dune suite exacte

(1) -+ K + & 4 G + (1)

telle que K soit central dans G: pour tout x E K et g E G:, alors gx = xg. Une propriete cohomologique analogue A la preddente est alors drifiee:

TH~O&ME. L’ensemble des classes d’isomorphismes d’extensions centrales de G de noyau K s’identifie au groupe a!e cohomologie H*(G, K). (Zl s’agit ici de cohomologie de groupe, au sens d’Eilenberg Mac Lane, ri coefficients a!ans une reprksentation triviale).

D&monstration: (cf par exemple Kirillov [30, p. 27 sqq]). Nous donnerons ici les grandes lignes de la demonstration. On choisit une section g: G -+ G de I’application

x et on pose Ca(x, y) = a(x’g(x)-l.

On a (n o CO)(x, y) = 1 done Cb(x, y) E K. On verifie facilement les proprietes de cocycle

C~(XY, z)C&, Y) = ~(~Y~)~(~)-‘~(~Y)-l~(~Y)~(Y)-l~~~)-’

= ~(xyz)+)-lO(y)-‘~(x)-‘,

C,(x, yz)Cg(y, z) = a(xyz)a(yz)-‘a(x)-lo(y’a(z)-‘.

Comme a(ylfr(z)-’ est central, il commute avec a(x)-‘, et on aboutit a

la relation de cocycle:

Co(xy, z)G(x, Y) = Ccr(X> Y~MY, 2)

(cette forme peu familiere aux habitues de l’algebre homologique est due a la nota- tion multiplicative dans le groupe abelien K).

De mCme la donnee d’un 2-cocycle C: G x G H K permet de definir une loi de groupe sur le produit G x K: (g, kl)(h, k2) = (gh, klkzc(gh)).

Les details de la demonstration sont laisds au lecteur.

On a de meme une action d’extension centrale universelle: si HI(G) = 0 (c-a-d. si G s’identifie a son sous groupe de commuta*reurs) alors on a une extension centrale universelle

(1) + Hz(G) + G -+ G + (1).

11 faut rappeler ici que cette construction joue un role essentiel en K-theorie algebrique, en particulier dans la construction du K2 selon Milnor comme noyau de l’extension centrale universelle du groupe engendre par les matrices elementaires infinies (cf Milnor [42]).

EXTENSIONS CENTRALES D'ALGkBRES 229

Les chases deviennent plus compliquees lorsque l’on veut considerer des groupes de Lie et non plus des groupes abstraits, par exemple il n’existe de section globale 0: G -+ G:, continue, car le fibre G --+ G n’est trivial.

Une possibilite consiste a regarder la cohomologie definie par rentiables a valeurs dans un groupe abelien topologique. C’est la logie diff&entiable due a Van Est [%I.

On a alors le resultat suivant:

pas necessairement pas necessairement

les cochaines diffe- notion de cohomo-

'II&OR&ME. H,&(G, A) classifie les classes d’isomolphisme d’extensions centrales de groupes de Lie

(1) + A -+ &’ --+ G ---f (1)

telles que I$’ soit diffkomorphe ci G x A (Kin Est).

On peut ensuite etendre cette theorie au cas topologique ou mesurable (resultats de Hochschild, Mostow, C. C. Moore, D. Wigner.)

Voir par exemple l’article de Stasheff [54] ou le livre de Fuks ([14], p. 237-251). Une theorie prenant en compte la possible non trivialite du fibre a CtC mise au point par G. Segal [51]: a tout G module topologique A localement contractible, on associe Hg(G.A). Si A est acyclique, alors Hi(G, A) = H~iff(G.A).

TH~O&ME (G. Segal). H,$(G, A) classifie les 2-classes d’isomorphismes d’extensions centrales de groupe de Lie

(1) + A + 2: + G ---) (1)

qui sont des jibrks localement trivkx.

l De telles extensions de groupes de Lie induisent de maniere naturelle des extensions d’algebres de Lie: il suffit de considerer la suite des espaces tangents en I’ClCment identite e+g+o oti

11 est alors facile

et on obtient une extension centrale d’algebres de Lie 0 -+ A -+

A = ToA( si A est un e.v.t., alors A N A ).

de construire le cocycle de l’extension d’algebres de Lie a partir de celui de l’extension de groupes. 11 suffit de “deriver” la loi de groupe indiquee ci-dessus. Soit C: G x G + A le cocycle de groupe, il lui est associe C: G x G I-+ A dCfini par la formule

230 C. ROGER

Ceci nous dtfinit une application

En general cette application n’est ni injective, ni surjective. La suite spectrale de Van-Est foumit des renseignements sur la cohomologie

differentiable; en particulier si G admet un sous groupe compact K c-t G tel que G/K soit contractible, alors

HtiB(G; A) N H”(G, K; d)

(cohomologie des cochaines basiques par rapport a K). Ceci permet de calculer la cohomologie differentiable pour tous les groupes “classiques” (cf Guichardet [15] et Haefliger [16]).

EXEMPLES ~L~MENTAIRES:

(1) Si G est un groupe de Lie semi simple d’algebre de Lie Q alors H2(G,IR) = 0 et H&&G, R) = 0, done toutes les extensions centrales de G et de G sont triviales;

(2) soit G = IR2 avec sa structure de groupe abelien alors 9 = !R2 et I12(6;R) = A~(W~*) = IR. L’extension centrale de groupe de Lie obtenue est alors le groupe de Heisenberg 3-1, defini par le cocycle C: R2 -+ W defini par C(s, y) = 1, C(y,z) = 0. On obtient alors la multiplication sur IR3 (2, y, z).(z’, y’, z’) = (z+z’, y+y’, z+z’+sy’). On retrouve la formule bien connue au niveau de l’algkbre de Lie.

2. Pourquoi Ctudier les extensions centrales?

La premiere motivation pour introduire cette notion a CtC les reptiwrtations projectives. Si G est un groupe, E un espace vectoriel, une representation projective de G est une application

p: G + GL(E) telle que PcwI2) = C(91> 92)Pbl)P(92)

avec C(gl, 92) E k* (de facon Cquivalente, p induit un homomorphisme de G dans PGL(E), le groupe des transformations projectives de E). On drifie Cldmentairement, en calculant p(glg2g3) de dew facons, que drifie une condition de cocycle

C(g1, g29 g3)C(g1,92) = C(g2, g3Mg179293).

D’autre part, on peut modifier p par une multiplication par un scalaire A: G H k*, sans changer la representation projective; p devient PA(g) = Xp(g) et on obtient un nouveau cocycle CA qui verifie

C~(SlT 92) = C(g1, gl)x-l(gl)~-l(g2)~(g1g2).

EXTENSIONS CENTRALES D'ALGeBRES 231

Les cocycles CA et C sont done cohomologues; en particulier si C est coho- mologue au cocycle trivial, la representation projective concemee est en fait une

representation lineaire. A chaque representation projective est associee une classe de cohomologie dans H2(G, k’), done une extension centrale de G de noyau k’.

(1) + k’ -+ G --+ G + (1).

On peut montrer le resultat plus precis suivant:

PROPOSITION. Les reprhentations projectives de G sont en bijection avec les rep& sentations lin&aires extensions centrales de G.

Dhzonstration: Soit F: G I-+ GL(E) une representation lineaire de G. Un Clement central de G opbre par la multiplication par un scalaire (resulte du lemme de Schur). On en deduit que si l’on a une section 0: G -+ %, alors p = i, o D determine une representation projective de G.

De meme le cocycle associe a une representation projective de G permet de construire une extension centrale, et la representation @(g, X) = Xp(g) pour (g, A) E Gx k* d&nit une representation lineaire de cette extension centrale.

Par consequent l’etude des representations projectives d’un groupe se ramene a l’etude des representations de son extension centrale universelle. Pour des resultats plus precis et des applications, voir Kirillov ([26, p. 245 sqq]).

Dans le cadre des groupes de Lie, on est amen& a Ctudier les extensions cen-

trales du type (1) --+ Cc’ + G -+ G --f (1) ou, si on impose aux representations d’etre unitaires, du type (1) -+ T + G + G -+ (1) ou T designe le tore de dimension 1.

Dans la representation de Schrodinger de la mtcanique quantique, les Ctats du systeme sont represent& par des fonctions d’onde 1c, appartenant a un certain espace de Hilbert W. Un groupe de symetrie G du systeme opbre sur cet espace de fonctions d’onde, I’interpretation probabiliste de la fonction d’onde implique que deux fonctions colineaires representent le meme Ctat quantique, il est done nature1 de considerer des representations projectives de G dans W. Le probleme de quantifier un sysdme classique dont on a mis en evidence le groupe de symetrie G consiste a trouver des representations projectives de G dans un espace de Hilbert approprie. Ceci explique l’ubiquite des extensions centrales dans les divers problemes de qu- antifications, les termes centraux representant les Ctats du vide. Ce point de we a CtC largement developpe; citons, dans un contexte geometrique, le celebre trait6 de J. M. Souriau [53].

l Une autre utilisation importante des extensions centrales reside dans leurs applications a l’etude des structures de Poisson sur les duaux d’algebre de Lie, que nous rappelons ici brievement.

232 C. ROGER

Soit Q une algebre de Lie. Notons 9* son espace dual, et ( , ) la dualite entre Q et 6*. Le groupe de Lie G opere sur 9 par l’action adjointe: pour g E G et X E Q, la formule Ad(g).X = $(gexptXg-l)t=s definit l’action adjointe de g sur X. De m&me si 5 E 6*; on pose

(Ad*@‘)& X) = 6 Ad(g).X)

pour definir I’action coadjointe. Remarquons que si 0 est munie d’une forme bilineaire invariante non dCgCnCrCe (par exemple, la forme de Killing d’une algebre de Lie semi simple classique ) alors 0 est isomorphe a 8’ comme espace 0i.1 G opere.

Pour un groupe G c-) GL(n, k) on peut identifier I’action adjointe a la conjugaison des matrices.

On peut s’indresser aux orbites de cette action; dans le cas lineaire ceci revient a Ctudier les classes de similitude des matrices. Un resultat fondamental est alors le suivant

TH~OR&ME (Kirillov-Kostant-Souriau). I1 existe SW chque orbite de la rephen- tation coadjointe une forme symplectique G invariante.

D&monstrution: Rappelons qu’une forme symplectique sur une variete differentiable est une 2-forme differentielle fermee de rang maximum.

l Soit 0 c--) G* une orbite de I’action coadjointe. Pour < E 0, notons Gc son sous-groupe d’isotropie et $ L) B l’algbbre de Lie de

ce groupe $ = {g E G/ Ad*(g).5 = <}, on a alors 0 = G/GE, et l’espace tangent a 0 en c s’identifie au quotient G/Gc. --

Notons X, Y les elements de TtO correspondant a X, Y E 9. On definit alors une 2-forme w sur 0 par la formule

-- w(~)(X, Y) = (<7 [X7 w-

On peut verifier facilement qu’elle definit une structure symplectique G invariante sur 0 (cf Kirillov [30] pour les details).

En particulier dw = 0 se deduit facilement de I’identite de Jacobi.

On peut aussi faire apparaitre ces structures symplectiques sur les orbites de l’action coadjointe comme les feuilles symplectiques d’une structure de Poisson dkfinie sur l’espace vectoriel E* tout entier. Rappelons qu’une structure de Poisson sur une variett est la don&e sur l’espace des fonctions differentiables sur cette variete, dun crochet de Lie, dit alors crochet de Poisson, et note {, } qui verifie les deux conditions suivantes:

(1) le crochet est local: c’est-a-dire quelles que soient les fonctions f et g. Support {f, g} c Support f II Support g.

EXTENSIONS CENTRALES D’ALGkBRES 233

(2) On a la relation de Leibniz

La structure de Poisson se definit de facon naturelle si on a une base de B soit

(Xi) et [Xi,Xj] = C&; Xk. On note (xi) la base duale et le crochet de Poisson s’ecrit alors

{f,g} = c ~%~x,. ijtaXiaXj

7 I

XI, E Q s’identifiant a une fonction lineaire sur O*. En particulier on a B L--) Cm@‘*) qui est une inclusion d’algebres de Lie. Comparons maintenant la representation coadjointe d’un groupe G et celle de

son extension centrale G, donnee par un 2-cocycle C: G x G ---t k*. On notera e l’extension centrale d’algebre de Lie correspondante et c le 2-cocycle associe.

Comme espace vectoriel le dual 6* s’identifie au produit 6* x k. Le groupe G opere naturellement sur le 2-cocycle C, par I’action coadjointe:

[L(g).C] (X, Y) = C(Adg-‘X, Adg-‘Y).

Cette action est triviale au niveau de la cohomologie done il existe I(g) E F tel

que

L(g)C - c = dI(g).

On obtient ainsi une application differentiable I: G -+ G*. On verifie facilement

que I E Z’(G, G*); (c’est le cocycle symplectique de J. M. Souriau (cf [53]). On peut Cgalement construire I a partir du cocycle de groupe C

W(X) = $47, exptX)lt=O.

On en deduit facilement I’expression de l’action adjointe de G sur !$

@4(X, a) = (Ad(g)X, I(g)(X) + 0)

D’ou la formule pour l’action coadjointe. Soit (5, X) E G* x k 2: $*

(E*(g)(E> 4, tX, 4 = ((5, A), (Ad(s)X, I(g)X + a))

= ((7 Ad(g)X) + (A, %7)X) + (44

= (Ad*(g)E,X) + N(g),X) + (&a).

Soit finalement

2*(&J, A) = (Ad*(g)< + Xl(g), A).

234 C.ROGER

En particulier on obtient une famille d’actions affines sur F indexees par le parametre X E k (appelee “charge centrale” dans la litterature physique)

Ad;(g).(S) = Ad*(dE + Wg).

La structure geometrique des orbites est profondement modifiee par la presence du nouveau terme. Le cas de l’algebre de Virasoro sera brievement decrit dans la suite.

EXEMPLE ~LI~MENTAIRE. Considerons G = IR2n muni de sa structure additive. Son algebre de Lie est G = II@” muni du crochet trivial. Les extensions centrales de D de noyau lR sont en bijection avec les elements de H2(G,IR) = A~@~~*). Prenons (Xi, Yi)i = 1.. . n une base de W2” et posons C(Xk, Y5) = 6;. On asso- tie a ce cocycle une extension centrale, appelee algebre de Heisenberg et notee

E2n+1

0 ---f IR --+ ti2n+l + iR2” -+ 0

un cocycle correspondant se definit au niveau du groupe

C(ak, bl) = exp(2krakb&J

les autres termes Ctant triviaux. On obtient ainsi le groupe de Heisenberg Hzn+t

(1) + T -+ &+t + R2” 4 (1).

Le groupe R2n &ant abelien, son action adjointe est triviale, et la formule ci-dessus nous donne

G*(g)(E, A) = (< + Xl(g), A).

Pour X = 0 les orbites sont done des points. Pour X # 0, la formule du cocycle montre que I(g) opere par translations sur IR2n, l’orbite de (E, A) est done l’espace

affine JR” x {A} c 'FI;,+1 = W2n+*. De plus, on obtient sur cet espace la forme symplectique canonique, multipliee par i.

3. Cohomologie adjointe et cohomologie A coefficients scalaires

Une methode frequemment utilisee, et qui joue un role unificateur dans les diverses extensions centrales que nous allons decrire dans la suite, repose sur une relation entre cohomologie a coefficients triviaux et a coefficients dans la representation coadjointe que nous presentons maintenant. Nous considerons le cas oh l’algebre de Lie $7 est munie d’une formule bilineaire symetrique invariante non degeneree, notee (,).

EXTENSIONS CENTRALES D’ALGGBRES 235

Nous notons E l’espace vectoriel sous jacent a 0, et considerons les algebres de Lie grad&es suivantes: soit A(E) l’algebre de Richardson-Nijenhuis sur E (cf [35],

[36] pour les details) et P(E) l’algebre de Lie graduee CtudiCe dans [36] associe A (E, ( )) espace muni de sa forme bilineaire. On a P”(E) = A~+~(E) et le crochet de Lie gradue est obtenu en prolongeant par derivation la for-me E x E -+ R vue comme P-‘(E) x P-l(E) + P-*(E).

Mentionnons pour memoire les interpretations supergeometriques de A(E) et P(E) comme algebres des champs de vecteurs, et des champs hamiltoniens respectivement sur le super espace de dimension (0, dim E) (cf Particle de Kac [23]).

Nous allons utiliser maintenant le formalisme des objets de car+ nul dans les algbbres de Lie grad&es, du a P. Lecomte [35]. La structure d’algebre de Lie de 6 est definie par une application bilineaire de E h valeurs dans E, qui induit un objet de carre nul C E A’(E). On peut definir d’autre part la notion d’invariance pour un Clement de Ah(E). On dit que y E A”(E) est invariant si l’application de @ak+*E + k definie par

(X0, Xl, * * *, xk, Xk+l) + (x0, -/(xl,. . . ,xk+l))

est antisymetrique. On notera A:(E) l’espace des elements invariants. On verifie aisement que

AI(E) = 5 A!(E) k=-1

est une sous-algebre graduee de A(E) (cf. [36]). Par hypothbse, la forme (, ) est invariante pour le crochet de Lie de Q, et done C E A:(E). On peut en deduire un morphisme nature1 d’algebre de Lie gradtrees (voir [36] pour des details sur la construction):

S: At(E) + Pk(E)

defini par S(A)(xO, . . . , &+I) = (x0, A(_&, . . . ,&+l)).

Alors 6 = Q(C) definit un objet de car& nul dans P’(E) = A3(E*); les actions adjointes de C et C munissent alors A(E) et P(E) de differentielles de carre nul; on retrouve ainsi les cochaines invariantes sur 0 a valeurs dans la representation adjointe et dans la representation triviale respectivement:

(Cf(G, G),d) g (A!-‘(E), ad(C))

(C”(0, k), d) g (P”-*(E), ad(C)).

D’oii l’application en cohomologie

Qk: II;@, 0) + Hk+‘(6, k).

236 C. ROGER

Remarquons que pour D semi-simple de dimension finie, le crochet de Q engendre #(G’,G), et on retrouve le gerkrateur bien connu de H3(G’,k) par l’image via 3”.

Nous nous interesserons plus particulierement au cas k = 1

S1: H;(G, G) + H2(0, k)

- Une classe D E Hi(G, 0) est donnee par une derivation exterieure de E que nous noterons encore D; la classe de C?(O) est alors representee par le 2-cocycle

CdX, y> = P(x), Y).

De nombreux cocycles consider&s dans la suite proviennent de cette construction.

4. L’alghbre et le groupe de Virasoro

Nous detaillerons ici leurs construction et leurs princiales proprietb, a cause dune part de leur importance historique comme prototype d’algebres et de groupes de dimension infinie, et de leur role essentiel tant en geometric qu’en physique theorique et theorie des representations.

Soit Diff+(S’) le groupe des diffeomorphismes du cercle respectant l’orientation et a(S’) l’algebre de Lie des champs de vecteurs tangents a S’.

Le crochet de Lie dans a(/?‘) s’ecrit [f&,&l = (fg’ - gf’)& ou f et g sont des fonctions sur le cercle. 11 est bien connu que a(Sl) peut s’interpreter comme l’algebre de Lie du groupe de Lie-Frechet Diff+(S’): si cps E Diff+(S’) est un groupe a un parametre avec cpa = Id, alors -&s(~~(t)ls=a determine un champs de vecteurs dans a(S’). Rappelons cependant que l’application exponentielle ne permet pas de parametrer un voisinage de l’identite dans le groupe Diff+(S’) (cf l’article de R. S. Hamilton [IS]). On peut considerer la base {ej}jC.z de a(S’) donnee par les polyndmes trigonometriques:

ej(t) = f exp(ijt)i.

a($) contient alors une sous algebre partout dense engendree par les com- binaisons lineaires finies des ej. Nous noterons L cette algebre, appelee parfois algebre de Witt. Dans cette base, le crochet s’exprime de facon particulierement simple

[ei,ej] = (j - i)ei+j.

Remarquons encore que le complex&Z Lc de L s’identifie a l’algebre de Lie des champs de vecteurs sur @* dont les coefficients sont des polynomes de Laurent, le terme ej correspondant au champ de vecteurs Z’j+’ &.

EXTENSIONS CENTRALE S D'ALGkBRES 237

On a alors le resultat suivant

TI&OR&ME (Gelfand et Fuks, 1968). H2(u(S1);R) est de dimension 1 et engendri

par le cocycle

L’extension centrale universelle’ de a(S’) est alors appelee algebre de Virasoro et notee Vir

0 + W + Vir + a(P) --+ 0.

Le crochet de Vir s’ecrit done, si l’on note e le vecteur de base du centre.

Dans les articles de physique, on considere plutot I’extension centrale de L, notee e: O-R-i-L+O.

L’apparition de cet objet en physique theorique (modbles duaux dans les cordes bosoniques) remonte a l’article de Virasoro en 1970 [59]. Dans la base des (ei) le cocycle s’ecrit c(ei, ej) = (i3 - +5-j.

Un fait remarquable est que ce cocycle peut s’integrer au niveau du groupe. 11 existe un cocycle, dQ a Bott et Thurston ([7]) dans la 2-cohomologie differentiable de Diff+(Sl) dont la derivee donne celui de Gelfand-Fuks.

A cp E Diff+(S’) est associee la fonction pY sur le cercle definie par cp*(dt) = plpdt

oii dt designe une forme volume sur le cercle.

Remarquons que pip > 0.

Le cocycle s’ecrit alors C(cp, $) = Jsl logpu,d logp(,,+). 11 faut comprendre ici cohomologie differentiable dans

cochaines consistent en des operateurs multidifferentiels en

le sens suivant lequel les

les diffeomorphismes consider&. C’est un exercice facile que de verifier que la dtrivee de C(cp, T,!J) donne le cocycle de Gelfand-Fuks.

On montre ainsi que H~(Di@(S’),R) -+ H2(u(S’), R) est un isomorphisme.

Comme d’autre part le resultat d’Herman ([19]) montre que H’(Di&(S’),R) = 0, on a une extension centrale universelle de Die($) que nous appellerons groupe de Virasoro.

0 ---f W --+ %?(S’) + Diff+(S’) + 0

la loi de groupe s’ecrit (f, u) 0 (g, b) = (f o g, a + b + J’l logpYd logpPO+).

l11 est ClCmentaire de voir que H1(a(S1); W) = 0.

238 C. ROGER

Rappelons le role joue par ce cocycle dans la theorie des classes caracteristiques des feuilletages: si l’on a un fibre en cercles E ---t W muni d’un feuilletage transverse aux fibres, le groupe structural se reduit a Diff+(Sl) muni de la topologie discrete.

On a done un cocycle localement constant ui n uj E Diff+(S’) sur un recouvrement ouvert U = (ui) de W. Ce cocycle permet de definir une application au niveau des cochaines de eech

C2(Diff+(S’); W) --+ C2(U, IR),

C -+ Y(C),

Y(C)i;k(x) = C(%j(z), ?‘jk(x)).

On verifie facilement que cette application est un morphisme de complexes et ne depend pas du choix du cocycle; on obtient un morphisme caracteristique

H$(Diff+(S1); W) + H2(W, R),

[Cl -+ MC)l.

La classe de cohomologie [r(C)] obtenue nest autre que l’invariant de Godbillon- Vey du feuillage de l’espace total E, integre le long des fibres (cf Haefliger [16] ou Fuks [14] pour un panorama de la theorie des classes caracteristiques des feuilletages) le cocycle de Bott-Thurston a d’ailleurs CtC ClaborC dans le but d’etudier les classes caracteristiques des feuilletages. Nous allons maintenant decrire divers exemples d’algebres de Lie munies d’extensions centrales et mettre en evidence certains phenombnes communs.

5. Alghbres de courants et algkbres de Kac-Moody

Si 0 est une k algebre de Lie de dimension finie et A une k-algebre commutative et associative, on leur associe une algebre de courants: sur l’espace G @k A, on a le crochet [Xt 8 al, X2 @I u2] = [Xl, X2] 8 ataz. On nOtera GA = G @k A. Si A est la k algebre N = C”(V) des fonctions differentiables sur une variete V, l’algebre de courants 6 @k N s’interprbte geometriquement comme l’algebre de Lie des fonctions differentiables sur V h valeurs dans G, avec le crochet defini

ponctuellement: [f, g] (2~) = [f(z), g(2)] on notera E @k N = &. On a de meme le groupe de jauge Gv dont 6~ est l’algebre de Lie: c’est groupe des fonctions differentiables sur V B valeurs dans G avec le produit ponctuel (f.g)(z) = f(s)g(z);

il est facile de demontrer que & est l’algebre de Lie de Gv. Pour une description generale des theories de jauge, voir [5] ou [lo], [47] pour les aspects cohomologi-

ques. Pour le cas oti l’algebre de Lie 0 est semi simple, le probleme de l’extension

centrale a CtC resolu dans un cadre purement algebrique par S. Bloch [6], ce resultat a CtC repris et generalise dans le formalisme de la cohomologie cyclique par divers

EXTENSIONS CENTRALES D’ALG&BRJZS 239

auteurs, notamment Loday et Quillen (cf Loday [40]). 11 est facile de demontrer que si &! est semi simple, alors GA est parfaite.

On a une extension centrale universehe

HCl(A) designe ici le premier groupe d’homologie cyclique de la k algebre A. Le 2 cocycle de l’extension est don& par la formule

C(X@a,Y c3b) = K(X,Y)[a@b]

ou K(X, Y) designe la valeur de la forme de Killing de G en X et Y et [u 18 b] la classe du 2-tenseur a @J b E A @ A en homologie cyclique.

Done &&A) = HCl(A) et H*(G,&k) = H@(A). Dans le cas oti A = N = C”“(V), HCl(N) = L?l(V)/dN (cf Connes [9], Loday

[40]), I’isomorphisme &ant don& par [f 8 g] + fdg. Pour Qv l’extension centrale universelle s’ecrit:

0 + f?(V)/dN -+ & -+ Qv --+ 0

avec le cocycle C(f,g) = K(f,dg) pour f,g dans &.

(Remarquons que K(f, dg) + K(cZf,g) = d(K(f,g)) = 0 dans R’(V)/dN et le cocycle est bien antisymetrique, en depit des apparences).

Dans le cas oti A est muni dune forme bilineaire symetrique (a, b) + (a/b) invariante au sens que (a+) = (a]&) et non degCn$rCe, alors GA est isomorphe a son dual et les considerations precedentes peuvent s’appliquer; on a une applica-

tion #(GA I GA) -% H*(GA; k) (G est toujours supode semi simple). 11 est facile de montrer que H#A, GA) = Der(A) l’espace des derivations de I’algebre associative A, et l’application S s’identifie a I’application de la cohomologie de Hoch- schild de A vers la cohomologie cyclique: ‘3: Der(A) = HIT’(A) --) HC’(A) (cf [40,

261). Dans le cas oti A = C”“(V), k = IIt, le choix d’une forme volume permet de con-

struire une forme symetrique, invariante et non degCnCrCe. Dans ce cas Der A = a(V) l’algebre des champs tangents a V et on peut expliciter I’application S.

9: HH1(A) = a(V) + HC1(A) = Hom(@(V)/dN, R)

3(X)((Y) = J cr(X)w. V

Si V = S’, alors @(V)/dN = R, la classe &ant engendree par la forme volume; l’application 9 est alors la sujection naturelle a(,S’) --f W definie par ei + 0 si i # 0. On obtient dans ce cas l’algebre de Kac-Moody afhne non tordue associee a l’algebre

240 C. ROGER

semi simple g:

Le cocycle est donne par C(f, g) = Jsl K(f, g’)dt.

l Comme pour l’algebre de Virasoro, on prefere souvent considerer l’algbbre des

polynomes de Laurent a valeurs dans Q soit 6 @a c [Z, Z-‘1 qui est contenue dans Qsl @in c comme sous algebre partout dense; le cocycle s’ecrit alors

C(X @ 9, Y @ Zj) = jC(X, Y)6$.

On peut construire un cocycle analogue au niveau du groupe (cf Pressley et Segal

WI)*

6. L’algsbre des opkrateurs pseudo-diffkrentiels sur le cercle et ses sous-alghbres

Les resultats que nous developperons ici sont dus pour l’essentiel a Khesin, Krav- chenko et Radul [28, 481.

Soit N = Cm(S’); nous appellerons algebre des operateurs pseudo differentiels sur S1 et noterons T,!JDO(S’) l’espace des series formelles du type

4~5) = 2 +$ti avec ai E N i=_m

on d&nit une multiplication associative par

On verifie directement l’associativite de cette multiplication. On considerera Cgale- ment la structure d’algebre de Lie obtenue par antisymetrisation du produit.

L’algbbre des operateurs differentiels DO(S1) est la sous-algebre associative des polynomes a coefficients dans N du type c,“=,an(s)<n.

En remplacant le symbole c par & on retrouve bien la structure traditionnelle des operateurs differentiels lineaires sur le cercle. Enfin l’algebre des champs de vecteurs tangents a S’ s’identifie a la sous algebre de Lie (et non associative, Cvidemment) des operateurs differentiels d’ordre 1 sans terme d’ordre 0. On a finalement des inclusions d’algebres de Lie:

a(9) + DO(Sl) -+ ?/DO(Sl).

L’algebre de Lie $DO(S1) admet une contraction sur une algbbre de Poisson. Plus precidment soit & l’endomorphisme de +DO(S’) defini par &(ai(x)ti) = ai(x)ti-‘fi; si t # 0, & est un isomorphisme. Notons [, 1, le crochet transpose par &, soit


[X, Ylt = 4;’ [c&(X), &(Y)J. 11 est isomorphe au crochet de depart. On voit facilement que [A,B], = $$g - $$$$ + t(...).

L’algebre contractie par & est celle obtenue sur le mCme espace par la limite

de [, It quand t --f 0, soit [ I,,; on a [A, B], = $f $$ - $$ $f: c’est bien le crochet

de Poisson sur C~(T2) (ou plus rigoureusement sur une sous algebre de C”(T2)). On peut done considerer $OO(S’) comme algebre de Lie deformee de l’algebre de Poisson de Cm(T2). C’est une interpretation “quantique” possible pour cette algebre d’operateurs pseudo-differentiels.

On definit le residu (generalise): $DO(S’) Y N par res(C,N,_oo u&) = a-1. Ce residu permet de definir la trace d’Adler:

Tr : ?@O(Sl) -+ Ic,

Tr(A) = s res(A)dx.

s’

Un calcul Clementaire montre que Tr(AB) = Tr(BA) ce qui justifie l’appellation: On peut ensuite montrer par recurrence que la forme bilineaire symetrique definie par (A, B) = Tr(AB) est non dCgCnCrCe.

Si B est tel que Tr(AB) = 0 quel que soit A alors Tr(f(x)A) = 0 quel que soit f E N done Jsl f(x)b_l(x)dx = 0 quel que soit f(x) ce qui implique b-1 E 0; on pro&de de mCme avec les terms du types f(x)<?’ pour montrer de proche en pro- the la nullite des bi. La trace induit aussi une forme invariante sur l’algebre de Lie @DO(S’):

([A, B] , C) = Tr(ABC) - Tr(BAC) = Tr(CAB) - Tr(BAC)

= Tr(BCA - BAC) = Tr(B, [C, A]) = -(B, [A, Cl).

Nous sommes done dans le cas d’application des msultats du 53, et on a done

une application Hj($DO(S’); $OO(S’)) 2 H2(~DO(S’); Ic). Remarquons que la cohomologie et l’homologie de Hochschild des algebres d’ope-

rateurs pseudo differentiels ont CtC calculees par M. Wodzicki [62]; il s’agit ici de cohomologie au sens des algebres de Lie.

On a le resultat suivant [28].

THQORBME. DimH1($DO(S1), TJJ,OO(S’)) 2 2 et dew ghhzteurs explicites sont donnb par Ad(x) et Ad(LogJ).

On peut ajouter a +DO(Sr) les variables x et log< et calculer les commutateurs formels

Ad(x)(A) = x o A - A o 5,

Ad(Log t)(A) = Log 6 o A - A o Log <.

242 C. ROGER

On a pour tout A E ~+!~oo(s’),Ad(z)(A) et Ad(LogJ)(A) E $OO(S’) et ce sont Cvidemment des dkrivations externes.

Un calcul simple montre que

[Lag, A] = 2 5 ‘-‘j*-’ aku;t~ti-k, k=l i=-m

[z,A] = - 2 iai(z)<‘-‘. i=_m

On peut dkmontrer que ces 2 cocycles donnent dew classes linkairement indkpen- dantes dans H2(@DO(S1); k), soient Q(Ad(log<)) = Cl et S(Ad(z)) = C2. On a done

TH~OR~ME. Dim H2(@DO(S1); k) 2 2.

Le cocycle Cl s’Ccrit done

Cl(A, B) = s Res(Kog(<), Al, B)dz. s’

On peut dkmontrer directement la non trivialit de ce cocycle en Ctudiant son image rCciproque par l’application canonique I: a(9) + $DO(S’).

PROPOSITION. Le cocycle I*(Cl) esr igal au cocycle de Virasoro ri une constame ph.

Ddmonstration: 11 suffit de calculer la formule prkddente dans le cas oti A = a(z)E et B = 6(x)c sont dans a(S2). On a

[Log((), A] = 2 q !??$<I-k k=l

et done

ce qui montre le rksultat.

On voit par contre immkdiatement que I’(C2) est identiquement nul. Ce rksultat implique Cgalement que la restriction de Cl ti l’algkbre des opkrateurs diff&entiels est non triviale. Si on note I’: DO(S’) -+ $DO(S’) l’inclusion canonique, on obtient pour I’(G) la formule suivante


Ce cocycle, Ctendant celui de Virasoro a l’algebre des operateurs differentiels, a CtC mis en evidence independamment par Kac et Peterson, A. Radul et C. Kassel [24, 48, 261. Le calcul de H&(I)O(S1),DO(S1)) a CtC fait explicitement par Wang-Lai-Li

dans [60]: on a dimH&(DO(S’), DO(S’)) = 1 et l’extension centrale donnee par le cocycle ci-dessus est bien universelle.

Diverses generalisations du cocycle 15’1 se trouvent dans Particle de Bakos, Khesin et Kiritsis [4].

* La espuces duuux: ce plongement de l’algebre de Virasoro dans $DO(S’) permet de d&ire explicitement son dual: de a(S) c-) $JDO(S’) et de l’isomorphisme de dualite @IIO(S’)* + $OO(S’), on deduit que a($)* s’identifie a l’espace des den-

sites quadratiques sur le cercle: a(S’)* = {am} avec p E IV}, l’homomorphisme de dualite induit par le residu s’ecrit alors:

On deduit ensuite facilement l’action coadjointe de Diff(S’); c’est l’action naturelle du groupe des diffeomorphismes sur l’espace des densites, que l’on determine a l’aide de la formule ci-dessus: si

cp E DW’)7 Ad*(cp) [Pi] = P(~WP'~WW)~.

La methode decrite dans le 52 permet ensuite de calculer l’action coadjointe du groupe de Virasoro L%ff(St) sur (Vir)’ = a(S’)* @ R. I1 faut Cvaluer le 1 cocycle

I: Diff(S’) 4 a(S)* obtenu par derivation partielle du cocycle de Bott-Thurston. Un calcul laborieux mais direct, montre que

I(p) = S(cp)op-’ oh S(cp)= (2$-3($)2](&)’

designe la derivee Schwarzienne de cp (voir [44], [31] pour des details sur la derivee Schwarzienne). L’action coadjointe du groupe de Virasoro s’ecrit finalement (le centre operant trivialement)

fi*((p)(p(dt)2, c) = [ [pd2(W2 + cS(cp)] 0 P-‘, c] . Cette formule est a la base de la classification des orbites de l’algebre de Virasoro, due a Kirillov [31] et a Witten [61].

Remurque sur la dkrivt!e Schwurzienne (ces remarques sont dues a E. Ghys que l’auteur remercie ici): On peut essayer de classifier les l-cocycles du groupe

244 C. ROGER

Diff(S’) a valeurs dans une representation naturelle M, et qui ont des proprietb de “differentiabilite”: ils ne dependent que des jets d’ordre fini du diffeomorphisme.

Soit done C: Diff(S’) -+ M tel que C(gh) = C(g) + g*(C(h)). Soit K = {g E Diff(S’)/C(g) = 0) on verifie immediatement que K est un sous

groupe, l’hypothese de differentiabilite implique que K est un groupe de Lie de dimension finie. Les sous groupes de Lie de Diff(S’) sont connus, ils se deduisent du plongement: PSL(2, R) L) Diff(S’) defini par

(1 i) + (t + $$) grace a l’identification S’ z P’(W).

Soit

Cl: Diff(S’) -+N donne par Cl(q) = Log(cp’)

C2: Diff(S’) -Q’(S’) donne par C2((p) = dLog(cp’)

Cj: Diff(S’) +F2 (espace des densites d’ordre 2) donne par

G(P) = S(P)

(on commet ici l’abus traditionnel consistant a identifier le diffeomorphisme du cercle

et son releve a la droite rkelle) on a Ct(cp o $) = Cl(p) o 1c, + Cl(Q)

C2((P 0 7L) = (C2(Jo) 0 d+P’ + C2(ti) C3((P 0 ti) = (C3C’p) 0 tw2 + C3($).

On verifie ensuite facilement que Ker(Ct) s’identifie aux translations, Ker(C2) aux transformations affines et Ker(Cs) A PS&(W) tout entier. Ces cocycles decrivent toutes les possibilites de cocycles non triviaux de Diff(S’).

Si T E PSL(2,W), on a done S((p o T) = S(p). Cette invariance projective est a l’origine des proprietes geometriques, et analytiques de la derivee Schwarzienne.

7. Gk&alisations holomorphes des alg&bres de Virasoro et de I&-Moody (d’aprk

Krichever et Sheinman)

La complexification de l’algebre de Virasoro, Virc = { 2’ &/i E Z} s’interpre- te comme l’algebre des champs meromorphes sur la sphere de Riemann ayant des zeros ou des poles en 0 et 00, la restriction au cercle unite pet-met de retrouver l’algebre des champs tangents au cercle.

L’idee de Krichever consiste a generaliser au cas d’une surface de Riemann quelconque. Soit r une surface de Riemann de genre g, avec P+ et P- deux points distingds; on considere Lr l’algebre des champs meromorphes sur r, holomorphes en dehors de P+ et P_. Le theoreme de Riemann Roth permet de calculer les dimensions des espaces de champs meromorphes en fonction des ordres des zeros et des poles en P+ et P_. Soit 90 = F, on note e, le champ qui a un zero de multiplicte (i - 90 + 1) en P + et un p6le de multiplicite (i + gr, - 1) en P_.


Ce champ ei est determine de facon unique modulo scalaire par les conditions (*)

ci-dessous:

(*) ei = a+zNlo z +’ 1 + O(Z))a au voisinage de P+, ( dZ

ei = a;lz-i-go+’ (1 + O(Z))& au voisinage de P- .

Si g est pair, i varie dans Z; si g est impair i est demi entier.

Pour g = 0 on retrouve bien I’algebre d&rite precedemment. Les conditions (*) caracterisant les champs de Lr au voisinage de P+ et P- permettent de calculer le crochet de Lr dans la base ei, et on trouve:

[ei,ej] = C C,Bjei+j-s avec Cfj = (j - i). s=-go

On note Lc (resp. Lf) la sous algbbre engendree par les ei avec i > go (resp. i < -go) et L[ le sous espace engendre par les ei avec Ii1 5 go.

On a alors une decomposition en somme directe Lr = Lf @ L[ CB Lf, analogue a celle de Virasoro. Des considerations analogues vont permettre de construire des extensions centrales, soit 0 l’espace des formes meromorphes sur r, dont les singularites sont concentrees en Ph et w: Lr x Lr -+ 6’ defini par

-(f& gi) = (f’/g’ - f’g”)dZ.

On a

w ([f&s-&] A;) = [(fg’ - f’g)“h’ - (fg’ - f’g)‘h”] dz

= [f ‘g”h’ _ f lfg’h’ + f g”‘g’ _ f “‘g/,,’ _ f g”h” + f “gh”] dz_

On en deduit aisement &c,w([f g,g&] , h&) = 0 et w est done un 2-cocycle sur

Lr ti valeurs dans le Lr-module 0.

On peut obtenir ensuite des extensions centrales en composant ce cocycle avec des “traces”, c’est-a-dire des operateurs Lr-invariants de R a valeurs dans UIZ; de tels operateurs sont obtenus par integration sur des lacets ne passant pas par les points singuliers, ils ne dependent que de la classe d’homologie du lacet consider& en effet &(f”g’ - f’s”) = 0 et w est done fermee dans r - {P+, P_}. Par consequent SC w = Jo, w si C et C’ sont homologues dans I’ - {P+, P_}. Si C est un tel lacet

246 C. ROGER

on obtient un cocycle non trivial

XC (1:,9:) = d (f”g’ - f’g”)dz (ou bien wXc(ei,ej) = ,J w(ei,ej)).

A chaque classe de Ht (T - {P+, P_ }) est associee une extension centrale de Lr . On peut conjecturer que ce sont les seules.

CONJECTURE. On a H2(Lr,C) = Hl(T - {P,, P_};C) = C*@‘.

11 faudrait pour l’etablir dkelopper une version holomorphe de la cohomologie de Gelfand-Fuks pour les champs tangents a une surface de Riemann (si g = 0, l’assertion ci-dessus se reduit au theoreme de Gelfand-Fuks) ou bien prodder de facon purement algebrique a l’aide de la formule ci-dessus pour [ei, ej] . Mais en aucun cas des “calculs standards” ne sont suffisants, contrairement a l’affirmation de

([33, p. 1341). Le fait remarquable est que ces algebres Lr peuvent se plonger dans a($) comme

sous-algebres partout denses: soit S1 J+ r - {P-, P+} un plongement la restriction a i(S’) definit un plongement de Lr dans la complexifiee ~(5”) @J C.

Ce plongement a une image partout dense ([33, Theo&me 1, p. 1281). La restriction des cocycles XC donne soit l’extension triviale, soit celle de Virasoro.

Dans [33] les auteurs exploitent ces constructions pour obtenir des representations de ces algebres (modules de Verma) analogues a celles bien connues pour Virasoro.

Une construction du mCme type, due a 0. Sheinman, permet de generaliser les algebres de Kac-Moody; on considbre les algebres de courants meromorphes sur une surface de Riemann: plus precidment soit A r l’algebre des fonctions meromorphes

sur T avec des poles en P+ et P- et Q une algebre de Lie simple. Soit Gr = 6 @c Ar muni du crochet [X 8 f, Y @I g] = [X, Y] 8 fg, l’algebre des

courants meromorphes sur r. On decrit un cocycle y: Qr x Gr H 0’ par

Y(X @ f, y 8 9) = (X7 Y)f&

ou (X, Y) denote la forme de Killing de G. Comme &(fdg) hors de P+ et P_, la 1 forme obtenue est fermee hors de P+ et P_ et son integrale curviligne ne depend que de la classe d’homologie du lacet dans r - {P+, P_}; si Cl . . . Czg+t constitu- ent une base de Ht(r - {P+, P-}) on obtient (29 + 1) cocycles independants dans H*(Gr, C) par les formules yc,(X @ f, Y 18 g) = J,, (X, Y)fdg; i = 1,. . . ,2g + 1.

On obtient ainsi une extension centrale

0 -+ P(r - {P+, P-}, C) -+ Cr ---f Gr ---) 0

appelee algebre de Lie affine sur la surface r dans [55, 561.

en


CONJECTURE: Cette extension centrale est universelie.

La conjecture devrait rCsulter des travaux de S. Bloch et de Loday-Kassel, mettant relation ces extensions centrales et l’homologie cyclique, qui ont CtC mention&

plus haut. La demonstration de conjecture nkcessite le calcul de I’homologie cyclique de Ar et est kquivalente g HC,(Ar) = H’(T - {P+, P_},@).

8. Les ghiralisations superalgkbriques de I’algkbre de Virasoro

Rappelons qu’une superalgkbre de Lie est un espace vectoriel Z/22 grad& G

= & $81 muni d’une application bilidaire: G x G k! 6 vkrifiant

(I) [Gi,6’j] C Gii+j; i,j dans z/22;

(2) [X,Yl = (-I) IxIIyI+’ [Y, X] (antisymktrie gradde); (3) &.+, ,)(-l)lxllzl [[X,Y], Z] = 0 (identitk de Jacobi grad&e), on note pour

X E G son fiegrk par (XI. En explicitant les axiomes, on voit facilement que GO est une algkbre de Lie. Le

crochet &, x & -+ El fait de &?I un &-module, et que le crochet Q1 x & --+ GO est un invariant symktrique de Go. 11 faut mentionner ici I’article fondamental de V. G. Kac

sur les superalgkbres de Lie ([23]). Le problkme est de dkterminer les superalgkbres de Lie telles que &I soit I’algkbre

de Virasoro. Un probEme lkgkrement plus gCnCra1 a CtC rCsolu dans [25], sous le nom de classification des algkbres “superconformes”, par V. G. Kac et J. W. Van de Leur, compktant et rectifiant des travaux de B. L. Feigin et D. A. Leites [12]. Nous don-

nons ici les principaux points de cette construction: On considkre la supervariCtC SIIN associke au cercie S’ et g N E N: les fonctions sur S’jN forment une superalgebre associative F’lN = C”(S’) 8 A(N) oh r\(N) dksigne I’algkbre extkrieure sur les N variables 01, . . . , 6~; I’algbbre F1lN est grad&e par degrC f = 0 si f E Coo(S’), et degrt (0i) = 1, i = 1,. . . , IV.

L’algkbre des dkrivations de F’lN est notCe W(N); chaque ClCment de W(N); chaque ClCment de W(N) s2crit sous la forme D = P& + C,“=, P&J, avec PO et P, dans F’lN. On dkfinit la divergence par

Div(D) = 9 + fJ-l)d’P.~. i=l

* On va s’intkresser g plusieurs sous algebres de W(N)

S(N, a) = {D E W(N)/ Div(PD) = 0) pour Q E @.

Pour E=(cI,...,cN)EZN on pose W, = dt - CE, t”&d& c’est une I-forme de contact sur la supervariCtC S ‘iN On peut considkrer les algkbres de champs de contact .

assock%.

248 C. ROGER

K(N, E) = {D E W(N)/D(w,) = Pw, pour un certain P E A(N)}. Ces algebres sont appelees algebres SO(N)-superconformes par certains auteurs. Pour N = 1, ~1 = 0 on obtient l’algbbre de Neveu-Schwarz et l’algebre de Ramond

pour 61 = 1. La classification des extensions centrales des superalgebres de Lie se fait su-

ivant un formalisme analogue a celui des algebres de Lie, convenablement “su- perid”.

Les extensions centrales sont classifiees par les H2(G, Ic), la cohomologie de la superalgebre Q se calculant a partir des cochaines antisymetriques grad&es:

C(X,Y) = (-1) IxllyI+lC(Y,X) pour X et Y dans g, la condition de cocycle de cohomologie se mene a bien en utilisant les proprietes de filtrations par le degre des algebres concemees, et de reduction par rapport a une sous algebre abelienne (cf. le livre de D. B. Fuks [14]).

Les calculs de [25] montrent que H2(W(N), W) = 0 si N 2 3 et H2(W(N),R) = 8% si N = 1 ou 2.

Pour N = 1, on peut decrire un cocycle engendrant la classe grace a une base appropriee

(Yk = tk+‘&, ek = t”+‘o&, d’, = tkeae, e; = tka,,

C(d’,, d;) = 2k6,l, C(d;,dl) = k2S,‘, C(ek,el) = -AT~S,~.

On peut Cgalement classifier les extensions centrales de K(N, E); on a

H2(K(N, E), R) = 0 si N > 4 et H2(K(N, E);W) = R si N 5 4. Nous decrirons une forme explicite du cocycle dans le cas N = 1. Comme espace vectoriel K(N, E) s’identifie a r\(N) muni du crochet ci-dessous (super crochet de Legendre, analogue a celui des varietes de contact).

{f,g} = (2.f - e$) (2 - +%es) - (29 - 82) ($ - $-lce$) +

+ (_1)Wt-‘df ds de de’

On se limitera aux cas E = 0 et E = 1 car un changement de variables du type

0 -+ tk8 permet de s’y ramener. Dans la base t”, et” le crochet s’ecrit

1 {t”, tl} = 2(1 - Ic)tl+“-1 7

I {et”, et”) = -tk+l--e,

{tk, et”) = etk+‘-l(22

Go s’identifie a l’algebre a($) et G1 est un Go de [14], G1 = +++.

- k - $).

module naturel. Dans les notations

EXTENSIONS CENTRALE S D’ALG&BRES 249

Le cocycle est donne par les formules suivantes:

[

C@, et’) = 0,

C@“, tl) = [(k - 1)3 - (k - I)] &+I,o,

C(&“, et”) = [(k + & - 1))2 - $1 f5~+&l_c,o.

Pour E = 0 on retrouve bien l’algebre de Neveu-Schwarz dont les elements peuvent se rep&enter par les super champs de la forme X(t) = f(t)& + cp(t)(&)‘/*. Le crochet de X(t) avec Y(t) = g(t)at + $(t)(&)‘/* s’ecrit alors

[X(07 YWI = [fW&) - dW’ w] + v(W(Wt +

-I- [fww - ;whf’(~) - gwP’(t) + ;cpww] @Y2

le cocycle C a la for-me suivante

C(X, Y) = J f”‘(t)g(t)dt + J cp’(t)+‘(t)cit.

S’ S’

Pour 6 = 1 c’est l’algebre de Ramond qui admet une presentation geometrique analogue.

Les resultats complets de classification de ces superalgebres et de leurs extensions se trouve dans ([, Thm 4.11). L’Ctude des extensions centrales des superalgebres associees a l’algbbre des operateurs differentiels, qui donnent par restriction les extensions ci-dessus, est due a A. Radul [48].

9. L’algkbre des champs de vecteurs hamiltoniens

Soit V une variete de dimension 2n munie dune forme symplectique w E L?*(V), IFI designe l’algebre de Lie des champs de vecteurs hamiltoniens: on a X E ‘H(V) si i(X)w est une forme exacte (certains auteurs appellent ces champs globalement hamiltoniens). On construit alors une suite exacte d’algebres de Lie

0 --+ R -+ iv J ti(V) + 0. (*)

L’application T est donnee par r(f) = Xf oh Xf est le champ de hamiltonien f defini de faGon unique par i(Xf)w = df. La structure d’algebre de Lie sur N est donnee par le crochet de Poisson. Les constantes Ctant Cvidemment centrales, cette suite constitue une extension centrale.

Si V est compacte, on vkifie facilement que cette extension est triviale. On peut construire une scission explicite a l’aide de la forme volume: soit G = wn cette forme volume et posons I: N + W defini par

I(f) = J fG. V

250 C.ROGER

On a alors

I(U,s]) = J (Lx,!+ = J Lx,(N) = 0. V V

Done {IV, IV} = Na = {f/ Jv fG = 0). D ‘oti N = NO $ R comme algbbres de Lie et T/NO est un isomorphisme: NO + ‘H(V).

Par contre, si V est non compacte, l’extension est non triviale: par exemple si V = R*” muni de la forme canonique, on a 1 = {pi, qi}, d’oti N = {IV, IV}.

Dans le cas compact, on peut classifier les extensions centrales de NO, ou de ti(V), ce qui est equivalent. Remarquons que No est munie d’une symetrique invariante non dCgCnCrCe K(f, g) = St, fg(;l. L’invariance diatemqnt:

K({fnh],g) + K(f, 1% h]) = J if% h]G = 0. V

On peut alors prodder comme dans le §3: on a

5%: H#a, No) --$ II*@vo, R).

THI~:ORI?ME. On a H*(No, W) = HbR(V). Une forme ferrnte (Y E 2-cocycle b coeficients scalaires

Ya)(f, 9) = J fw,)w. V

forme bilineaire se verifie imme-

Q’(V) induit un

La demonstration detaillee de ce resultat est a paraitre dans. [37]. Ces travaux ont trouve leur motivation dans les travaux de Kirillov sur les representations de No dam le cas oti V = T* (cf. [32]). L’auteur y affirme sans demonstration le resultat du theorbme ci-dessus. Le theoreme provient en fait de ce que

Hj(No, No) = @(No, No) = &R(V).

Si V = ‘II’*, on peut donner une demonstration Clementaire et calculatoire du

theorbme a l’aide de developpements de Fourier: si on pose en,m = expi(nz + my),

alors (en,d(,,,)~~~--(O,O~ est une base de NO et le crochet de Poisson s’ecrit

{e n,m7ep,ql = 11 L lepln. q+m

et K(e,,,, ep,q) = blip, m+q. On peut alors montrer facilement que tous les 2-cocycles sont du type

G,D(~~,~, ep,q ) = (cm + pm)&+,, m+q pour (~5 P) E I@.


On a vu que {NO,&} = No, done H1(Na,R) = 0; on obtient done finalement une extension centrale universelle de NO

Le cocycle w: NO x NO + Hl(V, W) &ant defini par

([al, 4f, 9)) = S(o)(f, s) quel que soit Q E z’(V), [ol E @&V).

Dans I’article [37] figurent Cgalement d’autres calculs cohomologiques pour NO.

10. L’alghbre des champs de vecteurs unimodulaires

Soit V une variete de dimension n orientable et w E Q*(V) une forme volume. On peut alors definir la divergence:

II,: a(V)+N est definie par Lxw = &(X)w

On a &([X,Y]) = Lx(D,(YJ) - Ly(&(X)) done KerD, est une sous algebre de Lie de a(V), que l’on note f&z(V). C’est I’algebre de Lie des champs de vecteurs unimodulaires.

On a une suite exacte d’algebres de Lie (N est abelienne) 0 + Su(V) --+ a(V)

-+ N -+ 0 qui admet un analogue au niveau du groupe

(1) -+ SDiff(V) -+ Diff(V) 3 N’ + (1).

N’ &ant le groupe multiplicatif des fonctions sur V partout non nulles, et d, est defini par q*(w) = &(cp)w.

On definit une application naturelle G(V) --) H;4-,‘(V) par X c-f [ixw]. Mais i[X,Y]W = [iy, Lx]w = -Lxiyw = -d(ixiyw), done itx,y]w = 0: cette application est bien un homomorphisme d’algebres de Lie, H&‘(V) &ant muni de la structure abelienne. Le noyau note Sa(V), est l’algebre de Lie des champs unimodulaires exacts.

On a done la suite

0 -+ k(V) + G(V) -+ H;4_d(V) --) 0.

Dans le cas ou TZ = 2, nous sommes ramenes au cas precedent

0 -+ IFI + Su(V) -+ E&(V) + 0.

L’algebre &z(V) peut done Ctre consideree comm,e la generalisation en dimension quelconque de l’algebre ‘H(V).

On peut tout d’abord essayer de generaliser la construction hamiltonienne:

252 C. ROGER

Si X E Su(V), il existe n E P-‘(V) telle que dn = i(X)w, n Ctant definie de facon unique modulo I’addition d’une forme fermee.

On notera X = H,,.

On a done une suite exacte d’espaces vectoriels:

0 --t z”-*(v) + L?“-*(v) -5 Su(V) --t 0

K Ctant definie par T(W) = H,.

On peut ensuite essayer de construire un crochet sur P-*(V) tel que TT soit un morphisme d’algebre de Lie.

Soient cr et /I dans Qnp2(V), on pose {cr,/3} = LHJ - LH,~. Ce crochet ne verifie pas I’identite de Jacobi, on a toutefois: &,,_,,{ {a, p}, y} est une forme exacte. D’autre part si /3 est exacte, on a Cvidemment {cr, p} exacte: done le crochet passe au quotient par I’espace des formes exactes B”-*(V) et definit bien un crochet de Lie sur le quotient, pour lequel les formes fermees sont centrales.

On obtient finalement une extension centrale d’algebres de Lie:

(*) 0 + H&*(V) + fP’-* (V)/IF(V) + &z(V) + 0.

Cette extension a CtC construite par Lichnerowicz dans [39] et se reduit bien a celle du paragraphe precedent si n = 2. L’analogie hamiltonienne n’est cependant pas tres satisfaisante, car l’extension centrale P-‘(V)/P-*(V) pour n 2 3 n’est plus une algebre associative, ni I’espace des sections d’un fib& ni mtme d’un faisceau sur V

(en particulier on n’a pas de notion satisfaisante de support).

Dans cette perspective, on peut remarquer que la suite preddente:

0 + z”-*(v) + fl “-*(v) 5 &z(V) + 0

constitue une extension centrale dans la categoric des algibres de Leibnitz. Une algebre de Leibnitz est une algebre munie d’un produit bilineaire (z, y) - [z, y] verifiant l’identite de Jacobi [t, [z, y]] = [[z,~], y] + [z, [z,y]] quels que soient s!y et z, mais non antisymetrique.

Le crochet [a,P] = L”,J3 fait alors de Q+*(V) une algebre de Leibnitz et [0,/J] = 0 quel que soit 0 des que a E Z”-*(V); Zn-*(V) est centrale a gauche dans P-*(V). Cette remarque due a J. L. Brylinski a CtC communiquee a I’auteur par J. L. Loday (voir [40] pour la theorie des algebres de Leibnitz).

On peut maintenant enoncer le

TH~OR~ME. L’txtension de Lichnerowicz est l’extension centrale universelle de

Slz(V).


Les considerations preddentes montrent que H’(Su(V)) = H&‘(V). Done si

H&‘(V) # 0, cette extension centrale est en fait verselle (cf. $1.3).

Ce theoreme rtsulte d’un calcul cohomologique que now allons exquisser: on a H*(Sa(V),W) = Hn-2(V,W). Un calcul rigoureux de la cohomologie de Su(V)

se heurte aux memes difficult& que celui de ‘H(V): il faut utiliser des resolutions par des faisceaux fins; ici on peut considerer le complexe de De Rham R + 0*, et la cohomologie H*(Su(V), R) s’obtient comme l’hypercohomologie H*(Su(V), Q*).

Chacun des termes Hq(Sa(V), P’(V)) peut s’obtenir par les methodes de Gelfand- Fuks-Lozik, de filtration par l’ordre de differentiabilitt des cochafnes; on est ra- men& a des calculs d’invariants du groupe SL(n), penibles mais accessibles si 9 = 2. La seule cochaine donnant des termes non triviaux dans le H* est d’ordre de differentiabilite 0 et apparait comme la classe du 2 cocycle (X, Y) -+ i(X)i(Y)w dans C2(Su(V), n+*(v)).

On trouve finalement le resultat: la cohomologie H*(Su(V), IR) est engendree par les 2 cocycles associes aux (n - 2) cycles de V par la formule: u E &-z(V) induit C,, E C*(Su(V),lR) defini par Cm(X,Y) = J, i(X)i(Y)w. Pour montrer ce resultat, on peut aussi utiliser les calculs de S. Shnider, dont les resultats sont mentionnes dans le livre de Fuks [14] sur la cohomologie de l’algebre de Lie des champs de vecteurs unimodulaires formels, notee SW(n). 11 a demontre que H”(SW(n),IR) = 0

pour 0 < k < n et H”(SW(n),IR) = R, cet espace de cohomologie Ctant engendre par la forme volume (Xl,. . . , Xn) + DCt [X1,. . . , Xnl (0). On peut reconstituer la cohomologie de 5%(V) A partir de ces calculs.

Dans le cas particulier ou n = 3, on peut recuperer cette cohomologie a partir de la cohomologie adjointe, via le morphisme S. En effet, il existe sur Su(V) pour dim V = 3 une forme bilineaire symetrique invariante non dCgCnCrCe, dite invariant d’Amold ou invariant de Hopf asymptotique (cf [2]). 11 est defini de la facon suivante: pour X et Y dans Su(V) soient Q et p dans L?‘(V) tels que da = i(X)w et dp = i(Y)w, alors 1(X, Y) = Jv a,,d/3 = Jv P,,da.

Les verifications sont elementaires; l’appellation invariant de Hopf asymtotique vient de ce que pour des cas particuliers, 1(X,X) se reduit a l’invariant de Hopf de certains entrelacs. Cet invariant induit done un isomorphisme entre Su(V) et son dual, et des applications

S: H;(Su(V), Su(V)) + H”+‘(Su(V),R)

on a la proposition suivante:

PROPOSITION. S induit un isomorphisme

H;(Su(V); Su(V)) -+ H*(Su(V), R).

254 C. ROGER

Dhonstration: Un resultat de Lichnerowicz, [39] montre que l’espace des derivations externes de Sa(V) s’identifie a Sci(V)/Sa(V), soit IfhE(

Explicitement une 2 forme fermee n E f12(V) d&nit X E S&(V) par i(X)w = 77 et on obtient une derivation r,,: Sa(V) -+ Sa(V) par la formule r,(X) = [X,X]. Cette derivation est interieure si et seulement si la forme n est exacte. Calculons alors 1(X, r?(Y)):

Soient cr et p verifiant i(X)w = da,i(Y)w = @.

i [r7(Y)] w = i([T,Y])w = Ly(i(2)w) = Lyq

done W,7,&Y)) = _&, LYW,~ = Jv -GYQ

Mais Lya = i(Y)i(X)w + d(i(Y)cx). D’oh:

I(X,rq(Y)) = J - 7]r\i(Y)i(X)w = J” qr\i(X)i(Y)w = J i(X)i(Y)w V V 71

ou h designe le cycle dual de Poincare de la 2 forme r].

Avec les notations preddentes, on a montre 1(X, r,&Y)) = C,,(X,Y).

(Remarquons au passage que toutes les derivations externes de Sa(V) sont invariantes).

Une application aw bquations de l’hydrodynamique

L’etude des equations de l’hydrodynamique en relation avec la geometric des groupes de diffeomorphismes d’une variete V, oii dim V = 2 ou 3 a debut6 vers la fin des annees 60 sous l’impulsion de V. I. Arnold et de son Ccole. Le lecteur peut se reporter aux articles [27, 31 pour une description Claire et detaillee de l’etat des connaissances sur ce problbme. Rappelons simplement que la structure de Pois- son definie sur tout dual d’algebre de Lie (cf. $2) permet de definir des equations d’evolution hamiltoniennes du type ti = {H, u} ou H.G* + R designe le hamiltonien du systeme; soit alors V une variete de dim2 ou 3 munie d’une forme volume w, et d’une metrique riemannienne de dbivee covariante notee V; on peut exprimer les equations de l’hydrodynamique comme systemes hamiltoniens sur le dual de Sa(V) et d’algebres associees.

L’equation d’Euler s’ecrit alors pour un fluide de champ de vitesse X E Sa(V) et de pression p E N:

k = -vxx + vp.

EXTENSIONS CENTRALFi S D’ALGtiBRES 255

La metrique riemannienne, qui contient les informations g6ometriques sur le systeme, permet de definir un produit scalaire (en general non invariant) sur Sa(V):

(X,Y) =

dont on deduit un isomorphisme dit opkrateur d’inertie A: Sa(V) -+ Sa(V)*.

L’equation d’Euler prend alors la forme pour u = A(X)E Sa(V)* = fl’(V)/d@‘(V)

ti=Lxu+dp soit ti = Ad>(u) + dp

oh {, } est le crochet de Poisson sur Sa(Vy et H(U) est le hamiltonien defini par X = A-‘(u) (cf. [27], Thm. 1).

L’equation de supraconductivite non relativiste peut rentrer dans ce cadre ([27], Thm. 2); pour un gaz d’tlectrons de champ de vitesse X et de pression p, soumis a un champ magnetique d’intensite B, on a

oii A designe le produit vectoriel des champs de vecteurs dans V c Et3 (remarquons que les equations de Maxwell impliquent que B E Sa(V)). Comme ci-dessus, on peut transferer cette equation sur le dual Sa*(V).

Posons B E O’(V) definie par B = i(B)w; l’equation devient alors

ti = -Lxu - i(X)h + dp.

(Remarquons que la bonne definition de u modulo do’(V) correspond a un changement de potentiel dans B).

Le terme i(X)B correspond alors exactement a l’introduction d’une charge centrale associee a [B] E H2(V); en effet, la formule ci-dessus pour le cocycle de l’extension centrale universelle de Sa(V), montre que le 1-cocycle de Souriau associe s’ecrit X k+ i(X)B.

On peut done Ccrire cette equation de supraconductivite sous forme coadjointe

(cf. la formule du $2).

Ceci donne une interpretation cohomologique des constructions de ([27], Thm. 2). Dans la suite de l’article [27] d’autres algebres de Lie interviennent, et notamment le produit semi direct de 9 par son dual.

256 C. ROGER

11. Le cas de l’alg&bre des champs de vecteurs de contact

Remarquons tout d’abord que si l’on considere l’algebre de tous les champs tangents a une variete V, telle que dim V 2 2, on ne peut pas obtenir d’extension centrale non triviale; en effet on a Hk(u(V),R) = 0 si lc 5 dimV (cf. Fuks [14]). Pour l’algebre C(V) des champs de contact sur une variete de contact V, les resultats de Feigin [ll] sur la cohomologie de l’algebre formelle associee permettent de voir que H”(C(V);R) = 0 si k 2 dim V (on utilise des methodes analogues a celles d&rites plus haut pour Sa(V)). 11 n’y a pas davantage d’extensions centrales dans cette situation. Pour obtenir des extensions centrales associees a la situation geometrique de la variete de contact, il faut passer par la symplectisation. C’est l’objet des travaux d’Ovsienko, que nous allons maintenant esquisser.

L’idCe fondamentale est que la symplectisation permet d’identifier certains champs de tenseurs sur une variete de contact et les fonctions homogbnes d’un certain type sur sa symplectide, la restriction d’un crochet deform6 de type Moyal a ces fonctions homogenes permet de definir des multiplications formelles sur les champs de tenseurs sur la variete de contact, dont on peut ensuite deduire des extensions centrales.

Soit (V,w) est une variete de contact de dimension (2n+ 1). On a done w E L@(V) et w A dw” partout non nulle.

Si cp E C(V) est le groupe des diffeomorphismes de contact, alors p*(w) = C,w pour une certaine fonction C, E N. Le faisceau (IA est defini par la condition de changement de variables q*(a) = C,$u pour a section de uA. On peut associer cano- niquement une fonction f E N a toute section de ax et on a ux = {fwx/f E N}. Par exemple us = N, et comme cp*(dw) = dc, AW + c&u, p*(w,,du”) = c;+‘(wAdun), alors u(,+~) s’identifie aux formes volumes sur V. De meme u-1 s’identifie aux champs de

vecteurs de contact.

Nous allons maintenant considerer la symplectisee W de la variete de contact V.

Soit n = w,,(dw)” la forme volume associee a la forme de contact w. Une forme volume est dite positive si elle s’ecrit sous la forme fn avec f partout positive. On considere alors le fibre des n formes positives note W J V. La variete W est de dimension (2n + 2) et le choix de la forme volume donne un isomorphisme entre W et VxR;; en parametrant par qo la composante R,+, alors 8 = qor*(w) verifie

(dtQn+’ partout non nulle, et munit done W a une structure de variete symplectique exacte. Si maintenant cp E C(V) est un diffeomorphisme de contact, il admet un relevement nature1 + qui est un diffeomorphisme de W: on fait op&er ‘p sur les formes volumes. Un calcul Clementaire montre alors que G*(t)) = B et que + est done un diffeomorphisme symplectique. D’autre part W admet un champ d’homotheties Z, qui verifie ,520 = 0. Pour X E R, on d&nit l’espace des fonctions homogenes de degre 2X par FA = {f E Coo(W,R)/L~f = X.f} on d&nit alors un isomorphisme

EXTENSIONS CENTFLUES D’ALGhBRES

canonique entre CIA et FA:

257

ax --) FA,

a -+ 2 = q&r*(a).

Le formalisme decrit ici est celui de Lichnerowicz [38] ou il utilise cet isomorphisme pour les calculs cohomologiques lui permettant de montrer la rigid&! de l’algebre de Lie des champs de vecteurs de contact.

On peut calculer maintenant le crochet de Poisson de la variete symplectique (IV, df3) restreint aux fonctions homogenes. 11 est facile de voir que pour 3

E FA,G E Fp alors {f, G] E FA+,+~ ; on peut done definir pour f E a~, g E a,

un crochet {f,g}~,, par la condition {rg},,, = {T,i}.

Dans un systbme de coordonnees locales, on a si w = Cz, z&i - y&i + dz, de = cZn_o dqi A dpi avec zi = 5, yi = E, z = 2 h f(zi, yi, z)w-~ correspond

3@Ji, Qi) = f(,i 3 q; 3 (& Z- L “)q$ et les crochets vont s’ecrire:

(z &ant le champ de Reeb sur V).

Pour X = p = 1 on retrouve exactement le crochet de Legendre sur V que l’on notera {, }. Si maintenant on peut definir globalement un crochet de Moyal sur W, soit {,}t = {,}+CF!l @Ck(,) alors C&,~) E FA+~_+~+~); done si 3 et ij sont dans

31, Ck(T,i) est dans Fl_zr~.

On pourra deduire des extensions centrales, en utilisant le fait algebrique ClCmen- taire suivant: une deformation formelle d’une algebre de Lie dtfinit une serie infinie d’extensions. Soit 8 = CW(W), le crochet de Moyal d&nit alors une structure d’algebre de Lie sur fi[[t]].

Posons N, = fi[[t]]/(t”+’ = 0) pour m 2 1; on a alors une suite d’extensions non centrales non triviales:

On peut restreindre cette situation a la sous algebre F-1 Y C(V), et on obtient une suite d’extensions non centrales non triviales:

Un Clement de G, est de la forme fo + fit +. . . + fmtm avec fm E F2m-1. On va en deduire des extensions centrales par un prodde d’intbgration; en effet, .Fn+l est isomorphe a l’espace des formes volumes sur V; on lui associe la fontionnelle rksidu

258 C. ROGER

res: ~~+r + W, res(F) = Jv Fn. Cette fonctionnelle est invariante pour l’action de

k-1.

Pour simplifier, nous donnerons la construction dans le cas oti V = Szn+‘.

Soit T = Cy_Jrr zf + yf la fonction rayon; on en deduit un 1-cocycle non tri-

vial

A: WI1 -+ mm X(F) = {F,log(r))t.

On en deduit un 2-cocycle sur G, a valeurs scalaires, defini par:

C(F, G) = res(F{G, log(r)}t).

Si n = 2k, ce 2-cocycle est non trivial sur l’algebre & si m 2 k (cf. [43, 451) et definit done une extension centrale:

Si k = 0, F-1 = a(,!$‘) et on obtient une suite d’extensions de l’algebre de Vira-

soro. Le premier cas de dimension plus grande apparait pour 7~ = 2, soit sur S5. 11

faut considerer l’algebre &:

Comme espace vectoriel, & = F-1 $ Fi 63 Fs. (Rappelons que Fi est isomorphe a l’espace des formes de contact).

Un triplet (F, A, X) E F-1 $ Fl $5 d&nit done un Clement de &, note UF + +VA + Wx. Les crochets s’ecrivent

]uF, k] = U{F,G}l + ; V{F,G)a + &W{F,G}5,

rJF7h31 = V{F,B}l + f W{F,B}37

PF7 WY1 = w{i?Y}l,

[VA, h?] = W{A,B}p

[VA, WX] = [WX, WY] = 0.

L’extension est alors don&e par le cocycle suivant:

c(uF,uG) = & s F{G,logr}m c(uF, VB) = ; j- FIB, log r}m

s5 55

c(h, vb) = j- A{& logrh, c(I/A, WY) = c(wX, wy) = 0.

9


Les mkthodes de Lecomte et De Wilde appliqukes 2 la dkformation du crochet de Poisson sur W permettet de faire cette construction pour toute variktb de contact

de dimension 4k + 1. Ces rkultats sont exposks de fagon dCtaillCe dans l’article [45] qui fait suite g [43].

12. L’extension centrale de Gl(oo), le cas du groupe

Un certain nombre d’exemple mentionrks ci-dessus proviennent d’une extension centrale de l’algkbre des matrices infinies GZ(co), par induction suivant un certain plongement. Une extension analogue existe au niveau du groupe, g&e g des techni- ques hilbertiennes, et permet dans certains cas de construire les extensions de groupes associkes aux exemples prkddents.

Considkrons un espace vectoriel de dimension infinie (dknombrable!) E sur k(= IR ou @) qui se scinde en somme directe de deux sous espaces E = Ef $ E-. Les applications 1inCaires de E dans E sont associkes aux matrices infinies (u~~)~,~~z, avec i et j positifs ou nkgatifs suivant que l’on est dans E+ ou dans E-. On notera El(w) l’algkbre des matrices de Jacobi, c’est-h-dire celles qui vkrifient aij = 0 si Ii - jl est assez grand. Gl(oo) est naturellement une algkbre associative; on considkrera sa structure d’algkbre de Lie associCe. Soit 7r: E --f E+ la projection canonique; on note Gl(oo)+ la sous algkbre de &.7l(oo) dkfinie par aij = 0 si i ou j < 0 et Gl~(w)* la sous algkbre de Gl(oo) dkfinie par aij = 0 sauf pour un nombre fini de i et de j.

On pose Cp: G~(cxI) --) 61(w)+ dtfini @(A) = (7r o A)jE+.

On a alors: @(A, B) = @(AB) - @(A)@(B) est dans ~ZF(W): en effet notons A =

(1: ::)B=(E i:> suivant la dkomposition E+$E- alors $(A, B) = uzb3 soit

qh(A, B)ij = Ciojoa,kbkj. Si au,+ = 0 pour (U - ~1 > Nl, b,,, = 0 pour JU - WI > N2 k<O

alors $(A, B)i,j = 0 pour Ii - jl > IV1 + A$ et i ou j < 0.

Soit C: GZ(oo) x GZ(co) -+ k dCfini par

C(A, B) = Tr(+(A, B) - qh(B, A)) = Tr(uzb3 - b2u3)

on a alors le

TH~OR~ME. H*(GZ(w), k) est de dimension 1, engendri par la classe du cocycle C. On obtient done we extension centrale universelle.

0 ---) k ---) gZ(oo) -+ GZ(co) 4 0.

2Remarque: On a &71~(co) = li@l(n;k) c’est cette algtbre qui est le plus souvent appelke &(co) (en K-thtoric par cxemple). 7L

260 C. ROGER

Dans le travail de Feigin et Tsygan [13] tome la cohomologie GZ(oo) est calculee: les gedrateurs en sont obtenus par les cup produits successifs de II, puis le calcul de la trace. Ces resultats sont repris de facon detaillee dans l’article de Feigin et Fuks sur l’algebre homologique publie dans I’encyclopedie des sciences mathematiques. A signa- ler Cgalement le travail de Arbarello, de Concini et Kac [l] pour une interpretation algebrique de ce cocycle en terme de loi de reciprocite. On peut attribuer a J. Tate [57] la paternite de ce cocycle, cependant appele parfois “cocycle japonais” en ra- ison de son usage par l’ecole dite “de Kyoto” pour les applications des algebres de Kac-Moody aux systemes intbgrables.

Une version analytique de cette construction est donnee dans le livre de A. Pres- sley et G. Segal sur les groupes de lacets [46]. L’espace E est alors muni d’une structure hilbertienne sur @ et la decomposition E = E+@E- est orthogonale. On rappelle qu’un operateur E E GZ(E) est de Hilbert-Schmidt si pour toute base hilbertienne ei on a la convergence de la serie llZ(ei)]1*. Soit J E GZ(E) defini par JiE+ = IdE+ et JiE- = IdE-. On d&nit alors iYZ,,,(E) par GZ,,,(E) = {A E GZ(E)/ [J, A] est de Hilbert-Schmidt}.

Dans une base hilbertienne ei, soit aij = (Aei, ej) alors A est dans 61,,,(E) si et seulement si Ck;,c lakj12 < 00. On voit done clairement que QZ(oo) c GE,,,(E)

comme sous algebre dense ; si A et B sont dans 61,,,(E) alors [J, A] [J, B] est un operateur tracable, comme compose de dew operateurs de Hilbert-Schmidt; en posant C(A, B) = i Tr(J [J, A] [J, II]), on obtient un 2-cocycle qui engendre la cohomologie de 61,,,(E) et se restreint au cocycle precedent sur GZ(ce). On a done une extension centrale universelle:

On peut construire ensuite l’extension analogue au niveau du groupe. Avec les

notations preddentes on d&nit G&,(H) comme le sous groupe de GL(H) (le groupe des isomorphismes de H) compose des operateurs A tels que [J, A] soit de

Hilbert-Schmidt. Si l’on note A = a b

( > c d la decomposition de A correspondant a

H = H+ $ H-, alors A E G&(H) si et seulement si b et c sont de Hilbert-Schmidt. L’inversibilite de A implique que a et d sont inversibles modulo des op&ateurs de Hilbert-Schmidt, done ce sont des op&ateurs de Fredholm. 11s admettent done un indice, Ind(a) = dim ker(a) - dimcoker(a); on a Ind(a) = - Ind(d) a cause de l’inversibilite de A.

On a une suite exacte 0 4 GL$.,(H) -+ G&,(H) ‘2 I8 + 0 et GLF&H) est la composante connexe de l’identite dans G&,(H).

Definissons ensuite le sous groupe E de GL,,, x GL(H+) defini par

& = {(A,q) E G&,(H) x GL(H+)/a - q est tracable}.


On a ainsi tine extension

0 -+ S ---) & + GL;_(H) --) 0 (*).

5 &ant le groupe des operateurs inversibles q: H+ -+ H+ qui admettent un determinant (c’est-a-dire q - IdH+ est tracable).

Le determinant induit a son tour une extension

On obtient finalement une extension centrale de noyau @*

0 -+ @* + El%;1 -+ GL;&H) + 0 (*, *).

11 nest pas possible de construire un cocycle global car l’extension n’admet pas de section globale, le fibre sous jacent Ctant non trivial; en fait le fibre associe a l’extension (*) nest autre que le fibre universe1 pour GL(w, C), le groupe & &ant contractible (cf [46], p. 88, pour les aspects topologiques).

L’extension (*) admet par contre une section locale, qui permet de definir ensuite

un cocycle local. Soit U = {A = ( >

; 1 E GLres(H)/ a inversible }, CT: U H I dtfinie

par o(A) = (A, u) est une section definie sur U, voisinage ouvert de I’identite. On

a done le cocycle local associc: soient Al = (z: :)A*= (zz 2) dans U tels

soit dans U alors:

C,(Al, AZ) = a(Al)a(Az)~(A3)-’ = Det(alaza;l).

Cette for-mule permet de montrer aisement que l’extension d’algebres de Lie associee est celle qui a CtC definie precbdemment; il suffit de deriver le cocycle comme on l’a explique dans la premiere partie.

Enfin l’extension (w) admet un analogue unitaire: si l’on considere U,,,(H) l’inter- section de U(H) avec GL&H), on obtient une extension induite

1 --t T -+ UrxH) -+ &es(H) -+ l(* * *)

Ces extensions permettent de construire d’autres extensions induites, par des ho- momorphismes du groupe consider-e dans GL&H).

EXEMPLE 1. Les groupes de lacets. Soit 0G le groupe des applications differentiables de S’ a valeurs dans GL(n, @).

Soit H(n) = L2(,91, @“); H(n) = HP) @ H(n) suivant I’annulation des coefficients de Fourier d’indice negatif ou positif.

262 C.ROGER

Alors y E RG opere sur X E H(“) par l’action Cvidente.

(74(t) = -Y(t) [X(91 .

Ce qui nous definit une representation 0G H GL(H(“)).

Les proprietes des coefficients de Fourier des fonctions differentiables permettent d’estimer la croissance des coefficients, et de montrer que la representation prend ses valeurs dans GLres(Hcn)).

Soit maintenat W(n) le groupe des applications differentiables de S’ a valeurs dans le groupe unitaire U(n), la representation precedente d&nit alors un homomorphisme?LJ(n) -+ U&H) qui par image reciproque induit l’extension centrale 1 --+ T --+ N(n) -+ flu(n) -+ 1 du groupe de Kac-Moody associe a U(n).

Remarque: Le fibre en cercles defini par cette extension est non trivial, sa classe de Chern est le generateur de H2(fXl(n);Z) = Z (cf [46]).

EXEMPLE 2. Le groupe de Virasoro.

Le groupe Diff+(S’) des diffeomorphismes du cercle preservant l’orientation va operer sur Hen) = L2(S1, UY) en considerant les fonctions sur le cercle comme des demi-densites. Explicitement, on a l’action suivante: pour cp E Di&(S’) et f E Hen), on a pf E Hen) defini par:

(cp.f)(q = fW’(W [P;1(t)11’2. Cette application realise un homomorphisme de Di@(S’) a valeurs dans

Ures(H(n)) et on peut ainsi induire l’extension centrale qui donne le groupe de Vira-

soro (cf [46], p. 91).

Une version sup&i&e du cocycle de Bott a Cte construite par A. Radul [49] pour les supergroupes correspondant aux superalgebres d&rites au $8.

Remarque: 11 est tentant d’essayer de construire l’extension centrale du groupe des symplectomorphismes de T2, associee a l’extension de Kirillov pour l’algebre de Poisson sur le tore (voir plus haut). On peut prendre H = L2(T2, C) et scinder cet espace en somme directe de la facon suivante; soit e,,,((n,m) E 02) une base Hilbertienne de H et soit QI et p dew reels rationnellement independants alors H+ (resp. H-) est l’espace engendre par les en,m tels que (Ye + Pm > 0 (resp. (Y, + Pm < 0). La composition definit une operation unitaire des symplectomorphismes de T* sur H, mais malheureusement l’homomorphisme nest pas a valeurs dans U,,,(H).

Nous Cnoncerons cependant la conjecture suivante.

CONJECTURE. Soit

des diffeornorphismes extension centrale:


C une surface orientable de genre g 2 1 et S,(C) le groupe

symplectiques laissant lixe un point base.3 11 existe alors une

0 -+ lr2g -+ SB) --+ S,(C) --+ 0

telle que I’extension d’algebres de Lie associee soit celle definie au $9.

Un travail recent de P. Iglesias [21] donne une reponse a cette conjecture dans le cadre des structures diffeologiques de J. M. Souriau.

13. Extensions centrales des groupes de diff’morphisme ptiservant le volume

Nous donnerons ici une breve esquisse des travaux de R.S. Ismagilov [22] en simplifiant quelque peu les constructions. Soit done (V, w) une varied compacte de dimension n munie d’une forme volume w. On notera E(V) le groupe des diffeomorphismes de V verifiant f*(w) = w et isotopes a l’identite parmi ceux qui

respectent le volume. Pour U c V ouvert diffeomorphe a R”, on note SD(U; V) le sous groupe des elements de V i support dans U, et SD(V) le sous groupe de E(V) engendre par tous les elements de SD(U; V). Tous ces groupes sont naturellement munis de structures topologiques et de structures de Lie-Frechet (cf

PW. Supposons pour commencer que V est simplement connexe. Si (Y est une 1 forme

fermee sur V et g E E(V), on d&nit une fonction f;(z) = - &g(zjl a oti [z:, g(z)] designe un chemin arbitraire joignant 2 a g(z).

La fermeture de o et la simple connexite de V montrent que f; est bien definie,

on a df,a = a - g*a et .&,(4 = f,S(4 + f,“,(g&)).

Posons F(g)(a) = & f; w. L’invariance de w par les elements de E(V) montre

que F(glg2) = F(gl) + F(g2) et que F(g)(@) = 0. F d&nit done un homomorphisme de E(V) 51 valeurs dans les formes lineaires sur HhR(V), qui s’identifient a H&‘(V) par dualite de Poincak4

On verifie facilement que le noyau de F nest autre que SD(V). Ceci nous donne done une suite exacte de groupes

(1) -+ SD(V) -+ E(V) 5 H;&i(v) -+ (1).

Au niveau infinitesimal, cette suite exacte correspond a celle definie au $10

(0) --f Sa(V) -+ G(V) -+ l$y/(V) + (0).

3L’algkbre de Lie de ce groupe va correspondre B NO c N. 4Cette construction Porte parfois le nom d“‘invariant de Calabi”.

264 C.ROGER

En effet si on prend gt = exptX pour 2 E G(V), on obtient

~f;:Cz,lt=o = -a(X)(z)

et done

g vwl,t=o(4 = - J a(X)w = J a*i(X)u. V V

Dans le cas 06 V nest pas simplement connexe, on construit la suite exacte pour le groupe des diffeomorphismes du redtement universe1 de V, respectant l’image reciproque de la forme volume de V, on obtient finalement pour E(V) une suite exacte dont le terme de droite est H”-l oR (V) quotient6 par un certain reseau (voir [22], p. 102, de la version anglaise).

On peut maintenant construire un 2-cocycle local sur SD(V), qui va correspondre a celui defini sur Su(V) dans le 510. Soient g et h dans SD(V) suffisamment voisins de l’identid et u E Cn_2(V) un n-2 simplexe singulier de V: soit (T: AnP2 + V. On va leur associer un n simplexe singulier note a(g, h), soient gt, h,, pour s, t E [0, l] et go = ho = Idv des isotopies de g et h 8 l’identid. On definit alors: a(g, h): An --f V par:

a(g, h)(u, 6 s) = gt(h,(o(u))) pour u E Ane2, s, t E [O, 11

On definit un 2-cocycle sur SD(V) par la formule:

C(g, h)(c) = s w. 4J,h)

La condition de cocycle se verifie a l’aide de la formule de Stokes db que les difeomorphismes concern& sont dans un voisinage de l’identite suffisamment petit dans SD(V). La formule pour C(g, h) definit un homomorphisme de 2+2(V) dans IR, soit un Clement de H;4i2(V). Au niveau infinitesimal, on voit facilement que le cocycle associe est celui du $10

&C(exp tX, exp SY)(,a=,(a) = J i(X)i(Y)~. d

La difficult6 est ici que le cocycle nest pas defini globalement, les constructions de Ismagilov montrent qu’on peut trouver un cocycle defini globalement mais a valeurs dans le quotient H;4~2(V)/Hn-2(V, Z) = Tb, 0i.i b est le (n -2)ieme nombre de Betti de V. Le resultat final est le suivant:

TH~~OR~ME (cf [22], p. 117). I1 existe me extension centrale de groupes topologiques :

(1) 4 Tb --) z?(V) 2, SD(V) + (1)

EXTENSIONS CENTRALES D’ALGEBRES 265

telle que (a) dans un voisinage de l’identitk, on peut trouver une section de la projection

TT, telle que le cocycle assock! se ram&ne ci c(g, h); (b) l’extension associke au niveau des a@bres de Lie est l’extension centrale uni-

verselle de Lichnerowicz (cf $10)

(0) -+ H;4;2(V) + 0n-2(V)/dP-3(V) + Sa(V) -+ (0)

(c) pour un ouvert U c V di@omorphe k IF, l’extension induite par l’inclusion SD(U; V) ‘--) SD(V) est triviale.

Les extensions de groupes analogues aux autres extensions d’algkbres de Lie con- sidCrCes dans cet article n’ont pas CtC construites, du moins ?I la connaissance de I’auteur.

REFERENCES

PI PI [31 [41 [51 Fl

[71 [81

[91 WI Pll WI

P31 1141 P51 WI 1171

1181 1191 PO1 WI PI 1231 [241 [251

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266 C. ROGER

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[301 [311

1321

I331 [341 [351 [361 [371

I381

[391 t401 1411 t421 [431 WI I451 [461 [471 [481 I491

[501

1511 WI [531 [541 I551 1561 [571 [581 [591 WI WI P’l

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