UniversitUniversitéé Hassan II Hassan II FacultFacultéé des Sciences Juridiques, des Sciences Juridiques, ÉÉconomiques et Sociales Mohammediaconomiques et Sociales Mohammedia

ARIMAARIMA

Encadré par: Mr Ouia réalisé par: KERBALI Imane JAMAL Aziza TAHIRI Sanaa SAANANE Fathi Amine

plan Résumer

Introduction Partie I:rappel AR,MA, ARMA

Partie II:les modèles ARIMA 1)Définition 2)les applications des modèles ARIMA 3)La notion de la stationnarité 4)présentation du modèle ARIMA Partie III:cas pratique Conclusion

Résumé Français/AnglaisCe travail consiste à traiter le modèle ARIMA qui traite les

séries chronologiques dites non stationnaires après avoir déterminer le niveau d’intégration c'est-à-dire le nombre de fois qu’il faut pour différencier la série avant de la rendre stationnaire. Mais ce modèle souffre d’une lacune majeure : il est incapable de traiter simultanément plus d’une variable (série).

Pour concrétiser ce modèle, on a procéder à l’étude des exportations marocaines de phosphate entre 2001 et 2009.

This work is about the ARIMA model. It treats the time series called no stationary after determining the level of integration ie how many times it takes to differentiate the series before making it stationary. But this model suffers from a major shortcoming: it is unable to study more than one variable (series).

To realize this model, we worked on Moroccan phosphate exports between 2001 and 2009.

introductionIl existe deux catégories de modèles pour rendre

compte d’une série chronologique.-la première considère que les données sont une

fonction du temps y=f(t).-la seconde, et qui fera objet de notre exposé,

cherche à déterminer chaque valeur de la série en fonction des valeurs qui précèdent y=f(y(t-1) ;y(t-2) ;………..)

C’est le cas des modèles Auto-Regressive-Integrated-Moving-Average : ARIMA

partie I: Rappel AR,MA, ARMA

Les processus auto-régressif AR(P),les processus moyenne mobile MA(q) et les processus ARMA(p,q) ont été introduits comme processus aléatoires stationnaire.

Il serviront de modèles pour décrire l’évolution des S.C càd première série chronologique pourra être vue comme une réalisation de ce processus ARMA .

Le modèle ARMA combine la partie AR et la partie MA. En autre termes il contient des valeurs passées Xt-1; Xt-2 ;…….; Xt-p et des erreurs passées et-1 ; et-2….; et-q

Équation de ARMA :

Partie II:les modèles ARIMA1) définition:

o Pour les modèles ARIMA, c’est le passé de la série ( sa mémoire) qui explique son comportement présent et futur.

o L'objectif essentiel donc des modèles ARIMA est de permettre une prédiction de l'évolution présente ou future d'un phénomène à partir des données du passé.

2)les applications des modèles ARIMA

Repérer les tendances et cycles: Grâce aux tendances et aux cycles, il est ainsi

possible d’analyser les interactions entres diverses variables, afin d’atteindre un équilibre.

Corriger des variations saisonnières: En comparant le niveau saisonnier entre deux

années par exemple, on va pouvoir en déduire un comportement. Celui-ci apportera des informations supplémentaires indispensable afin d’affiner les valeurs saisonnières, et appréhender leurs évolutions.

Contrôler les processus: Il est indispensable de dresser une carte des

variables ayant une forte influence sur les reste de l’économie, afin d’anticiper les évolutions possibles.

Les modèles ARIMA ne sont appropriés que lorsque la série temporelles ou chronologique est stationnaire (c'est-à-dire que les moyennes, variances, et autocorrélations doivent être sensiblement constantes au cours du temps).

3)La notion de la stationnarité

Avant de traiter la série chronologique,il faut étudier son espérance et sa variance.

Si ces derniers varient dans le temps la série chronologique est non stationnaire,dans le cas contraire la série est donc stationnaire.

On distingue 2 types de non stationnarité :

Processus de type TS(trend stationary): Représente le non stationnarité de nature

déterministe.

Processus de type DS(differency stationary): représente les processus non stationnaire aléatoires

Test de dickey-fuller (DF) :test de racine unitaire

Ce test permet de mettre en évidence le caractère stationnaire ou non d’une chronique par la détermination d’une tendance déterministe ou stochastique

4) présentation du modèle ARIMA

Un modèle ARIMA est étiqueté comme modèle ARIMA (p,d,q), dans lequel:

p est le nombre de termes auto-régressifs.d est le nombre de différences.q est le nombre de moyennes mobiles.

la différenciation

L'estimation des modèles ARIMA suppose que l'on

travaille sur une série stationnaire. Ceci signifie que

la moyenne de la série est constante dans le temps,

ainsi que la variance. La meilleure méthode pour

éliminer toute tendance est de différencier, c'est-à-

dire de remplacer la série originale par la série des

différences adjacentes. Une série temporelle qui a

besoin d'être différenciée pour atteindre la

stationnarité est considérée comme une version

intégrée d'une série stationnaire (d'où le terme

Integrated).

Une différenciation d'ordre 1 suppose que la différence entre deux valeurs successives de y est constante.

μ est la constante du modèle, et représente la différence moyenne en y. Un tel modèle est un ARIMA(0,1,0). Il peut être représenté comme un accroissement linéaire en fonction du temps. Si μ est égal à 0, la série est stationnaire.

Les modèles d'ordre 2 travaillent non plus sur les différences

brutes, mais sur les différences de différence. La seconde différence de y au moment t est égale à (yt -yt-1) - (yt-1 - yt-2), c'est-à dire à

yt – 2yt-1 + yt-2.  Un modèle ARIMA(0,2,0) obéira à l’équation de prédiction suivante :

l’auto-régression

Les modèles autorégressifs supposent que Xt est une fonction linéaire des valeurs précédentes.

chaque observation est constituée d'une composante aléatoire (choc aléatoire, ε) et d'une combinaison linéaire des observations précédentes. φ1, φ2 et φ3 dans cette équation sont les coefficients d'auto-régression.

Pour un modèle ARIMA(1,1,0) on aura :  yt – yt-1 = μ + φ(yt-1 – yt-2) + εt

la moyenne mobile

Les modèles (MA) supposent que chaque point est fonction des erreurs entachant les points précédant, plus sa propre erreur.

Yt=et-θ1et-1- θ2 et-2….- θq et-q

Comme précédemment cette équation porte soit sur les données brutes, soit sur les données différenciées si une différenciation a été nécessaire. Pour un modèle ARIMA(0,1,1) on aura :

yt – yt-1 = μ - θεt-1 + ε t

On peut également envisager des modèles mixtes: par exemple un modèle ARIMA(1,1,1) aura l'équation de prédiction suivante:

yt = μ + yt-1 + φ(yt-1 – yt-2) - θ1εt-1 + εt

Partie III: cas pratique

Les exportations marocaines de phosphate

Le modèle : ARIMA (5,6,7)

conclusion

Merci pour votre attention