Modelos de Valoracin de Opciones Parte 1 Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernndez Jorge Otero Rodrguez Modelos de Valoracin de Opciones2 Contenidos Introduccin Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales: extensiones del modelo de Black Scholes Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones3 Opciones: definicin y tipologa Una opcin de compra o call (venta o put) es un contrato que otorga a su titular el derecho a comprar (vender) un activo subyacente a un precio determinado (conocido como precio de ejercicio o strike), en una fecha futura establecida, a cambio del pago de una prima Respecto al activo subyacente, la opcin puede ser Financiera: s el activo subyacente es un activo financiero, como una accin. Real: s el activo subyacente es un activo real, como un proceso productivo Respecto a la fecha de ejercicio, la opcin puede ser Europea: la opcin nicamente puede ejercitarse en la fecha de vencimiento Americana: la opcin puede ser ejercitada en cualquier momento desde su emisin hasta su fecha de vencimiento Bermuda: la opcin puede ser ejercitada en varias fechas establecidas desde su emisin hasta su fecha de vencimiento. Es una opcin hbrida entre el tipo americano y europeo Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones4 Prima de una opcin financiera Las opciones son un activo/pasivo contingente, dado que su valor depende del valor del activo subyacente que es funcin de ciertas contingencias Valor de una opcin (P) = Valor intrnseco (VI) + Valor temporal o extrnseco (VE) Valor intrnseco (VI): valor que tendra la opcin s se ejerce inmediatamente. As es el mximo entre cero y el valor de la opcin en caso de ser ejercitada. Opcin de compra: Mximo (Precio activo subyacente Precio ejercicio ; 0) Opcin de venta: Mximo (Precio ejercicio - Precio activo subyacente ; 0) Valor extrnseco (VE): valoracin que hace el mercado de las probabilidades de beneficios con la opcin s el movimiento del precio del activo subyacente es favorable. Componente probabilstico. Valor intrnseco y contingencias Flujo de caja s se ejerce inmediatamente > 0 In the money VE decreciente Flujo de caja s se ejerce inmediatamente = 0 At the money VE es mximo Flujo de caja s se ejerce inmediatamente < 0 Out of the money P = VE Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones5 Prima opcin = Valor intrnseco + Valor temporal Call Europea sin reparto de dividendos Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin 13.6414.1914.7315.2815.8316.3716.9217.470.001.002.003.004.005.006.007.006.53 7.63 8.72 9.81 10.91 12.00 13.09 14.19 15.28 16.37 17.47StValor opcin - LmiteValor opcin Valor intrnseco Valor temporal0.01.02.03.04.05.06.07.06.53 7.08 7.63 8.17 8.72 9.27 9.81 10.36 10.91 11.45 12.00 12.55 13.09 13.64 14.19 14.73 15.28 15.83 16.37 16.92 17.47StValor opcin - LmiteValor intrnseco Valor temporalModelos de Valoracin de Opciones6 Cmo se efecta el pricing de una opcin? Los mtodos de valoracin de opciones expresan cuantitativamente el valor del contrato de opcin a travs de tres etapas Definir el contrato, es decir, formalizar matemticamente los pagos asociados a cada estado de la naturaleza Por ejemplo, en el caso de una opcin de compra, el valor intrnseco es funcin del precio del activo subyacente, siendo el pago asociado a cada estado de la naturaleza:Mximo (Precio activo subyacente Precio ejercicio ; 0) Conocer la dinmica generatriz del precio del activo subyacente, esto es, cmo evoluciona, qu ley determinstica o probabilstica sigue, cul es su dinmica estocstica. En el caso de las acciones negociadas en mercados financieramente eficientes Establecer un mtodo analtico o numrico que proporcione el valor esperado monetario actualizado del contrato ((

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\|T T;2 NSSLn2tT engenerada continua compuesta ad RentabilidSSLnt |.|

\|Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones7 Mtodos de valoracin de opciones financieras Mtodo de Black-Scholes (Fisher Black y Myron Scholes,1973) Mtodo analtico exacto en tiempo continuo Mtodo Binomial (Cox, Ross y Rubinstein, 1976) Mtodo numrico en tiempo discreto mediante simulacin organizada a travs de rboles binomiales. Mtodo de Monte Carlo Mtodo numrico en tiempo discreto mediante simulacin aleatoria. Los modelos asumen que el precio de las acciones sigue un paseo aleatorio los cambios proporcionales en el precio de las acciones en un perodo corto de tiempo se distribuyen normalmente, lo que implica que, el precio de las acciones en cualquier momento del futuro sigue una distribucin lognormal (Ln (St / St-1) sigue una distribucin normal). Rentabilidad esperada : rentabilidad media anual obtenida a corto plazo Volatilidad del precio de las acciones : medida de la incertidumbre sobre los movimientos futuros del precio de las acciones Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones8 Genealoga de Opciones (I) Productos de primera generacin: Opciones plain vanilla Las posiciones bsicas que se pueden tomar con una opcin con sus correspondientes perfiles de riesgo son: Compra de una call Compra de una put Riesgo: limitado al pago de la prima limitado al pago de la prima Beneficio:potencial ilimitadoprecio de ejercicio Expectativas: alcistasbajistas Venta de una callVenta de una put Riesgo:ilimitadoprecio de ejercicio Beneficio: limitado a la primalimitado a la prima Expectativas: moderadamente bajistasmoderadamente alcistas Productos de segunda generacin: Opciones sintticas Su estructura esta formada por dos o ms contratos tradicionales (futuros/forward, opcionesyswaps),conelobjetivodereducirelpreciooprimadelinstrumento resultante a cambio de disminuir su potencial de beneficios. Combinaciones forward / opciones: range forwards, break forwards, forward parciales. Combinaciones de opciones: collars, cilindros, ratio spreads. Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones9 Productos de tercera generacin: Opciones exticas Son propiamente las opciones exticas y suponen una modificacin de alguna o varias de las caractersticas de las opciones estndar.Existe una gran variedad de opciones exticas, que se incrementa cada da debido al rpido proceso de la innovacin financiera que se est dando en los mercados financieros. Se podran clasificar segn las siguientes categoras: Opciones compuestas Opciones path-dependent o con memoria Opciones con pay-off modificado Opciones time-dependent Opciones multivariantes Genealoga de Opciones (II) Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones10 Opciones compuestas Call sobre una call: su comprador adquiere el derecho a comprar una opcin call sobre un activo subyacente. Ccall = Max call (S, E1, o, r, q, T2) E2; 0`Call sobre una put: el comprador adquiere el derecho a comprar una opcin put sobre un activo subyacente. Cput = Max put (S, E1, o, r, q, T2) E2; 0` Put sobre una call: el comprador adquiere el derecho a vender una opcin call sobre un activo subyacente. Pcall = Max E2 call (S, E1, o, r, q, T2); 0` Put sobre una put: el comprador adquiere el derecho a vender una opcin put sobre un activo subyacente Pput = Max E2 put (S, E1, o, r, q, T2); 0` Opciones compuestas: Son aquellas opciones cuyo subyacente es otro contrato de opcin. Se pueden clasificar en: Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones11 Opciones exticas: opciones path dependent (I) Dependientes de limite / extremo: tienen una dependencia especifica del valor mximo o mnimo alcanzado por el activo subyacente durante la vida de la opcin ya sea a efectos del calculo de su pay-off, de la determinacin del precio de ejercicio o, por ejemplo, por la existencia de mecanismos de activacino desactivacin de la opcin. Opciones barrera: estndar, con barrera parcial, con barrera mltiple, con barrera exgena, ... Opciones lookback: con precio de ejercicio fijo o flotante Opciones ladder: CT= Max. (ST-E), Max. (LA-E), 0` PT= Max (E-ST), Max (E-LA), 0`Opciones Cliquet Son aquellas opciones cuyo valor intrnseco al vencimiento no solo depende del valor del activo subyacente al vencimiento, sino tambin de la evolucin particular que haya seguido el precio del activo a lo largo de la vida de la opcin. Se pueden clasificar en: Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones12 Opciones exticas: opciones path dependent (II) Asiticas: dependen directamente de la evolucin del activo subyacente durante la vida de la opcin, ya que el precio utilizado para su liquidacin o el propio precio de ejercicio se obtienen como una media (aritmtica, geomtrica) del precio del subyacente que se calcula en base a una frecuencia predeterminada (diaria, semanal, mensual, etc.) De tipo de cambio medio o con strike fijo (asiticas)CT= Max 0, S E`/PT= Max 0, E S` De media ponderadaCon precio de ejercicio medio De media aritmtica De media geomtrica Opciones apalancadas oLeveraged:su valor intrnseco a vencimiento viene dado por una funcin polinomial o potencial, de forma que ofrecen un mayor nivel de apalancamiento. Opciones polinomialesOpciones potencialesLmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones13 Opciones condicionales o con pay-off modificado Son opciones cuyo pay-off final, a diferencia del perfil continuo del pay-off de una opcin estndar (cero o la diferencia respecto al strike), es de naturaleza discontinua, es decir, pagan cero o una cantidad prefijada (que puede ser variable) si expiran in-the-money. Digitales o binarias: proporcionan al inversor un pay-off predeterminado solo si al vencimiento la opcin expira in-the-money. Cash-or-nothing CT: 0 si S s E y K si S > E PT: 0 si S > E y K si E > S Asset-or-nothing CT: 0 si S s E y S si S > E PT: 0 si S > E y S si E > SBinary gap Cash or nothing call (put) sobre dos activos Cash or nothing up-down (down-up) sobre dos activos Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones14 Opciones exticas: Opciones time-dependentOpciones Bermuda:son un hbrido entre opciones europeas y americanas en las que el ejercicio anticipado es posible pero solo en una serie predeterminada de fechas. Opciones Chooser: opciones as-you-like-it, permiten al comprador decidir en una fecha futura si quiere que su opcin sea una CALL o una PUT estndar: Opciones Chooser simplesOpciones Chooser complejas Forward start options: opciones de tipo europeo por las que se paga la prima en el momento de su contratacin pero que solo comienzan a estar vigentes a partir de una fecha futura.Opciones con vencimiento extensible Todas las opciones dependen directamente del factor tiempo. Por este tipo de opciones se designan aquellas que poseen una estructura especial de fechas de ejercicio o aquellas en las que el tenedor tiene el derecho de, con el transcurso del tiempo, fijar alguna caracterstica de la opcin o el valor intrnseco acumulado hasta entonces. Se pueden clasificar en: Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones15 Opciones exticas: opciones sobre varios subyacentes Opciones basket o cesta: el pay-off de la opcin es funcin del comportamiento agregado de una serie de activos que conforman, con unos pesos determinados, una cesta. Efecto diversificacin: CT = Max 0, i E( w i x Sni ) - E`PT = Max 0, E i E( w i x Sni )` Opciones Rainbow (n colores): el pay-off de la opcin se determina a partir de la relacin al vencimiento de mltiples (n) activos. Opciones sobre dos activos intercambiables, u opciones exchangeOpciones que entregan el mejor de dos activosOpciones que entregan el peor de dos activosOpciones que entregan el mejor de dos activos o dineroOpciones sobre el mejor de dos activos: valor a vencimiento Opciones sobre el peor de dos activosOpciones best/worst performer (de n activos): estas opciones pagan el mximo o el mnimo de varios activos.Opciones ligadas al tipo de cambio: dependen explcitamente de un solo activo, pero en las que interviene el tipo de cambio, por lo que su valoracin se ve afectada por movimientos tanto del activo subyacente como del tipo de cambio. Son conocidas como quantos (quantiy-adjusted options) Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones16 Introduccin A travs del arbitraje se pueden obtener unos lmites mnimos, que an no siendo en s mismos la prima de la opcin, son una referencia de valoracin. Los lmites se pueden obtener para: Tipo de opcin: Call - Put. Tipo de opcin (ejercicio): europea - americana. Tipo de activo subyacente: sin reparto de dividendos - con reparto de dividendos - divisas. Programa: Opciones_limites.xls. Ubicacin:Hoja Call Eur sin Dividendos: lmite inferior para una Call Europea sobre un activo subyacente que no distribuye dividendos Hoja Put Eur sin Dividendos: lmite inferior para una Put Europea sobre un activo subyacente que no distribuye dividendos Hoja Call Eur Dividendos: lmite inferior para una Call Europea sobre un activo subyacente que distribuye dividendos en tasa continua Hoja Put Eur Dividendos: lmite inferior para una Put Europea sobre un activo subyacente que distribuye dividendos en tasa continua Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones17 Aplicacin Objetivo: aplicacin de lmites de valoracin, valor temporal e intrnseco. Programa: Opciones_limites.xls. Variables a suministrar. Precio del activo subyacente. Precio de ejercicio. Fecha de valoracin. Fecha de vencimiento. Volatilidad subyacente. Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro). Tasa de dividendos. Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Opciones FinancierasValor intrnseco y temporal - Lmites de valoracinPrecio accin 12.00 1200 Call PutPrecio de ejercicio 11.85 1185 Black Scholes 1.39 0.83Tipo de inters anual 3.500% 3500 Black Scholes dividendos 1.31 0.87Volatilidad 23.25% 2325 Binomial - Americanas 1.39 0.87Tasa de dividendos 1.000% 1000N iteraciones (binomial) 31 31 S+P VA(X)+CTiempo al vto. (aos) 1 1000 Black Scholes 12.83 12.83(das) 365 Black Scholes dividendos 12.75 12.75Tipo de inters continuo 3.440%Put Europea sin dividendos13.6414.1914.7315.2815.8316.3716.9217.47Paridad Put Call-1.000.001.002.003.004.005.006.006.53 7.63 8.72 9.81 10.91 12.00 13.09 14.19 15.28 16.37 17.47StValor opcin - LmiteLimite inferior Valor opcin Valor intrnseco Valor temporal0.01.02.03.04.05.06.06.53 7.08 7.63 8.17 8.72 9.27 9.81 10.36 10.91 11.45 12.00 12.55 13.09 13.64 14.19 14.73 15.28 15.83 16.37 16.92 17.47StValor opcin - LmiteValor intrnseco Valor temporalModelos de Valoracin de Opciones18 Arbitraje Objetivo: existen cuatro mdulos de arbitraje que determinan la estrategia a adoptar en caso de que la prima de la opcin no respete el lmite de valoracin. Programa: Opciones_limites.xls. Variables a suministrar. Precio del activo subyacente. Precio de ejercicio. Fecha de valoracin. Fecha de vencimiento. Volatilidad subyacente. Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro). Tasa de dividendos continua. Anlisis: Perfil de resultados. Sensibilidad de la opcin ante variaciones del activo subyacente (delta). Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Opciones FinancierasLmites de valoracinPrecio accin 20.00 2000Precio de ejercicio 18.00 1800Tipo de inters anual 10.000% 10000Volatilidad 30.15% 3015Tiempo al vto. (aos) 1 1000(das) 365Tipo de inters continuo 9.531%Mnimo terico Call Europea sin dividendosMnimo terico Call Europea 3.7129Precio observado de la call 2.0000Se puede arbitrarEstrategiaCash Flow Al final del perodoS St es mayor que 18 p.ej 22,5S St es menor que 18 p.ej 13,5Comprar la opcin Call -2 St 22.50 13.50Vender la accin 20 Resultado Call 4.50 0.00Cash Flow neto 18 Resultado en subyacente +/- prima -2.61 6.50Inversin del CF 19.89307653 Resultado total 1.89 6.50Modelos de Valoracin de Opciones19 Alternativamente al anlisis desarrollado, se pueden utilizar las siguientes funciones: Funciones VBA DescripcinPropiedades_OpcionesFuncinLimiteInferior_Call_futuros(F , K , t , r )LimiteInferior_Put_futuros(F , K , t , r )LimiteInferior_Call_Eur(S , K , t , r )LimiteInferior_Put_Eur(S , K , t , r )LimiteInferior_Call_Ame(S , K )LimiteInferior_Put_Ame(S , K )PPC_valor_put(S, K, t, r, Prima_Call)PPC_valor_call(S, K, t, r, Prima_Put)PPC_DividendosTasa_valor_put(S, K, t, r, q, Prima_Call)PPC_DividendosTasa_valor_call(S, K, t, r, q, Prima_Put)PPC_Divisas_valor_put(S, K, t, r_local, r_extranjera, Prima_Call)PPC_Divisas_valor_call(S, K, t, r_local, r_extranjera, Prima_Put)PPC_DividendosCP_valor_put(S, K, t, r, VA_Div, Prima_Call)PPC_DividendosCP_valor_call(S, K, t, r, VA_Div, Prima_Put)Dist_Lognormal_LnSt_media(S , t , v , rent_esperada )Dist_Lognormal_St_esperanza(S , t , rent_esperada )Varianza del Precio - Distribucin LognormalDesviacin Tpica del Ln(Precio) - Distribucin LognormalIntervalo de confianza. Lmite inferior para en Ln(St) - Media del Ln(Precio) - Distribucin LognormalIntervalo de confianza. Lmite superior para en Ln(St) - Distribucin LognormalDist_Lognormal_St_varianza(S , t , v , rent_esperada )Dist_Lognormal_LnSt_desvstand(v , t )Dist_Lognormal_LnSt_LimInfer(S , t , v , rent_esperada , Niv_Confianza )Dist_Lognormal_LnSt_LimSuper(S , t , v , rent_esperada , Niv_Confianza )Valor mnimo para la prima de un Call en FuturosValor mnimo para la prima de un Put en FuturosValor mnimo para la prima de un Call EuropeaValor mnimo para la prima de un Put EuropeaValor mnimo para la prima de un Call AmericanaValor mnimo para la prima de un Put AmericanaPrima de un Put de un activo subyacente que no reparte dividendos Prima de un Callde un activo subyacente que no reparte Prima de un Put de un activo subyacente que reparte dividendos en Prima de un Call de un activo subyacente que reparte dividendos Prima de un Put de una divisa obtenida por la paridad put-callPrima de un Call de una divisa obtenida por la paridad put-callPrima de un Put de un activo subyacente que reparte dividendos modelo CP obtenida por la paridad put-callPrima de un Call de un activo subyacente que reparte dividendos modelo CP obtenida por la paridad put-callMedia del Ln(Precio) - Distribucin LognormalEsperanza del Precio - Distribucin LognormalLmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones20 Introduccin En 1973 Fisher Black y Myron Scholes contribuyeron de manera decisiva al desarrollo de la economa financiera al establecer las bases de la valoracin de opciones financieras europeas. Dada su importancia, se ha utilizado extensivamente sus resultados en diversas reas, a saber: Clculo de sensibilidades o griegas. Estrategias con opciones: perfil de beneficios y sensibilidades. Opciones reales. Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones21 Determinacin de la prima de opciones CALL y PUT ) N(d e X ) N(d S Call2T r1 = ( ) ( )T T 2 r X S lnd21 + +=( ) ( )T dT T 2 r X S lnd122 = +=( ) ( ) N(0,1) d Prob d N1 1s =( ) ( ) N(0,1) d Prob d N2 2s =( ) ( ) N(0,1) d - Prob d - N1 1s = ( ) ( ) N(0,1) d - Prob d - N2 2s =) d N( S ) d N( e X Put1 2T r = Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones22 Griegas Los programas desarrollados son tres, a saber: Black_Scholes_griegas.xls anlisis de sensibilidad para opciones europeas sin reparto de dividendos. Black_Scholes_griegas_dividendos.xls anlisis de sensibilidad para opciones europeas que distribuyen dividendos. Black_Scholes_griegas_divisas.xls anlisis de sensibilidad para divisas. Los modelos contenidos en esta seccin de la OLC son de aplicacin a: Tipo de opcin: Call - Put. Tipo de opcin (ejercicio): europea. Tipo de activo subyacente: sin reparto de dividendos - con reparto de dividendos - divisas. Las hojas de clculo permiten: Obtenerse un completo anlisis grfico en dos y tres dimensiones con tablas de sensibilidad para los siguientes parmetros: Prima de un Call, prima de un Put, delta Call, delta Put, gamma, Put,Rho Call, Rho Put, theta Call, theta Put,vega. Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de clculo en orden a la obtencin del valor de la opcin, obviando el desarrollo del rbol, y pudiendo utilizar un mayor nmero de iteraciones. Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones23 Clculo de griegas (I) oN(d1)/od1 oN(d2)/od2 Ac Call Delta Ap Put Delta 2) (d21e 211 d1) N(d=cc( )2T d2221e 21d) N(d =cc0 N(d1)SCall Delta Call > =cc0 N(d1) 1SPut Delta Put> =ccSensibilidad de la prima a las variaciones del precio del subyacente. Probabilidad de que la opcin sea ejercida. Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones24 Clculo de griegas (II) Gamma Vega Call Rho Put Rho 0d) N(dT S1SPutSCall Gamma112222>cc =cc=cc0d) N(dT SPutCallVega11>cc =cc=ccSensibilidad de la Delta a los cambios del precio del subyacente (delta de la delta). Indica la velocidad de los ajustes para posiciones de la delta neutral. Sensibilidad de la opcin a las variaciones de la volatilidad implcita negociada en el mercado. Su signo es positivo para las compras de opciones y negativo para las ventas de opciones. 0 e ) N(d T KrCall Rho CallT r2> =cc ( ) 0 e ) N(d 1 T KrPut Rho Put T r2s =cc Sensibilidad de la opcin a las variaciones en el tipo de inters Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones25 Clculo de griegas (III) u Call Theta u Put Theta u Call Theta diaria u Put Theta diaria 0 ) N(d e K Rd) N(dT 2 STCallCallTheta2T r11> +cc=cc 0( ) 0 ) N(d 1 e K Rd) N(dT 2 STPutTheta Put 2T r11s> cc=cc 0Sensibilidad de la prima de la opcin al paso del tiempo. En general tiene valor positivo, i.e, a mayor plazo mayor prima. 365dasTCallDiaria Theta Call|.|

\|cc 0365dasTPutDiaria Theta Put |.|

\|cc 0Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones26 MODELO DE BLACK SCHOLESAnlisis de sensibilidad del parmetro Rho Call - POSICIN LARGATipo de cambio spot 25.75 2575 Call Put Clculos intermediosTipo de cambio strike 26.50 2650 Prima 2.80585 3.221 d1 0.094Tipo de inters anual local 3.250% 3250 Griegas d2 -0.204Volatilidad 29.75% 2975 Delta 0.527 -0.453 N(d1) 0.537Rentabilidad moneda extranjera 2.01% 201 Gamma 0.051 0.051 N(d2) 0.419Tiempo al vto. (aos) 1 1000 Theta -1.568 -1.242 N(-d1) 0.463(das) 365 Theta diaria -0.004 -0.003 N(-d2) 0.581Tipo de inters continuo 3.198% Vega 0.100 0.100S*exp(-r_ext*t)+P 28.4584 Rho 0.108 -0.149VA(X)+C 28.458441 0 Se utilizar para graficar las griegas. Es independiente de graficar la prima de la opcin (lista desplegable)Parmetro Rho Call: sensibilidad al tipo de cambio-0.050.000.050.100.150.200.250 5 10 15 21 26 31 36 41Tipo de cambio spotCALL PUTGriegas Activo sin dividendos. Activo subyacente So. Precio de ejercicio. Tipo de inters. Tiempo al vencimiento. Volatilidad anualizada. Activo con dividendos. Activo subyacente So. Precio de ejercicio. Tipo de inters. Tiempo al vencimiento. Volatilidad anualizada. Tasa de dividendos. Divisas. Tipo de cambio spot. Tipo de cambio strike. Tipo de inters anual local. Volatilidad. Rentabilidad moneda extranjera. Tiempo al vencimiento. (aos). Variables a suministrar Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones27 Alternativamente al anlisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas.xls, se pueden utilizar las siguientes funciones: Griegas Activos que no distribuyen dividendos Descripcinvol_implic_BS_put(S , K , t , r , PutBS ) Volatilidad implcita negociada en la prima de un PutThetaDiaria_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en das)vol_implic_BS_call(S , K , t , r , CallBS ) Volatilidad implcita negociada en la prima de un CallRho_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tipo de intersThetaDiaria_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en das)Vega_BS(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin ante variaciones en la volatilidad del activo subyacenteRho_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tipo de intersTheta_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en aos)Theta_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en aos)Delta_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Gamma_BS(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la Delta de la prima de una opcin ante variaciones en el precio del activo subyacentedNd2_dd2(S , K , t , r , v )Derivada parcial de la funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d2 respecto al parmetro d2Delta_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)BS_Put(S , K , t , r , v ) Prima de un Putpor Black-ScholesdNd1_dd1(S , K , t , r , v )Derivada parcial de la funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d1 respecto al parmetro d1Nd_2(S , K , t , r , v ) Funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d2BS_Call(S , K , t , r , v ) Prima de un Call por Black-ScholesFuncinBlack_Scholes - Activo subyacente que no distribuye dividendosd_1(S , K , t , r , v ) Parmetro d1d_2(S , K , t , r , v ) Parmetro d2Nd_1(S , K , t , r , v ) Funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d1Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones28 Alternativamente al anlisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas_dividendos.xls, se pueden utilizar las siguientes funciones: Griegas - Activos que distribuyen dividendos (tasa continua) DescripcinParmetro d1Parmetro d2d1_dividendos(S , K , t , r , v , q)d2_dividendos(S , K , t , r , v , q)FuncinBlack_Scholes_Dividendos - Activo subyacente que distribuye dividendos en tasa continuaNd1_dividendos(S , K , t , r , v , q) Funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d1Nd2_dividendos(S , K , t , r , v , q) Funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d2BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Prima de un Putpor Black-ScholesDelta_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Delta_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Gamma_BS_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la Delta de la prima de una opcin ante variaciones en el precio del activo subyacenteVega_BS_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin ante variaciones en la volatilidad del activo subyacenteRho_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tipo de intersRho_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tipo de intersTheta_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en aos)Theta_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en aos)ThetaDiaria_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en das)ThetaDiaria_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en das)vol_implic_BS_call_dividendos(S , K , t , r , CallBS , q ) Volatilidad implcita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_dividendos(S , K , t , r , PutBS , q ) Volatilidad implcita negociada en la prima de un PutLmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones29 Alternativamente al anlisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas_divisas.xls, se pueden utilizar las siguientes funciones: Garman Kohlhagen - Griegas Descripcin Funcind1_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera) Parmetro d1d2_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera) Parmetro d2Nd1_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)Funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d1Nd2_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)Funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d2BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera) Prima de un Putpor Black-ScholesDelta_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Delta_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Gamma_BS_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la Delta de la prima de una opcin ante variaciones en el precio del activo subyacenteVega_BS_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin ante variaciones en la volatilidad del activo subyacenteRho_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tipo de intersRho_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tipo de intersTheta_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en aos)Theta_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en aos)ThetaDiaria_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en das)ThetaDiaria_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en das)vol_implic_BS_call_divisas(S , K , t , r_local , CallBS , r_extranjera ) Volatilidad implcita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_divisas(S , K , t , r_local , PutBS , r_extranjera ) Volatilidad implcita negociada en la prima de un PutBlack_Scholes_DivisasLmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones30 Anlisis de estrategias Objetivo: analizar el perfil de resultados y sensibilidades de la conjuncin de diversos activos (opciones y acciones) Programa: Black_Scholes_y_derivaciones.xls Ubicacin:Hoja Analisis de posiciones Variables a suministrar Precio accin subyacente Precio de ejercicio Vencimiento (das) Volatilidad Tipo de descuento Tipo de activo (opcin u accin) Nmero de ttulos Anlisis: Perfil de resultados Sensibilidades de los activos ante variaciones del activo subyacente (griegas) Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin MODELO DE BLACK SCHOLESAnlisis de estrategiasBlack_Scholes_Opciones_realesPrecio accion subyacente 30.50 3050Precio de ejercicio 30.00 3000 Diaria Semanal Hasta vto.Vto (das) 90 90 0.46 1.00 4.33Volatilidad 23.75% 2375Tipo de descuento 3.490% 3490Vto (aos) 0.25Nmero de ttulosTipo(S/C/P)Precio EjercicioPrecio terico Precio efectivoVolatilidad implcita300 S 30.00 9,150.00 9,150.00 N/A-150 C 30 -273.95 -273.95 23.75%-200 P 30 -213.89 -213.89 23.75%Total 8,662.16 8,662.16 Nmero de ttulosTipo(S/C/P)Delta Gamma Vega Theta (diaria) Rho300.00 S 300.00 0.00 0.00 0.00 0.00(150.00) C (91.01) (16.04) (8.73) 1.39 6.16(200.00) P 78.65 (21.39) (11.64) 1.29 (6.44)287.64 (37.43) (20) 3 (0)95%Nmero de ttulosTipo(S/C/P)VaR diario Var semanal300.00 S 225.17 495.69(150.00) C (68.31) (150.38)(200.00) P 59.03 129.95B/P = Valor de la posicin -VF(Coste de la posicion) Confianza 95.00%1.959962787St 1.00 16.00 31.00 46.00 61.00 76.00 90.00 Rango27.00 -112.10 -119.42 -141.26 -171.39 -204.72 -239.16 -271.52 -1.9627.35 -42.13 -52.75 -82.15 -118.65 -156.99 -195.47 -230.94 -1.7627.70 27.83 11.42 -27.13 -70.38 -113.77 -156.18 -194.64 -1.5728.05 97.80 71.82 22.89 -27.21 -75.47 -121.60 -162.86 -1.3728.40 167.77 126.92 67.01 10.33 -42.46 -91.98 -135.76 -1.1828.75 237.72 175.01 104.40 41.75 -15.03 -67.51 -113.49 -0.9829.10 307.39 214.44 134.37 66.71 6.60 -48.33 -96.12 -0.7829.45 373.70 243.79 156.41 84.95 22.32 -34.49 -83.69 -0.5929.80 423.08 262.09 170.23 96.37 32.09 -26.00 -76.18 -0.3930.15 434.32 268.94 175.79 101.00 35.96 -22.78 -73.51 -0.2030.50 406.04 264.58 173.26 98.99 34.07 -24.72 -75.58 0.0030.85 358.54 249.80 163.05 90.62 26.64 -31.64 -82.22 0.2031.20 306.59 225.83 145.72 76.25 13.93 -43.31 -93.25 0.3931.55 254.14 194.15 121.96 56.33 -3.72 -59.48 -108.45 0.5931.90 201.66 156.31 92.54 31.36 -25.96 -79.86 -127.58 0.7832.25 149.19 113.76 58.26 1.85 -52.38 -104.14 -150.38 0.9832.60 96.71 67.79 19.89 -31.65 -82.60 -132.00 -176.58 1.1832.95 44.24 19.42 -21.83 -68.63 -116.21 -163.13 -205.91 1.3733.30 -8.24 -30.55 -66.24 -108.58 -152.83 -197.20 -238.11 1.5733.65 -60.71 -81.55 -112.77 -151.04 -192.07 -233.90 -272.91 1.7634.00 -113.19 -133.19 -160.94 -195.60 -233.58 -272.94 -310.05 1.96Inters -0.84 -13.44 -26.03 -38.63 -51.22 -63.82 -75.58Resultados (B/P) vs das al vto.0475.27GriegasVaR (nivel de confianza)(216.08) (477.29) 215.89Var semanal VaR diarioDesv. Estand. Precio accinModelos de Valoracin de Opciones31 Valoracin - Activo sin dividendos Objetivo: valoracin de opciones europeas sobre acciones que no distribuyen dividendos Programa: Black_Scholes_y_derivaciones.xls Ubicacin:Hoja BS convencional Variables a suministrar Precio del activo subyacente Precio de ejercicio Fecha de valoracin Fecha de vencimiento Volatilidad subyacente Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro) Anlisis: Perfil de resultados Sensibilidad de la opcin ante variaciones del activo subyacente (delta) Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin MODELO DE BLACK SCHOLESActivo sin dividendosPrecio del activo subyacente en t=o (S) 8.25Precio de ejercicio (K) 8.00Fecha de valoracin 28/05/2004Fecha de vencimiento 24/11/2004Volatilidad subyacente 22%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.250%Tiempo al vto. (aos) 0.493Factor de descuento 0.984Das al vto. 180Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.20%Prima del Call (Black-Scholes) 0.7142Prima del Put (Black-Scholes) 0.3371Clculosln(S/K) 0.0308(r+ v^2/2) T0.0280 v T (.5) 0.1567d1= ( ln(S/K) +(r + v^2/2) t ) /v t (.5) 0.3753d2= d1-v t (.5) 0.2186N(d1) 0.6463N(d2) 0.5865N(-d1) 0.3537N(-d2) 0.4135KB(0,T)VA(K) 7.8729Se-qTN(d1) 5.3319KB(0,T) N(d2) 4.6177Prima del Call (Black-Scholes) 0.7142SN(-d1) 2.9181KB(0,T) N(-d2) 3.2552Prima del Put (Black-Scholes) 0.3371Prima del Call - Valor intrnseco0.000.501.001.502.002.503.003.505.72 6.22 6.73 7.24 7.74 8.25 8.76 9.26 9.77 10.28 10.78StPri maValor Intrnseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrnseco PutRatio de cobertura (Delta) :D= Bf (0,T) N(d1)-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.400.600.801.005.72 6.22 6.73 7.24 7.74 8.25 8.76 9.26 9.77 10.28 10.78StDel ta (N(d1)Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)Modelos de Valoracin de Opciones32 Valoracin - Activo con un calendario de dividendos concreto a corto plazo Objetivo: valoracin de opciones europeas sobre acciones con un calendario de reparto de dividendos a corto plazo. Programa: Black_Scholes_y_derivaciones.xls. Ubicacin: Hoja BS dividendos CP. Variables a suministrar. Precio del activo subyacente. Precio de ejercicio. Fecha de valoracin. Fecha de vencimiento. Volatilidad subyacente. Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro). Dividendos: importe y fechas de percepcin. Anlisis: Perfil de resultados. Sensibilidad de la opcin ante variaciones del activo subyacente (delta). Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin MODELO DE BLACK SCHOLESActivo con dividendos - Fechas concretas - Modelo C/PPrecio del activo subyacente en t=o (S) 9.15Precio de ejercicio (K) 8.50Fecha de valoracin 28/05/2004Fecha de vencimiento 28/05/2005Volatilidad subyacente 32%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.000%Fecha de percepcin ImporteDividendo n 1 27/06/2004 0.25Dividendo n 2 11/08/2004 0.25Dividendo n 3 10/09/2004 0.50Dividendo n 4 25/10/2004 0.50VA dividendos 1.49Tiempo al vto. (aos) 1.000Factor de descuento 0.970Das al vto. 365Tasa compuesta continua libre de riesgo 2.96%Prima del Call (Black-Scholes) 0.7371Prima del Put (Black-Scholes) 1.3233Clculosln((S-VA(Dividendos))/K) -0.1037(r+ v^2/2) T0.0800v * T ^.5) 0.3175d1= ( ln(S/K) +(r + v^2/2) t ) /v t (.5) -0.0748d2= d1-v t (.5) -0.3923N(d1) 0.4702N(d2) 0.3474N(-d1) 0.5298N(-d2) 0.6526KB(0,T)VA(K) 8.2488Se-qTN(d1) 3.6028KB(0,T) N(d2) 2.8657Prima del Call (Black-Scholes) 0.7371(S-VA(Dividendos)) N(-d1) 4.0598KB(0,T) N(-d2) 5.3831Prima del Put (Black-Scholes) 1.3233Prima - Valor intrnseco0.001.002.003.004.005.006.002.89 3.85 4.80 5.76 6.71 7.66 8.62 9.57 10.52 11.48 12.43St - VA(Dividendos)Pri ma Valor Intrnseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrnseco PutRatio de cobertura (Delta) :D= Bf (0,T) N(d1)-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.400.600.801.002.89 3.85 4.80 5.76 6.71 7.66 8.62 9.57 10.52 11.48 12.43St - VA(Dividendos)Del ta (N(d1)Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)Modelos de Valoracin de Opciones33 A continuacin se detallan las funciones que permiten obtener los parmetros de sensibilidad y primas de estas opciones: Griegas - Activos que distribuyen dividendos (modelo corto plazo) Descripcin Funcind1_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos) Parmetro d1d2_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos) Parmetro d2Nd1_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)Funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d1Nd2_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)Funcin de probabilidad acumulada para la variable normalizada estndar d2BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos) Prima de un Putpor Black-ScholesDelta_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Delta_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Gamma_BS_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la Delta de la prima de una opcin ante variaciones en el precio del activo subyacenteVega_BS_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin ante variaciones en la volatilidad del activo subyacenteRho_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tipo de intersRho_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tipo de intersTheta_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en aos)Theta_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en aos)ThetaDiaria_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en das)ThetaDiaria_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opcin Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en das)vol_implic_BS_call_dividendosCP(S , K , t , r , CallBS , VA_Dividendos ) Volatilidad implcita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_dividendosCP(S , K , t , r , PutBS , VA_Dividendos ) Volatilidad implcita negociada en la prima de un PutBlack_Scholes_DividendosCPLmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones34 Valoracin - Activo con reparto de dividendos en tasa continua Objetivo: valoracin de opciones europeas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua. Programa: Black_Scholes_y_derivaciones.xls. Ubicacin: Hoja BS dividendos continuos. Variables a suministrar. Precio del activo subyacente. Precio de ejercicio. Fecha de valoracin. Fecha de vencimiento. Volatilidad subyacente. Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro). Tasa de dividendos continua. Anlisis: Perfil de resultados. Sensibilidad de la opcin ante variaciones del activo subyacente (delta). Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin MODELO DE BLACK SCHOLESBlack-Scholes - Tasa de dividendos continuaPrecio del activo subyacente en t=o (S) 25.00Precio de ejercicio (K) 24.50Fecha de valoracin 28/05/2004Fecha de vencimiento 12/07/2004Tasa de dividendos (continua) 5.000%Volatilidad subyacente 24%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.500%Tiempo al vto. (aos) 0.123Factor de descuento 0.996Das al vto. 45Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.44%Prima del Call (Black-Scholes) 1.0561Prima del Put (Black-Scholes) 0.6043Clculosln(S/K) 0.0202(r- q+ s2/2) T0.0015 s T (.5)0.0825d1= ( ln(S/K) +(r -q + s2/2) t ) /s t (.5)0.2628d2= d1-s t (.5)0.1803N(d1) 0.6036N(d2) 0.5715N(-d1) 0.3964N(-d2) 0.4285KB(0,T)VA(K) 24.3945Se-qTN(d1) 14.9984KB(0,T) N(d2) 13.9422Prima del Call (Black-Scholes) 1.0561Se-qTN(-d1) 9.8480KB(0,T) N(-d2) 10.4523Prima del Put (Black-Scholes) 0.6043Prima del Call - Valor intrnseco0.000.501.001.502.002.503.003.504.004.505.0020.96 21.77 22.57 23.38 24.19 25.00 25.81 26.62 27.43 28.23 29.04StPrimaValor Intrnseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrnseco PutRatio de cobertura (Delta) :D= Bf (0,T) N(d1)-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.400.600.801.0020.96 21.77 22.57 23.38 24.19 25.00 25.81 26.62 27.43 28.23 29.04StDelta (N(d1)Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)Modelos de Valoracin de Opciones35 Valoracin - Garman Kohlhagen - Divisas Objetivo: valoracin de opciones europeas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua. Programa: Black_Scholes_y_derivaciones.xls. Ubicacin: Hoja BS divisas - Garman Kohlhagen. Variables a suministrar. TC spot (cents./Unidad)(S). Precio de ejercicio (K). Fecha actual. Fecha de vencimiento. Volatilidad anualizada del TC. Rentabilidad letra tesoro. Rentabilidad ttulo soberano extranjero. Anlisis: Perfil de resultados. Sensibilidad de la opcin ante variaciones del activo subyacente (delta). Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin MODELO DE BLACK SCHOLESGarman Kohlhagen - Divisas - Black-ScholesTC Spot (cents./unidad)(S) 99.35Precio de ejercicio (K) 99.75Fecha actual 28/05/2004Fecha de vencimiento 26/08/2004Volatilidad anualizada del TC 35.75%Rentabilidad letra tesoro 3.50%Rentabilidad ttulo soberano extranjero 3.35%Das al vencimiento 90.000 Aos al vto 0.247Factor de descuento (domstico),B(0,T): 0.9914Tasa de dto continuo compuesta (domstica) 0.01%Factor de descuento (extranjero),Bf(0,T): 0.9918Tasa de dto continuo compuesta (extranjera) 0.01%Prima Call (cents.) 6.8032Prima Put (cents.) 7.1633Paridad Put-CallB(0,T) K + call: 105.696Bf(0,T)S(0)+ put=105.696Clculosln ([S(0)Bf (0,T)]/[KB(0,T)]) -0.004 s2T/20.016 s T (.5)0.178d1=(ln([S(0)Bf (0,T)]/[KB(0,T)]) +s2T/2)/sT (.5)0.06821d2= d1-s t (.5)-0.1093N(d1) 0.5272N(d2) 0.456N(-d1) 0.473N(-d2) 0.544KB(0,T) 98.893Prima Call (cents.) 6.80317Bf(0,T) S(0) N(d1) 51.946B(0,T)KN(d2) 45.142Prima Put (cents.) 7.16330TC forward terico, f (0,T): 99.3868Call delta, Bf(0,T)N(d1): 0.5229Put delta, -Bf(0,T)N(-d1): -0.4689Prima del Call - Valor intrnseco0.005.0010.0015.0020.0025.0030.0035.0040.0064.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92TC SpotPri ma (Garman-Kohl hagen adaptaci n de Bl ack-Schol es)Valor Intrnseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrnseco PutRatio de cobertura (Delta) :D= Bf (0,T) N(d1)-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.400.600.801.0064.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92TC SpotDel ta (N(d1)Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)Modelos de Valoracin de Opciones36 MODELO DE BLACK SCHOLESValoracin de Warrants - Tasa de dividendos continuaPrecio del activo subyacente en t=o (S) 15.65Precio de ejercicio (K) 17.25Fecha de valoracin 28/05/2004Fecha de vencimiento 24/11/2004Tasa de dividendos (continua) 5.000%Volatilidad subyacente 37.00%N acciones en circulacin 750,000N warrants vivos 15,000Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.500%Tiempo al vto. (aos) 0.493Factor de descuento 0.983Das al vto. 180Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.44%Prima Warrant Call (Black-Scholes) 0.8478Precio ajustado de las acciones 15.3598Prima Warrant Put (Black-Scholes) 2.7934Precio ajustado de las acciones 15.3979Clculosln(S/K) -0.0973(r- q+ s2/2) T0.0261 s T (.5)0.2598d1= ( ln(S/K) +(r -q + s2/2) t ) /s t (.5)-0.2743d2= d1-s t (.5)-0.5342N(d1) 0.3919N(d2) 0.2966N(-d1) 0.6081N(-d2) 0.7034KB(0,T)VA(K) 16.9548Se-qTN(d1) 5.9841KB(0,T) N(d2) 5.0291Prima del Call (Black-Scholes) 0.9550Se-qTN(-d1) 9.2847KB(0,T) N(-d2) 11.9257Prima del Put (Black-Scholes) 2.6410Prima del Call - Valor intrnseco0.002.004.006.008.0010.0012.0064.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92StPrima del WarrantValor Intrnseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrnseco PutRatio de cobertura (Delta) :D= Bf (0,T) N(d1)-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.400.600.801.0064.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92StDelta (N(d1)Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)Valoracin - Warrants Objetivo: valoracin de warrants sobre opciones europeas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua. Programa: Black_Scholes_y_derivaciones.xls. Ubicacin: Hoja Warrants. Variables a suministrar. Precio del activo subyacente. Precio de ejercicio. Fecha de valoracin. Fecha de vencimiento. Tasa de dividendos (continua). Volatilidad subyacente. N acciones en circulacin. N warrants vivos. Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro). Anlisis: Perfil de resultados. Sensibilidad de la opcin ante variaciones del activo subyacente (delta). Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin Modelos de Valoracin de Opciones37 Valoracin Warrants - Funciones VBA Alternativamente a la aplicacin desarrollada, se pueden utilizar las siguientes funciones: DescripcinWarrantsWarrant_Put_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )Warrant_Sajustado_BS_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )Funcinvol_implic_Warrant_BS_put_dividendos(S , K , t , r , PutBS , q , N_Acc , N_Warr )vol_implic_Warrant_BS_call_dividendos(S , K , t , r , CallBS , q , N_Acc , N_Warr )Warrant_BS_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr ) Prima de un Call WarrantPrima de un Put WarrantPrecio ejustado del subyacente al vencimiento de los Call WarrantPrecio ejustado del subyacente al vencimiento de los Put WarrantVolatilidad implcita negociada en un Call WarrantVolatilidad implcita negociada en un Put WarrantWarrant_Sajustado_BS_Put_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )Lmites de valoracin Black Scholes Opciones reales Opciones sobre tipos de inters rboles binomiales Simulacin de Montecarlo: opciones europeas y exticas Notas finales Introduccin