exercícios resolvidos callen

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  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    1/13

    Universidade Federal do Amazonas

    Instituto de Cincias Exatas

    Departamento de Fsica

    Exerccios de Termodinmica

    Problemas - Captulo 2

    Problemas Seo 2.2

    2.2-1 Encontre as trs equaes de estado para um sistema com a equao fundamental

    U v0

    R2S3

    NV.

    Soluo So as equaes que expressam os parmetros intensivos em termos dos parmetrosextensivos independentes. Neste caso sero

    T US V,N

    T 3v0

    R2S2

    NV

    P UV S,N

    P v0

    R2S3

    NV2

    UN S,V

    v 0R2

    S3

    N2V

    2.2-2 Para o sistema do problema 2.2-1 determine em funo de T, Ve N.

    Soluo Das expresses para e T, encontramos

    T 1

    3S

    N 1

    3S

    NT

    e isolandoSda equao deT, ou seja,

    S R NV3v0

    T

    encontramos

    13

    RN

    T NV3v0

    T R3 3v0

    VN

    1/2

    T3/2

    2.2-3 Mostre, atravs de um diagrama (em escala arbitrria), a dependncia da presso com ovolume para temperatura fixa para o sistema do problema 2.2-1. Desenhe tais isotermas,correspondentes a dois valores da temperatura, e indique qual isoterma corresponde temperaturamais elevada.

    Soluo Das expresses dePe T, encontramos

    PT

    13

    SV

    P 13

    SV

    T

    IsolandoSda expresso paraT, encontramos

    P 13

    TV

    R NV3v0

    T R

    3 3v0

    NV

    1/2

    T3/2

    ComoP definido para Nfixo, as isotermas so

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    2/13

    Exerccios de Termodinmica 2

    P

    V

    As isotermas crescem para cima.

    2.2-4 Determine as trs equaes de estado para um sistema com equao fundamental

    u R

    s2 Rv0

    2 v2.

    Soluo Neste caso, a equao fundamental dada em termos de quantidades molares. Aenergia interna pode ser escrita como

    U US, V,N US, V,N Nu SN

    , VN

    , 1 Nus, v

    ou seja,

    US, V,N R

    S2

    N

    Rv0

    2V2

    N

    Logo,

    T US V,N

    us v

    T 2R

    s

    P UV S,N

    uv s

    P 2Rv0

    2 v

    UN S,V

    UN S,V

    S2

    v02

    R2

    V2

    RN2v02

    s2

    v02

    R2

    v2

    Rv02

    R

    s2 Rv0

    2 v2 u

    Outra forma de encontrar: Considera-seU NusN, vN, ondesN S/Ne vN V/N. Assim

    UN S,V

    N

    Nu u N N

    usN, vN u N us

    sN

    uv

    vN

    u N us

    sN

    uv

    vN

    u N sN

    us

    vN

    uv

    u sus vu

    v

    uTsPv u2 R

    s 2 Rv0

    2 v2 us, v.

    2.2-5 Expresse em funo de Te Ppara o sistema do problema 2.2-4.

    Soluo Da expresso da ltima linha do problema anterior

    uTsPv R

    s2 Rv0

    2 v2 TsPv

    Mas deT 2R

    s s R2

    Te deP 2Rv0

    2 v v

    v02

    2RP. Logo

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    3/13

    Exerccios de Termodinmica 3

    R

    s2 Rv0

    2 v2 TsPv

    RR2

    T2

    R

    v02

    v0

    2

    2RP

    2

    T R2

    T P v0

    2

    2RP

    14

    R2T2 v 02P2

    R 1

    4R

    T2 v0

    2

    R P2

    2.2-6 Determine as trs equaes de estado para um sistema com equao fundamental

    u v0

    Rs2

    v es/R.

    Soluo Da mesma forma que no problema anteriorUS, V,N Nus, ve portanto

    US, V,N v0

    RS2

    V e

    SNR .

    Assim,

    T US V,N

    us v

    T v0

    R2v

    sRv

    s esR 2s

    1R

    u

    P

    UV S,N

    uv s P

    v0

    R

    s2

    v2 e

    s

    R

    u

    v

    UN S,V

    v0R2

    S3

    VN2e

    SNR v0

    Rs2

    v esR s

    R s

    Ru

    2.2-7 Indique esquematicamente a dependncia da temperatura com o volume numa expansoadiabtica quase-estticadS 0para o sistema do problema 2.2-6.

    Soluo A temperatura uma funo dos parmetros intensivos da forma

    T TS, V,N

    Assim,

    dT TS V,N

    dS TV S,N

    dV TN S,V

    dN

    Para uma expanso quase-esttica,dS 0, encontra-se

    dT TV S,N

    dV TN S,V

    dN

    Como

    T v0

    R 2N S

    RS

    NV e

    SNR

    ento

    TV

    v0R2

    2NR S SNV2

    eS

    NR 2RN SRNSV

    U

    TN

    v0S2eS

    NR 3NRSR3N3V

    3RNSR4N3V2

    U

    logo,

    dT v0R

    S2

    V e

    SNR 2RN S

    RNSV dV 3RN S

    R4N3V2 dN

    ou

    T 2RN S

    RNSv0R

    S2eS

    NR dVV2

    S2

    R4N31

    V3v0R

    3RN SeS

    NR dN

    Mas dVV2

    1V c e ento podemos escrever esquematicamente,

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    4/13

    Exerccios de Termodinmica 4

    T aV b

    V3 c

    ondea, be c so parmetros que no dependem do volume.

    2.2-8 Subsituindo as Eqs. (2.20) e (2.21) na Eq. (2.25), mostre que se obtm a forma apropriada daEq. (2.6).

    Soluo As Eqs. (2.20), (2.21) e (2.25) sa

    s S/N, v V/N

    us, v 1N

    US, V,N

    du TdsPdv

    respectivamente. Ento fazendo o que se pede, encontramos

    d UN

    Td SN

    Pd VN

    1N

    dU UN2

    dN TN

    dS TSN2

    dN PN

    dV PVN2

    dN

    ou

    1N

    dU TN

    dS TSN2

    dN PN

    dV PVN2

    dN UN2

    dN

    ou

    dU

    TdSPdV

    PVTS UN dN

    que da forma da Eq. (2.6), isto , dU TdSPdV dN, para um tipo de partcula. Pode-se mostrarque o termo entre parnteses realmente , usando a propriedade de funo homogneo para U. Defato,

    US,V,N US, V,N

    Difenciando esta equao como relao a,

    US,V,N

    US, V,N

    Mas,

    US,V,N

    US,V,N

    SS

    US,V,N

    VV

    US,V,N

    NN

    SUS,V,N

    S VUS,V,N

    V NUS,V,N

    N

    Como a propriedade da funo homognea vale para qualquer valor de, vamos fazer 1. Assim

    SUS, V,N

    S V

    US, V,NV

    NUS, V,N

    N US, V,N

    Usando as definies de derivadas parciais, encontra-se

    US, V,N TSPV N

    Portanto, substituindo-se na equao PVTS UN

    encontra-se

    PVTSTSPV NN

    como havamos antecipado.

    Problemas Seo 2.3

    2.3-1 Determine as trs equaes de estado na representao da entropia para um sistema com aequao fundamental

    u v0

    1/2

    R3/2s5/2

    v1/2 .

    Soluo Como a relao fundamental foi dada na representao da energia, podemos calcularos parmetros intensivos nesta representao T,P, e fazer a transformao para a representao

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    5/13

    Exerccios de Termodinmica 5

    da entropiaF0,F1,F2 , atravs das relaes

    F0 1

    T, F1

    PT

    , F2

    T

    Assim, os parmetros na representao da energia so

    T us v

    5

    2

    v01/2

    R3/2s

    32

    v1/2

    52

    us

    P uv s

    1

    2

    v01/2

    R3/2s 52

    v32

    1

    2uv

    uTs Pv u 52

    u 12

    u u

    onde na ltima linha usamos o resultado do problema 2.2-8 para o clculo de . Agora podemos fazeras transformaes indicadas:

    F0 1T

    25

    su F0

    1T

    25

    SU

    F1 PT

    12

    uv

    52

    us

    1

    5sv F1

    PT

    15

    SV

    F2 T u52

    us

    25s F2 T 25 SN

    que so as equaes de estado na representao da entropia.

    2.3-2 Mostre, atravs de um diagrama (em escala arbitrria), a dependncia da temperatura com ovolume, para a presso constante, para o sistema do problema 2.3-1. Desenhe essas isbarascorrespondentes a dois valores da presso, e indique qual isbara corresponde maior presso.

    Soluo De

    U Nu

    encontramos

    U

    Nu

    N

    v01/2

    R3/2

    SN

    5/2

    VN

    1/2

    v01/2

    R3/2S5/2

    NV1/2

    As equaes de estado so

    T US V,N

    5

    2

    v01/2

    R3/2S

    32

    N V

    52

    US

    P UV S,N

    1

    2

    v01/2

    R3/2S

    52

    NV32

    1

    2UV

    UN S,V

    v0

    1/2

    R3/2S

    52

    N2 V U

    N

    De T e P encontramos

    TP

    52

    US

    12

    UV

    5VS

    Da expresso para P

    P 12

    v01/2

    R3/2S

    52

    NV32

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    6/13

    Exerccios de Termodinmica 6

    isolamosS

    S 225

    21v0

    R32 4

    25

    N2/5P2/5V3/5 N2/5P2/5V3/5

    Assim

    T 5PVS 5 PV

    N2/5P2/5V3/5

    P3/5V2/5

    N2

    5

    Logo

    T P3/5V2/5

    T 103/5V2/5

    T

    V

    As isbaras crescem para cima.

    2.3-3 Determine as trs equaes de estado na representao da entropia para um sistema comequao fundamental

    u R

    s2ev2/v0

    2

    .

    Soluo Repetindo o procedimento do problema anterior, encontramos

    T us v

    2 R

    sev

    2

    v02 2us

    P uv s

    2 R

    s2e

    v2

    v02 v

    v02 2uv

    v02

    uTs Pv u2 us 2uvv0

    2 1 2s 2

    vv0

    2 u

    Portanto

    F0 1T

    12

    su F0

    1T

    12

    SU

    F1 PT

    2uv

    v02

    2us

    svv0

    2 F1 P

    T SV

    N2v02

    F2

    T

    1 2s 2 vv0

    2 u

    2us

    F2

    T

    Vv0

    2

    1S 1

    2S

    N

    Problemas Seo 2.6

    2.6-1 Por definio, a temperatura de um sistema composto de gelo, gua e vapor dgua em

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    7/13

    Exerccios de Termodinmica 7

    equilbrio mtuo vale exatamenteigual a 273,16 K. A temperatura de um sistema gelo-gua a 1 atm depresso ento medida e obtm-se o valor 273,15 K com imprecisao na terceira e quarta casasdecimais. A temperatura de um sistema gua-vapor dgua (i.e., gua em ebulio) a 1 atm tambmmedida e vale 373,15 K 0,01 K. Calcule a temperatura do sistema gua-vapor dgua com 1 atm depresso, com seus provveis erros, nas escalas Celsius, Fahrenheit absoluto e Fahrenheit.

    2.6-2 A constante de gs R uma constante cujo o valor R 1,986 cal/mol K ou R 1,986

    cal/mol

    o

    C. ExpresseR em unidades de J/mol

    o

    F.

    2.6-3 Dois sistemas particulares tm as seguintes equaes de estado:

    1

    T1

    32

    R N1

    U1

    e

    1

    T2

    52

    R N2

    U2

    onde R uma constante tendo o valor R 1,986 cal/mol K. O nmero de mol do primeiro sistem N1 2 e do segundo, N2 3. Os dois sistemas so separados por uma parede diatrmica e aenergia total no sistema composto de 6.000 cal. Qual a energia interna de cada sistema emequilbrio?

    Soluo No equilbrio (veja Eq. 2.37)1

    T1

    1

    T2

    o que implica

    32

    R N1

    U1

    52

    R N2

    U2 3U2N1 5N2U1

    A equao de conservao nos fornece

    U1 U2 U U2 UU1

    Ento

    U1 3U N1

    3N1 5N2

    SubstituindoU 6.000cal,N1 2e N2 3, encontra-se

    U1 18000 26 15

    U1 1714, 3cal

    Logo,

    U2 6000U1 6.0001. 714, 3 4.285, 7 cal

    2.6-4 Dois sistema com as equaes de estado dadas no problema 2.6-3 so separados por umaparede diatrmica. Os respectivos nmeros de mols so N1 2 e N2 3. As temperaturas iniciaisso T1 250 K e T2 350 K. Quais so os valores de U1 e U2 depois que o equilbrio foiestabelecido? Qual a temperatura de equilbrio?

    Soluo Sejam as equaes de estado do sistema

    1

    T1

    32

    R N1

    U1

    1T2

    52

    R N2U2

    Para os valores iniciais da temperatura, podemos calcular os valores iniciais das energias internas decada subsistema, usando as equaes de estado e os nmeros de mols. Logo,

    Ui1

    3

    2RN1Ti

    1

    32 1.986 2 250 1489. 5cal

    Ui2

    5

    2RN2Ti

    2

    52 1.986 3 350 5213. 3 cal

    Ento,

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    8/13

    Exerccios de Termodinmica 8

    U Ui1

    Ui2

    1489. 5 5213. 3 6702. 8 cal

    No estado final de equilbrio, as temperaturas so iguais. Por isto,

    32

    R N1

    Uf1

    5

    2R N

    2

    Uf2

    3Uf2

    N1 5N2Uf1

    e

    Uf1

    Uf2

    U

    Logo,

    3 UUf1

    N1 5N2Uf1

    Uf1

    3U N1

    3N1 5N2

    Substituindo os valores, encontramos

    U1 3 6702. 8 26 15

    1915. 1cal

    e

    U2 UU1 6702. 81915. 1 4787. 7cal

    As teperaturas finais sero

    T1 23

    U1

    RN1

    23

    1915. 11.986 2

    321. 43 K

    T2 25

    U2RN2

    25 4787. 7

    1.986 3 321. 43K

    como se esperaria.

    Problemas Seo 2.7

    2.7-1 Dois sistemas particulares tm as seguintes equaes de estado

    1

    T1

    32

    R N1

    U1 , P

    1

    T1 RN

    1

    V1

    e

    1

    T2

    52

    R N2

    U2 , P

    2

    T2 RN

    2

    V2

    onde R 1,986 cal/mol K. O nmero de mols do primeiro sistema N1 0, 5 e o do segundo,N2 0,75. Os dois sistemas esto contindos num cilindro fechado, separados por um pistodiatrmico mvel. As temperaturas inciais so T1 200 K e T2 300 K, e o volume total de 20litros. Qual a energia e o volume de cada sistema em equilbrio? Quanto vale a presso e atemperatura?

    Soluo Das condies iniciais obtm-se

    Ui1

    3

    2RN1Ti

    1 U1 3

    2 1.986 0. 5 200 297. 9cal

    Ui2

    5

    2RN2Ti

    2 Ui

    2

    52 1.986 0.75 300 1117. 1cal

    Portanto, a energia total do sistema (constante) vale

    U Ui1

    Ui2

    297. 9 1117. 1 1415cal.

    No estado final de equilbrio, tantoPquantoTso iguais nos dois subsistemas. Logo,32

    R N1

    U1

    52

    R N2

    U2 3N1U2 5N2U1

    RN1

    V1 RN

    2

    V2 N1V2 N2V1

    As outras duas equaes so as condies de fechamento:

    U1 U2 U

    V1 V2 V

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    9/13

    Exerccios de Termodinmica 9

    Da podemos obter os quatro parmetros que procuramos no estado final do sistema. Ou seja,

    3N1UU1 5N2U1

    N1VV1 N2V1

    Ento

    Uf1

    3U N1

    3N1 5N2 Uf

    1 3 1415 0. 5

    3 0. 5 5 0.75 404. 28cal

    0.28571

    Vf1

    V N1

    N1 N2 Vf

    1 20 0. 5

    0. 5 0.75 8. 0litros

    Os demais valores so:

    Uf2

    UUf1

    Uf2

    1415404. 28 1010. 7cal

    Vf2

    VVf1

    Vf2

    208 12litros

    Temperaturas finais:

    Tf1

    2

    3

    Uf1

    RN1 Tf

    1

    23

    404. 281.986 0. 5

    271. 42

    Tf

    1

    2

    5

    Uf2

    RN2

    Tf

    1

    2

    5

    1010. 7

    1.986 0.75 271. 42

    Presses finais:

    Pf1

    RN1

    Vf1

    Tf1

    Pf1

    1.986 0. 58 271. 42 33. 69cal/litro

    Pf2

    RN2

    Vf2

    Tf2

    Pf1

    1.986 0.7512

    271. 42 33. 69cal/litro

    Obs.: A unidade cal/litro vale

    1cal 4.18J

    1litro 103 m3

    portanto

    1cal/litro 4.18103

    J/m3 4.18 10 3Pa

    Problemas Seo 2.8

    2.8-1 A equao fundamental de um tipo particular de sistema de dois constituintes

    S NANR ln U3/2V

    N5/2 N1R ln

    N1N

    N2R ln N2N

    N N1 N2

    onde R 1,986 cal/mol K e A uma constante desconhecida. Um cilindro rgido fechado de volumetotal igual a 10 litros dividido em duas cmaras de igual volume por uma membrana rgida diatrmica,permevel ao primeiro componente, mas impermevel ao segundo. Numa das cmaras, coloca-se

    uma amostra do sistema com parmetros iniciais N11 0,5, N21 0,75, V1 5 litros e T1 300 K.Na segunda cmara coloca-se uma amostra com parmetros iniciais N1

    2 1, N2

    2 0,5, V2 5

    litros e T2 250 K. Depois que o equilbrio estabelecido, quais so os valores de N11

    , N12

    , T, P1

    eP2?

    Soluo Seja a equao fundamental na representao da entropia

    S NA NR ln U3/2V

    N5/2 N1

    R ln

    N1

    N N2

    R ln

    N2

    N

    A entropia total

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    10/13

    Exerccios de Termodinmica 10

    S S1 S2

    Processo virtual:

    dS 1T1

    dU1 1

    T1dN1

    1

    1

    T2dU2

    2

    T2dN1

    2

    Condies de conservao

    U1 U2 constante dU2 dU1

    N11 N12 constante dN12 dN11

    Ento

    dS 1

    T1 1

    T2 dU1

    1

    T1

    2

    T2

    ComodSdeve ser anular para valores arbitrrios dedU1 edN11

    , no equilbrio teremos

    1

    T1

    1

    T2

    1

    T1

    2

    T2

    Equaes de estado na representao da entropia:

    1

    T

    S

    U

    T

    S

    N1

    As diversas derivadas da entropia so:

    S1

    U1

    32

    N1RU1

    S1

    N11

    A R ln V1

    N1U1

    N1

    3/2

    52

    RR ln N1

    1

    N1

    S2

    U2

    32

    N2RU2

    S2

    N12 A R ln V

    2

    N2 U2

    N2

    3/2

    52RR ln N

    2

    2

    N2

    Desta forma podemos escrever as equaes de estado:

    1

    T1

    32

    N1RU1

    1

    T1 A R ln V

    1

    N1U1

    N1

    3/2

    52

    RR ln N1

    1

    N1

    1

    T2

    32

    N2RU2

    2

    T2 A R ln V

    2

    N2U2

    N2

    3/2

    52

    RR ln N2

    2

    N2

    Para os subsistemas podemos escrever:

    S1 N1A N1R ln U13/2V1

    N15/2 N1

    1R ln

    N11

    N1 N2

    1R ln

    N21

    N1

    S2 N2A N2R ln U23/2V2

    N25/2 N1

    2R ln

    N12

    N1 N2

    1R ln

    N22

    N2

    Valores finais dos parmetros - condies de equilbrio.

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    11/13

    Exerccios de Termodinmica 11

    1

    T1

    1

    T2 3

    2N1R

    U1

    32

    N2RU2

    1

    T1

    2

    T2

    A R ln V1

    N1U1

    N1

    3/2

    52

    RR ln N1

    1

    N1

    A R ln V2

    N

    2

    U2

    N

    2

    3/2

    52

    RR ln N2

    2

    N

    2

    ou, simplicando estas equaes, encontramos

    N1

    U1

    N2

    U2

    e

    ln V1

    N1U1

    N1

    3/2

    ln V2

    N2U2

    N2

    3/2

    ln N1

    1

    N1 ln

    N22

    N2

    A ltima condio ainda pode ser escrita como

    ln V1

    V2N2

    N1N2

    N1U1

    U2

    3/2

    ln N2N1

    1

    N1N22

    que resulta emV1

    V2N2

    N1N2U1

    N1U2

    3/2

    N2N1

    1

    N1N22

    ParaV1 V2

    N2U1

    N1U2

    3/2

    N1

    1

    N22

    Usando a condio

    N1

    U1

    N2

    U2 N2U1 N1U2

    temos

    N

    2

    U2 U

    1

    N1

    3/2

    N11

    N22 N1

    1

    N22

    Esta condio nos diz que o nmero de partculas do tipo 1 no subsistema 1 igual ao nmero departculas do tipo 2 no subsistema 2. Sabemos que

    N N1 N2 N11

    N21

    N12

    N22

    N21

    N12

    2N22

    ou, reunindo as duas equaes

    N11

    N22

    N12

    N2N22 N2

    1

    Para encontrarmos as energias, usamos as condies

    N1

    U1

    N2

    U2

    U1 U2 UValores numricos.As condies iniciais dadas foram:

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    12/13

    Exerccios de Termodinmica 12

    N11

    0. 5 N12

    1

    N21

    0.75 N22

    0. 5

    N1 1.25 N1

    N2

    N2 1. 5 N N1 N2 2.75

    V1 5l V2 5l

    T1 300K T2 250K

    Clculo da energia interna. Usando as equaes de estado e as condies iniciais encontramos

    1

    T1

    S1

    U1

    32

    R N1

    U1

    1

    T2

    S2

    U2

    32

    R N2

    U2

    Podemos calcular a energia interna total do sistema

    U1 32

    RN1T1 Ui1

    3

    2 1.986 1.25 300 1117. 1cal

    U2 32

    RN2T2 Ui2

    3

    2 1.986 1.50 250 1117. 1cal

    Logo,

    U Ui1

    Ui2

    2234. 2 cal

    Assim, da condies

    N1

    U1

    N2

    U2

    U1 U2 U U2 UU1

    encontramos

    N1UU1 N2U1

    que nos fornece a soluo

    U1 N1

    N1 N2 U

    Usando os valores numricosU 2234. 2 cal,N1 1.25e N2 1.5, encontra-se

    U1 1.25

    1.25 1. 5

    2234. 2 1015. 5cal

    e, portanto

    U2 2234. 21015. 5 1218. 7cal

    Nmero de mols.Das relaes acima, encontramos

    N11

    N22

    N11

    0. 5mol

    e

    N12

    N2N22 N2

    1 2.752 0. 51 0.75mol

    Temperaturas. Usando a equao de estado

    1

    T1

    32

    N1RU1

    encontramos

    T1 23

    U1

    N1R 2

    31015. 5

    1.25 1.986 272. 7K

    T2 23

    U2

    N2R

    23

    1218. 71. 5 1.986

    272. 7K

    Usando a equao fundamental

    S NA NR ln U3/2V

    N5/2 N1

    R ln

    N1

    N N2

    R ln

    N2

    N

    encontramos a equao de estado para cada subsistema

  • 7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen

    13/13

    Exerccios de Termodinmica 13

    P

    T

    S

    V

    NRV

    ou

    P1 N1RT1

    V1

    1.25 1.986 272. 75

    135. 4cal/l

    P2 N2RT2

    V2

    1. 5 1.986 272. 75

    162. 5cal/l

    Respostas: Valores finais

    N11

    0. 5mols

    N12

    0. 7mols

    T 272. 7K

    P1 135. 4cal/l

    P2 162. 5cal/l