everyman diff eq's

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  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    1/86

    T h e L a z y S t u d e n t M a n u a l t o M a t h 0 2 3 a t D a r t m o u t h

    A s t u d y g u i d e b y y o u r n e i g h b o r h o o d f r i e n d l y N i c k C e m e n e n k o f f

    1

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    2/86

    B a s i c D e f i n i t i o n s

    O r d i n a r y D i e r e n t i a l E q u a t i o n ( O D E ) : a d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t o n l y h a s o r d i n a r y d e r i v a t i v e s i n i t

    ( i . e . n o t h i n g p a t h o l o g i c a l o r c r a z y , j u s t w h a t y o u ' d e x p e c t )

    P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n ( P D E ) : a d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t c o n t a i n s p a r t i a l d e r i v a t i v e s

    L i n e a r D i e r e n t i a l E q u a t i o n : c h a r a c t e r i z e d b y t w o t h i n g s : ( 1 ) t h e r e a r e n o p r o d u c t s o f y (t) a n d i t s d e r i v a t i v e s , a n d ( 2 )

    y (t) a n d i t s d e r i v a t i v e s a r e o n l y r s t o r d e r

    N o n l i n e a r D i e r e n t i a l E q u a t i o n : a n y d i e r e n t i a l e q u a t i o n w h i c h v i o l a t e s o n e o f t h e p r o p e r t i e s d e s c r i b e d

    i n t h e d e n i t i o n o f a l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n

    I n i t i a l C o n d i t i o n s : v a l u e s o f t h e s o l u t i o n a t s p e c i c p o i n t s

    I n i t i a l V a l u e P r o b l e m : a p r o b l e m t h a t g i v e s a d i e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h a n a p p r o p r i a t e n u m b e r o f a s s o -

    c i a t e d i n i t i a l c o n d i t i o n s ( e x . 4x2y + 12xy + 3y = 0 , y (4) = 18 , y (4) = 364 )

    G e n e r a l S o l u t i o n : a s o l u t i o n t o a d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t d o e s n ' t t a k e i n i t i a l c o n d i t i o n s i n t o a c c o u n t

    ( e x . g i v e n 2ty + 4y = 3 , a g e n e r a l s o l u t i o n w o u l d b e y (t) = 34 + ct2 )

    A c t u a l S o l u t i o n : a s p e c i c s o l u t i o n t h a t s a t i s e s t h e g i v e n d i e r e n t i a l e q u a t i o n a s w e l l a s t h e a s s o c i a t e d

    i n i t i a l c o n d i t i o n s

    E x p l i c i t S o l u t i o n : a n y s o l u t i o n g i v e n i n t h e f o r m y = y (t) ; b a s i c a l l y a s o l u t i o n w r i t t e n w i t h y o c c u r i n g o n l y o n t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n a n d r a i s e d t o t h e r s t p o w e r ( e x . y (t) = t2 + t + 1 i s a n e x p l i c i t s o l u t i o n )

    I m p l i c i t S o l u t i o n : a n y s o l u t i o n t h a t i s n ' t e x p l i c i t ( e x .

    sin (xy) = y2x2 + 4 i s a n i m p l i c i t s o l u t i o n )

    2

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    3/86

    S o l v i n g S e p a r a b l e D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s

    O u r m a i n g o a l i s t o n d a s o l u t i o n o f t h e f o r m y = y(t)

    1 . T h i s m e t h o d i s u s e d t o s o l v e a l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t h e f o l l o w i n g f o l l o w i n g f o r m :

    N(y)dy

    dx= M (x)

    I f t h e g i v e n e q u a t i o n i s n o t i n t h i s f o r m , t h i s m e t h o d w i l l f a i l .

    2 . T r e a t t h e

    dydx

    t e r m a s i f i t w e r e a n o r m a l f r a c t i o n , a n d t h e n s e p a r a t e t h e e q u a t i o n s o t h a t a l l y t e r m s

    a r e o n t h e l e f t s i d e , a n d a l l x t e r m s a r e o n t h e r i g h t .

    N(y) dy = M(x)dx

    3 . I n t e g r a t e b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n t o a r r i v e a t a g e n e r a l i m p l i c i t s o l u t i o n .

    N(y) dy =

    M(x)dx

    4 . I f r e q u i r e d , c h a n g e t h e g e n e r a l i m p l i c i t i o n s o l u t i o n t o a g e n e r a l e x p l i c i t s o l u t i o n , o r i f g i v e n i n i t i a l

    c o n d i t i o n s , s o l v e f o r t h e a c t u a l s o l u t i o n i n e x p l i c i t f o r m .

    ( a ) I f a s k e d f o r t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y , n d t h e d o m a i n o f o f t h e a c t u a l s o l u t i o n i n R , w r i t e o u t

    t h e p o s s i b l e i n t e r v a l s o f v a l i d i t y , a n d t h e n p i c k t h e o n e c o n t a i n i n g t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t

    v a r i a b l e g i v e n i n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s ( s e e t h e f o l l o w i n g e x a m p l e f o r c l a r i c a t i o n ) .

    E x a m p l e :

    S o l v e

    dydx

    = 6y2x2 g i v e n t h a t y (1) = 125 , a n d n d t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y .S e p a r a t e t h e e q u a t i o n a n d t h e n i n t e g r a t e f o r a g e n e r a l i m p l i c i t s o l u t i o n .

    1

    y2dy = 6xdx

    y2dy = 6

    xdx

    1y

    = 3x2 + c

    U s e t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s t o n d t h e a c t u a l i m p l i c i t s o l u t i o n .

    1 125 = 3 (1) + c

    25 = 3 + c

    c = 28

    1y

    = 3x2 28

    I s o l a t e y t o g e t t h e a c t u a l s o l u t i o n i n e x p l i c i t f o r m .

    3

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    #

    "

    !y (x) =

    1

    28 3x2

    F i n d t h e d o m a i n o f y ( x ) .

    domain of y(x)| 28 3x2 = 0

    domain of y(x)| x2 = 283

    domain of y(x)| x =

    28

    3 3.06

    S i n c e i n t e r v a l s o f v a l i d i t y m u s t b e c o n t i n u o u s b y d e n i t i o n , w e a r e t h e r e f o r e o n l y l e f t w i t h t h r e e p o s s i b l e

    i n t e r v a l s o f v a l i d i t y :

    , 28

    3

    28

    3, 28

    3 28

    3,

    N o w w e j u s t p i c k t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y t h a t c o n t a i n s x = 1.

    i n t e r v a l o f v a l i d i t y

    283 ,

    283

    4

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    S o l v i n g L i n e a r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s v i a a n I n t e g r a t i n g F a c t o r

    O u r m a i n g o a l i s t o n d a s o l u t i o n o f t h e f o r m

    y = y(t)

    1 . T h i s m e t h o d i s u s e d t o s o l v e a l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t h e f o l l o w i n g f o l l o w i n g f o r m :

    dy

    dt+p(t)y = g(t)

    I f t h e g i v e n e q u a t i o n i s n o t i n t h i s f o r m , t h i s m e t h o d w i l l f a i l .

    2 . M u l t i p l y t h e e q u a t i o n b y a n i n t e g r a t i n g f a c t o r (t) . W e d o n ' t k n o w w h a t (t) i s j u s t y e t , b u t w e w i l l s o l v e f o r i t l a t e r .

    (t)dy

    dt+ (t)p(t)y = (t)g(t)

    3 . N o w w e ' r e g o i n g t o a s s u m e t h a t w h a t e v e r (t) i s , i t ' s d e r i v a t i v e w i l l b e e q u i v a l e n t t o (t)p(t) . A g a i n ,d o n ' t w o r r y a b o u t w h y w e a r e d e n i n g (t) t h i s w a y . O u r r e a s o n i n g f o r d o i n g s o w i l l b e m a d e c l e a r a t s t e p 9 .

    (t) = (t)p(t)

    4 . D i v i d e b o t h s i d e s b y (t).(t)(t)

    = p(t)

    5 . N o t i c e

    (t)(t) =

    ddt

    [ln|(t)|]. S u b s t i t u t e i n t h i s f a c t a n d t h e n i n t e g r a t e b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n w i t h r e s p e c t t o t.

    d

    dt[ln|(t)|] = p(t)

    d

    dt[ln|(t)|]

    dt =

    p(t)dt

    ln|(t)| = p(t)dt + c6 . E x p o n e n t i a t e b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n t o i s o l a t e (t) .

    eln|(t)| = ep(t)dt+c

    |(t)| = ep(t)dt ec = ce

    p(t)dt

    * N o t e t h a t

    ecw i l l a l w a y s s i m p l i f y t o a s i n g l e u n k n o w n c o n s t a n t . B e c a u s e o f t h i s , w e c a n j u s t r e d e n e

    t h i s t e r m a s a s i n g l e u n k n o w n c o n s t a n t , c .

    7 . S u b s t i t u t e i n t h e s o l u t i o n f o r (t) i n t o t h e o r i g i n a l e q u a t i o n m u l t i p l i e d b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r .

    cep(t)dt

    dy

    dt

    + cep(t)dtp(t)y = ce

    p(t)dt g(t)

    8 . W e e l i m i n a t e c f r o m t h e e q u a t i o n b y d i v i d i n g t h e e n t i r e t h i n g b y c. ( W e a s s u m e c = 0 , b e c a u s e i f c = 0 ,t h e n o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w o u l d r e d u c e t o 0 = 0 . I n o t h e r w o r d s , o u r i n t e g r a t i n g f a c t o r w o u l d b e a s u s e l e s s a s m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y z e r o f r o m t h e o u t s e t o f t h e

    p r o b l e m . )

    cep(t)dt dy

    dt+ ce

    p(t)dtp(t)y

    c=

    cep(t)dtg(t)

    c

    ep(t)dt dy

    dt+ e

    p(t)dtp(t)y = e

    p(t)dtg(t)

    5

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    9 . N o w n o t i c e

    ddt

    ep(t)dt y

    = e

    p(t)dt dy

    dt+ e

    p(t)dtp(t)y b y t h e P r o d u c t R u l e . T h i s i s e q u i v a l e n t t o t h e

    l e f t h a n d s i d e o f o u r e q u a t i o n ! R e w r i t e i t a s s u c h :

    d

    dt

    ep(t)dt y

    = e

    p(t)dtg(t)

    1 0 . I n t e g r a t e b o t h s i d e s w i t h r e s p e c t t o

    t.

    d

    dt

    ep(t)dt y

    dt =

    ep(t)dtg(t)dt

    ep(t)dt y =

    ep(t)dtg(t)dt + c

    1 1 . I s o l a t e

    yb y d i v i d i n g e a c h s i d e o f t h e e q u a t i o n b y

    ep(t)dt

    .

    y =

    ep(t)dtg(t)dt + c

    ep(t)dt

    Y o u ' r e d o n e !

    E x a m p l e :

    S o l v e

    dydt

    + 12y =12e

    t3

    g i v e n t h a t y(0) = 1.

    F i r s t w e c h e c k i f t h e e q u a t i o n i s i n t h e f o r m

    dydt

    +p(t)y = g(t). I t i s .N o w w e m u l t i p l y b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r (t) .

    (t)dy

    dt+ (t)

    1

    2y = (t)

    1

    2et3

    S i n c e w e k n o w

    ddt

    [(t) y] = (t) dydt

    + (t)y , w e n e e d t o s o l v e f o r a (t) s u c h t h a t (t) = 12(t).

    (t) =1

    2(t)

    (t)(t)

    =1

    2

    d

    dt[ln|(t)|] = 1

    2

    d

    dt[ln|(t)|]

    dt =

    1

    2dt

    ln|(t)| = 12

    t + c

    eln|(t)| = cet2

    W e c a n j u s t l e t c = 1 h e r e b e c a u s e i t w i l l b e j u s t b e r e m o v e d f r o m o u r e q u a t i o n l a t e r .

    let c = 1

    (t) = et2

    N o w w e p l u g o u r i n t e g r a t i n g f a c t o r b a c k i n t o o u r o r i g i n a l e q u a t i o n w i t h t h e m u l t i p l i e d i n t e g r a t i n g f a c t o r

    a n d s i m p l i f y .

    6

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    7/86

    et2

    dydt

    +

    et2

    12

    y =

    et2

    12

    et3

    et2

    dy

    dt+

    1

    2et2 y =

    1

    2e56 t

    S i n c e w e k n o w

    ddt

    e

    t

    2 y

    = et

    2

    dydt +

    12et2y

    i s t r u e ( A c t u a l l y d o t h i s d e r i v a t i v e t o m a k e s u r e t h i s i s t r u e ! ) , w e

    c a n n o w r e w r i t e t h e e q u a t i o n a n d i n t e g r a t e .

    d

    dt

    et2 y

    =

    1

    2e56 t

    d

    dt

    et2 y

    dt =

    1

    2e56 tdt

    et2 y =

    3

    5e56 t + c

    y =35

    e56 t + c

    e

    t2

    y =3

    5et3 + ce

    t2

    P l u g i n t h e g i v e n i n t i t i a l c o n d i t i o n s y(0) = 1 a n d s o l v e f o r c .

    1 =3

    5e(0)3 + ce

    (0)2

    1 =3

    5e0 + ce0

    1 =3

    5+ c

    c =2

    5

    P l u g i n

    25 f o r

    cb a c k i n o u r o r i g i n a l a n s w e r , a n d w e ' r e d o n e !#

    "

    !y =

    3

    5et3 +

    2

    5e

    t2

    7

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    8/86

    S o l v i n g E x a c t D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s :

    L i k e a l w a y s , o u r m a i n g o a l i s t o n d a s o l u t i o n o f t h e f o r m y = y(t).

    F o r t h e p u r p o s e s o f c l a r i t y h o w e v e r , r s t w e ' r e g o i n g t o g o t h r o u g h a n e x a m p l e t o u n d e r s t a n d w h y t h e

    m e t h o d t h i s s t u d y g u i d e o u t l i n e s w o r k s r s t , t h e n w e w i l l g o i n t o a c t u a l l y a p p l y i n g t h e m e t h o d .

    S u p p o s e y o u a r e g i v e n a n d a s k e d t o s o l v e 2xy 9x2 + 2y + x2 + 1 dydx

    = 0. T h e m e t h o d w e w i l l l e a r n i n v o l v e s u s n d i n g a f u n c t i o n (x, y) t h a t w i l l h a v e c e r t a i n s p e c i a l q u a l i t i e s t h a t , w h e n a p p l i e d t o o u r p r o b l e m , m a k e s o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o l v a b l e . F o r t h i s p a r t i c u l a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n , t h e f u n c t i o n w e

    n e e d i s (x, y) = y2 +

    x2 1 y 3x3 . D o n ' t w o r r y j u s t y e t a b o u t h o w w e w i l l a c t u a l l y n d t h i s f u n c t i o n i f i t ' s n o t g i v e n . W e w i l l d o t h a t l a t e r . R i g h t n o w w e w i l l f o c u s o n w h y t h i s p a r t i c u l a r (x, y) i s t h e o n e t h a t w i l l m a k e o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o l v a b l e .

    L e t ' s t a k e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f (x, y) = y2 +

    x2 1 y 3x3 .x = 2xy 9x2 y = 2y + x2 + 1

    T a k i n g a l o o k a t o u r o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n , n o t i c e w e c a n n o w r e w r i t e t h e e q u a t i o n a s :

    x + ydy

    dx= 0

    N o w h e r e c o m e s t h e t r i c k y p a r t . R e m e m b e r t h e m u l t i v a r i a b l e v e r s i o n o f t h e C h a i n R u l e f r o m c a l c u l u s ?

    I t t e l l s u s :

    d

    dt[ (x, y)] =

    x[ (x, y)]

    dx

    dt+

    y[ (x, y)]

    dy

    dt

    N o w w e c a n m u l t i p l y t h e e n t i r e C h a i n R u l e e q u a t i o n b y t h e o p e r a t i o n

    dtdx

    t o g e t s o m e c o o l c a n c e l l a t i o n

    w h i c h g e t s r i d o f a l l d t t e r m s .dt

    dx

    d

    dt[ (x, y)] =

    x[ (x, y)]

    dt

    dx

    dx

    dt+

    y[ (x, y)]

    dt

    dx

    dy

    dt

    d

    dx[ (x, y)] =

    x[ (x, y)] +

    y[ (x, y)]

    dy

    dx

    N o w w e c a n c h a n g e t h e n o t a t i o n t o h a v e i t m a t c h o u r p r e v i o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

    d

    dx[ (x, y)] = x + y

    dy

    dx

    W e c a n n o w r e w r i t e o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( b y t h e C h a i n R u l e ) a s :

    d

    dx[ (x, y)] = 0

    I n t e g r a t i n g w e g e t :

    (x, y) = c

    T h i s m e a n s (x, y) i s a n i m p l i c i t s o l u t i o n t o o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n ! S o l e t ' s g e n e r a l i z e t h e c h a r a c t e r - i s t i c s o f (x, y) t h a t w e s a w i n t h i s e x a m p l e .

    I f w e h a v e a n e q u a t i o n o f t h e f o r m M(x, y) + N(x, y) dydx

    = 0 , a n d i f t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n (x, y) s u c h

    t h a t x = M(x, y) a n d y = N(x, y), t h e n w e c a n r e w r i t e o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n a s x+ ydydx

    = 0 . T h i s a l l o w s u s t o i n t e g r a t e a n d n d a n i m p l i c i t s o l u t i o n (x, y) = c .

    8

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    9/86

    S o h o w d o w e n d (x, y) ? A n d p e r h a p s m o r e i m p o r t a n t l y , b e f o r e w e t r y t o n d i t , h o w c a n w e b e s u r e i t a c t u a l l y e x i s t s ?

    I f (x, y) i s c o n t i n u o u s w i t h c o n t i n u o u s r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s , t h e n w e k n o w xy = yx b yC l a i r a u t ' s T h e o r e m f r o m m u l t i v a r i a b l e c a l c u l u s . T h e r e f o r e w e o b s e r v e :

    xy = (x)y = (M)y = My

    yx = (y)x = (N)x = Nx

    H e n c e , o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s o n l y e x a c t ( i . e . s o l v a b l e b y n d i n g a n a p p r o p r i a t e f u n c t i o n (x, y) ) i fa n d o n l y i f My = Nx . S o b e f o r e w e t r y t o u s e t h e m e t h o d o f n d i n g a f u n c t i o n (x, y) t o s o l v e a d i e r e n t i a l e q u a t i o n , w e s h o u l d a l w a y s c h e c k f o r e x a c t n e s s u s i n g My = Nx a s a t e s t .

    E x a m p l e :

    S o l v e 2xy 9x2 + 2y + x2 + 1 dydx

    = 0 g i v e n t h a t y (0) = 3 a n d n d t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y .1 . W r i t e o u t M a n d N a n d t h e n c h e c k t o s e e i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s e x a c t u s i n g My = Nx a s a t e s t .

    M = 2xy 9x2 My = 2x

    N = 2y + x2 + 1 Nx = 2x

    My = Ny exact

    2 . W e k n o w x = M a n d y = N, t h e r e f o r e w e c a n i n t e g r a t e f o r (x, y) b y i n t e g r a t i n g x w i t h r e s p e c t t o x o r i n t e g r a t i n g y w i t h r e s p e c t t o y ( O n l y c h o o s e o n e ! Y o u d o n ' t w a n t t o n e e d l e s s l y i n t e g r a t e t w i c e ! ) . F o r t h i s e x a m p l e , w e w i l l i n t e g r a t e w i t h r e s p e c t t o x .

    xdx =

    M dx

    (x, y) =

    2xy 9x2

    dx

    (x, y) = yx2 3x3 + h (y)( a ) W e w r i t e h ( y ) b e c a u s e w h e n t a k i n g t h e d e r i v a t i v e o f (x, y) w i t h r e s p e c t t o x , a n y t e r m s c o n t a i n -

    i n g c o n s t a n t s , y , o r a n y c o m b i n a t i o n o f t h e t w o b e c o m e z e r o . W e r e p r e s e n t a l l o f t h e s e t e r m s a s a

    f u n c t i o n o f y , n a m e l y , h ( y ) . N o w w e n e e d t o n d h ( y ) i n e x p l i c i t t e r m s . F i r s t w e w i l l d i e r e n t i a t e

    (x, y) w i t h r e s p e c t t o y :y = x

    2 + h (y)

    ( b ) S i n c e w e k n o w

    N = y , w e s e t x2 + h (y) e q u a l t o N , s o l v e f o r h ' ( y ) a n d t h e n i n t e g r a t e w i t h

    r e s p e c t t o y t o n d h ( y ) .

    x2 + h (y) = 2y + x2 + 1

    h (y) = 2y + 1

    h (y) dy =

    (2y + 1) dy

    h (y) = y2 + y + k

    3 . N o w w e c a n c o m b i n e e v e r y t h i n g t o w r i t e o u t (x, y) c o m p l e t e l y .

    (x, y) = yx2 3x3 + y2 + y + k

    (x, y) = y2 +

    x2 + 1

    y 3x2 + k

    9

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    10/86

    4 . R e c a l l t h a t s i n c e

    ddx

    [ (x, y)] = 0 , (x, y) = c , s o l e t ' s s e t e v e r y t h i n g e q u a l t o c a n d s i m p l i f y .

    (x, y) = y2 +

    x2 + 1

    y 3x2 + k = c

    (x, y) = y2 +

    x2 + 1

    y 3x2 = (c k) (x, y) = y2 + x2 + 1 y 3x

    2 = c

    * N o t e t h a t i f w e s u b t r a c t k f r o m b o t h s i d e s , t h e r i g h t s i d e j u s t b e c o m e s t h e d i e r e n c e b e t w e e n t w o

    u n k n o w n c o n s t a n t s w h i c h w i l l a l w a y s s i m p l i f y t o a s i n g l e u n k n o w n c o n s t a n t . B e c a u s e o f t h i s , w e c a n

    j u s t r e d e n e t h i s d i e r e n c e a s a s i n g l e u n k n o w n c o n s t a n t , c .

    5 . N o w w e a p p l y t h e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n t o n d t h e a c t u a l s o l u t i o n i n i m p l i c i t f o r m .

    (0, 3) = (3)2 +

    (0)2

    + 1

    (3) 3(0)2 = c

    c = 6

    y2 +

    x2 + 1

    y 3x2 = 6

    6 . W e c a n n o w n d t h e e x p l i c i t s o l u t i o n b y i s o l a t i n g y . T h i s w o n ' t a l w a y s b e n e c e s s a r y a n d i s a b i t

    t e d i o u s , b u t w e ' l l g o t h r o u g h i t j u s t i n c a s e . I n t h i s s i t u a t i o n , w e ' l l h a v e t o u s e t h e q u a d r a t i c f o r m u l a .

    y2 +

    x2 + 1

    y 3x2 6 = 0

    y (x) = x2 + 1(x2 + 1)2 4(1)(3x3 6)

    2(1)=

    x2 1 x4 + 12x3 + 2x2 + 252

    7 . N o t i c e t h e

    o p e r a t o r g i v e s u s t w o p o s s i b l e e q u a t i o n s a s t h e e x p l i c i t f o r m f o r o u r a c t u a l s o l u t i o n . T o

    g u r e o u t w h i c h o n e w e n e e d , j u s t s e e w h i c h e q u a t i o n s a t i s e s t h e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n .

    y (0) = 3 = 1

    25

    2=

    1 52

    = 3, 2

    8 . S i n c e i t ' s g i v e n t h a t y (0) = 3, t h e n e g a t i v e v e r s i o n o f t h i s e q u a t i o n g i v e s u s t h e a c t u a l s o l u t i o n i n e x p l i c i t f o r m .

    #

    "

    !y (x) =

    x2 1 x4 + 12x3 + 2x2 + 252

    9 . S i n c e w e a r e a s k e d t o g i v e t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y , w e n e e d t o n d t h e d o m a i n o f o u r s o l u t i o n . I n

    o r d e r t o e n s u r e a l l s o l u t i o n s a r e e l e m e n t s o f R, e v e r t h i n g u n d e r n e a t h t h e r a d i c a l c a n n e v e r b e l e s s t h a n z e r o .

    W e ' l l h a v e t o u s e a g r a p h i n g c a l c u l a t o r t o g u r e o u t t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n x4 + 12x3 + 2x2 + 25 = 0 .C h e c k i n g o n a c a l c u l a t o r , w e n d t h e r o o t s o f t h i s e q u a t i o n a r e x

    11.816,

    1.397, a n d l o o k i n g a t t h e

    g r a p h , w e c a n e a s i l y s e e t h a t t h i s f u n c t i o n i s o n l y n o n - n e g a t i v e ( i . e . g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o z e r o ) o n t h e

    i n t e r v a l (, 11.816] [1.397, ). S o t h i s i n t e r v a l i s t h e i n t e r v a l o n w h i c h a l l s o l u t i o n s a r e e l e m e n t s o f R, b u t i t i s d i s c o n t i n u o u s . B y d e n i t i o n , a n i n t e r v a l o f v a l i d i t y m u s t b e c o n t i n u o u s . T h e r e f o r e , o u r p o s s i b l e

    i n t e r v a l s o f v a l i d i t y a r e (, 11.816] a n d [1.397, ) . S i n c e o u r g i v e n v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s x = 1, t h e

    i n t e r v a l o f v a l i d i t y i s [1.397, ) .

    1 0

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    C h a n g i n g a D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n i n t o E x a c t F o r m v i a a n I n t e g r a t i n g F a c t o r

    S o m e t i m e s w h e n w e c h e c k t o s e e i f a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s e x a c t , w e n d t h a t o u r t e s t , My = Nx , f a i l s ( i . e . My = Nx ) . H o w e v e r , s o m e t i m e s w e c a n c h a n g e a n i n e x a c t d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t o a n e x a c t o n e b y m u l t i p l y i n g b y a n i n t e g r a t i n g f a c t o r

    .

    G e n e r a l l y w e h a v e :

    M(x, y) + N(x, y)dy

    dx= 0

    T h e n w e m u l t i p l y b y a n i n t e g r a t i n g f a c t o r .

    M (x, y) + N (x, y)dy

    dx= 0

    S o n o w w e k n o w o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w i l l b e e x a c t i f a n d o n l y i f (M)y = (N)x . N o w l e t s a p p l y t h e p r o d u c t r u l e f o r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s o f t h i s e q u a t i o n .

    (My) + Md

    dy= (Nx) + N

    d

    dx

    W h e r e d o e s t h i s g e t u s ? N o w w e h a v e a n o t h e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t l o o k s s i m i l a r l y d i c u l t t o t h e

    o n e w e s t a r t e d o u t w i t h . I n m o s t s i t u a t i o n s , t h i s d e r i v e d e q u a t i o n w o n ' t s a v e u s a n y t i m e b e c a u s e n d i n g

    w i l l b e n e e d l e s s l y c o m p l i c a t e d . H o w e v e r , i f w e c a n s h o w t h a t t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r i s o n l y d e p e n d e n t

    o n x o r o n l y d e p e n d e n t o n y , t h e n w e w i l l e a s i l y b e a b l e t o n d , u s e i t t o c h a n g e o u r o r i g i n i a l d i e r e n t i a l

    e q u a t i o n i n t o e x a c t f o r m , a n d t h e n s o l v e o u r p r o b l e m .

    L e t ' s l o o k a t h o w (M)y = (N)x c h a n g e s i f w e a s s u m e o n l y d e p e n d s o n x .

    (M)y = (N)x

    (My) = (Nx) + Nd

    dx

    (My Nx) = Nddx

    d

    dx=

    (My Nx)N

    W e s e e t h a t i f

    (MyNx)N

    d e p e n d s o n l y o n x ( i . e .

    (MyNx)N

    c o n t a i n s n o y t e r m s ) , t h e n t h e p r o d u c t

    (MyNx)N

    w i l l o n l y d e p e n d o n x , t h e r e f o r e w e ' l l b e a b l e s e p a r a t e v a r i a b l e s a n d i n t e g r a t e b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n w i t h

    r e s p e c t t o x t o n d t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r .

    ddx

    =

    (My Nx)N

    ddx dx =

    (My Nx)

    N dx

    ln || =

    (My Nx)N

    dx + c

    eln|| = e(MyNx)

    Ndx+c

    = ce(MyNx)

    Ndx

    1 1

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    N o w l e t ' s l o o k a t h o w (M)y = (N)x c h a n g e s i f w e a s s u m e o n l y d e p e n d s o n y .

    (M)y = (N)x

    (My) + Md

    dy= (Nx)

    Md

    dy= (Nx My)

    d

    dy=

    (Nx My)M

    S o s i m i l a r l y , w e n o w s e e t h a t i f

    (NxMy)M

    d e p e n d s o n l y o n y ( i . e .

    (NxMy)M

    c o n t a i n s n o x t e r m s ) , t h e n

    t h e p r o d u c t

    (NxMy)M

    w i l l o n l y d e p e n d o n y , t h e r e f o r e w e ' l l b e a b l e t o s e p a r a t e v a r i a b l e s a n d i n t e g r a t e b o t h

    s i d e s o f t h e e q u a t i o n w i t h r e s p e c t t o y t o n d t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r .

    ddy

    =

    (Nx My)M

    ddy

    dy =

    (Nx My)

    Mdy

    ln || =

    (Nx My)M

    dy + c

    eln|| = e(NxMy)

    Mdy+c

    = ce(NxMy)

    Mdy

    W h a t c a n w e t a k e f r o m a l l o f t h i s i n g e n e r a l ? I f w e w a n t t o t a k e a n i n e x a c t e q u a t i o n a n d c h a n g e i n t o

    i n t o a n e x a c t o n e v i a a n i n t e g r a t i n g f a c t o r

    , r s t w e c h e c k t o s e e i f t h e e q u a t i o n

    ddx

    =(MyNx)

    No n l y

    c o n t a i n s x ' s i n t h e r i g h t h a n d s i d e ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f

    ) . I f i t d o e s , t h e n e v e r y t h i n g i s g r e a t a n d w e c a n

    i n t e g r a t e t o n d , m u l t i p l y t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y t o m a k e i t e x a c t , a n d t h e n s o l v e t h e e x a c t

    d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y d e r i v i n g (x, y) u s i n g t h e m e t h o d p r e v i o u s l y d e s c r i b e d i n t h i s s t u d y g u i d e .

    I f

    ddx

    =(MyNx)

    Nf a i l s t h e t e s t , t h e n w e c h e c k t o s e e i f t h e e q u a t i o n

    ddy

    =(NxMy)

    Mo n l y c o n t a i n s y ' s

    o n t h e r i g h t h a n d s i d e ( a g a i n , w i t h t h e e x c e p t i o n o f ) . I f i t c h e c k s o u t , t h e n w e c a n i n t e g r a t e t h i s e q u a t i o n

    t o n d w h i c h w i l l l e t u s s o l v e t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y d e r i v i n g (x, y) . I f b o t h e q u a t i o n c h e c k s e n d u p f a i l i n g , t h e n y o u ' r e i n f o r s o m e m o r e w o r k , b u t w e ' l l l e a r n t h e s t e p s f o r s o l v i n g t h e s e k i n d s o f

    d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a l i t t l e l a t e r .

    E x a m p l e :

    S o l v e

    y +

    2xy e2y dydx

    = 0 i m p l i c i t l y .

    1 . W r i t e o u t M a n d N a n d t h e n c h e c k t o s e e i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s e x a c t u s i n g My = Nx a s a t e s t .

    M = y My = 1

    N = 2xy e2y Nx = 2yMy = Ny not exact

    2 . C h e c k t o s e e i f t h e e q u a t i o n

    ddx

    =(MyNx)

    No n l y c o n t a i n s x ' s o n t h e r i g h t h a n d s i d e ( w i t h t h e e x c e p t i o n

    o f

    ) .

    d

    dx=

    (1 2y)2xy e2y

    1 2

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    13/86

    3 . B e c a u s e t h e a b o v e e q u a t i o n c o n t a i n s s o m e y t e r m s , w e s e e t h a t i t d o e s n ' t p a s s o u r t e s t . ( I t ' s i m p o r t a n t

    t o n o t e t h a t y o u m u s t s i m p l i f y t h i s e q u a t i o n a f t e r y o u p l u g i n t h e v a l u e s . S o m e t i m e s t h e e q u a t i o n

    m a y i n i t i a l l y c o n t a i n y t e r m s , b u t a f t e r s i m p l i c a t i o n t h e y m a y c a n c e l o u t ! ) N o w l e t s c h e c k t o s e e i f

    t h e e q u a t i o n

    ddy

    =(NxMy)

    Mo n l y c o n t a i n s y ' s o n t h e r i g h t h a n d s i d e ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f ) .

    d

    dy=

    (2y 1)y

    4 . O u r e q u a t i o n c o n t a i n s n o x t e r m s ! L e t ' s s e p a r a t e v a r i a b l e s a n d i n t e g r a t e t o n d

    .

    ddy

    dy =

    (2y 1)

    ydy

    ln || =

    2 y1 dyln || = 2y ln |y| + c

    eln|| = e2yln|y|+c

    =

    e2y

    y1

    ec

    =ce2y

    y

    let c = 1

    =e2y

    y

    5 . M u l t i p l y t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r .

    ye2y

    y + e2y

    y 2xy e2y

    dy

    dx= 0

    e2y +

    2xe2y y1 dydx

    = 0

    6 . W r i t e o u t M a n d N a g a i n a n d c h e c k t o s e e i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s n o w e x a c t u s i n g My = Nx a sa t e s t .

    M = e2y My = 2e2y

    N = 2xe2y y1 Nx = 2e2y

    My = Ny exact

    7 . C h o o s e w h e t h e r t o s o l v e

    M dx o r

    N dy .

    M dx l o o k s e a s i e r t o i n t e g r a t e , s o t h a t ' s t h e o n e w e ' l l b e

    d o i n g .

    (x, y) =

    M dx

    (x, y) =

    e2ydx

    (x, y) = xe2y + h (y)

    1 3

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    14/86

    8 . D i e r e n t i a t e w i t h r e s p e c t t o y , t h e n s e t y = N, i s o l a t e h(y) , a n d t h e n i n t e g r a t e w i t h r e s p e c t t o y t o

    n d h ( y ) .

    y = 2xe2y + h (y) = 2xe2y y1

    h (y) = y1

    h (y) dy = y1 dy

    h (y) = ln |y| + k

    9 . C o m b i n e e v e r y t h i n g , w r i t e o u t (x, y) , a n d t h e n s e t i t e q u a l t o c a n d s i m p l i f y .

    (x, y) = xe2y ln |y| + k = c

    xe2y ln |y| = c

    1 4

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    15/86

    I n t r o d u c t i o n t o S e c o n d O r d e r L i n e a r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s

    A s e c o n d o r d e r l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t h e f o r m ay + by + cy = g (t) . T h e c o e c i e n t s a , b , a n d c a r e n ' t a l w a y s c o n s t a n t s , b u t f o r t h e e q u a t i o n s c o v e r e d i n t h i s s e c t i o n o f t h e s t u d y g u i d e ,

    t h e y a l w a y s w i l l b e ( S o l v i n g d i e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r n o n - c o n s t a n t c o e c i e n t s c a n b e e x t r e m e l y d i c u l t ! ) .

    N o w f o r s o m e d e n i t i o n s . A s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s k n o w n a s h o m o g e n e o u s i f g (t) = 0 a n dn o n h o m o g e n e o u s i f

    g (t) = 0 . S o l v i n g s e c o n d o r d e r l i n e a r h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i s q u i t e a b i t e a s i e r t h a n s o l v i n g n o n h o m o g e n e o u s o n e s , s o w e ' l l b e c o v e r i n g h o w t o s o l v e t h e h o m o g e n e o u s o n e s r s t a n d

    t h e n t h e n o n h o m o g e n e o u s o n e s l a t e r ( w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s f o r b o t h k i n d s o f c o u r s e ! ) .

    S o l v i n g C o n s t a n t C o e f f i c i e n t S e c o n d O r d e r L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a -

    t i o n s

    A c o n s t a n t c o e c i e n t s e c o n d o r d e r l i n e a r h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n

    t h e f o r m ay + by + cy = 0 , w h e r e a , b , a n d c a r e c o n s t a n t s . F o r c l a r i t y ' s s a k e , l e t ' s s t a r t o u r e x p l a n a t i o n o f s o l v i n g t h e s e t y p e s o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s b y l o o k i n g a t a s i m p l e e x a m p l e .

    C o n s i d e r s o l v i n g t h e e q u a t i o n y9y = 0 . I f w e t r a n s l a t e t h e s y m b o l s t o E n g l i s h , t h i s e q u a t i o n i s a s k i n g u s t o n d a f u n c t i o n t h a t , w h e n d i e r e n t i a t e d t w i c e , i s n i n e t i m e g r e a t e r t h a n t h e o r i g i n a l f u n c t i o n . I f w e

    t h i n k f o r a b i t , i t ' s c l e a r t h a t t h e t w o f u n c t i o n s y 1 (t) = e3t

    a n d

    y2 (t) = e3t

    s a t i s f y t h i s c o n d i t i o n .

    y1 (t) = 3e3t y2 (t) = 3e3t

    y1 (t) = 9e3t y2 (t) = 9e

    3t

    9e3t 9 e3t = 0 9e3t 9 e3t = 0M o r e o v e r , i f w e c r e a t e a f u n c t i o n t h a t i s j u s t a c o m b i n a t i o n o f t h e s e t w o f u n c t i o n s , t h e c o n d i t i o n i s s t i l l

    s a t i s e d .

    y (t) = e3t + e3t

    y (t) = 3e3t 3e3t

    y (t) = 9e3t + 9e3t

    9e3t + 9e3t 9 e3t + e3t ?=

    0

    0 = 0, as desired, .

    W e c a n e v e n m a k e t h i s s o l u t i o n m o r e g e n e r a l b y p u t t i n g c o n s t a n t c o e c i e n t s i n f r o n t o f t h e t e r m s o f o u r

    s o l u t i o n y ( t ) .

    y (t) = c1e3t + c2e

    3t

    y (t) = 3c1e3t 3c2e3t

    y (t) = 9c1e3t + 9c2e3t

    9c1e3t + 9c2e

    3t 9 c1e3t + c2e3t ?=

    0

    0 = 0, as desired, .

    1 5

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    16/86

    T h i s p r o p e r t y a b o u t d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i s e x p l a i n e d b y a n i m p o r t a n t t h e o r e m k n o w n a s t h e P r i n c i p l e

    o f S u p e r p o s i t i o n . I t s t a t e s :

    I f c1y1 (t) a n d c2y2 (t) a r e t w o s o l u t i o n s t o a l i n e a r h o m o g e n o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n ,t h e n

    y (t) = c1y1 (t) + c2y2 (t) i s a l s o a s o l u t i o n .

    N o t i c e t h a t t h i s p r i n c i p l e i s n o t l i m i t e d t o d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f s e c o n d o r d e r w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s .

    T h i s a p p l i e s t o a l l l i n e a r h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . B u t g o i n g f u r t h e r , t h i s p r i n c i p l e s t a t e s t h a t :

    F o r l i n e a r s e c o n d o r d e r h o m o g e n o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h e d i e r e n t i a l

    e q u a t i o n i s g i v e n b y y (t) = c1y1 (t) + c2y2 (t).

    S o a n i m p o r t a n t q u e s t i o n t h a t w e m i g h t a s k r i g h t n o w i s h o w t o n d t h e c o e c i e n t s c1 a n d c2 . S i m p l y

    p u t , w e m a y o n l y n d t h e m i f g i v e n t h e a p p r o p r i a t e n u m b e r o f i n i t i a l c o n d i t i o n s . G e n e r a l l y , t h i s m e a n s o n e

    i n i t i a l c o n d i t i o n p e r u n k n o w n c o e c i e n t , a s w e w i l l s e e i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e .

    E x a m p l e :

    S o l v e y 9y = 0 g i v e n t h a t y (0) = 2 a n d y (0) = 1

    W e k n o w f r o m p r e v i o u s w o r k t h a t t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h i s d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s

    y (t) = c1e3t+c2e

    3t,

    s o n o w a l l w e n e e d t o d o i s a p p l y t h e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n s t o n d t h e a c t u a l s o l u t i o n .

    y (t) = 3c1e3t 3c2e3t

    y (0) = c1e(0) + c2e

    (0) = 2 = c1 + c2 = 2

    c1 = 2 c2

    y (0) = 3c1e(0) 3c2e(0) = 1 = 3c1 3c2 = 1

    3 (2 c2) 3c2 = 1

    6 3c2 3c2 = 1

    6c2 = 5

    c2 =5

    6

    c1 = 2

    5

    6

    c1 =7

    6

    y (t) =

    7

    6e3t +

    5

    6e3t

    1 6

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    B u t h o w d o w e n d t h e s o l u t i o n s a n d c o m b i n e t h e m i n t o a g e n e r a l s o l u t i o n i f t h e y a r e n ' t i n t i a l l y g i v e n ?

    L e t ' s j u s t a s s u m e a l l s o l u t i o n s t o ay + by + cy = 0 a r e i n t h e f o r m y (t) = ert . T o c h e c k i f a s o l u t i o n w o r k s ,w e c a n a l w a y s j u s t p l u g t h e s o l u t i o n ( a n d i t ' s d e r i v a t i v e s ) i n t o o u r o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n a n d s e e i f

    t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n i s t r u e .

    a r2ert + b re

    rt

    + c ert

    = 0ert

    ar2 + br + c

    = 0

    H e r e c o m e s a l i t t l e t r i c k y p a r t . N o t i c e t h a t a n y e x p o n e n t i a l e q u a t i o n o f t h e f o r m ex(t) c a n n e v e r e q u a l

    z e r o a t a n y p o i n t ! T h e f u n c t i o n m a y , i n s o m e c a s e s , g e t a r b i t r a r i l y c l o s e r t o z e r o a s t a p p r o a c h e s i n n i t y ,

    b u t t h e r e e x i s t s n o t s u c h t h a t ex(t) = 0 . W i t h t h i s i n m i n d , t h e o n l y w a y f o r o u r e q u a t i o n t o h o l d t r u e f o r s o l u t i o n s o f t h e f o r m y (t) = ert i s i f t h e q u a n i t i t y

    ar2 + br + c

    = 0. T h i s e q u a t i o n i s k n o w n a s

    t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . I f w e s o l v e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , s i n c e i t ' s q u a d r a t i c , w e ' l l g e t t w o

    r o o t s , r1 a n d r2 . D e p e n d i n g o n w h a t ' s u n d e r t h e r a d i c a l w h e n w e s o l v e t h e c h r a c t e r i s t i c e q u a t i o n w i t h t h e

    q u a d r a t i c e q u a t i o n , w e ' l l g e t e i t h e r t w o d i s t i n c t r e a l r o o t s , t w o c o m p l e x r o o t s , o r t w o r e p e a t e d r o o t s ( i . e .

    (x 1)2 = 0 = x = 1 ) . W e ' l l b e f o c u s i n g o n d i s t i n c t r e a l r o o t s r s t . S o i f w e s o l v e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d g e t t w o d i s t i n c t r e a l r o o t s , w e j u s t p l u g e a c h r o o t i n t o t h e g e n e r a l f o r m o f t h e s o l u t i o n g i v e n

    b y t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n ( i . e . y (t) = c1er1t + c2e

    r2t) . A f t e r w e o b t a i n t h e g e n e r a l s o l u t i o n , w e c a n

    s o l v e f o r a n a c t u a l s o l u t i o n o r i n t e r v a l o f v a l i d i t y i f w e a r e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n s .

    1 7

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    S o l v i n g C o n s t a n t C o e f f i c i e n t S e c o n d O r d e r L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a -

    t i o n s w i t h R e a l R o o t s

    E x a m p l e :

    S o l v e y + 11y + 24y = 0 g i v e n t h a t y (0) = 0 a n d y (0) = 71 . W r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d s o l v e i t u s i n g t h e q u a d r a t i c f o r m u l a ( o r f a c t o r i n g i n t h i s i n s t a n c e ) .

    r2 + 11r + 24 = 0

    (r + 8) (r + 3) = 0

    r1 = 3 r2 = 82 . S i n c e t h e r o o t s a r e r e a l a n d d i s t i n c t , p l u g t h e m i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n g i v e n b y y (t) = c1e

    r1t+c2er2t

    .

    y (t) = c1e3t + c2e8t

    3 . T a k e t h e d e r i v a t i v e o f t h e g e n e r a l s o l u t i o n a n d u s e t h e s o l u t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e a l o n g w i t h t h e g i v e n

    i n i t i a l c o n s i d t i o n s t o s o l v e f o r t h e u n k n o w n c o n s t a n t s c1 a n d c2 .

    y (t) = 3c1e3t 8c2e8t

    y (0) = c1e(0) + c2e(0) = 0 = c1 + c2 = 0c1 = c2

    y (0) = 3c1e(0) 8c2e(0) = 7 = 3c1 8c2 = 73 (c2) 8c2 = 7

    5c2 = 7c2 =

    7

    5

    c1 = 75

    4 . P l u g e v e r y t h i n g b a c k i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o g i v e t h e a c t u a l s o l u t i o n .

    y (t) =

    7

    5e3t +

    7

    5e8t

    E x a m p l e :

    S o l v e

    y 2y 2y = 01 . W r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d s o l v e i t u s i n g t h e q u a d r a t i c f o r m u l a .

    r2 2r 2 = 0

    r1,2 = (2)

    (2)2 4(1)(2)2(1)

    r1,2 =2 4 + 8

    2=

    2 122

    =2 23

    2

    r1,2 = 1

    3

    2 . S i n c e t h e r o o t s a r e r e a l a n d d i s t i n c t , p l u g t h e m i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n g i v e n b y y (t) = c1er1t+c2e

    r2t.

    y (t) = c1e(1+3)t + c2e(13)t

    1 8

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    S o l v i n g C o n s t a n t C o e f f i c i e n t S e c o n d O r d e r L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a -

    t i o n s w i t h C o m p l e x R o o t s

    A g a i n , w e a r e g i v e n a s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t h e f o r m ay + by + cy = 0 , w h i c h h a s a c o r r e s p o n d i n g c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ar2 + br + c = 0 , b u t t h i s t i m e w e w i l l c o n s i d e r t h e r o o t s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n t o b e c o m p l e x . I n o t h e r w o r d s , r1,2 = i y1 (t) = c1e(+i), y2 (t) = c2e(i) .H o w e v e r , s i n c e o u r c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s d e n e d b y r e a l n u m b e r s , w e ' d l i k e a s o l u t i o n d e n e d b y r e a l

    n u m b e r s a s w e l l . F o r t h i s , w e ' l l h a v e t o u s e E u l e r ' s F o r m u l a :

    ei = cos + isin

    a n d a v a r i a n t o f E u l e r ' s F o r m u l a :

    ei = cos () + isin () = cos isinS o i f w e a p p l y E u l e r ' s F o r u m l a t o o u r t w o s o l u t i o n s w e ' l l g e t :

    y1 (t) = et eit = et (cos (t) + isin (t))

    y2

    (t) = et

    eit = et (cos (t)

    isin(t)

    A n d b y t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n w e c a n c o m b i n e t h e s e s o l u t i o n s i n t o o n e s o l u t i o n .

    y1 (t) = y1 (t) + y2 (t) = 2etcos (t)

    T o e l i m i n a t e t h e 2 , w e ' l l j u s t d i v i d e i t o u t ( w h i c h i s e s s e n t i a l l y s a y i n g t h a t c1 = c2 =12 ) , a n d r e d i n e

    12y1 (t) a s u (t).

    u (t) =1

    2y1 (t) +

    1

    2y2 (t) = e

    tcos (t)

    N o w w e c a n c o m b i n e o u r t w o s o l u t i o n s b y t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n i n a n o t h e r w a y .

    y2 (t) = y1 (t) y2 (t) = 2ietsin (t)T o e l i m i n a t e t h e 2i , w e ' l l j u s t d i v i d e i t o u t ( e s s e n t i a l l y s a y i n g c1 = 12i , c2 = 12i ) , a n d r e d e n e 12iy2 (t)

    a s v (t).

    v (t) =1

    2iy1 (t) 1

    2iy2 (t) = e

    tsin (t)

    F i n a l l y , w e c a n c o m b i n e u ( t ) a n d v ( t ) u n d e r t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n o n e l a s t t i m e t o g e t t h e g e n e r a l

    f o r m o f t h e s o l u t i o n f o r c o m p l e x r o o t s i n t h e f o r m

    r1,2 = i , b u t t h i s t i m e i n r e a l n u m b e r s !

    y (t) = c1u (t) + c2v (t)

    y (t) = c1etcos (t) + c2e

    tsin (t)

    E x a m p l e :

    S o l v e

    y 4y + 9y = 0 g i v e n t h a t y (0) = 0 a n d y (0) = 8 .1 . W r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d s o l v e f o r i t s r o o t s .

    r2 4r + 9 = 0

    r1,2 = (4)

    (4)2 4(1)(9)2(1)

    1 9

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    20/86

    r1,2 =4 16 36

    2=

    4 202

    =4 451

    2

    r1,2 =4 25i

    2

    r1,2 = 2

    5i

    2 . S i n c e t h e r o o t s a r e c o m p l e x ( i . e . o f t h e f o r m r1,2 = i ) , p l u g t h e m i n t o t h e f o r m o f t h e g e n e r a l s o l u t i o n d e r i v e d f r o m E u l e r ' s F o r m u l a g i v e n b y y (t) = c1e

    tcos (t) + c2etsin (t).

    y (t) = c1e2tcos

    5t

    + c2e2tsin

    5t

    3 . D i e r e n t i a t e t h e s o l u t i o n , a n d t h e n u s e t h e d e r i v a t i v e , t h e s o l u t i o n , a n d t h e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n s t o

    s o l v e f o r t h e a c t u a l s o l u t i o n . W e ' r e g o i n g t o b e a l i t t l e t r i c k y a n d g e t o u t o f d o i n g n e e d l e s s w o r k b y

    s o l v i n g f o r c1 r s t a n d u s i n g t h a t f a c t t o s i m p l i f y o u r d e r i v a t i v e c a l c u l a t i o n .

    y (0) = c1 (1)(1) + c2 (1)(0) = 0

    c1 = 0

    y (t) = (0) + c2e2tsin

    5ty (t) = c2e2t

    5cos

    5t

    + sin

    5t

    2c2e2t

    y (t) = c2

    5e2tcos

    5t

    + 2c2e2tsin

    5t

    y (0) = c2

    5 (1) (1) + 2c2 (1)(0) = 8c2

    5 = 8

    c2 = 85

    4 . P l u g e v e r y t h i n g b a c k i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o g e t t h e a c t u a l s o l u t i o n .

    y (t) =

    85

    e2tsin

    5t

    2 0

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    21/86

    S o l v i n g C o n s t a n t C o e f f i c i e n t S e c o n d O r d e r L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a -

    t i o n s w i t h R e p e a t e d R o o t s

    A g a i n , w e a r e g i v e n a s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t h e f o r m ay + by + cy = 0 , w h i c h h a s a c o r r e s p o n d i n g c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ar2 + br + c = 0 , b u t t h i s t i m e w e w i l l c o n s i d e r t h e r o o t s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n t o b e r e p e a t e d ( i . e . r1 = r2 = r ) . L e t ' s p l u g t h e s e r e p e a t e d s o l u t i o n s i n t o t h e f o r m u l a s f o r t h e g e n e r a l s o l u t i o n s .

    y1 (t) = er1t = y1 (t) = e

    rt

    y2 (t) = er2t = y2 (t) = e

    rt

    U h o h ! O u r s o l u t i o n s a r e t h e s a m e , m e a n i n g w e c a n ' t c o m b i n e t h e m i n t o o n e g e n e r a l s o l u t i o n w i t h t h e

    P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n . S o w h a t c a n w e d o f r o m h e r e ? L e t ' s t a k e a l o o k a t t h e n a t u r e o f o u r r e p e a t e d

    s o l u t i o n s . T h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s g i v e n b y

    r1,2 =b b2 4ac

    2a

    B u t s i n c e w e k n o w o u r s o l u t i o n i s r e p e a t e d , b2

    4ac = 0 , w h i c h c h a n g e s t h e g e n e r a l s o l u t i o n f o r t h e

    r o o t s .

    r1,2 = b2a

    S o t h e r e f o r e , w e o n l y h a v e o n e s o l u t i o n .

    y1 (t) = e b2a t

    S o h o w d o w e n d a d i e r e n t s e c o n d s o l u t i o n t h a t w i l l e n a b l e u s t o u s e t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n t o

    c r e a t e a s o l u t i o n i n g e n e r a l f o r m ? L e t ' s a s s u m e t h a t t h e s e c o n d s o l u t i o n i s j u s t t h e r s t o n e , b u t w i t h s o m e

    s o r t o f o t h e r f u n c t i o n m u l t i p l i e d b y i t .

    y2 (t) = v (t) y1 (t) = v (t) e b2a t

    S o w h a t p a r a m e t e r s a r e c h a r a c t e r i s t i c o f v ( t ) t o m a k e

    y2 (t) = v (t) e b2a t

    a s o l u t i o n ? L e t ' s t a k e t h e r s t

    a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f o u r p o t e n t i a l s o l u t i o n y2 (t) = v (t) e b2a t

    .

    y2 (t) = v (t) e

    b2a t b

    2av (t) e

    b2a t

    y2 (t) = v (t)

    b

    2ae

    b2a t

    + v (t) e

    b2a t b

    2av (t)

    b

    2ae

    b2a t

    + e

    b2a t

    b

    2av (t)

    y2 (t) = v (t) e

    b2a t b

    av (t) e

    b2a t +

    b2

    4a2v (t) e

    b2a t

    S o n o w w e c a n p l u g y ( t ) a n d i t s d e r i v a t i v e s i n t o o u r o r i g i n a l e q u a t i o n a n d s i m p l i f y t o s e e i f w e c a n g a t h e r

    a n y t h i n g u s e f u l .

    a

    v (t) e

    b2a t b

    av (t) e

    b2a t +

    b2

    4a2v (t) e

    b2a t

    + b

    v (t) e

    b2a t b

    2av (t) e

    b2a t

    + c

    v (t) e

    b2a t

    = 0

    W e c a n f a c t o r o u t t h e e x p o n e n t i a l t e r m , m u l t i p l y e v e r y t h i n g i n s i d e t h e p a r e n t h e s i s t o g e t h e r , a n d t h e n

    c o l l e c t l i k e t e r m s .

    eb2a t

    a

    v (t) b

    av (t) +

    b2

    4a2v (t)

    + b

    v (t) b

    2av (t)

    + cv (t)

    = 0

    2 1

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    22/86

    eb2a t

    av (t) bv (t) + b

    2

    4av (t) + bv (t) b

    2

    2av (t) + cv (t)

    = 0

    eb2a t

    av (t) +

    b2

    4a b

    2

    2a+ c

    v (t)

    = 0

    eb2a t

    av (t) +

    b2

    4a+ c

    v (t)

    = 0

    N o w w e c a n d o s o m e s p e c i a l f a c t o r i n g t o n o t i c e s o m e i n t e r e s t i n g f a c t s .

    eb2a t

    av (t) 1

    4a

    b2 4ac v (t) = 0

    A s b e f o r e , w e k n o w e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s w i l l n e v e r e q u a l z e r o , a n d s i n c e w e a r e d e a l i n g w i t h a r e p e a t e d

    r o o t , t h e q u a n t i t y

    b2 4ac m u s t a l w a y s e q u a l 0 . T h e r e f o r e , w e c a n r e d u c e t h e e q u a t i o n f u r t h e r .

    av (t) = 0

    W e c a n s i m p l y d i v i d e o u t a , f o r i f a = 0 , t h e n w e w o u l d n ' t h a v e a s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n t o s t a r t w i t h ! S o n o w w e h a v e a n e v e n s i m p l e r e q u a t i o n .

    v (t) = 0

    L e t ' s i n t e g r a t e t h i s e q u a t i o n t w i c e a n d s e e w h a t w e g e t .

    v (t) =

    v (t) dt =

    (0) dt

    v (t) = c

    v (t) =

    v (t) dt =

    (c) dt

    v (t) = ct + k

    S o n o w w e h a v e t w o s e p a r a t e s o l u t i o n s , y1 (t) = e b2a t

    a n d y2 (t) = (ct + k) e b2a t

    . L e t ' s u s e t h e P r i n c i p l e

    o f S u p e r p o s i t i o n !

    y (t) = c1e b2a t + c2 (ct + k) e

    b2a t

    B u t t h e r e a r e s o m a n y c o n s t a n t s ! L e t ' s r e a r r a n g e t h e m a n d s e e i f w e c a n d o s o m e r e d e n i n g .

    y (t) = c1e b2a t + (c2ct + c2k) e

    b2a t

    y (t) = c1e b2a t + e

    b2a tc2ct + e

    b2a tc2k

    y (t) = eb2a t (c1 + c2k) + te

    b2a t (c2c)

    T w o u n k n o w n c o n s t a n t s a d d e d t o g e t h e r i s s i m p l y a n u n k n o w n c o n s t a n t , a n d t w o u n k n o w n c o n s t a n t s

    m u l t i p l i e d t o g e t h e r i s s i m p l y a n u n k n o w n c o n s t a n t s a s w e l l . T h e r e f o r e , w e c a n r e d e n e t h e c o n s t a n t s i n o u r

    e q u a t i o n t o g e t a s i m p l e r f o r m f o r t h e g e n e r a l s o l u t i o n .

    y (t) = c1e b2a t + c2te

    b2a t

    S o t o s u m m a r i z e , i f t h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a r e r e p e a t e d ( i . e . r1 = r2 = r ) , w e c a n p l u g r i n t o a g e n e r a l s o l u t i o n o f t h e f o l l o w i n g f o r m :

    2 2

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    23/86

    y (t) = c1ert + c2te

    rt

    E x a m p l e :

    S o l v e y 4y + 4y = 0 g i v e n t h a t y (0) = 12 a n d y (0) = 31 . W r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d s o l v e f o r i t s r o o t s .

    r2 4r + 4 = 0

    (r 2)2 = 0r1 = r2 = 2

    2 . S i n c e t h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a r e r e p e a t e d , p l u g t h e m i n t o t h e g e n e r a l f o r m o f t h e

    s o l u t i o n g i v e n b y y (t) = c1ert + c2te

    rt.

    y (t) = c1e2t + c2te

    2t

    3 . D i e r e n t i a t e t h e s o l u t i o n , a n d t h e n u s e t h e s o l u t i o n ' s d e r i v a t i v e , t h e o r i g i n a l s o l u t i o n , a n d t h e g i v e n

    i n i t i a l c o n d i t i o n s a l l i n c o n j u n c t i o n t o s o l v e f o r t h e a c t u a l s o l u t i o n .

    y (t) = 2c1e2t + c2t(2e2t) + e2t(c2)

    y (t) = (2c1 + c2 + 2c2t) e2t

    y (0) = c1 (1) = 12

    c1 = 12

    y (0) = (2 (12) + c2 + 2 (0))(1) = 324 + c2 = 3

    c2 = 27

    4 . P l u g e v e r y t h i n g b a c k i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o g e t t h e a c t u a l s o l u t i o n .

    y (t) = 12e2t 27te2t

    2 3

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    24/86

    R e d u c t i o n o f O r d e r

    N o w w e ' r e g o i n g t o t a k e a l o o k a t e q u a t i o n s o f t h e f o r m p (t) y + q(t) y + r (t) y = 0 w i t h n o n c o n s t a n t c o e c i e n t s . G e n e r a l l y , t h i s i s e x t r e m e l y d i c u l t , b u t i f w e a r e g i v e n o n e s o l u t i o n , t h e n w e c a n u s e a m e t h o d

    c a l l e d r e d u c t i o n o f o r d e r t o o b t a i n t h e s e c o n d s o l u t i o n r e l a t i v e l y p a i n l e s s l y . F o r t h e s a k e o f c l a r i t y , w e

    w i l l l e a r n b y e x a m p l e .

    E x a m p l e :

    G i v e t h e g e n e r a l s o l u t i o n f o r (1 t) y + ty y = 2 (t 1)2 et, 0 < t < 1, y1 (t) = et .1 . W e k n o w w e h a v e o n e s o l u t i o n i n t h e f o r m y1 (t) = e

    t, s o l e t ' s w r i t e o u t t h e f o r m f o r t h e s e c o n d s o l u t i o n .

    y2 (t) = v (t) et

    2 . F o r c l a r i t y ' s s a k e w e ' r e g o i n g t o d e n o t e v (t) a s v ( a n d a l l o t h e r v a r i a b l e s f o r t h a t m a t t e r , u n t i l t h i n g s b e c o m e l e s s c l u t t e r e d ) .

    3 . L e t ' s t a k e t h e d e r i v a t i v e s o f o u r s e c o n d s o l u t i o n a n d p l u g t h e m i n t o g i v e n d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

    y2 (t) = vet + vet

    y2 (t) = vet

    + v2et

    + vet

    (1 t) vet + v2et + vet + t vet + vet vet = 2 (t 1)2 etvet vtet + v2et v2tet + vet vtet + vtet + vtet vet = 2 (t 1)2 et

    v

    et tet + v 2et 2tet + tet = 2 (t 1)2 etvet (1 t) + vet(2 t) = 2(t 1)2 et

    4 . I n a l l r e d u c t i o n o f o r d e r p r o b l e m s , a l l v t e r m s w i l l c a n c e l a n d l e a v e u s j u s t w i t h v a n d v t e r m s .W h a t w e ' r e g o i n g t o d o n o w i s r e a s s i g n v a r i a b l e s s o t h a t w e m a y c h a n g e t h i s s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l

    e q u a t i o n i n t o o n e t h a t l o o k s f a m i l i a r a n d s o l v a b l e .

    dw

    dt= w = v w = v

    dwdt

    et (1 t) + wet(2 t)et(1 t) =

    2 (t 1)2 etet (1 t)

    dw

    dt+ w

    (2 t)(1 t) = 2e

    2t (t 1)

    5 . T h i s l o o k s l i k e a l i n e a r r s t o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w e k n o w h o w t o s o l v e ! L e t ' s m u l t i p l y i t b y a n

    i n t e g r a t i n g f a c t o r .

    dw

    dt+

    (2 t)(1 t) w = 2e

    2t (t 1)

    6 . L e t ' s s e t u p t h e p a r a m e t e r s o n a n d s o l v e f o r .

    = (2

    t)

    (1 t)

    dt =

    (2 t)(1 t) dt

    ln || = t ln |t 1| + c (t) = cet (t 1)1

    let c = 1

    (t) = et (t 1)1

    2 4

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    25/86

    7 . L e t ' s p l u g t h i s i n t e g r a t i n g f a c t o r b a c k i n t o o u r e q u a t i o n .

    et (t 1)1

    dwdt

    +

    et (t 1)1 (2 t)

    (1 t) w = 2e2t (t 1)

    et (t 1)1

    et (t

    1)

    1 dw

    dt

    +et (t 2)

    (t 1)2 w =

    2et

    Remember that ddt

    et (t 1)1 w

    = et (t 1)1 dw

    dt+ w

    et (t 2)(t 1)2

    !

    d

    dt

    et (t 1)1 w

    = 2et

    d

    dt

    et (t 1)1 w

    dt =

    2etdt

    et (t 1)1 w = 2et + c

    8 . L e t ' s i s o l a t e w b y d i v i d i n g b o t h s i d e s b y et (t 1)1 .

    w = 2e2t (t 1) + cet (t 1)

    9 . R e c a l l t h a t v = w = v = wdt .

    v =

    2 (t 1)

    e2tdt + c

    t 1

    etdt

    v =1

    2e2t (1 2t) ctet + k

    1 0 . S i m i l a r l y t o w h a t w e s a w i n s o l v i n g d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h r e p e a t e d r o o t s , w e c a n l e t k = 0 a n dr e d e n e c a s c2 . Y o u m a y d o t h e w o r k t o p r o v e t o y o u r s e l f t h i s i s t r u e ( v i a r e d e n i n g c o n s t a n t s ) a s a n

    e x e r c i s e o n y o u r o w n .

    v = 12 e2t (1 2t) c2tet

    v =(1 2t)

    2e2t c2t

    et

    1 1 . N o w t h a t w e h a v e v , l e t ' s p l u g i t i n t o o u r f o r m o f t h e s o l u t i o n y2 (t) = v (t) y1 (t)

    y2 (t) = et

    (1 2t)

    2e2t c2t

    et

    =

    1

    2et (1 2t) c2t

    1 2 . N o w t h a t w e h a v e a n a n s w e r f o r a s e c o n d s o l u t i o n i n e x p l i c i t t e r m s , c o m b i n e b o t h s o l u t i o n s u n d e r t h e

    P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n t o g e t a g e n e r a l s o l u t i o n .

    y (t) = c1et +1

    2et (1 2t) c2t

    * N o t e t h a t w e d o n t ' n e e d t o m u l t i p l y y2 (t) b y a c o n s t a n t c2 b e c a u s e i t a l r e a d y c o n t a i n s t h e c o n s t a n t c2 .T h i s m a y s e e m l i t t l e b i t w o n k y , b u t j u s t r e m e m b e r t h a t s i n c e t h e s o l u t i o n y2 (t) a l r e a d y c o n t a i n s a u n k n o w n c o n s t a n t , i f i t ' s c o m b i n e d u n d e r t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n w i t h a n o t h e r s o l u t i o n , i t d o e s n o t h a v e t o b e

    m u l t i p l i e d b y a n a d d i t i o n a l u n k n o w n c o n s t a n t .

    2 5

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    26/86

    F u n d a m e n t a l S e t s o f S o l u t i o n s

    W h a t i f w e h a v e t w o s o l u t i o n s , b u t w e w a n t t o k n o w t h e c o n d i t i o n s t h a t m a k e s t h e i r c o m b i n a t i o n a

    g e n e r a l s o l u t i o n ? T h e t h e o r y b e h i n d c l a s s i f y i n g a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s w i l l h e l p u s t o s o l v e t h i s

    i s s u e . S o s u p p o s e w e a r e g i v e n t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m p (t) y + q(t) y + r (t) y = 0 w i t h y (t0) = y0 a n dy (t0) = y0 . W e k n o w f r o m t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n t h a t y (t) = c1y1 (t) + c2y2 (t) i s a s o l u t i o n , b u t c a n w e s a y t h i s i s t h e g e n e r a l s o l u t i o n ? I n o r d e r f o r t h e s o l u t i o n t o b e g e n e r a l , i t m u s t a l w a y s s a t i s f y t h e

    i n i t i a l c o n d i t i o n s , w h i c h , w h e n w r i t t e n o u t , g i v e u s :

    y0 = y (t0) = c1y1 (t0) + c2y2 (t0)

    y0 = y (t0) = c1y1 (t0) + c2y

    2 (t0)

    S i n c e w e a s s u m e t o a l r e a d y k n o w t h e s o l u t i o n s y1 (t) a n d y2 (t) b e f o r e h a n d , w e c a n t h e n s o l v e f o r c1 a n dc2 i n t h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s u s i n g C r a m e r ' s R u l e . T h i s g i v e s u s :

    c1 =

    y0 y2 (t0)y0 y2 (t0)

    y1 (t0) y2 (t0)y1 (t0) y2 (t0)

    c2 =

    y1 (t0) y0y1 (t0) y0

    y1 (t0) y2 (t0)y1 (t0) y2 (t0)

    N o t i c e t h a t t h e d e n o m i n a t o r s a r e t h e s a m e i n t h e s o l u t i o n s f o r b o t h c1 a n d c2 ! T h e r e f o r e , t h e s o l u t i o n s

    w i l l o n l y w o r k ( a n d h e n c e f o r m a g e n e r a l s o l u t i o n ) i f t h e i r d e n o m i n a t o r s d o n o t e q u a l z e r o . y1 (t0) y2 (t0)y1 (t0) y2 (t0) = y1 (t0) y2 (t0) y2 (t0) y1 (t0) = 0

    T h i s d e n o m i n a t o r i s c a l l e d t h e W r o n s k i a n a n d i s d e n o t e d a s :

    W (f, g) (t) =

    f(t) g (t)f (t) g (t) = f(t) g (t) g (t) f (t)

    S o w h a t c a n w e t a k e f r o m a l l o f t h i s ? I f y1 (t) a n d y2 (t) a r e t w o s o l u t i o n s t o a d i e r e n t i a l e q u a t i o n a n d t h e W r o n s k i a n o f

    y1 (t) a n d y2 (t) i s n ' t z e r o ( i . e . W (y2, y2) (t) = 0) , t h e n t w o t w o s o l u t i o n s a r e c a l l e d a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s a n d t h e g e n e r a l s o l u t i o n i s g i v e n b y :

    y (t) = c1y1 (t) + c2y2 (t)

    E x a m p l e :

    P r o v e t h a t y1 (t) = etcos (t) a n d y2 (t) = e

    tsin (t) f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s .

    1 . W e n e e d t o n d t h e W r o n s k i a n a n d s h o w t h a t i t ' s n e v e r z e r o t o p r o v e t h a t t h e t w o g i v e n s o l u t i o n s

    f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s .

    W =

    etcos (t) etsin (t)etcos (t) etsin (t) etsin (t) + etcos (t)

    W = etcos (t)

    etsin (t) + etcos (t) etsin (t) etcos (t) etsin (t)

    W = e2tsin (t) cos (t) + e2tcos2 (t)

    e2tsin (t) cos (t) + e2tsin2 (t)

    W = e2t

    cos2 (t) + sin2 (t)

    W = e2t

    2 . W e s a w f r o m a p r e v i o u s e x p l a n a t i o n ( t h i n k b a c k t o t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ! ) t h a t e x p o n e n t i a l s c a n

    n e v e r b e z e r o . A d d i t i o n a l l y , = 0 , b e c a u s e i f i t d i d , w e w o u l d n ' t h a v e c o m p l e x r o o t s t o b e g i n w i t h !T h e r e f o r e , b e c a u s e n o t h i n g i n t h i s p r o d u c t c a n e q u a l z e r o , W c a n n e v e r e q u a l z e r o . B e c a u s e o f t h i s

    y1 (t) a n d y2 (t) f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s g i v e n b y :

    y (t) = c1etcos (t) + c2e

    tsin (t) , as desired, .

    2 6

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    S o l v i n g S e c o n d O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s b y U n d e t e r m i n e d C o e f f i c i e n t s

    S o s a y w e w a n t t o s o l v e n o n h o m o g e n e o u s s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n y + p (t) y + q(t) y = g (t)w i t h t h e a s s o c i a t e d h o m o g e n e o u s e q u a t i o n y +p (t) y + q(t) y = 0. A n i m p o r t a n t t h e o r e m t e l l s u s :

    I f Y1 (t) a n d Y2 (t) a r e t w o s o l u t i o n s t o t h e n o n h o m o g e n e o u s e q u a t i o n y +p (t) y + q(t) y = g (t) a n d y1 (t)

    a n d

    y2 (t)f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s t o t h e a s s o c i a t e d h o m o g e n e o u s e q u a t i o n , t h e n

    Y1 (t) Y2 (t)i s a s o l u t i o n t o t h e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n a n d c a n b e w r i t t e n a s

    Y1 (t) Y2 (t) = c1y1 (t) c2y2 (t)

    W h a t d o e s t h i s t h e o r e m d o f o r u s ? I f w e s u p p o s e y ( t ) i s t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o a n o n h o m o g e n e o u s

    d i e r e n t i a l e q u a t i o n , a n d Yp (t) i s a n y p a r t i c u l a r s o l u t i o n t h a t w e c a n n d , w e g e t t h e f o l l o w i n g :

    y (t) Yp (t) = c1y1 (t) c2y2 (t)

    y (t) = c1y1 (t)

    c2y2 (t) + Yp (t)

    I f w e d e n e

    Yc (t) = c1y1 (t) c2y2 (t) a s t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n ( t o t h e a s s o c i a t e d h o m o g e n e o u s e q u a t i o n ) , o u r g e n e r a l s o l u t i o n n o w l o o k s l i k e :

    y (t) = Yc (t) + Yp (t)

    S o t o s o l v e a n o n h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n , r s t w e s o l v e f o r t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n b y s o l v -

    i n g t h e h o m o g e n e o u s v e r s i o n o f t h e e q u a t i o n a n d t h e n w e g e t o n e p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r t h e n o n h o m o g e n e o u s

    v e r s i o n o f t h e e q u a t i o n . T h e n w e ' l l b e a b l e t o c o m b i n e t h e t w o a n s w e r s a n d g e t a g e n e r a l s o l u t i o n .

    E x a m p l e :

    W r i t e t h e g e n e r a l s o l u t i o n f o r y 4y 12y = 3e5t .1 . L e t ' s n d t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n b y s o l v i n g f o r t h e h o m o g e n e o u s v e r s i o n o f t h i s e q u a t i o n .

    y 4y 12y = 0r2 4r 12 = 0

    (r 6) (r + 2) = 0r1 = 2 r2 = 6

    Yc (t) = c1e2t + c2e6t

    2 . N o w l e t ' s g u e s s a t t h e f o r m o f a p a r t i c u l a r s o l u t i o n . B e c a u s e e x p o n e n t i a l s d o n ' t r e a l l y c h a n g e f o r m

    w h e n t h e y a r e d i e r e n t i a t e d , w e ' l l g u e s s a f o r m Yp (t) = Ae5t

    .

    3 . T a k e t h e r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e g u e s s e d f o r m a n d p l u g t h e m i n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s

    d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

    Yp (t) = 5Ae5t

    Yp (t) = 25Ae5t

    25Ae5t 4 5Ae5t 12 Ae5t = 3e5t

    7Ae5t = 3e5t

    4 . N o w w e n e e d t o c h o o s e a n A s u c h t h a t t h e c o e c i e n t s o f b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n w i l l b e e q u a l , h e n c e

    m a k i n g t h e e q u a t i o n t r u e .

    7A = 3A = 3

    7

    2 7

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    5 . P l u g i n t h e v a l u e f o r t h e c o e c i e n t b a c k i n t o o u r i n i t i a l g u e s s f o r t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n .

    Yp (t) = 37

    e5t

    6 . C o m b i n e t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n t o g e t t h e g e n e r a l s o l u t i o n ( i . e . y (t) =Yc (t) + Yp (t)) .

    y (t) = c1e2t + c2e6t 3

    7e5t

    E x a m p l e :

    F i n d a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y 4y 12y = sin (2t).1 . L e t ' s u s e

    Yp (t) = Asin (2t) a s o u r g u e s s f o r a f o r m o f a p a r t i c u l a r s o l u t i o n .

    2 . T a k e t h e r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e g u e s s e d f o r m a n d p l u g t h e m i n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s

    d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

    Yp (t) = 2Acos (2t) Yp (t) = 4Asin (2t)

    4Asin (2t) 4 (2Acos (2t)) 12 (Asin (2t)) = sin (2t)16Asin (2t) 8Acos (2t) = sin (2t)

    3 . N o w w e n e e d t o p i c k a n A s o t h a t t h e c o s i n e t e r m o n t h e l e f t h a n d s i d e w i l l g o t o z e r o , a n d t h a t t h e

    c o e c i e n t o f t h e s i n e t e r m o n t h e l e f t s i d e o f t h e e q u a t i o n w i l l m a t c h t h e o n e o n t h e r i g h t .

    8A = 0 = A = 016A = 1 = A = 1

    16

    4 . L o o k s l i k e A h a s t o h a v e t w o d i e r e n t v a l u e s a t o n c e t o m a k e o u r e q u a t i o n t r u e ! T h i s m e a n s o u r i n i t i a l

    g u e s s f o r a f o r m o f t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n w a s w r o n g . S i n c e c o s i n e p o p p e d u p , w e c a n u s e t h a t a s a

    c l u e a n d a u g m e n t o u r g u e s s t o b e Yp (t) = Acos (2t) + Bsin (2t) .

    5 . L e t ' s t a k e t h e r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f o u r n e w f o r m a n d p l u g t h e m i n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s

    d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

    Yp (t) = 2Asin (2t) + 2Bcos (2t) Yp (t) = 4Acos (2t) 4Bsin (2t)4Acos (2t) 4Bsin (2t) 4 (2Asin (2t) + 2Bcos (2t)) 12 (Acos (2t) + Bsin (2t)) = sin (2t)

    (12B 4B + 8A) sin (2t) + (8B 4A 12A) cos (2t) = sin (2t)(16B + 8A) sin (2t) + (16A 8B) cos (2t) = sin (2t)

    6 . S o n o w w e n e e d t h e s i n e ' s c o e c i e n t t o b e 1 , a n d t h e c o s i n e ' s c o e c i e n t t o b e z e r o . L e t ' s s e t u p t h e

    s y s t e m o f e q u a t i o n s a n d s o l v e i t .

    16A 8B = 0 8A 16B = 1

    +

    16A 8B = 0

    16A 32B = 240B = 2

    B = 120

    A =1

    8+ 2B

    A =1

    8+ 2

    1

    20

    =

    5

    40 4

    40

    A =1

    40

    2 8

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    7 . P l u g i n t h e v a l u e s f o r t h e c o e c i e n t s b a c k i n t o o u r ( c o r r e c t ) g u e s s f o r t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d w e ' r e

    d o n e .

    Yp (t) =

    1

    40cos (2t) 1

    20sin (2t)

    E x a m p l e :

    F i n d a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y 4y 12y = 2t3 t + 3 .1 . L e t ' s u s e Yp (t) = At

    3 + Bt2 + Ct + D a s o u r g u e s s f o r a f o r m o f a p a r t i c u l a r s o l u t i o n .

    2 . T a k e t h e r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e g u e s s e d f o r m a n d p l u g t h e m i n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s

    d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

    Yp (t) = 3At2 + 2Bt + C Yp (t) = 6At + 2B

    6At + 2B 4

    3At2 + 2Bt + C

    12

    At3 + Bt2 + Ct + D

    = 2t3 t + 3

    6At + 2B 12At2

    8Bt 4C 12At3

    12Bt2

    12Ct 12D = 2t3

    t + 312At3 + (12A 12B) t2 + (6A 8B 12C) t + 2B 4C 12D = 2t3 t + 3

    3 . N o w w e n e e d t h e c o e c i e n t s f o r e a c h t e r m o n e a c h s i d e o f t h e e q u a t i o n t o m a t c h u p . L e t ' s s e t u p t h e

    s y s t e m o f e q u a t i o n s a n d s o l v e i t .

    12A = 2 = A = 16

    12A 12B = 0 = B = 16

    6A 8B 12C = 1 = C = 19

    2B

    4C

    12D = 3 =

    D =

    5

    27

    4 . P l u g i n t h e v a l u e s f o r t h e c o e c i e n t s b a c k i n t o o u r g u e s s f o r t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d w e ' r e d o n e .

    Yp (t) =

    1

    6t3 +

    1

    6t2 1

    9t 5

    27

    S o l e t ' s s u m m a r i z e o u r t e c h n i q u e s f o r f o r m u l a t i n g a g u e s s b a s e d o n g (t) i n a t a b l e :

    g (t) a g u e s s a t Yp (t)

    a e

    t Aet

    acos (t) Acos (t) + Bsin (t)bsin (t) Acos (t) + Bsin (t)

    acos (t) + bsin (t) Acos (t) + Bsin (t)nth d e g r e e p o l y n o m i a l Ant

    n + An1tn1 + ... + A1t + A0

    2 9

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    U s i n g t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n o n N o n h o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s

    I f Yp1 (t) i s a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y +p (t) y + q(t) y = g1 (t) ,

    a n d Yp2

    (t) i s a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y +p (t) y + q(t) y = g2

    (t),

    t h e n Yp1 (t) + Yp2 (t) i s a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y +p (t) y + q(t) y = g1 (t) + g2 (t) .

    E x a m p l e :

    F i n d a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r

    y 4y 12y = 2t3 t + 3 + sin (2t)1 . W e ' v e a l r e a d y s h o w n i n p r e v i o u s w o r k t h a t Yp1 (t) = 16 t3+ 16 t2 19 t 527 i s a s o l u t i o n t o y4y12y =

    2t3 t + 3 a n d Yp2 (t) = 140cos (2t) 120sin (2t) i s a s o l u t i o n t o y 4y 12y = sin (2t) , t h e r e f o r e b y t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n :

    Yp (t) = Yp1 (t) + Yp2 (t)

    Yp (t) =

    1

    6 t3 +1

    6 t2 1

    9 t 5

    27 +1

    40 cos (2t) 1

    20 sin (2t)

    3 0

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    31/86

    V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s

    T h i s m e t h o d i s a l i t t l e b i t l o n g e r a n d m o r e a r i t h m e t i c i n t e n s i v e t h a n s o l v i n g s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l

    e q u a t i o n s b y u n d e t e r m i n e d c o e c i e n t s , b u t i t m i g h t s a v e y o u s o m e t i m e b y e l i m i n a t i n g t h e g u e s s i n g f a c t o r i n

    o b t a i n i n g t h e s o l u t i o n i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n q u e s t i o n i s a l i t t l e b i t t r i c k y . T h e t h e o r e m i s a s f o l l o w s :

    G i v e n t h e n o n h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n

    y + q(t) y + r (t) y = g (t), a s s u m e t h a t

    y1 (t)a n d

    y2 (t)f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s f o r t h e a s s o c i a t e d h o m o g e n e o u s e q u a t i o n . I t f o l l o w s t h a t a p a r t i c u l a r

    s o l u t i o n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s r e p r e s e n t e d a s :

    Yp (t) = y1

    y2g (t)

    W (y1, y2)dt + y2

    y1g (t)

    W (y1, y2)dt

    E x a m p l e :

    F i n d a g e n e r a l s o l u t i o n t o 2y + 18y = 6tan (3t).

    1 . R e w r i t e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o t h e V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s m e t h o d a p p l i e s .

    y + 9y = 3tan (3t)

    2 . F i n d t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n .

    y + 9y = 0

    r2 + 9 = 0

    r = 3iYc (t) = e

    (0)cos (3t) + e(0)sin (3t)

    Yc (t) = c1cos (3t) + c2sin (3t)

    3 . S e p a r a t e t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n i n t o t w o s e p a r a t e s o l u t i o n s , t h e n n d t h e W r o n s k i a n o f t h e t w o

    s o l u t i o n s .

    y1 = cos (3t) y2 = sin (3t)

    Wronskian (y1, y2) = W (y1, y2) =

    cos (3t) sin (3t)3sin (3t) 3cos (3t) = 3cos2 (3t) + 3sin2 (3t)

    W (y1, y2) = 3

    4 . P l u g e v e r y t h i n g i n t o t h e f o r m u l a g i v e n b y t h e V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s m e t h o d a n d s o l v e .

    Yp (t) = cos (3t)

    sin (3t) (3tan (3t))

    3dt + sin (3t)

    cos (3t) (3tan (3t))

    3dt

    Yp (t) = cos (3t)

    sin2 (3t)

    cos (3t)dt + sin (3t)

    sin (3t) dt

    Yp (t) =

    cos (3t)

    1 cos2 (3t)cos (3t)

    dt + sin (3t) sin (3t) dt

    Yp (t) = cos (3t)

    (sec (3t) cos (3t)) dt + sin (3t)

    sin (3t) dt

    Yp (t) = 13

    cos (3t) (ln |sec (3t) + tan (3t)| sin (3t)) 13

    sin (3t) cos (3t)

    Yp (t) = 13

    cos (3t) ln |sec (3t) + tan (3t)| + 13

    sin (3t) cos (3t) 13

    sin (3t) cos (3t)

    Yp (t) = 13

    cos (3t) ln |sec (3t) + tan (3t)|

    3 1

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    32/86

    5 . C o m b i n e t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n t o g e t t h e g e n e r a l s o l u t i o n ( i . e . y (t) =Yc (t) + Yp (t)) .

    y (t) = c1cos (3t)+c2sin (3t)1

    3cos (3t) ln |sec (3t) + tan (3t)|

    3 2

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    33/86

    S y s t e m s o f E q u a t i o n s a n d M a t r i x R e v i e w

    S u p p o s e y o u a r e g i v e n n e q u a t i o n s w i t h n u n k n o w n s x1, x2, ..., xn :

    a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

    a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

    .

    .

    .

    an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

    T h e c o r r e s p o n d i n g a u g m e n t e d m a t r i x i s :

    a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    an1 an2 ann bn

    T o s o l v e t h i s , w e r e w r i t e t h e m a t r i x i n r o w e c h e l o n f o r m ( o r t r i a n g u l a r f o r m ) , m e a n i n g a l l e n t r i e s b e l o w

    t h e m a i n d i a g o n a l ( t h e d i a g o n a l c o n t a i n i n g a11, a22, ..., ann ) a r e z e r o s , a n d t h e e n t r i e s o n t h e m a i n d i a g o n a l

    a r e o n e s . W e r e w r i t e a m a t r i x w i t h r o w o p e r a t i o n s . T h e r e a r e t h r e e :

    1 . W e m a y i n t e r c h a n g e t w o r o w s .

    2 . W e m a y m u l t i p l y a r o w b y a c o n s t a n t .

    3 . W e m a y a d d a m u l t i p l e o f o n e r o w t o a n o t h e r r o w .

    E x a m p l e :

    S o l v e t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f e q u a t i o n s

    2x1 + x2 x3 = 4

    x1 + 2x2 + 3x3 = 13

    3x1 + x3 = 1

    1 . W r i t e t h e a u g m e n t e d m a t r i x . P u t z e r o s i n f o r c o e c i e n t s o f t e r m s t h a t a r e n ' t p r e s e n t .

    2 1 1 41 2 3 133 0 1

    1

    2 . L e t ' s s w a p r o w s t o m a k e t h e t o p o f t h e m a i n d i a g o n a l h a v e a 1 .

    R1 R2 1 2 3 132 1 1 4

    3 0 1 1

    3 3

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    3 . L e t ' s m a k e t h e l a s t t w o e n t r i e s o f t h e r s t c o l u m z e r o b y a d d i n g m u l t i p l e s o f t h e r s t r o w t o t h e i r

    r e s p e c t i v e r o w s .

    3R1 + R3 R32R1 + R2 R2

    1 2 3 130 5 5 300 6 8 40

    4 . N o w l e t ' s m a k e t h e l e a d i n g e n t r y i n t h e s e c o n d r o w a 1 .

    1

    5R2 R2

    1 2 3 130 1 1 6

    0 6 8 40

    5 . N o w w e ' v e g o t t o t u r n t h e - 6 i n t o a z e r o i n t h e t h i r d r o w .

    6R2 + R3 R3 1 2 3 130 1 1 6

    0 0 2 4

    6 . N o w w e h a v e t o m a k e t h e - 2 i n t h e t h i r d r o w a 1 s o a l l m a i n d i a g o n a l e n t r i e s a r e o n e s , a n d a l l e n t r i e s

    b e l o w a r e z e r o s .

    12

    R3 R3

    1 2 3 130 1 1 60 0 1 2

    7 . N o w w e c a n c o n v e r t b a c k t o e q u a t i o n s a n d s o l v e t h e s y s t e m .

    x1 + 2x2 + 3x3 = 13

    x2 + x3 = 6

    x3 = 2

    8 . J u s t p l u g a n d c h u g !

    x1 = 1 x2 = 4 x3 = 2

    9 . N o t i c e w e c o u l d h a v e s i m p l i e d o u r l a s t s t e p b y m a k i n g t h e e n t r i e s t o t h e r i g h t o f t h e l e a d i n g e n t r i e s

    w h i c h w e r e a l r e a d y o n e s , z e r o s , s o t h a t w e c o u l d j u s t r e a d o w h a t e a c h v a r i a b l e e q u a l s . T h i s i s k n o w n

    a s r e d u c e d e c h e l o n f o r m . F o r t h e s y s t e m a b o v e , t h e m a t r i x i n r e d u c e d e c h e l o n f o r m i s : 1 0 0 10 1 0 4

    0 0 1 2

    3 4

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    35/86

    S o m e t i m e s w e w o n ' t a l w a y s g e t s i m p l e s o l u t i o n s t h o u g h ! T h e n e x t t w o e x a m p l e s s h o w o t h e r p o s s i b l e f o r m s

    o f s o l u t i o n s .

    E x a m p l e :

    S o l v e t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f e q u a t i o n s

    x1 2x2 + 3x3 = 2

    x1 + x2 2x3 = 3

    2x1 x2 + 3x3 = 1

    1 . W r i t e t h e a u g m e n t e d m a t r i x a n d r o w r e d u c e i t . 1 2 3 21 1 2 3

    2 1 3 1

    R1 + R2

    R2,

    2R1 + R3

    R3 1 2 3 20 1 1 1

    0 3 3 5

    R2 R2 1 2 3 20 1 1 1

    0 3 3 5

    3R2 + R3 R3

    1 2 3 20 1 1 10 0 0 8

    2 . C h a n g e t h e m a t r i x b a c k i n t o e q u a t i o n s .

    x1 2x2 + 3x3 = 2

    x2 x3 = 10 = 8

    3 . T h e t h i r d e q u a t i o n d o e s n ' t m a k e a n y s e n s e ! W h e n t h i s h a p p e n s , t h i s m e a n s t h e r e i s n o s o l u t i o n t o

    t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s !

    E x a m p l e :

    S o l v e t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f e q u a t i o n s

    x1 2x2 + 3x3 = 2

    x1 + x2 2x3 = 3

    2x1 x2 + 3x3 = 7

    3 5

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    36/86

    1 . W r i t e t h e a u g m e n t e d m a t r i x a n d r o w r e d u c e i t . 1 2 3 21 1 2 3

    2 1 3 7

    R1 + R2

    R2,

    2R1 + R3

    R3

    1 2 3 20 1 1 10 3 3 3

    R2 R2 1 2 3 20 1 1 1

    0 3 3 3

    3R2 + R3 R3

    1 2 3 20 1 1 10 0 0 0

    2 . W e c a n m a k e a s i m p l e r s o l u t i o n b y r e d u c i n g t h i s f u r t h e r i n t o r e d u c e d e c h e l o n f o r m .

    2R2 + R1 R1 1 0 1 40 1 1 1

    0 0 0 0

    3 . L e t ' s c h a n g e t h i s m a t r i x b a c k i n t o e q u a t i o n s .

    x1 + x3 = 4

    x2 x3 = 14 . S i n c e x3 i s i n b o t h e q u a t i o n s , w e ' l l s o l v e e a c h o n e i n t e r m s o f x3 .

    x1 = x3 4

    x2 = x3 1

    5 . T h i s s o l u t i o n m e a n s w e c a n p i c k t h e v a l u e o f x3 t o b e a n y t h i n g a n d w e ' d s t i l l b e a b l e t o n d v a l u e s f o r

    x1 a n d x2 . W e ' l l w r i t e t h e s o l u t i o n a s s u c h :

    '

    &

    $

    %

    x1 = t 4

    x2 = t 1x3 = t, t R

    S o n o w w e h a v e a n i n n i t e a m o u n t o f s o l u t i o n s h e r e , o n e f o r e a c h v a l u e o f t .

    S o s u m m a r i z i n g t h i s , w e c o m e t o a w e l l k n o w n f a c t o f a l g e b r a .

    3 6

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    37/86

    G i v e n a s y s t e m o f e q u a t i o n s , t h e r e c a n o n l y b e o n e o f t h e f o l l o w i n g :

    1 . T h e r e i s n o s o l u t i o n .

    2 . T h e r e i s e x a c t l y o n e s o l u t i o n .

    3 . T h e r e a r e i n n i t e l y m a n y s o l u t i o n s .

    S o l e t ' s l o o k a t t h i s s i t u a t i o n :

    a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0

    a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0

    .

    .

    .

    an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0

    T h i s i s c a l l e d a h o m o g e n e o u s s y s t e m b e c a u s e a l l e q u a t i o n s e q u a l z e r o . C o n v e r s e l y , t h e s y s t e m w o u l d b e

    n o n h o m o g e n e o u s i f a t l e a s t o n e o f t h e e q u a t i o n s w i t h i n i t d i d n o t e q u a l z e r o . A d d i t i o n a l l y , n o t t h a t i n a

    h o m o g e n e o u s s y s t e m , t h e r e ' s a l w a y s a s o l u t i o n i f w e l e t e v e r y t h i n g b e z e r o .

    x1 = x2 = ... = xn = 0

    T h i s i s c a l l e d t h e t r i v i a l s o l u t i o n . T h e s e f a c t s c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s :

    G i v e n a h o m o g e n e o u s s y s t e m o f e q u a t i o n s , w e w i l l h a v e o n l y o n e o f t w o p o s s i b i l i t i e s f o r t h e n u m b e r o f

    s o l u t i o n s :

    1 . T h e r e i s e x a c t l y o n e s o l u t i o n ( t h e t r i v i a l s o l u t i o n ) .

    2 . T h e r e a r e i n n i t e l y m a n y n o n z e r o s o l u t i o n s i n a d d i t i o n t o t h e t r i v i a l s o l u t i o n .

    3 7

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    38/86

    B a s i c D e f i n i t i o n s o f M a t r i c e s a n d B a s i c M a t r i x A r i t h m e t i c

    T h e s i z e o r d i m e n s i o n o f a m a t r i x i s n o t e d a s f o l l o w s :

    A =

    a11 a12 a1ma21 a22 a2m

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    an1 an2 anm

    = (aij)nxm

    w h e r e t h e r e a r e n r o w s , m c o l u m n s , a n d a n e n t r y aij i s d e n o t e d a s t h e e n t r y i n t h e ith

    r o w a n d t h e jth

    c o l u m n .

    A s q u a r e m a t r i x i s a m a t r i x w i t h :

    n x n d i m e n s i o n h a s a m a i n d i a g o n a l t h a t s t a r t s i n t h e u p p e r l e f t a n d e n d s i n t h e l o w e r r i g h t

    A z e r o m a t r i x i s a m a t r i x w h e r e a l l e n t r i e s a r e z e r o s .

    A n i d e n t i t y m a t r i x i s a m a t r i x :

    d e n o t e d a s In o r I . a m a t r i x w h o s e m a i n d i a g o n a l c o n s i s t s o f 1 s , b u t a l l o t h e r e n t r i e s a r e 0 s h a s t h e p r o p e r t y t h a t a n y m a t r i x m u l t i p l i e d b y t h e i d e n t i t y m a t r i x i s i t s e l f

    A c o l u m n o r r o w m a t r i x i s r e p r e s e n t e d a s :

    x =

    x1x2

    .

    .

    .

    xn

    y = y1 y2 ym

    a n d t h e s e a r e o f t e n r e p r e s e n t a t i v e o f v e c t o r s .

    S c a l a r m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n i s s h o w n a s f o l l o w s :

    a

    x1 x2x3 x4

    =

    ax1 ax2ax3 ax4

    A d d i t i o n / s u b t r a c t i o n o f m a t r i c e s i s s h o w n a s f o l l o w s :

    x1 x2x3 x4

    y1 y2

    y3 y4 = x1 y1 x2 y2

    x3 y3 x4 y4 M a t r i x - m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n ( b e t t e r k n o w n a s s i m p l y m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n ) i s s h o w n a s f o l l o w s :

    A =

    2 1 0

    3 6 1

    B =

    1 0 1 24 3 1 0

    0 3 0 2

    AB =

    (2 + 4 + 0) (0 3 + 0) (2 1 + 0) (4 + 0 + 0)

    (3 24 + 0) (0 + 18 + 3) (3 + 6 + 0) (6 + 0 + 2)

    3 8

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    39/86

    AB =

    6 3 3 4

    27 21 9 8

    A n d r e m e m b e r f o r m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n ,

    AB = BA !

    T h e d e t e r m i n a n t o f a m a t r i x i s s h o w n a s f o l l o w s :

    A =

    a c

    b d

    det (A) = ad cb

    A =

    a11 a12 a13a21 a22 a23

    a31 a32 a33

    det (A) = a11

    a22 a23a32 a33

    a12

    a21 a23a31 a33

    + a13

    a21 a22a31 a32

    det (A) = a11 (a22a33 a23a32) a12 (a21a33 a23a31) + a13 (a21a32 a22a31)

    I f a m a t r i x ' s d e t e r m i n a n t e q u a l s z e r o , t h e m a t r i x i s s i n g u l a r .

    I f a m a t r i x ' s d e t e r m i n a n t d o e s n o t e q u a l z e r o , t h e m a t r i x i s n o n s i n g u l a r .

    3 9

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

    40/86

    F i n d i n g t h e I n v e r s e o f a M a t r i x

    T o n d t h e i n v e r s e o f a m a t r i x , w e j u s t t a c k o n a n a p p r o p r i a t e l y s i z e d i d e n t i t y m a t r i x , a n d t h e n u s e

    r o w o p e r a t i o n s m a k e i t s w i t c h s i d e s . S e e t h e e x a m p l e b e l o w f o r c l a r i c a t i o n .

    E x a m p l e :

    F i n d t h e i n v e r s e o f t h e f o l l o w i n g m a t r i x i f i t e x i s t s :

    A =

    2 1 15 3 0

    1 1 1

    1 . N o w w e ' r e g o i n g t o t a c k o n a 3 x 3 i d e n t i t y m a t r i x , a n d t h e n u s e r o w o p e r a t i o n s m a k e i t s w i t c h s i d e s .

    A =

    2 1 1 1 0 05 3 0 0 1 0

    1 1 1 0 0 1

    R3 R1

    A = 1 1 1 0 0 15 3 0 0 1 0

    2 1 1 1 0 0

    5R1 + R2 R2, 2R1 + R3 R3

    A =

    1 1 1 0 0 10 2 5 0 1 5

    0 1 3 1 0 2

    1

    2R2 R2

    A =

    1 1 1 0 0 10 1 52 0 12 520 1 3 1 0 2

    R2 + R3 R3

    A =

    1 1 1 0 0 10 1 52 0 12 52

    0 0 12 112

    12

    2R3 R3

    A =

    1 1 1 0 0 10 1 52 0 12 52

    0 0 1 2 1 1

    5

    2R3 + R2 R2, R1 + R3 R1

    A =

    1 1 0 2 1 20 1 0 5 3 5

    0 0 1 2 1 1

    R2 + R1 R1

    A =

    1 0 0 3 2 30 1 0 5 3 5

    0 0 1 2 1 1

    4 0

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    #

    "

    !inverse, A1 =

    3 2 35 3 5

    2 1 1

    F a c t s a b o u t I n v e r s e s o f M a t r i c e s

    G i v e n a s q u a r e m a t r i x A :

    1 . I f A i s n o n s i n g u l a r ( i . e . detA = 0 ) , t h e n A1 w i l l e x i s t .2 . I f A i s s i n g u l a r ( i . e . detA = 0) , t h e n A1 w i l l n o t e x i s t .

    4 1

  • 7/30/2019 Everyman Diff Eq's

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    R e d e f i n i n g S y s t e m s o f E q u a t i o n s

    S a y w e a r e g i v e n :

    a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

    a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

    .

    .

    .

    an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

    W e c a n c o n v e r t e a c h s i d e o f e a c h e q u a t i o n i n t o a v e c t o r .

    a11x1 + a12x2 + + a1nxna21x1 + a22x2 + + a2nxn

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    an1x1 + an2x2 + + annxn

    =

    b1b2

    .

    .

    .

    bn

    W e c a n n o w t h i n k o f t h e l e f t s i d e a s a m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n .

    a11 a12 a1na21 a22 a2n

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    an1 an2 ann

    x1x2

    .

    .

    .

    xn

    =

    b1b2

    .

    .

    .

    bn

    T h i s g i v e s u s , n o t a t i o n a l l y , Ax = b , w h e r e x i s a v e c t o r