evaluacion de los modelos para estimar la insolacion diaria en funcion de temperaturas maxima,...

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

EVALUACIÓN DE MODELOS PARA ESTIMAR INSOLACIÓN DIARIA EN FUNCIÓN DE TEMPERATURAS MÁXIMA, MINIMA Y PRECIPITACIÓN

DEL DÍA.

FRANCISCO JOSE CONTRERAS JELDRES

MEMORIA DE TÍTULO PRESENTADA A LA FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA DE LA UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN, PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL AGRÍCOLA

CHILLAN-CHILE

2008

2

EVALUACIÓN DE MODELOS PARA ESTIMAR INSOLACIÓN DIARIA EN FUNCIÓN DE TEMPERATURAS MÁXIMA, MINIMA Y PRECIPITACIÓN

DEL DÍA.

Aprobado por:

Gabriel Merino Coria Licenciado en Ciencias Fisicas, Ph. D. Profesor Asociado

Profesor Guía

Jorge Jara Ramírez Ingeniero Agrónomo, Ph. D. Profesor Asociado

Profesor Asesor

Jose Arumi Ribera Ingeniero Civil, Ph. D. Profesor Asociado

Profesor Asesor

Marco López Roudergue Ingeniero Civil Industrial Profesor Asistente

Director de Departamento

Eduardo Holzapfel Hoces Ingeniero Agrónomo, Ph. D. Profesor Titular

Decano

3

INDICE DE MATERIAS

Pagina

Resumen……………………………………………………………………… 8

Summary……………………………………………………………………… 10

Introducción…………………………………………………………………... 12

Objetivos……………………………………………………………………… 14

Metodología…………………………………………………………………... 15

Resultados…………………………………………………………………..... 33

Conclusiones………………………………………………………………..... 51

Literatura Citada……………………………………………………………… 54

Anexos………………………………………………………………………… 58

Apéndices…………………………………………………………………….. 73

4

INDICE DE TABLAS

En texto: Página Tabla 1: Variables explicativas de la insolación diaria usadas en

los 24 modelos ANFIS propuestos (C.1…C.24) y el radio de influencia usado en la agrupación.…………….

26

Tabla 2: Desempeño global de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)………….............................

33

Tabla 3: Desempeño estacional de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)……….…............................

35

Tabla 4: Desempeño global de los modelos de De Jong & Stewart medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)…….……............................

36

Tabla 5: Desempeño estacional de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)…….……............................

37

Tabla 6: Porcentaje de datos fuera de los rangos de insolación diaria, separados por estación y la media anual, en los 24 modelos ANFIS y las variables explicativas usadas por cada modelo para predecir la insolación…..……….

38

Tabla 7: Desempeño global de los modelos de ANFIS medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria………………………………………………..............

40

5

Tabla 8: Desempeño global y estacional del modelo de Ángstrom medido con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E)………………………………

43

Tabla 9: Modelos seleccionados*, dispuestos de menor a mayor error medio absoluto (MAE) anual, junto con el lugar que ocupan en el ordenamiento a nivel anual y estacional; en paréntesis el lugar que ocupan en el ordenamiento al descartar los modelos de Ángstrom….

47 En Apéndices:

Tabla 10: Desempeño de los modelos ANFIS en verano, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria….………………………………………...

73

Tabla 11: Desempeño de los modelos ANFIS en otoño, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria………………………………………………………...

74

Tabla 12: Desempeño de los modelos ANFIS en invierno, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria…………...………..……………………...

75

Tabla 13: Desempeño de los modelos ANFIS en primavera, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria...………..………………………………...

76

6

Tabla 14: Desempeño global de los modelos seleccionados, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE, junto al rango que ocupa………………………………….

77

Tabla 15: Desempeño de los modelos seleccionados en verano, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa………………………….

78

Tabla 16: Desempeño de los modelos seleccionados en otoño, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa………………………….

78

Tabla 17: Desempeño de los modelos seleccionados en invierno, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa………………………….

79

Tabla 18: Desempeño de los modelos seleccionados en primavera, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa…………...

79

Tabla 19: Parámetros de los modelos de Bristow & Campbell A.4, A.5 y A.6 para las estaciones del año.……………..

80

Tabla 20: Parámetros del modelo de De Jong & Stewart B.2 para los meses del año………………………………………….

81

Tabla 21: Parámetros de las tres reglas del modelo ANFIS C.6… 83

Tabla 22: Parámetros de las tres reglas del modelo ANFIS C.18.. 85

7

INDICE DE FIGURAS

Página

Figura 1: Representación de un sistema ANFIS con dos entradas (x1 y x2) y dos reglas difusas, las que se definen con las funciones de pertenencia (A1, A2, B1 y B2), la operación difusa Y (ΠΠΠΠ) y los resultados de estas operaciones ( 1w y 2w ) los cuales son normalizados en la capa 3 (N) dando como resultado ( 1w y 2w ) y estos son multiplicados por el consecuente de las reglas ( 1f y 2f ) y por ultimo son sumados en la capa 5 (Σ) obteniéndose la respuesta de la red ( f )………………..

23

Figura 2: Comparación de la insolación diaria (Q) observada y estimada con el modelo de modelo de Ángstrom recomendado por la FAO D.1 (a) y el calibrado para las condiciones de Chillan D.2 (b). MAE es el error absoluto medio de los modelos…………………………..

44

Figura 3: Comparación de la insolación diaria (Q) observada y predicha con los modelos de Bristow & Campbell A.4 (a), A.5 (b) y A.6 (c); con el modelo B.2 de De Jong & Stewart (d); y con los modelos ANFIS C.6 (e) y C.18 (f)……………………………………………………………..

49

Figura 4: Comparación de la insolación diaria del verano (Q) observada y estimada con los modelos de Bristow & Campbell A.5 (a) y A.6 (b); con el modelo de De Jong & Stewart B.2 (c); con el modelo ANFIS C.6 (d) y el modelo de Ángstrom recomendado por la FAO D.1 (e) y el calibrado para Chillan D.2 (f). MAE es el error absoluto medio de los modelos…………………………..

50

8

EVALUACIÓN DE MODELOS PARA ESTIMAR INSOLACIÓN DIARIA EN

FUNCIÓN DE TEMPERATURAS MÁXIMA, MÍNIMA Y PRECIPITACIÓN

DEL DÍA.

Palabras índice adicionales: Lógica Difusa, Conjuntos Difusos, Redes

Neuronales.

RESUMEN

En el presente estudio se probaron los sistemas ANFIS (Adaptive Network

Based Fuzzy Inference System), para predecir la insolación diaria en Chillán,

usando como variables explicativas de esta, las temperaturas máximas y

mínimas del aire y la precipitación diaria, ya que estos sistemas pueden

modelar fenómenos físicos no-lineales usando datos históricos. Estos

sistemas fueron comparados con los modelos de Bristow & Campbell y De

Jong & Stewart.

Se crearon 32 modelos en total, y se seleccionaron los mejores de cada una

de las tres familias de modelos (ANFIS, Bristow & Campbell y De Jong &

Stewart), quedando 6 modelos para un análisis detallado, y se encontró que

ellos entregan predicciones con un error medio absoluto (MAE) aproximado

de 2,7 -1-2 día m MJ como promedio anual. Además, las predicciones de

verano y primavera tienen un error porcentual absoluto (MAPE) cercano al

9

15%, mientras que para otoño e invierno éste es de un 50%, para los 6

modelos seleccionados.

El modelo que presentó el mejor desempeño fue el modelo ANFIS que usa

como variables explicativas la amplitud térmica del día y el día Juliano, con

un radio de influencia en la agrupación de 0,75 (modelo C.6), el cual entrega

predicciones con un MAE de 2,6 -1-2 día m MJ como promedio anual.

Finalmente, se crearon y evaluaron dos modelos de Ángstrom (que usan

como variable explicativa el número de horas diarias), el recomendado por la

FAO (para el cálculo de evapotranspiración) y uno para las condiciones

específicas de Chillán. Se encontró que este último modelo tiene mejor

desempeño, a nivel anual y estacional, que el modelo C.6, ya que entrega

estimaciones de insolación con un MAE de 1,6 -1-2 día m MJ como promedio

anual.

10

EVALUATION OF MODELS TO ESTIMATE DAILY INSOLATION

DEPENDING ON MAXIMUM AND MINIMUM TEMPERATURES AND DAILY

RAINFALL

Additional keywords: fuzzy sets, fuzzy logics, neural networks.

SUMMARY

In this current study ANFIS systems (Adaptive Network Based Fuzzy

Inference System) were proved, in order to predict the daily insolation in

Chillán (Chile), using air maximum and minimum temperatures and daily

rainfall as explanatory variables of them, since these systems can model

physical non-lineal phenomena using historical data. These systems were

compared with the models proposed by Bristow & Campbell, and De Jong &

Stewart.

Thirty two models were created and the best of each of three families of

models were selected (ANFIS, Bristow & Campbell, and De Jong & Stewart),

remaining 6 models for a detailed analysis, observing that they provide

predictions with an approximate mean absolute error (MAE) of 2,7

-1-2 day m MJ as an annual average. Moreover, summer and spring

predictions have a mean absolute percentage error (MAPE) close to 15%,

while for autumn and winter this is close to 50% for the 6 selected models.

11

The model that presented the best performance was the ANFIS model, which

uses day thermal amplitude and the Julian Day as explanatory variables, with

an influence radius in the cluster of 0,75 (Model C.6), which provides

predictions with a MAE of 2,6 -1-2 day m MJ as an annual average.

Finally, two Ángstrom models (using the number of daily hours as explanatory

variable) were created and evaluated, the first recommended by FAO (to

calculate evapotranspiration) and the second for specific conditions in Chillán.

The latter model presents a better performance, at the seasonal and annual

level, than model C.6, since it provides insolation estimates with a MAE of 1,6

-1-2 day m MJ as an annual average.

12

INTRODUCCIÓN

La cuantificación de la radiación solar que llega a la superficie de la tierra es

un problema antiguo. Para ello, los investigadores han creado diversos

modelos que la relacionan con variables meteorológicas tales como duración

del día, temperatura del aire, grados-hora de temperatura, nubosidad,

humedad relativa, contenido de agua precipitable, composición,

concentración y distribución de tamaños de las partículas atmosféricas. Estos

datos son usados de manera individual o combinados (Walter, 1969; Huxley,

1973; Rizzi et al., 1980; Bristow y Campbell, 1984; Castillo y Santibañez,

1981; De Jong y Stewart, 1993; Hargreaves et al., 1995; Supit y Van Kappel,

1998). También existen modelos que hacen uso de series de tiempo y

registros históricos de insolación diaria, para generar pronósticos de ésta

(Nicks y Harp, 1980). Todo esto se hace porque la radiación solar es la

fuente de energía para la mayoría de los procesos físicos y biológicos que

ocurren en la superficie de la tierra, y es un dato primario para estimar la

evapotranspiración, fotosíntesis, o su conversión a otra clase de energía que

puede ser aprovechada por el hombre.

La radiación solar que incide sobre el planeta es atenuada por los

componentes de la atmósfera, como el ozono, oxígeno, vapor de agua,

nubes y contaminantes (Campbell y Norman, 1998). Debido a la gran

complejidad e incertidumbre de los procesos físicos que ocurren en la

atmósfera, y su interacción con la radiación solar, es que en el presente

trabajo se desarrollarán modelos Neuro-Difusos Híbridos (ANFIS), para

13

estimar la radiación solar total diaria que llega a la superficie de la tierra, a

partir de información de temperaturas máximas y mínimas y la precipitación

del día, ya que estas variables son fáciles y económicas de medir. Lo anterior

debido a que con los sistemas Neuro-Difusos ANFIS es posible modelar

sistemas físicos no lineales y complejos, sin conocer los modelos

matemáticos de estos, usando el conocimiento humano intuitivo y, además,

datos empíricos (Roger Jang, 1993; Ross, 1995).

Por ultimo, los sistemas ANFIS creados serán comparados con algunos

modelos empíricos existentes, para contrastar la exactitud en las

predicciones.

14

OBJETIVOS

Objetivo General

• Evaluar tres clases de modelos para estimar insolación diaria en Chillán,

a partir de temperaturas máximas y mínimas diarias del aire y

precipitación del día.

Objetivos Específicos

• Evaluar modelos de inferencia Neuro-Difusos (ANFIS) para estimar la

insolación diaria en Chillán, a partir de las temperaturas máximas y

mínimas diarias del aire y precipitación del día.

• Calibrar y validar los modelos de Bristow & Campbell y De Jong &

Stewart, para las condiciones de Chillán.

• Comparar la exactitud en las predicciones de insolación diaria, obtenida

con los modelos anteriormente mencionados y sugerir los de mejor

desempeño.

• Comparar los modelos que presenten el mejor desempeño con el modelo

de Ángstrom calibrado para Chillán y el recomendado por FAO, los cuales

usan como variable explicativa el número de horas de sol diarias.

15

METODOLOGÍA

Se separaron los datos meteorológicos registrados de manera aleatoria, en

dos grupos, uno para la construcción de los modelos y el otro para la prueba

de estos, los que tienen igual número de elementos. Posteriormente, se

ajustaron los modelos empíricos de Bristow & Campbell, De Jong & Stewart y

de Ángstrom usando regresiones no-lineales (Anexo 1), y se entrenaron los

sistemas ANFIS para generar predicciones de insolación diaria, a partir de

los datos meteorológicos del conjunto de prueba. Finalmente, se evaluó y

comparó el desempeño de los modelos a nivel global y estacional.

Obtención de datos meteorológicos.

Los datos diarios de insolación, temperaturas máxima y mínima del aire y

precipitación, fueron medidos en la Estación Agrometeorológica de la

Universidad de Concepción Campus Chillán, ubicada en el sector nororiente

de Chillán (36º 34’ latitud Sur, 72º 06’ longitud Oeste, altitud 144 metros

sobre el nivel del mar). Los datos que se usaron para este estudio fueron

medidos desde el 30 de noviembre de 1997, hasta el 30 de noviembre de

2003. En el anexo 2 se entrega una breve descripción de los instrumentos

usados para medir temperatura, insolación y precipitación.

16

Modelo de Bristow & Campbell

Este modelo fue probado en las localidades de Pullman, Great Falls y

Seattle/Tacoma en el noroeste de USA, y las pruebas de desempeño del

modelo indicaron que este era capaz de explicar entre el 70 y 90% de la

variación en la radiación solar total diaria, a partir de las diferencias de

temperaturas máxima y mínima, estación del año (verano/invierno) y si llovió

durante el día (si/no). El modelo esta representado por las ecuaciones 1 y 2.

( )[ ]{ } Tkb aQQ c0 ∆⋅−−⋅= exp1 [1]

�� >

=caso. otro en

JppJk

;10)(;75,0

)( [2]

Donde:

Q = Insolación diaria (MJ m-2 día-1).

Q0 = Radiación solar total al tope de la atmósfera (la metodología de

cálculo se muestra en el Anexo 3).

∆T = Amplitud térmica del día (ºC).

k = Factor de lluvia.

J = Día Juliano.

pp(J) = Precipitación en el día J.

a, b y c = Coeficientes empíricos (el método para calcularlos se describe

en el Anexo 1).

17

El modelo indica la necesidad de realizar correcciones los días en que hay

precipitaciones, multiplicando por 0,75 la amplitud térmica (∆T), y también el

día anterior al que ocurre la lluvia, debido a que se asume que la nubosidad

comenzó un día antes que la lluvia. El coeficiente empírico b, se calcula para

cada estación del año. En el presente estudio se analizará el modelo de

Bristow & Campbell y algunas modificaciones de este, las cuales son:

Modelo A.1: Se considera los coeficientes a, b y c constantes (o sea, no se

consideran diferencias estacionales) y el factor k igual a 1.

Modelo A.2: Se considera los coeficientes a, b y c constantes y el factor k

variará según definición de la ecuación 2.

Modelo A.3: Se considera los coeficientes a, b y c constantes y el factor k

igual a como se definió en la ecuación 2, pero cambiando el valor de 0,75 por

otro que haga que el modelo tenga un mejor desempeño.

Modelo A.4: Se considera los coeficientes a y c constantes y se varía b para

cada estación del año y el factor k igual a 1.

Modelo A.5: Se considera los coeficientes a y c constantes y variando b, y el

factor k según definición de la ecuación 2.

18

Modelo A.6: Se considera los coeficientes a y c constantes y variando b, y el

factor k igual a como se definió en la ecuación 2, pero cambiando el valor de

0,75 por otro que haga que el modelo tenga un mejor desempeño.

Modelo de De Jong & Stewart

Este modelo fue desarrollado para estimar la insolación diaria y predecir el

rendimiento del trigo de secano en el oeste de Canadá. El modelo de De

Jong & Stewart, se define con la ecuación 3.

)1()( 2PdPcTaQQ b0 ⋅+⋅+∆⋅= [3]

Donde:




∆T = Amplitud térmica del día (ºC).

P = Precipitación diaria (mm día-1).

a, b, c y d = Coeficientes empíricos, que se calculan para cada mes (el

método para calcularlos se describe en el Anexo 1).

Para este modelo se consideraran dos casos: una modificación del modelo

original, en la que los parámetros a, b, c y d son constantes en el tiempo

(Modelo B.1), y otro en donde estos parámetros varíen para cada mes, y que

corresponde al modelo original de De Jong & Stewart (Modelo B.2).

19

Modelos ANFIS

La sigla ANFIS significa red adaptativa basada en un sistema de inferencia

difusa. Este es un sistema de inferencia difuso Takagi-Sugeno, que se

desarrolla y entrena como una red neuronal. Con esto se logra modelar

fenómenos físicos, usando registros históricos de datos de las variables

involucradas en el fenómeno.

ANFIS tiene sus cimientos en la teoría de conjuntos difusos, que es una

generalización de la teoría de conjuntos; por ejemplo, un elemento de un

conjunto puede tomar valores intermedios de pertenencia y no-pertenencia, y

este grado de pertenencia se cuantifica con las funciones de pertenencia

(cuyos valores varían entre 0 y 1). Cuando el valor es 1, el elemento

pertenece al conjunto difuso, si es 0 no-pertenece. En la teoría de conjuntos

difusos, también es posible realizar operaciones entre y sobre conjuntos,

tales como, intersección, unión y complemento. Las definiciones de éstas

operaciones son esencialmente iguales a la de la teoría de conjuntos, lo que

cambia son los operadores lógicos que se usan, estos son: T-norma (y-

difuso), S-norma (o-difuso) y la negación. Las definiciones de estas

operaciones se muestran en el Anexo 4. Con estas herramientas

matemáticas se pueden describir los sistemas de inferencia difusos Takagi-

Sugeno. Estos consisten en sistema de reglas si-entonces, donde la premisa,

en el caso de una variable independiente, es una pregunta sobre el grado de

pertenecía de la variable a un conjunto difuso (a este proceso se le llama

“fuzzyficacion”). Este grado de pertenencia posteriormente será un factor de

20

ponderación (normalizado), el cual actuará sobre la parte consecuente de la

regla, que es una ecuación lineal. En la ecuación 4 se muestra en lenguaje

simbólico la i-ésima regla (Ri) de un sistema Takagi-Sugeno con una variable

de entrada ( x ).

Ri : Si ( )(�A~ x

i) Entonces xbay iii += [4]

Para i = 1…n

Donde:

iA~

= i-ésimo conjunto difuso A.

iy = Respuesta (consecuencia, conclusión) de la i-ésima regla.

ia y ib = Constantes a determinar en la i-ésima regla.

)(�A~ x

i = Grado de pertenencia de x al conjunto difuso iA

~ .

n = Número total de reglas.

Para obtener la respuesta del sistema, se realiza la operación que se

muestra en la ecuación 5 (a este proceso se le llama “desfuzzyficado”):

( )�

�

=

=

⋅= n

i

n

ii

x

yxy

i

i

1A~

1A~

)(�

)(�

[5]

Para el caso de tener más de una variable independiente, es necesario

realizar operaciones lógicas difusas entre los grados de pertenencia de las

variables explicativas a conjuntos difusos, en la premisa de las reglas, y la

21

consecuencia es una ecuación lineal de las variables. En lenguaje simbólico

se muestra en la ecuación 6.

Ri : Si ( ) ( ) ( )[ ])(~

...~

)(~

)( ~2~1~ mAAA mmj

22j

11j

�� xxx ⊗⊗⊗

Entonces mm110 ... xwxwwy iiii ⋅++⋅+=

[6]

Para j1=1…n1, j2=1…n2, … ,jm=1…nm ,i=1…n

Donde:

⊗~ = Operación lógica difusa.

iw0 , iw1 , ..., iwm = Constantes a determinar para la i-ésima regla.

iy = Respuesta de la i-ésima regla.

1x , ..., mx = Variables explicativas o independientes.

)(� 1A~ 1

1jx , )(� 2A

~ 22j

x , ..., )(� mA~ m

mjx = Grados de pertenencia a los conjuntos

difusos.

m = Número de variables explicativas o independientes.

n1, n2 , ..., nm = Número de subconjuntos difusos creados para las variables

1x ,..., mx , respectivamente.

n = Número de reglas.

Al resultado de las operaciones lógicas difusas en la i-ésima regla lo

llamaremos i� (ecuación 7), con el que se ingresa en la ecuación 8, para

obtener la respuesta del sistema ( y ).

22

( ) ( ) ( )[ ])(�~

...~

)(�~

)(� mA~2A

~1A~ m

mj22j

11j

xxxi ⊗⊗⊗=τ [7]

( )

�

�

=

=

⋅= n

ii

n

iii y

y

1

1

�

�

[8]

Las operaciones lógicas difusas que se usaron en los modelos son y-difusos,

específicamente el producto entre funciones de pertenencia. El algoritmo

utilizado para crear los conjuntos difusos es el de Subtractive Clustering

(Chiu, 1994), y se probaron con radios de influencia de 0,25, 0,5 y 0,75.

Finalmente, las funciones de pertenencia que se usaron en los modelos son

del tipo gausianas (Anexo 5).

Este sistema de reglas también se puede representar como una red

adaptativa de 5 capas (Nauck et al., 1997), tal como se representa en la

figura 1, y que se describen a continuación.

23

Figura 1. Representación de un sistema ANFIS con dos entradas (x1 y x2) y

dos reglas difusas, las que se definen con las funciones de pertenencia (A1, A2, B1 y B2), la operación difusa Y (ΠΠΠΠ) y los resultados de estas operaciones ( 1w y 2w ), los cuales son normalizados en la capa 3 (N) dando como resultado ( 1w y 2w ) y estos son multiplicados por el consecuente de las reglas ( 1f y 2f ) y, por último, son sumados en la capa 5 (Σ) obteniéndose la respuesta de la red ( f ).

Capa 1: En esta capa se transforman las variables independientes (x1 y x2),

en variables difusas, por medio de funciones de pertenencia.

Capa 2: En los nodos de esta, los que tienen la etiqueta Π, se lleva a cabo

una operación lógica difusa (y-difuso) y se obtiene un factor de ponderación

( 1w y 2w ).

24

Capa 3: En esta capa los factores de ponderación son normalizados ( 1w y

2w ). Los nodos de esta capa tienen la etiqueta N.

Capa 4: Cada nodo de esta capa esta asociado a una ecuación lineal ( 1f y

2f ), la que se multiplica por el factor de ponderación normalizado.

Capa 5: En el nodo de esta capa, que tiene la etiqueta Σ, las salidas de la

capa anterior se suman.

Los sistemas inferencia difusa Takagi-Sugeno se representan y entrenan

como una red neuronal, usando el algoritmo retropropagación del error

(backpropagation), para ajustar los parámetros de las funciones de

pertenencia, el cual se combina con mínimos cuadrados para determinar los

coeficientes de las ecuaciones lineales.

Utilizando este sistema de inferencia se crearon 24 modelos, que para

identificarlos tienen de prefijo la letra C seguido de un número entre 1 y 24.

Las variables explicativas que se usaron son la amplitud térmica, el día

Juliano, la precipitación y las temperaturas máxima y mínima diarias del aire.

A diferencia de los modelos de Bristow & Campbell y de De Jong & Stewart

que relacionan la insolación diaria con la amplitud térmica, se crearon 12

modelos ANFIS que relacionen la insolación diaria directamente con las

temperaturas máxima y mínima, ya que por separado contienen mas

25

información que la amplitud térmica, y de este modo probar si ayudan al

sistema ANFIS a mejorar su desempeño.

Las variables explicativas que usan los 24 modelos ANFIS propuestos y los

radios de influencia de las agrupaciones (cluster), están especificadas en la

tabla 1.

En el caso que las predicciones estén fuera de rango, esto es, que los

modelos entreguen predicciones de insolación negativa o superior a la

radiación extraterrestre, se contaran para calcular el porcentaje de

predicciones que están fuera del rango de insolación.

26

Tabla 1. Variables explicativas de la insolación diaria usadas en los 24 modelos ANFIS propuestos (C.1…C.24) y el radio de influencia usado en la agrupación.

C.1 � 0,25C.2 � 0,5C.3 � 0,75C.4 � � 0,25C.5 � � 0,5C.6 � � 0,75C.7 � � � 0,25C.8 � � � 0,5C.9 � � � 0,75

C.10 � � 0,25C.11 � � 0,5C.12 � � 0,75C.13 � 0,25C.14 � 0,5C.15 � 0,75C.16 � � 0,25C.17 � � 0,5C.18 � � 0,75C.19 � � � 0,25C.20 � � � 0,5C.21 � � � 0,75C.22 � � 0,25C.23 � � 0,5C.24 � � 0,75

� Se usó la variable

Variables

ModeloAmplitud Térmica

Temperatura Máxima y Mínima

Día Juliano

PrecipitaciónRadio de influencia

27

Modelos de Ángstrom

Este es un modelo ampliamente usado en el mundo y desarrollado a

principios del siglo XX. Usa como variables explicativas el número de horas

de sol y la radiación extraterrestre; el modelo se define con las ecuaciones 9

y 10.

��

��

+=Nn

baQQ 0

[9]

shπ24

N = [10]

Donde:




n = Heliofanía real (horas de sol día-1).

N = Heliofanía teórica (horas de sol día-1).

a y b = Coeficientes empíricos.

sh = Factor de duración del día (la metodología de cálculo se muestra

en el Anexo 3).

Con este modelo se consideraran dos casos:

28

1) el modelo de Ángstrom recomendado por FAO (2006) para calcular

evapotranspiración, en el que el valor de los coeficientes a y b, es de 0,25 y

0,5, respectivamente (modelo D.1 en el presente estudio);

2) un modelo en el cual se busque el valor de los coeficientes a y b, para las

condiciones de Chillán (modelo D.2 en el presente estudio).

Comparación de Modelos

Para llevar a cabo la comparación de los modelos, es necesario estimar la

insolación diaria a partir de otras variables meteorológicas (amplitud térmica,

temperaturas máxima y mínima y precipitación), pertenecientes al conjunto

de datos de prueba.

Las comparaciones se harán usando índices de desempeño, como el

coeficiente de eficiencia que se define en la ecuación 11 (Legates y McCabe,

1999) el cual va desde menos infinito hasta uno. Mientras mas cercano sea a

uno, mejor desempeño tiene el modelo y viceversa; también, cuando es

cercano a cero, el desempeño del modelo es igual a que si se utilizara como

estimador el promedio de los datos observados.

( )

( ) ��

�

�

��

−

−−=�

�

=

=N

ii

N

iii

OO

POE

1

2

1

2

1

[11]

Donde:

E = Coeficiente de Eficiencia.

N = Número de observaciones.

29

iO = Dato observado.

iP = Dato estimado.

O = Media de los datos observados.

También se analizará el desempeño del modelo con la raíz de la media suma

de los cuadrados del error (RMSE), que se define mediante la ecuación 12.

( )�=

−=N

iii OPNRMSE

1

21 [12]

Una de las criticas del RMSE es que, debido a que los errores son elevados

al cuadrado, en el caso que el modelo no siga bien los eventos extremos,

entregara valores demasiado altos, y con esto se perderá o será difícil

visualizar la magnitud del error; por ello, se incluirá el error medio absoluto

(MAE), el que se define mediante la ecuación 13.

�=

−=N

iii OP

NMAE

1

1

[13]

Para eliminar los efectos estaciónales se utiliza también el error porcentual

absoluto medio (MAPE), que se define mediante la ecuación 14.

%O

OPN

MAPEN

i i

ii 1001

1

⋅−= �=

[14]

30

Estos índices estadísticos se usarán para evaluar todas las estimaciones de

insolación, tanto de los datos anuales como agrupados según la estación del

año.

Por último, se relacionará el error porcentual absoluto de cada predicción de

un modelo especifico, con las de variables que usa el modelo para explicar la

insolación, haciendo una regresión lineal con variables dicótomas (Gujarati,

1997), y se analizara el impacto de las variables en la explicación de la

insolación, y si tiene significancía estadística. Para el caso de los modelos de

Bristow & Campbell, se usará la ecuación 15.

iDA

DAA

i

ii iAiA KKKO

OP ε⋅⋅⋅=− ,2,,1,

2,1,

[15]

Donde:

AK , 1,AK , 2,AK = Parámetros a determinar.

iAD ,1, = 1, si se consideran estaciones del año.

= 0, en caso contrario.

iAD ,2, = 1, si se considera la precipitación como variable del modelo.


iε = Error de la i-ésima estimación.

31

Para el caso de los modelos de De Jong & Stewart, se usará la ecuación 16.

iDBB

i

ii iBKKO

OP ε⋅⋅=− ,1,

1,

[16]

Donde:

BK , 1,BK = Parámetros a determinar.

iBD ,1, = 1, si se consideran los meses del año.



Por último, la ecuación 17 es la regresión de los modelos ANFIS.

iDC

DC

DCC

i

ii iCiCiC KKKKO

OP ε⋅⋅⋅⋅=− ,3,,2,,1,

3,2,1,

[17]

Donde:

CK , 1,CK , 2,CK , 3,CK = Parámetros a determinar.

iCD ,1, = 1, si se consideran las temperaturas máximas y mínimas del día

como variables del modelo.


iCD ,2, = 1, si se considera el día Juliano como una variable del modelo.


iCD ,3, = 1, si se considera la precipitación como una variable del modelo.

32



Para llevar a cabo estas regresiones, el primer paso consiste en linealizar las

ecuaciones aplicando logaritmo natural y luego aplicar el método de mínimos

cuadrados para estimar los coeficientes y, por último, realizar un análisis de

varianza para determinar si los coeficientes de cada ecuación son

significativos.

Para interpretar las ecuaciones anteriores es necesario observar solo los

parámetros que tienen exponente (bases). Si estos son mayores que uno,

indican que al incluir la variable con la que tienen relación (exponente),

incrementan la esperanza del error relativo en el valor que excede a la

unidad y, en el caso que parámetro tenga un valor menor a la unidad, se

disminuye la esperanza del error relativo en el valor que falta para completar

la unidad. Esto es explicado con mayor detalle en el anexo 6.

33

RESULTADOS

Una vez que se generaron predicciones con los modelos se procedió a

comparar el desempeño de estos con los estadísticos mencionados. Primero

se compararon los modelos solo con otros de la misma familia y luego se

compararan los mejores modelos de cada familia.

Modelos de Bristow & Campbell.

Se observan diferencias mínimas del desempeño global, entre los modelos

(Tabla 2), llegando, para el caso de la raíz de la media suma de los

cuadrados del error, a diferenciarlos en décimas de un MJ m-2 día-1, y por

otro lado, las diferencias entre los modelos usando el error porcentual

absoluto medio, llegan a 3 puntos porcentuales.

Tabla 2. Desempeño global de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).

Modelo RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)

A.1 3,67 2,79 34,2 0,86A.2 3,56 2,71 34,0 0,87A.3 3,58 2,73 33,7 0,87A.4 3,55 2,71 32,0 0,87A.5 3,44 2,64 31,5 0,88A.6 3,45 2,65 31,3 0,88

Índices

34

Al desagregar los datos por estaciones (Tabla 3) se observa un mejor

desempeño, en otoño, con los modelos que cambian el valor de sus

parámetros según las estaciones del año (modelos A.4, A.5 y A.6);

específicamente, el coeficiente de Eficiencia se incrementa en cerca de una

décima y el error porcentual absoluto medio desciende en aproximadamente

en 10 puntos porcentuales (desde 56 a 46% aproximadamente). En invierno,

primavera y verano, prácticamente no se diferencian los modelos entre si en

su capacidad predictiva.

La regresión con variables dicótomas (Ecuación 18), nos indica que la

variable binaria de precipitación (DA,2,i) que usan los modelos A.2, A.3, A.5 y

A.6, sirve para disminuir el error relativo en las predicciones en un 2%. Así

mismo, la variable binaria del uso de estaciones del año (DA,1,i), indica que

los modelos que cambian el valor de sus parámetros en cada estación del

año (modelos A.4, A.5 y A.6) aumentan su error relativo en 1%. Sin embargo,

ninguna de las dos variables cualitativas tiene significancía estadística

(P>0,05).

iDD

i

ii iAiA

OOP ε⋅⋅⋅=− ,2,,1, 98,001,114,0

[18]

35

Tabla 3. Desempeño estacional de los modelos de Bristow & Campbell medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).

Estación RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)

verano 3,24 2,49 12,2 0,74otoño 3,93 2,94 56,6 0,46invierno 3,23 2,38 45,9 0,59primavera 4,15 3,34 18,9 0,70






Modelo A.5

Modelo A.6

Índices

Modelo A.1

Modelo A.2

Modelo A.3

Modelo A.4

36

Modelos de De Jong & Stewart

La diferencia entre los dos modelos utilizados es mínima al medirla con la

raíz de la media suma de los cuadrados del error o error medio absoluto, lo

cual se reafirma claramente con el coeficiente de eficiencia, con el cual

ambos modelos se diferencian en solo un par de centésimas (Tabla 4).

Tabla 4. Desempeño global de los modelos de De Jong & Stewart medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).

Modelo RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)

B.1 3,81 2,98 38,9 0,85B.2 3,52 2,72 35,2 0,87

Índices

Tal como ocurrió en los modelos de Bristow & Campbell, al desagregar los

datos por estaciones (Tabla 5), la mayor diferencia entre los modelos se

registra en otoño, la cual llega aproximadamente a 12 puntos porcentuales al

medirla con el error porcentual absoluto medio o 4 décimas de MJ m-2 día-1

al usar el error absoluto medio.

37

Tabla 5. Desempeño estacional de los modelos de De Jong & Stewart medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).

Estación RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)



Índices

Modelo B.1

Modelo B.2

El análisis de la ecuación de regresión con variables dicótomas (ecuación

19), indica que el error relativo disminuye en un 9% al diferenciar los meses

del año en el modelo, pero este valor no es estadísticamente significativo

(P>0.05).

iD

i

ii iB

OOP ε⋅⋅=− ,1,91,016,0

[19]

38

Modelos ANFIS

Dado que estos modelos pueden dar datos de insolación diaria fuera de

rango, un análisis preliminar indica que ésta situación se concentró

principalmente en otoño e invierno (Tabla 6).

Tabla 6. Porcentaje de datos fuera de los rangos de insolación diaria, separados por estación y la media anual, en los 24 modelos ANFIS y las variables explicativas usadas por cada modelo para predecir la insolación.

C.1 AT 0 17,0 13,4 0 7,9C.2 AT 0 17,0 13,0 0 7,8C.3 AT 0 17,3 13,8 0 8,1C.4 AT, DJ 0 0 0 0 0C.5 AT, DJ 0 0 0 0 0C.6 AT, DJ 0 0 0 0 0C.7 AT, DJ, PP 1,2 2,1 0 0 0,8C.8 AT, DJ, PP 0 0,3 0 0 0,1C.9 AT, DJ, PP 0 0 0 0 0C.10 AT, PP 0 17,0 13,4 0 7,9C.11 AT, PP 0 17,3 13,8 0 8,1C.12 AT, PP 0 18,0 13,8 0 8,3C.13 TMM 0 3,5 1,1 0 1,2C.14 TMM 0 2,8 1,4 0 1,1C.15 TMM 0 2,1 1,1 0 0,8C.16 TMM, DJ 0 0,3 0 0 0,1C.17 TMM, DJ 0 0 0 0,7 0,2C.18 TMM, DJ 0 0 0 0 0C.19 TMM, DJ, PP 1,2 1,4 0,7 0 0,8C.20 TMM, DJ, PP 0,4 1,4 0,4 0 0,6C.21 TMM, DJ, PP 0 0 0 0 0C.22 TMM, PP 0,8 3,8 1,1 0 1,5C.23 TMM, PP 0,4 3,1 1,4 0 1,3C.24 TMM, PP 0 2,4 1,1 0 0,9

Media Anual

otoñoveranoVariables Explicativas*

Modelo

Estación del año

primaverainvierno

* AT: amplitud térmica del día, TMM: temperatura máxima y mínima del día, DJ: día Juliano y PP: precipitación.

39

Los modelos que consideran la variable de amplitud térmica, sin incluir el día

Juliano (Modelos C.1, C.2, C.3, C.10, C.11 y C.12), entregan

aproximadamente un 15% de predicciones fuera de los rangos de insolación

diaria en las estaciones de otoño e invierno, mientras que las predicciones

erróneas desciende hasta un 2% al considerar las temperaturas máxima y

mínima por separado (Modelos C.13, C.14, C.15, C.22, C.23 y C.24). La

única variable que hace descender el número de predicciones erróneas a

aproximadamente cero, es el día Juliano. Esto se debe a que los sistema

ANFIS no cuentan con los valores de radiación extraterrestre de manera

explícita, la cual varía a través del año desde 15 hasta 43 MJ m-2 día-1, para

Chillán, que los modelos que no cuentan con la variable explicativa día

Juliano (la cual explica la radiación extraterrestre), entregan valores de

insolación fuera de rango.

La inclusión de la variable precipitación en los modelos (C.7, C.8, C.9, C19,

C.20 y C.21) incrementa el número de predicciones fuera de los rangos de

insolación diaria; en cambio los modelos que usan amplitud térmica (C.4, C.5

y C.6) o temperatura máxima y mínima (C.16, C.17 y C.18), con el día

Juliano y sin la precipitación, no incurren en dichos errores (con excepción

del modelo C.16 y C.17).

Hay que notar que en los modelos que consideran las mismas variables

explicativas, el radio de influencia de la agrupación (cluster) no tuvo

influencia en los índices que se muestran en la Tabla 7. Además, los

modelos que consideran la variable día Juliano (Modelos C.4, C.5, C.6, C.7,

40

C.8, C.9, C.16, C.17, C.18, C.19, C.20 y C.21) tienen una clara superioridad,

la que se puede medir con el coeficiente de eficiencia, el cual es superior a

0.85 para todos ellos.

Tabla 7. Desempeño global de los modelos de ANFIS medidos con raíz de la

media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.

RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)

C.1 AT 6,23 5,05 56,0 0,60C.2 AT 6,25 5,06 56,0 0,60C.3 AT 6,26 5,07 56,7 0,60C.4 AT, DJ 3,44 2,60 32,7 0,88C.5 AT, DJ 3,43 2,59 32,5 0,88C.6 AT, DJ 3,39 2,57 32,4 0,88C.7 AT, DJ, PP 3,62 2,68 34,1 0,87C.8 AT, DJ, PP 3,41 2,61 32,7 0,88C.9 AT, DJ, PP 3,47 2,65 33,3 0,88C.10 AT, PP 6,22 5,05 54,8 0,60C.11 AT, PP 6,25 5,05 55,4 0,60C.12 AT, PP 6,24 5,05 55,6 0,60C.13 TMM 4,82 3,75 43,6 0,76C.14 TMM 4,80 3,74 43,5 0,76C.15 TMM 4,78 3,71 43,1 0,77C.16 TMM, DJ 3,67 2,76 34,5 0,86C.17 TMM, DJ 3,50 2,65 33,4 0,87C.18 TMM, DJ 3,45 2,63 32,6 0,88C.19 TMM, DJ, PP 3,82 2,77 33,9 0,85C.20 TMM, DJ, PP 3,58 2,71 33,6 0,87C.21 TMM, DJ, PP 3,48 2,64 32,2 0,88C.22 TMM, PP 4,94 3,78 42,2 0,75C.23 TMM, PP 4,81 3,73 42,7 0,76C.24 TMM, PP 4,78 3,70 41,9 0,77

Variables Explicativas*

Modelo

Índices


41

Los modelos C.1, C.2, C.3, C.10, C.11 y C.12, tienen el menor desempeño

durante todo el año y la situación empeora en otoño e invierno, por que el

Coeficiente de Eficiencia es negativo en estas estaciones (Apéndice 1). Los

modelos C.13, C.14, C.15, C.22, C.23 y C.24 tienen un desempeño un tanto

mejor a través del año, excepto en otoño, tal como lo indica el Coeficiente de

Eficiencia negativo y cercano a cero. Los dos grupos de modelos anteriores

se diferencian solo en que en el primero usan la variable amplitud térmica del

día, como variable explicativa, mientras que en el segundo grupo de modelos

las temperaturas máximas y mínimas diarias se ingresan por separado, lo

que conlleva a que el modelo cuente con mas información para hacer las

predicciones. Nuevamente, los modelos que incluyen el día Juliano como

variable (Modelos C.4, C.5, C.6, C.7, C.8, C.9, C.16, C.17, C.18, C.19, C.20 y

C.21) tienen los mejores desempeños durante todas las estaciones, y no se

aprecian diferencias entre ellos al usar cualquiera de los índices de

desempeño.

Al analizar los modelos ANFIS con la regresión de variables dicótomas

(ecuación 20), lo que mas hace bajar el error relativo es la inclusión en el

modelo del día Juliano como variable (Dc,2,i), siendo ésta reducción del 41%;

después le sigue el uso de la temperatura máxima y mínima por separado

(Dc,1,i), lo que baja el error relativo medio en un 15%. Con la inclusión de

estas tres variables en los modelos ANFIS, se logra bajar aproximadamente

a la mitad el error relativo medio de las predicciones. Además,

estadísticamente los dos coeficientes de la ecuación anteriormente

42

mencionados son estadísticamente significativos (P>0.05). Finalmente, la

variable precipitación (Dc,3,i) aumenta el error en 1%, lo que estadísticamente

no es significativo (P>0.05), no siendo una buena variable en los modelos

ANFIS para explicar la insolación.

iDDD

i

ii iCiCiC

OOP ε⋅⋅⋅⋅=− ,3,,2,,1, 01,159,085,018,0

[20]

Modelo de Ángstrom

Se observa (Tabla 8) que el modelo D.2 tiene un mejor desempeño que el

modelo D.1, a nivel anual y estacional. Las estimaciones de insolación del

modelo D.2 tienen 0,85 -1-2 día m MJ menos de MAE que las estimaciones

del modelo D.1, como promedio anual, y al observar coeficiente de eficiencia

anual, el modelo D.2 supera en aproximadamente en una décima al modelo

D.1. Esto se puede observar el la figura 2, donde las estimaciones de

insolación hechas con el modelo D.2, se ajustan de mejor manera a la recta

1:1 que las hechas con el modelo D.1.

Y en las estaciones de primavera y verano, el MAE se disminuye en más de

un -1-2 día m MJ , al usar el modelo de Ángstrom calibrado para Chillán (D.2),

respecto al modelo propuesto por FAO (D.1), y en otoño e invierno, esta

diferencia es de aproximadamente 0,6 -1-2 día m MJ , sin embargo el MAPE

del modelo D.1 en las estaciones en cuestión, es de aproximadamente 50%

y para el modelo D.2 se disminuye hasta 25% aproximadamente.

43

El modelo de Ángstrom calibrado para las condiciones de Chillán (Modelo

D.2) se muestra en el apéndice 6.

Tabla 8. Desempeño global y estacional de los modelos de Ángstrom medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E).


verano 3,45 2,98 14,9 0,71otoño 2,17 1,77 48,7 0,83

invierno 2,34 1,87 53,0 0,78primavera 3,92 3,36 20,8 0,73

anual 3,04 2,47 35,0 0,86

verano 2,38 1,80 9,2 0,86otoño 1,56 1,19 24,9 0,91

invierno 1,56 1,19 26,1 0,90primavera 2,96 2,32 13,8 0,85

anual 2,18 1,61 18,8 0,95

ÍndicesPeriodo de

análisis

Modelo D.2**

* Modelo de Ángstrom recomendado por FAO ** Modelo de Ángstrom calibrado para Chillán

44

Figura 2. Comparación de la insolación diaria (Q) observada y estimada con el modelo de modelo de Ángstrom recomendado por FAO D.1 (a) y el calibrado para las condiciones de Chillán D.2 (b). MAE es el error absoluto medio de los modelos.

Comparación las familias de Modelos

Para comparar entre las distintas familias de modelos, se seleccionaron los

de mejor desempeño, global y estacional.

En la familia de los modelos de Bristow & Campbell se consideraron los

modelos A.4, A.5 y A.6 (apéndice 3). De los dos modelos de De Jong &

Stewart se utilizó para esta comparación el B.2 (apéndice 4), y en el caso de

los modelos ANFIS, participan los que usan como variables explicativas la

amplitud térmica y las temperaturas máximas y mínimas con el día Juliano y

con un radio de influencia de la agrupación (cluster) de 0,75, ya que son los

mejores y solo usan tres reglas (C.6, y C.18, apéndice 6).

Al observar cualquiera de los índices de desempeño global de todos los

modelos anteriormente mencionados, los modelos A.4 de Bristow &

Q observada (MJ m-2 día-1)

Q e

stim

ada

(MJ

m-2

día

-1)

45

Campbell y B.2 de De Jong & Stewart, tienen un desempeño inferior al resto,

en cerca de una décima de MJ m-2 día-1, midiéndola con el RMSE o MAE.

Al comparar los modelos A.5 y A.6 no existen diferencias entre ellos, tanto a

nivel global como estacional. No ocurre lo mismo con los modelos ANFIS C.6

y C.18, los que se diferencian entre si en aproximadamente una décima de

MJ m-2 día-1 en verano, medida con RMSE o MAE, siendo el modelo C.6 el

que presenta un mejor desempeño. Para otoño, invierno y primavera no se

aprecian diferencias entre ellos.

Al comparar el modelo C.6 con el A.5 o A.6 existe una pequeña diferencia a

nivel global, y esta se debe a que el modelo C.6 presenta mejores

predicciones en verano, que son un cuarto de MJ m-2 día-1 menores que los

modelos A.5 y A.6 medidas con el MAE, y para el resto de las estaciones no

se aprecian diferencias en el desempeño. Esto se puede apreciar en la figura

3 (b) y (c), donde los valores de insolación más altos, o sea en verano, los

modelos de Bristow & Campbell (A.5 y A.6) tienden a subestimar la

insolación, al estar agrupados bajo la recta 1:1, lo que ocurre en menor

medida con el modelo ANFIS C.6 (figura 3 (e)). Esto se puede apreciar con

más claridad en la figura 4, donde están sólo las observaciones y

estimaciones de insolación del verano.

Por último, al comparar el desempeño del modelo ANFIS C.6 con los

modelos de Ángstrom D.1 y D.2, se aprecia que el modelo D.1, a nivel anual,

presenta un mejor desempeño que el modelo C.6, al hacer estimaciones con

46

0,1 -1-2 día m MJ menos de MAE. Al desagregar por estaciones, en verano y

primavera el modelo C.6 hace mejores predicciones que el modelo D.1, en

0,85 y 0,14 -1-2 día m MJ menos de MAE para el verano y primavera

respectivamente. Pero en otoño e invierno, el modelo D.1 hace mejores

estimaciones que el modelo C.6, en 0,85 y 0,43 -1-2 día m MJ menos de MAE

para el otoño e invierno respectivamente.

El modelo de Ángstrom D.2, a nivel global y estacional presenta un mejor

desempeño que el modelo C.6, al medirlo con cualquiera de los índices de

desempeño. Específicamente, las estimaciones del modelos D.2, tienen un

-1-2 día m MJ menos de MAE como promedio anual, que el modelo ANFIS

C.6, y en las estaciones de otoño e invierno los modelos se diferencian más

de un -1-2 día m MJ de MAE, en primavera la diferencia es de 0,9

-1-2 día m MJ y en verano es de 0,3 -1-2 día m MJ aproximadamente.

En el apéndice 2 están las tablas con los índices desempeños anual y

estacional de los modelos anteriormente mencionados, ordenados según su

desempeño anual (medido con el MAE) y además se incluye el rango que

ocupa el modelo en cada una de las estaciones.

En la tabla 2 se muestran los modelos jerarquizados según su desempeño

medido con el MAE, y se aprecia el modelo de Ángstrom calibrado para

Chillán (D.2), logra el mejor desempeño a nivel anual como estacional, de

todos los modelos analizados en el presente estudio. Pero solo considerando

los modelos que usan como variable explicativa la temperatura máxima y

47

mínima diaria y precipitación, se puede concluir que el mejor modelo es el

ANFIS C.6, ya que alcanza el mejor desempeño anual y en las estaciones de

verano y primavera, pero en otoño e invierno, solo se diferencia de los

modelos que alcanzan mejor desempeño en centésimas de -1-2 día m MJ .

Tabla 9. Modelos seleccionados*, dispuestos de menor a mayor error medio absoluto (MAE) anual, junto con el lugar que ocupan en el ordenamiento a nivel anual y estacional; en paréntesis el lugar que ocupan en el ordenamiento al descartar los modelos de Ángstrom.

Modelo Anual Verano Otoño Invierno PrimaveraD.2 1 1 1 1 1D.1 2 8 2 2 7C.6 3(1) 2(1) 4(2) 5(3) 2(1)C.18 4(2) 3(2) 3(1) 6(4) 4(3)A.5 5(3) 5(4) 7(5) 3(1) 3(2)A.6 6(4) 4(3) 6(4) 4(2) 5(4)A.4 7(5) 6(5) 8(6) 7(5) 8(6)B.2 8(6) 7(6) 5(3) 8(6) 6(5)

Ordenación

*Modelos de Bristow & Campbell (A.4, A.5 y A.6), modelo de De Jong & Stewart (B.2), modelos ANFIS (C.6 y C.18) y modelos de Ángstrom (D.1 y D.2).

Por último, se presentan los resultados obtenidos en dos estudios, sólo como

referencia. Bristow & Campbell (1984), evaluaron su modelo en la localidad

de Pullman (situado en la latitud 46º 46’ Norte y longitud 117º 12’ Oeste y

776 m s.n.m.), en los años 1980 y 1981, obteniendo un RMSE anual de 3

-1-2 día m MJ .

Podesta y Núñez (2003) evaluaron los modelos de Ángstrom y el aditivo

generalizado (GAM), que usa como variables explicativas las temperaturas

48

máximas y mínimas y precipitación, en la localidad Argentina de Pergamino

(33º 56’ Sur, 60º 33’ Oeste). Obteniendo un RMSE de 1,5 -1-2 día m MJ para

el modelo de Ángstrom, calibrado para la localidad y a diferencia del

presente estudio, los coeficientes se calibraron para cada mes del año. En el

caso del modelo GAM, el resultado fue de 3,2 -1-2 día m MJ de RMSE.

De lo anterior se puede decir, a grandes rasgos, que los resultados obtenidos

en el presente estudio con los modelos seleccionados (Bristow & Campbell,

De Jong & Stewart, ANFIS y Ángstrom), están dentro de los rangos, ya que

el único que obtuvo un desempeño superior fue el modelo de Ángstrom de

Podesta y Núñez, y se diferencio del de Ángstrom calibrado para Chillán en

un -1-2 día m MJ de RMSE.

Una recomendación para otros estudios que relacionen la insolación diaria

con la temperaturas del aire y precipitación diaria, es usar esta última como

una variables retardada, es decir que se use la precipitación de los días

anteriores, ya que esta afecta la temperatura del aire los días posteriores a al

día que ocurrió la precipitación, por que la radiación solar incidente se usa

para evaporar el agua disponible en el ambiente y no para elevar la

temperatura ambiental.

49

Figura 3. Comparación de la insolación diaria (Q) observada y estimada con los modelos de Bristow & Campbell A.4 (a), A.5 (b) y A.6 (c); con el modelo B.2 de De Jong & Stewart (d); y con los modelos ANFIS C.6 (e) y C.18 (f).


Q e

stim

ada

(MJ

m-2

día

-1)

50

Figura 4. Comparación de la insolación diaria del verano (Q) observada y

estimada con los modelos de Bristow & Campbell A.5 (a) y A.6 (b); con el modelo de De Jong & Stewart B.2 (c); con el modelo ANFIS C.6 (d) y el modelo de Ángstrom recomendado por la FAO D.1 (e) y el calibrado para Chillán D.2 (f). MAE es el error absoluto medio de los modelos.


Q e

stim

ada

(MJ

m-2

día

-1)

51

CONCLUSIONES

Utilizando los datos meteorológicos de temperaturas máximas y mínimas y

precipitación es posible predecir la insolación diaria con un error medio

absoluto del orden de 2,7 MJ m-2 día-1, con los modelos de Bristow &

Campbell, De Jong & Stewart y ANFIS. Además, los modelos presentan una

gran diferencia en la calidad de las predicciones a través del año, ya que el

error porcentual absoluto medio en la primavera y verano ronda el 15% y en

el invierno y otoño es de 50%. Otro resultado de interés, es que la

precipitación diaria no es una buena variable explicativa de la insolación en

los modelos ANFIS, ya que aumenta el error medio absoluto en el orden de

centésimas de MJ m-2 día-1. Pero en los modelos de Bristow & Campbell,

donde es usada como una variable cualitativa (modelos A.2, A.3, A.5 y A.6),

hace que el error medio absoluto disminuya en aproximadamente media

décima de MJ m-2 día-1.

El modelo ANFIS que usa como variables explicativas la amplitud térmica y

día Juliano, y un radio de influencia en la agrupación (cluster) de 0,75

(modelo C.6), hace las mejores predicciones en su familia de modelos.

Los modelos ANFIS que no consideran como variable explicativa el día

Juliano, entregan predicciones fuera de los rangos de insolación diaria en las

estaciones de otoño e invierno. La inclusión de la variable precipitación solo

empeora esta situación.

52

Los modelos de Bristow & Campbell que consideran diferentes valores de los

parámetros en cada estación del año (A.4, A.5 y A.6), tuvieron un mejor

desempeño global al reducir el error absoluto medio en aproximadamente 0,1

-1-2 día m MJ , con respecto a los modelos que usan los mismos parámetros

todo el año (A.1, A.2 y A.3). Pero, en otoño, esta reducción fue de

aproximadamente 0,2 MJ m-2 día-1, que representa un reducción 10 puntos

porcentuales al medirla con el error porcentual absoluto medio.

El modelo de De Jong & Stewart que considera diferentes parámetros para

cada uno de los meses del año (B.2), logró una reducción del error medio

absoluto de aproximadamente 0,3 MJ m-2 día-1, con respecto al que no varia

los parámetros a través del año (B.1). Esta mejora se logra en las estaciones

de verano, otoño y primavera; sin embargo, el desempeño en invierno no

mejora.

El modelo ANFIS C.6 logró el mejor desempeño de todos los que usan como

variables explicativas las temperaturas del aire máxima y mínima diaria y

precipitación, con un error absoluto medio de 2,57 MJ m-2 día-1, superando

por aproximadamente 5 centésimas de MJ m-2 día-1 al modelo que le sigue

en desempeño (modelos de Bristow & Campbell A.5 y A.6). Al analizar por

estaciones, en otoño, invierno y primavera este modelo ANFIS, no se

diferencia de los modelos de Bristow & Campbell (A.5 y A.6), pero en verano

53

muestra un desempeño superior a estos al reducir el error absoluto medio en

0,25 MJ m-2 día-1, aproximadamente.

El modelo de Ángstrom recomendado por FAO (modelo D.1), hace

estimaciones de insolación con un error absoluto medio anual de 2,47

-1-2 día m MJ , lo que es una décima de -1-2 día m MJ menos que ANFIS C.6,

y al analizar por estaciones, se encontró que en verano y primavera ANFIS

C.6 presenta un mejor desempeño; en cambio, en otoño e invierno el modelo

FAO (D.1) logra hacer las mejores predicciones.

El modelo Ángstrom calibrado para Chillán (modelo D.2) predice con un error

absoluto medio anual de 1,61 -1-2 día m MJ , lo que es un -1-2 día m MJ

menos que el modelo C.6, además, el modelo D.2 hace mejores predicciones

de insolación que el modelo C.6, en todas las estaciones del año.

54

LITERATURA CITADA

1. Bristow, K.L., G.S. Campbell. 1984. On the relationship between

incoming solar radiation and daily maximum and minimum

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temperature near Kampala, Uganda. Agric. Meteorol. 11(3): 437-443.

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10. Kaufmann, A. 1977. Introduction à la théorie des sous-ensembles flous a

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12. Legates, D. R., G. J. McCabe. 1999. Evaluating the use of “goodness-of-

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19. Supit, I., R.R. Van Kappel. 1998. A simple method to estimate global

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57

20. Walter, A. 1969. A relation between incoming solar radiation and degree-

hours of temperature. Agr. Meteorol. 6(6): 435-448.

58

ANEXO 1

Cálculo de coeficientes de ecuaciones no-lineales

Para la determinación de los coeficientes se usará el criterio de mínimos

cuadrados (Gujarati, 1997), el cual se define con la siguiente ecuación:

�� −= 22 )ˆ(ˆ iii YYu

Donde:

iu = Error de la i-ésima estimación.

iY = i-ésima observación del fenómeno.

iY = i-ésima estimación del fenómeno.

Una vez que la ecuación anterior es alimentada con los datos estimados (el

modelo con los parámetros desconocidos) y observados, el error se

transforma en una ecuación, la que depende de los parámetros del modelo,

tal como se muestra a continuación:

,...)ˆ,ˆ,ˆ(ˆ 2 cbafui =�

Donde:

a , b y c = Son los parámetros estimados del modelo.

59

Para determinar los parámetros estimados del modelo, es necesario

minimizar la función error, la que se realizará con la herramienta Solver de

Microsoft Excel, que usa el algoritmo generalizado de reducción del

gradiente, el que esta descrito en Lasdon et al. (1974).

60

ANEXO 2

Descripción de los instrumentos meteorológicos

Temperatura

Fabricante : Campbell Scientific

Modelo : HMP35C Sonda de temperatura y humedad relativa.

Rango : -35ºC a 50ºC

Error : ±0.4ºC en el rango de –24ºC a 48ºC

±0.9ºC en el rango de –38ºC a 53ºC

Este instrumento usa para medir la temperatura un termistor intercambiable,

el cual está dentro de una sonda, que a su vez, esta dentro de un escudo

contra la radiación. Las mediciones se realizan a 2 metros de altura.

Radiación

Fabricante : Li-Cor

Modelo : LI-200SA

Rango : 0 a 3000 W/m2

Error : ±3% típico

±5% máximo

Este instrumento mide el espectro completo de radiación del sol, y usa un

detector fotovoltaico de silicio. Además tiene incorporado un “corrector-

61

coseno”, para tener mediciones más exactas cuando el ángulo de altitud del

sol es bajo. El instrumento esta instalado a 2 metros de altura.

Precipitación

Fabricante : Campbell Scientific

Modelo : TE525

Rango : 0 a infinito, con incrementos de 0.01 pulgadas, o 0.1 mm

en versión métrica.

Error : 1% con intensidades de precipitación menores o iguales

a 2 pulgadas/hora.

Este pluviografo de aluminio mide incrementos de altura de agua de 0.1 mm,

con su respectivo intervalo de tiempo.

62

ANEXO 3

Cálculo de la radiación solar total diaria al tope de la atmósfera

La radiación solar total diaria al tope de la atmósfera ( AR ) se calcula con las

siguientes ecuaciones (Campbell y Norman, 1998)

( )ssA hhR sincos�cos�sin��sin�

5.117 ××+××=

Donde:

AR = Radiación solar extraterrestre (MJ m-2 día-1).

� = Latitud del lugar, negativa para el hemisferio sur.

� = Declinación solar.

sh = Factor de duración del día (medio día).

� = Constante (3,1416).

Para estimar la declinación solar (� ) se usa:

( )( )( )J0.01726.224sin0.03345J0.01724.869sin0.39785arcsin� ×+×+×+×=

Donde:

J = Día Juliano (1 para el 1 de enero).

Y finalmente el factor sh se calcula con el siguiente modelo:

( )tan��tanarccos ×−=sh

Todas las operaciones antes mencionadas, deben realizarse en radianes.

63

ANEXO 4

Definiciones de operaciones sobre y entre conjuntos difusos, y los

operadores lógicos difusos

La primera notación a definir es )(� ~ xA

, que significa el grado de pertenencia

del elemento x al conjunto difuso A~

; este grado de pertenencia es un número

que pertenece al intervalo de números reales de 0 a 1, y el conjunto difuso A~

se define de la siguiente manera:

}/))(�,{(~

~ XxxxAA

∈=

Donde:

X = Conjunto base o universo.

)(� ~ xA

= Grado de pertenencia de x al conjunto difuso A~

.

A continuación se definen algunas operaciones sobre y entre conjuntos

difusos:

Intersección de conjuntos difusos.

}/))(�,{(~~

~~ XxxxBABA

∈= ΙΙ

( ))(�),(�)(� ~~~~ xxTxBABA

=Ι

64

Donde:

)(� ~ xB = Es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso B

~ .

)(� ~~ xBAΙ = Es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso BA

~~ Ι .

T(�,�) = Es la operación T-norma o y-difuso, que se definirá luego.

Unión de conjuntos difusos.

}/))(�,{(~~

~~ XxxxBABA

∈= ΥΥ

( ))(�),(�)(� ~~~~ xxSxBABA

=Υ

Donde:

)(� ~~ xBAΥ = Es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso BA

~~ Υ .

S(�,�) = Es la operación T-conorma, S-norma u o-difuso, que se definirá

luego.

Complemento de un conjunto difuso.

}/))(�,{()(~

~ XxxxxA cAc ∈=

)(�1)(� ~~ xxAAc −=

Donde:

)(� ~ xcA = Es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso cA

~, o al conjunto

difuso complemento de A~

.

65

Las operaciones anteriormente nombradas, T-norma y T-conorma, se

definirán a continuación (Kaufmann, 1977):

T-norma (y-difuso)

Esta es una operación binaria, que se realiza entre grados de pertenencia.

La notación que se usa se muestra a continuación:

( ))(�),(�)(� ~~~~ xxTxBABA

=Ι

Y el espacio en donde opera es el siguiente:

[ ] [ ] [ ]1,01,01,0:T →×

Para que una operación sea T-norma, debe cumplir con las siguientes

propiedades:

Limite

0)0,0T( =

��)T(1,)1,T(� ==

Monoticidad

d)T(c,b),T(a ≤

Si ca ≤ y db ≤ .

Conmutatividad

a)T(b,b),T(a =

66

Asociatividad

c)b),T(T(a,c))T(b,,T(a =

Las T-normas más usadas son las siguientes:

( ) )}(�),(�min{)(�),(� ~~~~ xxxxT BABA=

( ) }1)(�)(�,0max{)(�),(� ~~~~ −+= xxxxTBABA

( ) )(�)(�)(�),(� ~~~~ xxxxT BABA×=

T-conorma o S-norma (o-difuso)

Esta es una operación binaria que se realiza entre grados de pertenencia. La

notación que se usa se muestra a continuación:

( ))(�),(�)(� ~~~~ xxSxBABA

=Υ

Y el espacio en donde opera es el siguiente:

[ ] [ ] [ ]1,01,01,0:S →×

Para que una operación sea T-conorma, debe cumplir con las siguientes

propiedades:

Limite

1)1,S(1 =

��)S(0,)0,S(� ==

67

Monoticidad

d)S(c,b),S(a ≤

Si ca ≤ y db ≤ .

Conmutatividad

a)S(b,b),S(a =

Asociatividad

c)b),S(S(a,c))S(b,,S(a =

Las S-normas más usadas son las siguientes:

( ) )}(�),(�max{)(�),(� ~~~~ xxxxSBABA

=

( ) }1),(�)(�min{)(�),(� ~~~~ xxxxSBABA

+=

( ) )(�)(�)(�)(�)(�),(� ~~~~~~ xxxxxxSBABABA

×−+=

Además la T-norma y T-conorma se deben elegir para que cumplan con lo

siguiente:

b)-a,1-T(11b),S(a −=

o también,

b)-a,1-S(11b),T(a −=

68

ANEXO 5

Algoritmo Subclustering y creación de las funciones de Pertenencia

El algoritmo de agrupamiento sustractivo (Subtractive Clustering), permite

encontrar los centros de agrupaciones de datos, sin conocer el número de

éstas. El primer paso de este algoritmo consiste en calcular el potencial de

cada punto del conjunto de datos, y encontrar el máximo.

�=

−−=n

jjii xxP

1

2)exp( α

2

4

ar=α

Donde:

iP = Potencial del Punto i.

ar = Parámetro de influencia.

ix = Centro de la agrupación, punto i.

jx = Punto j.

Luego de encontrado el punto que maximiza la función potencial, que

corresponde al centro de la primera agrupación, el potencial de cada punto

se corrige con la siguiente ecuación:

)exp(2*

1*

1 xxPPP iii −−−⇐ β

2

4

br=β

69

Donde:

br = Parámetro de influencia.

*1P = Potencial máximo, de la primera agrupación.

*1x = Centro de la primera agrupación.

Luego de esto se busca el siguiente punto que produzca un máximo

potencial. Y para cuando se tenga el k-ésimo centro de agrupación, el

potencial de cada punto es calculado de la siguiente forma:

)exp(2**

kikii xxPPP −−−⇐ β

Donde:

*kP = Potencial del k-ésimo punto, de la k-ésima agrupación.

*kx = Centro de la k-ésima agrupación.

Este proceso continua mientras se cumpla la siguiente condición.

*1

* PP Supk ε>

Y el proceso termina cuando se cumple la siguiente condición.

*1

* PP Infk ε<

Además todos lo centros de un grupo deben cumplir con la condición

mostrada a continuación.

1*1

*min ≥+

PP

rd k

a

70

Y en caso contrario, al centro de la agrupación, se le asigna un potencial de

0 y se continúa con el elemento que muestre el mayor potencial.

Para crear las funciones de pertenencia es necesario calcular los radios de

influencia de cada agrupación de datos, esta se estima buscando el valor

máximo y mínimo de cada componente, se calcula la amplitud de ésta (se

resta la mayor y la menor) y se multiplica por el radio de influencia. Entonces

la función de pertenencia tomo la siguiente forma:

( ) ( )��

��

−−= 2

2

~2

expσ

µ cxx

A

Donde:

A~

= Conjunto difuso A.

( )xA~µ = Función de pertenencia al conjunto difuso A.

c = Centro de la agrupación.

σ = Radio de influencia.

71

ANEXO 6

Interpretación de las ecuaciones de regresión con variables dicótomas

Tomando como ejemplo la ecuación 13, se tiene que solamente hay dos

variables explicativas del error porcentual relativo (APE), las cuales son iAD ,1,

y iAD ,2, , y representan el diferenciar las estaciones del año y el uso de la

variable precipitación, respectivamente.

iDA

DAA

i

ii iAiA KKKO

OP ε⋅⋅⋅=− ,2,,1,

2,1,

Para entender como funciona, se analizará el efecto de la precipitación en los

modelos de Bristow & Campbell, si no es usada en los modelos como una

variable explicativa de la radiación solar, entonces 0,2, =iAD , o sea 1,2,

2, =iADAK ,

y por lo tanto el valor de la esperanza del APE no se ve alterada. Pero en

caso de que la precipitación se usada como variable explicativa, el valor de

iAD ,2, cambia a 1, y por lo tanto iADAK ,2,

2, no es necesariamente igual a la

unidad, y para cuantificar el efecto de la variable, debemos expresar de la

siguiente forma el parámetro iADAK ,2,

2, .

2,2, 1 AA rK +=

72

Si 12, >AK entonces 02, >Ar y por lo tanto la esperanza del error relativo

aumentará en %1002, ⋅Ar , en cambio, si 12, <AK entonces 02, <Ar y por lo

tanto la esperanza del error relativo disminuirá en %1002, ⋅Ar .

73

APÉNDICE 1

Tablas con los índices de desempeño de los modelos ANFIS separados

por estación del año.

Tabla 10. Desempeño de los modelos ANFIS en verano, medidos con raíz de

la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.




Modelo

Índices


74

Tabla 11. Desempeño de los modelos ANFIS en otoño, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.


C.1 AT 6,90 5,62 97,9 -0,67C.2 AT 6,90 5,60 97,4 -0,67C.3 AT 6,92 5,63 98,4 -0,68C.4 AT, DJ 3,33 2,66 49,1 0,61C.5 AT, DJ 3,32 2,63 47,3 0,61C.6 AT, DJ 3,30 2,62 49,1 0,62C.7 AT, DJ, PP 3,67 2,83 51,8 0,53C.8 AT, DJ, PP 3,29 2,62 50,1 0,62C.9 AT, DJ, PP 3,37 2,65 48,8 0,60C.10 AT, PP 6,86 5,57 94,6 -0,65C.11 AT, PP 6,94 5,65 97,1 -0,69C.12 AT, PP 6,90 5,62 96,6 -0,67C.13 TMM 5,49 4,19 79,0 -0,05C.14 TMM 5,45 4,15 78,8 -0,04C.15 TMM 5,40 4,12 79,6 -0,02C.16 TMM, DJ 3,43 2,65 51,1 0,59C.17 TMM, DJ 3,42 2,64 50,0 0,59C.18 TMM, DJ 3,33 2,61 49,1 0,61C.19 TMM, DJ, PP 3,52 2,68 50,4 0,57C.20 TMM, DJ, PP 3,40 2,67 50,7 0,59C.21 TMM, DJ, PP 3,45 2,67 50,2 0,58C.22 TMM, PP 5,61 4,26 78,6 -0,10C.23 TMM, PP 5,52 4,17 76,7 -0,07C.24 TMM, PP 5,47 4,13 76,3 -0,05


Modelo

Índices


75

Tabla 12. Desempeño de los modelos ANFIS en invierno, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.


C.1 AT 5,29 4,15 76,1 -0,10C.2 AT 5,29 4,18 76,5 -0,10C.3 AT 5,31 4,20 78,2 -0,11C.4 AT, DJ 3,07 2,33 49,4 0,63C.5 AT, DJ 3,06 2,33 50,4 0,63C.6 AT, DJ 3,02 2,30 48,3 0,64C.7 AT, DJ, PP 3,11 2,39 51,2 0,62C.8 AT, DJ, PP 3,05 2,33 48,1 0,63C.9 AT, DJ, PP 3,06 2,35 51,1 0,63C.10 AT, PP 5,33 4,20 74,7 -0,12C.11 AT, PP 5,29 4,13 74,3 -0,10C.12 AT, PP 5,25 4,11 75,3 -0,08C.13 TMM 3,85 2,92 53,7 0,42C.14 TMM 3,86 2,90 53,9 0,41C.15 TMM 3,82 2,86 52,0 0,43C.16 TMM, DJ 3,17 2,42 51,0 0,60C.17 TMM, DJ 3,11 2,35 49,5 0,62C.18 TMM, DJ 3,09 2,33 48,1 0,62C.19 TMM, DJ, PP 3,20 2,40 48,7 0,60C.20 TMM, DJ, PP 3,08 2,31 48,4 0,63C.21 TMM, DJ, PP 3,09 2,31 45,8 0,62C.22 TMM, PP 3,81 2,86 48,8 0,43C.23 TMM, PP 3,86 2,91 53,4 0,41C.24 TMM, PP 3,79 2,84 50,8 0,43


Modelo

Índices


76

Tabla 13. Desempeño de los modelos ANFIS en primavera, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E), junto a las variables meteorológicas (explicativas) usadas por los modelos para predecir la insolación diaria.




Modelo

Índices


77

APÉNDICE 2

Tablas con los índices de desempeño anual y estacional, de los

modelos seleccionados.

Tabla 14. Desempeño global de los modelos seleccionados, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.

Modelo Ordenación RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)

D.2 1 2,18 1,61 18,8 0,95D.1 2 3,04 2,47 35,0 0,86C.6 3 3,39 2,57 32,4 0,88C.18 4 3,45 2,63 32,6 0,88A.5 5 3,44 2,64 31,5 0,88A.6 6 3,45 2,65 31,3 0,88A.4 7 3,55 2,71 32,0 0,87B.2 8 3,52 2,72 35,2 0,87

Índices

Modelos de Bristow & Campbell (A.4, A.5 y A.6), modelo de De Jong & Stewart (B.2), modelos ANFIS (C.6 y C.18) y modelos de Ángstrom (D.1 y D.2).

78

Tabla 15. Desempeño de los modelos seleccionados en verano, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.

Modelo Rango RMSE MAE MAPE E(MJ m-2 día-1) (MJ m-2 día-1) (%)

D.2 1 2,38 1,80 9,2 0,86D.1 8 3,45 2,98 14,9 0,71C.6 2 3,08 2,13 11,0 0,77C.18 3 3,20 2,31 12,0 0,75A.5 5 3,22 2,38 12,9 0,74A.6 4 3,21 2,38 12,8 0,74A.4 6 3,30 2,41 13,1 0,73B.2 7 3,30 2,52 13,5 0,73

Índices


Tabla 16. Desempeño de los modelos seleccionados en otoño, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.


D.2 1 1,56 1,19 24,9 0,91D.1 2 2,17 1,77 48,7 0,83C.6 4 3,30 2,62 49,1 0,62C.18 3 3,33 2,61 49,1 0,61A.5 7 3,39 2,65 45,6 0,60A.6 6 3,41 2,65 45,5 0,59A.4 8 3,48 2,68 46,4 0,58B.2 5 3,38 2,64 51,6 0,60

Índices


79

Tabla 17. Desempeño de los modelos seleccionados en invierno, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.


D.2 1 1,56 1,19 26,1 0,90D.1 2 2,34 1,87 53,0 0,78C.6 5 3,02 2,30 48,3 0,64C.18 6 3,09 2,33 48,1 0,62A.5 3 3,02 2,28 46,4 0,64A.6 4 3,05 2,28 45,9 0,63A.4 7 3,16 2,34 46,6 0,61B.2 8 3,15 2,43 53,6 0,61

Índices


Tabla 18. Desempeño de los modelos seleccionados en primavera, medidos con raíz de la media suma de los cuadrados del error (RMSE), error medio absoluto (MAE), error porcentual absoluto medio (MAPE) y coeficiente de eficiencia (E). Ordenados de menor a mayor MAE anual, junto al rango que ocupa.


D.2 1 2,96 2,32 13,8 0,85D.1 7 3,92 3,36 20,8 0,73C.6 2 4,05 3,22 18,4 0,71C.18 4 4,08 3,25 18,3 0,71A.5 3 4,02 3,23 18,7 0,72A.6 5 4,03 3,26 18,7 0,72A.4 8 4,17 3,40 19,3 0,70B.2 6 4,15 3,29 19,4 0,70

Índices


80

APÉNDICE 3

Modelos de Bristow & Campbell A.4, A.5 y A.6

La forma general del modelo de Bristow & Campbell.

( )[ ]{ } Tkb aQQ c0 ∆⋅−−⋅= exp1

�� >

=caso. otro en

JppJk

;10)(;75.0

)(

Los parámetros a, b, c y k de las ecuaciones anteriores (que corresponden a

las ecuaciones 1 y 2) son mostrados en la siguiente tabla.

Tabla 19. Parámetros de los modelos de Bristow & Campbell A.4, A.5 y A.6 para las estaciones del año.

Parámetros A.4 A.5 A.6a 0,771 0,789 0,784

b (Verano) 0,053 0,107 0,082b (Otoño) 0,032 0,066 0,051

b (Invierno) 0,043 0,088 0,068b (Primavera) 0,045 0,094 0,072

c 1,344 1,068 1,171k 1 0,75 0,836

Modelo

81

APÉNDICE 4

Modelo de De Jong & Stewart B.2

El modelo se define con la siguiente ecuación:

)1()( 2PdPcTaQQ b0 ⋅+⋅+∆⋅=

Los parámetros de la ecuación anterior se muestran en la siguiente tabla,

para todos los meses del año.

Tabla 20. Parámetros del modelo de De Jong & Stewart B.2 para los meses del año.

Mes a b c dEnero 0,284 0,322 -0,428 0,406

Febrero 0,190 0,449 -3,477 3,467Marzo 0,204 0,397 -0,702 0,678Abril 0,140 0,482 -0,253 0,257Mayo 0,117 0,523 -0,514 0,505Junio 0,121 0,468 -0,361 0,358Julio 0,123 0,531 -0,344 0,341

Agosto 0,105 0,628 -0,382 0,380Septiembre 0,118 0,612 -0,401 0,398

Octubre 0,081 0,743 -0,646 0,635Noviembre 0,169 0,484 -0,890 0,881Diciembre 0,132 0,596 -0,440 0,416

Parámetros

82

APÉNDICE 5

Modelos ANFIS C.6 y C.18

Modelo C.6

Ri : Si ( ) ( )[ ])J(� ~ )T(� JT ii y∆∆ Entonces JT 2 ⋅+∆⋅+= iiii wwwy 10

Para i=1, 2, 3

Donde:

Ri = Regla i del sistema ANFIS.

T∆ = Amplitud térmica del día (ºC).

J = Día Juliano.

)T(� T ∆∆ i = Grado de pertenencia del elemento T∆ al conjunto difuso iT∆ .

)J(� Ji = Grado de pertenencia del elemento J al conjunto difuso iJ .

y~ = Operación lógica difusa Y, que para este caso es el producto.

iy = Resultado parcial de la regla i.

Las funciones de pertenencia del sistema tienen la siguiente forma:

( ) ( )��

�

�

��

⋅∆−∆−=∆

∆∆ 2

T

2

T2

TTexpT

ii

iσ

µ

( ) ( )��

�

�

��

⋅−−= 2

J

2

J2

JJexpJ

ii

iσ

µ

Donde:

iT∆ = Centro del conjunto difuso i de amplitud térmica (ºC).

83

iT∆σ = Radio de influencia del conjunto difuso i de amplitud térmica.

iJ = Centro del conjunto difuso i del día Juliano.

iJσ = Radio de influencia del conjunto difuso i del día Juliano.

Y para que el sistema quede completamente determinado, los parámetros de

este se presentan en la siguiente tabla.

Tabla 21. Parámetros de las tres reglas del modelo ANFIS C.6.

Parámetros 1 2 39,8157 17,0730 21,572016,2172 5,8097 7,3371

193,7840 97,0847 293,0922168,0253 68,5155 94,8582-1,5678 57,9073 -1,14410,9206 -0,1659 -1,15910,0066 -0,3866 0,1826

Regla i

iT∆iT∆σ

iJiJσiw0

iw1iw2

Modelo C.18

Ri : Si ( ) ( ) ( )[ ])J(� ~ )TMIN(� ~ )TMAX(� JTMINTMAX iii yy

Entonces JTMINTMAX 3210 ⋅+⋅+⋅+= iiiii wwwwy

Para i=1, 2, 3

Donde:

TMAX = Temperatura máxima del día (ºC).

TMIN = Temperatura mínima del día (ºC).

J = Día Juliano.

84

)TMAX(�TMAXi = Grado de pertenencia del elemento TMAX al conjunto

difuso iTMAX .

)TMIN(�TMINi = Grado de pertenencia del elemento TMIN al conjunto difuso

iTMIN .

)J(� Ji = Grado de pertenencia del elemento J al conjunto difuso iJ .

y~ = Operación lógica difusa Y, que para este caso es el producto.

Las funciones de pertenencia se muestran a continuación:

( ) ( )��

�

�

��

⋅−−= 2TMAX

2

TMAX2

TMAXTMAXexpTMAX

ii

iσ

µ

( ) ( )��

�

�

��

⋅−−= 2TMIN

2

TMIN2

TMINTMINexpTMIN

ii

iσ

µ

( ) ( )��

�

�

��

⋅−−= 2

J

2

J2

JJexpJ

ii

iσ

µ

Donde:

iTMAX = Centro del conjunto difuso i de temperatura máxima del día (ºC).

iTMAXσ = Radio de influencia del conjunto difuso i de temperatura máxima.

iTMIN = Centro del conjunto difuso i de temperatura mínima del día (ºC).

iTMINσ = Radio de influencia del conjunto difuso i de temperatura mínima.

iJ = Centro del conjunto difuso i del día Juliano.

85

iJσ = Radio de influencia del conjunto difuso i del día Juliano.

Los parámetros de este sistema, se muestran en la siguiente tabla.

Tabla 22. Parámetros de las tres reglas del modelo ANFIS C.18.

Parámetros 1 2 312,6447 42,6713 30,69305,0600 10,3759 7,122212,5482 11,9778 6,95893,0207 4,3582 3,0739

206,1634 37,8058 342,8866109,3631 91,8838 88,7178-7,2320 29,4713 -19,52191,0625 0,1920 0,4232-0,7053 -0,2149 -0,04660,0190 -0,1452 0,1128

Regla i

iTMAXiTMAXσiTMIN

iTMINσ

iJiJσiw0iw1iw2iw3

86

APÉNDICE 6

Modelo de Ángstrom

El modelo se define con la siguiente ecuación:

��

��

+=Nn

baQQ 0

El modelo calibrado para las condiciones de Chillán se muestra a continuación:

��

��

⋅+=Nn

0,8490,013QQ 0

87

APÉNDICE 7

Ejemplo de cálculo de insolación con el modelo C.6

Se tomará como ejemplo el día 19 de julio de 1998 (J=200), en el que la

temperatura máxima fue de 12,28 ºC y la mínima de 0,013 ºC, por lo tanto la

amplitud térmica fue de 12,267 ºC.

Para estimar la insolación del día en cuestión, con el modelo ANFIS C.6 hay

que calcular los valores de las funciones de pertenencia (antecedentes) y los

resultados parciales (consecuentes) de cada una de las tres reglas. A

continuación se muestra el proceso de cálculo para las tres reglas del

sistema.

Regla 1:

R1 : Si ( ) ( )[ ])(~)( 11 J� T� JT y∆∆ Entonces JT 2 ⋅+∆⋅+= 111

101 wwwy

Donde:

( ) ( )��

�

�

��

⋅∆−∆−=∆

∆∆ 2

1

2

1 21

expT

TTT

Tσ

µ

( ) ( )��

�

�

��

⋅−−= 2

2

1 21

expJ1

JJJJ

σµ

88

Al aplicar los parámetros de Tabla 15, las funciones de pertenencia están

completamente determinadas, y se muestran a continuación:

( ) ( )( ) �

��

��

⋅−∆−=∆∆ 2

2

1 2exp

16,21729,8157TTTµ

( ) ( )( ) �

��

��

⋅−−= 2

2

1 2exp

168,0253193,7840JJJµ

Reemplazando los valores de amplitud térmica y día Juliano en las

ecuaciones anteriores, queda:

( ) ( )( ) 0,988616,2172

9,815712,26712.267T =��

�

��

⋅−−=∆ 2

2

12

expµ

( ) ( )( ) 0,9993168,0253

193,7840200200J =��

�

��

⋅−−= 2

2

1 2expµ

Al resultado de operación difusa (antecedente) de la primera regla le

llamaremos 1τ y se define con la siguiente forma:

( ) ( ))(~)( 111 J� T� JT y∆= ∆τ

Que para este caso particular, como la operación difusa y equivale al

producto, 1τ se calcula con la siguiente ecuación:

( ) ( ))()( 111 J�T� JT ⋅∆= ∆τ

( ) ( ) 0,98800,99930,9886200�12.267� JT =⋅=⋅= ∆ )()( 111τ

89

El consecuente de la regla, al aplicar los parámetros de la tabla 14, se

muestra a continuación:

J0,0066T0,9206-1,5678 ⋅+∆⋅+=1y

Reemplazando los valores de amplitud térmica y día Juliano queda:

11,04872000,006612,2670,9206-1,5678 =⋅+⋅+=1y

Regla 2

R2 : Si ( ) ( )[ ])(~)( J� T� J2T2 y∆∆ Entonces JT 2 ⋅+∆⋅+= 221

202 wwwy

Donde:

( ) ( )��

�

�

��

⋅∆−∆−=∆

∆∆ 2

2

2

22

expT

T2TTT

σµ

( ) ( )��

�

�

��

⋅−−= 2

2

22

expJ2

J2JJJ

σµ

Reemplazando los parámetros.

( ) ( )( ) �

��

��

⋅−∆−=∆∆ 2

2

2exp

5,809717,0730TTT2µ

( ) ( )( ) �

��

��

⋅−−= 2

2

2exp

68,515597,0847J

JJ2µ

90

Aplicando los valores de amplitud térmica y día Juliano.

( ) ( )( ) 0,71025,8097

17,073012.26712,267T2 =��

�

��

⋅−−=∆ 2

2

2expµ

( ) ( )( ) 0,323668,5155

97,0847200200J2 =��

�

��

⋅−−= 2

2

2expµ

Cálculo de la operación difusa.

( ) ( ))(~)( 222 J� T� JT y∆= ∆τ

( ) ( ))()( 222 J� T� JT ⋅∆= ∆τ

( ) ( ) 0,22990,32360,71022�12,267� JT =⋅=⋅= ∆ )00()( 222τ

Cálculo del consecuente de la regla.

J0,3866-T0,1659-57,9073 ⋅∆⋅=2y

-21,43862000,3866-12,2670,1659-57,9073 =⋅⋅=2y

Regla 3

R3 : Si ( ) ( )[ ])(~)( J� T� J3T3 y∆∆ Entonces JT 2 ⋅+∆⋅+= 331

303 wwwy

Donde:

( ) ( )��

�

�

��

⋅∆−∆−=∆

∆∆ 2

3

2

3 23

expT

TTTT

σµ

( ) ( )��

�

�

��

⋅−−= 2

3

2

3 23

expJ

JJJ

Jσ

µ

91

Reemplazando los parámetros.

( ) ( )( ) �

��

��

⋅−∆−=∆∆ 2

2

3 2exp

7,337121,5720T

TTµ

( ) ( )( ) �

��

��

⋅−−= 2

2

3 2exp

94,8582293,0922J

JJµ

Aplicando los valores de amplitud térmica y día Juliano.

( ) ( )( ) 0,44757,3371

21,572012.26712.267T =��

�

��

⋅−−=∆ 2

2

32

expµ

( ) ( )( ) 0,617894,8582

293,0922200JJ =��

�

��

⋅−−= 2

2

32

expµ

Valor de la operación difusa.

( ) ( ))(~)( 333 J� T� JT y∆= ∆τ

( ) ( ))()( 333 J� T� JT ⋅∆= ∆τ

( ) ( ) 0,27640,61780,4475200�12.267� JT =⋅=⋅= ∆ )()( 333τ

Cálculo del consecuente de la regla.

J0,1826T1,1591--1,1441 ⋅+∆⋅=3y

21,15542000,182612.2671,1591--1,1441 =⋅+⋅=3y

92

Los valores de las operaciones difusas (antecedentes) y los resultados de las

ecuaciones lineales (consecuentes), se muestran a continuación de manera

resumida:

Regla 1 Regla 2 Regla 3

0,9880=1τ 0,2299=2τ 0,2764=3τ

11,0487=1y -21,4386=2y 21,1554=3y

El último paso para estimar la insolación es ponderar los resultados parciales

de las tres reglas, que se realiza con la siguiente ecuación:

321

332211

ττττττ

++⋅+⋅+⋅= yyy

Q

Aplicando los valores anteriormente calculados, tenemos:

0,27640,22990,98800,276421,15540,229921,4386-0,988011,0487

Q++

⋅+⋅⋅=

7,92101,4942

11,83620,27640,22990,98805,84834,9279-10,9158

Q ==+++=

La estimación que hizo el modelo ANFIS C.6, para el día en cuestión, fue de

7,921 MJ m-2 día-1, que se compara con la insolación registrada de 8,77

-1-2 día m MJ .

evaluacion de los modelos para estimar la insolacion diaria en funcion de temperaturas maxima,...

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