euklidische geometrie ohne das axiom von pasch

Euklldische Geometrie ohne das Axiom yon Pasch

Von A. PR~STEL

In [13] hat A. TARS•I ein Axiomensystem fiir die euklidische, ebene Geometrie in den Grundbegriffen ,,Zwischenbeziehung" und ,,~kquidi- stanz" von Punkten angegeben. L .W. SZCZ~RBA und W. SZMIELEW charakterisierten in [12] die Modelle dieses Axiomensystems vermindert um das Axiom yon Paseh (und das Stetigkeitsaxiom)1). Diese Modelle nannten sie Pasch-/reie, euklidische Ebenen.

In dieser Arbeit geben wir eine metrische Begriindung fiir Pa~ch-freie Geometrien und untersuchen verschiedene Klassen dieser Geometrien mit mehr oder weniger metrischen Eigenschaften. Fiir eine solche Be- griindung der Pasch-freien Geometrie empfiehlt es sich, erst einmal nur die Grundbegriffe ,,Kollinearit~t" und ,,/~quidistanz" zu verwenden.

In der iiblichen euklidischen, ebenen Geometrie in diesen Grund- begriffen (vgl. HILBERT [5], wobei man die Beziehung ,,liegt auf" zwischen Punkten und Geraden durch die ,,Kollinearit~t" yon Punkten zu ersetzen hat) dient die Einfiihrung einer Anordnung der Geometrie durch eine zuss ,,Zwischenbeziehung" u. a. zwei Zwecken:

(1) Seiteneinteilung der Ebene durch Gera~len,

(2) Vergleich yon Streckenl~ngen 8).

Beriicksichtigt man nur (1), so gelangt man auf die yon Sperner in [9] eingefiihrten Ordnungs/unktionen als Verallgemeinerung der Zwischen- beziehung. Ftir diesen Zweck ist das Axiom yon Pasch wesentlich, jedoch nicht die lineare Anordnung der Punkte einer Geraden (vgl. KARZ~L- L~.NZ [6]). Den Ordnungsfunktionen entsprechen im KoordinatenkSrper die sog. ,,Halbordnungen". Die Konvexit~t yon Halbebenen liegt nach Sperner [10] genau dann vor, wenn die Halbordnung sogar eine An- ordnung ist.

Beriicksichtigt man jedoch nur (2), so ist die lineare Anordnung der Punkte einer Geraden wesentlich, w~hrend das Axiom yon Pasch ent- behrlich wird. Dieser Weg fiihrt gerade zu den Pasch-freien Geometrien.

1) Dabei muBte ]edoch das restliche Axiomensystem geringffigig ge~ndert werden. 3) Mit der ,,~quidistanz" l~l]t sich n~mlich eine •quivalenzrelation auf den Streeken

(das sind Punktepaare) einfiihren. Eine/~quivalenzklasse repr~sentiert dana offenbar eine ,,Streckenl~nge".

Euklidische Geometrie ohne das Axiom yon Pasch 83

Im 1. Abschnitt zeigen wir, dab einige verntinftige Forderungen an eine ,,Zwischenbeziehung", die (2) erftillen soll, zu einer sogenannten ,,Semi- Ordnung" auf dem KoordinatenkSrper fiihren. Man erh/ilt auf diese Weise gerade die Modelle des Axiomensystems yon [12]. Grob gesprochen heil]t das, die Pasch-freien euklidischen Geometrien sind gerade die- jenigen, in denen man einen Liingenvergleich verniinftig durchfiihren kann. Der Zwischenbeziehung in einer Pasch-freien Geometrie entspricht eine Semi-Ordnung des KoordinatenkSrpers. Eine Semi-Ordnung eines KSrpers ist dabei eine Anordnung seiner additiven Gruppe.

Im 2. Abschnitt studieren wir Pasch-freie Geometrien mit speziellen Eigenschaften. Dabei werden wir jeweils geometrische Eigenschaften durch Eigenschaften der entsprechenden Semi-Ordnungen charakteri- sieren. Von besonderem Interesse ist die Frage, wann im Sinne unseres L~ngenvergleichs die Dreiecksungleichung gilt. H. N. GUI'T~_ und der Autor zeigten in [4], dab dies genau dann der Fall ist, wenn ftir die zugrunde liegende Semi-Ordnung ~ zus~tzlich

O~x--->O~xy2

gilt. Solche Semi-Ordnungen sollen quadratisch heiBen. Bemerkenswert ist weiter die folgende Analogie zu den Spernersehen Halbordnungen: In einer Pasch-freien Geometrie mit Dreiecksungleichung sind Kreis- scheiben genau dann konvex, wenn die zugrunde liegende (quadratische) Semi-Ordnung sogar eine Anordnung des KoordinatenkSrpers ist.

Im 3. Abschnitt geben wir einige KonstruktionsmSglichkeiten fiir Semi-Ordnungen an. Die von uns meistens verwendet~ ist die folgende: Ist G die Wertegruppe (abelsch und geordnet) einer allgemeinenKruUschen Bewertung und ist (~g I g e G} ein System von S. O. auf dem Restklassen- kSrper, so l~Bt sich dieses System passend zu einer S. O. des bewerteten K5rpers verfeinern. Ffir Semi-Ordnungen dieses Typs stimmt die Inter- valltopologie mit der Bewertungstopologie auf dem KSrper iiberein.

Im 5. Abschnitt zeigen wir yon einer gewissen Klasse von Semi-Ord- nungen, dab diese sich immer so darstellen lassen.

Im 4. Absehnitt untersuchen wir die im 2. Abschnitt eingeffihrten Eigenschaften auf ihre gegenseitige Abh~ngigkeit.

In einer weiteren Arbeit [7] werden wir die quadratischen Semi-Ord- nungen eines K5rpers F genauer untersuchen. Es zeigt sich ein gewisser Zusammenhang dieser S. 0. mit quadratischen Formen fiber F. Ins- besondere gilt fiir KSrper, in denen jede quadratische S. O. (mit 0 < 1) schon eine Anordnung ist, ein ,,Hasse-Prinzip" flit die Isotropie yon qua~lratischen Formen.

84 A. Prestel

1. P a s c h - f r e i e R ~ u m e

Es sei ~ = (F, O, 1, -~, .) ein (kommutativer) KSrper (oft auch nur mit F bezeichnet) und Vein Vektorraum fiber F mit Dimp V _> 2. Ffir Vektoren a, b e V sei ein inneres Produkt a o b, d. h. eine symmetrische Bilinearform, gegeben, fiir die wir

(1.1) a 2 = 0 ~-~ a ~- 0

und

(1.2) a2 ~ { x2 I x e F}

verlangen wollen.

Daraus folgt offensichtlich, dab 2' formal-reell und pythagoreiseh ist, und dal3 jeder endlich-dimensionale Teilraum yon V eine Orthonormal- basis besitzt. Dabei heil~t ein KSrper F ]ormal-reeU, falls --1 keino Quadratsumme in F i s t , oder gleichwertig, falls eine nicht-triviale Qua- dratsumme in F niemals Null sein kann. F heillt trythagoreisch, falls eino Summe yon zwei Quadraten in F selbst wieder oin Quadrat ist.

In V dofinieren wir die Kollinearitat C der Punkte a, b, c wie fiblieh durch

C (a, b, c) r a, b, c linear abhiingig,

oder, was damit gleichbedeutend ist

[(a -- c) o (b -- c)] 2 = (a -- c) 2 (b -- c)2.

Als ~quidistanz Dder Paare al, bl und a2, b2 definieren wir

D (al, bl; a2, b2) ~-~De~ (al -- bl) 2 ---- (au -- b2) 2.

Unsere Absicht ist es nun, in V eine ,,Zwischenbeziehung" B yon Punkten a, b, c so oinzuffihren, daI~ es mSglich ist, einem Punktepaar a, b eino L~nge (der Strecke a, b) in iv eindeutig zuzuordnen. Aul~erdem sell es mSglich sein, Liingen yon Strecken sinnvoll zu vergleichen.

Ein solcher Streekenvergleich 1/~13t sich etwa durchffihren, wenn d i e

Zwischenbeziehung den folgenden Bedingungen genfigt:

1) Auf jeder Geraden mit zwei darauf liegenden Punkten a0, b0 1/iBt sieh jede Strecke a, b so abtragen (mit Endpunkt c), dab B(ao, be, c) und D (a, b; b0, c) gilt.

2) Zwei Abtragungen (in derselben Richtung) sind vergleiehbar.

3) Ein solcher Vergleieh f~llt ,,fiberall" gleieh aus.

Das folgende Axiomensystem ffir B ist offenbar eine Pr~izisierung dioser Bedingungen.


(B ]) (B 2) (B 3) (B 4)

(B 5) (B 6)

C ( a , b , c ) ~ B(a ,b ,c ) v B(a ,c ,b) v B(b ,a ,c )

B(a, b, c) --> B(c, b, a)

3 c [B(a', b', c) A D (a, b; b', c)] a) B ( a , b , c ) ^ B ( b , c , d ) Ab 4= c --> B (a, b, d) b) B(a, b, c) A B(b, d, c) --> B(a, b, d)

B(a ,b ,c ) h B(a ' ,b ' ,c ' ) h D(a ,b ;a ' , c ' ) A D(a ' ,b ' ;a , c ) --->b = c

B(a, b, c) A B(a', b', c') h D(a, b; a', b') A D(a, c; a', c') --> D(b, c; b', c')

Aus diesen Axiomen beweist man nun miihelos eine Reihe weiterer Eigenschaf ten von B. So folgt z. B.

B(a', b', b')

aus (B 3) mi t a = b, und die Invar ianz un te r I sometr ien

B(a,b,c) A D(a,b; a',b') A D(a,c; a',c') A D(b,c; b',c') A C(a',b',c')-->B(a',b',c')

aus (B i) und (B 5)

Wir zeiehnen nun einen Vektor ao e V mi t ao 2 = 1 aus, und be t rach ten die Zwischenbeziehung ftir P u n k t e auf der durch a0 erzeugten Geraden.

Fi i r B(x ao, y ao, z ao) mi t x, y, z E F schreiben wir kurz B(x, y, z).

Wir definieren fiir x e F

x~P~-~Def B(0, x, 1) V B(0, ][, x) .

Ft i r P gilt das folgende Lemma, dessen Beweis wir i ibergehen wollen.

(1.3) Le m ma

P ist ein normierter Semi-Positivbereich yon F. Fur 0 4= x �9 P gilt

B(O,x,y)~--~y-- x e P

Dabei nennen wir eine Tei lmenge P c F einen Semi-Positivbereich von F , falls gilt:

P u ( - - P ) = F , P n ( - P) = {0},

P + P c P .

Gilt zus/itzlich 1 e P , so heiBt P normiert.

Ftir einen Semi-Posi t ivbereich P ft ihrt die Defini t ion

x _~p y ~---~Def Y -- x ~ P

ftir x, y e F zu einer Anordnung der addi t iven Gruppe des KSrpers F, d . h . < v ist eine lineare Ordnung von F , fiir die

86 A. Prestel

x ~py---->x q- z ~ p y - ~ - z

gi l t . E i n e A n o r d n u n g de r a d d i t i v e n G r u p p e y o n F sol] ira fo lgenden als e ine Semi-Ordnung (S. O.) y o n F beze i ehne t w e r d e n (vgl. [12]) ~ p is t

e ine Anordnung y o n F i m i ib l ichen Sinne, falls zus/~tzlich

0 ~_px, y--->O ~ p x . y

gilt , bzw.

P . P c P~).

F i i r x e F l~Bt sieh wie ~iblich d u r c h

x falls x e P I z l e = - x falls - - x e P

ein Absolutbetrag bzgl . de r S e m i - O r d n u n g P def in ie ren . F i i r e inen V e k t o r

a e V de f in ie ren wi r seine Ldnge bzgl . P d u r c h

D a a 2 n a c h (1.2) ein Q u a d r a t in F i s t , b e s i t z t y ~- a2 zwei L S s u n g e n in F ,

pV ~ beze i chne die P - p o s i t i v e .

I n d iesen B e z e i c h n u n g e n g i l t we i t e r

(1 .4) L e m m a

F~tr x, y, z e F gilt

B(x,y ,z) ~--~ l x - ylP + l y - z i p = I x - z i P .

Beweis :

Sei e t w a y - - z ----- l Y - - z t.

A u s B(x, y, z) fo lg t w e g e n de r I n v a r i a n z u n t o r I s o m e t r i e n B(0 , y - - z, x - - z ) . Mi t L e m m a (1.3) fo lg t d a n n (x - - z) - - (y - - z) ---- x - - y e P . Also is t a u c h ( y - - z ) + ( x - - y ) = x - - z e P . D a m i t g i l t [ x - - y l +

l y - z l = I x - z l .

Gil t dies u m g e k e h r t u n d is t x - - y e P , so fo lg t w e g e n x - - y =

( x - - z) - - (y - - z) e P n a c h L e m m a (1.3) B(0 , y - - z, x - - z), u n d d a r a u s

B(x, y, z). I s t jeAoeh y - - x e P , so fo lg t aus (y - - x) ~- (y - - z) = Ix - - z I,

y = x ode r z, je n a c h d e m x - - z e P ode r z - - x e P ist .

D a m i t g i l t ebenfa l l s B (x, y, z).

I m FaUe z - - y ---- I Y - - z[ schl ieBt m a n ana log .

q . e . d .

3) Fftr normierte S. O. gilt immer r ' P ( P fiir r e •, 0 _< r. Eine normierte S. 0., die keine Anordnung ist, heiBt echt.


Hieraus erhalten wir nun leicht den folgenden Darstellungssatz

( 1 . 5 ) S a t z

(a) Er/~llt eine dreisteUige Relation B au/ V die Axiome B I - - B 6, so gibt es d u n normierten Semi-Positivbereich P yon F mit

(* )B(a ,b ,c ) ( - -~[ la - -b][p+ ] ] b - c l l , ~ = [ l a - c l I P ffir a,b, c e V.

(b) Ist umgekehrt P ein normierter Semi-Positivbereich yon F und ist B durch (*) de/iniert, so gelten [itr B die Axiome B 1 - - B 6.

Beweis :

(a) Es seien a, b, c kollinear, da dies aus beiden Seiten der J~qlfivalenz (*) folgt4). Wir setzen

x = l l a - b f ] , y = [ l a - c l l , z = l l b - c l l .

Aus B(a, b, c) folgt dann nach (B 5) B(O, x, y). Mit L e m m a (1.3) erhalten wir daraus y - x e P. Wegen (B 6) ist z = [ y - x l, also x + z = y. Gilt umgekehr t x + z = y, so orh/ilt man sofort B(a, b, c), denn z. B. B (b, a, c) wiirde wie oben zu x + y = z und dies zu x = 0, d. h. a = b ftihren.

(b) Prtif t man leicht nach. q . e . d .

Is t P ein Semi-Positivbereich von F u n d gilt (*) fiir B, so gilt offenbar aueh

B(a, b, c) ---> I[a -- blip < p [la - c{[p

falls a, b, c kollinear sind. Dies zeigt, dab unsere Absicht, einen L/ingen- vergleich mit Hilfe von B durchzuftihren, reaUsiert ist.

Ein Tripel (V, o, _<> wollen wit einen Pasch-/reien Raum nennen, falls o den Bedingungen (1.1) und (1.2) geniigt, < eine normierte Semi-Ordnung yon ~' und DimF V >_ 2 ist. Ftir DimF V = 2 sind dies gerade die yon Szczerba und Szmielew in [12] in den Grundrelat ionen B und D axio- matisierten Pasch-freien Ebenen.

Das Studium der Pasch-freien R/~ume ist nach Satz (1.5) eng verbunden mi t dem Studium der Semi-0rdnungen des KSrpers F . Dies wird sich auch im n/~chsten Abschnit t zeigen.

4) Aus der rechten Seite folgt durch zweifaches Quadrieren [(a -- b) o (b -- c)] 2 = (a - - b) 2 (b - - c) 2.

88 A. Prestel

(1.6) Bemerktmg:

Is t B wie im Satz (1.5) (a) eine Zwisehenbeziehung mit B 1--B 6, so ist dureh (*) der normier~e Semi-Positivbereieh P eindeutig best immt. Dies folgt aus

B(--a,O, xa)e--~l + [xlp= 11 q-xlp ~---~x~ P

fiir jedes a e V mit a~ ----- 1.

2. Metrisehe Eigensehaften in Paseh-fre ien R~/umen

Es sei (V, o, <~ ein Pasch-freier Raum, d. h. fiir o gilt (1.1) und (1.2), < ist eine normierte Semi-0rdnung des KSrpers F, und es ist DimF V ~ 2 Den Abstand zweier Punkte a, b hat ten wir definiert durch

[]a -- bll = p V ~ 2

N "'" I I i s t im allgemeinen weder eine Norm im iiblichen Sinne, noeh gilt auch nur die Dreiecksungleichung, d . h . die dureh ] ] a - b II definierte Abstandsfunktion ist i. a. keine Metrik. Es gilt lediglich

I l x a l l = I Iz l ' l la l l I fiir x e F , a e V .

In [4] haben H. N. Gupta und der Autor diejenige S. O. eharakterisiert, ffir die die Dreieeksungleiehung gilt. Dies soll der Vollst~ndigkeit halber bier noehmals dargestellt werden. AuBerdem betraehten wit gewisse Absehw~ehungen der Dreieeksungleiehung und die Konvexit~t von Kreisseheiben.

Wir betraehten vorerst die folgenden geometrisehen Eigensehaften

(ti) Dmieeksungleiehung

I l a - b l l < I l a l l + Ilbll

(si) Sehwarzsehe Ungleiehung

l a o b l < l l l a l l ' l l b l l l

(wsi) sehwaehe Sehwarzsehe Ungleiehung

(a Q b) 2 ~ a 2 b 2

(rti) Dreiecksungleiehung fiir reehtwinklige Dreieeke

a o b = o - ~ Ila - - bll <-- Ilall + llbll �9

(2 .1) Satz

Ist (V, o, _<) ein Paseh-/reier Raum, so ist die schwache Schwarzsche Ungleichung &tuivalent zu

(s) 0 < x 2 fiir x e F .

Euklidische Geometrie ohne das Axiom von Paseh 89

(si) (*)

(ti) (ms)

Beweis :

(ms) ~ (si).

Beweis :

Fi i r a, b ~ V gil t b e k a n n t l i c h

(2.2) (a 2 b - - (a o b) a) 2 ---- a 2 (a 2 b 2 - - (a o b)2).

Gi l t n u n (s), so is t d a m i t 0 < a 2 b 2 - - (a o b)2; das is t die s c h w a c h e

S c h w a r z s c h e U n g l e i c h u n g . Gi l t n u n u m g e k e h r t (wsi), so b e t r a c h t e n wir

ein O r t h o n o r m a l s y s t e m {el, e2} in V u n d se t zen a ---- x el, b = e2. D a n n fo lg t 0 < x 2.

q . e . d .

(2.3) Satz

Ist (V, o, <_} ein Pasch-/reier Raum, so sind i~quivalent

[a ob] < ] ] ] a l ] . Ilbll I /~r a, b e V aob-=O--->][a]]<]la--b][ /iir a, b e V I]a--b][<<][a[]+]]bl] / i ira, b e V O < x _ _ > O < xy2 5) ]iir x, y e F

Se tzen wi r x = [ [[a]}. I]bll ] u n d y = laobl , so b e s a g t (2.2), dal t x z - - yZ ein Q u a d r a t ist , e t w a x ~" - - y~ = z ~. D a n n g i l t m i t (m~) wegen

O < x + y

0 < ( x + y ) = x - - y ;

das i s t a b e r (si). (si) ~ (*)

W e g e n a o b = 0 gi l t m i t (si) fiir a # 0

Ilall = l(]]al] - l a ) (a - - b) t < I I I ( l l a l i - l a ) I[" Ila - - b i l l = lib - b II (*) -+ (ms) .

W i r b e t r a c h t e n ein O r t h o n o r m a l s y s t e m {el, e2} in V u n d se tzen a = (x - - x y2) el, b = (2 x y) e2. D a n n e rg ib t (*)

Ix -- xY2[ = IJali < lib - - all = V(x - x y2)2 -4- ( 2 x y ) 2 = ix + xy21.

I s t n u n 0 g x u n d x y2 < 0, so e r h a l t e n wir

I x + x y ~

x - - x y2 ~ o d e r

- - x - - x y 2 .

5) Semi-Ordnungen mit (ms) heiSen quadratisch.

90 A. Prestel

Die erste Gloichung fi ihrt zu 0 ~ x y2, die zweito zu x _~ 0. Beides s teht im Widerspruch zu unserer Annahme. Also ist 0 ~ x y~.

(*) - ~ ( t i ) .

Wir setzon fiir a ~= b

a o (a -- b) (a _ b) c : - - - -a - - (a- -b)~

Dann ist c o (a -- b) ---- 0 und dami t auch c o (a -- c) -~ 0 und c o {b -- c) = 0. (*) ergibt dann

I I a - c l l ~ l l a l l und I I b - c l I _ ~ I l b l l .

Weiter gibt es offenbar x, y e F mi t

a - - c = x ( a - - b ) und c - - b ~ - - y ( a - - b ) .

Beniitzen wit nun die triviale Dreiecksungleichung

i z 1 - ~ z 2 1 ~ i z l ] - ~ I z21 ffir zl, z ~ e F ,

so erhalten wir

Ila - bll = l l (a - c) + (c - b)ll = II(x + y ) ( a - - b)II

---- I x ' l l a - b l l + y ' l l a - b l l l ~ I x ' l l a - b I l l + l Y'II a - b I l l _~ IIa -- cll + II b - - cll ~ [lall + Ilbll

(ti) ~ (*).

Wegen a o b ----- 0 ist (a ~- b) 2 = (a -- b) 2. Also gilt mi t (ti)

2 ] lal l --- II(a - b) + (a ~- b)i I ~ ]la - - bl[ + ][a -}- b[] = 2 [la - - b l ] .

Also ist ]]a[] _~ ]Ia - - b][. q . e . d .

(2 .4 ) B e m e r k u n g

In [3] wird die J~quivalenz yon (ms) mit der geometrischen Aussage ,,in einem rechtwinldigen Dreieck liegt der HShenfuBpunkt zwischen den Hypo tenusenendpunk ten" gezeigt. Diese Aussage wurde yon Bach- m a n n und Klingenberg [1] im Zusammenhang mi t Sperners Ordnungs- funktionen betrachtet .

( 2 . 5 ) S a t z

Is t (V, o, ~ } ein Pasch-/reier Raum, so sind ~htuivalent

(rti) aob=O-~lla-bli<_llail+libll /i~ra, b e V

(h) O < x , y - - > O < x y ]iir x, y e F x-+- y

V 2 (**) 0 < v < w ~ - - < v /iir v , w ~ F

W


Beweis :

(h) -~ (**).

M a n s e t z e x : - - - - v , y : - - - - w - - v

(**) -~ (h).

M a n s e t z e v : - - - - x , w : - - - - x ~ - y

(**) --> (rti).

Fal l s l la - - b 11 ~ ][a I] ode r _~ II b ]1 gilt , s ind wir fer t ig . Fa l l s n ich t , so

se tzen wi r w : I[a - - b ]l u n d v ---- I ta II bzw. : lib I I. I n be iden Fii l len gi l t v ~ w. Mit (**) e r h a l t e n wi r d a n n wegen a o b ---- 0

_ ( a - - b ) 2 _ a 2 b 2 ]la - - b[I ][a - - bll w -~ w -~ [lall ~- IIb[I

(rti) --> (**) .

W i r b e t r a c h t e n wieder ein O r t h o n o r m a l s y s t e m (el, e2} in V u n d se tzen a -~ (v - - v 2 w -1) el, b ---- (2 v) e2. ]:)ann e r h a l t e n wi r aus (rti)

Iw ~- v2w -1 -~ V(w - v2 w- l ) u + (2v) 2 -~ lla - b[I

g I[all~- Ilbll-~ I w - - v U w - 1 ] + 2 v .

Fi i r v 2 w -1 ~ 0 is t n i ch t s zu zeigen. F t i r 0 ~ v2 w -1 gi l t

W - - V 2 W - 1

w -~ v 2 w -1 ~ 2 v -{- oder

- - W - ~ U s W - 1 .

D e r e r s te Fa l l f i ih r t zu v 2 w -1 g v, also w e g e n v ~= w zu v 2 w -1 < v,

de r zwei te f t ih r t zu w _~ v, e i n e m W i d e r s p r u c h . q . e . d .

D a m i t h a b e n wi r e ine R e i h e i n t e r e s s a n t e r g e o m e t r i s c h e r E i g e n s c h a f t e n , n~ml i ch (ti), (si), (wsi), (rti), d u r c h gewisse T y p e n y o n S e m i - O r d n u n g e n g e k e n n z e i c h n e t , n~ml i ch d u r c h (ms), (ms), (s), (h).

Mit

(in)

x y gilt wegen x §

O ~ x--->O ~ x -1 fiir x E F

_ _ _ (x-1 ~ y-1)+1 die Impl ika t ionske t t e

(m) --> (ms) -~ (in) --> (h)

~ ' * ( s )

I n K a p i t e l 4 w e r d e n wi r ze igen, dal3 fi ir ke ine d ieser I m p l i k a t i o n e n die

U m k e h r u n g gil t , u n d da~ (in) u n d (s) u n v e r g l e i c h b a r s ind.

Dies r e c h t f e r t i g t i n sbesonde re die B e z e i c h n u n g schwache S c h w a r z s c h e

Ung le i chung . W i r b e m e r k e n d a z u wei te r , d a b die I m p l i k a t i o n

92 A. Prestel

x2<--Y~-O[xl<-- lYl ffir x, y e F

s zu (m) ist.

Ebenso leicht sieht man die Aquivalenz yon

O < x < y - - > x 2 < y 2 mit (m) ein.

Wir schlieBen diesen Abschni t t mi t einer Kennze ichnung der Pasch- schen Rs ab, d . h . derjenigen Pasch-freien Rs <V, o, _<>, fiir die _< eine Anordnung ist.

( 2 . 6 ) S a t z

Is t <V, o, ~> ein Pasch-/reier Raum, in dem die Dreiecksungleichung gilt, so sind dquivalent :

(m) O < x , y - + O < _ x y ]iir x y e F

(k) Kreisscheiben sind konvex d. h.

llall, llb]l < e , B(a,c ,b) --> Ilcll < e

/ / ~ r e > 0 , e e F , a,b, c e V .

Beweis :

(m) -+ (k) ist allgemein bekannt .

(k) (m).

Aus (k) fo lg t speziell [la[[ < lib[I, B(a, c, b)--+ [[c[[ _< [Ibl[ und daraus folgt, da wir (ti) voraussetzen

a o ( b - - a ) - - - - 0 , B(a ,c ,b) - -+l lc l l< - I]bl].

a c b

W~hlen wir ein Or thonormalsys tem {el, e2} in V, so ft ihrt dies in der el, e2-Ebene mi t a ---- (0, - - z), b = (y, - - z), c = (x, - - z) zu

(2.7) O < x < y--> y-~ + z2 < Vy2 + z2.

Es sei 0 < x < y. Wegen (ti) ist 0 _< x 2. I s t 1 _< x 2, so folgt x 2 _< x 4. Es gibt also immer ein z mi t x 2 _< z 4 (fiir x 2 < 1 setze m an z = 1). Wir nehmen nun y2 < x 2 an. Dann gilt

0 < z 4 - - x 2 < z a - - y 2 .


Aul~erdem gilt O < x z 2 < y z 2 .

Aus diesen beiden Ungleichungsketten erhalten wir durch doppelte Anwendung yon (2.7)

Z4 -Jr- X2 = V(Z4 + X2)2 = V(Z4 __ ~2)2 -~- (2 ZZ2)2

V(Z4 __ y2)2 _~ (2 y z2) z : V(z 4 -~ y2)2 ~ z4 _~_ y2 ,

d. h. x 2 g y2, im Widerspruch zur Annahme y2 < x~.. Also gilt x 2 < y2. Aber die Implikation

O < x < y - - > x 2 < y 2

ist mit (m)/~qnivalent. q . e . d .

3. Konstruktionen yon Semi-0rdnungen

In diesem Kapitel stellen wir einige KonstruktionsmSglichkeiten ffir Semi-0rdnungen auf KSrpern mit Charakteristik Null zusammen. Dabei haben wir zwei Typen besonders im Auge, n/~mlich

(I) topologisehe S. O.

(II) quadratisehe S. 0.

Das Interesse an (II) wurde in Kapitel 2 motiviert, das Interesse an (I) wird sich am Ende dieses Kapitels ergeben (dort finder sich aueh die Definition).

( 3 . 1 ) L e x i k o g r a p h i s c h e S e m i - O r d n u n g e n

Dies ist die einfachste Konstruktion und deshalb aueh am wenigsten leistungsf/ihig.

Es sei ~: ---- <F, 0, 1, -4-, -) ein KSrper mit einer (normierten) S. O. _<, z. B. die rationalen Zahlen mit der fiblichen Anordnung.

Ist nun ~:1 ein ErweiterungskSrper von ~:, so ist ~1 ein Vektorraum fiber ~. Eine Basis y o n ~1 fiber ~ sei etwa

(1 = ) b0, bl . . . . . b~ . . . . (~ < ~),

wobei ~ eine Ordinalzahl ist.

Wir ordnen ~:1 ]exikographiseh, d. h. ist

a ~ xo b~o + . . . ~ xn b~, ,

mit v0 < ... < Vn < ~ und x0 # 0, ein Element ( ~ 0) yon ~1, so deft- nieren wir

0 < a:r < xo.

94 A. Prestel

Dies ist, wie man leicht sieht, eine (normierte) Semi-Ordnung von ~1 und eine Fortsetzung der S. O. yon ~:.

(3.2) JLineare Abbildungen

Diese Methode wurde von L. Szczerba in [11] benfitzt, um echte voll- stiindige S. O. auf den reellen Zahlen ~{ zu konstruieren. Damit wurde die Unabh~ngigkeit des Axioms von Pasch P von den Axiomen A 1.-- A 11. -4-Vollsti~ndigkeitsaxiom 6) gezeigt.

Es sei ~1 ein K5rper mit dem Semi-Positivbereich P ; ~ sei ein Teil- kSrper. ~1 ist Vektorraum fiber ~. Es sei weiter 1 : F1 --> F1 ein linearer Automorphismus von F1 (als Vektorraum fiber F). Das Bild l [P] des Semi-Positivbereichs P ist wieder ein soleher.

(3.3) Beispiel

Ist speziell F1 ---- R und F ein TeilkSrper yon R (z. B. Q) und ist x e R \ F , so dal3 1, x, x 2 fiber F linear unabh~ngig sind, so erweitern wir 1, x, x 2 zu einer Basis yon R fiber F. Der lineare Automorphismus werde gegeben durch l (x2) : -- x 2 und 1 (b) ---- b ffir allo anderen Basiselemen~e. P sei der fibliche Positivbereich von R undo. B. d. A. sei x > 0. Dann gilt

1, x , - - x 2 e l [ P ] ~ - :P1 .

P1 ist also ein echter S. P. Die (Schnitt-)vollstiindigkeit yon --~P1 ergibt sieh aus der von _~p.

(3.6) Semi-Ordnungen in bewerteten K6rpern

Diese Konstruktion ffihrt im allgemeinen zu topologischen S .O. (vgl. (3.13)) und im speziellen auch zu quadratischen S. O. (vgl. (3.11)).

Es sei ~: ---- (F, 0, 1, ~-, .) ein KSrper nnd (G, 0, ~ , < ) eine geordnete, abelsche Gruppe. Weiter sei v : F • ~ G eine Bewertung d. h. es gilt ffir x, y ~ F x

(3.5) v(x y) --~ v(x) + v(y) , v(x + y) ~ min(v(x), v(y)) , v surjektiv.

Den Weft yon 0 definieren wir wie fiblich durch v (0) ---- co; c~ ist grSBer als jedes Element yon G. Es gelten dann ffir x, y e F die einfachen Eigen- schaften

s) Eine Semi-Ordnung heil3t vollsffi~dig, falls jeder Dedekind-Schnitt realisiert wird.


v(1) = 0 ,

v ( - x) = v (x ) ,

v (x) < v(y) - + v (x + y) = v (x ) .

Wie iiblieh definieren wir

o : = { x l v ( z ) > _ o ) ,

: = {x I v ( z ) > o } ,

~1: = {x Iv(x) = o ) .

o ist der Bewertungsring zu v, p das maximale Ideal der Nich te inhe i ten von o, ~ /d ie Einhei tengruppe von o.

Wel te r sei ein Pr~chni t t s : G ---> F x gegeben, d. h. es gilt v (s (g)) = g fiir g e G. s g ib t zu jedem , ,Wer t" g ein E lemen t aus F x mi t diesem Wer t an. Das Auswahlaxiom sichert immer die Exis tenz eines Pr/Csehnittes. Einen Pr~chni t t wollen wir immer dutch s (0) = 1 normieren. Im allgemeinen gil t n icht immer

(3.6) s(gl --~ 92) = S(gl) �9 8(92 ) f i i r g l g2 e G .

Erfii l l t ein Pr/Cschnitt diese Bedingung, so nennen wir ihn einen Schnitt.

Falls < g g [ g e G) ein Sys tem yon S. O. des RestklassenkSrpers o/p ist, so definieren wir fiir x e F x

(3.7) x > 0 : +--~ [x. s v(x) -1] >v(x)[0] �9

Dabei ist [y] die Restklasse des Elementes y e o.

(3.8) Lemma

Is t ~ = (F, 0, 1, + , .) ein Kbrper, (G, 0, -4-, < ) eine geordnete abelsche Gruppe, v eine Bewertung, s ein Pr~schnitt und ( g g [9 ~ G) ein System yon Semi-Ordnungen au] dem RestklassenkSrper o/O, so de/iniert (3.7) eine Semi-Ordnung < mit der Eigenscha]t

v (x) < v (y) ---> y < x

/fir x, y > O. Ist <_o normiert, so auch <.

Beweis :

Wegen v (x o s v @)-1) = v (x) - - v s v (x) = 0 fiir x e F x ist en tweder

[ x . s v(x) -1] <v(x) [0] oder [0] <v(x~ [x �9 s v(x) -1]

Es bleibt zu zeigen

x , y > O - - - > x + y > O .

Sei also 0 < x, y.

1. Fall: v (x) < v (y)

96 A. Prestel

Hier ist v (x) ---- v (x -b y) und y �9 s v (x)-i e p, d e n n v (y �9 s v (x)-l) - - v(y) -- v(x) > O. Also ist [(x • y) �9 s v(x) -1] -~ Ix �9 s v(x)- l ] >v(x) [0]. Dami t ist auch [(x 5= y) �9 s v (x • y)- l ] >v(z~u) [0]. In diesem Fall ist x • > O , d . d . x ~ - y > 0 u n d y < x .

2. Fall: v(x) -~ v(y)

Hier ist [(x ~- y) �9 s v(x) -1] -~ Ix �9 s v(x) -1] -F[Y �9 s v(y) -I] >v(~) [0]. Also ist 0 -~ v((x + y ) �9 sv (x ) -1) = v(x + y ) -- v(x), d. h. v(x + y ) = v(x). Also gilt [(x ~ - y ) s v(x + y)- l ] >v(z+y) [0], d. h. x Jr y > 0.

q . e . d .

(3.9) Beispiel

Es sei ~ ein KSrper mit der Anordnung < . Wir be t rachten den KSrper (X, Y) ----- ( F ( X , Y), 0, 1 + , .) der rationalen Funkt ionen in den Un-

bes t immten X und Y fiber ~:. Wel ter sei v : F (X, Y) -> 7/ • Z die Grad- bewer tung in der Gruppe (• • F, (0,0), + , < ) (mit der lexikographischen Ordnung < yon 7/ • Z), d . h . es ist v ( a X n ym) _~ ( _ n, - - m) ffir n, m e Z, a e F • und der Grad eines Polynoms / in X und Y ist gerade der kleinste Wer t der Monome X " ym in f. Der RestklassenkSrper o/p ist offentsichtlich isomorph zu F . Als Schnit t verwenden wir s ((n, m)) X - n y - re . ~ * bezeichne die inverse Ordnung zu ~ , d . h . a < * b : ~ b < a. _<* ist zwar keine Anordnung mehr, jedoch ist es eine quadrat ische S. 0 . auf ~:.

Wir setzen nun

falls 2 I n V 2 {m __~(n,m)--~ ~ * f a l l s 2 n 4 A 2 4 m .

Die Definit ion (3.7) liefert dann eine normierte S. O. g a u f ~ ( X , Y), ffir die gilt:

O ~ X , Y , - - X Y .

Das nachfolgende L e m m a (3.11) wird zeigen, dab dies sogar eine quadrat isehe S .O. ist. Dami t haben wir bewiesen:

(3.10) Satz

Jeder rationale FunlctionenkSrper in mindestens zwei Unbestimmten aber einem angeordneten KSrper bezitzt eine echte quadratische Semi- Ordnung.

Wir haben noch zu zeigen:


(3.11) Lemma

Unter den Voraussetzungen yon Lemma (3.8) ist < eine quadratische Semi-Ordnung genau dann, wenn aUe <g quadratische Semi-Ordnungen

sind, und wenn ]~tr alle gl, g2 eG, x e o • gilt:

[x] >g, [0] ~ Ix]- [ s(gl) 8(g2)~ ]

Is t 8 ein Schnitt, so heiflt das >g, = >~, + ~ a,"

Beweis :

(a) Es sei < eine quadrat ische S. 0. , dann gilt

1) < u ist eine quadrat ische S. O.

Sei dazu [x] >u [0]. Wir setzen Xl = xs (g ) . Es ist v ( x l ) = v(x) 4-

v s(g) = g, also ist [xl �9 s v(xl) -1] = Ix] > g [0], d . h . xl > 0. Dann ist auch Xl y2 > 0 ftir y e o \ p . Wegen v(x t y2) = g gilt dann

[0] < u [xt y2 s(g)-t] = [x y2] = [x] [y]2.

2) Fiir gl, g2 e G und x e o x gilt

Ix] >o , [o] -~ Ix] . [ 8(gl) 8(g,)21 > . + 2 . [o] . [8 (gt 4- 2 g2)]

Die umgekehr te Richtung ergibt sich hieraus ftir - -x . Sei also Ix] >g, [0]. Wir setzen wieder x l = x s(gl) und erhalten V(Xz) ----- g und xl > 0. Also ist auch 0 < xl s(g2) 2, d. h. wegen v(x t s(g2) 2) = gl 4- 2 g2

�9 [ 8 (g~) ~ (g2)2 l [0] <g, 4-2a, [Xl 8(g2) 2" 8(gt 4- 2 g2) -1] = [x] [8 (gl 4- 2 g2)J

(b) Umgekehr t gelte nun 1) und 2); wir zeigen, dab < eine q. S. O. ist.

Sei dazu x > 0, d. h. [x �9 s v (x)-l] >v(~) [0], und y ~= 0 gegeben. Wi t setzen v(x) = gl, v(y) = g2. Wegen 1) gilt dann

�9 Is (gl + 2 g~)l>g, [01 . Ix 8(gl) -1] [y 8(g2)-1] 2 = [z y2 s(gl 4- 2 g2)-l] [ "s~-l) s(g--~ ]

Wegen 2) und v(x y2) = gl 4- 2 g2 gilt damit

Ix y2 .8 v(x y2)-l] >v(xy') [0] , d .h . x y2 > 0 .

q . e . d .

(3.12) Bemerkung

Besitzt der RestklassenkSrper o/p eine Anordnung _<, und setzt man <g---- ~ ftir alle g e G, so liefert die Definition (3.7) eine Anordnung

9 8 A. Prestel

VOll ~:, f a l l s f i i r g l , ~2@ G i m m e r [8(gl)8({12)1

Schnitt ist da~ erfiillt.)

> [0] ist. (Fiir einen

Beweia :

Es sei 0 < x, y und v (x) = gl, v (y) = g2. Dann ist [x s (gl) -1] > [0] und [y s (g2) -1] > [0]. Also ist auch

Ix y 8(gl + g2) -1] = Ix 8(gl)-1] [y 8(g~)-~] �9 [~(g~) s(g2)] > [0] is(g1 + g~)]

d .h . x y > O . q . e . d .

(3.13) Wir werden in (3.14) zeigen dab diese durch Bewertungen auf definierten S. 0 . im allgemeinen toplogische Semi-Ordnungen sind -- darunter woUen wir S. 0. verstehen, bei denen der KSrper ~ bzgl. der zugehSrigen IntervaUtopologie ein topologischer KSrper ist, d . h . alle KSrperoperationen auf ~ sind in ihrem Definitionsgebiet stetig. Dabei geniigt es, neben der Stetigkeit der Addition und Differenz noch die Stetigkeit der Funkt ionen

! (x) = x 2 , g~(x) = x a ,

fiir a e F in Null zu zeigen (vgl. [15]). 7)

x h(x) -- 1 + x

Unter einem Intervall bzgl. der S. O. < verstehen wir wie iiblich die Menge

(a, b): = {x ]a < x < b}

fiir a, b e F. Die ]Intervalle bilden eine Basis der Intervalltopologie. Eine Basis fiir die Bewertungstopologie erh~lt man durch die Mengen

U g ( a ) : = {x I g < v (a - - x )} .

Is t die Wertegruppe G nicht trivial (G ~={0}), so sind die oben genannten Funkt ionen offensichtlich stetig. Also ist ~ bzgl. der Bewertungstopologie ein topologischer KSrper.

(3.14) Satz

Unter den Voraussetzungen yon Lemma (3.8) mit G ~ {0} stimmt die IntervaUtopologie bzgl. der Semi-Ordnung (3.7) mit der Bewertungs- topologie von c~ aberein.

7) Pftr Char ~ ~ 0 ist x y = 1/4 [(x + y)2 _ (x - - y)2].

Euklidische Geometrie ohne das Axiom von Pasch 99

B e w e i s :

(a) Es sei zuerst ein Interval l (a, b) und ein x ~ (a, b) gegeben. Wir setzen g ---- max(v(a - - x) , v ( b - - x)) und zeigen U g ( x ) c (a, b). Is t y ~ Ug(x) ,

so gilt wegen v (a -- x) < v (x -- y):

v(a - - y) = v((a - - x) ~- (x - - y)) -= v(a - - x) .

Also gilt wegen (y -- x) s v (x -- a) -1 e p

[(y - - a) s v ( y - - a) -1] ~-~ [(x - - a) 8 v ( x - - a) -1] ~- [(y - - x) s v ( x - a) -1]

[(x - - a) s v ( z - - a) -1] > v ( x - a ) [0].

Also haben wir x - a > 0, d . h . a < x. Analog erhalten wir x < b.

(b) Umgekehr t sei ein Ug(a) und ein x E U g ( a ) gegeben. Dann ist g < v ( x - - a). Wir setzen g l : -= v ( x - - a ) ftir x # a und gl > g ftir x = a. Es sei o. B. d. A. s ( g l ) > 0. Wirze igen ( x - - s ( g l ) , x @s ( g l ) ) c Ug(a). Is t y e ( x - s (g l ) , x ~ s (g l ) ) , so ist

(x -- a) -- s (91) < y -- a < (x -- a) + s (gl) .

Wegen a E Ug (a) sei y ~: a. Dann fiihrt im Falle 0 < y -- a das L e m m a (3.8) zu

g < ~1 ~ V((X - - a) -+- 8(~1)) ~ v ( y - - a ) ,

d. h . y e Ug(a) . Der Fall y -- a < 0 ftihrt zu g < gl <_ v ( s ( g l ) - - (x - - a))

_< v (a -- y) also aueh y e Ug (a). q . e . d .

Dieser Satz zeigt insbesondere, dab alle S .O. auf dem bewerteten KSrper ~:, die (ftir G # {0}) durch eine Definition (3.7) gegeben sind, zu der gleichen, n/imlich der Bewertungstopologie fiihren. Unter diesen S. O. sind unter Umst/~nden auch Anordnungen zu l inden (vgl. 3.12)).

4. Semi-Ordnungen in Potenzreihenkiirpern-Unabhgngigkeiten

In diesem Kapi te l wollen wir das Konst rukt ionsverfahren (3.4) ftir topologische S. O. auf den Spezialfall der formalen PotenzreihenkSrper anwenden. Hierbei werden die Verh/~ltnisse besonders iibersichtlich sein. Es ]assen sich dann leicht u. a. die in Kapi te l 2 angektindigten Unabh/~n- gigkeiten beweisen.

Es sei wieder wie in (3.4) ~--~ (F, 0, 1, + , .} ein KSrper und (G, 0, -4-, <} eine nicht-triviale, geordnete, abelsche Gruppe.

F ( ( G ) ) bezeichne die Menge der /o rmalen P o t e n z r e i h e n

a = E ~xg xg mit ~g ~ F . geG

Dabei soll der T r d g e r von a, die Teilmenge {g e G I ~g # 0} von G, durch

100 A. Prestel

die Ordnung < von G wohlgeordnet sein. In einer exakten mathe- matischen Definition ist die Potenzreihe a nichts weiter als die Abbildung

o~ : G---> F

mit der obigen Nebenbedingung an den Tr~ger (yon cr

Auf F ((G)) erklErt man Addition und Multiplikation ftir Potenzreihen a = Z ~g xe und b = e Zf l a x~ durch

g e G eG

a - b b = Z (r162 xg #e G

a . b = Z ( Z oce, flea) x~ g e G gz, g ~ e G

gz + gz = g

F wird in F((G)) eingebettet durch ~ - > ~ x 0 ftir ~ ~ F . Das System

~((a) ) : = (F((G)), 0, 1, + , .~

ist ein KSrper (vgl. Fuchs [2]), der KSrper der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten aus F und Exponenten aus G. Auf ~:((G)) gibt es eine natiirlicho Bewertung, ni~mlich

v(a) ---- das kleinste g e G mit ~g ~ 0.

Wie man sofort sieht, ist der RestklassenkSrper

-

Fiir alle weiteren Untersuchungen in diesom Kapitol wollen wir F -~ R vorau~setzen. Auf R gibt es zwei quadratischo S. 0. , ni~mlich die tibliche, eindeutig bestimmte Anordnung _~ und die dazu inverse Ordnung _< * mit x < * y ,-, y < x fiir x, y ~ R. W~hlen wir nun zu jedem g E q als S. O. <~ auf dem RestklassenkSrper (d. h. auf R) mit <~ = < odor < e =--<*, so liefert uns die Konstruktionsmethode (3.4) durch die Definition

a > 0 : ~ [a- s v(a) -1] >v(a) [0]

eine Semi-Ordnung auf R ((G)). Dabei w/ihlen wir als Schnit t natiirlieh

8(g) = xg.

( 4 . 1 ) L e m m a

FUr die ]ormale Potenzreihe a -~ Z o~ xe # 0 aus dem KSrper ~:((G)) g e q

g i l t / a t n e r :

( l ) a - Z - 1 - ~(~) ---- 0%(a) x ~ ~ ~'g xg fiir passende Yv ~ F , ge(~

--v (a) < r

(2) (3bz~j((G))a=b"~--~(:~gzG)(3flzF)[v(a) = n g hotv(,,)=fl'].


Beweis :

Mit p = {a e ~((G)) ] v(a) > 0} ist (p, 0, 4-) eine addit ive und (1 4- P, 1, .) eine mult ipl ikative Gruppe. Diese sind isomorph (vgl. Ucsnay [14]). Wir sehreiben nun a in der Form a = ~ r x ~<a~ (1 4-c) m i t c e p. Is t dann v(a) = n g und avr = fi~, so a = (fi xe(1 -4- d)) ~ fiir ein d e p, da jedes E lement aus der Gruppe (p, 0, + ) durch n teilbar ist. Dies zeigt eine Richtung yon (2); die andere Richtung und (1) sind trivial.

q . e . d .

Aus (4.1) (2) ergibt sich sofort, dab R ((G)) immer Elthagoreisch ist. W/~hlen wir fiir jedes g e G : < g = < , so erhal ten wir nach Bemerkung (8.12) eine Anordnung yon R ((G)), die natiirliehe, lexikographisehe Anordnung. Also ist R ((G)) auch [ormal-reeU.

Wir setzen jetzt ] : G -+ { 4- 1, - - 1} mit

/ ( g ) = { § falls < g = < -

- 1 falls < a = _ < * ,

< ! sei dann die durch ] mit Hilfe yon (3.7) festgelegte S. O. yon R ((G)).

(4.2) l . emma

Sind <--I und R ((G)) w/e oben de/iniert, so gilt mit den Bezeichnungen yon Kap. 2

(1) (2) (3) (4)

< ! er/iillt (ms) ~ (V gz g2 ~ G)/(gz) = / ( g z -4- 2 g2), < I erliiZlt (s) ~ (V g e G) 1(2 g) = / ( 0 ) , < ! er/i~llt (in) ~ (V 9 e G) /(g) = ] ( - - 9), < ! er/iillt immer (h) .

Beweis :

(1) ergibt sich unmit te lbar aus L e m m a (3.11).

(2) und (3) sieht man mit (4.1) sofort ein, denn fiir die Potenzreihe a # 0 gilt immer

a > I 0 ~--~ lay(a)] >via) [0].

U m (4) einzusehen, seien die Potenzreihen a, b > s O gegeben, d . h . [av~] > v ~ [0] und [flv~b~] >v<b~ [0]. Zu zeigen ist

1 C : - - a _ Z + b > I 0 .

Falls v(a) < v(b), so ist v(b -1) < v(a-1), also ist v(c) = v(b) und rv<c~ = flv~b~. Falls v(a) = v(b), so ist offonsiehtlich

102 .4. Prestel

1 ~ v { c ) - - - 1 - 1 "

%(a) ~- fly (b)

In beiden Fiillen ist [~v(r >v(c) [0], d. h. c > ! 0. q . e . d .

(4 .3) Satz

Bez~glich der Theorie der /ormal-reeUen und pythagoreischen KSrper mit einer topologischen, normierten Semi-Ordnung ist die Implikationskette

(m) --> (ms) ---> (in) --> (h) ~ (8)

echt, d. h. /ar keine Implikation gilt die Umkehrung. Welter sind (s) und (in) unvergleichbar, d. h. (s) -~ (in) und (in) -~ (s).

Beweis :

Wir brauchen nur noch die oben definierte Funkt ion ] so zu w~hlen, dal3 die S. O. < ! in R ((G)) ftir passendes G die geforderten Bedingungen erftillt oder nicht effiillt; dabei wird Lemma (4.2) beniitzt. R ((G)) ist formal-reel] und pythagoreisch, wie oben festgestellt. --<z ist nach Satz (3.14) topologisch, falls G nicht trivial ist.

Bis auf weiteres sei nun G = 7/

(h) -~ (in) und (s) ~ (in) (damit gilt auch (s) ~ (ms)).

Hier sei etwa

/(n)----{ ~-1 fiir 0 _ < n V 2 [ n - - 1 ifir n < 0 A 2 ~ n ,

(in) -~ (s) (damit gilt auch (in) -~ (ms)):

tIier sei etwa /(n)---- { - F 1 fiir n = 0

- - 1 ffir n ~ = 0 .

Nun wiihlen wir G---- 7/• 7/ mit der lexikographischen Ordnung und verfahren analog zu Beispiel (3.9). s)

(ms) ~ (u)

t t ier setzen wir

/(n.m) = { + 1 fiir 2 1 n V 2 1 m - - 1 ffir 2 .4n A 2 ~ m ,

a) Im Beispiel (3.9) konstruierten wir eine echte q. S. O. auf einem nicht-pythagore- isehen KSrper.


(ms) ist dann nach Lemma (4.2) sichergestellt. (m) ist jedoeh verletzt, da x (~ , x (1'~ ~ I 0 aber x(O,1) x(~,o) : x(1,~) ~ ! 0 ist.

q . e . d .

Die reelle Abgeschlossenheit eines formal-reellen und pythagoreischen KSrpers bedeutet, dab jedes Element oder sein Negatives ein Quadrat ist -- dies impliziert, dab es keine echte, quadratische S. O. auf ~ geben kann -- und daB jedes Polynom ungeraden Grades eine Nullstello besitzt. Letzteres ist mit der Existenz einer echten, quadratischen S. O. auf ~: vertr~glich; dies zeigt der

(4.4) Satz

Es gibt einen /ormal-reeUen und pythagoreischen KSrper ~j mit einer eehten, topologischen, quadratischen Semi-Ordnung, in dem ]edes Polynom, dessen Grad keine Zweierpotenz ist, reduzibel ist. Insbesondere besitzt dann ]edes Polynom ungeraden Grades eine NuUstelle.

Zusatz: Ein normiertes Polynmn f~ber diesem KSrper vom Grad 2 ~ ist reduzibel, /alls sein absolutes Glied das Negative einer 2n-ten Potenz eines KSrperelementes ist.

Beweis : rl r2 } Es sei G : ~ + -~2 ~-] rl, r2, 81, s2 e Z , 2 4 S l , 2 4s2 �9

(G, 0, 4 , < ) ist eine geordnete Untergruppe der additiven Gruppe der reeUen Zahlen mit der iiblichen Ordnung. Gist m-teilbar ffir alle ungeraden m e ~, d. h. zu jedem v e G gibt es ein w e G mit m w = v.

Der KSrper ~ ((G)) erffillt nun die Aussagen des Satzes, wenn wir auf ihm die S. O. ~ I folgendermaBen definieren

]Jr1 + r 2 v ~ _ _ f + 1 fiir 2 1 r l V 2 1 r 2 [ s l ] [ s 2 -- 1 fiir 2 4 rl h 2_~1- r~.

Wie im Beweis yon Satz (4.3) erffillt --~I (ms) nach Lemma (4.2) und es ist

x 1, xV~=-~f0 und xl+V2-~fO.

Um die Behauptung fiber die Reduzibilitiit gewisser Polynome zu zeigen, benfitzen wir, dab jeder formale PotenzreihenkSrper bzgl. seiner natfir- lichen Bewertung maximal bewertet ist. Ffir solche KSrper gilt das Folgende (vgi. [8]):

Is t 91 ein ErweiterungskSrper von endlichem Grad fiber ~:, so liiBt sich die Bewertung von ~: mit Bewertungsring o, maximalem Ideal p und

104 h. Prestel

Wertegruppe G eindeutig zu einer Bewertung mit den Bestimmungs- stricken ol, Pl, G1 yon ~1 fortsetzen, dab gilt

[ g l : g ] = [a l : G] [o~/~1 : 0 /~] .

Ist dann ] ein irreduzibles Polynom, dessen Grad durch eine Primzahl p ~= 2 teilbar ist, so gilt wegen o/p ~ R offenbar p I[GI:G]. Dies ist jedoch nicht mSglich, da G p-teilbar ist. Ist n~mlich g e G1 mit p g e G, so ist auch g e G, da G als geordnete Gruppe torsionsfrci ist.

Zum Beweis des Zusatzes betrachten wir ein Polynom / ( X ) = X e ~ + . . . - a 2n mit Koeffizienten aus R ((G)) und nehmen an, os sei irreduzibel. Dann ist auch das Polynom g ( X ) : a -2~/(a X ) = X 2~ + . . . - - 1 irreduzibel. Frir jeden maximal bewerteten KSrper gilt Hensels Lemma (vgl. [8]). Deswegen haben insbesonderc alle Koeffi- zienten eines irreduziblen Polynoms Werte grSBer odor gleich dom Minimum der Werte des ersten und letzten Koeffizienten (vgl. [8]). Also ist g(X) e o[X].

Im RestklassenkSrper o/p ~ R zeff~llt g (X) in Potenzen yon quadra- tischon und linearen Polynomen. Zerf~llt es dabei in zwei teflerfremde Faktoren, so gilt dies nach Hensels Lemma auch in R ((G)) (Widorspruch). Die F~ille g(X) =- (X 2 + a X + fl)2n-1 odor g(X) ~ (X + fl)2~ (rood p) sind jedoch ebonfalls unmSglieh, da das absolute Glied yon g(X) auch (mod p) die Zahl --1 ist.

q . e .d .

In diosom Kapitel wollen wir absehlioBond die Frago behandeln, ob sich die Eigenschaft einer Semi-Ordnung topologisch zu sein analog zu den in Kapitel 2 behandelten geometrischen Eigenschaften als eine Abgeschlossenheitsbedingung dos zugehSrigen Semi-Positivbereichs for- mulieren l~iBt. Die Forderung der Stetigkeit der in (3.13) angegebenen Funktionen in Null ist eine V3V-Aussage. Eine Abgeschlossenheits- bedingung w~ire eine spezielle V-Aussagc. Wir zeigon, dab dies nicht mSglich ist.

(4.5) Satz

In der Theorie der normiert semi-geordneten, pythagoreischen, /ormal- reellen KSrper ist die Stetigkeit der Multiplikation keiner V-Aussage dquivalent.

Bowels:

Wir nehmen an, die Stetigkeit der Multiplikation w~re einer V-Aussage aquivalent; dann mriBte sie sich yon jedem normiert semi-geordneten, pythagoreisehon und formal-reellen, in dem sic gilt, auf jedon Unterk5rper


mit denselben Eigenschaften iibertragen. Wir geben dazu ein Gegen- beispiel an.

Es sei wieder R ((7/)) der KSrper der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten aus R und Exponenten aus 7/. Dieser KSrper ist (wie oben gezeigt) formal-reell und pythagoreisch. Wir wi~hlen jetzt die in (3.3) angegebene echte, vollst~ndige Semi-0rdnung yon ~; diese werde mit g ' bezeichnet. Fiir jedes n e 7/ setzen wit _~n = _~' und definieren mit (3.7) eine normierte Semi-0rdnung g auf R ((7/)) (als Sehnitt verwenden wit nach wie vor s (n) ---- x" fiir n E 7/).

ist dann nach Satz (3.14) topologisch. Also ist die Multiplikation in R ((7/)) bzgl. _~ stetig. Nach dem oben Gesagten w~re dann die Multiplikation bzgl. ~ ' in R stetig. Da _~' vollst~ndig ist, ergibt sich in bekannter Art die Dichtheit der rationalen Zahlen bzgl. _~'. Dies und die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. ~ ' implizieren jedoch, da6 ~ ' eine Anordnung sein mii6te. (Widerspruch).

q . e . d .

5. Q-reguli/re Semi-Ordnungen

Von den in (3.4) eingefiihrten Semi-Ordnungen zu Bewertungen des KSrpers F haben wit fiir die Unabhi~ngigkeitsbeweise im Abschnitt 4 nur den Spezialfall gebraucht, wo die Semi-0rdnung ~g des Restkla~sen- k6rpers ~/p zum Wert g entweder eine lest vorgegebene Anordnung yon ~/p oder deren inverse war. Solche Semi-Ordnungen lassen sieh sehr einfach axiomatisieren.

(5.1) Lemma

Es sei ~ = (F, 0, 1, + , .~ ein KSrper, (G, O, +, <~ eine angeordnete, abelsche Gruppe, v: F• G eine Bewertung, s ein Pr~chnitt (mit 8(0) --~ 1), _~o eine Anordnung des RestklassenkSrpers ~/p und ~--o die zu go inverse Anordnung. Ist dann ~g -~ ~_o oder ~_~ /ar alle g e G, so de/iniert (3.7) eine normierte Semi-Ordnung ~ mit den Eigenscha/ten

O ~ x A l ~ y ~ 2 - ~ O ~ x y ,

I'I l < x ~ ~ < 1 .

Beweis:

Naeh Lemma (3.8) definiert

x > 0 ~ [x . s v (x ) - l ] > ~ (~ [0]

eine normierte S.O. yon F mit~ der Eigensehaft v (x) < v (y) ~ y < x fiir x, y > 0. Also folgt aus 1 ~ y _~ 2 damit v (y) = 0. Dann gilt wegen

106 A. Prestel

[x �9 s v(x) -1] >v(x) [0] auch

[x y" s v(x y)-l] = [x" s v(x) -1] [y] >v(xy) [0],

d .h . x y > 0 fiir x > 0.

Ist 1 < x, so ist v(x) g 0.

1. Hall: v (x) = 0. I-Iier ist v = v = v(x • 1) = :g.

Wegen [(x • 1) s(g) -1] >g [0] und [x] >o [0] ist dann auch

[x.=t=lx s(g)-l] > ' [ 0 ] ' d ' h " 1 1 < 1 .

2. Fall: v(x) < O. Hierist v(x • l } = v(x) = : g. Also ist v(X ~ 1)- = O.

Wegen [(x • 1) s(g) -1] >g [0] und [xs(g) -1] >g [0] gilt dann

q . e . d .

Wir wollen eine Semi-Ordnung mit

(5.2) 0 < x A l < y < _ 2 - - - > 0 < x y

l < x - + ~ < 1

als Q-rNul~r bezeiehnen.

Die erste Forderung ist offenbar tiquivalent mit

O ~ _ x A r < y ~ _ s - - > O ~ _ x y

f i irr , s e Q , O < r , s .

Es gilt der folgende Darstellungssatz

(5.3) Satz

Die Q-regul~ren normierten Semi-Ordnungen <_ au] einem KSrper F sind genau die]enigen, zu denen es eine Bewertung v: F x ---> G, einen Prdschnitt s (mi t s (O)= 1) und eine archimedische Anordnung g o des RestklassenkSrpers der Bewertung gibt, so da f t / a t x e F x und g e O gilt:

(a) x > 0~-~ Ix. s v(x)-l] >v(~) [0],

(b) < g = _<o oder _<~.

Beweis:

Ist F bzgl. _< archimedisch, so folgt, da$ _< eine Anordnung ist. Wir verwenden dann die triviale Bewertung v : F • -+ {0}.

Euklidische Geometrie ohne das Axiom von Pasch 107

Es sei also F bzgl. < nicht archimedisch. Dann definieren wir

o = ( x ~ F l ( ~ r e Q ) I x l _< Irl} ,

p = { x e F l ( V r e Q • I~< Irl}.

Wir zeigen, dal~ o ein Bewertungsr ing u n d p sein maximales Ideal ist.

o ist trivialerweise addi t iv abgeschlossen. Seien x, y e o, o. B. d. A. x, y > 0. Mit x ist ftir passende r, s e Q, 0 < r , s auch r 4- x e o und s < r • x. Mit (5.2) gilt dann 0 < (r :]= x) y -= r y -4- x y , d. h. I x y l < r y .

Also ist auch x y e o, d . h . o ist ein Ring. Ftir y e p, zeigt dies sogar x y e p. Da p wieder trivialerweise addi t iv abgeschlossen ist, ist p also ein Ideal yon o. Aus (5.2) folgt weiter

1 X

Also ist o ein Bewertungsring, und O das Ideal dot Nicht -Einhei ten .

Wir setzen ~1 = o \ p . Als Bewer tung erhal ten wir dann fiir x ~ F

v(x): = x/ i l .

Die (bier mul t iphkat ive) Wer tegruppe ha t die F o rm

G = (F• l l~ , . , ~•

mit p x : = ON{0}. Dabei ist Ox/~l der Posi t ivbereich der Anordnung dieser Gruppe.

Es ist

v (x) < v (y) 4-~De f X y-1 e p �9

Die Eigenschaf ten der Bewer tung sind je tz t (mult ipl ikat iv geschrieben)

v (x) = 0/il ~-* x = 0 ,

v(xy) = v(z) v(y) ,

v(x + y) <__ max(v(x), v(y)) .

Zum Beweis des Satzes nehmen wit eine addi t ive Umschre ibung vor.

Wir w/ihlen je tz t i rgend einen Pr/ /schni t t s mi t s (0) ---- 1 und definieren ftir y E o \ 0 und g ~ G

[y] > g [0] e-~ y s (9) > 0 .

Wenn die Unabh/ingigkeit dieser Defini t ion vom Ver t re te r y yon [y] gezeigt ist, so l iefert dies offensiehtlich eine S. 0 . auf dem Restklassen-

kSrper o/p. I s t z ~ O, so ist auch z e P. Also ist y

1-4- z _ Y -+- z E o \ O und yA-____zz>0. Y Y Y

108 A. Prestel

Mit (5.2) folgt dann

(Y A- z) s (g) = y A-____~z Y s (g) > O. Y

Das zeigt die Unabh/ingigkeit vom Vertreter.

U m (a) zu zeigen, setzen wir einfach y = x . s v ( x ) - l . Es ist dann v (y) ---- O, also y e ~ \ p.

U m (b) zu zeigen, be t rachten wir erst go . Es gilt

[Y] > o [ 0 ] ~ y > 0

ftir y ~ o-,p. Hieraus ersieht man unmit te lbar , daf~ _<o archimedisch ist. Wegen (5.2) ist g o sogar eine archimedische Anordnung. Es sei nun [x] > g [0] und [y] > o [0] ftir x, y ~ o \ p und 9 E (7. Dann ist x s ( g ) > 0

und y > 0, also auch x y s ( g ) > 0, d . h . [xy] >g [0]. Ftir x = 1 bzw. x ---- - - 1 folgt daraus

[y] > o [0] -> ([y] > g [0] ~--* [1] >~ [0]).

Daraus erhalten wir g g = _<o oder G o .

q . e . d .

1 x - - 1 1 0 < - - - - - - 1 - - - - . 1 x x

x _ l + 1

q . e . d .

Fa s t alle yon uns be t rachte ten Semi-Ordnungen waren topologisch (vgl. (3.13)). Von quadrat ischen S. O. zeigt es sich, dab diese immer topologisch sind. Die yon SZCZERBA in [11] eingefiihrten S. O. waren alle vollst~ndig, d . h . sie realisierten alle Dedekind-Schnit te . Es zeigt sich, dab beide Eigenschaften nur bei Anordnungen zusammentreffen. Dieses

Aus 1 < x folgt dann

(5.4) Bemerkung:

Aus L e m m a (3.11) und Satz (5.3) orgibt sich ein entsprechender Dar- stellungssatz ftir quadrat ische Semi-Ordnungen. Fiir quadrat ische S. O. kann man in (5.2), der C)-Regularit/it, die zweite Bedingung fallen lassen, denn es gilt

1 < x - > 0 < 1 _<1 X

Beweis :

Aus 0 < z folgt 0 < z = z "

Euklidische Geometric ohne das Axiom yon Paseh 109

u n d w e i t e r e E r g e b n i s s e f iber d ie V o l l s t ~ n d i g k e i t y o n S e m i - 0 r d n u n g e n

soUen e i n e r w e i t e r e n A r b e i t v o r b e h a l t e n b l e iben . 9)

9) Diese Arbeit, sowie die vorliegende und [7] um/assen zusammen die Ergebnisse der Habilitationschrift des Verf. ,,Untersuchungen fiber Pasch-freie Geometrien und semi- geordnete K6rper" an der Universit~t Bonn.

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Eingegangen am 9. 1. 1973

euklidische geometrie ohne das axiom von pasch

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