etude de pendules couples

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ETUDE DE PENDULES COUPLES

B. AMANA et J.-L. LEMAIRE

-Etude de Pendules Coupls. Page - 2

ETUDE DE PENDULES COUPLESModes et frquences propres

I. Buts de l'tude

Il s'agit dans ces expriences d'tudier les modes de vibration de pendulescoupls. Les frquences propres seront directement mesures et on observera l'effetdu couplage sur leurs valeurs. Il sera possible d'tudier l'effet des conditions initialessur les modes observs.

Le systme pourra comporter deux, trois ou plusieurs pendules coupls. Cespendules pourront tre identiques ou non.

Si on dispose de plusieurs postes de travail (carte d'acquisition +ordinateur) ilpeut tre intressant de comparer les rsultats obtenus simultanment sur chacun despendules coupls.

Ce TP peut galement servir tudier les caractristiques de fonctionnementde la transforme de Fourier (TF) sur les signaux enregistrs: frquenced'chantillonnage, dure de l'enregistrement .., ainsi que sur des signaux simuls.

Le dispositif exprimental propos peut facilement tre adapt l'tude desoscillations forces d'un systme de pendules coupls.

2

-Etude de Pendules Coupls. Page - 3

II. Prsentation thorique

Seul un bref rappel thorique correspondant aux expriences sera prsent iciainsi que les principales relations ncessaires leur interprtation. Tous les rsultatsne seront pas dmontrs, le soin est laiss au lecteur de les tablir compltement sincessaire.

Un des systmes proposs est reprsent sur la figure 1. Il est constitu de troispendules identiques de masses M et de moment d'inertie I par rapport aux points desuspension O1, O2 et O3. Le centre de masse d'un pendule est appel Gi, et L =OiGi. Les pendules sont coupls au moyen de ressorts identiques de constante derappel k et de masse ngligeable face la masse des pendules.Les ressorts sont fixs une distance d du point de suspension des pendules. Les deuxressorts extrmes,identiques aux prcdents servent obtenir un couplage nullorsque les pendules sontverticaux (ils ne sont pas indispensables, mais les calculs sont diffrents, sans).

3

-Etude de Pendules Coupls. Page - 4

. . . .

.

d L

k k k k

1 23

1 2 3

. .G1

G2 G3

Alimentation

Entres logiques

Sysam Eurosmart

PCCarte d'acquisition

Fichiers sur DD

Codeur qque

Codeur 1 Codeur 2 Codeur 3

M M M

Pendules coupls Informatiss

J.L. Lemaire Universit de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon

Figure 1

Roue codeuseAlimentation

Entres logiques

4

-Etude de Pendules Coupls. Page - 5

BNC (Oscillo)

Entres logiques SYSAM

Voie 0 Voie 1Masse

Secteur

Connecteur DIN 6 vers le pendule

Dtail des branchements

Roue codeuseAlimentation

Entres logiques

Sysam Eurosmart

PCCarte d'acquisition

Pendule Informatis pdagogique

Fichiers sur DD

J.L. Lemaire Universit de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon

Figure 2 5

-Etude de Pendules Coupls. Page - 6

II.1. Systme de 2 pendules coupls (par 1 seul ressort)

On obtient, de faon classique, l'quation diffrentielledu mouvement d'un pendule,dans l'hypothse des petits angles d'oscillation, l'aidedu thorme du momentcintique, soit:

I 1 = MgL1 + kd2(2 1)

Les deux quations correspondant aux deux pendules coupls(par 1 seul ressort maissans liaison gauche et droite avec une paroi fixe) formentun systme d'quationscouples:

MgL + kd2

I1

kd2

I2 + 1 = 0

kd2

I1 +

MgL + kd2

I2 + 2 = 0

Ce systme peut s'crire sous forme matricielle en utilisant les matrices:

=12

et =

1 2

En posant: 0 =MgL

I et =

kd2

MgL le systme s'crit:

02A + = 0 o A=

(1+ ) (1+ )

La matrice A a pour valeurs propres 1 et 1+ 2

A ces deux valeurs propres correspondent les frquences propres

f1 = f0 f2 = f0 1+ 2

Il apparat vident que le mode correspondant la frquencef1 sera obtenu seullorsque les deux pendules sont lchs l'instant initial d'angles gaux avec desvitesses identiques. Le systme se comporte ds lors comme un pendule unique, lesressorts de couplage ne jouant aucun rle.On peut montrer que l'autre mode est obtenu lorsque les deux pendules sont lchs l'instant initial avec des angles opposs et avec des vitesses de mme module mais desens opposs.

6

-Etude de Pendules Coupls. Page - 7

Remarque: On pourra traiter, titre d'exercice le cas de 2 pendules coupls, avec liaison surles parois (comme sur la figure 1), soit directement soit selon la mthode quivalente

indique en II.3. f1 = f0 1+ f2 = f0 1+ 3

II.2. Lagrangien du systme de 3 pendules coupls

(consulter pour plus de dtails, entre autres, le livre de Mcanique de Pierre Brousse- collection U - librairie Armand Colin.

Soit S un systme matriel de solides dont la position priori est fonction denparamtres indpendantsqi et ventuellement du tempst. L'nergie cintique dusystmeS, fonction des (2n +1) variablesq i , q i , t est dsigne parT. La forcegnralise de l'union des efforts sur chaque solide est note Qi{ }. Alors toutmouvementqi (t) sous l'action des efforts considrs satisfait auxn quations deLagrange:

d

dt

T q i

Tqi

= Qi (1)

Dans le cas particulier o les efforts exercs surS ne dpendent que desqi et det , etdonc drivent d'une fonction de force (c'est--dire lorsqu'il existe une fonctiondiffrentiableU(q,t) telle que la force gnralise de ces efforts soit le gradient de U

dans Rn ) soit Qi = Uqi

(2)

L'quation (1) devient:d

dt

T q i

Tqi

= Uqi

(3)

ou encored

dt

L q i

Lqi

= 0 (3')

o L (q, q , t) = T (q, q , t) U (q, t) est appel le lagrangien du systme.

Les coordonnes gnralises qui permettent de dcrire la dynamique du systmesont les angles i (i=1,2,3) (voir figure 1).

De plus, dans toute la suite, on ngligera les frottements.

L'nergie cintique du systme vaut:

7

-Etude de Pendules Coupls. Page - 8

T =1

2I ( 1)

2 + ( 2)2 + ( 3)

2( ) (4)

L'nergie potentielle du systme est la somme des nergies potentielles des masses etdes ressorts.

Pour un dplacementi , la masse pendulaireMi est dplace d'une hauteurhi = L (1 cosi) d'o une nergie potentielle de Wi = Mg L (1 cos i).

L'nergie potentielle de chacun des ressorts vaut:

ressort 1 Wp1 =1

2k x1

2 avec x1 = d.1

ressort 2 Wp2 =1

2k (x1 x2)

2 avec x2 = d.2

ressort 3 Wp3 =1

2k (x2 x3)

2 avec x3 = d.3

ressort 4 Wp4 =1

2k x3

2

D'o l'nergie potentielle totale qui vaut:

U = Mg L(3 cos1 cos2 cos3) +1

2kd2 1

2 + (1 2)2 + (2 3)

2 + 32( )(5)

Ainsi le lagrangien L vaut:

L =1

2I ( 1)

2 + ( 22) + ( 3)

2( ) MgL(3 cos1 cos2 cos3)

1

2k d2 12 + (1 2)

2 + (2 3)2 + 3

2[ ] (6)

II.3. Equations du mouvement du systme de 3 pendules coupls

On considre les mouvements limits aux petits angles i .

En appliquant la formule (3') o lesqi sont remplacs par lesi , on obtient lesquations suivantes dcrivant la dynamique du systme:

8

-Etude de Pendules Coupls. Page - 9

I 1 + (MgL + 2kd2)1 kd

22 = 0

I 2 kd21 + (MgL + 2kd

2)2 kd23 = 0

I 3 kd22 + (MgL + 2kd

2)3 = 0.

(7)

Pour dterminer les frquences propres, il est avantageux d'utiliser un formalismematriciel; les 3 quations prcdentes peuvent tre mises sous la forme:

I 0 0

0 I 0

0 0 I

1 2 3

+

MgL +2kd2 kd2 0

kd2 MgL +2kd2 kd2

0 kd2 MgL + 2kd2

123

=0

0

0

(8)

ou encore avec des notations plus concises:M + K = 0

o M est la matrice des moments d'inertie et K la matrice des rigidits.

On introduit pour simplifier les critures ultrieures la quantit =kd2

MgL

En utilisant les quations aux dimensions, dterminer les dimensions de .En fait, est un paramtre proportionnel au couplage k.Rcrire la matrice de [K] en fonction de .Dterminer la matrice dynamique [A] dfinie par:A[ ] = M[ ]1 K[ ] .

II.4. Frquences propres du systme de 3 pendules coupls

En rsolvant l'quation caractristique:A[ ] 1[ ] = 0 (voir cours d'Algbre de L2),

o 1 est la matrice identit, on obtient les valeurs propres de la matrice A qui valent:

1 =MgL

I(1+ 2 2 )

2 =MgL

I(1+ 2 )

3 =MgL

I(1+ 2 + 2 )

(9)

Les valeurs propres sont en fait les carrs des pulsations propres.

9

-Etude de Pendules Coupls. Page - 10

En appelant0 =MgL

Ila pulsation propre d'un pendule libre, les 3 pulsations

propres du systme sont:

1 = 0 1+ (2 2 )

2 = 0 1+2

3 = 0 1+ (2 + 2 )

ou encore, en introduisant les frquences fi donnes par fi =i2

:

f1 = f 1+ (2 2)

f2 = f 1+2

f3 = f 1+ (2 + 2)

(10)

On vrifie aisment que 2 f22 = f1

2 + f 32 (11)

Les trois vecteurs propres associs aux valeurs propres dtermines plus hautsont:

V1 =

1

2