etude de pendules couples

ETUDE DE PENDULES COUPLES

B. AMANA et J.-L. LEMAIRE

-Etude de Pendules Couplés. Page - 2

ETUDE DE PENDULES COUPLESModes et fréquences propres

I. Buts de l'étude

Il s'agit dans ces expériences d'étudier les modes de vibration de pendulescouplés. Les fréquences propres seront directement mesurées et on observera l'effetdu couplage sur leurs valeurs. Il sera possible d'étudier l'effet des conditions initialessur les modes observés.

Le système pourra comporter deux, trois ou plusieurs pendules couplés. Cespendules pourront être identiques ou non.

Si on dispose de plusieurs postes de travail (carte d'acquisition +ordinateur) ilpeut être intéressant de comparer les résultats obtenus simultanément sur chacun despendules couplés.

Ce TP peut également servir à étudier les caractéristiques de fonctionnementde la transformée de Fourier (TF) sur les signaux enregistrés: fréquenced'échantillonnage, durée de l'enregistrement .., ainsi que sur des signaux simulés.

Le dispositif expérimental proposé peut facilement être adapté à l'étude desoscillations forcées d'un système de pendules couplés.

2


II. Présentation théorique

Seul un bref rappel théorique correspondant aux expériences sera présenté iciainsi que les principales relations nécessaires à leur interprétation. Tous les résultatsne seront pas démontrés, le soin est laissé au lecteur de les établir complètement sinécessaire.

Un des systèmes proposés est représenté sur la figure 1. Il est constitué de troispendules identiques de masses M et de moment d'inertie I par rapport aux points desuspension O1, O2 et O3. Le centre de masse d'un pendule est appelé Gi, et L =OiGi. Les pendules sont couplés au moyen de ressorts identiques de constante derappel k et de masse négligeable face à la masse des pendules.Les ressorts sont fixésà une distance d du point de suspension des pendules. Les deuxressorts extrêmes,identiques aux précédents servent à obtenir un couplage nullorsque les pendules sontverticaux (ils ne sont pas indispensables, mais les calculs sont différents, sans).

3


. . . .

.

d L

k k k k

θ1 θ2θ3

Ο1 Ο2 Ο3

. .G1

G2 G3

Alimentation

Entrées logiques

Sysam Eurosmart

PCCarte d'acquisition

Fichiers sur DD

Codeur qque

Codeur 1 Codeur 2 Codeur 3

M M M

Pendules couplés Informatisés

J.L. Lemaire Université de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon

Figure 1

Roue codeuseAlimentation

Entrées logiques

4


BNC (Oscillo)

Entrées logiques SYSAM

Voie 0 Voie 1Masse

Secteur

Connecteur DIN 6 vers le pendule

Détail des branchements

Roue codeuseAlimentation

Entrées logiques

Sysam Eurosmart

PCCarte d'acquisition

Pendule Informatisé pédagogique

Fichiers sur DD

J.L. Lemaire Université de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon

Figure 2 5


II.1. Système de 2 pendules couplés (par 1 seul ressort)

On obtient, de façon classique, l'équation différentielledu mouvement d'un pendule,dans l'hypothèse des petits angles d'oscillation, à l'aidedu théorème du momentcinétique, soit:

I Ý Ý θ 1 = −MgLθ1 + kd2(θ2 −θ1)

Les deux équations correspondant aux deux pendules couplés(par 1 seul ressort maissans liaison à gauche et à droite avec une paroi fixe) formentun système d'équationscouplées:

MgL + kd2

Iθ1 − kd2

Iθ2 + Ý Ý θ 1 = 0

− kd2

Iθ1 + MgL + kd2

Iθ2 + Ý Ý θ 2 = 0

Ce système peut s'écrire sous forme matricielle en utilisant les matrices:

Θ =θ1

θ2

et Ý Ý Θ =

Ý Ý θ 1Ý Ý θ 2

En posant: ω0 =MgL

I et µ =

kd2

MgL le système s'écrit:

Θω02A + Ý Ý Θ = 0 où A=

(1+ µ ) −µ−µ (1+ µ )

La matrice A a pour valeurs propres 1 et 1+ 2µ

A ces deux valeurs propres correspondent les fréquences propres

f1 = f0

f2 = f0 1+ 2µ

Il apparaît évident que le mode correspondant à la fréquencef1 sera obtenu seullorsque les deux pendules sont lâchés à l'instant initial d'angles égaux avec desvitesses identiques. Le système se comporte dès lors comme un pendule unique, lesressorts de couplage ne jouant aucun rôle.On peut montrer que l'autre mode est obtenu lorsque les deux pendules sont lâchés àl'instant initial avec des angles opposés et avec des vitesses de même module mais desens opposés.

6


Remarque: On pourra traiter, à titre d'exercice le cas de 2 pendules couplés, avec liaison surles parois (comme sur la figure 1), soit directement soit selon la méthode équivalente

indiquée en II.3. f1 = f0 1+ µ

f2 = f0 1+ 3µ

II.2. Lagrangien du système de 3 pendules couplés

(consulter pour plus de détails, entre autres, le livre de Mécanique de Pierre Brousse- collection U - librairie Armand Colin.

Soit S un système matériel de solides dont la position à priori est fonction denparamètres indépendantsqi et éventuellement du tempst. L'énergie cinétique dusystèmeS, fonction des (2n +1) variablesq

i, Ý q

i, t est désignée parT. La force

généralisée de l'union des efforts sur chaque solide est notée Qi{ }. Alors toutmouvementqi (t) sous l'action des efforts considérés satisfait auxn équations deLagrange:

d

dt

∂T

∂ Ý q i−

∂T

∂qi

= Qi (1)

Dans le cas particulier où les efforts exercés surS ne dépendent que desqi et det , etdonc dérivent d'une fonction de force (c'est-à-dire lorsqu'il existe une fonctiondifférentiableU(q,t) telle que la force généralisée de ces efforts soit le gradient de U

dans Rn ) soit Qi = −∂U

∂qi(2)

L'équation (1) devient:d

dt

∂T

∂ Ý q i−

∂T

∂qi

= −∂U

∂qi(3)

ou encored

dt

∂L

∂ Ý q i−

∂L

∂qi

= 0 (3')

où L (q, Ý q , t) = T (q, Ý q , t) − U (q, t) est appelé le lagrangien du système.

Les coordonnées généralisées qui permettent de décrire la dynamique du systèmesont les angles θi (i=1,2,3) (voir figure 1).

De plus, dans toute la suite, on négligera les frottements.

L'énergie cinétique du système vaut:

7


T =1

2I ( Ý θ 1)

2 + ( Ý θ 2)2 + ( Ý θ 3)2( ) (4)

L'énergie potentielle du système est la somme des énergies potentielles des masses etdes ressorts.

Pour un déplacementθi , la masse pendulaireMi est déplacée d'une hauteurhi = L (1− cosθi) d'où une énergie potentielle de Wi = Mg L (1− cosθ i).

L'énergie potentielle de chacun des ressorts vaut:

ressort 1 Wp1 =1

2k x1

2 avec x1 = d.θ1

ressort 2 Wp2 =1

2k (x1− x2)2 avec x2 = d.θ2

ressort 3 Wp3 =1

2k (x2 − x3)

2 avec x3 = d.θ3

ressort 4 Wp4 =1

2k x3

2

D'où l'énergie potentielle totale qui vaut:

U = Mg L(3− cosθ1 − cosθ2 − cosθ3) +1

2kd2 θ1

2 + (θ1 − θ2)2 + (θ2 − θ3)2 + θ32( )(5)

Ainsi le lagrangien L vaut:

L =1

2I ( Ý θ 1)

2 + ( Ý θ 22) + ( Ý θ 3)2( )− MgL(3− cosθ1− cosθ2 − cosθ3)

−1

2k d2 θ1

2 + (θ1− θ2)2 + (θ2 − θ3)2 + θ3

2[ ] (6)

II.3. Equations du mouvement du système de 3 pendules couplés

On considère les mouvements limités aux petits angles θi .

En appliquant la formule (3') où lesqi sont remplacés par lesθi , on obtient leséquations suivantes décrivant la dynamique du système:

8


IÝ Ý θ 1 + (MgL + 2kd2)θ1 − kd2θ2 = 0

IÝ Ý θ 2 − kd2θ1 + (MgL + 2kd2)θ2 − kd2θ3 = 0

IÝ Ý θ 3 − kd2θ2 + (MgL + 2kd2)θ3 = 0.

(7)

Pour déterminer les fréquences propres, il est avantageux d'utiliser un formalismematriciel; les 3 équations précédentes peuvent être mises sous la forme:

I 0 0

0 I 0

0 0 I

Ý Ý θ 1Ý Ý θ 2Ý Ý θ 3

+

MgL +2kd2 − kd2 0

− kd2 MgL +2kd2 − kd2

0 − kd2 MgL + 2kd2

θ1

θ2

θ3

=0

0

0

(8)

ou encore avec des notations plus concises:M Ý Ý θ + Kθ = 0

où M est la matrice des moments d'inertie et K la matrice des rigidités.

On introduit pour simplifier les écritures ultérieures la quantité µ =kd2

MgL

En utilisant les équations aux dimensions, déterminer les dimensions de µ .En fait, µ est un paramètre proportionnel au couplage k.Réécrire la matrice de [K] en fonction de µ.Déterminer la matrice dynamique [A] définie par:A[ ] = M[ ]−1

K[ ] .

II.4. Fréquences propres du système de 3 pendules couplés

En résolvant l'équation caractéristique:A[ ]− δ 1[ ] = 0 (voir cours d'Algèbre de L2),

où 1 est la matrice identité, on obtient les valeurs propres de la matrice A qui valent:

δ1 = MgL

I(1+ 2µ − 2µ )

δ2 =MgL

I(1+ 2µ )

δ3 =MgL

I(1+ 2µ + 2µ )

(9)

Les valeurs propres sont en fait les carrés des pulsations propres.

9


En appelantω0 =MgL

Ila pulsation propre d'un pendule libre, les 3 pulsations

propres du système sont:

ω1 = ω0 1+ (2 − 2 )µ

ω2 = ω0 1+2µ

ω3 = ω0 1+ (2 + 2 )µ

ou encore, en introduisant les fréquences fi données par fi =ωi

2π:

f1 = f° 1+ (2 − 2) µ

f2 = f° 1+2µ

f3 = f° 1+ (2 + 2) µ

(10)

On vérifie aisément que 2 f22 = f1

2 + f 32 (11)

Les trois vecteurs propres associés aux valeurs propres déterminées plus hautsont:

V1 =

1

2

1

V2 =1

0

−1

V3 =

1

− 2

1

et permettent d'écrire la solution des équations de mouvement couplées.Les 6 constantes d'intégration nécessaires à la connaissance complète du mouvement(A, B, C, ϕ1, ϕ2, ϕ3) peuvent être déterminées à l'aide des conditions initiales(élongation et vitesses des trois pendules à t=0).

θ1

θ2

θ3

= A

1

2

1

cos(ω1t + ϕ1) + B

1

0

−1

cos(ω2t + ϕ2) + C

1

− 2

1

cos(ω3t + ϕ3) (12)

En choisissant convenablement les conditions initiales, on peut exciter unmode de vibration particulier. Mais, en règle générale, avec des conditions initialesquelconques, le mouvement d'un des pendules est la superposition des trois modes devibration, ce qui donne un mouvement d'apparence très compliquée (la relation (12)est la somme des trois fonctions sinusoïdales de périodes etd'amplitudes différentes,ou somme de Fourier). Par exemple:

10


θ1 = Acos(ω1t + ϕ1) + Bcos(ω2t + ϕ2) + Ccos(ω3t + ϕ3)

II.5. Modes propres du système de 3 pendules couplés

A partir des équations (12), on peut montrer qu'il est possible d'exciter tel outel mode propre en fixant les conditions initiales. Montrerqu'il est possible de fairevibrer les 3 pendules successivement avec les pulsationsω1,ω2,ω3, avec lesconditions initiales respectives suivantes:

a) mode 1 :

Vitessesinitiales nulles

θ2 initial = 2 θ3 initial

θ1 initial = θ3 initial

1.414 xx x

b ) mode 2 :

Vitesses initiales nulles

θ2 initial = 0

θ1 initial = − θ3 initial

x -x

c) mode 3 :

Vitessesinitiales nulles

θ2 initial = − 2 θ3 initial

θ1 initial = θ3 initial

x x-1.414 x

Il est également intéressant de rappeler une autre définition équivalente desmodes propres (parfois appelés modes normaux): ce sont les modes d'oscillation quicorrespondent à des fréquences telles que chacun des éléments du système oscille àla même fréquenceet avec des amplitudes qui sont, pour chacun d'eux,indépendantes du temps. En dehors des fréquences des modes propres le mouvementde chaque élément du système résulte d'une combinaison linéaire des fréquencespropres, comme on l'a vu précédemment.

11


II.6. Influence du couplage sur les fréquences propres

On appelle f1 la fréquence fondamentale du système (la plus basse), et µ est leterme de couplage (voir ci-dessus). On appelle f0 la fréquence d'oscillation d'unpendule libre.

Comment évoluent théoriquement les fréquences propres fi lorsque la distanced varie? Il sera intéressant de représenter graphiquement l'évolution des rapports defréquences propres fi/f0 en fonction de la distance d.

Que se passe-t-il lorsque d → 0 ?

II.7. Généralisation des résultats précédents pour un système de n pendulescouplés

La matrice qui intervient dans le problème est la généralisation à n dimensions de lamatrice vue à 3 dimensions; elle s'écrit:

MgL + 2kd2 − kd2 0 .. .. . 0 0

−kd2 MgL + 2kd2 − kd2 .. .. . 0 0

0 − kd2 MgL + 2kd2 .. .. . 0 0

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. ..

0 0 0 .. .. . MgL + 2kd2 − kd2

0 0 0 .. .. . − kd2 MgL +2kd2

n6 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Sa résolution est obtenue par une méthode mathématique classique de récurrence.

Pour n=4 les fréquences propres ont pour valeurs:

12


f1 = f0 1+ µ 2 − 3+ 52

f2 = f0 1+ µ 2 −3 − 5

2

f3 = f0 1+ µ 2 +3− 5

2

f4 = f0 1+ µ 2 +3 + 5

2

Et pour n=5:f1 = f0 1+ (2 − 3)µf2 = f0 1+ µf3 = f0 1+ 2µf4 = f0 1+ 3µf5 = f0 1+ (2 + 3)µ

A tout hasard, s'il vous arrive de pouvoir coupler 6 ou 7 pendules:

f4,3 = f0 1+ (2 ± 0.6671 )µf5,2 = f0 1+ (2 ± 1.1167 )µf6,1 = f0 1+ (2 ±1.3423 )µ

et

f4 = f0 1+ 3µf5, 3 = f0 1+ (2 ± 0. 8746 )µf6 ,2 = f0 1+ ( 2 ±1.1891 )µf7,1 = f0 1+ ( 2 ±1.3594 )µ

III. Analyse harmonique ou de Fourier

Il est bien connu que toute fonction périodiqueS (x) et de périodeT peut êtredéveloppée en série de Fourier, sous la forme:

S(x) = ao +∞∑n=1

an cos(2πnx / T) + bnsin(2πnx / T)

où an et bn représentent les coefficients de Fourier de S (x).

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A partir de l'enregistrement de S(x), échantillonné sous laforme d'une série depoints, on peut calculer la valeur numérique de (an2 + bn2) qui représente le spectrede S (x) et qui donne la contribution de la fréquence n/T dans le signal S (x).

Dans le cas de 3 pendules, on observe un spectre de Fourier ) S ( ν ) composé de 3

pics aux fréquencesf1, f2 et f3. Le signalS (x) est donc bien la somme de 3 fonctionsharmoniques.

Il peut éventuellement apparaître une quatrième composante à la fréquence 0 siles oscillations ne sont pas centrées sur zéro (en général à la suite d'une mauvaisesynchronisation au lancement de l'acquisition). La fréquence 0 correspond à la valeurconstante du décalage angulaire du zéro. Elle peut être supprimée sans inconvénienten recentrant le signal sur 0.

La transformation de Fourier sera effectuée à l'aide d'une fonction de calcul FFTincluse dans le logiciel d'acquisition et de traitement de données écrit spécifiquementpour le pendule informatisé (Pend2009).

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IV. MATERIEL UTILISE

IV.1. Les pendules

Les pendules utilisés sont constitués d'une barre cylindrique métallique. Uneextrémité de la lame est fixée sur un axe horizontal solidaire d'une roue codeuse. Lecapteur optique fixé à la roue codeuse envoie des impulsionsà un PC via une carted'acquisition Eurosmart (figures 1 et 2).Un logiciel d'acquisition de données nomméPend2009 permet d'enregistrer lesimpulsions du capteur en fonction du temps. On peut ainsi déterminer le déplacementangulaire de chaque pendule en fonction du temps. Le logiciel inclut également desfonctions de calculs spécifiques à l'étude des pendules.

IV.2. Couplage des pendules

Les pendules sont couplés à l'aide de ressorts très légers. La distance d entrel'axe et les points de couplage peut être facilement changéegrâce à un systèmeconstitué d'un crochet capable de coulisser sur le bras du pendule.

IV.3. Logiciel d'acquisition de données

Le logiciel maison Pend2009 écrit sous Windows et conçu Pour le département de Physique de l’Université de Cergy-Pontoise permetd’acquérir et d’afficher les déplacement du pendule. Les données acquises peuventensuite être stockées sous forme de fichiers ASCII pour des traitements ultérieurs.

Manuel d’Utilisation du Logiciel PEND2009

Le logiciel se trouve dans le répertoire Pendule. Il est vivement recommandé aux étudiants de lire soigneusement le manueld’utilisation ci-après.

Les différents menus de Pend2009 sont les suivants: Fichiers, Acquisition,Traitements , A propos…

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Menu Fichiers

Le menu Fichiers comme dans la plupart des logiciels écrits sous Windowscontient des sous-menus Ouvrir, Enregistrer, Enregistrer Sous, ConfigurerImprimante, Imprimer et Quitter.

Fichiers/Ouvrir :permet d’ouvrir uniquement les fichierspréenregistrés sous Pend2009 et d’afficher les courbescorrespondantes.

Fichiers/Enregistrer : comme son nom l’indique permet desauvegarder les fichiers des données acquises dans un fichier sousformat texte et d’extension .pdd .

Fichiers/Enregistrer Sous : sert à enregistrer les données de lacourbe affichée sous un nom différent du précédent.

Fichiers/Config. Imprimante : permet de sélectionner l’imprimante surlaquelle devra s’effectuer l’impression des courbes.

Fichiers/Imprimer: pour lancer les taches d’impression.

Fichiers/Quitter: pour arrêter Pend2009.

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-Etude de Pendules Couplés. Page - 17Menu Acquisition

L’acquisition se fait simultanément sur les 4 voies de la cartes (possibilité deconnecter jusqu’à 4 pendules). Les onglets situés en bas de la fenêtre degauche (voir ci-dessus) permettent d’y afficher les résultats du pendulesélectionné. Dans la fenêtre de droite on a l’affichage des courbes des 4voies. Les onglets situés en haut des 2 fenêtres permettent d’afficher lescourbes des écarts angulaires en fonction du temps ou de calculer lesréponses fréquentielles (FFT).

Connexions:

Voies EA0 et EA1 pour le pendule 1 Voies EA2 et EA3 pour le pendule 2 Voies EA4 et EA5 pour le pendule 3 Voies EA6 et EA7 pour le pendule 4

Masse commune pour tous les pendules.

Acquisition/Paramètres d’Acquisition

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On pourra régler la période d’échantillonnage en millisecondes(base de temps), le nombre de points (qui doit être depréférence une puissance de 2) de même que le nombre dependules connectés.

Acquisition)/Acquérir

Le menu à partir duquel va s’effectuer l’acquisition proprementdite. Il faut dans un premier temps mettre le ou les pendules aurepos afin d’effectuer le repérage de l’origine des écartsangulaires ; on devra ensuite amener le ou les pendules au(x)point(s) de départs, le(s) lâcher et le(s) laisser osciller un instantavant de commencer l’enregistrement en validant par la toucheRETURN. On peut à tout moment interrompre l’acquisition enappuyant sur la touche Q ou Fin.

Menu Traitements

Ce menu contient un certain nombre d’outils permettant de voir ou d’effectuerdes calculs sur les données acquises ou de régler au mieux l’affichage decourbes sur l’écran.

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-Etude de Pendules Couplés. Page - 19Loupe : permet de définir les limites de la courbe à afficher. Le retour àla courbe initiale se fait via le menu Annuler Loupe

Curseur :donne les coordonnées de la position courante du curseur.Très utile pour les mesures.

.Centrage sur Zéro :permet de centrer sur l’axe des abscisses les courbesaffichées.

Menu A Propos… :Informations sur le logiciel Pend2009.

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V. TRAVAIL DEMANDE

V.1. Présentation théorique

Répondre aux questions posées dans la section II

V.2. Mesure du moment d'inertie des pendules

Il s'agit d'abord de déterminer les caractéristiques du pendule de base.

Utiliser un pendule libre (non couplé). A partir du schéma d'un pendule pesant, montrer que, pour de petites oscillations lapériode du pendule est liée au moment cinétique par:

T = 2πI

MgL

(voir par exemple le livre de Mécanique de G.Bruhat- Edition Masson).L: distance du centre de masse à l'axe du penduleM: masse pendulaire; la valeur de M est donnée en salle de TP.I : moment d'inertieg: accélération de la pesanteur

Après avoir démonté la barre du pendule toujours munie de sa masse, la placeren position horizontale, perpendiculairement à un axe horizontal (votre doigt parexemple). Rechercher la position d'équilibre et déterminer la position du centre degravité.

- Connecter la sortie du pendule au boîtier d'acquisition- Lancer le logicielPend2009(voir procédure de lancement et d'utilisation dulogiciel).- Ecarter le pendule d'un angle faible et le lâcher.- Faire l'acquisition des données.- Déterminer à l'aide des curseurs la période propre du pendule.- Déduire la valeur du moment d'inertie I.

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V.3. Mesure de la constante de rappel des ressorts

La valeur de la constante de raideur des ressorts est donnée en salle de TP.Si le temps le permet, vous pourrez effectuer la mesure de la constante de

raideur en fin de TP.

V-4 Procédure de détermination des fréquences propres.

- Connecter l'un des pendules d'extrémité au boîtier d'alimentation.

- Connecter le boîtier d'alimentation aux entrées logiques0 et 1 du boîtier deconnexion à la carte d'acquisition.

V.4.1. Procédure d'enregistrement

Se référer au manuel d’utilisation dePend2009. Donner des noms de fichierssimples. Noter dans un tableau la valeur de d (distance axe dupendule et point defixation du ressort de couplage) et le nom donné au fichier.

V.4.2. Calcul de la FFT.

Cette fonction est incluse dans le logicielPend2009, sans avoir besoin d'utiliser unautre logiciel. On utilisera si nécessaire la fonctionTraitement/Centrage sur Zéroqui permet de recentrer approximativement sur l’axe des temps un enregistrement quiserait décalé en Y par suite d’un retard au lancement du pendule. Il est néanmoinsintéressant d’observer l’effet sur la FFT de l’existence d’un continu superposé ausignal oscillant.

V.5. Etude des modes propres du système de 3 pendules couplés

L'étude sera faite pour la plus grande valeur de d, c'est-à-dire celle qui donne lecouplage maximum.

- Exciter successivement chacun des modes propres indiquésdans la théorie duparagraphe -II.5.-

- Enregistrer les courbes, déterminer successivement (à l’aide de l’outil FFT)les fréquencesf1, f 2, f 3 en mode acquisition simple (fenêtre de gauche) en suivant lesinstructions du paragraphe précédent puis les comparer à chaque fois à cellesobtenues en modes acquisition multiple (fenêtre de droite).

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- Observer pour chaque mode propre sur les courbes enregistrées en modeacquisition multiple les phases relatives des trois pendules.

- Qu'observe-t-on sur le signal du pendule central?

-Conclure.

V.6. Evolution des fréquences propres du système de 3 pendules couplés enfonction du couplage

Ici, on ne cherche pas à exciter un mode de vibration particulier. Il suffitd'écarter un des pendules de sa position d'équilibre puis del'abandonner sans vitesseinitiale. Pour une valeur de d donnée, on enregistre le signal délivré par la rouecodeuse de l'un des pendules. En effectuant la transformée de Fourier du signalenregistré on observe trois pics caractéristiques des 3 fréquences propres.

- Déterminer les trois fréquences propres pour 4 valeurs de ddifférentes et lesconsigner dans un tableau.

-Imprimer les courbes obtenues.

-Tracer la courbe donnant les fréquences propres en fonction de d.

-Les fréquences obtenues dans chaque cas vérifient-elles la relation (11)? Comparer ces fréquences aux prévisions théoriques.

- Conclure.

V.7. Etude des modes propres du système de 2 pendules couplés

- Etude à effectuer selon le schéma précédent.

- Trouver les conditions initiales nécessaires pour exciter les modes propres.

- Etudier la variation des fréquences propres en fonction du couplage.

- Deux types d'études sont possibles: avec ou sans les 2 ressorts d'extrémité.Retrouver les fréquences théoriques.

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