estudos de sistemas lineares de três equações e três incógnitas
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Estudos de Sistemas Lineares (de três equações e três incógnitas): Posições relativas entre três planos no espaço, classificação dos sistemas, resolução algébrica e construção dos gráficos através do software WinPlot.TRANSCRIPT
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ESTUDOS DE SISTEMAS LINEARES DE TRÊS EQUAÇÕES
E TRÊS INCÓGNITAS
Simone de Freitas de SouzaUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEIME - Instituto de Matemática e EstatísticaLANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
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A dificuldade comum na aprendizagem da Geometria Analítica, que é a junção da Álgebra com a Geometria, é a interpretação e análise visual, pois o desconhecimento de propriedades de geometria plana e espacial prejudica a compreensão dos tópicos relacionados a essa disciplina. A falta desses conhecimentos fundamentais também pode acarretar dificuldades na visualização de objetos geométricos. (MOTA et LAUDARES, 2013).
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A imagem mental está associada à visualização dos objetos.
OBJETO GEOMÉTRICO (Gravina, 1996)
componente conceitual: expressa propriedades que caracterizam uma classe de objetos.
componente figural: corresponde à imagem mental que associamos ao conceito.
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Estudos de Sistemas Lineares (de três equações e três incógnitas):
Posições relativas entre três planos no espaço
Classificação dos sistemas Resolução algébrica Construção dos gráficos através do software
WinPlot, programa freeware (gratuito), que executa no Windows (disponível para download em:
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html)
Definição do projeto
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Objetivos e metas do projeto
Associar cada uma das três equações do sistema linear a um gráfico do plano no R³.
Construir o gráfico das equações no WinPlot, definindo cada plano de equação ax+by+cz+d=0 por um ponto (k,m,n) do plano (quaisquer conjuntos de valores para as coordenadas x, y e z que satisfaçam a equação) e um vetor perpendicular a ele (a, b, c).
Visualizar os três gráficos juntos e classificar o sistema em Sistema Possível e Determinado, Sistema Possível e Indeterminado ou Sistema Impossível.
Comparar o resultado visualizado (geométrico) com o resultado algébrico do sistema resolvido.
Apurar a visão geométrica espacial do aluno. Associar a construção da figura espacial ao seu conceito pela
observação e manipulação do gráfico no WinPlot. O aluno deverá fazer plotagem dos gráficos no aplicativo
computacional Winplot e, através de suas observações, classificar o sistema dado, de acordo com suas interseções.
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O objetivo é articular a teoria com a prática, por meio de construções geométricas com a função de gerar o pensamento que interpreta a álgebra visualmente para que possa atribuir significado a um conceito e, aos poucos, produzir generalizações através das regularidades.
A compreensão do conceito é melhor obtida na busca da ampliação do pensamento geométrico.
Através dos questionamentos, da investigação da solução e das comparações que os estudantes fazem que o conhecimento é construído e novas descobertas feitas.
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Público alvo
Segundo ano do Ensino Médio, quarto bimestre.
No estudo dos diferentes tipos de soluções algébricas dos sistemas lineares de três equações e três incógnitas e suas classificações.
Quando utilizar
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USANDO A FERRAMENTA COMPUTACIONALComo construir o gráfico do plano no WinPlot?Siga os passos dados para cada sistema abaixo,
composto pelo conjunto das equações de três planos:
Descrição da forma de emprego do projeto
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Pelo aplicativo WinPlot, acione a opção JANELA, 3-Dim encontre a opção de construção do gráfico do plano na aba Equação e plano.
Represente graficamente os três planos dados de cada sistema da seguinte forma:
-Informe os parâmetros a, b e c (vetor perpendicular ao plano) da forma ax+by+cz+d=0
-Complete (k, m, n), um ponto pertencente ao plano, isto é, quaisquer valores de x, y e z que satisfaçam a equação dada.
- Altere o tamanho do quadrado para 100 (ou mais, quando necessário para visualizar as interseções).
Após plotar os três gráficos juntos, classifique como Sistema Possível e Determinado, Sistema Possível e Indeterminado ou Sistema Impossível (visualmente, de acordo com suas posições).
Verifique algebricamente a sua solução e compare.
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QUESTÕES
I. Após a verificação algébrica e a construção geométrica para determinar a classificação de cada sistema, qual o método preferido por você? Por que?
II. Sobre o sistema IV, o que se pode observar sobre as representações gráficas desses planos? O que há em comum nas suas equações?
III. Qual a equação geral do plano que possui as mesmas características daquelas representadas no sistema IV?
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APROFUNDANDO UM POUCO MAIS...
IV. Quantas são as posições relativas possíveis entre três planos?
V. Crie sistemas com as equações lineares que não foram representadas anteriormente, com o auxilio do WinPlot.
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Soluções esperadas da construção do gráfico do Sistema (pelo WinPlot)
xy
z
plano{[1,2,3];(1,0,0)}plano{[1,2,1];(-2,0,0)}plano{[-2,-4,2];(0,0,0)}
SISTEMA 1:
Sistema Possível e Indeterminado (uma reta na interseção).
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x
y
z
plano{[2,1,1];(1,0,0)}plano{[4,2,2];(0,0,-1)}plano{[1,1,0];(-1,-1,0)}
SISTEMA 2:
Sistema Possível e Indeterminado (uma reta na interseção).
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x
y
z
plano{[3,1,5];(0,1,0)}
plano{[2,1,2];(0,0,-1)}
plano{[2,-3,1];(0,0,0)}
SISTEMA 3:
Sistema Possível e Determinado (uma ponto na interseção).
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x
y
z
plano{[1,1,5];(10,0,0)}
plano{[1,1,5];(-21,0,0)}
plano{[1,1,5];(0,0,0)}
SISTEMA 4:
Sistema Impossível (interseção vazia).
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Soluções esperadas para as questões dadas
I. Resposta pessoal.II. São planos paralelos. Durante a
construção do gráfico no WinPlot é fácil observar que os valores dos vetores (a,b,c) de cada plano são iguais, isto é, (a,b,c)=(1,1,5), mas as equações são distintas.
III. x+y+5z+d=0, d podendo assumir qualquer valor real.
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IV. Oito Posições Possíveis para a interseção entre três planos.
V. Exemplo de soluções:
Sistema Possível e Indeterminado (um plano na interseção).
x
y
z
plano{[1,1,1];(0,0,1)}
plano{[2,2,2];(0,0,1)}
plano{[3,3,3];(0,0,1)}
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x
y
z
plano{[1,1,1];(0,0,1)}
plano{[2,2,2];(0,0,1)}
plano{[3,3,3];(0,0,10)}
Sistema Impossível (interseção vazia)
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x
yz
plano{[2,1,1];(0,0,0)}
plano{[2,2,2];(0,0,1)}
plano{[3,3,3];(0,0,10)}
Sistema Impossível (interseção vazia)
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x
y
z
plano{[1,9,1];(0,0,0)}
plano{[1,8,8];(-9,-8,-7)}
plano{[0,0,1];(0,0,2)}
Sistema Impossível (interseção vazia)
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OBSERVAÇÕES
O trabalho paralelo das representações algébrica com a geométrica amplia o entendimento e a associação no processo de ensino-aprendizagem de planos e noção do espaço.
A visualização da figura espacial sempre contribui para o desenvolvimento do pensamento geométrico e é fundamental, para o seu domínio, o esboço detalhado do gráfico em diversas posições.
O WinPlot facilita a manipulação da figura espacial, sua rotação, ampliação e diversos meios de visualização apura o domínio do objeto de estudo e de suas propriedades, possibilitando uma melhor interpretação de sua equação e de seus elementos.
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Bibliografia
MOTA, J. F.; LAUDARES, J. B. Um Estudo de Planos, Cilindros e Quádricas, na Perspectiva da Habilidade de Visualização, com o Software Winplot. Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 46, p. 497-512, ago. 2013
GRAVINA, M. A. Geometria Dinâmica: Uma Nova Abordagem para o Aprendizado da Geometria. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO, 7., Belo Horizonte, 1996. Anais... Belo Horizonte: SBC, 1996. p.1-13. CD-ROM.