estudio del triángulo

22
! !" ! #$ ! " # " % & & ’( ) * & * ’+,* ’ )’ *+, ’ - (* ’*+,’ * . /’0’+,*+1’,* 0 )+1’ , ’+,* ’’+,*0/* ( 0* 0 ’ +,** ’+ ,0 ,’’+,*/* 0’0* * 0 ) ’’ * *’+ ,0 - ’’ 0 2, /* 0 )* * ) ’’+,*0 ’ 0 , * 0 +,* ,’’+,*’0,* 0 0+,* 0 ,’’+,*’0,’+,*+,00 ( ,’ ’+,* 0 " (,’ ’+,* , 0 3!4 0 ’+,* Δ )Δ &. -- 5 -- - 6 5 6 ) 6 5 6 -’’*’+,*’+,* 7 2, -- 5 -- -(0,/’*,0-)*,+(* *( 0 ’+,’ ,(’+ -- -- - ( 8 (* - -- 9 -- ’, -- *+’ -- 5 -- *(0’+,’- Δ )Δ ’ +,* ’’ 6 5 6 6 5 6 - 6 5 6 ’ )- ’’ 6 : 6 ;,’ ’0/’ !,+ -- 5 -- )( *( 0 ’+,’ 3!!4 - Δ )Δ ’ +,* 7’’+,*/* )*’0’+,*+,* 7 Δ *2, -- 5 -- ( Δ )Δ- ’’0 ’ ,’ 2, -- 5 -- - -- 5 -- ) 6 5 6 -00,-(*( 0’+,’-2, Δ 5 Δ ’’ 6 5 6 (’-,(’+2,’ Δ 6 5 6 (’,&’*’+,* Δ ) Δ %- -- 5 -- - 6 5 6 ) 6 5 6 (* ’0 *+,’0 0’+,’-,* Δ 5 Δ )’’ -- 5 --

Upload: hoangdung

Post on 02-Jan-2017

229 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

����������� ����

� ��

��

��

����������� ��

���� ������� ������ �������� ��������������������������������������� � ��!������������!����"����!���� �����������������#$������������!�"��#���

������������� ������ ��� ������������� �"� %���� & ��� &�� �� ��'��(��� ) �������� ��*�� &�� � *�� �� �'+,*��� �' ���� ) �' �* � +, �'�� ����-���(*����������'�*+,'������

�*�� . ��� /'0��� �'+,*����+1'�,�*�0��)��+1'�,��'+,*����'�� �'+,*���0 �� �/���*��� (����0��*�0����' +,�**�'+ �,0�� �����,'�� �'+,*� �/���*��0�'0�*��*�0����)��� �'�'*�� ���*�'+ �,0-�'��'�����0 ��2,������ �/���*��0������)*�����*����)���

�'�� �'+,*���0 ������������ � �'���0���,�*�0�� +,�*���� ,'�� �'+,*�� �'���0���,�*�0��0�� +,�*����0 ������� �

� ,' �� �'+,*� � �'� ��0�� �,��'+,*���+,0�� ��0 ������� ����� (����,'�'+,*������ ��0 �� ���� ��������� ����"� (����,'�'+,*���,����0 ������ ����

����������������� ������ ���������������3�!�4

� 0���� �'+,*��∆���)∆������&�� . ��'��−−

5����−−

-�6 5�6 �)�65�6 �-�'��'���*���� �'+,*����' +,�*���

����7 ��������� 2,� ��−−

5 ����−−

- (�� ��0,�� /' �* ��,�0�- ) *,�+� �(* ������� �* (� ��� �� ��� � 0���'+�,�'� ��

�,(�'+������−−

≠����−−

�����-(���8��(*�-��−−

9����−−

���'���, ���������−−

�*��+��'����−−

5����−−

����*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �-∆���)∆��������' +,�*����'��'�����6�5�6 �����������6 �5�

6-

������6�5�6���������������'����)�-�'��'�����6�:�6;,'���'���0 �� /'�!,�+���−−

5����−−

)(���*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �3!�!4-∆���)∆��������' +,�*����

������7�'�� �'+,*��� �/���*��� )��*�� � �'�0���'+,*�� +,�*���

����7���∆�����*2,���−−5��

−−�� ���(������∆���)∆���-��' �'0��'�,�'��2,���−−

5��−−

-

��−−

5��−−

)�65�6-��0�0,��-(���*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �-2,�∆���5∆�����'��'����6 5�6�

����(������'��-�,(�'+����2,��'∆������6 5�6����(������',�&���'��*���� �'+,*��∆���)

∆�����%���-��−−5��

−−-�6 5�6)�65�6 ��(* ��'0��*��+,'0��� ��� �0���'+�,�'� �-���,*��∆���5

∆���)�'��'�����−−5��

−−��

����������� ���

� �

� ��

��

��

��

������7�','�� �'+,*� �/���*��*���0 �'���*�� &��*������ ����� <)�*�,���

����7���∆���,'�� �'+,*� �/���*��0������−−)���#�*(,'����0 �0�*����-0���0�2,��#

−−��*�

��0 �'�������(�'0 �'��������#−−

5#�−−

-��−−

5��−−

)�6 5�6-0�*(� ����� ��� �0���'+�,�'� ���0�0,��2,�

∆��#5∆��#��'��'���#�6�5#�6�-��0�� �-�#−−

��*� ����� <0�*�'+,*��6��0����-����*���'+,*��

�#6 �)�#6 ���'�0)���'���� +,�*��-��'�'+,*����������'��'����#��(��(�'0 �,*�����)�#−−

���*�,��0�*�� �'+,*���

�� ����������� ������ ����������������3!!!4

� 0���� �'+,*��∆���)∆������&�� . ��'��−−

5����−−

-��−−

5����−−

)��−−

5����−−

-�'��'���*���� �'+,*����' +,�*���

����7�����������(� ����-(����0,�� /'�*��,�0�-2,��6 5�6 ���,(�'+�����6 ≠�6 ���'�*��� (*�'�������

�*(,'��� -��*2,���6� 5�

6�-� �����'�*� ������ (*�'�2,����'���(�������)��

−−5����

−−5��

−−�

����*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �∆��� 5∆��������'��'�����−−

5����−−

5��−−

������'��∆�� �)∆�� ���'

�/���*��) � �'�'*�� ��������−−

����� �*(,'����0 �0���−−

�!�� ��+��'�����−−

)��−−

��'��0 �'��0�0 �%���� �'+,*����*�� &���*����-)(���*��������'��� ����'�*�,���0�*���� �'+,*����'��'���-��)����'

0��(��(�'0 �,*������� 2,�(���'(���;������ �(�� *�����*���'��-�6 5�6 �)�(* ��'0��*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �3!�!4���,*��∆���5∆��������

������� ����������������������

�' � ���� ������� 0�,' �� �'+,*� ��,' �'+,*� �0)���'�� �,'�0�*�� �'+,*��0�* �� �'+,*���' ��0�&=�� ��0�*�� �'+,*�%�)0���'+,*���>��� ����-2,���'�(,�����(���*&=�� ���

�'�&�<& ����*�� ��� �0�������(���*�*������,&�������'���,�'� �2,�*��,��0�*�������'+,*��0�,'�� �'+,*��� +,�*�,'�**�'�-0�*�2,����� �'���,&�<*�� +, �'��7

������ ���7�'��0��� �'+,*�-�,�*2, ���'+,*��>��� ���� +,�*�*��,��0�*��0���'+,*�� '��� ����'��0)���'����

����7�'∆���-��'� 0������(���8��(*��*

�'+,*��>��� ����6��0)���'����6 ��'��'���

��6�?�6 5�@AB)�����6 ?�6?�65�@AB-��

0�0,��2,���6�5�6?�6��

����������� ����

���� ��� ��7 �',' �� �'+,*�- �,�*2, �� �'+,*� �>��� �� ����)��2,� �,�*2, ���0�*��0�� �'+,*�� '��� ���� '��0)���'����

��������'��0��� �'+,*�-���)��*�0����(�'���)���'+,*�-)����(������'���

����7�'∆����,(�'+����2,���−−

9��−−

������*(,'��0���−−

��*2,���−−

5��−−

��6�:�6)����∆����� �/���*��-��6�5��6���0������6����'+,*��>��� ��0�∆���)�'��'�����6�9�6 ������'��-�69�6 �

����(������'��-�,(�'+�����69�6 �� .,�����−−

5��−−

-������65�6 �� .,�����−−

:��−−

-�(* ��'0�*�(� ����

(����0�����0�������� /'-���,*������6:�6 ��'��'���-� �69�6 ��*�(,�0������−−

9��−−

��

�������!��,��0�0��*�0��0�,'�� �'+,*�����)��2,��*������*�0��

����7��'� 0������∆���)&�����(����2,���−−

:��−−

?��−−

�����,'(,'��0�*���� ����������*2,�

��−−

5��−−

?��−−

-0���0�2,���−−

5��−−

��'��'���∆����� �/���*��)��6�5�6 �������6�9��6�-�'��'���

��6�9�6 ��(* ��'0��*��������'��� ���∆���-���,*����−−9��

−−-��0�� �-��

−−?��

−−9��

−−��

����������� ����������� ����������������������� ��' (��*���� �*�� ��� �' *�� 2,� �� ����� 0� ��'���, � ,'� . +,�� +���=�� �� ,��'0� ��*���'�� *� ��+*� '�+��0,�0�)�*���(���!���*,� /'0�*(��*�����'� ���'� ��'���'*���'���,�� /'0�*�. +,�������'�>(* ����*��0�0����* <��*�)�'�.���,��*�0�������� /'������(�'0 �'����*(��*�������'� 0������,�*��� ��%���C�*�0��*�=��0�0���'���,�� /'0�*�. +,��)��%�0�������0�2,����* <�'0�*��(���� '0 ��0������ �'��.��� &���'��*�. +,����'*��(��( �0�0��(�0 0���

!���+*����� '���,��'��0���'���,�� �'��+���=�� ���(��� �����<��� ,'�������,�*2, ���-� ,'�������,�*2, ���2,�(���(��,'(,'��)� ,'������2,�(���(��0��(,'���0�0��

��' *� ��+*� '� �� (,�0� ���* <�� ' '+,'� ���� �(���� /'7 '� �� (,�0�' ��'���, � ��+��'���- '� (,�0�' ,� * <����� �,*��'����'��������0��0�*���+*�-����

��' �* ���(��(�0����0���� �0��0�,' ��'���*� � ��,'.���'� �0� ��0 �0�0���'(��� �,*��- �* ���(��(��� ����'���, ��*��+��'�� +,�*�,'��+��'��0�0�-�','���� ������0�0�)�(��� �0�,'(,'��0�0������� !""#$�%&!��&'(&���"��' !&��&)!��%)%�

��� �'�,'��+��'����−−

),'���� ��������'�� +�'�','(,'���)��2, ���0 ,8��,'��+��'������*���� ������-

��','�>������'�)�,)�*�'+ �,0���*�0���−−

���'�*���(����( '�%��'�)�����%������#�'��' �'0�*�����,��0�*���(��-��( '�%��'�)��0 ,8��*������0�*���� ��������'*�� ��,'.���'� �0���'����)��0 �

+,�*���−−

��'��'�����−−

���*��+��'��,���0��

����������� ���D

E

����� !""#$�%&!�*�'!+�"��' !&��&)!��%)%�

��0�,'�'+,*���6�-,'���� ��������),'��� (*�'�α0����� '�0�(��*��������-��2, �����'���, �,'�'+,*�

��'&=�� ���-,'*�0�*���� ��������-��'��0 0� +,�*���6�)��'��' 0��'��'��'����'���0 ,8�,'�� ��,'.���'� �-2,���������*��*�0��0���6��'(,'�����)� �#�'��' �'0�*�����,��0�* ���(�� �� 0 ,8� ,'� 0 ,8� ,'� � ��,'.���'� � ��' ��'��� �' � ) ��' �* � ��� ��0 � 2,� *� �'��� ��� ����� ��,'.���'� ����������','(,'��E����( '�%��*���(���'��)�����%����� ���'������0 0�-��0 ,8�,'�� ��,'.���'� ���'��'����'E������� ��,'.���'� �������*�� ��,'.���'� ��'��� ���'0��(,'�����'�0������(,'���

�����'�*��� (*�'�α)*�**������E ��'��'���E �6E����*�'+,*�,���0��

�'�.����-���−−

5�E�−−

-�� −−

5�E −−

)��� −−

5E�E −−

-0�0�'0�-(���*�������� ��� �0���'+�,�'� �-∆� ���5∆E �E�)

�'��'���E �6E�5� �

6��5��6��

����� !""#$�%&+,!���(&%#�-%&+)(&%#)� #.%&!��&'(&����

��0�,'��+��'����−−

��2, �����'���, ��*(,'����0 �#)*���0 ��� <���0 ,8�*�� ��,'.���'� ���'��'����'�)

��0 ���−−

-)*,�+�*�� ��,'.���'� ���'��'����'�)��0 ���−−

������� ��,'.���'� ���������'�'0��(,'����)E�!�

������E��*���0 ��� <0���−−

)*� '������� /'0��E��'��−−

���*(,'����0 �#��'�.����-*�0 ���'� �0�� ���� +,�*�*�0 ���'� �0����-(,��*��0��� ��,'.���'� �� � �'�'�*� ��� ��0 ���'��'���������'*���0 ��� <���*� �����0�-��&�2,�E�����'*���0 ��� <�

����� !""#$�%&+)/#�&"� #.%&!�*�'!+��

��0�,' �'+,*� ��6�- ���<����,'� � ��,'.���'� �0� ��'��� �- 2,� ������� � *��*�0��0�* �'+,*� �'(,'��� � ) E- ���(��� &���'��� ��' *� � �������,��0�*���(����0 ,8�,'�� ��,'.���'� ���'��'��� �' � ) ���� ��' ��'��� �' E� ����� 0��� ��,'.���'� �� �� �����' �' ,' (,'�� �� !���� ����������*� ����� <0�*�'+,*���� 0�8� ���� �8��� � � 0�������� 2,� ���� �����������

����� !""#$�%&!�� #*�'!+�%&+)%��%)%��0�&�#&�%�&�"!&��)&+ &�!+�)%� &+)�#1�)"# "!�2& &�"#)�3�

��0��������+��'�����−−

-�E−−

)��−−

-��2, �����'���, �,'�� �'+,*�∆�����*2,�-��−−5�E

−−)��

−−5��

−−����,(�'�2,�

�E−−

?��−−

9��−−

���( '�%���'�*���(���'�)�����%����E���'��������,�������<�,'�� ��,'.���'� ���'��'����'��!,�+���( '�%���'�*���(���'�)�����%��������'��������,�������<�,'�� ��,'.���'� ���'��'����'�������� ��,'.���'� ���������'�'0��(,'����� **��������,'�0��**���'��'���∆������*�� �'+,*�,���0�������*������8��� � ��� &�, �/+&()�"+*�#"��

!�� ������� ��� +� �+�� �� '��������' (�� ���� (��*����0� ��'���,�� �'�� +���=�� ���7 *�0,(* ��� /'0�*�,�-*��� ���� /'0�*�'+,*�)*��,�0���,��0�*����,*��

�� !�0,(* ��� /'0�*�,���*(��*�����'� ����'��*�,*���**�0�0�,'�,�2,��,& ���0�*�&�*,��'2,�����0�0�(��& ���'����**�0�2,���,����0���������' 0��(��� �0�*(� � � &���0 �'��*���+*�)�*���(��� �,�'�� *� ���0 � /' 2,� ,'� �( 0�� � ���*/ ���'�� %�� � �* D @ ���� ���� ����� ��' �**� ����'�,*�/�*����,*�0��(�*�-�'��*��-)�*����,*����(�'0 /2,�0���'0,(* ����*&�*,��'0�*�*���0��(�*�-2,���'��.����0��,��!�����' �'���0,(* ����'*��0 ��'� �'��0�*�*���)�'��'����*&�*,��'�� �,*� (* �/ (�� @� � ������'��- *� �( 0�� � '� 0���(���� /� F�� �� +�/������ �.��� ���' ��*,� �'��������� ��� (��� �*�� ) �(��> ��0�� 0�* (��*��� 2,�- � ' 0,0�- ��'�� ,)���' �* 0������**� 0� *��������� �����,& ���'2,�(�����,�%��� +*��(���(�0��(����2,��*(��*���'���'����*,� /'�'*�.�����'2,�*�(*�'����'*��+� �+����'�.����-,� * <�'0�����0�'�0�������� �'���*(��*�������0,��

����������� ���G

�����*&��*���,�� /'��5 -)��(,�0�0��������2,�-(��� �'0�0�,'��+��'��0�*�'+ �,0�-'���(,�0���'���, ���'��+*�)���(��,'��+��'��0�*�'+ �,0� �3���������-�H�I4�

� !� �� ���� /'0�*�'+,*����(����'0��0 & 0 �,'�'+,*��' �����'+,*�� +,�*��-,��'0���*�*���+*�)�*���(�������'���(�� *��'+�'���*)&�� ��������� ��� '���0,8���'�,�&���,> * ����2,�*��� �& ���'0� �),0�- ����(�� �8��(*�- *� ��������� 0�J ( ��� �*������� ��.��'�=� � ����K �'�<�*3�@�DL�@D@40������/2,�,'�'+,*�α���� ����*���'��+*�)���(��� �*(�* '�� �D>�M�>M���3α4����0,� *��

�� !��,�0���,��0�*����,*�����(��'0���*��+� �+��2,�0 ,8�'0�-�/*���'��+*�)���(��-'���(,0 �����'���, �,'�,�0��0�0����� +,�*�*�0�,'����,*�0�0������(��*���(����,(/��,�%��+�'���� �'��0�������� �����&�������.��� ���'��*,� �'���(���'���-�� & �*��)� '��'� 0��J,�������� ���2,�0�0 ����' ,'� +��' (���� 0� �, & 0� � '��'��� ����*&�� �* (��*��� 0� *� �,�0���,�� 0�* ����,*�3�& 0�'����'��� '��'��+, �*�4�!� �(�� * 0�00�*��,�0���,��0�*����,*�.,�(*�'���'��(���0�(��! '0���''�. '�*��0�*� +*�N�N-�*%���0�������0�*����'���'0�'� �0�*'1����π;������-π'�(,�0�������<0�' '+,'���,�� /'�*+��� ����'���. � �'����'������

����� !""#$�%&,�+4'���� &'!+) &�

J�)������'����(� '� (�*��0�(*�'����*���'���,�� /'0�(�*�+�'����+,*������'��+*�)���(��7

�� ��'���, ��*(�*�+�'���+,*��0�'*�0��2,�� �'�����*�0�,'��+��'��0�0�-

� ��'���, ��*(�*�+�'���+,*��0�'*�0�� '��� (���','�� ��,'.���'� �0�0�-

�� ��'���, ��*(�*�+�'���+,*��0�'*�0��� ��,'��� ���,'�� ��,'.���'� �0�0��

!��(��*���� )���'�2, &�*�'����0 & 0 �*�� ��,'.���'� ��''(����� +,�*���

!���'���,�� /'0�,'�� �'+,*��2, *�����3'5�4�0�,'�,�0��0�3'5D4��(,�0����* <���'�,�*2, ���0�*��������������� ='��(,�0�0 & 0 �*�� ��,'.���'� ��'G(����� +,�*��)�����'���, ��*(�'��+�'� '��� (��-�,'2,�*� ��'���,�� /' �� ��� ���(* ��0�2,�*�� �'��� ����� ���� OG M �O� 5 �O�G- ��� =' �� �� �'� �*(�*�+�'���+,*��0��G*�0���

� ��(,�0�0 & 0 �*�� ��,'.���'� � �''(����� +,�*��- ���� ��(,�0� �����,'�'+,*�- ��(,�0�0 & 0 �*�� ��,'.���'� � �' '(����� +,�*��� �(* ��'0� ���� �*�� ����� �'��� ����- ��0�0,��2,� ��(,�0�' ��'���, �(�*�+�'����+,*����0�7

�-H-� - D-���

D-@-�H-� -���

G-�A- A-DA-���

�G-�A-HA-� A-���

��0������������'� ��(��0��,�* 0��-(���%,�2,���(����,'�� AAA�C��(���2,���,��3�IIIL�@GG4���* <���*���'���,�� /'0�*(�*�+�'���+,*��0��I*�0�������P2,=��,�����'*��(�*�+�'����+,*����0�I-Q-��-��-�D-�Q-���*�0��R��,��0������/��� ='2,���*���(�� *�0 & 0 �*�� ��,'.���'� ���'��+*�)���(��-�',''1����(� ��0�(����� +,�*��- � ����'1������,'(� ��0�S�����-��0�� �-,''1����(� ��0�*�

.���� �?�����*���'��-*�������0�I-Q-��-��-�D-�Q- �- - �-���*�0��-��' �(�� *���

3�����0��2,�'���0��*��'1�����0�*�.���� �?���'(� ������'(� ���0�S������-G-�I- GI-HGG�I-

(��� G?�5D QDQHI QI-'���(� ���4

����������� ���H

����������� ��

�5��� � ������ �7����� ������ ������

����������� ���� ������������� �������������� �����

����,��2,�7�4�*(���*�*�+������,'�,�0� *�������'&�>�- 4*���'+,*���(,�����0�,'(���*�*�+������' +,�*��-�4�','(���*�*�+����*��*�0���(,�������' +,�*��������,�����2,��'��0�(���*�*�+����*��0 �+�'�*���������'�'�*(,'����0 �0����������,��2,�� ,'�,�0� *�������'&�>�� �'���0�(��0�*�0���(,����� +,�*��-�'��'�����,'(���*�*�+�����PE,=��*�� /'� �'������','� �0���'�*����*�� 0��'���4R6���,��2,��4*��,��0�*���'+,*�� '��� ����0�,'�,�0� *�������'&�>����HA�4*��,���'+��0��0�*���'+,*�� '��� ����0�,'(�*�+�'���'&�>�0�'*�0�����@A3'L 4�7���� �'�'0���� �'+,*�����)�T�T�T��*��2,���≡�T�T-��≡≡≡≡�T�T-�≡�T)��9���E,������(����2,�-�'������'0 � �'��-*���� �'+,*�����)�T�T�T��'��'+�,�'�������'� ',�� /'��0�,'��2,���0�0�������� /')�1%��0����(*����*��L � *�� �'+,*�� � ) �T ��' ��'+�,�'���- �'��'��� *�� �� �'+,*�� ��� ) �T�T�T ��' ��'+�,�'��� (��2,����������������������������LF�����0��������2,�*���'+,*���)�T���''���'+�,�'���-��<�'�'0�(����������������������������7��,(�'+����2,��)�T'���'��'+�,�'���-(,0 �'0��0� � �2,��9�T�����,'(,'��0�*��+��'������*2,����≡�T���� �'��'��'���2,����)�T�T�T��'��'+�,�'���(��2,�������������������������������������������� �'�2,��9�)�T9�T(,����2,����������������������������0�0,��2,��)�T��'�+,0��)�2,����������������������������������������������������������� �'�(����'��2,�������+,0�(��2,������������������������������������������'���,�'� �0�������������������������������*����� �/���*��)�2,��������������������� '����+�*���'+,*����*�� &���*������'����������������������������� �� �,(�'�� 2,� � ) �T '� ��' ��'+�,�'��� %���� **�+�0� � ����������������������� ) (�� ��'��������������������������������������

8�P�,�'���,��'*���'+,*���>��� ����0�,'(�'��+�'���'&�>�RP"0�,'(�*�+�'���'&�>�0�'*�0��R9�������,'�� �'+,*�-)#�*(,'����0 �0�**�0����� ���*������(���*�*����2,�(���(��#-0��,�����2,�7�4�������**�0����'�,(,'����0 ��4� ����*(,'����0 �0���-��5 #��*��+��'��#���� ��*'����0�(���*�*���0 �0�*�� �'+,*�������*� �'��� �� ��0�0,��2,� � ��(��2,�,'����*��(,'�����0 ��0�0��*�0��0�,' �� �'+,*�- �* ��+��'�����,*��'����(���*�*��*������*�0��:�� �','�� �'+,*�,' ���*��(,'�����0 ��0��,�*�0�����'�����,������ �'+,*�� +,�*���U,�� .���*��;�������,'�� �'+,*�-)#-�)�*��(,'����0 ��0�*��*�0����- ��)�����(��� &���'��������*(,'��0������0�*����0 �'���#)���3��%���(���0�2,�0����0 �'��0�,'�� �'+,*����'����'���L&���8��� � ��������L4����,�����2,�7�4 �#5��3��� =' ��5��44� �T���*(,'��0������0�*����0 �'���#)��-P2,=��*�� /'�> �� ���'���*����+��'����T#)�T�R��0,��2,�*��(,'����)�T�� '� 0�'�

����������� ���I

De lo anterior se deduce que las tres medianas de un triángulo se cortan en un único punto, que recibe el nombre de baricentro.��<� ��� ��� ,' �� �'+,*�� ��� ��0� ,'� 0� *�� &=�� ��� 0�* �� �'+,*� �� ���<� ,'� (���*�*� �* *�0� �(,����-.����'0������,'',�&��� �'+,*��T�T�T��4���,������ ���*������2,���'� �'�,'��*�,��0����-�'��'��������0 ��� <0��T�T�T�4�����2,�*����0 ��� ���0�,'�� �'+,*��������'�','(,'������'0�����)�4-0�0,��2,�*��������2,���'� �'�'*���*�,���0�,'�� �'+,*��������'�','1' ��(,'����*(,'��0������0�*��������2,���'� �'�'*���*�,�����**���ortocentro������'(�*�+�'���'&�>���0 ��2,����� '��� ���','�� ��,'.���'� �� ��0�,'�0��,�&=�� �����(,'��0�0 �%�� ��,'.���'� ���'����������0 ��2,�*�� ��,'.���'� �� ��,'��� ������� ��,'��� ���*(�*�+�'���4 ���,����� 2,� ,' �� �'+,*� �,�*2, ��� � ��(�� �� (,�0� '��� � �' ,'� � ��,'.���'� � 3� ��,'.���'� �� ��,'��� ��4�4��'���,)�,'�,�0� *�������'&�>�2,�'�(,�0���� '��� ���'' '+,'�� ��,'.���'� ������4���,�����2,��','(�*�+�'���+,*��*����0 ��� ���0���0���,�*�0���������'�','1' ��(,'���� �%�(,'��-2,��2, 0 ���0���0��*��&=�� ���0�*(�*�+�'���+,*��-��**�����'���0�*(�*�+�'��4��0,��2,�� ��(����(�� *�� ��,'��� �,'�� ��,'.���'� ��,'(�*�+�'���+,*��������,��2,��'�,�*2, ���0�*������(�� � �'��(�� *��2,� '0 ��'*��. +,���� +, �'���-�*�'+,*� '��� ����*�� ��00�*�'+,*���'���*������(�'0 �'���

�6� ���' ��� ) �T�T�T 0�� �� �'+,*�� �����'+,*�� ��' �'+,*�� ������ �6 ) �6T ���(��� &���'��� ���,����� 2,� *���� �'+,*�����)�T�T�T��'��'+�,�'���� ��&�� . ��,'��,�*2, ���0�*��� +, �'���(����0���'0 � �'��7

�4��≡�T�T)�6 ≡ �6 T4��≡�T�T)��≡ �T�T�4��≡ �T�T)�6 ≡�6 T�7�����'� 0���,'�'+,*���'&�>���'&=�� �������,�����2,�7�4� ���,'(,'��0�*� ����� <0�0 �%��'+,*�-�'��'���*��0 ���'� ��0���*��������2,���'� �'�'*��*�0��0�*�'+,*���' +,�*�������(������'��- � E��,'(,'��2,��2, 0 ���0�*��*�0��0�*�'+,*��-�'��'���E�����'*� ����� <0�0 �%��'+,*��Esto se expresa diciendo que la bisectriz de un ángulo convexo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.�4���,�����2,�0�� ����� ���0�,'�� �'+,*��������'�','(,'����4���,�����2,�*������ ����� ���0�,'�� �'+,*���'��'�,���'����El punto de corte de las tres bisectrices recibe el nombre de incentro. �8���������,'(�'��+�'���+,*������,�����2,��*�� �'+,*������ �/���*����9��'0 ��*��(����2,�%�)2,���+, �(�����'���, ���'��+*�)���(��,'%�>�+�'���+,*���

����������� ���@

�:���0�,'�� ��,'.���'� �-��'���, ���'��+*�)���(��,'�� �'+,*��2, *������ ��,'��� ���*�� ��,'.���'� ���;�����,'(,'���>��� ���,'���������4���,�����2,�0��0��'��> ���'�����* �,����0�*�� ���*�'+ �,0�4���λ*�0 ���'� �0����3��0�� �-03�-�45λ4�P���2,=�,�*2, ���* �,����<�0�0��0����� �'�*�'+ �,0��)��2,�λR�4� E ∈�-)�E��,'��* �,�0�*�'+ �,00-P�> ���0��0�������* �,���'*�'+ �,00R�<� ��� ����,' �,�0� *����� ��'&�>� �,�*2, ���- )# - �- �- ) E*��(,'�����0 ��0� ��- ��- ��) �����(��� &���'������,�����2,�#��E��,'(���*�*�+�������� ��� ���� ,' (���*�*�+���� ) � ) S *�� (,'��� ��0 �� 0� �� ) �� ���(��� &���'��� ���,����� 2,� *����+��'�����)�S0 & 0�'�*�0 �+�'�*���'������+��'�����'+�,�'���������0��*��� +, �'���. +,���-0�'0�*������������'+�'���*�� ��,'.���'� �-0��������2,��*�'+,*������*�� ��00�*�'+,*���'���*������(�'0 �'��3(,'���0��'*�. +,��4�

������ �'��*0 ,8�0�,'�� ��,'.���'� ��'�*2,�'����� '0 ��0��*��'����P�/����(,�0�0����� '���*��'���0�*�� ��,'.���'� ���'��+*�)���(��R�6�������,'�� �'+,*�-)�#)��*����0 �'����*�� &���*��*�0����)�����(��� &���'������,�����2,�� *����+��'����#)����'��'+�,�'����'��'����*�� �'+,*������ �/���*��0��������7��4���,��0�*�0�. ' � /'0�(�*�+�'���+,*��)�,�'����*��,��0�*���'+,*�� '��� ����0�,'(�*�+�'���'&�>����0,��*�2,�%�0���0 ���0��'+,*� '��� ��0�,'%�>�+�'���+,*���4� +,�*��(�,���� +, �'�����'�*�8�� &�0���'���, ���0 �'��(*�+�0�0�(�(�*,'%�>�+�'���+,*���

�������,'�� �� �����'+,*��0�(�(�*�����8��(*�0��G���0�*��+�)G���0��'�%��� �'�����,'�����'+,*������ � ��*�*� � �� 0� (�(�* %�� �'0� �� '� 0 � � ��' � ) � ��' �� � �%��� 0��(* �+��- �� �(��� � ,' ��+��'��-**��=���*�#�-2,���(���*�*����)��-)(���(��*��(,'�����0 ��0�*����+��'�����)���

���*�+�'0�0��0��-**�&���������#�)���'�������*��(,'����-E)�-2,�&�'����&=�� ���)��'���0�*%�>�+�'����(��� &���'���F��. +,���D��������'��,'������&=�� ��2,�&�����**�����(�0����(����0��0�,'�0�*��.������ +, �'���7

����������� ���Q

L���E(*�+����(��(�'0 �,*����'�����������*� '������� /'0�*�(��(�'0 �,*�����<�0�)���L�*�+��0��0��)%������ '� 0 ����'�������*� '������� /'0�*',�&�(* �+,�)���

G���*����(���(��(�'0 �,*����'�����-���' �'0���#�0 �'��(*�+�0���0��,�0��-0����� '�����T∈#�-ET∈��-�T∈��2,�0 ���'0��*�� ���2,��-E)����(��� &���'���H����������2,��*%�>�+�'����,*��'���EET�T�T���-�.��� &���'��-��+,*���

�8���' �'0��'�,�'��*�. +,��-0��,�����2,��*�'+,*������������ )�/*�� ����0 ������0�*�� ��,'.���'� ��

�9���0�,'(�*�+�'���'&�>���0 ��2,������ ��,'��� ���,'�� ��,'.���'� �3� ��,'.���'� � '��� ��4� ��0�*�0�����'+�'���*�� ��,'.���'� ��

�4���,�����2,��* '��'���0�,'�� �'+,*�����'���0�,'�� ��,'.���'� � '��� ���'�*� ����

4��'���,)�,'�,�0� *�������'&�>��'�*2,�'�(,�0� '��� ���' '+,'�� ��,'.���'� ��

�4���,��0�*�0�. ' � /'0���'���0�,'(�*�+�'���+,*�����%�(���0�2,�0 �%�(,'������'���0�,'�� ��,'.���'� � 2,� � ��,'��� � �* (�*�+�'�� ���,����� 2,� 0 �%� ��'��� �� ��� =' ��'��� 0� ,'�� ��,'.���'� � '��� ���'�*(�*�+�'���:����(�'0���<�'�0���'��� ��&��0�0����.�*����0�,'�0�*���. ���� �'��� +, �'���7

�4�'��0��� �'+,*������'+,*�*�% (���',������)��2,��,�*2, ���0�*����������

4��(,�0���'���, ���,'�� �'+,*�0�*�0��0�H-�A)�����4��(,�0���'���, �,'�� �'+,*��,)���'+,*�����'*�� ��00�*��0������

04��(,�0���'���, �,'�� �'+,*��,)��*�0�����'*�� ��00�*��0������

.4�','������(,�0� '��� �,'�� ��,'.���'� ��

+4�'�����'+,*�'��2, *�����'�(,�0�� ��,'��� ��,'�� ��,'.���'� �%4�','�� �'+,*��2, *�����*��(,'����� ��'���-������'���- '��'���)� ��,'��'����� '� 0�'�

4� �����,'�� �'+,*��'�*�,�**���0 �'��#����� ='�*�,��-�'��'�������� �/���*��

84� �����,'�� �'+,*��'�*�,�**��*�,���#����� =' ����� <-�'��'�������� �/���*���;����,�����2,� �' ��0� �� �'+,*� �����'+,*�-*� �,��0�*�� ������� �� +,�*�*�0�*��0 �������0�*��� ��,'.���'� �� '��� ��)� ��,'��� ����<� ���,�����2,�� ,' �,�0� *��������� ���� � ��,'��� �� �,'� � ��,'.���'� �- �'��'���*� �,��0�0��*�0���(,�����-�� +,�*�*��,��0�*�������0���

��� !� �,��0� ��0��*�� �'+,*�� '��� ����0�,'(�*�+�'� ��'&�>� ��0� �A@A�-P�,�'���&=�� ��� � �'�R-P�,�'���0 �+�'�*��R�' �* ����0�2,�.,��� ��+,*��-P�,�'��&�*0��� �* �'+,*� ��'���*.����0� �*,' �0��&=�� �����'���,� &����'�*��'���R������,�����2,�� ������,'�,�0� *�������'&�>� '��� ���','�� ��,'.���'� �-�'��'���*���'+,*���)���'�,(*���'��� ���

���������,'�� �'+,*������'+,*�0��'+,*�������)�'+,*��0��A�����,�����2,��'������'0 � �'���*�������(,�����*�'+,*��� 0�*�� ��02,�*�% (���',����6����'�)�0��(,'���0�,'�� ��,'.���'� ��-)����,'(,'��0��0 �� '��0��)0������E,'(,'��0�*��� (*�'�� ����3��4�����,�����2,�7

�4� E ∈�-�'��'����E6�)��6���'��'+�,�'����

����������� ��DA

4� E∉�-�'��'����E6�)��6�'���'��'+�,�'����

��*��'��� ����0�0,��2,�7V*��1' ���(,'���E0�*��� (*�'�3��4���*��2,��*�'+,*��E6���� +,�*�*

��6���'-��*&��)�-*��0�*����0�� ��,'.���'� �0��>�������)��*2,�(����'����V�� �%���'8,'��

0�(,'������ ��*'����0�arco capaz0��'+,*���6��7���0��,'��+��'����),'�'+,*�0���(* �,0α-P(�0������'���, �,'������(�<0��'+,*�0���(* �,0α)0��>�������)�R�8���'���,)�,'�� �'+,*���'�� 0��,'*�0�-�*�'+,*��(,��������*�0�-)*��*�,����*�� &��0 �%�*�0��

�9� �'*�. +,���40���� ��8��� � �'�2,�7��)����'(��(�'0 �,*����)��'+�,�'���-�E)�E��'(��(�'0 �,*����)��'+�,�'���-��-#�-��)����'(��(�'0 �,*������E)#��(,'����0 �0�������,�����2,�7 4�#53��?��4O 4���(,'����0 �0��E 4�#5�EO

�:� !�� � +, �'��� �,��� �'�� ����' ��.�� 0�� � *� . +,�� 4- �' *� 2,� �� %�' ��C�*�0� �*+,'�� (���� 0��*���'��� +,�*���

�4�����*��(����0��� �'+,*��2,�(�����'�����'+�,�'����

4P�����,�*��0�����(����0��� �'+,*��(,�0�(������2,���'��'+�,�'���R

�4��0,��2,�*���'+,*�����)�����'��'+�,�'����P������C�0 ����� ��'0 � /'�*��0�0��(��*�. +,�� (��� (�0�� �. ���� 2,� ��� ≡ ��SR �' ���� '�+�� &�- ��C�*� �*+1' (�� 0� �*���'��� 2,�- 0���'������.,���' +,�*��-'��(��� � ���0�0,� �0 �%���'+�,�'� ��

�;��'*�. +,���4��� �'�2,�7#��(,'����0 �0���-��≡��-��� ≡���-)�� ����� <0�������,��2,�#-�-�����'�* '��0���PE,='������� �*�������*�2,�(����'���'��*��(,'���R

6<���'���,)�,'���(�� � �/���*����'�� 0��*������)*�0 �+�'�*�

6����'���,)�,'�� �'+,*������'+,*���'�� 0�*�*�'+ �,0�0�*������2,����(�'��,'�'+,*�0�*�� �'+,*�

2,�� 0��A°�

6����'���,)���'��+*�)���(��,'(���*�*�+����-��'�� 0�,'�'+,*�)*��*�0���

6���������,'�,�0� *�������'&�>�������2,��*�'+,*���������-2,���)����'(���*�*��-)2,�����(,�0� '��� ����','�� ��,'.���'� �����,�����2,�������,'�����'+,*��

����������� ��D�

66���'���,)�,'�� �'+,*������'�� 0��*�*�'+ �,00�**�0���-*���(* �,00�*�'+,*��)*�*�'+ �,00�*��+��'����-0�'0����(����'���* '��'���0�����

67��4���������2,��'��0��� �'+,*�-,'���0 �'��,�*2, ���-����'��2,�*���� �,��0�*��*�0��2,�*����(��'0�'�3�����**�-��(,�0�(��*�'+��*���0 �'���'������*�2,�� 0�)����8����'*���� �'+,*��2,���.����'4�

4�)10���0�*�(����0��'��� ��(�����'���, �,' �� �'+,*���'�� 0��0��*�0��)*���0 �'����(��'0 0��'����**���

68��'�*�� �'+,*����0�*�. +,��-�#����0 �'�-��� ��'���)#(,'����0 �0����

����,��2,��*�� �'+,*����� �'�(��*�0����+��'���2,���' O�0�*����0 �'��0����

���'�),0�0�*��'��� �� 0���/����'���, �,'�� �'+,*���'�� 0���,�������0 �'���

69���'���,)�,'(���*�*�+������'�� 0��*��*�'+ �,0��0�,'�0��,�*�0��)0��,�0 �+�'�*����

6:��'*�� � +, �'���. +,���-0����� '� � *� '.����� /'0�0��� �,. � �'��(���(���� 2,�*�� �� �'+,*��������0����'��'+�,�'�����*����'0 � �'����C�*�0��(,�0���C�0 �*��2,�������&�'0��* '��� /'0�(,'����0� '������� /'0�������-(���' '+,'����� ��*�� &����'+�,�'� �0���+��'������'+�,�'� �0��'+,*���

����������� ��D

����*��. +,����'*��2,�*����'0 � �'��%�)�'� 0� '�,. � �'���-�C�0��*+,'�����2,�-8,'����'*��0�0��-��(��� ��0�0,� �*���'+�,�'� �0�*���� �'+,*����C�*�0��6;�������0�,'�0�*��*�0��0�,'�,�0��0���������'���,)�'�� �'+,*�������'+,*�� +,�*��-0�% (���',�� +,�*�**�0�0�*�,�0��0�-2,��� ��*���'�*���'�� &���'��V%�� ��0�'���V)V%�� ��.,���V3���� '0 ��*�. +,���0�*�(�+ '�� +, �'��4��4��,��2,��*�� �'+,*�J���������'+,*�� �/���*���4���U�*(,'��0������0�*����������)��-)���W�*(,'��0������0�*����������)������,�����2,��*(�*�+�'��W�U��,'�,�0��0���4��'�),0�0�*���(����0���'��� ����-0�0,��2,�*��(,'���J-�)�����'�* '��0���04P����'�* '��0��*��(,'���J-�-�)SR7<� ���� ��0� ,'� 0� *�� *�0�� 0� ,' �,�0��0� ���� �� ��'���,)�' �� �'+,*�� +,�*��- 2,� �� ��*���'�*���'�� &���'��V%�� ��0�'���V)V%�� ��.,���V3���� '0 ��*�. +,�� 4����,�����2,�� *��(,'���J-�-�)S����'�* '��0��-�'��'���*���� �'+,*����'�����'+,*���PE,=��*�� /'%�)�'����*���,*��0�0�*�8��� � �DQ)=���R

����������� ��D�

7��Mosaicos ��'0 ��C��.����0��(�� ��� '�� �'��0�. +,���+���=�� ���3�*0����42,� ���,��' �*(*�'� � '0�8��%,����' ��*�(����,'���������J�*����0����� ����+,*���,�'0�*���*0������'��0���*� ���(�*�+�'���+,*��-)�0����0���*0�����,�*��2, ����'�� �'�'' '+1'(,'���'���1'-�� *�� �'�'��,'&=�� ���,'*�0��!*���������� ����� ���+,*����2,�**������ ���2,�����'.����0��(��0 �� '���� (��0�(�*�+�'����+,*����2,�� �'�'�'��'������,'&=�� ���,'*�0�)�0�����'��0�&=�� ����'.*,)�'*��� ����(�*�+�'��)�'�*� �����0�'���* ��� ���� 1*� �� 2, ��� 0�� � *� � +, �'��� � �*��0�0�� 0� ,' &=�� �� %�) � (�*�+�'�� ��+,*���� ��- � - ���- ��-��*���0�� �' ,' ��0�' � �- � - ���- � �- �� &�� . �� 2,� �' �,�*2, �� ���� &=�� ��- ��(�<�'0� (�� �* (�*�+�'� � �

�'��'������*��(�*�+�'��� -���-� ��'�*+,'�0�*��0��(�� *���� �'��� �'��L +,�*���'���� ��*�0�*���+,8��0�*��*�8L�����'*�. +,��-�'*��&=�� ����)F��'.*,)�'*��� ����(�*�+�'���'�*� �����0�'���* ���

���'� ',�� /'�������0�0����� '����0��*��(�� *������ ������ ���+,*����)��+,*����2,���(,�0�'��'���, ���'*��(� ������(����0��0�*�8��� � �������*���'�*+,'����'�*,� �'��0���������+�'���*2,���'0�,� * 0�0(�����*. '�

�4���'�)��0��(�*�+�'����+,*����0�')�*�0�����(��� &���'��-)��'�'+,*�� '��� �������(��� &��α)β����,�����2,�α > β ⇔'9��������-�,�'����)�����*'1����0�*�0��0�*(�*�+�'���+,*��-��)�����,�'+,*� '��� ��-)����(������'���

4������ '�*�� �'+,*�� '��� ����0�*��(�*�+�'�� ��+,*����0� �- D- ���- �G*�0���P�> ���'(�*�+�'�� ��+,*�����,)���'+,*�� '��� ����� 0�'���(��� &���'��QQAOI-�H -� AAOI-�HG+��0��R

�4�����*'1����0�(�*�+�'����+,*�����*��0�0��0�,'&=�� ��0�,'���� ��0�*��0���� ����*(� '� ( �-)��*'B

0��**��2,���'�� �'+,*������,�����2,� :�XH-�5�⇔��5H)�3�LD4X��

04��' �'0��'�,�'��*����'� 0���� �'���'��� ����-0����� '�-�'.,'� /'0��)�-*��� �,�� �'��(�� *��2,�-�(� �� -��(,�0�'(*�'�����,�'0��� '��'������*���*(*�'��

�4J�<,'���,0 �(����'�� <�0�0���0�,'�0�*����������' 0���'04(���0���������2,�**��2,�'���'0,��'����� �����+,*�������� ���+,*�����

.4PJ��(�0 0�����*���*(*�'���'0��(�'��+�'��),'0���+�'�R

+4�'�*���,0 ����* <�0�%�����2,�%�������' 0�0 �� �� �(�� *����'. +,��� �'���*��0�0��0�,'&=�� ��-0�*���,�*������(��0,��'���� �����+,*����-),'�'���&�* 0�(�������*�����(������2,�*������ ������ ���+,*����0���,����*���'���*��0�����'. +,��� �'�������'����P�,�'������� ������ ���+,*������ �'��R

7���'*�. +,���-������,'(���*�*�+����-)�����,�*�0����%�'��'���, 0��,�0��0��0���'�������(��� &����-� -��)�D���0����(����2,��*�,�0� *�������� ���D��,'�,�0��0�������**�� +,�*��� +, �'���(�����

�� ���'�)S*��(,'�����0 ��0�*�� ��+��'��� ��) �� ���(��� &���'��-)��*(,'��0� �����0�*��0 �+�'�*��0���������,�����2,�*���� �'+,*������)� �S��'��'+�,�'�����

4 ���,�����2,��*�� �'+,*���� ��������'+,*�� �/���*���

�4 PE,=(,�0�0�� ���0�*���� �'+,*��� ���-���D�)�D���R��0,��2,���� ���D��,'�,�0��0��

����������� ��DD

7���'�*��(�� ��

�4���,�����2,�*����+��'���0�������(���*�*�����(��'0 0���'���(*�'��(���*�*����' +,�*���

4 � 0�� ������ ����'��� � ) � ��' (��(�'0 �,*����- *�� ������ ����'��� �T ) �T (���*�*�� � �**�� ��� =' ��'(��(�'0 �,*�����

����1*� �����,*��0�'��(��� ��0�. ' �������perpendiculares que se cruzan7���������2,�����,<�'��0 ��'(��(�'0 �,*����� ��'(��(�'0 �,*����*������������'���(���*�*����**��

�4���,�����2,�� *���������(��(�'0 �,*���*�������-�'��'�������(��(�'0 �,�*���,�*2, ��(���*�*����

04�'� recta se dice perpendicular a un plano � *� �� � ��0�,'�0�*�� ������ ��'��' 0�� �'0 �%�(*�'����' �'0��'�,�'���,�>(�� �'� ���'�*��(�� �2,�����0��-�','� �0 �� '������,*��0��2,���'8��,�������� �����-)2,���*�� �'�'(��(�'0 �,*�� 0�0�'���������)(*�'��-�'���������-(���*�* ����'���������-(���*�* ����'���(*�'��-�'���������)(*�'�����

76����#�*(,'����0 �0�* ��+��'����-) ���'���-�#�)�#� �� �'+,*�� �2, *������ ��'���, 0�� ��+1'*�. +,������ � �* (,'�� 0� ����� 0� *�� ��+��'��� �� ) ��- ) �- E- � *�� �� ��'���� *�� �� �'+,*�� ���- �#�- �#����(��� &���'���

�4 ���,�����2,��(����'����*�������#�

4 ���,�����2,�*���� �'+,*�����)�����'�����'+,*���

�4 ��,��2,��*�� �'+,*���#���2, *�����)2,�����,�� ��'����

D4 ���λ *�*�'+ �,00�,'���0 �'�0�*�� �'+,*����)µ*�*�'+ �,00�,'���0 �'�0�*�� �'+,*��#�3�'��0�,'�0������� �'+,*����0��*����0 �'��-(������2, *������-� �'�' +,�**�'+ �,04����,�����2,�µ =λ/2�

����������� ��DG

G4 ����*�� ��,'.���'� �0���'���#)��0 �*�*�'+ �,00�*��+��'��#����,��2,�*��(,'����-E)�(����'���'���

����������� ��DH

��=!&()%& &��+!"#$�%&+&>& "#"#�%&%&�& (#�)"#$�%&���� ���������������� �����������

�*���0�������8��� � �,'��� �'�,'���� �0���'�*,� �'��0���������+�'���*2,�&�����������0��',������

��� �','&=�� ����'�,���'0��(�*�+�'����+,*����0�')�*�0��-)�,��'+,*�� '��� ������'α )β ���(��� &���'��-�'��'���7α > β ⇔'9��������-"!)���()-� &�&+�?(& �%&+)%��%&+,�+4'��� &'!+) @()-� &��!*�'!+�#��& #� � �� ,'(�*�+�'���+,*��� �'�'*�0��-�*�'+,*� '��� ��� 0�α ��+1'*���*�� +, �'��-�'*�2,���(,�0�' '���(���������*,�'���' � D G H I @ Q �A �� � �� �D �Gα HA QA �A@ � A QAAOI ��G �DA �DD �H AO�� �GA �Q@AO�� �A@AOI �GH���#)+ &%&%� %&!�1A �#"&B)- ,�+4'���� &'!+) &��,)���'+,*�� '��� ����� 0�'α1, α2, ..., α�L1, α� -��� �'�7

α1 + α2 + ... + α�L1 + α�= �HAHAXα :�@A(�����0�

�����'��HA�X�HA)�HA:�@A�-0�0�'0��C D8�D��#%&+�� ,�+4'���� &'!+) &�2,�%�)�*��0�0��0�,'&=�� ��-����� #*�'!+��-��� �'�7

<D�D D8�E ⇔⇔⇔⇔ E8

�0����HA�?α�?� + ... + α�= �HA��'QAXα :�@A(��� 5�?�-���-�-0�0�'0���0�0,��2,�QA3�L�4?HA�X�HA-)(����'���0 �63D��G� ��' �'0� �' �,�'�� *�� ��'� 0���� �'�� �'��� ����- ����&����2,� � � �� �* '1����0�(�*�+�'�� ��+,*����2,���'�,���'�','&=�� ��)��*'1����2,�0��**����'�� �'+,*��-*���#�!)"#��&�,��#/+&�=!&�&,!&%&�,+)��&) ��'*��� +, �'���7

E8@�E8 E7@�E�@6 E6@�E<@�@�@� E�@�E<@�@�

H��%����/*�%�)2,�&��2,=� �,�� �'����+�'���'�'��0�,'�0�*��������'��� �����F������,�*����'�

����������� ��DI

������ E8@�E8

���� � E7@�E�@6

��� E7@�E��'��������HA?HA?HA?αD?αG5�HA��'QAXαD -αG:�@A���0�'0���0�0,��2,�αD 5αG5QA��� ��'���'����� �,�� /'-8,'���*�� ������ �'+,*����'�,���'�'�*&=�� ��0���,�0��0��-(,0 ='0���(����'���*��� +, �'�����'. +,��� �'��7

� � E7@�E6�'��������D �HA?αG5�HA���0�'0����� �'�2,�*�. +,��2,���'�,����'�*&=�� ��8,'����'*���,������ �'+,*����,'%�>�+�'��

������ E6@�E<@�@�@�

���� E6@�E<�'�������'0 � �'��α�?α ?α�?αD5�HA��'QAXα :�@A(��� 5�- -�-D���0�'0�����'�*,)�2,�α 5QA(�����0� �!���'. +,��� /'��(,��

�� � E6@�E�

����������� ��D@

�'�������'0 � �'��HA?α ?α�?αD5�HA��'QAXα :�@A(��� 5 -�-D��,����2,�α ?α�?αD5�AA-����%)�+)�2#'! )� &��)��&����"!)% )%���• � α 5�A@���*�'+,*� '���'�0�,'(�'��+�'���+,*��-α�?αD5�Q ��,����2,�QAXα -�'��'���QAXα�-αDX�A -)�'��'���,�'� � α�5αD5QA�����(�������&�*����0�*���'+,*��-α�?αDY�Q ����**���0��(��'0�2,�&�+)"��2#'! )"#$���,!&%&&�� ) !�,&��*'��� &'!+) �• � α 5� A���*�'+,*� '���'�0�,'%�>�+�'���+,*��-α�?αD5�@A��'QAXα :�@A(��� 5�-D���0�'0����� �'�2,�α�5αD5QA-)*��� +, �'���0����'. +,��� �'���

• � α 9 � A �� �* �'+,*� '���'� 0� ,' (�*�+�'� ��+,*�� ��' ,' '1���� 0� *�0�� ��)�� 2,� H-�'��'��� α�?αD:�@A��'QAXα :�@A(��� 5�-D7� �,�� /' �(�� *�������5D-�5�-'��(�����'���(�� * 0�0���

���� E6@�E��'�������'0 � �'�� �HA?α�?αD5�HA��'QAXα :�@A(��� 5�-D�• � α�5 QA �� �* �'+,*� '���'�0�,' �,�0��0�-αD 5 �GA�U,'�� �*��0�� �� �'+,*�� ��'�,���','�,�0��0�),'0�0���+�'��• � α�5 �A@ �� �* �'+,*� '���'�0�,'(�'��+�'� ��+,*��-αD5 �� -&�*��2,�'� ������(�'0� �*���0 0�0�*�'+,*� '���'�0�,'(�*�+�'���+,*���• � α�5� A���*�'+,*� '���'�0�,'%�>�+�'���+,*��-αD5� A�U,'���*��0���� �'+,*����'�,���'0��%�>�+�'����+,*�����• ����*��(�(�*��0�α�)αD��' '������ �*��-��'*��������'��� ����2,�0����(*����*���,0 �(����5D-�5 �

��D� E6@�E�

�'�������'0 � �'����HA?αD5�HA��'QAXαD:�@A������ �,�� /'-������ '��0 ������(����-'�(,�0�0�����

����D� E�@�E<@�@�

D��� E�@�E<

����������� ��DQ

�'��������α�?α ?α�5�HA��'QAXα :�@A��' 5�- -����0�'0���0�0,��2,�"�(�(*F#(�&+�?(& �%&"!)% )%��=!&"��"! &�&�!�1A �#"&&�!���• � α�5QA-α ?α�5 IA��'�A@Xα :�@A��' 5 -��L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'(�'��+�'���+,*��-�*����(�*�+�'���+,*��0�������'��,'�'+,*� '��� ��0��H +��0��-2,����*0�,'(�*�+�'���+,*��0� A*�0�����' �'0��'�,�'���'��'���2,��'��0�&=�� ��0�*���� ����'�,���','(�'��+�'�-,'�,�0��0�),' �/+�'� ��' �* � ��� ��0�' ���* ��- �*��0�0�� 0� ,' (�'��+�'� *� � �,�� /' 2,� �� +�'��� �� *� 2,��,�����*�. +,���

�����������,*��(,�� �(���� ��*��L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'%�(��+�'���+,*��-�*����(�*�+�'���+,*��0�������'��,'�'+,*� '��� ��0�QQAOI+��0��-*�2,��� �(�� *�����(,�0��(��� �����'*���*�0�*(� '� ( ��L� �'�*&=�� ����'�,���,'%�>�+�'���+,*��-�*����(�*�+�'���,'0�0���+�'��L� �'�*&=�� ����'�,���,'���/+�'���+,*��-�*����(�*�+�'����������/+�'��L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'(�*�+�'�0���)��'1����0�*�0��2,�@-�*2,��������0�������'����'��'1����0�*�0��2,�@������������)�������'� 0���0�-�*���,0 ��������(*����,�'0��'*���'. +,��� /'�(�����,'�,�0��0��• � α�5�A@3�'+,*� '��� ��0�(�'��+�'���+,*��4-α ?α�5 G ��'�A@Xα :�@A��' 5 -��L� �'�*&=�� ����'�,�������(�'��+�'���+,*��-�*������(�*�+�'�0�����,'0���+�'���+,*���L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'%�>�+�'�-�*����(�*�+�'���'0���2,���'��,'�'+,*� '��� ��0��� +��0��- �(�� *��L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'(�*�+�'�0���)��'1����0�*�0��2,�H-�*2,��������0�������'�� ,' �'+,*� ��'�� 0� �� +��0��- ���� �� 0� �A@ � � A- (��� ����� ����� ��' *�� 2,� )� ����'��'���(*�0����'��'���,�'� ��*���,0 ��������(*����,�'0��'�*&=�� ��'���'�,���'�,�0��0��)���*+1'(�'��+�'��• � '���'�,���'�,�0��0��' (�'��+�'��-α�?α ?α�5�HA��'� AXα :�@A��' 5�- -�������* +�2,�α 5� A(��� 5�- -��!��0 �� '�����'. +,��� �'��2,��(�����'(����5�-�5A��'*��� +, �'����

����������� ��GA

D� � E�@�E�� �*'1����0��� �'+,*��2,���'�,���'�','&=�� ����,'�-α ?α�5�AA�������0�α :�@A-")%)αααα#%&/&�& ()-� =!&��<�• � ,'�0�*��α ��QAAOI-�*����0�������� AAOI-2,�������(�'0��*�'+,*� '��� ��0�,'(�*�+�'���+,*��0�D *�0��-)*�� �,�� /'2,���(��0,����*�2,��,�����*�. +,��� +, �'��-)2,���'0,���,'���� ��'���� ��+,*���

• � ,'�0�*��α ����G3��0 0�0��'+,*� '��� ��0�,'���/+�'�4-�*����0������HG3��0 0�0��'+,*� '��� ��0�,'(�*�+�'���+,*��0� D*�0��4�

!�� �,�� /'2,���(��0,����-����(,�0��(��� �����'*�. +,���'��� ��-�'�*�+��*�����'�* <�0������� ��• � ,'�0�*��α ���DD3��0 0�0��'+,*� '��� ��0�,'0���+�'�4-�*����0������GH3��0 0�0��'+,*� '��� ��0�,'(�*�+�'� ��+,*��0� �G*�0��4-(���*� � �,�� /'2,� ��(��0,�� �� �'�*�+��*���'��� ����������'�����(�������0 ��� ,� /'��.��� *��• �����'����0�α ����)��� +,�*2,��GA�����*��,��0��������AA-α 5�GA(��� 5 -��������(,��*�1' ��(�� * 0�02,���(����'��(����5�-�5�70��0�0���+�'��),'�� �'+,*��

����������� ��G�

D��� E�@�E��'����� �,�� /'- �HA?α�5�HA��'QAXα�:�@A���0�'0���0�0,��2,�����(�� * 0�0'�(,�0�(*�'�������

��' �'0��'�,�'����0��*0������**��'��� ��-����&����2,�7• �*��,��%�)�������� �����+,*����(��&�' �'���0�*����'. +,��� �'��3�L�L�L�L�L�4-3DLDLDLD4)3HLHLH42,���

(,�0�'����*�����*��0�0��0�,'&=�� ���!���'���,�� /'0�*������ ���'��(��� �����(����2,���0�,'�0�*������(�� * 0�0����&�* 0��J�)(,���������� �����+,*�����

• ���> ���,'�����*�� /'�'*�2,��(���<��,'(�*�+�'���+,*����',''1����0�*�0����)��� +,�*����• �*�(��+,'��0� � ��(�� *� ����*��,'(*�'� ��'0��(�'��+�'��),'0���+�'� ��'�,���'��� �','&=�� ��- ��

(,�0���'��*���'��� /'0����(�'0���. ���� &���'��(,����2,�3�ALGLG4��,'�0�*�����'��&�* 0���'�*���,0 ����* <�0��� '����+�0�������(����2,��'��0��*��&=�� ���(,�0���'��'����*�� �����'. +,��� /'7

L��0�0���+�'�0�������V��0��0�V0�(�'��+�'���L���(�'��+�'����'���,� &��0����� '�','0���+�'��L�(�����'&=�� ����'*��2,���'�,���'����(�'��+�'���

����(�� *��'��'�������*���*(*�'���','0���+�'�)0��(�'��+�'�������������*�1' ����'. +,��� /'��'(�*�+�'����+,*�����'*�2,��(�����,'(�'��+�'�-(�0�����. ����2,�','����(�� *�����*���*(*�'��'*�2,��*+1'(�*�+�'���+,*�����,'(�'��+�'��

• �'�*���,0 ����* <�0���%�'���' 0�0 �� �� �(�� *����'. +,��� �'���*��0�0��0�,'&=�� ��0�*���,�*������(��0,��'���� �����+,*����73�L�L�L�L�L�4-3DLDLDLD4-3HLHLH4-),'�'���&�* 0�(�������*��73�ALGLG4���(������2,�*������ ������ ���+,*����0�����,����*���'���*��0�����'. +,��� �'�������'����

����������� ��G

�,�0�����&����2,�'���(�� *�.��������� ������ ���+,*������'*��0�����'.,+,��� �'��2,� ' � �*��'�����'��'0 0����-� '�2,�. '�*��'���/*���.��� *���'��%�0��**���