estudio del triángulo
TRANSCRIPT
����������� ����
�
�
�
� ��
��
��
����������� ��
���� ������� ������ �������� ��������������������������������������� � ��!������������!����"����!���� �����������������#$������������!�"��#���
������������� ������ ��� ������������� �"� %���� & ��� &�� �� ��'��(��� ) �������� ��*�� &�� � *�� �� �'+,*��� �' ���� ) �' �* � +, �'�� ����-���(*����������'�*+,'������
�*�� . ��� /'0��� �'+,*����+1'�,�*�0��)��+1'�,��'+,*����'�� �'+,*���0 �� �/���*��� (����0��*�0����' +,�**�'+ �,0�� �����,'�� �'+,*� �/���*��0�'0�*��*�0����)��� �'�'*�� ���*�'+ �,0-�'��'�����0 ��2,������ �/���*��0������)*�����*����)���
�'�� �'+,*���0 ������������ � �'���0���,�*�0�� +,�*���� ,'�� �'+,*�� �'���0���,�*�0��0�� +,�*����0 ������� �
� ,' �� �'+,*� � �'� ��0�� �,��'+,*���+,0�� ��0 ������� ����� (����,'�'+,*������ ��0 �� ���� ��������� ����"� (����,'�'+,*���,����0 ������ ����
����������������� ������ ���������������3�!�4
� 0���� �'+,*��∆���)∆������&�� . ��'��−−
5����−−
-�6 5�6 �)�65�6 �-�'��'���*���� �'+,*����' +,�*���
����7 ��������� 2,� ��−−
5 ����−−
- (�� ��0,�� /' �* ��,�0�- ) *,�+� �(* ������� �* (� ��� �� ��� � 0���'+�,�'� ��
�,(�'+������−−
≠����−−
�����-(���8��(*�-��−−
9����−−
���'���, ���������−−
�*��+��'����−−
5����−−
�
����*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �-∆���)∆��������' +,�*����'��'�����6�5�6 �����������6 �5�
6-
������6�5�6���������������'����)�-�'��'�����6�:�6;,'���'���0 �� /'�!,�+���−−
5����−−
)(���*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �3!�!4-∆���)∆��������' +,�*����
������7�'�� �'+,*��� �/���*��� )��*�� � �'�0���'+,*�� +,�*���
����7���∆�����*2,���−−5��
−−�� ���(������∆���)∆���-��' �'0��'�,�'��2,���−−
5��−−
-
��−−
5��−−
)�65�6-��0�0,��-(���*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �-2,�∆���5∆�����'��'����6 5�6�
����(������'��-�,(�'+����2,��'∆������6 5�6����(������',�&���'��*���� �'+,*��∆���)
∆�����%���-��−−5��
−−-�6 5�6)�65�6 ��(* ��'0��*��+,'0��� ��� �0���'+�,�'� �-���,*��∆���5
∆���)�'��'�����−−5��
−−��
����������� ���
�
� �
� ��
��
��
�
�
�
��
������7�','�� �'+,*� �/���*��*���0 �'���*�� &��*������ ����� <)�*�,���
����7���∆���,'�� �'+,*� �/���*��0������−−)���#�*(,'����0 �0�*����-0���0�2,��#
−−��*�
��0 �'�������(�'0 �'��������#−−
5#�−−
-��−−
5��−−
)�6 5�6-0�*(� ����� ��� �0���'+�,�'� ���0�0,��2,�
∆��#5∆��#��'��'���#�6�5#�6�-��0�� �-�#−−
��*� ����� <0�*�'+,*��6��0����-����*���'+,*��
�#6 �)�#6 ���'�0)���'���� +,�*��-��'�'+,*����������'��'����#��(��(�'0 �,*�����)�#−−
���*�,��0�*�� �'+,*���
�� ����������� ������ ����������������3!!!4
� 0���� �'+,*��∆���)∆������&�� . ��'��−−
5����−−
-��−−
5����−−
)��−−
5����−−
-�'��'���*���� �'+,*����' +,�*���
����7�����������(� ����-(����0,�� /'�*��,�0�-2,��6 5�6 ���,(�'+�����6 ≠�6 ���'�*��� (*�'�������
�*(,'��� -��*2,���6� 5�
6�-� �����'�*� ������ (*�'�2,����'���(�������)��
−−5����
−−5��
−−�
����*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �∆��� 5∆��������'��'�����−−
5����−−
5��−−
������'��∆�� �)∆�� ���'
�/���*��) � �'�'*�� ��������−−
����� �*(,'����0 �0���−−
�!�� ��+��'�����−−
)��−−
��'��0 �'��0�0 �%���� �'+,*����*�� &���*����-)(���*��������'��� ����'�*�,���0�*���� �'+,*����'��'���-��)����'
0��(��(�'0 �,*������� 2,�(���'(���;������ �(�� *�����*���'��-�6 5�6 �)�(* ��'0��*(� ����� ��� �0���'+�,�'� �3!�!4���,*��∆���5∆��������
������� ����������������������
�' � ���� ������� 0�,' �� �'+,*� ��,' �'+,*� �0)���'�� �,'�0�*�� �'+,*��0�* �� �'+,*���' ��0�&=�� ��0�*�� �'+,*�%�)0���'+,*���>��� ����-2,���'�(,�����(���*&=�� ���
�'�&�<& ����*�� ��� �0�������(���*�*������,&�������'���,�'� �2,�*��,��0�*�������'+,*��0�,'�� �'+,*��� +,�*�,'�**�'�-0�*�2,����� �'���,&�<*�� +, �'��7
������ ���7�'��0��� �'+,*�-�,�*2, ���'+,*��>��� ���� +,�*�*��,��0�*��0���'+,*�� '��� ����'��0)���'����
����7�'∆���-��'� 0������(���8��(*��*
�'+,*��>��� ����6��0)���'����6 ��'��'���
��6�?�6 5�@AB)�����6 ?�6?�65�@AB-��
0�0,��2,���6�5�6?�6��
����������� ����
�
�
�
�
���� ��� ��7 �',' �� �'+,*�- �,�*2, �� �'+,*� �>��� �� ����)��2,� �,�*2, ���0�*��0�� �'+,*�� '��� ���� '��0)���'����
��������'��0��� �'+,*�-���)��*�0����(�'���)���'+,*�-)����(������'���
����7�'∆����,(�'+����2,���−−
9��−−
������*(,'��0���−−
��*2,���−−
5��−−
�
��6�:�6)����∆����� �/���*��-��6�5��6���0������6����'+,*��>��� ��0�∆���)�'��'�����6�9�6 ������'��-�69�6 �
����(������'��-�,(�'+�����69�6 �� .,�����−−
5��−−
-������65�6 �� .,�����−−
:��−−
-�(* ��'0�*�(� ����
(����0�����0�������� /'-���,*������6:�6 ��'��'���-� �69�6 ��*�(,�0������−−
9��−−
��
�������!��,��0�0��*�0��0�,'�� �'+,*�����)��2,��*������*�0��
����7��'� 0������∆���)&�����(����2,���−−
:��−−
?��−−
�����,'(,'��0�*���� ����������*2,�
��−−
5��−−
?��−−
-0���0�2,���−−
5��−−
��'��'���∆����� �/���*��)��6�5�6 �������6�9��6�-�'��'���
��6�9�6 ��(* ��'0��*��������'��� ���∆���-���,*����−−9��
−−-��0�� �-��
−−?��
−−9��
−−��
����������� ����������� ����������������������� ��' (��*���� �*�� ��� �' *�� 2,� �� ����� 0� ��'���, � ,'� . +,�� +���=�� �� ,��'0� ��*���'�� *� ��+*� '�+��0,�0�)�*���(���!���*,� /'0�*(��*�����'� ���'� ��'���'*���'���,�� /'0�*�. +,�������'�>(* ����*��0�0����* <��*�)�'�.���,��*�0�������� /'������(�'0 �'����*(��*�������'� 0������,�*��� ��%���C�*�0��*�=��0�0���'���,�� /'0�*�. +,��)��%�0�������0�2,����* <�'0�*��(���� '0 ��0������ �'��.��� &���'��*�. +,����'*��(��( �0�0��(�0 0���
!���+*����� '���,��'��0���'���,�� �'��+���=�� ���(��� �����<��� ,'�������,�*2, ���-� ,'�������,�*2, ���2,�(���(��,'(,'��)� ,'������2,�(���(��0��(,'���0�0��
��' *� ��+*� '� �� (,�0� ���* <�� ' '+,'� ���� �(���� /'7 '� �� (,�0�' ��'���, � ��+��'���- '� (,�0�' ,� * <����� �,*��'����'��������0��0�*���+*�-����
��' �* ���(��(�0����0���� �0��0�,' ��'���*� � ��,'.���'� �0� ��0 �0�0���'(��� �,*��- �* ���(��(��� ����'���, ��*��+��'�� +,�*�,'��+��'��0�0�-�','���� ������0�0�)�(��� �0�,'(,'��0�0������� !""#$�%&!��&'(&���"��' !&��&)!��%)%�
��� �'�,'��+��'����−−
),'���� ��������'�� +�'�','(,'���)��2, ���0 ,8��,'��+��'������*���� ������-
��','�>������'�)�,)�*�'+ �,0���*�0���−−
���'�*���(����( '�%��'�)�����%������#�'��' �'0�*�����,��0�*���(��-��( '�%��'�)��0 ,8��*������0�*���� ��������'*�� ��,'.���'� �0���'����)��0 �
+,�*���−−
��'��'�����−−
���*��+��'��,���0��
����������� ���D
�
�
�
�
E
�
����� !""#$�%&!�*�'!+�"��' !&��&)!��%)%�
��0�,'�'+,*���6�-,'���� ��������),'��� (*�'�α0����� '�0�(��*��������-��2, �����'���, �,'�'+,*�
��'&=�� ���-,'*�0�*���� ��������-��'��0 0� +,�*���6�)��'��' 0��'��'��'����'���0 ,8�,'�� ��,'.���'� �-2,���������*��*�0��0���6��'(,'�����)� �#�'��' �'0�*�����,��0�* ���(�� �� 0 ,8� ,'� 0 ,8� ,'� � ��,'.���'� � ��' ��'��� �' � ) ��' �* � ��� ��0 � 2,� *� �'��� ��� ����� ��,'.���'� ����������','(,'��E����( '�%��*���(���'��)�����%����� ���'������0 0�-��0 ,8�,'�� ��,'.���'� ���'��'����'E������� ��,'.���'� �������*�� ��,'.���'� ��'��� ���'0��(,'�����'�0������(,'���
�����'�*��� (*�'�α)*�**������E ��'��'���E �6E����*�'+,*�,���0��
�'�.����-���−−
5�E�−−
-�� −−
5�E −−
)��� −−
5E�E −−
-0�0�'0�-(���*�������� ��� �0���'+�,�'� �-∆� ���5∆E �E�)
�'��'���E �6E�5� �
6��5��6��
����� !""#$�%&+,!���(&%#�-%&+)(&%#)� #.%&!��&'(&����
��0�,'��+��'����−−
��2, �����'���, ��*(,'����0 �#)*���0 ��� <���0 ,8�*�� ��,'.���'� ���'��'����'�)
��0 ���−−
-)*,�+�*�� ��,'.���'� ���'��'����'�)��0 ���−−
������� ��,'.���'� ���������'�'0��(,'����)E�!�
������E��*���0 ��� <0���−−
)*� '������� /'0��E��'��−−
���*(,'����0 �#��'�.����-*�0 ���'� �0�� ���� +,�*�*�0 ���'� �0����-(,��*��0��� ��,'.���'� �� � �'�'�*� ��� ��0 ���'��'���������'*���0 ��� <���*� �����0�-��&�2,�E�����'*���0 ��� <�
����� !""#$�%&+)/#�&"� #.%&!�*�'!+��
��0�,' �'+,*� ��6�- ���<����,'� � ��,'.���'� �0� ��'��� �- 2,� ������� � *��*�0��0�* �'+,*� �'(,'��� � ) E- ���(��� &���'��� ��' *� � �������,��0�*���(����0 ,8�,'�� ��,'.���'� ���'��'��� �' � ) ���� ��' ��'��� �' E� ����� 0��� ��,'.���'� �� �� �����' �' ,' (,'�� �� !���� ����������*� ����� <0�*�'+,*���� 0�8� ���� �8��� � � 0�������� 2,� ���� �����������
����� !""#$�%&!�� #*�'!+�%&+)%��%)%��0�&�#&�%�&�"!&��)&+ &�!+�)%� &+)�#1�)"# "!�2& &�"#)�3�
��0��������+��'�����−−
-�E−−
)��−−
-��2, �����'���, �,'�� �'+,*�∆�����*2,�-��−−5�E
−−)��
−−5��
−−����,(�'�2,�
�E−−
?��−−
9��−−
���( '�%���'�*���(���'�)�����%����E���'��������,�������<�,'�� ��,'.���'� ���'��'����'��!,�+���( '�%���'�*���(���'�)�����%��������'��������,�������<�,'�� ��,'.���'� ���'��'����'�������� ��,'.���'� ���������'�'0��(,'����� **��������,'�0��**���'��'���∆������*�� �'+,*�,���0�������*������8��� � ��� &�, �/+&()�"+*�#"��
!�� ������� ��� +� �+�� �� '��������' (�� ���� (��*����0� ��'���,�� �'�� +���=�� ���7 *�0,(* ��� /'0�*�,�-*��� ���� /'0�*�'+,*�)*��,�0���,��0�*����,*��
�� !�0,(* ��� /'0�*�,���*(��*�����'� ����'��*�,*���**�0�0�,'�,�2,��,& ���0�*�&�*,��'2,�����0�0�(��& ���'����**�0�2,���,����0���������' 0��(��� �0�*(� � � &���0 �'��*���+*�)�*���(��� �,�'�� *� ���0 � /' 2,� ,'� �( 0�� � ���*/ ���'�� %�� � �* D @ ���� ���� ����� ��' �**� ����'�,*�/�*����,*�0��(�*�-�'��*��-)�*����,*����(�'0 /2,�0���'0,(* ����*&�*,��'0�*�*���0��(�*�-2,���'��.����0��,��!�����' �'���0,(* ����'*��0 ��'� �'��0�*�*���)�'��'����*&�*,��'�� �,*� (* �/ (�� @� � ������'��- *� �( 0�� � '� 0���(���� /� F�� �� +�/������ �.��� ���' ��*,� �'��������� ��� (��� �*�� ) �(��> ��0�� 0�* (��*��� 2,�- � ' 0,0�- ��'�� ,)���' �* 0������**� 0� *��������� �����,& ���'2,�(�����,�%��� +*��(���(�0��(����2,��*(��*���'���'����*,� /'�'*�.�����'2,�*�(*�'����'*��+� �+����'�.����-,� * <�'0�����0�'�0�������� �'���*(��*�������0,��
����������� ���G
�����*&��*���,�� /'��5 -)��(,�0�0��������2,�-(��� �'0�0�,'��+��'��0�*�'+ �,0�-'���(,�0���'���, ���'��+*�)���(��,'��+��'��0�*�'+ �,0� �3���������-�H�I4�
� !� �� ���� /'0�*�'+,*����(����'0��0 & 0 �,'�'+,*��' �����'+,*�� +,�*��-,��'0���*�*���+*�)�*���(�������'���(�� *��'+�'���*)&�� ��������� ��� '���0,8���'�,�&���,> * ����2,�*��� �& ���'0� �),0�- ����(�� �8��(*�- *� ��������� 0�J ( ��� �*������� ��.��'�=� � ����K �'�<�*3�@�DL�@D@40������/2,�,'�'+,*�α���� ����*���'��+*�)���(��� �*(�* '�� �D>�M�>M���3α4����0,� *��
�� !��,�0���,��0�*����,*�����(��'0���*��+� �+��2,�0 ,8�'0�-�/*���'��+*�)���(��-'���(,0 �����'���, �,'�,�0��0�0����� +,�*�*�0�,'����,*�0�0������(��*���(����,(/��,�%��+�'���� �'��0�������� �����&�������.��� ���'��*,� �'���(���'���-�� & �*��)� '��'� 0��J,�������� ���2,�0�0 ����' ,'� +��' (���� 0� �, & 0� � '��'��� ����*&�� �* (��*��� 0� *� �,�0���,�� 0�* ����,*�3�& 0�'����'��� '��'��+, �*�4�!� �(�� * 0�00�*��,�0���,��0�*����,*�.,�(*�'���'��(���0�(��! '0���''�. '�*��0�*� +*�N�N-�*%���0�������0�*����'���'0�'� �0�*'1����π;������-π'�(,�0�������<0�' '+,'���,�� /'�*+��� ����'���. � �'����'������
����� !""#$�%&,�+4'���� &'!+) &�
J�)������'����(� '� (�*��0�(*�'����*���'���,�� /'0�(�*�+�'����+,*������'��+*�)���(��7
�� ��'���, ��*(�*�+�'���+,*��0�'*�0��2,�� �'�����*�0�,'��+��'��0�0�-
� ��'���, ��*(�*�+�'���+,*��0�'*�0�� '��� (���','�� ��,'.���'� �0�0�-
�� ��'���, ��*(�*�+�'���+,*��0�'*�0��� ��,'��� ���,'�� ��,'.���'� �0�0��
!��(��*���� )���'�2, &�*�'����0 & 0 �*�� ��,'.���'� ��''(����� +,�*���
!���'���,�� /'0�,'�� �'+,*��2, *�����3'5�4�0�,'�,�0��0�3'5D4��(,�0����* <���'�,�*2, ���0�*��������������� ='��(,�0�0 & 0 �*�� ��,'.���'� ��'G(����� +,�*��)�����'���, ��*(�'��+�'� '��� (��-�,'2,�*� ��'���,�� /' �� ��� ���(* ��0�2,�*�� �'��� ����� ���� OG M �O� 5 �O�G- ��� =' �� �� �'� �*(�*�+�'���+,*��0��G*�0���
� ��(,�0�0 & 0 �*�� ��,'.���'� � �''(����� +,�*��- ���� ��(,�0� �����,'�'+,*�- ��(,�0�0 & 0 �*�� ��,'.���'� � �' '(����� +,�*��� �(* ��'0� ���� �*�� ����� �'��� ����- ��0�0,��2,� ��(,�0�' ��'���, �(�*�+�'����+,*����0�7
�-H-� - D-���
D-@-�H-� -���
G-�A- A-DA-���
�G-�A-HA-� A-���
��0������������'� ��(��0��,�* 0��-(���%,�2,���(����,'�� AAA�C��(���2,���,��3�IIIL�@GG4���* <���*���'���,�� /'0�*(�*�+�'���+,*��0��I*�0�������P2,=��,�����'*��(�*�+�'����+,*����0�I-Q-��-��-�D-�Q-���*�0��R��,��0������/��� ='2,���*���(�� *�0 & 0 �*�� ��,'.���'� ���'��+*�)���(��-�',''1����(� ��0�(����� +,�*��- � ����'1������,'(� ��0�S�����-��0�� �-,''1����(� ��0�*�
.���� �?�����*���'��-*�������0�I-Q-��-��-�D-�Q- �- - �-���*�0��-��' �(�� *���
3�����0��2,�'���0��*��'1�����0�*�.���� �?���'(� ������'(� ���0�S������-G-�I- GI-HGG�I-
(��� G?�5D QDQHI QI-'���(� ���4
����������� ���H
����������� ��
�5��� � ������ �7����� ������ ������
����������� ���� ������������� �������������� �����
����,��2,�7�4�*(���*�*�+������,'�,�0� *�������'&�>�- 4*���'+,*���(,�����0�,'(���*�*�+������' +,�*��-�4�','(���*�*�+����*��*�0���(,�������' +,�*��������,�����2,��'��0�(���*�*�+����*��0 �+�'�*���������'�'�*(,'����0 �0����������,��2,�� ,'�,�0� *�������'&�>�� �'���0�(��0�*�0���(,����� +,�*��-�'��'�����,'(���*�*�+�����PE,=��*�� /'� �'������','� �0���'�*����*�� 0��'���4R6���,��2,��4*��,��0�*���'+,*�� '��� ����0�,'�,�0� *�������'&�>����HA�4*��,���'+��0��0�*���'+,*�� '��� ����0�,'(�*�+�'���'&�>�0�'*�0�����@A3'L 4�7���� �'�'0���� �'+,*�����)�T�T�T��*��2,���≡�T�T-��≡≡≡≡�T�T-�≡�T)��9���E,������(����2,�-�'������'0 � �'��-*���� �'+,*�����)�T�T�T��'��'+�,�'�������'� ',�� /'��0�,'��2,���0�0�������� /')�1%��0����(*����*��L � *�� �'+,*�� � ) �T ��' ��'+�,�'���- �'��'��� *�� �� �'+,*�� ��� ) �T�T�T ��' ��'+�,�'��� (��2,����������������������������LF�����0��������2,�*���'+,*���)�T���''���'+�,�'���-��<�'�'0�(����������������������������7��,(�'+����2,��)�T'���'��'+�,�'���-(,0 �'0��0� � �2,��9�T�����,'(,'��0�*��+��'������*2,����≡�T���� �'��'��'���2,����)�T�T�T��'��'+�,�'���(��2,�������������������������������������������� �'�2,��9�)�T9�T(,����2,����������������������������0�0,��2,��)�T��'�+,0��)�2,����������������������������������������������������������� �'�(����'��2,�������+,0�(��2,������������������������������������������'���,�'� �0�������������������������������*����� �/���*��)�2,��������������������� '����+�*���'+,*����*�� &���*������'����������������������������� �� �,(�'�� 2,� � ) �T '� ��' ��'+�,�'��� %���� **�+�0� � ����������������������� ) (�� ��'��������������������������������������
8�P�,�'���,��'*���'+,*���>��� ����0�,'(�'��+�'���'&�>�RP"0�,'(�*�+�'���'&�>�0�'*�0��R9�������,'�� �'+,*�-)#�*(,'����0 �0�**�0����� ���*������(���*�*����2,�(���(��#-0��,�����2,�7�4�������**�0����'�,(,'����0 ��4� ����*(,'����0 �0���-��5 #��*��+��'��#���� ��*'����0�(���*�*���0 �0�*�� �'+,*�������*� �'��� �� ��0�0,��2,� � ��(��2,�,'����*��(,'�����0 ��0�0��*�0��0�,' �� �'+,*�- �* ��+��'�����,*��'����(���*�*��*������*�0��:�� �','�� �'+,*�,' ���*��(,'�����0 ��0��,�*�0�����'�����,������ �'+,*�� +,�*���U,�� .���*��;�������,'�� �'+,*�-)#-�)�*��(,'����0 ��0�*��*�0����- ��)�����(��� &���'��������*(,'��0������0�*����0 �'���#)���3��%���(���0�2,�0����0 �'��0�,'�� �'+,*����'����'���L&���8��� � ��������L4����,�����2,�7�4 �#5��3��� =' ��5��44� �T���*(,'��0������0�*����0 �'���#)��-P2,=��*�� /'�> �� ���'���*����+��'����T#)�T�R��0,��2,�*��(,'����)�T�� '� 0�'�
����������� ���I
De lo anterior se deduce que las tres medianas de un triángulo se cortan en un único punto, que recibe el nombre de baricentro.��<� ��� ��� ,' �� �'+,*�� ��� ��0� ,'� 0� *�� &=�� ��� 0�* �� �'+,*� �� ���<� ,'� (���*�*� �* *�0� �(,����-.����'0������,'',�&��� �'+,*��T�T�T��4���,������ ���*������2,���'� �'�,'��*�,��0����-�'��'��������0 ��� <0��T�T�T�4�����2,�*����0 ��� ���0�,'�� �'+,*��������'�','(,'������'0�����)�4-0�0,��2,�*��������2,���'� �'�'*���*�,���0�,'�� �'+,*��������'�','1' ��(,'����*(,'��0������0�*��������2,���'� �'�'*���*�,�����**���ortocentro������'(�*�+�'���'&�>���0 ��2,����� '��� ���','�� ��,'.���'� �� ��0�,'�0��,�&=�� �����(,'��0�0 �%�� ��,'.���'� ���'����������0 ��2,�*�� ��,'.���'� �� ��,'��� ������� ��,'��� ���*(�*�+�'���4 ���,����� 2,� ,' �� �'+,*� �,�*2, ��� � ��(�� �� (,�0� '��� � �' ,'� � ��,'.���'� � 3� ��,'.���'� �� ��,'��� ��4�4��'���,)�,'�,�0� *�������'&�>�2,�'�(,�0���� '��� ���'' '+,'�� ��,'.���'� ������4���,�����2,��','(�*�+�'���+,*��*����0 ��� ���0���0���,�*�0���������'�','1' ��(,'���� �%�(,'��-2,��2, 0 ���0���0��*��&=�� ���0�*(�*�+�'���+,*��-��**�����'���0�*(�*�+�'��4��0,��2,�� ��(����(�� *�� ��,'��� �,'�� ��,'.���'� ��,'(�*�+�'���+,*��������,��2,��'�,�*2, ���0�*������(�� � �'��(�� *��2,� '0 ��'*��. +,���� +, �'���-�*�'+,*� '��� ����*�� ��00�*�'+,*���'���*������(�'0 �'���
�6� ���' ��� ) �T�T�T 0�� �� �'+,*�� �����'+,*�� ��' �'+,*�� ������ �6 ) �6T ���(��� &���'��� ���,����� 2,� *���� �'+,*�����)�T�T�T��'��'+�,�'���� ��&�� . ��,'��,�*2, ���0�*��� +, �'���(����0���'0 � �'��7
�4��≡�T�T)�6 ≡ �6 T4��≡�T�T)��≡ �T�T�4��≡ �T�T)�6 ≡�6 T�7�����'� 0���,'�'+,*���'&�>���'&=�� �������,�����2,�7�4� ���,'(,'��0�*� ����� <0�0 �%��'+,*�-�'��'���*��0 ���'� ��0���*��������2,���'� �'�'*��*�0��0�*�'+,*���' +,�*�������(������'��- � E��,'(,'��2,��2, 0 ���0�*��*�0��0�*�'+,*��-�'��'���E�����'*� ����� <0�0 �%��'+,*��Esto se expresa diciendo que la bisectriz de un ángulo convexo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.�4���,�����2,�0�� ����� ���0�,'�� �'+,*��������'�','(,'����4���,�����2,�*������ ����� ���0�,'�� �'+,*���'��'�,���'����El punto de corte de las tres bisectrices recibe el nombre de incentro. �8���������,'(�'��+�'���+,*������,�����2,��*�� �'+,*������ �/���*����9��'0 ��*��(����2,�%�)2,���+, �(�����'���, ���'��+*�)���(��,'%�>�+�'���+,*���
����������� ���@
�:���0�,'�� ��,'.���'� �-��'���, ���'��+*�)���(��,'�� �'+,*��2, *������ ��,'��� ���*�� ��,'.���'� ���;�����,'(,'���>��� ���,'���������4���,�����2,�0��0��'��> ���'�����* �,����0�*�� ���*�'+ �,0�4���λ*�0 ���'� �0����3��0�� �-03�-�45λ4�P���2,=�,�*2, ���* �,����<�0�0��0����� �'�*�'+ �,0��)��2,�λR�4� E ∈�-)�E��,'��* �,�0�*�'+ �,00-P�> ���0��0�������* �,���'*�'+ �,00R�<� ��� ����,' �,�0� *����� ��'&�>� �,�*2, ���- )# - �- �- ) E*��(,'�����0 ��0� ��- ��- ��) �����(��� &���'������,�����2,�#��E��,'(���*�*�+�������� ��� ���� ,' (���*�*�+���� ) � ) S *�� (,'��� ��0 �� 0� �� ) �� ���(��� &���'��� ���,����� 2,� *����+��'�����)�S0 & 0�'�*�0 �+�'�*���'������+��'�����'+�,�'���������0��*��� +, �'���. +,���-0�'0�*������������'+�'���*�� ��,'.���'� �-0��������2,��*�'+,*������*�� ��00�*�'+,*���'���*������(�'0 �'��3(,'���0��'*�. +,��4�
������ �'��*0 ,8�0�,'�� ��,'.���'� ��'�*2,�'����� '0 ��0��*��'����P�/����(,�0�0����� '���*��'���0�*�� ��,'.���'� ���'��+*�)���(��R�6�������,'�� �'+,*�-)�#)��*����0 �'����*�� &���*��*�0����)�����(��� &���'������,�����2,�� *����+��'����#)����'��'+�,�'����'��'����*�� �'+,*������ �/���*��0��������7��4���,��0�*�0�. ' � /'0�(�*�+�'���+,*��)�,�'����*��,��0�*���'+,*�� '��� ����0�,'(�*�+�'���'&�>����0,��*�2,�%�0���0 ���0��'+,*� '��� ��0�,'%�>�+�'���+,*���4� +,�*��(�,���� +, �'�����'�*�8�� &�0���'���, ���0 �'��(*�+�0�0�(�(�*,'%�>�+�'���+,*���
�������,'�� �� �����'+,*��0�(�(�*�����8��(*�0��G���0�*��+�)G���0��'�%��� �'�����,'�����'+,*������ � ��*�*� � �� 0� (�(�* %�� �'0� �� '� 0 � � ��' � ) � ��' �� � �%��� 0��(* �+��- �� �(��� � ,' ��+��'��-**��=���*�#�-2,���(���*�*����)��-)(���(��*��(,'�����0 ��0�*����+��'�����)���
���*�+�'0�0��0��-**�&���������#�)���'�������*��(,'����-E)�-2,�&�'����&=�� ���)��'���0�*%�>�+�'����(��� &���'���F��. +,���D��������'��,'������&=�� ��2,�&�����**�����(�0����(����0��0�,'�0�*��.������ +, �'���7
����������� ���Q
L���E(*�+����(��(�'0 �,*����'�����������*� '������� /'0�*�(��(�'0 �,*�����<�0�)���L�*�+��0��0��)%������ '� 0 ����'�������*� '������� /'0�*',�&�(* �+,�)���
G���*����(���(��(�'0 �,*����'�����-���' �'0���#�0 �'��(*�+�0���0��,�0��-0����� '�����T∈#�-ET∈��-�T∈��2,�0 ���'0��*�� ���2,��-E)����(��� &���'���H����������2,��*%�>�+�'����,*��'���EET�T�T���-�.��� &���'��-��+,*���
�8���' �'0��'�,�'��*�. +,��-0��,�����2,��*�'+,*������������ )�/*�� ����0 ������0�*�� ��,'.���'� ��
�9���0�,'(�*�+�'���'&�>���0 ��2,������ ��,'��� ���,'�� ��,'.���'� �3� ��,'.���'� � '��� ��4� ��0�*�0�����'+�'���*�� ��,'.���'� ��
�4���,�����2,��* '��'���0�,'�� �'+,*�����'���0�,'�� ��,'.���'� � '��� ���'�*� ����
4��'���,)�,'�,�0� *�������'&�>��'�*2,�'�(,�0� '��� ���' '+,'�� ��,'.���'� ��
�4���,��0�*�0�. ' � /'0���'���0�,'(�*�+�'���+,*�����%�(���0�2,�0 �%�(,'������'���0�,'�� ��,'.���'� � 2,� � ��,'��� � �* (�*�+�'�� ���,����� 2,� 0 �%� ��'��� �� ��� =' ��'��� 0� ,'�� ��,'.���'� � '��� ���'�*(�*�+�'���:����(�'0���<�'�0���'��� ��&��0�0����.�*����0�,'�0�*���. ���� �'��� +, �'���7
�4�'��0��� �'+,*������'+,*�*�% (���',������)��2,��,�*2, ���0�*����������
4��(,�0���'���, ���,'�� �'+,*�0�*�0��0�H-�A)�����4��(,�0���'���, �,'�� �'+,*��,)���'+,*�����'*�� ��00�*��0������
04��(,�0���'���, �,'�� �'+,*��,)��*�0�����'*�� ��00�*��0������
.4�','������(,�0� '��� �,'�� ��,'.���'� ��
+4�'�����'+,*�'��2, *�����'�(,�0�� ��,'��� ��,'�� ��,'.���'� �%4�','�� �'+,*��2, *�����*��(,'����� ��'���-������'���- '��'���)� ��,'��'����� '� 0�'�
4� �����,'�� �'+,*��'�*�,�**���0 �'��#����� ='�*�,��-�'��'�������� �/���*��
84� �����,'�� �'+,*��'�*�,�**��*�,���#����� =' ����� <-�'��'�������� �/���*���;����,�����2,� �' ��0� �� �'+,*� �����'+,*�-*� �,��0�*�� ������� �� +,�*�*�0�*��0 �������0�*��� ��,'.���'� �� '��� ��)� ��,'��� ����<� ���,�����2,�� ,' �,�0� *��������� ���� � ��,'��� �� �,'� � ��,'.���'� �- �'��'���*� �,��0�0��*�0���(,�����-�� +,�*�*��,��0�*�������0���
��� !� �,��0� ��0��*�� �'+,*�� '��� ����0�,'(�*�+�'� ��'&�>� ��0� �A@A�-P�,�'���&=�� ��� � �'�R-P�,�'���0 �+�'�*��R�' �* ����0�2,�.,��� ��+,*��-P�,�'��&�*0��� �* �'+,*� ��'���*.����0� �*,' �0��&=�� �����'���,� &����'�*��'���R������,�����2,�� ������,'�,�0� *�������'&�>� '��� ���','�� ��,'.���'� �-�'��'���*���'+,*���)���'�,(*���'��� ���
���������,'�� �'+,*������'+,*�0��'+,*�������)�'+,*��0��A�����,�����2,��'������'0 � �'���*�������(,�����*�'+,*��� 0�*�� ��02,�*�% (���',����6����'�)�0��(,'���0�,'�� ��,'.���'� ��-)����,'(,'��0��0 �� '��0��)0������E,'(,'��0�*��� (*�'�� ����3��4�����,�����2,�7
�4� E ∈�-�'��'����E6�)��6���'��'+�,�'����
����������� ��DA
4� E∉�-�'��'����E6�)��6�'���'��'+�,�'����
��*��'��� ����0�0,��2,�7V*��1' ���(,'���E0�*��� (*�'�3��4���*��2,��*�'+,*��E6���� +,�*�*
��6���'-��*&��)�-*��0�*����0�� ��,'.���'� �0��>�������)��*2,�(����'����V�� �%���'8,'��
0�(,'������ ��*'����0�arco capaz0��'+,*���6��7���0��,'��+��'����),'�'+,*�0���(* �,0α-P(�0������'���, �,'������(�<0��'+,*�0���(* �,0α)0��>�������)�R�8���'���,)�,'�� �'+,*���'�� 0��,'*�0�-�*�'+,*��(,��������*�0�-)*��*�,����*�� &��0 �%�*�0��
�9� �'*�. +,���40���� ��8��� � �'�2,�7��)����'(��(�'0 �,*����)��'+�,�'���-�E)�E��'(��(�'0 �,*����)��'+�,�'���-��-#�-��)����'(��(�'0 �,*������E)#��(,'����0 �0�������,�����2,�7 4�#53��?��4O 4���(,'����0 �0��E 4�#5�EO
�:� !�� � +, �'��� �,��� �'�� ����' ��.�� 0�� � *� . +,�� 4- �' *� 2,� �� %�' ��C�*�0� �*+,'�� (���� 0��*���'��� +,�*���
�4�����*��(����0��� �'+,*��2,�(�����'�����'+�,�'����
4P�����,�*��0�����(����0��� �'+,*��(,�0�(������2,���'��'+�,�'���R
�4��0,��2,�*���'+,*�����)�����'��'+�,�'����P������C�0 ����� ��'0 � /'�*��0�0��(��*�. +,�� (��� (�0�� �. ���� 2,� ��� ≡ ��SR �' ���� '�+�� &�- ��C�*� �*+1' (�� 0� �*���'��� 2,�- 0���'������.,���' +,�*��-'��(��� � ���0�0,� �0 �%���'+�,�'� ��
�;��'*�. +,���4��� �'�2,�7#��(,'����0 �0���-��≡��-��� ≡���-)�� ����� <0�������,��2,�#-�-�����'�* '��0���PE,='������� �*�������*�2,�(����'���'��*��(,'���R
6<���'���,)�,'���(�� � �/���*����'�� 0��*������)*�0 �+�'�*�
6����'���,)�,'�� �'+,*������'+,*���'�� 0�*�*�'+ �,0�0�*������2,����(�'��,'�'+,*�0�*�� �'+,*�
2,�� 0��A°�
6����'���,)���'��+*�)���(��,'(���*�*�+����-��'�� 0�,'�'+,*�)*��*�0���
6���������,'�,�0� *�������'&�>�������2,��*�'+,*���������-2,���)����'(���*�*��-)2,�����(,�0� '��� ����','�� ��,'.���'� �����,�����2,�������,'�����'+,*��
����������� ��D�
66���'���,)�,'�� �'+,*������'�� 0��*�*�'+ �,00�**�0���-*���(* �,00�*�'+,*��)*�*�'+ �,00�*��+��'����-0�'0����(����'���* '��'���0�����
67��4���������2,��'��0��� �'+,*�-,'���0 �'��,�*2, ���-����'��2,�*���� �,��0�*��*�0��2,�*����(��'0�'�3�����**�-��(,�0�(��*�'+��*���0 �'���'������*�2,�� 0�)����8����'*���� �'+,*��2,���.����'4�
4�)10���0�*�(����0��'��� ��(�����'���, �,' �� �'+,*���'�� 0��0��*�0��)*���0 �'����(��'0 0��'����**���
68��'�*�� �'+,*����0�*�. +,��-�#����0 �'�-��� ��'���)#(,'����0 �0����
����,��2,��*�� �'+,*����� �'�(��*�0����+��'���2,���' O�0�*����0 �'��0����
���'�),0�0�*��'��� �� 0���/����'���, �,'�� �'+,*���'�� 0���,�������0 �'���
69���'���,)�,'(���*�*�+������'�� 0��*��*�'+ �,0��0�,'�0��,�*�0��)0��,�0 �+�'�*����
6:��'*�� � +, �'���. +,���-0����� '� � *� '.����� /'0�0��� �,. � �'��(���(���� 2,�*�� �� �'+,*��������0����'��'+�,�'�����*����'0 � �'����C�*�0��(,�0���C�0 �*��2,�������&�'0��* '��� /'0�(,'����0� '������� /'0�������-(���' '+,'����� ��*�� &����'+�,�'� �0���+��'������'+�,�'� �0��'+,*���
����������� ��D
����*��. +,����'*��2,�*����'0 � �'��%�)�'� 0� '�,. � �'���-�C�0��*+,'�����2,�-8,'����'*��0�0��-��(��� ��0�0,� �*���'+�,�'� �0�*���� �'+,*����C�*�0��6;�������0�,'�0�*��*�0��0�,'�,�0��0���������'���,)�'�� �'+,*�������'+,*�� +,�*��-0�% (���',�� +,�*�**�0�0�*�,�0��0�-2,��� ��*���'�*���'�� &���'��V%�� ��0�'���V)V%�� ��.,���V3���� '0 ��*�. +,���0�*�(�+ '�� +, �'��4��4��,��2,��*�� �'+,*�J���������'+,*�� �/���*���4���U�*(,'��0������0�*����������)��-)���W�*(,'��0������0�*����������)������,�����2,��*(�*�+�'��W�U��,'�,�0��0���4��'�),0�0�*���(����0���'��� ����-0�0,��2,�*��(,'���J-�)�����'�* '��0���04P����'�* '��0��*��(,'���J-�-�)SR7<� ���� ��0� ,'� 0� *�� *�0�� 0� ,' �,�0��0� ���� �� ��'���,)�' �� �'+,*�� +,�*��- 2,� �� ��*���'�*���'�� &���'��V%�� ��0�'���V)V%�� ��.,���V3���� '0 ��*�. +,�� 4����,�����2,�� *��(,'���J-�-�)S����'�* '��0��-�'��'���*���� �'+,*����'�����'+,*���PE,=��*�� /'%�)�'����*���,*��0�0�*�8��� � �DQ)=���R
����������� ��D�
7��Mosaicos ��'0 ��C��.����0��(�� ��� '�� �'��0�. +,���+���=�� ���3�*0����42,� ���,��' �*(*�'� � '0�8��%,����' ��*�(����,'���������J�*����0����� ����+,*���,�'0�*���*0������'��0���*� ���(�*�+�'���+,*��-)�0����0���*0�����,�*��2, ����'�� �'�'' '+1'(,'���'���1'-�� *�� �'�'��,'&=�� ���,'*�0��!*���������� ����� ���+,*����2,�**������ ���2,�����'.����0��(��0 �� '���� (��0�(�*�+�'����+,*����2,�� �'�'�'��'������,'&=�� ���,'*�0�)�0�����'��0�&=�� ����'.*,)�'*��� ����(�*�+�'��)�'�*� �����0�'���* ��� ���� 1*� �� 2, ��� 0�� � *� � +, �'��� � �*��0�0�� 0� ,' &=�� �� %�) � (�*�+�'�� ��+,*���� ��- � - ���- ��-��*���0�� �' ,' ��0�' � �- � - ���- � �- �� &�� . �� 2,� �' �,�*2, �� ���� &=�� ��- ��(�<�'0� (�� �* (�*�+�'� � �
�'��'������*��(�*�+�'��� -���-� ��'�*+,'�0�*��0��(�� *���� �'��� �'��L +,�*���'���� ��*�0�*���+,8��0�*��*�8L�����'*�. +,��-�'*��&=�� ����)F��'.*,)�'*��� ����(�*�+�'���'�*� �����0�'���* ���
���'� ',�� /'�������0�0����� '����0��*��(�� *������ ������ ���+,*����)��+,*����2,���(,�0�'��'���, ���'*��(� ������(����0��0�*�8��� � �������*���'�*+,'����'�*,� �'��0���������+�'���*2,���'0�,� * 0�0(�����*. '�
�4���'�)��0��(�*�+�'����+,*����0�')�*�0�����(��� &���'��-)��'�'+,*�� '��� �������(��� &��α)β����,�����2,�α > β ⇔'9��������-�,�'����)�����*'1����0�*�0��0�*(�*�+�'���+,*��-��)�����,�'+,*� '��� ��-)����(������'���
4������ '�*�� �'+,*�� '��� ����0�*��(�*�+�'�� ��+,*����0� �- D- ���- �G*�0���P�> ���'(�*�+�'�� ��+,*�����,)���'+,*�� '��� ����� 0�'���(��� &���'��QQAOI-�H -� AAOI-�HG+��0��R
�4�����*'1����0�(�*�+�'����+,*�����*��0�0��0�,'&=�� ��0�,'���� ��0�*��0���� ����*(� '� ( �-)��*'B
0��**��2,���'�� �'+,*������,�����2,� :�XH-�5�⇔��5H)�3�LD4X��
04��' �'0��'�,�'��*����'� 0���� �'���'��� ����-0����� '�-�'.,'� /'0��)�-*��� �,�� �'��(�� *��2,�-�(� �� -��(,�0�'(*�'�����,�'0��� '��'������*���*(*�'��
�4J�<,'���,0 �(����'�� <�0�0���0�,'�0�*����������' 0���'04(���0���������2,�**��2,�'���'0,��'����� �����+,*�������� ���+,*�����
.4PJ��(�0 0�����*���*(*�'���'0��(�'��+�'��),'0���+�'�R
+4�'�*���,0 ����* <�0�%�����2,�%�������' 0�0 �� �� �(�� *����'. +,��� �'���*��0�0��0�,'&=�� ��-0�*���,�*������(��0,��'���� �����+,*����-),'�'���&�* 0�(�������*�����(������2,�*������ ������ ���+,*����0���,����*���'���*��0�����'. +,��� �'�������'����P�,�'������� ������ ���+,*������ �'��R
7���'*�. +,���-������,'(���*�*�+����-)�����,�*�0����%�'��'���, 0��,�0��0��0���'�������(��� &����-� -��)�D���0����(����2,��*�,�0� *�������� ���D��,'�,�0��0�������**�� +,�*��� +, �'���(�����
�� ���'�)S*��(,'�����0 ��0�*�� ��+��'��� ��) �� ���(��� &���'��-)��*(,'��0� �����0�*��0 �+�'�*��0���������,�����2,�*���� �'+,*������)� �S��'��'+�,�'�����
4 ���,�����2,��*�� �'+,*���� ��������'+,*�� �/���*���
�4 PE,=(,�0�0�� ���0�*���� �'+,*��� ���-���D�)�D���R��0,��2,���� ���D��,'�,�0��0��
����������� ��DD
7���'�*��(�� ��
�4���,�����2,�*����+��'���0�������(���*�*�����(��'0 0���'���(*�'��(���*�*����' +,�*���
4 � 0�� ������ ����'��� � ) � ��' (��(�'0 �,*����- *�� ������ ����'��� �T ) �T (���*�*�� � �**�� ��� =' ��'(��(�'0 �,*�����
����1*� �����,*��0�'��(��� ��0�. ' �������perpendiculares que se cruzan7���������2,�����,<�'��0 ��'(��(�'0 �,*����� ��'(��(�'0 �,*����*������������'���(���*�*����**��
�4���,�����2,�� *���������(��(�'0 �,*���*�������-�'��'�������(��(�'0 �,�*���,�*2, ��(���*�*����
04�'� recta se dice perpendicular a un plano � *� �� � ��0�,'�0�*�� ������ ��'��' 0�� �'0 �%�(*�'����' �'0��'�,�'���,�>(�� �'� ���'�*��(�� �2,�����0��-�','� �0 �� '������,*��0��2,���'8��,�������� �����-)2,���*�� �'�'(��(�'0 �,*�� 0�0�'���������)(*�'��-�'���������-(���*�* ����'���������-(���*�* ����'���(*�'��-�'���������)(*�'�����
76����#�*(,'����0 �0�* ��+��'����-) ���'���-�#�)�#� �� �'+,*�� �2, *������ ��'���, 0�� ��+1'*�. +,������ � �* (,'�� 0� ����� 0� *�� ��+��'��� �� ) ��- ) �- E- � *�� �� ��'���� *�� �� �'+,*�� ���- �#�- �#����(��� &���'���
�4 ���,�����2,��(����'����*�������#�
4 ���,�����2,�*���� �'+,*�����)�����'�����'+,*���
�4 ��,��2,��*�� �'+,*���#���2, *�����)2,�����,�� ��'����
D4 ���λ *�*�'+ �,00�,'���0 �'�0�*�� �'+,*����)µ*�*�'+ �,00�,'���0 �'�0�*�� �'+,*��#�3�'��0�,'�0������� �'+,*����0��*����0 �'��-(������2, *������-� �'�' +,�**�'+ �,04����,�����2,�µ =λ/2�
����������� ��DG
G4 ����*�� ��,'.���'� �0���'���#)��0 �*�*�'+ �,00�*��+��'��#����,��2,�*��(,'����-E)�(����'���'���
����������� ��DH
��=!&()%& &��+!"#$�%&+&>& "#"#�%&%&�& (#�)"#$�%&���� ���������������� �����������
�*���0�������8��� � �,'��� �'�,'���� �0���'�*,� �'��0���������+�'���*2,�&�����������0��',������
��� �','&=�� ����'�,���'0��(�*�+�'����+,*����0�')�*�0��-)�,��'+,*�� '��� ������'α )β ���(��� &���'��-�'��'���7α > β ⇔'9��������-"!)���()-� &�&+�?(& �%&+)%��%&+,�+4'��� &'!+) @()-� &��!*�'!+�#��& #� � �� ,'(�*�+�'���+,*��� �'�'*�0��-�*�'+,*� '��� ��� 0�α ��+1'*���*�� +, �'��-�'*�2,���(,�0�' '���(���������*,�'���' � D G H I @ Q �A �� � �� �D �Gα HA QA �A@ � A QAAOI ��G �DA �DD �H AO�� �GA �Q@AO�� �A@AOI �GH���#)+ &%&%� %&!�1A �#"&B)- ,�+4'���� &'!+) &��,)���'+,*�� '��� ����� 0�'α1, α2, ..., α�L1, α� -��� �'�7
α1 + α2 + ... + α�L1 + α�= �HAHAXα :�@A(�����0�
�����'��HA�X�HA)�HA:�@A�-0�0�'0��C D8�D��#%&+�� ,�+4'���� &'!+) &�2,�%�)�*��0�0��0�,'&=�� ��-����� #*�'!+��-��� �'�7
<D�D D8�E ⇔⇔⇔⇔ E8
�0����HA�?α�?� + ... + α�= �HA��'QAXα :�@A(��� 5�?�-���-�-0�0�'0���0�0,��2,�QA3�L�4?HA�X�HA-)(����'���0 �63D��G� ��' �'0� �' �,�'�� *�� ��'� 0���� �'�� �'��� ����- ����&����2,� � � �� �* '1����0�(�*�+�'�� ��+,*����2,���'�,���'�','&=�� ��)��*'1����2,�0��**����'�� �'+,*��-*���#�!)"#��&�,��#/+&�=!&�&,!&%&�,+)��&) ��'*��� +, �'���7
E8@�E8 E7@�E�@6 E6@�E<@�@�@� E�@�E<@�@�
H��%����/*�%�)2,�&��2,=� �,�� �'����+�'���'�'��0�,'�0�*��������'��� �����F������,�*����'�
����������� ��DI
������ E8@�E8
���� � E7@�E�@6
��� E7@�E��'��������HA?HA?HA?αD?αG5�HA��'QAXαD -αG:�@A���0�'0���0�0,��2,�αD 5αG5QA��� ��'���'����� �,�� /'-8,'���*�� ������ �'+,*����'�,���'�'�*&=�� ��0���,�0��0��-(,0 ='0���(����'���*��� +, �'�����'. +,��� �'��7
� � E7@�E6�'��������D �HA?αG5�HA���0�'0����� �'�2,�*�. +,��2,���'�,����'�*&=�� ��8,'����'*���,������ �'+,*����,'%�>�+�'��
������ E6@�E<@�@�@�
���� E6@�E<�'�������'0 � �'��α�?α ?α�?αD5�HA��'QAXα :�@A(��� 5�- -�-D���0�'0�����'�*,)�2,�α 5QA(�����0� �!���'. +,��� /'��(,��
�� � E6@�E�
����������� ��D@
�'�������'0 � �'��HA?α ?α�?αD5�HA��'QAXα :�@A(��� 5 -�-D��,����2,�α ?α�?αD5�AA-����%)�+)�2#'! )� &��)��&����"!)% )%���• � α 5�A@���*�'+,*� '���'�0�,'(�'��+�'���+,*��-α�?αD5�Q ��,����2,�QAXα -�'��'���QAXα�-αDX�A -)�'��'���,�'� � α�5αD5QA�����(�������&�*����0�*���'+,*��-α�?αDY�Q ����**���0��(��'0�2,�&�+)"��2#'! )"#$���,!&%&&�� ) !�,&��*'��� &'!+) �• � α 5� A���*�'+,*� '���'�0�,'%�>�+�'���+,*��-α�?αD5�@A��'QAXα :�@A(��� 5�-D���0�'0����� �'�2,�α�5αD5QA-)*��� +, �'���0����'. +,��� �'���
• � α 9 � A �� �* �'+,*� '���'� 0� ,' (�*�+�'� ��+,*�� ��' ,' '1���� 0� *�0�� ��)�� 2,� H-�'��'��� α�?αD:�@A��'QAXα :�@A(��� 5�-D7� �,�� /' �(�� *�������5D-�5�-'��(�����'���(�� * 0�0���
���� E6@�E��'�������'0 � �'�� �HA?α�?αD5�HA��'QAXα :�@A(��� 5�-D�• � α�5 QA �� �* �'+,*� '���'�0�,' �,�0��0�-αD 5 �GA�U,'�� �*��0�� �� �'+,*�� ��'�,���','�,�0��0�),'0�0���+�'��• � α�5 �A@ �� �* �'+,*� '���'�0�,'(�'��+�'� ��+,*��-αD5 �� -&�*��2,�'� ������(�'0� �*���0 0�0�*�'+,*� '���'�0�,'(�*�+�'���+,*���• � α�5� A���*�'+,*� '���'�0�,'%�>�+�'���+,*��-αD5� A�U,'���*��0���� �'+,*����'�,���'0��%�>�+�'����+,*�����• ����*��(�(�*��0�α�)αD��' '������ �*��-��'*��������'��� ����2,�0����(*����*���,0 �(����5D-�5 �
��D� E6@�E�
�'�������'0 � �'����HA?αD5�HA��'QAXαD:�@A������ �,�� /'-������ '��0 ������(����-'�(,�0�0�����
����D� E�@�E<@�@�
D��� E�@�E<
����������� ��DQ
�'��������α�?α ?α�5�HA��'QAXα :�@A��' 5�- -����0�'0���0�0,��2,�"�(�(*F#(�&+�?(& �%&"!)% )%��=!&"��"! &�&�!�1A �#"&&�!���• � α�5QA-α ?α�5 IA��'�A@Xα :�@A��' 5 -��L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'(�'��+�'���+,*��-�*����(�*�+�'���+,*��0�������'��,'�'+,*� '��� ��0��H +��0��-2,����*0�,'(�*�+�'���+,*��0� A*�0�����' �'0��'�,�'���'��'���2,��'��0�&=�� ��0�*���� ����'�,���','(�'��+�'�-,'�,�0��0�),' �/+�'� ��' �* � ��� ��0�' ���* ��- �*��0�0�� 0� ,' (�'��+�'� *� � �,�� /' 2,� �� +�'��� �� *� 2,��,�����*�. +,���
�����������,*��(,�� �(���� ��*��L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'%�(��+�'���+,*��-�*����(�*�+�'���+,*��0�������'��,'�'+,*� '��� ��0�QQAOI+��0��-*�2,��� �(�� *�����(,�0��(��� �����'*���*�0�*(� '� ( ��L� �'�*&=�� ����'�,���,'%�>�+�'���+,*��-�*����(�*�+�'���,'0�0���+�'��L� �'�*&=�� ����'�,���,'���/+�'���+,*��-�*����(�*�+�'����������/+�'��L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'(�*�+�'�0���)��'1����0�*�0��2,�@-�*2,��������0�������'����'��'1����0�*�0��2,�@������������)�������'� 0���0�-�*���,0 ��������(*����,�'0��'*���'. +,��� /'�(�����,'�,�0��0��• � α�5�A@3�'+,*� '��� ��0�(�'��+�'���+,*��4-α ?α�5 G ��'�A@Xα :�@A��' 5 -��L� �'�*&=�� ����'�,�������(�'��+�'���+,*��-�*������(�*�+�'�0�����,'0���+�'���+,*���L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'%�>�+�'�-�*����(�*�+�'���'0���2,���'��,'�'+,*� '��� ��0��� +��0��- �(�� *��L� �'*���'. +,��� /'�(���� ���,'(�*�+�'�0���)��'1����0�*�0��2,�H-�*2,��������0�������'�� ,' �'+,*� ��'�� 0� �� +��0��- ���� �� 0� �A@ � � A- (��� ����� ����� ��' *�� 2,� )� ����'��'���(*�0����'��'���,�'� ��*���,0 ��������(*����,�'0��'�*&=�� ��'���'�,���'�,�0��0��)���*+1'(�'��+�'��• � '���'�,���'�,�0��0��' (�'��+�'��-α�?α ?α�5�HA��'� AXα :�@A��' 5�- -�������* +�2,�α 5� A(��� 5�- -��!��0 �� '�����'. +,��� �'��2,��(�����'(����5�-�5A��'*��� +, �'����
����������� ��GA
D� � E�@�E�� �*'1����0��� �'+,*��2,���'�,���'�','&=�� ����,'�-α ?α�5�AA�������0�α :�@A-")%)αααα#%&/&�& ()-� =!&��<�• � ,'�0�*��α ��QAAOI-�*����0�������� AAOI-2,�������(�'0��*�'+,*� '��� ��0�,'(�*�+�'���+,*��0�D *�0��-)*�� �,�� /'2,���(��0,����*�2,��,�����*�. +,��� +, �'��-)2,���'0,���,'���� ��'���� ��+,*���
• � ,'�0�*��α ����G3��0 0�0��'+,*� '��� ��0�,'���/+�'�4-�*����0������HG3��0 0�0��'+,*� '��� ��0�,'(�*�+�'���+,*��0� D*�0��4�
!�� �,�� /'2,���(��0,����-����(,�0��(��� �����'*�. +,���'��� ��-�'�*�+��*�����'�* <�0������� ��• � ,'�0�*��α ���DD3��0 0�0��'+,*� '��� ��0�,'0���+�'�4-�*����0������GH3��0 0�0��'+,*� '��� ��0�,'(�*�+�'� ��+,*��0� �G*�0��4-(���*� � �,�� /'2,� ��(��0,�� �� �'�*�+��*���'��� ����������'�����(�������0 ��� ,� /'��.��� *��• �����'����0�α ����)��� +,�*2,��GA�����*��,��0��������AA-α 5�GA(��� 5 -��������(,��*�1' ��(�� * 0�02,���(����'��(����5�-�5�70��0�0���+�'��),'�� �'+,*��
����������� ��G�
D��� E�@�E��'����� �,�� /'- �HA?α�5�HA��'QAXα�:�@A���0�'0���0�0,��2,�����(�� * 0�0'�(,�0�(*�'�������
��' �'0��'�,�'����0��*0������**��'��� ��-����&����2,�7• �*��,��%�)�������� �����+,*����(��&�' �'���0�*����'. +,��� �'��3�L�L�L�L�L�4-3DLDLDLD4)3HLHLH42,���
(,�0�'����*�����*��0�0��0�,'&=�� ���!���'���,�� /'0�*������ ���'��(��� �����(����2,���0�,'�0�*������(�� * 0�0����&�* 0��J�)(,���������� �����+,*�����
• ���> ���,'�����*�� /'�'*�2,��(���<��,'(�*�+�'���+,*����',''1����0�*�0����)��� +,�*����• �*�(��+,'��0� � ��(�� *� ����*��,'(*�'� ��'0��(�'��+�'��),'0���+�'� ��'�,���'��� �','&=�� ��- ��
(,�0���'��*���'��� /'0����(�'0���. ���� &���'��(,����2,�3�ALGLG4��,'�0�*�����'��&�* 0���'�*���,0 ����* <�0��� '����+�0�������(����2,��'��0��*��&=�� ���(,�0���'��'����*�� �����'. +,��� /'7
L��0�0���+�'�0�������V��0��0�V0�(�'��+�'���L���(�'��+�'����'���,� &��0����� '�','0���+�'��L�(�����'&=�� ����'*��2,���'�,���'����(�'��+�'���
����(�� *��'��'�������*���*(*�'���','0���+�'�)0��(�'��+�'�������������*�1' ����'. +,��� /'��'(�*�+�'����+,*�����'*�2,��(�����,'(�'��+�'�-(�0�����. ����2,�','����(�� *�����*���*(*�'��'*�2,��*+1'(�*�+�'���+,*�����,'(�'��+�'��
• �'�*���,0 ����* <�0���%�'���' 0�0 �� �� �(�� *����'. +,��� �'���*��0�0��0�,'&=�� ��0�*���,�*������(��0,��'���� �����+,*����73�L�L�L�L�L�4-3DLDLDLD4-3HLHLH4-),'�'���&�* 0�(�������*��73�ALGLG4���(������2,�*������ ������ ���+,*����0�����,����*���'���*��0�����'. +,��� �'�������'����