ESTRUCTURAS IIng. Jorge Buzn Ojeda jbuzon@cuc.edu.co

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (1):Estructura Anlisis Anlisis Estructural Cargas:

Vivas: debidas al uso Muertas: debidas al peso propio de la estructura

Tipos de cargas:

Gravitacionales y No gravitacionales

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (2):

Materiales Estructurales:El acero estructural El Concreto estructural

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (3):

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (4):

Materiales Estructurales:

El concreto presforzado

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (5):

Materiales Estructurales:La madera estructural Mampostera estructural Plsticos y otros materiales sintticos Estructurales

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (6):

Durabilidad

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (7):

Como conseguimos estructuras durables?

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (8):

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (9):Formas Estructurales Existen varias clasificaciones, pero la mas general es de acuerdo a la forma geomtrica que tenga la estructura. estructura. Otra forma de clasificar las estructuras, se le debe al ingeniero y arquitecto constructor HEINRICH ENGEL, segn la cual las estructuras se dividen en 5 grandes categoras: categoras:

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (10):

Estructuras de Forma activa: Son las que estn activa: sometidas a tensin como los cables y a compresin como arcos y columnas. columnas.

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CONCEPTOS BASICOS (11):

Estructuras de Vector Activo: Son por ejemplo las Activo: cerchas planas o espaciales

INGENIERIA ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS (12):

Estructuras de Masa Activa: Son las vigas, prticos y Activa: losas, que trabajan a esfuerzos de flexin, cortante y compresin. compresin.

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CONCEPTOS BASICOS (13):

Estructuras de Superficie Activa: Son por ejemplo Activa: las plegadas, domos y cascarones. cascarones.

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CONCEPTOS BASICOS (14):

Estructuras Verticales: Son las estructuras muy Verticales: esbeltas (rascacielos)

METODOS DE ANALISIS

CLASIFICACION:

Mtodos Energticos: Basan su metodologa en los Energticos: principios de Energa. Son:Mtodo del Trabajo Real Mtodo del Trabajo Virtual Mtodo de la carga unitaria Mtodos de Castigliano ( 2 Teoremas)

METODOS DE ANALISIS

CLASIFICACION:

Mtodos Cinemticos: Basan su metodologa en Cinemticos: los principios de la cinemtica:rearea-Momento Viga conjugada Integracin matemtica o numrica Diagramas de Williot-Mohr Williot

METODOS DE ANALISIS

CLASIFICACION:

Mtodos de las Fuerzas: Basan su metodologa en Fuerzas: principios de la esttica donde las fuerzas son las incgnitasCarga Unitaria Teoremas de Castigliano Matricial (Flexibilidad) Tres Momentos

METODOS DE ANALISIS

CLASIFICACION:

Mtodos de los Desplazamientos: Basan su Desplazamientos: metodologa en principios de la esttica.Pendiente-Desviacin Pendiente Cross Kani Takabeya Matricial (Rigidez)

CARGAS

CARGAS VIVASSon debido al uso. Su magnitud debe seguir los criterios de una norma. La mayora de pases posee una norma que regula o rige el anlisis y diseo de estructuras. En Colombia se llama la NSR-98. Es un decreto Ley NSRque se debe cumplir y todos los ingenieros debemos seguir sus requerimientos y especificaciones La NSR-98, las especifica en el Ttulo B NSR

CARGAS

CARGAS VIVAS

Nuestra Norma NSR-98, especifica los siguientes NSRvalores:Vivienda: Oficina: Escaleras: Graderas de Estadios: Salas de reuniones: Hospitales:

180 Kg/m2 200 Kg/m2 300 Kg/m2 400 Kg/m2 300 500 Kg/m2 200 400 Kg/m2

CARGAS

CARGAS MUERTASSon las que dependen del peso propio. Requieren un anlisis de carga La norma especifica la densidad de los materiales usados en las construcciones. Al realizar un Anlisis y un Diseo estructural, es importante tener especificada una geometra de los elementos estructurales, cumpliendo criterios de estructuracin consignados en la NSR-98. Aparecen NSRen el Ttulo C.

CARGAS

CARGAS MUERTAS

La NSR-98, en el ttulo B aparecen algunas NSRdensidades importantes:Concreto simple: Concreto reforzado: Agua: Acero: Mampostera: Arena densa o grava: Arena Suelta:

2.300 Kg/m3 2.400 Kg/m3 1.000 Kg/m3 7.850 Kg/m3 1.800 Kg/m3 (ladrillo) 1.900 Kg/m3 1.800 kg/m3 ( Est. Suelos)

CARGAS

CARGAS MUERTAS

La NSR-98, en el ttulo B aparecen algunos pesos ya NSRestablecidos por unidad de rea:Cielos rasos de mortero: Cielos rasos de madera: Cubierta placa ondulada A/C: Teja de barro o mortero: Muros de mampostera: Entrepisos de madera: Impacto:

80 100 Kg/m2 10 50 Kg/m2 18 Kg/m2 75 Kg/m2 300 350 Kg/m2 120 Kg/m2 Incremento %

CARGAS

CARGAS DEBIDO A FENOMENOS NATURALES: NATURALES: Estas cargas requieren un anlisis particular, son:Sismo Viento Empujes (agua o tierra) Oleajes Corrientes

CARGAS

CARGAS DEBIDO A SISMO Esta carga requiere de un anlisis particularizado en las estructuras. estructuras. Todo diseo en Colombia, se debe ajustar y cumplir requisitos de norma. La NSR-98, tiene norma. NSR-98, estipulados los requerimientos que se deben cumplir, en trminos de modelacin ssmica y de mtodos de anlisis y diseo. diseo.

CARGAS

CARGAS DEBIDO A SISMO La NSR-98, colombiana, tiene a todo el NSR-98, territorio colombiano dividido en zonas de amenaza ssmica. Esta divisin se basa en ssmica. estudios estocsticos (probabilstica), para inferir la probabilidad de ocurrencia de un movimiento ssmico. ssmico.AMENAZA SISMICA BAJA AMENAZA SISMICA INTEMEDIA AMENAZA SISMICA ALTA

CARGAS POR SISMO

CARGAS

CARGAS DEBIDO A VIENTO La NSR-98, colombiana, tiene especificado unos NSR-98, modelos empricos para tener en cuenta la accin del viento sobre las estructuras. estructuras. El modelo esta en funcin de: de:Forma estructural (alzada y planta) rea expuesta a la accin del viento Caractersticas del material expuesto (rugosidad) Mapa de amenaza elica ( Velocidad del viento)

CARGAS

CARGAS DEBIDO A VIENTO En estructuras altas tipo rascacielos, el anlisis por carga de viento, es casi mas importante, que el debido a sismo o a cargas vivas y muertas. muertas.

ANALISIS DE CARGA

ANALISIS DE CARGA PARA VIGAS

ANALISIS DE CARGAS PARA LOSASMACIZAS ALIGERADAS

ANALISIS DE CARGAS

ANALISIS DE CARGA

Aligerantes:Bloques, icopor, etc.

ANALISIS DE CARGA

TENER EN CUENTA:Geometra Material Densidad Volumen Cargas muertas rea aferente o de referencia ( m2 ) El anlisis de carga para losas se hace por unidad de rea y para vigas por unidad de longitud.

ANALISIS DE CARGA

TENER EN CUENTA: rea

aferente: S x 1.0 (m2) Volumen: Base x altura x longitud (m3) Densidad: = (Ton/m3) unidad de peso / unidad de volumen

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADAPiso e h H Torta, loseta

bw

So

bw Nervio, Vigueta

Cielo raso Aligerante

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADAaligerantes 1.0 mt nervio

S

rea aferente

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADATORTA O LOSETAe

1.00 S

Volumen = S x 1.00 x e Desidad ( ) = Peso/volumen

(m3) (Kg/m3)

La carga que la loseta le produce a la losa es: Peso = Densidad x Volumen = Carga = Peso / Area Aferente = ( S x 1.0 x e ) ( Kg)

( S x 1.0 x e ) / (S x 1.0 ) = x e ( Kg/m2)

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADANERVIO O VIGUETA

= 2 bw/2 bw

Volumen = bw x 1.00 x h (m3) Desidad ( ) = Peso/volumen Peso = Densidad x Volumen = ( bw x 1.0 x h ) ( Kg)

Carga = Peso / Area Aferente = ( bw x 1.0 x h ) / (S x 1.0 ) = x bw x h / S ( Kg/m2)

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADA

Lo usual en Colombia, es que estos bloques sean rectangulares

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADAALIGERANTE ( BLOQUE )

h 20 cm So Peso de los bloques = 5 un x Wbloque Carga = Peso de los bloques / Area Aferente = 5 x Wb / ( S x 1.0 ) ( Kg / m2 )

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADAPISOS

e'

1.00 S

Volumen = S x 1.00 x e Desidad ( ) = Peso/volumen

(m3) (Kg/m3)

(Investigar en la NSR-98, la densidad para cada tipo)

La carga que el piso le produce a la losa es: Peso = Densidad x Volumen = ( S x 1.0 x e ) ( Kg)

Carga = Peso / Area Aferente = ( S x 1.0 x e ) / (S x 1.0 ) = x e' ( Kg/m2)

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADACielos rasos: Buscar en la NSR-98, Ttulo B, la NSRcarga por m2Mortero Malla vena paetada Machimbre de madera Yeso catn Sonocor Icopor Otros

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADAMuros: Buscar en la NSR-98, Ttulo B NSRLa norma especifica entre 300 y 350 Kg/m2 para muros de mampostera de bloque convencional, hasta 2.20 metros de alto. Para alturas mayores, se debe estimar proporcionalmente a la altura. Tambin se puede determinar de manera exacta o detallada ( Investigar )

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADA1) CARGA MUERTA (D) Torta: xe Nervios: x bw x h / S Pisos: x e' Bloques: 5 x Wb / S Muros: 300 - 350 Cielos rasos (Norma) (D) : Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2

2) CARGA VIVA (L) Esta en funcin del uso. Ttulo B, de la NSR-98 3) CARGA TOTAL (W) W=D+L (Kg/m2)

ANALISIS DE CARGA LOSA ALIGERADA4) CARGA TOTAL MAYORADA (Wu) Wu = 1.4D + 1.7L ( Kg/m2)

5) FACTOR DE SEGURIDAD (FS) FS = Wu / W Debe ser un valor mayor que 1.0 Normalmente se puede trabajar con valores entre 1.4 y 1.6, 6) CARGA POR VIGUETA ( qu ) qu = Wu x S ( Kg/ml)

ANALISIS DE CARGA LOSA MACISAPisos Losa

Cielo raso

ANALISIS DE CARGA LOSA MACISA1) CARGA MUERTA (D) Torta: xe Pisos: x e' Muros: 300 - 350 Cielos rasos (Norma) (D) : Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2

2) CARGA VIVA (L) Esta en funcin del uso. Ttulo B, de la NSR-98 3) CARGA TOTAL (W) W=D+L (Kg/m2)

ANALISIS DE CARGA LOSA MACISA4) CARGA TOTAL MAYORADA (Wu) Wu = 1.4D + 1.7L ( Kg/m2)

5) FACTOR DE SEGURIDAD (FS) FS = Wu / W Debe ser un valor mayor que 1.0 Normalmente se puede trabajar con valores entre 1.4 y 1.6,

ANALISIS DE CARGA VIGA

Se hace por metro lineal del viga Se debe conocer la geometra ( b x h ) Se debe conocer la densidad del concreto ( c) Se debe calcular el volumen por metro lineal de viga, as: V= b x h x 1.0 (m3) Si lo multiplicamos por la densidad del concreto, obtenemos el peso de un metro de viga, as: Qu = b x h x c ( kg/ml)

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

Este mtodo lo estudiaremos para vigas y prticos determinados El trmino virtual, significa imaginario, no virtual, imaginario, real Este mtodo se basa en el principio del trabajo virtual.

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Si una estructura deformable, en equilibrio bajo un sistema de cargas, es sometida a una deformacin virtual como resultado de una accin adicional, el trabajo virtual externo hecho por el sistema de cargas, es igual al trabajo virtual interno efectuado por las fuerzas internas causadas por l

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

Este es el mtodo mas verstil que existe para calcular deflexiones en estructuras, producidas inclusive por causas externas diferentes a cargas (cambios de temperatura, accin de qumicos, etc.) etc. LIMITANTE: Solamente es aplicable donde se LIMITANTE: cumple el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN

METODO DEL TRABAJO VIRTUALPRINCIPIO DE SUPERPOSICIN: SUPERPOSICIN: Si los esfuerzos y desplazamientos en todos los puntos de una estructura son proporcionales a las cargas que los causan, los desplazamientos y esfuerzos totales que resulten de la aplicacin simultnea de varias cargas, son la suma de los desplazamientos y esfuerzos causadas por dichas cargas, aplicadas separadamente

METODO DEL TRABAJO VIRTUALSupongamos que tenemos una viga simplemente apoyada, con una carga distribuida. Deseamos conocer la deflexin en el punto A.Qu

A

METODO DEL TRABAJO VIRTUALPara esto, cambiamos la carga REAL actuando en toda la viga, por una puntual p=1, p=1 IMAGINARIA, ubicada en el sitio donde deseamos conocer la deflexin. deflexin.p=1

A

METODO DEL TRABAJO VIRTUALDebemos ahora, calcular el momento virtual (m) que produce la carga virtual p=1, haciendo un p=1 corte hasta la distancia (x) justo antes del punto A.p=1

A

METODO DEL TRABAJO VIRTUALDebemos ahora, calcular el momento virtual (m) para una posicin (x) cualquiera de la viga, medida desde al apoyo izquierdo. izquierdo.p=1

A

METODO DEL TRABAJO VIRTUALm ( virtual )

v (fuerza cortante) x r (reaccin) m(A) = 0 : r (x) - m = 0 r x= m

METODO DEL TRABAJO VIRTUALAhora debemos calcular el momento que produce la carga REAL (Qu). La que produce el (Qu). desplazamiento (deflexin ) hacia abajo. abajo.Qu M ( real )

V (fuerza cortante) x R (reaccin) M(A) = 0 : R (x) + Qu(x)(x/2) - M = 0 M = R (x) + Qu(x)(x/2)

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

Esta carga genera sobre la viga una RESPUESTA LINEAL ELASTICA en el material. material. Si tomamos un diferencial de longitud de la viga dx, este se deforma o gira d = (M/EI)dx ( Este es un concepto de la resistencia de materiales) Como consecuencia el TRABAJO VIRTUAL hecho por la carga unitaria es 1*

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

Por consecuencia el TRABAJO VIRTUAL INTERNO hecho por el momento virtual (m) es: es: (m)d = m (M/EI)dx Si igualamos estos valores e integramos desde x=0 x=0 hasta x=L, podemos obtener la deflexin de la viga. viga. De manera similar, tambin podemos llegar a calcular la rotacin (pendiente)

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

La deflexin es: es: 1* = (m*M)/(EI) dx x=0 x=0 hasta x =L La rotacin es: es: 1* = (m*M)/(EI) dx x=0 x=0 hasta x=LNota: Cuando vamos a calcular rotacin, en lugar de Nota: colocar una carga unitaria, colocamos un momento unitario en el sitio donde se pide hallar la rotacin

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS: ANALISIS:1.

2.

3.

Se cambia el sistema de carga real por el virtual, es decir, se coloca una carga o un momento unitario en el sitio donde se requiere calcular la deflexin o la rotacin. rotacin. Se hacen los cortes para determinar las ecuaciones de momento virtual (por carga unitaria o por momento unitario) Se determina la ecuacin de momento virtual

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS: ANALISIS:4.

5.

Se calcula la ecuacin de momento real, con el sistema de cargas reales, haciendo el corte o los cortes, en los mismos sitios donde se hicieron para determinar el momento virtual. virtual. Por ltimo se remplaza la ecuacin de deflexin o de rotacin, segn el caso, con las ecuaciones de momento real y momento virtual y se resuelve la integral, para el intervalo adecuado. adecuado.

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

Cuando las cargas no sean continuas o existan diferentes tipos de carga en un tramo, habr necesidad de hacer igual nmero de cortes e integraciones y los lmites de la integracin variados de la misma manera. manera.

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

EJEMPLO DE APLICACINQU = 12 KN/mt A B

L = 10 metros, E=200 Gpa, I = 500x106 mm4 Calcular el desplazamiento del punto B (deflexin)

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

EJEMPLO DE APLICACINp = 1 KN

m

B

x

La ecuacin de momento virtual es: m = -1 * x

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

EJEMPLO DE APLICACINX/2 12 * X

M

B

X

La ecuacin de momento es: M = -6 * x2

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

EJEMPLO DE APLICACIN

Remplazando en la ecuacin M = -6 * x2 (Real) m = -1 * x (virtual) Con intervalo entre x=0 mt y x=10 mt

= (-x (-6*x2 )/(EI) dx = 150 mm (- (-

LEY DE BETTI Y LEY DE MAXWELL DE LAS DEFLEXIONES RECIPROCASESTUDIAR Y PREPARARSE PARA UN QUIZ SOBRE EL TEMA

CURVA ELASTICALa vista lateral de la superficie neutra de una CURVA viga deformada se llama ELASTICA, o simplemente ELASTICA DE LA VIGA. PCurva elstica

A

B

CURVA ELASTICAEje y B Eje x A ds

x

Pdx

CURVA ELASTICAo d Radio del Segmento curvo B A ds Eje x Lnea tangente al punto B Lnea tangente al punto A d

La pendiente de la curva en el punto A es igual a:

dy/dx = tan

Pero como los ngulos son tan pequeos entonces podemos asumir que: dy/dx =

CURVA ELASTICAo d Radio del Segmento curvo B A ds Eje x Lnea tangente al punto B Lnea tangente al punto A d

Con base en la geometra del segmento triangular AoB podemos decir que: d = ds Dividiendo cada lado entre ds, tenemos: = d /ds = d /dx = 1/ ESTA RELACION SE LLAMA CURVATURA

CURVA ELASTICAo d Radio del Segmento curvo B A ds Eje x Lnea tangente al punto B Lnea tangente al punto A d

Ahora derivando de cada lado de la expresin con respecto a x, podemos escribir la CURVATURA en trminos de coordenadas rectangulares, as: d /dx = d2y / dx2 = 1/ ECUACION DE LA CURVA ELASTICA

CURVA ELASTICAo d Radio del Segmento curvo B A ds Eje x Lnea tangente al punto B Lnea tangente al punto A d

Y la ecuacin de la CURVA ELASTICA se establece como d /dx = d2y / dx2 = M/EI ECUACION DE LA CURVA ELASTICA

CURVA ELASTICA

Los conceptos de CURVA ELASTICA, la ecuacin de la curva y la interpretacin de la misma, nos permite desarrollar mtodos para calcular deflexiones y rotaciones en vigas y prticos, tales como:1. 2. 3.

Mtodo de rea-Momento reaMtodo de la Doble integracin Mtodo de la Viga Conjugada

METODO DE LA DOBLE INTEGRACIONCalcular la deflexin mxima y la rotacin en el extremo del voladizoP

maxB

L

METODO DE LA DOBLE INTEGRACION

ECUACUCION DIFERENCIAL DE LA CURVA ELASTICA es:

d /dx = d2y / dx2 = M/EI

Debemos ahora establecer la ecuacin de momento M, para remplazarla en la frmula de la ECUACION DIFERENCIAL DE LA CURVA ELASTICA.P M L-x

M = P(L x)B

METODO DE LA DOBLE INTEGRACION

Remplazando tenemos:

d2y / dx2 = [P (L-x)]/EI (L

Integramos por primera vez:

dy / dx = - PLx/EI + Px2 /2EI + C1 PLx/EI

Integrando por segunda vez:

y = - PL x2 /2EI + Px3 /6EI + C1x + C2

Debemos ahora calcular las constantes de integracin C1 y C2

METODO DE LA DOBLE INTEGRACION1a derivada: 2da derivada:

dy / dx = - PLx/EI + Px2 /2EI + C1 y = - PL x2 /2EI + Px3 /6EI + C1x + C2

Para calcular C1 y C2 , nos apoyamos en las condiciones de frontera1.

2.

Primera condicin: X=0 , entonces Y = 0, lo que indica que C2 = 0, en la ecuacin de la 2da derivada. Segunda condicin: X=0, entonces dy/dx =0 en la 1 derivada.

METODO DE LA DOBLE INTEGRACION1a derivada: 2da derivada:

=dy / dx = - PLx/EI + Px2 /2EIy = - PL x2 /2EI + Px3 /6EI

Para calcular la deflexin maxima y la rotacin en ese mismo punto, remplazamos x =L

= - PL/EI + PL2 /2EI = -PL2 /2EIy = = - PL L2 /2EI + PL3 /6EI = - PL3 /3EI

METODO DE LA DOBLE INTEGRACION

Estudiar este mtodo en los siguientes textos:

Resistencia de Materiales. Singer and Pytel 3 EdAnlisis Estructural. Aslam Kassimali (Integracin Directa)

Resolver los siguientes ejercicios del texto de Singer:

605, 606,607 y 608 por Doble Integracin 626, 627, 632 por rea-Momento

METODO DE AREA-MOMENTO AREA

Este mtodo se basa en dos teoremas cuyo objetivo es: es: Determinar

pendientes Determinar deflexiones

Es aplicable a vigas y prticos

METODO DE AREA-MOMENTO AREAEstos dos teoremas fueron enunciados en la universidad de Michigan en 1873 por Otto Mohr Posteriormente fueron revisados y reformulados por Charles E. Green por lo que se conocen indistintamente como los Teoremas de Mohr o Teoremas de Green

METODO DE AREA-MOMENTO AREA

TEOREMA No.1: Si se tienen dos puntos A y B de la curva elstica de un elemento sometido a flexin, la diferencia de pendiente entre las tangentes a la curva en esos dos puntos, es igual al rea del diagrama M/EI entre ellos. ellos.

METODO DE AREA-MOMENTO AREA TEOREMA

No.2

La distancia medida verticalmente de un punto B, sobre la curva elstica de una viga a la tangente trazada en otro punto A de la misma curva, es igual al momento esttico con respecto a B del rea del diagrama M/EI entre dichos puntos

METODO DE AREA-MOMENTO AREA

TEOREMA No.1:

METODO DE AREA-MOMENTO AREA

Recordamos que la curvatura de una viga sometida a flexin pura esta dada por:

Integrando:

METODO DE AREA-MOMENTO AREA TEOREMA

No.2

METODO DE AREA-MOMENTO AREAPor teora de los ngulos pequeos tenemos:

Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviacin vertical entre las tangentes en A y B.

METODO DE AREA-MOMENTO AREAMomento de primer orden con respecto a A del rea bajo la curva de A y b es:

EJEMPLO: Calcular los desplazamientos y los giros en el punto de aplicacin de la carga y en el extremo del voladizo

METODO DE AREA-MOMENTO AREAPM

a

b

DIAGRAMA DE M/EI

M=Pxa

METODO DE AREA-MOMENTO AREA2 2 3 3

Aplicamos el primer teorema:Pa 2 1 Pa a! U2 ! ! U3 2 EI 2 EI

Aplicamos el segundo teorema:Pa 2 2 Pa 3 (2 ! a! 2 EI 3 3EIPa 2 2 (3 ! (b a ) 2 EI 3

METODO DE AREA-MOMENTO AREAEncuentre la pendiente en el apoyo izquierdo y la deflexin mxima de la viga indicada.Por definicin c = 0 ; aplicando el primer teorema entre A y C.PL 4 EI

1 PL L * UC U A ! 2 4 EI 2 PL2 UA ! 16 EIAplicando ahora el segundo teorema entre A y C, con la tangente trazada en C.

UA !

PL2 16 EI

PL2 2 L PL3 ! * f ! 16 EI 3 2 48 EI

METODO DE LA VIGA CONJUGADAInvestigar sobre este mtodo en los textos de Aslam Kassimalli (Anlisis de Estructuras), Kenneth Leet (Fundamentos de Anlisis Estructural) y Russell Hibbeler (Anlisis Estructural) Preparar una exposicin en Power Point para ser presentada en clase (Grupo de 2 estudiantes)

METODO DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

ANTECEDENTES

Fue desarrollado por el ingeniero francs CLAPEYRON en el ao 1857. Fue desarrollado para resolver (Determinar los momentos en los apoyos) en vigas de mas de 2 apoyos (vigas continuas), con cualquier sistema de cargas

L1

L2

L3

L4

L5

METODO DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

ANTECEDENTES

Es un mtodo verstil y rpido de aplicar. Resolucin de sistemas de ecuaciones simultneas. Se debe plantear una ecuacin (la ecuacin de los 3 momentos), donde se establece una relacin entre las cargas externas aplicadas a la viga y los momentos internos que se generan en 3 apoyos consecutivos (la viga puede tener muchos apoyos)

BASE TEORICA

METODO DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

BASE TEORICA

Se debe plantear una ecuacin (la ecuacin de los 3 momentos), donde se establece una relacin entre las cargas externas aplicadas a la viga y los momentos internos que se generan en 3 apoyos consecutivos (la viga puede tener muchos apoyos) Se establecen lados izquierdo y derecho del tramo de viga tomado (3 apoyos)

NOMENCLATURA

I

D

METODO DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

NOMENCLATURA

L = izquierdo R = derecho I = Momento de inercia ( IR , ID ) P, W = carga puntual o distribuida (PR , PD , WR , WD ) K = fraccin de la longitud de la luz, donde actan las cargas (KR , KD )

METODO DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

LA ECUACION