estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

12
Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers M.Z. Hadj-Sadok, J.L. Gouze * INRIA Comore BP 93, 06902, Sophia Antipolis, France Received 2 February 1999; received in revised form 21 May 1999; accepted 1 December 1999 Abstract This paper deals with the designs of observers (software sensors) for uncertain models of wastewater treatment. We assume that the model (4 state variables) is such that the growth rate is unknown and other parameters (e.g. the organic concentration in the in¯uent) are uncertain, i.e. we only know their upper and lower bounds. Given the measurements of the dissolved oxygen con- centration, we build interval observers, giving dynamic bounds containing the variables to estimate. The width of these bounds are related to the width of the uncertainty bounds of the parameters. In some cases, we show that we can estimate exactly the unknown variables despite the uncertainties on the model. # 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Uncertain models; Interval observers; Wastewater treatment process 1. Introduction The control of biological wastewater treatment pro- cesses has recently aroused much interest. The primary motivation is linked to stricter and stricter constraints ®xed by the future legislation regarding removal of pol- luting wastes below an acceptable level before the release in waterbodies. However, the lack of on-line instruments has limited the application of control the- ory to these processes. A large amount of additional information can be obtained through available mea- surements with the help of state observers. These observers (``software sensors'') are algorithms designed to reconstruct the unmeasured states from the measured ones under a priori knowledge of the model. During this last decade, many methods for the design of non linear estimators were developed, such as the approach based on output injection [1,2], the high gain approach [3,4] and the approach based on conservation law applied to bioprocesses [5] The eciency of such observers strongly depends on the accuracy of the models. However, the process dynamics of biological treatments are often poorly understood and the models are, therefore, uncertain. Moreover, some inputs or parameters could be in¯u- enced by metabolic modi®cations and, therefore, can ¯uctuate with time [5]. The goal of our work is to study estimation problems taking into account the uncertain nature of process inputs and model parameters. Generally, and even if the exact values of some vari- ables in biological models are unknown (parameter ¯uctuations, in¯uence of external factors, ...), we can assess their upper and lower bounds. Including this partial knowledge, we will design a software sensor called an interval observer providing with certainty, the time-varying bounds of unmeasured variables. The approach presented in this work is based on an interval analysis: given an interval of variation of the uncertain variable, the objective is to reconstruct dynamically guaranteed intervals for the missing states. Unlike the previous studies developed in Refs. [6±8], the design of the interval observers is not based on the assumption that measurements of substrate are available but rather relies on dissolved oxygen measurements. This choice is motivated by the fact that dissolved oxygen sensors are more developed and thus, more reliable [9]. The purpose is to estimate the intervals of variation of substrate and the biomass concentrations. The paper is organized as follows: in the next section, we will derive a dynamical model of the activated sludge 0959-1524/01/$ - see front matter # 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S0959-1524(99)00074-8 Journal of Process Control 11 (2001) 299±310 www.elsevier.com/locate/jprocont *Corresponding author. Fax: +33-4-9238-7858 E-mail addresses: [email protected] (J.L. Gouze ), mzakar- [email protected] (M.Z. Hadj-Sadok).

Upload: mz-hadj-sadok

Post on 05-Jul-2016

214 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

���������� � ��� ���� ������ � ��������� ����� � ����������� ���� ��� ���� �� �

���� ����������� �� � !�"�# $

����� ����� � � � ������ ������ ���������� �����

%������� & '�� � ( )***+ ������� �� ������ � � &) ��( )***+ �������� ) ,������ )***

��������

-��� ���� ����� ���� ��� ������� � ���� �� � .����� � ����� �/ � ��� ���� ������ � ��������� � �������� 0� ����� ����

��� ����� .1 ����� �� ������/ �� ��� ���� ��� � ���� ��� �� ������ ��� ���� �� ����� � .���� ��� � ����� ������� ����� �� �����2���/ � � ��� ����� ���� �� ���( ���� ���� ��� ��� ���� ������ !���� ��� ���� ������ � ��� ��������� �3(��� �������� ������ �� ���� ���� ��� ���� �� �� ������ �(����� ����� ���������� ��� �� ������ �� ��������� -�� ����� � ����� ����� � �

������ �� ��� ����� � ��� ��� �����( ����� � ��� �� ����� �� 4� ���� ������ �� ���� ���� �� ��� �������� �3����( ��� �������� ������ ������� ��� ��� �������� �� ��� ������ � &55) ������� ������� ��� 6�� ����� ��� ����

����� �! 7��� ���� ������+ 4��� ��� ���� �� �+ 0�������� � ������� � �����

� ���� ������

-�� ���� �� � ���������� ��������� � ������� � �������� ��� ������( � ���� ��� ���� ���� -�� � ��� (���������� �� ������ �� �� ���� ��� �� ���� ����� �����83�� �( ��� � � ����������� ��� ���� ������ � ��������� ������ ����� �� ���������� ����� ��� � ��� ������ �� ���� ������� ������ � ��� ���� � ����������� ����� ��� ������� ��� ����������� � ���� �� ����� ( �� ����� � �������� 6 �� �� ����� � ������������� ������ ��� �� �������� �� ��� ��������� ����� ������ ���� ��� ���� � ����� ���� �� �� -�������� �� � .99����� � ����� �::/ � � ���� ����� ���������� ������ �� ��� ����� �� ������ �� ��� ���� ������ ��� � � �� � ��������� � ��� ������ , ��� �������� ������� ���( ������� � ��� ������ � ��� ����� �������� � �� � ���������� ��� �� ��� ��� ���� ������� ���� ��������� ;)�&<� ��� ���� ���� ��� ���� ;=�1<��� ��� ��� ���� ����� �� ����� ������ ��� ������� ������ ������� ;><-�� �?�����( � ��� ���� �� � �� ����( ������� ��

��� ��� ��( � ��� ������� ������ � ��� � ������(������ � ���������� � �������� � � ���� ��� �(

��� ����� ��� ��� ������ � �� ��� �� �� ��� ������� ���� � ���� ����� � �� ����� � ���� �� ��2������ �( ��������� ����8������� ���� ��� �� �� ���2����� ���� ���� ;><� -�� ���� � � �� � �� �� ���(���������� � ������ ������ ���� ������ ��� ��� ������� � � � ����� ����� ��� ����� �� ����� ��!��� ���(� ��� ���� � ��� �3��� ����� � ���� �� ��

����� �� ���������� ������ � � ������ .�� ����� 2��������� ��2���� � �3�� ��� ���� �� ���/� �� ��������� ���� ��� ��� ���� ������ 4������� ������ ���� ���������� �� ���� ������ � ����� � ����� ������ �� ����"�� �#��"� � ������� ���� �� �����(� ���������� (��� ����� � ����� �� �� ������� -����� ���� � ������� �� ���� �� � �� ����� �� �� ����"����������@ ����� �� ���� ��� � �� ������ � ��� ��� ������ ������ ��� ��������� �� �� ������ �� �(��������(�� ������ ���� ���� � ��� ������� �������7����� ��� � ����� ������ ��������� �� %��� ;ABC<�

��� ������ � ��� ���� ��� ���� �� � �� ��� ����� �� ������������ ���� ���� ������ � ���� ��� � � ����������� ���� ����� �� ��������� �3(��� ���� ������� -��������� �� ��������� �( ��� ��� ���� ��������� �3(�������� � � � �� � ��������� ��� ���� �� � ������� ;*<�-�� � ���� �� �� �������� ��� ���� ���� � �� ������ ����� ��� ��� ��� ������� ������� �������-�� ���� �� � ����"�� �� ������@ �� ��� ��3� ��������

�� ���� �� ��� � �(������� ����� � ��� ��������� �����

5*>*�)>&1D5)DE � ��� ��� ����� � &55) ������� ������� ��� 6�� ����� ��� ����

F4 4 @ �5*>*�)>&1.** /555G1�C

�� ��� � F ����� H��� �� )) .&55)/ &**B=)5

����������� ����D������D�� �����

$H� ��������� ���� � '�3@ I==�1�*&=C�GC>C

$%���� � ����! ��"�J��������� ��� .�� � !�"�# /� �"��� �

��J��������� ��� .���� ����������/�

Page 2: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

� ������ -���� �� ��(������� ����� ���� �� ������������ � ��� ������ �� � � ��� ����� .� ���� ���/���� �� � ������� �� ������� =� ������� 1�) �� ������� ����(������� ���� ��� ���� �� � �� ��� ���� ��� � ��� ����� ��� ������� ����� �� ��� ���� �� ��� �� ��� ����� 4�������� 1�&� �� ��� ������ ����� ���� �( ������� ������� �3(��� ���� � ���� ���?����� �� ��� ���� ������-�� (���� ���?����� ��� ��� ���� ��� �� ��� ������ ��� � � ������� �� �� ������ �� ������� 1�=� 4����� ����� �� ���� ������ �� ���� ��� ���� �� � ��������� ��� ���� ����� �� ��� ������� �� �������

� ������������ �� ��

-�� ���� ��������� � ��� ��������� ����� � ������� �� �� ���� ���������� ����� �� ����� ��� ���� ��� �� ������ �( �������� ��� ��� �������� -��� ����� ���� ���� �� � ����� ��� ��������� �3(��� ������� ( � ��� � ���� � ����� ��� ����������� 4� �� ���� ��������� �� ���������( ��� ��� ��������� �� �������������� ������ � ��������� �3(��� ��� �� ���� �������� ������ ������ ��� ����� � -�� ��3��� � ��� ��K������� �� ��� ����� ��� ���� �� ���������� �( ����������� �� ������ , ��� ���� � ����� ��� ����� ������ �� ������� ��� ���� 2���� ����� � � ������ ���������� ������ 6� ��������� �� '��� )� ���� �� ��� �� �������( ���� �� � ������������� ����� �� ����� ��� ��K�� ����� �8��� 0� ����� ���� ��� ����� ����� �� � �� ����� ���� �� ��� ��K�� �( ��� ������������� � ��� 2��� ����� ������ � 6 �� ���� � ��� ����� ��������� �� ��� �������������� ���� �� ��(���� �� ��� �� ����� ������ �������� ��� �� ���� �( ������ �� ���� ����� � ������������ -�� ��(����� � ������ � �������� ��������������� ��� �3����� ��� ���� ����� �������� ����� ��� ���������� � ��� �� ������� �� ��� ����������� ������'� ��� ���� �������� ��� ��� ���� �� ����� ��� �

�������� � ���������� �������� �� ���������� ���������� � ������� ��� ������ �� ��� ����������� ��������� ������������ ������ ;)5B)=<� ���� � �������� � ��� 460F%H -��� ! �� ;)1< ����� �� �� ��� �� ���� � ��� ��������� ����� � ������ ��� ������3��(������ ��� � ������� ����������� � ������ ��� � ��������� �� � ������ -� ������( ��� ��� �������� � �������������� � ��� ���� ��� ���� �� �� ��� ����� � �������� ����� ���� ���( ���� ��� ��� � ����� ���� ���

������� ��� ����� ����� �� ��������� �� %�� ;)><� '� � ���(� �� ������� ��� ���� � ���� � ��� ����� ������������ �� � �������� � ����� ���� ��� ��� ����������3(��� ��� �� ��� ���� ���������� ������� �� ����� ����� ����� -�� ��� �������� �� ��� �����B��K������ ��� � � ���������� 0� ������ ����� �� �� ���� ����(� ��� ����� ���������� ���� ������ ��� ������� ����� ��� ������ � ��� �������� ���� ��� ��� ��� �������������� � ������ � ����� ����� �� ��� �����8��������� �� � ����� ��� ������ � ������������� ����� � �� ������� �� ;)AB)C<�-�� �(������� ����� ��� �� ���� ��� �� �� ����� ����

������� '� ��� ��� ������� �������� �� ��� �� ��� �������� ��� ����� � ����� ���� ��� ��� ������� ��� �3(�������� ��� ���� ���� �( ��� �� �� �������� ��� � ���� ��� ������ .�.�//� ������� ��� � ����� � �(������ ���2�� ��� ��2�� �� ���� ����� ���� ���� �( ��� �� ���������� ��� ������� ��� & �� �� �� '�����(� ��� ���B��K��� ���� � ��������� �3(��� ���� ���� �( ��� �� ��������� ��� �3(��� ���� � ���� ���?����� ���� ��0� ������ ���� ��� ����� ������ � � ��������� -������ ������� � ��� �� ��� ����������� ����� ��� ��������� ��� � �K������ .��� �� ������� � ���� � ���� ������ �� ���� �� ��������� �� �

�/@

'� � � �� �'� )� �� �& �� �'� �& �� �'� � ' 5� � � '5

�� � �� �� �'

(�� )� �� �& �� ���& �� ���� �� � � � 5� � � �5

�� � �� �� �'

(�� )� �� �& �� ���& �� ���� �� �

� ��� �� � �� � � � 5� � � �5

'�� � � )� �� �& �� �'� " �� �� �& �� �'�� '� 5� � � '�5

�����������������������

�������

& �� � � )��

� � � )�

���

� � � )�

���

� " � *

��� � '� �� � ��� '� � � ��� ����� �� ������ �� �������� ����������� ��� ���� ���� ��� ��������� �3(��� ��� ��� ��(���� ������� ������� ������� ����������(� )���) ���)� ��� �� � � ��� ��2���� �L���� ��(��� �������� 2�� ����� ����������(� * ��� � �� ����� ����� ��� ��� ������ ������� ��� ��� ��� �� ������ ����� ���� ��� ��� ��� ��������� �3(��� ������� ������ ����� ��� �� ���� (� ��� �� �� �� ��� (���� ���?������� ��� � ���� � ������� �� ���� ��� ��� ��� � ���� �������� �� ��������� �3(���� ����������(� ��� �� ����3(��� ���� � ���� ���?����� ��� �� �� ��� ��� �������������� � �� � �� ��� �����8� � ���� ����!��� ���(� ��� ��( �� ����� � �� � �� � �� ( ������3

������� (��� ������ � � ����� � ����� ��� ���� ������ ���� � .��� ����� �� ��� � �/ ��� ��� ����(�����'��� )� ��������� ���� �� � ��� ��������� ����� � ������

=55 +,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9�

Page 3: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

�������� �� ���� ��� ����� M�� �� � ���� �������� � � � ������ �� ;><� ������ � � ����� K������������������ �� ���������� 6 ���� ����� ���������� ��� ������ ��� � ���� �������( � ��� ��� ������� ��������� ����� ��������( ������� � ��������� � ��� ���� ������������������� �� ��� �����8� � ���� ��� ��� �� ������ ��@

5�� �� ����� ���

�� ���� � �� �� ������ ���� � ���� � ���� ��� � ���������� �3(��� �� ��� �� ����� ���� � ������ ��� � ����� ��� ��� �������� -��� ����� ����@

� �� � � 5 �� � � 5 � � � 5 ���

4� ���� ���(� ��� ��������� ����� � ����� �� ������� ����� ��� �������� �(�������� @

� �)@ ��� ������� ������� ����� '� ��� ���� ���������� ����� � ��� ��� ��(���� ������� �������� ����� '� � � ��� ���� ���

� �&@ ��� ��������� �3(��� ������� ����� � �� ������( ���� ���� ����� �� ����� � ��� ������

� �=@ ��� ���?������ �(�� ��� ��� ��� � ����� �� ������ � ���� "� � � � �������� ��� ������

� �1@ ��� �����8� � ���� ��� � �� � �� ������ ����� �8�� .&/ ��� .=/�

� �>@ ��� ��������� �3(��� ������� ����� �� ��� ����� ��� ��� �� ������

� �A@ ��� ������� ��� & �� � �� ������ 0� ���������� ��� � �3��� �������� ����� ��� � ��� ���� �& �� �� � ���5

H���� ���� ��� ���� ��� ��� �3(��� ���� � ���� ���?����� ��� ��� ��� (���� ���?����� (� �� ������������� �����8� �(�������� �� ��� ��� �������� ���������� -�� ��������� � ���� �� � �� �� ���� ���� ������ �����( � ����� �� �������-�� ������������ ����(��� � ��� ����� �K������

����� ���� ��� ����� �� ������ � � �������� ��� ������������ ��� ����� � � ������ .�� ��� N4N� ����(��� ��%�� ;><� ���� >&/�

� ���������� ��������

N��������� ��������� � ������� ����� ���� �� ������� ���� ������� �( ��� ���� � ����� ��� ������������� ���� ������ %������(� �� � ��� �� � ���� �������� ���� ������� �� ��� ����������� � ����� � ����� ��� ���� � �� � ����� ���������� ;1�>�)*< ��� �� ����� ���������� � ��� ������� �������� ;=�>�&5<� 6 ���������3�� ������� ����������� � ������� ����� ���������� ����� ����� � �� ���� ���� �� ;&)<��� ���� � �� ������ ���� �� ���� ��� ��� ����

� ������ � ��� ��������� �3(��� ������� ����� �� ���

�� ����� ���� ��� ��� ���� � ��� ���( �� �� �������� ������� ���� ��� ������� ��� ��� ��(���� ����� �� ��O� ���� ������4� ���� �������� �� ����� ���� ��� ��� � ����� �����

��� ����� �� ����� � � � ���� ������ -�� � ���� ���� ������ �� ��� ����� � ��� ����� �� �� �������!��� ���(� �� �� �� ( �� � �� ���� � �� ��������� ����� ����� �������� �� �� ��� ��������� �� ������� ������ ��2���� � ���( ��(������������� ���� �� 4� ������ � �� ���� ��(����������( �������� ��� ������� ��������� ��� ����� ���� ���� ��� � ���� ��� �� ����������� ������K�� ����� �� �� ��� �� � � N����� ���,������ ;><� -�� ���� �� �� ��������� ��� ������ �� �� ��� ����� ����� �� ��� � ���� ������ � �� � �( ����� ����� ������ � �� ������ 4� �� ���� ������ �� ���� ������� ���� �� �(����� ����� ����� ���� �� ;>< ���������� ��� ������� ��� �3 �� ��������� -��� �� ��� ��� ����� ��� ����� .)/� �� �� ��� ��(���� 2��� 0� ��8�� ����������� ����� ����������� � ��� ����� �� ������ �� ���� ���� �� ;&&<@

- �'� (��

'�

������(�

���

� � =� ��

- �5)

5&

5=

���

�� = �

'

'�

���

�� � �

(�

5

������

���

���

-�� �(������ � ����� ��� �� ������ � � ������������ ��� � ���� ��� � �� �@

-� � & �� ��-� �� ��-5 �

'5 � (��5'�5

�5 � (��5�(�

��

� �� )� �� � � 5" )� �� � �" �� �� � 5

5 5 � )� �� �

��

�� � �(� &��� � ��� �� � �� �� �

�(�" )� �� �&�&��� � &��� � ��� �� � �� �� �(����

��

' �� ��� ���� ������ � �� �� ��� �������� '� '���� � �( ���� ��(������� ���� �� @

-��� & �� ��-� � �� �� -� 5� � � =� 5 � ��5

=� � -� � ��

����

=� 5 ����� ������� ��������� �� =�-�� �(������ � ��� � � � $ � =� =� � � ���� ����

�( ��� �K�����@

+,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9� =5)

Page 4: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

$� � & �� ��$�$ 5� � � =5 � =� 5

-� ���( ����� �(������� �� ��� ������( ��� ������K������ �( �������� ��� ���� �( & �� � �� ������ � �(����� ���� ��� ���� ����� �� � ���� 4������ ���(�������� �A� �� ��� ������ � � � �

5& 4� � 4 � � �� � ����� ��� ����� � ����� ����� & �� �� �� �� ���� ������ � ��) �� �� �

� -��� �� ����@

�$ �� � �

� �$ �� ���

�� �� ���

� & �� ��$ �� � )

& ��) �� �� �� �$ ��) �� ��

4 �� ������ $ �� � � $ �) �� �� ����� ��� �(����� �

���� ������ � � �� ��� ��� ���� ����� �� ���� ���� �(��� �������� �(����@

�$ �� ���

� �$ �� �� $ 5� � � =5 � =� 5

� �� � � ���" ��� �3 ���� ��� �������� ������������������@ � )� �� ����� ������������������������������

& � "� )� �� ����� �

�� �������������������������������& � "� )� �� ��

��� � � � )� �� � � " �� �� �� �&�-��� "� � �� �� ��(����������( ������ �K���� ��� -������ �� .>/ ����� ��� �� � 83�� ��� .��������� ��& �� �� /�

� ������� ��������

>,9, ?�0���� �4#����� ��@4�� ������������

4� ���� �������� �� ������ ���� ��� ���� ��� �������� ����� �� ��� ��� �� ��� ��� �� ������� -�� �3(���� ���� � ���� ���?����� �� ��� ��� (�������?����� (� � � ������0� ����� ���� ���( ������� (��� ����� �� ��� � �

����� ���� �� ����� �� ������ �� ���5� �

� 0� ���� ���������� � � �� � ����� .���� �����/ �� ������� ����� '5� '�5��� �5 � � ������ !��� ���(� �� �� ��?��� �� ������� ��� ���� �� ��� ��2��� ������� ����� �� ��� ����� ��������� � ������� ������ ������ � �� ��� ������ ���� �� ��� �� ������ � ���� ������� ������ '� �3������ � �(����� �� ��� ���� ����� � � � ����� ��"�� ������� ����� �� ����� �� ;&=<� �� ���� � �� ;&1<� ���������� ��� ��������� ������ ��� ��3��� ����� �������� ���������� � �� �3������� ����� ����� .�� ����� ��������� ����� � �����/�-�� ��������� � ���� ���( �� �� �� ��� �� ���� ��

����� ������ ��� ������� ���������� � ��� ��� ���� ����� � ��� ������� ������� -��� �������� ��� �� �8����� ����� ����������� '� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ��� ����������� ��� ����� �� �� ������ ���� ���� ������ �����( �� ��� ���� �� �� ��� ������� ��� ���� ���

���� ��� ��� �� ����� �� ���� �� � ������ ���� ������� � ��������� ��� ��(� ���� � ��� ������� ������ � ������ -� ������� ��� � ����� ��� ������ � ��������� �� � �� ����� �� �� ���K��� ������ � ��� ���������� � ��� ��� ���� �� ������ �� �������� �������� �� ��� �����8� �� �� � � ��� ��� �3 � �� .>/ �������8��� � ����� ����� �(���� ;&>< .�� 6������3/� 6������� �� ��8�� ��� ����� ����������� .1/ �� ������������ � ���� �������� �� ��� �(������ � ��� ��� �� �������� ' �� ��� ���� ������ � � ��� ��� ���������� ���� ���� �

��� ��� ���� �� ��� �������� ������� (���

����� � '� '� ��� � �( ��� �������� ���� ��� ���� �� ������� �� ���� ��� � ���������� �=� � �� ��=�� �� � �(���������( ������ �� ��� ���� ��� � ��� �����( ����� �� �� ���� �� �@

-��� � & �� ��-�� � � �� ��-�� 5� � � =�

5 � ��5

-��� � & �� ��-� � � � �� ��-�� 5� � � =�

5 � ��5=� � � -� � � ��

=� � � -� � � ��

�����������

���

� �� � �(� &��� � ��� �� � �� �� �

�(�" )� �� �&�&���� � &��� � ��� �� � �� �� �(��(�

��

-�� �(���� $ ������� � ��� �� ����������(��� ���� � �� ������ ����� ������� ��������� =�

5 ���=�5 �� ��� ��� ���� ����� � =� ����������(� 0�

��� ������ ����� ����� �� ����� � �� �� �� ��� � ���������� ���� ���� -��� ��� �������� ���K������� � � �� ��8��@

=�5�=5�=�

5 ���

�� � � ��� ���� ��� ���� ��� ���� ���� ���� ��� ���������� '� '� ��� �� 0� ��8�� ��� ��� � � $� � =� � �= ��� ��� ���� � � $� � =� =� �� -�� �(��������K������ � ��� ���� ������ � � � � � � ����� �� �������@

$� � & �� � �$� � �� �� ��

� $� 5� � � =�5 � =5

$� � � & �� � �$� � �

� �� �� � $� 5� � � =5 � =�

5

�������� �

�� �� � �

55

���� �� � � ��� �� �

��

���

� �� � �55

��� �� � � ���� �� �

��

����� � �8 $� 5� � �� $� 5� � �� ����A���"� ��� $� �� ��� $� �� � �� ����A���" 8�� ��� ������" ��� �,

=5& +,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9�

Page 5: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

����� � ����� � �� �O��������� ��������� ��� ��� �(������ �� $� ��� $� � � ����� ����� �(����� ;&><� �� ����� � ��� ����� �

� �� � ��� �� �� � � � �������� �

��5 ���� �� ����� �� ������ �� �� �� �� � ��� � ���� $� 5� �

��� $� 5� � � � ������������ ������ � ��� ������� ���������� .G/� -��� �� � ��� �( = � ��� �������3� ������� ���� ��� � � � $� �� � ��� $� �� � ����� ������������ � ��� � � 5 �

������ � �� ���� ����� ���� � ��� ���� ���" ���� ��4��#� ���0��A ������ ���� �� "���� B� �� ��4���" �� ��#�4� ���� �$�

� � 5 � $�� � 5� � � )� &� =��

�� �� ��� ������� ���� � =�5�=5�=�

5 ����=� �� ��= �� �� =� �� � ���50� ��� � ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� �� �����

������� �� � ���( ��� ����� ����� � ��� ����� � � $ � $� � $� � =� � =� ������� ��� ��� ��� ������� ����� 0� ����@

$� � & �� � �$� � �� �� ��$ 5� � � =� �5 � =� �5 � �

���!� �� � �55

���� �� � � ���� �� �

��

,� �� ��(����� ������� ��� ���� ��� �����( ��������� 6� ��������� �� ��� ��� � ������� =� �� �������� ��� ���� � � � �

5& 4� � 4� ���� ��������� & �� � �� ����

�� ������ � ����� ��������� ���� �(���� � ��� �(� �� �+ ����� ��� ���� �� ������ ��� ��� ��� �3 � ��������� ��� ����� �� ������ � � ������ ;&A<� 0� ��������� ��� ����� � ��� ���� ��� ���� ��� �� ������ �������� ���� ��� �����( �� ������� �� � ���( ��� ��2���� � ��� ��� �����( � ��� � ��

���� ���� �� ��� ���� ��� ���� ����� 0� ��� ����� � �� �� ����� ���� �� ��� ��(������� �����0� ������ ���� ��� ��3���� � �������� �������� + ��� ���� ���� �� � � ���� �� �� �

�+���5� �� � ������� ��� ��� �(����@

$"�� & �� � �$" � " �

� ��$" 5� � � $ 5� � �#�

���!� �55+

��

& �� ������ �� ���� �� ������ ��� �(���� .*/ ��� ���� ����"�� �� ���� �� ��������� & �� �� 0� ��� ��������� .*/ ��� �� ��(������� ������ �K���� �� .� ��������/@

$" � � ���)" � �55

+� )� �� �

��

� ��$�

�� � ��8�� $� � $" � $ ����@

$��� & �� � �$� � " � � � �� �

� �� ��$� 5� � � 5

-� ��� ��� ���� �������� �� ����� ����� �(��������� �������� ������ �� ��� � ��� ���� $� �� ���������������� � �� �O��������� �������� ��� � �� ��" ����5������� $ �� ��$" �� � � ��� �������� ���� �� 4� �� ����� ���� ����� ��� .H� ;&A</ � $ �� ��� ������ �( $" ;&><�4� ���� �� ��� ���� � ����� �� ��8���(� $ �� ��$" �6��� ���� �� .)5/� ���� ����� ���� ��� ���� � ������������ ���� ��� ���� �� ���� �������� ��� ��� ��������� ������ ������ � � � ������� �� ��� ���� ��� ������( ������ ��� ��� 8 �� ���������� � $" � � "� ���� ���� � ��� � � ������� �� ���� ��� ����� � ������� ��� ���� ��� � ���� ��� ������� ����� ��� �� (�� �� ����� ������ �( � 83�� �� � � ��� ������ �� �����3��� ��� �����( � ��� ����� 0� ��� ����� ����������� � ���������@

����������� � ��� ��� �� � 4������� #4� #���A��A ������ �� �� ���� �� �� �

�� 8�� ������� #�4� � =�5 �=

�5

� ��8 =5� ��

�#��"� A�"� �� ����"���=� � �� ��=� � �� �� ���������A = �� �

8�� ��� ��5, C� �#��"����� #�4� � '�� '�� � �� '�� � '

��

� ����� ���"�A �������������� �� �� ���4�� "��4�

' �� '� ������"��� �� �� ���� �8 �� 4��������� ����� �� �, C� ����"�� �#��"����� �8 � �� #�4� � �� ���%"�A� ����� � �� ����"�� �� ��A �� �� 4����������� ��� �� �, C� ��� �8 ���"�A�� �� ����� #� ���������A ��� ������ �8 �� �����,��� ����� �� �� ��� ���������� ����� ����� �( ���

�� ��� ���� ������ ;A<� ��� ��� ������ �������� �(��������� �3(��� ���� ��� ���� ��� ���� �� �� � �������� 4������ ��� ����� � ��� ���� ��� ���� ���� � ��� ������� ������� ������ ��� ���� ����� �� "� ���� ���� � ��������� 0� � � ���� �� �3����( ������� �� ��� ����� � ' ��� '�� ������� ��� ��� �����( ����� �� ��

>,�, ?�0���� �4#����� ��@4�� ������������ �� ���������8� ��D����

-�� ���� ��� �� ������ �� ��� �� ����� � ������ -����� ����� �� ��� � ���� � ��� ���� � ���� ���?������( ��� ���� ������ � �� �� ��� ������ ������ �� ����?��� �� ���� ��� ��� ��������� � ���� ���?�������� ���� ��� ��� �� � ������� (��� �� ����� � '� �3������ ���� ���?����� ��( �� ������ �� 2������������� �( �� 2�� ��� �� ��������� �� ;&G<� 4� ���� ��������� �� ������ ���� ��� ���� ��� ������� ����� ���

��� ��� �3(��� ���� � ���� ���?����� ��� �� ��� ����� ��� � � ������� 4� ���� �� ����� ��� �� ( ���� �����0� ����� ���� ������� (��� ����� �� ��� ��� ��� � ������ .���� �� ����� �� ������ �� � ��� ���

� �� ����� �� �����

� �� ���5/� -�� (���� ���?����� (� �� ������

+,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9� =5=

Page 6: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

N���� �� ��� ���� �� �� � �� ��� ���� �� .A/� ���� ��� ��� �������� ���� ��� ���� �� �( �� ���K��������� � ��� ����� � ��� ��� ���� �����@

-��� � & �� ��-�� � � �� ��-� � 5� � � =�

5 � ��5

-��� � & �� ��-�� � � �� ��-� � 5� � � =�

5 � ��5=�� � -�� � ��

%�� � -� � � ��

�����������

����

� �� � �(� &��� � ���

� �� � �� �� ��(�" )� �� �&�

&���� � &��� � ���� �� � �� �� �(����

��

-�� ��� � �(����� .��/ ������ .I��/ ��� .��I/� ����������(�6� �� ��� � ����� �������� �� ��� � ��� ���� � ��

������ ������� ����� �?������( ����� ��� ����=�5�=5�=�

5 � ���� �� ������ ��� �������� ���K�������@

=� �� ��= �� ��=� �� ����5

0� ��� ���( ��� ����� ����� � ��� ����� � � $ �$� � $� � =� � =� ������� ��� ��� ��� ��� ���� ������ 0� ����@

'��� &� P� ������� � ��� ��� ���� ���� ��� ��� ���� �� �� ������ .�/ ������� � ��� .QQQ/� ���� .� � � � �/ ��� ���� .Q � Q/+ .�/ ��������� �3(���

���� ������ ��

$� � & �� � �$� � �� �� ��$ 5� � � =� �5 � =� �5 ���!

� �� � �(� ���

� �� � � ���� �� ��

�� � �� ��& �� �5

���� �� � � ���� �� �� � ���� �� � � ���

� �� �� �� � �� �(�� (�& �� �� �

���

� ����

=51 +,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9�

Page 7: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

N( ��� ���� �������� ��������� �� ��� � ����� ��������� �� ��� � ��� ���� $ �� ������ ;&A< ��� �������(������� ������ -�� � �3��� �������� ���������+ ���� ��� ���� ���� �� � � ���� �� �� �

�+ ��� ���� �� ���

���� �� �� �����5� -�� ��� �(����@

$"�� & �� � �$" � " �

� ��$" 5� � � $ 5� �

���!" � �(������

5+����(�� �� � �

��

��� �� ��(������� ������ �K���� ��@

$" � � ���)" � ��� �� ����� � )� �� � � �

�� � � �(�+� (����� �� �� )� �� � � �

��

6� �� ��� � ����� �������� �� ��� ���� ���� � �� ����$ �� � �� ��� ������ �( $" ;&>�&A<� 0� ��� ����� ����������� � ���������@

����������� � ��� ��� �� � �� ��� �� � 4������� #4�#���A��A �� ���� �� �� ���� �� �� �

�� ���� �� �����

� �� �� ������"��� �� 8�� ������� #�4� � =�

5 �=�5

� ��8 =5� ��

�#��"� A�"� �� ����"�� �=�� �� ��=� � �� � ���������A = �� �8�� ��� ��5, C��� ����"�� �� #�4� �� ���"�A������ � �� ����"�� �� ��A ���� �� �� 4���������

'��� =� N���� ���������� ���� ��� ��� ��� ����� .�/ ������� ������� ������@ ' . /� '� .! ! ! ! ! !/� '� . /� '� .QQQ/� '�� .� � � � � �/ ���

'�� .Q � Q/+ .�/ ���� ��� � .QQQ/� �� .� � � � � �/ ��� �� .Q � Q/�

+,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9� =5>

Page 8: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

�� ��� �� � 8�� �� #�4� � ��������� �8 ' �� '� �� �� ��A �� �� 4��������� �� ��� �� � �� ��� �� � 8�� ��#�4� � ��������� �8 �, C� ��� �8 ���"�A�� �� ��%��� #� �� �������A ��� ������ �8 �� �����,

>, , ?�0���� �4#����� ��@4�� ������������ �� ��� ��D����

-�� ���� ��� ���� �� � ������� �� ������� 1�) ������ ��� �� ��� ����� ����� � ������� ������� ���������� � ��� ���� ��� ������� ����� �� ��� ��2��� ������ ����� 4� ���� �������� �� ����� �� �������� ������� �� ����� � ��� ����� .)/ �� ��� ����� -�� ��������� � ��������� �� � ����� �������� ����� ���� ���(���� ���?����� (� �� ���� ������ �� �� � ������� ���� ��

��� ����(� ��� ����� 6� ����� ���� �� ����� ������ ����� ����( ���� ����� ;&C<� 0� ������ ���� ��� (�������?����� �� ������ ����� �( (�

� ��� ����� �( (�� �

-�� ���?������ (�� ��� (�

� � � ������0� ��8�� ��� ����� ����������� .1/� ' �� ��� ����

� ������ � � ��� ��� ��������� � ���� ����� �

����(

��

��� ��� � �� ���� ��� ���� �� �������� �� .A/� �� � ���

���@

-��� � & �� ��-�� � � �� �� -� � 5� � � =�

5 � ���5

-��� � & �� ��-� � � � �� �� -� � 5� � � =�

5 � ���5=� � � -� � � ���=� � � -� � � ���

�����������

����

'��� 1� N���� ���������� ���� ��� ��� �2� ��� ����� .�/ ������� ������� ������@ ' . /� '� .! ! ! ! ! !/� '� . /� '� .QQQ/� '�� .� � � � � �/

��� '�� .Q � Q/+ .�/ ���� ��� � .QQQ/� �� .� � � � � �/ ��� �� .Q � Q/�

=5A +,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9�

Page 9: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

� �� � �(� &��� � ��� �� � �� �� �

�(�" )� �� �&�

&���� � (����� &��� � ��� �� � �� �� �

���

��

�� �(�

5

�������

���

-�� �(���� $ ������� � ��� �� ����������(�-�� ������� ����� =�

5 ��� =�5 � � ������ �� ��

����� �� ���� � � ���� ���( ��������� =5� 0� ���������� ��� ������� ����� �� �( ��� �������� ���K�������@

=� � 5� ��=�5�=5�=�

5 �=� � 5� � ����

6� �� ������� 1�)� �� ��� ��� ���� �������� �� ��������� ����� ����� �(����� ;&>< �� ��� � ��� ���� ������������ .)1/ ������� ���� =� � �� ��= �� ��=� � �� ����54 �� ������ ���� ��� � �3��� �������� ��������� ����

��� + ��� ����@ ��� �� ������ ��� ���� �� � � ���� �� �� ��+

���5 ���� �� �� � ����� ��������� �� ����� ���� �����(������� ���� � ��� ���� ��� ����� $ �� � � =� �� � �=� � �� � �� ��� ������ �( $" � ��� �@

$" � �55

+� �� �� )� �� �

��

� � (� (�� � (�

� )� �� ��� � ���� � �������� �� (�

� &

'��� >� N���� ���������� ���� ��� ��� (� ��� ����� .�/ ������� ������� ������@ ' . /� '� .! ! ! ! ! !/� '�� '� . /� '� .QQQ/� '�� .� � � � � �/

��� '�� .Q � Q/+ .�/ ���� ��� � .QQQ/� �� .� � � � � �/ ��� �� .Q � Q/�

+,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9� =5G

Page 10: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

0� ��� ����� ��� �������� � ���������@

����������� � ��� ��� �� � �� (� 4������� #4� #���A��A�� ���� �� �� ���� �� �� �

�� (�� �(

��

� �������"��� �� 8�� �������

#�4� � =�5 �=

�5

� ��8 =5� �� �#��"� A�"� �� ����"��

�=������=� ���� ���������A =��� 8�� ��� ��5, C� �#��"�%���� #�4� � '�� '�� � �� '�� � '

��

� ����� ���"�A �����%

��������� �� �� ���4�� "��4� ' �� '� ������"����� �� ���� �8 �� 4��������� �� ��� �� � �� (�, C�����"�� �#��"����� �8 � �� #�4� � �� ���"�A������ � �� ����"�� �� ��A �� �� 4��������� �� ��� �� ��� (�,

" #��������� �������

��������� ����� � � �������� �( ����� ����� �������� �K� .)/ ���� ��� ����� � ���� ������ ����(����� ����� � ����� �� ����� � ��� ������� ����������� ����� �� �� ���� �� � ���� ;&G< ��� ����� �� �����������@

! ���� ������@ � �� � � ����

�����

����

R������ �� ����� �@ ��� � 5�&��)��� �G>�&�'��� � &�&�'

����������� �� �� ����� �@ (� � )�C�(� � 5�CF ����� �� ����� �@ " � &� � � )�� � 5�>� �� �

)5�&�'4������ ����������@ '5 � )&&>�'�5 � &===� �5 �

&5� �5 � A��&�'�

-�� ������� ��� �� ������� �� �������� & �� � � 5�=��)

-�� �������� � ��� ���� ��� ������� ����� �� �����2��� �� �� ������� �( �� ��� ���� ������ �������� ���� ������ ��� 2������� ������� ��� ���������������� ��� � ���� � ���� � =5�&�' � &5( � ��� �������� � ��� .'��� &�/�'� ��������� � ���� ��� ���� �� .))/� �� �����

���� ��� �3(��� ���� � ���� ���?����� �� ������������� ��� ���������@ ���

� � )�>���� � )�C��)����

� � &�5�'� ��������� � ���� ��� ���� �� .)=/� �� ������

(�� � 5�G�(� � 5�C�(�

� � 5�* -�� �� ������� � ������� �� �� ����� � � � �� ������� �� '��� &��

� ��� ������ .������� 1�)/@ -�� � ������ ��� � �������� ��������� � '� '� ��� � ��� ��� ������ ���� ���� ��� �� ��� ����� � � ����� �� ���� ���.'�� =� ��� �/ � '��� =�� ����� ����� ���� ��������� ������� ����������� �� ���� ���� � ��� �������� ������� ������ �� ��� �� ��� ��� �� ��� ������� � ��� ��� ��� ���� ��������� ���������� �� �� ��� ����� �� �� ������ �������������( � ��� ��� �����( � ��� ���� ��� �������� ����� �� ��� ��� �� ����

� ��� ��� ��� ������ .������� 1�&/@ 0��� �� ������� �� �������� ���� ��� �3(��� � ���� ���?������ ��� �� ��� ����� ��� ���������� ����� � ���� ������ .'��� 1� ��� �/� 4� ���� ����� �� ���������� ��� ���� ��� ����� � ������� ������� ������� �� ��� �� ��� �� ��� ����� ������ �� ���� ���� ���� � �� ���� ��� ���������� ����� ������ �� ������� ������ .'��� 1�/�

� ��� ��� (� ������ .������� 1�=/@ 6� ����� ���� ��'��� >�� �� ��� ���� ��� � ��� ���� ��� ������� ������� ��� ��2��� ��� ��� (���� ���?����� � � ��� �������� ���� �� �� � ������ � ��� ������� ����������� � � ��������� �� ��� ����� �������� �� '��� =��-�� ���� ��� �������� �� ���� �� ������ �� �������� � ' ��� '� ������������( � ��� ��� �������������� ���( �� ��� �(����� � �� ������ � ��� ��� ������( � ��� (���� ���?����� ��� ������ ��� ����������� ����� � ��� ���� ��� ������� ����� .'��� >�/�

$ %���������

4��� ��� ���� �� � �� � �� ���� �� �������� ��� ��� ��� ���� ����� � ��� ���� ���� ��� ������� ��� ��� ��(���� ������� ������� ������ �� ��� ���� ������� ��������� �3(��� ������� ����� ��� ��� ��� ��������� ����� �����@ ��� �����8� � ���� ��� ��������� ��� ���� �� ������ �� � ��� ����� 0� ���������� �� �� �� ����� �����@ ��� ��� ����� ��� ��� ������ ���� ��� ��� ��� (� ��� �����-� ��� ��� ���( � ���� ����� �� ���� ������

�� ���� ���� ���� � ��� ������� ����� � ��� ����� ���� ������ � � ����� ��� ����� � �� ������ ���� ��� ����� ��� �����( � ����� � �� ����� �� ���� �������� ����� ��� ���� �� ������ ���� ���� ����� ����������� �� �����( ��� �� (��� ����� �� �������-��� ��� ������ ��� �� ��� � �����8� ��������

������ '� �3������ ���� ��� ������� ����� � � ������������� �� ��� ��������� �� ��� �K� � ��� ���� �� ������ �� ��� �3��� ����� � ��� ��� ����� �� ������������ ��� ���������� � ���� ��3��� � ����������� �� �?������0� ���� � ���� ���� ���� ���(� ��� ����� � ���

���� ��� ���� ���� �� ����( ������� �� ��� ��� �����( ���� � ��� ������ �� ������� -�� ���� ���� � ������ � ����� ����� ������� ��� ���� ��� ������� ������� ��� ��2��� .���/ ��� ��� (���� ���?����� .(�/ � ���� ����� ��� ����� � ����� �� ���� �� ��(����������( ������ �� ��� ����� ����� � ������� ������� �������� ��� �� ����� ���� ��� ��� ������ � ������ � ��� �������������� �� ;A< ��� ;G< ���� ���( ���� ��� ���� ���������� ����� ���� ���� ��� ���������� � ������� �������� ������ ������� �� ��� ��� �����( �� ��� -��� ��������� ��� ������ �������� �� ��������� �3(��� �������� ����� ������ �� �������� ��� ������� ������� ������������������( � ��� ��� �����( �� ����

=5C +,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9�

Page 11: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

-��� ���� ����� ���� ������ �� ��������� � � �����3���������� � ���� �(�� � ���� �� �� ' ��� ������� � ��� ����� �3��������� ��� ����� � ��� ��������������@ ��� ��� ������� � ��� ���� ��� ���������� �( �����K��� ������ � ���� ������� ��� ��� ���� �� �������� ����� ��� �( ����� ����� � ���� �� ����� �� �������������� �� �� � ������3 ������ �������� ���� ���������� ���������� ��� �� ��� �8������� ��� ���( ���� ��2���� � ��� ����� ���� ����� �� ��� ����������� ������ ��� �3������� � ���� ��� ���� �� � ���� ( ���� � ���� �� �� �� � � �������

�����&�� '������

-�� ���� � ���� �� ����� ��� �� ��� � ���� ������ ����� ���������

����� �() ����������� �������

4� ���� �������3 �� � ����� � ��8������ ��� � � ��� �(����� ������� ��� ���� ( � ����� ����� �(����� .�� ;&></�

*�+������ � 6 ����� 8��� �� �%���� ������ ���������" ����� �8 �E������ F4������ ���"� ������� �� �E% ��A���� ���� �8 ��� 1���#��� �����' �� ���%�A���" �� � ���"' �����,'� ��� �� � ����� � � ��� �( � �(������� ����� �����

�(����� �� ��� ��� ����� ����� �� � ������� ��� ������ � ' ��� � ���� ���� �( ��� ������������ �(�����@

'� � 8 '� �� �� ' 5� � � '5�� � A �� �� �� � 5� � � �5

��� � 8� A ) ?� �� � �� � � ���������( ��O� ��������� �� � �����3 ����� ? ���

�������� � 4

��* +� ��5� 8 5� �� ��A 5� �� ��& �� � ,����-���5��5�!�� ' �� ��� �� � � � � � 5��� �&*���

' �� ��� F ��� �( )� �� ��� ����� ������ ����� �� ����� �� �� �� � ��� ����� 8���� 8 ��� A4 �� ������@

�8 '� �� � � �' � �� � ,����-������� ��A �� �� � � ��� �� � �� ��5���5� ��5 � �� '

���� ��� ����� ������������ �(����@

5� � �5� �� �� 5 5� � � 55

��� ��� �������� � ��� �(@

�������� � 4 55�5 �!�� 5 �� ��5 � � � � 5

F ��� �( & ��� �� ��� �� � ��� ���� )�

����������

;)< 6� R ��� � 6� 4���� �� ���� ������� �( ���� ��������� ���

�������� ���� �� �� �(����� H��� �� ���� � = .&=/ .)*C=/ 1GB>&�

;&< 6� R ��� � 0� %��������� M������� ���� �� � ���� ����� �"����

� � �(������� �46� �� H��� �� &= .)*C>/ )*GB&)A�

;=< �� '� "�� �� S������ �� ����� �� �� N������ 6 ��� �����

��� ���� � ��� ������� ���������� � ��� ������� ���� ��

��� ����� � Q ����������� �� � ������ ���� � ������� � ������

N��� ����� ������� ��� )G .)**G/ )1=B)>5�

;1< ��F� !����� � �� ����� �� �� S������ 6 ������ ���� �� �

�������� �(����� ������������ �� ��� ����� �� 4��� � ����������

�� �������� ���� �� =G .)**&/ CG>BCC5�

;>< !� N������ ,� ,������� S������ ���������� ��� 6������� H��� ��

� N�� ����� �� ������� � 6���� ���� )**5�

;A< ���� ����������� �� � !�"�# � 6� %����� �� ����� ���� �� � �

��� ���� ������ � ��������� ����� � �������� 0���� ,�������

*C� 4��� �������� 0� ����� �� ,������� ��� H��� �� �� 0����

N���F ��������� M� ������ ' ����� )**C� C � .H,�%S�/�

;G< �� �� ����������� �� � !�"�# � 4��� ��� ���� �� � � ��� ����

������ � ��������� � ������� � ������ HSM-%S S:*C = �

F� ����� H��� ���� �� 6������� H��� ��� H���� �� F� ��

��� &� )**C� ���AG=B>GC�

;C< ���� ����������� �� � !�"�# � N���� ���������� � ��� ����

������ � ��������� � �������� 4��� 4��� �������� H��� ��

H��� �� ��� 6������������ - ������ 4���( .)**C/ ==AB=15�

;*< R�T� R�� N�H� ��4����� !�H� !������� 6������� ���� �� ���

������8������ � ��� ��������� �3(��� � ������ 6�������� )C

.)*C&/ G&GBG=5�

;)5< H�%� H ��� H����� ���������� � ��� ����� � ��������

�(������ �� ��� ��������� ����� � ������ 0��� %���� �� >

.)*G)/ )51*B)5AA�

;))< ��'� 6�� ���� R������ ������ � ���������� ����� � ������� � ��

����� N������� N������ �(��� & .)*G)/ >B=1�

;)&< ��N� N��(� ��'� 6�� ���� ,(����� ��������� ��� ���� �� �� ��

������ � ��� ��������� ����� � ������ �� 0��� F����� H��� ��

'��� 1G .)*G>/ )5>>B)5C5�

;)=< ��N� N���� 4�����8������� ���������� ��� ���� �� � ����������

��������� � ������� � ������ F ��� 4�� F� � , .)*CA/ &>1B&A1�

;)1< �� ���"�� H�F� ��� ! ��(� 0� !�� � !�P�%� �� ���� -� ����

��� 6�������� ����� ����� ��� )� -���� ���� 460F%H ������

��8� -�������� %��� �� M�� )� 460U� ������ )*CG�

;)>< �� �� ����� ������� S������ ���� �� � ��� ��������� ����� � ��

����� - ���� 4���� ����� H��� �� A .)*C1/ )1AB)>&�

;)A< !� S������ ,� H������� ��������� ��� �(������ � ��� �8�

������� �� ��������� ����� �(������ ��@ %� , ��� .���/�

4��� ��������� ��� H��� �� � 0��� ��� 0�������� - ����

���� ��� - ����� � �(����� .6������� �� 0��� F������� H���

� �� N��� �� ���/� F� ����� F ���� S3� �� )*C>� ��� 15>B1)&�

;)G< ,��� ���(� �������� � ��������� ������ 6 ���( � ��������

���� � ��� �(����� �������� F��������� A@C>� ,��� ����� �

������ ( ������� ���� H����� � 7���� ���( � -��������(� )*C>�

;)C< %� S��� ����� �� ' ���� ,(����� ������ � ��� �8� � � �����

����� ����� ������ ���� � ( ��� ��� ������ 2���� 0��� ����

-���� &A .)**&/ )=*)B)155�

;)*< 6� ������ �� �� %����� F ���� �� � �� ����� ��� ����� �����

������ � ��� ����� � ���� � ����� ������� 6�������� )C

.)*C&/ )C)B)*=�

+,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9� =5*

Page 12: Estimation of uncertain models of activated sludge processes with interval observers

;&5< !� N������ ,� ,������� S������ ���������� � �� ����� �����8�

� ���� ����� 6�������� && .)*CA/ G5>BG5*�

;&)< ,� ,������� ��,� N(�� !� N������ �3�� ������� ���������� � �

����������( � ������� ����� ���������� �� ��� ����� �� ��@

M��� '�3� %�4� '�3� M�'� -�� ����� .����/� H����� 6�������

����� �� '� ��������� -��������(@ ��������� ��� H��� �� �

N��������������� F ������ ������� � 6���� ���� )*CC� ��� )CGB

)*1�

;&&< ,� ,������� �� F� �� � ,(������� ���������� ����(���� ����

��� ��� ��� ���� �� ������ � �������� ���� ������ ��@ -� �����

�� .���/� 6������� �� N���������� ��� N�����������(� P��� >A�

�� ���� P� ���� N� ���� )**G� ��� )1GB)*G�

;&=< %�F� ����������� 6� ������ 6� !(������ �� 6 ���� �� ����� �

��������� ����� ��������� � ������� � ������ F ��� A�� 4'6H

0� �� H��� ��� A)� )*G>�

;&1< 0�0� ��������� � -�� ��������� ����� � �����@ ����� � ��� � ��

H%H H ������ %����� �� ���� ��� H��� )> .)*C>/ )))B)GC�

;&>< ������ �� � �������� �(������� �(�����@ �� ��� ������� �� ���

���� ( � ����������� ��� ����� ����� �(������ 6�� ���� �����

�������� ������(� )**>�

;&A< �� P��(����� � M������� �(����� 6���(���� F ������������ ����

������ H��O�� )**=�

;&G< ,� ,������� �� F� �� � H��� �� ������ � �������� ���������

� ������� � �������� 0��� ���� -���� ))�)& .)**=/ &C=B&*=�

;&C< � � ��� �� � !� ������ ��� �� 6(���� �� '�� �"� ,��������

�3�� ������ �� ���� ���� ��� ���?������ � ��������� �����

������ �( ������8������ ���� ������ 0��� ���� -���� &> .)**&/

)1*B)A>�

;&*< �� � ������ F� 0������� -�� ���� ( � ���������� 6�� ����

������������ ������(� )**>�

=)5 +,-, .� /%�� �0� 1,2, 3�456 7 1�4���� �8 ������ ������� 99 :���9; ���< 9�