estimador de estado y para metros electricos

ESTIMACIÓN DE ESTADOY DE PARÁMETROS

EN REDES ELÉCTRICAS

Pedro Javier Zarco Periñán Antonio Gómez Expósito

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICAUNIVERSIDAD DE SEVILLA

1999

Copyright P. Zarco & A. Gómez-Expósito

Índice General

1 Estimación de Estado en Redes Eléctricas 11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Hipótesis y datos de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Resultados de la estimación de estado . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Métodos de Estimación de Estado 252.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Mínimos cuadrados ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Ecuaciones normales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Método híbrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Método de la matriz aumentada de Hachtel . . . . . . . . . . . 332.7 Método de pseudoinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Método de la matriz aumentada por bloques . . . . . . . . . . . 362.9 Mínimos valores absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.10 Mínima mediana de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.11 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 In�uencia de Errores en los Parámetros sobre la Estimación 453.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Entorno de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Carácter local del efecto de los errores en los parámetros . . . . 503.4 Análisis del nivel de error en las medidas . . . . . . . . . . . . . 533.5 Errores en la conductancia y en la susceptancia . . . . . . . . . 583.6 In�uencia de los �ujos e inyecciones sobre las medidas estimadas 603.7 In�uencia de los errores en las medidas sobre la estimación . . . 613.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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ii ÍNDICE GENERAL

4 Estimación de Parámetros en Redes Eléctricas 694.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2 Identi�cación de errores en los parámetros . . . . . . . . . . . . 694.3 Clasi�cación de los métodos de estimación de parámetros . . . . 714.4 Estimación �on-line� frente a estimación �o�-line� . . . . . . . . 724.5 Carácter local de la estimación de parámetros . . . . . . . . . . 734.6 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Métodos de Estimación de Parámetros 855.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Métodos basados en el análisis de sensibilidad residual . . . . . 855.3 Métodos que amplían el vector de estado . . . . . . . . . . . . . 93

5.3.1 Resolución mediante ecuaciones normales . . . . . . . . . 935.3.2 Resolución basada en la teoría del �ltro de Kalman . . . 101

5.4 Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Resultados Experimentales de la Estimación de Estado y deParámetros 1136.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2 Estimación de impedancias o admitancias . . . . . . . . . . . . 1146.3 In�uencia del número de muestras utilizadas . . . . . . . . . . . 1156.4 Relación con el nivel de error en las medidas . . . . . . . . . . . 1176.5 In�uencia del tipo de medidas disponibles . . . . . . . . . . . . 1216.6 Estimación de varios parámetros simultáneamente . . . . . . . . 1246.7 Optimalidad de los parámetros estimados . . . . . . . . . . . . . 1256.8 Resultados del estimador con los parámetros mejorados . . . . . 1286.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7 Aspectos Relacionados con la Estimación 1337.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2 Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2.1 Test de observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.2.2 Identi�cación de redes observables . . . . . . . . . . . . . 1377.2.3 Ubicación de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.3 Errores no gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.3.1 Determinación de la presencia de errores . . . . . . . . . 1407.3.2 Identi�cación de medidas erróneas . . . . . . . . . . . . . 1417.3.3 Eliminación de medidas erróneas . . . . . . . . . . . . . 143


ÍNDICE GENERAL iii

7.4 Errores topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.4.1 Identi�cación y estimación de errores topológicos . . . . 145

7.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A Propiedades Estadísticas de la Estimación de Mínimos Cua-drados 159A.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159A.2 Propiedades estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B Elementos de la Matriz Jacobiano 165B.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165B.2 Elementos de la matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

C Fondos de Escala Utilizados en el Entorno de Simulación 171C.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171C.2 Fondos de escala de la red IEEE-14 . . . . . . . . . . . . . . . . 171C.3 Fondos de escala de la red IEEE-118 . . . . . . . . . . . . . . . 174


Índice de Figuras

1.1 Error general de clase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Error de linealidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Error de reproducibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Errores límites de relación para transformadores de intensidad

de clase 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Errores límites de fase para transformadores de intensidad de

clase 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Errores límites para transformadores de intensidad de clase 0.5. 8

3.1 Red IEEE-14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 In�uencia del error conjunto en la susceptancia y la conductan-

cia de una línea sobre las medidas: (a): De toda la red (trazodiscontinuo); (b): Adyacentes (trazo continuo). . . . . . . . . . . 51

3.3 In�uencia del error de una línea sobre las medidas estimadas adistintas distancias: Error de las medidas estimadas con erroren una línea / Error de las medidas estimadas sin error en lalínea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 In�uencia del error conjunto en la susceptancia y la conduc-tancia de una línea sobre las medidas adyacentes para distintasclases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 In�uencia del error de una línea frente a la relación entre loserrores de las medidas estimadas y las telemedidas (adyacentes). 55

3.6 In�uencia del error de una línea sobre las medidas estimadas adistancia 1 para distintas clases: Error de las medidas estimadascon error en una línea / Error de las medidas estimadas sin erroren la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

i


ii ÍNDICE DE FIGURAS

3.7 In�uencia del error de una línea sobre las medidas estimadas adistancia 2 para distintas clases: Error de las medidas estimadascon error en una línea / Error de las medidas estimadas sin erroren la línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.8 In�uencia del error en la susceptancia y en la conductancia deuna línea sobre las medidas adyacentes. . . . . . . . . . . . . . . 59

3.9 In�uencia del error en la susceptancia de una línea sobre lasmedidas adyacentes con diferentes tipos de medidas. . . . . . . . 61

3.10 In�uencia sobre las medidas de tensión adyacentes cuando todaslas medidas son exactas excepto las de tensión. . . . . . . . . . . 62

3.11 In�uencia sobre las medidas de inyección adyacentes cuando to-das las medidas son exactas excepto las de inyección. . . . . . . 63

3.12 In�uencia sobre las medidas de �ujo adyacentes cuando todaslas medidas son exactas excepto las de �ujo. . . . . . . . . . . . 64

4.1 Red IEEE-118. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2 Resultado del análisis de sensibilidad de la línea que une los

nudos 49 y 51 en la red IEEE-118. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.1 Modelo del transformador utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2 Modelo del transformador considerado. . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Error en la susceptancia estimada de la línea que une los nudos

7 y 9 en la red IEEE-14 frente al peso relativo del parámetro. . 975.4 Error en la susceptancia estimada de la línea que une los nudos

10 y 11 en la red IEEE-14 frente al peso relativo del parámetro. 98

6.1 Relación entre el error de las medidas y el error del parámetroestimado frente al número de estados procesados simultáneamente.115

6.2 In�uencia del error en la susceptancia de una línea sobre lasmedidas adyacentes, con distintas clases, cuando se procesa unestado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3 In�uencia del error en la susceptancia de una línea sobre lasmedidas adyacentes, con distintas clases, cuando se procesansiete estados simultáneamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.4 In�uencia del error en la susceptancia de una línea sobre lasmedidas adyacentes, con distintas clases, cuando: (a): No serealiza estimación de parámetros; (b): Se estima procesándosesiete estados simultáneamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


ÍNDICE DE FIGURAS iii

6.5 Media del error de las medidas / Error del parámetro estimadofrente al número de estados procesados simultáneamente condiferente redundancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.6 In�uencia del error en la susceptancia de cinco líneas sobre lasmedidas de toda la red, con distintas clases. . . . . . . . . . . . 125

6.7 In�uencia del error en las susceptancias de cinco líneas sobre lasmedidas de toda la red, con distintas clases, cuando se procesansiete estados simultáneamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126


Índice de Tablas

1.1 Errores máximos admitidos en la norma CEI para transfor-madores de intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Límites del error de relación y del desfase para transformadoresde tensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.1 In�uencia del error de la susceptancia de una línea sobre lasmedidas cuando se estima el parámetro. . . . . . . . . . . . . . 116

6.2 Errores de las medidas adyacentes utilizadas sin estimar pará-metro y estimándolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3 Errores de los parámetros estimados para diferentes niveles de e-rrores en las medidas y redundancia completa. (a): Error mediode las telemedidas (%); (b): Error del parámetro estimado (%). 120

6.4 In�uencia del error de la susceptancia de una línea cuando sólose dispone de medidas de tensiones e inyecciones y se estimadicho parámetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.5 In�uencia del error de la susceptancia de una línea cuando sólose dispone de medidas de tensiones y �ujos y se estima dichoparámetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.6 Valores estimados del parámetro para distintos valores de par-tida de éste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.7 Valor estimado del parámetro cuando se parte de un valor esti-mado previamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

C.1 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-14en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . . . 172

C.2 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-14en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . . . 173

C.3 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-118en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . . . 175

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ii ÍNDICE DE TABLAS

C.4 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-118en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuación). . . 176



C.7 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . 179

C.8 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuación). 180









Capítulo 1

Estimación de Estado en RedesEléctricas

1.1 IntroducciónCuando en 1965 se produjo el incidente que dejó sin alimentación de energíaeléctrica al nordeste de los Estados Unidos, las empresas eléctricas tomaronconciencia de que debían realizar un gran esfuerzo para desarrollar nuevastécnicas en la operación de los sistemas de potencia que permitieran un elevadonivel de seguridad en el servicio. Esto dio lugar a que los antiguos métodos yherramientas de operación resultaran inadecuados.

Se comenzó a hablar de análisis de seguridad, índices de seguridad, mejo-ra de la seguridad, análisis de estabilidad, optimización y se empezaron aconstruir nuevos centros de control. Hasta entonces, el control y la decisiónde la operación se basaban en un sistema de supervisión, que controlaba lasposiciones de los interruptores en las subestaciones, y un sistema separado,generalmente análogo al anterior, que controlaba de manera automática lageneración y el despacho económico. Por lo tanto, los únicos datos que el ope-rador tenía disponibles en tiempo real eran el estado de los interruptores, lafrecuencia del sistema y el conjunto de medidas de potencia necesarias para elcontrol de la generación.

Partiendo de esta situación el esfuerzo se centró en conseguir cada pocossegundos la información, tanto de los interruptores como de todas las medidasde la red que se controlaba. Teniendo todos estos valores en tiempo real enla base de datos era posible comprobar la seguridad continuamente, es decir,se podían analizar las condiciones de operación de cada equipo de la red y


2 Estimación de Estado

detectar las situaciones anormales y alarmantes de funcionamiento. Este pro-ceso de captación, detección y señalización del sistema, junto con la utilizaciónde pantallas grá�cas y el almacenamiento de todos los eventos, constituyó elsistema de supervisión del control y adquisición de datos (SCADA en inglés).

Con todo lo anterior, se pensó que teniendo la base de datos actualizadaperiódicamente, gracias al SCADA, se podría llevar el seguimiento y el controlde la seguridad del sistema con sólo introducir las medidas en los programas decontrol. Pero no era correcto y fue Schweppe el que reconoció desde el principioque había dos problemas fundamentales para la ejecución de las funciones deseguridad.

En primer lugar, aunque el número de medidas era generalmente muygrande siempre había inconsistencias, ya que ciertas medidas desaparecíantemporalmente o había medidas con errores no gaussianos. En segundo lu-gar, las nuevas funciones de seguridad necesitaban un punto de partida, esdecir, un reparto de cargas en tiempo real. Como consecuencia de lo primero,los programas de reparto de cargas que se venían utilizando hasta esas fechasno se podían utilizar en tiempo real, por lo que no había forma práctica derealizar funciones de seguridad.

Schweppe, con la estimación de estado, resolvió tanto el problema de losdatos como el de la resolución en tiempo real. Como él dijo, �el estimador deestado es un puri�cador de datos", utilizando una analogía con la puri�caciónde la sangre en el cuerpo humano [13]. Pero es algo más, el estimador de estadoes un reparto de cargas en tiempo real. Con esto se aseguraba la ejecución de lasfunciones de seguridad en los centros de control y el SCADA era reemplazadopor lo que hoy día se conoce como sistema de gestión de energía (EMS eninglés).

1.2 Hipótesis y datos de entradaSchweppe de�nió la estimación de estado como �un algoritmo de procesamientode datos que convierte las medidas redundantes y otra información disponibleen un estimado del estado del sistema eléctrico� [34]. Hoy en día, la estimaciónde estado es una parte esencial en los sistemas de gestión de energía de todoel mundo. Más aún, son el corazón de los modernos sistemas de gestión deenergía y el rendimiento de otras aplicaciones, como las de análisis de seguri-dad, despacho económico, etc., dependen en gran medida de la exactitud delos datos que proporciona el estimador de estado.


Hipótesis y datos de entrada 3

Las fuentes de información necesarias para el estimador de estado son [15]:

• Los valores de los parámetros de diseño (R, L, etc.).

• La información topológica o estructural (posición de interruptores, etc.).

• El modelo matemático del sistema.

• Los distintos tipos de medida:

� Telemedidas: Son las que se obtienen en tiempo real desde las re-motas de las subestaciones a través del SCADA. Los datos típicosque se incluyen son:∗ Las tensiones e inyecciones de activa y reactiva en los nudos.∗ Los �ujos de potencia activa y reactiva en las líneas.

� Pseudomedidas: Son valores obtenidos basándose en los datos his-tóricos existentes, por lo que tienen menos precisión que si fuesenmedidos; por ejemplo, la potencia generada en las centrales o lademanda de las subestaciones.

� Medidas virtuales: Son aquellas que no requieren ser medidas, comopor ejemplo la inyección cero en las subestaciones de transporte(nudos de tránsito).

Pero ocurre que los datos telemedidos contienen errores debido a la in-exactitud de la calibración de los transductores, el efecto de la conversiónanalógica-digital, el ruido en los canales de comunicación, el desequilibrio en-tre fases, etc., y como se ha comentado previamente, la estimación de estado esun proceso que limpia los datos erróneos ya que las medidas (�ujos, tensiones,etc.) están relacionadas entre sí mediante las leyes que gobiernan los circuitoseléctricos. Si hay redundancia en el conjunto de medidas (más medidas que lasnecesarias para determinar la condición de la red), se puede utilizar un procesosistemático que corrija los errores.

La exactitud de las medidas no sólo dependerá del transformador de me-dida, sino también de los transductores y convertidores y se tendrá en cuentacomo error de las medidas un único valor que sea conjunción de la suma acu-mulativa de los errores en los dispositivos que intervienen en todo el proceso.Los parámetros que de�nen la exactitud de la medida son:



• Clase: Se entiende por clase el error máximo que dicho aparato demedida puede tener, tomado en tanto por ciento, con respecto al valor defondo de escala o señal nominal de salida, en unas condiciones de�nidaspor normas nacionales o internacionales. En la Figura 1.1 se representanlos valores verdaderos con trazo continuo y los valores medidos con curvadiscontinua.

Figura 1.1: Error general de clase.

• Linealidad: Se entiende como error de linealidad el error relativo entanto por ciento, con respecto al valor de fondo de escala, que existe entreel verdadero valor y el valor obtenido con el aparato de medida calibradoperfectamente para la señal de fondo de escala, es decir, ajustado demanera que a la entrada nominal le correspondiese exactamente la salidanominal. En la Figura 1.2 se representan los valores verdaderos con trazocontinuo y los valores medidos con curva discontinua.

• Reproducibilidad o histéresis: Se entiende por error de reproducibil-idad o bien de histéresis, el error que puede darse por diferencia de losvalores obtenibles en un convertidor de medida a igualdad de condi-ciones ambientales, de temperatura, etc., pero repitiendo las medidas en



Figura 1.2: Error de linealidad.

condiciones dinámicas diferentes, es decir, aumentando la medida en unmomento y disminuyéndola en otro momento (Figura 1.3).

• Deriva térmica: Es el error que puede producirse por variación de latemperatura en el medio ambiente en que se encuentra el instrumentode medida, con respecto a la medida que tiene a una temperatura dereferencia. Esta diferencia de valor que se toma también en tanto porciento con respecto al fondo de escala, puede ser de cero, es decir, de lasalida que da el aparato de medida para una entrada que por su ajustedebiera dar salida igual a cero, o bien puede ser de plena escala, es decir,de la salida que da el aparato de medida para la entrada nominal. Esteerror se suele dar en tanto por ciento por cada grado centígrado o bienen tanto por ciento por cada diez grados centígrados.

• Otras magnitudes: Otras magnitudes, tales como la frecuencia dered, tensión de alimentación, impedancia de carga, pudieran tener algúnpequeño efecto sobre el aparato de medida y sobre su precisión, por lo queen algunos de ellos se suele expresar la in�uencia de dichas magnitudes.

Es necesario tener en cuenta que los tantos por ciento de error que se suelen



Figura 1.3: Error de reproducibilidad.

dar por variación de magnitudes corresponden a unos determinados márgenesde operación y no suelen ser extrapolables a otros valores operacionales.

Siendo la clase el parámetro que más in�uye en la exactitud de la medidaserá éste el único que se tendrá en cuenta. Las clases de precisión nominalesde los transformadores de intensidad son 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3 y 5. En los trans-formadores de estas clases, los errores de intensidad y fase, a la frecuencianominal, no deberán sobrepasar los valores de la Tabla 1.1 cuando la cargasecundaria esté comprendida entre el 25 y el 100 % de la carga de precisión.

A partir de los valores de la Tabla 1.1 y para cada clase de precisión, puedetrazarse una grá�ca de líneas quebradas de errores límites tanto de relación(Figura 1.4) como de fase (Figura 1.5) con los límites de error admisibles.Ambas �guras son las correspondientes a la clase 0.5. Las curvas de erroresreales de un transformador deberán quedar comprendidas entre las dos líneasquebradas de dichas �guras.

Las Figuras 1.4 y 1.5 se pueden uni�car en una sola (Figura 1.6) en laque los errores admisibles para clase 0.5 son los comprendidos entre ambosparalelogramos.

Excepto la norma ANSI, todas las normas tienen, fundamentalmente, losmismos valores que la CEI. La principal variante es que las normas UNE y VDE



Error de relación en % Errores de fase para losClase para los valores de valores de la intensidadde intensidad expresados en % expresados en % de la

precisión de la intensidad nominal intensidad nominal±ε1% ±δ1 (minutos)

10 20 50 100 120 10 20 100 1200.1 0.25 0.2 - 0.1 0.1 10 8 5 50.2 0.5 0.35 - 0.2 0.2 20 15 10 100.5 1.0 0.75 - 0.5 0.5 60 45 30 301 2.0 1.5 - 1.0 1.0 120 90 60 603 - - 3 - 3 - - - -5 - - 5 - 5 - - - -

Tabla 1.1: Errores máximos admitidos en la norma CEI para transformadoresde intensidad.

Figura 1.4: Errores límites de relación para transformadores de intensidad declase 0.5.



Figura 1.5: Errores límites de fase para transformadores de intensidad de clase0.5.

Figura 1.6: Errores límites para transformadores de intensidad de clase 0.5.



Clase Error de relación (εu%) Desfase min. (δu)0.1 ±0.1 ±50.2 ±0.2 ±100.5 ±0.5 ±201 ±1.0 ±403 ±3.0 No especi�cado

Tabla 1.2: Límites del error de relación y del desfase para transformadores detensión.

no admiten la clase 5. También hay que tener en cuenta que la norma CEIy la mayor parte de las normas europeas establecen que los errores indicadosno deben sobrepasarse para una potencia comprendida entre la nominal y sucuarta parte, con cos ϕ = 0.8, mientras que la norma ANSI solamente exige elcumplimiento de la precisión para una potencia igual a la potencia nominal.

La clase de precisión de un transformador de tensión debe cumplirse entodas las tensiones comprendidas entre el 80 y el 120 % de la tensión nominaly a todas las cargas comprendidas entre el 25 y el 100 % de la precisión, bajo unfactor de potencia de 0.8 en retraso. En la Tabla 1.2 se muestran los límites delerror de relación y desfase en función de la clase de precisión. Estas exigenciasde precisión coinciden para todas las normas.

Hasta ahora se han de�nido las fuentes de información necesarias para el es-timador de estado. Éstas son necesarias para poder llevar a cabo la estimación,que se realiza bajo las siguientes hipótesis:

• Las condiciones de operación son equilibradas.

• El sistema trifásico se puede modelar por su circuito equivalente monofási-co.

• Las telemedidas se captan en el mismo instante de tiempo.

• Los errores de las medidas:

� Tienen valor medio nulo.

� Son variables aleatorias independientes: E(eiej) = 0, por lo que su



matriz de covarianzas R es una matriz diagonal de valor

R = E(eeT ) =

σ2i

σ2i

. . .σ2

m

(1.1)

� Tienen distribución gaussiana.

• Se asigna un peso Wii a la medida i basado en su covarianza: Wii = σ−2i .

Este peso re�eja la exactitud esperada de la correspondiente medida.

• Los parámetros de la red son conocidos e invariantes con el tiempo.

• Los estados de todos los interruptores obtenidos a través del SCADA sonexactos, por lo que la topología de la red también lo es.

El cálculo de la desviación típica del error de las medida i, σi , es propuestode diferentes maneras según los autores y se pueden diferenciar cuatro grandesgrupos:

1. σ es un valor constante:

(a) En [1, 2, 6] se propone:• Para medidas de inyección: σ = 0.01 p.u.• Para medidas de �ujo: σ = 0.008 p.u.• Para medidas de tensión: σ = 0.004 p.u.

(b) En [5, 7, 8] se propone:• Para medidas de potencia: σ = 1 MW/MVAR.• Para medidas de tensión: σ = 0.01 p.u.

(c) En [16] se propone:• Para medidas de potencia: σ = 0.02 p.u. (sobre una base de

100 MVA).• Para medidas de tensión: σ = 0.002 p.u.

(d) En [17] se propone:• Para medidas de potencia: σ = 1 MW/MVAR.• Para medidas de tensión: σ = 0.005 p.u.



(e) En [26, 27] se propone:• Para medidas de potencia: σ = 1.5 MW/MVAR en 132 KV y

σ = 0.8 MW/MVAR en 33 KV.• Para medidas de tensión: σ = 0.005 p.u.• Para medidas de inyección cero: σ = 0.2 MW/MVAR.

(f) En [29, 30, 32] se propone:• Para medidas de potencia: σ = 0.5 ÷ 1.1 MW/MVAR en 70

KV y σ = 1.2÷ 5.5 MW/MVAR en tensiones superiores.• Para medidas de tensión: σ = 0.005 p.u.• Para medidas de inyección cero: σ = 0.3 MW/MVAR en 70

KV y σ = 0.5 MW/MVAR en tensiones superiores.

2. σ es función del valor medido:

(a) En [3, 28] se propone: Para todas las medidas σ = 1% del valormedido.

(b) En [21] se propone: Para todas las medidas σ ≤ 2% del valor me-dido.

(c) En [22] se propone: Para todas las medidas σ ≤ 3% del valor me-dido.

(d) En [19, 24] se propone: Para todas las medidas σ = 2% del valormedido.

(e) En [31] se propone: Para todas las medidas σ = 0.01% del valormedido.

3. σ es función del fondo de escala:

(a) En [18] se propone: Para todas las medidas el ruido gaussianoobtenido de un generador de números aleatorios es multiplicadopor un porcentaje, sin especi�car, del fondo de escala del aparatode medida.

(b) En [20] se propone:• Para medidas de potencia: σ = 0.5% del fondo de escala, siendo

éste 1000 MW.• Para pseudomedidas: σ = 10÷ 40% del fondo de escala.



(c) En [35] se propone: Para todas las medidas, a los estados exactos seles suma un error gaussiano obtenido con un generador de númerosaleatorios a partir de la desviación típica de cada medida, siendoésta función del fondo de escala y de la clase del aparato de medida.

4. σ es función del valor medido y del fondo de escala:

(a) En [4] se propone:

σ = 0.0067 ∗ V M + 0.00163 ∗ FE (1.2)

siendo:V M el valor medido.FE el fondo de escala del aparato de medida.

(b) En [9] se propone:

σ = 0.015 ∗ V M ∗ α + 0.003 ∗ FE ∗ α (1.3)

siendo α un número aleatorio de media cero y desviación típica 1.0y los valores del fondo de escala:• Para medidas de potencia:

� Para generadores: 1.2 p.u. para potencia activa y 0.2 p.u.para reactiva.

� Para cargas: 0.2 p.u. para potencia activa y 0.1 p.u. parareactiva.

• Para medidas de tensión: 1.5 p.u.(c) En [10] se propone:

• Para medidas de potencia: σ2 = (0.006∗V M)2 +(0.005∗FE)2.• Para medidas de tensión: σ = 0.005 ∗ FE.

no estando especi�cado FE.(d) En [11, 12] se propone: Para las medidas de �ujos de potencia

σ = α ∗ (0.02 ∗ V M + 0.0035 ∗ FE) (1.4)

siendo :|α| ≤ 1

FE = 2000 MVA.


Resultados de la estimación de estado 13

(e) En [14] se propone:• Para medidas de potencia: σ = 1

3(0.005 ∗ FE + 0.02 ∗ V M).

• Para medidas de tensión: σ = 0.001 ∗ V M .no estando especi�cado FE.

(f) En [23] se propone:

σ = 0.012 ∗ V M + 0.0035 ∗ FE (1.5)

siendo FE = 20 p.u.(g) En [33] se propone:

3 ∗ σ = α ∗ V M + β ∗ FE (1.6)

no estando especi�cado FE y siendo:• Para medidas de potencia: α = 0.02, β = 0.0052 y V M y FE

son valores en MVA.• Para medidas de tensión: α = 0.005, β = 0.0026, V M = 1.0

p.u., FE = 1.5 p.u.• Para medidas de inyección cero: σ es 20 veces superior al σ

típico de medidas de inyección reales.

En los aparatos de medida industriales existe una disparidad similar res-pecto a la precisión del aparato. Dependiendo del fabricante y del modeloésta es proporcional a la medida, al fondo de escala o a una suma de ambosfactores, pero nunca es constante [25].

1.3 Resultados de la estimación de estadoEl estimador procesa toda la información disponible del sistema interconecta-do y genera una base de datos para las funciones de control y reparto. Losresultados de la estimación de estado son los estimados de las variables delsistema eléctrico que pueden incluir la generación, las cargas activas y reacti-vas, los �ujos de potencia activa y reactiva de las líneas de transmisión y lasmagnitudes y las fases de los ángulos de las tensiones en los nudos.

Con esta información se puede determinar, mediante el análisis de sensi-bilidad, cómo afectan los errores del modelo del sistema a los resultados de laestimación de estado. Además, se pueden calcular las matrices de covarianza



de la estimación y residual que permitirán evaluar la bondad de la estimaciónasí como detectar errores no gaussianos (Apartado 7.3).

Asimismo, la información proporcionada por el estimador de estado o laque se puede obtener fácilmente de él, in�uirá en:

1. Las funciones de control:

• El control de carga y frecuencia. Es necesario obtener la estimaciónóptima de los �ujos de potencia e inyecciones, especialmente de lasmedidas que no se realizan en tiempo real pero que se estiman yactualizan periódicamente por el operador.

• El despacho óptimo de las potencias activa y reactiva. Éste se basaen los nudos de carga, pudiendo realizar el estimador la estimaciónde las cargas no telemedidas.

• La supervisión de la seguridad. El estimador de estado debe sumi-nistrar en tiempo real la información necesaria para la inspecciónperiódica de la generación, las cargas de las líneas, las tensiones delos nudos, la estabilidad transitoria de la red y la predicción de losefectos de las posibles contingencias.

• La mejora de los sistemas de seguridad. Se genera una base de datosen tiempo real que permite la realización del análisis de seguridady la detección de anomalías.

• El programa de descargos. Éste va a depender de las conclusionesque se obtengan de los análisis que se realizan de los efectos quepueden producir dichos cortes sobre la seguridad del sistema. Lasvariables estimadas pueden servir de base para estos análisis.

2. El operador:

• Proporcionándole, junto con sus respectivas desviaciones típicas,el estimado de los �ujos de las líneas, las salidas de generadores,cargas, niveles de tensión, ángulos de las fases, etc.

• Indicándole las anomalías del sistema y su localización geográ�ca einformándole sobre los problemas de la red.

• Proporcionándole salidas no registradas y su localización geográ�caque le ayudarán en el diagnóstico de defectos.

• Informándole de los costes marginales de potencia en los nodos im-portantes y en los de intercambio.



• Facilitándole índices de seguridad tales como reservas de generacióny transmisión o los márgenes de estabilidad transitoria para alertarlemientras se encuentre el sistema en un estado vulnerable.

• Proporcionándole las acciones correctoras requeridas para solucio-nar las condiciones indeseables de potencia y tensiones y los pro-cedimientos de restablecimiento del sistema.

3. El diseño y la plani�cación de los sistemas de información:

• Facilita el proceso de localización y de�nición de la exactitud de lossensores necesarios para mejorar algunas variables de estado con elmenor coste posible.

La estimación de estado obtendrá, según se deducirá en el Apartado 2.2,el estado estadísticamente óptimo. Este estado estimado constituye la basede datos sobre la que trabajan el resto de las funciones del centro de controlpero tiene algunas limitaciones que el operador debe conocer. Ser conscientesde ellas evitará sorpresas y descon�anza en la estimación de estado. Estaslimitaciones son:

1. Los cambios de estado no comunicados en áreas no observables puedendar lugar a resultados erróneos.

2. Los resultados de la inyección en los nudos pueden no ser realistas, yaque las inyecciones múltiples en los nudos no pueden ser estimadas indi-vidualmente y los errores no gaussianos no siempre se pueden identi�carindividualmente.

3. Los errores no gaussianos en medidas críticas no pueden ser detectados.

4. Se acepta que las posiciones de los interruptores son correctas aunquepueden no serlo.

5. El test de la χ2 para la detección de errores no gaussianos no es siempreseguro.

Seguidamente se procederá a realizar una discusión en detalle de cada unade estas limitaciones.

Areas no observables



El modelo de red utilizado por la estimación de estado incluye habitualmenteredes que están fuera del ámbito de in�uencia del centro de control. Talesáreas no observables pueden ser partes de redes de tensiones inferiores o partesde interconexiones con sistemas externos. Para la estimación de estado estassubredes son no observables permanentemente. Además, algunas zonas de lared que están siendo controladas pueden pasar a no observables debido a lapérdida de una medida crítica, a un fallo en el terminal remoto o en las vías decomunicación, o simplemente porque en dicha subestación se está realizandomantenimiento o está siendo reparada la unidad remota.

Con objeto de convertir en observables todas esas zonas no observables seutilizan las pseudomedidas, las cuales se basan en las últimas medidas y endatos históricos. Por lo tanto, la estimación de estado realiza una funciónque un operador podría realizar de una manera más lenta y proporciona unainformación que el SCADA no puede suministrar.

Si el periodo durante el cual las zonas no observables permanecen en esteestado es elevado, la estimación de estado puede no ser correcta, no por causade las pseudomedidas, sino por la posibilidad de cambios en el estado de dichazona.

Cuando se produce una isla no observable debido a una red de tensióninferior, si la no observabilidad se debe a la pérdida o a la no disponibilidad deuna medida crítica, se puede subsanar este problema comunicando el cambiodel estado desde la subestación al centro de control y se actualizaría el sistema.

Sin embargo, si la no observabilidad se debiese a la imposibilidad de accedera la subestación por cualquier razón, entonces los cambios no se registrarían. Siel periodo de indisponibilidad llega a ser excesivamente prolongado, el operadorpodría recibir información telefónica desde la subestación por el personal deoperación o mantenimiento y si fuese necesario, debido a la importancia dela subestación, tendría que haber personal que la controlase en modo localtemporalmente.

Por último, si la zona no observable no es demasiado extensa, un cambioen un interruptor se podría notar e incluso identi�car en las zonas observablesadyacentes.

Resultados de la inyección en los nudos de la estimación de esta-do

Con objeto de que el usuario �nal, por ejemplo el operador del sistema, apre-cie el valor de la estimación de estado y tenga con�anza en sus resultados, es



necesario tener un especial cuidado en la determinación y presentación de silas inyecciones en los nudos son simples o múltiples.

En ciertos casos, la distribución de la inyección estimada en un nudo entrelos generadores y las cargas del mismo puede dar lugar a situaciones absurdassi no se tiene un especial cuidado. Puede ocurrir que:

• Las salidas de los generadores sean muy superiores a su capacidad.

• Los generadores absorban potencia del nudo.

• Haya valores de cargas excesivamente elevados.

• Haya cargas que aporten potencia al nudo.

• Aparezca una carga que en realidad no existe.

Una vez que el estimador de estado ha obtenido su solución, la distribuciónde la inyección en el nudo entre los generadores y las cargas será tal que seeviten resultados como los indicados anteriormente. En aquellos lugares en losque la inyección estimada no pueda ser distribuida de una manera realista seránecesario que se haga mención mediante algún comentario o indicación.

El algoritmo del estimador de estado estima la inyección en un nudo y no lasinyecciones individuales. La distribución de la inyección entre las inyeccionesindividuales se realiza proporcionalmente a los valores medidos.

Esta es una buena aproximación mientras no existan datos con errores nogaussianos en una o más de las inyecciones. Si se detecta un error no gaussianoen la inyección no se puede identi�car cuál de las inyecciones individuales es laque ha introducido el error. Sin embargo, es posible que se pueda identi�carmediante métodos heurísticos.

Medidas críticas

Por de�nición, en estimación de estado un error en una medida crítica nopuede ser identi�cado. Por lo tanto, dependerá del operador la decisión de siuna medida crítica es correcta o no. Por este motivo, en la presentación de losresultados de la estimación de estado, las medidas críticas se identi�carán deun modo especial.

Idealmente, habrá su�ciente redundancia en el conjunto de medidas demanera que no haya medidas críticas. Con este criterio se asegura la redun-dancia local en la red pero en la práctica pueden existir varias medidas críticas.



El número de medidas críticas no permanece �jo. Alguna de las medidaspuede convertirse en crítica debido a la no disponibilidad de alguna medida oa que se rechace por ser detectada como medida con error no gaussiano.

La presentación al operador de las medidas que son críticas le permitirásaber que en caso de que exista algún error no gaussiano en dichas medidas nopodrá ser identi�cado.

Topología de la red

En la estimación de estado se supone que la información que se tiene en labase de datos respecto a la posición abierta o cerrada de los interruptores yseccionadores es correcta. Esta suposición es cierta si es supervisada por mediodel SCADA.

Se pueden producir errores en la estación remota debido a la pérdida deconexión, a un problema de un cable, un fallo en algún relé, alguna tarjeta,etc. Estos errores no suelen producirse pero si ocurriesen darían lugar a queel con�gurador de la red proporcionase un modelo erróneo de ésta.

Si el interruptor o seccionador no se supervisa a través del SCADA, laactualización de su posición la realiza manualmente el operador tras una seriede operaciones que el operario de campo realiza. Puede ocurrir que el opera-dor se olvide de actualizar la posición de los equipos, lo que origina un errortopológico en la red.

Este problema se puede obviar mediante el preprocesador del estimador deestado. Éste lo que realiza es la veri�cación de cada nudo y si el residuo delas potencias activa y reactiva superan un umbral se emite un mensaje queavisará al operador. Por lo tanto, si se produce algún error en la informaciónque se tenga de un interruptor, ésta se detectaría por la correlación que existeentre la posición del interruptor y los �ujos de las ramas.

Identi�cación de errores no gaussianos

En la mayoría de los centros de control se utiliza el test de la χ2 para ladetección de errores no gaussianos (se analizará en detalle en el Apartado 7.3).En la práctica este test no es siempre correcto, aun cuando sólo haya un únicodato erróneo, especialmente en redes grandes.

En el caso de que haya múltiples errores no gaussianos el test de la χ2 seejecuta hasta un límite, es decir, después de que se hayan rechazado los errorescon los mayores residuos, el test puede indicar que no existen más errores


Resumen 19

cuando en verdad sí existen.Por ello es conveniente que en la pantalla de ajuste de parámetros del

estimador de estado se presente la facilidad de que el operador pueda evitar larealización del test de la χ2. De esta manera el proceso irá directamente a larutina de identi�cación mediante el examen de los residuos normalizados.

Hay que destacar que, incluso si no se detectan todos los errores no gaus-sianos, el estimador de estado puede ofrecer una estimación muy parecida alvalor verdadero.

1.4 ResumenEn este capítulo se ha presentado el problema que existía en la operación delos sistemas de potencia y el cambio de mentalidad producido hacia los nuevossistemas de seguridad. Al producirse este cambio fue cuando emergió con granfuerza la estimación de estado como solución a los problemas de inconsistenciay seguridad planteados.

Se han estudiado los datos de entrada necesarios para el estimador de es-tado (Apartado 1.2), que además de los datos proporcionados por el SCADAnecesita los valores de los parámetros, la información topológica, el modelomatemático del sistema y las pseudomedidas. En este mismo apartado sehan analizado los parámetros que de�nen la exactitud de la medida y se hajusti�cado la utilización de la clase como único parámetro para de�nirla.

Por último, se han analizado los resultados que se obtienen de la estimaciónde estado (Sección 1.3), justi�cándose los motivos para realizarla, así como lain�uencia que tiene ésta sobre las funciones de control, el operador y la plani-�cación. Igualmente se han remarcado las limitaciones que tiene la estimacióny que deben quedar completamente claras para el operador con objeto de queéste pueda subsanarlas.


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21


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Capítulo 2

Métodos de Estimación de Estado

2.1 IntroducciónEl estado de un sistema de potencia hace referencia a su condición de operacióny, matemáticamente, todas las cantidades se pueden calcular una vez que seconocen las magnitudes de las tensiones y los desfases de los ángulos. Por lotanto, el modelo matemático de la estimación de estado se basa en las relacionesmatemáticas entre las medidas y las variables de estado.

Sea z el vector de telemedidas, x el vector de variables de estado (tensionesen los nudos y fase de los ángulos), h las ecuaciones que relacionan las medidascon las variables de estado y ν el vector de errores de las medidas. Entonces,el vector de medidas se modela como [25, 26]:

z = h(x) + ν (2.1)

Se supone (según lo expuesto en el Apartado 1.2) que los errores ν1, ν2, . . . ,νm son variables aleatorias independientes con distribución gaussiana y mediacero, siendo m el número de medidas. La varianza σ2

i del error de la medidaνi, proporciona una indicación de la exactitud de la medida. Una varianzaelevada indica que la medida no es muy exacta y una varianza pequeña indicaque la medida es muy exacta.

Sea R la matriz de covarianzas de errores de las medidas:

R = E{ννT} =

σ21

σ22

. . .σ2

m

(2.2)

25


26 Métodos de Estimación de Estado

y W = R−1 .En las ecuaciones (2.1), x es el verdadero valor del estado desconocido y,

como los errores ν son variables aleatorias, las medidas z también lo son. Másaún, z tiene distribución gaussiana con media h(x) y covarianza R y la funciónde densidad de probabilidad de z se puede escribir [2]:

f(z) = (√

2π)−m |W |(1/2) e−12

[z−h(x)]T W [z−h(x)] (2.3)

La ejecución satisfactoria de la estimación de estado en los modernos sis-temas de gestión de energía durante los últimos años mediante el método demínimos cuadrados ponderados ha incitado a la realización de estimadores queabarcan redes cada vez más grandes. Esto implica que cada vez sean mayoreslos porcentajes de la red externa que se representan.

Con este crecimiento de los sistemas aparecen una serie de problemas quecuando se trata de otros más pequeños no existen. Uno de los principales prob-lemas que se crea es el mal condicionamiento numérico. Cuando el sistema seencuentra mal condicionado aparecen problemas de lentitud en la convergenciaa la solución así como fallos en dicha convergencia.

El modo de solucionar el problema de la estimación de estado es medi-ante una secuencia de puntos x0, x1, x2, . . . En cada iteración se resuelve unaparte del problema general en el que el siguiente punto xk+1 se calcula a par-tir del punto xk y del valor del parámetro p (impedancias, tensiones, etc.).Esto se puede representar mediante la siguiente función: x1 = f(x0, p), x2 =f(x1, p), . . . Este proceso converge si xn se aproxima a la solución x.

Por otro lado, como consecuencia de que un número x1 se almacena me-diante una aproximación x∗1 aparece el error de redondeo que es la diferenciade ambos números. El efecto del error de redondeo es que en lugar de utilizarx2 = f(x1, p), en los cálculos se emplea x∗2 = f(x∗1, p

∗).Un algoritmo se dice que está mal condicionado si para un (x1, p) dado, la

diferencia entre f(x1, p) y f(x∗1, p) o entre f(x1, p) y f(x1, p∗) es grande siendo

x1 y x∗1 o p y p∗ valores muy próximos y por lo tanto da idea de cómo deampli�cados pueden quedar los errores en la solución ante errores en los datosde entrada. El mal condicionamiento ocurre cuando:

• Existe disparidad en los factores de peso [5].

• Existe un número elevado de medidas de inyección [13].

• Existe conexión entre líneas de transmisión cortas y largas [21].


Introducción 27

A las medidas se les asignan diferentes factores de peso dependiendo de lacredibilidad que se les dé. Así, un valor elevado de dicho factor indica que lamedida es muy parecida a su valor exacto y, al contrario, si la credibilidad quenos ofrece la medida es muy pequeña, su factor de peso será bajo. Un ejemplode mal condicionamiento cuando existe disparidad en los factores de peso esasignar valores grandes a las medidas virtuales, es decir, se considera que setrata de medidas más exactas, y pequeños a las pseudomedidas, es decir, seconsidera que se trata de medidas menos exactas.

Se han propuesto diversos métodos para resolver el problema del mal condi-cionamiento numérico:

• Ecuaciones normales con restricciones [5, 31].

• Transformaciones ortogonales [27, 28, 30].

• Método híbrido [21].

• Método de la matriz aumentada de Hachtel [10, 18, 32].

• Método de pseudoinversas o de Peters y Wilkinson [7, 9, 13, 23].

• Método de la matriz aumentada por bloques [3, 22].

En [3] se revisan los principales métodos de resolución del problema deestimación de estado y en [14] se comparan los siguientes métodos:

• Método de ecuaciones normales convencionales.

• Método de ecuaciones normales con restricciones.

• Método de transformaciones ortogonales.

• Método híbrido.

• Método de la matriz aumentada de Hachtel.

desde el punto de vista de:

• Estabilidad numérica.

• E�ciencia computacional.

• Complejidad en la realización.



En dicho artículo se obtiene la conclusión de que el método híbrido y el deHachtel son los que ofrecen mejores compromisos entre estabilidad numéricay e�ciencia computacional, ya que, aunque el método de transformacionesortogonales es numéricamente más estable, no se puede realizar con el métododesacoplado rápido.

Otros métodos de estimación de estado no tan extendidos como los basadosen la resolución de mínimos cuadrados son los de mínimos valores absolutos[1] y mínima mediana de cuadrados [20].

2.2 Mínimos cuadrados ponderadosEn el problema de estimación de estado se reciben un conjunto de telemedidasz basándose en el hecho de querer estimar el estado x. El conjunto x que ma-ximiza la función de densidad de probabilidad (2.3) es el estimado de máximaverosimilitud x . Esto se basa en el hecho de que si se han observado dichasmedidas es porque el estado que dio lugar a ellas es, en sentido estadístico,el más probable, y si no lo es, se habrían observado otras medidas con unaprobabilidad bastante alta.

Siendo x el estimado de máxima verosimilitud, éste posee propiedades de-seables para un estimador según la estadística matemática clásica, la cual tomacomo criterio de bondad para un estimador la varianza del mismo. Es posiblea�rmar que este estimador posee asintóticamente (siendo m un valor elevado)las siguientes propiedades:

• Insesgado: E(x) = x.

• Su�ciente: Utiliza toda la información estadística existente en la muestra.

• E�ciente: Alcanza la cota de Cramer-Rao [16]

−E

(∂lnf(x, θ)

∂θ

) (∂lnf(x, θ)

∂θ

)T (2.4)

• Consistente: xm → x si m →∞.

Así pues, desde el punto de vista estadístico, es posible a�rmar que, comomucho, se encontrará un estimador tan bueno como x, pero no mejor.


Mínimos cuadrados ponderados 29

Maximizar f(z) en (2.3) es equivalente a minimizar el término cuadráticodel exponente:

J(x) = [z − h(x)]T W [z − h(x)] (2.5)

=m∑

i=1

[zi − hi(x)]2

σ2i

(2.6)

siendo J(x) la función objetivo.Como en este caso el estimador de máxima verosimilitud minimiza el error

cuadrático ponderado con la exactitud de las medidas, éste es el estimado demínimos cuadrados ponderados.

La solución del problema de mínimos cuadrados ponderados (2.5) propor-ciona el estado estimado x que satisface la siguiente condición de optimización:

∂J(x)

∂x= 0 ⇒ g(x) = HT (x)W [z − h(x)] = 0 (2.7)

dondeH(x) =

∂h(x)

∂x(2.8)

es la matriz jacobiano.Independientemente de la visión estadística de la función J(x) es posible

dar otra interpretación geométrica de dicha elección. Por analogía con mínimoscuadrados lineales se puede decir que minimizar dicha función es encontrar elestado que hace que la distancia desde las medidas obtenidas a las medidasestimadas sea mínima.

La solución x de la ecuación no lineal (2.7) se puede obtener mediante unmétodo iterativo en el que el vector de estado en la iteración k-ésima es xk yen cada iteración se resuelve la ecuación lineal:

A(xk)∆xk = −HT (xk)W [z − h(xk)] (2.9)

y de la que se obtiene la corrección ∆xk = xk+1 − xk. En (2.9), A(xk) esuna matriz no singular que depende del método utilizado y mientras que lasecuencia de puntos xk generada por el método iterativo converja, convergeráa la solución de (2.7). La dependencia de x se omitirá en lo sucesivo parasimpli�car la notación.

Un método que garantiza convergencia cuadrática local es el método itera-tivo de Newton, para el cual la matriz A(x) viene dada por:

A(x) =∂g

∂x(2.10)



siendo el elemento ij-ésimo de ∂g/∂x:

∂gi

∂xj

=

(∂2h(x)

∂xi∂xj

)T

W [z − h(x)]−(

∂h

∂xi

)T

W

(∂h

∂xj

)(2.11)

El método de Newton ignora los términos de derivadas segundas (en [4] sediscute lo signi�cativo que pueden llegar a ser estos términos) y queda:

A(x) = HT (x)WH(x) (2.12)

por lo que la ecuación (2.9) se transforma en:

G(x)∆x = HT (x)W [z − h(x)] (2.13)

dondeG(x) = HT (x)WH(x) (2.14)

es la matriz de ganancia . Ésta es dispersa, de�nida positiva y simétrica, lo queasegura la observabilidad del sistema. Las ecuaciones (2.13) son las ecuacionesnormales del problema de mínimos cuadrados ponderados que se resuelvenmediante la factorización triangular de la matriz de ganancia

G = UT U (2.15)

siendo U una matriz triangular superior. Seguidamente se resuelve ∆x medi-ante eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás de

(UT U)∆x = HT W∆z (2.16)

siendo ∆z = z − h(x).

2.3 Ecuaciones normales con restriccionesEn el caso de existir medidas virtuales, las cuales representan relaciones ma-temáticas exactas, se pueden incorporar directamente en la formulación dela estimación de mínimos cuadrados asignándoles un factor de peso elevado,pero como se dijo en el Apartado 2.2 se ha observado empíricamente que taldisparidad en los factores de peso puede causar un mal condicionamiento.

Por ello, lo que se hace es proceder a la división del conjunto de medidasen:

Telemedidas: z = h(x) + νMedidas virtuales: c(x) = 0

(2.17)


Ecuaciones normales con restricciones 31

por lo que la matriz jacobiano se divide en H y C siendo ahora H la submatrizjacobiano de las telemedidas solamente y C la de medidas virtuales. Si k es larelación entre los factores de peso de las medidas virtuales y las telemedidas,entonces, de las ecuaciones normales (2.13) obtenemos

[HC

]T [1

k

] [HC

]∆x =

[HC

]T [1

k

] [∆z∆c

](2.18)

siendo ∆c = −c(x).Para valores de k muy elevados, el término kCT C es dominante en la matriz,

sin embargo, no suele haber su�cientes medidas virtuales como para que lamatriz C sea de rango completo y por tanto sea observable la red. Por lotanto, para valores de k grandes, la matriz de coe�cientes en (2.18) tiende aser singular causando problemas de mal condicionamiento.

Para evitar este problema las medidas virtuales se pueden separar de lastelemedidas tratándose como restricciones de igualdad y las medidas z incluiránsolamente las telemedidas y las pseudomedidas, si hay alguna. El problema quese plantea en este caso será el de encontrar un estimado del vector de estado xque minimice la función objetivo (2.5) satisfaciendo, además, las restriccionesc(x) = 0.

Para resolver este problema de minimización con restricciones [5, 31] sepuede utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, obteniéndose elestimado x mediante un procedimiento iterativo en el que la ecuación lineal-izada que se resuelve en cada iteración es:

[HT WH CT

C 0

] [∆xλ

]=

[HT W∆z

∆c

](2.19)

SiendoF =

[HT WH(x) CT

C 0

](2.20)

se realiza la factorización triangular

F = UT U (2.21)

y mediante eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás de

(UT U)

[∆xλ

]=

[HT (x)W∆z

∆c

](2.22)

se obtiene ∆x.



2.4 Transformaciones ortogonalesLa función objetivo del problema de mínimos cuadrados en cada iteración es:

J(∆x) = (∆z −H∆x)T W (∆z −H∆x)

= (∆z − H∆x)T (∆z − H∆x)

= ‖∆z − H∆x‖2 (2.23)

donde

H = W 1/2H (2.24)∆z = W 1/2∆z (2.25)

Siendo I la matriz unitaria, sea Q una matriz ortogonal, es decir QT Q = I,tal que

H = QT

[U0

](2.26)

Entonces se tiene:

J(∆x) = (∆z − H∆x)T QT Q(∆z − H∆x)

= ‖Q∆z −QH∆x‖2

= ‖∆y1 − U∆x‖2 + ‖∆y2‖2 (2.27)

donde [Q1

Q2

]∆z =

[∆y1

∆y2

](2.28)

El mínimo de (2.27) ocurre cuando

U∆x = ∆y1 (2.29)

es decirU∆x = Q1W

1/2∆z (2.30)y de esta ecuación, mediante resolución hacia atrás, se obtiene ∆x.

Resumiendo, el método comienza realizando las transformaciones ortogo-nales (2.26) y (2.28) de H y ∆z y a continuación se resuelve (2.29) mediantesustitución hacia atrás. De esta manera se evita tener que construir G, pero Qes más densa. Para la obtención de Q se utiliza la transformación de Givens.


Método híbrido 33

2.5 Método híbridoTeniendo en cuenta (2.26) se obtiene:

G = HT WH = HT H = UT QQT U = UT U (2.31)

El método híbrido resuelve las ecuaciones normales utilizando

UT U∆x = HT W∆z (2.32)

Los puntos principales de este método son la transformación ortogonal(2.26) de H, con lo que se evita la necesidad de utilizar G, y la resolución de lasecuaciones normales (2.32) mediante eliminación hacia adelante y sustituciónhacia atrás sin necesidad de tener que almacenar Q [12].

2.6 Método de la matriz aumentada de HachtelPara la resolución del problema de minimización con restricciones de x seutiliza el método de la matriz aumentada de Hachtel en el que las ecuacionesse aumentan con el vector de residuos y se resuelven en cada iteración lassiguientes ecuaciones:

0 0 C0 αW−1 H

CT HT 0

−α−1λα−1W∆r

∆x

=

∆c∆z0

(2.33)

siendo:∆r = ∆z −H∆x (2.34)

λ es el multiplicador de Lagrange y α es un parámetro utilizado para controlarla estabilidad numérica del problema [26].

Las variables que se calculan en cada iteración son, además de ∆x:

λ′ = −α−1λ (2.35)∆r′ = α−1W∆r (2.36)

(2.37)

De�niendo

K(x) =

0 0 C0 αW−1 H

CT HT 0

(2.38)



se realiza la factorización triangular

K = UT U (2.39)

y mediante eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás de

(UT U)

λ′

∆r′

∆x

=

∆c∆z0

(2.40)

se obtienen las correcciones.En el caso particular de que no existan restricciones de igualdad las ecua-

ciones a resolver son:[

αW−1 HHT 0

] [α−1W∆r

∆x

]=

[∆z0

](2.41)

Este método tiene el inconveniente de destruir la simetría de la matrizdebido a los pivotamientos.

2.7 Método de pseudoinversasEste método, también llamado de Peters y Wilkinson, realiza la minimizacióndel error de mínimos cuadrados mediante la siguiente transformación del pro-blema original:

H = W−1/2H (2.42)∆z = W−1/2∆z (2.43)

con lo que el problema se reduce a:

minimizar J(x) = rtr (2.44)

siendor = H∆x−∆z (2.45)

Factorizando H de manera que:

H = LU (2.46)

siendo L una matriz trapezoidal inferior y U una matriz triangular superior, yde�niendo:

y = U∆x (2.47)


Método de pseudoinversas 35

el problema se reduce a:

minimizar rtrsujeto a: r = Ly −∆z

(2.48)

De este problema transformado se obtiene y de la ecuación:

[LT L] y = LT ∆z (2.49)

no siendo LT L tan mal condicionado como G y obteniéndose la solución delproblema original mediante la resolución del sistema triangular superior deecuaciones:

U∆x = y (2.50)

La resolución con restricciones [9] se puede expresar como:[

C

H

]∆x =

[∆c∆z

](2.51)

realizándose la misma factorización que en el método sin restricciones. Se creauna matriz triangular superior U no singular y una trapezoidal inferior L,teniendo ésta la siguiente estructura:

[L11 0L21 L22

](2.52)

La resolución se realiza calculando previamente una variable intermedia wde L11w = ∆c mediante eliminación hacia adelante. Seguidamente se obtieneotra variable intermedia y de:

LT22L22y = LT

22∆z (2.53)

mediante factorización dispersa. Por último se resuelve:

U∆x =

[wy

](2.54)

y se obtiene ∆x mediante sustitución hacia atrás.



2.8 Método de la matriz aumentada por bloquesLa idea básica de este método se basa en organizar la formulación del métodode la matriz aumentada de Hachtel como una submatriz con estructura debloques que se ajuste a la forma de la matriz de incidencias de la red y de estamanera queda como una matriz dispersa.

Toda la información asociada a las medidas se agrupa en �ujos, incluyendotensiones, e inyecciones eliminándose toda formulación explícita de los �ujosen la resolución del sistema. Las únicas restricciones que se consideran estánasociadas a inyecciones y todas ellas son, por tanto, informaciones nodales.

Separando en (2.33) la información en inyección (subíndice i) o de �ujo ytensiones (subíndice f) y haciendo α = 1 por claridad, se obtiene:

0 0 0 C0 W−1

i 0 Hi

0 0 W−1f Hf

CT HTi HT

f 0

−λWi∆ri

Wf∆rf

∆x

=

∆c∆zi

∆zf

0

(2.55)

Seguidamente, permutando en la matriz de información las �las y las colum-nas que involucran a las restricciones y eliminando de ella HT

f :

W−1f 0 0 Hf

0 W−1i 0 Hi

0 0 0 CHT

f HTi CT −HT

f WfHf

Wf∆rf

Wi∆ri

−λ∆x

=

∆zf

∆zi

∆c−HT

f Wf∆zf

(2.56)

En (2.56) se observa que la ecuación asociada a los residuos de las medi-das de �ujos queda desacoplada del resto del sistema, por lo que la ecuaciónmatricial que se ha de resolver es:

W−1i 0 Hi

0 0 CHT

i CT −HTf WfHf

Wi∆ri

−λ∆x

=

∆zi

∆c−HT

f Wf∆zf

(2.57)

La idea de reordenar este sistema de ecuaciones con objeto de obtener unaestructura particionada en bloques de manera que resulte fácil de factorizarha sido desarrollada en [29] y la razón es evitar la utilización de rutinas espe-ciales que almacenen los pivotes pequeños o nulos necesarios para realizar unaeliminación e�ciente y estable.


Mínimos valores absolutos 37

El modelo de (2.57) tiene una estructura intermedia entre (2.19) y (2.33),siendo HT

f WfHf un subconjunto de la matriz de admitancia nodal y estandotodas las variables de (2.57) relacionadas con los nodos de la red. El siguientepaso se basa en realizar las necesarias permutaciones de �las y columnas demanera que estén agrupadas todas las variables de un mismo nodo [11].

2.9 Mínimos valores absolutosEl método de estimación de mínimos cuadrados se ha estudiado ampliamentey así, tanto su estabilidad numérica como su e�ciencia computacional se hanido mejorando grandemente. Posteriormente, se ha propuesto el método demínimos valores absolutos para resolver el problema de estimación de estado[8, 15, 17].

El método de resolución de mínimos valores absolutos es un método robustoy la solución que el método propone es la que a continuación se detalla.

El modelo del sistema que relaciona las medidas con los estados que se vana estimar es (2.1), que linealizado en torno al punto de operación x0 es:

∆z = H(x0)∆x + ν (2.58)

donde

∆z = z − h(x0) (2.59)

H(x0) =δh

δx

∣∣∣∣∣x=x0

(2.60)

∆x = x− x0 (2.61)

El estimador de mínimos valores absolutos se obtiene minimizando la sigu-iente función objetivo:

J(x) =m∑

i=1

wi|∆zi −Hi(x0)∆x| (2.62)

Esta función objetivo se puede minimizar iterativamente resolviendo el si-guiente problema de programación lineal:

minimizar J(x) =m∑

i=1wi(ui + vi)

sujeto a: ∆z0 = H(x0)∆xu −H(x0)∆xv + u− v(2.63)

donde



• ∆xu, ∆xv, u, v ≥ 0

• ∆xu(i) = ∆x(i) si ∆x(i) ≥ 0 y 0 en los otros casos

• ∆xv(i) = ∆x(i) si ∆x(i) ≤ 0 y 0 en los otros casos

• u y v son vectores no negativos de dimensión m x 1 tales que min[u(i), v(i)] =0 y max[u(i), v(i)] = |∆zi −Hi(x0)∆x|

El problema de programación lineal de las ecuaciones (2.63) se puede re-solver en dos etapas. En la primera de ellas se obtiene una posible soluciónbásica y en la segunda se realiza la optimización iterativamente mediante elmétodo Simplex hasta encontrar la solución óptima.

La primera etapa se comienza eligiendo como solución básica una matrizdiagonal de dimensión m x m cuyos elementos son 1 ó -1, dependiendo el signodel correspondiente elemento del término independiente. A continuación, seobliga a que la base contenga todas las columnas de H(x0). De esta manerase puede conseguir un conjunto de medidas observables sin que las variablesu(i), v(i) se encuentren en la base resultante.

En el caso de la estimación de estado, el conjunto de medidas observablesobtenido para una con�guración de medidas particular se puede utilizar parainicializar el estimador de mínimos valores absolutos siempre que no varíe lacon�guración del sistema.

Los pasos a seguir para resolver dicho problema de programación linealutilizando el método Simplex se pueden resumir de la siguiente manera [19]:

1. Elegir una base inicial que determina un conjunto mínimo de medidasque hacen completamente observable el sistema. Realizar la factorizacióntriangular de la base elegida.

2. Encontrar la solución básica, la cual puede ser no resoluble debido aalgún ∆x(i) negativo. Si es así, cámbiese el signo de la correspondientecolumna de H(x0).

3. Determinar el costo relativo de las variables no básicas. Si todos sonnegativos, parar; se ha encontrado la solución óptima. En caso contrario,elegir la variable con mayor costo relativo negativo para introducirla enla próxima base.

4. Determinar el término pivote (variable que abandonará la base). Nopermitir que las variables de estado ∆x abandonen la base.


Mínima mediana de cuadrados 39

5. Intercambiar las columnas de las variables que se incorporan y salen dela base. Ir al paso 2.

Si se aplica directamente este método al problema de programación linealplanteado en la ecuación (2.63) se produce un código de programación ine�-ciente, por lo que en [1] se detalla un método de resolución mÿs e�caaz.

2.10 Mínima mediana de cuadradosEl método de estimación de estado de mínima mediana de cuadrados se basaen el método propuesto en [24], pero desarrollado para modelos no lineales yutilizando técnicas de matrices dispersas de manera que el tiempo usado en elprocesamiento numérico sea lo más reducido posible [20].

Siendo N el número de nudos de la red y n = 2N − 1, en el caso unidimen-sional y de regresión simple (n = 1 ó 2), el estimador no minimiza la suma, sinola mediana de los cuadrados de los residuos. En el caso de regresión múltiplela función objetivo que se minimiza es:

J(x) = r2W (k) (2.64)

siendok =

[m

2

]+

[n + 1

2

](2.65)

y r2W (k) es el k-ésimo residuo cuadrado ponderado, donde el residuo ponderado

es:rW =

ri

σi

(2.66)y

r = z − z (2.67)es el residuo de las medidas, con z la medida estimada.

Primeramente se elevan al cuadrado los residuos ponderados y a continua-ción se ordenan de menor a mayor, siendo el k-ésimo el mayor de ellos.

En este método se utiliza un procedimiento combinatorial repetidamentepara seleccionar muestras observables del sistema de tamaño n. Para cadamuestra, el sistema no lineal se resuelve mediante el método de Newton-Raphson, hallándose a continuación los residuos ponderados, elevándolos alcuadrado y ordenándolos de menor a mayor. El estimado de mínima medianade cuadrados se obtiene minimizando la función objetivo entre las muestrasseleccionadas.



En principio, la búsqueda combinatorial incluiría(

mn

)muestras, lo que

conduce a tiempos computacionales muy grandes incluso en el caso de pequeñossistemas. Sin embargo, se pueden considerar solamente un cierto número ide selecciones aleatorias de manera que la probabilidad P de que al menosuna muestra no esté contaminada con errores no gaussianos sea próxima a 1(habitualmente 0.95).

Para hallar la expresión de P en términos de i, se considera que ε es lafracción de errores no gaussianos entre las m observaciones. Si m es grande,entonces ε es la probabilidad de que exista un error no gaussiano. Por lo tanto,la probabilidad de seleccionar n datos buenos es (1− ε)n y la probabilidad deseleccionar i muestras contaminadas de tamaño n es (1− (1− ε)n)k.

LuegoP = 1− (1− (1− ε)n)k (2.68)

y para P , n y ε dados se puede hallar el mínimo número de muestras i quehay que considerar. En la práctica, es deseable no tener solamente un buenconjunto de muestras, sino varios por lo que se toman 2 x i.

2.11 ResumenEn este capítulo se han presentado diversos métodos para resolver numérica-mente la estimación de estado. El primer método analizado (Apartado 2.2) hasido el de mínimos cuadrados ponderados, el cual ha sido el más ampliamenteutilizado debido a sus conocidas propiedades estadísticas.

En las Secciones (2.3 a 2.8) se han mostrado distintos métodos para sol-ventar el problema del mal condicionamiento numérico que se presenta en laestimación de estado. Cada uno de dichos métodos le da más prioridad a unode los siguientes aspectos:

• Estabilidad numérica.

• E�ciencia computacional.

• Complejidad en la realización.

Por último, en los Epígrafes 2.9 y 2.10 se han expuesto los métodos deresolución de mínimos valores absolutos y mínima mediana de cuadrados.


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Capítulo 3

In�uencia de Errores en losParámetros sobre la Estimación

3.1 IntroducciónLos algoritmos de estimación de estado que habitualmente se utilizan estánbasados en la suposición de que los parámetros de las líneas (resistencia, re-actancia, tomas de los transformadores, etc.) y el estado de los interruptoresson perfectamente conocidos, aunque esto no es del todo correcto.

Así, mientras que los errores en los estados de los interruptores afectana la topología de la red produciendo grandes inconsistencias en las medidasestimadas y pueden ser fácilmente identi�cables, los errores en las impedan-cias de las ramas son menos visibles y pueden producir errores en los datosproporcionados por el estimador continuamente y durante grandes periodos detiempo sin que dichos errores se detecten.

Estos errores en los parámetros, tales como:

• Incorrectas impedancias de ramas.

• Modelado incorrecto de los transformadores o posicionamiento incorrectodel intercambiador de tomas.

pueden ser debidos a:

• Datos erróneos facilitados por el fabricante.

• Errores en la calibración.

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46 In�uencia de Errores en los Parámetros

• Discrepancias entre la longitud real de las líneas y la de diseño.

• Cambio de las tomas de transformadores por parte de personal de camposin que se lo haya comunicado al Centro de Control, etc.

y pueden producir:

• Una degradación signi�cativa de la exactitud de los resultados del esti-mador de estado y, como consecuencia, de los resultados de los programascuyos datos de entrada son los de salida del estimador.

• Una detección de medidas erróneas que realmente no lo son, debido a suinconsistencia con los parámetros erróneos.

• Una reducción de la con�anza del operador en el estimador de estado.

Desde el punto de vista del estimador de estado, un error en un parámetrotiene el mismo efecto que un conjunto de errores correlacionados que actuaransobre todas las medidas que afectan a la rama errónea, es decir, las medidasde �ujo sobre la rama y las de inyecciones en los nudos extremos de ella, porlo que será de suma importancia su estimación.

En la literatura existente respecto a la estimación de parámetros se hacemención de la importancia que tiene dicha estimación con objeto de evitar ladegradación que se produce en la estimación de las variables de estado, perosolamente en [5, 7, 8, 9, 11] se realiza un estudio sobre el efecto que los erroresen dichos parámetros y en las medidas ejercen sobre la solución del estimadorde estado.

El análisis realizado en [8, 7] se limita a representar una grá�ca en la quese muestra el efecto producido, por un lado, por los errores en los parámetrosy, por otro, por los errores en las medidas, sobre la función objetivo de laestimación de estado. Dicha grá�ca se obtuvo aplicando un error constante atodos los parámetros de las ramas o a todas las medidas independientemente.

Los resultados obtenidos demuestran que, dependiendo de dicho error, loserrores en los parámetros pueden producir un impacto sobre la estimación deestado similar o superior al de los errores en las medidas. Por ello, los erroresen los parámetros no detectados pueden afectar gravemente a la exactitud delas aplicaciones de seguridad y optimización de la red.

Asimismo, en [9] se realiza un análisis de sensibilidad para considerar losefectos de ciertos errores sobre la estimación de estado. En dicho estudiosólo se realiza un único ensayo sobre tres líneas distintas simultáneamente,


Entorno de simulación 47

obteniéndose resultados respecto a las tensiones, sus desviaciones típicas y los�ujos de potencia cuando se produce un error en:

• La capacitancia, la inductancia o la resistencia de esas tres líneas con-cretas.

• La varianza de los errores de las medidas.

• Las tomas de los transformadores.

El resultado más importante que se obtiene es que la inductancia de la líneaes la que introduce los mayores errores sobre los �ujos de potencia, aunquedichos resultados no pueden considerarse muy signi�cativos debido al pequeñotamaño de la muestra que ha servido de estudio.

Sin embargo, en [11] sí se realiza un estudio exhaustivo de la in�uenciade los errores en los parámetros sobre la estimación de estado, analizándosedicha in�uencia de una manera sistemática. Seguidamente se va a procedera analizarla presentándose previamente en la siguiente sección el entorno desimulación utilizado.

Por último, decir que este capítulo va a servir de nexo de unión entre laestimación de estado y de parámetros debido a la in�uencia que, como se acabade exponer, estos últimos tienen sobre la estimación de estado.

3.2 Entorno de simulaciónEl estudio que se va a presentar en los siguientes apartados va a realizarsesobre la red de catorce nudos y veinte líneas IEEE-14 [10] representada en laFigura 3.1. Para considerar diversos estados de la red a lo largo de un díase han tomado veinticuatro muestras, equivalentes a las horas de un día, detensiones y desfases en cada uno de los nudos [6] y se han intercalado setentay cuatro nuevas muestras entre dichas horas.

Con esas mil ochocientas muestras de tensiones y desfases en cada uno de losnudos, que equivalen a haber obtenido cada una de las muestras cada cuarentay ocho segundos, se han generado sus correspondientes �ujos e inyeccionestanto de potencia activa como de reactiva a partir de las ecuaciones [1]:

Pi =N∑

j=1

ViVj(Gijcos(θij) + Bijsen(θij)) (3.1)



Figura 3.1: Red IEEE-14.


Entorno de simulación 49

Qi =N∑

j=1

ViVj(Gijsen(θij)−Bijcos(θij)) (3.2)

Pij = ViVj(Gijcos(θij) + Bijsen(θij))−GijV2i (3.3)

Qij = ViVj(Gijsen(θij)−Bijcos(θij)) + V 2i (Bij −Bc

ij) (3.4)

siendo:

• Vi, Vj los módulos de las tensiones en los nudos i y j.

• θij el desfase entre los nudos i y j.

• Gij + Bij el elemento (i, j) de la matriz de admitancias de nudos.

• Bcij la admitancia shunt del modelo en π de la línea que une i con j.

De este modo se han obtenido los distintos estados exactos por los que pasa lared a lo largo de un día.

Las medidas se han considerado con la máxima redundancia, es decir:

• En cada nudo se tienen las medidas tanto de las tensiones como de lasinyecciones de potencia activa y reactiva.

• En cada rama se tiene información de los �ujos de potencia, tanto activacomo reactiva, en cada extremo.

Por lo tanto, y ya que la red es de catorce nudos, de cada estado se poseenciento veintidós medidas y, a no ser que se especi�que lo contrario, se con-siderará que los estados tienen el conjunto de medidas completo, es decir,constan de las ciento veintidós medidas indicadas. Dichos estados son los es-tados exactos por los que atraviesa la red pero que en la realidad nunca sonconocidos debido a los diferentes errores que se introducen en las telemedidas.Por ello, para realizar la simulación, a los estados exactos se les ha sumado unerror gaussiano obtenido con un generador de números aleatorios a partir dela desviación típica σ de cada medida.

Como se dijo en el Epígrafe 1.2, la clase del aparato de medida es elparámetro que más in�uye en los errores de las medidas y, según su de�ni-ción, es el error máximo con respecto a la señal de plena carga, es decir, de sufondo de escala. Por ello, el valor de σ que se ha considerado es función delfondo de escala, habiéndose considerado:

• Para las medidas de tensión: σ = 0.1 ∗ γ ∗ FE.



• Para las medidas de potencia: σ = γ ∗ FE.

donde γ es la clase del dispositivo de medida y FE es el fondo de escala dedicho aparato. Para los dispositivos medidores de tensión se ha consideradoFE = 1.

Los fondos de escala considerados para cada aparato de medida son dis-tintos y dependientes del máximo valor esperado en cada punto de medida.Además, se han agrupado dichos valores en torno a varios de ellos para queno sea mucha la diversidad de valores utilizados. Así, los fondos de escalaconsiderados para las inyecciones en los nudos y los �ujos en las ramas, en porunidad y sobre una base de 100 MVA, son los indicados en el Apéndice C. Losvalores de �ujos de potencia son válidos para ambos extremos de la línea.

Por último, y con objeto de que los resultados que se obtengan de losestudios que se van a realizar sean estadísticamente signi�cativos, cada una delas pruebas representa el valor medio de la ejecución de sesenta estimaciones deestado, usándose una línea distinta cada vez. Sus medidas se han obtenido delos diferentes estados de un día completo y que previamente se han generadotal y como se ha descrito.

El hecho de que se hayan utilizado sesenta estados, y teniendo en cuentaque la red IEEE-14 consta de veinte ramas, signi�ca que cada línea ha sidoensayada tres veces.

Con objeto de caracterizar los resultados obtenidos, se han utilizado tantola clase de los dispositivos de medida como el error relativo medio de las me-didas afectadas en las sesenta estimaciones. Asimismo, el índice comparativoadoptado ha sido el error relativo medio de las medidas estimadas, por lo quela in�uencia de los errores en los parámetros puede ser visualizada fácilmente.

En las �guras representadas aparecen distintos porcentajes de errores enlos parámetros. Con dichos errores se han realizado las correspondientes esti-maciones de estado utilizándose el método de mínimos cuadrados ponderadosy representándose los resultados obtenidos.

3.3 Carácter local del efecto de los errores en losparámetros

Con objeto de realizar el estudio sistemático de la in�uencia de los errores enlos parámetros se va a comenzar con el análisis de la in�uencia local de loserrores de los parámetros en la red.


Carácter local del efecto de los errores en los parámetros 51

Para ello, al referirse a la in�uencia sobre las medidas de toda la red sevan a considerar todas las medidas disponibles, es decir, todas las que se hanutilizado en la estimación de estado. Sin embargo, al referirse a las medidasadyacentes, aunque todas las medidas de la red contengan errores, el análisis delos efectos será local, es decir, solamente se analizarán las medidas directamenterelacionadas con la línea problemática (los �ujos de potencia de la propia líneaerrónea y las tensiones e inyecciones de sus nudos adyacentes).

En la Figura 3.2 se representa la in�uencia del error conjunto de la sus-ceptancia y la conductancia cuando sólo existe una línea errónea. Con trazodiscontinuo aparece la in�uencia sobre las medidas de toda la red y en trazocontinuo sobre las medidas adyacentes a la rama.

Figura 3.2: In�uencia del error conjunto en la susceptancia y la conductanciade una línea sobre las medidas: (a): De toda la red (trazo discontinuo); (b):Adyacentes (trazo continuo).

Hay que destacar de dichas curvas que a pesar del alto grado de redundanciaque se tiene, redundancia completa, y a pesar de que solamente un parámetrose ha considerado erróneo, es notable el deterioro producido a medida que elerror en el parámetro crece. También es necesario hacer notar que el hecho deque los valores de los errores en las medidas cuando se considera toda la red ycuando sólo se consideran las medidas adyacentes sean distintos, es debido a



que las medidas adyacentes son un subconjunto de las de toda la red.En la Figura 3.3 se representa el cociente entre el error de las medidas

estimadas cuando existe un error en la susceptancia de una línea y el mismocuando no existe error en dicha línea. Todo ello a distintas distancias de lamedida errónea y cuando los dispositivos de medida son de clase 1.

Se entiende por medidas a distancia 1 las adyacentes a la rama que contieneel parámetro erróneo, es decir, las tensiones e inyecciones de los nudos extremosde la rama y los �ujos de la propia rama. Por medidas a distancia 2, las anexasa las que se encuentran a distancia 1, y así sucesivamente.

Figura 3.3: In�uencia del error de una línea sobre las medidas estimadas adistintas distancias: Error de las medidas estimadas con error en una línea /Error de las medidas estimadas sin error en la línea.

En dicha �gura se muestra cómo a medida que aumenta la distancia a lalínea que contiene el parámetro erróneo dicho cociente tiende a 1, es decir, alcomportamiento como si no existiese dicho error, y ello independientementedel error en dicho parámetro.

No hay que olvidar que cada uno de los puntos señalados en cada �gurarepresenta el valor medio de la ejecución de sesenta estimaciones de estado condiferentes medidas, todo ello para que los estudios realizados y las conclusionesobtenidas sean estadísticamente signi�cativos.


Análisis del nivel de error en las medidas 53

Por lo tanto, de este apartado podemos concluir que:• Para parámetros sin errores, que coincide con el eje de ordenadas de la

Figura 3.2, el estimador de estado es capaz de reducir el error medio delas medidas por un factor de dos aproximadamente, para la redundanciadada.

• A pesar del alto grado de redundancia que se tiene cuando se utilizanlos conjuntos completos de medidas y a pesar de que solamente se haconsiderado erróneo un parámetro, se puede apreciar un notable deterioroa medida que el error en el parámetro crece.

• Las curvas que consideran únicamente las medidas relacionadas directa-mente con la línea problemática tienen una pendiente mucho más pro-nunciada que las que tienen en cuenta todas las medidas de la red. Esdecir, el error en el parámetro tiene mucha mayor in�uencia.

• Los resultados obtenidos son cualitativamente válidos para cualquier red,permaneciendo similares las curvas que se re�eren a las medidas adya-centes y tendiendo a ser más horizontales las que hacen referencia a lasmedidas de toda la red a medida que ésta crece.

• Los errores de las medidas estimadas cuando existe algún parámetroerróneo tienden a igualarse a los obtenidos cuando no existe dicho errora medida que crece la distancia a la línea errónea, siendo este resultadotambién válido para cualquier red.

3.4 Análisis del nivel de error en las medidasUna vez que en el Apartado 3.3 se ha estudiado la importancia que tienen loserrores en los parámetros al realizar la estimación de estado, principalmenteen los nudos adyacentes al error, y que se ha obtenido la conclusión de quedicha in�uencia disminuye a medida que aumenta la distancia, en el presenteepígrafe se va a estudiar la posible in�uencia que pueden tener los errores delas telemedidas.

Puede ocurrir que la in�uencia de los errores en los parámetros sea inde-pendiente de los errores de las medidas, lo que implicaría que la calidad delas medidas no va a ser decisiva, o que aumente o disminuya dicha in�uen-cia dependiendo de las telemedidas, lo que implicaría que sí sería decisiva lain�uencia de dichos errores en las medidas.



Seguidamente se va a analizar dicha in�uencia. Para ello, se van a con-siderar niveles de errores producidos por transductores de clase 1, 3 y 5, loque permitirá cubrir un amplio rango de medidas que son superiores a las quenormalmente se encuentran en la vida real. Además, se considera la clase 0,que equivale a medidas sin errores, es decir, medidas exactas. Aunque con laindicación de la clase del aparato de medida sería su�ciente para realizar elestudio, se indican también los errores medios de las medidas para una mayorclaridad y comprensión de éstas.

Al igual que en la Sección 3.3 y que en el resto del capítulo, cada unode los puntos representados en las �guras es el valor medio de la ejecución desesenta estimaciones de estado diferentes. Además, como de dicha sección se haconcluido que las medidas relacionadas directamente con la línea errónea se venmás afectadas por dicho error, sólo se va a estudiar en este apartado este caso,ya que el comportamiento que se presenta si se consideran para el análisis lasmedidas de toda la red es similar al que aparece si sólo se considera la in�uenciasobre las medidas adyacentes, aunque menos pronunciado. Evidentemente, síse considera que todas las medidas de la red tienen errores gaussianos.

En la Figura 3.4 se representa la in�uencia del error de la susceptancia yla conductancia conjuntamente cuando sólo existe una línea errónea, sobre lasmedidas adyacentes a dicha línea.

En dicha �gura se puede apreciar un notable deterioro a medida que elerror en el parámetro crece, conclusión similar a la obtenida de la Figura 3.2,la cual se obtuvo con telemedidas de clase 1. Asimismo se aprecia que cuantomás exactas son las medidas de las que se dispone, mayor es la in�uencia quetienen los errores en los parámetros.

Esta última conclusión se puede apreciar mejor en la Figura 3.5, en lacual se ha representado la relación existente entre los errores de las medidasestimadas y los errores de las telemedidas con objeto de normalizar dichascurvas y todo ello para distintos errores en el parámetro.

En ella se puede observar que, para la redundancia dada, cuando las teleme-didas tienen clase 5, con un error medio en el parámetro de una línea de un11 % las medidas estimadas tienen el mismo error que las de partida. Paratelemedidas de clase 3 el valor se reduce a un 7 % y si la clase es 1 se reducea solamente un 2 %. Es decir, si la clase de las medidas que se poseen es 1 (loque equivale a un error de un 2.2 % para este caso particular), con un erroren un parámetro de tan solo un 2 % se obtiene una estimación de las medidasadyacentes también de un 2.2 %; por lo tanto, si el error del parámetro fueramayor, se obtendrían unos valores estimados de las medidas peores que los de



Figura 3.4: In�uencia del error conjunto en la susceptancia y la conductanciade una línea sobre las medidas adyacentes para distintas clases.

Figura 3.5: In�uencia del error de una línea frente a la relación entre los erroresde las medidas estimadas y las telemedidas (adyacentes).



partida.Por último, en las Figuras 3.6 y 3.7 se representa el cociente entre el error

de las medidas estimadas cuando existe un error en la susceptancia de unalínea y el mismo cuando no existe error en dicha línea a distancias 1 y 2 de lamedida errónea respectivamente.

Figura 3.6: In�uencia del error de una línea sobre las medidas estimadas adistancia 1 para distintas clases: Error de las medidas estimadas con error enuna línea / Error de las medidas estimadas sin error en la línea.

Del análisis de las �guras se puede concluir que:

• Los errores en los parámetros in�uyen más cuanto más exactas son lasmedidas de las que se dispone.

• Las conclusiones son válidas para cualquier red independientemente desu tamaño.



Figura 3.7: In�uencia del error de una línea sobre las medidas estimadas adistancia 2 para distintas clases: Error de las medidas estimadas con error enuna línea / Error de las medidas estimadas sin error en la línea.



3.5 Errores en la conductancia y en la suscep-tancia

Hasta el momento, en el presente capítulo se han estudiado tanto la localidaddel efecto de los errores en los parámetros sobre la estimación de estado comola in�uencia del nivel de error en las medidas, habiéndose observado la notablein�uencia que tienen ambos. En dichos estudios, cuando se ha analizado elerror en el parámetro se ha considerado que tanto la susceptancia como laconductancia eran erróneas, sin hacer distinción entre ambas.

En esta sección se va a analizar cómo in�uyen los errores en la conductanciay en la susceptancia sobre la estimación independientemente.

Respecto a los errores en la conductancia o en la susceptancia, en la litera-tura existente de estimación de parámetros se hace referencia a que solamentetiene importancia la susceptancia. Así, en [3, 4] se menciona que es razonableasumir que en la práctica no existe error en la conductancia y un razonamien-to similar se realiza en [2], donde se hace referencia a que las pequeñas con-ductancias y capacitancias shunt que suelen tener las líneas producen pocasconsecuencias en la estimación de estado. Pero solamente en [11] se realiza unestudio que justi�ca dicho razonamiento.

Teniendo en cuenta que el error del parámetro es mucho más signi�cativosobre las medidas adyacentes que sobre las medidas de toda la red, tal y comose ha concluido en el Apartado 3.3, en el presente epígrafe sólo se va a analizareste caso, ya que la in�uencia sobre las medidas de toda la red sería idénticopero menos pronunciado.

Así, en la Figura 3.8 se muestra la in�uencia del error en la conductancia yen la susceptancia, independientemente, de una línea sobre las medidas adya-centes cuando se dispone de transductores de clases 1 y 5. Evidentemente, lascurvas correspondientes a la clase 1 son las de menores errores en las medidas.

De dicha �gura se puede concluir que los errores en la conductancia sonmenos signi�cativos que los existentes en la susceptancia; es decir, al aumentarel error de la conductancia, el aumento de su in�uencia sobre las medidasadyacentes es mucho menor que el que se produce cuando aumenta el de lasusceptancia.

Además, teniendo en cuenta que los factores que in�uyen en la conductanciason:

• El efecto pelicular, que es función de la frecuencia.

• La temperatura del conductor, que depende de la disipación del calor de


Errores en la conductancia y en la susceptancia 59

Figura 3.8: In�uencia del error en la susceptancia y en la conductancia de unalínea sobre las medidas adyacentes.

la línea por convección y radiación y es la causa que produce los mayoresefectos.

y los que in�uyen en la susceptancia son:

• La permeabilidad del material del conductor.

• La geometría de la con�guración de la línea.

la conclusión obtenida anteriormente de que los errores en la conductanciason menos signi�cativos que los existentes en la susceptancia es de suma im-portancia, ya que los valores de la conductancia, los cuales están sujetos aperturbaciones periódicas motivadas por cambios en la temperatura, son loserrores menos signi�cativos.

Esta importante conclusión va a permitir que a partir de ahora el estudiose pueda centrar en la estimación de las susceptancias erróneas de la red.



3.6 In�uencia de los �ujos e inyecciones sobrelas medidas estimadas

El conjunto de medidas considerado para realizar el estudio del Apartado 3.5ha sido completo, es decir, con la máxima redundancia. Sin embargo, es intere-sante conocer si los parámetros afectan por igual cuando se posee un tipo demedidas u otro. Esto puede dar información, cuando se realiza la estimación deestado, de si se están introduciendo graves errores o no debido a los existentesen los parámetros.

Para realizar este análisis se van a comparar los efectos producidos, sobrelas medidas adyacentes, por el error en la susceptancia de una línea con dosconjuntos de medidas distintos [11]:

• Tensiones y �ujos de potencia.

• Tensiones e inyecciones de potencia.

Se va a estudiar el caso del error en la susceptancia, de acuerdo con laconclusión obtenida en el Epígrafe 3.5, y sobre las medidas adyacentes, yaque, como se observó en la Sección 3.3, el efecto sobre ellas es idéntico al quese produce cuando se analiza la in�uencia sobre las medidas de toda la red,aunque más pronunciado.

En la Figura 3.9 se muestra la in�uencia del error producido por la sus-ceptancia errónea de una línea sobre las medidas adyacentes cuando sólo setiene información de las tensiones y los �ujos de potencia como conjunto demedidas y cuando sólo se posee de las tensiones y de las inyecciones de po-tencia. Al igual que ocurría con la Figura 3.8, los resultados se han obtenidoconsiderando que se dispone de transductores de clases 1 y 5, siendo las curvascorrespondientes a la clase 1 las de menores errores en las medidas.

Hay que recordar que, al igual que el resto de curvas, los puntos señaladosen la Figura 3.9 representan la media de los resultados obtenidos para sesentaestimaciones de estado distintas, lo que corresponde a haber ensayado cadarama tres veces.

De dicha �gura se puede concluir claramente que, cuando se dispone demedidas de �ujos de potencia, la in�uencia del parámetro erróneo es muchomayor que cuando se dispone de medidas de inyecciones, siendo la in�uenciaen este último caso casi nula. Es decir, los errores de las medidas estimadasson casi independientes de los de los parámetros, al menos cuando un solo


In�uencia de los errores en las medidas sobre la estimación 61

Figura 3.9: In�uencia del error en la susceptancia de una línea sobre las me-didas adyacentes con diferentes tipos de medidas.

parámetro es erróneo. Esto es debido a la propia estructura de las ecuacionesde las inyecciones ((3.1), (3.2)) y las de los �ujos de potencia ((3.3), (3.4)).

3.7 In�uencia de los errores en las medidas sobrela estimación

Con objeto de estudiar si los errores en los parámetros in�uyen de igual maneraen las medidas estimadas, se va a proceder a analizar dicha in�uencia según eltipo de medida.

Con este �n, y en el caso de que exista redundancia completa con distintosniveles de errores, se van a considerar tres casos:

1. In�uencia sobre las medidas de tensión adyacentes cuando todas las me-didas son exactas excepto las de tensión.

2. In�uencia sobre las medidas adyacentes de inyección de potencia cuandotodas las medidas son exactas excepto las de inyección.



3. In�uencia sobre las medidas adyacentes de �ujo de potencia cuando todaslas medidas son exactas excepto las de �ujo.

En la Figura 3.10 se ha representado la in�uencia sobre las medidas detensión. En ella se presenta el mismo comportamiento que el observado hastaahora, es decir:

• El deterioro producido sobre las medidas estimadas aumenta a medidaque el error en el parámetro crece.

• Los errores de los parámetros tienen mayor in�uencia sobre las tensionesestimadas a medida que las medidas son más exactas.

Figura 3.10: In�uencia sobre las medidas de tensión adyacentes cuando todaslas medidas son exactas excepto las de tensión.

En la Figura 3.11 se muestra la in�uencia sobre las medidas de inyección,tanto de activa como de reactiva, pudiéndose observar que:

• A medida que el error en el parámetro crece, el deterioro producido sobrelas medidas estimadas aumenta.

• A medida que las medidas son más exactas, los errores de los parámetrostienen menor in�uencia sobre los valores de las inyecciones estimadas.


In�uencia de los errores en las medidas sobre la estimación 63

Figura 3.11: In�uencia sobre las medidas de inyección adyacentes cuando todaslas medidas son exactas excepto las de inyección.

Por último, en la Figura 3.12 se muestra la in�uencia sobre los �ujos,pudiéndose concluir que:

• Al igual que en los casos anteriores, a medida que el error en el parámetrocrece, el deterioro producido sobre las medidas estimadas aumenta.

• Independientemente del nivel de error de las medidas, la in�uencia de loserrores de los parámetros es la misma.

Por lo tanto, de las Figuras 3.11 y 3.12 correspondientes a las inyeccionesy �ujos de potencia, se pueden obtener las siguientes conclusiones:

• La in�uencia del parámetro sobre las medidas de inyección, aun siendoimportante, no lo es tanto como sobre las de �ujo, especialmente a medidaque disminuye el error de partida de dichas medidas.

• La in�uencia que el parámetro tiene sobre las medidas de �ujo es notoriae independiente del error de partida de dichas medidas.



Figura 3.12: In�uencia sobre las medidas de �ujo adyacentes cuando todas lasmedidas son exactas excepto las de �ujo.

3.8 ResumenEn el presente capítulo se ha estudiado de un modo sistemático la in�uencia quelos errores en los parámetros tienen sobre la estimación de estado. Para ello, ycon objeto de que los resultados obtenidos fueran signi�cativos desde un puntode vista estadístico, cada una de las pruebas realizadas, y que posteriormentehan sido plasmadas en diferentes �guras, representaban el valor medio de laejecución de sesenta estimaciones de estado, considerando una línea distintacada vez. Cada una de ellas representaba el estado existente en un instantedeterminado de un día y que previamente había sido generado.

La red utilizada ha sido la IEEE-14 que consta de veinte ramas, por lo queal utilizar sesenta estados distintos, cada línea ha sido ensayada tres veces.La caracterización de los resultados obtenidos se ha realizado a través de laclase de los dispositivos de medida, utilizando como índice comparativo el errorrelativo medio de las medidas estimadas (Sección 3.2).

Primeramente, en el Apartado 3.3 se ha analizado algo que parecía intuiti-vo, el carácter local del efecto de los errores sobre la estimación, y que graciasa las ensayos realizados ha permitido obtener las siguientes conclusiones:


Resumen 65

• El deterioro producido sobre las medidas estimadas aumenta notable-mente a medida que el error en el parámetro crece.

• El error en el parámetro in�uye mucho más sobre las medidas rela-cionadas directamente con la línea problemática que sobre las del restode la red.

• Los resultados obtenidos son cualitativamente válidos para cualquier red,permaneciendo similares las curvas que se re�eren a las medidas adya-centes y tendiendo a ser horizontales las que hacen referencia a las medi-das de toda la red a medida que crece ésta, lo que con�rma la localidadde la in�uencia del error en el parámetro.

• Los errores de las medidas estimadas cuando existe algún parámetroerróneo tienden a igualarse a los obtenidos cuando no existe dicho pará-metro erróneo a medida que crece la distancia a la línea errónea.

Seguidamente se ha estudiado la in�uencia que podía tener el nivel de erroren las medidas (Sección 3.4), concluyéndose que:

• Cuanto más exactas son las medidas de las que se dispone, los errores enlos parámetros tienen mayor in�uencia sobre las medidas estimadas.

• Las conclusiones son válidas para cualquier red independientemente desu tamaño.

A continuación, del estudio comparativo de la presencia de errores en laconductancia o en la susceptancia (Epígrafe 3.5), se ha observado que los erro-res en la conductancia son menos signi�cativos que los de la susceptancia.Debido a que los valores de la conductancia están sujetos a perturbacionesperiódicas motivadas por cambios en la temperatura, mientras que los de lasusceptancia sólo dependen del material del conductor y de la geometría dela con�guración de la línea, este resultado obtenido es de suma importanciay va a permitir que el estudio se centre en la estimación de las susceptanciaserróneas de la red.

En el Apartado 3.6 se ha analizado el efecto producido cuando los conjuntosde medidas existentes son:

• Tensiones y �ujos de potencia.

• Tensiones e inyecciones de potencia.



habiéndose concluido que la in�uencia del parámetro erróneo sobre las medidasestimadas es mucho mayor cuando se dispone de medidas de �ujos de potenciaque cuando se dispone de medidas de inyección, siendo en este último caso casiindependiente de los errores de los parámetros.

Por último, en la Sección 3.7, se ha estudiado la in�uencia del parámetrosobre cada una de las medidas disponibles independientemente, llegándose alas mismas conclusiones que anteriormente, salvo que:

• La in�uencia del parámetro sobre las medidas de inyección disminuye amedida que el error de partida de dichas medidas lo hace.

• La in�uencia que el parámetro tiene sobre las medidas de �ujo es inde-pendiente del error de partida de dichas medidas.


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Capítulo 4

Estimación de Parámetros enRedes Eléctricas

4.1 IntroducciónEn el Capítulo 3 se ha analizado de una forma sistemática la in�uencia de loserrores en los parámetros sobre la estimación de estado, lo que ha permitidocomprobar la necesidad de estimar los parámetros para poder realizar unabuena estimación de estado. A pesar de ello, la implantación de estimadoresde parámetros en los Centros de Control no ha sido profusa, mientras que lade los estimadores de estado sí lo ha sido [6].

Para poder realizar la estimación de parámetros es necesario identi�carlospreviamente mediante uno de los métodos existentes, procediendo posterior-mente a estimar únicamente aquéllos que han sido identi�cados.

En este capítulo se va a analizar la identi�cación de los parámetros sospe-chosos y se van a clasi�car los distintos métodos de estimación de paráme-tros existentes. Por último, se estudiará el carácter local de la estimación deparámetros, cosa que ya se había apuntado previamente en el Apartado 3.3.

4.2 Identi�cación de errores en los parámetrosComo se ha mencionado en el Apartado 3.1, un error en un parámetro tieneel mismo efecto que un conjunto de errores correlacionados que actuaran so-bre todas las medidas que afectan a la rama errónea. Esto se puede deducir

69


70 Estimación de Parámetros

manipulando el modelo de la medida (2.1) [20]:

zs = hs(x, p0) + νs = hs(x, p) + [hs(x, p0)− hs(x, p)] + νs (4.1)

siendo p el valor exacto del parámetro de red, p0 el valor erróneo del parámetrode red (o información a priori que de él se tiene) y el subíndice s hace referenciaa las medidas involucradas únicamente.

El término que aparece entre corchetes en la ecuación (4.1) actúa como unerror adicional de la medida. Si el error del parámetro es bastante grande,este término provocará su detección como medida con error no gaussiano ylas medidas estarán entre las que se encuentran con residuos más grandes[19, 20, 29]. Este error se puede linealizar de la siguiente forma:

hs(x, p0)− hs(x, p) ≈[∂hs

∂p

]ep (4.2)

siendo ep = p0 − p el error del parámetro.Por lo tanto, aquellas ramas cuyas medidas asociadas tengan un residuo

normalizado elevado serán sospechosas y habrá que realizar la estimación sobreellas.

En [16] se realiza la suposición de que los datos con errores no gaussianoshan sido identi�cados y eliminados previamente por lo que una presencia per-sistente de un término de sesgo en ciertos residuos de medida en los resultadosde la estimación de estado es una indicación de la presencia de errores en losparámetros y puede utilizarse para detectar dicha presencia.

El método de identi�cación propuesto en [17] también se basa en el hechode que un inesperado residuo normalizado elevado puede indicar que algunode los parámetros existentes en la proximidad de la medida no es correcto.Una vez que se ha detectado un conjunto de ramas sospechosas se procede ala estimación de sus parámetros.

El método propuesto en [12, 27], concebido para la estimación de tomasde transformadores, se llevará a cabo si la diferencia entre la potencia reactivatelemedida y la calculada en dichos transformadores es superior a un umbral�jado.

Por último, en [1] se identi�can errores en las medidas, parámetros y con-�guraciones de la red que se introducen en el estimador de estado por mediode pruebas estadísticas.

Por lo tanto, la identi�cación de errores en los parámetros se basa, funda-mentalmente, en el estudio de los residuos de las medidas.


Clasi�cación de los métodos de estimación de parámetros 71

4.3 Clasi�cación de los métodos de estimaciónde parámetros

Mientras que la estimación de estado ha sido estudiada con bastante profusión[9] desde que Schweppe publicó su artículo en 1970 [22, 23], la estimación deparámetros no lo ha sido y son relativamente escasos los artículos que handesarrollado este tema. A pesar de ello se han realizado tres clasi�cacionessobre los métodos de estimación de parámetros:

1. En [19, 20, 29] la clasi�cación realizada es la misma, siendo ésta la sigu-iente:

• Métodos que utilizan un único vector de medidas:� Estimación simultánea del estado y del parámetro [2].� Estimación secuencial del estado y del parámetro [12, 23, 27].

• Métodos que utilizan varios vectores de medidas:� Estimador adaptativo [10].� Estimación secuencial múltiple del estado y del parámetro [23].

2. La clasi�cación realizada en [13] es la siguiente:

• Métodos que utilizan un único vector de medidas [16, 20].• Métodos que utilizan varios vectores de medidas:

� Estimación de parámetros invariables con el tiempo [10, 30].� Estimación de parámetros variables con el tiempo [26].

3. En [31] la clasi�cación realizada es la siguiente:

• Métodos basados en el análisis de sensibilidad residual [12, 16, 18,19, 20, 27, 29].

• Métodos que amplían el vector de estado:� Resolución mediante ecuaciones normales [2, 3, 4, 7, 17, 21, 28,

30].� Resolución basada en la teoría del �ltro de Kalman [5, 8, 10,

11, 14, 24, 25, 26].



Las dos primeras clasi�caciones son similares y la tercera es la que resaltala diferencia más signi�cativa de cada uno de los métodos, la ampliación ono del vector de estado mediante la introducción de los parámetros erróneoscomo variables adicionales, e indica además la metodología utilizada en suresolución. Por ello, en el Capítulo 5 se utilizará esta última clasi�cación a lahora de exponer los métodos de estimación de parámetros.

4.4 Estimación �on-line� frente a estimación �o�-line�

La utilización de un método de estimación de parámetros on-line u o�-line vaa depender fundamentalmente de la importancia que se le quiera dar al hechode disponer de los valores exactos de los parámetros en tiempo real.

Si la estimación se realiza en tiempo real, es decir, en modo on-line:

• Se puede llevar continuamente un seguimiento exacto de los parámetrosde la red que se modi�can debido a los cambios en las cargas y en lascondiciones ambientales, como es el caso de la resistencia, las pérdidaspor efecto corona y las tomas de los transformadores.

• Los parámetros estimados pueden ser actualizados inmediatamente en labase de datos para ser utilizados en otras aplicaciones de optimización yseguridad de la red.

El hecho de realizar un seguimiento exacto de los parámetros de la red noes un tema crucial, ya que éstos no cambian continuamente. De hecho, los queestán sujetos a cambios constantes no in�uyen demasiado en la estimación deestado tal y como se concluyó en la Sección 3.5. Sin embargo, sí es interesantela realización de un seguimiento continuo de las posiciones de las tomas de lostransformadores.

Es decir, puede considerarse distinto el tratamiento que deben recibir laestimación de los parámetros de la red y de las tomas de los transformadores.

En cuanto a la realización de la estimación en modo o�-line:

• Las medidas que han sido capturadas por el sistema SCADA puedenser trasladadas a un ordenador dedicado expresamente al proceso deestimación de parámetros o a otras actividades que no requieran unagran rapidez en el procesamiento. De este modo no se inter�eren lasfunciones principales que se llevan a cabo en el centro de control.


Carácter local de la estimación de parámetros 73

• Los tiempos empleados en el procesamiento de la información y en loscálculos no son vitales, por lo que pueden utilizarse, si fuesen necesarios,algoritmos más precisos que provean soluciones más exactas.

• Mientras que los errores topológicos y las medidas con errores no gaus-sianos tienen una naturaleza temporal, es decir, son cambiantes con eltiempo, los errores en los parámetros son esencialmente permanentes.Por ello, se pueden seleccionar los conjuntos de medidas que se vayan autilizar en la estimación de parámetros basándose por ejemplo, aunqueno exclusivamente, en los residuos normalizados. De este modo se puedenelegir los mejores estados que posean menores errores así como los quetengan mayor redundancia, lo que no es posible en modo on-line.

• Los parámetros de red que sean sospechosos pueden ser identi�cadossatisfactoriamente basándose en residuos normalizados grandes que serepitan constantemente y que afecten a las medidas, en la experienciaacumulada, etc., de acuerdo con lo expuesto en el Epígrafe 4.2.

4.5 Carácter local de la estimación de paráme-tros

Al igual que ocurría con la in�uencia de los parámetros en la estimación deestado, que era reconocida por todos los autores y sin embargo sólo en [30] sehabía realizado un estudio sistemático y exhaustivo, con la localidad de dichain�uencia ocurre algo similar.

Así, en [17] se hace referencia a que intuitivamente, las medidas que seencuentran lejos de las líneas sospechosas tienen un impacto muy pequeñosobre los resultados de la estimación del parámetro y que por lo tanto, sólose tendrá en cuenta una parte de la red completa a la hora de ejecutar elalgoritmo de estimación de estado. Algo similar se menciona en [7].

En el Apartado 3.3 se ha estudiado el carácter local que tiene el efecto delos errores en los parámetros, habiéndose observado en las Figuras 3.3, 3.6 y3.7 que los errores de las medidas estimadas cuando existe algún parámetroerróneo tienden a igualarse a los obtenidos cuando no existe dicho parámetroerróneo a medida que crece la distancia a la línea errónea.

Con objeto de completar este análisis se va a estudiar el carácter local de laestimación de parámetros desde el punto de vista del análisis de sensibilidad.Dicho análisis, que puede considerarse recíproco respecto al realizado en el



Epígrafe 3.3, permitirá concluir que para realizar la estimación de parámetrossólo es necesario utilizar las medidas respecto a las que es sensible.

Para realizar este estudio, se ha considerado que al vector z se le ha añadidouna �la adicional correspondiente al valor conocido del parámetro y además,todas las covarianzas son idénticas.

En la Sección 2.2 se obtuvieron las ecuaciones normales del problema demínimos cuadrados ponderados (2.13):

G(x)∆x = HT (x)W [z − h(x)] (4.3)

de donde el vector de estado estimado es:

∆x = G−1HT (x)W [z − h(x)] (4.4)

y las medidas estimadas, utilizando el modelo linealizado del estimador deestado, son:

∆z = H∆x = S(W∆z) (4.5)siendo S la matriz de sensibilidad entre las medidas ponderadas W∆z y lasmedidas estimadas ∆z:

S = HG−1HT (4.6)Cuando ∆z es completamente nulo, salvo en la posición k-ésima, la columna

k-ésima de S proporciona los cambios en las medidas estimadas al producirseuna perturbación en la medida k-ésima, por lo que dicha columna se expresacomo:

Sk = Sek (4.7)siendo ek un vector columna completamente nulo excepto con un 1 en la posi-ción k-ésima.

Por lo tanto, la columna k-ésima de S se puede obtener de:

Sk = HG−1HT ek (4.8)

mediante los siguientes pasos:

1. Realizar la operación HT ek, que no es más que hallar la �la k-ésima deH.

2. Hallar y a partir de:Gy = HT ek (4.9)

mediante eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.



3. Calcular:Sk = Hy (4.10)

Para realizar el análisis de sensibilidad se ha usado la red de ciento dieciochonudos y ciento setenta y nueve líneas IEEE-118 [15] representada en la Figura4.1.

Al igual que ocurrió con la red IEEE-14, con objeto de considerar diversosestados de la red a lo largo de un día, se han tomado veinticuatro muestrasequivalentes a las horas de un día y se ha considerado que existe la máximaredundancia, por lo que el número total de medidas en cada estado es de milsetenta.

Dichos estados son los estados exactos de la red, pero que realmente nuncason conocidos. Por ello, y con objeto de poder simular la realidad, a los estadosexactos se les ha sumado un error gaussiano obtenido con un generador denúmeros aleatorios a partir de la desviación típica σ de cada medida.

El valor de σ considerado es función del fondo de escala, tal y como se hizoen la generación de medidas reales de la red IEEE-14, habiéndose utilizado:

• Para las medidas de tensión: σ = 0.1 ∗ γ ∗ FE.

• Para las medidas de potencia: σ = γ ∗ FE.

donde γ es la clase del dispositivo de medida, y que para este caso concreto seha considerado clase 1, y FE es el fondo de escala de dicho aparato, siendo elde los dispositivos medidores de tensión 1.

Los fondos de escala considerados para cada aparato de medida dependendel máximo valor esperado en cada punto de medida. Por el hecho de serdistintos, se han agrupado en torno a varios valores a �n de que no hayamucha diversidad de valores.

En el Apéndice C se muestran los fondos de escala considerados para lasinyecciones en los nudos así como los �ujos en las ramas para ambos extremosde la línea, todo ello en por unidad y sobre una base de 100 MVA.

Tal y como se de�nió en el Epígrafe 3.3, se entiende por medidas a distancia1 las adyacentes a la rama que contiene el parámetro erróneo, es decir, lastensiones e inyecciones de los nudos extremos de la rama y los �ujos de lapropia rama, por medidas a distancia 2 las anexas a las que se encuentran adistancia 1 y así sucesivamente.

Con estas premisas se ha realizado el estudio calculando las sensibilidadesde todas las medidas y, una vez detectada cuál es la que tiene mayor valor,



Figura 4.1: Red IEEE-118.



se han normalizado todas con ella, es decir, se ha dividido el valor máximoentre todos los valores de sensibilidades. Esto permite conocer el número demedidas que tienen una sensibilidad 10, 20, . . . veces menor que la que tienemayor valor de sensibilidad.

A continuación, se han agrupado estos valores obtenidos en función de ladistancia a la que se encuentran dichas medidas de la línea errónea, con lo quese puede obtener, para diferentes distancias, el tanto por ciento de medidas(con respecto al número total de medidas que están a dicha distancia), quetienen una sensibilidad 10, 20, . . . veces menor que la que tiene mayor valor.

Esto es lo que se ha representado en Figura 4.2 en la que en el eje X aparecela distancia a la línea errónea, en el Y la relación entre la sensibilidad máximay las sensibilidades de las medidas y en el eje Z el tanto por ciento de medidascon respecto al total de medidas que se encuentran a esa distancia.

Así, por ejemplo, en la �gura se puede observar que entre 0 y 1 del eje X(que representa la distancia 1 de la línea errónea) y entre 0 y 10 del eje Y(que representa una sensibilidad entre 1 y 10 veces menor que la medida mássensible), se encuentran el 60 % de las medidas que están a distancia 1.

La rama que contiene el parámetro erróneo en dicha �gura es la que une losnudos 49 y 51. Dicha línea posee medidas que pueden encontrarse hasta unadistancia 10 de ella, teniendo las que se encuentran a una distancia superior a5 una sensibilidad cien veces inferior a la medida más sensible, por lo que yano se han representado.

En dicha �gura se observa que:• Las medidas que se encuentran a distancias menores son las más sensibles

(sensibilidades solamente entre 10 y 30 veces inferiores al valor máximo).

• Cuanto menor es la distancia, el porcentaje de medidas con valores másaltos de sensibilidad es mayor.

• Las medidas que se encuentran a una distancia superior a 5, en este casoconcreto, tienen una sensibilidad cien veces menor que la medida mássensible.

Por lo tanto, se puede concluir que:• Las medidas que se encuentran lejos de las líneas con algún parámetro

erróneo tienen un impacto muy pequeño sobre ella.

• No es necesario utilizar ni todas las medidas de las que se disponga nitoda la red completa para realizar la estimación de parámetros, sino sólo



Figura 4.2: Resultado del análisis de sensibilidad de la línea que une los nudos49 y 51 en la red IEEE-118.


Resumen 79

aquellas medidas y aquellas líneas que se encuentran más próximas a laque contiene el parámetro erróneo, ya que éstas son las más sensibles.

Estas conclusiones van a permitir que en el Capítulo 6, en lugar de utilizarla red IEEE-118 para la obtención de los resultados experimentales, se utilicela IEEE-14 como si se tratase de la subred más próxima a la línea con elparámetro erróneo.

Para pasar de una red a su subred correspondiente basta con introducirlos �ujos de las líneas por las que se corta la subred en las inyecciones de losnudos limítrofes.

4.6 ResumenEn este capítulo se ha analizado la problemática que presentan los errores enlos parámetros, pudiendo ser éstos tanto de líneas como de tomas de transfor-madores.

Primeramente se ha expuesto la forma en la que los diferentes autores iden-ti�can los errores de los parámetros (Apartado 4.2), basándose dichos métodosen el cálculo de los residuos principalmente.

Se han expuesto las clasi�caciones que sobre los métodos de estimación deparámetros se han realizado hasta la fecha siendo una de ellas la que resalta ladiferencia más signi�cativa de cada uno de los métodos, como es la ampliacióno no del vector de estado mediante la introducción de los parámetros erróneoscomo variables adicionales (Sección 4.3):

• Métodos basados en el análisis de sensibilidad residual.

• Métodos que amplían el vector de estado:

� Resolución mediante ecuaciones normales.� Resolución basada en la teoría del �ltro de Kalman.

También, en este capítulo se han presentado las ventajas e inconvenientesde la estimación o�-line frente a la on-line (Sección 4.4) y, por último, en elApartado 4.5 se ha estudiado el carácter local de la estimación de parámetrosmediante un análisis de sensibilidad, habiéndose obtenido la conclusión de que:

• Las medidas que se encuentran lejos de las líneas con algún parámetroerróneo tienen un impacto muy pequeño sobre ella.



• No es necesario utilizar ni todas las medidas de las que se disponga nitoda la red completa para realizar la estimación de parámetros, sino sóloaquellas medidas y aquellas líneas que se encuentran más próximas a laque contiene el parámetro erróneo.


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Capítulo 5

Métodos de Estimación deParámetros

5.1 IntroducciónEn el Capítulo 4 se han presentado las diferentes clasi�caciones existentespara la estimación de parámetros, habiéndose hecho un especial hincapié enaquélla que realiza la clasi�cación de acuerdo con el método de resolución dela ecuación planteada [26].

A continuación, se va a proceder a describir los métodos de estimación mássigni�cativos basándose en dicha clasi�cación. Por último, se discutirán lasventajas e inconvenientes de cada uno de los métodos.

5.2 Métodos basados en el análisis de sensibili-dad residual

Estos métodos utilizan el vector de estado convencional sin ampliarlo con losparámetros erróneos y realizan la estimación de parámetros una vez que ha�nalizado la estimación de estado.

El método propuesto en [15, 16, 24] se basa en la relación de sensibilidadentre los residuos y los errores de las medidas [9] expuesto en el Apéndice A:

r = Srν (5.1)donde Sr es la matriz de sensibilidad residual dada por [13]:

Sr = I −HG−1HT W (5.2)

85


86 Métodos de Estimación de Parámetros

dondeG = HT WH (5.3)

es la matriz de ganancia según se vio en (2.14). Se puede establecer una relaciónlineal entre los residuos de las medidas afectadas rs y el error del parámetroep, obteniéndose de las ecuaciones (4.1) y (5.1) que:

rs =

((Sr)ss

∂hs

∂p

)ep + rs (5.4)

donde (Sr)ss es la submatriz (s x s) de Sr correspondiente a las s medidasinvolucradas y rs es el vector residual que se obtendría en ausencia de erroresen los parámetros.

La ecuación (5.4) puede ser interpretada como un modelo lineal que rela-ciona las medidas rs con el error del parámetro ep en presencia de un ruido rs,lo que convierte la determinación de ep en un problema de estimación.

En [16] se demuestra, basándose en (5.4), que el estimado óptimo de ep esep:

ep =

(∂hs

∂p

)T

Ws(Sr)ss

(∂hs

∂p

)−1 (

∂hs

∂p

)T

Wsrs (5.5)

La resolución de esta ecuación no es simple, por lo que se propone el si-guiente método. De la ecuación (5.2) se obtiene:

Ws(Sr)ss = Ws −WsHsG−1HT

s Ws (5.6)Se de�ne el vector de dimensión n:

δs = HTs Ws

(∂hs

∂p

)(5.7)

cuyos componentes vienen dados por:

δsi =s∑

k=1

∂hk

∂xi

∂hk

∂p

1

σ2k

(5.8)

con i = 1, . . . , l.Utilizando (5.6) y (5.7), la ecuación (5.5) queda:

ep =

(∂hs

∂p

)T

Ws

(∂hs

∂p

)T

WsHsG−1HT

s Ws

(∂hs

∂p

)−1 (

∂hs

∂p

)T

Wsrs

=

(∂hs

∂p

)T

Ws

(∂hs

∂p

)− δT

s G−1δs

−1 (

∂hs

∂p

)T

Wsrs (5.9)


Métodos basados en el análisis de sensibilidad residual 87

pudiendo existir dos variantes:

1. Primera variante: Calculando previamente ys de

Gys = δs (5.10)

mediante eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás, el errordel parámetro estimado se obtiene de:

ep =

s∑

k=1

(∂hk

∂p

)21

σ2k

−l∑

j=1

δsjysj

−1

s∑

k=1

(∂hk

∂p

)rk

δ2k

(5.11)

2. Segunda variante: Si la matriz G ha sido factorizada en

G = LDLT (5.12)

siendo L una matriz triangular inferior, el error del parámetro estimadose obtiene de:

ep =

s∑

k=1

(∂hk

∂p

)21

σ2k

−l∑

j=1

y2si

−1

s∑

k=1

(∂hk

∂p

)rk

δ2k

(5.13)

obteniéndose ys de √DLys = δs (5.14)

mediante eliminación hacia adelante.

Resumiendo el método propuesto, dada una línea errónea o sospechosa elprocedimiento para estimar uno de sus parámetros y corregir el estado estimadoes el siguiente:

1. Identi�car las medidas afectadas (�ujos de potencia en la línea, inyec-ciones de potencia en los nudos extremos).

2. Si sólo se encuentra afectada una medida y se dispone del residuo nor-malizado, la ecuación (5.5) queda:

ep =

(∂hs

∂p

)−1rs

(Sr)ss

(5.15)

Obtener ep e ir al paso 4.



3. Si no es así:

(a) Calcular ∂hs

∂p, Hs, sustituir en la ecuación (5.7) y calcular δs.

(b) Obtener ys o ys de las ecuaciones (5.10) o (5.14).(c) Sustituir en la ecuación (5.11) o (5.13) para obtener ep.

4. Corregir p∗ haciendo p∗ = p∗ + ep.

5. Realizar una nueva estimación de estado y una nueva identi�cación deparámetros erróneos. Si es positivo ir al paso 2, o en caso contrario,parar.

El método propuesto en [11] también se basa en un análisis de sensibilidadresidual a partir del vector de sesgo, el cual combina los efectos de los erroresdel parámetro y del estado del sistema. La estimación se realiza en dos etapas:en la primera se estima el vector de sesgo y en la segunda los errores de losparámetros a partir de una secuencia de vectores de sesgo obtenidos en distintosperiodos. La principal diferencia de este método con el propuesto en [15, 16, 24]es que el vector de sesgo se expresa en términos de �ujos.

Otro de los métodos basados en los residuos es el propuesto en [8] y apli-cado posteriormente en [21]. Ambos están desarrollados para la estimación detomas de transformadores, aunque en [8] se desarrolla además su aplicación aparámetros de redes.

El método propuesto se basa en el acoplamiento existente entre la tomadel transformador y el �ujo de potencia reactiva a través de él. Por ello loque se analiza es la diferencia entre el �ujo de potencia reactiva medido ycalculado a través del transformador. Se desarrolla dentro del mismo módulode estimación.

¥¦¥¦¥¦¥¦

¨§¨§¨§§

¨ ¥¢¨ ¥

£¨ ¥

- ¾

Pf , Qf Pt, Qt

Vf 6 δ Vt 6 01 : TjX

Figura 5.1: Modelo del transformador utilizado.

Considerando el modelo del transformador de la Figura 5.1, los �ujos de



potencia activa y reactiva desde la parte �ja (f) a la de la toma (t) son:

Pf =VfVtTsen(δ)

X(5.16)

Qf =V 2

f T 2

X− VfVtTcos(δ)

X(5.17)

Suponiendo que se ha realizado un cambio ∆T y que las tensiones y ángulosde los nudos no han variado, entonces:

∆Pf =VfVtsen(δ)

X∆T (5.18)

Qf =

[2V 2

f T

X− VfVtcos(δ)

X

]∆T (5.19)

Suponiendo además que:

|sen(δ)| ¿ |cos(δ)| (5.20)Vf ≈ Vt ≈ T ≈ 1 (5.21)

entonces

|∆Pf | ¿ |∆Qf | (5.22)

∆Qf ≈ ∆T

X(5.23)

Utilizando un razonamiento similar, la variación del �ujo de potencia reac-tiva en el lado de la toma del transformador es:

∆Qt ≈ −∆T

X(5.24)

De todo ello se puede obtener como conclusión que:

• Los �ujos de potencia reactiva son relativamente sensibles a los cambiosde tomas.

• Los �ujos de potencia activa son relativamente insensibles a los cambiosde tomas.

• Los �ujos de potencia reactiva son relativamente lineales con respecto alos cambios de tomas en el rango de ±10%.



Basándose en la discusión anterior y realizando las siguientes de�niciones:

• Qt: Flujo de potencia reactiva calculado en el lado de la toma.

• Qmt: Flujo de potencia reactiva medido en el lado de la toma.

• Qf : Flujo de potencia reactiva calculado en el lado �jo.

• Qmf : Flujo de potencia reactiva medido en el lado �jo.

• ∆T : Magnitud cambiada en la toma.

se puede establecer el siguiente procedimiento para la estimación de las tomasde los transformadores:

1. Si se dispone de una medida del lado de la toma:

(a) Si Qt −Qmt < 0 decreméntese la toma: −∆T .(b) Si Qt −Qmt > 0 increméntese la toma: ∆T .

2. Si se dispone de una medida del lado �jo:

(a) Si Qf −Qmf > 0 decreméntese la toma: −∆T .(b) Si Qf −Qmf < 0 increméntese la toma: ∆T .

Como medida práctica, si la diferencia entre los �ujos de reactiva medidoy calculado es inferior a un umbral, por ejemplo 1 MVAR, no se variará laposición de la toma.

Para aplicar este método a los parámetros de la red es necesario que secumplan las siguientes condiciones:

• Debe disponerse de un residuo que sea insensible a los cambios de losparámetros de la línea de transmisión.

• Si existen otros errores deben de tener poca in�uencia sobre el residuoseleccionado.

• La medida correspondiente al residuo seleccionado debe de estar libre deerrores.



Considerando que los �ujos de potencia activa y reactiva entre dos nudosson:

P12 =V1V2sen(δ)

X(5.25)

Q12 =V 2

1

X− V1V2cos(δ)

X− V 2

1 Bc (5.26)

siendo

• P12 el �ujo de potencia activa entre los nudos 1 y 2.

• Q12 el �ujo de potencia reactiva entre los nudos 1 y 2.

• V1 la tensión en el nudo 1.

• V2 la tensión en el nudo 2.

• δ el desfase existente entre los nudos 1 y 2.

• Bc la susceptancia shunt de la línea, siendo la mitad en cada extremo dela línea.

y por encontrarse la potencia activa relativamente �jada, el residuo de la po-tencia reactiva es el que se puede utilizar para aplicar el método propuesto.

Para la susceptancia shunt de la línea:

∆Q12 = −V 21 ∆Bc (5.27)

por lo que los errores de �ujo de reactiva son directamente proporcionales alparámetro Bc. Con objeto de estimar dicho parámetro es importante que lalínea de transmisión esté ligeramente cargada de manera que el residuo seadebido principalmente a los errores de Bc.

Para analizar los errores en la reactancia serie de la línea, de las ecuaciones(5.25) y (5.26) se obtiene:

P12∆X = V1V2cos(δ)∆δ (5.28)(Q12 + V 2

1 Bc)∆X + X∆Q12 = V1V2sen(δ)∆δ (5.29)

de donde:δQ12

δX=

P12tan(δ)

X− Q12 + V 2

1 Bc

X(5.30)



que es el coe�ciente de sensibilidad que indica la variación del �ujo de potenciareactiva frente al cambio en la reactancia de la línea. La carga de la línea debeser lo más elevada posible para poder aplicar el método de reducción residualdescrito.

Un método similar al anterior es el propuesto en [14] para la estimaciónde tomas de transformadores. Se ejecuta fuera de la rutina de estimaciónde estado y utiliza las tensiones medidas y estimadas para generar un nuevoconjunto de tomas de los transformadores.

El modelo del estimador de estado debe incluir los nudos de alta y bajadel transformador o solamente el de alta y el procedimiento utilizado es elsiguiente:

1. Si el intercambiador de tomas está situado en el lado de baja del trans-formador y éste se encuentra en el modelo del estimador, entonces:

NT = V TVBM

VBE

(5.31)

siendo NT la nueva toma, V T la antigua, VBM la tensión medida en ellado de baja y VBE la estimada.

2. Si el intercambiador de tomas está situado en el lado de baja del trans-formador y éste no se encuentra en el modelo del estimador, entonces

NT =VBM

VBC

(5.32)

siendo VBC la tensión calculada en el lado de baja del transformadorsegún se muestra en la Figura 5.2. Dicha tensión se calcula a partir dela tensión estimada, la toma y los �ujos estimados, todos ellos del ladode alta.

Por lo tanto, para poder aplicar el método es necesario que:

• La medida de la tensión se encuentre en el lado apropiado del transfor-mador.

• En el primer caso, si la toma antigua es signi�cativamente diferente delvalor actual, la tensión del lado de baja será detectada como anómala.Sin embargo, incluso en tales casos, la tensión medida se utilizará paracalcular una nueva posición de la toma, siempre que la tensión se en-cuentre dentro de un rango razonablemente prede�nido.


Métodos que amplían el vector de estado 93

¨§

¡¨§ ¢¨§ ¨

§¡¨

§ ¢¨§

ssVBC

Figura 5.2: Modelo del transformador considerado.

• En el segundo caso es necesario que en el lado de alta no existan inyec-ciones o que éstas sean conocidas de manera que los �ujos del lado dealta se puedan estimar.

5.3 Métodos que amplían el vector de estadoEstos métodos incluyen los parámetros sospechosos en el vector de estado comosi fuesen variables independientes por lo que se calculan tanto las tensiones ydesfases de los nudos como los parámetros.

Una vez que se ha ampliado el vector de estado con los parámetros erróneosse puede resolver el sistema de ecuaciones de dos formas diferentes:

• Mediante ecuaciones normales.

• Mediante la teoría del �ltro de Kalman.

5.3.1 Resolución mediante ecuaciones normalesLos métodos que resuelven el sistema planteado mediante las ecuaciones nor-males son los más simples y fáciles de desarrollar.

El método propuesto en [23] realiza la estimación de las tomas de los trans-formadores introduciéndolas en el vector de estado como variables indepen-dientes. Esto produce un aumento del número de elementos de la matriz ja-cobiano ya que se introducen tantas columnas nuevas como elementos nuevosse han introducido en el vector de estado y los elementos de dichas columnasson las derivadas del vector de medidas con respecto a las nuevas variables de



estado:

H =

(5.33)

En el caso de que existan medidas asociadas a las tomas de los transfor-madores que se van a estimar, se añadirán aquéllas al vector de medidas ytanto en la matriz jacobiano como en la matriz de covarianzas de las medidasaparecerán tantas �las adicionales como medidas nuevas se hayan añadido alvector de medidas:

H =

(5.34)

Inicialmente, las tomas de los transformadores se modelan como variablescontinuas, procediéndose a calcular el mejor valor estimado. Seguidamente,este valor se aproxima al valor de la toma más próxima, es decir, se convierteen discreto y se procede a eliminar la toma del vector de variables de estado.Por último, se vuelven a resolver las ecuaciones de estado con el valor discretode la toma del transformador.

Este método puede resolver una o más tomas erróneas de diversos trans-formadores simultáneamente.

Una variante de este método es el propuesto en [12] pero con la particulari-dad de que la ampliación del vector de estado se realiza con los incrementos delos �ujos de potencia en lugar de con los parámetros erróneos. Por lo tanto loque se estima son dichos incrementos, procediéndose posteriormente a calcularlos parámetros erróneos.

Otra variante del método de [23] es el propuesto en [1, 2] ya que en ellos seestiman todos los elementos de la matriz de admitancia nodal en forma polar.



Asimismo, el método descrito en [4] es similar pero aplicado a los parámetrosde la red.

Otra clase de métodos, diseñados para realizar la estimación de paráme-tros constantes en modo o�-line, procesan simultáneamente varias muestrasde medidas de diferentes instantes con objeto de incrementar la redundanciaalrededor de los parámetros sospechosos [17, 25]. Estos métodos se basan enque:

• La susceptancia es el parámetro cuyo error in�uye más en la estimaciónde las medidas (tal y como se ha visto en el Apartado 3.5).

• La in�uencia del error del parámetro es local (como se ha visto en laSección 4.5)

Además, con el uso simultáneo de varias muestras, la redundancia globaldel sistema se puede mantener aumentando el número de muestras [25]. Así,siendo:

• m el número de medidas.

• n el número de variables de estado.

• np el número de parámetros sospechosos.

• q el número de estimaciones simultáneas que se van a procesar.

en el caso de que se utilice una única estimación y el número de parámetrossospechosos sea uno, la redundancia es:

K1 =m

n + 1(5.35)

Si el número de parámetros sospechosos aumenta, siendo ahora np, y sise desea que la redundancia siga siendo K1, bastará con que el número deestimaciones simultáneas que se procesen sea q, con lo que la redundanciaserá:

Kq =m · q

n · q + np

=m

n + np

q

(5.36)

siendo np = q para que K1 = Kq.En estos métodos, al igual que en cualquiera de los otros métodos de es-

timación de parámetros existentes, si el sistema es crítico antes de estimar elparámetro, éste no podrá ser estimado.



Si se utilizan q estados simultáneamente para realizar la estimación, elvector de estados ampliado con los parámetros sospechosos es:

x = [x1, x2, ..., xq|p]t (5.37)

y el vector de medidas:z = [z1, z2, ..., zq]

t (5.38)

donde xi y zi son a su vez los vectores de estado y medidas de la muestra i yp el vector de parámetros.

Si se dispone de alguna información previa sobre los parámetros que se vana estimar, ésta se incluye en [17] como si se tratase de medidas. Sin embargo,los parámetros estimados se pueden ver in�uenciados negativamente por losfactores de peso adoptados al añadir esta información [25].

Para analizar la conveniencia de añadir dicha información, la función ob-jetivo se convierte en:

J(x, p) =m∑

i=1

wi[zi − hi(x, p)]2 + wp(p− p0)2 (5.39)

añadiendo el valor del que se dispone del parámetro sospechoso como si setratase de una medida adicional y siendo p0 el valor conocido del parámetro.

En dicha ecuación aparece wp, que es el factor de peso que se le asigna alvalor conocido del parámetro. Una decisión importante es el valor que se leda a esta pseudomedida que se ha añadido, en comparación con los factoresde peso de las telemedidas wi.

En el caso de que a wp se le asignase un valor muy pequeño con respecto awi, equivaldría a rechazar completamente la información disponible p0 y, porlo tanto, el valor del parámetro estimado p sería determinado exclusivamentepor las telemedidas disponibles.

Por el contrario, si se utilizase un valor de wp muy elevado con respecto awi, se obtendría que p es similar a p0 independientemente de los valores de lastelemedidas.

Esto se con�rma en la Figura 5.3 en la cual se muestran los resultadosobtenidos al estimar la susceptancia de una línea errónea mediante la ecuación(5.39). El ejemplo representado corresponde, en particular, a la línea que unelos nudos 7 y 9 en la red IEEE-14. En dicha �gura se representa el error relativodel parámetro estimado frente al ratio wm/wp, siendo wm el valor medio detodos los factores de peso wi.



Las curvas representadas han sido obtenidas con un conjunto de medidasde clase 1 y cuyo error medio ha sido del 3.23 %, así como asignando diferenteserrores al valor conocido del parámetro p0: ±5%,±10%.

Figura 5.3: Error en la susceptancia estimada de la línea que une los nudos 7y 9 en la red IEEE-14 frente al peso relativo del parámetro.

En dicha �gura se con�rma que:

• Si a wp se le asigna un valor muy pequeño con respecto a wm el valor delparámetro estimado p se determina exclusivamente por las telemedidasdisponibles.

• Si a wp se le asigna un valor muy elevado con respecto a wm se ob-tiene un valor de p similar a p0 independientemente de los valores de lastelemedidas.

De la Figura 5.3 se deduce que pueden presentarse dos situaciones diferen-tes:

• Si el signo del error asociado a p0 es el mismo que el de p cuando wp ≈ 0,lo que sucede para las curvas superiores de esta línea particular, el mejorresultado se obtiene cuando wp = 0, a menos que p0 sea más exacta que



las telemedidas, lo que no parece lógico ya que se trata de una medidasospechosa.

• Si los dos signos son diferentes, lo que ocurre para las curvas inferiores,existe un cierto valor del factor de peso wp para el cual se estima elparámetro exacto. Sin embargo, si no se elige este factor óptimo, puedeocurrir que el parámetro estimado sea peor que el que se obtendría si sehubiese utilizado el valor wp = 0.

La Figura 5.4 es similar a la anterior pero para otra línea, en particular lalínea que une los nudos 10 y 11, y otro conjunto de telemedidas distintos (laclase ha sido también 1 pero el error medio de las medidas ha sido 3.80 %).En este caso el parámetro estimado cuando wp = 0 se encuentra en la parteinferior de la �gura, obteniéndose las mismas conclusiones que anteriormente.La única salvedad es que cuando antes se refería a la parte superior de la �guraahora es la inferior y viceversa.

Figura 5.4: Error en la susceptancia estimada de la línea que une los nudos 10y 11 en la red IEEE-14 frente al peso relativo del parámetro.

Por lo tanto, y ya que no es posible predecir a priori si el error resultantepara el parámetro será positivo o negativo, no se puede conocer su factor depeso óptimo wp.



En el método presentado en [25], los vectores de estado y de medidas son losrepresentados en las ecuaciones (5.37) y (5.38). Asimismo, la matriz jacobiano(cuyos elementos se pueden encontrar en el Apéndice B) es, al añadirle lasnuevas columnas correspondientes a los parámetros sospechosos y no añadirleninguna �la adicional como inclusión de la información previa existente sobreel parámetro:

H =

H1 h1p

H2 h2p

. . . ...Hq hqp

(5.40)

Sustituyendo en las ecuaciones normales de la estimación de estado (2.13):

HT WH∆x = HT (x)W∆z (5.41)

se obtiene que la matriz de ganancia G es:

G = H tWH =

G11 g1p

G22 g2p

. . . ...Gqq gqp

gt1p gt

2p · · · gtqp Gpp

(5.42)

siendo:

Gii = H tiWiHi (i = 1, 2, ..., q) (5.43)

gip = H tiWihip (i = 1, 2, ..., q) (5.44)

Gpp =q∑

i=1

htipWihip (5.45)

El vector de términos independientes queda:

H tW∆z = [b1, b2, ..., bq|bp]t (5.46)

siendo:

bi = H tiWi∆zi (i = 1, 2, ..., q) (5.47)

bp =q∑

i=1

htipWi∆zi (5.48)



Para cada iteración es necesario que se forme y factorice la matriz (5.42)con objeto de poder obtener la corrección del vector de estado ∆x. Esto,para redes de gran dimensión, es impracticable incluso utilizando técnicas dematrices dispersas, pero como el número de parámetros que se estiman esrelativamente pequeño, se va a utilizar un método cuyo costo computacionales similar al necesario para resolver cada estado separada y secuencialmente.

Los pasos de que consta el método propuesto, que ha sido expuesto en [25],son:

1. Triangularización y eliminación hacia adelante. Para cada bloque diag-onal (i = 1, 2, . . . , q):

(a) Calcular:

hip = Wihip (5.49)∆zi = Wi∆zi (5.50)gip = H t

i hip (5.51)bi = H t

i∆zi (5.52)

(b) Calcular Gii y obtener yi y b′i de:

Gii = H tiWiHi (5.53)

Giiyi = gip (5.54)Giib

′i = bi (5.55)

(c) Actualizar Gpp y bp:

Gpp = Gpp + htiphip − gt

ipyi (5.56)bp = bp + ht

ip∆zi − gtipb

′i (5.57)

2. Obtener ∆p de:Gpp∆p = bp (5.58)

3. Sustitución hacia atrás. Para cada bloque diagonal (i = 1, 2, . . . , q)obtener ∆xi de:

∆xi = b′i − yi∆p (5.59)

De este modo, una vez que ∆p se ha obtenido, se pueden actualizar todaslas variables de estado independientemente.

Con este método hay que puntualizar lo siguiente:



• Cada columna de hip es un vector muy disperso, ya que solamente lasmedidas adyacentes tienen derivadas respecto a p distintas de cero.

• Cada bloque diagonal Gii se utiliza solamente una vez en el paso 1.(b),por lo que sólo la matriz de ganancia correspondiente a un único estadodebe ser almacenada en memoria simultáneamente y por lo tanto, elmismo espacio es utilizado sucesivamente por diferentes estados.

• Si solamente se estima un único parámetro, hip es un vector columna yGpp es un escalar.

• Si se utiliza un per�l plano de tensiones y desfases, en la primera iteraciónno se realiza la estimación del parámetro, es decir, se considera que elvector de estados no está ampliado por los parámetros sospechosos y, porlo tanto, la matriz jacobiano no contiene tantas columnas adicionales hip

como parámetros sospechosos en esta primera iteración. Esto es debido aque dichas columnas se hacen cero por causa del per�l plano de partida.Por lo tanto, el método se utilizará después de la primera iteración.

En el caso de que el número de parámetros estimados sea pequeño, el sobre-costo, tanto en necesidades de memoria como en tiempos de cálculo, causadopor las ecuaciones (5.49), (5.51), (5.54) y (5.56) - (5.59) es bastante pequeñoen comparación con el costo del procesamiento secuencial de los diferentesestados, que viene marcado principalmente por las ecuaciones (5.53) y (5.55).

El método es válido tanto si se utiliza la red completa como si sólo se usa laparte de red que es relevante, es decir, la que rodea al parámetro sospechoso, loque implica una considerable disminución del costo sin reducción de la calidaddel parámetro estimado.

5.3.2 Resolución basada en la teoría del �ltro de KalmanLos métodos de resolución mediante la teoría del �ltro de Kalman permiten uti-lizar una estimación recursiva en la cual la información a priori sobre el estadoestimado se combina con las medidas para actualizar el parámetro estimado.

En el método propuesto en [6] se realiza la estimación de los parámetros delas líneas de transmisión, admitancias y tomas de los transformadores, sesgosde las medidas y desviaciones típicas de los errores de las medidas.

En cada muestra de tiempo k la relación que existe entre las medidas y losestados es:

z(k) = h(x(k), k, p) + ν(k) (5.60)



habiéndose hecho depender h explícitamente de k con objeto de re�ejar laposibilidad de cambios en la red de un momento a otro y considerando a losparámetros constantes durante todo el periodo de tiempo considerado.

Para estimar el vector de estado hay que minimizar la función objetivo,que en este caso es:

J =m∑

k=1

[z(k)− h (x(k), k, p)]T W (z(k)− h(x(k), k, p)] (5.61)

En el caso de que se disponga de una información a priori del vector deparámetros, p0, dicha información se puede incorporar al problema como unapseudomedida:

p0 = p + ep (5.62)siendo ep un vector de error con media cero y covarianza Rp. Con esto, ysiendo R−1

p = Wp, la función objetivo se convierte en:

J1 = (p− p0)T Wp(p− p0) + J (5.63)

La solución al problema planteado se obtiene mediante la resolución itera-tiva del siguiente algoritmo:

[xi+1

k (k)pi+1

k (k)

]=

[xi

k(k)pi

k(k)

]+ Λi(k) ·

[A1

A2

](5.64)

siendo:

A1 = HTx (k)W [z(k)− h(xi

k(k), k, pik(k))]

A2 = HTx (k)W [z(k)− h(xi

k(k), k, pik(k))] + Wp,k−1[p

ik−1(k − 1)− pi

k(k))]

Hx(k) =∂h

∂x

∣∣∣∣∣xi

k(k),pi

k(k)

Hp(k) =∂h

∂p

∣∣∣∣∣xi

k(k),pi

k(k)

Λi(k) =

[HT

x (k)WHx(k) HTx (k)WHp(k)

HTp (k)WHx(k) Wp,k−1 + HT

p (k)WHp(k)

]−1

=

[Λi

xx(k) Λixp(k)

Λipx(k) Λi

pp(k)

]

Rp,k = Λpp(k)



p el vector de parámetros de red estimados e i el número de la iteración (i =1, 2, . . .)

Este algoritmo, basado en la teoría del �ltro de Kalman, es recursivo en elsentido de que en la muestra de tiempo k sólo se considera el vector z(k) juntocon los estimados de los parámetros y sus covarianzas, que previamente se hanactualizado.

Una ampliación del método propuesto es el tratamiento simultáneo de to-das las telemedidas almacenadas durante un periodo de tiempo para estimarconjuntamente tanto las variables de estado como los parámetros, lo cual sedesarrolla en un caso real en [7].

El método propuesto en [18, 19, 20] es recursivo y se basa en el �ltro deKalman para su resolución. Introduce dos importantes variantes con respectoa [6]:

• Localiza el problema en varias pequeñas subredes observables que con-tienen los parámetros desconocidos.

• Modela los parámetros como procesos de Markov al igual que las variablesde estado lo que permite la estimación de parámetros variables con eltiempo.

Como consecuencia de dichas variantes:

• Se puede realizar un seguimiento de aquellos parámetros de red quevarían continuamente debido a cambios en las condiciones de carga yambientales.

• La solución no se ve afectada por cambios ni en la red ni en la topologíade las medidas.

• La resolución es más rápida al resolver varios problemas pequeños enlugar de uno más grande.

• No presupone la existencia de ramas sin errores que pueden utilizarsecomo ramas conocidas para la estimación de otras ramas erróneas.

• Es posible la expansión adaptativa de las áreas analizadas de maneraque se estimen primero las ramas con mayor redundancia de medidashasta que se establecen sus parámetros y seguidamente se estiman lasque tienen menos redundancia.



El algoritmo de resolución se basa en que la función de densidad de proba-bilidad de los errores de los parámetros estimados en el tiempo ti, f [p(ti)], la delas variables de estado, f [x(ti)], y la de los errores de las medidas son gaussianascon media cero, de manera que, como se puede deducir de la ecuación (2.3), lafunción de densidad de probabilidad condicional de z(ti) sujeta a x(ti) y p(ti)es:

f [z(ti)|x(ti), p(ti)] = (√

2π)−m |W |(1/2) e−12

[z(ti)−h(x(ti),p(ti))]T W [z(ti)−h(x(ti),p(ti))]

(5.65)Del teorema de Bayes, la función de densidad de probabilidad conjunta

de los parámetros y del estado condicionada a las medidas es proporcional alproducto de sus funciones de densidad, de manera que:

f [x(ti), p(ti)|z(t1) . . . z(ti)] = f [z(ti)|x(ti), p(ti)] f [p(ti)] f [(x(ti)] (5.66)

El estimado de máxima verosimilitud se obtendrá al encontrar el máximode la función de probabilidad condicional y como dicha función es gaussiana,es equivalente a encontrar el mínimo del exponente de dicha función, es decir:

Φ[y(ti)] =1

2[z(ti)− h(x(ti), p(ti))]

T W [z(ti)− h(x(ti), p(ti))]

+1

2[y(ti)− y(ti)]

T Wxp[y(ti)− y(ti)] (5.67)

siendo:yT (ti) = [xT (ti), p

T (ti)] (5.68)

La condición necesaria para localizar el mínimo es:

∂Φ[y(ti)]

∂y(ti)= −H[y(ti)]

T W [z(ti)− h(y(ti))] + Wxp(ti)[y(ti)− y(ti)] = 0 (5.69)

donde:H[y(ti)] =

∂h[y(ti)]

∂y(ti)](5.70)

La matriz Wxp(ti) es la inversa de la matriz de covarianzas de y(ti):

Wxp(ti) =

[Wx(ti) 0

0 Wp(ti)

](5.71)


Discusión 105

Para proceder a la resolución del sistema no lineal al que da lugar se utilizael método de Newton:

C∆y(ti) = H[y(ti)k]T W [z(ti)− h(y(ti)

k)]

−Wxp(ti)[y(ti)k − y(ti)] (5.72)

y(ti)k+1 = y(ti)

k + ∆y(ti) (5.73)

donde:

C = H[y(ti)k]T WH[y(ti)

k] + Wxp(ti) + Υ[y(ti)k] (5.74)

Υ[y(ti)k] = −

mp∑

j=1

γi[y(ti)]∂2hj[y(ti)]

∂y(ti)2

∣∣∣∣∣y(ti)=y(ti)k

(5.75)

γi[y(ti)] =zj(ti)− hj[y(ti)]

Rjj

(5.76)

siendo j un índice de los parámetros y mp el número de parámetros.Para efectuar la estimación de los parámetros la red se divide en pequeñas

subredes o subsistemas locales y en cada iteración se resuelven las ecuaciones(5.72) - (5.76) mediante factorización triangular de la matriz C. Cada subredes una pequeña porción de la red completa compuesta de unas pocas ramascon el número su�ciente de medidas como para asegurar la observabilidad.

El método propuesto es desarrollado como un estimador de parámetrosadaptativo, el cual comienza con unas cuantas ramas altamente telemedidas.Una vez que se ha establecido la impedancia de dichas ramas, éstas se utilizanpara extender la estimación de parámetros a ramas que están menos teleme-didas. La última de las soluciones contendrá todas las ramas de la red conadecuadas telemedidas, excluyendo solamente aquéllas en las que no se hayapodido realizar una estimación de parámetro �able.

Los métodos propuestos en [3, 5, 10] se basan también en la resoluciónmediante el �ltro de Kalman y en la ampliación del vector de estado conaquellos parámetros que han proporcionado un valor elevado en el residuo[3, 10] o en el análisis de sensibilidad del estado [5].

5.4 DiscusiónDe todos los métodos que proponen algoritmos para realizar la estimación deparámetros, ya sean de líneas o de tomas de transformadores, sólo en algunos



de ellos se menciona el error de las medidas, por lo que los resultados presen-tados en el resto de artículos que tratan dicho problema no tienen una validezcompleta debido a que el error de las medidas in�uye notoriamente.

Así, si un parámetro tiene un error de un 10 % con respecto al valor exactode dicho parámetro y mediante uno de los algoritmos propuestos se obtiene unparámetro estimado con un error de un 2 % respecto al valor exacto, esto noda ninguna información respecto a si el método es bueno o no. Es necesarioconocer además el error de las telemedidas utilizadas.

Si las telemedidas no tienen error, el algoritmo utilizado para obtener elparámetro estimado mediante el que se ha obtenido una diferencia de un 2 %respecto al valor exacto no es bueno, ya que debería obtenerse un valor inferioral 1 %. Sin embargo, si las telemedidas tienen un error de un 2 % sí puedeconsiderarse bueno el algoritmo utilizado. Todo esto siempre que se dispongade una redundancia su�ciente, ya que si ésta no lo es, los resultados obtenidosserán peores.

Respecto a los métodos, se puede decir que aquéllos que aumentan el vec-tor de estado han superado claramente a los que se basan en el análisis desensibilidad residual. No obstante, estos métodos son necesarios a la horade identi�car las ramas sospechosas. También es evidente que la utilizaciónde varias muestras de medidas de diferentes instantes, simultánea o secuen-cialmente, proporciona una forma más robusta de actualizar la base de datos[27].

Sin embargo, no está claro que en todas las circunstancias sea mejor usarun algoritmo de �ltro recursivo o el esquema convencional de ecuaciones nor-males. Puede decirse que el �ltro de Kalman es más útil usarlo para estimarparámetros que varían con el tiempo, mientras que la simplicidad del método demínimos cuadrados lo hace más atractivo para estimar parámetros constantes.

Cualquier método, independientemente de la técnica utilizada, necesita deuna cierta redundancia de medidas locales, siendo la in�uencia de las medidasde �ujo de potencia particularmente relevante mientras que la de las medidasde inyección lo es, en general, menos.

Otro tema controvertido es si se deben estimar solamente unos pocos pa-rámetros seleccionados (incluyendo tomas de transformadores) o si el procesode estimación se debe ir extendiendo adaptativamente hasta incluir todas lasramas de la red que tengan una adecuada redundancia local. Como para unaredundancia dada los errores de los parámetros estimados son proporcionalesal error medio de las medidas [25], si se dispone de medidas muy exactas, losvalores de los parámetros estimados probablemente serán mejores que los que


Discusión 107

se disponían en la base de datos. Sin embargo, lo contrario también puedeocurrir, es decir, que un parámetro bastante bueno sea actualizado con unvalor menos exacto si la estimación se ha realizado con medidas poco exactas.Por lo tanto, ha de tenerse en cuenta este riesgo a la hora de decidir quéparámetros serán estimados.

En el caso de que existan errores no gaussianos persistentemente en lasproximidades de las ramas que se estiman y que no se detecten, los parámetrosestimados serán de poca exactitud independientemente del método utilizado.

En cuanto a la facilidad de implantar los métodos de estimación de paráme-tros en los estimadores de estado existentes, los métodos basados en el análisisde sensibilidad residual pueden incluirse al �nal del proceso de estimación deestado sin necesidad de tener que modi�car ninguna de las rutinas principalesque constituyen el estimador. Entre las diversas técnicas que aumentan elvector de estado, las que se basan en las ecuaciones normales son más simplesde desarrollar que las que se basan en el �ltro de Kalman y sólo requierensencillas modi�caciones en el código informático existente.

Cuando la información existente sobre el valor del parámetro no se añadeal modelo como una medida extra, la matriz jacobiano puede llegar a ser malcondicionada al inicio, por lo que para evitar este problema potencial el vectorde estado debe ser aumentado después de la primera iteración.

Por último, en el Apartado 4.4 se mencionaron las ventajas e inconve-nientes de la estimación on-line y o�-line. Allí se destacó que la estimaciónde las tomas de los transformadores es un proceso on-line, mientras que laestimación de parámetros que fundamentalmente permanecen constantes conel tiempo, como las inductancias o las capacitancias, es un proceso que puederealizarse más adecuadamente en un modo o�-line. Por otro lado, las �uctua-ciones de la resistencia de la línea debido a cambios en la temperatura puedenllegar a ser signi�cativas pero los errores que afectan a este parámetro sonlos que tienen menos importancia al realizar la estimación de estado [22, 25].Si se quisiera relacionar la resistencia variable con el tiempo con el valor con-stante correspondiente a la temperatura de referencia, bastaría con que a la vezque se registra cada conjunto de medidas se tomara nota de las temperaturasexistentes.



5.5 ResumenUna vez que en el Capítulo 4 se han clasi�cado los métodos de estimación deparámetros, en este capítulo se ha procedido a presentar en detalle los métodosexistentes.

En el Apartado 5.2 se han presentado los métodos que no amplían el vectorde estado. Estos se basan para su resolución en el análisis de los residuos.

Seguidamente, en el Epígrafe 5.3 se han analizado los métodos que am-plían el vector de estado con los parámetros erróneos como si fuesen variablesindependientes, por lo que se calculan tanto las tensiones y desfases de losdiferentes nudos como los parámetros. Estos métodos resuelven el sistema deecuaciones planteado de dos formas diferentes:

• Mediante ecuaciones normales (Apartado 5.3.1).

• Mediante la teoría del �ltro de Kalman (Apartado 5.3.2).

En la Sección 5.3.1 se ha analizado también el hecho nada trivial de incluiro no la información previa existente sobre el parámetro. Se ha obtenido que,dependiendo del factor de peso que se le asigne al parámetro que se va aestimar, los resultados obtenidos al considerar la información previa puedenser mejores o peores que los obtenidos al no considerarla.

A continuación se han discutido los diferentes métodos propuestos en losartículos que tratan este tema (Sección 5.4), resumiéndose las problemáticaspresentadas en ellos.


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112 BIBLIOGRAFÍA


Capítulo 6

Resultados Experimentales de laEstimación de Estado y deParámetros

6.1 IntroducciónEn el presente capítulo se van a presentar los distintos resultados obtenidosutilizando el método de estimación de parámetros y de estado propuesto en[1] y resuelto numéricamente mediante el método de mínimos cuadrados pon-derados. Esto es debido a que ese es el método propuesto por los autores ydel cual poseen gran cantidad de resultados experimentales. Además, el ob-jeto de este capítulo es mostrar la función de �ltro que tiene la estimaciónindependientemente del método utilizado.

Hay que tener en cuenta que en dicho método se aumenta el vector deestado con los parámetros sospechosos y se procesan muestras de diferentesinstantes simultáneamente con lo que el problema se reduce a resolver variosproblemas de estimación de estado a la vez. De esta manera se estiman elestado y los parámetros sospechosos al mismo tiempo.

Por ello, los resultados experimentales presentados en las grá�cas son váli-dos tanto para la estimación de estado como la de parámetros, siendo losresultados obtenidos cuando el error en el parámetro es del 0 % los que seobtienen al realizar únicamente la estimación de estado. Todos los resultadosse presentan en las mismas grá�cas a �n de que se observe la gran relación queguardan las estimaciones de estado y de parámetros.

Según las conclusiones obtenidas en el Apartado 4.5, la estimación de

113


114 Resultados Experimentales de la Estimación de Estado y de Parámetros

parámetros tiene un carácter local, por lo que se va a considerar a la red IEEE-14 como una subred en la que se encuentran los parámetros erróneos y, por lotanto, es ella la que se va a utilizar para mostrar los resultados experimentalesobtenidos.

Asimismo, los resultados que se presentan han sido obtenidos considerandoque el error se encuentra en la susceptancia de la línea considerada, ya quesegún se vio en el Apartado 3.5, la in�uencia del error en la susceptanciaes mucho mayor que cuando éste existe en la conductancia, además de serinvariante con el tiempo, lo que representa la base del método propuesto en[1].

Al igual que se hizo en el Capítulo 3, y con objeto de que los resultadosobtenidos sean estadísticamente signi�cativos, cada una de las pruebas repre-senta el valor medio de la ejecución de sesenta estimaciones de estado. Además,y excepto en los casos en los que expresamente se indique, se va a utilizar unaredundancia de las medidas completa, lo que signi�ca que de cada estado seposeen ciento veintidós medidas distintas.

Dichos estados distintos han sido obtenidos, como se dijo en el Apartado3.1, a partir de mil ochocientos estados distintos y exactos, que nunca sonconocidos, y a los que se les ha añadido errores gaussianos que simulen elestado real del sistema.

Por último, para caracterizar los resultados obtenidos se ha utilizado prin-cipalmente la clase de los dispositivos de medida, así como el error relativomedio de las medidas afectadas en las sesenta estimaciones. Además, el índicecomparativo adoptado ha sido el error relativo medio de las medidas estimadas.

6.2 Estimación de impedancias o admitanciasLa estimación de la susceptancia errónea puede realizarse desde el punto devista de tratarla como impedancia o como admitancia. El hecho de tratarlacomo admitancia tiene la ventaja de:

• Menor manipulación, ya que las ecuaciones se utilizan en modo de ad-mitancias.

• No se presentan singularidades, como ocurre al considerar una líneaabierta.

Además, como el valor del parámetro estimado obtenido al realizar la esti-mación como impedancia o como admitancia es el mismo tras numerosas com-


In�uencia del número de muestras utilizadas 115

probaciones realizadas, se va a realizar la estimación tratando al parámetroerróneo como admitancia en lugar de como impedancia.

6.3 In�uencia del número de muestras utilizadasEl método utilizado para la estimación de parámetros se basa en la utilizaciónde datos históricos de medidas y aprovecha que el parámetro es invariantecon el tiempo para realizar su estimación usando varias muestras de estadosdiferentes por los que pasa el sistema a lo largo del día.

Por lo tanto, es importante saber cuál es el número óptimo, si existe, deestados que hay que utilizar simultáneamente para realizar la estimación. Paraanalizar esto, en la Figura 6.1 se representa el cociente entre el error medio delas telemedidas y el error del parámetro estimado cuando el número de estadosdiferentes utilizados varía desde uno hasta veinticinco. Cada uno de los puntosrepresentados es la media de sesenta ensayos diferentes con una redundanciacompleta de las medidas, siendo éstas de clase 1 y existiendo un error en elparámetro del 10 %.

Figura 6.1: Relación entre el error de las medidas y el error del parámetroestimado frente al número de estados procesados simultáneamente.



Número de Error Errores medidas est.(%) Errores medidas (%)estados parám. (%) Todas Adyacentes Todas Adyacentes

0 1.27 1.261 10 1.27 1.26 2.7 2.8

25 1.27 1.260 1.31 1.26

7 10 1.31 1.26 2.9 2.825 1.31 1.26

Tabla 6.1: In�uencia del error de la susceptancia de una línea sobre las medidascuando se estima el parámetro.

El ratio utilizado en dicha �gura proporciona una cuanti�cación de la ha-bilidad del estimador para estimar un parámetro de red, pudiéndose observarque a medida que aumenta el número de estados procesados simultáneamentela estimación realizada es mejor. Para poder apreciar mejor dicho resultado,se ha dibujado la recta de regresión obtenida con los puntos señalados, pudién-dose apreciar que los resultados obtenidos siguen una correlación lineal, porlo que cuanto mayor sea el número de estados procesados simultáneamentemenor será el error del parámetro estimado.

Asimismo, en la misma �gura se ha representado la inversa de la curvade regresión, es decir, el cociente entre el error del parámetro estimado y elerror medio de las medidas, la cual es una hipérbola. Esta curva muestra quea medida que crece el número de estimaciones utilizadas simultáneamente lamejoría obtenida es menor, observándose además que en el límite el error delparámetro estimado vale cero.

Seguidamente, en la Tabla 6.1 se muestra la in�uencia de diversos erro-res en la susceptancia de una línea cuando se utilizan en la estimación delparámetro uno y siete estados diferentes simultáneamente y las medidas delsistema son de clase 1; se muestra tanto la in�uencia sobre las medidas detoda la red como sobre las medidas adyacentes a la rama, indicándose ademásel error de las medidas utilizadas. Se ha realizado el procesamiento de sieteestados diferentes simultáneamente por considerar que la estimación obtenidacon ellos es su�cientemente buena, de acuerdo con la hipérbola representadaen la Figura 6.1.

En dicha tabla se puede observar además que los estados estimados soninsensibles a los errores en los parámetros, es decir, el error en las medidas


Relación con el nivel de error en las medidas 117

estimadas cuando existe un error de un 25 % en el parámetro es el mismo quecuando dicho error no existe.

6.4 Relación con el nivel de error en las medidasEn el presente epígrafe se va a analizar la in�uencia que tiene el nivel de error enlas medidas, realizándose dicho análisis solamente sobre las medidas adyacentesa la línea que tiene el parámetro erróneo ya que, de acuerdo con las conclusionesobtenidas en la Sección 3.3, la in�uencia del error en el parámetro es mucho máspronunciada sobre las medidas adyacentes a la línea problemática, tendiendoa disminuir a medida que aumenta la distancia.

Para ello, en las Figuras 6.2 y 6.3 se representa la in�uencia de un error deun 10 % en la susceptancia de una línea cuando se utilizan en la estimaciónuno y siete estados diferentes simultáneamente, las medidas del sistema sonde clase 0, 1, 3 y 5 y analizando solamente la in�uencia sobre las medidasadyacentes a la línea sospechosa.

Figura 6.2: In�uencia del error en la susceptancia de una línea sobre las me-didas adyacentes, con distintas clases, cuando se procesa un estado.



Figura 6.3: In�uencia del error en la susceptancia de una línea sobre las me-didas adyacentes, con distintas clases, cuando se procesan siete estados si-multáneamente.


Relación con el nivel de error en las medidas 119

La conclusión que se puede obtener de estas �guras es la misma que seobtuvo en el Apartado 6.3, es decir, que los estados estimados son insensiblesa los errores en los parámetros y ello independientemente del nivel de error delas telemedidas. Además, al aumentar los errores de las medidas de las que sedispone, los errores de los valores estimados obtenidos son mayores.

Con objeto de apreciar más claramente el efecto bene�cioso que la esti-mación proporciona, en la Figura 6.4 se muestra la in�uencia sobre las medidasadyacentes, para distintos niveles de errores en las medidas, cuando solamenteexiste error en la susceptancia de una línea:

• Sin estimar el parámetro erróneo (línea discontinua).

• Estimando el parámetro erróneo utilizando siete estados simultáneamen-te (línea continua).

Figura 6.4: In�uencia del error en la susceptancia de una línea sobre las medi-das adyacentes, con distintas clases, cuando: (a): No se realiza estimación deparámetros; (b): Se estima procesándose siete estados simultáneamente.

Cada una de las grá�cas representa la media de la ejecución de sesentaestimaciones de estado.



Clase Error medidas usadas Error medidas usadassin est. parámetro estimando parámetro

5 11.1 14.23 6.7 8.51 2.2 2.80 0.0 0.0

Tabla 6.2: Errores de las medidas adyacentes utilizadas sin estimar parámetroy estimándolo.

Núm. estados (a) (b) (a/b)14.26 3.27 4.4

7 8.56 1.95 4.42.85 .65 4.4

14.20 4.38 3.24 8.52 2.65 3.2

2.84 .90 3.213.53 8.73 1.5

1 8.10 5.27 1.52.70 1.70 1.6

Tabla 6.3: Errores de los parámetros estimados para diferentes niveles de erro-res en las medidas y redundancia completa. (a): Error medio de las telemedidas(%); (b): Error del parámetro estimado (%).

Hay que hacer notar en esta �gura que la no coincidencia de valores cuandoel error en el parámetro es 0 % es debido a que los errores en las medidas usadascuando no se estima el parámetro y cuando sí se estima es distinto, según seaprecia en la Tabla 6.2. Esto es lógico ya que cuando no se estima el parámetrose utilizan sesenta estados distintos como ya se ha indicado, mientras quecuando sí se estima, el número de estados utilizados es siete veces mayor, yaque para cada estimación del parámetro se usan siete estados distintos.

Por último, en la Tabla 6.3 se presenta el error del parámetro estimadoy la relación entre el error medio de las telemedidas y el error del parámetroestimado, todo ello con diferentes niveles de errores en las medidas, distintonúmero de estados utilizados simultáneamente y redundancia completa.

De los resultados presentados en dicha tabla se puede concluir que:


In�uencia del tipo de medidas disponibles 121

• El error del parámetro estimado es proporcional al error medio del con-junto de medidas. Así, si se consideran los resultados obtenidos cuando serealiza la estimación utilizando siete estados simultáneamente, la relaciónque existe entre el error medio de las telemedidas (cociente entre los va-lores de la columna (a)), es casi igual a la existente entre los errores delparámetro estimado (cociente entre los valores de la columna (b)).Resultados similares se obtienen al analizar los valores obtenidos cuandose realiza la estimación utilizando cuatro estados simultáneamente y uno.

• El ratio utilizado, que relaciona el error medio de las medidas y el e-rror del parámetro estimado, sólo es función del nivel de redundanciade dichas telemedidas, a juzgar por la constancia de la columna de laderecha para un mismo número de estados.

6.5 In�uencia del tipo de medidas disponiblesEn el Apartado 3.6 se analizó la in�uencia que tenían el tipo de medidasdisponibles y los errores en los parámetros sobre la estimación de estado,llegándose a la conclusión de que, cuando se dispone de medidas de �ujosde potencia, la in�uencia del parámetro erróneo es mucho mayor que cuandose dispone de medidas de inyecciones, siendo la in�uencia en este último casocasi nula.

En el presente epígrafe se van a mostrar los resultados experimentalesobtenidos al realizar la estimación cuando se dispone de distintos tipos demedidas. Así, en las Tablas 6.4 y 6.5 se muestran los resultados obtenidos alrealizar la estimación de parámetros cuando se dispone únicamente de medidasde tensiones e inyecciones de potencia y cuando se dispone de tensiones y �ujosde potencia respectivamente. Ambos casos para distintos niveles de errores enlas medidas y cuando se utilizan siete estados simultáneamente para realizarla estimación.

De dichas tablas se puede obtener la conclusión de que se obtienen óptimosresultados independientemente del error que tenga el parámetro de la líneasospechosa.

Asimismo, prestando atención en ambas tablas a las columnas de erroresde las medidas y de errores de las medidas estimadas se puede observar que laestimación obtenida cuando existen medidas de �ujos es mucho mejor que laque se obtiene cuando se dispone únicamente de medidas de inyecciones.



Clase Error Errores medidas Errores medidasparám. (%) estimadas (%) utilizadas (%)

0 0.00 10 0.0 0.0

25 0.00 1.69

1 10 1.69 1.7825 1.690 5.08

3 10 5.08 5.3425 5.080 8.46

5 10 8.46 8.9025 8.46

Tabla 6.4: In�uencia del error de la susceptancia de una línea cuando sólo sedispone de medidas de tensiones e inyecciones y se estima dicho parámetro.

Clase Error Errores medidas Errores medidasparám. (%) estimadas (%) utilizadas (%)

0 0.00 10 0.0 0.0

25 0.00 1.64

1 10 1.64 2.9525 1.640 4.93

3 10 4.93 8.3725 4.930 8.22

5 10 8.22 14.7325 8.22

Tabla 6.5: In�uencia del error de la susceptancia de una línea cuando sólo sedispone de medidas de tensiones y �ujos y se estima dicho parámetro.


In�uencia del tipo de medidas disponibles 123

También es interesante conocer qué resultados se obtienen de la estimaciónen función del número de muestras utilizadas, tal y como se estudió en laSección 6.3, pero ahora desde el punto de vista del tipo de medidas disponibles.Para ello, en la Figura 6.5 se representa el cociente entre el error medio de lasmedidas usadas y el error del parámetro estimado cuando el número de estadosdiferentes utilizados varía desde uno hasta veinticinco tal y como se hizo enla Figura 6.1, pero añadiendo además las curvas correspondientes a cuando sedispone de medidas de tensiones e inyecciones y cuando se dispone de medidasde tensiones y �ujos.

Figura 6.5: Media del error de las medidas / Error del parámetro estimadofrente al número de estados procesados simultáneamente con diferente redun-dancia.

Las tres curvas se han representado en la misma �gura para poder analizarmás claramente su in�uencia, pudiéndose concluir que:

• A medida que aumenta el número de estados procesados simultáneamen-te la estimación realizada es mejor.

• Las medidas de inyecciones de potencia no son las adecuadas para re-alizar una buena estimación, ya que como se vio en al Apartado 3.6dichas medidas son menos sensibles a los errores en los parámetros que



las medidas de �ujos. Además, esta conclusión coincide plenamente conla apreciada en las Tablas 6.4 y 6.5.

6.6 Estimación de varios parámetros simultánea-mente

Hasta el momento siempre se ha discutido acerca de la in�uencia tan negativaque tienen los errores de los parámetros sobre la estimación de estado. Sinembargo, dicha in�uencia sólo se ha mostrado cuando existía un única líneaerrónea. Asimismo, los resultados experimentales obtenidos corresponden aun único parámetro erróneo.

En esta sección se va a mostrar lo que ocurre cuando existe más de unparámetro erróneo y los resultados experimentales obtenidos.

En particular, las �guras que se presentan se han realizado, al igual queel resto de las mostradas anteriormente, para distintos niveles de errores enlas medidas, diferentes errores en los parámetros y representando cada puntola media de sesenta ensayos realizados con el �n de que la muestra sea es-tadísticamente representativa. Además, en cada uno de esos ensayos, se hanelegido cinco líneas distintas y escogidas arbitrariamente mediante un genera-dor de números aleatorios. Por lo tanto, al considerar que son cinco las líneaserróneas que se tienen y hacerse el ensayo sobre la red IEEE-14, la cual poseeveinte líneas en total, se está suponiendo que el 25 % de la red completa eserrónea, por lo que se trata de un caso muy desfavorable, ya que las líneaserróneas se encuentran muy próximas unas de otras.

Si se hubiese utilizado la red IEEE-118, al elegir aleatoriamente las cincolíneas, estas normalmente estarán tan alejadas unas de otras que sus erroresson independientes unos de otros, cosa que en la red IEEE-14 no ocurre.

En la Figura 6.6 se representa la in�uencia de los errores de las susceptan-cias de cinco líneas sobre las medidas de toda la red cuando no se estiman losparámetros.

Las conclusiones que se obtienen de dicha �gura son idénticas a las obteni-das en el Capítulo 3 cuando se analizó la in�uencia de una única línea errónea,es decir:

• Existe un notable deterioro a medida que el error en el parámetro crece.

• Cuanto más exactas sean las medidas de las que se dispone, mayor es lain�uencia que tienen los errores en los parámetros.


Optimalidad de los parámetros estimados 125

Figura 6.6: In�uencia del error en la susceptancia de cinco líneas sobre lasmedidas de toda la red, con distintas clases.

En particular, es digno de destacar la notable in�uencia que tiene el au-mento del error en los parámetros cuando las telemedidas de las que se disponeno tienen errores, es decir, son exactas.

Por último, en la Figura 6.7 se muestran los resultados obtenidos cuandose estiman los parámetros de las cinco líneas erróneas utilizando siete estadosdiferentes simultáneamente.

El hecho de utilizar siete estados diferentes simultáneamente, como se hizoanteriormente, es debido a que se considera que éste es un compromiso buenoentre la exactitud de la estimación y el tiempo empleado en el procesamiento.

En dicha �gura se puede observar que los estados estimados son insensi-bles a los errores en los parámetros a pesar de ser cinco las líneas erróneas yencontrarse tan próximas unas de otras.

6.7 Optimalidad de los parámetros estimadosUno de los resultados más importantes obtenidos es el hecho de que para unconjunto de medidas con un determinado nivel de error, los valores de los



Figura 6.7: In�uencia del error en las susceptancias de cinco líneas sobre lasmedidas de toda la red, con distintas clases, cuando se procesan siete estadossimultáneamente.


Optimalidad de los parámetros estimados 127

Parámetro de partida Parámetro estimado-8.806 -8.906-8.900 -8.906-9.000 -8.906-9.090 -8.906-9.270 -8.906

Tabla 6.6: Valores estimados del parámetro para distintos valores de partidade éste.

parámetros estimados son los mismos independientemente del valor de partidade dicho parámetro, lo cual es lógico, ya que dicha información sólo se ha usadoen el primer jacobiano. Este valor de partida del parámetro corresponde al datoque se conoce de él.

Este resultado se puede observar en la Tabla 6.6, en la que se muestranlos valores estimados del parámetro de la línea que une los nudos 7 y 9, paradistintos valores de partida de dicho parámetro, siendo las medidas de las quese dispone de clase 1.

En concreto, el valor de partida −9.090 coincide con el valor exacto delparámetro, por lo que se puede observar que el error cometido al realizar suestimación es de un 2.02 %.

Esta tabla, junto con las conclusiones obtenidas de la Tabla 6.3, indicanque los parámetros estimados son óptimos para un determinado nivel de ruidoy para una redundancia de las medidas utilizadas. Así, si el valor de partidadel parámetro es muy bueno, es decir, es casi exacto, pero las medidas de lasque se dispone son de baja calidad, es posible que el parámetro estimado seapeor que el de partida; y viceversa. De ahí la importancia de la selección previade las líneas sospechosas.

Esto es debido al hecho de no haber utilizado la información previa existentesobre el parámetro, tal y como se discutió en el Apartado 5.3.1, y por lo tantoestimarse el parámetro de acuerdo con la información proporcionada por lastelemedidas que se poseen.



Parámetro de partida Parámetro estimado-8.906 -8.906

Tabla 6.7: Valor estimado del parámetro cuando se parte de un valor estimadopreviamente.

6.8 Resultados del estimador con los parámetrosmejorados

Una vez que se ha estimado el parámetro erróneo de una determinada línea,podría caber la posibilidad de utilizar el nuevo valor para volver a realizarla estimación con objeto de obtener un re�namiento mayor en el parámetroestimado.

Esto se ha realizado para la misma línea utilizada en el Apartado 6.7, esdecir, la que une los nudos 7 y 9, y se ha obtenido el resultado representado en laTabla 6.7. Ésta es similar a la Tabla 6.6 pero utilizando como valor de partidadel parámetro el mismo que se había obtenido de una estimación anterior yque, como se obtuvo en el Apartado 6.7, es óptimo para un determinado nivelde ruido y redundancia de las medidas utilizadas.

Se puede observar que el nuevo parámetro estimado es el mismo que elestimado con anterioridad ya que, como se dijo anteriormente, no se ha hechouso de la información previa existente sobre el parámetro.

Por lo tanto se puede concluir que, si se utiliza el estimador con los pará-metros que previamente se hayan estimado, usando la misma redundancia ycon el mismo nivel de error en las telemedidas, no se obtiene ninguna mejoría.De esta manera, de una sola vez, se está considerando el mismo efecto que el�ltro de Kalman de forma recursiva.

6.9 ResumenEn este capítulo se han presentado los resultados experimentales obtenidos alrealizar la estimación de estado y de parámetros.

Dichos resultados se han obtenido utilizando la red IEEE-14 como si setratase de una subred en la que se encontrasen las líneas sospechosas objetode estudio. Además, y al igual que se hizo en el Capítulo 3, para que losresultados puedan considerarse válidos desde un punto de vista estadístico se


Resumen 129

han utilizado para cada uno de los puntos considerados en cada una de lascurvas representadas la media de sesenta estimaciones diferentes.

Lo primero que se ha hecho en este capítulo ha sido justi�car la utilizaciónde los parámetros de las líneas sospechosas como admitancias con objeto derealizar una menor manipulación de las ecuaciones y evitar las posibles singula-ridades que pudieran presentarse al considerar dichas líneas abiertas (Apartado6.2).

En el Epígrafe 6.3 se ha analizado la in�uencia del número de muestrasusadas, habiéndose obtenido como resultados que:

• A medida que aumenta el número de estados procesados simultáneamen-te la estimación realizada es mejor.

• Los estados estimados son insensibles a los errores en los parámetros.

Seguidamente, en el Apartado 6.4, se han estudiado los resultados obtenidosteniendo en cuenta el nivel de error en las medidas, concluyéndose que:

• El error del parámetro estimado es proporcional al error medio del con-junto de medidas.

• La relación entre el error medio de las medidas y el error del parámetroestimado sólo es función del nivel de redundancia de dichas telemedidas.

además de las conclusiones del Epígrafe 6.3.A continuación, al estudiar la in�uencia del tipo de medidas disponibles

(Apartado 6.5), se ha obtenido que las medidas de inyecciones de potenciano son las adecuadas para realizar una buena estimación, ya que son menossensibles a los errores en los parámetros que las medidas de �ujos.

En el caso de que existan varios parámetros sospechosos, éstos puedenestimarse conjuntamente, obteniéndose unos resultados que son tan buenoscomo los obtenidos cuando sólo se estimaba un único parámetro (Sección 6.6).

Por último, en los Apartados 6.7 y 6.8 se han obtenido unos resultadossumamente interesantes:

• Para un conjunto de medidas con un determinado nivel de error, losvalores de los parámetros estimados son los mismos independientementedel valor de partida de dicho parámetro.

• Los parámetros estimados son óptimos para un determinado nivel deruido y para una redundancia de las medidas utilizadas. Esto es debido



al hecho de no haber utilizado la información previa existente sobre elparámetro y, por lo tanto, estimarse el parámetro de acuerdo con lainformación proporcionada por las telemedidas que se poseen.

• No se obtiene ninguna mejora si se utiliza el estimador con los parámetrosque previamente se hayan estimado, si se tiene la misma redundancia yse dispone de telemedidas con el mismo nivel de error.


Bibliografía


131


132 BIBLIOGRAFÍA


Capítulo 7

Aspectos Relacionados con laEstimación

7.1 IntroducciónEntre las funciones de cualquier centro de control, una de las más importanteses el análisis de seguridad del sistema. Para llevarla a cabo son necesarios unaserie de módulos entre los que se encuentran los siguientes:

• Filtrado de grandes errores

• Estimación de estado

• Observabilidad

• Tratamiento de errores no gaussianos

• Topología de la red

• Modelado de la red externa

• Previsión de carga

• Reparto de carga

• Contingencias

Íntimamente relacionados con la estimación de estado se encuentran losmódulos de análisis de observabilidad, tratamiento de errores no gaussianos yerrores topológicos, que serán los que se tratarán en el presente capítulo.

133


134 Aspectos Relacionados con la Estimación

Antes de realizar la estimación de estado es necesario saber si es posiblerealizarla, y por lo tanto si la red es observable, o en qué parte se puede realizarla estimación. Así, si el conjunto de medidas es su�ciente, y geográ�camenteestán bien distribuidas, se puede obtener un estado estimado del sistema y lared es observable.

Asimismo, es necesario saber si existen errores no gaussianos, ya que im-plícitamente se supone que los errores existentes son pequeños, pero ocasional-mente ocurre que existen errores no gaussianos debido a fallos en las medidaso a otras razones.

Otro de los aspectos estrechamente relacionados con la estimación es laidenti�cación y estimación de los errores topológicos a �n de disponer de laverdadera con�guración de la red.

7.2 ObservabilidadLa estimación de estado procesa un conjunto de medidas redundantes que per-mite estimar el estado del sistema de potencia. Para ello utiliza las medidasanalógicas junto con la con�guración del sistema proporcionada por el proce-sador topológico, los parámetros de la red y quizá alguna pseudomedida. Siel conjunto de medidas es su�ciente en número y geográ�camente bien dis-tribuidas, el estimador de estado proporcionará un estimado del estado delsistema y la red será observable.

Por lo general un sistema se diseña para ser observable en la mayoría delas condiciones de operación, aunque temporalmente puede no serlo debido aque se produzcan cambios no previstos en la topología de la red o fallos en lossistemas de comunicación.

Un análisis de observabilidad debe incluir:

• Test de observabilidad.

• Identi�cación de redes observables.

• Ubicación de medidas.

La mayoría de los algoritmos de observabilidad se basan en una aproxi-mación al modelo de red linealizado desacoplado similar al modelo en el quese analizan separadamente las porciones de la red (P − θ) y (Q− V ). Así, enla práctica se analizan separadamente la observabilidad de (P − θ) y (Q− V ),ya que en condiciones de operación normales sólo hay un ligero acoplamiento


Observabilidad 135

entre las fases y los �ujos de potencia reactiva y entre las tensiones y los �ujosde potencia activa.

Por lo tanto, el vector de estado se puede dividir en

x =

[θV

](7.1)

donde θ es el vector de fases de las tensiones de los nudos cuya dimensión esN − 1 y V es el vector de tensiones de los nudos cuya dimensión es N . De unamanera análoga, el vector de telemedidas z se puede dividir en dos subvectoreszP y zQ, conteniendo zP las telemedidas de potencia activa y zQ las telemedidasde potencia reactiva y las medidas de tensiones. De este modo las ecuacionesde las medidas quedan:

[zP

zQ

]=

[hP (θ, V )hQ(θ, V )

]+

[νP

νQ

](7.2)

Igualmente, la matriz jacobiano se puede escribir como:

H =

[HPθ HPV

HQθ HQV

](7.3)

En las condiciones de operación normales en las que las magnitudes de lastensiones de la red están próximas a uno en por unidad y las diferencias entreángulos entre nudos adyacentes son pequeñas hay poco acoplamiento entrezP y V y entre zQ y θ. Por lo tanto, una aproximación al modelo de reddesacoplado lineal modela exactamente las relaciones entre dichas cantidades.En este modelo la matriz jacobiano de las medidas se aproxima mediante

H ≈[

HPθ 00 HQV

](7.4)

y, de forma análoga, la matriz jacobiano de restricciones se puede aproximarpor

C ≈[

CPθ 00 CQV

](7.5)

El modelo aproximado desacopla las ecuaciones de las medidas y las res-tricciones en las ecuaciones de (P − θ) y (Q− V ):

∆zP = HPθ∆θ + νP (7.6)0 = CPθ∆θ (7.7)



y∆zQ = HQV ∆V + νQ (7.8)

0 = CQV ∆V (7.9)Como consecuencia, el test de observabilidad de las ecuaciones (P − θ) y

(Q − V ) se puede realizar separadamente y por lo tanto, el análisis que sedesarrolla a continuación se re�ere al problema activo.

7.2.1 Test de observabilidadEn [24, 25, 26] se propone un test numérico de observabilidad basado en ladeterminación del rango de H mediante la factorización triangular de la matrizde ganancia:

G = HT WH = UT U (7.10)Si H es de rango N , entonces G es no singular y se puede hallar una matriz

triangular superior U tal que Uii > 0, i = 1, 2, . . . , N . Por otro lado, si el rangode H es menor que N , es decir, N − l, entonces el proceso de factorización�nalizará y U será de la forma

U =

[U11 U12

0 0

](7.11)

donde U11 es una matriz triangular superior de dimensión (N − l) x (N − l) yelementos diagonales positivos.

En [38] se propone un método de observabilidad numérica basado en lamatriz de coe�cientes del método de la matriz aumentada de Hachtel (2.33):

K =

0 0 C0 αW−1 H

CT HT 0

(7.12)

Si la red es observable entonces K es no singular.En la práctica, con aritmética de precisión �nita, los elementos de la matriz

que teóricamente tienen valor cero debido a sustracciones no lo serán exacta-mente. Por ello, es necesario un umbral numérico para los elementos de Uy declarar que todos los elementos de U cuyos valores sean inferiores a dichoumbral son cero. La elección de dicho umbral dependerá tanto de la red comodel ordenador utilizado.

Para la determinación de la observabilidad también existen métodos topo-lógicos como los propuestos en [17, 21, 31].


Observabilidad 137

7.2.2 Identi�cación de redes observablesAun cuando la red no sea observable es deseable determinar una porción delestado estimado. Esto se puede realizar:

• Utilizando pseudomedidas que aumenten las medidas obtenidas en tiem-po real.

• Calculando el estado estimado de la porción de red que es observable.En el primer caso, además de las medidas obtenidas en tiempo real se

utilizan las pseudomedidas. Éstas son normalmente inyecciones en nudos cuyosvalores se estiman mediante algún tipo de previsión de carga en el nudo y selocalizan en aquellos cuyas inyecciones no son medidas.

Cuando se detecta que una red no es observable se puede utilizar un al-goritmo de observabilidad que permita procesar una lista de pseudomedidascandidatas y que determine el número mínimo necesario de éstas para que lared sea observable. Es importante que el conjunto de pseudomedidas utilizadassea mínimo debido a que un número excesivo de éstas puede degradar la exac-titud de la estimación de la porción observable de la red. En [12] se referenciandiversos métodos de procesamiento de las pseudomedidas.

Si lo que se hace es determinar la porción observable de la red y calcular elestado estimado de esa zona solamente, se puede utilizar el método propuestoen [25] que se basa en que cuando H no es de rango completo, según (7.11), Utiene un bloque de ceros en su parte inferior. Utilizando como medidas �cticias�ujos de potencia nulos en la red, entonces todos los nudos que pertenecen a lamisma isla observable tienen la misma fase y resolviendo el sistema medianteeliminación gaussiana se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

[U11 U12

0 0

] [θ1

θ2

]=

[00

](7.13)

oU11θ1 = −U12θ2 (7.14)

El número de islas observables es igual a la dimensión de θ2, incluyendolas triviales que sólo contienen un nudo. Una vez resuelta la ecuación anteriorpara θ1, todos los nudos que tengan la misma fase pertenecen a la misma isla.La unión de todas las islas observables que contienen más de un nudo identi�cala porción observable de la red.

La porción de red observable se puede identi�car también utilizando unalgoritmo topológico como los propuestos en [10, 31].



7.2.3 Ubicación de medidasComo se dijo anteriormente, un análisis de observabilidad debe incluir tambiénel estudio de la ubicación de medidas. El diseño de un sistema de medidas quepermita realizar la estimación de estado es un problema complejo, no sólo porel tamaño del problema, sino también por los requerimientos de la exactitud delestimador, seguridad ante fallos en los transductores, facilidad de adaptaciónante cambios en la topología de la red y minimización del costo del sistema.

Una formulación rigurosa del emplazamiento óptimo de las medidas sebasaría en la resolución de un problema de programación binario (0 ó 1) yaque una determinada medida en un punto determinado o se encuentra pre-sente o no se encuentra. Pero este tipo de problemas en sistemas de grandimensión son muy difíciles de resolver de una manera exacta, por lo que lossistemas propuestos para el emplazamiento de las medidas se basan en la for-mulación de problemas no rigurosos, en técnicas de resolución heurísticas o enuna combinación de ambos.

Los primeros planteamientos del problema se hicieron en [7, 15, 32] peroninguno de estos métodos propuestos ha proporcionado un procedimiento sis-temático que pueda utilizarse como criterio de emplazamiento óptimo de lasmedidas.

En [19] se describe un procedimiento heurístico, denominado método deeliminación secuencial, que se utiliza para determinar un conjunto de medidas.Se de�ne un vector y de dimensión k que se desconoce debido a los erroresaleatorios que existen en las medidas. Los componentes de dicho vector sonlas denominadas cantidades de interés.

El sistema de medidas se elige optimizando la exactitud de y mediante laformulación del siguiente problema de optimización:

minimizar J =k∑

i=1σ2

yi/β2

i

sujeto a: σ2yi

≤ β2i

(7.15)

siendo:

σ2yi

la varianza de la variable aleatoria yi.

β2i un determinado límite superior de σ2

yi.

Para poder evaluar J es necesario calcular los elementos de la diagonal dela matriz de covarianzas de y, Py.


Errores no gaussianos 139

El método comienza utilizando medidas en todos los posibles nudos del sis-tema y posteriormente se van eliminando sistemáticamente las medidas una auna. Analizando un momento determinado del proceso, la medida que provo-ca el menor incremento de J y no causa violaciones en las restricciones dedesigualdad es la que se eliminará.

La eliminación de las medidas �nalizará cuando al eliminar alguna de lasque queden se provoque una violación de las restricciones o cuando se alcanceun número de medidas especi�cado.

Este método tiene dos defectos: las restricciones económicas no se modelandirectamente y la técnica de optimización es heurística. Debido a este segundodefecto, no se garantiza que se llegue a una solución globalmente óptima.

Basándose en modi�caciones y extensiones de este método, en [1] se des-cribe otra metodología de emplazamiento de las medidas. En lugar de calcularPy analíticamente se utiliza la simulación de Monte Carlo, ya que el cálculo dePy es muy costoso para sistemas de gran dimensión. El método propuesto sedivide en tres fases.

En la primera fase se utiliza el método de [19] para seleccionar las medidasque se van a eliminar. Esta fase continúa hasta que se alcanza un determinadonivel de redundancia. En la segunda fase, un determinado número de medidasadicionales se eliminan utilizando el mismo método de eliminación de la faseanterior. Esto se realiza con objeto de permitir la reinserción de medidas en latercera fase del algoritmo. En la tercera fase, las medidas se añaden con objetode disminuir la sensibilidad de J a la pérdida de medidas y datos con erroresno gaussianos. Esta tercera fase continúa hasta que el número de medidasañadidas sea igual al de eliminadas en la segunda fase.

Este método se ha usado ampliamente en la red de transporte noruegahabiéndose obtenido buenos resultados tanto cuando el conjunto de medidasiniciales como cuando las condiciones de carga cambian. Sin embargo, el méto-do es sensible a la variación de la topología de la red, por lo que se recomiendala utilización de puntos de medida adicionales que permitan al sistema demedidas ser más robusto ante cambios topológicos.

7.3 Errores no gaussianosLos errores no gaussianos pueden ser debidos a:

• Errores en los parámetros tales como posicionamiento incorrecto del in-tercambiador de tomas, modelado incorrecto de los transformadores o



incorrectas impedancias de ramas.

• Topología de la red incorrecta, debido posiblemente a la actualizaciónmanual de las posiciones de los interruptores o a la descripción incorrectade la topología de la red.

• Dispositivos de medidas erróneos o errores en la transmisión de datos.

Los errores de las medidas se pueden clasi�car en uno de los siguientesgrupos:

• Error extremo: |medida - valor exacto| > 20 σ.

• Error grosero: |medida - valor exacto| = (5÷ 20) σ.

• Ruido normal: |medida - valor exacto| < 5 σ.

Aunque los errores pertenezcan al primer grupo, si la redundancia local lopermite, pueden ser �ltrados mediante un análisis previo antes de comenzarlas iteraciones de la estimación de estado. Los errores del segundo gruposon peligrosos debido a que pueden conducir a resultados no �ables, por elloestos son los errores de los que se ocupa el módulo de análisis de errores nogaussianos.

El análisis de errores no gaussianos consta de tres etapas:

1. Determinación de la presencia de errores no gaussianos.

2. Identi�cación de qué medidas son erróneas.

3. Eliminación de las medidas erróneas del estado estimado o su sustitución.

7.3.1 Determinación de la presencia de erroresLa presencia de medidas erróneas queda re�ejada en los residuos de las me-didas, es decir, en la diferencia entre los valores de las telemedidas y las esti-madas [37], y se plantea como un problema de test estadístico con las siguienteshipótesis:

• H0: No existen medidas erróneas.

• H1: Lo anterior es falso.



Para proceder a la aceptación de una de las dos hipótesis se utiliza el testdel índice J(x):

J(x) = νT Wν (7.16)siendo

ν = z − h(x) (7.17)J(x) se obtiene como suma de los cuadrados de variables aleatorias inde-

pendientes con distribución normal cuya media es 0 y su desviación típica esσ, por lo que J(x) es una χ2 de Pearson de k grados de libertad:

χ2 = ν21 + ν2

2 + ν23 + . . . + ν2

k (7.18)

con

k = m− n (7.19)n = 2N − 1 (7.20)

Si el valor calculado de J(x) es menor que un cierto umbral χα se acepta lahipótesis H0 y en caso contrario H1. El valor χα es una constante que se calculade la distribución χ2. Dicha constante se elige de forma que la probabilidadde rechazar la hipótesis H0, supuesta ésta cierta, sea 1 − α, en donde α es elnivel de con�anza.

7.3.2 Identi�cación de medidas erróneasDespués de la detección de medidas erróneas se procede a identi�car cuálesson. La identi�cación se basa en suponer que la medida de mayor residuonormalizado es errónea.

Sea rx el residuo de las variables de estado y r el residuo de las medidas:

rx = x− x (7.21)r = z − z (7.22)

donde x es la variable estimada y z es la medida estimada.Considerando

z = h(x) + ν (7.23)con

E(ν) = 0 (7.24)E(ννT ) = R (7.25)



se puede demostrar [14] que (ver Apéndice A):

E(rx) = 0 (7.26)E(rxr

Tx ) = Px = (HT WH)−1 = G−1 (7.27)

E(rrT ) = Pz = R−HG−1HT (7.28)

siendo Px la matriz de covarianzas de la estimación y Pz la residual. Por lotanto, los residuos tienen una distribución normal con media cero y covarianzaigual a los elementos de la diagonal de Pz y J(x) es una χ2 de m − n gradosde libertad.

Si J(x) > χ2m−n,p se puede deducir, con una probabilidad de error p, que

al menos una medida es errónea, siendo la medida que tiene mayor residuonormalizado rN la que se considera errónea [9] y siendo

rN =ri√

(Pz)ii

(7.29)

Para identi�car el dato erróneo es necesario calcular los elementos de ladiagonal de Pz:

(Pz)ii = Rii −∑

j

∑

k

Hij(HT WH)−1

jk HTki (7.30)

De aquí se deduce que los elementos (HT WH)−1jk necesarios son aquellos

que cumplen que HijHTij 6= 0, por lo que sólo están implicados los elementos de

la matriz HT WH que son distintos de cero antes de invertir y se puede utilizarel método de la matriz inversa dispersa [35, 40] como se detalla a continuación.

Sea A una matriz simétrica dispersa cuya inversa es Z:

AZ = I (7.31)

Sustituyendo A en (7.31) por su forma factorizada:

LDLT Z = I ⇒ LT Z = D−1L−1 (7.32)

De�niendo la matriz T = I − LT se puede expresar (7.32) como:

Z = D−1L−1 + TZ (7.33)

siendo D una matriz diagonal y T una matriz triangular superior cuya diagonales cero.

De este razonamiento hay que hacer especial mención de que:



• La matriz L es una matriz triangular cuya diagonal es unitaria y por lotanto, su inversa tiene las mismas propiedades, es decir, la diagonal deD−1L−1 es igual a D−1.

• La matriz Z es simétrica debido a que A lo es, por lo que para calcularZ es su�ciente con calcular su parte superior Zs, es decir, los elementosZij tales que j ≥ i.

Por lo tanto, L−1 no se utiliza en el cálculo de Zs, siendo:

Zs = D−1 + TZ (7.34)

Hay que destacar que debido a la peculiar estructura de T , el cálculo delos elementos de la �la k de Zs sólo requiere el uso de los elementos de las �lasprocesadas anteriormente:

zii = dii +∑

k

tikzki (7.35)

zij =∑

k

tikzkj (7.36)

siendo k > i, y que para calcular zij es necesario encontrar previamente todoslos elementos zkj con k tal que tik 6= 0.

7.3.3 Eliminación de medidas erróneasPor último, para �nalizar el análisis de errores no gaussianos, se procede a laeliminación de las medidas erróneas o a su sustitución por

zni = ze

i −σ2

i√(Pz)ii

(zei − zi) (7.37)

siendo:

zni la medida nueva.

zei la medida errónea.

zi la medida estimada.

Existen dos formas de sustituir o eliminar las medidas falsas:



• Eliminación ordenada.

• Eliminación por grupos.

En el primer caso se sustituye la medida cuyo residuo sea mayor y se vuelvea estimar el estado con la nueva medida. Si la detección vuelve a ser positivase sustituye la medida que tenga ahora el mayor residuo y así sucesivamente.

En el segundo caso se sustituyen todas las medidas correspondientes aresiduos mayores a un cierto valor.

7.4 Errores topológicosEl modelo de la red está basado en la información estática provista en lainicialización de la base de datos y en la información dinámica recogida porel SCADA. La información que describe la red no cambia desde la ejecuciónde una estimación de estado a la siguiente, como ocurre con los generadores,líneas, transformadores, etc. La información dinámica la proporciona el SCA-DA indicando la posición de los interruptores, las medidas analógicas y lastomas de los transformadores. Esta información, tanto estática como dinámi-ca es la que se utiliza para analizar la red.

Si la información estática es incorrecta el modelo será erróneo. Un ejemplotípico de esto es la conexión de una línea a un embarrado. Así, una línea quefísicamente está conectada a la barra A pero que se ha representado conectadaa la barra B, se encontrará de verdad conectada a la barra B cuando se cierreel acople. Por lo tanto, mientras el acople se encuentre abierto la topología dela red será errónea.

La mayor fuente de errores topológicos es el no conocimiento o conocimientoincorrecto del estado de los interruptores. Esto normalmente ocurre cuandoaparece parpadeando la indicación del posicionamiento de los interruptores,cuando se indica que se encuentra cerrado y abierto al mismo tiempo, cuandose produce un fallo en la transmisión o se queda incomunicada la subestacióndurante un periodo de tiempo, etc.

También puede ocurrir que se cambie la posición del interruptor manual-mente y el operador no actualice esta modi�cación. Esto mismo puede ocurriren los seccionadores, los cuales normalmente no se encuentran telemandadosy cuya operación se realiza localmente.

Esta inde�nición de la posición del interruptor o seccionador es la que obligaa suponer una posición del interruptor. El criterio que se considera en estos


Errores topológicos 145

casos puede ser el considerar la posición de explotación normal de ese elementoo la posición más reciente en la que se encontraba. Esta suposición se utilizapara la realización de los cálculos pertinentes de la estimación pero no implica,lógicamente, que el estado de la red sea el correcto.

Estos errores topológicos afectan al estimador de estado y esto conduce a:

• Obtención de un vector de estado incorrecto.

• Detección falsa de medidas erróneas.

• Violaciones erróneas de límites.

• Entradas incorrectas en otras funciones de análisis.

• Modelos de red no �ables.

7.4.1 Identi�cación y estimación de errores topológicosEste problema se ha estudiado desde diversos puntos de vista. Así, en [22] sepropone el estudio basándose en el cambio del estado de las ramas sospechosas,una después de otra, realizando una estimación de estado en cada caso, y sidespués de invertir el estado de la rama los residuos obtenidos están dentro deun umbral, entonces el estado original se considera falso.

Posteriormente, en [20] se restringe el área del problema ya que se seleccionamediante el número de medidas erróneas detectadas en los nudos adyacentes yse realizan múltiples estimaciones de estado para todas las posibles combina-ciones de los interruptores en una o más de las subestaciones sospechosas. Lacorrecta combinación del estado de los interruptores proporcionará el residuomínimo.

Otros métodos se basan en un reparto de carga local y detectan un errortopológico si los índices calculados después del reparto de carga exceden loslímites establecidos [5, 11].

La mayoría de los métodos de identi�cación de errores topológicos se llevana cabo una vez que se ha realizado la estimación de estado satisfactoriamentea pesar de existir errores topológicos. En el caso de que la estimación noconverja no se tendrá ningún punto de inicio por lo que los métodos dependenenormemente de las condiciones y características de la operación.

Además, los residuos se ven afectados en gran medida por los errores gaus-sianos y no gaussianos de las medidas analógicas. En algunos casos los errores



no gaussianos de las medidas analógicas pueden hacer que el análisis de resi-duos no sea �able [23].

Existen las siguientes condiciones su�cientes para la no detectabilidad y noidenti�cabilidad de errores topológicos:

1. Si una rama es irrelevante, un error topológico que afecte a dicha ramano será detectable [39].

2. La con�guración errónea de una rama irrelevante no es detectable sitodas las medidas relacionadas con ella son críticas o se convierten encríticas como consecuencia de esa con�guración errónea [11, 39].

3. Si dos ramas forman un par crítico de ramas, entonces un error topológicoque afecte a dichas ramas no es identi�cable [11].

Entendiéndose que:

• Elementos de red son las líneas de transmisión, transformadores, reac-tancias y condensadores.

• Un elemento es irrelevante cuando no se tiene ninguna medida de él.

• Una medida está relacionada con un elemento de la red si se trata deuna medida de inyección en uno de los nudos terminales o del �ujo depotencia en ese elemento.

• Una rama es una rama crítica de una medida en una red observable si alquitarla hace que el resto de la red sea no observable.

• Dos ramas forman un par crítico de ramas de una medida en una redobservable si al quitarlas hacen que el resto de la red sea no observable,mientras que si sólo se quita una la red sigue siendo observable.

Como se ha dicho, las tres condiciones dadas son su�cientes para la nodetectabilidad y no identi�cabilidad. Para la detectabilidad sólo se han de-ducido condiciones su�cientes en casos muy particulares [11], mientras que lascondiciones necesarias y su�cientes para la detectabilidad y/o identi�cabilidadno se han podido deducir aún.

Los más recientes trabajos publicados en el área de identi�cación de errorestopológicos son [3, 13, 18, 28, 29, 33, 34].

En [34] se propone un preprocesador basado en una serie de reglas quesirven para analizar las condiciones antes y después de cerrar el interruptor.



En este método se analiza si los resultados obtenidos con las medidas analógicasexistentes y el estado de los interruptores son consistentes.

En [28, 29] se estiman los �ujos de potencia a través de los interruptoressospechosos con objeto de evitar la impedancia cero que se encuentra asociadacon ellos. Además, se incluyen una serie de restricciones de igualdad con objetode no disminuir la redundancia existente.

El método propuesto en [13] se basa en los multiplicadores de Lagrange nor-malizados. El método es similar al utilizado para el procesamiento de erroresno gaussianos.

En [33] se propone un algoritmo que determine un índice de correlaciónentre las medidas y los elementos sospechosos. Éste estará incluido dentro deuna estrategia general basada en las siguientes etapas:

1. Pruebas de validación realizada en la etapa de pre�ltrado.

2. Pruebas realizadas durante la estimación.

3. Procesamiento a posteriori que utilice la información obtenida en lasetapas anteriores.

Aunque en muchos casos los errores topológicos se pueden detectar e iden-ti�car con los datos que se tienen en la etapa de pre�ltrado, existen situacionesdudosas que precisan de unos algoritmos más elaborados que se ejecutarán enla segunda etapa. Uno de estos algoritmos es el que se presenta en [33] ycon él se pretende con�rmar la presencia de una mala con�guración que sehubiera detectado durante la primera etapa o resolver algún caso de duda quese hubiese presentado.

El método propuesto trata de cuanti�car la correlación existente entre losvalores identi�cados como medidas con errores no gaussianos, y que en dichoartículo se denominan medidas sintomáticas, y las medidas que, en unas de-terminadas condiciones de operación, se esperan que sean las más afectadas delos posibles errores topológicos y que se denominan medidas sensibles. Estasmedidas se determinan a través de un análisis de sensibilidad de los residuoscon respecto a los �ujos de los elementos de red. El método propuesto se lle-vará a cabo cuando se detecte alguna anomalía al haber ejecutado las rutinasde detección de errores no gaussianos.

El autor de este método reconoce que existen situaciones dudosas como esel caso en el que existan varias medidas analógicas erróneas y que coincidan conlos síntomas de un error topológico. Estos casos requerirán alguna estimación



posterior que permita identi�car la causa real del problema. Estas estimacionesposteriores se pueden realizar de una manera metódica según [27].

En [3] se describe qué errores del estado de los interruptores se puedendetectar e identi�car en presencia de medidas analógicas erróneas utilizandotécnicas de estimación de estado de mínimos valores absolutos y aplicandouna estimación en dos etapas tal y como se describe en [30]. El método deresolución del estimador de estado de mínimos valores absolutos desarrolladoen dos fases se basa en [2].

Aunque intuitivamente los interruptores se relacionan con ramas con im-pedancia cero, realmente existen dos casos:

• Interruptores de líneas, transformadores y elementos shunt, y que por lotanto se encuentran en serie con impedancias no nulas.

• Interruptores que se encuentran dentro de subestaciones con más de unabarra y que sirven para conectar unas a otras (acoples).

El método propuesto en [18] es un método simple para estimar exacta-mente el estado abierto o cerrado de los interruptores del primer tipo, es decir,aquéllos que se encuentran asociados a impedancias no nulas.

Cuando existe su�ciente redundancia local en el conjunto de medidas, sepuede estimar el estado abierto o cerrado del interruptor de una determina-da línea añadiendo simplemente una variable extra, k, al vector de estado ysustituyendo los parámetros de la rama G, B y Bshunt por kG, kB y kBshunt,respectivamente, en aquellas expresiones en las que aparece.

Si el valor de k estimado es próximo a 1 el interruptor se encuentra cerradoy la línea en servicio, mientras que si el valor obtenido está próximo a cero, elinterruptor se encuentra abierto. Sin embargo, en la práctica, el valor estimadode k puede diferir signi�cativamente de los valores 0 ó 1 debido a los errores delas medidas. Más aún, si existen errores no gaussianos en las proximidades dela línea de la cual se tienen dudas, el valor estimado de k puede estar en tornoa 0.5 y, en ese caso, no se puede saber si el interruptor se encuentra cerrado oabierto. Por último, y como consecuencia de todo esto, si k no toma su valorentero (0 ó 1), los valores estimados del vector de estado serán menos exactos.

Con objeto de evitar estos problemas, se utiliza la siguiente restricción deigualdad

k(1− k) = 0 (7.38)de manera que se fuerce a k a tomar cualquiera de sus dos posibles valoresdiscretos.



Si las medidas adyacentes hacen a k observable, entonces la anterior res-tricción constituye una información redundante cuyo único objetivo es re�narel valor estimado de k. Por otro lado, cuando k no es observable, la restricciónde igualdad propuesta no es útil ya que, dependiendo del punto de comienzoen las iteraciones, se pueden obtener las dos posibles soluciones (multiplicidadde soluciones). Esto ocurre, por ejemplo, cuando no se miden ni los �ujos enla rama ni las inyecciones en los nudos adyacentes (rama irrelevante). En estecaso, incluso si las tensiones de los nudos extremos de la rama son observ-ables, tanto las inyecciones como el estado abierto o cerrado del interruptorpermanecen indeterminados.

Este método presenta las siguientes ventajas al compararlo con otros pro-puestos en la literatura:

• Al modelo de estimación únicamente se le añade una variable extra y,consecuentemente, una restricción de igualdad. Esto es más natural queutilizar dos �ujos de potencia para representar el estado de la rama que,realmente, es una única información.

• Gracias a la restricción asociada, se garantiza la naturaleza discreta de lavariable añadida, por lo que no existe forma de que la línea se encuentrecerrada, por ejemplo, al 90 %, es decir, o la línea se encuentra cerrada ose encuentra abierta.

Por todo lo expuesto, el método propuesto se puede aplicar a cualquiermétodo de estimación de estado. Así, aunque es lógico utilizarlo en aquellosmétodos que modelan explícitamente las restricciones de igualdad [6, 8, 16], laecuación (7.38) también puede ser tratada como una medida muy exacta, porlo que se puede utilizar la factorización ortogonal de la matriz jacobiano a �nde prevenir el mal condicionamiento que se presenta al utilizar las ecuacionesnormales cuando existen factores de peso grandes [36]. La solución numéricaque se presenta a continuación se adapta a esta segunda forma.

Suponiendo que se va a estimar el estado de la rama que conecta los nudosi y j, lo cual viene representado por la variable k, entonces las únicas �las dela matriz jacobiano relacionadas con la nueva variable de estado son los corre-spondientes �ujos de potencia a través de la rama, las inyecciones de potenciaen los nudos extremos de dicha rama y la medida virtual proporcionada por laecuación (7.38).

Los �ujos de potencia que atraviesan la rama y salen del nudo i se pueden



expresar de la siguiente manera:

Pij(k) = kPij (7.39)Qij(k) = kQij (7.40)

siendo Pij y Qij los �ujos de potencia convencionales como si k = 1.Igualmente, las inyecciones de potencia en el nudo i se pueden expresar

como una función de k de la siguiente forma:

Pi(k) =∑

mεi,m6=j

Pim + kPij (7.41)

Qi(k) =∑

mεi,m6=j

Qim + kQij (7.42)

Intercambiando i por j en las ecuaciones (7.39)-(7.42) se pueden obtener los�ujos de potencia a través de la rama en sentido opuesto y las inyecciones depotencia en el nudo j.

Los únicos elementos no nulos que aparecen en la columna extra de lamatriz jacobiano son:

∂[k(1− k)]

∂k= 1− 2k (7.43)

obtenido de la ecuación (7.38), así como:

∂Pij(k)

∂k=

∂Pi(k)

∂k= Pij (7.44)

∂Qij(k)

∂k=

∂Qi(k)

∂k= Qij (7.45)

(7.46)

y sus equivalentes correspondientes al nudo j. Asimismo, de las ecuaciones(7.39)-(7.42) se puede observar que los elementos de la matriz jacobiano de losparámetros serie y shunt de la rama sospechosa deben ser multiplicados por k.

A diferencia de lo que ocurre en [28, 29], en este método Pij y Qij no sonvariables de estado, sino que únicamente representan las ecuaciones no linealesde los �ujos de potencia en forma compacta.

Respecto al punto de inicio k0 adoptado para la variable k, los resultadosexperimentales muestran que el proceso de estimación converge sistemática-mente a k = 1 si k0 > 1/2 y a k = 0 si k0 < 1/2, al menos cuando la ecuación(7.38) se trata como una medida muy exacta. Por ello, siempre se adopta elvalor k0 = 1/2, lo que signi�ca que el término de la matriz jacobiano dado por


Resumen 151

la ecuación (7.43) es nulo. Además, como tanto Pij como Qij son próximos acero al comienzo de las iteraciones, la matriz jacobiano está mal condicionadao es singular durante la primera iteración. Por ello, la nueva variable k so-lamente se incluirá después de la primera iteración tal y como se sugiere en[4].

El método propuesto puede resumirse de la siguiente manera:

• Realizar la primera iteración y corregir el vector de estado. En estaiteración, la única diferencia con un estimador convencional es el factork0 = 1/2, el cual afecta a los parámetros de la rama de cuyo estado seduda.

• Desde la segunda iteración en adelante, añadir la restricción de igualdad(7.38) al modelo e incluir la variable k al vector de estado. El efecto deesta restricción sólo se notará al �nal de la tercera iteración, ya que elvalor de k es 1/2 durante la segunda iteración.

7.5 ResumenEn este capítulo se han presentado tres aspectos íntimamente relacionados conla estimación de estado:

• Observabilidad.

• Detección de errores no gaussianos.

• Errores topológicos.

En el Apartado 7.2 se han estudiado las partes de que consta un análisisde observabilidad:

• Test de observabilidad.

• Identi�cación de redes observables.

• Ubicación de medidas.

A continuación, en la Sección 7.3 se han analizado las causas que puedenproducir errores no gaussianos y se han estudiado las etapas del análisis deerrores no gaussianos:

• Determinación de la presencia de errores no gaussianos.



• Identi�cación de qué medidas son erróneas.

• Eliminación o sustitución de las medidas erróneas del estado estimado.

Por último, en el Apartado 7.4 se ha estudiado la identi�cación y estimaciónde errores topológicos como uno de los aspectos relacionados con la estimaciónde parámetros, habiéndose presentado, entre otros, un método de estimaciónde errores topológicos estrechamente relacionado tanto con la estimación deestado como con la de parámetros.


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158 BIBLIOGRAFÍA


Apéndice A

Propiedades Estadísticas de laEstimación de Mínimos Cuadrados

A.1 IntroducciónEn el Capítulo 1 se enumeraron las propiedades deseables que un estimadordebía tener y que, en concreto, el estimado de máxima verosimilitud poseía.

En el presente apéndice se van a enumerar las propiedades estadísticas queposee la estimación de mínimos cuadrados.

A.2 Propiedades estadísticasSiendo z el conjunto de telemedidas, x el vector de variables de estado (ten-siones en los nudos y fase de los ángulos), h las ecuaciones que relacionan lasmedidas con las variables de estado y ν el vector de errores de las medidastal y como se vio en el Epígrafe 2.2, el vector de medidas se modela según laecuación (2.1):

z = h(x) + ν (A.1)Se supone que los errores ν1, ν2, . . . , νm son variables aleatorias independien-

tes con distribución gaussiana y media cero, siendo R la matriz de covarianzasde errores de las medidas:

R = E(ννT ) =

σ21

σ22

. . .σ2

m

(A.2)

159


160 Propiedades Estadísticas

Además, y tal y como se de�nió en el Capítulo 1, x es el vector de variablesde estado estimadas y z = h(x) es el vector de telemedidas estimadas.

Una vez recordadas estas premisas, las propiedades estadísticas que poseela estimación de mínimos cuadrados son [1, 2]:

1. Es insesgada, por lo que las esperanzas matemáticas del estado y lastelemedidas estimadas son:

E(x) = x (A.3)E(z) = E(z) = h(x) (A.4)

2. Las covarianzas de las variables de estado y de las telemedidas estimadascaso de no existir ruidos son (Apartado 7.3):

cov(x) = Px = E[(x− x)(x− x)T ] = G−1 (A.5)cov(z) = HG−1HT (A.6)

3. La función objetivo J(x) tiene la distribución de una χ2 de m−n gradosde libertad, siendo además su esperanza matemática:

E[J(x)] = m− n (A.7)

donde m es el número de medidas de las que se dispone y n = 2N − 1,siendo N el número de nudos de la red.

4. De�niéndose el vector de residuos de las medidas tal y como se hizo enla Sección 7.3:

r = z − z (A.8)su esperanza matemática vale:

E(r) = 0 (A.9)

y su covarianza:

cov(r) = E(rrT ) = Pz = R−HG−1HT = (I −HG−1HT R−1)R = SrR(A.10)

siendo Sr la matriz de sensibilidad residual.Dicha matriz de sensibilidad residual permite hallar las medidas que soncríticas, ya que una medida zi es crítica si y sólo si la �la y la columnai-ésima de Sr es nula.


Propiedades estadísticas 161

5. El vector de residuos normalizados rN es:

rNi =ri

σi

√(Sr)ii

(A.11)

el cual tiene distribución gaussiana con media 0 y desviación típica 1 ylos elementos (Sr)ii pueden ser calculados mediante técnicas de matricesdispersas como se describió en la Sección 7.3.


162 Propiedades Estadísticas


Bibliografía

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163


164 BIBLIOGRAFÍA


Apéndice B

Elementos de la Matriz Jacobiano

B.1 IntroducciónEn este apéndice se presentan los elementos que forman la matriz jacobiano,tanto los que habitualmente existen en cualquier estimación de estado [1], comolos correspondientes a las nuevas columnas incluidas en la matriz al estimarlos parámetros.

Estas nuevas columnas aparecen como consecuencia de considerar el vectorde estados ampliado con los parámetros sospechosos.

B.2 Elementos de la matrizSiendo:

• Vi, Vj los módulos de las tensiones en los nudos i y j.

• θi el desfase del nudo i.

• θij el desfase entre los nudos i y j.

• Pi, Qi las inyecciones de potencia activa y reactiva en el nudo i respec-tivamente.

• Pij, Qij los �ujos de potencia activa y reactiva en la línea que une elnudo i y el j respectivamente.

• Gij + Bij el elemento (i, j) de la matriz de admitancias de nudos.

165


166 Matriz Jacobiano

• Bcij la admitancia shunt del modelo en π de la línea que une el nudo i

con el j.

• G′ij la conductancia de la línea que une el nudo i con el j.

• B′ij la susceptancia de la línea que une el nudo i con el j.

los elementos que componen la matriz jacobiano son los siguientes:

• Elementos correspondientes a las tensiones:

δVi

δVi

= 1 (B.1)

δVi

δVj

= 0 (B.2)

δPi

δVi

=N∑

j=1

Vj(Gijcos(θij) + Bijsen(θij)) + ViGii (B.3)

δPi

δVj

= Vi(Gijcos(θij) + Bijsen(θij)) (B.4)

δQi

δVi

=N∑

j=1

Vj(Gijsen(θij)−Bijcos(θij))− ViBii (B.5)

δQi

δVj

= Vi(Gijsen(θij)−Bijcos(θij)) (B.6)

δPij

δVi

= Vj(Gijcos(θij) + Bijsen(θij))− 2 GijVi (B.7)

δPij

δVj

= Vi(Gijcos(θij) + Bijsen(θij)) (B.8)

δQij

δVi

= Vj(Gijsen(θij)−Bijcos(θij)) + 2 Vi(Bij −Bcij) (B.9)

δQij

δVj

= Vi(Gijsen(θij)−Bijcos(θij)) (B.10)

• Elementos correspondientes a los desfases:

δVi

δθi

= 0 (B.11)

δVi

δθj

= 0 (B.12)


Elementos de la matriz 167

δPi

δθi

=N∑

j=1

ViVj(−Gijsen(θij) + Bijcos(θij))− V 2i Bii (B.13)

δPi

δθj

= ViVj(Gijsen(θij)−Bijcos(θij)) (B.14)

δQi

δθi

=N∑

j=1

ViVj(Gijcos(θij) + Bijsen(θij))− V 2i Gii (B.15)

δQi

δθj

= ViVj(−Gijcos(θij)−Bijsen(θij)) (B.16)

δPij

δθi

= ViVj(−Gijsen(θij) + Bijcos(θij)) (B.17)

δPij

δθj

= ViVj(Gijsen(θij)−Bijcos(θij)) (B.18)

δQij

δθi

= ViVj(Gijcos(θij) + Bijsen(θij)) (B.19)

δQij

δθj

= ViVj(−Gijcos(θij)−Bijsen(θij)) (B.20)

• Elementos correspondientes a las susceptancias:

δVi

δB′ij

= 0 (B.21)

δVj

δB′ij

= 0 (B.22)

δPi

δB′ij

= −ViVjsen(θij) (B.23)

δPj

δB′ij

= −ViVjsen(θji) (B.24)

δQi

δB′ij

= ViVjcos(θij)− V 2i (B.25)

δQj

δB′ij

= ViVjcos(θji)− V 2j (B.26)

δPij

δB′ij


δPji

δB′ij



168 Matriz Jacobiano

δQij

δB′ij

= ViVjcos(θij)− V 2i (B.29)

δQji

δB′ij

= ViVjcos(θji)− V 2j (B.30)

• Elementos correspondientes a las conductancias:

δVi

δG′ij

= 0 (B.31)

δVj

δG′ij

= 0 (B.32)

δPi

δG′ij

= −ViVjcos(θij) + V 2i (B.33)

δPj

δG′ij

= −ViVjcos(θji) + V 2j (B.34)

δQi

δG′ij


δQj

δG′ij


δPij

δG′ij

= −ViVjcos(θij) + V 2i (B.37)

δPji

δG′ij

= −ViVjcos(θji) + V 2j (B.38)

δQij

δG′ij


δQji

δG′ij



Bibliografía

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169


170 BIBLIOGRAFÍA


Apéndice C

Fondos de Escala Utilizados en elEntorno de Simulación

C.1 IntroducciónLos fondos de escala utilizados en las simulaciones dependen de los valoresmáximos esperados en cada punto de medida. Además, se han agrupado losvalores en torno a varios de ellos con objeto de disminuir la diversidad devalores utilizados.

Con estas premisas, en este apéndice se presentan los fondos de escalaconsiderados para las inyecciones en los nudos y los �ujos en las ramas, en porunidad, sobre una base de 100 MVA y siendo válidos los valores de �ujos depotencia para ambos extremos de la línea.

C.2 Fondos de escala de la red IEEE-14La Tabla C.1 muestra los fondos de escala considerados para las inyeccionesen los nudos y la C.2 los de los �ujos en las ramas.

171


172 Fondos de Escala

Nudo Inyección activa Inyección reactiva1 2.80 0.202 0.70 0.653 1.15 0.404 0.70 0.955 0.25 0.406 0.60 0.657 0.10 0.208 0.10 0.409 0.60 0.2010 0.25 0.1011 0.10 0.1012 0.10 0.1013 0.25 0.2014 0.25 0.20

Tabla C.1: Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-14 enpor unidad y sobre una base de 100 MVA.


Fondos de escala de la red IEEE-14 173

Nudo inicial Nudo �nal Flujo de activa Flujo de reactiva1 2 2.00 0.352 3 1.00 0.202 4 1.00 0.201 5 1.00 0.202 5 0.65 0.203 4 0.65 0.204 5 1.00 0.355 6 0.65 0.354 7 0.65 0.357 8 0.20 0.354 9 0.65 0.207 9 0.65 0.209 10 0.20 0.106 11 0.25 0.206 12 0.20 0.106 13 0.25 0.209 14 0.20 0.1010 11 0.20 0.1012 13 0.20 0.1013 14 0.20 0.10

Tabla C.2: Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-14en por unidad y sobre una base de 100 MVA.



C.3 Fondos de escala de la red IEEE-118Las Tablas C.3 - C.6 muestran los fondos de escala considerados para lasinyecciones en los nudos, mientras que las C.7 - C.15 muestran los de los �ujosen las ramas.



Nudo Inyección activa Inyección reactiva1 0.80 0.402 0.25 0.203 0.50 0.204 0.50 0.405 0.10 0.406 0.80 0.107 0.25 0.108 0.50 0.609 0.10 0.1010 6.00 0.8011 1.20 0.4012 0.50 1.2013 0.50 0.2014 0.25 0.1015 1.20 0.4016 0.50 0.2017 0.10 1.2018 0.80 0.4019 0.80 0.4020 0.25 0.1021 0.25 0.1022 0.25 0.1023 0.10 0.1024 0.25 0.4025 4.00 2.1026 4.00 1.2027 1.20 0.4028 0.25 0.1029 0.50 0.1030 0.25 1.20

Tabla C.3: Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-118en por unidad y sobre una base de 100 MVA.




Tabla C.4: Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-118en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuación).



Nudo Inyección activa Inyección reactiva91 0.25 0.2092 1.20 0.1093 0.25 0.1094 0.50 0.2095 0.80 0.4096 0.80 0.2097 0.25 0.2098 0.50 0.1099 0.50 0.20100 4.00 2.10101 0.50 0.20102 0.10 0.10103 0.25 0.40104 0.50 0.40105 0.50 0.20106 0.80 0.20107 0.80 0.10108 0.10 0.10109 0.10 0.10110 0.50 0.40111 0.50 0.10112 0.80 0.40113 0.10 0.10114 0.10 0.10115 0.50 0.10116 2.00 0.60117 0.25 0.10118 0.50 0.20





Tabla C.7: Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-118en por unidad y sobre una base de 100 MVA.




Tabla C.8: Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-118en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuación).



Nudo inicial Nudo �nal Flujo de activa Flujo de reactiva99 100 0.25 0.10100 101 0.10 0.40100 103 2.00 0.10100 104 1.20 0.20100 106 1.20 0.10101 102 0.60 0.20103 104 0.60 0.20103 105 0.60 0.10103 110 1.20 0.10104 105 0.60 0.10105 106 0.25 0.10105 107 0.60 0.10105 108 0.60 0.20106 107 0.60 0.10108 109 0.25 0.20109 110 0.25 0.20110 111 0.60 0.10110 112 1.20 0.40114 115 0.10 0.10



estimador de estado y para metros electricos

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