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Estatıstica AplicadaMedidas de posicao
Prof. Flavio Murilo de Carvalho Leal
Instituto Centro de Ensino TecnologicoFaculdade de Tecnologia do Cariri
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Medidas de posicao 2
I Moda: Valor mais frequente da amostra
I Variaveis qualitativas ou quantitativas discretas:Exemplo 1: Sexo dos alunos da turma = {masculino, feminino, masculino,masculino, masculino, feminino, masculino}→Moda = masculinoExemplo 2 (distribuicao bimodal): Curso escolhidos por alunos doCENTEC = {TMI, TSA, TMI, TAL, TAL, TMI, TSA, TAL, TMI, TAL,TID}→Moda = TMI e TAL.Exemplo 3: Uma empresa registrou os seguintes tempos ocorridos entre falhasde uma determinada maquina: {7.5, 5, 6.3, 5.2, 6, 7.1, 3, 8, 3.7, 5.4, 6.1,7}→Moda = Nenhum valor e mais frequente. Neste caso, pode-se calcular amoda de Czuber.
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Medidas de posicao 2
I Moda: Valor mais frequente da amostraI Variaveis qualitativas ou quantitativas discretas:
Exemplo 1: Sexo dos alunos da turma = {masculino, feminino, masculino,masculino, masculino, feminino, masculino}→Moda = masculino
Exemplo 2 (distribuicao bimodal): Curso escolhidos por alunos doCENTEC = {TMI, TSA, TMI, TAL, TAL, TMI, TSA, TAL, TMI, TAL,TID}→Moda = TMI e TAL.Exemplo 3: Uma empresa registrou os seguintes tempos ocorridos entre falhasde uma determinada maquina: {7.5, 5, 6.3, 5.2, 6, 7.1, 3, 8, 3.7, 5.4, 6.1,7}→Moda = Nenhum valor e mais frequente. Neste caso, pode-se calcular amoda de Czuber.
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Medidas de posicao 2
I Moda: Valor mais frequente da amostraI Variaveis qualitativas ou quantitativas discretas:
Exemplo 1: Sexo dos alunos da turma = {masculino, feminino, masculino,masculino, masculino, feminino, masculino}→Moda = masculinoExemplo 2 (distribuicao bimodal): Curso escolhidos por alunos doCENTEC = {TMI, TSA, TMI, TAL, TAL, TMI, TSA, TAL, TMI, TAL,TID}→Moda = TMI e TAL.
Exemplo 3: Uma empresa registrou os seguintes tempos ocorridos entre falhasde uma determinada maquina: {7.5, 5, 6.3, 5.2, 6, 7.1, 3, 8, 3.7, 5.4, 6.1,7}→Moda = Nenhum valor e mais frequente. Neste caso, pode-se calcular amoda de Czuber.
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Medidas de posicao 2
I Moda: Valor mais frequente da amostraI Variaveis qualitativas ou quantitativas discretas:
Exemplo 1: Sexo dos alunos da turma = {masculino, feminino, masculino,masculino, masculino, feminino, masculino}→Moda = masculinoExemplo 2 (distribuicao bimodal): Curso escolhidos por alunos doCENTEC = {TMI, TSA, TMI, TAL, TAL, TMI, TSA, TAL, TMI, TAL,TID}→Moda = TMI e TAL.Exemplo 3: Uma empresa registrou os seguintes tempos ocorridos entre falhasde uma determinada maquina: {7.5, 5, 6.3, 5.2, 6, 7.1, 3, 8, 3.7, 5.4, 6.1,7}→Moda = Nenhum valor e mais frequente. Neste caso, pode-se calcular amoda de Czuber.
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Medidas de posicao 3
Moda de Czuber:
I ModaCzuber = l +(
∆a∆a+∆p
)h,
onde
I l e limite inferior da classe modal,
I freqm e a frequencia da classe modal,
I freqa e a frequencia da classe anterior a modal,
I freqp e a frequencia da classe posterior a modal,
I ∆a = freqm − freqa,
I ∆p = freqm − freqp,
I h e a amplitude da classe modal.
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Medidas de posicao - Moda 4
I Uma empresa registrou os seguintes tempos ocorridos entre falhas de umadeterminada maquina: 7.5, 5, 6.3, 5.2, 6, 7.1, 3, 8, 3.7, 5.4, 6.1, 7.
A partir destes dados, sabe-se que:n = 12;
k = INT (√
12) = 3;L = 8− 3 = 5;h = 5
3 ≈ 1.67;
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Medidas de posicao - Moda 4
I Uma empresa registrou os seguintes tempos ocorridos entre falhas de umadeterminada maquina: 7.5, 5, 6.3, 5.2, 6, 7.1, 3, 8, 3.7, 5.4, 6.1, 7.
A partir destes dados, sabe-se que:n = 12;
k = INT (√
12) = 3;L = 8− 3 = 5;h = 5
3 ≈ 1.67;
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Medidas de posicao - Moda 5
classes ni Ni fi Fi
[3, 4.67) 2 2 16.67% 16.67%[4.67, 6.34) 6 8 50% 66.67%
[6.34, 8] 4 12 33.33% 100%Total 12 - 100% -
OBS: Deve-se arredondar o fim da ultima classe para o valor maximo, se for ocaso.
Assim, ModaCzuber = 4.67 +(
44+2
)1.67 ≈ 5.78;
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Medidas de posicao - Mediana 6
I Se localiza na posicao central da amostra apos ordenadas as suas observacoes(por esta causa nao pode ser aplicada as variaveis nominais), ou seja, aquantidade de observacoes com valores inferiores a mediana e igual aquantidade de valores superiores a mediana.
I Quando n for ımpar a mediana e o valor localizado na posicao n+12 ;
I Quando n for par a mediana e a media aritmetica dos valores das posicoes n2 e
n2 + 1;
I Exemplo (n ımpar):Mediana das idades dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22,25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 35}.Mediana: 20.
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Medidas de posicao - Mediana 6
I Se localiza na posicao central da amostra apos ordenadas as suas observacoes(por esta causa nao pode ser aplicada as variaveis nominais), ou seja, aquantidade de observacoes com valores inferiores a mediana e igual aquantidade de valores superiores a mediana.I Quando n for ımpar a mediana e o valor localizado na posicao n+1
2 ;
I Quando n for par a mediana e a media aritmetica dos valores das posicoes n2 e
n2 + 1;
I Exemplo (n ımpar):Mediana das idades dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22,25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 35}.Mediana: 20.
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Medidas de posicao - Mediana 6
I Se localiza na posicao central da amostra apos ordenadas as suas observacoes(por esta causa nao pode ser aplicada as variaveis nominais), ou seja, aquantidade de observacoes com valores inferiores a mediana e igual aquantidade de valores superiores a mediana.I Quando n for ımpar a mediana e o valor localizado na posicao n+1
2 ;I Quando n for par a mediana e a media aritmetica dos valores das posicoes n
2 en2 + 1;
I Exemplo (n ımpar):Mediana das idades dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22,25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 35}.Mediana: 20.
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Medidas de posicao - Mediana 6
I Se localiza na posicao central da amostra apos ordenadas as suas observacoes(por esta causa nao pode ser aplicada as variaveis nominais), ou seja, aquantidade de observacoes com valores inferiores a mediana e igual aquantidade de valores superiores a mediana.I Quando n for ımpar a mediana e o valor localizado na posicao n+1
2 ;I Quando n for par a mediana e a media aritmetica dos valores das posicoes n
2 en2 + 1;
I Exemplo (n ımpar):Mediana das idades dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22,25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.
Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 35}.Mediana: 20.
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Medidas de posicao - Mediana 6
I Se localiza na posicao central da amostra apos ordenadas as suas observacoes(por esta causa nao pode ser aplicada as variaveis nominais), ou seja, aquantidade de observacoes com valores inferiores a mediana e igual aquantidade de valores superiores a mediana.I Quando n for ımpar a mediana e o valor localizado na posicao n+1
2 ;I Quando n for par a mediana e a media aritmetica dos valores das posicoes n
2 en2 + 1;
I Exemplo (n ımpar):Mediana das idades dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22,25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 35}.
Mediana: 20.
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Medidas de posicao - Mediana 6
I Se localiza na posicao central da amostra apos ordenadas as suas observacoes(por esta causa nao pode ser aplicada as variaveis nominais), ou seja, aquantidade de observacoes com valores inferiores a mediana e igual aquantidade de valores superiores a mediana.I Quando n for ımpar a mediana e o valor localizado na posicao n+1
2 ;I Quando n for par a mediana e a media aritmetica dos valores das posicoes n
2 en2 + 1;
I Exemplo (n ımpar):Mediana das idades dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22,25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 35}.Mediana: 20.
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Medidas de posicao - Mediana 7
I Exemplo (n par):Mediana das idades dos alunos de uma turma (se houvesse um aluno a maisem relacao ao grupo anterior): {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22, 25, 19, 21, 20,18, 20, 26, 29}.
Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 29,35}.Mediana: 20+21
2 = 20.5.
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Medidas de posicao - Mediana 7
I Exemplo (n par):Mediana das idades dos alunos de uma turma (se houvesse um aluno a maisem relacao ao grupo anterior): {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22, 25, 19, 21, 20,18, 20, 26, 29}.Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 29,35}.
Mediana: 20+212 = 20.5.
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Medidas de posicao - Mediana 7
I Exemplo (n par):Mediana das idades dos alunos de uma turma (se houvesse um aluno a maisem relacao ao grupo anterior): {18, 35, 24, 20, 20, 27, 19, 22, 25, 19, 21, 20,18, 20, 26, 29}.Valores ordenados: {18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 29,35}.Mediana: 20+21
2 = 20.5.
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Medidas de posicao - Media aritmetica 8
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra (∑n
i=1 xi) e otamanho da amostra (n).
x =∑n
i=1 xi
n
ou
x = x1+x2+...+xnn
Exemplo: Media de idade dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27,19, 22, 25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.
x = 18+35+24+20+20+27+19+22+25+19+21+20+18+20+2615
x = 33415
x ≈ 22.27
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Medidas de posicao - Media aritmetica 8
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra (∑n
i=1 xi) e otamanho da amostra (n).
x =∑n
i=1 xi
n
ou
x = x1+x2+...+xnn
Exemplo: Media de idade dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27,19, 22, 25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.
x = 18+35+24+20+20+27+19+22+25+19+21+20+18+20+2615
x = 33415
x ≈ 22.27
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Medidas de posicao - Media aritmetica 8
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra (∑n
i=1 xi) e otamanho da amostra (n).
x =∑n
i=1 xi
n
ou
x = x1+x2+...+xnn
Exemplo: Media de idade dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27,19, 22, 25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.
x = 18+35+24+20+20+27+19+22+25+19+21+20+18+20+2615
x = 33415
x ≈ 22.27
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Medidas de posicao - Media aritmetica 8
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra (∑n
i=1 xi) e otamanho da amostra (n).
x =∑n
i=1 xi
n
ou
x = x1+x2+...+xnn
Exemplo: Media de idade dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27,19, 22, 25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.
x = 18+35+24+20+20+27+19+22+25+19+21+20+18+20+2615
x = 33415
x ≈ 22.27
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Medidas de posicao - Media aritmetica 8
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra (∑n
i=1 xi) e otamanho da amostra (n).
x =∑n
i=1 xi
n
ou
x = x1+x2+...+xnn
Exemplo: Media de idade dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27,19, 22, 25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.
x = 18+35+24+20+20+27+19+22+25+19+21+20+18+20+2615
x = 33415
x ≈ 22.27
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Medidas de posicao - Media aritmetica 8
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra (∑n
i=1 xi) e otamanho da amostra (n).
x =∑n
i=1 xi
n
ou
x = x1+x2+...+xnn
Exemplo: Media de idade dos alunos de uma turma: {18, 35, 24, 20, 20, 27,19, 22, 25, 19, 21, 20, 18, 20, 26}.
x = 18+35+24+20+20+27+19+22+25+19+21+20+18+20+2615
x = 33415
x ≈ 22.27
Prof. Flavio Murilo de Carvalho Leal
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Medidas de posicao - Media ponderada 9
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra multiplicadas porseu respectivo peso (
∑ni=1 xi ∗ pi) e a soma dos pesos de cada amostra
(∑n
i=1 pi).
x =∑n
i=1 xi∗pi∑ni=1 pi
ou
x = x1∗p1+x2∗p2+...+xn∗pnp1+p2+...+pn
Exemplo: Calculo da media de um aluno que faz duas avaliacoes porsemestre, sendo a AV1 de peso 1 e a AV2 de peso 2, com as seguintes notas:{7, 9}.
x = 7∗1+9∗21+2 = 25
3 ≈ 8.33
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Medidas de posicao - Media ponderada 9
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra multiplicadas porseu respectivo peso (
∑ni=1 xi ∗ pi) e a soma dos pesos de cada amostra
(∑n
i=1 pi).
x =∑n
i=1 xi∗pi∑ni=1 pi
ou
x = x1∗p1+x2∗p2+...+xn∗pnp1+p2+...+pn
Exemplo: Calculo da media de um aluno que faz duas avaliacoes porsemestre, sendo a AV1 de peso 1 e a AV2 de peso 2, com as seguintes notas:{7, 9}.
x = 7∗1+9∗21+2 = 25
3 ≈ 8.33
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Medidas de posicao - Media ponderada 9
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra multiplicadas porseu respectivo peso (
∑ni=1 xi ∗ pi) e a soma dos pesos de cada amostra
(∑n
i=1 pi).
x =∑n
i=1 xi∗pi∑ni=1 pi
ou
x = x1∗p1+x2∗p2+...+xn∗pnp1+p2+...+pn
Exemplo: Calculo da media de um aluno que faz duas avaliacoes porsemestre, sendo a AV1 de peso 1 e a AV2 de peso 2, com as seguintes notas:{7, 9}.
x = 7∗1+9∗21+2 = 25
3 ≈ 8.33
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Medidas de posicao - Media ponderada 9
I E a razao entre a soma de todas as observacoes da amostra multiplicadas porseu respectivo peso (
∑ni=1 xi ∗ pi) e a soma dos pesos de cada amostra
(∑n
i=1 pi).
x =∑n
i=1 xi∗pi∑ni=1 pi
ou
x = x1∗p1+x2∗p2+...+xn∗pnp1+p2+...+pn
Exemplo: Calculo da media de um aluno que faz duas avaliacoes porsemestre, sendo a AV1 de peso 1 e a AV2 de peso 2, com as seguintes notas:{7, 9}.
x = 7∗1+9∗21+2 = 25
3 ≈ 8.33
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