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1 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA

Tiago Teles de Abreu Tarré


Revisões de Estatística

Variáveis Aleatórias

É uma função que a cada acontecimento ω do espaço de resultados, faz corresponder um valor real, x = X ().

Ω IR

ω1 x = X(ω1)




Exemplo

Experiência Aleatória: Observação das Vendas diárias de uma cadeia de 3 restaurantes.

Espaço de Resultados:

Ω = (v1, v2,v3): vi ≥ 0, i =1,2,3




Exemplo

X = Vendas Totais

X(Ω) =xj = v1 + v2 + v3

Y = Vendas Médias

Y(Ω) =yj = (v1 + v2 + v3)/3

Z = …




Discretas

Uma V.A. X é discreta se o conjunto de valores possíveis de X for finito ou infinito numerável

Contínuas

Uma V.A. X é contínua se tomar valores de um intervalo ou de uma colecção de intervalos



Função de Probabilidade

É uma função f que associa a cada valor possível x de X a sua probabilidade f(x) = P[X=x]

Propriedades (V.A. Discreta):

0 ≤ f(x) ≤ 1

∑ f(x) = 1




Ex.: Lançamento de um Dado


0

1/6

0 1 2 3 4 5 6 7



Função de Distribuição Acumulada

F(x) = P [X ≤ x]

Propriedades (V.A. Discreta):

0 ≤ F(x) ≤ 1

F(x2) ≥ F(x1) , x2 > x1

lim F(x) = 0

lim F(x) = 1

x→-∞

x→+∞




Ex.: Lançamento de um Dado

Função de Distribuição

0

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

1

0 1 2 3 4 5 6



Aplicação às V.A. Contínuas

Propriedades da Função de Probabilidade:

V.A. Discreta V.A. Contínua

1. f(x) ≥ 0 1. f(x) ≥ 0

2. ∑ f(x) = 1 2. ∫ f(x) dx = 1




Propriedades (V.A. Contínua):

F(x2) ≥ F(x1) , x2 > x1

lim F(x) = 0

lim F(x) = 1

P[x1 ≤ X ≤ x2] = F(x2) - F(x1)

f(x) = dF(X) / dx , se F(X) for derivável

x→-∞

x→+∞



V.A. Contínuas


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2 -1 0 1 2 3

Função de Distribuição

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-3 -2 -1 0 1 2 3



Média ou Valor Esperado

Ex.: Nº de Carros vendidos numa semana

x 1 2 3 4 5

f(x) 1/10 3/10 3/10 1/5 1/10

9,210

15

5

14

10

33

10

32

10

11)( XE

)()( xfxXEx



Variância


x 1 2 3 4 5

f(x) 1/10 3/10 3/10 1/5 1/10

29,110

1)9,25(...

10

3)9,22(

10

1)9,21()( 222 XVar

)()(])[()( 22 xfxXEXVarx



Variância


x 1 2 3 4 5

f(x) 1/10 3/10 3/10 1/5 1/10

29,110

1)9,25(...

10

3)9,22(

10

1)9,21()( 222 XVar

)()(])[()( 22 xfxXEXVarx

14,1][2 xVar


Aplicação às V.A. Contínuas


V.A. Discreta V.A. Contínua

)(xfxx

dxxfx )(

)()( 22 xfxx

dxxfx )()( 22


Distribuição Normal

Notação:

Parâmetros: μ → média

σ2 → variância

Funções:

F(X) : não tem expressão algébrica → tabelas


X ~ N (µ, σ)

21 X

2

2

1f(X) e

2

f(x)

x


Padronização


11 1

1

1

X xF(X ) P X x P

xP Z

x

* onde Z ~ N (0, 1) é a Normal Padrão

e a distribuição da Normal Padrão


Operações com a Normal

Sendo X e Y duas variáveis aleatórias com distribuição Normal independentes:


2

X XX N( , )

2

Y YY N( , )

2 2

X Y X Y(X Y) N( , )


Operações com a Normal

Se tivermos uma família de variáveis Xi com distribuições normais e independentes:


2

i i iX N( , ) , i 1, ... ,m

m m m2

i i i

i 1 i 1 i 1

X N ( , )

m m m

2 2

i i i i i i

i 1 i 1 i 1

a X N ( a , a )


Inferência Estatística





POPULAÇÃO AMOSTRA

PARÂMETRO ESTIMADOR





PARÂMETRO

ESTIMADOR

ESTIMATIVA




POPULAÇÃO AMOSTRA

2 3

4 5




(2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

AMOSTRAS

2 2,5 3,0 3,5

2,5

3 3,5 4

3 3,5 4 4,5

3,5 4 4,5 5

MÉDIAS AMOSTRAIS

_ E[X] = 3,5 = µ




X ~ N (µ, σ)

X ~ N (µ, σ2/n)



Média Populacional (µ)

Variância Populacional (σ2) Conhecida


Z = X - µ

σ/√n

~ N (0, 1)



Média Populacional (µ)

Variância Populacional (σ2) Desconhecida

X - µ

s’/√n

~ tn-1


T =



Diferença de Médias (µx-µy)

Variâncias Populacionais (σx2, σy

2) Conhecidas

2 20 , 1

X Y

X Y

X Y

X YN

n n






2) Desconhecidas

Se σx2 = σy

2


( 2)

1 1X Y

X Y

n n

p

X Y

X Yt

sn n

2 2 2 22

( ) ( ) ( 1) ( 1)

2 2

i i X X Y Yp

X Y X Y

x X y Y n s n ss

n n n n





2) Desconhecidas

Se σx2 ≠ σy

2


( 2)

2 2 X Y

X Y

n n

X Y

X Y

X Yt

s s

n n


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