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ESTATÍSTICAProfa. Ms. Francini Mandolesi

Setembro/2015

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mailto:[email protected]

ESTATÍSTICA

• Ementa

– Estatística descritiva;

– Estatística Indutiva;

– População;

– Amostragem;

– Variáveis dos resultados;

– Coleta de dados;

– Análise e Interpretação dos resultados;

– Técnicas de descrição gráfica;

– Media;

– Moda;

– Mediana;

– Desvio padrão;

– Coeficiente de variação;

– Correlação;

– Regressão linear.

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Profa. Ms. Francini Mandolesi


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A ESTATÍSTICA

• É uma parte da matemática aplicada que fornece

métodos para coleta, organização, descrição,

análise e interpretação de dados e para a

utilização dos mesmos na tomada de decisões.

• A coleta, a organização ,a descrição dos dados,

o cálculo e a interpretação de coeficientes

pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA,

enquanto a análise e a interpretação dos dados,

associado a uma margem de incerteza, ficam a

cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou

INFERENCIAL, também chamada como a medida

da incerteza ou métodos que se fundamentam na

teoria da probabilidade.

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MÉDIA ARITMÉTICA

• A média aritmética é uma medida de locação usada para

resumir dados quantitativos aproximadamente simétricos.

Análise Estatística

Preço do Saco Cimento CP 2 por Loja

Prob. E Estatística

Loja Preço R$

Loja 1 19,90

Loja 2 19,98

Loja 3 20,06

Loja 4 20,14

Loja 5 19,54

Loja 6 18,94

Loja 7 18,97

Loja 8 19,00

Loja 9 19,03

Loja 10 19,06

Loja 11 19,16

Loja 12 19,26

Loja 13 19,36

Loja 14 18,97

Loja 15 19,00

Loja 16 19,03

Loja 17 19,06

Loja 18 18,97

Média 19,30

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• Para se obter a média

aritmética de uma

categoria basta somar

suas frequências e

dividi-las pelo total de

contagens.


MEDIANA

• É uma medida de tendência central que indica

exatamente o valor central de uma amostra de dados.

• Exemplos:

• O preço de um determinado produto da loja no

semestre se comportou da seguinte forma, colocados

em ordem crescente, foram: R$ 4,00; R$ 4,00; R$

5,00 ; R$ 7,00; R$ 7,00. São cinco preços. A mediana

é o valor que está no centro da amostra, ou seja, R$

5,00. Podemos afirmar que 40% do preço ficaram

acima de R$ 5,00 e 40% ficaram abaixo de R$ 5,00.

• A quantidade de lojas de materiais de construção de

uma determinada rede espalhados pelas cidades do

litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8,

10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e,

portanto, não há um valor central, calculamos a

mediana tirando a média dos dois valores centrais:

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MODA

• É a medida de tendência central que consiste no valor

observado com mais frequência em um conjunto de

dados.

Um determinado setor da loja fez, em dez

horas, a seguinte quantidade de venda do item

portas: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 1, 3, 1; a moda

desse conjunto é de 3 portas.

Se uma setor da loja registra, em quinze dias,

a quantidade de clientes: 52, 50, 55, 53, 61,

52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a

moda desse conjunto é de 52 clientes.

As alturas das prateleira do estoque são 1,82

m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso,

não há moda, porque nenhum valor se

repete.

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COLETA DE DADOS

• Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com

um objetivo determinado.

• Dados primários: quando são publicados pela

própria pessoa ou organização que os haja recolhido.

Ex: tabelas do censo demográfico do IBGE.

• Dados secundários: quando são publicados por outra

organização.

Ex: quando determinado jornal publica estatísticas

referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE.

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COLETA

• Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte. Ex:

Empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência

dos consumidores pela sua marca.

• Coleta Contínua: registros de nascimento, óbitos,

casamentos;

• Coleta Periódica: recenseamento demográfico, censo

industrial;

• Coleta Ocasional: registro de casos de dengue.

• Coleta Indireta: É feita por deduções a partir dos

elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por

avaliação,indícios ou proporcionalização.

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APRESENTAÇÃO DOS DADOS

• Há duas formas de apresentação, que não se excluem

mutuamente.

• A apresentação tabular, ou seja é uma apresentação

numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de

modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo

Conselho Nacional de Estatística.

• A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui

uma apresentação geométrica permitindo uma visão rápida

e clara do fenômeno.

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ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO

DOS DADOS

• A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e

delicada.

• Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e

coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o

fenômeno (estatística descritiva).


DEFINIÇÕES DA ESTATÍSTICA

• DADO ESTATÍSTICO: é um dado numérico e é

considerado a matéria-prima sobre a qual iremos

aplicar os métodos estatísticos.

• POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos

portadores de, pelo menos, uma característica

comum.

• AMOSTRA: é uma parcela representativa da

população que É EXAMINADA com o propósito de

tirarmos conclusões sobre a essa população.

• PARÂMETROS: São valores singulares que existem

na população e que servem para caracterizá-la. Para

definirmos um parâmetro devemos examinar toda a

população.

Ex: Os alunos do 2º ano da FACEV têm em média 1,70

metros de estatura.

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• ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é

calculado com o uso da amostra.

• ATRIBUTO: quando os dados estatísticos apresentam um

caráter qualitativo, o levantamento e os estudos

necessários ao tratamento desses dados são designados

genericamente de estatística de atributo.

• VARIÁVEL: é o conjunto de resultados possíveis de um

fenômeno

• VARIÁVEL QUALITATIVA: Quando seu valores são

expressos por atributos: marca, fabricante, modelo, etc.

• VARIÁVEL QUANTITATIVA: Quando os dados são de

caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos

resultados possui uma estrutura numérica, trata-se

portanto da estatística de variável e se dividem em:

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• VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA: Seus valores

são expressos geralmente através de números inteiros não

negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de

funcionários do setor de um determinado setor da loja no

1º semestre de 2015: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun =

36.

• VARIÁVEL CONTÍNUA: Resulta normalmente de uma

mensuração, e a escala numérica de seus possíveis

valores corresponde ao conjunto R dos números Reais,

ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre

dois limites.

Exemplos:

• Cor de tinta para parede interna: qualitativa

• Índice de liquidez nas Lojas: quantitativa contínua

• Produção de cimento no Brasil: quantitativa contínua

• Número de defeitos em produtos vendidos: quantitativa discreta

• Comprimento dos pregos vendidos: quantitativa contínua

• O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta

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AMOSTRAGEM

MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

• Exige que cada elemento da população possua determinada

probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem

a mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da

população, a probabilidade de cada elemento ser

selecionado será 1/N. Trata-se do método que garante

cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de

inferências. Somente com base em amostragens

probabilísticas é que se podem realizar inferências ou

induções sobre a população a partir do conhecimento da

amostra.

• É uma técnica especial para recolher amostras, que

garantem, tanto quanto possível, o acaso na escolha.

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AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES

• É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. É

equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada

numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a

seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x

números dessa sequência, os quais corresponderão aos

elementos pertencentes à amostra.

Ex: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa

para a pesquisa do preço de uma determinada marca de

tinta de 90 lojas concorrentes:

1º - numeramos as lojas de 1 a 90.

2º - escrevemos os números das lojas, de 1 a 90, em

pedaços iguais de papel, colocamos na urna e após

mistura retiramos, um a um, nove números que formarão a

amostra.

OBS: quando o número de elementos da amostra é muito

grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso.

Neste caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios,

construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são

distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.

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AMOSTRAGEM


AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA:

• Quando a população se divide em estratos (sub-

populações), convém que o sorteio dos elementos da

amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos

os elementos da amostra proporcional ao número de

elementos desses estratos

Ex: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de

10%, do exemplo anterior, supondo, que, das 90 lojas, 54

sejam lojas de bairro e 36 sejam lojas grandes. São

portanto dois estratos (lojas de bairro e lojas grandes ).

Logo, temos:

• Numeramos então as lojas de 01 a 90, sendo 01 a 54

bairro e 55 a 90 grande e procedemos o sorteio casual com

urna ou tabela de números aleatórios.

Lojas População 10% Amostra

Bairro 54 5,4 5

Grandes 36 3,6 4

Somatoria 90 9,0 9

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AMOSTRAGEM


TABELA

• É um quadro que resume um conjunto de dados dispostossegundo linhas e colunas de maneira sistemática.

• De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas oucélulas da tabela devemos colocar :

• um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero;

• três pontos ( ... ) quando não temos os dados;

• zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para serexpresso pela unidade utilizada;

• um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvidaquanto à exatidão de determinado valor.

Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deveser aberto..

• SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta adistribuição de um conjunto de dados estatísticos emfunção da época, do local ou da espécie.

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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS• São representações visuais dos dados estatísticos que

devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas

estatísticas.

• Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas,

simplicidade, clareza e veracidade.

• Gráficos de informação: São gráficos destinados

principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar

uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente

expositivos, dispensando comentários explicativos

adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as

informações desejadas estejam presentes.

• Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor

ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de

análise dos dados, sem deixar de ser também informativos.

Os gráficos de análise frequentemente vêm acompanhados

de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto

explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos

principais revelados pelo gráfico.

• Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa

dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a

confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de

construção de escalas.

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DESVIO PADRÃO

• Em Probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a

medida mais comum da dispersão estatística (representado

pelo símbolo sigma, σ ou s).

• Ele mostra o quanto de variação ou "dispersão" existe em

relação à média (ou valor esperado).

• Um baixo desvio padrão indica que os dados tendem a estar

próximos da média; um desvio padrão alto indica que os

dados estão espalhados por uma gama de valores.

• O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da

variância.

• É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da

dispersão que:

– seja um número não-negativo;

– use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos

inicialmente.

– Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) ou

s, do total de uma população ou de uma variável

aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em

amostra.

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EXEMPLO DE QUESTÕES

• Qual é a porcentagem de homens da sua amostra?

• Qual o salário médio dos funcionários da sua amostra?

• O que o cliente procura: Preço ou Qualidade?

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• Desvio padrão: margem de erro

S = desvio padrão

S =

DESVIO PADRÃO

∑x - (∑x )

n - 1


DESVIO PADRÃO

Calcular o desvio padrão previsional de horas extras de

um setor de 9 funcionários.

Horas extras (x) (x) .

20 400

22 484

24 576

25 625

26 676

27 729

28 784

29 841

30 900

2

∑x = 231∑x = 6.015

2

n = 9

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S =

S =

S =6015 - 5929

8

6015 - 53361

9

8

6015 - (231)2

9

8

S =86

8=

10,75= S = 3,28

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DESVIO PADRÃO

Coeficiente de Variância


DESVIO PADRÃO

Coeficiente de Variância

Algumas regras empíricas para interpretação do coeficiente

de variância.

Se: cv < 15% há baixa dispersão

Se: 15% ≤ c.v. ≤ 30% há média dispersão

Se: cv ≥ 30% há elevada dispersão

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Em uma loja, o salário médio dos homens é de R$

4.000,00; com desvio padrão de R$ 1.500,00 e o salário

médio das mulheres é de R$ 3.000,00; com desvio padrão

de R$ 1.200,00. A dispersão relativa dos salários é maior

para os homens?

Homens x H = 4.000,00

x M = 3.000,00

S = 1.500,00H

S = 1.200,00M

cv Homens = cv = S . 100x

= cv = 1.500 . 100 = cv = 37,5%

4.000HH

cv Mulheres = cv = S . 100 = cv = 1.200 . 100 = cv = 40%

x 3.000M

M


DESVIO PADRÃO

Os salários das mulheres tem dispersão relativa maior do

que os salários dos Homens.

As duas distribuições apresentam elevada dispersão.

(cv ≥ 30%)

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EXERCÍCIO - I

Calcular o desvio padrão e o

coeficiente de variância do

orçamento realizado em 20

lojas diferentes em milhões:

Orçamento (X) x2

1,1 1,21

1,2 1,44

1,1 1,21

1,3 1,69

1,2 1,44

1,3 1,69

1,4 1,96

1,5 2,25

1,1 1,21

1,1 1,21

1,2 1,44

1,3 1,69

1,4 1,96

1,5 2,25

1,3 1,69

1,6 2,56

1,4 1,96

1,3 1,69

1,4 1,96

1,6 2,56


SOLUÇÃO

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SOLUÇÃO


Em uma empresa, o salário médio dos homens é de R$

8.500,00; com desvio padrão de R$ 2.700,00 e o salário

médio das mulheres é de R$ 9.000,00; com desvio padrão

de R$ 3.200,00. A dispersão relativa dos salários é maior

para os homens?

EXERCÍCIO - II

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SOLUÇÃO


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SOLUÇÃO


DISTRIBUIÇÃO DE

FREQUÊNCIA

a) ROL Consiste em colocar os dados em ordem

crescente.

b) Amplitude Total é a diferença entre o maior e o

menor valor.

c) Cada Classe é um intervalo do tipo

onde li = limite inferior e ls = limite superior.

d) O limite inferior pertence a classe e o limite superior

não pertence a classe.

e) amplitude de classe (h) é obtida dividindo-se a

amplitude total pelo número de classes.

f) Frequencia da classe (F) é o número de elementos

que pertencem a classe.

g) Frequencia total ( 00 0F) é a soma das frequencias de

todas as classes.

li ls

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DISTRIBUIÇÃO DE

FREQUÊNCIA

h) Ponto médio da classe:

Pm = li + ls ou li + h

2 2

i) Frequência relativa (FR): é o quociente da frequência

da classe pela frequência total

FR = F obs. 000FR = 1,00

00 0F

j) Frequencia Percentual F% = 100 x FR

k) Frequencia acumulada (FA) [e a soma da frequencia

de cada classe com todas as anteriores

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a) Tabela primitiva

A tabela abaixo representa o peso (em ton) de 40

carretas de entrega de um determinado produto.

b) ROL colocar em ordem crescente

160 163 165 151 152 156 180 158

155 162 152 166 154 161 157 169

161 161 167 170 162 171 160 158

162 160 170 160 161 156 156 168

150 155 164 164 160 153 155 163

150 154 156 160 161 162 164 169

151 155 156 160 161 162 165 170

152 155 157 160 161 163 166 170

152 155 158 160 161 163 167 171

153 156 158 160 162 164 168 180180

150

31



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c) Calcular Amplitude Total

diferença entre o maior e o menor.

At = R = 180 – 150 = 30cm

d) Organizar 6 classes de frequência

Classe li h ls h = amplitude classes

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e) Montar uma tabela com os seguintes dados e efetuar a

tabulacao, indicando a frequencia de cada classe,

frequencia total, calcular os pontos medios das classes,

calcular frequencia relativas, percentuais, acumulados e

acumuladas percentuais

classe ponto médio F F.R. F% FA FA%

150 - 155 152,5 6 0,15 15% 6 15%

155 - 160 157,5 9 0,22 22% 15 37%

160 - 165 162,5 16 0,4 40% 31 77%

165 - 170 167,5 5 0,13 13% 36 90%

170 - 175 172,5 3 0,08 8% 39 98%

175 - 180 177,5 1 0,02 2% 40 100%

40 1 100%

33



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A) Montar uma tabela com 5 classes, com os seguintes

dados e efetuar a tabulacao, indicando a frequência

relativa de cada classe, frequência percentual, calcular

os pontos medios das classes, e acumulados e

acumuladas percentuais

B) Calcule a média, moda e mediana da tabela abaixo.

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EXERCÍCIO - III


A

B

35



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SOLUÇÃO


Correlação e Regressão

Linear Simples

• O comportamento conjunto de duas váriaveis pode ser

observado através de um gráfico, denominado diagrama de

dispersão.

• O diagrama de dispersão da idéia do comportamento

conjunto de duas variáveis. Se quando uma das variáveis

cresce e a outra em média também cresce, nesse caso diz-

se que entre as duas váriaveis existe correlação positiva. Se

quando uma das váriaveis cresce e a outra em média

diminui, nesse caso diz-se que entre as duas variáveis existe

correlação negativa.

• Existe uma medida para o grau de correlação entre duas

váriaveis. Essa medida é o coeficiente de correlação de

Pearson, que se representa por “ r ”e é definido pela

fórmula:

36



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2

∑xy - ∑x . ∑y

nr =

n∑x - (∑x)

22

( ) ∑y - (∑y)n

2

( )

Coeficiente de Correlação


Diagrama de Dispersão

Salário X Tempo de Serviço

0

2

4

6

8

10

12

- 500,00 1.000,00 1.500,00 2.000,00 2.500,00

tempo de serviço

tempo de serviço

37



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Observação

O coeficiente de corelação varia entre -1 e +1 se “r” assume o

valor 1, diz-se que as duas variaveis tem correlação perfeita

possitiva;

e se “r” assume o valor -1, diz-se que as duas variavies tem

corelação perfeita negativa;

Se “r” assume o valor ZERO, não existe correlação entre as

duas variaveis (a correlação é nula).


n. fun(x) n. itens(y) x y x . Y

Jan 200 109 40.000 11.881 21.800

Fev 190 100 36.100 10.000 19.000

Mar 170 98 28.900 9.604 16.660

Abr 150 90 22.500 8.100 13.500

Mai 138 85 19.044 7.225 11.730

Jun 100 72 10.000 5.184 7.200

Jul 90 61 8.100 3.721 5.490

Ago 80 58 6.400 3.364 4.640

Set 70 50 4.900 2.500 3.500

Out 60 49 3.600 2.401 2.940

Nov 70 56 4.900 3.136 3.920

1.318 828 184.444 67.116 110.380

Cálculo do Coeficiente

de Corelação.

2 2

∑

38



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Cálculo do coeficiente

de corelação.

∑x = 1.318

∑y = 828

∑x = 184.444

∑y = 67.116

∑xy = 110.380

2

2

2

∑xy - ∑x . ∑y

nr =

n∑x - (∑x)

22

( )n

2

( )

184444 -

110.380 – 1318 . 828

r =

1122

( )( )

∑y - (∑y)

67116 - (828)

r = 0,99

(1318) 1

1

1

1

39



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Calcule o coeficiente de corelação, desvio padrão e

coeficiente de variancia dos salários.

salário (x) tempo de serviço

(y)

800 1890 2

1.100 31.300 41.400 51.520 61.640 71.800 81.930 92.100 10

EXERCÍCIO - IV

40



Telefone: (011) 95136-0055


Cálculo do Coeficiente

de Corelação.

41



Telefone: (011) 95136-0055


Equação da Reta

42



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Calcule a Equação

da Reta

Faturamento

mensal(x)

Nº de

funcionários(y)

5 400

5,6 415

6 417

6,6 430

7 437

8 442

8,4 460

8,8 465

9 470

9,5 472

10 475

10,2 480

43



Telefone: (011) 95136-0055


b = 42575 - 94,1 . 5363

12

772,21 - 94,1

12

b = 42575 - 42054,8

772,21 - 737,90

b = 520,2 = b = 15,16

34,31

x = 94,1 = 7,84

12

y = 5363 = 446,92

12

)( 2

a = y - b . x

a = 446,92 - 15,16 . 7,84

a = 446,92 - 118,85

a = 328,07

y = a + bx

y = 328,07 + 15,16x equação reta

44



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SOLUÇÃO


Os dados a seguir correspondem à variável renda familiar e

gasto com construção (em unidades monetárias) para uma

amostra de 25 famílias.

EXERCÍCIO - V

45



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Renda Familiar (X) Gasto com

Construção (Y)

3 1,5

5 2,0

10 6,0

10 7,0

20 10,0

20 12,0

20 15,0

30 8,0

40 10,0

50 20,0

60 20,0

70 25,0

70 30,0

80 25,0

100 40,0

100 35,0

100 40,0

120 30,0

120 40,0

140 40,0

150 50,0

180 40,0

180 50,0

200 60,0

200 50,0

Calcule o coeficiente de

correlação e a equação

da Reta de regressão.


Calcular o coeficiente de correlação entre essas variáveis.

Denotamos as variáveis:

Y = Gasto com Alimentação; e

X = Renda familiar

46



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Obtenha a equação de regressão do gasto com alimentação

em função da renda familiar.

47



Telefone: (011) 95136-0055


A reta de regressão estimada da variável Gasto de

alimentação (Y) em função da Renda familiar (X) é

Qual o significado prático do valor da inclinação da reta de

regressão do item (c)?

O valor =0,256 significa que estima-se que para cada aumento

de uma unidade monetária da renda familiar ocorre um

acréscimo em média de 0,256 unidades no gasto com

alimentação.

48



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