ESTÁTICAProfesor: Carlos E. Joo G.

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECURAEscuela Profesional De Ingeniería Civil

UNIDAD 1 : CONCEPTOS BÁSICOS, TEORÍA GENERAL DE FUERZAS Y FUERZAS DISTRIBUIDAS

1. Introducción: Conceptos de mecánica y reseña histórica

2. Repaso de vectores

3. Fuerzas concurrentes y equilibrio de una partícula

4. Resultantes de sistemas de fuerza.5. Fuerzas distribuidas

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Lic. Carlos E. Joo G. 2Estatica - 01

CLASE Nº3: RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZA

RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZA Producto cruz

Momento de una fuerza –formulación escalar Momento de una fuerza –formulación vectorialPrincipio de momentos. Teorema de Varignon.Momento de una fuerza con respecto a un eje

específico Momento de un par o cupla

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El Producto vectorial o producto cruz es una operación matemática entre dos vectores ( A y B ) que genera un vector (

C ) perpendicular al plano que contiene a A y B

A x B = CEl modulo de C está dado por:

|C| = |A||B|senq

Con q el ángulo comprendido entre A y B

4.1. PRODUCTO CRUZ

A

B

A x B = C A y B son dos vectores que

pertenecen al plano XY

C

Regla de la mano derecha

x y

z

Relaciones de giro: ANTIHORARIO

B

A

A

B

B x A = - C

A y B son dos vectores que pertenecen al plano XY

Regla de la mano derecha

x y

z

C

Relaciones de giro: HORARIO

A

Bx y

z

C

Si este tornillo lo giramos a la derecha, el tornillo “baja”

Si el vector a lo giramos hacia b, entonces obtenemos el movimiento indicado con la flecha azul

Por el contrario, si giramos el vector b hacia a, obtenemos el movimiento indicado con la flecha verde

0 q

El tornillo y el producto cruz

La operación “virtual” de girar a hacia b, la denotaremos por a bY vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsenqa b = a b n

Donde es el vector unitario en la dirección del vector azul

n

a

bq

ˆsenq *b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector unitario obtenido en la dirección del vector verde.

*n

De tal forma que este producto no es conmutativo, y además

a b b a

0 q

a

bq

A

B

El producto del modulo de B y el modulo de la componente de A perpendicular a B, equivale al modulo del vector A x B

q

Acosq

Asenq

C = Asenq B

Una interpretación geométrica del producto cruz

A

B

q

El producto del modulo de A y el modulo de la componente de B perpendicular a A, equivale al modulo del vector A x B

Bcosq

Bsenq

C = Bsenq A

Una interpretación geométrica del producto cruz

Una interpretación geométrica del producto cruz

O

B

A

Ca b

a

b

qO A

CB

a

b senqb

a

El área del paralelogramo es

senq a b a b

El producto cruz corresponde a un vector normal al paralelogramo formado por a y b y de magnitud igual al área de dicho paralelogramo

a b

q

i j

k

En un sistema de orientación positiva, trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k i ˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j Y por lo demás, si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es el vector nulo.

Y es claro que a a 0¡cuidado, es el vector nulo, no el cero real!

Componentes Cartesianas: Vectores unitarios

Representación en componentes del vector a b

Sean a y b dos vectores no paralelos, con representación en componentes

1 2 3ˆˆ ˆa i a j a k a 1 2 3

ˆˆ ˆb i b j b k b

Una regla nemotécnica (es decir algo solo para recordar pero que no tiene ningún valor matemático) es como sigue

321

321

ˆˆˆ

bbbaaakji

ba

kbabajbabaibaba ˆˆˆ 122131132332 ba

4.2.MOMENTO DE UNA FUERZAEn mecánica newtoniana, se

denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición r=OA por el vector fuerza F; esto es

El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.La magnitud del momento esta dado por

Donde d es el brazo de palanca.El sentido del momento se determina mediante la regla de la

mano derecha (2).Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes,

el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.

MOMENTO DE UNA FUERZA

FrFOA

OM

FdrFseno qOM

INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZAEl momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué

medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas

Ejemplo 4.1.Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con

respecto a los puntos (a) E y (b) S

Ejemplo 4.1.SOLUCIÓN AMétodo escalar 1: determinación del brazo de palanca

Ejemplo 4.1.SOLUCIÓN AMétodo escalar 2: descomposición de la fuerza respecto de r

Ejemplo 4.1.SOLUCIÓN B¿Qué método usamos?

Ejemplo 4.2.

Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine:

(a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O,

(b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O,

(c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O,

(d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 1068 N para que produzca el mismo momento respecto a O

Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es

La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha

in. 12lb 100

in. 1260cosin.24

O

O

Md

FdM

in lb 1200 OM

SOLUCIÓN

Parte (b) La fuerza que aplcada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente

SOLUCIÓN

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.2060sinin. 24

F

FFdM

d

O

lb 7.57F

Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces

SOLUCIÓN

in. 42in. lb 1200

in. 42in. lb 1200

F

FFdMO

lb 50F

Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo

SOLUCIÓN

in. 5cos60

in. 5lb 402

in. lb 1200lb 240in. lb 1200

OB

d

dFdMO

in. 10OB

El momento resultante MRo del sistema puede ser determinado sumando simplemente los momentos de todas las fuerzas algebraicamente ya que todos los vectores momento son colineales. Esta suma vectorial puede escribirse en forma simbólica como

MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES

dFORM

Ejemplo 4.3.: Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la barra mostrada en la figura con respecto al punto O

4.3.COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO - FORMULACIÓN VECTORIAL

El momento de la fuerza respecto a O es

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA

BABA

BA

rrrFr

BM

Ejemplo 4.3. La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y por

un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C

El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial

SOLUCIÓN

SOLUCIÓNFrM ACA

kirrr ACAC

m 08.0m 3.0

kji

kji

rr

FFDC

DC

N 128N 69N 120m 5.0

m 32.0m 0.24m 3.0N 200

N 200

1289612008.003.0

kjiM A

Ejemplo 4.3.La torre tiene 100m de altura. La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y AD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero.

TAC=79.59NTAD=89.86N

Ejemplos 4.4.

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN

Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O.

El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL.

El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL

0ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OLM M r F

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA

El momento de una fuerza alrededor de un eje cualquiera es

El resultado es independiente del punto B

/

/

ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B

A B A B

M M r F

r r r

Ejemplo 4.5.

Sobre un cubo de arista a actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P:

(a) con respecto a A,

(b) con respecto a la arista AB.

(c) Con respecto a la diagonal AG

SOLUCIÓN• Moment of P about A,

jiPjiaM

jiPjiPP

jiajaiarPrM

A

AF

AFA

2

222

kjiaPM A

2

• Moment of P about AB,

kjiaPiMiM AAB

2

2aPM AB

La magnitud del momento respecto a AB es

SOLUCIÓN(c) La magnitud del momento respecto a AG es

1116

2312

31

3

aP

kjiaPkjiM

kjiaPM

kjia

kajaiarrMM

AG

A

GA

GA

AAG

6aPM AG

Ejemplo 4.6.

Se aplica una tensión T de intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.

Ejemplo

La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el módulo de la fuerza

Ejemplo 4.7.

La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB

Ejemplo 4.8.

Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.

FIN DE LA CLASE 03a: GRACIASLINKS: http://usuarios.multimania.es/pefeco/prodescalar/producto.htm

PROXIMA CLASE: PRACTICA DE EJERCICIOS Nº3

Estatica - 01

28/04/2023 12:53:21 a. m.

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