estadÍstica (grupo 12 · consideraciones para su determinación 9sólo se estudia en...

CAPÍTULO II.- ANÁLISIS DE UNA CARACTERÍSTICA (DISTRIBUCIONES

UNIDIMENSIONALES)

ESTADÍSTICA (GRUPO 12)

TEMA 6.- MEDIDAS DE FORMA: ASIMETRÍA Y CURTOSIS. MOMENTOS.

DIPLOMATURA EN CIENCIAS EMPRESARIALES

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

2© Antonio Pajares Ruiz

1. LOS MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN.

Concepto

Son un conjunto de valores de la distribución, no necesariamenteobservados, que caracterizan la misma.

Dos distribuciones son iguales si todos sus momentos son iguales y, tanto más parecidas, cuanto mayor número de momentos iguales presenten.

Tipos de momentos

Momentos respecto al origen o momentos ordinarios (ar).

Momentos centrales o respecto a la media (mr).



MOMENTOS RESPECTO AL ORIGEN

Momento respecto al origen de orden r (r = 0, 1, 2, ...):

kri i

i 1r

x na

N=

⋅=∑

k0i i

i 1o

x na

N=

⋅=∑

k1i i

i 11

x na

N=

⋅=∑

k2i i

i 12

x na

N=

⋅=∑

k3i i

i 13

x na

N=

⋅=∑

k4i i

i 14

x na

N=

⋅=∑

Principales momentos respecto al origen

oa 1= 1a x=



MOMENTOS CENTRALES

Momento central o respecto al la media orden r (r = 0, 1, 2, ...):

( )k

r

i ii 1

r

x x nm

N=

− ⋅=∑

( )k

0

i ii 1

0

x x nm

N=

− ⋅=∑ ( )

k1

i ii 1

1

x x nm

N=

− ⋅=∑

( )k

2

i ii 1

2

x x nm

N=

− ⋅=∑

Principales momentos centrales

om 1= 1m 0=

22 xm s=



MOMENTOS CENTRALES

( )k

3

i ii 1

3

x x nm

N=

− ⋅=∑ ( )

k4

i ii 1

4

x x nm

N=

− ⋅=∑

Principales momentos centrales

22 2 1m a a= − 3

3 3 2 1 1m a 3 a a 2 a= − ⋅ ⋅ + ⋅

Relaciones entre los momentos

Cualquier momento central puede expresarse en función de los momentos respecto al origen.

2 44 4 3 1 2 1 1m a 4 a a 6 a a 3 a= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

k2i i

2 2i 1x

x ns x

N=

⋅= −∑


2. LA FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN.

Concepto

Forma de la representación gráfica de la distribución de frecuencias de una variable.

Nuestra pretensión

Determinar diversas medidas o indicadores que cuantifiquen las características más relevantes de la forma de la distribución:

Asimetría:Grado de similitud de las áreas de la representación gráfica de una distribución de frecuencias respecto de un punto cental.

Curtosis:Grado de concentración en torno a los valores centrales de la distribución.


2. LA FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN.Algunas formas habituales de las distribuciones

En forma de J ó L:

En forma de U:

En forma de campana:


3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.Concepto

Una distribución es simétrica si en la representación gráfica de su polígono de frecuencias se puede trazar un eje vertical de tal forma que éste quede dividido en dos partes idénticas, tanto en forma como en superficie.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

aaa

i j i ja x x a; n n− = − =

( )k

i ii 1

x a n 0=

− ⋅ =∑

a x Me= =


Distribución simétrica, campaniforme y unimodal:

Distribución asimétrica a la derecha (ó positiva), campaniforme y unimodal:

Distribución asimétrica a la izquierda (ó negativa), campaniforme y unimodal:

3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.

x Me Mo= =

x Mo 0− ≥x Me Mo≥ ≥

x Mo 0− ≤x Me Mo≤ ≤


3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.MEDIDAS PARA DISTR. CAMPANIFORMES Y UNIMODALES

Coeficiente de Asimetría de Pearson

( )x Mo 3 x Me− ≈ ⋅ −

Px

x MoA

s−

=

Su interpretación:

Viene derivada del signo que presente el numerador.Sus valores:

APROXIMACIÓN( )

Px

3 x MeA

s⋅ −

≈

PA 0> Distrib. asimétrica a la derecha (asimétrica positiva)

PA 0= Distrib. simétrica

PA 0< Distrib. asimétrica a la izquierda (asimétrica negativa)


3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.MEDIDAS PARA DISTRIBUCIONES MÁS GENERALES

Coeficiente de Asimetría de Fisher

( )k

3i i

i 1

3x

x x n

N1 s

g=

− ⋅∑=

31 3

x

mg

s=

FundamentoDeben existir igual número de observaciones inferiores a la media (eje de simetría), que superiores a ésta.

Interpretación de sus valores:

1g 0> Distrib. asimétrica a la derecha (asimétrica positiva)

1g 0= Distrib. simétrica

1g 0< Distrib. asimétrica a la izquierda (asimétrica negativa)



Ej.: Analizar el grado y tipo de asimetría en la distribución de la variable “Número de hijos”, definida sobre un conjunto de 25 personas.

18

16

15

24

63

42

71

30

nixi

Distribución asimétrica a la derecha

0 1 2 3 4 5 6 8

3

21

4

6

ni

En primer lugar, valoramos su representación gráfica:





Procedemos a determinar los pertinentes coeficientes de asimetría, comenzando por el de Pearson:

2346025TOTAL252423222014103Ni

6481865818870

xi·ni

362532541670

xi2 ·ni

16152463427130nixi

Mo 1 hijo=60x 2,4 hijos

25= =

xs 1,8974 h.=2 2x

234s 2,4 3,6

25= − =

PA 0,7379=

Px

x Mo 2,4 1A

s 1,8974− −

= =





Finalmente, calculamos el coeficiente de asimetría de Fisher:

33

1182 234m 3 2,4 2 2,4

25 25= − ⋅ ⋅ + ⋅

33 3 2 1 1m a 3 a a 2 a= − ⋅ ⋅ + ⋅

31 3

x

mg

s=

3m 7,536=

1g 1,1033=

1 3

7,536g

1,8974=

23464362532541670

xi2 ·ni

118260TOTAL

512882161251281623270

xi3 ·ni

665584183827100

xi·nixi



Ej.: Analizar el grado y tipo de asimetría en la distribución de la variable “Altura en centímetros”, definida sobre un conjunto de 15 personas.

En primer lugar, valoramos su representación gráfica:

3190-195

1185-190

1180-185

2175-180

4170-175

2165-170

2160-165

niLi-1 -Li






Seguidamente calculamos el coeficiente de Pearson:

Mo 172,5 cm.=

2652,5x 176,83 cm.

15= =

xs 10,14 cm.=

2 2x

470593,75s 176,83

15= −

PA 0,42=

Px

x MoA

s−

=

153112422ni

470593,752652,5TOTALES577,5187,5182,5355690335325xi·ni

111168,7535156,2533306,2563012,511902556112,552812,5

xi2 ·ni

192,5190-195187,5185-190182,5180-185177,5175-180172,5170-175167,5165-170162,5160-165

xiLi-1 -Li

P

176,83 172,5A

10,14−

=





Finalmente, calculamos el coeficiente de Fisher:

3

3

83767578,13m

15470593,75

3 176,83152 176,83

= −

− ⋅ ⋅ +

+ ⋅

33 3 2 1 1m a 3 a a 2 a= − ⋅ ⋅ + ⋅

33x

m1 s

g =3m 339,41=

1g 0,32=

3339,41

1 10,14g =

470593,75111168,7535156,2533306,2563012,511902556112,552812,5

xi2 ·ni

83767578,1321399984,386591796,8756078390,62511184718,7520531812,59398843,758582031,25

xi3 ·ni

2652,5TOTAL577.5187.5182.5355690335325xi·ni

190-195185-190180-185175-180170-175165-170160-165Li-1 -Li


4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.Concepto

Es el grado de apuntamiento o deformación, en sentido vertical, de la distribución respecto de una distribución tipo.Es el grado de concentración existente en la distribución en la zona central de la misma, respecto de una distribución de referencia.

( )2x x1 i22

ix

1f = e

s 2

−− ⋅

σ⋅⋅ π

Consideraciones para su determinaciónSólo se estudia en distribuciones campaniformes, unimodales y simétricas o moderadamente asimétricas.Trata de analizar la forma de la distribución de frecuencias en la zona donde los valores de la variable se agrupan en torno a la media aritmética.Para describirla, se compara el polígono de frecuencias de la distribución analizada con la representación de una distribución tipo conocida como normal:


4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.

Distribución normal

Distribución apuntada

Distribución aplastada


4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.Coeficiente de Curtosis de Fisher

44x

m3

s=En la distribución normal:

Interpretación de sus valores:

2g 0> Distribución apuntada o leptocúrtica

2g 0= Distribución normal o mesocúrtica

2g 0< Distribución achatada o platicúrtica

( )k

4i i

i 1

4x

x x n

N2 s

g=

− ⋅∑=

42 4

x

mg 3

s= − 2g 2≥ −


4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.

Ej.: Analizar la curtosis en la distribución de la variable “Número de hijos”, definida sobre un conjunto de 25 personas.

Distrib. apuntadao leptocúrtica

Determinamos el coeficiente de curtosis de Fisher:

4

2 4

7086 1182m 4 2,4

25 25234

6 2,4 3 2,425

= − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ − ⋅

4 4 3 1

2 42 1 1

m a 4 a a

6 a a 3 a

= − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ − ⋅

42 4

x

mg 3

s= −

4m 53,5008=

2g 1,1281=2 4

53,5008g 3

1,8974= −

11825122161251281623270

xi3 ·ni

2511126473ni

708623460TOTAL64362532541670

xi2 ·ni

409612966255124866470

xi4 ·ni

8865818870

xi·ni

6543210xi


4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.Ej.: Analizar la curtosis en la distribución de la variable “Altura en centímetros”, definida sobre un conjunto de 15 personas.Para determinar el coeficiente de curtosis de Fisher, procedemos a realizar en primera instancia los cálculos necesarios:

2 44 4 3 1 2 1 1m a 4 a a 6 a a 3 a= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅4

2 4x

mg 3

s= −

83767578,1321399984,386591796,8756078390,62511184718,7520531812.59398843,758582031,25

xi3 ·ni

470593,75111168,7535156,2533306,2563012,511902556112,552812,5

xi2 ·ni

1496067683641194966992123596191411093062891985287578354173765615743063281394580078

xi4 ·ni

2652,5TOTAL577.5187.5182.5355690335325xi·ni

190-195185-190180-185175-180170-175165-170160-165Li-1 -Li


4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.Ej.: Analizar la curtosis en la distribución de la variable “Altura en centímetros”, definida sobre un conjunto de 15 personas.

Calculados los correspondientes momentos, determinamos el coeficiente de curtosis de Fisher:

2 44 4 3 1 2 1 1m a 4 a a 6 a a 3 a= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅4

2 4x

mg 3

s= −

4m 19713,85=4

2 4

14960676836 83767578,13m 4 176,83

15 15470593,75

6 176,83 3 176,8315

= − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ − ⋅

2g 1,14= −2 4

19713,85g 3

10,14= − Distrib. achatada

o platicúrtica

estadÍstica (grupo 12 · consideraciones para su determinación 9sólo se estudia en...

Documents