Ing. Norberto D. ique G.

Estado de deformacin

Introduccin:Cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo slido deformable, esta tiende acambiar el volumen (tamao) y la forma del cuerpo.A estos cambios se les denomina deformacin.Esta deformacin puede ser visible o prcticamente inadvertida si no se empleanequipos apropiados.Si un cuerpo esta sometido afuerzas exteriores alterar su estadode movimiento o se deformar, paraprecisar estas condiciones, seconsideran en el cuerpo de la figurados puntos A y B, separados poruna distancia lo , por efecto de lasfuerzas aplicadas, los puntospasaran a ocupar posiciones talescomo A y B, siendo ahora sudistancia l. El segmento AA es eldesplazamiento del punto A y BB,el de B.

Si la deformacin es igual en todos los puntos del material, se le denominadeformacin homognea. En lo que subsiguiente solo se analizardeformaciones homogneas, dado que las otras conducen a expresionesanalticas muy complejas para ser prcticas.Las deformaciones pueden se elsticas en cuyo caso el cuerpo vuelve a suestado inicial cuando se retiran las fuerzas que actuaban sobre el mismo.Pueden tambin ser plsticas, cuando al retirar las fuerzas quedandeformaciones permanentes en el cuerpo.Interesa tambin distinguir entre aquellas deformaciones que provocancambios de volumen y las responsables del cambio de forma. Las primerasproducen dilatacin o contraccin. Las segundas distorsin.

Es una magnitud vectorial que se usa para medir el movimiento de una partcula opunto de una posicin a otra, por tanto en un slido deformable sus partculasadyacentes pueden desplazarse entre si cuando se aplican fuerzas externas alcuerpo.

La diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos lneas en elcuerpo son una consecuencia de los desplazamientos causados por la deformacin.

Cuando una carga externa ocasiona que el cuerpo se deforme y se mueva entonces asu posicin final, las partculas se desplazarn a las posiciones correspondientes a laspartculas A, B y C.El desplazamiento del punto A esta indicado por el vector (A).Las lneas rectas AB y AC, se convierten en las curvas ABy AC, enconsecuencia, la longitud de AB y AC as como el ngulo , sern diferentes de laslongitudes curvas AB y AC y del ngulo .

Deformacin:El concepto de deformacin unitaria se desarrolla con el objeto de describir ladeformacin por cambios en la longitud de segmentos de lneas y los cambiosen los ngulos entre ellos.

Es el alargamiento contraccin de un segmento de lnea por unidad de longitud.Sea la lnea AB que esta contenidadentro del cuerpo no deformado.La lnea esta situada a lo largo del eje ny tiene una longitud s, durante ladeformacin, los puntos A y B sedesplazarn a los puntos A y B y lalnea recta se convierte en curva conlongitud s el cambio en longitud dela lnea ser:

s - s

sss

prom

Se define a deformacinunitaria normal promedio a:

A medida que el punto B se escoge cada vez mas cercano a punto A, la longitud de la lnea se vuelve cadavez mas corta, de tal modo que s0 , de la misma manera, esto causa que B se aproxime a A, de modoque s0, por consiguiente:La deformacin unitaria normal en el punto A y en la direccin de n en el limite es:

sss

nABprom

lim

Conocida la deformacin unitaria normal, podemos usar esta ecuacin para obtener la longitud finalaproximada de un segmento corto de lnea en la direccin de n, deformado.

Solido sindeformar

Solidodeformado

ss )( 1 ss )( 1Por lo tanto si es positiva, la lnea inicial s se alargar, si no se contraer

Unidades:La deformacin unitaria normal es adimensional, que es unarelacin entre dos longitudes.En el SI : (m/m), (m/m).En el Sistema Ingles: (in/in), (pulg/pulg).En trabajos experimentales: 0.001mm/mm = 0.1%

480(10-6) = 480(10-6) pulg/pulg = 480 m/m = 0.0480%=480.

Es el cambio en el ngulo que ocurre entre dos segmentos de lnea que originalmenteeran perpendiculares entre si.Este ngulo se denota por (gamma) y se mide en radianes.

lim2

tACABnt n

La definicin de deformacinunitaria cortante en el punto Aasociadas con los ejes n y testa dada por:

)(es,2

)(-es,2

Se puede advertir que las deformaciones unitarias normales causan un cambio en elvolumen del elemento rectangular, mientras que las deformaciones unitariascortantes causan el cambio en su forma.

La transformacin de las deformaciones unitarias normales y cortantes de un conjunto de ejes giradosa otro es completamente anloga a la transformacin de los esfuerzos normales y cortantes.El estado de deformacin unitaria plana esta dada por:

Las alteraciones de un elemento causadas por cada una de estas deformaciones se muestran enla figura, en la que se nota que las deformaciones normales son el producto de los cambios delongitud del elemento en las direcciones x e y . Por otro lado la deformacin cortante es elproducto de la rotacin relativa de dos lados adyacentes del elemento.

Por ejemplo, si el elemento que se muestraen la figura se somete a esfuerzo biaxial nosolo se producen deformaciones normales,sino que tambin se tendr una deformacinnormal asociada al eje z .Esto es un caso de esfuerzo plano, perono uno de deformacin plana.En general, a menos que =0, el efectoPoisson evitara la ocurrencia simultanea dedeformacin plana y esfuerzo plano.Asimismo hay que sealar que como elesfuerzo cortante y la deformacin cortanteno son afectados por la razn de Poisson ,una:

condicin de : xz=yz= 0requiere que : xz=yz=0.

Si bien la deformacin plana y el esfuerzo plano tienen cada una tres componentes en elmismo plano, tngase en cuenta que el esfuerzo plano no necesariamente generadeformacin plano o viceversa. Esto se debe al efecto de la razn de Poisson.

Las deformaciones normales son positivas si generan alargamientos a lo largo de los ejescorrespondientes y la deformacion cortante es positiva si el angulo interno AOB resulta menor de 90 ,esta convencion de signos es consistente con lo establecido en el estado de esfuerzo plano, es decirque los esfuerzos positivos del esfuerzo plano ocasionan que el elemento se deforme en lasdirecciones de las deformaciones cortantes positivas, respectivamente-

Para deducir las ecuaciones de transformacin de la deformacin unitaria, el elemento distorsionadopor una deformacin de unitaria cortante positiva se tomar como el mostrado en la figura (a).Si seconocen las deformaciones unitarias x, y y xy asociadas a los ejes xy, y qu, se requiere ladeformacin unitaria extensional a lo largo de algn nuevo eje x.El nuevo sistema de ejes xy, esta relacionado con los ejes xy, como se muestra en la figura (b).

Considerando el punto O fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A causados por lasdeformaciones unitarias impuestas, sobre una base diferente en los dos sistemas coordenados.

El desplazamiento en la direccin x es: A A = xdxEl desplazamiento en la direccin y es: AA = ydy

Considerando que el orden en que esos desplazamientos ocurren es arbitrario, en la figura (b), semuestran primero el desplazamiento AA, luego el AA y finalmente el AA. Proyectando losdesplazamientos en el eje x, se encuentra el desplazamiento del punto A , a lo largo del eje x.

Para la deformacin unitariacortante, suponiendo que ellacausa: El desplazamientohorizontal mostrado en lafigura, AA = xy dy.

Por definicin, x dx en el sistema coordenado xy es tambin alargamiento de OA, se obtiene lasiguiente relacin coscos AAsenAAAAdxx

Sustituyendo las expresiones apropiadas para los desplazamientos y dividiendo entre dx , se tiene:

coscos dxdysendx

dydxdx

xyyxx cos dxdx

sendxdy coscos 22 sensen xyyxx

Esta ecuacin es la expresin bsica para la transformacin de la deformacin unitaria normal enun plano en una direccin arbitraria definida por el eje x. Usando identidades trigonomtricas

22cos12 sen 2

21cos2 sen

222cos22 senxyyxyx

x

Con el fin de completar el estudio de la transformaron de la deformacin unitaria en un punto, debetambin establecerse la transformacin de la deformacin unitaria cortante.El elemento OACB con lados OA y OB dirigidos a lo largo de los ejes x y y, como se muestra en (b).Por definicin, la deformacin unitaria cortante para este elemento es el cambio en el ngulo AOB.De la figura, el cambio en este ngulo es: + .Para deformaciones pequeas, el pequeo ngulo puede determinarse proyectando losdesplazamientos AA,AA y AA sobre una normal a OA y dividiendo esta cantidad entre dx. Al aplicareste enfoque, la tangente del ngulo se supone igual al ngulo mismo. Esto es aceptable ya que lasdeformaciones son pequeas.

costan dxsenAAAAsenAA

sendxdy

dxdysendx

dxxyyx cos

2cos sensen xyyx Por un razonamiento anlogo:

2coscos)( xyyx sen

Como la deformacin unitaria cortante xyde un ngulo incluido entre los ejes xy es + se tiene:

)(coscos)(2 22 sensen xyyxx 2cos2)(2 xyyxx sen

2cos2222 xyyxx sen

Las deformaciones unitarias principales existen sobre planos perpendiculares con las direccionesprincipales p los cules son determinados por la siguiente ecuacin:

yx

xyp 2tan

Las deformaciones principales pueden calcularse con la ecuacin:

222,1 )2()2(2

xyyxyx

Las deformaciones unitarias cortantes mximas en el plano xy se asocian con ejes a 45 respecto de lasdirecciones de las deformaciones unitarias principales. La deformacin unitaria cortante algebraicamentemxima (en el plano xy) esta dada por la siguiente ecuacin:

22max )2()2(2xyyxima

La deformaron unitaria cortante algebraicamente mnima tiene la misma magnitud pero es negativa. Enlas direcciones de la deformacin unitaria cortante mxima, las deformaciones unitarias normalespromedio son:

2yx

promedio

Nota: Las deformaciones unitarias principales y los esfuerzos principales se presentan en las mismasdirecciones.

2''yx

PROBLEMA N 1Un material se distorsiona producto de cargas externas y toma la formapunteada de la figura mostrada. Determinar:(a)Cules son las deformaciones unitarias normales y la deformacinunitaria cortante?(b)Cul es la deformacin unitaria normal a lo largo de la lnea BE?Nota: El material se comporta elsticamente.

PROBLEMA N 2La pieza de caucho es inicialmente rectangular. (a) Determine ladeformacin unitaria cortante promedio si las esquinas B y D estnsometidas a los desplazamientos que ocasionen que el caucho se deformecomo se muestra en la figura con las lneas punteadas.

PROBLEMA N 3Un elemento de un material en deformacin plana experimenta las siguientesdeformaciones, las cuales son ilustradas en la figura como deformaciones deun elemento en deformaciones unitarias.

Determinar:(a). Las deformaciones unitarias para un elemento orientado segn un ngulo = 30.(b). Deformaciones unitarias principales y las direcciones principales.(c). Las deformaciones unitarias cortantes mximas y sus direcciones.(d). Considerando solo las deformaciones unitarias en el plano muestre todos losresultados obtenidos sobre un croquis de un elemento adecuadamente orientado demanera apropiada.(e). Confirme sus resultado de la parte (a) con el circulo de Mohr.

BibliografaBIBLIOGRAFIA(1) Mecnica de slidos. E. P. Popov. 498-502 pags.(2) Mecnica de materiales. R. C. Hibbeler. 69-84 pags.

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