estadistica ii para principiantes2214
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COMPENDIO DE TEMAS ESTADISTICOS PARA ESTUDIANTES ADMINISTRACION PUBLICA TERRITORIAL ESAP PASTOTRANSCRIPT
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TABLA DE CONTENIDOOBJETIVO ..........................................................................................................................................................5
INTRODUCCION ................................................................................................................................................61. TEORIAS DE MUESTRAS .............................................................................................................................7
INTRODUCCION............................................................................................................................................7OBJETIVOS ...................................................................................................................................................7MUESTRA Y MUESTREO .............................................................................................................................7CLASES DE MUESTRAS...............................................................................................................................8DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS...................................................................................................14
2. ESTIMACION POR INTERVALOS ...............................................................................................................26
INTRODUCCION..........................................................................................................................................26TAMAÑO DE UNA MUESTRA .....................................................................................................................31ESTIMACION PARA LA DISTRIBUCION t DE STUDENT ...........................................................................32
3. PRUEBA DE HIPOTESIS .............................................................................................................................37INTRODUCCION..........................................................................................................................................37CLASES DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS...................................................................................................37PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA GRANDES MUESTRAS...........................................................................39PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PEQUEÑAS MUESTRAS.........................................................................44
4. REGRESION Y CORRELACION..................................................................................................................48
INTRODUCCION..........................................................................................................................................48OBJETIVOS .................................................................................................................................................48ECUACION GENERAL DE LA RECTA ........................................................................................................48LA ECUACIÓN LINEAL EN EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS......................................................50COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON ....................................................................................53COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN.........................................................................................................55
5. SERIES DE TIEMPO Y NUMEROS INDICES ..............................................................................................59
INTRODUCCION..........................................................................................................................................59OBJETIVOS .................................................................................................................................................59LAS SERIES DE TIEMPO O CRONOLÓGICAS ..........................................................................................59MOVIMIENTO TOTAL Y MEDIO ..................................................................................................................60INDICADORES.............................................................................................................................................68INDICADORES SIMPLES ............................................................................................................................68APLICACIONES DE LOS NÚMEROS ÍNDICES ..........................................................................................69
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VENTAJAS DE LOS NÚMEROS ÍNDICES ..................................................................................................69INDICADORES DEMOGRAFICOS ..............................................................................................................70INTERPRETACION DE INDICADORES O INDICES ...................................................................................70MORBILIDAD ...............................................................................................................................................76INDICADOR SOCIAL ...................................................................................................................................77INDICADORES COMPUESTOS ..................................................................................................................78ÍNDICE DE LASPEYRES .............................................................................................................................78ÍNDICE DE PASSCHE .................................................................................................................................78ÍNDICE DE FISHER .....................................................................................................................................79CÁLCULO DE ÍNDICES DE LASPEYRES: ..................................................................................................80CÁLCULO DE ÍNDICES PARA PASSCHE:..................................................................................................80CÁLCULO DE INDICES PARA FISHER: .....................................................................................................81
6. PROYECCION DE POBLACIONES .............................................................................................................83
INTERPOLACIÓN ARITMÉTICA..................................................................................................................83EXTRAPOLACIÓN ARITMÉTICA.................................................................................................................84MÉTODOS GEOMÉTRICOS DE PROYECCIÓN.........................................................................................85
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................93
ANEXOS...........................................................................................................................................................94
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OBJETIVOProfundizar en la comprensión de los conceptos y herramientas necesarias para la sistematización einterpretación de datos producto de la investigación en las ciencias sociales.
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INTRODUCCIONEn los últimos tiempos, la estadística inferencial se ha constituido en una herramienta necesaria en el procesode investigación para recopilar, interpretar, analizar, verificar hipótesis y publicar datos en los diferentestrabajos para beneficio personal o comunitario. La estadística inferencial es una asignatura que pertenece enciertos programas a vocacionales y área comercial. El trabajo denominado ESTADISTICA INFERENCIAL estáorientado a estudiantes de Media Vocacional, ciencias naturales, ciencias sociales y otros presentando unproceso pedagógico en el desarrollo de dicho programa siguiendo en orden y en forma didáctica cada uno delos temas del programa.
Las cuatro unidades que conforman el contenido de este trabajo en su orden están: teoría de la probabilidad;variable aleatoria y distribución de probabilidad; introducción a la teoría de muestras; regresión, correlación yseries de tiempo
El proceso metodológico en cada una de las unidades es el siguiente: introducción, desarrollo de contenidos,casos prácticos, talleres de y complemento. Los contenidos parten de conceptos, fórmulas, problemasdesarrollados mediante el uso de tablas, figuras y un proceso matemático para finalizar con el desarrollo deactividades complementarias.
En el proceso de aprendizaje la estadística inferencial está orientada con un criterio interpretativo hacia losfenómenos que se presentan en las diferentes ramas de las ciencias sin pretender formar científicos oinvestigadores, el fin es motivar el espíritu analítico de los estudiantes para una futura formación profesional olaboral. En todo proceso de aprendizaje nunca se llega a un final absoluto, se espera sugerencias para unmejor desarrollo en los contenidos de este trabajo, serán bien recibidas.
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1. TEORIAS DE MUESTRAS
INTRODUCCION
Generalmente cuando se hace estudios de carácter estadístico en algunos casos, éstos pueden tomar todoslos componentes o elementos que conforman una población y en tanto que en otros, se procede a tomar unaparte o tamaño que sea representativa de la población, denominada muestra. Se utiliza una muestra y deesta, sus estadígrafos para inferir hacia una población conformada por parámetros y no la población, debido aque sus costos y tiempo son menores y los resultados son equivalentes. Al tomar una muestra de estudio yque sea representativa de una población se debe hacer una elección a conciencia, para lograr se utilizaprocesos matemáticos.
OBJETIVOS
Al final de la unidad el estudiante:
Reconoce las características del muestreo y enumera en qué casos se puede aplicar. Describe las características del muestreo de cada clase y aplicar en casos reales. Identifica las características de la distribución muestral de medias y calcular sus medidas de tendencia
central y dispersión. Identifica el proceso para estimar parámetros a partir de estadígrafos. Identifica los elementos que intervienen en la elección del tamaño de una muestra.
MUESTRA Y MUESTREO
A un subconjunto de observaciones o eventos, que están relacionados con una investigación que se tomacomo representativa del total de las observaciones o eventos, se denomina muestra. A los diferentes procesoso técnicas que se utilizan para obtener una muestra representativa de una población se denomina muestreo.Se toma una muestra como medio para obtener información sobre un determinado problema relacionado conuna población definida porque:
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Permite analizar con detalle cada unidad de la muestra. Si se destruye, se destruye la muestra y no la población. En caso de una población infinita o finita contable.
La información de una muestra con relación a una población presenta ciertas limitaciones, que son:
La exactitud de una muestra no es absoluta. La información de una muestra es incompleta. En muestras grandes comparadas con la población los costos son iguales.
CLASES DE MUESTRAS
Al proceso de seleccionar una muestra se denomina muestreo, que se divide en dos grupos: aleatorio oprobabilístico y no probabilístico, estos a su vez se subdividen en otros, para mayor comprensión, ver Figura 1
FIGURA 1 clases de muestras
Para el muestreo probabilístico o aleatorio se utiliza diferentes procedimientos estadísticos o matemáticos,que permiten predecir o inferir a partir de una muestra hacia la población de la cual se tomó la muestra,siguiendo diferentes procesos de tal manera que, cada miembro o evento de la población tenga la mismaprobabilidad de ser incluida en la muestra.
Un muestreo no probabilístico tiene ocurrencia cuando el proceso de selección de la muestra se hace sinrecurrir a mecanismos que tengan que ver con la probabilidad o aleatoriedad. En éstas clases de muestras notodos los miembros tienen la misma posibilidad de ser escogidos, por tanto no se utiliza para predecir o inferiracerca de una población.
MUESTREO
ALEATORIO NO ALEATORIO
SIMPLE SISTEMATICO ESTRATIFICADO POR CONGLOMERADOS POR ETAPAS
ACCIDENTALES POR CUOTAS INTENCIONALES
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1. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Y NÚMEROS ALEATORIOS. Al proceso de extraer una muestra detamaño n de una población de tamaño N, de tal manera que todo elemento tenga la misma probabilidad de serseleccionado, se llama muestreo aleatorio simple. Este proceso puede ser con o sin reemplazamiento y el másutilizado es el proceso sin reemplazamiento debido a que sus resultados tienen mayor confiabilidad pararealizar estimaciones en una población. Un procedimiento utilizado para determinar una muestra querealmente sea probabilística o aleatoria, consiste en utilizar la tabla de números aleatorios NA, que son tablasque se pueden programar en una computadora, calculadora de bolsillo o buscar en un libro de estadística, eneste caso se utiliza una tabla de números aleatorios que se encuentra en el Anexo identificada con NA, con elpropósito de seleccionar muestras de trabajo. Al utilizar la tabla NA hay que considerar los siguientes pasos:
Numerar o codificar la población según su número. Definir los dígitos en la tabla según la población. Ubicarse en cualquier punto de la tabla de NA. Una vez definido un punto moverse en cualquier dirección. Descartar los números que se repiten.
EJEMPLO. Considerando una población de 80 estudiantes se desea obtener una muestra por medio de latabla de números aleatorios, de 25 estudiantes para determinar sus correspondientes características y hacerextensivo hacia la población (N = 80 población y n = 25, muestra). Tomando la tabla NA se ubica en el origende la primera fila y columna, allí se encuentra el número 23 formado por dos dígitos que corresponde a losdígitos de la población, partiendo de éste número se hace un recorrido ya sea hacia la derecha o hacia abajo,siguiendo hacia abajo se toma sin repetición los números menores o igual a 80; éstos números se encuentranen la Tabla 1. La Tabla 1 presenta un conjunto de números aleatorios correspondiente al número deestudiantes comprendidos entre 0 y 80 que definen la muestra de la población.
TABLA 1 DATOS ALEATORIOS
DATOS SIN ORDENAR
23 – 05 – 14 - 38 - 11 - 43 - 49 - 36 - 07 - 61 - 31 - 57 - 09 - 72 - 25 - 64 - 10 - 71 - 60 - 37 - 47 - 73 - 32 - 56 - 16
DATOS ORDENADOS
05 - 07 - 09 - 10 - 11 - 14 - 16 - 23 - 25 - 31 - 32 - 36 – 37 - 38 - 43 - 47 - 49 - 56 - 57 - 60 - 61 - 64 - 71 - 72 - 73
Este tipo de muestreo en ciertas ocasiones no es tan difícil de utilizar debido a que la población de estudioestá enumerada con anterioridad.
EJEMPLO. Las casas de una calle o carrera, los alumnos matriculados en una institución educativa, elnúmero de registro de nacimiento en una notaría, etc.
2. MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO. Este método consiste en seleccionar una por una las unidadesde una muestra a partir de una población definida, siguiendo dos pasos importantes:
Primero. Calcular una constante K resultado de dividir el número de elementos de la población por el númerode elementos que formará la muestra.
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K =(n)Muestra(N)Población =
nN
Segundo. Conocido el valor de K elegir aleatoriamente la primera unidad que conformará la muestra, sea A laprimera unidad de la muestra, ésta debe ser mayor o igual que uno y menor o igual que K, 1 A K lasegunda unidad a tomar será, A más una K, la tercera unidad a tomar será A más dos veces K, y así,sucesivamente hasta llegar a tomar la última unidad de la muestra deseada.
A + 0*K Primera unidadA + 1*K Segunda unidadA + 2*K Tercera unida...A + X*K Ultima unidad
En forma general y de acuerdo al proceso anterior se obtiene el tamaño de la muestra que se expresa de lasiguiente manera:
n=Σ(A + X*K), para X = 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
EJEMPLO. Considerando una población de 600 estudiantes, se desea obtener una muestra de 30estudiantes, una vez que se haya enumerado se procede a realizar el cálculo:
Primero
K =30600 = 20
K = 20, valor de la constante
Segundo: elegir la primera unidad de la muestra; sea A=15 que se ha seleccionado aleatoriamente que seencuentra entre 1 y 20
1<A=15<20
15 + 0*20 = 15 Primera unidad.15 + 1*20 = 35 Segunda unidad.15 + 2*20 = 55 Tercera unidad.15 + 3*20 = 75 Cuarta unidad....15 + 29*20 = 595 Ultima unidad.
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Esto indica que de los 600 estudiantes se deben tomar los estudiantes que estén identificados con losnúmeros 15, 35, 55, 75, 95,...,595 y así se obtendrá la muestra deseada.
n = {15, 35, 55, 75, 95, ..., 495}3. MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO. Cuando se va a estudiar una población, en ciertos casos esnecesario fraccionar en subpoblaciones que estadísticamente se conoce como estratos que deben serheterogéneos entre sí y homogéneos entre elementos; además la unión de todos sus estratos forman lapoblación original y la intersección es el vacío Ø.
Si A1, A2, A3, ..., An son partes o estratos de N, así:A1A2A3 ,...,An = Ø Vacío.A1A2A3 ,...,An = N Población original.
Una vez que se obtenga los estratos, sí éstos tienen un número grande de elementos aleatoriamente seselecciona muestras; si esto no sucede se toma cada estrato y se trabaja como una muestra independientepara luego inferir hacia la población.
Se desea hacer un estudio estadístico sobre los salarios con relación al número de personas en una ciudad,para esto hay necesidad de tomar diferentes niveles o estratos de salarios, así el número de personas consalario:
Menor que el mínimo Estrato uno. Igual al mínimo. Estrato dos. Entre el mínimo y más su 50%. Estrato tres. Entre el anterior y más su 100%. . Estrato cuatro. Entre el anterior y más su 150%. Estrato cinco. Entre el anterior y más su 200%. Estrato seis. Entre el anterior y más su 250%. Estrato siete. Entre el anterior y más su 300%. Estrato ocho. Entre el anterior y más su 350%. Estrato nueve. Del anterior en adelante Estrato diez.
La selección de la muestra de cada estrato se puede hacer utilizando el muestreo aleatorio simple, y tomarmuestras proporcionales o no proporcionales.
A.) Muestreo Estratificado proporcional. Las muestras proporcionales son aquellas que se obtienen altomar la misma fracción de muestreo (f) de cada uno de los estratos. Se tiene una población de 5000estudiantes divididos en 6 estratos, tomar una muestra de 500, el resumen del procedimiento se encuentra enla Tabla 2
Para seleccionar una muestra se deben conocer los tamaños de la muestra (n) y población o universo (N) paraobtener la relación llamada fracción de muestreo (f), así:
f =Nn
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f =101
5000500
101f
TABLA 2 MUESTREO ESTRATIFICADO PROPORCIONALESTRATO POBLACION FRACCIÓN. MUESTRA ESTRATO
1 1500 1500*1/10 1502 900 900*1/10 903 800 800*1/10 804 700 700*1/10 705 600 600*1/10 606 500 500*1/10 50
SUMA N = 5000 n = 500
B.) Muestreo Estratificado no proporcional. Las muestras no proporcionales son aquellas que se obtienenal tomar diferentes fracciones de muestreo f en cada estrato. Así; Si se tiene una población (N) de 5000estudiantes distribuidos en 6 estratos (1, 2, 3, 4, 5, 6); tomando los porcentajes 10%, 12%, 14%, 16%, 18% y30% respectivamente para cada estrato, ver Tabla 3
TABLA3 MUESTREO ESTRATIFICADO NO PROPORCIONALESTRATO POBLACION PORCENTAJE. % MUESTRA ESTRATO
1 1500 1500*0.10 1502 900 900*0.12 1083 800 800*0.14 1124 700 700*0.16 1125 600 600*0.18 1086 500 500*0.30 150
SUMA N = 5000 n = 740
4. MUESTREO ALEATORIO POR CONGLOMERADOS. Es un proceso que consiste en elegir aleatoriamenteen primer lugar los conglomerados, subpoblaciones o paquetes de unidades muestrales de una poblaciónoriginal. Si los conglomerados son muy grandes se toma una muestra aleatoria por medio de númerosaleatorios, sistemático o por estratos ya sea proporcional o no, de cada uno de ellos para realizar los estudiospropuestos. En un muestreo por conglomerados debe existir homogeneidad entre conglomerados yheterogeneidad entre elementos de cada conglomerado, paquete o subpoblación; esto hace que sediferencie entre un estrato y conglomerado.
Cuando un conglomerado se hace por sectores geográficos recibe el nombre de muestreo por áreas yconglomerados. Se desea investigar sobre las diferentes características que tienen las familias del sector ruralde clima frío del departamento de Nariño. La primera selección se debe hacer con las zonas de clima frío del
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departamento de Nariño, una vez escogidas las zonas, la segunda selección será las familias motivo deinvestigación para luego inferir hacia la población de clima frío del departamento de Nariño, ver Figura 2
FIGURA 2Muestreo
porconglomerados
En la Figura 2 se encuentran las zonas de investigación que son sectores geográficos de clima frío, tambiénse puede llamar muestreo por áreas y conglomerados. En las zonas del sector rural y especialmente en elclima frío las familias son homogéneas en sus costumbres, alimentación, vestido, fiestas y estilo de casas; sinembargo son heterogéneas individualmente entre familias con relación a la tenencia de tierras, dinero y otras.
5. MUESTREO ALEATORIO POR ETAPAS. Este proceso es una ampliación del muestreo porconglomerados debido a que, puede extenderse formando diferentes etapas hasta llegar a las unidadesmuestrales o miembros de la población, utilizando procesos aleatorios en cada una de las etapas que segúnsu orden llevan nombres específicos: bietápico, trietápico y en general polietápico. Si en una determinadainvestigación se toma una sección geográfica su nombre será, muestreo aleatorio por etapas y áreas.
Figura3
Población original
Primera etapa
Segunda etapa
DEPARTAMENTO DE NARIÑO
ZONAS RURALES DE CLIMA FRIO
FAMILIAS A INVESTIGAR
INFERENCIA
RENDIMIENTO ESCOLAR EN LOS NIÑOS DEL SECTOR URBANO CON POBLACIÓNMAYOR A 200.000 HABITANTES
DEPARTAMENTOS
CIUDADES CON POBLACIONES MAYORO IGUAL A 200.000 HABITANTES
FAMILIAS URBANAS ESCUELAS URBANAS
NIÑOS QUE ESTUDIAN PRIMARIA
INFERENCIA
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Etapa.4
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Suponiendo que en Colombia se desea investigar sobre el rendimiento escolar en los niños que estudianprimaria en las familias del sector urbano, con poblaciones mayores de 200.000 habitantes. Para realizar ésteproceso de una manera fácil sin perder las características de la población objeto, consiste en formar etapas,ver Figura 3. La población motivo es el rendimiento de los niños que estudian primaria del sector urbano enciudades colombianas con más de 200.000 habitantes. En cada etapa se desarrollan actividades específicas:
Primera etapa consiste en seleccionar aleatoriamente los departamentos. Segunda etapa, una vez seleccionado los departamentos, seleccionar aleatoriamente las ciudades con
más de 200.000 habitantes. Tercera etapa tiene dos alternativas, la primera consiste en seleccionar aleatoriamente las familias que de
pronto se dificulta, el segundo y el más adecuado consiste en seleccionar aleatoriamente las escuelasurbanas.
Cuarta etapa, una vez seleccionadas las escuelas, seleccionar aleatoriamente la muestra, niños objeto deestudio de cada escuela, para luego inferir hacia la población motivo de estudio.
DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS
Cuando se estudia las diferentes características de una muestra y cada variable de ella es representada porun número, se denomina distribución de muestras. Entre las diferentes características que se estudian están:la media con relación a una muestra que recibe el nombre de distribución muestral de medias, si pertenece ala mediana será distribución muestral de la mediana o de diferencias, de proporciones, etc.; esto indica queuna distribución lleva el nombre de acuerdo a su estadígrafo utilizado. En estecaso se estudiará la distribuciónmuestral de medias con los temas media aritmética, varianza y desviación estándar a partir de unamuestra objeto.
EJEMPLO. Suponiendo que un estudiante ha obtenido puntajes de 5, 6, 7, 8, 9 y 10, se puede encontrar elnúmero total de muestras de 2 en 2:
A. Ordenadas con reemplazamiento,B. Ordenadas sin reemplazamientoC. No ordenadas sin reemplazamiento.
Tomando la población N = 6 se procede en primer lugar a encontrar la media y la desviación estándarpoblacional con los datos procesados en la Tabla 4
TABLA 4 DATOS PROCESADOSPOBLACION N
Xi
DIFERENCIAXi - μ
DIFERENCIA AL CUADRADO(Xi - μ)2
5 -2.5 6.256 -1.5 2.257 -0.5 0.258 0.5 0.259 1.5 2.2510 2.5 6.25
iX = 45 )-Xi( = 0.0 2)-Xi( = 17.50
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μ =NX i =
645 = 7.5 puntaje medio poblacional.
σ2 =NXi 2)( = 2.92 varianza poblacional.
σ = 2.92 = 1.71 desviación típica poblacional.
MUESTRAS ORDENADAS CON REEMPLAZAMIENTO. En este caso se utiliza una expresión exponencialque tiene como base la población N = 6 y exponente el tamaño de la muestra n=2, el número total demuestras ordenadas están en la Tabla 5
n1 = Nn
n1 = Nn= 62 = 36, muestras tomadas de 2 en 2.
TABLA5 MUESTRAS ORDENADASPARES DE MUESTRAS ORDENADAS CON REEMPLAZAMIENTO
5, 5 6, 5 7, 5 8, 5 9, 5 10, 55, 6 6, 6 7, 6 8, 6 9, 6 10, 65, 7 6, 7 7, 7 8, 7 9, 7 10, 75, 8 6, 8 7, 8 8, 8 9, 8 10, 85, 9 6, 9 7, 9 8, 9 9, 9 10, 95, 10 6,10 7, 10 8, 10 9, 10 10, 10
Tomando los datos de la Tabla 5 permite encontrar las medias muestrales ver Tabla 6. Los datos de la Tabla 6corresponden a las medias de las 36 muestras que van desde 5.0 hasta 10 que permite encontrar la media,varianza y desviación estándar de las medias, ver Tabla 7
TABLA 6 MEDIAS MUESTRALES
PROMEDIOS DE PARES DE MUESTRAS ORDENADAS CON REEMPLAZAMIENTO__X
5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 37,55,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 40,56,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 43,56,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 46,57,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 49,57,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 52,5
37,5 40,5 43,5 46,5 49,5 52,5 270,0
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TABLA 7 DATOS PROCESADOSMEDIA
iX
FRECUENCIAfi
PRODUCTO
iX
*fi
POTENCIA( iX
-μ)2
PRODUCTO( iX
-μ)2*fi
5.0 1 5 6.35 6,255.5 2 11 4.00 8,006.0 3 18 2.25 6,756.5 4 26 1.00 4,007.0 5 35 0.25 1,257.5 6 45 0.00 0,008.0 5 40 0.25 1,258.5 4 34 1.00 4,009.0 3 27 2.25 6,759.5 2 19 4.00 8,00
10.0 1 10 6.25 6,2536 270 52,50
La expresión para calcular la media de medias:
μx =i
ii
nfX
μx =36270 = 7.5, puntaje medio de las medias.
La expresión para calcular la varianza de medias:
σx2 =i
ixi
nfX
2)(
σx2 =36
5.52 = 1.46, Varianza de la media de medias.
La expresión para calcular la desviación típica de medias:
σx =i
xxi
nfX
2)(
σx = 1.46 = 1.21, Desviación típica de medias.
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Se puede observar que entre los resultados de la población y los de la distribución muestral de medias existeuna diferencia y una relación entre sí.
μ = μx = 7.5
σ2 σx2,2.92 1.46
σ σx,1.71 1.21
El primer resultado indica que la media poblacional es igual a la media muestral de medias, en cambio lasvarianzas y las desviaciones son diferentes. Ahora sí, se toma la varianza poblacional y se divide entre lavarianza muestral de medias se obtiene el tamaño de la muestra n.
n.= 2
2
x
n = 2
2
x =
41.192.2 = 2 El tamaño de la muestra n es 2
Para la desviación estándar muestral de medias.
σx =n
σx =n =
271.1 = 1.21
El valor de 1.21 equivale al valor encontrado con los datos de la Tabla 7 mediante procesos largos, el valor de(σx), también es llamado error estándar. Utilizando los datos de la Tabla 7 columnas 1 y 2 se puede llevar alplano cartesiano, ubicando en el eje horizontal y vertical respectivamente, ver Figura 4 denominadohistograma de frecuencias de medias muestrales, que determina una simetría con relación a la media demedias μx = 7.5
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6
7
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5
FIGURA 4 Histograma de frecuencias
MUESTRAS ORDENADAS SIN REEMPLAZAMIENTO. Tomando el total de la población N = 6 y tamaño de lamuestra n = 2, el número de muestras se puede hallar por medio de la expresión que pertenece a unavariación:
n2 = NVn
n2 = 6V2 =)!26(
!6
= 6*5 = 30
n2 = 30 muestras de tamaño 2
TABLA 8 MUESTRAS ORDENADASPARES DE MUESTRAS ORDENADAS SIN REEMPLAZAMIENTO
6, 5 7, 5 8, 5 9, 5 10, 55, 6 7, 6 8, 6 9, 6 10, 65, 7 6, 7 8, 7 9, 7 10, 75, 8 6, 8 7, 8 9, 8 10, 85, 9 6, 9 7, 9 8, 9 10, 95, 10 6,10 7, 10 8, 10 9, 10
Las muestras se encuentran en la Tabla 5 a excepción las que forman la diagonal que está conformada porparejas de elementos iguales, ver Tabla 8. Procesando los datos de la Tabla 8 se obtiene los datos que seencuentran en la Tabla 9. Los datos de la Tabla 9 pertenece a las medias de las 30 muestras que van desde5.5 hasta 9.5 y permite encontrar la media, varianza y desviación estándar de las medias, ver Tabla 10
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TABLA 9 MEDIAS DE MUESTRAS ORDENADAS SIN REEMPLAZAMIENTO
PROMEDIOS DE PARES DE MUESTRAS ORDENADAS SIN REEMPLAZAMIENTO__X
5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 32,55,5 6,5 7,0 7,5 8,0 34,56,0 6,5 7,5 8,0 8,5 36,56,5 7,0 7,5 8,5 9,0 38,57,0 7,5 8,0 8,5 9,5 40,57,5 8,0 8,5 9,0 9,5 42,532,5 34,5 36,5 38,5 40,5 42,5 225,0
TABLA 10 MEDIA DE MUESTRASMEDIA
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FRECUENCIAfi
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PRODUCTO( iX
-μ)2*fi
5.5 2 11 4.00 8.006.0 2 12 2.25 4.506.5 4 26 1.00 4.007.0 4 28 0.25 1.007.5 6 45 0.00 0.008.0 4 32 0.25 1.008.5 4 34 1.00 4.009.0 2 18 2.25 4.009.5 2 19 4.00 8.00
SUMA 30 225 35.00
La expresión para calcular la media de medias es:
μx =i
ii
nfX
μx =i
ii
nfX
= 30225 7.5
μx = 7.5 calificación media de las medias
La expresión para calcular la varianza de medias es:
σx2=i
ixi
nfX
2)(
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σx2 =i
ixi
nfX
2)(
=3035 = 1.17
σx2 = 1.17 Varianza de la media de medias
La expresión para calcular la desviación típica de medias es:
σx =i
xxi
nfX
2)(
σx = 17.1 = 1.08σx = 1.08 desviación típica de medias
Entre los resultados de la población y los de la distribución muestral de medias existe una diferencia y unarelación entre sí.
μ = μx = 7.5
σ2 σx2,2.92 1.17
σ σx,1.71 1.08
De acuerdo a los resultados se puede observar que la media poblacional es igual a la media muestral demedias, en cambio las varianzas y las desviaciones son diferentes. Si se toma la varianza poblacional y sedivide entre la varianza muestral de medias no se obtiene el tamaño de la muestra n, al igual que para
muestras con reemplazamiento. En éste se utiliza un factor de corrección1NnN , para hallar la desviación
típica.
σx =1
*NnN
n
σx =
1626*
271.1 1.08
σx = 1.08
El valor anterior indica la desviación estándar para la media muestral de medias, resultado que también fueencontrado siguiendo los diferentes procesos con los datos de la Tabla 10. Con los datos de la Tabla 10columnas 1 y 2 se puede llevar al plano cartesiano ubicando en el eje horizontal y vertical respectivamente,ver Figura 5 llamado histograma de frecuencias de medias muestrales, que determina una simetría conrelación a la media de medias μx = 7.5
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0
1
2
3
4
5
6
7
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
Figura 5
MUESTRAS NO ORDENADAS SIN REEMPLAZAMIENTO. Este es uno de los procedimientos más usadosen la distribución muestral de medias, en estos casos se utiliza una combinatoria de N tomados de n en n,dando como resultado un número de muestras n3. Para N = 6 y n = 2 será:
n3 = NCn
n3 = !2)!26(
!6 15
n3 = 15, muestras no ordenadas sin reemplazamiento.
Estas muestras se encuentran en la Tabla 5 a excepción las que pertenecen a la diagonal, dada por parejasde elementos iguales y las que están sobre o bajo ésta diagonal, ver Tabla 11
TABLA 11 MUESTRASPARES DE MUESTRAS NO ORDENADAS SIN REEMPLAZAMIENTO
5, 65, 7 6, 75, 8 6, 8 7, 85, 9 6, 9 7, 9 8, 95, 10 6,10 7, 10 8, 10 9, 10
Procesando los datos de la Tabla 11 se obtiene los datos que se encuentran en la Tabla 12. Los datos de laTabla 12 pertenece a las medias de las 15 muestras que van desde 5.5 hasta 9.5 que permite encontrar lamedia, varianza y desviación estándar de las medias, ver Tabla 13
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TABLA 12 MUESTRAS ORDENADAS
PROMEDIOS DE PARES DE MEDIAS MUESTRAS NO ORDENADAS SIN REEMPLAZAMIENTO__X
5,5 5,56,0 6,5 12,56,5 7,0 7,5 21,07,0 7,5 8,0 8,5 31,07,5 8,0 8,5 9,0 9,5 42,532,5 29,0 24,0 17,5 9,5 0,0 112,5
La expresión para calcular la media de medias es:
μx =i
ii
nfX
μx = 15
5.112 7.5
μx = 7.5 calificación media de las medias
TABLA 13 DATOS PROCESADOSMEDIA
iX
FRECUENCIAfi
PRODUCTO
iX
*fi
POTENCIA( iX
- x )2
PRODUCTO( iX
- x )2*fi
5.5 1 5.5 4.00 4.006.0 1 6.0 2.25 2.256.5 2 13.0 1.00 2.007.0 2 14.0 0.25 0.507.5 3 22.5 0.00 0.008.0 2 16.0 0.25 0.508.5 2 17.0 1.00 2.009.0 1 9.0 2.25 2.259.5 1 9.5 4.00 4.00
n=15
ii fX =112.5 ixi fX 2)(
=17.50
La expresión para calcular la varianza de medias es:
σx2 =i
ixi
nfX
2)(
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σx2 =15
5.17 = 1.17
σx2 = 1.17 varianza de la media de medias
La expresión para calcular la desviación típica de medias es:
σx =
ixi fX 2)(
σx = 17.1 = 1.08σx = 1.08 desviación típica de medias
Como se puede observar entre los resultados de la población y los de la distribución muestral de mediasexisten una diferencia y una relación entre sí.
μ = μx = 7.5
σ2 σx2,2.92 1.17
σ σx,1.71 1.08
En donde la media poblacional es igual a la media muestral de medias, en cambio las varianzas y lasdesviaciones son diferentes. Si se toma la varianza poblacional y se divide entre la varianza muestral demedias no se obtiene el tamaño de la muestra n, al igual que para muestras con reemplazamiento. En éstecaso, hay que utilizar un factor de corrección para hallar la desviación típica.
σx =1
*NnN
n
σx =1626*
271.1
= 1.08
σx = 1.08
Corresponde a la desviación estándar para la media muestral de medias, resultado que también fueencontrado siguiendo los diferentes procesos con los datos de la tabla 10. Utilizando los datos de la Tabla 13columnas 1 y 2 se puede llevar al plano cartesiano ubicando en el eje horizontal y vertical respectivamente,ver Figura 6 llamado histograma de frecuencias de medias muestrales que determina una simetría conrelación a la media de medias μx = 7.5
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0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
5 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 Xi
FIGURA .6 Histograma de frecuencias
Según la Figura 4, 5 y 6 junto con la Tabla 7, 10 y 13 permiten determinar con exactitud la población para cadavalor de las medias muestrales, en donde su máxima probabilidad para obtener un promedio es igual al valordado, así: para μx = 7.5, será:
P(
X = 7.5) =366 = 0.167 = 16.7%
Esto indica que el 16.7% es la probabilidad para obtener 7.5 en un muestreo ordenado con reemplazamiento.
P(
X = 7.5) =306
= 0.20 = 20%
El 20% indica la probabilidad para obtener 7.5 en un muestreo ordenado sin reemplazamiento.
P(X = 7.5) =156 = 0.40 = 40%
La probabilidad de obtener 7.5 de acuerdo a las tres muestras tiene ventaja, cuando las muestras sonpequeñas o se toma un muestreo no ordenado sin reemplazamiento.
TALLER 1:
1. Tú puedes formar muestras de 24, 40, 50 y 60 estudiantes de una población de 600; utilizando el de unmuestreo aleatorio sistemático; primero para A=8 y segundo para A=6.
2. Tú puedes realizar un muestreo estratificado proporcional para las muestras de:
A. 1480B. 1850,C. 2220D. 2960;
Con una población de 7400 habitantes que está distribuida en 6 estratos; así:
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ESTRATO HABITANTES0 30001 20002 10003 8004 4005 200
3. Tú puedes realizar un muestreo estratificado no proporcional bajo las siguientes condiciones:
Estrato Habitantes %0 3000 5%1 2000 10%2 1000 15%3 800 20%4 400 22%5 200 28%
4. Tú puedes averiguar en las oficinas donde trabajas como están distribuidos los sueldos de lostrabajadores, cuántos estratos se pueden formar? y qué población tiene cada uno de ellos?.
5. Tú puedes idear cinco casos en donde puedas realizar un muestreo por conglomerados con o sin áreas.6. Tú puedes consultar cuatro casos en donde se pueda hacer investigación por medio de un muestreo por
etapas especificando cada una de ellas.
7. Tú puedes obtener muestras utilizando los números de las caras de un dado en dos lanzamientos, yhallar:
A. Total de muestras ordenadas con reemplazamiento.B. Número de muestras ordenadas sin reemplazamiento.C. Número de muestras no ordenadas sin reemplazamiento.D. Parámetros poblacionales media y desviación típica.E. Elaborar las gráficas en cada uno de los casos
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2. ESTIMACION PORINTERVALOS
INTRODUCCION
Estimación es un proceso que permite calcular con base en los datos de una muestra llamados estadígrafos,los datos de la población llamados parámetros. Algunos estadígrafos muestrales están la media, varianza ydesviación típica; entre los parámetros poblacionales están la media, varianza y desviación típica. Lasestimaciones se hacen por medio de reglas generales que a su vez se convierten en fórmulas que facilitan elcálculo de los parámetros, basados en datos muestrales, que llevan el nombre de estimadores, pueden serinsesgados y sesgados. Los estimadores son insesgados cuando el valor de la media muestral (estadígrafo),es igual al valor esperado de la media poblacional (parámetro), si esto no sucede se llama sesgado. Losparámetros se pueden tomar con relación a la media, mediana y moda; en éste trabajo se toma únicamentecon relación a la media muestral. Todo lo expresado se puede resumir en la Figura 1
ESTIMACIÓN POR PUNTOS E INTERVALOS. La estimación puede ser puntual o por intervalos, puntualcuando se obtiene un sólo número como resultado que representa el valor aproximado de un parámetro.
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FIGURA 1 proceso de estimación
Un caso puntual puede. Ser si la media muestral es 57.6 kg entonces la media poblacional es de 57.6 kg o sila desviación estándar muestral es 3.25 cm, entonces, la desviación estándar poblacional es 3.25 cm.
Por intervalo, cuando el número que representa a un parámetro se encuentra comprendido entre dosnúmeros y se denomina intervalo de confianza. En un determinado trabajo de investigación se encontró que:a) la estatura media de los alumnos del grado once está entre 158.5 y 162.5 cm, b) su edad media está entre16 y 20 años. Estos intervalos dan origen a un valor probabilístico donde se encuentra el verdadero parámetrollamado nivel de confianza y se expresa en tanto por ciento para cualquier parámetro; su cálculo se puedetomar como modelo para la media poblacional (μ) para una población infinita o muestreo con reemplazamientoen una población finita:
P(
X - Zn < μ <
X + Zn )
Dónde: Z es llamado coeficiente de confianza o valor crítico que se lo encuentra en tablas estadísticas deacuerdo a cada distribución de probabilidad utilizada para dicho trabajo.
Si la población es finita de tamaño N o el muestreo se hace sin reemplazamiento hay que multiplicar ladesviación estándar por el factor de corrección, así:
P(
X - Zn *
1NnN < μ <
X + Zn *
1NnN )
ESTIMACIÓN PARA UNA POBLACIÓN FINITA. También llamado muestreo sin reemplazamiento en unapoblación N. Tomando las medias y la desviación estándar según los datos de la Tabla 11 se puede hacer unaestimación por intervalos para la media poblacional (μ) para cada valor de la media, tomando un nivel de
POBLACION
MUESTRA
ESTADIGRAFO
PARAMETRO
ESTI
MACION
Proceso aleatorio
Proceso matemático
Estimadores (fórmulas)
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confianza del: 90%, 95% y 99%; el restante porcentaje que falta 10%, 5% y 1% respectivamente se denominanivel de riesgo o significación.
Para un nivel confianza = 90% hay un nivel de riesgo = 10% Nivel de confianza + nivel de riesgo = 100% Si se tiene: μx = 7.5, n = 2, σx = 1.08, N = 6, n3 = 15
Como las muestras son no ordenadas y sin reemplazamiento, hay necesidad de utilizar el factor de correcciónpara poblaciones finitas y definir el intervalo de confianza, que está dado por:
X - Zn *
1NnN < μ <
X + Zn *
1NnN
En la expresión anterior el único dato desconocido es el de Z, llamado coeficiente de confianza o valor críticoque se halla en la tabla VC conociendo el valor del área bajo la curva Normal, ver Anexo 5, que para el 90% lecorresponde: Z = 1.645
O tomando el porcentaje dado, pasar a decimales y dividir en dos partes y se utiliza para buscar Z en la tablaNormal o sea, en sentido contrario a procesos anteriores para el 90% corresponde:
2%90 = 45% = 0.45
El 0.45 aproximadamente en la tabla Normal se encuentra entre 0.4495 y 0.4505 que le corresponde valorespara Z, de 1.64 y 1.65 respectivamente, el promedio de estos corresponde al valor de Z=1.645 que se hallaubicado en la Figura 4.2. Área = 0.45
Mediante el mismo procedimiento se puede encontrar Z para 95% y representar en la Figura 3
-1.64 0 1.64 ZFIGURA 2 Ubicación de Z para 90%
0.45 0.450.05 0.05
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Z = 1.96 Z = -1.96 Área = 0.475
Mediante el mismo procedimiento se puede encontrar Z para 99% y representar en la Figura 4
Z = 2.58 Z = -2.58
El proceso para obtener cada intervalo correspondiente a las columnas tres, cuatro y cinco de la Tabla 1 es:
Para el 90%,
X = 5.5, Z = 1.64 y σx = 1.08 será:
-1.96 0 1.96 ZFIGURA 3 Ubicación de Z para 95%
0.475 0.4750.025 0.025
5
-2.58 0 2.58 ZFIGURA 4 Ubicación de Z para 99%
0.495 0.4950.0050.005
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X - Z*n *
1NnN < μ <
X + Z*n *
1NnN
5.5 - 1.64*1.08 < μ < 5.5 + 1.64*1.08
Límite inferior 3.73 < μ < 7.27 Límite superior
Para el 95%,
X = 5.5, Z = 1.96 y σx = 1.08 será:
X - Z*n *
1NnN < μ <
X + Z*n *
1NnN
5.5 - 1.96*1.08 < μ < 5.5 + 1.96*1.08Límite inferior 3.38 < μ < 7.62 Límite superior
Para el 99%,
X = 5.5, Z = 2.58 y σx = 1.08 será:
X - Z*n *
1NnN < μ <
X + Z*n *
1NnN
5.5 - 2.58*1.08 < μ < 5.5 + 2.58*1.08Límite inferior 2.71 < μ < 8.29 Límite superior.
Por medio de procesos similares se puede completar la Tabla 1 para las columnas 3, 4 y 5. Según la Tabla 1se puede observar, que para diferentes niveles de confianza se presentan diferentes intervalos de confianzapara un mismo valor de la media poblacional que se encuentra en la primera columna de esta tabla. Entre másamplio sea el intervalo, existe mayor confianza que el parámetro estimado se encuentre allí, esto también lodemuestra la Figuras 2, 3 y 4
TABLA 1 NIVEL DE CONFIANZA
X fi
NIVEL DE CONFIANZA90% 95% 99%
5.5 1 3.73< μ <7.27 3.38< μ <7.62 2.71<μ <8.296.0 1 4.23< μ <7.77 3.88< μ <8.12 3.21<μ <8.796.5 2 4.73< μ <8.27 4.38< μ <8.62 3.71<μ <9.297.0 2 5.53< μ <8.77 4.88< μ <9.13 4.21<μ <9.797.5 3 5.73< μ <9.27 5.38< μ <9.62 4.71<μ <10.298.0 2 6.23< μ <9.77 5.88< μ <10.12 5.21<μ <10.798.5 2 6.73< μ <10.27 6.38< μ <10.62 5.71<μ <11.299.0 1 7.23< μ <10.77 6.88< μ <11.12 6.21<μ <11.7910 1 7.73< μ <11.27 7.38< μ <11.62 6.71<μ <12.29
ESTIMACIÓN PARA UNA POBLACIÓN INFINITA. También se denomina muestreo con reemplazamiento enuna población finita, por ejemplo en una muestra de 40 estudiantes se encontró la estatura media igual a152.1 Cm y una desviación estándar de 5.78 Cm. Hallar el intervalo de confianza para estimar la mediapoblacional con un nivel de confianza del 90%.
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Como en éste caso no se conoce la desviación típica poblacional y la muestra es mayor de 30 elementos, sepuede tomar la desviación muestral equivalente a la media poblacional, mediante la siguiente relación:
σx =nS
σx =nS =
4078.5 = 0.91
Utilizando la tabla VC del Anexo 5, para el 90% le corresponde a Z un valor de 1.65 que reemplazando en laexpresión correspondiente será:
X - Z*σx < μ <
X + Z*σx152.1 - 1.65*0.91 < μ < 152.1 + 1.65*0.91152.1 - 1.50 < μ < 152.1 + 1.50
Límite inferior. 150.6 < μ < 153.6 Límite superior
O sea que la estatura media poblacional de los 40 estudiantes se encuentra entre 150.6 y 153.6 Cm. Cuandose considera que la media, varianza y desviación estándar muestral equivale a la media, varianza y desviaciónestándar poblacional; se está haciendo una estimación puntual para diferentes parámetros. Si se desea haceruna estimación puntual de la desviación típica poblacional se utiliza la siguiente expresión:
σ =1
)( 2
nXX
σ =1nn * S
Al hacer una estimación para la desviación estándar poblacional y comparar con las desviaciones estándarmuestral se encuentra que la poblacional es mayor, debido a que la muestral abarca una parte de lapoblación.
TAMAÑO DE UNA MUESTRA
En ciertos casos es necesario conocer el tamaño de la muestra n a seleccionar de una población (N) deacuerdo al nivel de confianza definido, que da origen a un coeficiente de confianza Z. El tamaño de unamuestra depende de la población: si es infinita o finita y se hace un muestreo con reemplazamiento; finitacuando se hace un muestreo sin reemplazamiento, infinita lo contrario
PARA UNA POBLACIÓN INFINITA. También se denomina muestreo con reemplazamiento en una poblaciónfinita, sea (N) una determinada población de la cual se desea obtener una muestra (n) con unas condicionesespecíficas para el nivel de confianza, desviación estándar poblacional y error del estimador (E) utilizando ladistribución Normal, se tiene la siguiente fórmula:
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n = 2
2*
2
EZ
Dónde:
E =
X - μ, Error del estimador.n = Tamaño de la muestra.Z = Valor crítico que lo da la tabla normal.σ = Desviación estándar poblacional.
Sea (N) una población infinita de estudiantes, se desea obtener una muestra de tamaño (n) bajo las siguientescondiciones: nivel de confianza del 95%, desviación estándar poblacional 6 kg, error de estimación E = 2
Para el nivel de confianza de 95% según la tabla VC del Anexo 5 o según la tabla Normal le corresponde Z =1.96
n =2
22
E*Z =
2
22
26*(1.96) = 34.6 = 35
El tamaño de la muestra de acuerdo a las condiciones dadas debe ser 35 estudiantes aproximadamente, enéste caso directamente no influye el tamaño de la población.
PARA UNA POBLACIÓN FINITA. También se denominado muestreo sin reemplazamiento se utiliza cuandose desea obtener una muestra de tamaño n de una población (N), en este proceso se tiene en cuenta eltamaño (N) de la población mediante la siguiente fórmula:
n =2
*2
*2
*2
*2
)1( ZNENZ
Considerando los datos: nivel de confianza 95% o sea Z = 1.96 para una población de 650 estudiantes, sedesea hallar el tamaño de la muestra n, considerando un muestreo sin reemplazamiento.
n =2
*2
*2
*2
*2
)1( ZNENZ
=222
22
6*)96.1()1650(2650*6*)96.1(
= 32.87 = 33
De acuerdo a éstas condiciones el tamaño de la muestra debe ser de aproximadamente 33 estudiantes.
ESTIMACION PARA LA DISTRIBUCION t DE STUDENT
Para la estimación de pequeñas muestras en este trabajo se ha tomado la distribución t de Student, debido aque sus gráficas tienen una similitud con la curva Normal en lo relacionado a su simetría con el eje vertical. Seconsidera muestras pequeñas aquellas que tienen un número menor o igual a 30 elementos. Esta distribucióna diferencia de la distribución Normal, presenta un conjunto de curvas que tienen simetría entre sí y varían dealtura según como varía el tamaño de la muestra y grados de libertad tomados de la misma población, Figura5. Además éstas curvas encierran un área igual a la unidad o sea, la probabilidad es de 1 o 100%.
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FIGURA 5 Familia de curvas
En la distribución t de Student se denomina grados de libertad GL al tamaño de la muestra menos la unidad,indicando el número de variables independientes después de haber seleccionado una de ellas.
Grados de libertad = Tamaño de la muestra - uno.GL = n - 1
Gosset, a principios del siglo XIX hizo análisis sobre diferentes muestras tomadas de una misma población detamaño N y al buscar los diferentes estadígrafos concluyó en:
A medida que disminuye el tamaño de la muestra, la desviación estándar se hace cada vez mayor. En las curvas para pequeñas muestras y entre menor sea su área se distribuye más homogéneamente.
Estos resultados y otros fueron dados a conocer por el autor, con el seudónimo de Student, de allí que susdistribuciones teóricas de probabilidad se conocen como distribuciones t de Student con (n-1) grados delibertad, donde la variable t se denomina valor crítico de prueba o estadígrafo de prueba, que permite tomaruna decisión en la prueba de hipótesis y su cálculo se hace por medio de la siguiente expresión:
t =x
iX
Dónde:
ERROR ESTÁNDAR DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL
σx =n
σ =1nn *S
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Por lo tanto t, también se puede calcular con:
t =SX i
* 1n
A continuación no se utilizará la expresión para hallar t, a cambio de esto, t se tomará de tabla T, ver Anexo 6,para hallar su correspondiente valor y definir el intervalo de confianza según sea su nivel de confianza, queestá expresado en porcentaje o decimales que corresponde a una probabilidad.
El procedimiento para hallar t, es similar al utilizado para hallar Z en la tabla Normal, con una diferencia, queahora, se utiliza la tabla T que depende del nivel de confianza y los grados de libertad, ver Anexo 6. Elintervalo de confianza para estimar el parámetro llamado media poblacional se expresa de la siguientemanera:
iX
- t*σx < μ < iX
+ t*σx
Se desea hallar el intervalo de confianza para la media poblacional relacionado con el peso, para un nivel deconfianza del 90%, cuando se ha tomado una muestra de 10 estudiantes que se ha obtenido los siguientesdatos (estadígrafos):
Peso medio o media muestral de 56.69 kg. Desviación estándar muestral de 9.35 kg.
Para hallar t en la tabla T se necesita conocer los grados de libertad y el nivel de confianza. Los grados delibertad para n = 10, será:
GL = n -1 = 10 – 1 GL = 990% = 0.90 = Nivel de confianza.100% - 90% = 10% = 0.10 = Nivel de riesgo.
Como el nivel de riesgo se halla repartido en los extremos de cada cola, le corresponde en cada lado la mitaddel nivel de riesgo. Si el nivel de riesgo es 10% a cada cola le corresponde el 5% = 0.05, ver Figura 6
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Según la Figura 6 el área bajo la curva que abarca t hacia la izquierda es 0.90 + 0.05 = 0.95, que esequivalente al área que se extiende hacia la derecha de -t. Con los valores de las áreas y los grados delibertad, se utiliza la tabla T del Anexo 6 para encontrar t, de la siguiente manera:
En la primera columna se busca los grados de libertad GL=9, de allí se sigue horizontalmente hasta coincidircon la columna encabezada por 0.95, en la intersección de ésta fila y columna se encuentra el valor de: t =1.83. Otro dato necesario es el error estándar (σx).
σx =110
35.91
nS = 3.12
Con éstos datos se puede hallar el intervalo de confianza para estimar la media poblacional (μ), así:
X - t*σx < μ <
X + t*σx
56.69 - 1.83*3.12 < μ < 56.69 + 1.83*3.1256.69 - 5.71 < μ < 56.69 + 5.7150.98 < μ < 62.40
El verdadero valor de la media poblacional se encuentra entre 50.98 y 62.40 kg, llamados límites inferior ysuperior respectivamente.
Si se toma el problema con una distribución Normal, también se puede calcular el intervalo de confianza,haciendo el cambio de t por Z, que según la tabla VC del Anexo y el nivel de confianza del 90% le correspondea Z el valor 1.65 para utilizar la siguiente expresión.
X - Z*σx < μ <
X - Z*σx
56.69 - 1.65*3.12 < μ < 56.69 + 1.65*3.1256.69 - 5.15 < μ < 56.69 + 5.1551.54 < μ < 61.84
-t 0 tFIGURA 6 Ubicación del nivel de riesgo
90% 90%0.05 0.05
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O sea, utilizando la distribución Normal en una estimación por intervalos, la media poblacional estácomprendida entre 51.54 y 61.84 kg.
Entre la distribución Normal y t de Student presentan intervalos de diferente amplitud, siendo mayor elcorrespondiente a t de Student, por tanto el de mayor confianza y el que realmente se debe utilizar enmuestras pequeñas, debido a que el área bajo éstas curvas se hace más homogénea y el intervalo es demayor amplitud.
TALLER 2:
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3. PRUEBA DE HIPOTESISINTRODUCCION
Las hipótesis estadísticas son aquellos supuestos que tratan acerca de la naturaleza de un fenómeno oproblema social surgido por la experimentación o/y cuasi experimentación, que puede ser o no cierto, queademás están relacionadas con una distribución de frecuencias. Estas hipótesis miden la variación de larelación afirma, que están relacionadas con valores, magnitudes, propiedades, características y cualidades deun tema de trabajo.
En sucesos que se repiten con cierta frecuencia. En variables que entre sí, guardan relación de asociación. En sucesos que están relacionados con el tiempo. Cuando una variable está en relación directa con otras. En sucesos que están en relación de mayor o menor.
En todo trabajo de investigación que sea descriptivo, durante su planeación se formulan hipótesis de trabajo,que al final se evalúan o se hace una prueba de hipótesis que significa aceptar o rechazar la hipótesisplanteada en la planeación con el propósito de tomar una decisión acerca de un suceso o una muestraestadística. Cuando se acepta o se rechaza una hipótesis no significa fin de la investigación, al contrario enese momento se amplía el trabajo. Si después de haber pasado por diferentes pruebas se rechaza, entonceshay necesidad de volver a realizar una nueva investigación para detectar el error cometido; si esto no sucede,entonces habrá aportado nuevos senderos a la ciencia y a futuras investigaciones en las diferentesasignaturas.
CLASES DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS
Cuando se ha estimado un parámetro y se desea saber, si es aceptado o rechazado es necesario formulardos hipótesis: la primera se denomina nula (Hn) y la segunda de alternativa (Ha).
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La hipótesis nula, es un supuesto que se hace con el propósito de verificar si el parámetro estimado serechaza o se acepta, buscando si existe o no diferencia significativa entre el valor del verdadero parámetro yotro supuesto.
La hipótesis alternativa, es un supuesto que se hace sobre un parámetro estimado, afirmando que sí o nopresenta diferencia significativa entre el verdadero parámetro y otro supuesto
En un proceso de prueba de hipótesis se pueden presentar dos casos que están relacionados con la hipótesisnula.
Si se acepta la hipótesis nula, entonces se rechaza la hipótesis alternativa. Si se rechaza la hipótesis nula, entonces se acepta la hipótesis alternativa.
Cuando se rechaza o se acepta una hipótesis nula se pueden presentar varias alternativas, que son:
Si la hipótesis nula Hn, es verdadera y mediante procesos estadísticos lógicos se acepta, entonces laconclusión sobre dicha hipótesis es correcta.
Si la hipótesis nula Hn, es falsa y mediante procesos estadísticos lógicos se llega a rechazar, entoncesla conclusión sobre dicha hipótesis es correcta.
Si la hipótesis nula Hn, es verdadera y mediante procesos estadísticos lógicos se llega a rechazar,entonces se ha cometido un error, llamado error estadístico tipo I.
Si la hipótesis nula Hn, es falsa y mediante procesos estadísticos lógicos se acepta, entonces se hacometido un error, llamado error estadístico tipo II.
Cuando se ha cometido los errores estadísticos tipo I y II, siempre se llega a conclusiones que son incorrectaso inadecuadas en cada parámetro estimado. En una prueba de hipótesis estadísticas se puede utilizardiferentes procedimientos tanto para grandes o pequeñas muestras, utilizando las diferentes distribucionesespecíficas.
Se llama hipótesis de trabajo a la hipótesis nula y está relacionada con el parámetro estimado, que permitedefinir, si se rechaza o acepta la hipótesis alternativa presentándose tres casos.
Prueba unilateral derecha o de una cola.
Hn, μ = μn Para la hipótesis nula o de trabajo.Ha, μ > μn Para la hipótesis alternativa.
Si Z2 < Z1 Se acepta la hipótesis nula Hn.Si Z2 > Z1 Se rechaza la hipótesis nula Hn.
Prueba unilateral izquierda o de una cola.
Hn, μ = μn Para la hipótesis nula de trabajo.Ha, μ < μn Para la hipótesis alternativa.
Si Z2 > Z1 Se acepta la hipótesis nula Hn.Si Z2 < Z1 Se rechaza la hipótesis nula Hn.
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Prueba bilateral o de dos colas.
Hn μ = μn Para la hipótesis nula o de trabajo.Ha μ μn Para la hipótesis alternativa.
Si -Z1 < Z2 < Z1 Se acepta la hipótesis nula Hn.Si -Z2 < Z1 < Z2 Se rechaza la hipótesis nula Hn.
Donde (μ) corresponde a un valor supuesto a probar con relación a otro tomado como patrón (μn). Si sedesea probar que la media de edades en una muestra de 50 estudiantes es 18.5 y no difiere significativamentede la media poblacional 22.7, con un nivel de confianza del 90%.
Si la Hipótesis nula Hn corresponde a μ = X = 18.5, que corresponde al valor que se desea demostrar, lahipótesis alternativa puede tomar tres casos:
Hn (μ =
X ) < 22.7 Lateral izquierda
Hn (μ =
X ) > 22.7 Lateral derecha
Hn (μ =
X ) 22.7 Bilateral
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA GRANDES MUESTRAS
Los conceptos anteriores pueden ser aplicados tanto para pequeñas y grandes muestras, simplemente sediferencia en el tamaño de la muestra y su valor crítico. En una muestra de 40 estudiantes, se obtuvo que laestatura media es de 150.5 Cm y una desviación estándar de 5.78 Cm, si se toma un nivel de confianza de90%. Comprobar si el valor de la media muestral difiere significativamente de su media poblacional de 152.1Cm.
Prueba unilateral izquierda
Hipótesis nula, la media muestral de 150.5 Cm no presenta diferencia significativa con relación a la mediapoblacional de 152.1 Cm, o sea, son equivalentes.
Hn μ = 152.1
Hipótesis alternativa, la media muestral de 150.5 Cm presenta diferencia significativa con relación a lamedia poblacional de 152.1 Cm, o sea:
Ha μ < 152.1
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FIGURA 1 Ubicación de Z1
Como el nivel de confianza es de 90%, entonces el de riesgo será el 10%, ahora tomando la distribuciónNormal y su correspondiente tabla se calcula el valor crítico Z que según tabla le corresponde un valor Z1 =1.645, que graficando se tiene la Figura 1
Para calcular el valor crítico de prueba Z2, llamado estadígrafo de prueba se utiliza la siguiente expresión:
Z2 = 1*
nSX
Z2 = 140*78.5
1.1515.150
= -1.73
Z2 = -1.73
Para comparar los valores de Z1 y Z2 gráfica y analíticamente, se tiene, ver Figura 2
0.50.450.05
Z1= -1.65 0 Z
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Según la Figura 2, se puede interpretar y tomar una decisión que depende de donde se halle el valor Z2, si seencuentra en la zona de rechazo, entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa, en éstecaso el valor de Z2 se halla en la zona de rechazo, entonces se puede afirmar que la estatura media no esrepresentativa de media poblacional.
Z2 < Z1-1.73 < -1.65
Prueba unilateral derecha.
Suponiendo ahora que la media muestral es de 152.1 Cm y la media poblacional es de 150.5 Cm y desviaciónestándar de 5.78 Cm para un nivel de confianza del 90%. Entonces:
Hipótesis nula, la media muestral de 152.1 Cm, no presenta diferencia significativa con relación a la mediapoblacional de 150.5 Cm o sea que la media muestral es equivalente a la media poblacional:Hn μ = 150.5
Hipótesis alternativa, la media muestral de 152.1 Cm con relación a la media poblacional de 150.5 Cm sipresenta una diferencia significativa:Ha μ > 150.5
Como el nivel de confianza es del 90%, entonces el de riesgo será del 10%, tomando la distribución Normal ysu correspondiente tabla, el valor crítico Z le corresponde un valor Z1 = 1.645, ver Figura 3, es positivo debidoa que la hipótesis alternativa afirma que μ > 150.5
Z2 Z1 ZFigura 2
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Calcular el valor crítico de prueba Z2:
Z2 = 1* nSX
Z2 = 140*78.5
5.1501.152
= 1.73
Z2 = 1.73
Ahora comparar los valores de Z1 y Z2 ver Figura 4
0 Z1=1.65 ZFIGURA 3 Ubicación Z1
0 Z1 Z2 ZFIGURA 4 comparar Z1 y Z2
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Según la Figura 4, se puede interpretar y tomar una decisión que depende en donde se halle el valor Z2, enéste caso se puede afirmar que la estatura media no es representativa de la media poblacional, debido a queZ2 está en la zona de rechazo o sea, no se acepta la hipótesis nula, por el contrario se acepta la alternativa.
Z2 > Z1 1.73 > 1.65
Tomando un caso, para una prueba de hipótesis bilateral o sea con dos colas utilizando una media muestralde 150.5 Cm, una media poblacional de 152.1 Cm, una desviación estándar de 5.78 Cm y un nivel deconfianza del 90%, entonces:
Hipótesis nula, la media muestral de 150.5 Cm no presenta diferencia significativa con relación a la mediapoblacional de 152.1 Cm o sea que la media muestral es equivalente a la media poblacional.
Hn μ = 152.5
Hipótesis alternativa bilateral, la media muestral de 150.5 Cm si presenta diferencia significativa conrelación a la media poblacional de 152.1 Cm o la media muestral y poblacional no son equivalentes.
Ha μ 152.5
Como el nivel de confianza es del 90% el de riesgo será 10% y tomando la distribución Normal y sucorrespondiente tabla, el valor crítico Z toma dos valores, uno positivo y otro negativo por simetría Z1 = -1.645y Z1 = 1.645, que se encuentran ubicados en la Figura 5
Luego comparar los valores de Z1 y Z2 tanto positivos y negativos en la Figura 6
Para calcular el valor crítico de prueba Z2 que por simetría puede tomar valores positivos y negativos queestán relacionados con la hipótesis alternativa, se utiliza la siguiente expresión.
Z1 0 Z1 ZFIGURA 5 Ubicación de Z1 y Z1
0.45 0.45
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Z2 = 1* nS
X
Z2 = 140*78.5
1.1525.150
= -1.73 Z2 = -1.73
Z2 = -1.73 Z2 = 1.73
Según la Figura 6, se puede interpretar y tomar una decisión que depende de donde se halle el valor Z2, enéste caso se puede afirmar que la estatura media no es representativa de la media poblacional, debido a queZ2 está en los dos extremos que corresponde a la zona de rechazo o sea, no se acepta la hipótesis nula por elcontrario se acepta la alternativa.
-Z2 < Z1 < Z2-1.73 < 1.65 < 1.73
Del caso anterior una vez más se puede afirmar que la media muestral no es representativa de la mediapoblacional ya que el valor de Z2 se encuentra en la zona de rechazo. En una prueba de hipótesis esrecomendable tomar para una prueba bilateral debido a que define un intervalo de aceptación de izquierda aderecha y los extremos la zona de rechazo.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PEQUEÑAS MUESTRAS
El proceso para prueba de hipótesis en muestras pequeñas es similar al utilizado en grandes muestras, parapequeñas muestras se utiliza la distribución T de Student, t1 se llamará valor crítico teórico y se encuentrautilizando la tabla T del Anexo 6, t2 se llamará valor crítico de prueba y se halla mediante procesosmatemáticos. Si se tiene una muestra de 10 estudiantes con un peso medio del 56.69 Kg y una desviaciónestándar de 9.35 Kg, tomando un nivel de confianza del 90%, comprobar si la media muestral y poblacional de62 Kg son equivalentes.
-Z2 -Z1 0 Z1 Z2 ZFIGURA 6 comparar Z1 y Z2
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Hipótesis nula Hn, tanto la media muestral y poblacional no presentan diferencia significativa, o sea:
Hn μ = 62 Kg
Hipótesis alternativa Ha, si la media muestral y poblacional presentan diferencia significativa, entonces lamedia muestral no es representativa de la población.
Ha μ 62 Kg
Área del nivel de confianza = 90% = 0.90Área del nivel de significación = 10% = 0.10Área para cada cola = 5.0% = 0.05Área para hallar el valor crítico t1 = 95% = 0.95
El valor crítico t1 por simetría se puede tomar ya sea en la parte izquierda o derecha, ver Figura 7, en éstecaso como es bilateral se debe tomar en los dos lados.
Grados de libertad: GL = n - 1 = 10 - 1 = 9 GL = 9
Con GL = 9 y 0.95 se busca en la tabla T el valor crítico t1, que para éste caso le corresponde el valor de 1.83y por simetría -1.83, ver Figura 7
t1 = -1.83 y t1 = 1.83
Para calcular el valor crítico de prueba t2, se utiliza la media muestral y poblacional, desviación estándar ygrados de libertad para reemplazar en la fórmula correspondiente:
1*t 2
nS
X = 110*35.9
6269.56
=35.9
31.5*3 = 1.70
t2 = 1.70 y t2 = -1.70
Luego comparar los valores t1 y t2 analítica y gráficamente, ver Figura 8.
De acuerdo al intervalo se puede tomar una decisión,
-t1 < t2 < t1-1.83 < t2 < 1.83
0.95 0.95
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Una vez analizados los valores del intervalo de la Figura 8 se define si t2 se halla en la zona de aceptación orechazo, en éste caso se halla en la zona de aceptación por lo tanto se acepta la hipótesis nula y se rechazala alternativa. Todos los casos desarrollados están orientados a seguir un proceso en una prueba de hipótesistanto para grandes y pequeñas muestras, con el propósito de tomar una decisión relacionada con unapoblación que puede ser tema de estudio en una determinada asignatura. La aplicación de éstos procesos deprueba de hipótesis es muy grande y no está limitado a la media si no que se puede aplicar a todos losparámetros; en este trabajo se ha limitado con la media muestral y poblacional.
TALLER COMPLEMENTARIO 3:
1. Tu puedes realizar estimaciones por intervalos para:
A. Muestras ordenadas con reemplazamiento, tabla 4.6B. Muestras ordenadas sin reemplazamiento, tabla 4.8
Utilizando un nivel de confianza del 90%, 93%, 96% y 98% para cada caso
2. Tu puedes hallar los tamaños de las muestras (n), para:
A. Una población finitaB. Una población infinita
Cuando la desviación estándar es de 6, una población de 650 y un nivel de confianza de 80%, 85%, 90%, 93%y 95%. Ubicar los resultados en la tabla siguiente.
TABLA DE DATOS.Desviación
estándarNivel de
confianzaValor critico
ZPoblación
NMuestra
n6 80%6 85%6 90%6 93%6 99%
3. Tú puedes hallar el intervalo de confianza para estimar la media poblacional en la distribución Normal y tde Student:
A. Para un nivel de confianza de 95% y 99% para una muestra de 10 estudiantes, cuando la media muestrales de 56,69 Kg, una desviación estándar muestral de 9.35 Kg
B. Para las medias de la Tabla 4.2, peso medio de 10 muestras con 10 estudiantes cada una.
4. Tú puedes trabajar con una muestra de 40 estudiantes y su estatura media de 151.5 Cm y una desviaciónestándar de 5.78 Cm. Comprobar si el valor de la media muestral difiere significativamente de su mediapoblacional de 150.5 Cm para un nivel de confianza de:
A. 95% UnilateralB. 99% Bilateral
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5. Tú puedes trabajar con una muestra de 40 estudiantes y su estatura media de 149.5 Cm y una desviaciónestándar de 5.78 Cm. Comprobar si el valor de la media muestral difiere significativamente de su mediapoblacional de 150.5 Cm para un nivel de confianza de:
A. 95% BilateralB. 99% Unilateral
6. Tú puedes trabajar con una muestra pequeña de 10 estudiantes en donde su peso medio es de 56.69 Kgy una desviación estándar de 9.35 Kg, para una un nivel de confianza:
A. 80% Unilateral, bilateralB. 95% Unilateral, bilateralC. 98% Unilateral, bilateralD. 99% Unilateral, bilateral
Comprobar si la media muestral y poblacional de 62 Kg son equivalentes.
TABLA: NIVEL DE CONFIANZAPESO
iX
NIVEL DE CONFIANZA90% 95% 99%
66.6 ....< μ <.... ....< μ <.... ....< μ <....76.849.546.063.151.761.549.352.050.4
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4. REGRESION Y CORRELACION
INTRODUCCION
En ésta unidad se desarrolla temas relacionados con la regresión y correlación lineal en diferentes casosutilizando dos variables y aplicaciones con casos que se pueden presentar en una determinada región, lugarde procedencia de los estudiantes que conforma la comunidad educativa de nuestra Institución; y con estasherramientas realizar un buen desempeño en la vida práctica.
OBJETIVOS
Calcula la ecuación de regresión lineal para dos variables en problemas prácticos. Calcula el grado de relación que existe entre dos variables mediante problemas prácticos. Identifica las características de las series de tiempo y aplicar en problemas sobre movimientos total y
medio.
ECUACION GENERAL DE LA RECTA
En el estudio del álgebra se hizo un estudio de la ecuación de primer grado con dos variables X e Y,independientes y dependientes respectivamente, que al representar sus parejas de puntos en el planocartesiano forma una recta. Una línea recta es un lugar geométrico de puntos, de tal manera que tomando dospuntos diferentes P2(X2, Y2) y P1(X1, Y1) le permite calcular una constante llamada pendiente (A) por medio dela siguiente fórmula:
Cálculo de la pendiente (incremento)
A. =12
12
XXYY
Cálculo de la ecuación de una recta
Y = A(X – X1) + Y1
Ecuación general de la recta
Y = B + A*X
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TALLER COMPLEMENTARIO 4:
Hallar la ecuación de la función lineal (recta) cuando se conocen dos puntos: Aplicaciones
1. En el año de 2008 la producción de un producto de la región es de 118.680 toneladas y en el año 2013 seregistró una producción de122.480 toneladas. Según estos datos encontrar:
A. El incremento de producción anual o pendiente (A)B. La ecuación de la recta para este casoC. La producción para los años: 2006 hasta el 2016.D. Realizar la gráfica con los datos del literal C.
2. En el año de 2008 la producción de un producto de la región es de 122.480 toneladas y en el año 20129se registró una producción de118.680 toneladas. Según estos datos encontrar:
A. El incremento de producción anual o pendiente (A)B. La ecuación de la recta para este casoC. La producción para los años: 2005 hasta el 2015.D. Realizar la gráfica con los datos del literal C.
La ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente(A) y el valor de un punto P. Aplicaciones
3. Se conoce que el incremento en una empresa es de 64 toneladas por año; si en el año 2010 la producciónes de 7300 toneladas: Hallar
A. La ecuación de función linealB. La producción para los años de 2008 hasta el 2016C. La gráfica para este caso.
4. Se conoce el incremento de una población en una región X es de 57 personas por año; además en el año2009 la población es de 12500 hb: Hallar
A. La ecuación de la función lineal.B. La población para los años de 2007 hasta el 2016C. La gráfica para este caso.
5. La producción de papa en el año 2008 fue de 150.000 toneladas, en el año 2015 fue de 198.000toneladas; encontrar:
A. La ecuación que representa a este casoB. La producción para los años 2006, 2007, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016C. La gráfica, que representa
6. En una población Z, en año 2009 los nacimientos de niños fueron de 18950 y en el año de 2012 el númerode niños nacidos fue de 15950. Hallar
A. La ecuación que representa a este caso
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B. En número de nacimientos para los años 2006, 2007, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 1016C. La gráfica que representaD. Qué puede concluir?
LA ECUACIÓN LINEAL EN EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.
Este procedimiento permite determinar con mayor exactitud la recta representativa cuando los valores de lasobservaciones no están totalmente alineados; por el contrario presentan una dispersión utilizando, como elsiguiente caso. Tomando como variable independiente el tiempo en años y la variable dependiente el ingresode estudiantes en una institución, hallar los valores de A y B para obtener la ecuación de la recta deestimación.
22
2
)(*)*(**
BXXn
YXXXY
22 )(*
*)*(*A
XXnYXYXn
2
*)*(A
XXBYX
EJEMPLO. Tomando como variable independiente el tiempo en años y la variable dependiente el ingreso deestudiantes a una institución, ver Tabla 1 columna 1 y 2; hallar los valores de A y B para obtener la ecuaciónde estimación.
TABLA 1. INGRESO DE ESTUDIANTESTIEMPO EN AÑOS
XPOBLACION
YPOTENCIA
X2PRODUCTO
X*Y2005 0 243 0 02006 1 380 1 3802007 2 451 4 9022008 3 499 9 14972009 4 653 16 2612
TOTAL X =10 Y =2226 2X = 30 YX * = 5391
Para hallar la ecuación de regresión o de estimación, se puede seguir los siguientes pasos:
Ecuación general de la recta
Y = B + A*X
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PRIMERO: Graficar con los datos de las columnas 1 y 2, esto se hace con el propósito de ver si los puntos seacercan a una recta y poder utilizar el método de regresión lineal, si esto no sucede se utiliza otros métodosque se describen en este trabajo, ver Figura 1
0100200300400
500600700800
0 1 2 3 4
FIGURA 1 línea, columnas 1 y 2
SEGUNDO: Después de graficar y constatar que se acerca a una recta se procede a calcular A y B utilizandosus correspondientes fórmulas.
B =50
128701001505391066780
1010305539110302256
**
**
= 257.4
B = 257.4
A =
302817
30104.12575391 * 93.9
A = 93.9
TERCERO: Conociendo los valores de A y B reemplazar en la ecuación de estimación:
Ye = B + A*X
Ye = 257.4 + 93.9*X
CUARTO: Por medio de la anterior ecuación se puede hacer estimaciones para el ingreso de la poblaciónestudiantil (Y) según la variable año (X). Siguiendo el orden de la columna 2 de la Tabla 1 para 2010 (5) lapoblación estudiantil es:
Ye = 257.4 + 93.9*(5) = 727
Para 2012 (7) le corresponde la siguiente población estudiantil de:
Ye = 257.4 + 93.9*(7) = 915
La población estudiantil para 2015 (10) es de:
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Ye = 257.4 + 93.9*(10) = 1196
QUINTO: Se puede realizar estimaciones para Ye según los valores de X: 0, 1, 2, 3, 4 que pertenece a losaños según la columna 1, cambios que se hace para reducir operaciones, ver Tabla 2
TABLA 2 ESTIMACIÓN DE (Ye)X Y Ye Y-Ye (Y-Ye)2
0 243 257 -14 1961 380 351 29 8412 451 445 6 363 499 539 -40 16004 653 633 20 4005 - 727 - -
3073
SEXTO: Utilizando los resultados de la columna 5 de la Tabla 2 se puede encontrar el error típico de Y conrelación a X, por medio de la ecuación siguiente:
2
)( 2
y x
n
YY e
33073
y x = 32
32y x
SEPTIMO: Por medio del resultado σyx = 32 se puede encontrar valores que definen intervalos paralelos alado y lado de la recta de estimación Ye, ver Figura 8, su procedimiento para encontrar los intervalos es elsiguiente:
Para 68.27% 1*σyx = 1*32 = 32Para 95.45% 2*σyx = 2*32 = 64Para 99.73% 3*σyx = 3*32 = 96
OCTAVO: De acuerdo a los valores del error típico (σyx) y los valores estimados Ye, para un 68.27% se debesumar y restar 32 a cada valor de Ye para construir las rectas paralelas que abarcarán aproximadamente un68.27% del total de puntos; el mismo procedimiento para un 95.45% y 99.73%, éstos datos se encuentran enla Tabla 3 y las rectas en la figura 2
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TABLA 6.3 VALORES DE LAS ORDENADASVALORES DE LAS NUEVAS ORDENADAS (Yn)
Ye Y1Ye-32
Y4Ye+32
Y2Ye-64
Y5Ye+64
Y3Ye-96
Y6Ye+96
X
257 225 289 193 321 161 353 0351 319 383 287 415 255 447 1445 413 477 381 509 349 541 2539 507 571 475 603 443 635 3633 601 665 569 697 537 729 4
0100200300400
500600700800
0 1 2 3 4
FIGURA 2 Ubicación del error típico
Si al graficar, los puntos no forman una línea recta, la regresión es no lineal y se puede utilizar diferentesfunciones, entre ellas está la exponencial:
Y = b*aX Y = b*ea.X
Que al trabajar con logaritmos se transforman en lineales y se puede seguir los mismos procedimientosanteriores.
Log(Y) = Log(b) + X*Log(a)
Z = B + A*X
Log(Y) = Log(b) + a*Log(e)*X
Z = B + A*X
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON
Una vez identificado la relación entre dos variables, una independiente y otra dependiente expresadas pormedio de una ecuación que corresponde a una recta, se puede encontrar un número que representa el grado
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o intensidad de relación que existe entre éstas, su propósito es identificar si existe o no dependencia entreellas, con el fin de aceptar o rechazar el modelo utilizado para una determinada muestra, proceso que seconoce con el nombre de Correlación Lineal para dos variables.
El número que determina el grado de relación entre las dos variables se llama coeficiente de correlación dePearson y se halla comprendido en el intervalo de -1 y +1; de tal manera que si el coeficiente de correlaciónse acerca -1 ó +1, las variables tienen un grado de relación bastante grande. En cambio si el coeficiente decorrelación se aproxima a cero (0) la relación entre variables es nula, el coeficiente de correlación estáexpresado por:
r = A *Y
X
SS
Hallar los valores de las desviaciones típicas tanto para X e Y, utilizando los valores de la tabla 4.
TABLA 4. PARA EL CÁLCULO DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS PARA X e Y
AÑOSX
POBLACIONY
PROCESO DE OPERACIONES
)(
XX i2)(
XX i )(
YYi2)(
YYi2005 0 243 -2 4 -202.2 40884.84
2006 1 380 -1 1 65.2 4251.00
2007 2 451 0 0 5.8 33.64
2008 3 459 1 1 53.8 2894.44
2009 4 653 2 4 207.8 43180.84
X = 10 Y =2226 2)( XX =10 2)( XX =91244.80
Para el valor medio de cada variable se obtiene de la siguiente manera:
X =5
10 = 2
Y =5
2226 = 445.2
Para el cálculo del coeficiente de correlación; cuando A = 93.9 (valor calculado anteriormente)
2
2
)(
)(Ar
YY
XX
i
i
SX =n
XX i
2)(Sy =
n
YY i
2)( r = A*
Y
X
SS
= A*
2
2
)(
)(
YYi
XXi
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0.9830=80.91244
1093.9=r
r = 0.9830
Como el coeficiente de correlación (r) se acerca a +1, se afirma que existe una relación grande entre lasvariables X e Y, por lo tanto se acepta el modelo utilizado.
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
Además del coeficiente de correlación lineal, es necesario tener en cuenta el grado de variación de unavariable independiente para determinar el grado de variación o cambios que presenta la dependiente; que seexpresa en porcentajes y corresponde al cuadrado del coeficiente de correlación lineal multiplicada por elciento por ciento, resultado que se conoce con el nombre de coeficiente de determinación expresado por:
CD = r2* 100%
Cuando el CD se acerca al 100% se afirma que entre las dos variables correlacionadas existe un grado alto decorrelación, si sucede lo contrario indica que entre las dos variables no existe correlación buena, el modeloutilizado no es adecuado o hay necesidad de rectificar el proceso de. Tomando el coeficiente de correlaciónencontrado se puede hallar el coeficiente de determinación, así:
CD = r2 * 100%CD =.= (0.983)2 * 100%CD = 96.63%
Este resultado indica que el modelo utilizado es correcto y las variables X e Y tienen alto grado de relación.Además las estimaciones que se realicen a partir de la ecuación de estimación tendrá alto grado de validez ysus parámetros serán aproximadamente a los reales.
TALLER COMPLEMENTARIO 5:
Utilizando el proceso de mínimos cuadrados para cada uno de los encontrar:
1. La ecuación general de estimación Y = B + AX2. La regresión para 4 años antes de la observación3. La proyección para 4 posteriores a la observación4. La gráfica con los datos (de regresión, observados y proyectados5. El coeficiente de correlación (r)6. El coeficiente de determinación (cd)7. Realizar sus correspondientes interpretaciones para cada caso.
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TABLA. PRODUCCIÓN DE LECHETIEMPO EN AÑOS
XPRODUCCION DE LECHE
(Y) Millones de LitrosPOTENCIA
X2PRODUCTO
X*Y2005 1512006 1522007 1542008 1572009 1562010 1592011 162
TOTAL X Y 2X YX *
TABLA. PRODUCCIÓN DE FRIJOL MILLONES DE BULTOSTIEMPO EN AÑOS
XPRODUCCION DE FRIJOL
(Y)POTENCIA
X2PRODUCTO
X*Y2008 1152009 1232010 1302011 1402012 150
TOTAL X Y 2X YX *
TABLA. PRODUCCIÓN DE PAPA MILLONES DE TONELADASTIEMPO EN AÑOS
XPRODUCCION DE PAPA
(Y)POTENCIA
X2PRODUCTO
X*Y2005 2402006 2302007 3302008 4802009 5402010 6852011 720
TOTAL X Y 2X YX *
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TABLA. PRODUCCIÓN DE MAÍZ (TONELADAS)TIEMPO EN AÑOS
XPRODUCCION DE MAIZ
(Y)POTENCIA
X2PRODUCTO
X*Y2006 13282007 14992008 25922009 36962010 47222011 68992012 7923
TOTAL X Y 2X YX *
TABLA. POBLACIÓN DESPLAZADATIEMPO EN AÑOS
XPERSONAS
DESPLAZADA (Y)POTENCIA
X2PRODUCTO
X*Y2006 12802007 19902008 29202009 39602010 42202011 69902012 72302013 7500
TOTAL X Y 2X YX *
TABLA. PRODUCCIÓN EN PESCA MILES DE TONELADASTIEMPO EN AÑOS
XPRODUCCION EN
PESCA (Y)POTENCIA
X2PRODUCTO
X*Y2007 1402008 1302009 2302010 3802011 4402012 5852013 620
TOTAL X Y 2X YX *
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TABLA. PRODUCCIÓN DE CACAO (TONELADAS)TIEMPO EN AÑOS
XPRODUCCION DE
CACAO (Y)POTENCIA
X2PRODUCTO
X*Y2007 1322008 1492009 2592010 3692011 4722012 6892013 792
TOTAL X Y 2X YX *
TABLA. EXPORTACIONES DE PRODUCTOS DE MAR (MILES DE TONELADAS)TIEMPO EN AÑOS X EXPORTACIONES (Y) POTENCIA X2 PRODUCTO X*Y2006 22802007 29902008 39202009 49602010 52202011 69902012 72302013 8500
TOTAL X Y 2X YX *
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5. SERIES DE TIEMPO YNUMEROS INDICES
INTRODUCCION
En ésta unidad se desarrolla tres temas muy importantes relacionados con: las series de tiempo, númerosíndices y proyección de poblaciones; temas muy utilizados dentro del inmenso campo de la administración yen la investigación correlacionando todas las áreas del conocimiento para beneficio de la humanidad
OBJETIVOS
Identifica las características de las series de tiempo y aplicar en problemas sobre movimientos total ymedio.
Reconoce las características de los diferentes índices y aplicar en la estimación de precios y cantidades. Reconoce los métodos sobre proyección de poblaciones y usar en la estimación de los habitantes de una
región.
LAS SERIES DE TIEMPO O CRONOLÓGICAS
Las series de tiempo o cronológicas, se refieren a observaciones que están relacionadas con algún fenómenoo sucesos realizados en intervalos de tiempos iguales, que se pueden medir con facilidad y su representaciónse hace en el plano cartesiano eje horizontal, y la otra variable en el vertical. Las series de tiempo estánsometidas a diferentes cambios, denominados movimientos o variaciones que dependen de la importancia quese quiera dar a un evento experimental o fenómeno que está relacionado con la naturaleza, sociedad y laeconomía.
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Tendencia o larga duración, cuando los intervalos de observación son largos y sus gráficas se aproximana una recta que permiten hacer correlaciones y estimaciones.
Cíclicos, variaciones en intervalos de tiempos aproximadamente iguales a un año y los resultados algraficar se encuentran a lado y lado de la recta de estimación.
Estacionales, variaciones en intervalos de tiempo inferior a un año o sea meses, semanas, días u horas. Aleatorios o irregulares, variaciones son aquellas que no se pueden programar ni predecir, por los
terremotos.
MOVIMIENTO TOTAL Y MEDIO
Cuando se está interesado en conocer el movimiento de un evento en un intervalo de tiempo menor al de laobservación, se procede a agrupar los datos de acuerdo a un orden de tiempo, que depende de la importanciaque se le quiera dar. Por ejemplo tomar los datos de la columna 2 y sumar:
De 2 en 2 255 + 655 = 1020De 3 en 3 255 + 655 + 201 = 1221De 5 en 5 255 + 655 +201 + 235 + 243 = 1699
Para luego encabezar las columnas 3, 4 y 5 respectivamente, en los siguientes movimientos dejar libre elprimer dato y hacer el mismo procedimiento hasta finalizar, ver Tabla 1. Para hallar los movimientos medios deestudiantes en cada uno de los intervalos, se divide los datos de las columnas 3, 4 y 5 por los intervalos 2, 3 y5 respectivamente, datos o resultados que están ubicados en las columnas 3, 4 y 5, ver Tabla 2.
TABLA 1 MOVIMIENTO TOTAL
AÑOS INGRESOALUMNOS
MOVIMIENTO TOTAL POR PERIODOS DE AÑOS2 3 4 5 6 7 8 9 10
2000 3551020
2001 665 1221866 1456
2002 201 1101 1699436 1344 2079
2003 235 679 1724 2530478 1059 2175 3029
2004 243 858 1510 2674 3682623 1309 2009 3327 4432
2005 380 1074 1808 2662 4077831 1573 2461 3412
2006 451 1330 2226 3211950 1983 2976
2007 499 1603 27331152 2353
2008 653 19021403
2009 750
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TABLA 2 MOVIMIENTO MEDIOINGRESOALUMNOS
MOVIMIENTO MEDIO POR PERIODOS DE AÑOSAÑOS 2 3 4 5 6 7 8 9 102000 355
5102001 665 407
433 3642002 201 367 340
218 336 3472003 235 226 345 361
239 265 363 3792004 243 286 302 382 409
312 327 335 416 4432005 380 358 362 380 453
416 393 410 4272006 451 443 445 459
475 496 4962007 499 534 547
576 5882008 653 634
7022009 750
Utilizando el método de mínimos cuadrados se puede hallar su ecuación y hacer las estimacionescorrespondientes para cada intervalo y movimiento de tiempo.
TALLER COMPLEMENTARIO 6:
1. En un negocio el comportamiento de las ventas mensuales de un producto A es el que se describe acontinuación. Hallar el movimiento total y medio bimensual, trimestral y semestral.
Meses(2013) Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ag. Set. Oct. Nov. Dic.
Miles dePesos 2750 1382 2425 5673 6842 3285 2850 2950 2540 5025 6352 3250
2. Tú puedes llenar los espacios de las columnas que están vacías en la siguiente tabla; siguiendo losprocedimientos de mínimos cuadrados adecuados para hallar la ecuación de estimación (Y = B + AX) yestimar para los años 2010 a 2016 con el propósito de encontrar el movimiento para los periodos detiempo asignados y luego hallar movimiento medio por periodo.
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TABLA. MOVIMIENTO TOTAL Y MEDIO
AÑOSX
INGRESOALUMNOS
Y
MOVIMIENTO TOTAL POR PERIODOS DEAÑOS
MOVIMIENTO MEDIO POR PERIODOSDE AÑOS
2 3 4 5 6 2 3 4 5 62000 5500
2001 5800
2002 5601
2003 5740
2004 5950
2005 6021
2006 6501
2007 6409
2008 6530
2009 6740
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
3. Hallar la ecuación de estimación y estimar para los años 2012 a 2025 para luego encontrar el movimientototal de habitantes para los periodos de tiempo asignados y luego hallar movimiento medio por periodocada 2, 3, 4 5 años haciendo sus respectivas comparaciones y sacar sus propias conclusiones; conalgunas de las siguientes poblaciones que pertenecen al departamento de Nariño.
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TOTAL HABITANTESMUNICIPIO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Pasto 382.618 388.377 394.268 400.055 405.885 411.706 417.509 423.277Albán 19.303 19.557 19.837 20.125 20.411 20.688 20.980 21.270Aldana 6.850 6.779 6.700 6.623 6.548 6.467 6.397 6.320Ancuyá 8.991 8.721 8.526 8.321 8.139 7.962 7.776 7.607Arboleda 7.443 7.456 7.468 7.480 7.492 7.503 7.513 7.523Barbacoas 30.270 30.996 31.689 32.402 33.114 33.866 34.627 35.406Belén 6.587 6.666 6.760 6.850 6.947 7.046 7.133 7.230Buesaco 22.233 22.489 22.756 23.038 23.321 23.602 23.887 24.179Colón 9.658 9.733 9.775 9.825 9.862 9.914 9.959 10.005Consaca 10.287 10.201 10.121 10.032 9.942 9.852 9.759 9.674Contadero 6.667 6.700 6.727 6.748 6.785 6.812 6.839 6.875Córdoba 13.499 13.565 13.628 13.687 13.743 13.795 13.844 13.889Cuaspud 8.101 8.146 8.187 8.250 8.307 8.348 8.395 8.447Cumbal 30.996 31.580 32.221 32.863 33.531 34.186 34.858 35.540Cumbitara 11.425 11.753 12.105 12.456 12.826 13.199 13.590 13.982Chachagüí 12.792 12.923 13.013 13.114 13.211 13.308 13.408 13.504El Charco 25.733 26.729 27.681 28.673 29.711 30.785 31.911 33.085El Peñol 6.851 6.808 6.770 6.740 6.704 6.683 6.642 6.616El Rosario 11.368 11.283 11.173 11.055 10.944 10.826 10.701 10.575El Tablón deGómez 13.991 13.854 13.732 13.615 13.490 13.366 13.247 13.122El Tambo 14.146 13.946 13.760 13.564 13.373 13.186 13.006 12.817Funes 6.991 6.931 6.884 6.839 6.788 6.734 6.685 6.645Guachucal 16.837 16.708 16.595 16.481 16.375 16.258 16.152 16.029Guaitarilla 13.712 13.493 13.314 13.158 12.991 12.821 12.661 12.498Gualmatán 5.673 5.686 5.698 5.709 5.719 5.729 5.738 5.747Iles 7.836 7.895 7.980 8.067 8.164 8.247 8.342 8.435Imués 7.492 7.354 7.216 7.094 6.970 6.848 6.721 6.598Ipiales 109.116 111.762 114.609 117.482 120.392 123.341 126.335 129.362La Cruz 17.630 17.713 17.791 17.864 17.931 17.992 18.049 18.100La Florida 11.423 11.166 10.925 10.700 10.490 10.295 10.116 9.953La Llanada 6.544 6.494 6.423 6.349 6.274 6.198 6.127 6.045La Tola 8.408 8.760 9.097 9.475 9.862 10.251 10.682 11.130La Unión 27.914 27.713 27.539 27.359 27.179 27.001 26.819 26.639Leiva 11.785 12.009 12.213 12.422 12.631 12.836 13.039 13.252Linares 11.821 11.642 11.461 11.287 11.107 10.932 10.755 10.572Los Andes 16.249 16.539 16.834 17.145 17.437 17.766 18.084 18.403Magüi 16.394 16.968 17.498 18.059 18.624 19.212 19.822 20.435
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Mallama 9.286 9.102 8.940 8.794 8.637 8.493 8.338 8.190Mosquera 11.995 12.390 12.767 13.161 13.568 13.989 14.423 14.874Nariño 4.183 4.235 4.303 4.376 4.444 4.518 4.586 4.657Olaya Herrera 27.359 27.830 28.216 28.589 28.958 29.324 29.704 30.081Ospina 8.221 8.302 8.347 8.403 8.454 8.500 8.547 8.590FranciscoPizarro 11.029 11.406 11.767 12.132 12.510 12.910 13.313 13.723Policarpa 13.785 14.076 14.373 14.665 14.968 15.270 15.583 15.889Potosí 13.152 13.054 12.952 12.845 12.733 12.616 12.527 12.425Providencia 11.699 11.853 12.009 12.175 12.333 12.488 12.644 12.796Puerres 8.979 8.929 8.870 8.813 8.758 8.695 8.635 8.570Pupiales 18.404 18.521 18.628 18.734 18.830 18.938 19.029 19.122Ricaurte 14.904 15.263 15.613 15.971 16.338 16.711 17.090 17.475Roberto Payán 16.892 17.422 17.935 18.460 19.010 19.557 20.132 20.725Samaniego 50.437 50.349 50.261 50.173 50.084 49.995 49.906 49.816Sandoná 25.220 25.285 25.345 25.402 25.454 25.503 25.547 25.588San Bernardo 14.261 14.736 15.196 15.662 16.136 16.617 17.116 17.624San Lorenzo 18.398 18.534 18.670 18.818 18.962 19.108 19.261 19.409San Pablo 18.103 18.059 18.013 17.964 17.905 17.849 17.778 17.712San Pedro deCartago 7.051 7.098 7.150 7.200 7.257 7.306 7.348 7.392Santa Bárbara 15.332 15.214 15.188 15.133 15.088 15.034 14.993 14.937Santacruz 20.670 21.315 21.989 22.681 23.392 24.130 24.886 25.679Sapuyes 7.473 7.332 7.222 7.124 7.017 6.903 6.797 6.681Taminango 17.218 17.483 17.793 18.113 18.441 18.775 19.112 19.468Tangua 10.892 10.746 10.620 10.502 10.373 10.251 10.130 10.003San Andres deTumaco 160.034 163.874 167.545 171.281 175.093 179.005 183.006 187.084Túquerres 41.380 41.322 41.260 41.194 41.122 41.046 40.966 40.881Yacuanquer 9.965 10.070 10.177 10.275 10.379 10.477 10.582 10.678TOTAL 1.543.961 1.562.901 1.582.130 1.601.654 1.621.473 1.641.579 1.662.098 1.682.867
CABECERAMUNICIPIO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Pasto 312.377 317.398 322.623 327.816 333.123 338.493 343.917 349.379Albán 6.363 6.552 6.736 6.916 7.093 7.265 7.433 7.597Aldana 1.771 1.765 1.752 1.733 1.708 1.676 1.639 1.594Ancuyá 1.872 1.812 1.759 1.713 1.675 1.644 1.621 1.605Arboleda 1.029 1.035 1.041 1.048 1.056 1.064 1.073 1.083Barbacoas 11.602 12.089 12.569 13.043 13.510 13.970 14.423 14.870Belén 2.813 2.832 2.850 2.868 2.885 2.901 2.916 2.930
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Buesaco 4.686 4.830 4.974 5.117 5.259 5.401 5.542 5.682Colón 1.274 1.309 1.343 1.376 1.409 1.441 1.472 1.502Consaca 1.699 1.718 1.735 1.751 1.764 1.776 1.787 1.795Contadero 1.910 1.965 2.012 2.052 2.106 2.149 2.190 2.231Córdoba 2.093 2.118 2.143 2.167 2.191 2.215 2.239 2.262Cuaspud 2.003 2.040 2.076 2.112 2.147 2.181 2.215 2.248Cumbal 6.712 6.875 7.041 7.208 7.377 7.547 7.720 7.894Cumbitara 1.317 1.367 1.417 1.466 1.515 1.563 1.610 1.657Chachagüí 6.118 6.271 6.379 6.493 6.600 6.702 6.804 6.897El Charco 6.768 7.057 7.356 7.663 7.980 8.307 8.643 8.988El Peñol 908 926 944 961 977 993 1.006 1.017El Rosario 3.557 3.547 3.536 3.523 3.509 3.493 3.476 3.457El Tablón de Gómez 985 957 946 941 929 920 917 909El Tambo 5.128 5.151 5.185 5.204 5.225 5.246 5.269 5.280Funes 2.398 2.401 2.398 2.387 2.370 2.345 2.314 2.275Guachucal 3.221 3.187 3.169 3.151 3.142 3.122 3.114 3.090Guaitarilla 3.918 3.951 3.982 4.013 4.043 4.072 4.101 4.128Gualmatán 2.150 2.159 2.168 2.177 2.186 2.194 2.202 2.210Iles 1.721 1.744 1.767 1.789 1.811 1.833 1.855 1.877Imués 696 685 674 663 653 642 631 620Ipiales 74.362 76.341 78.575 80.888 83.293 85.791 88.387 91.071La Cruz 6.256 6.300 6.343 6.383 6.421 6.458 6.492 6.524La Florida 1.876 1.869 1.862 1.856 1.850 1.844 1.838 1.833La Llanada 1.966 1.952 1.939 1.926 1.913 1.900 1.888 1.875La Tola 5.656 5.993 6.308 6.656 7.006 7.350 7.728 8.116La Unión 10.278 10.288 10.329 10.366 10.406 10.451 10.495 10.545Leiva 3.236 3.353 3.470 3.587 3.703 3.818 3.933 4.047Linares 2.269 2.289 2.305 2.326 2.340 2.357 2.370 2.376Los Andes 5.755 5.937 6.120 6.306 6.493 6.683 6.875 7.069Magüi 3.237 3.357 3.481 3.608 3.740 3.875 4.014 4.157Mallama 1.464 1.414 1.385 1.371 1.345 1.331 1.306 1.286Mosquera 3.803 3.970 4.144 4.323 4.507 4.698 4.895 5.097Nariño 3.156 3.197 3.249 3.306 3.359 3.416 3.469 3.524Olaya Herrera 8.235 8.412 8.565 8.713 8.862 9.009 9.161 9.313Ospina 2.099 2.122 2.147 2.175 2.206 2.238 2.273 2.311Francisco Pizarro 5.207 5.395 5.593 5.801 6.019 6.248 6.486 6.735Policarpa 2.197 2.269 2.343 2.417 2.493 2.570 2.648 2.728Potosí 2.002 2.026 2.048 2.068 2.086 2.102 2.115 2.127Providencia 4.072 4.210 4.349 4.497 4.635 4.769 4.902 5.031Puerres 2.812 2.842 2.871 2.898 2.923 2.947 2.969 2.989
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Pupiales 5.215 5.297 5.378 5.458 5.535 5.612 5.687 5.760Ricaurte 2.072 2.110 2.150 2.190 2.232 2.274 2.318 2.363Roberto Payán 863 892 922 954 988 1.023 1.060 1.098Samaniego 17.514 17.790 18.035 18.248 18.429 18.578 18.696 18.783Sandoná 10.670 10.836 10.992 11.139 11.276 11.403 11.520 11.628San Bernardo 3.075 3.172 3.272 3.375 3.480 3.587 3.697 3.810San Lorenzo 2.164 2.228 2.290 2.353 2.414 2.476 2.536 2.596San Pablo 3.898 3.918 3.936 3.953 3.968 3.982 3.994 4.005San Pedro deCartago 612 611 613 616 622 630 639 651Santa Bárbara 2.734 2.682 2.725 2.741 2.770 2.793 2.831 2.857Santacruz 4.484 4.716 4.944 5.168 5.387 5.602 5.813 6.019Sapuyes 1.659 1.633 1.607 1.582 1.558 1.534 1.511 1.488Taminango 3.509 3.651 3.795 3.939 4.085 4.231 4.379 4.528Tangua 2.141 2.168 2.194 2.217 2.239 2.259 2.276 2.292San Andres deTumaco 84.668 87.152 89.682 92.258 94.880 97.547 100.261 103.025Túquerres 16.385 16.550 16.702 16.844 16.973 17.090 17.196 17.290Yacuanquer 2.403 2.449 2.493 2.537 2.579 2.621 2.662 2.702TOTAL 713.098 727.138 741.738 756.402 771.267 786.262 801.460 816.738
RESTOMUNICIPIO 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Pasto 70.241 70.979 71.645 72.239 72.762 73.213 73.592 73.898Albán 12.940 13.005 13.101 13.209 13.318 13.423 13.547 13.673Aldana 5.079 5.014 4.948 4.890 4.840 4.791 4.758 4.726Ancuyá 7.119 6.909 6.767 6.608 6.464 6.318 6.155 6.002Arboleda 6.414 6.421 6.427 6.432 6.436 6.439 6.440 6.440Barbacoas 18.668 18.907 19.120 19.359 19.604 19.896 20.204 20.536Belén 3.774 3.834 3.910 3.982 4.062 4.145 4.217 4.300Buesaco 17.547 17.659 17.782 17.921 18.062 18.201 18.345 18.497Colón 8.384 8.424 8.432 8.449 8.453 8.473 8.487 8.503Consaca 8.588 8.483 8.386 8.281 8.178 8.076 7.972 7.879Contadero 4.757 4.735 4.715 4.696 4.679 4.663 4.649 4.644Córdoba 11.406 11.447 11.485 11.520 11.552 11.580 11.605 11.627Cuaspud 6.098 6.106 6.111 6.138 6.160 6.167 6.180 6.199Cumbal 24.284 24.705 25.180 25.655 26.154 26.639 27.138 27.646Cumbitara 10.108 10.386 10.688 10.990 11.311 11.636 11.980 12.325Chachagüí 6.674 6.652 6.634 6.621 6.611 6.606 6.604 6.607El Charco 18.965 19.672 20.325 21.010 21.731 22.478 23.268 24.097El Peñol 5.943 5.882 5.826 5.779 5.727 5.690 5.636 5.599
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El Rosario 7.811 7.736 7.637 7.532 7.435 7.333 7.225 7.118El Tablón de Gómez 13.006 12.897 12.786 12.674 12.561 12.446 12.330 12.213El Tambo 9.018 8.795 8.575 8.360 8.148 7.940 7.737 7.537Funes 4.593 4.530 4.486 4.452 4.418 4.389 4.371 4.370Guachucal 13.616 13.521 13.426 13.330 13.233 13.136 13.038 12.939Guaitarilla 9.794 9.542 9.332 9.145 8.948 8.749 8.560 8.370Gualmatán 3.523 3.527 3.530 3.532 3.533 3.535 3.536 3.537Iles 6.115 6.151 6.213 6.278 6.353 6.414 6.487 6.558Imués 6.796 6.669 6.542 6.431 6.317 6.206 6.090 5.978Ipiales 34.754 35.421 36.034 36.594 37.099 37.550 37.948 38.291La Cruz 11.374 11.413 11.448 11.481 11.510 11.534 11.557 11.576La Florida 9.547 9.297 9.063 8.844 8.640 8.451 8.278 8.120La Llanada 4.578 4.542 4.484 4.423 4.361 4.298 4.239 4.170La Tola 2.752 2.767 2.789 2.819 2.856 2.901 2.954 3.014La Unión 17.636 17.425 17.210 16.993 16.773 16.550 16.324 16.094Leiva 8.549 8.656 8.743 8.835 8.928 9.018 9.106 9.205Linares 9.552 9.353 9.156 8.961 8.767 8.575 8.385 8.196Los Andes 10.494 10.602 10.714 10.839 10.944 11.083 11.209 11.334Magüi 13.157 13.611 14.017 14.451 14.884 15.337 15.808 16.278Mallama 7.822 7.688 7.555 7.423 7.292 7.162 7.032 6.904Mosquera 8.192 8.420 8.623 8.838 9.061 9.291 9.528 9.777Nariño 1.027 1.038 1.054 1.070 1.085 1.102 1.117 1.133Olaya Herrera 19.124 19.418 19.651 19.876 20.096 20.315 20.543 20.768Ospina 6.122 6.180 6.200 6.228 6.248 6.262 6.274 6.279Francisco Pizarro 5.822 6.011 6.174 6.331 6.491 6.662 6.827 6.988Policarpa 11.588 11.807 12.030 12.248 12.475 12.700 12.935 13.161Potosí 11.150 11.028 10.904 10.777 10.647 10.514 10.412 10.298Providencia 7.627 7.643 7.660 7.678 7.698 7.719 7.742 7.765Puerres 6.167 6.087 5.999 5.915 5.835 5.748 5.666 5.581Pupiales 13.189 13.224 13.250 13.276 13.295 13.326 13.342 13.362Ricaurte 12.832 13.153 13.463 13.781 14.106 14.437 14.772 15.112Roberto Payán 16.029 16.530 17.013 17.506 18.022 18.534 19.072 19.627Samaniego 32.923 32.559 32.226 31.925 31.655 31.417 31.210 31.033Sandoná 14.550 14.449 14.353 14.263 14.178 14.100 14.027 13.960San Bernardo 11.186 11.564 11.924 12.287 12.656 13.030 13.419 13.814San Lorenzo 16.234 16.306 16.380 16.465 16.548 16.632 16.725 16.813San Pablo 14.205 14.141 14.077 14.011 13.937 13.867 13.784 13.707San Pedro deCartago 6.439 6.487 6.537 6.584 6.635 6.676 6.709 6.741Santa Bárbara 12.598 12.532 12.463 12.392 12.318 12.241 12.162 12.080
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Santacruz 16.186 16.599 17.045 17.513 18.005 18.528 19.073 19.660Sapuyes 5.814 5.699 5.615 5.542 5.459 5.369 5.286 5.193Taminango 13.709 13.832 13.998 14.174 14.356 14.544 14.733 14.940Tangua 8.751 8.578 8.426 8.285 8.134 7.992 7.854 7.711San Andres deTumaco 75.366 76.722 77.863 79.023 80.213 81.458 82.745 84.059Túquerres 24.995 24.772 24.558 24.350 24.149 23.956 23.770 23.591Yacuanquer 7.562 7.621 7.684 7.738 7.800 7.856 7.920 7.976TOTAL 832.868 837.769 842.399 847.260 852.215 857.327 862.649 868.141
INDICADORES
Indicador es el valor numérico de una proporción o el resultado de una división. Un indicador es más que undato o valor numérico: es una herramienta diseñada a partir de datos que le dan sentido y facilitan lacomprensión de la información. Un indicador debe ser una información sintética que oriente sobre dónde seestá respecto a cierta política y que ayude a los responsables en la toma de decisiones. Los indicadorespueden ayudar a que los responsables de la política concentren su atención en la urgencia de las cuestionesprioritarias y en la importancia de las mejoras y los retrasos. Los indicadores se utilizan cada vez más comoherramienta del diálogo político al proporcionar información de seguimiento. Mientras que los datos los utilizanlos economistas y los sociólogos, los indicadores son utilizados por los políticos, los medios de comunicación ylos activistas. Los indicadores se deben diseñar con fines evaluadores y no con fines descriptivos. Así puedencomprobar el progreso o la recesión en términos de objetivos específicos. En segundo lugar, deben serrelevantes y emitir mensajes claros sobre las cuestiones de interés actual y sobre las que puedan verseafectadas por una respuesta política. Un indicador debería tener, al menos, las siguientes características:
Simplificación. La realidad en la que se actúa es multidimensional, un indicador puede considerar algunade tales dimensiones (económica, social, cultural política, etc.), pero no puede abarcarlas todas.
Medición. Permite comparar la situación actual de una dimensión de estudio en el tiempo o respecto apatrones establecidos.
Comunicación. Todo indicador debe transmitir información acerca de un tema en particular para la tomade decisiones.
Ser confiable. Ser confiable exige decir siempre la verdad, no engañar a otros. Periódicamente actualizado. Estar al día con los nuevos datos. Claro. Que se distingue bien
En resumen los indicadores también se los denomina índices y pueden ser simples y compuestos; simples sonvalores relativos, o sea, sin unidad de medida, expresados en porcentajes y son utilizados para indicar lasdiferentes variaciones o movimientos que presenta una serie de valores, mediante la comparación conrelación a uno de ellos llamado base, para investigar el otro. Los números índices se clasifican de acuerdo asu base, fija y móvil y éstos se subdividen en otros.
INDICADORES SIMPLES
Los números índices simples se refieren a un solo artículo o concepto, lo cual se traduce a trabajar con una
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variable unidimensional. Son simples relaciones o porcentajes entre los valores de un artículo o conceptocorrespondientes a dos épocas o lugares que desean compararse. La comparación se realiza entre el valorcorrespondiente a un periodo fijo (periodo base) y el valor alcanzado por la magnitud en cualquier otromomento t.
APLICACIONES DE LOS NÚMEROS ÍNDICES
Los números índices son muy versátiles, lo que los hace aplicable a cualquier ciencia o campo de estudio.Esencialmente se usan para hacer comparaciones.En educación se pueden usar los números índices para comparar la inteligencia relativa de estudiantes ensitios diferentes o en años diferentes.
Los gerentes se valen de los números índices como parte de un cálculo intermedio para entender mejor otrainformación.
Los índices estacionales sirven para modificar o mejorar las estimaciones del futuro.En el campo donde los números índices son de mayor utilidad es, en la economía, ya que esta se vale deindicadores económicos, para estudiar las situaciones presentes y tratar de predecir las futuras, dichosindicadores económicos en esencia son números índices.
VENTAJAS DE LOS NÚMEROS ÍNDICES
Un índice muestra el cambio en porcentajes del año base.Si no existiera cambio alguno, el numerador y el denominador serian iguales.Un número índice puede representar cambios en muchas cantidades.Un número índice facilita comparar los cambios en diferentes tipos de información.
Como los números índices muestran cambios en porcentaje, más bien que cambios aritméticos, el tamaño dela información y las unidades de medición no son importantes.
Los números índices, son resultados de la una relación entre datos de una misma variable en dos épocasdiferentes, tomando uno de ellos como base que corresponde a un período ubicado en el denominador y elvalor a investigar en el numerador multiplicado en algunas ocasiones por: 100, 1000, 10.000, 100.000,1.000.000; dependiendo como se quiera impactar; en forma general para el cálculo de valores se puedeutilizar la siguiente formula:
I =b
i
VV * 100
Dónde:
I = Número índiceVi = Valor a investigar.Vb = Valor tomado como base.
Los símbolos Vi y Vb pueden tomar diferentes valores de acuerdo al tema, ellos pueden ser precios,
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masculinidad, femineidad, dependencia, tiempo, número de personas, número de artículos, salarios,temperaturas, etc. en general se denominan datos investigados (Vi) y otros tomados como base (Vb) que estánrelacionados entre sí.
INDICADORES DEMOGRAFICOS
La demografía es el estudio de la población y como ciencia tiene como objetivo el estudio de las poblacioneshumanas y trata de su dimensión, estructura, evolución y características generales; los indicadoresdemográficos se encargan estadísticamente de la estructura y la dinámica de las poblaciones, así como losprocesos concretos que determinan la formación, la conservación y la desaparición de las poblaciones. Losprincipales indicadores o índices vitales se refieren a poblaciones, sus características y eventos, se dividen endemográficos y de morbilidad
Los Indicadores Demográficos Básicos constituyen una colección de indicadores que resumen la evoluciónhistórica del comportamiento de los fenómenos demográficos básicos (natalidad, fecundidad, mortalidad ynupcialidad) y del crecimiento y estructura de la población residente en el país. Tales indicadores se calculan apartir de los resultados de las estadísticas del Movimiento Natural de la Población; en Colombia la estructurademográfica se clasifica, así:
Según el censo de 2005 la población Colombiana estaba conformada de la siguiente manera Tabla 3:
TABLA 3 CENSO 2005
CENSO2005
42.888.594 Hb. 31.886.602 Hb. 74.3% Cabeceras municipales11.001.990 Hb. 25.7% En el sector rural22.044.737 Hb 51.4% Son mujeres20.843.857 Hb. 48.6% Son hombres
INTERPRETACION DE INDICADORES O INDICES
Las variables que se ubican en el numerador y el denominador deben estar claramente definidas en el tiempoy en el espacio; país, departamento, municipio, vereda etc.
TRANSICIONDEMOGRAFICA EN
COLOMBIA
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En forma general un indicador o índice se puede representar de la siguiente forma y su interpretación sepuede hacer de dos maneras:
Hay K unidades de numerador (en sus unidades de medida) por cada unidad de denominador (en susunidades de medida).
Por cada unidad de denominador (en sus unidades de medida) hay K unidades de numerador (en susunidades de medida).
EJEMPLO. Hallar el índice de masculinidad y realizar su correspondiente interpretación, de acuerdo a lasexplicaciones realizadas anteriormente.
%87%8.86100*Mujeres14.350.200Hombres300.457.12ImasculinaddeIndice m
Interpretación: El índice anterior se puede interpretar de dos maneras, así:
El resultado anterior nos muestra que en la ciudad X hay 87 hombres por cada 100 mujeres. El resultado anterior no muestra que en la ciudad X por cada 100 mujeres hay 87 hombres.
Entre los diferentes indicadores demográficos que se pueden utilizar para los diferentes trabajos pueden estarlos siguientes:
Índice de masculinidad. También llamado razón de sexo es un índice demográfico que expresa la razón dehombres frente a mujeres en un determinado territorio, expresada en tanto por ciento. Se calcula usando lafórmula:
EJEMPLO: El índice de masculinidad para el 2005 según Tabla anterior fue de:
%94%5.94100*hb22.044.737hb20.843.857ImasculinaddeIndice m
El resultado anterior nos expresa que por cada 100 mujeres hubo 94 hombres en el CENSO del año 2005.
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Índice de femineidad. Es el cociente entre el número de mujeres y el número de hombres en una población.Expresa la cantidad de mujeres por cada 100 hombres.
EJEMPLO: El índice de femineidad para el 2005 según Tabla anterior fue de:
%106%8.105100*hb20.843.857hb22.044.737IfemineidaddeIndice f
El resultado anterior nos muestra que por cada 100 hombres hubo 106 mujeres, de acuerdo a los datos delCENSO del año 2005
TALLER COMPLEMENTARIO 7:
Se puede hallar el índice de masculinidad y femineidad y hacer su respectivo análisis con los datos de la Tabla4, CENSO de 1985 que está relacionado con los habitantes de unos sectores del departamento de Nariño.
TABLA 4 COMPLETAR ÍNDICESSECTOR HABITANTES INDICES
TOTAL MUJERES HOMBRES Im IfDpto Nariño 1.019.098 516.683 502.415Pasto 244.700 128.957 115.743Córdoba 11.353 5.640 5.719Ipiales 69.894 35.995 33.898La cruz 19.986 10.173 9.813Samaniego 43.745 21.304 22.441Sandoná 26.708 13.434 13.274Tumaco 94.230 46.644 47.286Túquerres 33.202 17.132 16.070
Dentro de la sociedad existen dos grupos de personas, los activos y los dependientes, los primeros sonaquellos que están comprendidos entre las edades de 15 a 65 años; en tanto que los dependientes sonaquellas personas menores de 15 y mayores de 65 años de edad. Los dependientes a su vez se clasifican en3 grupos que son: juvenil, senil y total. Para hallar el grado de dependencia se puede utilizar los datos de laTabla 5, resultados tomados del DANE que pertenecen al número de habitantes de 6 CENSOS Colombianos.
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TABLA 5 CENSOS DE COLOMBIAHABITANTES EDADES EN AÑOS
AÑO TOTAL HOMBRES MUJERES <15 <15 <65 65>
1938 8.643.6014.361.231
4.282.3701.837.2931.793.332
2.412.2682.353.652
111.670135.386
1951 11.962.3605.917.074
6.045.2862.583.1622.560.678
3.169.1673.282.819
164.745201.789
1964 17.484.5098.614.652
8.869.8574.129.2734.026.256
4.244.9864.559.732
240.393283.869
1973 20.666.92010.124.394
10.542.5264.611.0704.521.544
5.210.0395.674.098
303.285346.884
1985 27.837.93213.777.700
14.0602.325.107.3114.933.726
8.149.4538.556.777
520.936569.729
2005 42.888.59420.843.857
22.044.737
Índice de dependencia juvenil. Para hallar el índice de dependencia juvenil correspondiente al año de 1938,se puede utilizar la siguiente fórmula:
Dónde
Pi = Población investigada menor a 15 años.Pb = Población tomada como base activa para 1938.Ij = Índice de dependencia juvenil.
Reemplazando en la ecuación para Ij se obtiene su valor.
Ij =b
i
PP =
2353652241226817933321837293 * 100 =
4765920hb3630625hb * 100 = 76.18% = 76%
Este resultado indica que en el año de 1938 por cada 100 personas activas dependieron 76 con edad menor a15 años.
Índice de dependencia senil. Para encontrar el índice de dependencia senil para el año de 1938, según losdatos de la Tabla 3 se proceden a utilizar la siguiente formula:
Is =b
i
PP 100
Ij =b
i
PP * 100
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Dónde:
Pi = Población investigada mayor a 65 años.Pb = Población base, activa para 1938.Is = Índice de dependencia senil.
Is =b
i
PP =
4765920135386111670 *100 =
4765920247056 * 100 = 5.18% = 5%
El resultado indica que, por cada 100 personas activas dependen 5, con edad mayor a 65 años.
Índice de dependencia total. Para hallar el índice de dependencia total para el año de 1938 se puedecalcular en forma similar a los dos casos anteriores con la siguiente formula:
It =b
i
PP 100
It =b
i
PP 100=
47654202470563630625 * 100 =
47654203877681 * 100 = 81.4% = 81%
It = 81%
Este resultado indica que por cada 100 personas activas dependen, 81 con edades menores a 15 y mayores a65 años.
TALLER COMPLEMENTARIO 8:
1. Hallar los índices de dependencia juvenil, senil y total para los CENSOS de los años de 1951, 1964, 1973y 1985 y consignar sus consolidados en la Tabla 6, haciendo sus respectivos análisis y comparando concada uno de los censos.
TABLA 6 DEPENDENCIA JUVENIL, SENIL y TOTALAÑO DEPENDECIA JUVENIL DEPENDENCIA SENIL DEPENDENCIA TOTAL1951196419731985
Último censo
2. De acuerdo al concepto de los siguientes índices; consultar y calcular cada uno de los indicadores en elmunicipio al cual usted pertenece; haciendo sus respectivos análisis.
Tasa bruta de mortalidad. Es el cociente entre el número medio anual de defunciones ocurridas durante unperíodo determinado y la población media del ese período.
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Tasa de mortalidad infantil. Es la probabilidad que tiene un recién nacido de morir antes de cumplir un añode vida. En la práctica, se define como el cociente entre las defunciones de los niños menores de un añoocurridas en un período dado y los nacimientos ocurridos en el mismo lapso
Tasa de mortalidad neonatal. Es el número de recién nacidos que mueren antes de alcanzar los 28 días deedad, por cada 100 nacidos vivos en un año determinado.
Tasa de mortalidad pos neonatal. Es la relación entre el número de fallecidos entre 28 días y un año y elnúmero de nacidos vivos de un período por 100 habitantes
Crecimiento total anual. Es el incremento medio anual total de una población, vale decir, el número denacimientos menos el de defunciones, más el de inmigrantes y menos el de emigrantes, durante undeterminado período.
Tasa de fecundidad por edad. Es el número promedio de nacimientos vivos en madres de una determinadaedad, con relación a la población femenina de la misma edad.
Tasa de nupcialidad. Es el cociente entre el número de matrimonios ocurridos en un determinado período yla población total de ese mismo período.
Tasa de divorcialidad. Es la relación entre el número de divorcios ocurridos en un determinado período y lapoblación media de ese mismo período
Tasa de inmigración. Este indicador es un cociente por mil habitantes entre el número de inmigraciones en
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una unidad de tiempo para un ámbito territorial determinado
Tasa de emigración. Es el número de emigrantes que abandonan las áreas de donde provienen por cada1.000 habitantes de esa misma
Tasa de migración. Es el cociente entre el saldo neto migratorio anual correspondiente a un períododeterminado y la población media del mismo período.
MORBILIDAD
Es la cantidad de individuos que son considerados enfermos o que son víctimas de enfermedad en un espacioy tiempo determinados. La morbilidad es, entonces, un dato estadístico de altísima importancia para podercomprender la evolución y avance o retroceso de alguna enfermedad, así también como las razones de susurgimiento y las posibles soluciones.
El indicador de morbilidad se refiere al estado de salud física y mental de una población entre las tasas másutilizadas se tienen: De prevalecencia, de morboletalidad, de accidentes (diversas causas), de accidentes detrabajo, de incapacidad etc.
TALLER COMPLEMENTARIO 9:
De acuerdo al concepto de los siguientes índices; consultar y calcular cada uno de los indicadores en elmunicipio al cual usted pertenece; haciendo sus respectivos análisis.
Tasa de prevalencia. E es el número de personas que padecen de una enfermedad determinada en un puntodeterminado de tiempo por cada 100 entre la población expuesta al riesgo.
Tasa de incidencia. Es el número de casos nuevos de una enfermedad en una población determinada y enun periodo determinado de tiempo por cada 100 entre la población expuesta al riesgo.
Tasa de letalidad. Es la proporción de personas que mueren por una enfermedad entre los afectados por lamisma en un periodo y área multiplicada por 100.
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Tasa de mortalidad materna. Es la cantidad de mujeres que mueren durante el embarazo y el parto entre eltotal de nacimientos nacidos vivos por 100.
INDICADOR SOCIAL
Un indicador social es una medida de resumen, de preferencia estadística, referente a la cantidad o magnitudde un conjunto de parámetros o atributos de una sociedad. Permite ubicar o clasificar las unidades de análisis(personas, naciones, sociedades, bienes, etc.) con respecto al concepto o conjunto de variables que se estánanalizando. Los indicadores sociales constituyen, a la vez, un instrumento de conocimiento que permitedescribir, comparar, explicar y prever un fenómeno social o una sociedad, y un instrumento de acción quepuede dar lugar a la intervención planificada con su propio sistema de evaluación de los logros y los costes delos objetivos y herramientas de desarrollo empleados de forma racional. Son indicadores que expresandiferentes situaciones de una comunidad en un momento o lapso determinado tales como: analfabetismo,delincuencia (general y específica), prostitución, ocupación y subocupación, etc.
El índice o tasa de alfabetización. Es el porcentaje de la población que sabe leer o escribir después de 14años entre la población mayor de 14 años por 100. No existe una convención internacional acerca de la edada tomar en cuenta ni el nivel cualitativo de lectura o escritura
Índice de analfabetismo. Es el porcentaje de analfabeta mayores de 14 años de edad entre la poblaciónmayor de a los 14 años por 100.
Tasa bruta de participación. Este indicador relaciona la Población en Edad de Trabajar con la PoblaciónTotal, es decir, determina la proporción de población mayor de doce (12) años respecto del número total depersonas de la ciudad por 100.
Tasa de desempleo. Se calcula como el cociente entre la población desempleada y la poblacióneconómicamente activa.
Tasa global de participación. Este indicador relaciona la Población Económicamente Activa como la
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proporción de la Población en Edad de Trabajar. Es decir, determina el porcentaje de la población en edad detrabajar que efectivamente se encuentra activa laboralmente, ya sea buscando empleo o trabajando.
INDICADORES COMPUESTOS
En términos técnicos, un indicador compuesto se define como una función de una o más variables, queconjuntamente “miden” una característica o atributo de los individuos en estudio. Un indicador compuesto alque se construye como función de dos o más variables, en cuyo caso se están midiendo característicasmultidimensionales por ejemplo precios y cantidad.
Estos índices se utilizan cuando se trabaja con más de dos variables tanto para el período llamado base,como para el período de investigación u observación. Los números índices compuestos llevan nombres deacuerdo a quien los encontró y se utiliza procedimientos similares a los índices simples.
ÍNDICE DE LASPEYRES
Consiste en comparar una serie de precios y cantidades en un determinado período tomado uno como base ylos otros serán motivo de investigación. Para los índices de cantidad y precios en un período de tiempo, seutilizan las siguientes expresiones:
ÍNDICE DE CANTIDAD ÍNDICE DE PRECIOS
100***
ICL
bb
bi
PCPC
100***
IPL
bb
ib
PCPC
Dónde:
Pi = Precios investigados.Cb = Cantidad de artículos base.Pb = Precios base.Ci = Cantidad de artículos investigados.IpL = Índice de precios de LASPEYRES.IcL = Índice de cantidades de LASPEYRES.
ÍNDICE DE PASSCHE
Consiste en tomar como constante el precio o la cantidad correspondiente al período de tiempo que se deseainvestigar, por medio de:
INDICES DE PRECIO INDICES DE CANTIDAD
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100***
IPP
bi
ii
PCPC
100***
ICP
ib
ii
PCPC
ÍNDICE DE FISHER
Consiste en la raíz cuadrada del producto de los índices de LASPEYRES y de PASSCHE tanto para precioscomo para cantidades.
ÍNDICE DE PRECIOS ÍNDICE DE CANTIDAD
pPpL II *IPF pPpL CC *ICF
EJEMPLO. Un padre de familia en época escolar del año 2007 sale de compras con una cantidad de $50700y compra los artículos que están en la columna 4 de la Tabla 30. Al año siguiente, en la misma época sale decompras con la cantidad de $64800 y logra comprar los artículos que se encuentran en la columna 6. Sedesea hallar el índice de precios y cantidad tomando como base el año de 2007, utilizando los tresprocedimientos anteriores.
Tomando como base el año 2007, se procede a identificar las variables de base y de investigación de acuerdoal modelo exigido para luego reemplazar; para una buena organización se ha elaborado la Tabla 7
TABLA 7 PRECIOS Y CANTIDAD
No.ARTÍCULO
Año 2007 Año 2008Precio $ Cantidad Precio $ Cantidad
1 Cuaderno A 650 24 800 242 Cuaderno B 1500 9 1800 93 Lapiceros 600 12 800 104 Borradores 300 18 400 165 Juego de Escuadras 3.000 3 5.000 3
TABLA 8 CÁLCULO DE PRECIOS Y CANTIDADES
No.ARTÍCULO
Año 2007 Año 2008 07-08 08-07
Pb Cb Pb.Cb Pi Ci Pi.Ci Pb.Ci Pi.Cb1 Cuaderno A 650 24 15.600 800 24 19.200 15.600 19.2002 Cuaderno B 1500 9 13.500 1.800 9 16.200 13.500 16.2003 Lapiceros 600 12 7.200 800 10 8.000 6.000 9.6004 Borradores 300 18 5.400 400 16 6.400 4.800 7.2005 Juego de E. 3.000 3 9.000 5.000 3 15.000 9.000 15.000
50.700 64.800 48.900 67.200
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CÁLCULO DE ÍNDICES DE LASPEYRES:
100***
ICL
bb
bi
PCPC
= 700.50900.48 0.96449*100 = 96.45%
ICL = 96.45%
La cantidad de artículos comprados en el año 2008 es aproximadamente del 96.45% con relación al año de2007.
100***
IPL
bb
ib
PCPC
= 700.50200.67 1.3254*100 = 132.54%
IPL = 132.54%
Los precios de los artículos en el 2008 han aumentado aproximadamente en un 32.54% con relación al año de2007.
CÁLCULO DE ÍNDICES PARA PASSCHE:
100***
ICP
ib
ii
PCPC
= 200.67800.64 0.9643*100 = 96.43%
ICP = 96.43%
La cantidad de artículos comprados en el año 2008 es aproximadamente del 96.43% con relación al año de2007.
100***
ILASPEYRESPARACANTIDADDEINDICE CL
bb
bi
PCPC
100***
ILASPEYRESPARAPRECIOSDEINDICE PL
bb
ib
PCPC
100***
IPASSCHEPARACANTIDADDEINDICE CP
ib
bi
PCPC
100***
IPASSCHEPARAPRECIOSDEINDICE PP
bi
ii
PCPC
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100***
IPP
bi
ii
PCPC
= 900.48800.64 1.3252*100 = 132.52%
IPP = 132.52%
Los precios de los artículos en el 2008 han aumentado aproximadamente en un 32.52% con relación al año de2007.
CÁLCULO DE INDICES PARA FISHER:
PPPLPF I*II = 32.52)(132.54)(1 = 132.53%
CPCLCF I*II = .43)(96.45)(96 = 96.44%
Las interpretaciones para este caso son similares a las anteriores.
TALLER COMPLEMENTARIO 10
Consultar los precios de los artículos de la Tabla 9 y hallar los 3 índices, tomando como base a) el año de2012 b) 2013 (Tabla 10); haciendo sus respectivos análisis con los resultados obtenidos y consignados en lastablas correspondientes.
TABLA 9 PRECIOS Y CANTIDAD
ARTICULOSAÑO 2012 AÑO 2013
PRECIOS CANTIDAD PRECIOS CANTIDADP $ C P $ C
1) Cuadernos A2) Cuadernos B3) Libros4) 4. Diccionario5) Juego de escuadras6) Colores
PPPLPF I*IIFISHERPARAPRECIOSDEINDICE
PPPLPF I*IIFISHERPARACANTIDADDEINDICE
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7) Uniforme diario8) Maletín9) Sudadera10) Camiseta11) Zapato Tenis12) Zapato negro diario
TABLA 10 CÁLCULO DE PRECIOS Y CANTIDADES
ARTICULO AÑO 2012 AÑO 2013 2012 - 2013 2013 - 2012Pb Cb Pb*Cb Pi Ci Pi*Ci Pb*Ci Pi*Cb
123456789
10111213
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6. PROYECCION DEPOBLACIONES
Para realizar proyecciones de poblaciones existen varios procedimientos, entre ellos están; el métodoaritmético que se divide en interpolación y extrapolación; el método geométrico con sus correspondientesdivisiones produce una aproximación bastante confiable al valor real.
INTERPOLACIÓN ARITMÉTICA
Este método es utilizado cuando se desea conocer el número de habitantes o seres vivos entre dos censosconsecutivos por medio de la siguiente expresión matemática.
)( aXabPPPP ab
aX
Dónde:
a = Fecha del primer censo.b = Fecha del segundo censo.X = Fecha comprendida entre a y b.Pa = Población del primer censo.Pb = Población del segundo censo.Px = Población buscada o de proyección.
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TABLA 1 CENSOS DE COLOMBIAHABITANTES EDADES EN AÑOS
AÑO TOTAL HOMBRES MUJERES <15 <15 <65 65>
1938 8.643.6014.361.231
4.282.3701.837.2931.793.332
2.412.2682.353.652
111.670135.386
1951 11.962.3605.917.074
6.045.2862.583.1622.560.678
3.169.1673.282.819
164.745201.789
1964 17.484.5098.614.652
8.869.8574.129.2734.026.256
4.244.9864.559.732
240.393283.869
1973 20.666.92010.124.394
10.542.5264.611.0704.521.544
5.210.0395.674.098
303.285346.884
1985 27.837.93213.777.700
14.0602.325.107.3114.933.726
8.149.4538.556.777
520.936569.729
2005 42.888.59420.843.857
22.044.737
Tomando los datos de la Tabla 1 y especialmente el total de habitantes que corresponde a los censos de 1973y 1985. Hallar el número aproximado de habitantes en el año de 1980
a = 1973 primer censo.b = 1985 segundo censo.X = 1980 fecha a investigar.Pa = 20.666.920 habitantes población primer censo.Pb = 27.837.932 habitantes población segundo censo.
Reemplazando en la expresión correspondiente se tiene:
Px = 20.666.920 +1973-198520.666.920-27.837.932 (1980 - 1973)
Px = 20.666.920 + 4.183.090Px = 24.850.010 habitantes
O sea que la población aproximada en el año de 1980 fue de 24'850.010 hb.
EXTRAPOLACIÓN ARITMÉTICA
Este procedimiento se utiliza cuando se desea conocer una población que no está comprendida entre doscensos consecutivos, o sea que la fecha buscada puede ser anterior o posterior al intervalo de los dos censos,utilizando la siguiente expresión:
Px = Pb +abPP ab
(X - b)
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Dónde:
X es la fecha para la cual se desea conocer la población que no está en el intervalo de los dos censosconsecutivos.
Según los datos de la Tabla 1 y especialmente los que corresponde al año de 1973 y 1985, se desea conocerla población colombiana aproximada para el año de 1990.
a = 1973 Primer censo.b = 1985 Segundo censo.X = 1990 Fecha a investigar.Pa = 20.666.920 hb para 1973.Pb = 27.837.932 hb para 1985.
Reemplazando los valores anteriores en su ecuación correspondiente se obtendrá el valor deseado:
Px = 27.837.932 +1973-198520.666.920-27.837.932 (1990 -1985)
Px = 27.837.932 + 2.987.922Px = 30.825.854 hb, población para el año de 1990
MÉTODOS GEOMÉTRICOS DE PROYECCIÓN
Estos procedimientos son aplicados cuando se hace proyecciones o estimaciones de poblaciones en períodosmás o menos largos con relación al último censo. Para el cálculo de poblaciones existen diferentes métodosen donde sus resultados tienen una estrecha relación.
PRIMER MÉTODO. Para este caso se utiliza:
tbX rPP 1
Dónde:
r = Corresponde a la tasa de crecimiento poblacional.t = Resultado de la diferencia entre las fechas Px y Pb.Pb = Población correspondiente al último censo (segundo).
Para el cálculo de r se utiliza una expresión que está relacionado con dos censos consecutivos.
100*1
n
PPra
b
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Dónde:
n, equivale a la diferencia de fechas entre Pb y Pa que pertenece a dos censos consecutivos.
Utilizando los datos de la Tabla 1, hacer una proyección de la población colombiana para el año de 1990 y1995, utilizando los últimos censos de 1973 y 1985
n = b - a = 1985 - 1973 = 12 años.
100*11220.666.92027.837.932
r
r = (1.02513 – 1)*100 = (0.025)*100r = 2.5%
t = X - b = 1990 - 1985 = 5 años.t = 5 años.Pa = 20.666.920 hb.Pb = 27.837.932 hb.
La población para el año de 1990 será:
Px = = Pb*(1 + r)t = 27.837.932 (1 + 0.025)5 = 27.837.932(1.1314)Px = 31.496.065 hb.
La población para el año de 1995 será:
t = X - b = 1995 - 1985 = 10 años.t = 10 años.
Px == Pb*(1 + r)t = 27.837.932 (1 + 0.025)10 = 27.837.932 (1.2800)Px = 35.634.907 hb.
SEGUNDO MÉTODO. Este procedimiento utiliza la siguiente expresión matemática:
Px = Pb*aXbX
a
b
PP
Dónde:
X pertenece a la fecha del año de proyección.
Con los datos de la Tabla 1 especialmente los que corresponden a los últimos dos censos, se puede calcularla población para los años de 1990 y 1995
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X - b = 1990 - 1965 = 5 años.b - a = 1985 - 1973 = 12 años.
La población para el año de 1990 será:
Px = Pb*aXbX
a
b
PP
= 27.837.932*
125
20.666.92027.837.932
Px = 27.837.932 (1.347)0.41667 = 27.837.932 (1.1324)Px = 31.516.457 hb.
La población para el año de 1995 será:
X - b = 1995 - 1985 = 10 años.
Px = Pb*aXbX
a
b
PP
= 27.837.932
1210
20.666.92027.837.932
Px = 27.837.932 (1.282)Px = 35.680.725 hb.
TERCER MÉTODO. Para utilizar este procedimiento de proyección geométrica hay necesidad de encontrar enprimer lugar la tasa de crecimiento poblacional (r), mediante la siguiente expresión.
r =))((
)(2PaPbab
PaPb
Para calcular la población de proyección se hace con la siguiente expresión:
Px = Pb)(22)(bXr
bXr
Si se desea calcular el número de habitantes para los años de 1990 y 1995, según los censos de los años1973 y 1985, para los datos de la Tabla 1
Población para el año de 1990 será:
Pb = 27.837.932 hb.Pa = 20.666.920 hb.b = 1985 segundo censo.a = 1973 primer censo.
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X - b = 1990 - 1985 = 5 años.b - a = 1985 - 1973 = 12 años.
r =))((
)(2PaPbab
PaPb
=)20.666.9202(27.837.93*12
)20.666.920-2(27.837.93*2
r =2)(48.504.85*12)(7.171.012*2 = 0.0246 = 0.025 r = 0.025
Px = Pb)(22)(bXr
bXr = 27.837.932
5*(0.0025)-225*(0.025) = 27.837.932*
1.8752.125
Px = 31.549.656 hb.
La población para el año de 1995 será:X - b = 1995 - 1985 = 10 años.
Px = Pb)(22)(bXr
bXr = 27.837.932
10*(0.0025)-2210*(0.025) =27.837.932
75.125.2
Px = 35.791.627 hb.
Para calcular las proyecciones de poblaciones se puede hacer utilizando métodos aritméticos o geométricos,sin embargo los estadísticos recomiendan utilizar los métodos geométricos debido a que la población aumentaen forma geométrica y así llegar a obtener una población estimada que sea más confiable y su resultado serábastante aproximado al real.
TABLA 2 HABITANTES DEL DEPARTAMENTO DE NARIÑOSECTOR HABITANTES
1964 1973 1985Dpto Nariño 705.611 809.178 890.934Pasto 112.876 147.779 256.846Tumaco 21.427 80.885 97.682Ipiales 39.727 50.571 75.004Tuquerres 25.628 28.225 35.510Samaniego 17.260 32.220 46.292Córdoba 9.518 10.572 12.824
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TABLA 3 CENSOS DE COLOMBIACENSOS COLOMBAINOS A PARTIR DEL PERIODO REPUBLICANO
ORDEN DEL CENSO AÑO NUMERO HABITANTES1 1825 1.228.2502 1835 1.686.0383 1843 1.955.2644 1851 2.243.7305 1864 2.694.4876 1870 2.890.6377 1905 4.355.4778 1912 5.072.6049 1918 5.855.47710 1928 7.851.11011 1938 8.643.60112 1951 11.962.36013 1964 17.484.50914 1963 20.666.92015 1985 27.837.93216 2005 42.888.592
TALLER COMPLEMENTARIO 11
Hallar la población por medio de la interpolación aritmética para el año de 1970 y 1980 utilizando los datos dela Tabla 2.
TABLA 4 INTERPOLACIÓN ARITMÉTICASECTOR HABITANTES
1964 1970 1973 1980 1985Dpto Nariño 705.611 809.178 890.934Pasto 112.876 147.779 256.846Tumaco 21.427 80.885 97.682Ipiales 39.727 50.571 75.004Tuquerres 25.628 28.225 35.510Samaniego 17.260 32.220 46.292Córdoba 9.518 10.572 12.824
Hacer una extrapolación aritmética para el año de 1960 y 1990, utilizando los datos de la Tabla 2.
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TABLA 5 EXTRAPOLACIÓN ARITMÉTICASECTOR HABITANTES
1960 1964 1973 1985 1990Dpto Nariño 705.611 809.178 890.934Pasto 112.876 147.779 256.846Tumaco 21.427 80.885 97.682Ipiales 39.727 50.571 75.004Tuquerres 25.628 28.225 35.510Samaniego 17.260 32.220 46.292Córdoba 9.518 10.572 12.824
Hacer una proyección geométrica poblacional para los años 1990, 2000, 2005 y 2010, tomando datos de losúltimos de la Tabla 2 utilizando los tres métodos para tal proyección; consignar sus resultados en la Tabla 6
TABLA No: 8.6 MÉTODO 1 PROYECCIÓN GEOMÉTRICA
SECTOR HABITANTES1973 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Dep.Nariño 809.178 890.934Pasto 147.779 256.846Tumaco 80.885 97.682Ipiales 50.571 75.004Tuquerres 28.225 35.510Samaniego 32.220 46.292Córdoba 10.572 12.824
TABLA 7 MÉTODO 2 PROYECCIÓN GEOMÉTRICA
SECTOR HABITANTES1973 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Dep.Nariño 809.178 890.934Pasto 147.779 256.846Tumaco 80.885 97.682Ipiales 50.571 75.004Tuquerres 28.225 35.510Samaniego 32.220 46.292Córdoba 10.572 12.824
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TABLA 8 MÉTODO 3 PROYECCIÓN GEOMÉTRICA
SECTORHABITANTES
1973 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Dep.Nariño 809.178 890.934Pasto 147.779 256.846Tumaco 80.885 97.682Ipiales 50.571 75.004Tuquerres 28.225 35.510Samaniego 32.220 46.292Córdoba 10.572 12.824
Hacer una proyección geométrica poblacional para los años de la Tabla 9 tomando los datos de los dosúltimos censos Tabla 3; utilizando los tres métodos para esta proyección y sus resultados consignar datos enla Tabla 9
TABLA 9 HABITANTES PROYECTADOSAÑOS HAB.BASE HABITANTES PROYECTADOS
1963 20.666.920 METÓDO1 MÉTODO2 MÉTODO3 PROMEDIO1985 31.593.5872000200220042006200820102012
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TABLA 10 CENSOS DE COLOMBIACENSOS COLOMBAINOS A PARTIR DEL PERIODO REPUBLICANO
ORDEN DEL CENSO AÑO NUMERO DE HABITANTES
1 1825 1.228.2502 1835 1.686.0383 1843 1.955.2644 1851 2.243.7305 1864 2.694.4876 1870 2.890.6377 1905 4.355.4778 1912 5.472.6049 1918 5.855.07710 1928 7.851.11011 1938 8.697.04112 1951 12.739.91013 1964 18.337.97314 1973 23.881.85115 1985 31.593.58716 1993 37.422.79117 2005 42.888.592
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BIBLIOGRAFIA BARBANCHO, Alfonso G. Estadística elemental moderna: Barcelona, Ediciones Ariel, 1978.
BRIONES, Guillermo. Métodos y técnicas de investigación para las ciencias sociales: Editorial Trillas,
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DEPARTAMENTO ADMINISTRATIVO NACIONAL DE ESTADISTICA "DANE". Colombia estadística
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JIMENEZ, D. Germán D. Bioestadística: Bogotá, USTA, 1988.
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YAMANE, Taro. Estadística: México, Editorial Harla, 1981.
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ANEXOSANEXO 1 TABLA B PROBABILIDADES BINOMIALES
Pn K 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,501 0 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000
1 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,25001 0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,50002 0,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500
3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,12501 0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,37502 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,37503 0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250
4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,06251 0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,25002 0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,37503 0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,25004 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625
5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,03121 0,2036 0,3280 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,15622 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,31253 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,31254 0,0000 0,0004 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,15625 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0312
6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,01561 0,2321 0,3514 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,09382 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,23443 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,31254 0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,23445 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609 0,09386 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083 0,0516
7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,00781 0,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,1848 0,1306 0,0872 0,05742 0,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,2985 0,2613 0,2140 0,16413 0,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2679 0,2903 0,2918 0,27344 0,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1442 0,1935 0,2388 0,27345 0,0009 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0466 0,0774 0,1172 0,16416 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0036 0,0084 0,0172 0,0320 0,0547
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7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0037 0,0078
8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,00391 0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1373 0,0896 0,0548 0,03122 0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2587 0,2090 0,1569 0,10943 0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2786 0,2087 0,2568 0,21884 0,0004 0,0046 0,0815 0,0459 0,0865 0,1361 0,1875 0,2322 0,2627 0,27345 0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0808 0,1239 0,1719 0,21886 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,10947 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,03128 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0017 0,0039
9 0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,00201 0,2985 0,3874 0,3679 0,3020 0,2253 0,1556 0,1004 0,0605 0,0339 0,01762 0,0629 0,1722 0,2597 0,3020 0,3003 0,2668 0,2162 0,1612 0,1110 0,07033 0,0077 0,0446 0,1069 0,1762 0,2336 0,2668 0,2716 0,2508 0,2119 0,16414 0,0006 0,0074 0,0283 0,0661 0,1168 0,1715 0,2194 0,2508 0,2600 0,24615 0,0000 0,0008 0,0050 0,0165 0,0389 0,0735 0,1181 0,1672 0,2128 0,24616 0,0000 0,0001 0,0006 0,0028 0,0087 0,0210 0,0424 0,0743 0,1160 0,16417 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0012 0,0039 0,0098 0,0212 0,0407 0,07038 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0035 0,0083 0,07169 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0008 0,0020
10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,00101 0,3151 0,3847 0,3474 0,2684 0,1877 0,1211 0,0725 0,0403 0,0207 0,00982 0,0746 0,1937 0,2759 0,3020 0,2816 0,2335 0,1757 0,1209 0,0763 0,04393 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2503 0,2668 0,2522 0,2150 0,1665 0,11724 0,0010 0,0112 0,0401 0,0881 0,1460 0,2001 0,2377 0,2508 0,2384 0,20515 0,0001 0,0015 0,0085 0,0264 0,0584 0,1029 0,1536 0,2007 0,2340 0,24616 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0162 0,0368 0,0689 0,1115 0,1596 0,20517 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0031 0,0090 0,0212 0,0425 0,0746 0,11728 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0043 0,0106 0,0229 0,04399 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0042 0,009810 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010
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17 0 0,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0075 0,0023 0,0007 0,0002 0,0000 0,00001 0,3741 0,3150 0,1893 0,0957 0,0426 0,0169 0,0060 0,0019 0,0005 0,00012 0,1575 0,2800 0,2673 0,1914 0,1136 0,0581 0,0260 0,0102 0,0035 0,00103 0,0415 0,1556 0,2359 0,2393 0,1893 0,1245 0,0701 0,0341 0,0144 0,00524 0,0076 0,0605 0,1457 0,2093 0,2209 0,1868 0,1320 0,0796 0,0411 0,01825 0,0010 0,0175 0,0668 0,1361 0,1914 0,2081 0,1849 0,1379 0,0875 0,04726 0,0001 0,0039 0,0236 0,0680 0,1276 0,1784 0,1991 0,1839 0,1432 0,09447 0,0000 0,0007 0,0065 0,0267 0,0068 0,1201 0,1685 0,1927 0,1841 0,14848 0,0000 0,0001 0,0014 0,0084 0,0279 0,0644 0,1134 0,1606 0,1883 0,18559 0,0000 0,0000 0,0003 0,0021 0,0093 0,0276 0,0611 0,1070 0,1540 0,1855
ESTADISTICA 2
Página 98 de 110
10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0025 0,0095 0,0263 0,0571 0,1008 0,148411 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0026 0,0090 0,0242 0,0525 0,094412 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0021 0,0215 0,047213 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0021 0,0068 0,018214 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0016 0,005215 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,001016 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000117 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
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19 0 0,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,00001 0,3774 0,2852 0,1529 0,0585 0,0268 0,0093 0,0029 0,0008 0,0002 0,00002 0,1787 0,2852 0,2428 0,1540 0,0803 0,0358 0,0138 0,0046 0,0013 0,00033 0,0533 0,1796 0,2428 0,2182 0,1517 0,0869 0,0422 0,0175 0,0062 0,00184 0,0112 0,0798 0,1714 0,2182 0,2023 0,1491 0,0909 0,0467 0,0203 0,00745 0,0018 0,0266 0,0907 0,1636 0,2023 0,1916 0,1468 0,0933 0,0497 0,02226 0,0002 0,0069 0,0374 0,0955 0,1574 0,1916 0,1844 0,1451 0,0949 0,05187 0,0000 0,0014 0,0122 0,0443 0,0974 0,1525 0,1844 0,1797 0,1443 0,09618 0,0000 0,0002 0,0032 0,0166 0,0487 0,0981 0,1489 0,1797 0,1771 0,14429 0,0000 0,0000 0,0007 0,0051 0,0198 0,0514 0,0980 0,1464 0,1771 0,176210 0,0000 0,0000 0,0001 0,0013 0,0066 0,0220 0,0528 0,0976 0,1449 0,176211 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0077 0,0233 0,0532 0,0970 0,144212 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0022 0,0083 0,0237 0,0529 0,096113 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0024 0,0085 0,0233 0,051814 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0082 0,022215 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0022 0,007416 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018
ESTADISTICA 2
Página 99 de 110
17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,000318 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000019 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
20 0 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,00001 0,3774 0,2702 0,1368 0,0576 0,0211 0,0068 0,0020 0,0005 0,0001 0,00002 0,1887 0,2852 0,2293 0,1369 0,0669 0,0278 0,0100 0,0031 0,0008 0,00023 0,0596 0,1901 0,2428 0,2054 0,1339 0,0716 0,0323 0,0123 0,0040 0,00114 0,0133 0,0898 0,1821 0,2182 0,1897 0,1304 0,0738 0,0350 0,0139 0,00465 0,0022 0,0319 0,1028 0,1746 0,2023 0,1789 0,1272 0,0746 0,0365 0,01486 0,0003 0,0089 0,0454 0,1091 0,1686 0,1916 0,1712 0,1244 0,0746 0,03707 0,0000 0,0020 0,0160 0,0545 0,1124 0,1643 0,1844 0,1659 0,1221 0,07398 0,0000 0,0004 0,0046 0,0222 0,0609 0,1144 0,1614 0,1797 0,1623 0,12019 0,0000 0,0001 0,0011 0,0074 0,0271 0,0654 0,1158 0,1597 0,1771 0,160210 0,0000 0,0000 0,0002 0,0020 0,0099 0,0308 0,0686 0,1171 0,1593 0,176211 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0030 0,0120 0,0336 0,0710 0,1185 0,160212 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0039 0,0136 0,0355 0,0727 0,120113 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0045 0,0146 0,0366 0,073914 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0049 0,0150 0,037015 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0013 0,0049 0,014816 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0013 0,004617 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,001118 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000219 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000020 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
ESTADISTICA 2
Página 100 de 110
ANEXO 2 TABLA P PROBABILIDADESDE POISSONµ
K 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0,9950 0,9990 0,9802 0,9704 0,9608 0,9512 0,9418 0,9324 0,92310,9139
1 0,0050 0,0099 0,0192 0,0291 0,0384 0,0476 0,0565 0,0653 0,07380,0823
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3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,00010,0001
µK 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,40660,3679
1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3593 0,36590,3679
2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1217 0,1438 0,16470,1839
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6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,00030,0005
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µK 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
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ESTADISTICA 2
Página 101 de 110
8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,00060,0009
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µK 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
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µK 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0
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ESTADISTICA 2
Página 102 de 110
42
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µK 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0
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ESTADISTICA 2
Página 103 de 110
14 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,00040,0005
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µK 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0
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ESTADISTICA 2
Página 104 de 110
64
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19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,00010,0001
µK 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0
0 0,0008 0,0007 0,0007 0,0006 0,0005 0,0006 0,0005 0,0004 0,00040,0003
1 0,0059 0,0054 0,0049 0,0045 0,0041 0,0038 0,0035 0,0032 0,00290,0027
2 0,0208 0,0194 0,0180 0,0167 0,0156 0,0145 0,0134 0,0125 0,01160,0107
3 0,0492 0,0464 0,0438 0,0413 0,0389 0,0366 0,0345 0,0324 0,03050,0286
ESTADISTICA 2
Página 105 de 110
4 0,8740 0,0836 0,0799 0,0764 0,0729 0,0696 0,0663 0,0632 0,06020,0573
5 0,1241 0,1204 0,1167 0,1130 0,1094 0,1057 0,1021 0,0986 0,09510,0916
6 0,1468 0,1445 0,1420 0,1394 0,1367 0,1339 0,1311 0,1282 0,12520,1221
7 0,1489 0,1486 0,1481 0,1474 0,1465 0,1454 0,1442 0,1428 0,14130,1396
8 0,1321 0,1337 0,1351 0,1363 0,1373 0,1382 0,1388 0,1392 0,13950,1396
9 0,1042 0,1070 0,1096 0,1121 0,1144 0,1167 0,1187 0,1207 0,12240,1241
10 0,0740 0,0770 0,0800 0,0829 0,0858 0,0887 0,0914 0,0941 0,09670,0993
11 0,0478 0,0504 0,0531 0,0558 0,0585 0,0613 0,0640 0,0667 0,06950,0722
12 0,0283 0,0303 0,0232 0,0344 0,0366 0,0388 0,0411 0,0434 0,04570,0481
13 0,0154 0,0168 0,0182 0,0196 0,0211 0,0227 0,0243 0,0260 0,02780,0296
14 0,0078 0,0086 0,0095 0,0104 0,0113 0,0123 0,0134 0,0145 0,15700,0169
15 0,0037 0,0041 0,0046 0,0051 0,0057 0,0062 0,0069 0,0075 0,00830,0090
16 0,0016 0,0019 0,0021 0,0024 0,0026 0,0030 0,0033 0,0037 0,00410,0045
17 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0012 0,0013 0,0015 0,0017 0,00190,0021
18 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0006 0,0006 0,0007 0,00080,0009
19 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,00030,0004
20 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,00010,0002
21 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00010,0001
ESTADISTICA 2
Página 106 de 110
ANEXO 3 TABLA N AREA BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA DE 0 a Z
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07540,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,25490,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3440 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3770 0,3770 0,37701,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0.3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4134 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4775 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
ESTADISTICA 2
Página 107 de 110
ANEXO 4 TABLA NA NUMEROS ALEATORIOS
23
15
75
48
59
01
83
72
59
93
76
24
97
08
86
95
23
03
67
44
64
75
58
38
85
84
12
22
05
54
55
50
43
10
53
74
35
08
90
61
18
37
44
10
96
22
13
43
10
30
25
22
89
77
43
63
14
87
16
03
50
32
40
43
62
23
50
05
10
03
22
11
54
38
08
34
71
01
79
84
95
51
30
85
38
97
76
49
51
94
05
17
58
53
78
80
59
01
94
32
42
87
16
95
60
01
25
56
05
88
41
03
97
31
26
17
18
99
75
53
08
70
94
25
12
58
41
54
88
21
05
13
37
33
09
46
56
49
16
14
11
74
26
93
81
44
33
93
08
72
32
79
73
31
18
22
64
70
68
50
47
86
98
70
01
31
59
11
43
36
12
88
59
11
01
64
56
23
93
00
90
04
99
43
64
07
40
36
38
04
04
27
37
64
16
78
93
80
62
04
78
38
26
80
44
91
55
75
11
89
32
58
47
55
25
71
73
50
83
09
08
83
05
48
49
54
01
31
81
08
42
98
41
87
69
53
82
96
61
77
73
80
95
27
32
62
34
64
74
94
06
10
36
76
87
26
33
37
94
82
15
69
41
95
96
86
70
45
27
48
38
80
97
59
19
95
49
36
36
03
07
09
25
23
92
24
62
71
26
07
06
55
84
53
44
67
33
84
53
20
74
01
23
19
55
59
79
09
43
31
00
10
81
44
86
38
03
07
52
55
51
61
48
89
74
29
46
47
56
75
42
64
57
13
35
10
61
57
09
63
60
06
17
36
37
75
63
14
89
51
23
35
01
74
69
93
49
80
04
99
08
54
83
12
31
35
28
37
99
10
77
91
89
41
31
57
97
64
48
62
58
48
69
19
43
58
48
96
47
24
87
85
57
04
88
65
26
27
79
59
36
82
90
52
95
65
46
35
06
53
22
54
16
65
37
96
64
60
32
57
09
24
34
42
00
68
72
10
71
37
30
72
97
57
56
09
29
82
76
50
48
50
26
90
55
65
32
25
97
95
53
50
18
40
89
48
83
29
52
23
08
25
21
22
53
26
15
87
96
76
55
46
92
36
31
68
93
73
25
95
70
43
78
19
88
85
56
67
16
68
26
95
99
64
45
69
38
92
36
15
50
80
35
78
72
62
11
12
25
00
92
26
82
64
35
66
65
94
34
71
68
75
18
67
77
92
82
80
65
25
58
60
97
83
98
54
74
33
05
59
17
18
45
47
35
41
44
22
03
42
30
00
94
03
68
59
78
02
31
80
89
16
09
71
92
22
23
29
06
37
35
05
54
44
89
88
43
81
63
61
47
46
06
04
79
56
13
04
25
96
68
82
20
62
87
17
92
65
02
82
35
28
62
84
91
95
48
83
47
85
65
60
88
51
99
28
81
44
33
17
19
05
04
95
48
06
74
69
00
75
67
65
01
71
65
45
57
61
63
46
43
92
29
86
ESTADISTICA 2
Página 108 de 110
11
32
25
49
31
42
36
23
43
86
08
62
49
76
67
42
24
52
32
45
08
30
09
27
04
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75
26
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69
61
56
55
95
04
59
59
47
44
30
38
11
24
90
67
07
32
82
33
28
03
74
66
59
10
28
87
53
76
56
91
49
48
79
79
65
59
01
69
78
80
00
36
66
28
02
48
27
45
55
44
46
55
36
50
90
22
73
60
62
61
28
22
34
69
16
12
12
95
78
39
32
34
93
24
88
43
87
06
19
36
66
93
02
95
56
46
04
53
36
43
24
20
62
83
73
19
32
35
64
39
69
51
06
62
99
29
61
29
75
95
32
05
77
34
61
82
66
22
42
40
15
96
74
90
75
89
50
14
90
96
63
36
74
69
09
01
35
74
28
36
36
73
05
88
72
29
87
48
31
44
68
02
37
31
25
29
63
67
62
30
48
29
63
83
52
23
81
66
40
94
17
84
23
44
41
24
63
33
99
22
81
28
55
87
51
07
30
10
70
60
21
86
19
61
87
71
02
64
18
50
64
65
79
64
81
70
44
99
41
05
41
05
31
87
43
12
15
96
23
23
04
84
17
14
37
28
51
67
27
55
80
03
68
99
28
24
39
40
64
41
71
70
13
46
31
82
88
20
18
10
37
57
65
15
62
98
69
07
56
66
10
57
18
87
91
07
54
22
22
20
13
89
22
10
23
62
65
78
77
47
33
51
27
23
02
13
92
44
13
96
51
04
00
59
98
18
63
91
82
90
32
94
01
24
23
63
01
26
11
06
50
98
54
63
80
66
50
85
67
50
45
40
64
52
28
41
53
25
44
41
25
ESTADISTICA 2
Página 109 de 110
ANEXO 5 TABLA NC VALORES CRITICOS PARA Z
NIVEL DE CONFIANZA
Z 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%
50% 0,657 0,695 0,705 0,725 0,735 0,755 0,775 0,785 0,805 0,825
60% 0,845 0,855 0,875 0,895 0,915 0,935 0,955 0,975 0,955 1,015
70% 1,035 1,055 1,085 1,105 1,125 1,155 1,175 1,205 1,225 1,255
80% 1,280 1,315 1,345 1,375 1,405 1,435 1,475 1,515 1,555 1,595
90% 1,645 1,695 1,755 1,835 1,885 1,960 2,055 2,170 2,325 2,575
100% 3,000
ESTADISTICA 2
Página 110 de 110
ANEXO 6 TABLA T AREA BAJO LA CURVA EN LA DISTRIBUCION T DE STUDENT
GRADOS DELIBERTAD NIVEL DE CONFIANZA
GL 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800 0,750 0,700 0,600 0,5501 63,66 31,82 12,71 6,31 3,08 1,376 1,000 0,727 0,325 0,1582 9,92 6,96 4,30 2,92 1,89 1,061 0,816 0,617 0,289 0,1423 5,84 4,54 3,18 2,35 1,64 0,978 0,765 0,584 0,277 0,1374 4,60 3,75 2,78 2,13 1,53 0,941 0,741 0,569 0,271 0,1345 4,03 3,36 2,57 2,02 1,48 0,920 0,727 0,559 0,267 0,1326 3,71 3,14 2,45 1,94 1,44 0,906 0,718 0,553 0,265 0,1317 3,50 3,00 2,36 1,90 1,42 0,896 0,711 0,549 0,263 0,1308 3,36 2,90 2,31 1,86 1,40 0,889 0,706 0,546 0,262 0,1309 3,25 2,82 2,26 1,83 1,38 0,883 0,703 0,543 0,261 0,12910 3,17 2,76 2,23 1,81 1,37 0,879 0,700 0,542 0,260 0,12911 3,11 2,72 2,20 1,80 1,36 0,876 0,697 0,540 0,260 0,12912 3,06 2,68 2,18 1,78 1,36 0,873 0,695 0,539 0,259 0,12813 3,01 2,65 2,16 1,77 1,35 0,870 0,694 0,538 0,259 0,12814 2,98 2,62 2,14 1,76 1,34 0,868 0,692 0,537 0,258 0,12815 2,95 2,60 2,13 1,75 1,34 0,866 0,691 0,536 0,258 0,12816 2,92 2,58 2,12 1,75 1,34 0,865 0,690 0,535 0,258 0,12817 2,90 2,57 2,11 1,74 1,33 0,863 0,689 0,534 0,257 0,12818 2,88 2,55 2,10 1,73 1,33 0,862 0,688 0,534 0,257 0,12719 2,86 2,54 2,09 1,73 1,33 0,861 0,688 0,533 0,533 0,12720 2,84 2,53 2,09 1,72 1,32 0,860 0,687 0,533 0,533 0,12721 2,83 2,52 2,08 1,72 1,32 0,859 0,686 0,532 0,532 0,12722 2,82 2,51 2,07 1,72 1,32 0,858 0,686 0,532 0,532 0,12723 2,81 2,50 2,07 1,71 1,32 0,858 0,685 0,532 0,532 0,12724 2,80 2,49 2,06 1,71 1,32 0,857 0,685 0,531 0,531 0,12725 2,79 2,48 2,06 1,71 1,32 0,856 0,684 0,531 0,531 0,12726 2,78 2,48 2,06 1,71 1,31 0,856 0,684 0,531 0,531 0,12727 2,77 2,47 2,05 1,70 1,31 0,855 0,684 0,531 0,531 0,12728 2,76 2,47 2,05 1,70 1,31 0,855 0,683 0,530 0,530 0,12729 2,76 2,46 2,04 1,70 1,31 0,854 0,683 0,530 0,530 0,12730 2,75 2,46 2,04 1,70 1,31 0,854 0,683 0,530 0,530 0,12740 2,70 2,42 2,02 1,68 1,30 0,851 0,681 0,529 0,529 0,12660 2,66 2,39 2,00 1,67 1,30 0,848 0,679 0,527 0,527 0,126
120 2,62 2,36 1,98 1,66 1,29 0,845 0,677 0,526 0,526 0,126 2,58 2,33 1,96 1,65 1,28 0,842 0,674 0,524 0,524 0,126