ESTADÍSTICA IPLUTARCO MARTÍNEZ BUSTOS

Calendario académico 2015– 1

• Primer seguimiento: del 9 – al 13 de marzo• Segundo seguimiento: del 13 al 17 de abril• Tercer seguimiento: del 25 al 29 de mayo

Contenido

Unidad I: Conocimientos Básicos y Generales Sobre Estadística Descriptiva– ¿Qué es Estadística?– Conceptos Básicos: Estadística descriptiva, estadística

inferencial, población, Muestra, variable, variables cuantitativas y cualitativas

– Elaboración de una tabla de frecuencias.– Análisis e interpretación de tablas de frecuencias.

Variables cuantitativas discretas y continuas y variables cualitativas

– Representaciones gráficas

ContenidoUnidad II. Medidas de Tendencia Central, de Dispersión y de Forma– Medidas de Tendencia Central: Media, mediana, moda,

cuartiles, deciles y percentiles.– Medidas de dispersión: Varianza, desviación típica,

coeficiente de variación.– Medidas de Forma: Asimetría y curtosis

Unidad III. Relación Entre Variables– Covarianza – Coeficiente de correlación– Relación entre variables

Contenido

Unidad IV. Probabilidad– Experimento, Espacio Muestral, – Eventos – Permutaciones y Combinaciones– Probabilidad de un Evento

Undidad V. Distribuciones de Probabilidad– Distribuciones discretas: Binomial, Poisson e Hipergeométrica– Distribuciones Continuas: Distribución normal

Estadística

Es la ciencia que se ocupa de 1) La recolección, organización, resumen y análisis de los datos y 2) la obtención de inferencias a partir de un volumen de datos cuando se examina solo una parte de estos.Las personas que realizan esta actividad estadística deben estar preparadas para interpretar y comunicar los resultados a los demás, tal como lo demande la situación. En términos sencillos, se puede decir que los datos son números, que los números contienen información y que el propósito de la estadística es investigar y evaluar la naturaleza y el significado de esa información.

Conceptos Básicos en Estadística

Estadística Descriptiva

Procedimientos empleados para organizar y resumir conjuntos de observaciones en forma cuantitativa, puede hacerse mediante tablas y gráficos, estos permiten simplificar la complejidad de los datos que intervienen en la distribución. Así mismo se calculan parámetros estadísticos que caracterizan la distribución. No se hace uso del cálculo de probabilidades y únicamente se limita a realizar deducciones directamente a partir de los datos y parámetros obtenidos.Con este método, se obtienen conclusiones sobre el conjunto de datos sin que sobrepasen el conjunto de conocimientos que proporcionan.

Estadística Inferencial

Plantea y resuelve el problema de establecer previsiones y conclusiones generales sobre una población a partir de la información contenida en una muestra. Los modelos estadísticos actúan de puente entre lo observado (muestra) y lo desconocido (población). Su conclusión y estudio están basado en el cálculo de las probabilidades. Método y conjunto de técnicas utilizadas para obtener un conjunto de datos, conclusiones que sobrepasan los límites de los conocimientos aportados por el conjunto de datos. Generalmente este proceso se determina mediante el estudio de muestras.

Conceptos Básicos

Población: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas propiedades y entre los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno.

Muestra: Es el subconjunto de la población que es estudiado y a partir de la cual se sacan conclusiones sobre las características de la población. La muestra debe ser representativa, en el sentido de que las conclusiones obtenidas deben servir para el total de la población.

Variable: Cada uno de los rasgos o característica de los elementos de una población y que varían de un individuo a otro (salario, color de ojos, sexo, número de hijos, etc.)

Conceptos BásicosTipos de Variables

Variables cualitativas (o categóricas): Aquellas que no aparecen en forma numérica, sino como categorías o atributos (sexo, estado civil, color de ojos, etc.) Estas pueden agruparse en variables nominales u ordinales. Variable nominal: Cuando los datos correspondan a una variable cualitativa que se agrupa sin ninguna jerarquía entre sí, como por ejemplo: nombres de personas, de establecimientos, raza, grupos sanguíneos, estado civil. Estas variables no tienen ningún orden inherente a ellas ni un orden de jerarquía.Variable ordinal: Cuando las categorías o valores que adopte una variable cualitativa poseen un orden, secuencia o progresión natural esperable, por ejemplo: grados de desnutrición, respuesta a un tratamiento, nivel socioeconómico, intensidad de consumo de alcohol, días de la semana, meses del año, etc.

Conceptos BásicosVariables cuantitativas: Las que pueden expresarse numéricamente (temperatura, producción, edad, etc.)Las Variables cuantitativas se clasifican en variables discretas y variables continuasSi entre dos valores determinados existen infinitas posibilidades de valores, hablaremos de una variable de tipo continuo. Ejemplos de este tipo de variables son: el peso, la talla, la presión arterial o el nivel de colesterol, etc.Si la variable a medir sólo puede adoptar un sólo valor numérico, entero, con valores intermedios que carecen de sentido, hablaremos de variable cuantitativa de tipo discreto. Son ejemplos de ellas: el número de hijos, de unidades vecinales del sector, número de exámenes de laboratorio o de pacientes atendidos.

Elaboración de una Tabla de Frecuencias – Datos no Agrupados

Para elaborar una tabla de frecuencias se procede de la siguiente manera:• Marca de clase (): Son las observaciones• Frecuencia absoluta (): Es el número de veces que se repite cada

observación• Frecuencia absoluta acumulada (): Es la suma sucesiva de la

frecuencia absoluta• Frecuencia relativa (): Es la relación entre la frecuencia absoluta y el

total de observaciones multiplicado por cien. Esto es:

• Frecuencia relativa acumulada (): Es la suma sucesiva de la frecuencia relativa

Ejemplo 1

Los siguientes datos corresponden al número de libros leídos por un grupo de 30 alumnos, en un lapso de 2 años. Elaborar la tabla de distribución de frecuencias.

3 2 1 4 5 3 2 1 3 1

2 3 5 1 2 2 1 3 4 2

3 4 0 1 2 2 0 1 2 3

Representación GráficaPara dar una información general de los datos, se usan las representaciones gráficas. Las gráficas sirven visualizar mejor la información, pero nunca sustituyen al cuadro, tan solo se les debe considerar como complemento. Gráfico de frecuencias (Gráfico de barra): En el eje horizontal se colocan los distintos valores de la variable Xi y en el eje vertical van los valores de las frecuencias absolutas o relativas.

Representación Gráfica

Gráfico circular: Es el área del circulo dividido en sectores o porciones de área correspondiente a la frecuencia relativa, cada sector circular se encuentra por la expresión.

donde es la frecuencia relativa.

Ejemplo 2Los siguientes datos representan los tiempos (redondeados a minutos) que demoran en ser atendidos 40 clientes de un banco

Elabore la tabla de frecuenciasRealice un gráfico de barras para la frecuencia relativaRealice un gráfico circularQue porcentaje de personas demoran en ser mas atendidos

13 10 11 9 11 11 10 15 13 1110 11 9 10 9 15 10 15 13 1210 10 9 9 13 11 10 12 10 1013 12 9 9 12 12 11 12 15 11

Ejemplo 3

Los siguientes datos representan los ingresos anuales de 30 familias expresados en millones de pesos

20 20 22 19 18 20 18 19 21 2020 20 21 22 20 21 19 20 21 2022 21 21 19 22 21 20 22 22 21

Elaboración de una Tabla de Frecuencias – Datos Agrupados

A 40 estudiantes se les pidió que estimen el número de horas que habrían dedicado a estudiar la semana pasada (tanto en clase como fuera de ella), obteniéndose los siguientes resultados

36 30 47 60 32 35 40 50 54 3545 52 48 58 60 38 32 35 56 4830 55 49 39 58 50 65 35 56 4737 56 58 50 47 58 55 39 58 45

Representación GráficaHistograma: Son diagramas de frecuencias unidimensionales en los cuales en un plano cartesiano se levantan rectángulos de área proporcionales a las frecuencias sobre los intervalos del eje horizontal. en ellos se representan las frecuencias absolutas y relativa.Ojiva: La representación gráfica para las frecuencias absolutas y relativas acumuladas en una variable se hace a través de una ojiva ascendente. Para ello se determinan los puntos de intercepción entre cada valor de la variable y su respectiva frecuencia, luego se une con trazos rectilíneos

Ejemplo 2

Los siguientes datos corresponden al número de clientes que acudieron al “CAFÉ INTERNET” durante 30 días.

15 34 13 20 20 35 30 17 30 3221 32 22 14 30 36 23 14 20 3918 24 20 16 31 38 22 13 28 19

Ejemplo 3La compañía High Performance Bicycle Products de Chapel Hill, Carolina del Norte, hizo un muestreo de sus registros de embarque (Tiempo entre la relación de una orden y su entrega) para ciertos días con los siguientes resultados :

a. Elabore una tabla de frecuenciasb. Si la compañía desea asegurar que la mitad de sus entregas se hagan en 9 días o menos, ¿puede determinar, a partir de la distribución de frecuencias, si han logrado esta meta?c. Elabore un histograma para la frecuencia relativa y una ojiva para la frecuencia relativa acumulada

4 12 8 14 11 6 7 13 13 1111 20 5 19 10 15 24 7 29 6

Ejemplo 4

23 60 79 32 57 74 52 70 82 36

80 77 81 95 41 65 92 85 55 76

52 10 64 75 78 25 80 98 81 67

41 71 83 54 64 72 88 62 74 43

60 78 89 76 84 48 84 90 15 79

34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

Los resultados siguientes representan las calificaciones del examen final de un curso de estadística elemental.

Construya una tabla de frecuenciasRealice un histograma para fa y una ojiva para FR

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central nos permiten determinar la posición de un valor respecto a un conjunto de datos, el cual consideramos como representativo para el total de las observaciones.Dentro de las medidas de tendencia central tenemos: Media Aritmética, mediana, moda.Media Aritmética : Es la mas conocida y sencilla de calcular, de gran estabilidad en el muestreo y sus formulas admiten tratamientos algebraicos. Su principal desventaja es el de ser muy sensibles a los cambios que se le haga en algunos de sus valores, o cuando los valores extremos son demasiado grandes o pequeños. La media se define como:

Medidas de tendencia Central

Mediana (Me):Se dene como el valor central en la distribución de los datos. De la mediana se puede decir que es única, es simple y los valores extremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, lo que si ocurre con la media.a. Número impar de observaciones: Si tomamos los datos originales para calcular la mediana, lo primero que debemos hacer es ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor y luego tomamos el valor central.

Medidas de tendencia Central

b. Número par de observaciones: Cuando el número de observaciones es par, la mediana es igual al promedio aritmético de los dos términos centrales, es decir, el valor resultante de la suma de las dos observaciones centrales dividida por dos.

Medidas de tendencia Central

Moda (Mo): Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. La moda se puede hallar en variables cuantitativas y cualitativas.• Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones

con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas

• Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda

Medidas de Posición

Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marca de clases y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, diez o cien partes. En el primer caso se habla de cuartiles, en el segundo se denomina deciles y en el último centiles o percentiles.

Medidas de Posición

Cuartiles: son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partesiguales.• El primer cuartil Q1 se dene como aquel valor de la

variable que supera el 25% de la observaciones y es superado por el 75% de las observaciones

• El segundo cuartil Q2 (la mediana), es aquel valor de la variable que supera al 50% y es superado por el 50%

• El tercer cuartil Q3 es aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones

Deciles: son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales.

Percentiles: Son 99 valores que dividen el conjunto de datos ordenados en cien partes iguales.

Medidas de Posición

Ejemplos

1. Para el siguiente conjunto de datos

Hallar:a. D3, D6 y D9b. P8; P35; P60

14 17 10 6 8 15 19 11 13 9

Ejemplos2. Los siguientes datos representan los ingresos mensuales de 15 persona.

Hallar: a. Ingreso mediob. Ingreso centralc. Ingreso que mas se repited. Q1, D4; P80

650 670 700 750 800750 800 850 900 900650 670 650 670 800

Medidas de dispersión

Son aquella que nos determinan como se agrupan o se dispersan los datos alrededor de un promedio (o media). Entre las mas importantes tenemos: Varianza, desviación típica o desviación estándar y coeficiente de variación.

Medidas de dispersión

Varianza: De todas las medidas de dispersión es la mas importante, mas conocida y usada. Se le define como la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a su media. Esta dada por:

Medidas de dispersiónDesviación típica o desviación estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza, y está dada por:

Coeficiente de variación: En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos. Generalmente podemos encontrar que ambas series están expresadas en diferentes unidades. Puede darse el caso en que estén expresadas en la misma unidad, pero nos interesa determinar la variación respecto a una base. Para resolver el anterior problema se usa

Medidas de Distribución

Las medidas de distribución nos permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores de acuerdo a su representación gráfica. Estas medidas describen la manera como los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la información. Su utilidad radica en la posibilidad de identificar las características de la distribución sin necesidad de generar el gráfico. Sus principales medidas son la Asimetría y la Curtosis.

Asimetría

Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor de la Media aritmética. La asimetría presenta tres estados diferentes, los cuales son: 1. Asimetría positiva cuando 2. Simétrica cuando 3. Asimetría negativa cuando

Asimetría

Coeficiente de Asimetría de Fisher

El Coeficiente de asimetría, se calcula mediante la siguiente fórmula:

Si As = 0 la distribución es simétrica. Si As > 0 La distribución es asimétricamente positiva.Si As < 0 La distribución es asimétricamente negativa

Curtosis

Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribuciónTIPOS DE CURTOSISAsí puede ser:Leptocúrtica.- Existe una gran concentración.Mesocúrtica.- Existe una concentración normal.Platicúrtica.- Existe una baja concentración.

TIPOS DE CURTOSIS

Coeficiente de Curtosis

Para calcular el coeficiente de Curtosis se utiliza la ecuación

Si a < 3 la distribución es platicúrticaSi a = 3 la distribución es normal o mesocúrticaSi a > 3 la distribución es leptocúrtica

Ejemplos

Determinar qué tipo de asimetría y curtosis tienen las siguientes distribucionesa) 8, 14, 16, 13, 16b) 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Medidas de las relaciones entre variables

En el análisis de los procesos empresariales y económicos se utilizan a menudo las relaciones entre variables. La covarianza y la correlación permiten describir numéricamente una relación lineal.Covarianza (Cov): Es una medida de la relación lineal entre dos variables. Un valor positivo indica una relación lineal directa o creciente y un valor negativo una relación lineal decreciente. La Cov está dada por

Coeficiente de correlación: Nos da una medida de la relación lineal entre dos variables, nos indica el sentido como el grado de relación. La covarianza y el coeficiente de correlación tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). Esta dado por:

El coeficiente de correlación va de -1 a +1. Cuanto más cerca se encuentra r de +1, mas cerca se encuentran los datos de puntos de una línea recta ascendente que indican una relación lineal positiva. Cuanto más se encuentra r de -1, mas cerca se encuentran los datos de puntos de una línea recta descendente que indican una relación lineal negativa. Cuando r=0, no existe relación entre x e y.

Ejemplo

A continuación se presenta una muestra del precio de la lamina de triple x, y la cantidad vendida, y (en miles)

Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación

Precio por Lamina (x) Laminas Vendidas (y)

6 807 608 709 40

10 0

Relaciones LinealesEn el análisis de los procesos empresariales y económicos se utiliza a menudo las relaciones entre variables. Estas relaciones se expresan en términos matemáticos de la forma siguiente:

Donde f(x) es una función que puede adoptar muchas formas lineales y no lineales.En el modelo de regresión lineal simple hay dos variables una independiente(x) y una dependiente (y) , el cual esta dado por:

Con como la ordenada en el origen y la pendiente de la recta. Es decir la variación que experimenta por cada variación unitaria de

Regresión por mínimos cuadradosLa recta de regresión Donde

Y

EjemploUna empresa fija un precio distinto para un sistema de DVD en ocho regiones del país. Los siguientes datos muestran los precios (x) y el número de unidades vendidas (y) (en miles de dólares)

a. Encuentre los valores de a y b para la recta de regresiónb. Estime la venta para un precio de 7.0c. Represente los datos en un grafico de dispersión

Precio 5.5 6.0 6.5 6.0 5.0 6.5 4.5 5.0

Ventas 420 380 350 400 440 380 450 420

Ejemplo Un profesor intenta mostrar a sus estudiantes la importancia de los

exámenes cortos, aun cuando el 90% de la calificación final esté determinada por los exámenes parciales. Él cree que cuanta más alta son las calificaciones de los exámenes cortos, más alta será la calificación final. Seleccionó una muestra aleatoria de 15 estudiantes de su clase con los siguientes datos:

1. Establezca la variable dependiente (Y) y la variable independiente (X). Utilizando el método de mínimos cuadrados estime los parámetros del modelo de regresión

2. Estime la nota promedio final para una nota promedio de exámenes cortos de 80

3. Dibuje un diagrama de dispersión para estos datos y trace la recta de regresión

Promedio de exámenes cortos 59 92 72 90 95 87 89 77 76 65 97 42 94 62 91

Promedio Final 65 84 77 80 77 81 80 84 80 69 83 40 78 65 90

Bibliografía

• Lind D, Marchal W. y Wathen S. Estadística aplicada a los negocios y la economía. Mcgraw Hill 2005.

• Levin R. Rubin D. Estadística para administracíon y economía. Pearson. 2004

• Martin F. Introducción a la estadística económica y empresarial. Ac editorial 2004

• Walpole y Myers. Probabilidad y Estadística. Pearson ediciones. Sexta edición