estadistica i para principiantes1114

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TABLA DE CONTENIDO

OBJETIVO .....................................................................................................................................................................5

1. CONCEPTOS ESTADISTICOS......................................................................................................................................6

INTRODUCCION ...............................................................................................................................................................6OBJETIVOS ......................................................................................................................................................................6CONCEPTOS ESTADISTICOS ...........................................................................................................................................6CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARA ESTADÍSTICA ............................................................................................................8INVESTIGACIÓN Y ESTADÍSTICA ......................................................................................................................................9ETAPAS DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA...............................................................................................................9

2. ESTADISTICAS PRIMARIAS ......................................................................................................................................13

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................13OBJETIVO.......................................................................................................................................................................13ESTADÍSTICAS CON UNA VARIABLE ...............................................................................................................................13FRECUENCIA ABSOLUTA F .............................................................................................................................................18FRECUENCIA RELATIVA FR .............................................................................................................................................19OTRAS ESTADISTICAS ...................................................................................................................................................21GRAFICAS PRIMARIAS ...................................................................................................................................................24GRÁFICO DE SECTORES ................................................................................................................................................28

3. ESTADISTICAS SECUNDARIAS .................................................................................................................................34

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................34OBJETIVO.......................................................................................................................................................................34DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ..................................................................................................................................34GRAFICAS SECUNDARIAS ..............................................................................................................................................37

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .........................................................................................................................51

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................51OBJETIVO.......................................................................................................................................................................51DATOS NO AGRUPADOS ................................................................................................................................................52MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS. ...........................................................................................................................53DATOS AGRUPADOS ......................................................................................................................................................55LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS.............................................................................................................................56LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS.............................................................................................................................58MEDIA GEOMÉTRICA......................................................................................................................................................61MEDIA ARMONICA H .......................................................................................................................................................63MEDIA CUADRATICA C ...................................................................................................................................................65MEDIA GEOMETRICA, ARMONICA Y CUDRATICA ............................................................................................................66LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS ..................................................................................................................67LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS ........................................................................................................................69LOS CUARTILES Q ..........................................................................................................................................................72LOS DECILES D ..............................................................................................................................................................76LOS CENTILES O PERCENTILES .....................................................................................................................................80LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS........................................................................................................................83LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS .............................................................................................................................85

5. MEDIDAS DE DISPERSION........................................................................................................................................88

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INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................88OBJETIVO.......................................................................................................................................................................88LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS ..................................................................................................88LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS........................................................................................................92LA VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS .................................................................................................................94LA VARIANZA PARA AGRUPADOS...................................................................................................................................96LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS ..................................................................................................98LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS .....................................................................................................100

6. TEORIA DE LA PROBABILIDAD...............................................................................................................................103

INTRODUCCION ...........................................................................................................................................................103OBJETIVOS ..................................................................................................................................................................103CONJUNTOS ................................................................................................................................................................103DIVISION DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................104ESPECIFICACION DE CONJUNTOS ...............................................................................................................................104OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ............................................................................................................................105TECNICAS DE CONTAR ................................................................................................................................................107CONJUNTOS ................................................................................................................................................................113CONCEPTO DE PROBABILIDAD ....................................................................................................................................114PROBABIBILIDADES .....................................................................................................................................................117

7. DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES ESPECIALES ................................................................................................122

INTRODUCCION ...........................................................................................................................................................122OBJETIVOS ..................................................................................................................................................................122DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .............................................................................................................................................122USO DE LA TABLA BINOMIAL. .......................................................................................................................................125DISTRIBUCIÓN DE POISSON.........................................................................................................................................126USO DE LA TABLA.DE POISSON....................................................................................................................................127PROBABILIDADES ESPECIALES ...................................................................................................................................129DISTRIBUCIÓN NORMAL...............................................................................................................................................130DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA...................................................................................................................132USO DE LA TABLA Y ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL....................................................................................................133RELACION ENTRE DISTRIBUCIONES ESPECIALES .......................................................................................................139DISTRIBUCION NORMAL...............................................................................................................................................140

BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................................................................................142

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OOBBJJEETTIIVVOO

Establecer, la importancia de la adquisición de la información estadística de acuerdo a la utilidad que puedatener para el desempeño profesional como investigativo, determinado las fuentes posibles de información y elvalor de esta para el trabajo estadístico e identificando problemas del campo de la Administración Públicadentro de los sistemas sociales, susceptibles de ser analizados con medios estadísticos.

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11.. CCOONNCCEEPPTTOOSS EESSTTAADDIISSTTIICCOOSS

INTRODUCCION

Durante todos los tiempos la estadística se ha constituido en una herramienta necesaria en el proceso deinvestigación para la recopilación, manejo, interpretación, análisis y publicación de datos en los diferentesmedios comunicación y campos de investigación relacionados con fenómenos naturales y sociales. Ennuestros días la mayoría de las asignaturas en los diferentes programas utilizan procesos estadísticos con elfin de mejorar cada una de las investigaciones para finalizar en descripciones o pronósticos con suscorrespondientes conclusiones, que ayude a una mayor comprensión en cada una de las áreas de estudio. Elfin primordial de la estadística es, suministrar información acerca de una determinada población por medio dediferentes muestras que se han tomado de ella, para poder obtener conclusiones generales de una poblaciónsobre un determinado fenómeno transcurrido en el tiempo y espacio.

OBJETIVOS

Define algunos conceptos estadísticos fundamentales en la estadística descriptiva. Identifica la división general de la estadística. Analiza los diferentes campos en donde se puede realizar investigación estadística. Identifica las características de cada una de las etapas en una investigación estadística Clasifica algunos conceptos matemáticos que son utilizados en la solución de problemas.

CONCEPTOS ESTADISTICOS

ESTADÍSTICA. Es una ciencia que pertenece al conjunto de las matemáticas que permite recolectar, ordenar,clasificar, analizar, interpretar y concluir con los datos proporcionados por medio de la investigación científica,permitiendo conocer, a través de ellos con precisión los caracteres de los fenómenos y problemas observadosen una determinada asignatura.

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POBLACIÓN. Es un conjunto de individuos u objetos que tienen la misma característica, que además sirvecomo fuente de información. Una población es finita cuando se puede contar con facilidad, si esto no sucedese llama población infinita. Si la población es bastante grande y se puede contar recibe el nombre depoblación infinita.

MUESTRA. Es un subconjunto de la población que se toma para analizar los elementos seleccionadosaleatoriamente y debe ser representativa de la población.DATOS. Es la medida, valores o características que posee cada uno de los elementos pertenecientes a unamuestra o la población.

ESTADÍSTICAS. Es el ordenamiento sistemático de los datos procesados ya sea en forma de tablas o figurascon nombres específicos. Las estadísticas se dividen en primarias y secundarias. Las primarias son aquellosdatos obtenidos por observación directa en cambio las secundarias son datos obtenidos de las primarias o enforma indirecta de publicaciones y puede ser parcial o total. Tanto en las primarias y secundarias si seconsidera el tiempo puede ser periódicas y no periódicas.

VARIABLE. Es un símbolo tal como X, Y, Z,..., que puede tomar una característica cualquiera de un objeto, lacaracterística puede ser cuantitativo o cualitativo.

Variable cualitativa. Denominada así, cuando a una variable se le asigna las cualidades que posee unobjeto o elemento de estudio. Un elemento de una población de estudio puede ser: Negro, blanco, alto,bajo, pequeño, bonito, casado, divorciado, médico, ingeniero, etc.

Variable cuantitativa. Denominada así, cuando a una variable se le asigna cantidades numéricas quepueden ser discretas y continuas.

Variables discretas. Son aquellas que solo pueden tomar valores enteros y positivos, que son productode conteo. Los números utilizados para contar corresponden al conjunto de los naturales: 1, 2, 3, 4, ..., N

Variables continuas. Son aquellas variables que tiene un campo de variación o conjunto de valores quepuede ser los números reales que pertenece a un intervalo y además son producto de mediciones tanto enlongitud, masa y tiempo con sus correspondientes múltiplos y submúltiplos.

ESTADÍGRAFO. Es la descripción numérica de una característica correspondiente a una muestra tales comola media, o promedio, varianza, desviación Standard, etc. Los estadígrafos también se llaman estadísticosmuestrales.

PARÁMETRO. Es la descripción numérica de una característica correspondiente a una población originadospor una muestra, entre ellas está la media o promedio, varianza y desviación Standard poblacionales.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. También es llamada estadística deductiva, que consiste en reunir, representary resumir datos que han sido recogidos mediante diferentes técnicas y son presentados mediante tablas,cuadros y figuras con nombres específicos, dando información clara y comprensible al lector en forma dedescripción.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL. También es llamada estadística inductiva y utiliza el cálculo de probabilidadespara establecer pronósticos y conclusiones con base a los datos actuales.

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CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARA ESTADÍSTICA

Como la estadística pertenece a la rama de las matemáticas y además permite recolectar o medir, ordenar,clasificar, analizar, interpretar y concluir con datos proporcionados mediante una investigación científica esnecesario tener claro ciertos conceptos matemáticos y entre ellos están:

MEDIR. Consiste en comparar una cantidad cualquiera de una magnitud con otra cantidad de la mismamagnitud, que se toma por unidad. En el proceso de medición, el resultado expresado por un número indica larelación que hay entre una cantidad cualquiera y la unidad de la misma especie expresando las veces quecontiene a la unidad. Al tomar la estatura de un estudiante se puede tomar como unidad patrón el metro o elcentímetro y un resultado puede ser 1.68 m o 168 Cm.

APROXIMACIÓN AL MEDIR. Es la fracción menor que se aprecia al medir, para obtener buena aproximaciónes indispensable la precisión en los aparatos y al realizar la medición. Al medir la estatura y obtener unabuena aproximación de hasta milímetros (mm), se necesita una cinta que esté fraccionada en milímetros yrealizar una buena lectura.

APROXIMACIÓN EN DATOS NUMÉRICOS. Proceso que consiste en el redondeo de datos o aproximar alentero más próximo o a la cifra decimal definidos con anterioridad. En éste proceso se pueden presentarvarios casos: Si se toma una estatura de 1.582 m se puede dar:

Con una cifra decimal será: 1.6 m debido a que la segunda cifra decimal es mayor que 5, si fuera menorsería 1.5 m.

Con dos cifras decimales será: 1.58 m debido a que la tercera cifra decimal es menor que 5, si fueramayor que 5 sería 1.59m.

Con tres cifras decimales será: 1.582, cuando la cuarta cifra decimal es menor que 5, de lo contrario sería1.583 m.

Cuando la cifra posterior a la que se quiere aproximar es igual a 5, entonces se aproxima al número máscercano.

APROXIMACIONES EN OPERACIONES. Cuando existen operaciones como suma, resta, multiplicación ydivisión se puede aproximar antes o después de realizar las operaciones y sus resultados serán similares.

PRECISIÓN. Consiste en el cuidado que se debe tener al medir o al hacer la lectura instrumental; para quetodo esto sea efectivo los instrumentos deben estar en buen estado. Para obtener una buena precisiónademás de lo anterior es necesario que al medir se repita varias veces y tomar el valor medio.

ERRORES. Si no existe precisión ni buena aproximación al medir o al hacer la lectura instrumental sepresentan errores sistemáticos y aleatorios. Los sistemáticos están asociados con los instrumentos de medida,que por lo general tienen un error de fábrica debido a que un instrumento nunca puede llegar a un ciento porciento de exactitud debido a su rozamiento y la técnica utilizada para realizar la medición. Los erroresaleatorios, son aquellos que se presentan por un gran número de desviaciones en la medida de una mismamagnitud. En el caso que cinco estudiantes miden el largo de una manzana y obtienen cinco resultadosdiferentes. Los errores aleatorios pueden ser absolutos y relativos.

Los absolutos se obtienen de la relación entre la suma de las desviaciones y el tamaño de la muestra.

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Los errores relativos se obtiene de la relación entre el error absoluto y la media aritmética que determinael error cometido en la unidad de la magnitud medida.

NOTACIÓN EN POTENCIAS DE 10 O CIENTÍFICA. Se utiliza si al medir o en operaciones se obtienecantidades grandes o demasiado pequeñas. Esta notación expresa, un número como producto de un númeroentre 1 y 9 y una potencia de 10. En mecánica cuántica o química se utiliza la masa del electrón en reposocuyo valor es de 9.11*10-31 kg

CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Corresponde al número de dígitos seguros más los dígitos inseguros o inciertos,generalmente el inseguro o incierto es el último número. Si la estatura es de 1.63m, quien mide está seguro delos números 1 y 6 más no del 3, que bien puede ser 2 o 4.

INVESTIGACIÓN Y ESTADÍSTICA

La investigación estadística es un proceso sistemático, dirigido y organizado que tiene como objetivofundamental la recopilación o búsqueda de conocimiento sobre una población mediante una muestrautilizando el método científico para beneficio de la humanidad.

DOCUMENTAL. Recibe su nombre por el aprendizaje de nuevos hechos a través del estudio de documentosy registros. Entre las diferentes fuentes documentales pueden están: las fuentes estadísticas, históricas,bibliotecas oficiales y privadas, documentos personales e informes.

DE CASOS. Constituye un estudio cuidadoso y completo sobre el desarrollo y estado de un individuo,sociedad, grupo o institución. Este tipo de investigación es aplicado con frecuencia en las ciencias sociales yciencias de la conducta, campo que no permite hacer experimentos con sus componentes.

OBSERVACIONAL. Constituye el estudio de un fenómeno sin que este sea modificado por el observador y sesubdivide en observacional descriptiva y observacional analítica. Al describir y analizar las característicasexternas de un objeto de estudio permite elaborar leyes generales, en ciertos casos sin llegar a verificación dehipótesis. Su propósito es describir, para tomar una decisión y puede aplicar a fenómenos naturales,problemas sociales, personas, hechos, etc..

EXPERIMENTAL. Esta es parte de la investigación demostrativa que se refiere a lo que será, es decir a unarealidad que no existe en el momento pero que existirá después del experimento. Por medio de laexperimentación se analiza los efectos de la exposición o privación intencionada de un factor bien definido enparte de los elementos del conjunto de estudio. En este caso se puede tomar dos casos de variables lasindependientes y de éstas provienen las dependientes por intermedio de las variables intervinientes enalgunos casos.

ETAPAS DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA

La investigación se desarrolla sistemáticamente pasando por las etapas de planeación, proceso metodológico,ejecución o trabajo de campo, procesamiento de la información, análisis e interpretación de resultados, einforme final. Cada etapa se subdivide en otras y éstas en otras que están relacionadas entre sí.

PLANEACIÓN. Consiste en la organización detallada de cada una de las actividades necesarias a seguir en eldesarrollo de un trabajo con el fin de alcanzar cada uno de los objetivos y metas propuestas por elinvestigador. Además elaborar un calendario de actividades (cronograma de actividades) de cada una de las

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etapas a desarrollar durante la investigación, asignando responsabilidades a cada uno de los participantes ydistribuyendo el tiempo en forma proporcional en cada una de las etapas del proyecto de trabajo. También sedebe tener en cuenta en la organización del presupuesto que consiste en determinar si se cuenta con lossuficientes recursos financieros, que permita iniciar y terminar la investigación. Para elaborar el presupuestose debe tener en cuenta algunos puntos básicos relacionados con:

La organización que incluye asesoría, visitas previas, propaganda, capacitación personal, equipo deoficina, etc.

Los trabajos de campo en donde hay que tener en cuenta viáticos, recolección y transporte. La tabulación está relacionado con el material y su proceso de organización. En la publicación o

elaboración del informe final.

JUSTIFICAR LA INVESTIGACIÓN. Esto significa exponer las razones que fundamenten su realización, conargumentos expresados en términos de la utilidad que pudiera reportar tal investigación a la instituciónpatrocinadora y a la sociedad en general.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Consiste en enunciar el problema o los interrogantes que se pretendeesclarecer con la investigación para determinar su validez y aplicabilidad a la situación particular que se estémanejando, para decidir una solución parcial o integral del problema. En esta fase se debe:

Hacer la elección del tema o área de investigación. Explorar el área problemática, esto se hace mediante lecturas, análisis de teorías relacionadas con el

tema, diálogos con personas que conocen el tema y en anteriores investigaciones. Hacer la formulación del problema general.

OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN. De acuerdo al problema, los objetivos expresan lo que el investigadorpretende alcanzar, dando respuesta a unos interrogantes: Qué, cómo, cuándo, dónde y cuánto tiempo tardarála investigación. Los objetivos se suelen dividir en generales y específicos que deben estar íntimamenterelacionados entre sí, ya sea en lo cuantitativo y cualitativo

DEFINIR UNA POBLACIÓN DE ESTUDIO. Consiste o hace referencia a delimitar el conjunto que se va aestudiar especificando si se toma una muestra, población o área geográfica. Cuando se va a tomar unamuestra y se desea generalizar hacia una población de la cual se extrajo la muestra, hay necesidad de definirel modelo que se va a utilizar. Para recolectar la información generalmente se utiliza la muestra y no lapoblación debido a que su costo es menor y se puede hacer con mayor rapidez, dando como resultadossemejantes con los de la población. Si se toma una muestra como método de recolección se debe diferenciarlas muestras probabilísticas o aleatorias de las no probabilísticas en donde cada una de ellas presentadiferentes casos. Las muestras probabilísticas presentan una característica fundamental; afirmando que todossus elementos tienen la misma posibilidad de ser seleccionados para pertenecer a una muestra representativade una población de estudio, a este tipo de muestreo pertenece.

Muestreo aleatorio simple, Muestreo aleatorio sistemático, Muestreo aleatorio estratificado, Muestreo por áreas, Muestreo por conglomerados y Muestreo por etapas.

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TÉCNICAS DE MEDIDA O RECOLECCIÓN. Esto consiste en describir la técnica que se va a utilizar en latoma de datos a cada uno de los elementos que conforman el conjunto de estudio que debe estar relacionadocon las variables establecidas. Por EJEMPLO para la toma de los datos del peso, estatura, edad, etc... Seutilizará una báscula, una cinta métrica y el registro civil respectivamente u otros medios. En esta se debediseñar los diferentes medios y técnicas que se utilizarán en la recolección de información que puede ser laobservación directa o una encuesta.

LA ENCUESTA. Es un conjunto de técnicas y procedimientos que se utilizan para recolectar, procesar yanalizar información o datos obtenidos de fenómenos naturales o sociales, en donde el hombre es elprotagonista principal. Los datos de una encuesta son obtenidos por diferentes procedimientos, entre ellosestán la observación directa, entrevistas, por correo, teléfono o cuestionarios; siendo esta última la utilizadacon mayor frecuencia.

Etapas de una encuesta.. Una vez formulados los objetivos generales y específicos, para diseñar unaencuesta se debe considerar las siguientes etapas:

Definir el presupuesto Definir la población o muestra de estudio. Elaboración del cuestionario. Trabajo de campo y recolección de información. Procesamiento de la información. Análisis e interpretación de resultados. Informe final.

Cuestionario. El cuestionario de una encuesta como mínimo debe contener un encabezamiento, cuerpo,instrucciones y observaciones.

TRABAJO DE CAMPO Y RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN. Etapa que consiste en la ejecución odesarrollo de la investigación planeada siguiendo su respectivo proceso metodológico, de acuerdo a suscaracterísticas y recursos que posee la institución o quien vaya a realizar la investigación, afrontando losinconvenientes que se pueden presentar en las diferentes etapas y así alcanzar los objetivos formulados. Enprimer lugar consiste en determinar un mecanismo para obtener información de los elementos que pertenecenal conjunto de estudio, que puede ser por medio de un cuestionario o cuadros debidamente organizados paraque facilite la captación y tabulación de la información. El segundo paso será el desarrollo del trabajo decampo o la toma de datos y recolección de la información. La tercera instancia consiste en revisar y examinardetalladamente todos los datos obtenidos para ser analizados con el fin de descubrir algunos errores paramodificar o excluirlos del proceso de investigación. Seguidamente se procede a codificar o sea presentar losdatos verbales como numéricos para luego tabular, formar tablas y realizar los cálculos respectivos como sifueran datos cuantitativos. Codificar es asignarle un número o letra diferente que sustituye las respuestas uobservaciones para proceder a su respectiva tabulación generalmente viene impreso con el cuestionario. Latabulación consiste en hacer listados y tablas de los datos que permitan agrupar para realizar lacontabilización de las respuestas de acuerdo a los códigos establecidos con anterioridad. En la actualidadexisten diferentes medios o programas de computador que permiten tabular gran cantidad de datos entiempos cortos y con grandes exactitudes.

PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN. Consiste en definir la manera como se va procesarla información, obtenida por medio de formularios u otros medios definidos con anterioridad, su procesamiento

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puede ser manual, mecánico, electrónico o por computadora. Analizar significa descomponer un todo en suspartes con el fin de aplicar las técnicas para evaluar y verificar si las preguntas, hipótesis y objetivosformulados en que tanto por ciento fueron alcanzados. Estos análisis pueden ser de forma cuantitativa ycualitativa.

INFORME DE INVESTIGACIÓN. En esta fase se describe el contenido que deberá llevar el informe, siguiendolas recomendaciones del Instituto Colombiano de Normas Técnicas (ICONTEC) actualizadas. Se dice que unainvestigación termina relativamente cuando se presenta el informe final, o sea, poner al alcance de lacomunidad científica y al público en general los avances realizados durante el proceso de investigación.

TALLER 0.

Expresar con una cifra decimal: 1.56 1.63 1.65 1.49 2.51 Expresar con tres decimales: 1.583 3.495 4.598 4.998 5.099 Expresar con tres decimales; 3.9678 4.9682 7.1067 9.1099 Determinar el número de cifras significativas: 1700, 245000, 3400, 2000000, 0.00003, 0.00125, 0.489,

489.50, 87.8000 Determinar el número de cifras significativas de: 331/24, 1450/53.5, 49/0.366, 2/30, (1.569+1.2) Se tiene una población de 3728 distribuidos 5 estratos de la siguiente manera (1000, 880, 908, 640, 300),

si se toma una muestra del 10% para su estudio. hallar la muestra para cada estrato en un muestreoestratificado proporcional.

En el caso anterior realizar el mismo ejercicio para una muestra del: 15% y 20% de la población total. Para una población de 9540 que está distribuida en 6 estratos de la siguiente manera: 2340, 2090, 1595,

1650, 978, 887. Hallar muestras proporcionales de estudio para: 8, 10, 12, 15, 18 y 20% El en el ejercicio inmediatamente anterior se desea obtener una muestra de 954 en muestreo estratificado

no proporcional; discuta sus resultados con sus compañeros.

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22.. EESSTTAADDIISSTTIICCAASS PPRRIIMMAARRIIAASS

INTRODUCCIÓN

En estadística como en otras asignaturas, una ayuda para la comprensión de los diferentes temas se utilizalas tablas, figuras y gráficas en donde las primeras corresponden al ordenamiento de datos o resultadosobtenidos por medio de diferentes procesos ya sea de conteo o de operaciones. Las figuras corresponden a larepresentación de los resultados en un plano cartesiano utilizando datos consignados en las tablas y cuyopropósito es dar a conocer al lector los diferentes grados de variabilidad de cada una de las variables motivode análisis o interpretación.

OBJETIVO

Al finalizar esta unidad el estudiante estará en condiciones de analizar las estadísticas primarias con una, dosy más de dos variables por medio de observaciones directas tomadas del medio, elaborando sus respectivastablas y figuras estadísticas.

ESTADÍSTICAS CON UNA VARIABLE

Esta clase de estadística depende del número de observaciones efectuadas y del número de valores distintosque toma la variable, considerando éstos factores, las estadísticas de una sola variable se dividen enobservaciones simples, semicompuestas y compuestas.

Observación simple. Este caso se presenta cuando la observación es única y los datos obtenidos son pocosy se consignan en filas y/o columnas que se pueden ordenar de menor a mayor o de acuerdo como seobtuvieron los datos, ejemplo los datos que se encuentran en la Tabla 1.

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TABLA.1 OBSERVACIONES SIMPLES.ASIGNATURA PUNTAJE VARIABLE XI

Biología 70Estadística 75Filosofía 80Física 85Matemáticas 90Química 95

Observación semi-compuesta. Este caso hace relación cuando hay varias observaciones y la variable tomapocos valores pero distintos. Al consultar a 25 estudiantes (observación) sobre el número de hermanos yhermanas (variable Xi) que ellos tienen, se puede elaborar la Tabla.2

TABLA 2. OBSERVACIONES SEMI-COMPUESTASESTUDIANTE

OBSERVACIÓNHERMANOSVARIABLE XI

ESTUDIANTEOBSERVACIÓN

HERMANOSVARIABLE XI

1 3 14 42 4 15 33 2 16 24 3 17 35 2 18 26 2 19 37 4 20 28 5 21 39 2 22 3

10 4 23 211 3 24 112 2 25 213 5

Observación compuesta. Este caso se presenta cuando las observaciones son numerosas y la variable (Xi)toma diferentes valores, entonces se recurre a agrupar los valores de la variable (X i) en grupos llamadosintervalos de clases y son utilizados para el proceso de cálculo. Ahora, los datos representativos son lasmarcas de clase a cambio de los observados. Por ejempo al aplicar una encuesta en 100 casas, paradeterminar las edades de los familiares; ver tabla 3

TABLA 3. OBSERVACIONES COMPUESTASGRUPOS EDAD EN AÑOS VALORES QUE SE REPITEN FRECUENCIA FI

0 A 10 11011 " 21 15622 " 32 12233 " 43 62

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44 " 54 4855 " 65 5066 " 76 977 " 87 288 " 98 1TOTAL n = 560

Intervalos de clase. Son grupos pequeños de datos observados, utilizados para realizar cálculo cuando losdatos son numerosos, su conformación está sometida a diferentes reglas establecidas universalmente. Elpropósito es no perder información primaria en el cálculo y expresar correctamente las características de lavariable. Algunos autores acostumbran y recomiendan tomar el número de grupos o intervalos ( i ) entre 5 y20, otros entre 5 y 15 con el objeto de no distorsionar la información, en éste caso se toma el primer caso.

Para formar los grupos se debe:

Ordenar los datos de mayor a menor o de menor a mayor. Buscar el rango o recorrido ( R ), que equivale a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de

los datos ordenados de la muestra de trabajo.

R = Xmáx - Xmím

EJEMPLO. Al tomar la estatura a un grupo de estudiantes, se encontró que la máxima es de 175 cm y lamínima de 147 cm, su rango será:

R = 175 cm - 147 cm R = 28 cm

La amplitud del grupo o del intervalo de clase ( C ) se encuentra mediante la siguiente expresión: Se deseahallar la amplitud de los intervalos para i = 5 e i = 20

iRC donde i toma los valores de 5 y 20

Para i = 5 Para i = 20

6.5528C Cm = 6 4.1

2028C Cm

Estos dos resultados indican que se tiene 5 grupos o intervalos con amplitud de 5.6 = 6 y para 20 intervaloscon amplitud de 1.4. Entonces la amplitud o tamaño del intervalo de clase que se puede tomar estará

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comprendido entre 1.4 y 5.6, tomando números enteros 2, 3, 4 y 5. El tamaño del intervalo de clase ( C )también se puede hallar tomando un promedio entre i = 5 e i = 20 mediante la siguiente expresión:

8RC

EJEMPLO: Para hallar la amplitud del intervalo de rango ( R ) 28, según la expresión del promedio será

828

C = 3.5 = 4 Valor que está comprendido entre 1.4 y 5.6 cm.

Al tomar el peso a una muestra de 40 estudiantes se obtuvo los datos que están en la Tabla 4, las columnas 1y 2 los datos se encuentran sin ordenar; en cambio en la Tabla 5 columnas 1 y 2 los datos están ordenados.Buscando el rango o recorrido: R = 168 - 139 = 29

Amplitud de intervalo para i = 5 será: Amplitud del intervalo para i = 20 será:

8.5529C 45.1

2029C

O sea que ( C ) puede tomar valores desde 1.45 hasta 5.8, que tomando números enteros serán 1, 2, 3, 4, 5 y6 o tomando la expresión que utiliza el promedio se tendrá:

463.3829

C

TABLA 4. DATOS OBSERVADOS.NÚMERO DE DATOS ESTATURA XI NÚMERO DE DATOS ESTATURA XI

1 149 21 1482 153 22 1613 144 23 1474 153 24 1555 160 25 1426 142 26 1547 159 27 1398 143 28 1569 163 29 158

10 152 30 15411 155 31 15612 150 32 157

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13 144 33 15014 151 34 15215 147 35 15816 146 36 15217 168 37 16218 153 38 16619 151 39 15420 152 40 153

Después de calcular la amplitud del intervalo se procede a encontrar y formar los intervalos de clase.Tomando como punto de partida el mínimo dato observado y sumando horizontalmente el tamaño del intervalode clase menos la unidad ( C - 1), así: 139 + (4 -1) = 139 + 3 = 142, verticalmente se suma el verdadero valorde ( C ), cuyo valor es 4 así: 139 + 4 = 143, hasta llegar al tope del máximo valor, ver Tabla 6 primeracolumna. Con los datos ordenados de la Tabla 5 se procede a contabilizar los datos que se encuentrancomprendidos en éstos intervalos; estos resultados están en la columna 2 Tabla 6 que se denominafrecuencia absoluta fi.

TABLA. 5 DATOS ORDENADOSNUMERO DATOS ESTATURA

ORDENADAS XI

NUMERO DATOS ESTATURAORDENADAS XI

1 139 21 1532 142 22 1533 142 23 1534 143 24 1545 144 25 1546 144 26 1547 146 27 1558 147 28 1559 147 29 156

10 148 30 15611 149 31 15712 150 32 15813 150 33 15814 151 34 15915 151 35 16016 152 36 16117 152 37 16218 152 38 16319 152 39 166

ESTADISTICA 1

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20 153 40 168

Límites reales de clase. El límite real inferior de clase se obtiene restando la mitad de la unidad ( 0.5 ). Endatos agrupados el límite real superior de clase se obtiene sumando al límite superior de un intervalo de clase,la mitad de la unidad ( 0.5 )

Marcas de clase. Cuando los datos son agrupados se acostumbra a buscar el punto medio de un intervalo oclase que se denomina marcas de clase, esto debido a que los datos reales no se utilizan por ser numerosos.En la Tabla 6 las marcas de clase Xi se encuentran en la columna 4, resultados que se obtienen de sumar ellímite inferior y superior, su resultado dividido entre 2. En forma general se puede expresar de la siguientemanera:

2LsLiXi

TABLA 6. LÍMITES REALES DE CLASE.1 2 3 4

INTERVALOS DECLASE Li + C–1

FRECUENCIAABSOLUTA

FI

LIMITES REALES DECLASE

MARCAS DE CLASEXI

Li Ls Lri Lrs139 142 3 138.5 142.5 140.5143 146 4 142.5 146.5 144.5147 150 6 146.5 150.5 148.5151 154 13 150.5 154.5 152.5155 158 7 154.5 158.5 156.5159 162 4 158.5 162.5 160.5163 166 2 162.5 166.5 164.5167 170 1 166.5 170.5 168.5

FRECUENCIA ABSOLUTA f

Se llama frecuencia absoluta de un dato al número de veces que ha salido ese dato o resultado en unaobservacion.

La suma de las frecuencias absolutas de todos los datos que se han obtenido en la encuesta o estudio, ha deser igual al número total de datos observados.

EJEMPLO. Vamos a hacer un recuento de datos y ver su frecuencia relativa en el caso siguiente: Hemospreguntado a los 22 alumnos y alumnas de clase sobre cuál será el resultado del próximo partido entre elPasto y el rival BB…., obteniendo estos resultados:

ESTADISTICA 1

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TABLA 7: TOMA DE DATOS1 2 X X 1 1 2 X 1 1 X 2 1 1 1X X 2 1 2 2 X

Dónde:

El 1 significa que gana el equipo de casa, La X que empatan El 2 que gana el equipo visitante.

Efectuamos el recuento de los datos, anotando el número de veces que ha aparecido cada uno de losresultados.

TABLA 8: RECUENTO DE DATOSResultado del partido Número de veces que se ha dado Recuento

1 ///////// 9x /////// 72 ////// 6

TOTAL N = 22

Ahora construiríamos una tabla, llamada tabla de frecuencias, en la que pondríamos en la segunda columnalas frecuencias absolutas:

TABLA 9: FRECUENCIA ABSOLUTA

Resultado del partido Frecuencia absolutaf

F. acumuladafa

Gana el equipo de casa 1 9 9Que empatan X 7 16Gana el equipo visitante 2 6 22

TOTAL N = 22

La suma de las frecuencias absolutas es: 9 + 7 + 6 = 22

Lo primero que hemos de hacer es comprobar que no nos hemos dejado ningún resultado sin contar: en estecaso hemos preguntado a 22 alumnos de clase, que coincide con el resultado de la suma anterior. Estastablas son una forma sencilla de presentar los datos y hacen más fácil interpretar los resultados.

FRECUENCIA RELATIVA fr

Se llama frecuencia relativa de un dato al cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos. Lasuma de todas las frecuencias relativas de los datos de un estudio tiene que ser igual a 1 o al ciento por ciento

ESTADISTICA 1

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100%. Para los resultados de la encuesta anterior, escribimos una nueva columna a la derecha de la tabla defrecuencias en la que vamos calculando cada una de las frecuencias relativas:

Nffr i

%100*Nffr i

TABLA 10: FRECUENCIA RELATIVAResultado del

partidoFrecuencia absoluta

fFrecuencia relativa

frFrecuencia relativa

fr 100%1 9 9/22 0.41 9/22*100 41%X 7 7/22 0.32 7/22*100 32%2 6 6/22 0.27 6/22*100 27%

TOTAL N = 22 1.00 1.0 100% 100%

La suma de las frecuencias absolutas es: 9 + 7 + 6 = 22 La suma de las frecuencias relativas es:

Hay una mayoría que piensan o afirman que ganará el equipo de casa, el resultado es de 1 gol.

EJEMPLO. Veamos ahora otro caso; Hemos hecho una votación entre los 22 alumnos y alumnas para elegirde entre cuatro candidatos al delegado del curso, obteniéndose los siguientes resultados:

Carlos, Paula, Carmen, Ana, Carmen, Paula, Paula, Carlos, Ana, Paula, Carlos, Paula, Ana, Carmen, Paula,Carmen, Carlos, Carlos, Paula, Carlos, Paula, Carmen

Hacemos, en primer lugar, el recuento de los datos:

TABLA 11: RECUENTO DE DATOS

Candidato Número de veces que se hadado Recuento

Carlos ////// 6Paula //////// 8

Carmen ///// 5Ana /// 3

TOTAL N = 22

Una vez efectuado el recuento, construimos la tabla de frecuencias:

ESTADISTICA 1

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TABLA 12: FRECUENCIA ABSOLUTA

Nombre del candidato Frecuencia absolutaf

Frecuencia relativafr*100

Carlos 6 6/22 0.27 6/22*100 27%Paula 8 8/22 0.36 8/22*100 36%Carmen 5 5/22 0.23 5/22*100 23%Ana 3 3/22 0.14 3/22*100 14%TOTAL N = 22 1.00 1.0 100% 100%

La suma de las frecuencias absolutas es: 6 + 8 + 5 + 3 = 22

La suma de las frecuencias relativas es:

La persona más votada ha sido Paula, por lo tanto será la delegada del curso.

OTRAS ESTADISTICAS

Estadísticas con más de dos variables. Esto se presenta cuando en cada elemento se observansimultáneamente dos o más variables, obteniéndose valores que están relacionados entre sí. Para llenar laficha de los estudiantes del grado 11 de un Instituto A, se tiene en cuenta entre otras variables las siguientes:la edad, peso y estatura, ver Tabla 13.

TABLA 13. CON MÁS DE DOS VARIABLES.VARIABLES

ESTUDIANTES EDAD EN AÑOSXI

PESO EN KgYI

ESTATURA EN CmZI

A 18 66.6 173.5B 17 76.0 173.0C 18 49.5 164.0D 18 46.0 153.5E 19 63.1 160.0F 19 61.5 151.0G 19 51.7 149.0H 17 49.3 157.0I 19 52.0 147.0J 18 50.4 146.0

ESTADISTICA 1

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Estadísticas de cualidades o atributos. Esto se presenta cuando a un elemento además de realizarobservaciones de cantidad, se observan las diferentes cualidades o atributos que posee éste. Se puedenconsiderar como cualidades o atributos a:

El estado civil puede ser: soltero, casado, separado, divorciado, etc. Sexo puede ser: femenino o masculino. Profesión: médico, abogado, ingeniero, artesano, maestro de obra, zapatero, etc.

Estadísticas mixtas. Se presenta cuando se estudia la relación existente entre cualidades y las variablescuantitativas de un elemento perteneciente a una muestra o población. Por ejemplo, si se desea saber larelación que existe entre las variables: sexo, edad, peso y estatura en una muestra de estudiantes del grado11, ver Tabla 14 y 15

TABLA 14. DATOS MIXTOS.CUALIDAD

SEXOVARIABLES

EDAD (AÑOS) PESO (Kg) ESTATURA (Cm)

M 18 66.6 173.5M 17 76.8 173.0M 18 49.5 164.0M 18 46.0 153.5M 19 63.1 160.0

TABLA 15. DATOS MIXTOSCUALIDAD

SEXOVARIABLES

EDAD (AÑOS) PESO (Kg) ESTATURA (Cm)

F 19 51.7 149.5F 19 61.5 151.0F 17 49.3 157.0F 19 52.0 147.0F 18 50.4 146.0

Estadísticas sectoriales y temporales. La primera hace referencia a los elementos de una población deestudio cuando son áreas geográficas o sectores y se quiere conocer algunas cualidades que más sedestacan. La segunda hace relación al tiempo de duración que tiene un determinado evento. Por ejemplo lasáreas urbanas más pobladas de algunas partes del mundo, ver Tabla 16 y 17

ESTADISTICA 1

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TABLA 16. LAS 20 MAYORES AGLOMERACIONES URBANAS DE AMÉRICA DEL SUR 2014

Posición Ciudad País Población según Citypopulation (2014)1 São Paulo Brasil 21.500.0002 Buenos Aires Argentina 15.600.0003 Río de Janeiro Brasil 11.000.0004 Lima Perú 9.750.0005 Bogotá Colombia 9.100.0006 Santiago Chile 6.685.6857 Belo Horizonte Brasil 6.302.6658 Caracas Venezuela 4.862.3479 Porto Alegre Brasil 4.120.000

10 Recife Brasil 3.845.37711 Fortaleza Brasil 3.719.00012 Curitiba Brasil 3.595.66213 Medellín Colombia 3.591.96314 Maracaibo Venezuela 3.295.00015 Valencia Venezuela 3.121.32316 Salvador de Bahía Brasil 2.948.73317 Cali Colombia 2.894.81718 Campinas Brasil 2.825.00019 La Paz Bolivia 2.741.55420 Asunción Paraguay 2.698.401

TABLA 17. LAS 20 AGLOMERACIONES URBANAS MÁS POBLADAS DEL MUNDO2014

Puesto Ciudad País Población según Citypopulation (2014)1 Tokio Japón 34.900.000

2 Guangzhou - Foshan-Dongguan- Jiangmen China 32.300.000

3 Shanghái China 29.400.0004 Yakarta Indonesia 26.800.0005 Seúl -Incheon Corea del Sur 25.900.0006 Delhi India 25.100.000

ESTADISTICA 1

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Puesto Ciudad País Población según Citypopulation (2014)7 Karachi Pakistán 23.000.0008 Bombay India 22.500.0009 Manila Filipinas 22.400.000

10 Ciudad de México México 22.200.00011 Nueva York Estados Unidos 21.800.00012 São Paulo Brasil 21.500.00013 Pekín China 19.700.00014 Los Ángeles Estados Unidos 17.300.00015 Osaka- Kōbe -Kioto Japón 16.800.00016 Daca Bangladés 16.600.00017 Moscú Rusia 16.600.00018 El Cairo Egipto 16.300.00019 Calcuta India 15.700.00020 Buenos Aires Argentina 15.600.000

GRAFICAS PRIMARIAS

En la estadística, después de la tabulación y agrupado los datos en tablas se pueden representargráficamente y llevan nombres diferentes, con el objeto de dar a conocer a un auditorio. Estas gráficas puedenser figuras geométricas, humanas, de animales, libros, casas, carros, lineal, de barras, circular, piramidales.

Gráfico lineal. Proceso que consiste en representar puntos en un sistema de coordenadas dado por lasparejas de valores que pertenecen a la observación de un elemento de una muestra, que luego son unidos pormedio de líneas rectas. Cuando se utiliza como variable el tiempo, este se ubica en el eje horizontal. Alconsultar sobre el ingreso de estudiantes a la Institución B, se encontró los datos que están en la Tabla 18 y alllevar al plano se obtiene la Figura 1

TABLA 18. DATOS INGRESO DE ESTUDIANTES A LA INSTITUCIÓN BAÑO

VARIABLEINGRESO DE ESTUDIANTES VARIABLE

GRADO 8. GRADO 9 GRADO 10 TOTAL

2000 164 91 100 3552001 343 170 152 6652002 44 82 75 2012003 126 46 63 2532004 62 87 94 2432005 81 121 178 380

ESTADISTICA 1

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2006 105 131 215 4512007 136 127 236 4992008 173 179 300 653

TOTAL 1234 1034 1414 3682

0

100

200

300

400

500

600

700

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

AÑOS

ING

RESO

La Figura 1. Gráfico lineal

La Figura 1 indica que en el año de 2001 se ha obtenido un ingreso máximo, esto muestra la gráfica con supunto más alto, en tanto que en el año de 2002 el ingreso es mínimo.

Gráfico de barras vertical simple . Para representar los datos en forma de barras verticales se toma unancho proporcional y de acuerdo al número de datos y su altura va de acuerdo al valor de la ordenada, cadabarra representa un valor único observado.

ESTADISTICA 1

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0

100

200

300

400

500

600

700

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

AÑOS

ING

RESO

FIGURA 2. Barras verticales simples

Gráfica de barras horizontal simple. Este tipo de gráficas se utiliza cuando en la base se necesita hacerexplicaciones largas y detalladas, al graficar los datos de la Tabla 12 se obtiene la Figura 3

355665

201253243

380451

499653

0 200 400 600 800

2000

2002

2004

2006

2008

ING

RESO

AÑOS

FIGURA 3. Barras horizontales simples

Gráfico de barras compuesto. Esta clase de gráficas tiene una similitud con las gráficas de barras simplesverticales y horizontales. Tomando datos de la Tabla 19, se elaboró el gráfico Figura 4

ESTADISTICA 1

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TABLA19. DATOS INGRESO DE ESTUDIANTES A LA INSTITUCIÓN BAÑO

VARIABLEINGRESO DE ESTUDIANTES VARIABLE

GRADO 8. GRADO 9

2000 164 912001 343 1702002 44 822003 126 462004 62 872005 81 1212006 105 1312007 136 1272008 173 179

TOTAL 1234 1034

G8; 164

G8; 343

G8; 44

G8; 126

G8; 62

G8; 81

G8; 105

G8; 136

G8; 173

G9; 91

G9; 170

G9; 82

G9; 46

G9; 87

G9; 121

G9; 131

G9; 127

G9; 179

0 50 100 150 200 250 300 350 400

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

AÑO

S

INGRESO

FIGURA 4. Barras compuestas horizontales

ESTADISTICA 1

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GRÁFICO DE SECTORES

En este tipo de gráfico, lo que vamos a comparar es la amplitud de los sectores circulares que, para cada unode los datos, vamos a dibujar sobre un mismo círculo. Para ello, dibujamos un círculo grande, y lo dividimos entantas partes como participantes haya habido en la encuesta o votación: debemos dividir 360º entre el númerototal de votantes o encuestados. A continuación, a cada uno de los datos le asignamos tantas partes comoindique su frecuencia relativa (expresada está en forma de fracción), y escribimos un rótulo para cada sectorresultante, indicando a qué dato corresponde. Veámoslo con los ejemplos anteriores.

1. Construimos el gráfico de sectores para los resultados de la encuesta sobre quién va a ganar el partido defútbol. Partimos de la tabla de frecuencias:

TABLA 20: FRECUENCIA RELATIVAResultado del

partidoFrecuencia absoluta


frFrecuencia relativa

fr %1 9 9/22 0.41 41%X 7 7/22 0.32 32%2 6 6/22 0.27 27%

TOTAL N = 22 1.00 1.0 100%

Dividimos el círculo en 22 partes iguales, cada una de las cuales medirá: 360º/22 = 16,36º

Para cada uno de los datos tomaremos tantas partes como indique su frecuencia relativa. Así, para el 1: 9partes; para la X: 7 partes; y para el 2: 6 partes. Escribimos un rótulo en cada uno de los sectores resultantes,con el nombre del dato: 1, X, 2.

2. Construimos un gráfico de sectores para los resultados de la votación a delegado de clase.

Partimos de la tabla de frecuencias:

x32%

227% 1

41%

ESTADISTICA 1

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TABLA 21: FRECUENCIA RELATIVANombre delcandidato

Frecuencia absolutaf

Frecuencia relativafr

Frecuencia relativafr %

Carlos 6 6/22 27%Paula 8 8/22 36%Carmen 5 5/22 23%Ana 3 3/22 14%

TOTAL N = 22 1.00 100%

Dividimos el círculo en 22 partes iguales, de amplitud: 360º/22 = 16,36º

Y tomamos tantas partes para cada candidato como indique su frecuencia relativa. A continuación escribimosun rótulo en cada uno de los sectores resultantes, con el nombre de cada candidato:

EJEMPLO. Si se toma los datos de la Tabla 18, que se encuentra 3682 alumnos distribuidos en grados, así:1234 para el grado 8, 1034 grado 9, 1414 grado 10; construir el gráfico de pastel o circular que consiste enrepresentar los datos observados o procesados en una circunferencia, con base a 360 grados distribuidosproporcionalmente al porcentaje de cada uno de los datos. Para este caso se procede a realizar los siguientesprocesos:

Para el grado 8 Para el grado 9 Para el grado 10.

%34"55.6´,39,1203682360*1234X

o

o %28"50´,5,1013682360*1034X

o

o %38"42.3´,15,1383682360*1414X

o

o

Estos resultados se los puede representar en una circunferencia tomando como base a 360 grados, ademáscon la ayuda de un transportador o del computador se obtiene como resultado la Figura 5.

Carlos27%

Paula36%

Carmen23%

Ana14%

ESTADISTICA 1

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Figura 5. Circular o pastel

Gráfico piramidal. Este sistema de gráficas se utiliza para representar en una misma figura hasta 3 variables.En general los gráficos tienen diferentes características, su nombre se debe a la manera como se forma lagráfica al ubicar los datos. Considerando el ingreso de estudiantes a la Institución Z para los años 2003 a2007, según sus especialidades en los grados 10 y 11, ver Tabla 23. Que llevando a un plano se obtiene laFigura 7.

-150 -100 -50 0 50 100

2007

2006

2005

2004

2003

AÑO

S

INGRESO

FIGURA 7. Gráfico piramidal

ESTADISTICA 1

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TABLA 23. INGRESO DE ESTUDIANTES 2003-2007 INSTITUCIÓN BAÑO ACADÉMICO GRADO ELECTRÓNICA GRADO COMPUTACIÓN GRADO

10 11 10 11 10 112003 32 30 61 26 67 272004 49 32 70 51 126 492005 53 52 75 56 129 972006 87 49 73 54 153 832007 105 68 21 58 178 123

TOTAL 326 231 400 225 653 379SUB.TOTAL 557 625 1032

GRAN TOTAL 2214

TALLER 1.

Con los siguientes datos de y utilizando tablas: ordenar, hallar el valor mínimo, el valor máximo, rango, laamplitud del intervalo (C), intervalos de clase, límites reales de clase y marcas de clase; gráficos Lineales, debarras vertical, de barras horizontal simple.

1) Pesos expresados en Kg:53, 54, 66, 62, 52, 58, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 61, 48, 52, 51, 53, 68, 46, 47, 51, 44,50, 55, 52, 63, 43, 59, 42, 60, 53, 44, 53, 49, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 53, 54, 66, 62,52, 58, 52, 50, 57, 52, 58, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 61, 48, 52, 51, 53, 68, 46,. 51, 53,40, 45, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48,46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 47, 42, 45, 60, 42, 51, 40, 45, 60, 42, 51,42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 42, 44, 59, 55, 48, 46

2) Diámetro de un cilindro (mm):223, 243, 258, 231, 248, 259, 234, 249, 259, 235, 250, 260, 237, 251, 262, 238, 252, 263, 240, 252, 264,241, 253, 266, 243, 254, 267, 244, 223, 243, 258, 231, 248, 259, 234, 249, 259, 235, 250, 260, 237, 251,262, 238, 252, 263, 240, 249, 259, 235, 250, 260, 237, 251, 262, 238, 252, 263, 240, 252, 264, 252, 264,

3) 4. En la siguientes tablas, encontrar los valores correspondientes y construir el grafico de lineal y barras.

ESTADISTICA 1

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TABLA 1: EDADESNo INTERVALOS LIMITES REALES MARCAS DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA

Li Ls Lri Lrs X f1 1 52 9 123 17 194 25 265 33 336 41 257 49 178 57 9


Li Ls Lri Lrs X f

1 8 52 12 83 16 114 20 175 24 136 28 97 32 68 36 3


Li Ls Lri Lrs X f

1 14.5 19.5 22 19.5 24.5 53 84 115 96 67 38 1

ESTADISTICA 1

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Li Ls Lri Lrs X f

1 2 4 12 33 54 75 96 67 38 1

ESTADISTICA 1

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33.. EESSTTAADDIISSTTIICCAASS SSEECCUUNNDDAARRIIAASS

INTRODUCCIÓN

Las estadísticas secundarias se obtienen de las estadísticas primarias o de publicaciones que son el resultadode un proceso de operaciones matemáticas. Entre las estadísticas secundarias más importantes están lafrecuencia relativa, la frecuencia relativa acumulada, absoluta acumulada y gráficas.

OBJETIVO

Al finalizar esta unidad el estudiante estará en condiciones de realizar operaciones matemáticas con datos deestadísticas primarias para obtener las diferentes frecuencias para elaborar tablas y gráficas

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Este es un método estadístico que permite estudiar el comportamiento de los datos, ordenados en intervalosde clase o cualidades, indicando el número de datos comprendidos en cada intervalo, con el fin de ayudar asimplificar o reducir la información obtenida en tablas de frecuencia, que también reciben el nombre dedistribución de frecuencia después de haber realizado la tabulación. Una distribución de frecuencia puede serpara una o más variables, que se dividen en discretas y continuas.

En temas anteriores se definió la frecuencia absoluta como el número de veces que se repite un mismo valorde la variable individual mente en un intervalo, muestra o población en este caso esta expresada por ( f i ). Enla Tabla 1 se encuentra el resultado de 102 casas, en donde 79 son padres de familia, 92 madres, 339 hijos y51 y a otros números que representa la frecuencia absoluta ( fi ), ver segunda columna.

ESTADISTICA 1

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Como se mencionó en la anterior unidad anterior, la frecuencia absoluta acumulada es la suma de lasfrecuencias de un intervalo de clase con las frecuencias de los intervalos de clases anteriores y se puederepresentar en forma general por medio de la siguiente expresión:

fai = Σ fi

Dónde:

fai = frecuencia acumulada.fi = frecuencia de cada intervalo.i = 1, 2, 3,... número del intervalo de clase.

Al realizar una encuesta a 102 casas relacionadas con el parentesco y componentes de una familia, seencontró los datos que se encuentran en la Tabla 1 columna tres. Su proceso para el cálculo es:

Padres ..........................Padres + Madres .................Padres + madres + hijos .........Padres + madres + hijos + otros..

fa1 = 79fa2 = 79 + 92 = 171fa3 = 171 + 33 = 510fa4 = 510 + 51 = 561

TABLA 1. FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADA.PARENTESCO NO PERSONAS

fi

FRECUENCIA ABSOLUTAACUMULADA fai

Padres 79 79Madres 92 171Hijos 339 510Otros 51 561

TOTAL 561

En temas anteriores se definió la frecuencia relativa como la partición o fracción de la frecuencia absoluta quepertenece a un intervalo de clase dividida por el valor total de las frecuencias de las clases o números deobservaciones ( n ), que generalmente se expresa como porcentajes. Una propiedad de la frecuencia relativaconsiste en que, la suma de sus frecuencias parciales es igual a la unidad ( 1 ) o al 100%, según sea el caso.

ni

iffr

Dónde:

fri = frecuencia relativa.

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fi = frecuencia del intervalo.n = número total de observaciones.

También se puede utilizar la siguiente expresión para encontrar la frecuencia relativa en porcentajes:

100*ffr ii n

Al tomar los datos de la Tabla 1 y calcular la frecuencia relativa se obtiene los resultados de la Tabla 2. Elproceso de cálculo es el siguiente:

TABLA 2. FRECUENCIA RELATIVAPARENTESCO NO PERSONAS fi FRECUENCIA RELATIVA fri

Padres 79 0.1408 14.08%Madres 92 0.1640 16.40%Hijos 339 0.6043 60.43%Otros 51 0.0909 9.09%

TOTAL 561 1.00 100%

Frecuencia relativa Esto indica que de cada 100 personas:

fr1 = 79/561 = 0.1408 por 100% = 14.08%fr2 = 92/561 = 0.1640 " = 16.40%fr3 = 339/561 = 0.6043 " = 60.43%fr4 = 51/561 = 0.0909 " = 9.09%

El 14.08% son padres de familia.El 16.40% son madres de familia.El 60.43% son hijos.El 9.09% son abuelos, tíos,...

En la unidad anterior se trató el tema sobre la frecuencia relativa acumulada como el proceso consiste ensumar las frecuencias relativas de los datos de un intervalo de clase ( i ), con las frecuencias relativas de losintervalos de clase o de datos anteriores y matemáticamente se puede expresar de la siguiente forma: fra i = Σfri Tomando los datos de la Tabla 2 se puede elaborar una tabla para las frecuencias relativas acumuladas,resultados que se encuentran en la Tabla 3. Estos resultados anteriores indican que:

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El total de la familia corresponde al 100% Madres, padres e hijos corresponde al 90.91% Madres y padres de familia corresponde al 30.48% Padres de familia corresponde al 14.08%

TABLA 3. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.PARENTESCO FRECUENCIA. RELATIVA fri FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA frai

Padres 0.1408 14.08% 0.1408 14.08%Madres 0.1640 16.40% 0.3048 30.48%Hijos 0.6043 60.43% 0.9091 90.91%Otros 0.0909 9.09% 1.00 100.00%

TOTAL 1.00 100%

EJEMPLO. Teniendo en cuenta los alumnos que han ingresado a la Institución Z, datos que se encuentran enla Tabla 4 columnas 1 y 3. Una vez realizado el proceso de operaciones sus resultados se encuentran en lascolumnas 2, 4, 5, 6 y 7.

Considerando los resultados de la Tabla 4 se puede afirmar, que en el tiempo comprendido entre 1997 y 2014,han ingresado 5301 estudiantes. Encontrándose el máximo porcentaje entre los años 2005 y 2006 con el13,49% y el mínimo pertenece a los años de 1997 y 1998 con el 6,70%

TABLA 4. FRECUENCIAS RELATIVAS Y ACUMUALDAS EN PORCENTAJES1 2 3 4 5 5 7

AÑOS Xi fi fri fri% frai frai%1997 1998 1997,5 355 0,0670 6,70 0,0670 0,071999 2000 1999,5 465 0,0877 8,77 0,1547 15,472001 2002 2001,5 560 0,1056 10,56 0,2603 26,032003 2004 2003,5 675 0,1273 12,73 0,3877 38,772005 2006 2005,5 715 0,1349 13,49 0,5225 52,252007 2008 2007,5 670 0,1264 12,64 0,6489 64,892009 2010 2009,5 598 0,1128 11,28 0,7617 76,172011 2012 2011,5 610 0,1151 11,51 0,8768 87,682013 2014 2013,5 653 0,1232 12,32 1,0000 100,00

TOTAL 5301 1.00 100%

GRAFICAS SECUNDARIAS

Estas gráficas son aquellas que se pueden elaborar a partir de las estadísticas secundarias, o sea, con datosprocesados a partir de las estadísticas primarias. Las gráficas secundarias más utilizadas están el histograma,polígono de frecuencias y ojivas o polígono de frecuencias acumuladas.

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Histograma de frecuencias. Es una representación gráfica de las distribuciones de frecuencias y estáconformada por una serie de rectángulos que tienen sus bases en el eje horizontal (abscisas) y cuyo centro seencuentra en las marcas de clase con longitud igual al tamaño de los diferentes intervalos. La altura de losrectángulos equivale al valor de las frecuencias relativas o absolutas.

FIGURA 1. Histograma de frecuencias.

Para construir un histograma de frecuencias se ubica las marcas de clase sobre el eje horizontal, luego selevantan líneas verticales de altura igual al valor de la frecuencia perteneciente a cada intervalo, asegurándosede que el valor de la marca de clase esté en la mitad de la parte superior del rectángulo. Siguiendo todas lasrecomendaciones anteriores y tomando una proporcionalidad para elaborar gráficas se obtiene un histogramade frecuencias, para este caso utilizando los datos de la Tabla 4 columnas 1 y 3 lográndose obtener la gráficaque se encuentra en la Figura 1 conformada por una serie de rectángulos de alturas iguales al valor de lafrecuencia absoluta (fi).

Polígono de frecuencias. Es un polígono de línea trazado sobre las marcas de clase, que se obtiene uniendolos puntos medios de las partes altas de los rectángulos en el histograma. También se forma el polígono defrecuencia al unir las parejas ordenadas (Xi, fi).de la marca de clase y su correspondiente frecuencia.

Las parejas ordenadas (Xi, fi) se encuentran en la Tabla 5 columnas 2 y 3 y su gráfica está en la Figura 2

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FIGURA 2. Polígono de frecuencias.

TABLA 5. MARCAS DE CLASE.1 2 3

INTERVALOS MARCAS DE CLASEXI

FRECUENCIA ABSOLUTAfiLi Ls

1997 1998 1997,5 3551999 2000 1999,5 4652001 2002 2001,5 5602003 2004 2003,5 6752005 2006 2005,5 7152007 2008 2007,5 6702009 2010 2009,5 5982011 2012 2011,5 6102013 2014 2013,5 653

TOTAL 5301

Ojivas o polígono de frecuencias acumuladas. Cuando se utilizan las frecuencias acumuladas ya seanabsolutas, relativas y relativas porcentuales con el fin de hacer su representación gráfica se obtiene unpolígono de frecuencias acumuladas. Las ojivas, llevan su nombre según sea la frecuencia, puede ser inferiora (IA) y superior a (SA) que depende de cómo se acumulan cada una de las frecuencias.

Polígono de frecuencias

ESTADISTICA 1

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TABLA 6. DATOSEDAD PESO ESTATURA EDAD PESO ESTATURAAÑOS Kg Cm AÑOS Kg Cm

20 45.5 142 18 46.0 14617 57.2 154 22 56.3 15120 41.2 151 18 60.0 15716 47.0 150 18 60.0 16015 55.0 156 16 51.4 14917 54.6 157 17 46.3 14116 55.0 157 16 40.0 14917 59.2 170 17 47.0 14916 45.6 149 17 48.4 15719 65.0 155 16 55.0 15719 60.0 157 15 38.0 15015 47.0 157 15 43.0 14816 41.2 148 15 46.0 15118 64.4 162 16 43.0 14118 40.0 152 20 52.0 15223 57.5 151 17 71.0 14818 44.0 156 18 40.0 15316 46.4 148 18 47.0 14614 47.7 148 19 48.3 15516 45.0 146 17 51.5 158

N = 40 N = 40 N = 40

TABLA 7. FRECUENCIAS ACUMULADAS.INTERVALO

Li

FRECUENCIA ABSOLUTA.ACUMULADA fai

FRECUENCIA RELATIVA

fri fri%

Inferior A 38 0 0.00 0.00Inferior A 42 1 0.025 2.50Inferior A 46 6 0.15 15.00Inferior A 50 12 0.30 30.00Inferior A 54 23 0.575 57.50Inferior A 58 31 0.775 77.50Inferior A 62 36 0.90 90.00Inferior A 66 39 0.975 97.50Inferior A 70 40 1.00 100.00

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Tomando los datos de la Tabla 5 se puede elaborar ojivas, pero antes de todo hay que encontrar suscorrespondientes frecuencias acumuladas que se encuentran en la Tabla 7 ver Figura 3. Acumulando lasfrecuencias superiores a (SA), ver Tabla 8 y su gráfica se halla en la Figura 4

0 16

12

23

3136

39 40

05

1015202530354045

InferiorA 38

InferiorA 42

InferiorA 46

InferiorA 50

InferiorA 54

InferiorA 58

InferiorA 62

InferiorA 66

InferiorA 70

FRE

CU

EN

CIA

AC

UM

ULA

DA

FIGURA 3. Ojiva IA

TABLA 8. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.INTERVALO

Li

FRECUENCIA ABSOLUTA.ACUMULADA fai

FRECUENCIA RELATIVA

fri fri%

Superior A 38 40 1.00 100.00Superior A 42 39 0.975 97.50Superior A 46 36 0.90 90.00Superior A 50 31 0.775 77.50Superior A 54 23 0.575 57.50Superior A 58 12 0.30 30.00Superior A 62 6 0.15 15.00Superior A 66 1 0.025 2.50Superior A 70 0 0.00 0.00

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40 3936

31

23

12

61 00

51015202530354045

SuperiorA 70

SuperiorA 66

SuperiorA 62

SuperiorA 58

SuperiorA 54

SuperiorA 50

SuperiorA 46

SuperiorA 42

SuperiorA 38

FR

EC

UE

NC

IA A

CU

MU

LA

DA

FIGURA 4 Ojiva SA

TALLER 2.

Con los datos observados realizar y discutir con sus compañeros los resultados finales en los siguientesprocedimientos:

Frecuencias absolutas Frecuencias absolutas acumuladas Frecuencias relativas Frecuencia relativa acumulada Histograma de frecuencias Polígono de frecuencias Ojivas (IA) (SA) Realizar sus interpretaciones en cada caso.

1. Pesos expresados en Kg53, 54, 66, 62, 52, 58, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 61, 48, 52, 51, 53, 68, 46, 47, 51, 44,50, 55, 52, 63, 43, 59, 42, 60, 53, 44, 53, 49, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 53, 54, 66, 62,52, 58, 52, 50, 57, 52, 58, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 61, 48, 52, 51, 53, 68, 46,. 51, 53,40, 45, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48,46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 47, 42, 45, 60, 42, 51, 40, 45, 60, 42, 51,42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 42, 44, 59, 55, 48, 46

2. Con los siguientes datos consignar los valores adecuados en las tablas de acuerdo a la variablecorrespondiente; trabajar como datos no agrupados:

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TABLA 1: INFORMACIÓN RECOLECTADA RELACIONADA CONVARIABLES

No. Edad (Años) Peso (Kilos) Estatura(Cm)1 15 45 1402 16 44 1503 15 47 1604 17 50 1455 16 55 1496 15 52 1557 18 53 1528 17 46 1549 15 47 160

10 17 48 15811 16 45 15912 18 46 14713 14 47 15914 17 51 15115 15 53 15316 14 54 15217 17 55 15718 16 44 15919 15 46 16020 16 47 143

TABLA 2: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA LA EDADDatos observados

XNúmero de veces el dato

observadoFrecuencia absoluta

fFrecuencia absoluta

acumulada fa

n =

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TABLA 3: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA EL PESODatos observados




acumulada fa

n =

TABLA 4: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA LA ESTATURADatos observados




acumulada fa

n =

TABLA 5: FRECUENCIA RELATIVA PARA LA EDADDatos observados

XFrecuencia Absoluta


fr %Frecuencia relativa

acumulada fra%

n = Suma =

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TABLA 6: FRECUENCIA RELATIVA PARA EL PESODatos observados




acumulada fra%

n = Suma =

TABLA 7: FRECUENCIA RELATIVA PARA LA ESTATURADatos observados




acumulada fra%

n = Suma =

CONSTRUIR EL DIAGRAMA DE BARRAS Y SECTORES PARA:

Datos observados y frecuencia absoluta Datos observados y frecuencia relativa Construir gráficos de sectores Construir diagramas escalonados Datos observados y frecuencia absoluta acumulada Datos observados y frecuencia relativa acumulada

3. Con los siguientes datos consignar los valores adecuados en las tablas de acuerdo a la variablecorrespondiente; trabajar como datos agrupados:

RECOLECTAR INFORMACION

Recolectar información a 40 estudiantes de la institución a la que usted pertenece; para llenar la tablasiguiente:

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TABLA 1: RECOLECTAR INFORMACIÓN RELACIONADOS CON

No. NOMBRES Y APELLIDOS VARIABLESEdad (años) X Peso (kilos) X Estatura(Cm) X

123456789

10111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

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PROCESAR INFORMACIÓN

TABLA 2: ORDENAR LA INFORMACIÓN RECOLECTADA RELACIONADA CONVARIABLES

No. Edad (Años) X Peso (Kilos) X Estatura (Cm) X123456789

1011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

ESTADISTICA 1

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3940

n= n= n=

AGRUPACION DE DATOS

Para agrupar los datos se debe seguir las siguientes etapas:

Identificar el valor mínimo, Valor min Identificar el valor máximo, Valor max Hallar el rango R = Valor max - Valor min) Hallar amplitud del intervalo C = R/8; No. de intervalos de clase = 1 + ( 3.322*(log n)), En donde “n”

representa el número total de datos u observaciones que tenemos recopilados. Evidentemente, el númerode intervalos debe ser exacto; es decir, un número entero.

Formar los intervalos de clase

TABLA 3: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA LA EDADIntervalos de clase Marcas de clase

XFrecuencia absoluta


acumulada faLi Ls

n =

TABLA 4: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA EL PESOIntervalos de clase Marcas de clase



acumulada faLi Ls

n =

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TABLA 5: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA LA ESTATURAIntervalos de clase marcas de clase


ffrecuencia absoluta

acumulada faLi Ls

n =

TABLA 6: FRECUENCIA RELATIVA PARA LA EDADIntervalos de clase Marcas de clase

XFrecuenciaAbsoluta f

Frecuenciarelativa fr %

Frecuenciarelativa acumulada

fra%Li Ls

n = Suma =

TABLA 7: FRECUENCIA RELATIVA PARA EL PESOIntervalos de clase Marcas de clase

XFrecuenciaAbsoluta

f

Frecuenciarelativa

fr %

Frecuenciarelativa acumulada

fra%Li Ls

n = Suma =

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TABLA 8: FRECUENCIA RELATIVA PARA LA ESTATURAIntervalos de clase Marcas de clase

XFrecuenciaAbsoluta

f

Frecuenciarelativa

fr %

Frecuencia relativaacumulada fra%Li Ls

n = Suma =

CONSTRUIR EL DIAGRAMA DE BARRAS:

Marcas de clase y frecuencia absoluta Marcas de clase y frecuencia relativa Construir gráficos de sectores

CONSTRUIR DIAGRAMAS DE BARRAS ESCALONADOS

Marcas de clase y frecuencia absoluta acumulada Marcas de clase y frecuencia relativa acumulada

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44.. MMEEDDIIDDAASS DDEE TTEENNDDEENNCCIIAACCEENNTTRRAALL

INTRODUCCIÓN

Las medidas de tendencia central son valores que están comprendidos entre dos extremos, uno inferior y otrosuperior y es aplicable a una determinada variable tema de estudio o investigación. Dentro de los valoresmínimo y máximo están:

El promedio o media aritmética, LA mediana, La moda, La media cuadrática, La media geométrica, LA media armónica, Los cuartiles, Los deciles y Los percentiles.

OBJETIVO

Al finalizar ésta unidad el alumno estará en condiciones de calcular la media aritmética, mediana, moda y otrasmedidas tanto para datos agrupados y no agrupados utilizando las estadísticas primarias y secundarias.

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DATOS NO AGRUPADOS

En esta clase de estadística depende del número de observaciones efectuadas y del número de valoresdistintos que toma la variable, considerando éstos factores, las estadísticas de una sola variable se dividen enobservaciones simples y semi-compuestas.

Observación simple. Este caso se presenta cuando la observación es única y los datos obtenidos seconsignan en filas y/o columnas ordenando de menor a mayor o de acuerdo como se obtuvieron los datos.Tomando los puntajes obtenidas por un estudiante (observación) en un semestre que corresponde a lavariable Xi, datos que se encuentran en la Tabla 1.

TABLA 1: OBSERVACIONES SIMPLESAsignatura Puntaje variable

Xi

Biología 70Estadística 75Filosofía 80Física 85Matemáticas 90Química 95

Observación semi-compuesta. Este caso hace relación cuando las observaciones son varias y la variabletoma pocos valores y distintos. Los valores obtenidos se ubican en dos columnas, en la primera los valores dela variable y en la segunda la frecuencia o número de veces que cada valor aparece repetido. Al consultar a25 estudiantes (observación) sobre el número de hermanos y hermanas (variable X i) que ellos tienen, sepuede elaborar la Tabla 2:

TABLA 2: OBSERVACIONES SEMI-COMPUESTASEstudiante

ObservaciónHermanos variable

Xi

EstudianteObservación

Hermanos variableXi

1. 3 .14. 42. 4 15 33. 2 16. 24. 3 17. 35. 2 18. 26. 2 19. 37. 4 20. 28. 5 21. 39. 2 22. 3

10. 4 23. 211. 3 24. 112. 2 25 213. 5

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MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS.

Algunos autores consideran datos no agrupados cuando no hay intervalos de clase ni marcas de clase opuntos medios. Los datos utilizados en los diferentes cálculos son los realmente observados, éstos poseenfrecuencia fi igual a la unidad fi = 1 o mayor que la unidad fi > 1.

Matemáticamente la expresión para el cálculo de media o promedio se utiliza la siguiente expresión:

nX

X i

_X = Media aritméticaXi = Datos observadosn. = Número de observaciones.

Si se desea saber la edad media de un grupo de 18 estudiantes que tienen las siguientes edades:20, 17, 20, 16, 15, 17, 16, 19, 19, 15, 16, 18, 18, 23, 18 ,16, 17 y 16,

Uno de los proceso será.

20+17+20+16+15+17+16+19+19+15+16+18+18+23+18+16+17+16 = 316

nX

X i =18316 = 17.6

En el segundo caso, el proceso se puede hacer menos extenso y su resultado será el mismo.

nXf

X ii

fi = Frecuencia que corresponde a cada observación.

15*2 + 16*5 + 17*3 +18*3 + 19*2 + 20*2 + 23*1 = 316

nXf

X ii =18316 = 17.6

Con la siguiente tabla de datos se puede hallar el valor de la media para cada una de las variables.

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10 17 48 15811 16 45 15912 18 46 14713 14 47 15914 17 51 15115 15 53 15316 14 54 15217 17 55 15718 16 44 15919 15 46 16020 16 47 143

TABLA 4: MEDIA ARITMETICA PARA LA EDADDatos observados


fProducto

X*f

n = iiXf =

nXf

X ii

ESTADISTICA 1

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TABLA 5: MEDIA ARITMETICA PARA EL PESODatos observados


fProducto

X*f

n = iiXf =

nXf

X ii

TABLA 6: MEDIA ARITMETICA PARA LA ESTATURADatos observados


fProducto

X*f

n = iiXf =

nXf

X ii

DATOS AGRUPADOS

Es una observación compuesta en donde las observaciones son numerosas y la variable (Xi) toma diferentesvalores, entonces se recurre a agrupar los valores de la variable (X i) en grupos pequeños llamados intervalosde clases y son utilizados para el proceso de cálculo. Ahora, los datos representativos son las marcas de clasea cambio de los observados y datos que reciben el nombre, de datos agrupados. Un grupo de estudiantes deuna institución educativa de una ciudad Z aplicaron una encuesta a una muestra de 100 casas, para

ESTADISTICA 1

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determinar las edades de los componentes familiares; el trabajo produjo resultados numerosos por lo cual seprocedió a agrupar datos y elaborar la Tabla 7

TABLA 7: OBSERVACIONES COMPUESTASGrupos edad en años Valores que se repiten frecuencia fI

0 A 10 11011 " 21 15722 " 32 12233 " 43 6244 " 54 4855 " 65 5066 " 76 977 " 87 288 " 98 1

n = 561

La media aritmética o simplemente la media de un conjunto de datos, se calcula como la suma de los valoresde la observación de una muestra, población o censo dividida por el número de datos u observaciones de unamuestra o población. La media aritmética puede ser desarrollada tanto para datos agrupados y no agrupados.

LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Se consideran datos agrupados aquellos que se encuentran en tablas de frecuencias expresados en intervalosde clase y se toma como representativo de ellos las marcas de clase (Xi) o puntos medios de cada intervalo yno sus valores reales.

Xi = Para datos agrupados se toma las marcas de clase.fi = Frecuencia absoluta de un intervalo.n. = Número total de datos

nfX

X i*i

Encontrar la media de las edades utilizando la expresión para datos agrupados, en estos casos se debeencontrar primeramente sus intervalos de clase siguiendo los pasos que se describen a continuación, suresultado se encuentra en la Tabla 8

Primero. Ordenar y hallar las frecuencias respectivas

Segundo. Hallar el recorrido R y determinar la amplitud del intervalo (c).

R = Xmax - Xmín: R = 23 - 14 = 9 R = 9

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Tomando para un mínimo de intervalos i = 5, su amplitud (c) será:

8.159

iRc

TABLA 8: FRECUENCIA ABSOLUTAORDEN DE DATOS EDAD EN AÑOS

Xi

FRECUENCIA ABSOLUTAfi

1. 14 12. 15 53. 16 104. 17 85. 18 86. 19 37. 20 38. 21 09. 22 1

10. 23 1n = 40

Para un máximo de intervalos i = 20, su amplitud (c) será:

45.0209

iRc

O sea, que la amplitud del intervalo estará comprendido entre 0.45 y 1.8, que bien pueden ser 1 y 2aproximando. En éste caso se tomará c = 2

Tercero. Elaborar tablas con sus intervalos, productos de frecuencia y marcas de clase, ver Tabla 9

Cuarto. Hallar la media aritmética.

nfX

X i*i

35.1740694

X = 17 años cumplidos

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TABLA 9: MARCAS DE CLASE Y FRECUENCIASOrden Intervalo de clase Marcas de Clase

Xi

Frecuenciafi

ProductoXi*fiLi Ls

1. 14 15 14.5 6 87.02. 16 17 16.5 18 297.03. 18 19 18.5 11 203.54. 20 21 20.5 3 61.55. 22 23 22.5 2 45.0

n = 40 Σ X i* fi = 694

TALLER 3:

LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Recolectar información a 40 estudiantes de la institución a la que usted pertenece; para llenar la tablasiguiente.

TABLA 10: RECOLECTAR INFORMACIÓN RELACIONADOS CON

No. NOMBRES Y APELLIDOS VARIABLESEdad (años) X Peso (kilos) X Estatura(Cm) X

123456789

101112131415161718192021222324

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25262728293031323334353637383940

PROCESAR INFORMACIÓN

TABLA 11: ORDENAR LA INFORMACIÓN RECOLECTADA RELACIONADA CONVARIABLES

No. Edad (Años) X Peso (Kilos) X Estatura (Cm) X123456789

101112131415161718192021

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22232425262728293031323334353637383940

n= n= n=

TABLA 12: LA MEDIA ARITMETICA PARA LA EDADIntervalos de clase Marcas de clase


fProducto

X*fLi Ls

n = fX*i =

nXf

X ii

ESTADISTICA 1

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TABLA 13 LA MEDIA ARITMETICA PARA EL PESOIntervalos de clase Marcas de clase


fProducto

X*fLi Ls

n = fX*i =

nXf

X ii

TABLA 14: LA MEDIA ARITMETICA PARA LA ESTATURAIntervalos de clase Marcas de clase


fProducto

X*fLi Ls

n =fX*i =

nXf

X ii

MEDIA GEOMÉTRICA

Además de las anteriores existen otras medidas de tendencia central que se utilizan en ciertas ocasiones tantoen el comercio y la economía, entre las más importantes están la media geométrica, armónica y otras.

ESTADISTICA 1

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Método para datos no agrupados. La media geométrica de n observaciones se define como la raíz de índicen del producto de todas las observaciones se simboliza con la letra G y su expresión es la siguiente:

nnXXXXG *...*** 321

Dónde:

G = Media geométrica.n = Número de observaciones.X1, X2, X3, ..., Valor de cada observación.

EJEMPLO. Si se tiene cinco puntajes 65, 70, 80, 50 y 85 significa que el número de observaciones es cinco(n=5), por lo tanto la media geométrica será:

9.6845.68154700000085*50*80*70*65 55 G

El resultado anterior también se puede encontrar utilizando logaritmos, así:

)*...***(1321 nXXXXLog

nLogG

Según los datos anteriores el resultado será:

037898063.1)189490314.9(51)1547000000(

51)85*50.*80*70*65(

51

LogLogLogG

G = Antilog( 037898063.1 )G = 68.84 = 69

Si se desea hallar la media aritmética, ésta será:

705350

58550807065

X

Comparando los dos resultados, se tiene: 69 < 70; En forma general se puede afirmar que:

XG

Método para datos agrupados. Si los valores X1, X2, X3, X4, ..., Xn, se representan con sus correspondientesfrecuencias f1, f2, f3, f4, ..., fn y además con intervalos de clase, entonces para hallar la media geométrica G seutiliza la siguiente expresión:

ESTADISTICA 1

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fnfff XnXXXG ...** 33

22

11

Hallar la media geométrica, en donde Xi pertenece a las marcas de clase y fi a la frecuencia absoluta, ademásutilizando los datos de la Tabla.1. Tomando el resultado de la columna 3 se puede llevar a la expresión paracalcular G, así:

24.1710*8935743.240 49 G

Como la media aritmética es,

35.1740694

nfi*Xi

X Entonces:

G<

X o sea 17.24 < 17.35Para el cálculo de G por medio de logaritmos se utiliza la siguiente expresión:

))*(1log( ii LogXfn

AntiG

TABLA 15: DATOS POTENCIAMarcas de clase

Xi

Frecuencia absolutafi

ProductoXi* fi

Potencia(xi)fi

14.5 6 87 9294114.3916.5 18 297 8.21695665 E2118.5 11 203.5 8.68738387 E1320.5 3 61.5 8615.12522.5 2 45 506.25

TOTAL n = 40 694 2.8935743 E49

MEDIA ARMONICA H

Cuando se utiliza el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores se denomina mediaarmónica y se utiliza cuando se desea hallar la media de datos inversamente proporcionales entre sí, ya seapara datos no agrupados y agrupados.

Método para datos no agrupados. Para este caso se utiliza la siguiente expresión matemática:

ESTADISTICA 1

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iX

nH1

Dónde:

n = Número de observaciones.Xi = Datos observados.

Se desea hallar la media armónica para los puntajes de 50, 65, 70, 80 y 85, en este caso n = 5.

63.67626.67073935035.05

851

801

701

651

501

51

iX

nH

Comparando la media aritmética, la media geométrica y la media armónica encontrada se tiene:67.6 < 68.8 < 70 En general será:

XGH

Método para datos agrupados. Cuando se utiliza datos agrupados o sea aquellos que están expresados pormedio de una distribución de frecuencias e intervalos de clase y se desea hallar la media armónica se utiliza lasiguiente expresión:

i

i

XfnH

Dónde:

H = Media armónica para datos agrupados.n = Número de observaciones.fi = Frecuencia absoluta.Xi = Marcas de clase.

Tomando los datos de la Tabla 16 se puede hallar la media armónica. Utilizando el resultado de las columnas2 y 3 con el número de observaciones n = 40 de la Tabla 16 y reemplazando se tiene:

92.163345.240

i

i

XfnH

ESTADISTICA 1

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TABLA 16: COCIENTEMarcas de clase

Xi

Frecuencia absolutafi

Cocientefi / (xi)

14.5 6 0.4137910316.5 18 1.0909090918.5 11 0.5945945920.5 3 0.1463414622.5 2 0.08888888

n = 40 2.33452714

EJEMPLO. Se necesita repellar 7440 metros cuadrados en una determinada construcción, varios obrerosrealizan 3720 metros cuadrados, con un rendimiento de 100 metros por día; si el trabajo se necesita lo másrápido posible, entonces los 372 metros cuadrados restantes los mismos trabajadores realizan 120 metroscuadrados por día. El maestro de obra desea saber cuál es el promedio de metro cuadrado por día.

Total de 7440 metros cuadrados. Primera etapa 3720 metros cuadrados con un trabajo promedio de 100 metros cuadrados por día. La segunda etapa 3720 metros cuadrados con un trabajo promedio de 120 metros cuadrados por día.

Para calcular el tiempo total t utilizado en realizar todo el trabajo será:

días2.37100días3720

1 t

días31120días320

2 t

t = t1 + t2t = 37. 2 + 31 = 68.2 días

Para hallar el promedio de metros cuadrados realizados por día se utiliza la media armónica, así:

dia/cuadrados.m090.10922024000

1201

10012

H

H = 109.090 metros cuadrados/día Comprobando para el total de metros cuadrados = t*H se obtiene:= 68.2días*109.090m/día = 744m

MEDIA CUADRATICA C

Esta media se define como la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de la variable, la mediacuadrática se puede calcular tanto para datos no agrupados y agrupados.

ESTADISTICA 1

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Método para datos no agrupados. Su fórmula matemática es la siguiente:

nXXXXC n22

322

21 ...

=nX i2

Dónde:

C = Media cuadrática.n = Número de observaciones.Xi = Observaciones.Para hallar la media cuadrática de los valores siguientes 3, 4, 5, -6, -1, -3 y 2 se procede así:

7

2)3()1()6(543 2222222

C7100

=3.78

Generalmente se utiliza la media cuadrática cuando se desea hallar la media de valores positivos y negativos;se presenta cuando se trabaja con las desviaciones, debido a que se pueden dar valores positivos y negativosque al sumar dan como resultado igual cero.

Método para datos agrupados. Si se utiliza datos agrupados como se ha descrito anteriormente, la mediacuadrática se la expresa por medio de la siguiente expresión matemática:

Xi: Representa marcas de clasefi: La frecuencia absoluta.

nfXfXfXfXC nn *...*** 2

3232

221

21

=nfX ii *2

TALLER 4

MEDIA GEOMETRICA, ARMONICA Y CUDRATICA

Con los datos observados que se presentan a continuación realizar y discutir con sus compañeros losresultados finales y hacer sus correspondientes interpretaciones en cada uno de los siguientes casos:

Hallar la media aritmética para datos agrupados y no agrupados Hallar la media geométrica para datos agrupados y no agrupados Hallar la media armónica para datos agrupados y no agrupados Hallar la media cuadrática para datos agrupados y no agrupados Comparar los resultado de la media aritmética, media geométrica, media armónica y media cuadrática.

ESTADISTICA 1

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La medida de longitud de un tablero (mm):3000, 3015, 2995, 2855, 3040, 3050, 3020, 2955, 2985, 2995, 3015, 3120, 3150, 3100, 3115, 3130, 3125,2855, 2985 y 3070

Medidas de peso (Kg):40, 45, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 47, 42 y59

TALLER 5

LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Si todos los valores de una determinada variable son ordenados en sentido creciente o decreciente; se diceque la mediana es aquella observación, dato o valor que ocupa el punto central o divide a una muestra en dospartes iguales. La mediana se la puede calcular tanto para datos no agrupados como para agrupados.

MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS. En este caso los datos no se encuentran expresados medianteuna distribución de frecuencias, se puede ordenar con facilidad en forma creciente o decreciente lasobservaciones que pueden dar dos casos, uno para datos impares y otro para los pares.

EJEMPLO Considerando que un estudiante tiene los siguientes puntajes en una determinada actividad: 40,80, 90, 70 y 100; hallar el puntaje mediano

TABLA 17: ORDENAMIENTO CRECIENTE Y DECRECIENTE DE DATOSLUGAR 1. 2. 3. 4 5

CRECIENTE 40 70 80 90 100DECRECIENTE 100 90 80 70 40

Al ordenar los datos en forma creciente o decreciente se puede tomar la mediana como el dato central quedivide a la muestra en dos partes iguales, que en este caso el valor que ocupa el tercer lugar con un valor de80 es la mediana. Este resultado se puede encontrar mediante:

21

nPMe

PMe = Posición de la mediana.n = Número de observaciones.

EJEMPLO Considerando los datos de la tabla en donde n es igual a los cinco puntajes, se tendrá el siguienteresultado:

21nPMe 2

15 =3

ESTADISTICA 1

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El número 3 indica la posición de la mediana, que se halla en tercer lugar a partir de izquierda hacia laderecha o de derecha hacia la izquierda y pertenece a la puntuación mediana, Me = 80

EJEMPLO. Tomando otro caso, en donde se supone que un estudiante llegó a obtener los puntajes que vande 1 a 100, éstas son: 100, 90, 80, 60, 40 y 70. En este caso los datos son pares, entonces la mediana se lapuede encontrar por medio de una fórmula, que con anterioridad se ha ordenado los datos. Para hallar lamediana se calcula la posición de esta, así:

TABLA 18: ORDENAMIENTO DATOS PARESLUGAR 1 2 3 4 5 6

CRECIENTE 40 60 70 80 90 100

DECRECIENTE 100 90 80 70 60 40

21

nPMe =

216

=3.5

PMe = 3.5 Posición de la mediana.

Esto indica que el valor de la mediana estará entre el tercero y cuarto lugar, que de acuerdo a la tabla anteriorcorresponde a los puntajes de 70. y 80., conociendo éstos datos se procede a encontrar el valor de lamediana:

28070

Me =2150

= 75

Me = 75 Puntaje mediano.



10 17 48 15811 16 45 15912 18 46 14713 14 47 159

ESTADISTICA 1

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14 17 51 15115 15 53 15316 14 54 15217 17 55 15718 16 44 15919 15 46 16020 16 47 143

TABLA 20: CALCULO DE LA MEDIANA PARA LA EDAD1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

TABLA 21: CALCULO DE LA MEDIANA PARA EL PESO1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

TABLA 22: CALCULO DE LA MEDIANA PARA LA ESTAURA1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

TALLER 6

LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

MÉDIANA PARA DATOS AGRUPADOS. Si los datos son numerosos y están expresados medianteintervalos de clase junto con una distribución de frecuencias, la mediana se puede calcular matemáticamentepor medio de:

fme

faancLriMe

)2(

Dónde:

Me = Mediana.

ESTADISTICA 1

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c = Amplitud de intervalo.n/2 = Posición de la mediana.n = Número de observaciones.fme = Frecuencia de la clase mediana.Lri = Límite real inferior de la clase mediana.faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior.

EJEMPLO. En una encuesta realizada por unos estudiantes sobre los componentes familiares en 102 casasresultaron los intervalos que se encuentran en la tabla siguiente y de ella se tiene:

TABLA 23: FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADAIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia acumulada

faLi Ls Lri Lrs0 10 -0.5 10.5 110 110

11 21 10.5 21.5 157 26722 32 21.5 32.5 122 38933 43 32.5 43.5 62 45144 54 43.5 54.5 48 49955 65 54.5 65.5 50 54966 76 65.5 76.5 9 55877 87 76.5 87.5 2 56088 98 87.5 98.5 1 561

n = 561

n = 561PMe = 561/2 = 280.5PMe = 280.5 posición de la mediana.

De acuerdo a la posición de la mediana, ésta se encontrará entre las frecuencias acumuladas 267 y 389, quepertenecen al intervalo 21.5 y 32.5, de donde:

Lri = 21.5faa = 267fme = 122c = 11

Si se reemplaza en la expresión para la mediana:

fme

faancLriMe

)2(

ESTADISTICA 1

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71.221225.148

122)2675.280(115.21

Me

Me = 23 Años cumplidos.

Este resultado indica que el 50% de 561 personas tiene edad menor a 22.71 años y el otro 50% corresponde aedades mayores a 22.71 años y menores de 98

TABLA 24: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LA EDADIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia

acumulada faLi Ls Lri Lrs

n=

fme

faancLriMe

)2(

TABLA 25: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA EL PESOIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

fme

faancLriMe

)2(

ESTADISTICA 1

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TABLA 26: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LA ESTATURAIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

fme

faancLriMe

)2(

TALLER 7

LOS CUARTILES Q

Cuando los datos se dividen en cuatro partes iguales y se toma una de ellas se denomina cuartil y serepresenta por Q1, Q2 y Q3 en donde cada fracción contiene un 25% del total de las observaciones.

El primer cuartil Q1 contiene 25% de las observaciones. El segundo cuartil Q2 agrupa el 50% de las observaciones. El tercer cuartil Q3 agrupa el 75% de las observaciones.

fqj

faajncLriQj

)4( *

Qj = Identifica al cuartil 1, 2, 3j = Índice que identifica al cuartil 1, 2, 3Lri = Límite real inferior de la clase cuartílica.fQj = Frecuencia de la clase cuartílica.c = Amplitud del intervalo de clase.faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior.j*n/4 = Posición del cuartil.

ESTADISTICA 1

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EJEMPLO. En la institución Z, 40 estudiantes tienen un peso mínimo de 39 y un máximo de 68 kilogramos. Sila amplitud del intervalo es (c = 4), los datos agrupados se encuentran en la Tabla siguiente.

HALLAR EL CUARTIL Q1: n = 40 Y J = 1.

104401

4njP **

1Q

Posición cuartil uno Q1, que se halla entre las frecuencias acumuladas 7 y 13 que pertenecen al intervalo 46.5y 50.5

Lri = 46.5faa = 7PQ1 = 10fQ1 = 6c = 4

Reemplazando en la expresión se tendrá el valor del Q1.

TABLA 27: FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADAIntervalo de clase Limites reales Marcas clase

Xi

Frecuencia.Absoluta fi

Frecuenciaacumulada faLi Ls Lri Lrs

39 42 38.5 42.5 40.5 3 343 46 42.5 46.5 44.5 4 747 50 46.5 50.5 48.5 6 1351 54 50.5 54.5 52.5 13 2655 58 54.5 58.5 56.5 7 3359 62 58.5 62.5 60.5 4 3763 66 62.5 66.5 64.5 2 3967 70 66.5 70.5 68.5 1 40

n= 40

KgQ 5.4825.466

)74140(4

5.46*

1

Este resultado indica que el 25% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 48.5 Kg.

CALCULAR Q2 CUANDO J = 2.

204402

4402P **

Q2

Posición cuartil Q2, éste se encontrará entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenecen al intervalo50.5 y 54.5

ESTADISTICA 1

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Lri = 50.5faa = 13fq2 = 13PQ2 = 20c = 4

Reemplazando se obtendrá el cuartil Q2.

KgQ 65.5254.25.5013

)134240(4

5.50*

2

Este resultado indica que el 50% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 52.65 Kg

PARA CALCULAR Q3 CUANDO J = 3.

304403

4403P **

Q3

Posición cuartil Q3, se halla entre las frecuencias acumuladas 26 y 33, que pertenece al intervalo 54.5 y 58.5

Lri = 54.5faa =26fQ3 =7PQ3 =30c=4

Reemplazando se obtendrá el cuartil Q3.

KgQ 78.5679.25.547

)264340(4

5.54*

3


TABLA 28: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CUARTILES DE LA EDADIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

ESTADISTICA 1

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fqj

faajncLriQj

)4( *

TABLA 29: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CUARTILES DEL PESOIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

fqj

faajncLriQj

)4( *

TABLA 30: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA CUARTILES DE LA ESTATURAIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

fqj

faajncLriQj

)4( *

ESTADISTICA 1

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TALLER 8

LOS DECILES D

Si los valores que conforman una distribución se los divide en diez partes iguales en donde, cada uno de ellosse denomina decíl que se simboliza por D1, D2, D3, ...., D9 cada fracción representa el 10% de lasobservaciones. Para el cálculo de los deciles el proceso es similar al de cuartiles y su expresión matemáticaes:

Djf

faajncLriDj

)10( *

Dónde:

Dj = Identifica al decíl 1, 2, 3, ....9j = Índice que identifica al decíl 1, 2, 3, ...9Lri = Límite real inferior de la clase decílica.fDj = Frecuencia de la clase decílica.faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior.j*n/10 = Posición del decíl.

TABLA 31: FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADAIntervalo de

claseLimites reales Marcas clase

Xi

Frecuenciaabsoluta

fi

Frecuenciaacumulada fa

Li Ls Lri Lrs39 42 38.5 42.5 40.5 3 343 46 42.5 46.5 44.5 4 747 50 46.5 50.5 48.5 6 1351 54 50.5 54.5 52.5 13 2655 58 54.5 58.5 56.5 7 3359 62 58.5 62.5 60.5 4 3763 66 62.5 66.5 64.5 2 3967 70 66.5 70.5 68.5 1 40

n= 40

Para hallar los deciles D2, D4, D6, D8 según la Tabla anterior

HALLAR EL DECÍL D2: n = 40 J = 2.

ESTADISTICA 1

Página 77 de 142

10njP *

Dj

810402

10402P **

D2

Posición decil D2, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 7 y 13 que pertenecen al intervalo 46.5 y50.5

Lri = 46.5faa = 7PD2 = 10fD2 = 6c = 4

Reemplazando se obtendrá el decil

KgD 17.476

)710240(4

5.46*

2


HALLAR D4 CUANDO J = 4

161040*4

1040*4PD4

Posición decíl D4, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenece al intervalo 50.5 y54.5

Lri = 50.5faa = 13fD2 = 13PD2 = 16c = 4

Reemplazando se obtendrá el decíl.

KgD 42.5113

)1310440(4

5.50*

4


ESTADISTICA 1

Página 78 de 142

EL DECÍL D6 CUANDO J = 6

2410406

10406P **

D6

Posición decíl D6, éste se hallará entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenece al intervalo 50.5 y54.5

Lri = 50.5faa = 13fD6 = 13PD6 = 24c = 4

Reemplazando en su expresión se obtendrá el decíl

KgD 88.5313

)1310640(4

5.50*

6


EL DECÍL D8 CUANDO J = 8

3210408

10408P **

D8

Posición decíl D8, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 26 y 33, que tiene por intervalo 54.5 y 58.5

Lri = 54.5faa = 26fD6 = 7PD6 = 32c = 4Reemplazando en su expresión se obtendrá el decíl

KgD 93.577

)2610840(4

5.54*

8


ESTADISTICA 1

Página 79 de 142

TABLA 32: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS DECILES DE LA EDADIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

fDj

faajncLriDj

)10( *

TABLA 33: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS DECILES DEL PESOIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

fDj

faajncLriDj

)10( *

ESTADISTICA 1

Página 80 de 142

TABLA 34: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS DECILES DE LA ESTATURAIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

fDj

faajncLriDj

)10( *

TALLER 9

LOS CENTILES O PERCENTILES

Si los valores que conforman una distribución se dividen en cien partes iguales y a cada una se denominacentíl, su símbolo es C1, C2, C3, C99, cada fracción contiene el 1% de las observaciones. El cálculo de loscentiles es similar al de deciles y su expresión es:

Cjf

faajncLriCj

)100( *

TABLA 35: FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADAIntervalo de

claseLimites reales Marcas clase

Xi

Frecuencia.Absoluta fi

Frecuenciaacumulada fa

Li Ls Lri Lrs39 42 38.5 42.5 40.5 3 343 46 42.5 46.5 44.5 4 747 50 46.5 50.5 48.5 6 1351 54 50.5 54.5 52.5 13 2655 58 54.5 58.5 56.5 7 3359 62 58.5 62.5 60.5 4 3763 66 62.5 66.5 64.5 2 3967 70 66.5 70.5 68.5 1 40

n= 40

ESTADISTICA 1

Página 81 de 142

Dónde:

Cj = Identifica al centíl 1, 2, 3,....,99j = Índice que identifica el centíl 1, 2, 3,...,99Lri = Límite real inferior de la clase centílica.fCj = Frecuencia de la clase centílica.faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior.j*n/100 = Posición del centíl.

Hallar los centiles C20, C40, C60 y C80 para los datos de la Tabla anterior.

EL CENTÍL C20 CUANDO N = 40 Y J = 20

81004020

4njP **

C20

Al reemplazar en su ecuación correspondiente se obtendrá los siguientes resultados:

KgC 17.477

)71002040(4

5.46*

20

equivale al 20%

KgC 42.516

)131004040(4

5.50*

40

equivale al 40%

KgC 88.5313

)131006040(4

5.50*

60

equivale al 60%

KgC 93.577

)261008040(4

5.54*

80

equivale al 80%

Los resultados de los centiles C20, C40, C60 y C80 son iguales al de los deciles D2, D4, D6 y D8.

TABLA 36: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CENTILES DE LA EDADIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

ESTADISTICA 1

Página 82 de 142

Cjf

faajncLriCj

)100( *

TABLA 37: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CENTILES DEL PESOIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n =

Cjf

faajncLriCj

)100( *

TABLA 38: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CENTILES DE LA ESTATURAIntervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta

fFrecuencia


n=

ESTADISTICA 1

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Cjf

faajncLriCj

)100( *

TALLER 10

LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

La moda es una medida de tendencia central que pertenece al valor que más se repite o que tiene mayorfrecuencia en un grupo de observaciones o datos y su cálculo se hace tanto para datos no agrupados yagrupados.

MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS. En este caso la moda puede existir o no, si existe no puede serúnica. Cuando una información estadística posee una sola moda se llama unimodal, si tiene dos se denominabimodal.

EJEMPLO. Suponiendo que un estudiante A obtuvo cuatro valoraciones, en donde sus puntajes son: 65, 70,80 y 90, de acuerdo al concepto de moda ésta no existe ya que todos los valores de las observaciones tienenla misma frecuencia igual a la unidad, ver la tabla siguiente.

TABLA 39: MODA CEROCalificación XI Frecuencia absoluta fI

65 170 180 190 1

n = 4

Un segundo estudiante B realizó seis valoraciones y sus puntajes se encuentran en la tabla siguiente, endonde el puntaje modal, indica que existen dos modas identificadas con los puntajes de 65 y 80, denominadabimodal.

TABLA 40: FRECUENCIA BIMODALCalificación Xi Frecuencia absoluta fi

60 165 2 Moda 180 2 Moda 2

100 1n = 6

ESTADISTICA 1

Página 84 de 142

Hallar la moda para datos no agrupados relacionados con la edad, peso y estatura

TABLA 41: FRECUENCIA DE LA EDADDatos observados X Frecuencia f

Mo =

TABLA 42: FRECUENCIA DEL PESODatos observados X Frecuencia f

Mo =

TABLA 43: FRECUENCIA DE LA ESTATURADatos observados

XFrecuencia

f

ESTADISTICA 1

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Mo =

TALLER 11

LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS

MODA PARA DATOS AGRUPADOS. Para el cálculo de la moda en datos agrupados o que se encuentran enuna tabla de distribución de frecuencias con intervalos de clase, se utiliza la siguiente expresión matemática:

cdpdadaLriMo *

da = La expresión, corresponde a la diferencia absoluta entre la frecuencia modal y la frecuencia absolutade la clase inmediatamente anterior.

dp = La expresión, corresponde a la diferencia absoluta entre la frecuencia modal y la frecuencia absolutade la clase inmediatamente posterior.

Lri = Límite real inferior de la clase modal.c = Tamaño o amplitud del intervalo de clase.

EJEMPLO. Tomando los datos de la tabla siguiente se puede calcular la edad modal. En ésta tabla lafrecuencia modal es la de mayor valor y permite calcular la moda de esta información estadística:

Dónde:

Lri = 10.5da = fmo - fa = 157 - 110 = 47da = 47dp = fmo - fp = 157 - 122 = 35dp = 35c = 11

TABLA 44: FRECUENCIA MODALLimites reales Frecuencia absoluta

fiLri Lrs-0.50 10.50 110 fa10.50 21.50 157 fmo21.50 32.50 122 fp32.50 43.50 6243.50 54.50 4854.50 65.50 5065.50 76.50 976.50 87.50 287.50 98.50 1

n = 561

ESTADISTICA 1

Página 86 de 142

Reemplazando los datos de la tabla en la expresión correspondiente se tendrá el valor de la moda para estainformación estadística.

80.16305.65.10825175.1011*

3547475.10

Mo

Mo = 16.80 Clase modal.

Este resultado indica que aproximadamente, la edad que más se repite es de 16.80 años, si se desea en añoscumplidos será de 17.

El conjunto de datos que obtenemos al hacer cualquier encuesta o votación, podemos representarlográficamente, mediante un diagrama de barras o un gráfico de sectores, o bien mediante tres valores quellamamos media, mediana y moda.

TABLA 45: MODA PARA LA EDADLimites reales de clase Frecuencia absoluta

fiLri Lrs

n =

cdpda

daLriMo

TABLA 46: MODA PARA EL PESOLimites reales de clase Frecuencia absoluta

fiLri Lrs

ESTADISTICA 1

Página 87 de 142

n =

cdpdadaLriMo *

TABLA 47: MODA PARA LA ESTATURALimites reales de clase Frecuencia absoluta

fiLri Lrs

n =

ESTADISTICA 1

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55.. MMEEDDIIDDAASS DDEE DDIISSPPEERRSSIIOONN

INTRODUCCIÓN

Las medidas de tendencia central también son llamadas medidas de posición, que tratan de medir o dar aconocer los datos que se dispersan o se alejan con relación a la media, mediana, moda, cuartiles, deciles opercentiles; en esta unidad se tomará como referencia la media aritmética. En general el uso de las medidasde tendencia central no son ayuda suficiente para comparar dos o más distribuciones o muestras,especialmente cuando la media es igual en cada una de ellas. Entre las diferentes medidas de dispersiónestán: el rango o recorrido, desviación media, varianza, coeficiente de variación, etc..

OBJETIVO

Al finalizar esta unidad el estudiante estará en capacidad de calcular y definir el recorrido o rango, desviaciónmedia, varianza, desviación típica, variable normalizada, para datos no agrupados y agrupados utilizando susfórmulas correctamente.

Es una medida de dispersión que toma datos de una muestra para calcular la sumatoria de los valoresabsolutos de las desviaciones de cada uno de los datos de una muestra con relación a la media aritmética,dividida por el tamaño de la muestra (n). La desviación media se calcula para datos no agrupados y agrupadosmediante procesos matemáticos.

TALLER 12

LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Método para datos no agrupados . La media aritmética de las desviaciones para datos no agrupados conrelación a la media aritmética de los datos se puede escribir de la siguiente forma:

ESTADISTICA 1

Página 89 de 142

n

XXDM

i

n

XXfDM

ii

)(*

Dónde:

X = Media aritmética de los datos.Dm = desviación media.Xi = Valor de cada uno de los datos observados.fi = Frecuencia absoluta de cada valor Xi.

Para el cálculo de la desviación media se puede elaborar ciertas tablas que permiten organizar cada uno delos resultados obtenidos en el proceso, ver las dos Tablas siguientes

TABLA 1: DATOS AGRUPADOS GRUPO APuntaje

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Producto

fi*I )(

XX i I40 1 20 2045 2 15 3050 3 10 3055 4 5 2060 5 0 065 4 5 2070 3 10 3075 2 15 3080 1 20 20

n = 25 200)(*

XXf ii

GRUPO A

n

XXfDM

ii

)(*= 825200

ESTADISTICA 1

Página 90 de 142

TABLA 2: DATOS AGRUPADOS GRUPO BPuntaje

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX iProducto fi*I )(

XX i I

45 1 15 1550 2 10 2055 3 5 1560 5 0 065 3 5 1570 2 10 2075 1 15 15

n = 17 100)(*

XXf ii

GRUPO B

n

XXfDM

ii

)(*9.5

17100

De acuerdo a los resultados de la desviación media, se puede afirmar que el grupo A presenta mayordispersión que el grupo B con relación a la media, por lo tanto quien ocupa el primer puesto es el grupo B y elsegundo para el A. Si no se está convencido se puede recurrir al concepto de varianza.

TABLA 3: DESVIACION MEDIA DE LA EDADDatos observados

XFrecuencia

fDesviación

)(

XX i

Producto

fi*I )(

XX i I

n =

)(* XXf ii

n

XXfDM

ii

)(*=

ESTADISTICA 1

Página 91 de 142

TABLA 4: DESVIACION MEDIA DEL PESODatos observados

XFrecuencia

fDesviación

)(


XX i I

n =

)(* XXf ii

n

XXfDM

ii

)(*=

TABLA 5: DESVIACION MEDIA DE LA ESTATURADatos observados

XFrecuencia

fDesviación

)(


XX i I

n =

)(* XXf ii

ESTADISTICA 1

Página 92 de 142

n

XXfDM

ii

)(*=

TALLER 13

LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Método para datos agrupados. Recordando que datos agrupados son aquellos en donde se trabaja conmarcas de clase y no con datos realmente observados junto con las frecuencias (f i) de cada clase. Suexpresión matemática es:

n

XXfDM

ii

)(*

Xi = Marcas de clase.fi = Frecuencia absoluta de cada intervalo.n = Número de observaciones.

TABLA 1: DESVIACION MEDIA PARA LA EDADMarcas de clase

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Producto

fi*I )(

XX i I

n =

)(* XXf ii

n

XXfDM

ii )(*

ESTADISTICA 1

Página 93 de 142

TABLA 2: DESVIACION MEDIA PARA EL PESOMarcas de clase

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Producto

fi*I )(

XX i I

n =

)(* XXf ii

n

XXfDM

ii )(*

TABLA 3: DESVIACION MEDIA PARA LA ESTATURAMarcas de clase

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(


XX i I

n =

)(* XXf ii

n

XXfDM

ii )(*

ESTADISTICA 1

Página 94 de 142

TALLER 14

LA VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS

La varianza es una medida de dispersión que consiste en la suma de las desviaciones al cuadrado de cadauno de los datos con relación a la media aritmética, dividida por el tamaño de la muestra n. Cuando ladispersión de los datos es mayor, también lo son sus desviaciones, por lo tanto lo será su varianza. En elproceso de cálculo, la varianza toma unidades cuadráticas resultando un inconveniente, de allí que se hatomado otra medida de dispersión llamada desviación típica o estándar que se simboliza por S. La varianzapuede ser para datos no agrupados y agrupados.

Para datos no agrupados . La expresión que se utiliza para éstos casos es la siguiente:

nXX i

2

2 )(S

nXXf ii

2

2 )(S

Xi = Datos observados.fi = Frecuencia absoluta de cada uno de los datos.

Siguiendo el proceso para solucionar el problema anterior de los grupos A y B ahora utilizando el concepto devarianza. En primer lugar se debe elaborar tablas de valores para cada uno de los grupos, ver Tabla 1 y 2 quepertenece a A y B respectivamente. Reemplazando los datos de las Tablas 1 y 2 se obtiene la varianza tantopara A y B.

TABLA 1: DATOS PROCESADOS GRUPO ADatos

Xi

Frecuenciafi

Desviación )(

XX iPotencia

)(

XX i 2

Producto

fi*( )(

XX i )2

40 1 -20 400 40045 2 -15 225 45050 3 -10 100 30055 4 -5 25 10060 5 0 0 065 4 5 25 10070 3 10 100 30075 2 15 225 45080 1 20 400 400

n = 25 2500)(2

XXf ii

ESTADISTICA 1

Página 95 de 142

nXX i

2

2 )(S 100

252500

TABLA 2: DATOS PROCESADOS GRUPO BDatos

Xi

Frecuenciafi

Desviación )(

XX i Potencia )(

XX i 2 Producto fi* )(

XX i 2

45 1 -15 225 22550 2 -10 100 20055 3 -5 25 7560 4 0 0 065 5 5 25 7570 2 10 100 20075 1 15 225 225

n = 17 1000)( 2

XXf ii

nXX i

2

2 )(S 82.58

171000

Según los resultados de las varianzas el grupo B ocupa el primer puesto 100>58.82

TABLA 3: LA VARIANZA PARA LA EDADDatos

Xi

Frecuenciafi

Desviación )(

XX iPotencia

)(

XX i 2

Producto

fi* )(

XX i 2

n =

2)( XXf ii

nXX i

2

2 )(S

ESTADISTICA 1

Página 96 de 142

TABLA 4: LA VARIANZA PARA EL PESODatos

Xi

Frecuenciafi

Desviación )(

XX iPotencia

)(

XX i 2

Producto

fi* )(

XX i 2

n = 2)( XXf ii

nXX i

2

2 )(S

TABLA 5: LA VARIANZA PARA LA ESTATURADatos

Xi

Frecuenciafi

Desviación )(

XX iPotencia

)(

XX i 2

Producto

fi* )(

XX i 2

n =

2)( XXf ii

nXX i

2

2 )(S

TALLER 15

LA VARIANZA PARA AGRUPADOS

Método para datos agrupados. Para estos casos se puede utilizar una expresión similar a la anterior endonde los datos observados son reemplazados por las marcas de clase X i con sus correspondientesfrecuencias fi.

ESTADISTICA 1

Página 97 de 142

nXXf ii

2

2 )(S

TABLA 1: LA VARIANZA PARA LA EDADMarcas de clase

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Potencia

)(

XX i 2

Producto

fi* )(

XX i 2

n =

2

)( XXf ii

nXXf ii

2

2 )(S

TABLA 2: LA VARIANZA PARA EL PESOMarcas de clase

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Potencia

)(

XX i 2Producto fi* )(

XX i 2

n =

2

)( XXf ii

nXXf ii

2

2 )(S

ESTADISTICA 1

Página 98 de 142

TABLA 3: LA VARIANZA PARA LA ESTATURAMarcas de clase

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Potencia

)(


XX i 2

n = 2

)( XXf ii

nXXf ii

2

2 )(S

TALLER 16

LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Se define como la raíz cuadrada de la varianza tomada con signo positivo o la raíz cuadrada de lasdesviaciones al cuadrado con relación a la media aritmética y se representa por S, su expresión matemáticaes la siguiente: La desviación típica o estándar permite hacer comparaciones con los datos originales en formadirecta, debido a que su resultado lleva la misma unidad de medida que los datos observados. La desviacióntípica puede encontrar tanto para datos no agrupados y agrupados.

Método para datos no agrupados . Para este caso se puede utilizar

nXXf

S ii

2

)( VarianzaS

S = Desviación típica.fi = Frecuencia de cada dato Xi.Xi = Valor de cada uno de los datos.

Siguiendo con el caso de los dos grupos A y B tomar el concepto desviación típica para decidir cuál de losgrupos ocupa el primer lugar mediante el uso de los valores de las Tablas 1 y 2 y la fórmula anterior, se tiene:

ESTADISTICA 1

Página 99 de 142

TABLA 1: DATOS PROCESADOS GRUPO ADatos

Xi

Frecuenciafi

Desviación )(

XX iPotencia

)(

XX i 2

Producto

fi*( )(

XX i )2

40 1 -20 400 40045 2 -15 225 45050 3 -10 100 30055 4 -5 25 10060 5 0 0 065 4 5 25 10070 3 10 100 30075 2 15 225 45080 1 20 400 400

n = 25 2500)(2

XXf ii

GRUPO A

5251002500)(

2

nXXf

S ii

TABLA 2: DATOS PROCESADOS GRUPO BDatos

Xi

Frecuenciafi

Desviación )(

XX iPotencia

)(


XX i 2

45 1 -15 225 22550 2 -10 100 20055 3 -5 25 7560 4 0 0 065 5 5 25 7570 2 10 100 20075 1 15 225 225

n = 171000)(

2

XXf ii

GRUPO B

67.782.58171000)(

2

nXXf

S ii

Según estos resultados se puede afirmar que el grupo B ocupa el primer lugar, debido a que éste presentamenor desviación con relación a la media aritmética.

ESTADISTICA 1

Página 100 de 142

TALLER 17

LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS

Cuando no se puede obtener la media aritmética, la desviación media, varianza y desviación típica con losdatos realmente observados debido a que éstos son numerosos, se procede a agrupar en clases o intervalos,en donde Xi representa las marcas de clase y fi las frecuencias de cada intervalo, para esto se utilizaexpresiones semejantes a las anteriores con algunas modificaciones.

nXXf

S ii

2

)(

Veamos el siguiente caso, después de tabular los datos, agrupar en intervalos ver Tabla 1 para una muestrade 200 elementos.

TABLA 1: LA MEDIA ARITMETICAIntervalos Frecuencia absoluta

fi

Marcas de claseXi

ProductoLi Ls f*X4 7 5 5.5 27.58 11 20 9.5 190

12 15 40 13.5 54016 19 60 17.5 105020 23 40 21.5 86024 27 20 25.5 51028 31 10 29.5 29532 35 5 33.5 167.5

n = 200 ii Xf * = 3640

Para utilizar la expresión para S, hay necesidad de hallar la media aritmética y confeccionar la Tabla 2tomando como referencia la Tabla 1, así:

nXf

X ii *= 2.182003640

Reemplazando en la expresión, se obtiene valor de la desviación típica.

nXXf

S i

2

)(=

20000.7182 = 91.35 = 5.99 = 6

ESTADISTICA 1

Página 101 de 142

TABLA 2: LA DESVIACIÓN STANDARMarcas de

clase Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Potencia

)(

XX i 2

Producto

fi* )(

XX i 2

5.5 5 -12.7 161.29 806.459.5 20 -8.7 75.69 1513.80

13.5 40 -4.7 22.09 883.6017.5 60 -0.7 0.49 29.4021.5 40 3.3 10.89 435.6025.5 20 7.3 53.29 1065.8029.5 10 11.3 127.69 1276.9033.5 5 15.3 234.09 1170.45

n = 2007182)(

2

XXf ii

nXXf

S i

2

)(

TABLA 3: LA DESVIACION ESTÁNDAR PARA LA EDADMarcas de clase

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Potencia

)(

XX i 2

Producto

fi*( )(

XX i )2

n =

2

)( XXf ii

nXXf

S i

2

)(

ESTADISTICA 1

Página 102 de 142

TABLA 4: LA DESVIACION ESTANDAR PARA EL PESOMarcas de clase

Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Potencia

)(

XX i 2Producto fi*( )(

XX i )2

n =

2

)( XXf ii

nXXf

S i

2

)(

TABLA 5: LA DESVIACION ESTANDAR PARA LA ESTATURAMarcas de

clase Xi

Frecuenciafi

Desviación

)(

XX i

Potencia

)(

XX i 2Producto fi*( )(

XX i )2

n =

2

)( XXf ii

nXXf

S i

2

)(

ESTADISTICA 1

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6. TEORIA DE LA PROBABILIDAD

INTRODUCCION

Para desarrollar ésta unidad es necesario ciertos conocimientos elementales sobre la teoría de conjuntos yciertas operaciones entre ellos; que luego serán utilizados en los temas relacionados con los conceptosmodernos de probabilidades debido a que ésta se considera netamente axiomática, trazando así, un caminohacia la probabilidad condicional e incondicional. Además los conceptos son utilizados en inferenciaestadística.

OBJETIVOS

Reconoce el concepto de conjunto y realizar operaciones. Describe las técnicas de contar y aplicar en el ordenamiento de sucesos o eventos. Describe los elementos que intervienen en una probabilidad para resolver problemas prácticos.

CONJUNTOS

El concepto de conjunto es el más primitivo y fundamental de la estructura matemática que, no estrictamentelo definen como: una lista, colección o clase de objetos bien definidos considerados como una sola unidad, endonde los objetos que pertenecen al conjunto se llama miembro o elemento de él. Se llama conjuntos a:

Un listado de alumnos del grado once. Una familia. Los alumnos de una institución educativa. Los libros de una biblioteca. Al sistema planetario.

ESTADISTICA 1

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A los conjuntos es costumbre designarlos con letras mayúsculas, mientras que para los elementos se utilizaletras minúsculas encerrado entre llaves { }. Además si se toma una parte de elementos de un conjunto se lollama subconjunto, o sea un conjunto que está incluido en otro; que también se designará con letrasmayúsculas. Así:

El conjunto de las letras vocales se puede escribir como. A = { a, o, u, e, i } El conjunto múltiplos de 3 comprendidos entre 1 y 20. B = {3, 6, 9, 12, 18}

DIVISION DE CONJUNTOS

En general los conjuntos se dividen en dos.

Conjuntos finitos. Conjuntos infinitos.

Conjuntos finitos. Un conjunto es finito o infinito contable si está vacío o tiene elementos fácilmentecontables, dando como resultado un número positivo. Se puede considerar como conjuntos, a los:

Días de un mes. Alumnos de la Universidad de Nariño. Libros de la biblioteca del CESMAG. Candidatos a ser presidentes de Colombia. Niños de un barrio.

Conjuntos infinitos. Un conjunto es infinito o no contable cuando, NO se puede contar u obtener su valor conexactitud: Pueden ser considerados como conjuntos infinitos a:

Peces de un lago. Arboles de una montaña. Estrellas del universo. Niños de Colombia. Habitantes del departamento de Nariño.

Cuando un conjunto es bastante grande pero se puede contar o llegar a obtener un resultado lo más cercanoposible al valor verdadero, se lo denomina conjunto infinito contable, así:

Las casas de la ciudad de Bogotá. El ganado vacuno de un departamento. Estudiantes universitarios de Colombia. Estudiantes del grado once de la Ciudad de Pasto.

ESPECIFICACION DE CONJUNTOS

Los conjuntos se pueden especificar de dos maneras:

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Por extensión. Consiste en escribir todos los elementos, separados por comas y encerrarlos en llaves:

A={a, o, u, e, i}B={3, 6, 9 12, 18}C={Alejandra, Marcela, Daniela, Jimena, David}

Por comprensión. Consiste en dar una propiedad común a todos los elementos del conjunto y encerrarlos enllaves; esta propiedad debe ser muy precisa; la deben cumplir todos los elementos del conjunto y solamentelos elementos del conjunto.

A = { Los números natural }A = { x/x es un número natural }B = { Los números dígitos }B = { x/x es dígito }

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Al igual que en aritmética se puede realizar las cuatro operaciones que son suma, resta, multiplicación ydivisión; mediante los conjuntos se puede realizar algunas operaciones que son utilizadas para determinar lascorrespondientes probabilidades, ellas son:

Unión. Intersección. Diferencia. Complemento.

Unión. Si se tiene dos o más conjuntos, la unión o reunión de éstos será otro conjunto que está conformadopor los elementos de éstos o uno de ellos, matemáticamente se puede expresar, figura es 1.

A B=C={ x : x A o xB }

A B

FIGURA 1 unión de conjuntos

Sea A, el conjunto formado por los libros de física del grado diez y sea B el conjunto de libros de física delgrado once. La unión de estos será otro conjunto equivalente a sumar los del grado diez y once. La uniónpuede se puede dar entre dos o más conjuntos.

A={libros de física del grado diez}B={libros de física del grado once}A B=C={Libros de física para secundaria}

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Si se toma un informe para secundaria está conformada por diferentes asignaturas que constituyen loselementos; éstas a su vez se agrupan por áreas y la unión de éstas conforma el informe.

Intersección. La intersección de dos o más conjuntos, es el conjunto que está conformado por los elementoscomunes que pertenecen a cada uno de los conjuntos, matemáticamente la representación para dos conjuntoses:

A B=C={ x : x A y x B }

Si se cumple que A B=φ, se dice que los conjuntos son disyuntos, o sea que no existe intersección, y sepuede representar gráficamente, ver Figura 2

A BFIGURA 2 intersección de conjuntos

Si un curso está constituido por U=21 estudiantes y conforman dos equipos; al de Básquet B pertenecen 14 y10 al de voleibol V: entonces el conjunto de estudiantes que juegan básquet y voleibol será C, ver Figura 3.

U=21B+V=14+10=24B V=(B+V)-UB V=24-21=3B V=3=CU-B=21-14=7U-V=21-10=11

A B

FIGURA 3 intersección de conjuntos

Diferencia o complemento relativo. Si se tiene dos conjuntos, sean A y B se llama diferencia o complementorelativo de A con respecto a B; al conjunto de elementos que pertenece a A y no a B, que matemáticamente seescribe:

A-B=C={ x : x A x B }

Si se escribe en proceso inverso se tendrá:

B-A=D={ x : x B x A }

C 3V 11 B 7

ESTADISTICA 1

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Dando como resultado los conjuntos C y D que son dos conjuntos diferentes, al menos que los dos seanvacíos. Su representación gráfica está en la Figura 4

FIGURA 4 diferencia de conjuntos

Si se considera el caso anterior, que consta de un grupo de A=21 estudiantes en donde el grupo B=14 jueganbásquet y el grupo V=10 juegan voleibol; se puede hallar:

A-V, No juegan voleibol pero sí básquet.A-B, No juegan básquet pero sí voleibol.

Reemplazando sus valores numéricos, se tiene:

A-V=21-14=7 Juegan únicamente BásquetA-B=21-10=11 Juegan únicamente VoleibolV+B-A=Juegan Básquet y Voleibol 14+10-21=3

Complementación. Esta operación se efectúa sobre cada una de las partes del universo. Siendo A cualquierparte del universo U, su complemento se denota de diferentes maneras, así: Ac, CA, A'. El conjuntocomplementario de un conjunto A, es el conjunto de todos los individuos que pertenecen al universo y nopertenecen al conjunto A. Simbólicamente se puede escribir:

Ac = CA = A' = { x / x U x A }

TECNICAS DE CONTAR

La estadística y las probabilidades desempeñan un papel fundamental en el desarrollo de problemas queestán relacionados con la enumeración de experimentos, pruebas, sucesos y datos. Entre las diferentesmaneras que existen para ordenar y contar están: principio fundamental del conteo, factorial, variaciones,permutaciones y combinaciones.

Principio fundamental del conteo. Este principio se enuncia de la siguiente manera: Sí un suceso puederealizarse de n1 maneras diferentes, un segundo suceso puede realizarse de n2 maneras diferentes, un tercersuceso puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente hasta llegar al último; el número demaneras que los sucesos se pueden ordenar es equivalente al producto, así: n1*n2*n3*.... = n; Total deordenaciones.

EJEMOLO. Para formar una junta directiva hay 3 candidatos para presidente, 2 para tesorero y 2 parasecretarias; los tres cargos podrán ocuparse de: 3*2*2 = 12 maneras u ordenaciones diferentes. Paradeterminar el número de ternas se procede a formar el árbol de ordenaciones, así:

A-B B-A

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P1

T1 S1S2

T2 S1S2

P2

T1 S1S2

T2 S1S2

P3

T1 S1S2

T2 S1S2

FIGURA 5

Notación factorial. La notación factorial n!; significa el producto ordenado de enteros positivos desde n hasta1 o desde 1 hasta n; que se lee; n factorial y se puede escribir de la siguiente manera:

n! = n*(n -1)*(n - 2)*(n -3)*...*3*2*1 n! = 1*2*3*...(n - 3)*(n - 2)*(n - 1)*nAdemás:0! = 1 y 1! = 1, por definición.

Se desea hallar el factorial de 4, 6 y 5 se tiene: 4! = 4*3*2*1 = 24; 6! = 720; 5! = 5*4*3*2*1 = 120

De acuerdo al concepto de factorial se puede resolver diferentes problemas, así: Un estudiante desea saberde cuantas formas puede ordenar libros de: biología, uno de química y uno de física en el estante de subiblioteca; para resolver éste problema el estudiante procede a desarrollar de dos maneras una gráfica y otraanalítica. Para el primer caso ver Figura 6, 7 y 8

B

Q

F

FIGURA 6

BQF

QBF

FBQ

FIGURA 7

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BQ FF Q

QB FF B

FB QQ B

FIGURA 8

Las figuras anteriores tienen la siguiente explicación:

En primer lugar el estudiante hace un gráfico ubicando y ordenando B, Q, F de arriba hacia abajo, todos apartir de un punto de origen, ver Figura 6

Luego hace un nuevo gráfico ubicando a lado y lado de B, Q, F los restantes libros para cada uno de elloshaciendo un segundo ordenamiento de dos libros que corresponde a cada ramificación, ver Figura 7

Por último en la Figura 8 y en cada ramificación de la Figura 7 ubica el tercer libro para completar el tercerorden que corresponde a la igualdad de ramificaciones, así:

N = {BQF, BFQ, QBF, QFB, FBQ, FQB} o sea: N = 6 maneras de ordenar

Analíticamente para n = 3 se tiene: 3! = 3*2*1 = 6, Maneras diferentes de ordenar libros.

Variaciones. Según algunos autores, variación es la enumeración de una cantidad de elementos o sucesosen un orden determinado; tomados de r en r de un conjunto formado por n elementos o sucesos. Ademáspara que haya variaciones algunos matemáticos consideran que debe cumplir la relación de que r<n. En unavariación, se puede repetir los elementos que conforman los diferentes subconjuntos y no importa el orden encada uno de ellos. Las variaciones también son llamadas pruebas con sustitución; debido a que, en cada,ordenamiento de tamaño r se extrae un elemento del conjunto y se lo devuelve a dicho conjunto una vezhecho su respectivo análisis; así, hasta terminar. Para hallar el número de variaciones en forma analítica seutiliza.

nVr = n*(n -1)*(n - 2)*(n - 3)*...*(n - r +1)r)!-(nn!nVr

Dónde:

nVr = Símbolo para una variación.n = Número total de elementos o sucesos de un conjunto.r = Tamaño de la muestra o pruebas ordenadas.! = Símbolo que identifica el factorial.

EJEMPLO. Un profesor tiene 10 estudiantes y quiere formar grupos de 4 estudiantes. De cuántas maneraspodrá organizar?. En este caso se tiene n=10 y r=4 que reemplazando en su fórmula se tiene:

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)!410(!10

410 V = 5040

1234561345678910

!6!10

*****

********

El resultado anterior de 5040 está expresando un número grande de grupos y cada uno con 4 estudiantes quese forman a partir de 10 estudiantes. Si los valores de n son pequeños se halla las variaciones gráfica yanalíticamente. Suponiendo un grupo de 4 estudiantes Alejandra, Beatriz y Diana solicitan reingreso a launiversidad y tienen que presentar entrevista; ellas piensan que pueden ser llamadas individualmente o engrupos de dos y resuelven analítica y gráficamente, ver Figura 9. El conjunto solución S según la Figura 9equivale:

S = {A, B, C, D} = 4 formas de 1 en 1, que va desde el origen a la columna 1.S1 = {AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}S1 = 12 formas de 2 en 2, que va desde la columna 1 a 2

0 r=1 r=2 S1

AB =ABC =ACD =AD

BA =BAC =BCD =BD

CA =CAB =CBD =CD

DA =DAB =DBC =DC

FIGURA 9 representación gráfica

Analíticamente se puede hallar utilizando la fórmula que identifica la variación.

Para n = 4 y r = 1

14V = 41231234

!3!4

)!14(!4

**

***

4V1 = 4 formas de 1 en 1

Para n = 4 y r = 2

24V = 12121234

2!4

)!24(!4

*

***

4V2 = 12 formas de 2 en 2

Permutaciones. De acuerdo a ciertos matemáticos; la permutación es la enumeración de cierto número deelementos o sucesos en donde entran todos los elementos o sucesos de un conjunto dado. Una permutaciónes un caso particular de las variaciones donde r = n; su expresión matemática es la siguiente:

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!!0!

n)!-(nn!nVn nn

nPn = n! n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...1

Como las permutaciones son un caso particular de las variaciones que se cumple para n=r. Debido a esto,algunos matemáticos no hacen diferencia entre estos dos conceptos; simplemente utilizan permutaciones parahallar el ordenamiento cuando, r menor o igual a n. Considerando el grupo de estudiantes: Alejandra, Beatriz,Carolina y Diana se puede hallar las permutaciones de 4 en 4 gráfica y analíticamente; esto se encuentra en laFigura 10, que ha tenido como punto de referencia la Figura 9 aumentando en una tercera y cuartaramificación. En forma analítica para n=4 y r=4 es.

0 1 2 3 4

A

B C DD C

C B DD B

D B CC B

B

A C DD C

C A DD A

D A CC A

C

A B DD B

B A DD A

D A BB A

D

A B CC B

B A CC A

C A BB A

FIGURA 10 representación para 4P4

nPn = 4P4 = 4*3*2*1 nPn = 24

Indica 24 formas de ordenar de 4 en 4. En forma gráfica ver Figura 10 y su proceso es:

Tomando de izquierda a derecha, desde la columna 0 hasta 1, las variaciones tomadas de 1 en 1, son: S1= {A, B, C, D}

Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 2, están las variaciones tomadasde 2 en 2, ellas son: S2 = {............................

Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 3, están las variaciones tomadasde 3 en 3, ellas son: S3 = {............................

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Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 4, están las permutacionestomadas de 4 en 4, ellas son: S4 = {............................

Combinaciones. Se denomina combinación a una ordenación o enumeración de; cierto número de elementoso sucesos tomados de r en r de un conjunto de n elementos, sin repetición de ellos en más de unordenamiento. En las combinaciones se cumple que: r siempre es menor o igual a n, r n sus expresionesmatemáticas para el cálculo son:

nCr r!1)r-....(n3)-(n2)-(n1)-(nn ****

!)!(!

r!nVrnCr

rrnn

!)!(

!rrn

nn

r

Tomando el caso de las cuatro estudiantes que solicitan el reingreso a la universidad; se procede a encontrarlas combinaciones; su proceso es similar al de variaciones y permutaciones, la diferencia consiste en que nodeben aparecer nombres repetidos en cada ordenamiento. El procedimiento gráfico está en la Figura 11

0 1 2 3 4

AB C D

DC D

DB C D

DC DD

Figura 11 diagrama combinatorio

En una variación y permutación se tiene en cuenta el orden. Los siguientes ordenamientos son diferentes: AB BA; AC CA; AD DA; BC CB; BD DB; CD DC

En cambio para las combinaciones los anteriores ordenamientos son equivalentes, por lo tanto uno de ellosdebe aparecer una sola vez en un ordenamiento.

Según la Figura 11 y las columnas 0 y 1 están las combinaciones de 1 en 1 S1 = {A,B,C,D} Según la Figura 11 las columnas 1 y 2 se encuentra las combinaciones de 2 en 2, que son:

S2={AB,AC,AD,BC,BD,CD} Según la Figura 1.11 las columnas 1, 2 y 3 se encuentra las combinaciones de 3 en 3, que son:

S3={ABC,ABD,ACD,BCD} Según la Figura 11 las columnas 1, 2, 3 y 4 las combinaciones de 4 en 4, son: S4={ABCD}

El proceso para hallar cada una de las combinaciones de acuerdo a la Figura 11 y en otros casos es elsiguiente:

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Tomar un punto de partida. A la derecha del punto de partida formar la columna 1 con los elementos dados, constituyendo

combinaciones de 1 en 1 A la derecha de la columna 1 se forma una segunda columna con los elementos restantes de cada uno de

ellos, o sea sin repetición, constituyendo combinaciones de 2 en 2 A la derecha de la columna 2 se forma una tercera columna con los elementos restantes de las columnas

1 y 2 de acuerdo a su ramificación, dando como resultado combinaciones de 3 en 3.

Analíticamente se hace mediante fórmulas, así:

14C = 41231234

!1!3!4

!1)!14(!4

**

***

*

24C = 612121234

!2!2!4

!2)!24(!4

***

***

*

34C = 412311234

!3!1!4

!3)!34(!4

***

***

*

44C = 1123411234

!4!0!4

!4)!44(!4

****

***

*

Cuando el número de elementos es muy grande, se dificulta hallar el número de combinaciones gráficamente,entonces se procede a resolver analíticamente.

TALLER 18

CONJUNTOS

1. Dados los conjuntos: P={1,2,3,4,5,6,7}; Q={2,3,4,6,8}; R={1,2,3,9,11,12}. Calcular

A. P-QB. Q-PC. P-(Q-R)D. (P-Q)-RE. (PQ R)-(PQ R)F. (PQ) RG. (PQ) (P R)

2. Dados los conjuntos: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} UNIVERSO; A={0,1,2,4,5}; B={2,4,6,8}; C={0,1,3,5,6 }; D={ 2}. Calcular:

A. A'B. B'C. A BD. (A B)'E. A-B

F. B-AG. A-CH. A'-C'I. A-(B C)J. A-(B-C)

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K. A DL. A-DM. A-D'N. (A-D)'O. (B C)-D

P. (B C)-A'Q. (A C)-NR. N-A, N-BS. N-(A B C D)

3. Tú puedes desarrollar las inquietudes de:

Un estudiante desea organizar un derrotero de exámenes con las asignaturas de física, química, biología yestadística; además desea saber de cuantas maneras puede hacer, identificando el primero, segundo,tercero y cuarto examen.

Otro estudiante realiza el mismo ejercicio utilizando asignaturas de física, química, biología, estadística,matemáticas y español.

4. Tú puedes ordenar los elementos de laboratorio de química: una pipeta, un tubo de ensayo, un beaker yuna probeta de: 1 en 1, 2 en 2, 3 en 3 y 4 en 4; analítica y gráficamente.

5. Tú puedes hallar el número de variaciones de 3 en 3 de las cuatro estudiantes del caso anterior; gráfica yanalíticamente.

6. . Tú puedes hallar los diferentes ordenamientos gráfica y analíticamente con los colores siguientes: rojo,naranja, amarillo, verde y azul de acuerdo a: 5V1, 5C1; 5V2, 5C2; 5V3, 5C3; 5V4. 5C4; 5P5. 5C5

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La teoría de la probabilidad tuvo su origen con los juegos de azar hace aproximadamente unos tres siglos. Enciertas ciudades europeas, el juego de azar era un pasa-tiempo, de donde surgió la necesidad de un métodomatemático para calcular las probabilidades y ser aplicadas a éstos. Entre los matemáticos que intervinieronpara que los juegos de azar tuvieran aplicación matemática están en su orden los siguientes: Blaise Pascal,Pierre Fermat, James Bernoulli, De Moire, La Place y otros que dieron origen a la teoría moderna de laprobabilidad que se expandió rápidamente por todas partes del mundo, durante el siglo XIX se desarrolla lateoría de errores, la mecánica estadística, etc. En la actualidad la teoría de probabilidades es una parteimportante de las matemáticas, con un campo de aplicación en las ciencias naturales, técnicas, sociales,genética, economía, sicología, ingeniería y especialmente en el desarrollo de la estadística.Espacio muestral, evento o suceso. Se llama espacio muestral al conjunto S, que está conformado por losresultados de un experimento, en donde a cada resultado le corresponde uno y solo uno de los elementos deS. Un evento o suceso es un subconjunto de elementos o resultados del espacio muestral S; un subconjunto oclase de eventos de S puede tomar varios nombres:

Al conjunto S, se lo llama evento seguro o cierto. Al conjunto vacío Ø, se lo llama evento imposible. A un elemento particular de S; se llaman eventos elementales, punto muestral o muestra unitaria.

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Utilizando las operaciones entre conjuntos se puede combinar dos o más eventos; dando como resultados oeventos compuestos que permitirán encontrar sus correspondientes probabilidades de cuerdo ciertascondiciones.

Si A y B son eventos que pertenecen a S, se puede considerar los siguientes eventos compuestos:

Sea A B se llama evento unión si y solo si A o B o ambos pueden suceder. Sea A B se llama evento intersección compatibles si y solo si A y B pueden suceder simultáneamente. Si A B=Ø, entonces A y B son eventos mutuamente exclusivos, disyuntos o incompatibles si no

pueden suceder simultáneamente o al mismo tiempo. Sea A`, se llama evento complemento de A, cuando si y solo si, A no sucede y además cumple que:

A A`=Ø, o sea eventos exclusivos.A A`=S, o sea eventos exhaustivos.

Considerando un experimento que consiste en contestar 3 preguntas con V si la afirmación es correcta y con Fsi la afirmación es falsa. Para este caso se puede tomar las siguientes condiciones:

Identificar el espacio muestral S o evento seguro. El evento A de contestar dos preguntas verdaderas. El evento B de contestar por lo menos una verdadera El evento C de contestar y que sean verdaderas. El evento A B El evento A B Los eventos A`, B` y C` El evento A C

Una forma de solucionar es elaborando el diagrama de árbol, que está en la Figura 12.

0 1ª OPCIÓN 2ª OPCIÓN 3ª OPCIÓN

F

F FV

V FV

V

F FV

V FV

FIGURA 12 diagrama de árbolSegún la Figura 1.12 puede encontrar:

Evento seguro S={FFF,FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVF,VVV} Evento A={FVV,VFV,VVF} Evento B={FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVF,VVV} Evento C={VVV} Evento A B={FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVF,VVV} Evento A B={FVV,VFV,VVF} Evento A`=S-A={FFF,FFV,FVF,VFF,VVV}

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A A`=S Evento B`=S-B={FFF}

B B`=S Evento C`=S-C={FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVV}

C C`=S

Evento A C=Ø, (Vacío) o evento imposible cuando A y C son eventos mutuamente exclusivos oincompatibles.

Concepto clásico de probabilidad. Clásicamente una probabilidad se puede definir como una relación entreun evento A que tiene n resultados (muestras) de un total de N casos igualmente posibles pertenecientes alespacio muestral S (población) o evento seguro, se escribe:

N(S)n(A)P(A)

Dónde:

P(A)=Probabilidad de que suceda el evento A.n(A)=Número de elementos del evento A.N(S)=Número de elementos del evento seguro S.

Según el concepto clásico de probabilidad se considera que todos los eventos elementales de S tienen igualposibilidad o probabilidad de ser seleccionados.

Tomando el espacio muestral del caso anterior que está conformado de 8 elementos, o sea N=8

S={FFF,FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVF,VVV}, o sea N=8

Para calcular la probabilidad del evento A que consiste en contestar dos preguntas verdaderas; donde Aestá conformado por 3 elementos, o sea:

A={FVV,VFV,VVF}, para n=3

N(S)n(A)P(A) = %5.37374.0

83

Hallar la probabilidad del evento B de contestar por lo menos una pregunta verdadera será:

N(S)n(A)P(A) = %5.87875.0

87

La probabilidad del evento C de contestar 3 preguntas verdaderas es:

N(S)n(A)P(A) = %5.12125.0

81

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La probabilidad del evento D de contestar solo una pregunta verdadera será:

N(S)n(A)P(A) = %5.37374.0

83

TALLER 20

PROBABIBILIDADES

1. Considerando un experimento que consiste en contestar 3 preguntas con V si la afirmación es correcta ycon F si la afirmación es falsa. Para este caso se puede tomar las siguientes condiciones:

Identificar el espacio muestral S o evento seguro. El evento A de contestar dos preguntas verdaderas. El evento B de contestar por lo menos una verdadera El evento C de contestar y que todas sean verdaderas. El evento A B El evento A B Hallar la probabilidad del evento A de contestar dos preguntas verdaderas. Hallar la probabilidad del evento B de contestar por lo menos una verdadera Hallar la probabilidad del evento C de contestar y que todas sean verdaderas. Hallar la probabilidad del evento A B Hallar la probabilidad del evento A B

DIAGRAMA DE ÁRBOL0 1ª Opción 2ª Opción 3ª Opción

F

F FV

V FV

V

F FV

V FV

2- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

A. Escriba el espacio muestral.B. Hallar el evento y la probabilidad de contestar 4 preguntas verdaderasC. Hallar el evento y la probabilidad de contestar 3 preguntas verdaderasD. Hallar el evento y la probabilidad de contestar 2 preguntas verdaderasE. Hallar el evento y la probabilidad de contestar 1 preguntas verdaderas

3. Tú puedes resolver la siguiente inquietud; sea S el espacio muestral conformado por los números de 1 al 20que pertenecen a las fichas de una determinada rifa.

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CHICOS CHICAS

USAN GAFAS 147 135

NO USAN GAFAS 368 350

S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}. Se desea hallar las probabilidades de sacar unnúmero: Par. Impar. Primo Múltiplo de tres. Múltiplo de cuatro. Múltiplo de cinco. Múltiplo de seis. Múltiplo de siete. Múltiplo de ocho. Múltiplo de diez.

4. Se hace girar la flecha y se observa sobre qué número se detiene. Calcula las probabilidades de lossiguientes sucesos

A. Obtener un numero parB. Obtener un numero primoC. Obtener 5 o masD. Que no salga el 7

5. En un centro escolar hay 1000 alumnos y alumnas repartidos así:Se elige al azar uno de ellos. Calcula la probabilidad de que:A. Sea chicoB. Sea chicaC. Use gafasD. No use gafasE. Sea una chica con gafas

6. En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35mujeres. Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que seaA. Hombre y no fume.B. Una mujer y no fumeC. Un hombre y fumeD. Una mujer y fume

HOMBRES MUJERESFUMADORES 40 35

NO FUMADORES 60 65

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1 2 3

123

7. En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colores tienen. En 100extracciones (devolviendo la bola cada vez) hemos obtenido bola blanca en 41 ocasiones, bola negra en19, bola verde en 18 y bola azul en 22. Al hacer una nueva extracción, qué probabilidad asignarías a:

A. Sacar bola blanca.B. Sacar bola negra.C. Sacar bola verde.D. Sacar bola azul.

Ahora, si hay 22 bolas:

• El 41% son blancas; cuantas bolas blancas hay?.• El 19% son negras; cuantas bolas negras hay?• El 18% son verdes; cuantas bolas verdes hay?• El 22% son azules; cuantas bolas azules hay?

8. En una bolsa tenemos tres bolas marcadas con los números 1, 2 y 3, respectivamente. Extraemos unabola, anotamos su número y la devolvemos a la bolsa. Extraemos otra bola, observamos su número y losumamos al anterior.

¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4?

9. Ana lanza un dado y su hermana Eva lo lanza después.

A. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva sea superior a la de Ana?B. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Ana sea superior a la de Eva?C. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva y Ana sean iguales?D. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en los dos la misma puntuación?E. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6 en los dos?F. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en los dos mayor puntuación?G. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en los dos menor puntuación?

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H. Hallar la probabilidad que al sumar dos números obtenidos en sus lanzamientos sea: 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12.

ANAEVA

EVA

1 2 3 4 5 6

1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6

2 2, 1 2 , 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6

3 3, 1 3, 2 3, 3 3 , 4 3, 5 3, 6

4 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6

5 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6

6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

TABLA: PROBABILIDADESSuma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(suma)P(suma)

Hacer la representación gráfica de las probabilidades

TABLA: SUMA DE PROBABILIBADESSuma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(suma)

Sumade

P(suma)

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Hacer la gráfica para la suma de probabilidades

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7. DISTRIBUCION DEPROBABILIDADES ESPECIALES

INTRODUCCION

Cuando se habla de probabilidades como en la unidad anterior, se tiene en mente o materialmente un espacioo conjunto grande o pequeño, infinito o finito que se llama espacio muestral, evento seguro o cierto quesimbolizamos con la letra S que está conformado por eventos H1, H2, H3, .... Hn y éstos a su vez generanresultados específicos. Si a cada resultado se le asigna un número que está asociado con o sin las cuatrooperaciones fundamentales se denomina variable aleatoria. Con ésta variable se puede hallar su probabilidadde acuerdo a unas funciones que llevan nombres específicos y serán objeto de estudio durante ésta unidad.

OBJETIVOS

Reconoce el concepto de variable aleatoria y aplicar en problemas de distribución de probabilidad. Identifica las propiedades de las distribuciones especiales y aplicar en casos necesarios. Reconoce y aplica la relación que existe entre las distribuciones Binomial, Poisson y Normal por medio de

problemas. Describe las características generales de otras distribuciones especiales.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta distribución también se conoce como distribución de Bernoulli, en honor del matemático suizo JacobBernoulli quien fue que la dedujo. Esta distribución se utiliza para tamaños de pruebas, experimentos omuestras menores de 50 debido a que si el número de muestras es mayor o muy grande los resultados nopueden ser los esperados, entonces se utiliza la distribución normal. Sea S un espacio muestral en donde se

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pueden presentar pruebas repetidas e independientes o que es lo mismo decir pruebas con reemplazamiento,entonces se tiene dos resultados posibles llamados éxito E y fracaso F.

PROBABILIDAD DE ÉXITO PROBABILIDAD DEL FRACASO

P(E) = p P(F) = q

Como las pruebas para un éxito y un fracaso son independientes, lo cual implica que no importa las veces quese repita un experimento y sus probabilidades siempre serán las mismas. En una distribución Binomial sepueden presentar diferentes características entre ellas están:

La existencia de dos resultados en cada prueba. En cada prueba tanto el éxito y fracaso son iguales de seleccionar. El experimento consta de (n) pruebas con reemplazamiento. La variable K representa al número de éxitos en (n) pruebas.

EJEMPLO. Si se toma una muestra de 29 estudiantes del tercer semestre de los cuales 8 son mujeres y 21hombres, llamando éxito a la probabilidad de seleccionar una mujer y fracaso al seleccionar un hombre en unexperimento con reemplazamiento, las probabilidades de éxito y fracaso serán:

n(E)=número de mujeres. Éxito.n(f) = número de hombres, Fracason(S) = total de estudiantes.

P(E)=p =298

)()(

SnEn = 0.276 = 27.6%. El 27.6% indica la probabilidad de seleccionar una mujer.

P(F)=q =2921

)()(

SnFn = 0.724 = 72.4%. El 72.4% indica la probabilidad de seleccionar un hombre.

Este resultado también se puede hallar mediante:

P(F) = 1 - pP(F) = 1 - 0.276 = 72.4%P(F) = 72.4%

De esto se puede deducir que la suma de las dos probabilidades siempre es igual a la unidad. De acuerdo alas condiciones anteriores la distribución Binomial para obtener K éxitos en n pruebas, matemáticamente seescribe de la siguiente forma:

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P(K) =

n

kpk qn-K =

n

kpK (1 - p)n-K

B(K; n, p) =

n

kpK qn-K =

n

kpK (1 - p)n-K

Dónde:

n = Número de pruebas con repetición.K = Variable para cada éxito en cada prueba.P(K) = Probabilidad de K éxitos en n pruebas.B, se refiere al binomio con los parámetros n y p

Tomando los 29 estudiantes de los cuales 8 son mujeres y 21 hombres con sus probabilidades de 0.276 y0.724 respectivamente, hallar las probabilidades de seleccionar:

A. 5 (K) mujeres en 6 (n) pruebas.B. 3 (K) mujeres en 4 (n) pruebas.C. 6 (K) mujeres en 7 (n) pruebas.D. 8 (K) mujeres en 10 (n) pruebas.E. 8 (K) mujeres en 15 (n) pruebas.

Para solucionar éste problema se utiliza una de las expresiones escritas anteriormente y reemplazando cadauno de los datos de acuerdo a las condiciones exigidas.

B(k; n, p) =

n

kpK * qn-K

B(5; 6, 0.276) =

6

5(0.276)5 (0.724)6-5 = 6(0.0016)(0.724) = 0.0069 = 0.69%

B(3; 4, 0.276) =

4

3(0.276)3 (0.724)4-3 = 4(0.0210)(0.724) = 0.0608 = 6.08%

B(6; 7, 0.276) =

7

6(0.276)6 (0.724)7-6 = 7(0.00044)(0.724) = 0.0022 = 0.22%

B(8; 10, 0.276) =

10

8(0.276)8(0.724)10-8 =45(0.00003)(0.52) = 0.0007 = 0.07%

B(8; 15, 0.276) =

15

8(0.276)8(0.724)15-8=64(0.00003)(0.0104) = 0.02015 = 2.015%

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Los resultados anteriores se pueden analizar, para el quinto caso indica que la probabilidad de obtener 8 (k)mujeres en 15 (n) pruebas con p = 0.276, es igual a la probabilidad de 2.015%.

USO DE LA TABLA BINOMIAL.

La tabla que se utiliza en éste tema está identificada con la letra B, ver Anexo 1, además está compuesta paradiversos valores de K según sea los de n. En éste caso se ha tomado para n = 20 y su aplicación se extiendea diferentes casos. La tabla Binomial se aplica a valores individuales que están o no en la tabla que estáconformada por filas y columnas, un modelo se presenta en la Tabla 1. Para hallar la probabilidad de elegirdiferentes éxitos utilizando la tabla de probabilidad B. Cuando la probabilidad del éxito es de: p = 0.05

n = 1 y K = 1, n = 2 y K = 0, 1, 2

En el primer caso se busca en columna n = 1, en la segunda K=1, en la intersección de la fila K = 1 con lacolumna p = 0.05 se encuentra el valor de la probabilidad deseada.

B(K; n, p) = B(1; 1, 0.05) = 0.0500 = 5.0%P(K) = P(1) = 5.0%

TABLA 1 BINOMIALPROBABILIDAD P

n K 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.451 0 0.9500 0.9000 0.8500 0.8000 0.7500 0.7000 0.6500 0.6000 0.5500

1 0.0500

2 0 0.90251 0.0925 0.45502 0.0025

En la primera columna se busca n = 2, en la segunda k=0, en la intersección de la fila k = 0 con la columna p= 0.05 se encuentra el valor de la probabilidad deseada.

B(K; n, p) = B(0;2, 0.05) = 0.9025 = 90.25%

P(K) = P(0) = 90.25%

Para n = 2, K = 1 y p = 0.05 será:

B(K; n, p) = B(1; 2, 0.05) = 0.0925 = 9.25%

P(K) = P(1) = 9.25%

Para n = 2, K = 2 y p = 0.05 será:

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B(K; n, p) = B(2; 2, 0.05) = 0.0025 = 0.25%P(K) = P(2) = 0.25%

De ésta manera se puede encontrar probabilidades para diferentes valores de n, K y p; identificando en primerlugar n luego K y con ésta la intersección del valor de p. En la tabla para la distribución Binomial B laprobabilidad p va desde 0.05 hasta 0.5, ver Anexo 1;

Hallar la probabilidad Binomial utilizando el proceso matemático.

a) P(2; 8, 0.4)b) P(3; 5, 0.15)c) P(4; 8; 0.45)d) P(12; 18, 0.35)e) P(3; 10, 0.65)f) P(10; 16, 0.8)

g) P(8; 15, 0.25h) P(2; 6, 0.4)i) P(4; 6, 0.25)j) P(3; 10, 0.35)k) P(15; 17, 0.45)l) P(8; 15, 0.75)

m) P(4; 8, 0.45)n) P(5; 8, 0.35)o) P(3; 6, 0.3)p) P(6; 10, 0.45)q) P(8; 15 0.25)r) P(4; 8, 0.55)

s) P(12; 14, 0.6)t) P(3; 10, 0.35)u) P(6; 7, 0.45)v) P(8; 10, 0.45)w) P(5; 12, 0.5)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Es una función de distribución de probabilidades K derivada de la distribución Binomial cuando cumple lassiguientes condiciones:

El número de pruebas n aumenta considerablemente. La probabilidad del éxito p se aproxima a cero. La probabilidad del fracaso q = 1 - p se aproxima a la unidad.

La distribución de Poisson fue elaborada por un matemático francés de apellido Poisson, con el propósito deaplicar a diferentes procesos físicos en donde se considera el tiempo como variable fundamental de todoevento o suceso. Para hallar la probabilidad de K éxitos o cambios se utiliza la expresión matemática:

P(K; μ) = eK!K!*e

*

KK

Dónde:

K = Variable aleatoria de éxitos.μ = Valor esperado que es función del tiempo.e = 2.718282.., una constante.P(K; μ) = Función de probabilidad para cada valor de K.

Algunos autores recomiendan utilizar la distribución de Poisson cuando el producto de las observaciones n porla probabilidad de éxito p, es menor o igual que 5 y otros a 7, o sea: n*p5 o n*p7, según esto n debe sergrande y p se debe aproximar a cero, cumpliendo así con la condición específica para la distribución dePoisson.

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EJEMPLO. En una fábrica de lapiceros se ha encontrado que de cada cien dos son defectuosos (exito). Hallarla probabilidad, K=0, 2 y 4 lapiceros defectuosos (fracaso) en una muestra de 200.

p =1002 = 0.02

p = 0.02

q = 0.98

μ = n*p = 200*0.02 = 4,Para: K = 0, 2, 4

P(K; μ) =eK!K!

*e

*

KK

Para K = 0 y μ = 4 se obtiene:

P(0; 4) = (2.718282)-411 = 0.0183 = 1.83%. P(0; 4) = 1.83%


P(2; 4) = (2.718282)-4216 = 0.1465 = 14.65%. P(2; 4) = 14.65%


P(4; 4) = (2.718282)-424256 = 0.1954 = 19.54%. P(4; 4) = 19.54%

USO DE LA TABLA.DE POISSON

Mediante el uso de la tabla P se puede hallar la probabilidad para cada valor de K una vez conocido el valorde la media (μ). El valor de la media está ubicado en la parte superior horizontal y los de K verticalmente, laintersección de los dos valores determina el valor de la probabilidad, ver Anexo 2. Sea K=0, 2, 4 y la mediaμ=4. Mediante el uso de la tabla P las probabilidades correspondientes son:

P(0; 4) = 0.0183 = 1.83%P(2; 4) = 0.1465 = 14.65%P(4; 4) = 0.1954 = 19.54%

Según los resultados anteriores una probabilidad se puede hallar mediante dos procesos, sea con la fórmula ocon la tabla P y sus valores son iguales. En algunos problemas la media o valor esperado μ no es fácilencontrar multiplicando n*p, debido a que se desconoce un elemento de ellos, a cambio de éstos se encuentra

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otros que mediante ciertos procesos permiten calcular la media para luego encontrar las probabilidadesdeseadas.

EJEMPLO. Suponiendo que en una fábrica de maletines se ha examinado una población de N=410 unidades,encontrándose diferentes defectos que en la Tabla 2 están representados por Ki. En la columna dos en 310maletines hay cero defectuosos, 53 tienen un defecto, etc.

El valor esperado o promedio será:

μ = NNK ii*

410190 = 0.4634 = 0.46; μ = 0.46

TABLA 2 DEFECTOS Y PROCESOSDEFECTOS

KI

MALETÍNNI

PRODUCTOKI*NI

PROBABILIDADP(K; N)

PROBABILIDADP(K; N) %

PRODUCTON*P

0 310 0 0,756 75,6 3101 53 53 0,129 12,9 532 20 40 0,049 4,9 203 15 45 0,037 3,7 154 8 32 0,020 2,0 85 4 20 0,010 1,0 4

SUMA 410 190 1,00 100,0 410

Con éste resultado y los de Ki podemos calcular sus probabilidades correspondientes, éstos resultados estánen la Tabla .2 cuarta columna, los resultados de la sexta columna permiten comprobar si el cálculo es elcorrecto.

Completar la siguiente tabla y encontrar el valor promedio o valor esperado.

TABLA 3 COMPLETAR LA TABLAPARTES

INCOMPLETASKI

ESTUDIANTESNI

PRODUCTOKI*NI

PROBABILIDADP(K; N)

PROBABILIDADP(K; N) %

PRODUCTON*P

0 400 01 120 1202 56 1123 12 364 8 325 4 20

SUMA 600 320

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TALLER 21

PROBABILIDADES ESPECIALES

1. Se realiza una prueba en donde se debe contestar 5 preguntas, con un SI cuando la respuesta escorrecta y con un NO, cuando la respuesta es incorrecta.

Hallar el espacio muestral o población correspondiente; para hallar la probabilidad de contestar:

A. Correctamente una preguntaB. Correctamente dos preguntasC. Correctamente tres preguntasD. correctamente cuatro preguntasE. Correctamente cinco preguntas

2. En entidad educativa de preescolar está conformada por un total de 50 estudiantes distribuidos dela siguiente manera 20 son niños y 30 niñas; considerando las niñas son el éxito y fracaso a laselección de niños: hallar probabilidades para los siguientes escogencias.

A. 10 niñas en 12 pruebasB. 8 niñas en 11 pruebasC. 6 niñas en 10 pruebasD. 4 niñas en 9 pruebasE. 2 niñas en 8 pruebas

Además hallar la:

A. Media para la distribución binomial µB. Varianza s2, para la distribución binomialC. Desviación estándar para la distribución binomial

3. En una bolsa en donde se encuentran 45 bolas distribuidas así, 25 blancas (éxito) y 20 rojas(fracaso) y se desea seleccionar grupos de la siguiente manera.

A. 3 blancas en 5 pruebas con repeticiónB. 4 blancas en 7 pruebas con repeticiónC. 5 blancas en 9 pruebas con repeticiónD. 6 blancas en 11 pruebas con repeticiónE. 7 blancas en 15 pruebas con repetición

Además hallar la:

A. media para la distribución binomial µB. varianza S2, para la distribución binomialC. desviación estándar para la distribución binomial

En de la distribución Binomial. Se considera como propiedades a: media, Varianza y desviación típica.

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Media E(X) = npVarianza S2 = npqDesviación típica S = npq

4. En una fábrica de maletines se encontró que de cada 100 maletines 5 tienen algunos defectos, si setoma una muestra de 180 maletines; hallar la probabilidad para los siguientes casos:

A. Escoger un maletín defectuosoB. Escoger dos maletines defectuososC. Escoger tres maletines defectuososD. Escoger cuatro maletines defectuososE. Escoger cinco maletines defectuosos

5. En una fábrica de lapiceros se ha encontrado que de cada cien dos son defectuosos. Hallar laprobabilidad, K=1, 3 y 5 lapiceros defectuosos en una muestra de 200.

p =1002 = 0.02

q = 0.98μ = n*p = 200*0.02 = 4

En la distribución de Poisson, la Varianza es equivalente al valor de la media o valor esperado:

E(K) = μ = np MediaVar(K) = μ Varianza

σ = Desviación típica

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución Normal fue introducida por Gauss en relación con la teoría de errores de medidas físicas, deallí, que su gráfica también lleva el nombre de campana de Gauss. La distribución Normal es una distribucióncontinua más importante y utilizada en diferentes trabajos estadísticos. Se utiliza la distribución Normal y no ladistribución Binomial o de Poisson cuando el número de pruebas n se hace muy grande y las probabilidadesdel éxito y fracaso están girando a 0.5, o sea que ninguna de ellas se aproxima a cero. Esta distribución estáexpresada mediante la fórmula:

f(X) = 21

*

2/)(

21 X

e

Dónde:

f(X) = función de probabilidad a calcular.

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σ = Desviación típica, constante.X = Variable aleatoria continua.μ = Media o valor esperado, constante.e = 2.718282..., constante.π = 3.141592..., constante.

En la solución de un determinado problema a excepción de X las demás letras son constantes; o sea que f(X)es función únicamente de X. Al dar valores a X se encuentra los de f(X) que al ser llevadas al plano cartesianose obtiene una gráfica llamada curva normal o campana de Gauss. Esta gráfica presenta unas característicasque se describen a continuación y están en la Figura 1

Tiene simetría con relación al eje vertical. Cada parte de simetría es una probabilidad de 0.5 o 50%. El área total bajo la curva es igual a 1 o 100%. Tanto la media, mediana y moda tienen el mismo valor. La curva se extiende asintóticamente en dos direcciones. Si a la media (μ) se le suma o resta uno, dos o tres veces la desviación típica (σ), éstos intervalos

determinan ciertos porcentajes de datos de estudio, ver Figura 2

Analizando la Figura 2 se puede concluir:

La probabilidad de encontrar datos entre más o menos una desviación típica es del 68.27%,

μ - 1σ <--- 68.27% ---> μ + 1σ

La probabilidad de encontrar datos entre más o menos dos desviaciones típicas es del 95.45%,

μ - 2σ <--- 95.45% ---> μ + 2σ

La probabilidad de encontrar datos entre más o menos tres desviaciones típicas es del 99.73%,

μ - 3σ <--- 99.75% ---> μ + 3σ

El valor restante al 99.75% equivalente a 0.25% corresponde a los extremos llamados colas.

0.5Área50%

0.5Área50%

FIGURA 1 área bajo la curva

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99.75%95.45%68.27%

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA.

Cuando a la variable aleatoria X que pertenece a la distribución f(X), se desea expresar en unidades de ladesviación típica, se denomina distribución Normal estandarizada, y se expresada mediante la siguienteexpresión.

Z =X

Dónde:

Z = Nueva variable, variable tipificada.X = Variable aleatoria.μ = Media aritmética, constante.σ = Desviación típica, constante.

f(Z)

-3σ -2σ -1σ μ 1σ 2σ 3σ X-3 -2 -1 0 1 2 3 Z

FIGURA 3 Variable tipificada Z

-3σ -2σ -1σ μ 1σ 2σ 3σ XFIGURA 2 intervalos y desviación típica

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En adelante todos los cálculos sobre probabilidades en la distribución Normal se realizará con la variabletipificada Z para hallar el área bajo la curva utilizando la tabla Normal, y luego hacer sus interpretacionesfísicas. Al realizar una gráfica de f(X) con base a la variable tipificada Z se obtiene la Figura 3. La Figura 3describe unas propiedades que son:

El valor de la media es igual cero μ = 0. El valor de la desviación típica es igual a la unidad. f(Z) es eje de simetría y la gráfica toma dos partes una positiva y otra negativa.

USO DE LA TABLA Y ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL.

Una vez hecho el cambio de escala en el eje horizontal mediante la variable Z, se puede calcular lasprobabilidades utilizando la tabla N para la curva Normal estandarizada identificada por N, ver Anexo 3.

EJEMPLO. Analizar el siguiente caso sobre la población de una institución con 101 estudiantes queobtuvieron en una asignatura promedio de 7.07 con una desviación típica de 12. Se considera que los datosse distribuyen normalmente, hallar la probabilidad y el número de estudiantes.

A. P(X<6)B. P(6 X 8)C. P(X>8)D. P(X = 7.03)E. P(4 X 7)F. P(7.5 X 9.5)G. P(5 X)

Para dar solución se utiliza la expresión para la variable tipificada o normalizada Z, siguiendo los pasos:

Hallar el valor correspondiente a Z. Ubicar el valor de Z en la curva Normal estandarizada. Identificar el área de probabilidad bajo la curva Normal. Utilizando la tabla N hallar el área de probabilidad. Verificar si el área es menor o igual que la unidad. Para el cálculo de datos en un intervalo se multiplica su probabilidad por el total de elementos.

A) PROBABILIDAD DE PUNTAJES MENORES QUE 6. P(X<6)=?, X=6, μ=7.07, σ=1.12

Como P(X < 6) no incluye a 6, puede ser X = 5.99. Z =

96.012.108.1

12.107.799.5

XZ

Llevar Z a la gráfica Normal estandarizada, ver Figura 4. Una vez ubicado el valor de Z se puede hallar el áreacorrespondiente a ésta área utilizando la tabla N. Existen tablas para valores de Z que van desde el centrohasta los extremos y otras en sentido contrario, en Este caso se utiliza el primer caso. Esta tabla sólo contiene

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valores positivos, debido a que no hay área negativas y además el valor de Z negativo por simetríacorresponde al valor de Z positivo.

El área correspondiente para Z=-0.96 en la tabla N, Z estará entre 0 y 0.96, esto por simetría. Para utilizar latabla N en éste caso y en otros se toma la primera columna hasta llegar a 0.9 a partir de éste valor sedesplaza por la fila hacia la derecha hasta llegar a la columna identificada por 6, en la intersección de ésta filay columna se encuentra un valor que corresponde al área entre 0 y 0.96 equivalente a 0.3315, que en formade probabilidad se escribe:

A1 = P(0Z0.96) = 0.3315

El área de probabilidad es: P(Z -0.96) o P(0.96Z), o sea el área que se encuentra a la izquierda de -0.96o a la derecha de 0.96, esto por simetría. Además el área de probabilidad no es la encontrada, el áreaverdadera está identificada con la letra A y no A1, ver Figura 4.

A partir de cero hacia la izquierda o derecha en una curva Normal el área es 0.5, el área de probabilidad A,será:

A = 0.5 - A1 = 0.5 - 0.3315 = 0.1685

A = 0.1685 se llama área de probabilidad buscada.

P(X < 6) = 0.1685 = 16.85%

El resultado anterior indica que el 16.85% obtuvieron puntaje menor que 6, no aprobaron la materia.

Para identificar cuantos estudiantes obtuvieron un puntaje menor que 6, se multiplica la probabilidad o área Apor el total de estudiantes N = 101

Número de Estudiantes:

n1 = A*N = 0.1685*101 = 17.02 = 17

A10.3315

A10.3315

-0.96 0.96 ZFIGURA 4 Ubicación de Z

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B) PARA LA PROBABILIDAD P(6X8),

Se procede de la misma forma con: X= 6, μ=7.07, σ=1.12

Z1 =

12.107.1

12.107.76

X -0.95 Z1 = -0.95

Z2 =

12.193.0

12.107.78

X 0.83 Z2 = 0.83

Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene, ver Figura 5

Utilizando la tabla N para los valores de Z1 y Z2 será:

A1 = P(0 Z 0.95) = 0.3289A2 = P(0 Z 0.83) = 0.2967

El área de probabilidad A según la Figura 5 será la suma de A1 y A2:

A = A1 + A2 = 0.3289 + 0.2967 = 0.6256P(6 X 8) = 0.6256 = 62.56%

Esto indica que el 62.56% tienen puntaje entre 6 y 8.

Para hallar el número de estudiantes:

n2 = N*A = 101*0.6256 = 63.18 = 63

El resultado anterior indica que 63 estudiantes obtuvieron un puntaje entre 6 y 8.

C) LA PROBABILIDAD PARA P(X>8) X=8.01, μ=7.07, σ=1.12

Z =

12.194.0

12.107.701.8

X 0.84

A1 A2

-0.95 0.83 ZFIGURA 5 Ubicación de Z1 y Z

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Ubicando el valor de Z en, ver la Figura .6

En la tabla N se encuentra el área A1, para el área A se obtiene restando de 0.5 el área A1.

A1 = P(0 Z 0.84) = 0.2996

El área A de probabilidad será:

A = 0.5 - A1 = 0.5 - 0.2996 = 0.2004P(X > 8) = 0.2004 = 20.04%

El 20.04% de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor que 8.

Para el número de estudiantes:

n3 = N*A = 101*0.2004 = 20.24 = 20

El resultado indica los estudiantes que obtuvieron puntaje mayor que 8.

Como la población N es de 101 estudiantes, entonces la suma de n1, n2 y n3 debe igual a N, así:

N = n1 + n2 + n3 = 17 + 63 + 20 = 100

Hay un faltante de un estudiante, debido a los decimales que no se han tenido en cuenta en los tres casos.

D) PROBABILIDAD P(X=7.03) cuando X = 7.03, μ = 7.07, σ = 1.12

Exactamente X se encontrará entre: X1 = 7.02 y X2 = 7.04

Z1 =

12.105.0

12.107.702.71

X -0.04

Z2 =

12.104.0

12.107.704.72

X -0.03

Representando los valores de Z1 y Z2 en la Figura 7

A1 A

0 0.84 ZFIGURA 6 Ubicación de Z

ESTADISTICA 1

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A1 = P(0 Z1 0.04) = 0.0160A2 = P(0 Z2 <+ 0.03) = 0.0120A = A1 - A2 = 0.0160 - 0.0120 = 0.004P(X = 7.07) = 0.004 = 0.4%

Para hallar el número de estudiantes:

n4 = N*A = 101*0.004 = 0.404 = 0

Exactamente cero estudiantes tienen ese puntaje.

E) PROBABILIDAD PARA P(4X7)X1 = 4, X2 = 7, μ = 7.07, σ = 1.12

Z1 =

12.107.3

12.107.741

X -0.274

Z2 =

12.107.0

12.107.772

X -0.06

Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene la Figura 8

A1 = P(0 Z1 2.74) = 0.4969A2 = P(0 Z2 0.06) = 0.0239

A

-0.04 -0.03 ZFIGURA 7 Ubicación de Z1 y Z2

-2.70 -0.06 ZFIGURA 8 Ubicación de Z1 y Z2

AÁreaProb

ESTADISTICA 1

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A = A1 - A2 = 0.4969 - 0.0239 = 0.473P(4 X 7) = 0.473 = 47.3%


n5 = N*A = 101*0.473 = 47.77 = 48n5 = 48

F) PROBABILIDAD P(7.5X9.5) X1 = 7.5, X2 = 9.5, μ = 7.07, σ = 1.12

Z1 =

12.143.0

12.107.75.71

X 0.38

Z2 =

12.143.2

12.107.75.92

X 2.17

Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene la Figura 9

A1 = P(0 Z1 0.38) = 0.1480A2 = P(0 Z2 2.17) = 0.4850A = A1 - A2 = 0.4850 - 0.1480 = 0.3370P(7.5 X 9.5) = 0.3370 = 33.7%


n6 = N*A = 101*0.337 = 34n6 = 34

G) PROBABILIDAD P(5 X) X = 5 μ = 7.07 σ = 1.12

Z =

12.107.2

12.107.75

X -1.85

Ubicando el valor de Z en la Figura 10

0.38 2.17 ZFIGURA 9 Ubicación de Z1 y Z2

AÁrea

proba.

ESTADISTICA 1

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A1 = P(0 Z 1.85) = 0.4678A = A1 + 0.5 = 0.4678 + 0.5 = 0.9678P(5 X) = 0.9678 = 96.78%


n7 = N*A = 101*0.9678 = 98n7 = 98, Valor indica que, 98 estudiantes con ese puntaje mayor o igual a 5

RELACION ENTRE DISTRIBUCIONES ESPECIALES

Para determinar la relación o acercamiento que existe entre las distribuciones Binomial, Poisson y Normal sepuede hacer mediante un caso utilizando sus correspondientes tablas para cada distribución. Suponiendo queun estudiante contesta 3 preguntas erróneamente (éxito) de un total de 15 en una primera prueba. Si el mismoestudiante en una segunda prueba se propone contestar 2 erróneas de un total de 20, hallar su probabilidad.

P(E) = 153 0.2 = 20% probabilidad de éxito

P(F) = 1512 0.8 = 80% probabilidad de fracaso.

μ = n*p = 20*0.2 = 4, valor esperado.K = 2 y n = 20 en la segunda prueba.

Para las probabilidades utilizando los resultados anteriores en cada una de las distribuciones será:

a) En la distribución Binomial: P(K; n, p) = P(2; 20, 0.2) = 0.1369 = 13.69%b) En la distribución de Poisson: P(K; μ) = P(2; 4) = 0.1465 = 14.65%c) En la distribución Normal: P(X 2) = ?

Z =

92.12

79.142

X -1.12 Z = -1.12

Ubicando el valor de Z en la Figura 11, se tiene:

A1

-1.85 ZFIGURA 10 Ubicación de Z

0.5

ESTADISTICA 1

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A1 = P(0 Z 1.12) = 0.3686A = 0.5 - 0.3686 = 0.1314 = 13.14%P(X 2) = 13.14%

TALLER 22

DISTRIBUCION NORMAL

1. Hallar las probabilidades y el número de estudiantes cuando la media es de 7.10 y la desviación típica de1.2 en una muestra de 145 en los intervalos:

2.

A. P(8 X)B. P(6 X)C. P(X 5.5)D. P(5 X 8)E. P(7 X)

F. P(X 6.5)G. P(X 5)H. P(8 X)I. P(X 4)

3. Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14

A. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90 P(75 ≤ X ≤ 90)B. Calcule la probabilidad de un valor de 75 ó menor. P(X ≤ 75)C. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55 y 70. P(55 ≤ X ≤ 70)

4. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en un BANCO tiene una distribuciónnormal, una media de $70.000 y una desviación estándar de $20.000. Esta mañana se recibió unasolicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

A. El monto solicitado sea de $80.000 o superior? P(X ≥ 80.000)B. El monto solicitado oscile entre $65.000 y $80.000? P(65.000 ≤ X ≤ 80.000)C. El monto solicitado sea de $65.000 o superior. P(X ≥ 65.000)

A A1

-1.12 0FIGURA 11 ubicación de Z

ESTADISTICA 1

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5. Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250.000 habitantes El tiempo de viajemás largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga quela distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidadnormal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.

A. ¿Qué porcentaje de viajes consumen menos de 30 minutos?. P( X ≤ 30)B. ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? P(30 ≤ X ≤ 35C. ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? P(30 ≤ X ≤ 40

ESTADISTICA 1

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BIBLIOGRAFIA1. BARBANCHO, Alfonso G. Estadística elemental moderna: Barcelona, Ediciones Ariel, 1978.

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Fondo cultura económica, 1960.

4. DEPARTAMENTO ADMINISTRATIVO NACIONAL DE ESTADISTICA "DANE". Colombia estadística

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5. JIMENEZ, D. Germán D. Bioestadística: Bogotá, usta, 1988.

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7. SEYMOUR, Lipschutz. Probabilidad: Editorial McGRAW-HILL, Bogotá, 1970

8. SPIEGEL, Murray R. Estadística: Bogotá, Editorial McGRAW-HILL, 1961.

9. YAMANE, Taro. Estadística: México, Editorial Harla, 1981.

estadistica i para principiantes1114

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