estadistica basica aplicada de ciro martinez

CIRO MARTINEZ BENCARDINO

Nacido en Convención (Norte de Santander - Colombia). Economista de la Universidad Jorge Tadeo Lozano de Bogotá, D.C. Bio-estadística (Universidad de los Andes, Bogotá, D.C.). Técnicas Estadísticas (CIENES-Santiago de Chile) y Estadística Laboral (Universidad de Río Piedras y Negociado Laboral de Puerto Rico).

Vinculado a la enseñanza de la Estadística en un gran número de instituciones universitarias de Bogotá. Durante muchos años ha trabajado en el campo de la estadística, ocupando diferentes cargos gubernamentales.

Entre sus publicaciones destacamos: Estadística comercial; Muestreo, algunos métodos y sus aplicaciones prácticas; Estadística Básica Aplicada; libros editados por Ecoe Ediciones.

EstadísticaBásica Aplicada

CIRO

MAR

TÍNE

Z BE

NCAR

DINO

Colección: Ciencias ExactasÁrea: Estadística

Primera edición: Bogotá, D.C., enero de 2000Segunda edición: Bogotá, D.C., marzo de 2001Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2002, 2003 y 2004Reimpresión: Bogotá, D.C., agosto de 2006 y enero de 2007Tercera edición: Bogotá, D.C., mayo de 2007Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2008 y de 2009Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2010Cuarta edición: Bogotá, D.C., 2012Reimpresión: Bogotá, D.C., 2012

ISBN 978-958-648-766-5

© Ciro Martínez BencardinoE-mail: [email protected]

© Ecoe Ediciones Ltda.E-mail: [email protected] -www.ecoeediciones.comCra. 19 No. 63 C 32 Te.: 2481449 - Fax: 3461741

Coordinación editorial: Alexander Acosta QuinteroAutoedición: Angélica García ReyesCarátula: Edwin Nelson Penagos PalacioImpresión: Imagen Editorial ImpresoresE-mail:[email protected]

Impreso y hecho en Colombia

Matínez Bencardino, CiroEstadística básica aplicada / CIro Martinez Bencardino -- 4°. Ed. --

Bogotá: Ecoe Ediciones, 2011��4 p. - (Ciencias exactas. Estadística)Incluye bibliografíaISBN 978-958-648-766-51. Estadística matemática 2. Estadística - Problemas, ejercicios, etc.

3. Muestreo (Estadística) I. Título II. Serie

CDD: 519.53 ED. 20 CO-BoBN- a798458

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

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-www.ecoeediciones.com

E-mail:[email protected]

Con cariño lo dedicoa mis padres, esposa

hijos y nietos.

Tabla de contenido

Prólogo ................................................................................................................... XV

Capítulo 1. Generalidades .................................................................................... 1Objetivos .................................................................................................................... 1Contenido................................................................................................................... 1Introducción ............................................................................................................... 1Algunos conceptos necesarios ................................................................................... 2Finalidad de la estadística .......................................................................................... 5Colectivos investigados por la estadística.................................................................. 7Resumen de capítulo ................................................................................................. 8Términos para recordar .............................................................................................. 9Ejercicios propuestos ................................................................................................. 9Cuestionario de evaluación ........................................................................................ 10

Capítulo 2. Investigación estadística .................................................................... 13Objetivos .................................................................................................................... 13Contenido................................................................................................................... 13Clases de investigación .............................................................................................. 13Etapas de una investigación ....................................................................................... 14Planeamiento.............................................................................................................. 14Objetivos de la investigación ..................................................................................... 15Unidad de investigación............................................................................................. 15Clase de estudio ......................................................................................................... 15Examen de la documentación y metodología ............................................................ 16Método de observación .............................................................................................. 16Muestreo .................................................................................................................... 16Muestreo probabilístico ............................................................................................. 16Muestreo no probabilístico ........................................................................................ 18Proceso de recolección............................................................................................... 18Preparación del presupuesto ...................................................................................... 19Calendario de trabajo ................................................................................................. 20Preparación del cuestionario ...................................................................................... 21

CIRO MARTÍNEZ BENCARDINOVIII

Selección y preparación del personal......................................................................... 23Preparación y actualización de listas de informantes ................................................ 24Otros aspectos ........................................................................................................... 25Recolección................................................................................................................ 25Procesamiento de análisis .......................................................................................... 26� �� ......................................................................................................... 26

Tabulación ............................................................................................................ 26Análisis e interpretación....................................................................................... 27Informe................................................................................................................. 27Publicación ........................................................................................................... 29

Resumen del capítulo................................................................................................. 29Términos para recordar .............................................................................................. 30Ejercicios propuestos ................................................................................................. 31

Capítulo 3. Sumatorias y productorias ................................................................ 33Sumatoria simple ....................................................................................................... 33Propiedades de la sumatoria....................................................................................... 35Fórmulas especiales sobre sumatorias ....................................................................... 36Productoria................................................................................................................. 36Propiedades de la productoria.................................................................................... 37Resumen del capitulo................................................................................................. 37Ejercicios propuestos ................................................................................................. 38

Capítulo 4. Elaboración de tablas o cuadros ....................................................... 39Objetivos .................................................................................................................... 39Contenido................................................................................................................... 39Caracteres................................................................................................................... 39Técnica empleada en la elaboración de un cuadro..................................................... 42Distribuciones de frecuencias .................................................................................... 45Atributos .................................................................................................................... 45Variables..................................................................................................................... 46Variable continua ....................................................................................................... 51Ejercicios.................................................................................................................... 56Propiedades de las frecuencias................................................................................... 58Resumen del capítulo................................................................................................. 59Términos para recordar .............................................................................................. 59Ejercicios propuestos ................................................................................................. 59Cuestionario de evaluación ........................................................................................ 62

�� ..................................................................... 65Objetivos .................................................................................................................... 65Contenido................................................................................................................... 65Introducción ............................................................................................................... 65� �� ....................................................................... 66�� ........................................................................................................ 66Diagrama de frecuencias............................................................................................ 67

TABLA DE CONTENIDO IX

Histograma de frecuencias......................................................................................... 68Polígono de frecuencias ............................................................................................. 71Ojiva........................................................................................................................... 71Pictograma ................................................................................................................. 72Cartograma................................................................................................................. 74Diagramas de barras................................................................................................... 75Diagrama circular....................................................................................................... 77Diagramas lineales ..................................................................................................... 79Cuadrados y triángulos .............................................................................................. 81�� ......................................................................................................... 83Pirámides.................................................................................................................... 84�� ............................................................................................................. 84Resumen del capítulo................................................................................................. 85Términos para recordar .............................................................................................. 85Ejercicios propuestos ................................................................................................. 85Cuestionario de evaluación ........................................................................................ 86

Capítulo 6. Medidas de tendencia central ............................................................ 89Objetivos .................................................................................................................... 89Contenido................................................................................................................... 89Introducción ............................................................................................................... 89Medidas de posición .................................................................................................. 90Media aritmética ........................................................................................................ 90Media aritmética (simple) .......................................................................................... 91Media aritmética ponderada....................................................................................... 93Métodos indirectos..................................................................................................... 100Propiedades de la media............................................................................................. 101Mediana (Me) ............................................................................................................. 107Datos no agrupados.................................................................................................... 108Datos agrupados......................................................................................................... 109Variable discreta......................................................................................................... 109Variable continua ....................................................................................................... 110La moda (Md) ............................................................................................................. 111Aplicación de estadística en la herramienta Excel..................................................... 113Operaciones en la hoja de cálculo.............................................................................. 113�� ............................................................ 115Elaboración de tablas de frecuencia........................................................................... 117Elaboración de una tabla de frecuencias relativas ..................................................... 123� �� ............................................................................................... 125Procedimiento para obtener resultados en la aplicación de medidas......................... 128Resumen del capítulo................................................................................................. 129Términos para recordar .............................................................................................. 130Ejercicios propuestos ................................................................................................. 132Cuestionario de evaluación ........................................................................................ 135

CIRO MARTÍNEZ BENCARDINOX

Capítulo 7. Medidas de tendencia central (continuación) .................................. 137Media cuadrática (M2)................................................................................................ 137Media geométrica (Mg) .............................................................................................. 139Media armónica (M�1)................................................................................................ 142Cuartiles, deciles y percentiles................................................................................... 147Cuartiles ..................................................................................................................... 147Datos sin agrupar ....................................................................................................... 147Datos agrupados......................................................................................................... 147Deciles........................................................................................................................ 148Datos sin agrupar ....................................................................................................... 148Datos agrupados......................................................................................................... 149Centil o percentil........................................................................................................ 149Datos sin agrupar ....................................................................................................... 149Datos agrupados......................................................................................................... 150Tercer cuartil (Q3) ...................................................................................................... 150Cuarto decil (D4) ........................................................................................................ 151Percentil sesenta (P60)................................................................................................. 151Centro recorrido ......................................................................................................... 151Aplicación de la estadística utilizando la calculadora ............................................... 152Aplicación de estadística en la herramienta Excel..................................................... 155Primer procedimiento ................................................................................................ 155Segundo procedimiento ............................................................................................. 160Media aritmética ........................................................................................................ 160Mediana (Me) ............................................................................................................. 162Modo = Moda = Valor modal (Md) ............................................................................ 163Media geométrica (Mg = Mo) ..................................................................................... 164Media aritmética ponderada....................................................................................... 164Resumen del capítulo................................................................................................. 165Términos para recordar .............................................................................................. 166Ejercicios propuestos ................................................................................................. 168

Capítulo 8. Medidas de dispersión, asimetría y apuntamiento .......................... 171Objetivos .................................................................................................................... 171Contenido................................................................................................................... 171Medidas de dispersión................................................................................................ 171La Oscilación ............................................................................................................. 172Varianza (S2) .............................................................................................................. 173Otro método de cálculo.............................................................................................. 174Métodos abreviados ................................................................................................... 175Propiedades de la varianza......................................................................................... 178Desviación típica o estándar (S) ................................................................................ 180Uso de la calculadora ................................................................................................. 184Aplicación de estadística en la herramienta Excel..................................................... 184Desviación típica estándar s = � ................................................................................ 185�� ................................................................................... 186Puntaje típico estandarizado (Z) ................................................................................ 187

TABLA DE CONTENIDO XI

Desviación media (Da) .............................................................................................. 189Desviación mediana (De)........................................................................................... 191Recorrido intercuartílico, desviación cuartil y recorrido interdecil ........................... 193�� !�..................................................................... 195Momentos unidimensionales ..................................................................................... 196Momentos respecto a la variable................................................................................ 196Momento respecto a la media aritmética ................................................................... 196Momento respecto a un origen de trabajo.................................................................. 196Asimetría.................................................................................................................... 198Apuntamiento o curtosis ............................................................................................ 200Resumen del capítulo................................................................................................. 201Términos para recordar .............................................................................................. 201Ejercicios propuestos ................................................................................................. 203Ejercicios de evaluación ............................................................................................ 206

Capítulo 9. Regresión y correlación .................................................................... 209Objetivos .................................................................................................................... 209Contenido................................................................................................................... 209Introducción ............................................................................................................... 209Regresión ................................................................................................................... 213Regresión rectilínea simple........................................................................................ 213Procedimiento abreviado del cálculo ......................................................................... 216Cálculo del error estándar de estimación ................................................................... 217�� .......................................................................................... 219Cálculo de la regresión de X en función de Y (utilizando la calculadora)................. 220Cálculo mediante el uso de la calculadora................................................................. 223Regresión rectilínea ponderada.................................................................................. 234�� ......................................................................... 238Resumen del capítulo................................................................................................. 239Términos para recordar .............................................................................................. 240Ejercicios propuestos ................................................................................................. 242Cuestionario de evaluación ........................................................................................ 244

Capítulo 10. Series cronológicas ........................................................................... 247Objetivos .................................................................................................................... 247Contenidos ................................................................................................................. 247Introducción ............................................................................................................... 247Tendencia ................................................................................................................... 249Ajuste rectilíneo ......................................................................................................... 249Método de los mínimos cuadrados ............................................................................ 254Varianza residual y error estándar.............................................................................. 259�� .......................................................................................... 260Aplicación de estadística en la herramienta Excel..................................................... 264Ajuste parabólico ....................................................................................................... 267Ajuste exponencial..................................................................................................... 272Otro procedimiento .................................................................................................... 276

CIRO MARTÍNEZ BENCARDINOXII

Resumen del capítulo................................................................................................. 277Términos para recordar .............................................................................................. 278Ejercicios propuestos ................................................................................................. 280Cuestionario de evaluación ........................................................................................ 282

Capítulo 11. Números índices ................................................................................ 285Objetivos .................................................................................................................... 285Contenido................................................................................................................... 285Introducción ............................................................................................................... 285Índices simples........................................................................................................... 286Índices eslabonados ................................................................................................... 289Índices agregativos simples ....................................................................................... 290Índices compuestos .................................................................................................... 292Exámenes de fórmulas ............................................................................................... 295Índice de valor............................................................................................................ 296Empalme de una serie ................................................................................................ 297Uso de los números índices........................................................................................ 298Cálculo del salario y del ingreso real......................................................................... 298Poder de compra ........................................................................................................ 300Porcentaje de Desvalorización................................................................................... 300Porcentaje de Devaluación......................................................................................... 301Índice de producción y de productividad................................................................... 302Índice relación de precios de intercambio (IRPI) ...................................................... 303Proporciones, porcentajes, razones y tasas ................................................................ 305Resumen del capítulo................................................................................................. 309Términos para recordar .............................................................................................. 309Ejercicios propuestos ................................................................................................. 310Cuestionario de evaluación ........................................................................................ 313

Capítulo 12. Inferencia estadística ....................................................................... 317Objetivos .................................................................................................................... 317Contenido................................................................................................................... 317Elementos del cálculo de probabilidades................................................................... 317Probabilidad elemental............................................................................................... 317Algunos conceptos básicos ........................................................................................ 318Probabilidad ............................................................................................................... 319Permutaciones, variaciones y combinaciones............................................................ 320Leyes o reglas de probabilidad .................................................................................. 321Distribuciones de probabilidad .................................................................................. 328Distribución binomial ................................................................................................ 329Distribución normal ................................................................................................... 332"#�� $ .................................................................................................. 334Pruebas de hipótesis................................................................................................... 337Distribución de Ji cuadrado x2 ................................................................................... 340

TABLA DE CONTENIDO XIII

Capítulo 13. Aplicación de algunas técnicas de muestreo .................................. 343Generalidades............................................................................................................. 343Determinación del tamaño de la muestra (MAS) ...................................................... 346Método de muestreo aleatorio.................................................................................... 348%� �� %&'&*&� ................................................................. 350Diseño de muestreo.................................................................................................... 352Aplicación en el muestreo aleatorio simple ............................................................... 354'�� ......................................................... 356Estimador puntual y por intervalos ............................................................................ 360Aplicación en el Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.).............................................. 360'�� ...................................................... 363

Respuestas a los ejercicios propuestos y algunos cuestionarios de evaluación . 367

ApéndiceTabla I Números al azar ....................................................................................... 379Tabla II De una distribución normal ordinaria ...................................................... 382Tabla III Distribución “t” de Student ................................................................... 383Tabla IV Exponencial y logaritmos ........................................................................ 384Tabla V Distribución de Ji cuadrado ( 2χ ) ............................................................. 385

Índice temático ....................................................................................................... 387Bibliografía ............................................................................................................. 389

PrólogoLa estadística es una disciplina aplicada en todos los campos de la actividad humana.

De ahí que se tenga como asignatura indispensable en casi todos los programas, desde niveles medio vocacional hasta posgrado.

En el mundo de los negocios su empleo, hoy en día, es considerado de gran importan-cia, ya que suministra los mejores instrumentos de investigación, no sólo para observar y recopilar toda una gama informativa incubada dentro de la misma empresa o fuera de ella, sino también en el control de ciertas actividades de producción, ventas, proyecciones o estimaciones a corto, mediano y largo plazo, en la formulación de hipótesis y en el análisis de procesos encaminado a facilitar la toma de decisiones por parte de los encargados de la buena marcha de la empresa.

La obra presenta temas de estadística descriptiva: preparación de una investigación; �� +��<�� >��?�� ?��?�� cuadrática, geométrica y armónica); medidas de dispersión (varianza, desviación típica, �� ?��K ��#��<�� +�� <�� <��W-meros índices; indicadores económicos, desarrollados en los primeros once capítulos.

Los capítulos doce y trece presentan una síntesis de inferencia estadística, con temas de gran importancia (probabilidad, distribución normal, distribución de medias muestrales +��#�� $?�� [�� ?��\�]�� ^�� +?��W��?��distribución Ji-cuadrado) y la aplicación de algunas técnicas de muestreo, todo ello en un lenguaje sencillo y claro, con ejemplos de fácil comprensión y ejercicios para resolver.

En esta edición, se revisó y corrigió todo el contenido. En el capítulo de regresión se mejoró la presentación de acuerdo con sugerencias que se habían recibido, haciéndolo más comprensible para el estudiante. Como novedad se incluye un gran número de ejercicios �� +�� $K <�� _�� ?�� +�� `� ��mayor agilización en los procesos de cálculo y presentación de los datos

El libro es fundamental para todas aquellas personas que tengan algún interés por la estadística aplicada en el campo comercial, contabilidad y actividades similares.

'�� K �� +��>�� k� �� aquellas tablas estadísticas más usuales, que el lector deberá aprender a manejar para desarrollar los ejercicios propuestos y aquellos que se presenten en la vida práctica.

El autor

GeneralidadesCapítulo

Capítulo

Generalidades

Objetivos

�� {� ��+� `�� >�� #��?�� &

�� *�� +�� -�#��&

�� k� �� k� �� #��&

Contenido

�� {�� '�� |�� #�� #��&

11

INTRODUCCIÓN

^ �� ?� ��>�� ?�k� �� #�� $�� ?� �� }

� Producción. *�� #�� [� �� +� �� ?�� >�� &�*�� +�� ?� �-�� +��?�+� �� >�� $�� &

� Finanzas.�*�� k� �� W��_�� ?�� $��?� �� -�� +� �� &

� Contabilidad.�! �� #?�+�k� �� >�� _��?�� ?�� +�� `� �� ?�� &

CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO2

� Personal.�*�� W� �� [��?�� K�� ?�� K�?�� ~ ��?�� ?� ��?� ��?��_�� #�� ?�� _ �� +��#��&

� Mercados.�"�� #�� _� �� +�� $-�� &

ALGUNOS CONCEPTOS NECESARIOS

Estadística�� &�^ �� K�� >��?��?�� ?�+�� ?��?�� ?��+��$�� &

*�� k� ��_�� #�� #�� ?��k� ��[�#��_�� k� �� historia�� +�� [ �[�&�*�� ?�� #�� [��<�[�+�� #��?�� ?� ��#��?�� W��_�� ?�+�k� �� +��?�� población?� �� $�� ?�� muestra?��+�� $�&

"�estadística descriptiva o deductiva�� -� �� #�� ?�� ?� ��&�?�k� �� _ �� &

*�� $��>�� ?��?�� ?��$�?�� +�� &

"�estadística analítica o inductiva�� `�� K�� ?�� $�� <�� k� ��?�� ?�� k� � � � `�� #��&

�� K �� Estadística� ��[� ��_ � �� #�� ?�� parámetros��>�� _�� &

"� ��#��?�� ?�� #�� k� ��>��k� �� [ �[��_ �� ?�� +� �� ?��$�� &

Población&�*��K�� k� �� -� �� #��W�&�*��>�� K�� `�� muestra&

CAPÍTULO 1. GENERALIDADES 3

"�� #�k� � ��W� �� k� ��+ ��la muestra?�� >��población por muestrear��población muestreada?�_� �� K ��&�� #?��-�� `� ��?�� ?��$�� #�� $�� &

"��elementos�k� �� ?��K ��&�'� ��?� �� K��_��?�+�� &

*�� [ �[�� k� �� ?�� #�� #?��características&

"�� K �� k� ��#�� elementos�� +�características�� }

ELEMENTOS CARACTERÍSTICAS

� �� ^�� K�� ! ��

Marco:�^ �� marco?�marco muestral��marco de referencia��?�mapa��k�� ?�k� �� _ �� -��+��$��?�� &

^ �W�� tamaño?�� &�*��-�� W� �� k� �� <�� &�̂ �� ?�� ?� �� W� �� ?� �� ?�+�k� � `�� k� ?�� ?�� ?��k� �� &

Características�� &�� ?�� -�� k� ��+ �� &�'�� +�� >�� ?�� cuantitativos��variables?�� ?�� ?�� ?��?��?�� ?� ��&�&�� `�� #��?��_ ��?��?��?��?� ��&�?�+�� cualitativos o atributos.

Muestra.�^ �� K�� &�"�� aleatoriamente?� ��


� ��?�� k� �� &

��k� �� k�� k� �� $�?� +� � ��$�� sorteo? tablas de números aleatorios?��selección sistemática��k�� >��$�&�

�� no probabilística�� ?�� W�� &�*�� ?�� +��k� �� ?�� ?� �� ?�� $?��$�� [�� &

*�� ?��unidades�� _��caprichosa, voluntaria, por cuotas?�� k� ?� ��+��#�� ?�� ?�� [#�k� �� $��muestra circunstancial o errática&

Estadístico.�*�� k� ��K� �� +�� #��&�*�� [�[ �[��W�� >��estadígrafo�� k� ��K�� #��?�� [��>��medida&

Estadísticas�� &�̂ �� _�� +��&�*��?�� #�� +�� ?��k� �� &

Estadísticas primarias. ^��k� �� +�� ?�� $�� ?�� <� ��W�� >��+��$�� #�� &�^ �� >�?�k� ��k�� -�� _� �� _��&

Estadísticas secundarias.�*��>��?�� ?�� &�̂ ��_� �� ?��$�� k�� &

Estadísticas temporales.�! ��series de tiempo o series cronológicas&�̂ �� +�� _��?�� -� �� }��#�?�� ?��&�� ?� �� ?�� ?�� #�� atemporales.

Clases de estadísticas.�^ �� <��#?�� K ��?�� #�� #�-��}�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� `� ��?�� +��$�?�� +��?�� `� ��?�� W��?� �� +�� ?�� ?��?�K��+� ��&


*�� ?�� internos?��?�� ?��+��&�"�� #��externas�� _� �� -�?�� K ��}�� ?�� ?� ��&

Parámetros.�̂ ��k� �� k� �� >�� #�� población&��>�� valor verdadero?�+�k� �� #�� ?��$?� ��&�&�̂ �� ?�� #��+?��?�� &

Estimadores.� "� � �� >�� #�� muestra?�� estimador o estadígrafo&�! �� M�W� �� +� �� #��?�� >�� ?�� ?�� _ � �� ?�� $�� estimador�� &

��>�� estimador puntual� �� ?��$?��?� ��&�� ?� `�� _ � �� el estimador�+� ��pará-metro?�� error?� �� K�� $�� estimador por intervalos?�� &

FINALIDAD DE LA ESTADÍSTICA

*��>�� ?�� k� �� #�� _��?�+�� ?� �� ?�� k� �� +�� _�� &�"�� $��[��$��-�� >�� #��<� ��#��?� ��?� �� ?�� #��#��?� �� $�&�� $?�� ?��?�k� ��k� �� ?� �� >�� ?��?�� ?�� W� �� +?��?�� k� �� [� �� `� �� &

�� k� �� k�� [��>��?� �� ?�� $�� k� �� ?�+�� <�� k� �� <� �� `� �� `�� <�� _��?� ��&�� ?�� estadística�� ?�� }

� Conocer la realidad de una observación o fenómeno.�'�� _ �� <� ��#�� _��?�� -�� ?�� #��?�� ?�� ?� �� K�� ?��_ �� inventarios?�� ?�� `��


��?� ��&�^ �� #�� <�� ?�� _� �� ?�� ?�[+�� >��&��>�� `� � �� k� �� k�� &

� Determinar lo típico o normal de esa observación. �� #�� _ �� ?�� promedio?�� >��_�� -_ ��?��#�� &�̂ �� k� � ��promedio de �� #��A?� �� ?� �� $��_� �� &�� ?� ��_�� <�� #�� K�� k�� k� �� <�� ?�� ?�� _� �� &��&

� Determinar los cambios que representa el fenómeno.��k�� _ �� #�� >�� ?�� k�� &�"�� ?��?�� ?�� ?��_ �� k� �� k� �� &

� Relacionar dos o más fenómenos.�! �� ?�� `�� #�� ?�� _ �� &�� +�� _�� ?�� +� �� &

� Determinar las causas que originan el fenómeno.�"��k� �� _ �� &�*�� `�� #�� K�� `� ��?�� k� �� _ �� &

� Hacer estimativos sobre el comportamiento futuro del fenómeno.�*�� -�� k�� + ��?�� _�� _ �� &�"��+ �� ?� �� ?� �� ?��k� �� ?�� `��&

� Obtener conclusiones de un grupo menor (muestra), para hacerlas extensivas a un grupo mayor (población).�'�� $�� ?��+�� ?� �� k� �� #�� [�� K�� k� ��+ ��?�� `��K�� &


�� '� ��?�� ?�� #��_�� >��k� ?�� $�� ?�� validez +��?�+�� &

COLECTIVOS INVESTIGADOS POR LA ESTADÍSTICA

"� ��_�� #��?� �� -�� #��?�k� �� ?�� fenómeno&�"��_ �� ?��?��#��?��?�� K�� k� �� #��+�� ?�� `�� ?�� ?�� ?��?�� _�� ?�� ?�� ?� ��&

"��_ �� #�� k��?��manifes-tarse al exterior�� observados?�� &�*K ��}�� ?�� k� �� W� �� ?�� #�?�� ?�+�� #��k� ��#�� <�� ?� �� ?�� `�� <�� <�� ?�� _�� ?� �� ?�[�� ?� ��&�'� �� #�� _ �� de ��_��k� �� intensidad��k� �� &�� K �� K�� }�� `�� _>�� $��_ � �� `�� #�� ?� ��k� �� _ �� k� �� `� ��+�� `��?�+�� ?�� W� ��+�� $��<�� intensidad�� `�� [�� #��&

! � �� k� � � k�� _ �� #��?�� ?��requisitos indispensables�� #��}

� Colectivos.� "� ��#�� _ �� ?�� k� ��_ �� k� �� &�^�� k� �� k�� _��$�?�� k� �� ?��K�� -� ��&

� Frecuente repetición.�'k� ��_ �� k� �� $�+�� ?�� #��&�� -��?�� k�� k� � ��_ �� _� �� &�� ?�� ?�� K�?� ��&


� Distinta frecuencia.�̂ �� $��>�?� ��k� �� _ �� _� �� ?�+�k� �� [�� ?�� #�� #��?�� ?�� #�� `��&�^�� _ �� _� �� ?�� k� �� #��?�� $�+�� _�� #��&

� Manifestarse al exterior.�*��?� ��+�� [��?�� ?��_ �� k� �� &��?�� k� �� `� �� #�� &

� Distantes en el tiempo.�"�� #�� ?�� ?�K�� ?��#�� #�� ?�� #��?��_ �� k� �� #�&�� ?�� >��_ ��[�+�� k� �� _ �� &�

� Distantes en el espacio.�*�� [ k� �� *��?� ��_ �� k� �� _ � �� ?� �� k� �� ?� �� #�&�"�� `�� k� �� $��_ � �� #�&�^�� K ��k� �� _ �� _ � �� ?�� k� �� &

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� 'k� ��_ �� ?�� ?�� #��&

RESUMEN DEL CAPÍTULO

�� a la técnica de recolección, procesamiento y análisis del dato; la segunda, corresponde � �� !��

La estadística cumple dos funciones: a) la de análisis descriptivo en forma cuantita-tiva de las características observadas en el fenómeno, y b) la inferencia estadística o inducción, lográndose generalizaciones para un grupo mayor denominado población, partiendo de un grupo menor o muestra.

Se da una serie de términos estadísticos que deben conocerse para un buen desarrollo del curso de estadística, entre otros: población, muestra, variables y atributos.


"� �� permita: a) tener una visión general de la empresa en su conjunto, para que la admi-nistración pueda formular directrices con pleno conocimiento de causa; b) descubrir las relaciones de causa a efecto en las diversas manifestaciones económicas de la empresa; c) reconocer y separar, en vista del control, lo normal y anormal, observando �� #�� !�� $�� % �� obtener una mayor orientación a la actividad de la empresa.

Por último, se establecen las condiciones que deben presentar los fenómenos para que sean considerados o estudiados dentro del campo de la estadística.

Términos para recordar

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�&� �"� ��#�� -�� _ �� +�

Ejercicios propuestos

AtributosCaracterísticasCaracterísticas cualitativasCaracterística cuantitativasElemento o unidadErrorEstimadorEstimador puntualEstimador por intervalosEstadísticas temporalesEstadísticas internasEstadística

Estadísticas externasEstadísticasEstadígrafoEstadísticoEstadística descriptivaEstadística analíticaEstadísticas primariasEstadísticas secundariasFenómeno o hechoInferenciaMarcoMuestra

Muestra probabilísticaMuestra aleatoriaParámetro&�� &�� Población o universoSorteoSelección sistemáticaVariable


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Cuestionario de evaluación


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CLASES DE INVESTIGACIÓN

La investigación estadística, por sencilla que sea, es una operación com-pleja, que requiere atender múltiples aspectos, y que genera muy variadas funciones.

*�� k� �� ?�� $�de los fenómenos que se desean estudiar y de la facilidad que se tenga para observar los elementos.

Investigación interna. Dentro de la misma empresa se originan una serie de fenómenos, tales como datos registrados por el departamento de contabilidad, k� �� $�� _��k� �_�� +��con períodos anteriores. En el caso de las ventas, las cifras obtenidas y ordenadas � �� k� �� <�también entre los vendedores de la compañía, entre los departamentos que tenga ��[��$��&�*��[ �[�� _��?�� #?�� ?�+�k� �� W�� ?��k� �� k�� $��información en tal forma que permita la aplicación de métodos estadísticos a �� &

Capí

tulo

Capí

tulo

22Objetivos�� ! �� $�� k� �� &�� {� �� k� �� &�� %� K��+��$��_ � �� >�� &

Contenido

� Clases de investigación� Etapas en una investigación: Planeación, Recolección,

�� +�'��&

Investigación estadísticaInvestigación estadística


Investigación externa.�"�� $�� -�� $��?�� ?�� K �� investigación es establecer la posición relativa de la empresa en el mercado, y en especial conocer la tendencia de los consumidores, el comportamiento actual o futuro en relación con la calidad, precio, propaganda, modelos, etc.

*�� `� ��+�� ?�� obtener la información necesaria que no se da en la investigación interna.

Investigación exhaustiva. Se denomina así a aquella investigación donde se observan todos los elementos que constituyen la población objetivo. Si fuéramos a investigar todos ��[�� `�� ?�� #�� &�^�� ?�� _ �� [�� $��de la misma ciudad, o a los hogares de un barrio. Como se ve, la población la constituyen todas aquellas unidades objeto de estudio.

Por lo general, toda investigación que no sea exhaustiva es parcial y esta limitación �� _�� K ��+�� &

Investigación parcial.�̂ �� $�� exhaustiva y sólo se observa una parte de los elementos o unidades que constituyen la ��K ��?�� muestra. Con la muestra, el objetivo no consiste en examinarla, sino en estudiar la población a través de ella. La selección de un grupo de establecimientos comerciales al por menor, el de un grupo de hogares en un barrio, en una $��?� ��?�� +�� población,son ejemplos de muestras.

ETAPAS EN UNA INVESTIGACIÓN

^ �� k�� #�� K�� _��k� �� k� �� +�� +�que por lo general, se encuentran dispersas, y en forma desordenada. Se pueden conside-rar tres clases de operaciones o etapas en una investigación: planeamiento, recolección,procesamiento y análisis.

Planeamiento'��$�� ?�� +��$��

� � �� K��+�� $��K �� &�! ��de la etapa de planeamiento�� k� �� +�� $�� &

CAPÍTULO 2. INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA 15

� Objeto de la investigación'�� k�� ?�� [� ��

��+�� k� �� ?�formulando el problema en tal forma que �� objetivos generales y los �� y, de ser posible, una jerarquización de los mismos.

En esta fase se deben contestar los siguientes interrogantes:a) ¿Qué se va a investigar?b) ¿Cómo�� $�� ^ �� +��>��

�� $�&c) ¿Cuándo�� $��*�� k� �� [� �� &d) ¿Dónde�� $��*��?�$�� [�� &

�� K ��k� �� ?�k�>�� k� ��?� �� _�� ?��[� ��-servación, número de cuestionarios, tiempo y costo de la investigación, etc.

�� Unidad de investigaciónLa unidad es la fuente de información, es decir, a quién va dirigida la investigación,

la cual puede ser una persona, una familia, una vivienda, un establecimiento comercial, industrial o de servicio público, una explotación agrícola o ganadera, y su determinación depende del objeto de la investigación.

La unidad debe ser clara?� ��_��k� �� <�� ?�adecua-da�� <�mensurable, que permita ser medida, y comparable con los resultados obtenidos en investigaciones similares.

Al lado del elemento principal que posee la información, se presenta con mucha fre-cuencia, la necesidad de establecer otras unidades denominadas secundarias, cuando se aplica el muestreo aleatorio por etapas.

�� Clase de estudio*�� [+�k� �� k� �� $�}a) Investigación descriptivab) Investigación experimental o investigación controladac) Investigación explicada o analítica.

La distinción entre la investigación descriptiva y la analítica, en algunos casos no es muy clara. Se dice que la primera consiste en obtener información con respecto a grupos, en cambio en la analítica permite establecer ciertas comparaciones y sobre todo �� [�� &�*�� `� �� ?� �� ?��+�� k�>��se produce un caso particular.


�� Examen de la documentación y metodología*�� [�� $�� ?��

�� <� � �� K �� +� �� _�� $�&�*��?�[�� $��?�� k� � � �� ?� �� $��+�� K ��+?�� ?�� K�� #��$�&

�� Método de observación�� $�� K �� ?�� ?�+�

� � ��k� � �� _� �� $�� ?��k� ��k� �� k�� $��?�� ?� ��>��k� �� ?� �� ?�� va a estudiar la población en su totalidad o sólo una parte de ella.

En el primer caso lo hemos denominado investigación exhaustiva, enumeración completa o censo, y, en el segundo, muestra. La elección de uno de los métodos, censoo muestra, depende entre otros factores, de:

- Tiempo disponible- Recursos humanos

� �� - Finalidad de la investigación- Número de unidades que componen la población.- Características a investigar- Si el elemento seleccionado se puede destruir en el proceso de medición o control de la característica- El grado de variabilidad

�� Muestreo��+� ��#?��$�� ?�� ?��+�� $�+��

�W� �� k� �� &�� [+�� >�� ?�� }

- Grado de precisión requerida para los estimadores- Tamaño de muestra- Costo y tiempo

�� Muestreo probabilísticoDentro del método de muestreo probabilístico, muestreo aleatorio o al azar, se usan

entre otros, los siguientes tres procedimientos:


�� Muestreo aleatorio simple. Este método permite que la selección de todos los elementos que constituyen la población tengan la misma posibilidad de ser incluidos en la muestra. Cada elemento que constituye la muestra puede haber sido seleccionado una �� $?� ��k� �� ?�� extracciones sin reposición<� �� ?�� $� �� ?�situación que puede ocurrir cuando la población es pequeña o cuando el elemento no se � ��+ <� �� k� ��extracciones son realizadas con reposición.

El método de muestreo aleatorio simple es de gran importancia cuando la población �� ?�� ?�� k� �&��>��-terística que se investiga presenta poca variabilidad o cuando la población facilita su enu-� �� ?�� ?�� [� �� &

La selección de las unidades se puede hacer de diferentes maneras: por sorteo o utili-$��las tablas de números aleatorios?� ��W�� K�� ?�+�k� �[�� _�� ?�[�� +�� &��-ción de estas tablas (ver tablas anexas) se procede de la siguiente forma: a) se enumeran las unidades que conforman la población objetivo, partiendo desde 01 hasta 99, desde ��[��?�+��#�� <�� $�� <�� $�� _�� ?�� #��?�� K�� [� � ��_�� [��$��<��W� �� ?�� los números superiores al tamaño de la población. La calculadora, la aplicación del excel permiten la selección.

�� '�� Denominado también muestreo aleatorio res-tringido, es aquél donde la población se ��, es decir, se forman grupos o estratos, � ��_��k� � �� #��k� �� &�*�� $�� [ � ��>� ?�� ?�+?��?�� k� � ��muestreo aleatorio simple?�� K�� k� �� $�� [�� k� ��&�% �� _�� &

Dependiendo de la distribución de los elementos que deben ser muestreados en los ��_ � �� ?�� }a) Igual tamaño. Cuando los elementos que constituyen la muestra se reparten por igual

en los diferentes estratos muestrales.b) Proporcional. Los elementos se distribuyen en los estratos muestrales proporcional-

mente al tamaño de los mismos en la población.c) Óptima. Cuando el tamaño de la muestra depende del grado de variabilidad en cada

estrato poblacional y del costo que representa el elemento o la unidad.

�� Muestreo sistemático&�*�� >�� $��-res para revisar sumas, cuentas, etc., y consiste en determinar, en primer lugar, un intervalo


igual al valor obtenido al dividir el tamaño de la población por el de la muestra. Luego se toma aleatoriamente una observación. Supongamos que entre el 01 y 10 se seleccionó �� +�� ?�� ?�� ?�+�así sucesivamente.

� Muestreo no probabilísticoEn el muestreo no probabilístico se toma la muestra de cualquier tamaño y los ele-

mentos son seleccionados de acuerdo con la opinión o juicio que tenga el investigador sobre la población. En el caso de una población homogénea, la representatividad de tal muestra puede considerarse satisfactoria.

Por lo general, las unidades son seleccionadas caprichosamente, por conveniencia, en forma voluntaria o por cuotas, tal como sucede en las encuestas de opinión?��$�� _� � ��&

Por otra parte, en problemas comerciales diarios y en la toma de decisiones que a falta de tiempo no permiten diseñar métodos de muestreo probabilístico, hay que recurrir al muestreo no aleatorio, siendo el método dirigido� ��&

�� Proceso de recolección"�� $��correo, entrega personal del cuestionario, en-

trevista, panel, observación directa, motivación, teléfono, otros.

Las encuestas por correo tienen algunas ventajas, tales como las de ser poco costosas, ya que el valor de recolección corresponde al valor del envío y retorno del cuestionario. �� ?�� _�� ?�� ?�las instrucciones son precisas. Ahora bien, si el servicio es bueno, la recolección se hace �� &

Las ventajas en el uso del correo, son las mismas que las establecidas en la entrega personal�� ?�� `��#�&

Ambos procesos de recolección presentan casi las mismas desventajas: extravío del cuestionario, la no devolución, falta de contestación a determinadas preguntas, demora en la devolución, uso de abreviaturas, mala letra, preguntas mal respondidas, etc.

La entrevista es un buen proceso de recolección, ya que permite recoger el mayor nú-mero de cuestionarios, se obtienen respuestas a todas las preguntas, se aclaran las dudas � ��_�� ?�� [� �� <�� K�� +��?�+�k� �� k�� +�� [��&�'� ��?�� &

En la encuesta por panel o cuadros constituidos por las familias o los individuos de los que se requiere información dentro de determinada periodicidad, se debe tener presente:


la composición del cuadro�k� �� _� �� <�� _�� ?�>�� <�� panel hay que �� k� �� &

La encuesta por observación no requiere de cuestionario, ya que no hay respuesta de los entrevistados. Por ejemplo, si examinamos el número de personas que entran en un ��>�� #�� ?�� comprador, si lo adquirió o no, o si consiguió algo distinto.

La observación puede ser directa como su nombre lo indica, la recolección de los datos se hace observando directamente el hecho.

Es indirecta cuando la tarea de recolección consiste en corroborar los datos que otros han observado.

En la encuesta por motivación, el entrevistador pregunta libremente sin estar sometido �� $�� _��?�� `�� k� �� &�'k�#?� �� k� �� `� ��&�*�� proceso es costoso, requiere demasiado tiempo y no se pueden hacer cómputos, por la �� $�� &

La encuesta por teléfono se emplea de preferencia para estudios de radio y televisión, cuando se requiere determinar la sintonía en el momento de comunicar, y las preguntas �� [��k� �� [&�*�� $� ��directorio telefónico para seleccionar los informantes, lo que es desventajoso, pues se ex-cluye a aquellos que no tienen dicho servicio. El proceso consiste en exponer brevemente ��K �� ?��+�� _�� del cuestionario, que deben ser pocas, cortas, claras y precisas.

�� Preparación del presupuesto�� $� �� >��?��

�� k� �� $�� &

En la elaboración del presupuesto deben tenerse en cuenta las diferentes etapas de �� &�"�� k� �� elaborar el presupuesto:

Organización:- Estudios preliminares - Asesorías- Trabajos experimentales

� �� K�� - Propaganda

- Impresión de los formularios - Capacitación de personal - Contratación de servicios auxiliares- Uso de equipo, computadores, papelería, etc.- Locales.


� �� - Recolección- Transporte

Trabajos de campo: Tabulación o procesamiento Publicación

� Calendario de trabajoSe trata de un ordenamiento de las diferentes etapas involucradas en la investigación,

�� _ �[�� +�� ?�� fase, procurando que se cumpla dentro del tiempo establecido. También es una forma de determinar el tiempo total de la investigación.

"�_�� K�� &�*��&��+��&�� K �� &

"��&�� _ � �� +�� k� �� &�̂ �denomina !�� (��+�� k� � �� #�� ?� �� k� �� de ejecución. Puede verse que los estudios preliminares se han ejecutado en su totalidad, � ��?�� [��$�� &

Tabla 2.1

ETAPASFECHAS

Inicial Final�&�*�� {� ��{{

� �&�� {� ��{{� �&�*�� `� �� {{� ��{{

4. Recolección 30 - VII 18 - VIII5. Tabulación 15 - VIII 10 - IX6. Publicación 15 - IX 30 - IX


�� Preparación del cuestionarioEn la elaboración del cuestionario o formulario se deben considerar dos aspectos:

1. Aspectos materiales- Tamaño del formulario?��k� �� k� ��

manejo y archivo.- La calidad del papel�� k� �� $�?� ��

recolección, del tipo de impresión y otros aspectos.- El color de la tinta y del papel no debe molestar la vista de la persona que lo va a

�� ?��&- Tipo de impresión a emplear

�&��Aspectos técnicos- Incluir únicamente las preguntas indispensables.- Las preguntas deben ser claras, concisas y comprensibles para quien las hace y

para quien las responda.�� "�� ?�� $��_�� +��

��_#�� &- No se deben emplear abreviaturas.- Se deben suprimir las preguntas que, de antemano, se considera no van a ser con-

testadas.- La pregunta debe ser de tal claridad que, siendo formulada en lenguaje corriente,

atienda a la técnica de investigación.- Las preguntas deben ser cortas, para que faciliten su retención.

��

ETAPASMESES

junio julio agto. sept.1. Estudios preliminares

� �&��

3. Encuesta preliminar4. Recolección5. Tabulación6. Publicación


En cuanto a las partes que constituyen un formulario, por lo general, se considera dividido en tres:a) Encabezamiento. En él se incluye: nombre o título de la investigación, en tal

forma que resuelva los interrogantes: qué, cómo, cuándo y dónde<� �� <� �� _��+� ��casos el del informante.

b) Cuerpo. �� <� ��_��?�� k�� _�� ?�� $�� ?�� ?�� ?�estado civil, edad, profesión, nombre del establecimiento (industrial, comercial, pú-��?��$��?�� ?�� ?�� ?� ��&��"� �� $�� K �� &

Las preguntas pueden ser de diversas clases, a saber:

- Preguntas cerradas.�*��>�� _�� ?�por ejemplo: ¿Conoce usted tal producto? Sí o No.

Esta forma de preguntar tiene la ventaja de disminuir el tiempo en la recolección y los ��?�� _��+� �� &�*�� pregunta cerrada, con tan sólo dos posibilidades de respuesta, se denomina dicotónicao de alternativa.

Cuando la pregunta cerrada� �� ?� � �denomina de selección múltiple. Un ejemplo de selección múltiple sería: ¿Ha comprado �� ?�� $?� ��

Belmont FreeKent ParliamentLucky MontecarloMarlboro PielrojaMustang RoyalKool Moore

- Preguntas abiertas. Son aquellas denominadas de opinión o de respuesta libre. Por �� ?�>�� +�� que ser manual. Por ejemplo: ¿Qué opinión le merece la calidad del cigarrillo Belmont?

- Preguntas de control&�̂ �[� �� _��&�Por ejemplo, en el caso de la pregunta de selección múltiple sobre las marcas de cigarrillos, � ��k� �� `��?� ��_��k� �� tener precaución con el resto de las respuestas dadas por el informante.

) &��!�� &�� k� �� la entrevista o si por el contrario se requiere pasar a otro grupo de preguntas, que corres-pondan a ese tipo de informante.


�+�� k� ��>�� $�?�� }- Preguntas introductivas: que tratan de introducir al informante en el tema de inves-

��?� _��$�� K �� ?� ��+ �� prevención que pudo haberse formado con respecto a la entrevista.

- Preguntas en batería: serie de preguntas encadenadas y complementadas entre sí, con �� _��$�� >�&

c) Instrucciones. Pueden considerarse como parte del cuestionario. Para algunas personas, �� >�� $�� ?� �� ?�� ?�� k� �� k�� [� �� #��<�� $�� ?�� del formulario o en una cartilla anexa. Sostienen que esta forma de colocar las instruc-ciones, cuida la presentación del formulario.

�� $� �� cuestionario?�>�� -terminar, entre otras cosas, si las preguntas y las instrucciones fueron correctamente elaboradas, conocer la reacción de los informantes frente a determinadas preguntas, el �� +?��W��?�_��$�� con el formulario.

- Selección y preparación del personal*��_ � �� k� �� +�� _ �-

�� k� �� +�� &�^�� ?�� experiencia, pero debe capacitarse. Los entrevistadores, a la larga cumplen una etapa im-��#�� ?�� ?��k� � �� &�"�� k� �� [+�[ �[�� W��?��>��k� � �� ?�� <�� [#?�k� �debe tenerse especial cuidado en la selección y adiestramiento de este personal.

Algunos criterios que se deben tener en cuenta en la selección y preparación de personal:

�� *��W� �� W� �� _�� a entrevistar.

- El mejor conocimiento que se tenga del formulario y del objeto de la investigación [�� K��_��&�

�� |�K�� `� �� ?�� W� �� _��k� �� &

�� "��k� � �� ?� �� _ �� ?� �� técnica del interrogatorio.

- Que el entrevistador reúna ciertas cualidades morales, de tal manera que tengamos la seguridad de que no va a falsear las respuestas, evitando el diligenciamiento sin la presencia del informante.


- Tratar de seleccionar a personas que tengan ciertas cualidades de sociabilidad, cortesía, presentación personal correcta y sencilla, que utilicen las palabras, gestos y tono que �� ?�� >`�� &

Los procedimientos de selección, en términos generales, son: a) Pruebas de selección,y b) Entrevistas.

a) Las pruebas�� ?�� ?�[�� ?�personalidad, así como habilidades especiales deseables para la clase de inves-�� $�&�� K ��?�� trataría de medir la habilidad para leer mapas.

b) La entrevista personal?�� _�� ?�ofrece la oportunidad de evaluar ciertas características personales, como: facilidad de expresión, manera de presentarse, actitud hacia el trabajo, etc. Sin embargo, este método no es siempre aplicable si se requiere un número grande de candidatos �� &

� Preparación y actualización de listas de informantesSe debe preparar un listado de todas las unidades que componen la población objetivo

+�� &�*�� [��?�>�� +��$��&�� ?��+��<�� <� �� _��?�son ejemplos de un listado de informantes. Al listado se le denomina marco muestral también puede ser un mapa o un croquis.

� PropagandaEn algunas investigaciones, es conveniente dar a conocer a los posibles informantes,

�� ?��k� � �� ?�� para lograr un completo éxito en el trabajo propuesto.

� El pretestConsiste en una encuesta preliminar para tener un mayor conocimiento sobre la po-

��K ��+�_�� &�� $�� pretest tambiénpara estimar el costo y tiempo necesario, así como para tener alguna idea de variabilidad de las características bajo estudio.

*�� _�� ?��_�� ?� �� diseño del plan de muestreo<�� ?�� ?� ��k�� ?�suelen ser útiles para el diseño de futuras encuestas.


� Otros aspectosHay otros aspectos no menos importantes que los anteriores y que el investigador, en

muchos casos, no debe ignorar:- Delimitación del tema. Se debe establecer si el tipo de investigación es exploratoria,

descriptiva, explicativa o experimental.- Marco teórico. Guarda relación con el anterior.� �� [� ��K��#��?�� [��&- Formulación del problema.- Formulación de hipótesis.

RecolecciónTerminada la etapa de planeamiento, se procede a distribuir y a recoger los formula-

rios, controlando el número de formularios entregados y recogidos y, al mismo tiempo, � �� _�� &

"��$�� K��de campo o de recolección contempla, entre otros, los siguientes puntos:

- Supervisión- Control de encuestas- Revisión de los cuestionarios inconclusos- Calidad y consistencia de las respuestas

� �� $�� K��- Distribución de los entrevistadores

Algunos de los errores que se pueden presentar en la recolección de datos se clasifican en:� �� *�� #��&� �� *�� &

- Mal diseño del cuestionario.- Falta de instrucciones o imprecisas.

Pueden presentarse algunos casos que afectan la recolección de los datos y que deben ser corregidos:

- El informante no quiere suministrar los datos, alegando estar ocupado, motivos ��#��?�� $�� ?�� k� �� ?� ��&

- El informante no puede responder por problemas, como, enfermedad, incapacidad física, idioma, etc.

- La dirección del informante es errónea, o la unidad existente en el lugar no es elegible.- No hubo contacto con el informante, la familia estaba paseando, demolición del

��?�� ?� ��&


Procesamiento y análisisLa información obtenida debe ser ��% ��% �� *��,

�� >��&�"�� }��, tabulación, análisis e interpretación, informe y publicación.

- ��Cumplido el proceso de revisión de cada una de las respuestas obtenidas, se procede

a la �� ?� �� $�&�'k� ��_��-�� +�� ?�� ?�es decir, cada respuesta posible tiene el código impreso en el formulario.

Código es un número que sustituye la pregunta, cuando se va hacer el recuento. Por K ��?�� $��#��+��&

Usted es un trabajador Independiente...................1 Asalariado........................2

'[��?�� ?�� -�� ?�� }�01 Antioquia, 02�'��?�&&&?�32 Valle.

El proceso de revisión del cuestionario se denomina crítica?� ��+�� -�� _��?��k� �� [� �� u omisiones, incluso cuando los formularios han sido diligenciados por encuestadores �� +�k� � ��crítico puede subsanar directa-mente o pidiendo al entrevistador que vuelva a la fuente de información o recurriendo a la memoria del mismo.

- Tabulación�� ?�� $��$��+�� }

� �� ! �� _��k� �� $�&� �� ! ��W� �� k� �� _�� ! �� +�� ?�+�� k��?�� &

Cuando la tabulación se acuerda desde el principio, como parte integrante de la pla-neación general de la investigación, es de suponer que todo el proceso sea totalmente satisfactorio, lo cual ha sido demostrado por la experiencia.

El procesamiento�� _�� $�� crítica, o después de la ��&�� [� � ��_�� $�� listados, que deben � �� k� �� &�� $�[ �[�� ?�� elaborar los cuadros, con el �� _�� _��?� �� !��, conclusiones y recomendaciones, si las hay.


� Análisis e interpretación*�� informe?�+�k� � ��

� �� k� �� _�� K �� +�� [�� <�� ?� �� _#��?��el investigador tiene pleno conocimiento de los problemas inherentes al planeamiento de una investigación.

En este proceso se debe considerar la elaboración de distribuciones o tablas de frecuen-cias?�� >�� $�� _�� en forma de cuadros. Con los anteriores resultados se procede luego a hacer un resumen y a la aplicación de las diferentes medidas, que hemos denominado estadígrafos o estimadores puntuales, cuando son aplicados a las características de las unidades en la muestra o como parámetros� �� #�� ?� �� medidas de dispersión y los promedios, incluyendo en éstos los porcentajes y proporciones.

Con las cifras resultantes, se pueden hacer comparaciones con otros estudios, para poder llegar a mejores conclusiones. De esta última fase de la metodología se puede decir que encierra dos aspectos:� �� '��+� �� #�� &� �� '��+� ��>�� $�� &

*�� +�� los resultados obtenidos de la investigación.

� InformeFinalmente, se llega a la etapa de elaboración del informe, ya sea para uso interno de

la empresa o para terceros.

"�� +� �� _�� ?�� W�� -gación y a la culminación de los trabajos que la misma causó.

A pesar de que el informe constituye un todo indivisible, podemos considerar tres �� _ �� }�introducción, conclusiones, y apéndices.

- Introducción&�*�� _�� $�� K �� +�� ?�� K�� ?�� k� �� <�� ?�� k� �� #�� $�� &�^ �[��-�� k� ��K�� $�� ?��K�� K ��?� � �� >�� ?�� >�� $��<� �� ?��#�� -nario, las preguntas que dieron lugar, la indicación de la fecha en que se inició y terminó �� _��&�*�� ?� ��_�� +�� ?�� [�� `�� ?��+��?��+�otros resultados, consecuencia de la aplicación de métodos estadísticos.


- Conclusiones. Constituye la parte fundamental del informe, ya que en ella aparecen relacionados los resultados obtenidos, la confrontación con lo esperado, la exposición de �� +�k�>� ��k� �� &�*��_�� ?�� ?�� ?�� ?��+��k� �[��comprensible la explicación y, sobre todo, se deben presentar las recomendaciones.

- Apéndice. Integra toda la documentación que se ha citado en la introducción y en las �� ?��k� � �� +��_��k�� información contenida en el informe.

El profesor John W. Best en su libro Cómo investigar en educación nos da una posible ��#�� ?�� }

1. Título:+ ,�� -+ ,.� �� -

�&� *�� }+ ,"� $�� -�� ,�� -�� ,"� �� !��-�� ,/�� !�� $�� -+ ,"� �� -+ ,"� �� -

3. Revisión de la bibliografía relacionada:�� ,�� -�� ,"� �� $��*!�� -�� ,�� !��*��-

�&� �� $��}�� ,"� �� 0� ��-�� ,�� 0�-�� ,"� �� -�� ,"� �� -�� ,"� �� -�� ,"�� !�� -�� ,"� �� * � � ��-�� ,�� -

�&� '�� }�� ,�� !��-�� ,�� -�� ,�� !�� -�� ,"� �� -


6. Resumen y conclusiones:�� ,"� �� -�� ,"� �� -�� ,"� �� $��*!��-�� ,�� 1�� -�� ,/�� *�� 1�� $��*!�� -

� Publicación�� _� �� ?�+�� [� ��

las personas interesadas el resultado del estudio, teniendo en cuenta todos los aspectos considerados en el proceso, de tal forma que los datos sean comprensibles, con la corres-�� $�� &

*��>�� k� ��_�� }�� &�� K �� &�� k� �� k�� &�� `�� #��?�� +� �� &�

Proceso de selección de las unidades de información y de recolección.�� ^ �� _�� _��$�� ?�

� ��+�K��?� ��_��+��?�� k� �� &

�� *�� _�� ?�� apéndice, donde se ��+ �� ?�k� �� _�� &��>�� -taria al informe.


En este capítulo se quiere resaltar, que no todas las investigaciones requieren ser llevadas a cabo, debido al hecho de que en algunos casos se dispone de información, obtenida en investigaciones realizadas con anterioridad, por la misma entidad o por otras. En ocasiones dicha información puede ser considerada como complementaria a la nueva investigación.

Una investigación requiere en la primera etapa ante todo de un planeamiento, que comprenda:

- Fijar los objetivos de la investigación, determinando si el fenómeno puede ser observado mediante la aplicación de métodos estadísticos.

- Establecer la unidad o unidades de observación.- Determinar, si se trata de un censo o de una muestra.- Si la encuesta se va a hacer mediante entrevista, entrega personal del cuestionario,

por correo, teléfono, observación o panel.


- Elaborar el presupuesto.- Diseñar el calendario de trabajo.- Diseñar el formulario e instrucciones.- Seleccionar y capacitar a las personas que van a trabajar en la investigación.- Hacer una pre-encuesta.

A la segunda etapa corresponde:- Distribución y recolección de formularios.- 2�� 3�� !��- Se debe efectuar un control sobre la calidad de los datos.

La tercera y última etapa comprende:- Elaboración de códigos.- �� - Elaboración de cuadros de tabulación.- Selección del proceso de tabulación, si es manual o mecánico.- �� !��- Análisis y comparación de los datos. - Publicación.

Las etapas que requieren una investigación estadística, se sintetizan en la Figura 2.1.


Cuestionario o formulario Muestreo sistemáticoEncuesta por panel Marco teóricoEntrevista personal Números aleatoriosFormulación del problema Objetivo de la investigación

(�� (�� &�� Investigación descriptiva Preguntas cerradasInvestigación controlada Preguntas de controlInvestigación explicativa Preguntas de selección múltipleInvestigación interna Preguntas abiertasInvestigación exhaustiva o total Preguntas en bateríaInvestigación parcial o muestra Preguntas inductivas

4��!�� &��!�� Muestreo aleatorio simple Selección sin reposiciónMuestreo probabilístico Selección con reposición

'�� 5��0� �� Muestreo no probabilístico Unidad de investigación o de selección


�&� ^ �� siguientes observaciones:1.1La investigación preliminar permite:a) Establecer la hipótesisb) Determinar la muestra

c) Coordinar el personal de campod) Ninguno de los anteriores�&��'�� k� � ��?� ��

estadística requiere:a) Que exista un objetivo.�� [+��$�� c) Que se tenga un problemad) Ninguno de los anteriores

Figura 2.1. Etapas en una investigación (resumen)

FormularioFormulario

Listados

Archivo

Formulario

��K ��+�� Métodos de investigación: censo o muestraProceso de recolección

Planeamiento PresupuestoFormulario - Lista de informantesCalendario de trabajo - MapasEncuesta preliminar

Distribución del material Recolección Recolección� �� +� � �� W� �� _��

rios y calidad de la información

Procesamiento y análisis ��

� � � ��y recuento

Revisión

Análisis

Publicación


Formulario


1.3El costo de una encuesta por correo es generalmente:

a) Igual al de una encuesta por medio de entrevistas personales.

b) Mayor al de una encuesta por medio de entrevistas personales

c) Menor al de una encuesta por medio de entrevistas personales

d) Imposible de medir en relación con el costo de una encuesta por medio de entrevistas personales.

1.4En el diseño del cuestionario las pre-��_#�� }

a) Al principio, para salir inmediata-� �� _#��&

b) En el centro para que sean precedi-��+�� _��

��'��?� �� k� �� [+� ��-�� $&�

d) Ninguna de las anteriores.

�&� �� _��?� � �W�� caso:a. Código es la representación cualita-

tiva de un hecho cuantitativo.b. Las instrucciones permiten diligen-

ciar mejor el formulario�&� �� _��

��$��&d. Un formulario debe llevar una sola

clase de preguntas.e. La recolección de datos se puede

hacer únicamente mediante la ob-servación directa.

f. Después de elaborar el formulario se � �� K �� &

g. Al recolectar información por medio de entrevistadores, se tiene la ventaja de que éstos pueden observar el sitio �� &

h. Se conoce como fuente primaria aquella donde se obtuvo inicialmen-te la información, directamente a la persona o entidad.

i. Al diseñar un cuestionario no es de gran importancia la forma como se hace la pregunta, siempre que ésta sea clara.

j. No hay posibilidad alguna de que en una encuesta por correo se in-terpreten mal las preguntas de un cuestionario, siempre y cuando la persona que la conteste sepa leer.

k. El examen de la documentación y metodología se efectúa después de tabulada la información.

3. Se ha dicho que en una investigación se �� k� ?�� $?�� _� �&� �� son? ¿Podría usted reagrupar los títu-lares de este capítulo en un índice de temas de acuerdo con estas etapas?

4. Mencionar algunos aspectos técnicos y materiales que deben tenerse en cuenta en el diseño de un formulario.

SUMATORIA SIMPLE

6

1i

iX

=∑

Capí

tulo

Capí

tulo

33 at ias d ct iasat ias

d ct ias

Nos encontramos frecuentemente en estadística con la suma de un ��W� �� >��&�� ?� �� #��[��&�̂ �� k� �� números y se desea sumarlos:

"�� -��$��+��?� �� &

Donde a, b, c,...,f,�� }��?��?��?&&&?�[�� ?�k� � �� &�� W� �� [� �� ?�� _� ��?�� [#�k� ��

i,�� &

'�#?� ��}� ��#�� }��

�� [�� ̂ �� _� �� ?� �� sigma (��?�k� �� ?�� n términos. Entonces:

*�� $��i �� $�� i�� $��?�

� � �� `�� }�1=

∑n

ii donde:

61 3 4 5 6

1i

iX X X X X X X

== + + + + +∑

10 1 18 13 5 65= + + + + + =S

= + + + + +S a b c d e f


�� #�� sumatoriai elemento genérico de la sumatoria��#�� _ ��

"�� ?� ��K��?�� sumatoria de i 1 hasta n de i

En el caso de utili ar a i�� k� �� k� �� ?�� #�� _ ��[�� #�� &�� #�� ?�� }� 1 2

y la sumatoria sería:

*�� k� �� #�� i �^�� ?�� i toma ��?�� [ �[�?�� ?�� ?��?��?��?��?��?�� &�*�� ?�� $�� i �� -�� ?��[�� #}

Cuando la sumatoria tiene el término i�� >��?�� k� �i toma �� ?� ��_��?�� #�� _ ��[�� &

'�#?�� K ��?�� #�� +� ��_ �� }

ii=∑ = + + + + + =

1

6

1 2 3 4 5 6 21

^�� ?�� #�� _ ��_ � �� }9

55 6 8 9 35

ii

== + + + + =∑ i

i= + + + + =

=∑11

8 9 10 11 45

��>�� #�� >��

suma:6

3 4 5 63=

= + + +∑ ii

A A A A A A A A A Aii=∑ = + + +5

3 4 5

*�� $�� i�� #��?�� K ��j:6

34

== + + + =∑

iK K K K K K

53 4 5j

jA A A A A

== + + +∑

63 4 5 6

3== + + +∑ i

iA A A A A

� �� }4 1 3 4

11 3 4 1 4 56 88i

ii

== + + + = + + + =∑

4 1 3 4

14 8 16 30

== + + + = + + + =∑ i

i

61 3 4 5 6

1i

iX X X X X X X

== + + + + +∑

6

110 1 18 13 5 65i

iX

== + + + + + =∑

CAPÍTULO 3. SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS 35

ii 1

4

1 3 4=∑ = + + +

X X X X Xii=∑⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= + + +[ ]1

4 2

1 2 3 42

Propie a es e la sumatoria'� �� $�� esta-

dística?�� k� �� >��+�� &

- La sumatoria de una constante , desde uno hasta n, es igual a n veces la constante:

1...

== + + + + =∑

n

iK K K K K K nK ��*K ��}� ( )

6

34 8

== + + + = =∑

i

� �� $��k� �1=

=∑n

iK nK �+�k� ��

�#�� _ �� &�^�� _ � �� _��}6

3 4 5 63=

= + + +∑ ii

A A A A A ��^�}��A� A4 A� A�

� �� ?�� $��Ai�� ?�� }�6

34

== + + + =∑

iK K K K K K

'[�� ?�� }� ( )6

34 8

== + + + = =∑

i

- La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 3 ... 1 3 ...=

= + + + + = + + + +∑n

iKi K K K K n K n

*K ��}� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

11 3 4 5 4 6 8 10 30

== + + + + = + + + + =∑

ii

^� �� `�� }� ( ) ( )5

11 3 4 5 15 30

== + + + + = =∑

ii

- La sumatoria de dos o más variables, entre paréntesis es igual a la suma de las sumatorias de cada una de las variables ley distributiva :

( ) ( ) ( )1 1 1 11

...=

+ + = + + + + + +∑n

i ii

X Y Z X Y Z X Y Z

^� �� ( )11 1 1 1= = = =

+ + = + +∑ ∑ ∑ ∑n n n n

i i i i ii i i i

X Y Z X Y Z


Fórmulas especiales sobre sumatorias*`�� _��especiales�k� �� n��W� ��?�

�� +�n?�� &

a) ( )

1

1=

+=∑

n

i

n ni

*K ��}�10

11 3 4 5 6 8 9 10 56

== + + + + + + + + + =∑

ii

( ) ( )10

1

10 10 1 10 11 110 55=

+= = = =∑

ii

��

( )( )1

1 16=

+ +=∑

n

i

n n ni

*K ��}�

10

11 3 4 5 6 8 9 10 385

== + + + + + + + + + =∑

ii

( )( ) ( )10

1

10 10 1 0 1 110 1385

6 6=

+ += = =∑

ii

c) ( )3

1

1=

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑n

i

n ni i

i

3

1

5 5 5 1 30 15 5=∑ =

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

( )

PRODUCTORIA

^ ��$�� +W��?�k� �� producto de?�� ?�� >�� ?�k� �� ?� ��>�� K��+� �� `�� #�� _ ��+�� k� ��[�� &�'�#}

jj=∏ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1

51 3 4 5 1 0

3

11 3 1 4 9 36

== ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =∏

ii

3

11 3 36

== ⋅ ⋅ =∏

jj

41 3 4

1== ⋅ ⋅ ⋅∏ i

iX X X X X

"�� $�� #� ��#�� >��&

CAPÍTULO 3. SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS 37

Propie a es e la pro uctoria�� ?��>�� -

�� &

- La productoria de una constante es igual a una potencia, donde la base es la constante y el exponente es el límite superior del producto.

<� � *K ��}��

- El producto de una constante por una variable es igual a la constante elevada al límite superior por la productoria de la variable:

( )( )( ) ( )1 31

...=

=∏n

i ni

KX KX KX KX KX

( )( )1 3

1... ...

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∏

nn

n ii

K K K X X X X K X

[ ] ( )

3 33

1 18 1 3 8 6 48

i ii i

= == = ⋅ ⋅ = =∏ ∏


La sumatoria se simboliza por una letra griega denominada sigma � , la cual indica la suma de las cantidades u observaciones que siguen al símbolo.

La productoria se simboliza por otra letra griega denominada pi � , indicándonos el producto de las cantidades u observaciones que siguen al símbolo.

n "#�� Sumatoria

1=Σn

ii i 1 "#�� _ ��k� ��

i �� *� � �� >�� ∑

� �� ̂ �� érminos

� Producto de los términosProductoria

1=∏

n

ii i "#�� _ ��k� ��

n�� "�� k� ��


Sumatoria Sigma � Productoria pi �


�&� ! ��

a) � � ��6

3=∑i

i c) d)

e) f) g) � � [��

i) � K�� k)

�&� *`�� }

a) ��

c) X� X4 X�� X� d) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 6⎡ ⎤− + − + − + − =⎣ ⎦X X X X

e) f)

�&� �� `�� }�

a) �� c) d)

� ^� �� 4 ��<�� <�� 4��<�� <��

�&� � �� +�� }

a)4

1=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ii

X � � �� c)

d) e) f)

g) � � [�� i)

� ^� ��}� �� 4�� 4 �� 4��

�&� ! �� }

a) � � �� c)

d) ( )5

11

=−∏

ii e) f)

3

1

1=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∏i i


a ación de ta as c ad s

Capí

tulo

Capí

tulo

a ación de ta as c ad sObjetivos

Contenido

44

CARACTERES

Se vio en los capítulos anteriores, que la estadística es un conjunto de técnicas o métodos que permiten la observación, recopilación, ordenación, descripción, y an lisis de un fenómeno. La elaboración de tablas o cuadros, facilita el an lisis y la presentación de la información.

�� ?�� ?�� k� ��?�� caractereso características�k� �� ?�� K��de lo observado. Las características de un fenómeno pueden ser: cualitativasy cuantitativas.

Las características cualitativas, denominadas también atributos, son todas aquellas que se puedan describir mediante palabras. Por ejemplo: las ventas, (envalor o cantidad�?��sucursales (Tabla 4.1), por días, meses, etc. �� &��<��de aceite de uso doméstico las exportaciones por puertos el número de compra-dores, en un día, por departamentos, en el almacén . En los ejemplos anteriores

�� {� �� elaboración de un cuadro

�� '�k�� [�� _� �� ?�utili ando las diferentes técnicas existentes.

�� {� ��+�� ?��+�_� �� &

�� #�� >�� !�� _� ��


las características cualitativas son: los nombres de las sucursales, los días, meses, cargos, marcas, puertos, departamentos, etc.

Las características cuantitativas, denominadas también variables, son aquellas sus-ceptibles de ser expresadas numéricamente.�"�� sueldos o tiempo de servicios los di metros de los tornillos producidos por una f brica el número de viajes, en el mes, reali ado por buses de servicio público (Tablas 4. ) el número de sucursales por volumen de ventas��&��<�� [��?�� fabricadas por una empresa estos son ejemplos de variables, las que a su ve , teórica-mente?�� discretas y continuas.

Ser discreta si la variable admite únicamente valores numéricos enteros por ejemplo, �� _�� W�� W� �� k��?�� <� �� no se presentar n fracciones de m quinas, telas o empleados.

Se trata de variable continua si admite valores fraccionarios. Son consideradas como �� `�� _�� ?�� ?��?�� ?�� ?�� ?��&��'� ��?�� `�� ?�� -tajes, tasas, puntuaciones.

^ �� k� � �� k� ��?�+�k� ��continua puede adop-�� discreta, pero su presentación tendría el inconveniente de [� �� ?�� #��&

Por tal ra ón, en la variable continua, se elaboran intervalos�� su ordenamiento y presentación.

Tabla .1 Tabla .1a ��

SUCURSALES VENTAS (Mill ) CARGOS CANTIDAD

� � �� '��

� �[��

� �[��

Lago 31 Secretaria 3Quiroga 54 Supervisor 5

� � ��

Total� �� Total 55

CAPÍTULO 4. ELABORACIÓN DE TABLAS O CUADROS 41

Tabla .2 Tabla .2a��

��!��"�� !��!��

No. VIA ES No. VENTAS No.MENSUALES VEHÍCULOS (Millones ) ALMACENES

� �� &�� &�� &��

Total� �� Total � ��

"��&��+��&�� K �� &�� k� �� [� �� ?�� W� �� K �� [ �[�� [#�� W��?��#�� -$�� k�� &�"��&�� discreta ya que no se puede fraccionar el número de viajes. En la Tabla 4. a se presenta la variable continua, que sí admite fracciones, como centavos.

�� $�� #�� en la investigación, se dice que la variable o el atributo corresponden a una distribución unidimensional. Ejemplos de distribuciones unidimensionales en las Tablas 4.3 y 4.3a

Tabla .3 Tabla .3a�� "��

��!�� #��

MARCA CANTIDADNo. DE ARTÍCULOS

No. DE CA AS DEFECTUOSOS

� �� "��+� �� %��

� ��+�� K� �&��

Total� �&�� Total 35

�� K�� ?��?�� +�un atributo, se trata de distribuciones bidimensionales.

� �� &��+��&�� K �� ?��-li ando en su elaboración atributos y variables.


*�� #�� ?�� [�� distribución pluridimensional o multidimensional<�� #� �� de una empresa por sucursales, valor y semestres.

Tabla .��!��$��

Ventas (en cientos de unidades)Marca Trimestres Total

1 3 4� '� �� &�� &�� &�� &�� !� �� &�� *� �� &�� |� �� &��

Totales� �&�� &�� &�� &�� &��

Tabla .��!��$��

A%��!��Salarios Total

��

� ��&��?��&�� &��?��&�� &��?��&�� &��?��&�� &��?��&�� &��?��&��&��

Totales� ��

T CNICA EMPLEADA EN LA ELA ORACIÓN DE UN CUADRO

�� [� �� ?�� características que interesa anali ar, es necesario, establecer, primero que todo, algún �� &�� K ��?�� #�� [� �� orden alfabético tal es el caso de ordenar las ven-�� $�� k� �� }�� ?��[�� ?��[��?�*��"��?� ��&��#�� >�� &

'� �� de una característica por orden alfabético�� [� ��en forma cronológica o histórica en forma convencional o en forma de importancia.


Las series cronológicas son distribuciones bidimensionales, donde la primera variable corresponde al tiempo: años, trimestres, meses, semanas, o días. Puede verse en la Tabla �&�� K �� <� �� _ �� #��&

Tabla . .��!��&'�**+-�*��

A OS VALOR/��5:

� �� &�� &�� &�� &�� &��

� �� &��

*�� #�� $��escalas numéricas.Estas pueden ser de dos clases: escalas proporcionales, en la variable discreta, y escalas de intervalos, en la variable continua.

��[+�k� ��k� �� cuadros o tablas, corresponden a arreglos sistem ticos � ��&�"�_�� [�� &�'�� k� �� K�� ?��#�� pueden observar y aplicar si algunas de las recomendaciones, que en forma muy general, � �[��[ �[��+�� [�� }

- El cuadro debe ser lo m s sencillo posible, siendo, preferible la elaboración de dos o m s cuadros, en ve de uno solo que contenga demasiados detalles respecto a las características examinadas.

- Si en una publicación o en el informe se tienen dos o m s cuadros, estos deben ser �� ?��<��?�� &

- Todo cuadro debe tener un título, claro y conciso, que responda a los interrogantes: Qué, cómo, dónde y cuándo�� [�$�?�� K ��}�Encuesta sobre precios de artículos de primera necesidad en el barrio 2 de julio - ogotá- mayo, 2 12.��[��#�� k� �� [�#�� }¿Qué es? Se trata de una investigación sobre precios de los artículos de primera necesidad.

� �� [�$��^ �� $�� &� �!�� [�$��*�� K�� &� �� [�$��!�� +�� &

El título?��#�� ?�� k��>�� }��de casa, comerciantes, minoristas, etc.

- El título debe separarse un poco del cuadro, dejando por lo menos dos espacios de �� &�'�� k� � ��#��


del cuadro en tal forma que el lector se entere de inmediato sobre su contenido otros son partidarios de colocarlo debajo.

- El encabezamiento de un cuadro contiene los títulos y subtítulos de las columnas. Lostítulos y subtítulos deben diferenciarse en su tipología.En el encabezamiento del cuadro se puede colocar una columna para totales, que puede ��?��?�� $k�� [&��>��totales pueden ubicarse en la parte inferior del cuadro, pero dentro del mismo. En el �� $�� [� �� &

- El cuerpo del cuadro corresponde a la parte numérica, información o contenido. Si la primera columna del cuadro se utili a para describir una característica cualitativa, los nombres que toma se ubicar n en las diferentes líneas, pudiéndose usar letras mayús-��W��?�� ?�[�� $�� columna, en caso de que no se tengan los renglones tra ados.

TÍTULO TÍTULO MA SCULATOTALEncabe amiento EN MA SCULA ;��

��

FuentePie Llamadas

� � � �� ?� ��&

Se debe tener cuidado con el contenido (cuerpo) del cuadro, ya que si no se conoce la información o cantidad, el espacio correspondiente no debe dejarse en blanco o colocar � ��+� �� _��&�'[��?�� _��?�� [� ��?�� [�� &

Se presentan a continuación algunas convenciones utili adas en algunas publica-�� &

� �� _ �� &&&�� [+��_�� _��

Totales...

�� T TUL (¿Qué?, ¿cómo?, ¿dónde?, ¿cu ndo?)


� Estimaciones�� {�_��

( - ) Sin movimiento�� !�� &

�� *�� +�� K��#� ��_� �� #� ��que las utili adas en el interior del cuadro. Por presentación no se cierra a los lados.

�� ! � �� $�� características. En el caso de que se quiera presentar cifras relativas o porcentuales, no se excluir n del mismo las respectivas frecuencias absolutas.

�� Pie. Ser utili ado el espacio debajo del cuadro, para dar referencia al origen de ��?� �� ?�� _� ��&�'� ��?�� `�� -�� ?��#��$��<��>�� [�� _� �� ?�[�� la fuente, autor, p gina, etc.

DISTRI UCIÓN DE FRECUENCIAS

La tabla de frecuencias�� _�� que toman las diferentes características, en tal forma que permitan al lector tener una visión de conjunto, aclarando el texto del informe o complement ndolo. Bajo este prin-�� +�� #��+¡��cuantitativas, indic ndose el número de veces que se repiten.

Atributos

No nos detendremos en la elaboración de tablas ni en el proceso de an lisis que se sigue en el caso de atributos o de aspectos cualitativos?�+�k� �� se concentra en el estudio de fenómenos cuantitativos o variables. Solamente se presentar ��#�� K ��&�� _��?�indic ndose el número de veces que el atributo se repite, que se le denomina frecuencia de ocurrencia. La proporción, se obtiene dividiendo al número de observaciones en cada caso por su total, y se le conoce con el nombre de frecuencia relativa de ocurrencia.

Es importante destacar, en el caso de atributos, que la característica puede ser anali-ada, en parte, mediante el c lculo de ra ones y porcentajes, y, al igual que las variables

�� #��?�� &

�


Tabla .<!��' ��*��

ANDERAS TA ULACIÓN No.

� �� ¡¡¡� �� ?�� {�� ¡¡¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡¡� �¡� �� ?��

{�� ?��Japonesa ¡¡¡¡� ¡¡¡�� ?��Liberiana ¡¡¡¡ ¡¡¡¡� ¡¡¡� �� ?��Noruega ¡¡¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡¡� ¡¡¡� �� &��Panameña ¡¡¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡¡� ¡¡¡� �� ?��

� � � $�� ¡¡¡¡� ¡� �� ?��tras naciones ¡¡¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡¡� ¡¡¡� �� ?��

Total �� **=**

Variables� ��[�� _� �� ?�� discreta

como para la variable continua. Pero antes se presentar la simbología que se utili a en la elaboración de estas tablas, necesarias para el c lculo de las diferentes medidas que se aplican en el an lisis de los datos.

N Tamaño poblacionaln Tamaño de muestra

i� �� #��?�� ni Frecuencia absoluta. Número de veces que se repite cada valor de la variable.hi Frecuencia relativa. Se obtiene dividiendo cada frecuencia absoluta por el

tamaño de la muestra o el tamaño poblacional.Ni Frecuencia absoluta acumuladaHi Frecuencia relativa acumuladam Número de valores que toma la variable, número de marcas de clase, o

número de intervalos.� ��

Los intervalos en que se divide la variable continua. Siendo el límite inferior y el límite superior del intervalo.�� '��

ariable discretaLa elaboración de una tabla de frecuencias, la explicaremos mediante un ejemplo:

��k� �� K�� >��+�� &


^ �� `��K�� W� �� k� �[��_�� _ �� ?�� _��[�� &�� ?� ��_#��+�� ?�� ¢�� K�<��K�� &

N�� K ��n� �� (tamaño de muestra)

��K�� ?� ��_�� ?�� $��xi (minúscula en la muestra y mayúscula en la población), donde el subíndice i�� [��?�� x1 la primera caja seleccionada, x �� ?�+��#�� &��`i tendr como valor el correspondiente a la característica examinada en este ejercicio le corresponder ��W� �� _ ��&

Tabla .>��

1 6 11 16 1 6

1 1

3 8 13 18 3 8

4 9 14 19 4 9

5 10 15 0 5 30

3 01 3 31 1 3 0 10 1 3 4 13 4 3

x x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x x

= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =

"�� _�� ?�� [�� ?�datos sin agrupar o datos originales.

Tabulación. En este proceso se requiere, en primer lugar, determinar los valores que �� &�� &�?�� W� �� _ ��K� `��?� ��k� �� ?�?��?��?�� &��&

En las columnas de tabulación se muestra dos formas de reali ar el conteo manual, sobre el número de veces que se presenta cada valor que toma la variable cada raya co-�� ?� ��[� �� +�?�� ¡¡¡¡¡¡¡?�k� �� k�� ?�� [#�k� �� _ �� formar grupos de cinco rayas (¡¡¡¡ ó ), con lo cual disminuye la posibilidad de error.

�� _�� [�#��k� �� k�� -��[+��?�� #�� k� ��k� �� ?�� $�� &��?��k� �� $��por la frecuencia absoluta, con la posibilidad de agregar otra columna, correspondiente a la frecuencia relativa, la que nos indicar la distribución porcentual. En el mismo cuadro, �� K ��?�� k� � ��¢�� K�� _ ��?�� K �


que se obtiene al dividir la frecuencia absoluta (tres) por el tamaño de la muestra (treinta), +�� &

3 100 1030 × =

! �[�� ?� �� k�� #��?�prescindiremos de los títulos que llevan las columnas y lo reempla aremos por símbolos, facilit ndonos de esta manera la explicación de las diferentes medidas.

La variable discreta la simboli aremos por yi (minúscula para la muestra y mayúscula para la población), donde el subíndice i?�� [��m (número de valores que toma la variable). Siendo m 5, se tendr : y1 y y3 y4 y5.

?��@��*?��#��'��

N MERO DE FIGURAS TA ULACIÓN N MERO DEDESPERFECTAS 1 . Forma 2 . Forma CA AS

�� ¡¡¡� � �� ?��1 ¡¡¡¡�¡� � �� ?��

¡¡¡¡ ¡¡¡¡�¡¡� � �� ?��3 ¡¡¡¡�¡¡� � �� ?��

� �� ¡¡� � �� ?��

Total� � � �� ?��

Tabla .11 Tabla .12 ?��#�� >��#��

yi ni� [i Ni Hi yi ni� [i Ni Hi

y1 n1� [1 N1 H1 �� ?�� ?��y n � [ N H �� ?�� ?��y3 n3� [3 N3 H3 �� ?�� ?��y4 n4� [4 N4 H4 �� ?�� ?��y5 n5� [5 N5 H5 �� ?�� ?�� ?�� ?��

'� ��?��frecuencia absoluta se simboli ar por ni, al igual que en yi, donde i toma �� [��m. tras columnas que podr tener la tabla de frecuencias, depen-diendo de la necesidad que se tenga en cada caso particular, son hi (frecuencia relativa),


Ni (frecuencia absoluta acumulada), Hi (frecuencia relativa acumulada). Los anteriores símbolos se presentan en la Tabla 4.11.

��$��_�� &��?�� _� �� ?�relativas y acumuladas, tal como puede verse en la Tabla 4.1 .

El c lculo de la frecuencia relativa se efectúa en la siguiente forma:

Se tendría que:

(se aproximó)

55 0,0 ó30= = =nh n (se aproximó, de tal manera que si sumamos las anteriores

frecuencias relativas el resultado ser 1).

^ �� &��?�k� ��_� �� ?�k� �� K�� `��?�� _ ��<�� K�� _ ��?�+��#�� &�"�_� �� ?�� >�� ?��#}��¢�� K�� `�� _ ��?� ��¢�� K�� _ ��?� ��&

La obtención de las frecuencias absolutas acumuladas�� [� �� sucesivas, las que se simboli an por Ni. La columna de Ni no se suma, y la última fre-cuencia absoluta ser igual a n.

'��k� � ��_� �� ?�� las frecuencias relativas acumuladas:

5 1 3 4 5 4 5 1,00= + + + + = + =H h h h h h H h

Ejercicio. La f brica de gaseosas La Sed proyecta lan ar al mercado un nuevo sabor. Se � ��$�� [�� ?��$��

hinin

h1 h H1 h ��?��


�� ?�� &�"�� niños fueron los siguientes:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

La m� �� W� �� `��?�� años, pertenecientes�� *��*�>�� &

� ��

c) ¿La característica es cualitativa o cuantitativa?� �� ! �k�>�� _�� _� �� &� �� m?� [�� ! � �� }�y y5 n1 n4 h h5 N� N� H4 H�

Solucióna) Niñ�� `��?�� ?�

del barrio el Eden.�� "�� _��?�� +��c) La característica es cuantitativa (variable).d) La variable est dada por puntos de aceptación del nuevo sabor �� "�� ?�� $��W� �� ?��

fracciones.f) La tabla de frecuencias ser :

yi ni i i i

�� ?�� ?�� ?�� ?��

�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

�� ?�� ?�� ?��

��*��W� �� k� �� &��m��[�� y 3 y5�� n1 3 n4 3 h ��?�� h5��?�� N��


ariable continua�� K�� N �� +� � � ��

� �� K��n �?�� ¢?�� en kg de cada caja. La información sobre el peso de cada caja, se da en números enteros �� K�?��k� �� $�� _��+��$��?�� &

Tabla .13>��

x1�� x�� x13�� x�� x 5 5x �� x�� x14�� x�� x��x3�� x�� x15�� x 1�� x��x4�� x�� x�� x 55 x��x5�� x11�� x�� x 3�� x��x�� x1 �� x�� x 4�� x��

En la elaboración de la tabla o cuadro de frecuencias, se deben observar los siguientes pasos:

a) Se determina el valor m ximo y mínimo que toma xi:

�� "��_ � ��k� �[+� �� `��+� ��#�� rango o recorrido:

x x rango o recorridomax min− = � � � � � � ��

�� ^ �[� �� W� �� m) que se utili ar para agrupar los datos:m número de intervalos o marcas de clase.

Una de las formas de obtener m es aplicando la regla de Sturges, con la cual se obtiene una aproximación aceptable sobre el número de intervalos necesarios para agruparlos.

m 1 3,3 log n

'��[�_�� K �� K�?��+��_�� en la Tabla 4.13 se tendr :

m ��?�� m��?��?��?��?��

El número de intervalos, de acuerdo a la regla de Sturges?� �� &��$-remos en nuestro ejercicio seis intervalos (m��&


En la pr ctica m�� _�� ?�� }�� estudio, grado de variabilidad de los datos, necesidad de efectuar comparaciones. En todo caso, se recomienda que el valor de m��[�� ?�� ?��+�� &

d) Una ve determinado el número de intervalos, se debe decidir sobre el valor de la amplitud para cada intervalo:

'�� C, no es necesario que ésta sea igual para todos los intervalos, �� &�̂ �� ?�� y de funcionalidad, se puede considerar el valor de C constante para todos los intervalos. !��[�� _�� }

en nuestro ejercicio se tendr :

Para facilitar los c lculos se aproximaría C��?�� W� �� superior por pequeña que sea la fracción por lo tanto se altera el valor del rango. Si re-cordamos que m _� ��K��+�� ?�� }

�� [��

*�� ?�� &�*�� -tribuido ojal proporcionalmente, sumando unas unidades al límite superior y rest ndole ��#�� _ ��&�"�� k� �� [� �� incremento se exponen a continuación.

��k�� #�� ?�� _ �� [�� _��&

m x - mín Recorrido

� � � ��

86

8 486

= ⇒ =rango


,,

Esta es la ra ón por la cual se tomar como: y

e) La columna correspondiente a la variable continua se simboli ar por (ambas minúsculas para la muestra y mayúsculas en la población).

límite inferior del intervalo límite superior del intervalo

f) La Tabla 4.15 sobre frecuencias se basa en la información de la Tabla 4.13 y corres-�� K�� `��&

Para la elaboración de los intervalos, se inicia con la determinación del valor de min

�� ?�� ?� �� #�� _ �� ,iy )

del primer intervalo, luego se procede a agregarle el valor de la amplitud para así obtener el límite superior ( ,

iy ), que ser a su ve el límite inferior del segundo intervalo, al cual se le agrega nuevamente el valor de C para obtener el límite superior del segundo intervalo, +��#�� [��_�� &

Tabla .1

;��#��=��$��

ni hi Ni Hi yi marcas de clase

y y, ,0 1� n1� [1 N1 H1 y1

y y, ,1 � n � [ N H y

y y, ,3� n3� [3 N3 H3 y3

y y, ,3 4� n4� [4 N4 H4

y4

y y, ,4 5� n5� [5 N5 H5

y5

y y, ,5 6� n�� [�� N� H� y�

�� ?��

i-1� i fi fi n Fi Hi i


Tabla .1 ?��#��

Tabulación ni hi Ni Hi yi

� ��?� - 54 ¡¡¡� �� ?�� ?�� 54,1 - �� ¡¡¡¡�¡� �� ?�� ?�� ?� - �� ¡¡¡¡ ¡¡¡¡� �� ?�� ?�� ?�� ¡¡¡¡�¡� �� ?�� ?�� ?�� ¡¡¡� �� ?�� ?�� ?� - �� ¡¡� �� ?�� ?��

�� ?�� -

Se observar también que a cada uno de los límites inferiores de los intervalos se les �� ?�?�� _�� ?��#�� K ��x� �� #�� ?��+�� ?��?�� k� � �� [�� ?�� +��&�

! � �k� �� k� �� +�k� � ��?�� W�� +��&

��_�� _�� &�� }

yi-1 - y i

��?�� ?�� ?�� ?�� ?�

� ��?�

Es este caso el valor de x��k� �� ?�&

En las tablas de frecuencias (Tablas 4.14 y 4.15) la columna simboli ada por $i se denomina marca de clase, la cual sirve para facilitar el c lculo de algunas medidas de posición y de dispersión. El c lculo de estas marcas de clase se puede obtener de tres formas diferentes:

�&� �� #�� }

y y y1

0 1 46 54 50=+

=+

=, ,

,,


y y y1 54 6 58=+

=+

=, ,

y y y3

3 6 0 66=+

=+

=, ,

. . . .. . . .. . . .

y y y6

5 6 86 94 90=+

=+

=, ,

�&� ^�� ?�� de clase, de acuerdo con el método anterior, luego se le va sumando el valor de la amplitud, tal como se presenta a continuación:

y y y1

0 1 46 54 50=+

=+

=, ,

y y C1 50 8 58= + = + =

3 58 8 66= + = + =y y C

4 3 66 8 4y y C= + = + =y así sucesivamente.

�&� ��>��[�� ?�� intervalo por dos, luego, este resultado se le suma al límite inferior del respectivo intervalo, o se le resta al límite superior.

,1 0

846 46 4 502 2Cy y= + = + = + =

y y C1 54 8 54 4 58= + = + = + =,

,3

86 6 4 66Cy y= + = + = + =

y así sucesivamente.

Nota. En una variable, ya sea discreta o continua, cuando las frecuencias absolutas y las relativas equidistantes a un valor central son iguales, se dice que la distribución es simétrica�� &��+��&��&


?��@��D ?��@��+ ��

yi ni hi y yi i� �1, , ni hi

�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

�� ?�� ?��+�� ?��

if if n �� ?��

i i� �1, ,

if fi ¡n

"��

1. Los siguientes datos, corresponden a una distribución de frecuencias, de los gastos en �� ?�� &�!��[�� constante, de la cual se sabe:y1 3,5 ��?�� n1 4 N �� n3 5

Se pide elaborar una tabla de frecuencias.

Solución:

,0 1

1y C y+ = Reempla ando ,0 0,5 3,5y C+ =

, ,0 44y C y+ = Reempla ando ,

0 4 8, 5y C+ =

Si al límite inferior del primer intervalo le sumamos la mitad de C se obtendr la �� &�'[��?��#�� C, se obtendr el límite superior del cuarto intervalo.

^ �� &�'[�� C, mul-tiplicando a la primera ecuación por -1 y luego se la restamos a la segunda ecuación:

,

,4 8, 5

0,5 5, 53,5 5, 5

+ =− − =

=

o

o

y Cy C

C5, 5 1,53,50= =C

i

,4y


h nni

i�

h nn1 = 1

80,04n

=

8 000,04

n = =

33

nhn

=

( )3 3h n n=

( )( ) 30, 1 00 n=

3 4n =

n n2 5+ = 62

4 6n + =

6 4 0n = − =

6 0n n= =

3 3

3

3

1. 60(4 ) 1. 60

1. 60 304

==

= =

y ny

y

, ,

, ,

yi ni Ni hi Hi

�?�� - ��?�� ?�� ?�� ?�� 4, 5 - ��?�� ?�� ?�� ?��?�� - ��?�� ?�� ?�� ?��?�� - ��?�� ?�� ?�� ?��

�� ?��

�&�� ?�� _� �� k� ��distribución es simétrica.m��<� n1��<� n n5��<� H��?��<� C��<� h3��?��<� y3n3��&��

;��

a) H� H��[�� b) c)� �?��?��[�� [��?��?�� [��[1��?��

d) e)

yi-1 - yi yi ni Ni hi Hi yi ni

5,1 - �� ?�� ?�� 15,1 - �� ?�� ?�� 5,1 - �� ?�� ?�� &��

35,1 - �� ?�� ?�� &��45,1 - �� ?�� ?�� &��55,1 - �� ?�� ?�� &��

� ��?� - �� ?�� ?��

�� ?�� &��

i�1� i i fi Fi fi n Hi i fi

3 5 42n n= =

y yi i− −1, ,


_�� #�� _ ��

y ��+1��y3��+ ��y3��+4��y4��+5��

así sucesivamente.

[�� #�� , ,0 1 5 10 15y C y+ = = + =

(límite superior del primer intervalo), ,1 15 10 5y C y+ = = + =

(límite superior del segundo intervalo)

PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS

- Las frecuencias absolutas son números enteros.- La suma de las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra (n) o al de la

población (N):

n n n n n ni mi

m= + + + + =

=∑ 1 3

1... n ni

i

m=∑

=1

bservando la Tabla 4.1 se tendr que:5

1 3 4 51

ii

n n n n n n n=

= + + + + =∑5

13 6 1 30i

in

== + + + + =∑

- Las frecuencias relativas son números fraccionarios:� ��£�[i�£��

- La suma de las frecuencias relativas es igual a 1:

h h h h hi mi

m= + + + +

=∑ 1 3

1...

� �� &�� k� �� [i es igual a 1:

51 3 4 5

11 0,10 0, 0 0, 40 0, 3 0,0 1i

ih h h h h h

== + + + + = = + + + + =∑

(límite inferior del primer intervalo),1 0 5 15Cy y= − = − =

(límite inferior del segundo intervalo)

,0 1 10 5 5Cy y= − = − =


- El último término de las frecuencias absolutas acumuladas es igual a n:

Nm n N5��

- El último término de las frecuencias relativas acumuladas es igual a 1:

Hm 1 H5 1


La observación de los hechos no tendría importancia si los datos recogidos no se �� &�� observación se requiere determinar la característica, si es cualitativa o cuantitativa la primera se denomina atributo y la segunda variable. La variable puede ser discreta o continua.

La variable discreta admite únicamente valores enteros y la continua considera va-lores fraccionarios.

Las columnas de las tablas o cuadros utilizados en los cálculos estadísticos, se iden-��

De acuerdo con el número de atributos o variables que tenga un cuadro, se dice que corresponde a una distribución unidimensional, bidimensional o pluridimensional.

?F��

�&� �� _��?�� W�� }

�� *�� K�k� � ��W� �� k� �� _� -cuencias no debe ser menor de 1 .

b) Para calcular la marca de clase, se suma el límite inferior del intervalo al límite superior y se divide por dos.

�� [+��_ � �� +�� &

AtributosAmplitudCaracterísticasCaracterísticas cualitativas Características cuantitativasDistribución de frecuenciasDistribución unidimensional

Distribución bidimensionalDistribución multidimensionalFrecuencias relativasFrecuencias acumuladasIntervaloLímite superior del intervaloLímite inferior del intervalo

Marcas de claseango o recorridoegla de Sturges

Tablas de frecuenciasariablesariables discretasariables continuas

� � � � � � _ � W �

"��


�� !�� _� �� }� ��modo de facilitar el entendimiento de la naturale a de la distribución y el presentar los datos en una forma conveniente para su uso posterior.

e) El número de accidentes de trabajo según las causas es un caso de variable discreta.f) La suma de las frecuencias absolutas es igual a uno.g) H5��?�� H4��?�� h5��?��[�� ^��H��?��+��H4��?��?��¢�� k� �y� y

mayor que y4.i) H5��?�� N4�� n5 �� n��j) m�� h1��?�� h4��?�� H3 H4��?�� H ��?�k) H4��?�� H5��?�� h5��?��l) h ��?�� n�� n1��&m) El valor de m se puede obtener aplicando la fórmula m 3,3 log n.

. Señalar la respuesta correcta, en cada caso.

�&��'�� _� �� }a) Se pierde siempre algún dato debido a la condensación de la información.b) Se conserva la identidad de cada dato.c) Se conservan siempre los datos detallados en la distribución.d) Se pierde la información, de cada valor observado.

. El punto medio del intervalo de una distribución de frecuencias debe escogerse en forma tal que:�� &b) Represente el valor alrededor del cual tienden a concentrarse los distintos valores

que se incluyen en el intervalo.c) No arroje duda sobre el resto de la distribución.d) Ninguna de las anteriores respuestas.

�&� *��K _ �� k� � ��W� �� #��k� �� -��[�#��>��?� �}

� � � ��

Tomando como variable días de incapacidad (enteros) elaborar una tabla de frecuencias y determinar el valor de:

x 1 y4 n3 N4 h5 H� m


�&� ^��k� � ��K _ �� #�� _ � �� +� �� }

� � � ��

Se pide elaborar una tabla de frecuencias para esta variable continua.

�&� ^ �� $�� *��|�� [�� clase media, para conocer la clase de aceite o manteca usada en la cocina, los resultados �� }��#$?��[�� <��+?��[�� <�K��K��#?��[�� <�� ?��[�� <�� ?��[�� <�� ?��[�� <��?��[�� &

� �� #�� _�� _� �� &� �� `��k� �� _� �� W� �� [��

�&� � �� >��&

yi ni Hi

� � � �� ?�� ?��

if iF n

�&� !�� K �� ?� �� +� ��multidimensionales, relacionadas con la economía del país.

�&� ^ �� K �� ?�� +�� &

i


�&� ^ �W�� ^�� ?�� o intervalos se obtendrían para una �� k� �� }�� -�� ?�� ?��&�� ?��&�� &

��&�*�� 5 señale con un círculo la respuesta correcta.

��&�'�� _� �� -cias de un conjunto de datos, el número de clases o intervalos depende:a. El número de datosb El alcance de los datos

recolectadosc. El tamaño de la poblaciónd. Lo incisos a y b pero no ce. Ninguna de las anteriores

��&�� ?��k�>�� intervalos (o clases) tienden a utili ar los especialistas en estadística cuando organi an datos?a. Menos cincob. Entre uno y cinco�&�� %�� &��*�� +��e. Ninguna de las anteriores

13.Una distribución de frecuencias relativas representa las frecuencias en términos de:a. Fraccionesb. Números enterosc. Porcentajesd. Todos los incisos anteriorese. Los incisos a y c

14.En la elaboración de una distribución de frecuencias, la fórmula de Sturges se usa para:&� ! � �� &��! � ��

intervalos

�&� ! � �� W� �� d. Las frecuencias relativase. Ninguna de las anteriores

15.En la construcción de una distribución de frecuencias, lo que resulta de dividir el rango o recorrido entre el número de intervalos corresponde a:a. Las marcas de claseb. Las frecuencias relativasc. La amplitud de los intervalosd. El rango o recorridoe. Ninguna de las anteriores

��!��

1. Una distribución es simétrica cuando:a) La amplitud es constante.b) Los extremos de la variable no � �� c) Las frecuencias absolutas y relativas

equidistantes a un valor central son iguales.

d) Los datos no est n agrupados.e) Ninguna de las anteriores.

. El número de personas en una empresa, �� W�� ?� ��ejemplo de:�� #�� d) Regresión �� '��

3. El número de man anas podridas por �K?� �� `�� K�?�es un ejemplo de :a) Rango


�� '�� e) Ninguna de las anteriores

4. El intervalo de clase o amplitud se � � �� }

a) El valor central de cada intervalob) La semisuma de los límites superior

e inferior de cada clase.c) La diferencia entre el límite superior

e inferior del intervalod) La suma entre el límite superior e

inferior del intervalo.e) Ninguna de las anteriores

�&� "�� W� �� -tes de tr nsito, según las causas que lo originan, es un ejemplo de:�� #�� #�� d) Rangoe) Marcas de clase.

�&� "�� #�� aquellas que:�� '�� _��

descripción.��

mediante el conteo.c) Se pueden medir.

d) Se representan mediante números enteros.

e) Ninguna de las anteriores.

�&� ^��n�� aplicando la fórmula de Sturges es:

� ��

�&� *��W��>�� _� �� acumulada es igual a:a) Unob) n�� '��d) Rangoe) Ninguna de las anteriores

�&� "�� _� �� igual a:a) Unob) Tamaño de la muestrac) Rango�� '��e) Marcas de clase.

��&�� [�� ejemplo de:�� '�� c) Rango�� &

��

INTRODUCCIÓN

La presentación de las informaciones obtenidas en encuestas, se puede reali ar de varias formas:

� Textual (en forma de texto) � Cuadros ��

Cuando el informe se hace en forma textual, se trata de una presentación simple y limitada, tal como sucede en los reportajes o artículos periodísticos, donde los datos aparecen intercalados con los comentarios y con las conclusiones derivadas de las interpretaciones de los mismos, en una forma ligera y descriptiva.

En un informe textual complementado con cuadros, estos sirven de ayuda al lector para entender o ampliar el texto. Sin embargo, la utili ación del texto +�� _�� ?�+�k� ��lectura del texto implicar un tiempo precioso para entender todo el contenido ahora, si el lector se remite a los cuadros?� ��_��?�k� � �� +� ��?�� [�� ?�� [#�k� �� k� � ��_�� +�� !��,no como sustituto de las formas anteriores de presentación, sino como la mejor manera de visuali ar la información.

�� ! � �� $�� información.

�� {� �� +�� &�� ! �� $�� &

Objetivos

Contenido�� !�� !�� !�� #�� +�� K�� "��

Capí

tulo

Capí

tulo

55


REGLAS PARA LA ELA ORACIÓN DE GR FICAS

"�_�� k� ��ela-��<�� ?�[+�� k� �� &�{�� ?�� m s aceptados.

�� "�� K�� &�"��#� ��+��#��?�� estrictamente indispensables para una mejor visuali ación de la información.

�� ^��[+�� ?�� ?�� }��<��?�+��#�� &

�� #��k� �� &�^ �� k� �� -�� }�k�>?��?��+�� &

�� "�� #�� ?�� [#�k� ��-�� K��k� �� ?�+?��?�k� �� en la parte inferior.

�� "��#� ��k� �� ?�� K�� k� �� -��<�� $?��#� ��k� �� k� �� &

- La línea vertical, denominada ordenada, se utlili a para representar las frecuencias, las cuales deben comen ar en cero.

- Las características cualitativas y cuantitativas, por lo general, van en la línea ho-ri ontal o abscisa.

�� "�� K �[��$�� [� �� $k�� [&�"�� del eje vertical, debe hacerse de abajo hacia arriba.

- La representación del fenómeno debe variar sólo en una dimensión.�� *�� `��_� �� _� �� <�

� ��?�� ?�� + ��?��+�� k� �+�� las características presentadas.

�� "�� +� � ��comprensibles sin la ayuda de las descripciones del texto.

�� "��>�� k� �� K��?�� &

�� "�� ?�+�� `�� `��&�� ?�� [� �� +��

diferenciación por medio de leyendas, notas o signos convencionales.

?��+�� +?�� ?��

grupos, como puede verse en la Figura 5.1.

CAPÍTULO 5. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS 67

1111098

6543

1

0 1 3 4

ni

yi

0,40

0,35

0,30

0, 5

0, 0

0,15

0,10

0,05

0 1 3 4

hi

yi

� �� ?� �� k� ��k� �� ?�� k� �� &� � Diagramas de frecuencias. � Diagramas de barras �� &� � Diagrama circular �� #��&� � Diagrama de líneas �� K��&� � Cuadrados y tri ngulos �� Cartogramas ��

H��?��

De puntosRectilíneas

Diagramas Lineales Curvilíneas

Rectangulares (barras)^�� Triangulares

Cuadrados Circulares (pastel)Cúbicas�� Estereometrías ��

��

Mapas estadísticosCartogramasCartodiagramas

iagrama de frecuenciasLos diagramas se utili an para representar a la variable discreta. Consideremos la

��_�� &�� diagrama de frecuencias. En el eje hori on-�� k� �� yi), y en el eje vertical, las frecuencias absolutas (ni) o las relativas (hi�&�� _� -cuencia, indic ndose en el plano cartesiano mediante un punto luego, partiendo de ese punto, tomado como referencia, tra amos una perpendicular al eje hori ontal y, de esta �� ?�� &�� &��+��&�&

?��@�� H�� H��J�� H�� H��!��

yi ni i

�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

�� ?��

if if ni


?��@�� H��@ H�� H�� H��!��

yi Ni Hi

�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

� - -

F ni

��>�� ?��$��_� �� -ladas por tal ra ón, se denominan diagramas de frecuencias absolutas acumuladas. Se �� k� ��#� ��k� �� [��$��?��_ � �� +��#� �� &�� |��&��+��&�&

"�� _� �� `�� k� -�� k� �� $��_� �� ?��_ � �� W�� correspondiente a las frecuencias.

istograma de frecuenciasEst formado por un conjunto de rect ngulos, cada uno de ellos levantado para cada

�� ?�� k� �� +�� ?�+�� por la frecuencia absoluta o por la relativa. La información presentada en la Tabla 4.15 se utili ar en la elaboración del histograma?�� |��&��+��&�?�� ?� ��_ �� ?�� ?�� k� �� k�� &�� ?�� |��&��+�� |��&��+��&��&

H��D H��+ K��#�� K��#��!��

30

5

0

15

10

5

0 1 3 4

Ni

yi

1,00

0,80

0,60

0,40

0, 0

0,10

0 1 3 4

Hi

yi

1098

6543

1

0 46 54 6 0 8 86 94

ni

yi-1 yi, ,

0,30

0, 5

0, 0

0,15

0,10

0,05

0 46 54 6 0 8 86 94

hi

yi-1 yi, ,

i iF


?��@��

, ,1i iy y− − ni hi

��?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

� �� ?��

i-1,

i,

− if if n

"��+�� |��&�� +�� &�'�#�k� �� _�� ?�� $��la frecuencia absoluta ni por el cociente ni Ci, denominando �� , con �� [�� |��&�?��_ � �� |��&�&�

��_�� _�� &�� _�� _��k� �� +�k� � �� -� �� _� �� &��+��|��&��&

?�� H��L �� K��/��:�

EDAD N MERO DE �� O REROS ni

� ��?�� ?�� ?�� ?��

� 160

?�� H��O �� K��/��:

EDAD ALTURA

�� ni Cii

i

nC

� ��?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

� 160 - -

60

50

40

30

0

10

0 18 1 4 30 39 433 36

ni

Edadaños

15

10

5

0 18 1 4 30 39 433 36

ni ci

Edadaños


?�� H��*�� K��/��:

EDAD ni ��

� ��?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� Pérdida de datos o de información

Se puede observar en los histogramas�� k� � �� +�� ?�� k� �� la distancia entre el origen y el primer valor de la variable. Este mismo corte o puente se puede hacer en el eje vertical u ordenada.

Si elaboramos un histograma teniendo en cuenta las frecuencias relativas, se convertir en una �� &�� k� �� &��+��&��k� �� [��|��&��?�� _ � �� [��>��$��_� �� &

H��*�

��

5045��15105

Edad��

�

ni ci

�

hi

�?��

�?��

�?��

0,15 -

0,10 -

0,05 -

��

�

?��J ?��J� ��



� ��?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� 60 1,00 ifi-1

,i,

− if n


Polígono de frecuencias

Con la misma información utili ada para la elaboración del histograma (Figura 5.6) se puede dibujar el polígono de frecuencias. En primer lugar, se establecen los puntos medios en la parte superior de cada rect ngulo, luego se unen dichos puntos mediante una línea, prolong ndose en el primero y último rect ngulo tal como se puede observar ��|��&��&��>�� K�� polígono, estableciendo los puntos medios del intervalo, denominados marca de clase?�k� �� K �[��$��&�� _� �� ?�� plano cartesiano por un punto luego de establecidos todos los puntos, se unen mediante �#� �� ?��k� � ��K��_�� #��?�� |��&��&

H�� H�� Q��#�� Q��#��

�� +i

�

��

ni

10 -9 -

� ��

6 -5 -4 -

� ��

1

-

�

Ojiva

�� $�� ?� �� ?�� -siano. Dichos puntos se determinan teniendo en cuenta el límite superior de cada intervalo y las respectivas frecuencias absolutas o relativas acumuladas luego se unen esos puntos, partiendo desde el límite inferior del pimer intervalo, ubicado en el eje hori ontal, tal �� |��&��+��&��?�+�� $��_�� Tabla 4.15.

?��@�� H��J H��J�� T"�!�'#�� T"�!�'#��!��

yi-1 - yi Ni Hi

��?�� ?��?�� ?��?�� ?��?�� ?��?�� ?��?�� ?��

, ,1i iy y− −

Ni

� ��

� ��

� ��

15 -

10 -5 -

� ��

��

Hi

1,0 -0,9 -

� �?�� ?�� 0,6 -0,5 -0,4 -

� �?�� ?�� 0,1 - �

��

ni

10 -9 -

� ��

6 -5 -4 -

� ��

1

-

, ,

y yi− −1 1, , y yi− −1 1

, ,


Pictograma

Es una forma de representar las cantidades estadísticas por medio de dibujos, utili-$�� K ��+��&�! �k�� ?��k� �� utili adas en informes.

"�� `�� #��&�^ ��k� � �� _�� ?�� |��&��?�� ?�� ?� �� <� ��?�� conjunto, buscando de esta manera la eliminación del cuadro.

H��@

� ��

'��

�� &��

�� &��

�� &��

�� &��

'�� k� � �� +�� _� �� ?�� +��#�� k� � �� ?� �� k� �� &

^�� _�� #�� ?�� |��&��?�� `��?�� `�� &��"��

Los pictogramas son usados frecuentemente en propagandas comerciales, conferen-��?� ��&?�� $��?��k� �� `�� &�Así, por ejemplo: si se trata de describir la variación sobre el número de obreros por ��?�� hombre de la misma manera las exportaciones se representan, ya sea por sacos, bar-��?� ��&�� |��&��_�� k� �� $��en la elaboración de pictogramas.

Mil toneladas


H��Q��**O'�*��

H��D

� ��

�� &��

��&��

��&��

15.000

��&��

U�#��

1.000

500

��

��&��

��&��

��

��&��

��&��

6.500

��&��

��&��

9.000

16.500

1.100

9.900

��&��


?��@��!��V��$��!��'��W��*��

SECTORE PORTACIÓN

?�� X X� %� �� &��&�� %� �� &��&�� }� � � �&��&��

SECTOR IMPORTACIÓN

� %� �� &��&�� %� �� &�� &��&��

�� &��&��

�� |��&�� _��?�k� �� _ ��+��+��?�k� �� &�� ?�� ?�k� �� K��$�� _��&

H��D��!��V��$��!��'��W��*��

Muelles privados %� �� Muelle

privado

%� ��

��¢ ��¢ ��¢ ��¢Exportación Importación

�&��&�� &��&�� &�� &��&�� 100

��

Es la representación de una información estadística por medio de mapas, dentro de �� #��<� �� + ��?��$�� ?��#��la importancia del valor de la variable obser-vada en relación con el conjunto, tal como �� |��&��&

�&� ��+��?�� &� ��?�� &� ��?�� &� '��k��?�

5. Cauca 6,16. Valle 5,5

� �&� ��?�� &� ��?�

H��+

Distribución porcentual de los pre-dios de 5 hect reas respecto al total del �#��


iagramas de barras

*�� $�� $?�� #��+��?�W�� k� �� k� ��_�� tablas de frecuencias.

Las barras para representar las características, por lo general, son construidas en forma vertical, sobre una base hori ontal, en la cual se colocan las características o el tiempo ��?�� ?� ��&��+�� k� �� &��|��&��+��&��&�

H��LQ��V��

/��'��:��#��=��!��=��V��"��/?��%�*��:

Agric

ultu

ray

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Indu

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ture

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Cons

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Com

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y ag

ua, s

erv.

��

��

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��

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��

��

¢

��

��

��

��

15

10

5

0

��

Limitadas

Anónimas

H��L�Y��Q��=��$��

Q��**+'�*�� Clima c lido Clima frío

� ��

16.000

14.000

��&��

10.000

�&��

0

Con alimentaciónSin alimentación

� ��

16.000

14.000

��&��

10.000

�&��

0

� ��

��

� ��

��

��


La representación se puede hacer utili ando barras hori ontales, como se muestra en �� |��&��?�+�� $��son verticales. En ambos casos, la longitud de las barras son proporcionales al número � �� _� �� ?�� k� � ��[�� k�� &

��>�� $� �� ?� �� -�K�� k� ��+�� o m s distribuciones proporcionales, ya sea para representar características cualitativas o cuantitativas.

H��O<!��V��$��

��**L'�*��

��

��

09

10

11

��

miles de millones

Año

s

*��|��&��_�� k� ��[��$�� ¢?��>�� W� �� #��observadas, diferenci ndolas mediante la utili ación de colores o rayado.


iagrama circular

Se utili a con mucha frecuencia para representar características cualitativas, y sirve �� _ � �� K �� k� � ��-��&�|��&��&

Este tipo de comparación es relativamente efectivo, siempre y cuando los segmentos � �� &

H��UZ? >[�'�*��

�� ¢

Confección textiles.

��k�#��+�_��&

Manuf. met licas y mec n.

Animales vivos y productos del reino animal

��#��

Materiales de construcción

��

��

��

��

��

H��* W��!��

Q��U��*�*'��'�*��

�*=�*X

O=*�X+*=LLX DL=O�X

��=�OX

��=LDX

�L=�DX

��=�LX��?��¢

· ��>�� en planteles privados

� ��>��

Fondos en administración

··············

\��V�� \��


*�� k� �� _ �� circular o pastel, consiste en �� _ � ��?�� K �� k� �[�� #��&�� K �� ?�� K��?�� $�� ?��$��+��-�� |��&��?�� K��ha sido separada, por no formar parte del capital circulante.

H��

'��{��¢��'!�^

��K��?��?�� $�� $��?��?�� $�� $��?��?��!�� ?��?� ?��?��?�

��>�� [� �� #��?��k� ��$��?��&�̂ �� >��k� �� k�� [� �� #�� &�� $� ��}�� W��|��&��+�� -�� W��&��&��>�� _ � �� `�� &

� ��"'^*�!*� �'"�� !{^��{��{¤�� '^��^�� : ¢

Salarios, prestaciones ��&�� ?��

� ��^ �� &�� ?�� &�� ?�� '�k�� &�� ?�� &�� ?��

?�� 140.000 1,00

;��+X

]�^��X

Q��X

Seguros+X

��!��

JX

H��J��

H��@;��

��H�

_�U�Q�

_��Q�

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��¢ 5,4

'�k�� ¢ ��?��

��¢ ��?��

^ ��¢ ��?��

^��¢��?��

��H��D=JX

_�U�Q��*=�X

_��Q�JL=+X

>��@=LX

Capital

circu

lante

��,�¢

��*�� #��?�� _ � �� k�� k� ��


��_�� #�� ?�� &�� >��+�� +��

12 10 09 08 07 06 05 05 04 03 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

1.000.000

2.000.000

3.000.000

4.000.000

5.000.000

6.000.000

7.000.000

8.000.000

H�� Q�F��$��**J'�*��

>��

*�� $��?�� ?�� ?��k� �� +�� $�� ?��?�� ?�� ?�� _ �� K �&�� |��&�� _�� _��_ � �� ?�� &


'�� >�� ?��k� �� -� �� #��&�!��[�� series de tiempo o series cronológicas&�*�� ?�� k� ��variable tiempo�� k� � �� K �[��$��+�� k� �� ?��+�� K �� |��&��<� ��&��<� ��&��&

c) Incorrecta

y40 '

� ��

10 -

�� '��

x

��

40 -

��

� ��

� ��

� ��

10 -

'��

x

y

b) Incorrecta

��

40 -

�� -

�� -

10 -

'��

y

x

a) Correcta

H��D

�� -

�� -


H��+

H��D� H��D��V�� Q��"��

��D�� !�� /?��'�*��:�

Total

Machos

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Mile

s de c

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as

��

��

600

500

400

��

��

��

'��

��

600

500

400

��

��*� |� %� '� %� ¥� ¥� '� ^� �� !

Meses

Mile

s pas

ajero

s

2010

2011

2012

¢

10090��

��

605040��

��

10

0��

��

��{��

��>�� `� ��

��>��

No tributarios y recursos� ��

Impuestos indirectos (1)

Impuestos Directos (1)

FACTORES X� ��|�� |��[�� |��

Total 100

"��&�� _�� ?��$�� diagrama lineal, para �� >�� ?��k� ��porcentual para este caso hemos considerado las rentas y recursos del Gobierno Nacional, �� #��&

��$��

�� #��?�� -ras geométricas, tales como cuadrados y rectángulos&�*�� ?� �� ?�� ?�� K�� de yuxtaponerlas.


�+��_�� [� �� $�� -��&��|��&��k� � �� _�� k� �� &

*�� `��?��?� �� }

��¢

��¢

�*X

?��H�H�H�[� H� �

H��L

>��#��

*�� $�� triángulos se debe buscar una �� W��+�� $��|��&��&

H��O?��"��UQ;'�*�*'�*��

1) 0,50 36 18luego se obtiene 18 4, 4cm por lado) 0,35 36 1 ,6luego se obtiene 1 ,6 4, 4cm por lado

1) 0,15 36 5,4luego se obtiene 5,4 ,3 cm por lado

× ==

× ==

× ==

��

��

��

��

150

100

50

0

miles de trabajadores

��


H��J*

Convenciones:

�'^��^� ��%{"*^�� ^�� &��&�� '�k�� &��&��

Impuestos 990.000� �� &�� &��&��

Salarios

'�k��

Impuestos

��

��>�� ?�� _ � �� ?�� |��&��+��&��&

H��J*�_��V��F��$��UZ? >[�/<��5:�%�*��

Convenciones:

� ��&�� &�� &�� &��

19.000

� ��&��

� � ��&��

� � � ��&��

450.000

�&��

� ��&��

� � ��&��

50.000�&��

� ��&��

� � ��&��

� � � � ��&��

�&��

� � ��&��

��

��#�

�� `� ��

Becas

��

*�� ?�� [� �� $�� ?� ��k� �� _ � �� K�� K ��+� K �� -� �� #��&�*�� +��?�� _��+��k� �� &

� �� K �� k� �� &�� consideraremos el control del trabajo del personal en una empresa, indicando el porcentaje K ��?��$�� $� ��¢��?�� horasperdidas�+�� k� � �� _� �� |��&��


Q��

"�� $�� [� _� �� representar las edades de la población de una región. Si observamos detenidamente �� k� ��[��?��$�� #�� &

H��J�

��$��

��$��

�� K �� K�� K �� Causa de las horas perdidas

� �� A B C D E F

� ��

9 6 9 - - -

��

perdidas

��

��

Importaciones Exportaciones

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

%��

� ��

��_� �� $��+�k� �� k�#?�� k� �� ?��k� �� W�� ?��}

�� #�� *�� #�� #�� "�� $&

Semana

|��&��



/�� !�� /� �� !�� *�� 1��% �� % � ��-tenido del informe.

/� !�� $� ��

6�� !�� &�� !�� % � �� la realidad del fenómeno.

/�� !�� 1�� !�� 1� $��*�� % � �� 7�� !��8% � �� 1� �� % �� % �� % � �3�� repite o se presenta.

/� !��% �� % �� !��% � � ��* �� 1� �� 1�� % ��


9�� (��Cartogramas HistogramasDiagramas de frecuencias Ordenada

:��!�� ;1��Diagramas de barras Plano cartesianoDiagramas de puntos o nube de puntos PictogramasDiagrama circular Polígono de frecuenciaEstereogramas Pirámides

1. Elaborar una gr fica adecuada para presentar la siguiente información.

� !�� + ��kilómetros de carretera en la siguiente forma:

� *�� ?��?��¢�� <� �� ?��?��¢�� <� ��

� �� ?��?�¢�� <� �� ?��?�¢�� +� �� W�� ?� ��¢�� &

�&� �� población potencial de consumidores, se pide construir la pir mide de dicha población, teniendo en cuenta la edad y sexo.

"��


EDAD DISTRI UCIÓN PORCENTUAL X�� ¢� %�K � �¢

� �� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�

�&� �� son verdaderas y cu les falsas?&� '��[� ��?��_� ��

deben representarse en el eje de la ordenada.

b. El histograma, es una presentación muy efectiva y viva de las distribu-ciones de frecuencias.

c. El polígono, es especialmente apto para comparar diferentes distribuciones.

�&� �� _-erenciada mediante el histograma.

e. El diagrama de barras se utili a para representar datos continuos.

f. La relación de las escalas en una �� }�&

�&� "�� _ �-iblemente en el primer cuadrante.

�� &e) Diagramas de puntos

�&� "�� }�� &�� `��

imprecisiones.c) Autoexplicativasd) Es un complemento del cuadro para

visuali ar mejor la información.e) Es la única manera de reali ar una

buena presentación de las informaciones.

�&� *�� K �� K ��denados se denomina:a) Escala nominalb) Escala ordinalc) Abscisa�� K��

4. Los pictogramas son una representación �� }a) Figurasb) Mapasc) Rect ngulosd) Círculose) Ninguna de las anteriores.

5. El número de clientes atendidos por el departamento de ventas, en un gran ��>�?� k� �� K�� mediante:

�� #��c) Cartogramad) Tríangulose) Diagrama circular.

�&��"��#� �k� �� #�� }�� %�� k� ��

��!��

1. El polígono de frecuencias es un tipo derepresentación en:

�� K��compuesto de datos.

b) Gr ficas de líneas correspondi-ente a los puntos medios en un histo-grama.


b) Igual de gruesas a las coordenadas.�� %�� k� �� d) Balanceada a lo alto y anchoe) Ninguna de las anteriores

�&�*��#�� _� �� k� �� }a. Las marcas de clase y las frecuenciasb. Los límites de intervalos y las

frecuenciasc. Los grados y los porcentajes

de datosd. Los límites de intervalos y las

frecuenciase. Ninguna de las anteriores

�&� �� _�� acerca de los rect ngulos de un histo-grama es correcta?&�� `�� -

gulos en cada histogramab. Los rect ngulos tienen una altura

proporcional a las frecuencias del intervalo

c. Siempre todas las barras son igual-mente anchas

d. b y c pero no ae. Ninguna de las anteriores

9. El histograma y el polígono de frecuen-cias se utili an para representar:a. Las distribuciones de frecuencias

discretasb. Las distribuciones de frecuencias

continuasc. Las distribuciones cualitativasd. Ambas a y b pero no ce. Ninguna de las anteriores

��&�� +�� proporcional al número de elementos k� � � �� clase), se le conoce como:

&��&��#�� _� �� &��K��d. Todas las anterioresc. Ninguna de las anteriores

��&�*�� consumo de licor y la hipertensión, se tomaron los siguientes datos correspon-��

Características Con Sin hipertensión hipertensión�� Consumidores�� Consumidoresen exceso 94 10

&�� _��adecuada a la información anterior

�&�� *`��k�

��&� ^ � �� plantel, por el tipo de programa de � � ��k� �� ?�� >�� [� �� &�"�� -tas se pueden observar en el siguiente ��

&�*��¢�k� �� +�� igual a

�&� *�� W� �� k� � � ��programas culturales y noticias es igual a

�&�*��W� ��k� �� #��+�� es igual a

��¢�� ¢�! ��

��¢�� #��

�¢��¢��

��¢��


��&�*��_�� k�� W� �� k� � �� >��?�� k� �� K�&�� -�� +�>��_� ��respuestas.Estudiante 1 → 1 curso*�� → 4 cursos*�� → 6 cursosEstudiante 4 → 4 cursosEstudiante 5 → 5 cursosEstudiante 6 → 6 cursos*�� → ��*�� → ��Estudiante 9 → 4 cursosEstudiante 10 → ��Estudiante 11 → ��*�� → 5 cursos*�� → 4 cursosEstudiante 14 → 5 cursosEstudiante 15 → 5 cursos

� ��_�� _��presentada, los datos se organi an �� _� �� ?�+� ��>�� &�"�� k� � � �� situación, es:

14. A un curso de bachillerato de último ��?� � � � �� la cual sentían una mayor inclinación, al continuar estudios universitarios. Estos fueron sus respuestas: A-Admin-istración C-Contadurías D-Derecho E-Economía I-Ingenierías M-Medic-��<��#

*��'� %� {� �� %� �� %� ��

� '��'� '� {� *� �� !� �� {

� '�� %� %� {� �� *� %� !� '� '� {

� !�� {� �� %� !� '� �� %� �� '� �

� *�� %� '� �� '� �� !� %� '� %� %

a. Construya una distribución defrecuencias

�&��+��+��otro de barras

c. Comente estos resultados

864

0

Frec

uenc

ia

Número de cursos1 3 4 65

543

10

Frec

uenc

ia


6

4

0

Frec

uenc

ia


543

10

Frec

uenc

ia


543

10

Frec

uenc

ia


��'

��

��

��!

��*

� Desarrollar destre as en la aplicación de las distintas medidas de tendencia central.

� Interpretar y comprender los resultados obtenidos mediante la aplicación de promedios.

� Adquirir destre as para determinar cu l es el promedio que debe ser utili ado según las circunstancias.

Objetivos

Contenido� Media aritmética � Media geométrica� Mediana � Media armónica� Moda � Cuartiles, deciles y percentiles� Media cuadr tica � Centro recorrido� Media cúbica

INTRODUCCIÓN

En el desarrollo de los cinco capítulos anteriores, nos habíamos dedicado a estudiar los métodos que deben ser aplicados en el proceso de agrupar, organizary presentar los datos originados dentro de la misma empresa, tales como resul-tados de balances, inventarios, ventas, costos, volumen de producción, gastos generales y de personal, cuentas de resultados, punto muerto, y otros aspectos que atañen a la actividad interna, y de aquellos que provienen de fuera de la empresa +�k� � �� ?� ��_�� ?� ��la marcha de la actividad industrial o comercial.

Ahora trataremos de presentar otros métodos para estudiar o medir el compor-tamiento de los elementos que constituyen una población. Si bien es cierto que los cuadros y !�� describen el fenómeno, no lo hacen en forma satisfactoria, y por tanto hay necesidad de acudir a ciertas medidas denominadas parámetros o valores estadísticos de la población, cuando se hacen sobre el total de ésta, y estadígrafoso estimadores cuando corresponden a una parte de la población o muestra.

Capí

tulo

Capí

tulo

66 edidas de tendenciacent a

edidas de tendenciacent a


� �� ?��#��k� �� estar n representados por letras griegas o por letras en mayúsculas de nuestro alfabeto, y ��k� �� ?�� W��&

Para el an lisis de una variable o de una distribución unidimensional se consideran cuatro clases de medidas:

� Medidas de posición o de tendencia central.� Medidas de dispersión o de variabilidad.� Medidas de asimetría o de deformación.� Medidas de apuntamiento o curtosis.

MEDIDAS DE POSICIÓN

Son utili adas para describir y sinteti ar mediante un número único, denominado promedio, la posición de un valor en la variable, en tal forma que represente al conjunto de valores observados.

En otras palabras, un promedio es un valor que intenta representar o resumir las carac-terísticas relevantes de un conjunto de valores.

El promedio� ��>�� >��?�+� �� _�� #��&

Los promedios reciben el nombre genérico de medidas de tendencia central porque algunos constituyen valores ubicados en el centro de la variable a la cual representan. Se consideran varias clases de promedios o medidas de posición:

� � Media aritmética � Media geométrica� � Mediana � Media armónica� � Moda � Cuartiles, deciles y percentiles� � Media cuadr tica � Centro recorrido

� Media cúbica � tros m s

Al elegir algunos de los promedios anteriores, se debe procurar la obtención de un valor concreto que sea representativo del conjunto, de tal manera que éste pueda ser comparado útilmente con otros valores obtenidos de conjuntos similares.

Es importante recalcar que únicamente hay un solo valor numérico para cada tipo de promedio de un conjunto de datos, con la posibilidad de poder escoger uno, entre los dife-rentes tipos de promedios, que sea el m s representativo para la distribución anali ada.

Me ia aritm ticaEs la medida m s conocida, la m s f cil de calcular y con la que siempre estamos m s

_��$��?�+�k� �� [ ��

CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 91

en cada período escolar. A veces, se le denomina simplemente media o promedio, y es utili ado con tanta frecuencia, que en algunas ocasiones nos conduce a resultados que no revelan lo que se pretende presentar, ya que la distribución puede requerir de la aplicación de un promedio diferente a la media.

La media presenta algunas ventajas: es el único promedio que se presta a tratamien-tos algebraicos, presenta una gran estabilidad en el muestreo, y es altamente sensible a cualquier cambio en los valores de la distribución. Su mayor desventaja radica en la im-�� k� �� k� �� extremos y debido a su gran sensibilidad para valores muy grandes de la variable, puede darnos un valor promedio que no sea típico o representativo. Adem s, no es recomendable su uso cuando la variable est dada en forma de tasas o porcentajes o cuando presenta un �� >��&�^ �� k� ��media aritmética es representativa del conjunto, si se quiere promediar cantidades semejantes, que presenten variaciones dentro de un margen ra onable.

Me ia aritm tica (simple)La media aritmética � �� k� ��

los valores de la variable por el número total de observaciones:

1 3 ( )... N Media poblacionalN

+ + + += iN

∑=

ixx n∑= media muestral,

media de la población, también se utili a � (letra griega miu)x media de la muestra.�� +W��?��suma de.

i valores que toma la variable en la población.xi valores que toma la variable en la muestra.N número de observaciones en la población.n número de observaciones en la muestra.

De ahora en adelante trabajaremos con muestras, de ahí que la mayoría de los símbolos que se utili ar n, ir n en minúscula.

La media aritmética, que hemos simboli ado por x , se podr representar indistintamente por:

Ejercicio 1. Supongamos que un almacén tiene empleados a 1 vendedores, y sus ingresos mensuales son:

M M M x y a a a1 x[ ] [ ] yy


Tabla .1 Datos originales

85.000 691.000 0.000 63.800

1.300 8 3.000 1.091.000 6 3.000856.000 856.000 50.000 46. 00

Se quiere determinar la media aritmética de los ingresos (sueldos y comisiones) de los 1 vendedores.

Solución

x xn

= =+ + + +

= =Σ 1 785 000 721 300 856 000 746 200

129 426 300

127. . . ... . . . 85 525.

El sueldo b sico para cada vendedor es de 6 0.000. El promedio de ingreso mensual, incluyendo las comisiones, ser aproximadamente de 85.5 5.

Se podr observar que la mayoría de los vendedores reciben una asignación inferior al promedio, debido a la inclusión de los ingresos del jefe de vendedores, quien recibió 1.091.000. Como la media es sensible a valores extremos, se vio afectada por dicho valor.

Si se requiere que el promedio sea representativo, se dan dos soluciones: a) utili ar otro promedio diferente a la media, siendo el m s recomendable la mediana b) prescindir de dicho valor extremo. bservemos el resultado utili ado este último procedimiento.

x xn

i= ∑ = =8 335 00011 5 54 55. . . ,

Este valor de 5 . 54,55 como promedio, es mucho m s representativo que el de 85.5 5.

En el ejercicio , veremos otra situación que nos har comprender por qué la media no � � �� ?�� [�� sobre el comportamiento de la variable.

Ejercicio 2. Consideremos las utilidades y pérdidas de un almacén por departamentos (ver Tabla 6. ).

Si examinamos solamente los promedios, llegamos a la conclusión de que el promedio � �� ?�� ?�� cambios que se han producido en los departamentos donde ha habido un despla amiento � �� ?�+�� +��_ � �� que se observó en algunos departamentos en 010.


Tabla .2Distribución e utili a es y p r i as (2010 2012)

UTILIDADES ( ) PERDIDAS ( )

DEPARTAMENTOS (EN MILLONES DE )

010 01Cal ado -10 0Electrodomésticos 153 58Juguetería -40 - 0Miscel neas -13 10Ropa 130 15Media ( x ) (Promedio) 44 44

La fórmula dada para calcular la media aritmética simple la vamos a utili ar como ejercicio de aplicación con los datos de las Tablas 4.9 y 4.13, (Ver en pp. 4 y 51) correspon-dientes a observaciones no agrupadas de variables discreta y continua, respectivamente.

En la variable discreta, la media aritmética ser :1 1 0 ... 59 1,966 1,930 30

ixx x xn∑ + + + + += = → = = =

y en la variable continua, el resultado obtenido al aplicar la misma fórmula, ser :

48 56 60 ... 6 .039 6 ,96630 30x + + + += = =

La fórmula utili ada hasta el momento para calcular la media aritmética, tan sólo es apli-cable cuando se trata de términos simples o datos no agrupados. Generalmente esta forma de presentación y de c lculo se da cuando el número de observaciones es pequeño.

Me ia aritm tica pon era aCuando el número de observaciones es grande, las operaciones para calcular la media

��>�� _� �� &

Ejercicio 3. Supongamos que se tienen 10 observaciones.

Tabla .3Datos originales

6 4 6 8 4 6 4 6

La media aritmética de esos 10 valores ser :

6 4 ... 6 48 4,810 10ixx n

∑ + + + += = = =


Si los 10 valores anteriores los ordenamos de menor a mayor y luego los sumamos, se obtendr el mismo resultado.

4 4 4 6 6 6 6 8 48 4,810 10x + + + + + + + + += = =

La suma anterior se podr abreviar en la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )4 3 6 4 8 1 4 1 4 8 48 4,810 10 10x + + + + + += = = =

Se observar que , 4, 6, 8 son valores que toma la variable, y , 3, 4, y 1 son sus respectivas frecuencias absolutas.

Calculemos la media aritmética de los datos anteriores, pero ordenados en una tabla de frecuencias

yi ni yi ni

44 3 16 4 48 1 8

� � 10 48i i if

Ejercicio . Apliquemos la fórmula para calcular la media ponderada (en una variable discreta, con los datos de la Tabla 4.1 ) con la cual ya habíamos calculado la media aritmética simple.

Tabla .12 Variable iscreta.

yi ni yi ni

0 3 01 6 6

1 43 14 8

� � 30 59i i if

Los resultados obtenidos al aplicar la fórmula, tanto para datos no agrupados como para los agrupados, en una variable discreta deben ser exactamente iguales.

i iy ny n∑= i if

n∑=

1 1 3 3 4 4y n y n y n y ny n+ + +=

4 1 4 8 48 4,810 10y + + += = =

48 4,810i iy ny n

∑= = =

i iy ny n∑= i if

n∑=

59 1,96630y = =

if

if


, , fn

i i= ∑

En la variable continua, al aplicar la fórmula en el c lculo de la media aritmética con datos agrupados, se deber trabajar con las marcas de clase.

El resultado obtenido, por lo general, no es igual al obtenido para datos sin agrupar.

Ello se debe a la pérdida de información que se presenta al agrupar los datos en inter-valos, así por ejemplo, los tres valores (Tabla 4.13) x1 48 x5 4 y x 5 5 quedan incluidos en el primer intervalo 46,1 - 54 de la Tabla 4.15 luego al calcular la media se har con las marcas de clase, siendo 50 el valor que representar a las tres observaciones de xi que se encuentran en el primer intervalo. Comparemos el resultado de la Tabla 4.13 donde la media fue 6 ,966, con el de la Tabla 4.15.

Ejercicio Tabla .1 Variable continua

, ,1i iy y− − yi ni yi ni

46,1 - 54 50 3 15054,1 - 6 58 6 3486 ,1 - 0 66 10 6600,1 - 8 4 6 4448,1 - 86 8 3 46

86,1 - 94 90 180� - 30 .0 8

Se observar que los resultados son diferentes. En el primero dio 6 ,9 y ahora 6 ,6.

En una variable continua?�� `�� +��_� �� -cias correspondientes a dichos intervalos tienen cierta importancia dentro de la distribución, es mejor aplicar un promedio diferente a la media. Ahora, si dichas frecuencias carecen de peso o importancia dentro de la distribución, se podr calcular la media, prescindiendo para ello de los intervalos extremos y de las respectivas frecuencias.

Ejercicio

Tabla .3 Variable continua

, ,1i iy y− − ni yi ni yi ni

menor o igual a 8 3 - - - 8,1 - 1 10 10 10 100 1 ,1 - 0 18 16 18 88 0,1 - 30 14 5 14 350m s de 30 5 - - -

� 50 - 4 38 i�1� i fi xi fi i fi

i iy ny n∑=

.0 8 6 ,630y = =

i iy ny n∑=

1 ,y 2� �


+ �� *��

Recordando que ii

nh n= se podr obtener otra fórmula para calcular la media aritmé-

tica, utili ando para ello las frecuencias relativas. Se tiene que:

1 1 ...i i m my n y n y n y ny n n+ + +∑= = siendo:

3 31 1 ... m my n y ny n y ny n n n n= + + + +

1 1 3 3 ... m my y h y h y h y h= + + + + donde: y y hi i= ∑ � i fi n

Ejercicio . Aplicamos la fórmula anterior a los datos de las Tablas 4.1 y 4.15, ob-servando que los resultados son exactamente iguales a los obtenidos al calcular la media ponderada. Las pequeñas diferencias que se pueden presentar en los resultados, se deben a las aproximaciones que hacemos al calcular las frecuencias relativas, y trabajar con dos decimales.

Tabla .12 Variable iscreta

yi hi yi hi0 0,10 01 0, 0 0, 0

0,40 0,803 0, 3 0,694 0,0 0, 8

� � 1,00 1,9

i fi n i fi n


, ,1i iy y− − hi yi yi hi

46,1 - 54 0,10 50 5,0054,1 - 6 0, 0 58 11,606 ,1 - 0 0,33 66 1, 80,1 - 8 0, 0 4 14,808,1 - 86 0,10 8 8, 0

86,1 - 94 0,0 90 6,30� 1,00 - 6 ,68

+ :��

Antes de explicar los métodos abreviados utili ados para calcular la media, veamos qué son las desviaciones y cómo se usan.

y y hi i= ∑1,9y =

y y hi i= ∑

,y �


Las desviaciones son las diferencias que se presentan entre los valores que toma la variable, ya sea xi o yi y un valor constante, el que puede ser la media aritmética o un origen de trabajo, denominada también como media teórica.

Este último se simboli a por Ot y corresponde a un valor cualquiera, seleccionado arbitrariamente y que puede estar locali ado dentro o fuera del rango o recorrido.

Se consideran tres clases de desviaciones:

a) :�� Se simboli a por i��+�� _ � �-cias que hay entre cada valor que toma la variable y su media aritmética.

x xi i= − (para datos no agrupados) y y

i i= − (para datos agrupados)

Ejercicio . Utilicemos los datos de las Tablas 4.1 y 4.15 para calcular las diferentes clases de desviaciones. En primer lugar obtengamos los valores para las desviaciones respecto a la media y y

i i= −


yi ni yi ni y1 ��y0 3 0 -1,91 6 6 -0,9

1 4 0,033 1 1,034 8 ,03

� � 30 59 -i i if i �


, ,1i iy y− − yi ni yi ni yi � y

46,1 - 54 50 3 150 -1 ,654,1 - 6 58 6 348 -9,66 ,1 - 0 66 10 660 -1,60,1 - 8 4 6 444 6,48,1 - 86 8 3 46 14,4

86,1 - 94 90 180 ,4

i�1� i i fi i fi i�

i iy ny n∑= 59 1,930y = =

y yi i= −

1 1 0 1,9 1,9y y= − = − = −

1 1,9 0,9y y= − = − = −

y y3 3 1 9 0 03= − = − =, ,4 4 3 1,9 1,03y y= − = − =

5 5 4 1,9 ,03y y= − = − =

.0 8 6 ,630i iy ny n

∑= = =

y yi i= −

1 50 6 ,6 1 ,6= − = −

58 6 6 9 6= − = −, ,3 66 6 ,6 1,6= − = −

4 4 6 ,6 6, 4= − =

5 8 6 ,6 14,4= − =

6 90 6 ,6 ,4= − =

, ,

if


En la variable continua, el c lculo de i, se debe hacer con las marcas de clase. Veamos ahora el c lculo de las desviaciones respecto a la media en datos no agrupados.

Ejercicio

Supongamos que n 10, cuyos valores son:

4 6 4 46 8 6 6

48 4,810ixx n

∑= = =

En datos no agrupados la ( ) 0i ix x= − =∑ ∑ , en cambio para datos agrupados, por lo general, es diferente a cero. En datos agrupados la suma de las desviaciones con respecto a la media será igual a cero, cuando la distribución es simétrica o cuando cada

i est multiplicada por su respectiva frecuencia ni.

( ) 0i i i in y y n= − =∑ ∑

b) :�� !�� 1�. Se simboli a por i y se lee como eta prima sub i. Es de gran aplicación en el c lculo de la media aritmética con datos

presentados en tablas de frecuencias.

Ejercicio 10. Consideremos, arbitrariamente, algunos valores para Ot y calculemos las respectivas desviaciones i

, para las variables discreta y continua, dadas en las Tablas 4.1 y 4.15.


yit t 4 t 0 t 0

i i i i

0 - -4 0 - 01 -1 -3 1 -19

0 - -183 1 -1 3 -14 0 4 -16

i i� i�4 ��0 i� 0

y Oi i t= −

, , , ,

i i � A,

x xx xx xx

1 1

3 3

5 5

4 8 84 4 8 0 86 4 8 1

= − = − = −= − = − = −= − = − ==

, ,, ,, ,

−− = − = −= − = − = −

xx x

4 4 8 0 84 4 8 0 89 9

, ,, ,

x xx xx xx

4 4

6 6

8 8

6 4 8 14 8 8

8 4 8 3

= − = − == − = − = −= − = − == −

, ,, ,, ,

xxx x

= − == − = − =

6 4 8 16 4 8 110 10

, ,, ,


Considerando Ot se tendr que:


, ,1i iy y− − yi

t 4 t 50 t 90 t 68 t 30

i i i i i

46,1 - 54 50 - 4 0 -40 -18 054,1 - 6 58 -16 8 -3 -10 86 ,1 - 0 66 -8 16 - 4 - 360,1 - 8 4 0 4 -16 6 448,1 - 86 8 8 3 -8 14 5

86,1 - 94 90 16 40 0 60

En la variable continua, el procedimiento de calcular las i es el mismo que el utili ado en la variable discreta, pero se trabaja con las marcas de clase.

c) :�� !�� 1� ��

Se simboli a por ,,i y es igual a:

,,, i t ii

y OC C−= =

Se aplica únicamente en la variable continua y en especial cuando la amplitud en los intervalos es constante. Veamos cómo se calcula

,,i (teniendo para ello los datos de la

Tabla 4.15).


yit 4 t 50 t 90 t 68 t 30, ,

1i iy y− − ,,

i,,i

,,i

,,i

,,i

,,i

,,i

,,i

46,1 - 54 50 - 4 -3 0 0 -40 -5 - , 5 ,554,1 - 6 58 -16 - 8 1 -3 -4 -1, 5 3,56 ,1 - 0 66 -8 -1 16 - 4 -3 -0, 5 4,50,1 - 8 4 0 0 4 3 -16 - 0, 5 5,58,1 - 86 8 8 1 3 4 -8 -1 1, 5 6,5

86,1 - 94 90 16 40 5 0 0 , 5 ,5� � - - - - - - - - -

y Oi i t, = −

, , , , ,

,

y Oy Oy O

t

t

t

1 1

3 3

01 1

0

,

,

,

= − = − = −

= − = − = −

= − = − =

y Oy O

t

t

4 4

5 5

3 14

,

,

= − = − =

= − = − =


Se dijo anteriormente que el origen de trabajo es un valor arbitrario, que puede estar locali ado dentro o fuera del recorrido, sin embargo es aconsejable tomar un valor que apare ca en la columna de las marcas de clase (yi), siendo preferible seleccionar como tal �� ?�� media, como se ver m s adelante

En la tabla 4.15 de acuerdo a lo anterior es preferible tomar como origen de trabajo a 66 o a 4.

Por otra parte, se podr observar que ,,i toma el valor 0, al frente del origen de trabajo,

y a partir de él se tendr -1, - , -3,... hacia arriba y 1, , 3... hacia abajo de la tabla. Siempre

que la amplitud sea constante, se tendr en ,,i una diferencia de 1 entre cada desviación.

� M to os in irectos

Son aplicados en distribuciones de frecuencias (datos agrupados), cuando las variables toman valores grandes que hacen engorroso el c lculo de la media, facilitando el c lculo con operaciones m s sencillas.

a) Primer m to o abrevia o. Implica la utili ación de i (desviaciones respecto a un origen de trabajo), de donde deducimos la fórmula para este método de c lculo:

Siendo,i i

tny O n

∑= + fórmula correspondiente al primer método abreviado.

También se puede presentar la anterior fórmula en la siguiente forma: ,i

t zy O M ⎡ ⎤⎣ ⎦= +

b) Segun o m to o abrevia o. Se aplica exclusivamente cuando la variable es continua, y la amplitud es constante. Este método requiere la utili ación de

,,i la que se puede

obtener directamente partiendo de cero (al frente de Ot) o dividiendo a ,,i por el valor

de la amplitud (C).

,, i ti

y OC−= o

Cii,,,

�

siendo,,,

i iC= , reempla amos en la fórmula utili ada, para calcular la media por el primer método abreviado:

y O C nnt

i i= +∑ ,,

y o C z nnt

i i= +∑ ,,

también, ,,i

t zy O CM ⎡ ⎤⎣ ⎦= +

Ejercicio 11. El cómputo de la media, aplicando los dos métodos abreviados anteriores, se har utili ando los datos de la tabla 4.15.


Tabla .1

yi ni i, ,

i in ,,i

50 3 -8 - 4 -3 -958 6 0 - 4 31 - -166 10 8 80 -1 -104 6 16 96 0 -31

8 3 4 1 390 3 64 4� 30 - 88 - - 4

a) y O nnt

i i= +∑ , 8858 58 9,60 6 ,6030y = + = + =

b),,i i

tny O C n

⎡ ⎤∑= + ⎢ ⎥⎣ ⎦

4 194 8 4 4 6,4 6 ,6030 30y −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A pesar de la recomendación de considerar como origen de trabajo al valor central de la variable, se ha tomado un valor que no est ubicado en ese lugar, para demostrar que se obtiene el mismo resultado trabajando con cualquier valor como origen de trabajo. Adem s, como el producto de la frecuencia por su desviación, en el origen de trabajo, su resultado ser igual a cero, dicho espacio lo utili amos para anotar las semi-sumas de los valores negativos y positivos.

Propie a es e la me ia

Dada al importancia que tiene el c lculo de la media aritmética y su frecuente uso, conviene detenernos a considerar algunas de sus propiedades.

Primera propiedad la suma de las desviaciones respecto a la media aritmética es igual a cero.

a) En datos no agrupados u originales se tiene que � i 0

∑ = ∑ −( ) = ∑ − ∑ = ∑ −x x x x x nxi i i i

Siendo: ixx n∑= n x xi= ∑ reempla ando, se tendr nx nx− = 0 siendo igual a

considerar: ∑ − ∑ =x xi i 0

b) En tablas de frecuencias, las desviaciones con respecto a la media deber n ponderarse, es decir, multiplicadas por sus respectivas frecuencias absolutas. En distribuciones simétricas no hay necesidad de ponderar las desviaciones para que la suma sea cero.

( )i i i i i i i i in y y n y n y n y n yn= − = − = −∑ ∑ ∑ ∑ ∑

a Ot) →

) tb O →

ni i,,


Siendo i iy ny n∑= se tendr que yn y ni i= ∑ reempla ando, se obtiene que

0i i i iy n y n− =∑ ∑ y y ni i−( ) =∑ 0

Ejercicio 12. Los sueldos de 5 personas en un almacén son: 68 .000, 665.000, 658.000, 6 5.000 y 680.000. Calcular las desviaciones respecto a la media.

Solución

xi ix x−68 .000 10.000665.000 - .000658.000 -14.0006 5.000 3.000680.000 8.000

3.360.000 �� i 0

Ejercicio 13. Los sueldos de 0 personas que trabajan en un almacén, se presentan a continuación en una tabla de frecuencias. Calcular las desviaciones respecto a la media.

Soluciónyi ni yi ni (yi�y) (yi-y)ni

65 .000 1.304.000 -18.800 -3 .600660.000 3 1.980.000 -10.800 -3 .400668.000 5 3.340.000 - .800 -14.0006 6.000 6 4.056.000 5. 00 31. 00684.000 4 . 36.000 13. 00 5 .800

� 0 13.416.000 - 0

Segunda propiedad La media aritmética de una constante, es igual a la constante.

Se tiene que [ ]i

xxM xn

∑= = siendo xi la variable.

Ahora, considerando a K como constante, reempla amos:

[ ]nM n n

∑= = = (en datos no agrupados)

[ ]i in n nM n n n

∑ ∑⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ (en datos agrupados)

Esta propiedad se puede comprender f cilmente. Sin embargo, veamos un ejemplo.

Ejercicio 1 . *�� de 86 .000 mensuales cada uno la media aritmética simple se obtendría sumando veinte

ixx n∑=

x �3 360 000

5. .

x � 6 000.

y y nn

i i=∑

=13 416 000

0. .

x � 6 0 800.

M

y y ni i−( ) =∑ 0


veces los 86 .000 y el total resultante, se dividir por veinte, siendo el promedio igual a 86 .000.

Tercera propiedad La media del producto de una constante por una variable, es igual a multiplicar a la constante por la media de la variable.

[ ]i

i iy

x xM xn n∑ ∑⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦ (en datos no agrupados)

M y nn

y nn

yyi i i i

i

[ ] =

∑=

∑⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= (en datos agrupados)

Ejercicio 1 . En un inventario reali ado en la bodega de un almacén, se encontraron 00 artículos que fueron importados a diferentes precios (datos en Euros). (Ver Tabla 6.5).

Tabla .

yi ni yi ni

0,5 0 4103 ,0 30 96048,6 50 .43050,0 60 3.00060,4 40 .416 El precio promedio del artículo es de

� � 00 9. 16 46,08.

Resulta ahora, que se quiere hacer el registro contable de esos 00 artículos en pesos colombianos. Si el tipo de cambio actual fuera de .396 se tendría que el precio pro-medio de esos artículos sería:

[ ] ( ) ( )( ).396 46,08 110.40 ,68iyM y= = =

Un método innecesario, que se aplica por desconocimiento de la anterior fórmula, es el de convertir en pesos, los precios en euros para cada grupo de artículos. Veamos a continuación como se hubieran efectuado esas operaciones.

Tabla .

yi ni yi ni

49.118,00 0 98 .3606.6 ,00 30 .300.160

116.445,60 50 5.8 . 80119.800,00 60 .188.000144. 18,40 40 5. 88. 36

� � 00 .081.536

i fi i fi

i iy ny n∑= y � �

9 1600

46 08. ,

i iy ny n∑=

.081.536 110.40 ,6800y = =

y � . ,110 40 68

M x x


Cuarta propiedad La media aritmética de una variable más o menos una constante, será igual a la media de la variable, más o menos la constante.

[ ] [ ] [ ]x xM M M x− = − = − [ ] [ ] [ ]x xM M M x− = − = −

Ejercicio 1 . �� ?��_� ��>�-doles un salario diario (ver Tabla 6. ) de acuerdo con la clase de trabajo que ejecutan.

Tabla .

CLASE DE TRA A O yi ni yi ni

Plomeros 1.3 0 10 13. 00Ayudantes 1.380 0 4 .600Albañiles 1.500 5 53 .500Carpinteros 1.600 5 108.000Electricistas 1. 00 151.900Pintores� ��!"#� 13 8 . 50

� �� 80 1. 0.950El promedio de salario diario para este grupo de obreros es de 1.511,88. Resulta

k� � �� &��?��tanto el nuevo promedio ser

[ ]yM y+ = + y = + =1 511 88 1 000 511 88. , . . ,

Sin el conocimiento de esta propiedad, la media se hubiese calculado en la forma siguiente:

Tabla .

yi ni yi ni

.3 0 10 3. 00

.380 0 44 .600

.500 5 56 .500

.600 5 113.000

. 00 158.900

. 50 13 95. 50� � 80 1.800.950

i fi i if

Ejercicio 1 . El salario medio mensual por obrero de la empresa fue de 6 8.000 durante 011. Para 01 la empresa da a cada uno de sus obreros la suma de 4 .000, �� k� �� #��+�� [�� el promedio de salario quincenal en 01 ?

i iy ny n∑=

y � �1 800 950

80511 8. . . ,

y = 511 8. ,

y � �1 0 950

801 511 88. . . ,

9 0.950

i iy ny n∑=


Soluciónx � .6 8 000 [ ]xM x+ = +

4 .000= M x+[ ] = + =4 000 6 8 000 0 000. . .

x � .0 000 mensual

uinta propiedad La media aritmética de una muestra dividida en submuestras, es igual, a la media ponderada de las submuestras, tomando como ponderación los tamaños de las mismas.

1

1

......

i m m

m

x n x n x nx n n n+ + +=

+ + + o 1 1

1

......

m m

m

y n y n y ny n n n+ + +=

+ + +

Generali ando se tendr que y y nn

i i=∑

i= + +

∑1 1 .....

Ahora, si se considera que ii

nh n= se tendr :

1 1 ... m mx x h x h x h= + + + x x hi i= ∑ o i iy y h= ∑

Ejercicio 1 . Un inversionista tiene 1. 00 acciones de un precio inferior a 3.490, siendo su valor promedio de .905 adem s, 800 acciones cuyo valor unitario es supe-rior a 3.490 y su valor promedio de 4. 5. Se quiere averiguar el valor promedio de las .000 acciones.

SoluciónUna operación muy común, pero errónea, consiste en sumar los dos promedios y

dividirlos entre dos.1 .905 4. 5 .180 3.590x xx n

+ += = = =

La solución acertada es aplicando la quinta propiedad.( ) ( )1

1

.905 1. 00 4. 5 8001. 00 800

ix n x nx n n++= =

+ + = + +

+1 1

1

.....

3.486.000 34 0.000 6.906.000 3.453.000 .000x += = =

Ejercicio 1 . El precio de un centenar de artículos es 1.85 , los artículos se dividen ��?�� &��+��&��&��#��[+� ��


Solución1.85x = 1 100n n= −

x1 1 58� . n �100x 1 9 8� . n1 � ?n n1 100+ = n � ?

( ) ( )1.85 100 1. 58 100 1.9 8n n= − +

185. 00 1 5.800 1.9 8 1. 58n n− = −

185. 00 1 5.800 1.9 8 1. 58n n− = −

9 900 0. � n

Ejercicio 20. La media de los salarios pagados en una quincena a los empleados de una empresa ascendió a 380.000. La media de los salarios pagados a los hombres y a las mujeres fueron, respectivamente, de 390.000 y 3 3.000. Determinar los porcentajes de hombres y mujeres empleados en dicha empresa.

Solución

380.000x = 1 390.000x = 1 390.000x = h1 = ? ?h =

1 1x n x nx n+= 1 1x x h x h= + siendo 11 h h= + 11 h h= +

reempla ando se tiene( )380.000 390.000 1 3 3.000h h= − +

380.000 390.000 390.000 3 3.000h h= − +

390.000 3 3.000 390.000 380.000h h− = −

1 .000h 10.000

58,8 mujeres 41,18 hombres

Sexta propiedad La media aritmética de la suma de dos variables que tienen la misma ponderación será igual a la suma de las medias de dichas variables.

Si existen n pares de valores de la variable x y de la variable y, se pueden formar sumas x1 y1

1 1

1

x n x nx n n+=+

11. 58 1.9 81.85 100n n+=

9.900 450n = =

n1 100 45 55= − =

10.000 0,5881 .000h = =

1 1 0,588 0,4118h = − =


( )( )i i i i i i i

x yx y n x n y nM n n n+

+∑ ∑ ∑= = + ( )x yM x y+ = +

La propiedad anterior puede ser aplicada para la suma o resta de un número cualquiera dado de variables.

Séptima propiedad La suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media es menor, si se compara con desviaciones respecto a un origen de trabajo.

( )( )

,1 j i t

j i

z y Oz y y

= −= −

De la ecuación (1) restamos la ( )

y O y yi i i t i, − = −( ) − −( ) ,

i i i i tz z y y y O− = − + −

,i i tz z y O− = − siendo ty O− = se tendr que: ,

i iz z= + ( ),i iz z= +

( ),i i i iz n z n= + z n z ni i i i

,2 2= +( )∑ = ∑ +( )z n z ni i i i

, ,i i i i i i iz n z n z n n= + +∑ ∑ ∑ ∑ siendo 0i iz n =∑

,i i i iz n z n n= −∑ ∑ Por lo tanto ,

i i i iz n z n n= −∑ ∑

Se tendr ,i i i iz n z n<∑ ∑

Me iana (Me)*�� ?�� k� �� &�^ �� }�aquel

valor de la variable que supera la mitad de las observaciones y a su vez es superado por la otra mitad de las observaciones. Por tal ra ón, se le considera como el valor central,ya que el promedio estar situado en el centro de la distribución.

La mediana se simboli a por Me. Su aplicación es menos frecuente que la media aritmética presenta gran inestabilidad en el muestreo sus fórmulas son rígidas y no ad-miten tratamiento algebr ico como la media. En aquellas distribuciones irregulares, que presentan valores extremos que por lo general afectan al promedio, deber utili arse la mediana, ya que no se afecta por los cambios que sufra la variable, mientras no sea en la observación central. Para calcular la mediana se requiere un ordenamiento de los datos, de menor a mayor o viceversa.

La mediana es utili ada con mayor frecuencia, cuando la distribución presenta el �� +� ��W�� &�*�� promedio depende del número de observaciones y no del valor de las mismas la mediana ��+�� &


atos no agrupadosCuando calculamos la mediana en datos no agrupados, ordenamos las observaciones

de menor a mayor o viceversa. En su c lculo se presentan dos casos:

a) Cuan o el n mero e atos es impar. En este caso la mediana coincide con el dato central.

Ejercicio 21. Consideremos los salarios para los primeros once vendedores, del ejer-cicio 1 de esta unidad, para calcular la mediana.

85.000 691.000 0.000 63.800 856.000 856.0001.300 8 3.000 1.091.000 6 3.000 50.000

Lo primero que hacemos en el c lculo de la mediana, es ordenar los datos de menor a mayor.

6 3.000 691.000 0.000 1.300 50.000 63.000 85.0008 3.000 856.000 856.000 1.091.000

Cuando el número de observaciones es grande, se podr locali ar la observación central mediante la aplicación de la fórmula

En este caso la mediana se ubicar en la sexta observación, cuyo valor es 63.000. Se �� k� ?�� ?��&�� central, la que supera a cinco observaciones y a su ve es superada por igual número de observaciones.

Si cualquiera de las 10 observaciones, (exceptuando la sexta) cambia de valor, la mediana no se altera. Si comparamos el valor de la mediana con la media aritmética para la misma distribución, notamos que son diferentes:

x xn

i=∑

= =8 6 9 000

1189 0. . . , Me � 63 000.

El valor obtenido para la mediana puede ser superior o inferior al de la media., depen-diendo del grado de asimetría, como se ver m s adelante. En el ejercicio que nos ocupa, la mediana es menor que la media, ya que no est afectada por el valor de 1.091.000, en cambio la media si se encuentra afectada. Ahora, si el último valor en ve de 1.091.000 fuera .000.000, se tendr que la media varía, aument ndo su valor, mientras que la mediana sigue siendo la misma.

b) Cuan o el n mero e atos es par. En este caso la mediana ser el término medio de los dos valores centrales. Supongamos que en ve de 11 se tienen 1 vendedores, cuyos salarios se presentan ordenados de menor a mayor.

Me

1 11 1 6 observaciónn + += =


6 3.000 691.000 0.000 1.300 46. 00

50.000 63.000 85.000 8 3.000 856.000 856.000 1.091.000

Me =+

=50 000 63 000 56 500. . .

Para obtener las observaciones centrales, aplicamos la fórmula: 1 1 1 6,5n + += =

es decir, la mediana debe estar locali ada entre la sexta y la séptima observación, por lo

tanto se promediar n los valores de esas observaciones.

atos agrupadosPara el c lculo de la mediana, se deber tener en cuenta, en primer lugar si la variable

es discreta o continua y la ubicación de la observación central. Veamos el procedimiento que se sigue en cada caso especial.

ariable discreta

a) Cuando Nj-1 n la mediana se obtendr aplicando esta fórmula: 1j je

y yM − +

=

Para la aplicación de la anterior fórmula, consideremos los datos de la Tabla 6.9 y tengamos en cuenta los siguientes cuatro pasos:

Tabla . Tabla .10

yj nj Nj yj nj Nj

0 3 3 0 3 31 4 1 6 9

8 15 1 13 1 3 84 3 30 4 30

� ��30 - � 30 -

i fi Ni i fi Ni

(i) Se acumulan las frecuencias absolutas (Nj).

(ii) Se divide al valor de n por dos. En este ejercicio se tendr : 30 15=

(iii) Se busca en la columna de las frecuencias absolutas el valor de n . Si aparece, como en la Tabla 6.9, se simboli ar por Nj-1 y el valor inmediatamente posterior por Nj.

Se tendr que Nj-1 15 y Nj .

1jy − →

y j $1jN −←

jN←

1jN −←

jN←


(iv) Siempre que Nj-1 n , en una variable discreta, la fórmula que se aplica para calcular la mediana, ser :

My y

ej j=

+= + =−1 3 5,

b) Cuando Nj-1 n la mediana se obtendr aplicando la siguiente fórmula: Me yj

bservemos el c lculo de la mediana trabajando con los datos de la Tabla 6.10.

(i) Se obtienen las frecuencias absolutas acumuladas (Nj).

(ii) Se divide a n por . En este caso es 30 15=

(iii) Se locali a el valor de n en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas.

(iv) Como no aparece el 15 en dicha columna, se tomar el valor inmediatamente superior a 15 como Nj (en este caso es 1) y el valor inmediatamente anterior (en la Tabla 6.10) como Nj-1 (en nuestro caso, 9).

(v) Siempre que Nj-1 n , en una variable discreta, la mediana se calcular aplicando la siguiente fórmula:

Me yj Me

ariable continua

a) Cuando Nj-1 n , la fórmula para hallar la mediana ser : ,1e jM y −=

Utili aremos la Tabla 6.11 para calcular la mediana. No se describir n los pasos a se-guir en la variable continua, debido a que son los mismos dados para la variable discreta, sólo que y j�1

, se locali a al frente de Nj y que el valor de � corresponder al del intervalo que est al frente de Nj.

Tabla .11

1, ,j jy y− − nj Nj

46,1 - 54 5 554,1 - 6 16 ,1 - 0 13 50,1 - 8 10 358,1 - 86 9 44

86,1 - 94 6 50� 50 -

b) Cuando Nj-1 n , para hallar la mediana se aplicar la siguiente fórmula:

1jN −←

jN←

n 50 5� � siendo

Siempre que: 1jN n� �

La mediana ser :

1 0e jM y −= =

,

,

1 5jN � �


1,1

je j

j

n NM y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Consideremos una distribución, donde los valores extremos de la variable no est n � ��+?�� ?�� ?�� &��&

Tabla .12

y yj i� �1, nj Nj

menor o igual a 54 6 654,1 - 60 1 18 60,1 - 0 nj 38

,1 - 86 1 5086,1 - 94 6 56

94,1 y m s 4 60� 60 -

60 30n = =1jN n− < 1 18jN − = N j � 38 1,

1j

e jj

n NM y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

30 18 1 14460 1 60 1 60 60 , 6 ,0 0 0eM −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a moda Md

La moda es otra medida de posición, menos importante que los dos promedios ante-riores, y su uso es bastante limitado. Al igual que la mediana, sus fórmulas no admiten tratamiento algebr ico tampoco es sensible a valores extremos o a los cambios que se hagan a los valores de la variable diferentes al de la moda. Su uso se hace indispensable �� +�W�� &

Se utili a de preferencia en distribuciones con amplitud constante y en especial cuan-dola variable o el atributo presenta una frecuencia demasiado grande con relación a las dem s.

La moda �� mayor densidad, es decir, la mayor frecuencia.

1jN −←

jN←


Si se tiene un atributo o una variable con m xima frecuencia, la distribución es uni-modal. Si hay dos valores en la variable con la misma frecuencia m xima, la distribución es bimodal. Si hay m s de dos, la distribución es multimodal. En datos, originales o no agrupados, puede suceder que no haya moda, cuando ninguno de los valores que toma la variable se repite.

Algunos consideran la moda como un promedio industrial ya que la fabricación o la venta de un artículo puede estar determinado por la moda.

Ejercicio 22

Examinemos tres casos de observaciones para locali ar en ellos en el valor de la moda:

a) 4 9 10 10 1 15 moda

b) 4 9 10 11 14 16 18 0 sin moda

c) 4 4 4 9 10 10 10 18 bimodal (modas 4 y 10).

En series agrupadas la aplicación de la moda es muy relativa y poco usada. Consider-emos los mismos datos de la Tabla 4.15, para calcular la moda, en donde se tendr n que utili ar las marcas de clase.

Tabla .1

yj nj

50 3 58 6 66 10 4 6 8 3 90� � � 30

Cuando la moda se aplica en una variable continua, se requiere que la amplitud de los intervalos sean constantes.

Se presenta a continuación dos fórmulas m s para el c lculo de la moda, y quienes las establecieron buscaban con su aplicación, la obtención de un valor m s representativo de la distribución, pretensión discutible si se tiene en cuenta que la estadística no proporciona exactitud, sino aproximaciones acerca de las características de una población.

← nj

M yd j� � 66

M d � 66 puesto que este valor presenta la m xima frecuencia (10)


Tabla .13

y yj i� �1, ,

nj

46,1 - 54 354,1 - 6 16 ,1 - 0 300,1 - 8 88,1 - 86 5

86,1 - 94� �� 60

a) 1,1

1 1

jd j

j j

nM y C n n

+−

+ −

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥+⎣ ⎦

b) ( ) ( )1,

11 1

j jd j

j j j j

n nM y C

n n n n+

−+ −

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +

− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

a) 8 646 8 6 6 3, 65,8 1 0dM ⎡ ⎤= + = + = + =⎢ ⎥+⎣ ⎦

b) ( ) ( )30 1 18 1446 8 6 8 6 65,618 4030 8 30 1dM ⎡ ⎤− ⎡ ⎤= + = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+− + − ⎣ ⎦⎣ ⎦

Los resultados no necesariamente deben ser iguales

El proceso a seguir

Hacemos clic en INICILuego clic en PR GRAMAS

tro procedimiento a seguir Doble clic en el icono MICR S FT EXCEL

Operaciones en la oja e cálculoCreamos una tabla de 30 datos, tecleando la información en la Hoja 1, con las siguientes características, tal como aparece en el siguiente cuadro:

1 1j j jn n n− +< >nj�1nj

1jn +

icación de estadística en a e a ienta ce


Como se puede observar las características cualitativas (sexo, profesión, estado civil, etc.) se digitaron utili ando códigos, que anteriormente se habían establecido, lo mismo se hi o para la característica cuantitativa (variable) Ingresos.

C DIG S UTILI AD S

SEX ESTAD CIVIL PR FESI N SALARI S1: Masculino 1: Soltero 1: Abogado 1: 800.000 - 1. 00.000: Femenino : Casado : Agrónomo : 1. 00.001 - 1.600.000

LECTURA 3: Unión libre 3: Arquitecto 3: 1.600.001 - .000.000^ �� W� �� }� ^ �� }� �� }��&��&��&��&�� 5: Viudo 5: Economista 5: .400.001 - .600.000 6: tros 6: Ingeniero Civil 6: .600.001 - 3.000.000 : Mercadotecnista : 3.000.001 - 3.400.000 8: Publicista

�� K�� ?�� ?�� la información recolectada, en la Hoja adem s si es necesario convertir los códigos en palabras o números que muestren su equivalencia, lo cual se podr hacer con los datos de la tabla copiada (hoja ), cuyo proceso se reali a de la siguiente forma:

Seleccionamos la información que se requiere, para posteriores c lculos, en este caso toda la tabla anterior (Hoja 1).En la barra de herramientas hacemos clic en EDICI N, aparece inmediatamente una ventana o comandos, y hacemos clic en C PIAR.Hacemos clic en Hoja , clic en EDICI N, aparece de nuevo la ventana y clic en PEGAR.Se tiene toda la información en la Hoja .

de libros leídos du-rante el año. Es una variable discreta.


PRESENTACIÓN DEL CUADRO O TA LA DECODIFICADA

Ahora queremos tener una tabla donde no apare can los códigos, si no tal palabras como se expresa el atributo, es decir, en ve del código 1, en sexo debe aparecer Mascu-lino algo similar ocurre con la variable salario, que en ve del código uno debe aparecer el intervalo 800.000 - 1. 00.000.

� �� K��+�[� �� '?�� los datos de ésta columna, desde A hasta A31

Nos ubicamos nuevamente en el menú EDICI N hacemos clic en REEMPLA AR y nos aparece un cuadro de di logo llamado BUSCAR y REEMPLA AR.


En la caja BUSCAR tecleamos el código, en este caso 1 y en la caja REEMPLA ARC N: la palabra MASCULIN .Hacemos clic en PCI NES¦¦�+�� C INCIDIR C N EL C NTENID DE LA TABLA Si no aparece el menú PCI NES¦¦�� BUSCAR S L CELDAS C MPLETAS

Hacemos clic en la casilla REEMPLA AR T D , inmediatamente cambia todas las celdas donde aparece el número 1, por la palabra correspondiente Masculino.Todos los pasos, se deben repetir para el código número en la columna A, cambiada para la palabra Femenino.Se har lo mismo, en las columnas B, C y E, de acuerdo con los códigos asignados.


Copiamos el cuadro o tabla anterior en la hoja 3EDICI N C PIAR H JA 3 PEGAR.

ELA ORACIÓN DE TA LAS DE FRECUENCIA

Consideremos la información de la columna H, correspondiente a la variable Estatura, de la tabla que aparece en la hoja 3.Hacemos clic en cualquier celda del rango A1:H:31Se hace clic en el menú DAT S, apareciendo un plegable.

Hacemos clic en INF RME DE TABLAS GR FIC S DIN MIC S.


bservamos que aparece un cuadro de di logo ASISTENTE PARA TABLAS GR FI-C S DIN MIC S Paso 1 de 3.Como los datos se encuentran en una hoja de c lculo de EXCEL, seleccionamos LISTA

BASE DE DAT S DE MICR S FT FFICE EXCEL.

Seleccionamos y hacemos clic en SIGUIENTE. Tenemos un nuevo cuadro de di logo ASISTENTE PARA TABLAS GR FIC S DIN MIC S, paso de 3, encontramos que �� K� ��?��k� �� [�#��seleccionado una celda cualquiera en la lista de datos, si no lo hubiéramos hecho tendríamos que digitar los valores correspondientes al rango.


Nuevamente, hacemos clic en SIGUIENTE obteniendo el tercer cuadro de di logo correspondiente a ASISTENTE PARA TABLAS GR FIC S DIN MIC S, paso 3 de 3, ofreciendo seis (6) opciones, locali ando en la parte inferior de este cuadro.

Al hacer clic en DISE , nos presenta un nuevo cuadro de di logo, d ndonos opciones de acuerdo con las variables que inicialmente presentaba la lista de datos, como lo podemos observar a continuación:


Procedemos a seleccionar una de las variables, por ejemplo ESTATURA, en la que hacemos clic con el botón i quierdo del mouse, manteniendo oprimido y arrastrando hasta el rect ngulo FILA. Repetimos el proceso en el cuadro de DAT S.

Ahora procedemos a hacer clic en ACEPTAR, con el cual regresamos al cuadro de di logo ASISTENTE PARA TABLAS GR FIC S DIN MIC S, paso 3 de 3. Hacemos clic en H JA DE C LCUL NUEVA.

clic en FINALI AR.

El cuadro nos muestra los datos de la variables sin agrupar y, en forma predeterminada, EXCEL suma los datos de toda la variable estatura (característica cuantitativa). (Puede


que apare ca la barra de herramientas de TABLA DINAMICA, ésta no afecta, se puede cerrar haciendo clic en la X superior derecha).

Ahora, nos ubicamos en una de las celdas correspondientes a la columna total, hacemos clic con el botón derecho, en el comando C NFIGURACI N DE CAMP , y nos aparece el cuadro de di logo CAMP DE LA TABLA DIN MICA.

Con el cuadro anterior, en la lista desplegable RESUMIR P R elegimos CUENTA y hacemos clic en ACEPTAR, con lo cual aparece la frecuencia de cada intervalo en la columna total.

Vale la pena observar en la lista desplegable RESUMIR, porque se tiene una lista de die (10) funciones de resumen: SUMA, CUENTA C NTAR, PR MEDI MAX, MIN, PR DUCT , C NTAR NUMER S, DESVEST, DESVESTP, VAR VARP. Las anteriores funciones podr n ser utili adas a medida que avancemos en el desarrollo del programa de Estadística Descriptiva y en el c lculo de Medidas de Posición (Media Aritmética) y de dispersión (Desviación Típica o Est ndar de Varian a ).

Procedemos a ubicarnos en cualquier celda de la columna ESTATURA haciendo clic con el botón derecho y, elegimos el submenú AGRUPAR M STRAR DETALLE o también llamado AGRUPAR ESQUEMA, luego el comando AGRUPAR... de inmediato aparece el cuadro de di logo AGRUPAR.


De acuerdo con la forma que deseamos presentar la tabla de frecuencias, establecemos el valor mínimo, correspondiente al primer valor del intervalo de clase y lo digitamos en la caja de entrada C MEN AR EN: En nuestro ejemplo 145, luego en TERMINAREN: 185 Nos queda por digitar el tamaño del intervalo en la caja P R: Supongamos que se van a hacer intervalos de 8., es decir que la amplitud va a ser de 8. Finalmente hacemos clic en ACEPTAR.

Podemos observar cómo, en el cuadro anterior, nos queda la tabla de frecuencias para una variable continua.


ELA ORACIÓN DE UNA TA LA DE FRECUENCIAS RELATIVAS

Regresemos a la Tabla Din mica

Seleccione toda la Tabla Din mica

Haga clic en EDICI N y luego C PIAR.

Clic en la celda D3, luego clic derecho e, inmediatamente de clic en PEGAR.


Inmediatamente nos aparece una segunda tabla din mica exactamente igual a la ante-rior, en la cual vamos a reali ar los procedimientos necesarios para que se convierta en una Tabla de Frecuencias Relativas.

En una de las celdas de la columna Total de la segunda tabla (Hoja 4) hacemos clic derecho, seleccionamos el comando C NFIGURACI N DE CAMP , obtenemos el cuadro de di logo CAMP DE LA TABLA DIN MICA, hacemos clic en PCI NES .


Hacemos clic en la lista desplegable M STRAR DAT S C M y elegimos DEL T TAL.

Se podr observar la Tabla de Frecuencias Relativas.

REPRESENTACIÓN GR FICA

Consideremos los datos, presentados anteriormente en una Tabla de Frecuencias, con �� &


Lo primero que debemos hacer es seleccionar el rango en este caso A 8:B3 , tenga cuidado al hacer la selección, pues no debe incluir la celda que dice Total.

Nos ubicamos en el menú INSERTAR y elegimos GR FIC , también hubiéramos podido proceder haciendo clic en el icono de acceso r pido de la barra de herramientas est ndar.

bservamos que aparece el ASISTENTE PARA GR FIC S, paso 1 de 4: Tipo de Gr -��?�� k� �� nos ofrece, procurando que sea el m s adecuado al tipo de información disponible.


� '[��?�� ?�� K ��C LUMNAS y Subtipo � �� k� �� ?� �� C LUMNA AGRUPADA.

Hacemos clic en SIGUIENTE en el cual obtenemos un cuadro de di logo ASISTENTEPARA GR FIC S, paso de 4: Datos de origen.

� !�� #�� K�k� ��_� � � ��<�"� �� el Eje de Categorías (X), el nombre de la variable EDAD y en el Eje de Valores ( ), el nombre de las frecuencias, que en este caso podría ser porcentaje.

Continuamos el proceso, haciendo clic en SIGUIENTE y obtenemos un cuadro de di logo ASISTENTE PARA GR FIC S?�� <�� &

� �� $�k� �� [+�� }� K �?��#��?�leyenda, líneas de división, rea se trayecto, etc. Elegimos el Punto de Selección C M

BJET EN el sistema elige la hoja activa.

� '�#�� }


En algunos equipos el procedimiento anterior se debe reali ar, copiando y pegando nuevamente la Tabla de Frecuencias Absolutas y reali ar todos los pasos descritos anteriormente.

PROCEDIMIENTO PARA O TENER RESULTADOS EN LA APLICACIÓN DE MEDIDAS

�� ^ �� k� �� k� �� -scriban a un grupo de datos.

�� _� �� k� �� fórmulas estadísticas que son utili adas por EXCEL.

�� &

1. Mediante el uso de la función, de la siguiente manera:�� ^ � �� W�INSERTAR�� *� ��FUNCI N�� ESTAD STICA�� |�� _��

. Procedemos a hacer clic en el ícono de acceso r pido del asistente para funciones. �� #��&�� *� ��ESTAD STICA�� |�� _�� &


A ESTADÍSTICA DESCRIPTIVAMe iaAritmética PR MEDI (A:A)Geométrica MEDIA GE M (A:A)Armónica MEDIA ARM (A:A)Mediana MEDIANA (A:A)Moda M DA (A:A65010)Desviación estan arMuestra DEVEST (A:A)Poblacional DEVESTP (A:A)Varian aMuestral VAR (A:A)Poblacional VARP (A:A)Curtosis CURT SIS (A:A)Asimetría C EFICIENTE.ASIMETRIA (A:A)Rango MAX (A:A).MIN (A:A)Valor mínimo MIN (A:A)Valor m ximo MAX (A:A)Suma SUMA (A:A)N mero e atosCuartilesCuartil uno CUARTIL (A:A,1)Cuartil dos CUARTIL (A:A, )Cuartil tres CUARTIL (A:A,3)Rango Intercuantílico CUARTIL(A:A,3).CUARTIL(A:A,1)Decil tres PERCENTIL (A:A, 0,3)Decil ocho PERCENTIL (A:A, 0,8)Rango Interdecílico PERCENTIL (A:A, 0,9). PERCENTIL(A:A, 0,1)


La media aritmética, la mediana y la moda son medidas de posición, que suelen ser aplicadas juntas en numerosos estudios. Otras veces se calculan independientemente, teniendo en cuenta la naturaleza y característica de la distribución.

Se podrá decir que la media aritmética es un promedio afectado por todos los va-lores de la distribución la mediana será el valor central la moda corresponderá a aquel valor de la variable que presenta el mayor número de observaciones, es decir la mayor frecuencia.

�� en una población se denominan parámetros y se llaman estadígrafos o estimadores puntuales cuando son utilizadas en las muestras.


La media, a diferencia de la mediana y de la moda, presenta una ligera estabilidad en el muestreo, por tal razón su uso es muy frecuente.En cualquier distribución el valor de la mediana se localizará entre la media y la moda.a En una distribución simétrica: M1 Me Mdb En una distribución asimétrica se tienen dos casos:

1 M1 Me Md 2 M1 Me Md

La distancia entre la media y la moda, es tres veces la distancia entre la media y la mediana. La anterior relación se denomina de Pearson, y es utilizada para calcular cualquiera de ellos, conociendo los otros dos.M1 - Md M1 - Me Md Me - 2M1

La media aritmética es la medida más conocida y mejor comprendida, de ahí sus frecuentes aplicaciones. Sin embargo, la elección entre las tres medidas dependerá del propósito por el cual se recolectó la información y del comportamiento de los datos.


Fórmulas:

ixx n∑= i iy ny n

∑=

i iy y h= ∑,i i

tny O n

∑= +

,,i i

tny O C n

∑= +1 1

1

x n x nx n n+=+

1j je

y yM − +

= Me yj

Media aritmética ponderadausando frecuencias relativas

Segundo métodoabreviado paracalcular media

La mediana en variable discreta cuando

1jN n� �

Propiedades de la media cuando se trabaja con medias de submuestras

La mediana en variable discreta cuando 1jN n− <

Primer método abreviadopara calcular la media

Media aritmética simplepara datos de agrupados

Media aritmética ponderadapara datos agrupados

imodal :��

EstadígrafosMediana Media aritmética simpleMedia aritmética ponderada

ModaPromedioParámetrosPlurimodal Origen de trabajoUnimodal

....

....


La mediana en la variable continua cuando 1jN n� �

La moda, siendo yj el valor m s frecuente

La mediana en variable continua cuando 1jN n− <

La moda en datos agrupados de variable continua, siendo la amplitud constante

La moda, cuando la amplitud es constante.

Método empírico para estimar la moda, denominado de Pearson

Desviaciones respecto a la media

Desviación respecto a un origen de trabajo, medida enunidad de amplitud

Desviaciones respecto a un origen de trabajo

En distribuciones simétricas

En distribuciones asi-métricas positivas

En distribuciones asi-métricas negativas

,1e jM y −=

1,1

je j

j

n NM y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

d jM y=

1,1

1 1

jd j

j j

nM y C n n

−−

+ −

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥+⎣ ⎦

( ) ( )1,

11 1

j jd j

j j j j

n nM y C

n n n n−

−+ −

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +

− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

13d eM M M= − i iy y� �

i ix x� �

y OC Ci

i t i= − = y Oj i t,= −

1 e dM M M� � 1 e dM M M% %

1 e dM M M< <


�&�� _�� >��promedio?

�&�� #��$�� promedios?

3. Dar algunos ejemplos en los cuales se utili aría le media, la mediana y la moda.

4. Die egresados del bachillerato comercial se iniciaron en el trabajo con los siguientes sueldos: 843. 50 8 3.500 908.000 8 6.000 695.000 60.000 605.000 903. 50 80.000 69 .000.

a) Calcular la media, mediana y la moda

�� el m s representativo y por qué?

5. De un grupo de 100 obreros en una f brica, 40 trabajan en el día y 60 en la noche. Se sabe que el salario promedio de los cien obreros es de 80 . 00 y que los del turno de día reciben en promedio

58.000 menos que los trabajadores ��&�� en cada grupo?

6. En un supermercado trabajan 35 mujeres, con un salario promedio de 9 8.000 y 15 hombres que, en promedio, ganan ��¢��k� ��K � �?�� el salario promedio de los empleados en dicho supermercado?

. Se sabe que ninguna de las sucursales de una empresa comercial tiene m s de 9 empleados o menos de . La mayoría tiene 8 empleados, pero el 5 tiene 9 empleados, y una de cada 10 sucursales

�� &�� de empleados por sucursal?

8. Los siguientes datos corresponden a los salarios diarios, en pesos, pagados por una f brica a su personal de obreros en un día de trabajo.

SALARI NDIARI BRER S

15.000 1018.000 16

0.000 35 3.000 6 5.000 13

� *��_�� laboral. El gerente propone un aumento del 10 diario para cada uno de los obreros y la Junta directiva propone un aumento de .000. Se solicita su asistencia para que discuta qué es m s ventajoso para la f brica y qué para �� ?�� W��-�� &��actuaría usted?

�&�� son verdaderas y cu les falsas?

a) La suma de las desviaciones respecto a la media aritmética (en datos no agrupados) es diferente a cero.

b) En una serie sencilla cuando n espar, la mediana es igual a uno de los valores centrales.

c) Una distribución asimétrica podría dar los siguientes resultados.M1 1 Me 8,5 Md ,

d) Un grupo de valores puede tener m s de un promedio.



10.En la siguiente serie de números, indicar:

4.000 4.500 5.000 5.000 8. 509.300 9. 00 1 .000 1 .500 35.000

a&� La media b)��La mediana c) La moda.�� #��

� �� k�>� �� >�_��_ �� -

mética de esta serie?

11. Señalar el literal que complemente, en cada caso, los numerales 11.1, 11. y 11.3.

11.1 La media aritmética es una medida: (Señale con una x un solo aspecto).a. Que se conoce muy poco.b. M s conocida que la mediana y la

moda.c. Diferente para la misma distribución,

según la persona que le calcule.d. Siempre menor que la mediana y

la moda.

11. En un grupo de datos que presenta el valor extremo superior demasiado grande, se requiere aplicar:a. La media aritmética, porque toma en

consideración todos los valores.b. La media aritmética, porque no se

afecta por dicho valor extremo.c. La mediana o la moda, porque

son menos afectados por valores extremos.

11.3 Al calcular la media se toma en con-sideración:a. Unicamente los valores extremos de

la variable.b. Los puntos medios únicamente.c. Los valores m s bajos de la distri-

bución.

d. Cada componente individual del grupo de valores.

1 .Indicar en los siguientes puntos si la distribución es simétrica o asimétrica.a. x 60 Me 8 0 Md 880b. x 880 Me 8 0 Md 60c. x 8 0 Me 8 0 Md 8 0d. x 8 0 Me 8 0 Md 500

13.Los trabajadores de una empresa so-licitan en una convención colectiva k� � �� aumentado según la ecuación:y 1, 5 xi . 00.

La empresa tiene 1.000 trabajadores y antes del reajuste su promedio es ��&��&�� #� �� de salario mensual de los trabajadores si la empresa acepta la petición?

��&�*�� _� �� 50 datos, utili ando cuatro intervalos de igual magnitud. Se pide calcular la mediana y la moda por los métodos conocidos, sabiendo que:

1 350 40 0 5 6 ,4y n N n y= = = = =

15.Se anali aron en el primer semestre de 006 los gastos en construcción de 30 empresas del ramo y se obtuvo un promedio de 3 .400 millones. Se determinó luego que los contabilistas de cada una de las empresas habían prescindido de 1 0 millones de pesos en los gastos, por un error en la cont-abili ación de un gasto. Corrigiendo el ��?�� #� ��

16.Calcular la mediana y la moda, en una distribución de 6 intervalos de amplitud constante, de la cual se sabe que:


n 150 n n5 n1 5n3 n4 30 n1 n6y5 60 y 53, 5

1 .Suponiendo que los salarios mensuales pagados por una compañía son los siguientes:

Cargo Canti a Salarios breros 1 0 De 84 .000

hasta 89 .000Técnicos 0 m s de 89 .000 hasta 94 .000Ingenieros m s de 94 .000 hasta 99 .000Interventores 8 m s de 99 .000 hasta 1.04 .000Asistentes 5 m s de 1.04 .000 hasta 1.09 .000Directores m s de 1.09 .000 hasta 1.14 .000

Se pide calcular la media, la mediana y la moda.

18.Dada la siguiente información sobre los salarios quincenales (miles de )

96 80 98 5 69 81 88 86 0 88 85 88 5 58 983 61 5 6 81 83 0 98109 65 90 64 95 63 8 1088 100 96 9 100 3 94 105

Reali ar los siguientes ejercicios:

a. Con los datos originales calcular la media, la mediana y la moda.

b. Presentar los datos, elaborando para ello una tabla de frecuencias.

c. Con dicha tabla de frecuencias, de-terminar la media, mediana y moda.

d. Calcular las tres medidas anteriores, trabajando con las marcas de clase.

19. Se tienen 15 vendedores en una com-pañía, los cuales cada uno vendió las siguientes cantidades de cierto producto en un mes determinado 150 30 40 190 150 100 100 80 5 0 1 0 100 80

a. calcular la Me Mdb. Diga que promedio representa mejor

la información y por qué

��&�¥��k� �� }a. En una distribución simétrica puede

darse que Me y Md b. En una serie de datos cuando n es

par, la Me es igual al valor centralc. La se utili a para promediar

factores cualitativos.d. En una distribución de intervalos

abiertos es recomendable utili ar la

e. Si deseo promediar el grado de prefe-rencia por un determinado deporte en un grupo de estudiantes puedo utili ar la .

1. Complete las siguientes frases:a. La se determina or-

denando los datos y seleccionando el valor central.

b. La no se puede calcu-lar si la distribución es de intervalos.

c. La no es representa-tiva si un valor es demasiado grande con relación a los dem s.

d. El valor que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos se denomina

&�� frecuencias si los tres promedios son iguales.


.Con los datos de la siguiente tabla cal-cular la Me Md

i yi : 3 64 90 1 0 153fi ni : 8 0 3

3. Un negocio de videos, en el mes pasado, utili ó un pedido así 0 películas de ter-��<�� <�� <�15 policíacas 1 0 para niños 30 para juegos. Supongamos que los precios para cada uno en el mismo orden ante-rior juegos: 5.000 18.300 6.300

0.600 y 31.500a. Cu l es el costo promedio por

película y juego?b. Suponga que al cabo de un año,

vende cualquier película o juego por ��&�� #�� Explique.

1. En una distribución asimétrica se tiene que la Media 0 Mediana 4. El valor de la Moda deber ser:a) Mayor que la mediana y menor que

la media.b) Mayor que la media y menor que la

medianac) Mayor que la mediana.d) Menor que la mediana.e) Menor que la media.

. La Mediana generalmente se define como aquel valor de la variable:a. Que supera a la m xima frecuencia.b. Que no supera a la mitad de las

observaciones.c. Que presenta la m xima frecuencia.d. Que supera la mitad y al mismo

tiempo es superado por la mitad de las observaciones.

e. Que presenta el menor grado de frecuencia.

�&� "�� aquel valor de la variable que:a. Se ve afectada por valores extremos.b. M s se repite.d. Supera a la mitad de las observaciones.e. Tiene el menor grado de variabilidad.

4. Dada la muestra cuyos valores de la variable son: 8 3 10 5 6 5 8 5. La media aritmética es igual a:

a.4, 5 b. 5, 5c. 6, 5 d. , 5e. 8, 5

5. Con los datos del punto 4, el valor de la Mediana es igual a:

a. 3,5 b. 4,0 c. 4,5 d. 5,0 e. 5,5

6. Con los datos del punto 4, el valor de la moda es igual a:

a. 3,0 b. 5,0 c. 6,0 d. 8,0 e. 10,0

. El promedio o medida de tendencia central m s conocida y empleada es:

a. Medianab. Modac. Recorridod. Mediae. Proporción

8. Con los siguientes datos de una variable continua:

y yn

i i

i

− − − − − − −1 0 8 8 1 36 36 1 44 44 1 5 5 1 603 6 5 4

: , , , ,:

Se dice que la media aritmética es:a. 4,4 b. 8,4c. 3 ,4 d. 36,4 e. 38,4

1. En distrib ió imétri ti

Cuestionario e evaluación


9. Con la distribución dada en el punto anterior (8), correspondiente a una vari-able continua, la mediana ser igual a:

a. 33,6 b. 35,6c. 3 ,6 d. 39,6 e. 41,6

10.El peso promedio de 80 artículos es de 130 kgs, si 60 de ellos pesan en prome-dio 1 0 kgs, el peso promedio de los restantes artículos ser :

a. 130 b. 140c. 150 d. 160 e. 1 0

11. En una distribución simétrica, la media, la mediana y la moda, debe suceder que:a. Mx Me Mdb. Mx Me Mdc. Me Md Mxd. Md Me Mxe. Md Me Mx

1 .Si la media aritmética de una distribu-ción es 50 y a cada uno de los valores de la variable se le suman 10. La nueva media aritmética ser igual a:

a. 50 b. 60c. 0 d. 80 e. 90

��&�*�� por dos secciones es de 3,5. La primera sección tiene 35 alumnos cuyo prome-dio es de ,8, la otra sección tiene 5 alumnos cuyo promedio es:

a. ,51 b. 3,6c. 4, 8 d. 4,48 e. 4,60

14.La remuneración media mensual de los empleados de una empresa es 385.000. Se sabe que la remuneración media mensual de los hombres es 395.000 y de las mujeres 3 0.000. El porcentaje de hombres empleados es:

a. 0 b. 40c. 60 d. 80 e. 90

15.Con los siguientes datos correspondi-entes a una tabla de frecuencia, de una variable discretayi : 3 6 9 1 15ni : 8 0 3

La media aritmética es:a. 6,8 5 b. , 53c. ,54 d. 8,1e. 10,16

16.Con los datos del punto 15, se dice que la mediana es:a. 3 b. 5 c. 6d. 9 e. 1

1 .Con los datos del punto 15, se dice que la moda es:a. 3 b. 5 c. 6d. 9 e. 1

18.El promedio de calificación en un curso, utili ando una escala de 0 a 10 fue de 5,8. Un grupo de 5 estudiantes del curso obtuvo un promedio de 3,8 y el resto (otro grupo del curso) 6,4. Luego el total de alumnos que tiene el curso es:

a. 60 b. c. 83d. 108 e. 1 0 Redondear el valor de n.

En esta unidad nos haremos algunas consideraciones sobre otros promedios, menos conocidos que la media, mediana y la moda, pero k� �� ?�+�k� � �� #��?�� k�� de su aplicación

Me ia cua rática (M2)Esta medida se simboli a por M .�^ �� la raíz cuadrada

de la media aritmética de los cuadrados de la variable.

Para datos no agrupados:

1 3 ... nx x x xM n+ + + += ixM n

∑=

Para datos agrupados:

1 1 3 3 ... m my n y n y n y nM n+ + + +=

i iy nM n

∑=

Este promedio raramente se usa como medida de posición. Se aplica en algunos casos tales como en problemas de probabilidad o cuando se hace indispensable trabajar con los cuadrados de los valores

Su mayor importancia la tiene, cuando se requiere promediar una variable que toma valores positivos y negativos, como ocurre, por ejemplo, al trabajar con des-viaciones respecto a la media, siendo su suma igual a cero (propiedad de la media), y que al ser elevada al cuadrado cada desviación, el resultado ser positivo. Como � �� ?� �� #�� _�� &�'��k� �� ?�� K�� `�� &

Ejercicio 1. Consideremos arbitrariamente 5 valores, con los cuales calcula-remos la media cuadr tica:

5 6 10 1

�� ?��_�� }

ixM n∑=

5 6 10 1 5 36 100 144 49 8, 415 5M + + + + + + + += = =

Capí

tulo

Capí

tulo

77 edidas de tendenciacent a c ntin ación

edidas de tendenciacent a c ntin ación


Este valor promedio es superior al de la media aritmética:

40 85ixx n

∑= = = x M 8 8 41' ,

Ejercicio 2. Utilicemos la Tabla 4.15 correspondiente a una variable continua y calculemos con esos datos la media cuadr tica.

Tabla .1

y yi i� �1, , ni yi yi y ni i

46,1 - 54 3 50 .500 .50054,1 - 6 6 58 3.364 0.1846 ,1 - 0 10 66 4.356 43.5600,1 - 8 6 4 5.4 6 3 .8568,1 - 86 3 8 6. 4 0.1

86,1 - 94 90 8.100 16. 00� 30 - - 140.4

Li ��Ls fi i i i fi

"�� >�� ?�?��_ �� la media cuadr tica.

Me ia c bica (M3)Su uso es mucho m s limitado que el de la media cuadrática, por tal ra ón es un pro-

medio casi desconocido se simboli a por M3�+�� la raíz cúbica de la media aritmética de los cubos de los valores de la variable.

Para datos no agrupados:3 3 3 3 31 33 3

3... n ix x x x xM n n

+ + + + ∑= =

Para datos agrupados: 3 3 3 31 13 3

3... m m i iy n y n y n y nM n n

+ + + ∑= =

*�� ?��k� �� ?� `� �� ?� �� #�� _�� &�'� ��?�k� �� `�� ?��k� �en la media cuadr tica.

Ejercicio 3&�� ?�k� �_� ��$��media cuadr tica, y ahora obtengamos el valor de la media cúbica.

i iy nM n∑=

140.430M =

4.68 ,4M =

M 68 43� ,

M fn

i i= ∑

CAPÍTULO 7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (CONTINUACIÓN) 139

33

3ixM n

∑=

3 3 3 3 33 33

5 6 10 1 1 5 16 1.000 1. 8 3435 5M + + + + + + + += =

M 33 33 41

568 4 8 80� � �

. , ,

El valor de la media cúbica es mayor que el de la media cuadrática, y éste a su ve es mayor que el de la media aritmética.

M1 M M3 8 8,41 8,8

Ejercicio . Utilicemos los datos de la Tabla 4.15 para calcular la media cúbica.

Tabla .1

y yi i� �1, , yi ni

3iy y ni i

3

46,1 - 54 50 3 1 5.000 3 5.00054,1 - 6 58 6 195.11 1.1 0.66 ,1 - 0 66 10 8 .496 .8 4.9600,1 - 8 4 6 405. 4 .431.3448,1 - 86 8 3 551.368 1.654.104

86,1 - 94 90 9.000 1.458.000� - 30 - 9.964.080

Li ��Ls i fi i i fi

M1 M M3 6 ,6 68,43 69, 5

Me ia geom trica (Mg)La media geométrica� �� k� ��>�� #��

��_�� &�^ ��$�� k�� -queños de la variable o cuando se desea obtener el promedio de una serie de valores que �� >��`�� >��&

Su empleo en el campo industrial y comercial es bastante restringido y su utilidad se limita a la obtención de promedios sobre el crecimiento o decrecimiento en una variable. Como por ejemplo: un capital colocado a una tasa de interés compuesto, durante un período determinado.

3 3

33

3i iy nM n

∑=

339.964.080

30M =

M 33 33 136= .

3 69, 5M =

M fn

i i3

33= ∑


Los resultados de la media geométrica, al igual que el de la media, pueden ser usados en trabajos estadísticos posteriores, tal el caso de obtenerse submuestras y se desee al �� >�� &

La media geométrica se simboli a por Mg o Mo&��^ �� la raíz enésimade la productoria de los n valores de la variable.

Para su c lculo se presentan dos casos:

a) Cuan o son atos no agrupa os u originales. El promedio geométrico se calcula [�� ?�+�� `��+ ��#$�� orden del número de observaciones consideradas.

1 3 ...no nM x x x x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1

nno i

iM x

== ∏

El signo � (� ��+W�� _� �� ?�� ) se lee productoria de ."�_�� media geométrica, tal como se ha visto, presenta el inconveniente

de que tanto el producto de las xi así como su raí , pueden ser de un valor demasiado alto k� �� <�� ?�� xi es cero, el producto también � �� &�� &

Siendo1

1 1

n n nno i i

i iM x x

= == =∏ ∏ o sea: loglog i

oxM n

∑=

log log log ... logM x x xno

n= + + +1

de donde: Mo

logantilog ixMo n∑=

bservemos el c lculo de la media geométrica�+��_�� _�� datos no agrupados.

Ejercicio . Un capital de 1.000 se coloca a un interés del 4 anual, el 31 de diciem-bre de 009. Si el interés se capitali a anualmente los días 31 de diciembre, calcular el promedio de dinero invertido entre el 31 de diciembre de 009 y el 31 de diciembre de 01 .

Solución1.000 (1, 4) 1. 40

1. 40 (1, 4) 1.53 ,60

1.53 ,60 (1, 4) 1.906,6

Tabla .1

A OS xi log xi

009 1.000,00 3,00000010 1. 40,00 3,0934011 1.53 ,60 3,1868401 1.906,6 3, 80 6� - 1 ,5605


log 1 ,5605log 3,140134i

oxM n

∑= = = antilog de 3,14013 1.380,80oM = =

Ejercicio . Un país tiene en 00 una población de 14 millones, la que sube a millones en el 01 . Se pregunta por la población media en dicho período.

Solución ( )1 14 1 ,549 1 .549.000oM x x= ⋅ = = = habitantes

^�� `��_�� ?�� k� ?�� variable�� ?�� _��k� � �� media geométrica no tiene � ��?��k� �� #$� ��+�� `��problema planteado.

b) Cuan o son atos agrupa os. La media geométrica�� #$� �>�� la productoria de los valores de la variable, elevadas cada una de ellas a una potencia, �� _� �� &

1i

n nno ii

M y=

= ∏ M y y y yon n n

mmn= 1 3

1 3. . ....

'��k� � ��?�� K��logaritmos:

1i

n n ng i

iM y

== ∏ loglog i i

on yM n

∑= M anti n yno

i i=∑log log

Ejercicio . Consideremos los datos de la Tabla 4.15 para calcular la media geométrica.

M anti n yno

i i=∑log log 54, 3818log log 1,8 4606 66,30oM anti anti= = =

Tabla .1

yi ni log yi ni log yi

46,1 - 54 50 3 1,6989 5,0969154,1 - 6 58 6 1, 6343 10,580586 ,1 - 0 66 10 1,81954 18,195400,1 - 8 4 6 1,869 3 11, 15388,1 - 86 8 3 1,91381 5, 4143

86,1 - 94 90 1,954 4 3,90848� - 30 - 54, 3818

Li ��Ls i fi log i fi log i


El promedio geométrico es siempre menor que la media aritmética, la cuadr tica y cúbica.Mo M1 M M3

66, 6 ,6 68,43 69, 5

*��+��W�� _�� geométrica:

log loglog i i i io

n y n yM n n∑ ∑= ≠

*��_�� media geométrica?�� _� �� ?� ��?� ��_�� k� � �� _� �� &

Ejercicio . La media aritmética de tres números es 8, la mediana es 8 y su media geométrica es 3 480 . Se pide calcular los valores de esos tres números.

Solución M1 8 Me 8 3 480oM =

x x x x=

+ +1 3

31 38 3

x x x+ += 1 34 x x x= + + Siendo x Me 8

4 x1 8 x3 4 8 x1 x33 3

1 3480 x x x= ⋅ ⋅ 1 3480 x x x= ⋅ ⋅

Siendo x M x xe 1 38 480 8= = ⋅ = ⋅ ⋅ 1 34808 x x= ⋅ 1 360 x x= ⋅

13

60x x= reempla amos: 33

6016 xx= + 3 316 60x x= + 3 316 60 0x x− + =

8x = 3 10x =

Me ia armónica (M 1 ó MH)El promedio armónico se simboli a por M-1 o MH� *��

do que el recíproco de la media armónica es igual a la media aritmética del recíproco de los valores de la variable:

1 3

1

1 1 1 1...1 nx x x x

M n−

+ + + +=

1

11 1i

i

x MM n x−

∑ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

siendo: 1 1i

nMx

− =∑

para datos no agrupados.

→ →

→ →

→

→→

→

→

1 6x �


�� _��?� �� K ��K�� &

Ejercicio . Consideremos los índices de producción de cierto artículo, en los últimos cinco años, de acuerdo con los datos publicados por la empresa, y calculemos la media armónica.

Tabla .2

A OS INDICE xi 1 xi

008 1 8 0,00 8009 135 0,00 4010 141 0,00 1011 15 0,006601 163 0,0061� - 0,0350

Ejercicio 10. Se sabe que dos obreros, A y B, gastan 50 y 40 minutos respectivamente en remontar un par de apatos. ¿Cu l es el tiempo medio requerido para remontar un par de apatos?

Solución. Siendo n y 1

1

1 1nM

x x− =

+ se tendr : 1 1 1 0,0 0,0 550 40

M − = =++

1 44,440,045M − = =1 44,44M − = es el tiempo medio requerido.

Si se trata de datos agrupados�� _� �� ?� �� #�� -mónica estar dado:

31

1 3

1

...1

m

m

n nn ny y y y

M n−

+ + + += [ ]

1

1i

ii i

ny M n yM n−

∑= =

de donde 1i

i

nM ny

− =∑

131

1 3... m

m

nM n nn ny y y y

− =+ + + +.

^�� $��_� �� ?��_�� }�M hyi

− =∑

11

1

1 1i

nMx

− =∑

15

0,0350M − =

1 14 ,86M − =

→


Ejercicio 12. �*�� _�� $-remos los datos de la Tabla 4.15.

Puede observarse que la media armónica es menor que la media geométrica. En una ��k�� ?�� _ � �� relación:

M-1 Mo M1 M M365,93 66, 6 ,6 68,43 69, 5

Tabla .1

yi ni ni yi

46,1 - 54 50 3 0,06054,1 - 6 58 6 0,1036 ,1 - 0 66 10 0,150,1 - 8 4 6 0,0818,1 - 86 8 3 0,03

86,1 - 94 90 0,0� - 30 0,455

Li�Ls i fi fi i

La media armónica, al igual que la mayoría de los promedios, se encuentra rígidamente � ��_�� +��>�� `�� ?�especialmente por los m s pequeños.

^ �� _�� ?�esto es, tantas unidades de un tipo por cada unidad de otra especie pero también se utili a para promediar datos inversamente proporcionales.

Pero su mayor uso se reali a en el c lculo de la velocidad promedio a saber:

S espacio velocidad t tiempo S ��T

Supongamos dos espacios: S1 t tt S t= 1 1 1S S S t t= + = +

Si dividimos por t1 t se tendr :

1 1 1

1 1m

S S t tt t t t

+ += =+ + Siendo S S

t tm =++

1

1

y sabiendo que: 11

1

St = St =

1i

i

nM ny

− =∑

130 65,930,455M − = =

M nfixi

− =∑

1


Reempla ando se tendr que: 1

1

1

mi

i

S S SS S S

+= =+ ∑

mi

i

SS=

∑

Ejercicio 13. Supongamos que la distancia entre dos ciudades, A y , es de 80 kiló-metros, y entre y C de 1 0 kilómetros. Si un automovilista cubre cada una de las etapas en tiempos iguales, ¿cu l es la velocidad promedio?

Solución Si el tiempo permanece constante pero varía la distancia, utili amos la media aritmética:

80 1 0 100x += =

%��k� �� K ��+�� }

Ejercicio 1 . Supongamos que un automovilista recorre la distancia de 80 kilómetros que hay entre A y a una velocidad de 100 km h. y los restantes 1 0 kilómetros a una velocidad de 80 km h. ¿Cu l es la velocidad promedio?

Un promedio incorrecto sería aplicar la media aritmética.

80 1 0 100x += = "�_�� }

1

1

1

00 00 00 86,95680 1 0 0,80 1,50 ,30100 80

mS SS S

+= = = = =+++

'[��?�� _��}S1 80 S 1 0 1 80 1 0

Al aplicar la media armónica se obtendr :

80 1 0 00 00 10080 1 0 1 180 1 0

m += = = =++

80 1 0 100,x += =

tal como aparece en el ejercicio 13. tra aplicación errónea de la media aritmética, se puede observar en el ejercicio siguiente, en el cual se debe utili ar la media armónica.

Ejercicio 1 . Un grupo de trabajadores hace 1 0 papeleras para escritorio con una productividad de 1 papeleras diarias una ve terminado ese contrato se dedican a producir otras 1 0 papeleras a ra ón de 18 por día. Se desea determinar la productividad diaria en la elaboración de las 40 papeleras.


Solución Si se calcula la media aritmética, se tendr un resultado erróneo:1 18 30 15x += = = papeleras diarias

Sabemos que las primeras 1 0 papeleras las hacen en 10 días 1 0 1 10÷ = y las siguientes 1 0 papeleras en 6,6 días 1 0 18 6,6÷ = es decir que el total de las 40 las [�#�� ?��#�<��+� �� #� �� #}��?��`�� ?��_ � �� ?�k� �� #�� &

Ahora, si en ve de la media, utili amos la media armónica, se tiene:

M n

xi

− =∑

=+

=+

= =1 1 1 118

0 08333 0 0555 0 13888 14 4, , , ,

Siendo el promedio de 14,4 papeleras por día, para un total de 16,6 días se tendr que el número total de papeleras para escritorio, producido en ese tiempo es:

��?��`��?��&

�� k� �� W�� relación inversa entre las variables implícitas.

Ejercicio 1 . Tres amas de casa, A, y C?�_� ��[� �� _ -rentes. Cada una gastó 10.000 en la compra de naranjas. A compró 4 docenas compró 6 docenas C compró 3 docenas. ¿Cu l es el precio promedio por docena?

Solución: Utili ando la media aritmética se tendría

Precio por docena:

para 10.000 .5004A = = para � �10 000

61 666 6. . , para 10.000 3.333,333C = =

El precio promedio sería: .500 1.666,66 3.333,33 .499,9 .5003 3x + += = =

^�� &��?�� #��&��̀ ��&��?�cuando en realidad costaron 30.000.

Calculemos el precio promedio utili ando la media armónica:

13 3 .30 ,1 1 1 0,0013

.500 1.666,66 3.333,33M − = = =

+ +

Si el precio por docena es de .30 , las 13 docenas costar n: .30 , 13 30.000× =


Cuartiles eciles y percentiles

Se vio en el capítulo 6, que la mediana es el valor correspondiente a la observación � ��?� ��_��k� �� +�� -vaciones. En otras palabras, la distribución se divide en dos partes iguales, ubic ndose la mediana en el centro. Algo parecido sucede con los cuartiles, deciles y percentiles.Ve moslos:

� CuartilesPara calcular los cuartiles se divide la distribución en cuatro partes, de tal manera

que cada una contenga igual número de observaciones, es decir, el 5 de las observa-ciones. Se denominan cuartiles�� k� �� _� �� distribución, dividida en cuatro partes iguales. El valor central es igual a la mediana y corresponde al segundo cuartil.

Los cuartiles, deciles y percentiles�� _� �� -tinuas, siempre que el número de intervalos sea grande y se desee obtener un promedio que corresponda a una determinada parte de la distribución.

El cuartil inferior (Q1) es aquel valor de la variable que supera al 5 de las obser-vaciones y a la ve , es superado por el restante 5 .

El segundo cuartil Q ) es aquel valor de la variable que supera al 50 y a la ve es superado por el otro 50 de las observaciones. (Igual a la mediana).

El tercer cuartil (Q3) es aquel valor de la variable que supera al 5 y es superado por el restante 5 de las observaciones.

Datos sin agrupar. Con los siguientes datos, los cuales deben ser ordenados de menor a mayor, calcular el Tercer Cuartil.

5 8 1 1 16 18 1 1 4 30 3 3 36 40 44 50 (n 18)

�� }�� #}� ( ) ( )3 1 3 18 114,25

4 4n + +

= =

�� ^ ��}��$��?� �� }�� ?�� _ � ��k� ��

res-pecto al valor siguiente: 0, 5 (36-3 ) 0, 5 (4) 1 y se lo sumamos al resultado anterior:

3 33 1 33 33jQ x Q= = + = ⇒ =

Datos agrupa os

Los pasos que se siguen en el c lculo de estos promedios son muy parecidos a los aplicados para calcular la mediana, a saber:�&� ^ ��_� �� j).


. Si se trata de calcular a Q1 se divide a n por 4, con esta operación se locali a el valor que supera al 5 . En el caso de Q la operación ser de 4n n÷ = ÷ tal como se procedió en el c lculo de la mediana, y para Q3 ser 3 4n ÷

3. El valor obtenido en el punto anterior se locali a en la columna de Nj. Si aparece dicho valor, como en el c lculo de la mediana?� �� _� �� acumuladas, se simboli ar por Nj-1 y el valor inmediatamente posterior por Nj. En el caso de que el valor resultante, al aplicar el punto dos no apare ca el valor en esa columna, se tomar como Nj-1 al valor inmediatamente menor y como Nj al inmedi-atamente superior.

4. En la variable continua se tendr n dos casos:

a) Cuando aparece el valor del punto dos, es decir, que se presente algunos de estos

resultados de se tendr que ,1 1jQ y −= es decir,

k� ��$��_� �� j.

b) Cuando no aparece el valor obtenido mediante el punto dos, se tendr que:

1 4jnN − < para Q1: 1,

1 14 j

jj

n NQ y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

124jnN − < para Q : Q y C

n Nnj

j

j1

14= +−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−−,

134jnN − < para Q3: Q y C

n Nnj

j

j3 1

134= +

−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−−,

� DecilesSi en ve de dividir la distribución en cuatro partes iguales, la dividimos en 10 partes, se

� �� k� �� _� �� $�� &

Datos sin agrupar. Con los 18 datos que se dieron para calcular el Q3, utilicémoslo para calcular el D3 (tercer decil) y D (séptimo decil).

La posición para el tercer décil ser : ( ) ( )3 1 3 18 1 5,10 10n + +

= = . El valor 1 est ubicado

en la posición 5 y con el 0, 0, se utili ar para multiplicarlo por la d�_ � �� posición 5 y 6 , es decir: 0, (1 �1 ) 0 por lo tanto:

En el caso del séptimo decil, la posición ser :

3 1jD x= =

( ) ( )1 19 13,310 10n +

= =

1 4jnN − = 1

24jnN − = 1

34jnN − =; ;


La posición 13 lo tiene el valor 3 y luego 0,3 (3 �3 ) 0

Siendo: 7 32jD x= =

Datos agrupa os

El primer decil (D1) es igual al valor que supera al 10 de las observaciones y a la ve es superado por el restante 90 .

El proceso que se sigue en su c lculo, es muy parecido al desarrollado en los cuartiles,��_ � �� k� �n se divide entre 10 y no entre cuatro.

También se tendr dos casos:

� Cuando 1 10jnN − = , el primer decil, ser : ,

1 1jD y −=

� Cuando 1 10jnN − < el primer decil ser

1,1 1

10 jj

j

n ND y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Así se proceder para los dem s deciles.

� Centil o percentilSi deseamos dividir la distribución en cien partes con igual número de observaciones,

� �� k� �� _� �� divididas en 100 partes iguales.

Datos sin agrupar. Con los mismos datos sin agrupar utili ados para calcular los Q3,D3 y D , calculemos los percentiles: 46 y 8

Percentil 1100

19100

4 18→+( ) = ( ) =

n , Es la posición donde ubicaremos dicho percentil

La posición 4 la ocupa el valor 8 y el restante estar dado por 0,18 (1 �8) 0,

Siendo: P 8,

Percentil ( ) ( )46 1 46 1946 8, 4100 100n +

→ = = ��?��#}

la posición 8 corresponde al valor 18, m s 0, 4 ( 1-18) , 46 0,P =

Percentil ( ) ( )8 1 8 198 15,58100 100n +

→ = = Siendo:

→


la posición 15 igual a 36, m s 0,58 (40-36) ,3 → P8 36 ,3 38,3

Datos agrupa os

� Cuando 1 100jnN − = , el primer percentil, ser : ,

1 1jP y −=

� Cuando 1 100jnN − < el primer percentil:

1,1 1

100 jj

j

n NP y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

El percentil 6 se calcular así:

� Cuando 126100j

nN − = P y j6 1= −,

� Cuando 126100j

nN − < P y Cn N

nj

j

j6 1

16

100= +−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

−,

Se diría que el percentil 6 corresponder a aquel valor de la variable, que supera al 6 y a la ve es superado por el 4 de las observaciones.

Ejercicio 1 . Utili ando los datos de la siguiente distribución, se pide calcular: a el tercer cuartil, b el cuarto decil y c el percentil sesenta.

Solución

� Tercer cuartil ( 3)( )3 1503 450 11 ,54 4 4

n = = = (posición)

, ,1i iy y− − ni Ni

30,1 - 38 9 938,1 - 46 16 546,1 - 54 31 5654,1 - 6 4 98 6 ,1 - 0 3 nj 1 1 0,1 - 8 15 1368,1 - 86 9 145

86,1 - 94 5 150� 150 -

, ,1i i− − iF

1jN −←

jN←

Como: 1 3 4jN n− <

1 98 11 ,5jN − = <

Se tendr :

1,3 1

34 j

jj

n NQ y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

311 ,5 986 8 3Q −⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦

3 6 5,04 6 ,04Q = + =if


� Cuarto decil (D4) → ( )4 1504 6010 10n = = (posición)

Nj-1�� _ ��&

Nj 98 ser el valor inmediatamente superior a 60.

Siendo: 1410j

nN − < � � �� _��}

1,4 1

410 j

jj

n ND y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

460 5654 8 54 0, 6 54, 64D −⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

� Percentil sesenta (P60) → ( )60 15060 90100 100n = = (posición)

�j-1�� _ ��&

�j 98 ser el valor inmediatamente superior a 90.

Siendo: N nj−1

60100

< se tendr que: 1,

60 1

60100 j

jj

n NP y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Centro recorrido

Es un promedio raramente utili ado debido a su poca representatividad, especialmente �� &�*�� la media aritmética de sus valores extremos.

"��_��$�� }

a) min manr

x xC += (en datos no agrupados)

b) 1 mr

y yC += (en datos agrupados variable discreta)

c), ,0 m

ry yC += (en datos agrupados variable contínua)

! �� _�� ?�� k�>�[ �� -nominado a este promedio como centro recorrido, al ser el punto medio del rango.

��>�� ?�k� �� _� �� c lculo del promedio, lo sitúa en la mayoría de los casos, como un promedio poco típico de la distribución.

C L Lr

i s= +


Ejercicio 1 . Calcular el centro recorrido para cada una de las siguientes distribuciones:

a) Los salarios semanales de 10 vendedores son:

3 5.000 456.000 336.800 5 8.500 413.000383.000 49 .400 315.000 603. 00 380.000

b) c)

yi ni, ,

1i iy y− − ni

50 3 46,1 - 54 358 6 54,1 - 6 666 10 6 ,1 - 0 104 6 0,1- 8 6

8 3 8,1 - 86 390 86,1 - 94� 30 � 30

i fi i�1� i fi

a) C x xr = + = + =max min 603 00 315 000 459 100. . .

La media de esos 10 valores es: 4. 3 .900 4 3. 9010x = =

Moda, no hay en este ejercicio

La mediana ser : 383.000 413.000 398.000eM += =

b) 1 6 50 90 702 2r

y yC + += = =

c) 0 6 46 94 702 2r

y yC + += = =

APLICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA UTILIZANDO LA CALCULADORA

Calcula ora CASIO 000F

Primero oprimir las teclas MODE y debe aparecer en pantalla, en la parte superior SD.

, ,


Segundo �� _�� ?�� SHIFT DEL E E ojal dos veces no importa si en la pantalla aparece algún nú-mero después de reali ado el procedimientoTercero entrada de datos:

Ejemplo 1. xi 5 10 0 13 . Se oprime el número correspondiente a x, conside-remos luego la tecla que corresponde a DATA así se prosigue con el 10, luego con el 0 y así sucesivamente

Ejemplo 2. Si los datos estan agrupadosyi: 4 6 8 10ni: 8 6 10 1 9 55

La entrada de los datos se har así:2 SHIFT 3 luego ser :

SHIFT 1 DATA y así sucesivamente.

La obtención de resultados para el primero y segundo ejemplo se utili ar las mismas teclas.

1 o

SHIFT PROG 2 o

3

Ahora con SHIFT

Los resultados en el ejemplo 1, son:

n 1. 2 1 s , 2i i2∑ ∑

En el ejemplo , son:

Calcula ora CASIO 30MS

Primero Al oprimir MODE aparece en pantalla tres operadores:

se oprime el 2 y se obtiene SD, con el cual trabajamos el 1 se

emplea para normali ar la calculadora, una ve reali ada las operaciones estadísticas,y el 3 para trabajar simult neamente con dos variables

DT

DT

1 x o Media (simple y ponderada) σx n Desviación típica

n y n y n x yi i i i i i= ∑( )→ = ∑( )→∑ = ( )∑ → = =55 3 6 316 5 93 64. , ,�

COMP SD REG 1 2 3

x

y


Segundo ��k�� _��k� �� SHIFT MODE(CLR) y aparecen varias operadores, escogiendo el SCLoprimiendo la tecla 1 , con lo cual queda lista para iniciar los c lculosTercero la entrada de los datos, es igual al de la calculadora anteriorCuarto la salida de los datos calculados se hace:

primero: con SHIFT 1 nos presenta tres opciones

segundo: con SHIFT 2 se dan tres opciones

Los resultados se interpretan igual que en la calculadora anterior.

Casio 0 MS

Primero iniciamos oprimiendo las teclas MODE y nos da dos opciones: 1 COMP 2 CMPL luego oprimimos otra ve MODE , presentando otras tres opciones: , seleccionamos SD , luego oprimimos la tecla 1

Segundo ��_�� [�$�� ?� �� }

Datos sin agrupar: DT luego 10 DT y así nuevamenteDatos agrupados: 2 luego 1 y así sucesivamente.

Se debe oprimir SHIFT para que apare ca �� `�� igual al anterior.

SHIFT 1 aparece con 1 2 3

SHIFT 2 aparece con 1 2 3

Calcula ora CASIO 3 0 TL

Con MODE aparece 1 COMP 2 SD 3 REG

Se oprime el 2 ��K��_�� #��?�� en todos los casos anteriores y la salida de los datos se har así:

SD REG ASE 1 2 3


Con SHIFT 1 se obtiene Media aritmética

Con SHIFT 2 se obtiene Desviación típica

Con SHIFT 3 se obtiene Desviación típica corregida

Ahora con RCL y las letras A C se obtienen datos para:

RCL A RCL RCL C

SE REALI A PRIMER PROCEDIMIENTO

Ubiquémonos en la barra de %*��, con el M USE haciendo CLIC en �*��'%{*��'^debe aparecer la siguiente Figura 1:

Figura No. 1. Microso t E cel

Al hacer CLIC en el submenú '�§"{^{^�!*�!'��^ , debe aparecer la siguiente Figura :� ^�� ?� �� ?�� W�'�§"{^{^�!*�!'��^, deber

ubicarse en el submenú ��%�"*%*��^, con el cual se logra su obtención.

icación de estadística en a e a ienta ce


Figura No. 2. Funciones para análisis

��|��&��?�� '�§"{^{^�!*�!'��^, procederemos a selec-�� _�� ?� �� ESTAD STICA DESCRIPTIVA, luego al hacer CLIC en ésta y ACEPTAR�� }

Figura No. 3. Esta stica Descriptiva


Cua ro No.

SEXO ESTADO CIVIL PROFESIÓN EDAD SALARIO LECTURA Nª DEHERMANOS ESTATURA

1 1 8 1 5 0 1581 36 0 16

1 5 6 1 1 01 6 1 8 10 1 1

3 3 19 1 4 1 1651 3 1 3 3 4 1481 1 5 9 1461 1 1 48 3 1 155

3 1 53 1 5 1 1641 6 4 6 4 10 0 11 4 3 3 6 6 4 183

3 3 19 8 1 1 84 1 19 1 1641 4 8 1 0 166

1 1 4 31 1 5 0 1545 6 48 6 146

1 4 6 4 6 1803 1 58 6 6 1

1 8 43 1 4 1 1651 1 6 9 0 1551 5 5 19 5 5 1 150

5 1 8 4 1 1491 6 1 63 3 8 161

3 6 4 1 1631 3 6 4 1 165

1 1 4 3 1 5 1683 1 41 5 4 1 1

5 6 0 1641 1 8 49 10 1 165

4 1 8 6 1 01 6 8 3 1 0 180

1 5 1 6 0 1 41 6 36 1 161 6 45 1 149

1 1 6 1 3 3 158


� � �� |��&� �� ESTAD STICA DESCRIPTIVA, se comien a el procesamiento de los datos. Recordemos que el �'��!*�*��'!' es el corres-pondiente a la variable estatura�� &��&

� *�� ?�� ?�� una ��¥'��*�' o en un "{��*��.Adem s, aparecen: �*^�%*��!*�*^�'!¨^�{�'^ �{�*"�!*��|{'�ª'��'�'�"'�MEDIA: 95 o cualquier otro valor establecido K- SIM MA R�+?�� ?�K-«^{%��%*��, activando o haciendo CLIC en cada uno de ellos. En caso de considerar la obtención de un mayor número de resultados para el an lisis.Al hacer CLIC en ACEPTAR?�� _��?�� |��&��&

Figura No. . Resulta os obteni os con 3 atos correspon iente a la estatura e ca a uno e ellos en el cua ro anterior

Medidas esultadosMedia 163.54 85Error típico 1,6904 895Mediana 164Moda 165Desviación est ndar 10,0010084Varian a de la muestra 100,0 0168Curtosis 0,618 3584

� �� #� �?��Rango 3Mínimo 146

� %�`�� Suma 5 4Cuenta 35Mayor (1) 183Menor (1) 146

� �� $��&�¢�� ?��

Para lograr los anteriores resultados en todas y cada una de las opciones (Resumen � � ��#��<�� $�� ?��>��+��+��>�� ?�� &�*�� _��k� �� &��&

� "�� |��&��?�� la: Media, Error Típico Mediana Asimetría Mínimo Máximo Suma Conteo parala variable ESTATURA.

CA

PÍTULO 7. M

EDID

AS D

E TEND

ENC

IA CEN

TRA

L (CO

NTIN

UA

CIÓ

N)159

Este procedimiento lo podemos aplicar a las dem s variables y éstos son los resultados .

Cua ro No. . Resulta os para ca a una e las columnas el cua ro No. con atos sin agrupar

bserve cuidadosamente los errores que se pueden cometer en el an lisis de resultados. En primer lugar las características cualitativas: SEX , *^�'!��{�{"?��|*^{¤�, solo sería v lido el M D , pero las

medidas a aplicar son proporciones, para luego presentarlas como porcentajes. Las 3 caraterísticas anteriores ��?� �� _� �� +��

MEDIDAS SE O ESTADOCIVIL EDAD SALARIO LECTURA N DE

HERMANOS ESTATURA

Media 1,485 14 9 , 4 85 14 3, 4 85 14 34,6 85 14 3,0 85 143 4,4 1,4 85 143 163,54 85Error típico 0,085 14 9 0, 99419 1 0,416 5589 ,159 4 68 0,341 3486 0,41646 4 0, 848 1 1,6904 895

Mediana 1 3 9 4 1 164Moda 1 1 1 8 1 165

Desviación est ndar 0,50 09 55 1, 138 91 ,46556111 1 , 4 519 ,0 1 3068 ,4638563 1,6853 968 10,0010084Varian a de la muestra 0, 5 14 86 3,13 81513 6,0 89916 163,181513 4,08 39496 6,0 0588 4 ,84033613 100,0 0168

Curtosis - ,1 1 1 1 -0,933 4066 -1, 8946 09 -0,418314 5 -0,6 911041 0, 3938 69 ,11 86648 -0,618 358Coeficiente de asimetría 0,059 5838 0,616 5 03 0,3 683883 0, 8 6408 0,864 8149 0,8 194364 ,43 3 65 -0,0 93

Rango 1 5 44 6 9 8 3Mínimo 1 1 1 19 1 1 0 146M ximo 6 8 63 10 8 183

Suma 5 96 131 1 1 106 154 50 5 4Cuenta 35 35 35 35 35 35 35 35

Mayor (1) 6 8 63 10 8 183Menor(1) 1 1 1 19 1 1 0 146Nivel de

confian a(95,0 ) 0,1 419 39 0,60849303 0,8469498 4,38810905 0,694488 8 0,846364 0,5 8931 3,43546655

PROFESIÓN


SEGUNDO PROCEDIMIENTO

^ �� _�� ?�� *�!*��{'��*��'" y de !{^�*�^{¤�. Para ello solo se va a tomar una de las variables, en este caso ser la ESTATURA?�� _�� &��&

MEDIA ARITM TICA. Fórmula:x fni i= ∑

El proceso de c lculo es el siguiente:

Seleccionamos la CELDA, es decir, la activamos en el lugar donde deseamos que apare ca el resultado.Con el M USE nos movemos al {�� y le damos CLIC dos veces a fx y aparecer ��?�� *�'��|��{¤�:

Figura No. . Pegar unción

Luego de haber activado fx, se debe escoger la categoría ESTAD STICA y luego el ��%��*�!*�"'�|��{¤� que vayamos a estimar, para el caso seleccionamos MEDIA AC TADA, después vamos a la opción ACEPTAR, al hacerle CLIC, debe aparecer la |��&��&


Figura No. . Me ia

� *�� |��&�� %��$&�̂ �� &�4 y sombrear todos los datos de la columna ESTATURA donde est nuestra variable sin soltar el botón i quierdo.En la casilla que dice ��*��'¥* se le da el valor de cero (0) y se observar que el resultado de la MEDIA es de 163, 0588 4, siendo el mismo resultado que se obtuvo �� ?�� |��&��&

Figura . Cálculo e la me ia (estatura)


ota �� _ � �� de ��^{�{¤� y de !{^�*�^{¤�, sólo cambia cuando nos ubicamos en el nombre de la _��?� �� ?�� k� �� k�� &

MEDIANA Me

A continuación del uso del EXCEL� +�� K �� ?� � � `�� TE RIA de varias medidas de posición y de tendencia central, entre otros, la Mediana,Moda, y Media geométrica.

En datos sin agrupar hay dos maneras de estimarla:

a Número de observaciones IMPAR. En este caso se ordenan los datos de menor a mayor o viceversa, luego seleccionamos como %*!{'�' al valor central.

Ejemplo: 3 5 12 16 30 Me

b Número PA de observaciones. También se ordenan de mayor a menor o de menor a mayor se tiene dos valores en el centro, por lo tanto se promedian.

Ejemplo: 3 5 1 16 30 46

Me (1 16) 14Figura No. Me iana

��}��ubicamos en AUT SUMA y luegoseleccionamos%'^�|��{��*^�haciendo clic en selección ��'��'�*��{'�que puede ser: Mediana,Moda, Media geométrica o aquella que usted desee


bsérvese, que para el c lculo de la %*!{'�' y !*%§^�%*!{!'^, aparece en las primeras casillas la palabra �¬%*�� 1, en ésta se debe copiar el rango de los valores k� �� &��?�� ?�k� �� >��?��%*!{'�'�sigue siendo igual a 164,5. ��': Este resultado se locali a en la celda que se escoja y así sucesivamente. Lo invito a que estime los dem s valores de las otras variables k� �� &��&

MODO MODA VALOR MODAL M

^ �� aquel valor de la variable que más se repite. Para algunos no es aconsejable calcularla mediante la utili ación de EXCEL en caso de que haya m s de una M DA, es decir, que sea BIM DAL o PLURIM DAL. Sólo se debe aplicar si es unimodal, es decir, cuando hay una sola M DA.

Cuando es BIM DAL o PLURIM DAL solo se reconoce la primera M DA de la lista.

Los pasos son los mismos utili ados para el c lculo de la MEDIA y %*!{'�'� � es decir,

Figura No. . Mo a


Figura No. 10. Estimación mo a (estatura)

bsérvese, que el valor que m s se repite en la muestra es 165, siendo el mismo valor � �� &��&

MEDIA GEOM TRICA Mg Mo

^ �� #$� �>��

Fórmula M xo in= π

�� Media, Mediana, y Moda. Se hace CLIC en la parte i quierda correspondiente a �'�*��¨' ESTAD STICA,luego, a la derecha seleccionamos el renglón %*!{'��*�%«��{�'?�� [� ��CLIC en ACEPTAR.

MEDIA ARITM TICA PONDERADA

��$�� `� �� media, se reali a el siguiente procedimiento.

Tomemos ahora como ejemplo, la tabla que aparece en el cuadro siguiente, corres-pondiente a la variable (yi) ESTATURA?�+��_� �� ?�� ni) el número de veces que se repite cada valor de la variable. Para ello vamos a tener presente una tabla � ��?��_��k� �� }�


SUMAPR DUCT (A :A9 B :B9) SUMA(B :B9)

0,86

RESUMEN DEL CAPÍTULOEste capítulo sirvió para presentar otros promedios, diferentes a la media, mediana y moda, que pueden ser aplicados en casos especiales, atendiendo a ciertas carac-terís-ticas que presenta la variable.

El uso de la media cuadrática es adecuado cuando se requiere calcular un promedio para lo cual deben ser elevados los valores de la variable al cuadrado, como en algunos casos de probabilidad y en aquellas variables que toman valores positivos � ��!��% �� !�� 1� ��#�� por valores extremos especialmente por los más grandes.

La media geométrica es utilizada para promediar crecimientos geométricos, también cuando se quiere dar importancia a valores pequeños y en aquellos casos en que se requiere determinar el valor medio para un conjunto de porcentajes.

Este promedio presenta el inconveniente de su inestabilidad en el muestreo, su cálculo �� % � �� !�� 9��% � �� !�� #��


/� �� % � �!�� % �� !�� 1� ��#�� % �� los más pequeños no puede ser calculada si algunos de los datos de la distribución son iguales a cero, ya que el valor de este promedio depende de cada uno de los elementos de la distribución. Se utiliza de preferencia para promediar velocidades.

La media cúbica tiene un uso restringido y por lo engorroso de su cálculo casi nunca �� % ��% �� 1� ��#�� % �� por los más altos.

Los cuartiles, deciles y percentiles, generalmente, se aplican en variables continuas, cuando se tiene un número grande tanto de intervalos, como de observaciones, y se desea examinar tan sólo una parte de la distribución que presenta una característica especial a ser estudiada.

Las relaciones numéricas entre los promedios, en cualquier distribución tienen el siguiente comportamiento:

M-1 M M1 M2 M

Por su parte la media aritmética, la mediana y la moda, tienen la siguiente relación:M1 Me Md en la distribución simétrica.M1 Me Md en la distribución asimétrica negativa.M1 Me Md en la distribución asimétrica positiva.


Media cuadr tica Media cuadr tica

Centro recorridoCuartilesDecilesMedia cuadráticaMedia cúbica

Media geométricaMedia armónicaPercentilesPromedioProductoria

Fórmulas:

Datos sin agrupar Datos agrupa os

ixMn

= ∑ i iy nMn

= ∑


Media cúbica Media cúbica

Media geométrica Media geométrica

Media armónicaMedia geométrica

Media geométrica

Media armónica

Datos sin agrupar Datos agrupa os

33

3ixM

n= ∑ 3

33

i iy nMn

= ∑

no iM x= ∏ 1

n nno ii

M y=

= ∏

logantilog io

xMn

= ∑ 1i

i

nM ny

− =∑

logantilog i io

n yMn

= ∑ mi

i

SS=

∑

1 1i

nM

x− =

∑

1,1 1

4 jj

j

n NQ y C n

−−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1,3 1

34 j

jj

n NQ y C

n−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(Datos agrupados)

1,6 1

610 j

jj

n ND y C

n−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1,30 1

30100 j

jj

n NP y C

n−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

máx mínr

x xC += 1 m

ry yC +

=

, ,0 m

ry yC +

=

CuandoNj-1 3n 4(Tercer cuartil)

Cuando Nj-1 6n 10�^ `��

Cuando�j-1 30n 100(Percentiltreinta)

Centro recorrido (datos no agrupados)

Centro recorrido, varia-ble discreta

Centro recorrido variable continua

Cuando Nj-1 n 4(Primer cuartil)

Velocidad media


1. ¿Por qué no se aplica la media geomé-trica cuando uno de los valores es cero?, ��_�� n

ixπ. Calcular la moda en una distribución de

_� �� +� 80,3x = yMe 9,5

3. Durante un mes se construyeron 134 kilómetros de carretera en la siguiente _��}� �?��¢� � �� semana 15,3 en la segunda semana ,60 en la tercera 4,5 en la cuarta,

y en la última 49 . Hallar la medida de tendencia central que represente mejor el promedio de esta distribución dada en kilómetros construidos por semana.

�&� !�� K �� #��cada uno de los siguientes promedios.

a) Media armónica b) Media geométrica.

5. La media aritmética de tres números es , su mediana es 6 y su media geomé-

trica es 163 Con los tres números, calcular la media armónica, el centro recorrido y la media cuadr tica.

6. Dados tres números, se sabe que su media cúbica es 3 65 su media aritmética es y su mediana es 6. Calcular los valores de cada uno de esos tres números.

. Se sabe que la media aritmética de dos números es igual a 5 y la media geomé-trica de los mismos es igual a 4. ¿Cu l es la media armónica?

8. Un estadístico entrega una hoja con los siguientes datos correspondientes al c lculo de la media aritmética.

,,i

,,i in

1 0 3 5 4 100 5 5 6 18 Calcular la media geométrica.9. Una persona viaja 4 días. Diariamente

recorre 00 kilómetros, pero maneja el primero y el último día a 50 km h, el segundo a 55 km h y el tercer día a 0 km h. ¿Cu l es la velocidad media

durante el viaje?10.Un automovilista viaja de A a a una

velocidad media de 40 km h. y vuelve de la ciudad B a A a una velocidad media de 60km h. Hallar la velocidad media del viaje completo.

11. Las ciudades A, y C son equidistantes entre sí. Un automovilista viaja de A a a 30 km h. de a C a 40 km h. y de Ca A a 50 km h. Determinar el promedio de velocidad para el viaje completo.

��&�� _�� &��semanales, para la compra de materia prima. Durante tres años invierte la misma cantidad de dinero. Si el precio promedio por kilo ha aumentado en los tres años sucesivos de . 00 a .800 y luego a 4.600, ¿cu l es el precio �� k� �[�� _�� en dichos tres años?

13.El 1 de mayo de 008 se colocan ��&�� al ,6 de interés anual, capitali a-dos semestralmente. Se pide la suma media depositada en la cuenta, entre el primero de mayo de 008 y el 31 de octubre de 01 si no se hicieran retiros durante el período.



��&�*�� mos, desarrollamos un proceso de agili ación de atención, para aquellos períodos de mayor asistencia. Para ello se llevó un registro de tiempo de espera, incluyendo la atención (horas, minutos) de 1 personas, seleccionadas al a ar con los siguientes resultados: 0,40 0, 0 1,10 , 5 0,45 1,16 1,30 0,15 1,4 ,16 3,1 0,36

a) Calcular la media, mediana y primer porcentil.

15.La empresa de servicio de acueducto y alcantarillado de una ciudad del país, se-leccionó 30 clientes, al a ar, que utili an este servicio. En el último mes el valor � � ��_��?� �� ?�_� ��}

3 68 3 30 103 65 4 69

38 4 56 9439 51 88 6 066 100 94 6 453 61 4 56 65

a) Calcule: la Media, Mediana, Moda, Media geométrica, Media cúbica, la armónica.

�� }� �� ?� �� `��decil, y el percentil.

�� *�� _� �� ?�donde m y calcule los puntos a) y b) que se dieron anteriormente.

��&�*`��k� �� K��+�� K�� cada una de las medidas de posición y de tendencia central.

1 .Se considera posible convertir una variable cualitativa (atributo) en una cuantitativa ya sea a partir de medidas central o variabilidad, asignando un número consecutivo a cada posibilidad

de respuesta, en una escala de opinión, �� _ � ��&�"�� -dencia central que podría ser utili ada en este caso es:

a) Media b) Mediana c) Moda��% ��

18.Un almacén dedicado a la venta de cal ado para hombre, durante un mes, encontró, que se vendieron: 30 pares de número 34 1 de número 35 6 de número 36 40 de número 3 140 de número 38 00 de número 39 10 de número 40 y 5 de número 41. Comente el uso de la Media, Mediana y la Moda como medida de tendencia central y la utili ación de cada una de ellas para la toma de decisiones en relación al �W� ��?�k� �� `��-tencia, para no perder clientes.

��&� �� _�� -cando la palabra adecuada.a) La se obtiene al

disponer los datos de menor a mayor o viceversa.

b) La es la medida m s recordable cuando los valores `�� &

c) La es la medida que se debe utili ar, cuando conver-timos un atributo en una variable (cuantitativa).

��" � � � � _�� como el valor central en una distri-bución.

e) La es el valor que m s se repite.

_�� " ��_��admiten tratamiento algebraico.


0. Cuando la variable tiene un crecimiento geométrico, la medida de posición correcta es:

a) Media aritméticab) Media armónicac) Medianad) Media geométricae) El modo

1. En un problema donde se debe calcular la velocidad media, la medida indicada es:

a) Media aritméticab) Media armónicac) Medianad) Media geométricae) El Modo

��&�� _�� ?� ��-endo la palabra adecuadaa) El cuartil,

supera el 5 de las observacionesb) El decil, su

resultado es igual a la medianac) El percentil,

supera al 30 de las observacionesd) El cuartil, es

superado por el 5 de las obser-vaciones

e) El decil, es superado por el 0 de las observa-ciones

_�� *�� ?��resultado es igual a la mediana

3. Se tienen 10 vendedores en una com-pañía, los cuales cada uno vendió las siguientes cantidades de cierto pro-ducto, en un mes determinado: 15, 3, 4, 19, 15, 10, 10, 8, 8, 19.a) Calcular la X Me Md Q3 D6b) Diga qué promedio representa mejor

��_��+��k�>

��&�¥��k� �� }

a) En una distribución simétrica puede darse que: X 5 Me 5 y Md 6

b) En una serie de datos cuando n es par, la Me es igual al valor central

c) La X se utili a para promediar _�� &

d) Es una distribución de intervalos abi-ertos es recomendable utili ar la X

��^�� _ �rencia por un determinado deporte en un grupo de estudiantes puedo utili ar la X.

��&�� _�� }

a) La se determina ordenando los datos y seleccionando el valor central.

b) La no se puede cal-cular si la distribución es de intervalos abiertos.

c) La no es represen-tativa si un valor es demasiado grande con relación a los dem s.

��*�� k� � �� +�� _� -cuencia en un conjunto de datos se denomina

�� _� �� iguales?

6.Con los datos de la siguiente tabla calcular la X Me Md D P63

yi 3 6 9 1 15ni 8 0 3

edidas de dis e siónasi et ía a nta ient

Capí

tulo

Capí

tulo

edidas de dis e siónasi et ía a nta ientObjetivos� Desarrollar destre as en la utili ación y aplicación de las medidas de

dispersión.� Interpretar los resultados obtenidos con la aplicación de las diferentes

fórmulas.�� {� �� k� �� $�� &

Contenido� scilación � Desviación mediana� Varian a � Recorrido intercuartílico� Desviación típica �� Momentos unidimensionales� Puntaje típico � Asimetría� Desviación media � Apuntamiento

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

^�� k� �� -�� &�� W�� &

"� �� ?��+�� -��?�� #�� &�^ �� ?�k� �� distribuyen o se dispersan los datos alrededor del promedio.

^�� ?�A y ?�� $� �� +�� salarios (en miles de ):

Almacén A: 560 680 0 4 0 630 00 60 8 0 950 660

x 690

Almacén : 600 40 640 00 50 80 0 640 650 680

x 690

88


"�� >�� &�� &�� _�� ?��contraste. En el almacén A�[+�� &�^� ��&�� +��&�� K�&�*�� >�� hubo muy poca variación.

*�� +��_� ��&��+� ��K��&��&�� k� � �� >��A hubo salarios muy altos y muy bajos. En el almacén los �� &

�� K�� ?�� un promedio, se utili a una serie de medidas entre otras:

� scilación � Varian a�� ! ��#�� &� �� Puntaje típico o estandari ado. � Desviación media.� Desviación mediana � Recorrido intercuartílico.

LA OSCILACIÓN�� k� ��k� �� ?��<��

�� _�� ?�+�k� �W�� `�� variable y se establece su diferencia:

Recorrido máx. mín.

La oscilación de los salarios de los 10 empleados del almacén A es de 530 950 - 4 0, +�� 600. Estos resultados nos dan una idea cruda de la dispersión �� ?�� k� �� [�� ?�� #��+� ��`��k� �� &�� -�� ?�� &

4 0 680 690 0 0 30 40 40 60

El 90 de los datos apenas (de 680 a 60, se tienen 9 observaciones de un total de 10) con una variación de 80 unidades ( 60 - 680 80) en cambio el recorrido para el total � �� <��&

'�� _� �� ?�� _��}

a) Recorrido ym y1 , en la variable discreta.

b) Recorrido ym yo , en la variable continua.

En ambos casos no se tiene en cuenta las frecuencias. Su uso, es bastante limitado y �� $� ��k� �� ?� �� &

CAPÍTULO 8: MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO 173

VARIAN A (S2)La varianza es una medida muy conocida y usada, su importancia radica especial-

� �� k� �� [��?�� desviación típica o estándar s .

La varian a se simboli a indistintamente por: S (x) (y)&�^ �� }�la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media aritmética.

��

Ejercicio 1&�^��?�� K ��?�k� �� >�� k�� &

"�� %�� %�>�� ¥� � �� ^��600 800 880 980 1.060 1. 00

La media aritmética es

"��$��

^ �� k� ��,yi y) 0 siendo la ra ón por la cual se trabaja con � (yi y)para así obtener el promedio de variación.

Ejercicio 2. Utilicemos los datos de la tabla 4.15 para calcular la varian a en una variable continua.

Tabla .1

yi ni yi ni ,yi y)

46,1 - 54 50 3 150 -1 ,6 -5 ,8 9 9, 854,1 - 6 58 6 348 -9,6 -5 ,6 55 ,966 ,1 - 0 66 10 660 -1,6 -16,0 5,600,1 - 8 4 6 444 6,4 38,4 45, 68,1 - 86 8 3 46 14,4 43, 6 ,08

86,1 - 94 90 180 ,4 44,8 1.003,5� - 30 .0 8 - 0 3.3 9, 0

�� xi 5.5 0 9 0n 6

y yi-1 i

S �� 2i � xi x 2

n n S2 � 2i ni � yi y 2 n

n ni

Tabla .1

xi x xi x 2

-3 0 10 .400-1 0 14.400-40 1.60060 3.600

140 19.60080 8.4000 0.000

S2 � � xi x 2

n ni

y y ni i�, & y y ni i−( )

y y nn

i i=∑

= =0 830

6 6. , S nn

y y nn

i i i i 3 3 9 030

11 64=∑

=∑ −( )

= =. , ,

s 0 0006

36 666 6� �. . ,


+ Otro m to o e cálculo�� >��[��_�� varianza, recor-

��k� �� i yi y. Si a i la elevamos al cuadrado, lo multiplicamos por ni ?�� +��n�?��varianza, siendo �� >�� &

^ �� k� }�� >��

de donde po� �� _��k� �� car

��}��

� �� _��?��$��_�� k� �sirvió para calcular la varian a.

Ejercicio 3. Consideremos la información del ejercicio 1 de esta unidad.

Tabla .2

xi xi

600 360.000 800 640.000 880 4.400 980 960.4001.060 1.1 3.6001. 00 1.440.0005.5 0 5. 98.400

Ejercicio &�� &�� $&

s 4.68 ,4 6 ,6 4.68 ,4 4.569, 6 11 ,64

s �� xi nxn s �� xi � xi

n n

s �5. 98.400 "�"�# 6 6

s 883.066,66 (9 0) 883.066,66 846.400 36.666,66

s �140.4 .0 8 30 30

s �� y ni � yi nin n

s �� y ni � yi ni

n ni

s �� xi � xi

n n

x xn

i=∑

− =5 5 0

69 0.

s y nn

yi i=∑

−


i-1 i

Tabla .1

y y yi ni yi ni yi2 ni

46,1 - 54 50 3 150 .50054,1 - 6 58 6 348 0.1846 ,1 - 0 66 10 660 43.5600,1 - 8 4 6 444 3 .8568,1 - 86 8 3 46 0.1

86,1 - 94 90 180 16. 00� - 30 .0 8 140.4

i fi i fi i fi

� M to os abrevia osEn la varianza?��k� � �� >��?��_��

�� +�[� �� _��?��métodos abreviados,��+�� $�� +�� $��&

� Primer método abreviado

� � �� k� }��

��_��$�� primer método abreviado.

�� Segundo método abreviado. Si consideramos las desviaciones respecto a un ori-� �� K�?�� ?�� i �� segundo método abreviado.

^ �� }�� segundo método abreviado.

*��>�� $?�� $��W�� &�*�� >�� ?�� -�� <� �� W��?� �� $�� [� ��$�� &�*��?� �� >�� es continua y la amplitud es constante.

Ejercicio &� �� &��?� �� k� � [ �� K�� +�� $&�� k� � �� $�� ?��&�*�� fórmulas dadas como métodos abreviados.

s C �� zi ni � zi nin n

i-1 i

S �� z ni � z i ni

n ni


Tabla .1

y y yi ni

46,1 - 54 50 3 -8 - 4 1954,1 - 6 58 6 0 - 4 31 06 ,1 - 0 66 10 8 80 6400,1 - 8 4 6 16 96 1.5368,1 - 86 8 3 4 1. 8

86,1 - 94 90 3 64 .048� - 30 - 88 6.144

Solución

�� $�� K�&�'�� fórmula correspondiente al primer método abreviado.

S 04,8 (9,6)

S 04,8 9 ,16 11 ,64

*�� $?�� >�� ?��$� �� K�&

Tabla .3

yi ni

50 3 -3 -958 6 - -1 466 10 -1 -10 104 6 0 -31 0

8 3 1 3 390 4 8� 30 - - 4

s 64 ,4 0,64 64 (1, 6)

s 11 ,64

i-1 i

s C �� zi ni � zi ni n n

s 8 �� 430 30

i,,

y oi t� y o ni t i−( ) y o ni t i−( )

S 6 14430

8830

= − ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

.Sy o n

ny o n

ni t i ti i=

∑ −( )−

∑ −( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ni i,, ni i

,,


Ejercicio . En un conjunto de n valores de x�� k� �� xi 10 �� x 60 y s 5.

Se pide encontrar el valor de n.

Solución

5n 60n��<� � �

5n 5 n��<�� n ��?��<

Ejercicio . La media de 10 observaciones es 3 y la suma de los cuadrados es 100. Encontrar la varian a del conjunto.

Solución

^�� k� }��x 3 n 10 ��xi2 100

Ejercicio .�"��$�� W� �� +�� >�� &�� W� ��&

Solución

�� k� ��x1 16 x , reempla amos en la anterior ecuación:

(16 x ) 16 (16 x ) x 16x 1 6 0

56 3 x x 56 16x x 16x 1 6 0

x 3 x 1 6 0 (x 16x 63)��<�� x 9 y x1

��!��W� ��k� �� +��

S �� xi x2 n

5 60 10n n

5n 60 n 100n2

b b 4 aca

n

n 10,4 ��?��<

s � xi x 100 3 10 9 1n 10

x x1 x

8

x1 x 16 x1 x x1 16 x

s (x1 x) (x x)

< 1 (x1 8) (x 8)

(x1 8) (x 8)

x1 16x1 64 x 16x ��< x1 16x1 x 16x 1 6 0

i

n 10,4 9,6 10


��Propiedades de la varianzaa El valor de la varianza debe ser siempre positivo. s 0

Es obvia esta propiedad, si observamos todas las fórmulas dadas para calcular la va-rian a, la variable, ya sea utili ando las variables xi yi z o z se encuentran � ��?�� &

b La varianza de una constante es igual a cero:

V k M k M k 0 M k k M k M k 0

� ��>�� k� �� `��#��&�^�� ?� ��k� �� `�� _ � �� +� �� ?�� [#�k� ��$�� &

c La varianza de la suma o resta de una variable más o menos una constante, es igual a la varianza de la variable:

V®`��¯ V®`¯ V k siendo V k �� k� ��®`��¯ V®`¯

� � ��?��$�� _ � �� }�� ®`��¯ V®`¯��

Ejercicio . ^ ��$�� -presas de la construcción y se obtuvo un promedio de 3. 40 millones y una varian a de �� &�^ �� k� �� [�#�� ?�� &�^ �� las anteriores medidas.

Solución

M®`��¯ x k 3. 40 0 3.810 M®`��¯ V®`¯ 800

Ejercicio 10.��[ �� #� �� &��+��$�� &��&�� [�� ?� �� k� � ��>�� [�#�� &��k� �[�#��W�� ?��[� �� _��&�^ �� &

Solución

x 845.000 s 4 .000 M®`��¯ x k 845.000 0.000 8 5.000

V®`��¯ V®`¯� 4 .000

i i


�� "��$�� ?� �� cuadrado por la varian a de la variable:

V®�`¯ k V®`¯

Ejercicio 11.�"��#�� k� � �� &��?�� &�� K �� <�� ?� ��-pensación, ordena un reajuste del 0 para cada uno de los salarios. Se pide calcular el nuevo promedio y varian a.

x 8 5.000 s 4 .000

M®�`¯ KM®`¯��`�� %®�?��`¯ 1 x 1, (8 5.000) 990.000

V®�`¯ k V®`¯ 1, (4 .000) 1,44 (4 .000) 6 9.680

�� +��$�� k� �� ?�� ?�� +��$�� ?�� _��}

siendo:

Ejercicio 12. *�� _�� K��_� ��#}

Fábrica A Fábrica �W� �� Salario medio mensual 95 .000 8 1.000Varian a 64.000 1 4. 40

Calcular la varian a de los 80 obreros

Solución

Calculamos primero la media de los salarios para los 80 obreros.

x x1n1 x n

95 .000 (30) 8 1.000 (50)

n 80x 8.560.000 43.550.000 .110.000 901.3 5

80 80

"��$�� }

s s n s nn

x x n x x nn

1 1 1 1= + + +−( ) + −( ) +.... .... x x n x n

n=

+ +1 1 ....


s 64.000(30) 1 4. 40(50)

(95 .000 901.3 5) 30 8 1.000 901.3 5) 50

80 80

s 9 .900 8. 1 .000

.56 .890.6 5 (30) 9 .640.6 5 (50)

80 80

s 0 .900 1.53 . 34.3 5 s 1.53 .94 . 5

DESVIACIÓN TÍPICA O EST NDAR (S)La varianza?��?� �� `�� -

�� k�� &

Para comparar dos distribuciones, en cuanto a su variabilidad absoluta, se puede ��$��$�<� �� [��>� �� [ � ��>� &

La varianza�� `�� -�� ?� �� _ � �� k� �� &

�� #��k� ��$�� K �� #�� ?��?��[�� ?��k� �� ?�� #�k� �� [�� &�� ?��$��$�� k� � ��>�� +��>�?�� #�� &

La desviación estándar se simboli a por s��W�� +��+W�� ?��>�� $�� &�̂ �� la raíz cuadrada de la varianza?�� &��>�� como la raíz cuadrada de las desviaciones respecto a la media.

*�� #�� }

��?��_�� &

s s

s � (xi x)

�� xi nx

�� xi xn n n

s � (yi y) ni

�� yi ni ny

�� yi ni yn n n

s s n s nn

x x n x x nn

1 1 1 1= + + +−( ) + −( ) +.... ....


�� &��&�� #�� }

La desviación típica� �� +��$�<�� +�� #��&

'��k� ��varianza,�� ?�� ?�� +�� variabilidad absoluta.

Ejercicio 13.�!�� #�� ?�� fueron en promedio de 1.800, con desviación típica de 40. En el período anterior de ��?�� &��?��$�� &��*��k�>�período hubo mayor estabilidad?

Solución

� �� $�� }

s 1.600 s 360 s s 1.600 360

La varian a de A� ��+��k� �� ?��$�� k� �A tiene mayor varia-��k� � <� ��?� �� hubo mayor estabilidad en los precios.

*�� #��[��+�� ?�� &

b) Comparando las desviaciones típicas:

sA 40 s 18,9 sA s 40 18,9

��k� �� ?�� #��?�o al comparar las varian as.

Cuando se tiene una distribución simétrica?�� >�� $�� &�^�� ?�[� �� $��[��?�� ?�� curva normal, de error, de probabilidado campana de auss.

Figura .1

Siendo x � s �

�h1

h h3h4

h5 h6 h h8 h9 h10 h11 X

s 140.4 6 ,6 11 ,64 10,61 30

A A


�� _� �� ?�� ?�k� �� $�� la población o la media teórica.

�� _� �� ?�� ?�k� ��$�� #��&

*�� K �[��$�� k� �� +�� +�� _� �� &�� _� �� ?�� [#?��k� ��[��>�� _� �� ?�� ?�� ?� �� ?�k� � �� K�� ¢&��?�� ?�� >�� parte el 50 de las observaciones.

! �� [ �+�[ __?�� k� � ��>�� }�

�� *�� +�� $�� ?�� +�� K�?�� 68,3 de las observaciones.

�� *�� +�� ?��+�� ?�� ?�¢�� &

�� ^�� #��?��[�� ?�¢�� &�'�� ?��k� �� ?� ��W� �� ¢?�� k� �� `�� `�� K �[��$��pero no la tocan, siendo asintóticamente normal.

"�� |��&�&

Figura .2

34,15 34,15

68,3

95,5

99,


^��>�� +�� #��?�� #�� $�� +�� ?� �� +�� veces la desviación típica:

k�� k� � �� ?��+��?�� ?�¢�� &�^� ��&��?�� k� ��`�� &�� deben estar incluidas en dichos límites.

*��?�¢�� ?��+��?��&

��W��?

*�� ?��+��?��?�� ?�¢�� &

*��?�� _� �� >��?�� al estudiar el comportamiento de una población a través de una muestra, la suponemos ��+��?��k� �� ?�� k� �� &

"�� la Tabla 8.4.

Tabla .

Una distribución se considera ��?� �� ±� � � �sustituye por , teniendo como media 0 y desviación típica 1.

��x 3 sx 3s 3(1, 3) 6 5,19 11,19 Ls

x 3s 3(1, 3) 6 5,19 0,81 L1

99,

��x 1 sx s 6 1, 3 , 3 Ls

x s 6 1, 3 4, L1

68,3

��x sx s 6 (1, 3) 6 3,46 9,46 Ls

x s 6 (1, 3) 6 3,46 ,54 L1

68,3

-11

-

-33

-44

AREA A O LA CURVA

( )34,1534,154 ,504 ,5049,8549,85

49,99649,996

VARIACIÓN DE LAS DESVIACIO

NES TÍPICAS- -1 a 1

- a

-3 a 3

-4 a 4

AREA A O LA CURVA

68,3

95,5

99,

99,9


Figura .3

-3� - �

-1� 1�

�3�

-3 - -1 0 1 3

USO DE LA CALCULADORA*�� #�� ?��

�� k� �� i <�� i �<��n y . Se debe calcular �� #�� +�� k� ��£�� ?�� x�n �?�� #�� &

*�� x�n se o�� [��^�{|��<� �� }��^�{|��{��*^��?�� la tecla de acuerdo a la opción� � �?�� #�� x�n��<�[��?�� $?�el resultado obtenido lo elevamos al cuadrado ( x�n ).

� s � (x x) n

� s � i n

n(1) � � i

n( )

Aplicación de estadísticaen la herramienta Excel

Varian a (aplica a a la muestra) S2 �2

^ �� }�Media aritmética de los cuadrados de las diferencias entre los valores que toma la variable y su media aritmética.

donde es la media aritmética.

��>�?�� _��}

*�� `�� }�Media, Mediana, Moda y Media eométrica: ̂ � �� _��'�?�� &��&�"� �� -cientes a la variable N MER DE HERMAN S, procediendo a hacer CLIC en ACEPTAR.

Z


�� k� � �� $�� >�� >�� &

Desviación t pica están ar s ��

^ �� aíz cuadrada de la arianza: S S

^ �� k� �[ �� $��?�� $?��la función DESVEST y de esta manera se obtienen los resultados.

'�� ?�� k� � ��#$�� $?� �� k� ��?��?��&

��}�� k� �� %��*�!*�"'�|��{¤�?�� k� �� &


COEFICIENTE DE VARIACIÓN (CV)*�� $�� d��W��?��

� � �� $�CV y se obtiene dividiendo la desviación típica por su media aritmética, `�� >�� &

ó

Este �� ?�� -�� ?�� +�� &�^�� [� �� ?��[�� -��_ � �� ?�+��?� �� ?�� $�� &�� k� �� >�� `�� ?�� k� �� ?�� k��>�� &

Ejercicio 1 .�^�� _ �� ?�k� ��K�� la actividad industrial en un país, tienen un salario promedio de 968.000 y varian a de ��&��&��&�� _ �� k� ��K�� #��_ � �� ?� ��?�� &��&��+�� #�� &��&�̂ �k�� &

Solución

En este caso no se pueden comparar las varian as, ni las desviaciones típicas, por �� _ �� +� �� #�� <�� K��_�� }

*��?�� ?�k� �� _ ��-�� #�?�� &

*�� ?��$�� ?� �� k� � �� ?� �� >��_ � �� #��?� �� ?��?�dan diferentes resultados.

Consideremos, por ejemplo, dos distribuciones cuyas medias aritméticas son x1 4,5 y x ��?�+��+�� #�� >��}��1 y s , indi-�� [ �[��k� �� &�^�� ?�� ?�� k� �� relativa diferente:

cv s 100 xcv s 100y

cv sxA

A

A� � � �

1 000968 000

0 01 3 1 3..

, , cv sx

� � � �800

85 000 0093 0 93

., ,

cv sx1

1 4 50 0816 8 16� � � �

,, , cv s

x 300 0666 6 66� � � �, ,


�� $�?� � � � �� k� � �� $�� ?�� k� �� _ � �� <�� ?� ��?��#�� k�� ?�� variación.

^��k� ��K�� &��?�� ?�+�� #�� &��&��&�"�� k� �� k� �� #�� &�'[��?�� k� }

^ �� ?� �� ?�k� �� K �� ?�� >�� &

PUNTA E TÍPICO O ESTANDARI ADO ( )

Esta medida de dispersión es muy utili ada como variante estadística en la distribución ��+� �� &

Se emplea para medir la desviación de una observación con respecto a la media ��>��?� �� #��?�� observación dentro del conjunto.

�� ?� ��K ��#�� $��ª?�� ?�� - 30), se debe simboli ar por t .

"�_��$�� }��

Este puntaje típico�� ?�� ?��k� �� $�� _ � �� ?�� k� �� +��$��k� ��&

Ejercicio 1 . Un obrero reali a tres operaciones dentro del trabajo. La primera la reali a ��?�� +�� &�^ �� k� �� duración para la reali ación de cada operación es: 85, 90 y 58 minutos, respectivamente. '� ��?�� _� ��?��?�+�� &�̂ �k�� operaciones reali adas por el obrero, de acuerdo con su mayor capacidad para la ejecución:

Solución

x1 x1 85 s1 x 85 x 90 s 3

x3 5 x3 58 s3

cv s 1.400.000�`��?��¢x 89 .000

x xs

t x xs


`��` s

siendo �� }� � � � � � � �

'�� ?� �� ?��_�� ±en valores de (desviaciones respecto a la media en unidades de desviación) la posición relativa � �� k� �� +��$��<��?�� [��+��?�� K�� cuando el valor de � ��+��?�� $k�� [� �� desde 3 hasta 3.

Figura .

-3 - -1 0 1 3

ª� ��?�� `�� >��&

�� K �� k� � �� ª� �� _��}

Figura .

�� k� ?� �� K�� C?�� ?�+��W��?� ��A.

��>�� k� � �� ?��[�� -�� #�� ?�� ?�� k� � �� '�� ?��&�*��?� ��K�� K�� ?�� ?�� K�� promedio (cero), en cambio en la primera operación fue de 1,86 por debajo del promedio.

^�� k� �� [�� ?��<��?��<��?��?�� #�� ?�� ?��

1 85 13 1,86

85 90 5 1,6 3 3

� '� ��

-3 -1,86 -1,6 -0,86 0 3

x

3 5 58 6 0,86

�`

�`


�� ?�� k� � �� ?�� por encima del promedio.

DESVIACIÓN MEDIA (Da )

*�� ?�� la media aritmética de las desviaciones respecto a la media, tomadas en valor absoluto.

^ �� _�� ?�� $�?� ��+��#�� ?�� W�� $�� ?�� [#�k� �� `�� &�! � �� k� ��desviación media, se tiene en cuenta todos los valores � �� <�� _ ��k� �� #��?�� `�� &

El valor de la desviación media,�� k� �� #��?�� }

Da�£�s

En la distribución simétrica, la desviación media corresponde al 9, 9 de la desviación típica: Da 0, 9 9 s

*�� _�� #��}

��<

Ejercicio 1 . Los salarios, en miles de pesos, de 10 empleados en un almacén son los �� }��<��<��<��<��<��<��<��<��<��&�^ �� }

��$?�� #��?�� ?�� &

Tabla .

xi xi x xi x 2 xi x

Da � yi y ni

� i ni

n n

4 0 - 69 .361 69680 -9 81 9690 1 1 1690 1 1 1

0 31 961 310 31 961 31

��W

xi xi x xi x 2 xi x

30 41 1.681 41

40 51 .601 51

40 51 .601 51

60 1 5.041 16.890 0 86. 90 556

Continuación

��

Da �� xi x

� i

n n


� �� ^ �� k� ��!a £�s ��?��£��?��

Ejercicio 1 . Utili ando los datos de la tabla 4.15, se pide obtener los valores de la ��$?�� #��?�� ?�� +?�� ?� �� W��-medio, aplicar la fórmula dada para una distribución simétrica.

Tabla .1

y i 1 y i yi ni yi ni yi y yi y yi y ni 46,1 - 54 50 3 150 -1 ,6 1 ,6 5 ,854,1 - 6 58 6 348 -9,6 9,6 5 ,66 ,1 - 0 66 10 660 -1,6 1,6 16,00,1 - 8 4 6 444 6,4 6,4 38,48,1 - 86 8 3 46 14,4 14,4 43,

86,1 - 94 90 180 ,4 ,4 44,8� - 30 .0 8 - - 5 ,8

Solución

^� ��k� ��

a) De acuerdo con el ejercicio : s 11 ,64 y s 10,61.

� �� *�� }

c) La desviación media:

d) Da�£�s� � � � �?��£��?��

e) Da 0, 9 9 (s) 0, 9 9 (10,61) 8,4

Me �0 0

0

s ��,xi x 86. 90

8.6 9n 10

s .� s ��&��?��< ��xmáx. xmín 60 4 0 340

Da � xi - x 556

55,6n 10

��y6 y0 94 46 48

Da �� yi y ni 5 ,8

8,43n 30

y �� yi ni .0 8 6 ,6n 30

x �� xi 6.890

689n 10

a)

b)

c)

d)


^ �� k� ��_ � �� ?�� <� �� k� � �� -ramente asimétrica.

8,4 / 8,43

DESVIACIÓN MEDIANA (De )Esta medida de dispersión se simboli a por De�+�� ?��media aritmética

de las diferencias desviaciones en valor absoluto, entre los valores que toma la variable y su mediana:

*�� $��+?��+�� k� �� +�� `�� ?� �� _ �� k� �� ?��mediana.

El valor de la desviación mediana�� desviación media, la k� �� $?� �� k� ��desviación típica.

Veamos la aplicación de éstas fórmulas para calcular la desviación mediana y su relación con las otras medidas de dispersión ya vistas.

Ejercicio 1 . Los salarios (en miles de pesos) de 10 empleados son:

��<�� <�� <�� <�� <�� <�� <�� <�� <��

Calcular la desviación mediana y comparar el resultado con las otras medidas de dispersión.

Tabla .

xi xi Me xi Me xi x xi x

4 0 -300 300 - 69 69680 -40 40 -9 9690 -30 30 1 1690 -30 30 1 1

0 0 0 31 310 0 0 31 31

30 10 10 41 4140 0 0 51 5140 0 0 51 5160 40 40 1 1

� - 490 0 556

De �� xi Me

n De �� yi Me ni

n��< ��<

De - Da�£�s


Solución

a) La varian a de los salarios: s 8.6 9 b) La desviación típica: s 9 ,89

c) El recorrido: r 340 d) Desviación media: Da 55,6

e) Desviación mediana:

La mediana debe estar ubicada en el valor central � �� +��<��

Ejercicio 1 .�� ?� ��?�� los datos de la Tabla 4.15.

Tabla .1

y yi i− −1, , yi ni Nj yi Me yi Me yi Me ni

46,1 - 54 50 3 3 -16 16 4854,1 - 6 58 6 9 -8 8 486 ,1 - 0 66 10 19 0 0 00,1 - 8 4 6 5 8 8 488,1 - 86 8 3 8 16 16 48

86,1 - 94 90 30 4 4 48� - 30 - - - 40

*�� k� �� desviación mediana?� �� }�� }� ��k� ��

Nj�<� � �� k� }

Nj 1 9 (valor inmediatamente inferior) y Nj 19 (valor inmediatamente superior)

� �� <�� }� Me yj 66.

�� &�'��k� � �� mediana, trabajamos con las marcas de clase.

c) Tomamos el valor absoluto de las desviaciones respecto a la mediana.

�� %�� ?�� _� �� <�� +��n.

De ��` i Me

490��`�� n 10

n 1 10 1 5,5 Me � 0 0 0

n 30 15

Nj 1�£�n


�� k� �� W�� anterior, cuyo valor, 48, se obtuvo en todos los productos de las desviaciones por la fre-cuencia, esto no es frecuente, en este caso fue coincidencia.

^ �� ?�k� �� }� ��?�� +�� !a��?��?�� k� �� [� ��entre las diferentes medidas de dispersión, se cumplen:

De�£�!a�£�s� � � � � ��£��?��£��?��

RECORRIDO INTERCUARTÍLICO DESVIACIÓN CUARTIL RECORRIDO INTERDECIL

*�� ?� �� k� � �� +� ��?� `� �� $?� �� #�� _�� &�^ ��$�� ?�� los cuartiles, deciles y percentiles.

� El recorri o intercuart lico

^ �� _ � �� +� �� &� ��D��3��1.

� La esviación cuartil o semi recorri o intercuart lico

Se obtiene calculando el recorrido intercuartílico, ��k� �� $�� &

En una distribución normal, la desviación cuartil k�� ?��¢�� }

� ��!��

^ � �� k� �� +�� `�� [� �� ?�� }

� El recorri o inter ecil

Corresponde a la diferencia entre el novemo y primer decil: DR D9 D1 .

De �� yi Me ni

40 8n 30

�D �3��1

�D 0,6 45 (s)

C� ��3��1

�3��1


Tabla .

y yi i− −1, , ni Ni

30,1 - 38 6 638,1 - 46 14 046,1 - 54 36 5654,1 - 6 50 1066 ,1 - 0 43 1490,1 - 8 3 1818,1 - 86 18 199

86,1 - 94 9 08� 08

Ejercicio 20. Calcular los recorridos intercuartílico e interdecil, la desviación cuartil +� �� ?��$�� &�&

1. ecorrido intercuartílico.

� &�� }� ��<��

b. Tercer cuartil:

� �� _��}

c) El recorrido intercuartílico�� }

� � �D��3��1 �D 1, 5 53,11 18,64

. La desviación cuartil�� }�

�&��*�� _��}

4. El recorrido interdecil � ��}�� !R D9 D1

n 08 54 4Nj 1£� n�<

4

( (�1 46 8 5 0 46 ,11 53,1136

3n 3 ( 08) 156 siendo 4 4Nj-1��£��Nj 181 156

Nj-1�£� 3n 4

�3 yj 1 C3n Nj 1 4

nj

�3 0 8 156 1493

0 1, 5 1, 5

�D �3��1 1, 5 53,11

9,3

C� ��3��1

�3��1

1, 5 53,11 18,64 0,1493 1, 5 53,11 1 4,86

�1 yj 1 Cn Nj 14

nj

← −N j 1

← −N j 1

← −N j 1← −N j 1


n 08 510 10Nj-1��£��?�Nj 56 0,8siendo

Nj-1�£� n 10

D1 y Cn Nj 110

nj

D1 46 8 0,8 036

46 0,18 46,18

9n 9( 08) 18 , 10 10

Nj-1��£��?�Nj 199 18 ,Siendo

Nj-1�£� 9n 10

D9 y C9 n Nj 110

nj

D9 8 8 18 , 18118

8 , 6 80, 6

CDa Da 100

Da 100 x y

x 6.890 689 10

s �� (xi x)

86. 90 8.6 9 n 10

j 1

j 1

a. Primer decil:

Cuando la fórmula para calcular a D1�� }�

b. Noveno decil:

�� k� �� _��!9�� }

c. El recorrido interdecil � ��}

DR D9 D1 DR 80, 6 46,18 34,58

COEFICIENTE DE DESVIACIÓN MEDIA ( CDa )*�� ?� ��+�� +��

de variación?��_ � ��k� �� desviación media en ve de la des-viación típica&��>�� `�� >�� &

'��k� �� _��?� ��?�+�� &

Ejercicio 21. Con los salarios (en miles de pesos) de 10 empleados de un almacén, �� +�� &

4 0 680 690 690 0 0 30 40 40 60

Solución

La media aritmética de esos 10 datos es:

La varian a:


La desviación típica: s 8.6 9 9 ,89

La desviación media:

Con los anteriores datos calcularemos:

�� }��

�� }��

�� k� ��!a� �� k� � �� k� �!a £�s.�?��¢�£��?��¢&

MOMENTOS UNIDIMENSIONALES"�� ?�� &�̂ ��

clases de momentos:

� Momentos respecto a la variable.� Momentos respecto a la media aritmética.�� %�� K�� %�� K�?��+��

� � � �� &

Momentos respecto a la variableSe simboli a por ar siendo r el orden del momento y la potencia a la cual se eleva la

variable, r toma valores desde 0 hasta n?�� [��&

a y nnr

ir

i=∑

�_�� <�� a y nn

i i0

0

1=∑

= (momento de orden 0)

a y nn

yi i1

1

=∑

= (momento de orden 1)

Momento respecto a la media aritméticaSe simboli a por mr

��_��

Momento respecto a un origen de trabajoSe simboli a por ,

rm

Da �� xi x

556

8,43n 10

cv sx 9 ,89 0,1348 13,48689

CDa Da

x 55,6 0,080 8,0689

m nnr

ir

i=∑

m nn

i i0

0

1=∑

= m nn

i i1

1

0=∑

= m nn

si i=∑

=


�_��

El momento respecto a un origen de trabajo cuyas desviaciones están tomadas en unidades de amplitud

�_��

Tabla .

yi ni yini yi ni (yi y) (yi y)ni (yi y) ni (yi y)3ni

4 8 16 -3,4 -13,6 46, 4 -15 ,4 6 4 96 -1,4 -8,4 11, 6 -16,466 5 30 180 0,6 3,0 1,80 1,088 16 1 8 ,6 5, 13,5 35,15

10 3 30 300 4,6 13,8 63,48 9 ,00� 0 108 0 - 0 136,80 154,55

Tabla .yi ni z z ni z ni z z ni z ni

4 -4 -16 64 - -8 164 6 - -1 4 -1 -6 66 5 0 - 8 16 0 0 -14 8 08 4 8 1

10 3 4 1 48 6 1� 0 - -1 144 - -6 36

m � r ni

ni

m � ni n m

� 1 ni n m � 2 ni

n

m � r ni n

m � ni

n m � 1 ni n m � 2 ni

n

a1 ��y1 ni

na1

108 5,4 x 0

a ��y i ni

na 0 36 0

m �� ni

n1 060

m �� ni

n144 0

i

im � 1 nin m � ni

n6 0,30

36 1,80

r

0 1

r

0 1

i i i

i

i i i i i i

i1

1

i

i i i

i

m y y nn

i i3

3 154 550

3=∑ −( )

= =, ,m y y n

ni i 136 8

06 84=

∑ −( )= =

, ,


Ejercicio 22. Utilicemos una tabla de frecuencias (Tabla 8.8 y 8.9) con valores arbi-��?�� }

y Ot m 6 ( 0,6) 5,4 a1 s m 6,84

s m m , ( 0,6) , 0,36 6,84

s c m m 1,8 ( 0,3) 4 1,8 0,09 6,84

y Ot c(m ) 6 ( 0,3) 6 0,6 5,4

ASIMETRÍA

En una distribución simétrica�� k� }��%1 Me Md. La distribución es asimé-trica positiva cuando la Md�£�%e�£�%1?�� [�� [&�^ ��asimétrica negativa�� [��$k�� en este caso el Md Me M1�� |��&��&

"��_�� #?� �� ?��}

�� *�� }��

�� '�� ²� +�� asimetría?�� }�

c) Aplicando los momentos unidimensionales: siendo:

y S es la desviación típica s

Figura .

Simétrica Asimétrica Asimétrica� � ��

M1MeMd

As m3

s3

As �3��1 Me

�3��1

2

2

1

1

1

1

sA M1 Md

s

M1 Me MdMd Me M1

m y y nn

i i3

3

=∑ −( )


Tabla .10

yi ni yini Ni y2ini yi y (yi y)3 (yi y)3ni

4 8 4 16 -3,3 -35,94 -143, 64 6 4 10 96 -1,3 - , 0 -13, 06 5 30 15 180 0, 0,34 1, 08 3 4 18 19 , 19,68 59,0410 0 0 00 4, 103,8 0 ,64� 0 106 684 - - 111,4

Los resultados al aplicar las fórmulas anteriores se interpretaron así:As 0 la distribución es simétrica. (As 0)As 0 la distribución es asimétrica positiva. (As 0)As�£�� asimétrica negativa. (As�£��

Ejercicio 23.�'��k� ��_�� ?� ��k� �_� ��$�� #��&��&

Con la anterior información se pueden calcular las diferentes medidas de asimetría.

a)

b)

c)

� �� "�� >��?��k� }� � � �

Md�£�%e�£�%1��£��£��?�

M1 �106

5,3 0

Me yj 1 yj

Me �4 6 5

Md �yj 4

s �� 684 5,30s �

�� y i ni y n s ,4 s 6,11

As 3 (M1 Me)

3 (5,3 5)

3(0,3)

0,36 s ,4 ,4

As M1 Md

5,3 4

1,3 0,5s ,4 ,4

m3 ��(yi y)3 ni

n

As m3 5,5

0,3s3 15,0

111,4 5,5 s3 ( ,4 )3 15,0 0

← −Nj 1

1Ni


Figura .

4 5 5,53Md Me M1

^ �� k� � ��grado de asimetría �� al obte�� +��?� �� k� � ��%d se obtuvo directamente de la distribución, cuando en realidad para esta fórmula se obtiene por el método empírico.

Md 3Me M1

APUNTAMIENTO O CURTOSIS�� #�� ?� �� ?� ��

� �� $� �� k� �� &�*�� $?�k� �� observa en la moda?�� K�k� ��$�� normal.

^�� k� ��?�� k� �� achatada, es decir, la curva es platicúrtica<�� k� ��?�� apuntada o leptocúrtica&�'[��?� �� k� �� normal, se denomina mesocúrtica.

Las curtosis� �� +��?� �� momento respecto a la media, dividida por la varian a, elevada al cuadrado.

Si Ap 3 la distribución es normal o mesocúrtica.

Ap 3 la distribución es apuntada o leptocúrtica.

Ap�£�� achatada o platicúrtica.

Figura .

Ap m4

m4

(s ) s4

�� W��

�� W��

�[��W��

+


Tabla .11

yi ni yi y (yi y) (yi y)3 (yi y)4 (yi y)4 ni 4 -3,3 10,89 -35,94 118,59 4 4,36

4 6 -1,3 1,69 - , 0 ,86 1 ,146 5 0, 0,49 -0,34 0, 4 1, 08 , , 9 19,68 53,14 159,43

10 3 4, ,09 103,8 48 ,96 9 5,93� 0 - - - - 1.6 8,06

Ejercicio 2 . �� Tabla 8.11.

La varian a para esta distribución es s 6,11 y

por otra parte (s ) (6,11) ��?��<�[��?�� $�� _��

��<��?��£�� [��W��&

RESUMEN DEL CAPÍTULO�� % �� !� �� % �� !�� promedio. Es necesario determinar el grado de variabilidad de los datos con respecto a ese promedio. Esa ha sido la razón por la cual se han presentado las medidas de dispersión, tales como: el rango, la varianza, la desviación típica o estándar, el �� % � ��1� �� *��% � �� % � desviación mediana y el recorrido intercuartílico.

/� �� % �� como la raíz cuadrada de las desviaciones respecto a la media aritmética.


Asimetría Desviación cuartil angoAchatada o platicúrtica Desviación media ango intercuartílicoApuntamiento o leptocúrtica Desviación típica o estándar ango interdecilAsimetría Momentos ecorrido�� Normal Simetría

desviación cuartil Puntaje típico arianza��

Continúa...

m4 �(yi y)4ni 1.6 8,06��?��<n 0

Ap m4 81,40 ,18s4 3 ,33


órmulas

...Continuación

iS �� 2 � xi x 2

n nVarian a (datos ��

S2 � 2 n � yi y 2 nn n

ii Varian a (datos��

Varian a (datos��

Varian a (datos��

S � z 2 ni � z i ni

n nVarian a (primermétodo abrev.)

s s ! ��#��

x xs

Puntaje típico o estandari ado

Da � yi y ni � i ni

n nDesviación media ��

De �� yi Me ni

nDesviación mediana ��

�D �3��1 Desviación cuartil

DR D9 D1 Recorrido interdecil

ar � y r

i ni

nMomentos respectoa la variable

Momentos respecto a�� K�

A� �3��1 Me

�3��1

Asimetría� ��²� +

Md 3M1 MeMétodo empírico para calcular Md

Apm4s4 Medida de apuntamiento

Ap 3 Apuntada

Ap�£�� '�[��

Ap 3 Normal

s C �� zi ni � zi ni n n

Varian a�� métodoabrev.)

�� cv s sx y

Da � xi x � in n

Desviación media ��&�

De � xi Me

nDesviación mediana ��

D� ��3��1�3��1

�� desviación cuartil

�� desviación media

mr ��ri ni

nMomentos respectoa la media

Momentos respecto a un �� K��en unidades intervalo

As 3(M1 Me)s

�� asimetría de Pearson

As m3s

Medida de asimetría

As 0 Distribución simétrica

As 0 Asimetría positiva

As�£�� '�� #��

m � r

i ni nr

Cd Da Dax y

m �� r ni n

ir

S � yi ni y2n

S � xi nx2 � xi x2n n

M1 Me Md Distribuciónsimétrica


Ejercicios propuestos1. Determinar si son ciertas o falsas las

�� &

a) �yi ni 3.000 n 50 y 6

� �� <��y��<��(yi y ni 4.300

n

c) Da 46 s 38 De 40

d) K 0, s 10 V ky 4

�&� �� `�� media aritmética, la mediana y la moda:

a) En una distribución normal.b) En una distribución positivamente

asimétrica.�� *��

asimétrica.

3. Para la media y la varian a de un conjunto de datos se han hallado, respectivamen-� ?�� +��&��>�� merece la media aritmética? (Utilice el �� &�

�&� "�� W�� -�� es �� :

� �� "��b) La desviación mediac) La varian ad) La desviación típica.

...Continuación

M1�£�% �£�%d� �� #��

Da 0, 9 9 (s) en una distribución simétrica�D 0,6 45 (s) desviación cuartil

Momento 4

M1 Me Md asimetría positiva

De - Da�£�� k��

��`��`��`mín��

Momento 3

�&� {�� _��+�� }

a) En una distribución simétrica la des-�� ?��

b) Si se multiplica la variable por una �� ?� �� se altera.

c) La desviación mediana es menor o �� ?�� $?�>�� k� �� #��&

d) Como la desviación típica es la raí cuadrada de la varian a, pueden obte-� �� +�� &

e) La varian a de una constante por una �� ?� ��$�� variable.

�&� ^ ��$�� empresas y se obtuvo en promedio de 1 4 millones y una desviación típica de

�� &�̂ �� k� ��contabilistas de cada una de las empresas habían prescindido de 3 millones en los �� &��-�� ?�� de estas empresas.

�&� *�� ?� �� `� ��

m y y nn

i i3

3

=∑ −( ) m y y n

ni i

4

4

=∑ −( )


� � ��?�� [ �� +� �� #�� ?��[ �� ?�� k� �la distribución por canon de arrenda-miento tiene una media de .5 5 y una desviación de .390. �� dos distribuciones tiene mayor variabilidad?

8. Una empresa fabrica bombillas eléc-�� ?�'�+��&�� en muestras de la producción se sabe k� �� [�� ?�k� �� +��$�&

TIPO MEDIA VARIAN A

A 800 horas .800�� [�� &��

Se pide:a) Comparar ambas distribuciones en

cuanto a su variabilidad absoluta y relativa.

�� ^�� `��K�� y su duración fue de 00 y 630 horas, � �� ?�� -billa tiene menor posición relativa?

�� ! � �� -ción para el total de las bombillas `��&

�� ^ ��+�K�� }a) La varian a, la desviación media y la

� �� `�� las mismas unidades de la variable.

b) Si cierta distribución tiene una ��$� �� ?� +� ��?� �� ?� �� k� �� +��dispersión.

c) La media de un centenar de artículos es 50 y la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media ��&��?�� de variación es 0,8.

��&�̂ �� W� ��de la serie: , 6, 5, 9, 1, se obtiene la � �� ?��?��?��+��&��k� �ambas series tienen la misma varian a, �� +��_ � �� -tes de variación.

11. Multiplicando por 4 cada uno de los �� `}��?��?��?��?�� obtiene la serie y: 1 , 8, 0, 0, compro-��k� ��

1 .Reconstruir la distribución simétrica de la Tabla 8.1 y calcular:

Tabla .12

yi ni Hi

10 6 0,10 - 0,3

30 - 40 - 50 -

a) La desviación típica �� *�� *��

��&��*�� _��el mes pasado fue así

MEDIDAS F RICA A F RICA

Salario medio mensual 963.00 9 .000Desviacióntípica 6.000 88.000

�� *�� _��presentan una mayor variabilidad absoluta?

�� *�� _��presentan mayor variabilidad relativa?

c) Si a un empleado le ofrecen un �� &��?��


_�� K��relativa?

�� k� � �� _��'�[+�� ?�+�� _��&� ^ � �� de variación para el total de los 80 empleados.

��&�"�� #�� _� �� &��_��k� �� 8.13, se pide:

a) Calcular la varian a por los métodos vistos.

�� c) Si se reajusta el impuesto en un 5 ,

�� #�� +� ��

Tabla .13

RETENCIÓN N DE EMPLEADOS(miles e ) nI

0 - 0 300 - 40 5

40 - 60 1560 - 80 1380 - 100 1

100 - 1 0 5

��&�� -miento hacia el lado derecho, se dice k� � �}a)simétrica b) achatadac)asimétrica d) ��>�� e) asimétrica positiva

16. La media aritmética de los cuadrados � ��_ � �� k� �toman la variable y su media aritmética, estaríamos calculando:��

b) Desviación típicac) Puntaje típicod) Varian a ��

1 .Al dividir la desviación típica por su me-dia aritmética y su resultado lo multipli-camos por 100, estarímaos calculando:

a) Desviación típicab) Puntaje típico�� d) Varian a ��

18.Conteste si es cierto o es falso en cada �� }

a) El resultado obtenido al calcular la ��$?�� -� �� k� � �� &

�� "��$� �� la desviación típica.

�� *�� `�� >�� &

d) El puntaje típico, es la raí cuadrada de la varian a.

e) Para calcular la desviación típica � ��?�� k� ��?�� datos.

��&�*��>�� la Media aritmética debe ser:

a) Menor a la Mediana y esta mayor k� � ��%��&

�� %+��k� � ��%��+�� k� ��Mediana.

�� {��k� � ��%��+��% ��&�� % ��k� ��% ��+�>��

k� � ��%��& �� &

0.En una distribución achatada se dice cuando:


Ejercicios e evaluación

�&� �� través de una muestra �<��<��<��<��<��&�El valor de la desviación típica es:a. 0,68 b. 1,1 c. ,08 d. ,38 e. 3, 1

�&� "�� $�� de variabilidad en un conjunto de datos es:a. Desviación mediab. Varian a

� �&� �� d. Desviación típica

� &� ��

�&� �� continua:y i 1 y i : 0,1 8 8,1 36

ni 3 6 36,1 44 44,1 5 5 ,1 60

5 4 � *�� }

a. 0,10 b. 0,15 c.0, 5 d. 0,30 e. 0,35

4. Si en una distribución de edades, se ��$�� ?��?�� k� � �� $�� distribución en meses es:

a. ,5 b. 5 c. 30 d. 130 e. 360

a. La medida de apuntamiento calcu-�� +��k� ��

�&� *��W��c. La medida de apuntamiento calcu-

�� k� ��d. Es simétricae. Ni a. ni b.

1.Cuando una distribución es simétrica, �� -tribución corresponde a:

a. Mediab. Mediana�&� % �� >��d. la Moda &� ��

5. Si la media aritmética de una distri-bución es ,3 y su varian a es 64, el �� }

a. 1,13 b. 3 ,41 c. 35,8 d. 41,54 e. 4 ,36

�&� ^�� $��-�� k� }�xi 1 96 �xi 106 ��$�� }a. 11,41 b. 1 , 4 c. 18.36 d. 1,15 e. 4,30

�&� *�� }�`}��?��?��?��?��?��?��?��?��?��&� �� }

a. 8, 3 b. 38, 3 c. 48, 3d. 58, 3 e. 68, 3

�&� ^�� ±�+�³?�� [�� resultados:n1 100 x 8 s ` 36n 50 y 15 s2

y 5�� +��variabilidad absoluta (dispersión)

&� "�� ±�&� "�� ³c. Las datos son incorrectosd. No se puede obtener &� ��

��W&&&&

��W&&&&

Ejercicios e evaluación


�&�� distribuciones tiene mayor variabilidad relativa:&�"�� ±�&�"�� ³c. Los datos son incorrectosd. No se puede calcular &��

��&�� K �� ?�� _�� ?� � � �� ?� k� �para las variables se conocen x 16 y y�� K��posición relativa?

��&�*�� k�� como resultado una varian a de ,4 cuya �� [��?�� k� �en minutos la varian a es:

a. 160 b. 164 c. 180d. 1.640 e. 8.640

��&�*�� k�� promedio para obrero es 345.000, con �� &��&�^��

�� de 0.000 a cada uno de los obreros, se �� k� �� #�� }

&��&�� &��&�� &��&��<�&��&�� &��&�� _&��

13.Con la información del punto anterior � �� k� � �� -riación es:

a. 3,48 b. 4,48 c. 5,83 d. 9, 8 e.10,15

��&�� discretayi : 1 3 5 10ni : 5 4 6 3 ^ �� k� ��$� ��&��?�� &��?��<� �&��?��d. 9,16 e. 10,1

15.Con los datos de la distribución anterior �� }

a. 0.38 b. 38.4 c. 56,3d. 6 , e. 0, 8

REGRESIÓN Y CORRELACIÓNREGRESIÓN Y CORRELACIÓN

Objetivos�� {� ��[ �[��k� ��

�� &�� {�� +�� K�� +�� &�� *��k� �� +��

�� &�� &

Contenido�� $�� +� `��&� �� &

Capí

tulo

Capí

tulo

99

INTRODUCCIÓN*�� ?� ��

� ��?�� distribuciones unidimensionales o univariante&�*�� #� �� +�� _�� ?� ��+�� ?� �� K�� _�� #��?��#�� `�� _ �� ?��>�� ?� �� ?�� #��&

*�� #�� [�� distribuciones bidimensio-nales o bivariantes, �� ?� �� ?�� `�� _�� #?��+� _ ��?�� ?�� [�� &

*�� $�� ?�� _�� [�#� �� unidimensionales&�̂ �� K �� bidimensionales?�� }��+��<�� +�� <�� +�� <��+�[�� K�<��+��<�� +��<� ��&

'�� discretas��continuas?��>�� discreta�+��continua&


�� ?��$�� ?��k�� k� �� ?��̀ i�� i�� [��n?�� n� ��W� �� +��yi��$�� -�� &�^ �� xi��+�� yi�� ?� ��_��k� � �� x1�� y1�?�� x2�� y2��+��#�� &

�� ?� ��_�� ?�� -��>��?��$�+�� #��&�� K ��}

Ejercicio 1.�^��k� � �� #�k� �� +�� k��?�� k� � `�� +��&�� _�� k� �� #<�� >��+�� #��&�"�� `i��+� +i� �� &�

Tabla .1 soluciónVENTAS ( ) COMPRAS ( ) xi yi ix iy

6 3 6 3 36 9� ��

�� &��

x� x x x

Media aritmética:

��$}

Desviación típica:

��x�� ?��?�� y�� ?��?��

Ejercicio 2.�� k� �� k� �� +�� k��&�� ?��$��+�� #��&

xi yi

x� y�x yx3 y3��xn yn

x��xi �� n�� y

��yi �� n��

�x �x

x �&�� ?��?�� ?�n �

�y �y

y �� ?��?�� ?�n �

�

i

i

x

y

yx

CAPÍTULO 9: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 211

Tabla .2VENTAS COMPRAS N MERO(millones (Millones EMPRESAS

iarios) iarios)

6 3� ��

�� Solución

xi yi ni xi ni yi ni x ni i y ni i

� �� &�� &�� &�� &��

�� &�� &��

Media aritmética

��$}

Desviación típica o estándar:

��x�� ?��?��y�� ?��?��

��distribución bidimensional �� -��?�� K �[��$�� xi�+� �� K �� ?�� yi&�� xi �� +i�� k� �� +�[�� &

'� �� K�� diagrama de dispersión o nube de puntos<�� k� �� &

x �xi ni

346��?� n��

y �yini

��?� n��

�x �x ni x �&��?�� ?��?��?��n ��

�y �y ni y �&�� ?�� ?��?��?�� n��

i

i

yx


Figura .1

Diagrama e ispersión'�� k�� diagrama de dispersión en-

�� k� ?� ��+��#�� ?�� #� �[�� ?�� [�� ?�[��K��+�� [�� [?�� k� �� `�� &

�� ?� �� ?�� K��#� �k� �� K�� &�*�� #�� }��k�>��#� �� #� �� `�� ?� ��&

*�� #� �� ?� �� ?�� _��k� �� K�� ?�� #� �k� �� K�� K �� k� � ��W��+�� k� �� &

"� �� ?� �� +�� `� �� k� �� ?�� K �� K�� &�*��?�� #� ?� �� +�� <� ��W�� ?� �� [�[ �[�� K�� $��#� �k� �� &

^ �� ?� �� ?�k� �� K��#� � ��k� ��k� �[� ��#�� _ � �� +� �� #� �K�� &

�� ?� �� #� ��?�� k� �� `�� &

�� Dependencia causal unilateral.�*�� + � ��?�� &

�� Interdependencia.�^ �� #��&��>�� #�� k� � �� &

�� Dependencia indirecta.�!�� >�� k� ��+ � �� &

�� Concordancia. ̂ �� k� �� k� ��#� `��&

�� Covariación casual.�� &

+

`


�� K�� +� `� �� ?�k� �� k� �� &

REGRESIÓN"�� regresión��

�� _�� ?��+�� &�*��>��_� �� $�� [�K��?�� [�� <�� ?�� &

Regresión rectil nea simple�� k� � �� #� �� k� �� K�� K��

��?�� ?�� ?�� &�'��#�� }

³��x��³��x��'��³��3�x 3�

� �� k� }

��³� � �� predictando��variable estimada�+�� ³�� ³�� K�?�� &

��`� �� predictor?� �� k� �� ³?�� >�� &

�� 3�� ?� �� <� �� ³?��k� ��x&

�� A 3�� &

��?� ��+��#�� ?��K� �� _-� ��?��k� �� +W�� $��$��población�+��W��muestras&

El �� !�� ³��`��k� �� `��+�&

��>�� ?��k� �� $�� }� �� Mayor que cero?� �� ?��k� �� &� �� Menor que cero?�� +�� &� �� Igual a cero?�� #� �� K �&


Figura .2

�� |��&�� ?��}

c

�

bb

b

y

x

y

xc ¦��

y y

x xc �� c £��

�

� b ¦��x

y y y

x xb £�� b ��

��

� �

X

� �� 7�8?� ��>�� origen en la ordenada?�� &�'��k� �b�� +��?�� &

��c�¦��?�� <��c��?��#� �� <��c�£��?�� K�� |��&��&

Figura .3

��³��+x x��+x�� #� �k� �� ?�� |��&�&

Figura .*�� [�� +�� ³��x��?�� _��}� �� +�� `?�� >��+��#�� <�� >�� `��+�� >�� -�� >��?�� +��&


³��x ��! � �� +��?�� >�� #��&�� }

��yi ��xi ��

��yixi ��xi ��xi

��K �� _��?�� +�� &

VENTAS COSTOSxi yi

� ��

xi yi xi yi x� �� &�� &�� &�� &��

� ��$��

��

��&��&��

*�� -��+��

�� &�� &�� &�� &�� }��?��?��

��

'[��?�� $�� ?��

��?��4�� ?�� ?��?�� }� ��?��K�� ?��

"� �� k� �}��³��?��x��?��

^��k� �� costos�� x��&�� $�� }

³��?��?��?�� ?� �� &

^�� ?��k� � �� [��?� ��ventas� ��_�� costos?� �� ?� �� $�� ?� �� ?�k� �xi �� yi +��

COSTOS VENTASxi yi

� ��

xi yi xi yi x� �� &��

� ��$��

��

��&��

*��

i

i


�� &�� &�� }��?��

��

� ��$�� +�� }

�� ?��4�� }��?��?��

"� ��k� �}��³��?��x ��?��

^�� k�� x�?�� x �� }

³��?��?��?�� ?�� #� �� &

Proce imiento abrevia o e cálculo�� ?� � �� ?� ��$��+� ��

� �� #��?��[�#�� #��+��&

Media: x �xi �� y

�yi ��

n � n ��

arianzas: S x nxnx

i 3 156 55

14=∑ −

=− ( ) =

. ,

S y nyny

i 914 5 15

38 8=∑ −

=− ( ) = ,

Desviacionestípicas: ^x � ��?��?��<��^y ys ��?��?��

�+�� covarianza,�k� �� -��K�� x��+� y�?��+�� ?�� &

Covarianza}��(xi x��yi y�

��Cov x yn

x yi i=∑

− n

� ��&��?��?� �

�� ?�� ?�� _��k� �� +��

�� egresión:� �� ?��?��?��>�� $��

� � � � � � �_��}

x

x� ��?�


� � ��n�xi yi (�xi��yi�

��&�� &��?��

n�x (�xi� ��&�� &��

� � ��xi yi n x y

�&�� ?��

�x n x �&��

� � ��(xi x��yi y�

��(xi x�

�� ?�� -�� ?�� ?�k� �� ?��&

también:� � ��y bx ��?��?��

ecta de egresión: ^ �� $�?��+��_�� ?��_��

< 7� = �8 > � ��?�� ?��

�� `�� +�� &

Cálculo el error están ar e estimación"�� k� �� [� �?�� ?�� ?��[+�

� � �� k� �� &�*��varianza residual��varianza no explicada?�� diagramade dispersión�k� ��k� �� ?� ��k� ��k� �k� ��_� �� &�"��_��+��`�� &

S S ��#��$��&

VR �( yi i � ��^

�yi c�yi b�yixi ��^ ��^ �� r �n n

s2�� ?�� ?��&��

��?��

s S �� r ��?�� ?�� ?��

� ��W��_��?�� k� ��_ � ��?� �� &�� _��k� � `�� }

i

�� Posición:� ��

�yi b�xi �� ?�� ?��?��

� � � ��

yx e

yx yx y

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yx y x

yx

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S S �� ^ ��?��?��?��?�� ?��?��

'[��desviación típica residual?�� }

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yx


Cálculo e la regresión e en unción e (utili an o la calcula ora)

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�

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Figura .

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Ejercicio 3�� &�� +� ��

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Solución

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i


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6

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Cálculo me iante el uso e la calcula ora

Ejercicio .�� k� �� _��?��K�� _��}�±��<��³�� &�*�� -��?�� &�"��_�� }


�ì 43 �ì+i�� + �� ±��

�+i 9 �` �� +�� Solución

'��k� �� >�� }

a) �±��xy�+��xy

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��ì+i��xy �+ ��xy �+i� � ��xy��xy

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��?��?��?��?��?��

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`��ì 43

��?�� +��+i 9

��?��

s yn

yyi

i189

55 8 3 8 33 64 4 16=

∑− = − = − =, , , ,

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�� ±��+��}

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Tabla .1

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*�� >�� varianza residual��varianza no explicada&

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s smsyx y

xy

x= − s s

msxy x

xy

y= −

�� >�� &��K�� _��?�� ±i�+��³i��&��&

Tabla .1

ì Xi� ì - Xi� �ì - Xi� � +i i� +i - i� �+i - i�

� �� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

*��k� �� _ � �� +�� -�� }

��ì Xi��+i i��

^�� ³��yx�`��yx��+�� }

�yx��?�� yx��?�� k� }� ³��?��`��?�

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�� ±��xy�+��xy

±��?��+��?�� ±��?��?��?��?��?�� &

'[��?�� ?��+�� ±?�� ?�¢�� k� � �� #�� $&

^� ��varianza residual��?��+� ��error estándar��xy��?�� }

X 3 �`+�� $��P��?�¢ n

X��&��?��?��

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Tabla .1

Xi Xi��`i (Xi��`i� i i��+i ( i��+i�

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22

21= − R ��?��

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+

`+

`

+

+

`

`

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`+

`

`+

`��+

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y 50 8645 4

0 9= = =,,

,ssa

x

x 69 990 4

0 9= = =,,

,


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�� }�� &��?��

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Ejercicio *�� ±�+�³� ��?��&��>�� K �� -

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Solución

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Ejercicio ^ � _ �� K �� -

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``+

`��+

`

+`

+ +

+`

+

+`

+`

r x y x y

n x x n y yi i i i

i i i

=∑ − ∑( ) ∑( )

∑ − ∑( ) ∑ − ∑( )⎡⎣

⎤⎦

⎡⎣

⎤⎦

1yi


PUNTA E DE APTITUD PRODUCTIVIDAD

9 3� ��

3 3

^ �� }

�� K��+�� K ��

�� &�� ³� ��_�� `&�� |�K��#�� $?��³�� ?�¢&

SoluciónTabla .2

ì +i� ì +i ` +

� �� &�� &�� &�� &�� &�� &�� &��

`��ì ��

�� n 6

+��+i ��

��?�� n 6

�+ ��+��+ �&��

��?�� ?��<�� `��` �&��

�� ?�� n 6 n 6

��`+ �ì+i��`�+�� `+�

�&��?��?��n 6

��+` �`+ ��?��?�� ³��+`��ì��`��+� �� ?��

��³��?��?��?��?��?��

��`�� ?��?�� +�� ?��?��

i i

i`

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`

`

+


��`+ ��?��

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�� ?��?��

��?��$�� &� �� ?��

��+`�� ?��?�� &

��³�´��+` ��?��

��?��?��?��?��

n 6

i��?��?��

��?��?��?�� 6

Ejercicio .*�� _� �� ?�� k� ��

� �� ³��?�`?�� ³ ��?�+?� X ��[��K-��<�� ?�� #�� [�� +��$�� &�� #� �+�� &

Solución

³��+`�`��+`��³��?��`��+`��+`��?�

� �� `�� + 3

�+`��+��`��+`��+��?��+��?��<��+��?��?��

�+` �`+��<��+`�� `+�<��`+��?��?��<��`+ �?�� ?�

��?�� `��+��

� Propie a e las varian as�� "��$�� ?� ��$�� ?�

��$�� ?�� $}

V�`�+� V�`� V�+��`+

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+` +`

`++`

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` +

``

"� �� $��$�� ?�¢


V�`�+� V�`� V�+��`+

Ejercicio .^�� k� ��`�+��+��`�+��?��?�� $�

Solución

��®`�+¯ V®`¯ V®+¯��`+� � ��?��®`¯ V®+¯��`+��

��®`�+¯ V®`¯ V®+¯��`+� � ��?��®`¯ V®+¯��`+��

�� +�� }

��?��®`¯ V®+¯��`+��?��®`¯ V®+¯��`+�� `+

�?��?��

��?��`+

4

Ejercicio .�� ! �� _�� ?�� }� ! ��#�� }�� +��&�� ! ��#�� }�� `��&�� +��}�� ?��

�� ?�� #�� [��?� �� ?��_ � �� +��&

Solución

��`+��`��&��+��&�� s sx y9 000 000 4 000 000= =. . . . ��`�+

��?�� `+��`��+�� `+��?��&��&��&��&��

V®`�+¯ V®`¯ V®+¯��`+ V®`�+¯��&��&��&��&��&��&��

� ��&��&�� &��&��&��?�� #�� [��&

��! �� #� �� }

[ ]M x ��<��%®`�+¯��<��%®+¯��<��%®`�+¯¦�<��`+��<��`i+i��&��

�� ³�� `&


Solución

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�`+ �ì+i��`�+��&��

��`�+��`�+� ��

`�+��`��

�� $�� `��+�� +��+��+ ��+��+ ��+��+

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��%®`�+¯�¦�� k� �%®`¯�¦�%®+¯�� [#�k� �`�� +��

"��$�� `�� }�� ̀��%®` ��` � � � �̀��

"��$�� +�� }��+��%®+ ��+ � � �+ 49 - 3 ��

� �� &��?��<��+`�� ?��?��

Regresión rectil nea pon era a*�� k� �� regresión rectilínea ponderada� �� `��

��$�� regresión rectilínea simple&

"�� }

��³��+`�`��+`�� ±��`+�+��`+

"�� +�� >�� `�� #� �� ?�k� ��}��?��+� ��&

��K�� }

��+ini��+` ��ìni��+`� � ��+iìni��+` ��` ini��+` ��ìni

�� &��"�� }

�+` �`+��`+ �`+��+��$�� }��`+ ��ì �`��+i��+� �ì+ini �`�+

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"�� >�� #}��`��ìni��+��

�+ini n n

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+�� ?��#}��+`��+��`��+`��`+��`��+��`+

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� � � � � � � � � ��

��"��$�� ?�� }��

��*�� ?�� }��+`�� `+��

_�� *�� k�� _��}

��`+� � ��+`��`+� �� `��+ � �

��

Ejercicio 10�� _�� K �� #��?�� #��k� }

ì� �+i ni

6 3� �� Solución� ì� +i ni� ì ni� +i ni� ì+ini� ` ni� + ni

� �� &�� &�� &�� &�� &�� &��

�� &�� &�� &��

` +

`

`+

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+` `+

+ `

i i

i i

`+


�� +`<��+`�� }

��+ini��+` �ìni��+`� � � ��ì+ini��+` �` ni��+` �ìni

� ��$��}��+`��+`� � ��&��&��+`��+`

'[�� ?��+�� }

��&��&��+`��+`

��&��?��&��?��+`��+`�� +` �&��?��?��

�&��?��&��?��+`

�&��?�

*�� +`�� $�� }

��?��+`��?��+`��+` ��?�� ?��?��

� � � � � � � ��

"� �� ³� ��_�� `�� }��³��?��`��?��

�� ±��`+�+��`+��

_��k� �� [�$�� }�

��ìni��`+ �+ini��`+� � ��ì+ini��`+ �+ ni��`+ �+ini

� ��$��?�� }

��`+��`+ � � � ��&��&��`+��`+

%�� ?��+� �� }

��&��&��`+��`+

��&��?��&��?��`+��`+�� `+ �&��?��?��

��&��?��?��`+ ��?�

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�`+ ��?�� ?��?��

� ��

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"�� >�� _��}

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i

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³��+`�`��+`�� ³��?��?��?��?��?��

³��+`��`i��`��+��<� ��³��?��?��?��?��?��?��?��

^�� _� �� ±�?�� k� ��_� �� ?�� #}

±��`+�+��`+� ±��?��?��?��?��?��

±��`+��+��+��`� ±��?��?��?��?��?��?��?��

"��$�+�� ?�� [�� -� �� ?��#}

�`+ �`i+ini��`�+��

��&��?��?��?��?��?��

� ��

�+`

�`+ ��?��?�� `+

�`+ ��?��?��

� �� ?�� ?��

�+`��+��`�+`� � � ��+`��?��?��?��?��?��?��

�`+��`��+�`+� � � ��`+��?��?��?��?��?��?��

"��$�� _�� k� �� }

� �� ?��?�� ?��?��?�� ?��

� �� ?��?�� ?��?��?�� ?��

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+` +`

`+

`+

`+ ``+

+

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��?��<� � ��+`��`+��?��?��?��+�`��?��?��?��

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�� ?��?��?�� ?��

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*��k� �� ?� �� ?� �� k� �� `��?�� &

� �� !�� "�� _��}

�� 6 � di n (n ��

di�� _ � �� `i�� +�� +i

n�� W� �� _ � ��?� �� ?� ��W� �� &�

*�� k� �� }

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� *�� `�� ?� �� ?� ��&�*�� [� �� ?�� W� �� +�� ?�� >�� &

�� "� �� _ � �� &

�� ^ � � �� _ � ��&�� "�� +�� *�� ?�� ^� ��?�

�� +��&

+

+`

`+

`

i


Ejercicio 11.�̂ � _ ��W�� ?��$�� W�� ?� �� K � �� +�� &�"� �� k� ?�� #��k� �� ?�� _ � ��?�� k� ��k� �� $�� ?�� W�� &

"�� _� �� }

CARACTERÍSTICAS M S IMPORTANTES N . e mujeresE. alto E. me io

� �� >�� #� �� _� $��_�� >�� +�� _ �� +� `[��

� 93 93

�� ^� ��&

SoluciónRANGOS

`i� +i di

�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

�� ?�� ?�� ?�� ?��

�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?��

�� ?�� ?�� ?��

"�� +��K?� �� ?�� k� �� `�� &

RESUMEN DEL CAPÍTULOA un conjunto de puntos pertenecientes a una distribución bidimensional, es posible ajustar dos líneas rectas, una para estimar los valores de , partiendo de valores cono-cidos de y, y se le denomina regresión de 1 en 2 y otra, para estimar valores de , a partir de valores conocidos de x, y se denomina regresión de 2 en 1 .

d��

6 �di n (n ��

��?��

��

��

��

��?��?��

continúa...

i


/� �� !��% � ��*�� !�� una variable en función de otro valor supuestamente conocido, correspondiente a la otra variable.

Decimos que la mejor línea que se ajusta a un conjunto de puntos es aquella en donde la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y los estimados es mínima.

Para determinar el grado de correlación entre las variables, no basta con calcular � ��*� ��% �� correlación al cuadrado, siendo un valor - 2 - 1.

"� � �� !��% �� *�% �� !��% �� !�� % por tener pendiente negativa. Además, si es igual a -1, nos indica que existe una perfecta correlación en otras palabras, cada valor de la variable deberá ser exacta-mente igual al valor estimado, y por tanto la varianza residual será igual a , y la varianza explicada igual a la varianza total.

�� !�� % �� cuando se trata de medir atributos, y se desea comparar esas dos características �� % $�� *�� -ciente de correlación de Spearman, para poder determinar el grado de correlación.


órmulas

³��+`�`��+` � �� ³��+`��`��`��+��

continúa...

�� !�� !�� CovarianzaDiagrama de dispersiónNube de puntosPendientePredictando

Predictoregresiónegresión de 1 en 2egresión de 2 en 1egresión ponderadaegresión simplearianza explicadaarianza no explicadaarianza residualarianza total


±��`+��+��+��`�� ±��`++��`+ � ��

�+` �`+ �� `+ �`+ ��

�+`��+��`��+` �� `+��`��+��`+ ��

�`+ �ì+i��`�+� ��$� �`+

��ì��`��+i��+��$ n �� n ��

�`+ �ì+ini��`�+�� $� �`+

��ì��`��+i��+��i ��$n��

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Cuestionario e evaluación

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SERIES CRONOLÓGICASSERIES CRONOLÓGICAS

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Contenido�� %>�� 'K�� #� �� %>�� $�� 'K�� %>�� 'K�� `��

Capí

tulo

Capí

tulo

INTRODUCCIÓN

"��series cronológicas�� bidimensionales?�� ?�� ?��#��+� �� k� �� ?�� ?�� ?� `�� ?� ��&�&

"��series cronológicas?�� >��series de tiempo?�� k� �� _ � �� #��&

*�� k�� ?�� #�� ?�� _��&�� ?�� -��?� �� ?�� ?��?�� +��[�� ?�� _�� &

"�� k� �� serie de tiempo,� �� _�� ?��&

�� ?�� +��[�� &

"�� _�� k� �_ �� }�tendencia, varia-ciones estacionales, variaciones cíclicas y variaciones aleatorias.

1010

CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO��

�� Tendencia:�� +�� k� �� #�� &�*�� #�� ?�� #�� ?�� ? ��?�� #� �� ?�� `�� k� �� &

�� ariaciones estacionales}�>��?�� ?� �� ?��?�� +�� <��>�� k� �� ?�� K ��?� �� #� ��[�� #<� �� K �� ?� ��#?� ��&

�� ariaciones cíclicas: �� $�?�� ?�k� �� W� �� ?�+�k� ?��_ � �� ?� ��_#�� #��?�+�k� �� `�� $�+�� ?�� -�� #�� &�

�� ariaciones aleatorias: ��k� ��k� �� _��-�� ?�� _#�� &�� K ��?�� ?�� ?�[� ��?� ��&

*�� ?�� ³�� ?� �� _�� ?�� k� �³��*��'<��?� �� _�� &�³��&��*&��&��'& ^�� ?��_��k� ��k� �� k� �

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"��_ � �� aditiv��+�multiplicativo?�� ?� �� +�� `�� <� �� ?�� `�� +�� >�� &

*�� ?� �� #�� ?� � � �� K�� ?��#�� ?� �� $��k� �� |��&�

Figura 10.1

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CAPÍTULO 10: SERIES CRONÓLOGICAS ��

TENDENCIA"� tendencia�� _ � �� _��}�rectilínea?�parabólica?�exponencial��

��k�� #� &�"�� k� ��k� �� K�� K�� &�"��+��[�� _�� #� �+�� k� ��&�^�� ?�� ?�k� �� $�� $�� ?�� K�� +�� `� �� #��?�� k� �� K� �� K��K�� &

"�� !�� [� �� &�*�� K �[��$�� tiempo��?�� ?�� ?��#�?� ��&�?� �� K �� variable ��?�� ?�� &�&�� ?�³?� �� ?�+�[�� #�� ?��k� �� ?��#� ?�k� ��W�� k� �� ?�+�k� �� ?�� K� ��#� �� k� �� ?�� ?�� _�� &

'�� ?�� [ �[�� _�� _��[��?�k� �� K�� &�^�� ?� ��[ �[�?�k� ��k�� _�� _�� +� �� &�^ �� k� � �� _�� ?�� K�� _�� <�� $�� k� �� +�� ?��+�k� �� _ � �� $�� &�� ?�� #� �� K��`�� +� �� &

^��?� ��k�� ?�� &�*�� -�� >�� ?��k� �� ?�+� �� _��<�� [�� #?�� ?�� ?� ��_#��?� ��&

��#� �k� �� -�� ?�� k� �� &�� ?��$��#� ?�+�� ?�� `�� ?�� $�� ?�+� �� k� ��#��?�� k�� &

Ajuste rectil neo*`�� >�� K�� &�*��

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*�� k� �� >�� mano alzada?�� K��#� �� ?�� -�� ?�� >��$��#� �� $��>�� &�^�� #� �[�� k� �� ?�� K �� ?�� &�'�� k� �� $��$��#� �� ?�� ?� �� +�W��+�� ?�� k� �� K ��#� �� &

Figura 10.2

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Ejercicio 1.��^��k� �� ?�� &

Tabla 10.1

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Solución

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Tabla 10.2A OS +i� `i ³i CALCULO DE

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Figura 10.3

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Tabla 10.1

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*�� >�� K��#� �� ?��>��K�� -� �� ?�� ?�� `�� ?� ��&

^� �� ³��`��?� �� k� �� de b�+�c �� `�� k� �� &�*�� +� �� -�� ³�� <�� +�� ³��`��&�*��`�� +�� &�� >�� mínimos cuadrados?�� k�� k� �� ?� ��_�� }

Tabla 10.1A OS +i��ì `�

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�� ì�� }��+i��+i��+i

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i��ì ��ì�+i��`�i��ì�+i��`�

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Tabla 10.1

A OS +i��ì `��i� ì +i

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� ��

��

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"� �� ?�� ?�� }

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`�� ³��?��?��?��

*�� ?�� -��?� ��número de años es par<� �� ì /��&�*�� ?��W�� #��K��$�� ?��[�� #�� ?�� ì /��?�� K �� &

��ì+i��?��`� ��

��+i��

��?��

��

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Ejercicio 2.�� k� �� &��-�� #��?� �� &�*�� ³�� &

Tabla 10.2 Solución A OS� �+i A OS � ��+i� ì� `�� ì��+i

� �� &�� &�� &��

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"�� +�� }

��+i��ì�� +iì��`�i��ì

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³��?��`��?�� ³��?��?�� ³��?��?��?��

*��segundo caso�� +� ��W� �� #�� &��k� �� ì�� ?�� K�� &�*�� k� �� }

��?�

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�� ^ �� k� �� K�� &�� -��k� � �� [��<�� K ��?�� #�?�� ?� ��_ � �� ?� ��W��$�#�� _�� #�� <�� K��?� �� ?�� +�� &

�� ?�� &

�� ?�� k� �� K�� K�� ?�[+� `�� &�̂ � �� #�� ?�+� �� ?�`�� &

�� ! �� K��?�� ?�[+�� +�� `��<�� K�� ?�[+�� ?��`�� +��#�� ?�� k� �� &�� K� �� K �� &

Ejercicio 3.�� &�� ?�k� �� W� �� #��?� �� K�� #� ��+� �� ³�� &

Tabla 10.3 SoluciónA OS +i A OS � +i� ì� `�

i� �ì�+i

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� � � ��

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��ì+i��

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^�� +��[�� #�� ?� �� `�� ?��}


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�� arianza residual y error estándar�� ?�� k�� ?��

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�� +��+i��ì+i

n�� K �� _��?�� ?��

� ��&�

Ejercicio .�� &�� &

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�� +i��³i �

�

��?��

��?�� +`��?��?��

Tabla 10.1

A OS +i� ³i +i ��³i� �+i ��³i�� +� ì� ì +i

� �� ?�� ?�� ?�� &�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� ?�� &�� ?�� ?�� ?�� &�� ?�� ?�� ?�� &�� ?�� ?�� ?�� &�� ?�� ?�� ?�� &��

�� ?�� ?�� &�� &��

��_�� }� � ��+�

i��+i��ì+i n

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��+� ��?��?��+i��?��ì+i��&��

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��?��&��&��&��&��?��

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y= − = − = − = = 1 1 0 8

3 4 531 0 1889 0 8111 0 90,

,, , , Siendo syx 0 8= ,

syin

y sy y19 136 340 33 1 359=

∑− = − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= − ; . . , . ,118 3 4 53= ,

Ejercicio .�� }

��*�� K�� #� �� &

�� +��+��+�

+`

+`

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SoluciónA OS� �+i ³i A OS�� +i� ì� ³i� `� �ì�+i

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��^�� `�� k� }

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³��?��`��<� � �� `��

³��?��?��?�

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��`� ��ì+i ��?��ì+i

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+��+��+��+�

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��ì+i��`�+��`�+��`�+��`�+�

� ��$��?�� +��+�� k� }

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+��+��+��+��

��_��k� �+��+��

i

i

i


Ejercicio .��^ �� }

A OS� +i� ì�+i

��

��

Solución

A OS� +i� ì� ì +i� `�

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��

^� ��+��+�� K��+��+��'[�� k�

�� +��+��<� � +��+��

�� $��?�� +��+�?�� }

��+��+�� +��+�� +��

��+��+��+��

^� ��ì /��?�� K�� [�� +��&

��+i��ì�� ì+i��`�i��ì

��

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��

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��

��?��

^ � �� ?� k� � �� &�^ �� +� �� ³�� &

+��+i�� n

��+i��+��

��®��¯��

+��+��

i

CAPÍTULO 10: SERIES CRONÓLOGICAS �

³��`��<��³��?��?��?�� `��

Ejercicio .�*��W� �� k� �� [� �� [��?�� W�� ³��?��`��?��<�� k� ��?��&�^� ��³� �� +�±�� ?�� +�� &�^ �� &

Solución

A OS Xi A OS Xi

� ��

� � � ��

³��?��?��?��

Ejercicio .�� ³��±��<��?��<�`�� <�� ?��

SoluciónA OS `i

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��

��

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`��`�� &� � `��

³��`��

^� ��?�� `�� _ �� #��&�� ?�+�k� �� [� �� &

Continuación

`��`�� `��


�� [ �� hoja de cálculo�� &

Ejemplo 3.�^��k� �[ �� hoja de cálculo��_�� y�?�� #�� x�&

"��ventas�� variable ?�+ k� �� k�� + ��?� �� ?� �� _��&�*�� +�� &�"�� ±�� &

^ �� $�� ?��#}

� ^ � ��CELDA ��RANG DE SALIDA?��k� � �� -�� 04 � � �� *"!'��&

� ^ � �� MEN � �� {�^*��'�?� �� [� ��CLIC ��|��{¤�?�� cuadro de diálogo |��{¤�&

icación de estadísticaen a e a ienta ce


� �� cuadro de diálogo �'�*��¨'�!*�"'�|��{��?�� *^�'!¨^�{�'�+� �� %��*�!*�"'�|��{¤�?�� ¤^�{��?�[�� CLIC en '�*��'�&

CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO�

�� cuadro de diálogo ��¤^�{��?�� ?� ��k� �� }

� *�� ?�� K�� k� �_� ��?�� k� �x��*�� k� ��>�� #��k� �x ��&�� x.

RANG � �� }�� ?�+� �� *"!'� ��'��!*�±�� }��&�|�� [� ��CLIC en '�*��'�&

�� k� � �� ?�� &


Ajuste parabólico*�� ?� �� #� � � ��

� �� ?� �� k� � �� #� ?�� K ��&

"� �� }

�³��`��`�� k� �� &�� ?�� `&

�� ì /��?�� K�� ?�� k� �[+�� a?�b?�+�c&

"�� }

��+i��`� ��ì��ì+i��`� ��`� ��ì

��`� +i��`� ��`� ��`�

�� ì��?�� k� ��`� ��<��?�� }

��+i��`� ��ì+i��`�

��`� +i��`� ��`�

�� k� �� k� }

��n�`� +i��`� ��+i��<��

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�� arianza residual*�� arianza residual?�� >��}

�� +i��³i�

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�� Error estándar de estimación. *��#$�� $�� }�� ?�� _��$��

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Ejercicio .�� &�� ³�� +��$�� ?� �� ?��K��#�� $�� ?�¢�� +�� &

��"� �� ³��?�� k� ��ì /��&

Solución

Tabla 10.1

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Tabla 10.1

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Ejercicio 13�*��+�� ¢��

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Los datos correspondientes a informaciones de carácter estadístico pueden ser: atemporales, siendo el resultado de investigaciones no periódicas y temporalesdenominadas series de tiempo o series cronológicas, cuando el registro es periódico.

Una serie cronológica es un conjunto de observaciones ordenadas en forma perío-dica, respecto a una característica cuantitativa correspondiente a un determinado fenómeno que se registra a medida que se va produciendo.

/� �� !�� 1�� -forman una línea poligonal que muestra las variaciones que ha tenido la variable

en un período t . Parte del análisis, consiste en encontrar una línea que represente esa poligonal y que muestre la tendencia que siguen esos puntos para poder determinar su comportamiento en el futuro, suponiendo que las condiciones actuales se mantendrán.


El ajuste de una línea recta a un conjunto de puntos ordenados cronológicamente puede hacerse aplicando varios métodos, tales como: a mano alzada, b puntos seleccionados, c semipromedios y d mínimos cuadrados.

El ajuste puede ser rectilíneo, parabólico, exponencial u otras formas, dependiendo del comportamiento de la variable.


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A OS INDICE DEL PRODUCTOREAL AGRÍCOLA

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MESESVENTAS (millones e )

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Cuestionario e Evaluación


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Capí

tulo

Capí

tulo

INTRODUCCIÓN

Los números índices son cifras relativas, expresadas en términos porcentuales, que sirven para indicar las variaciones que presenta una serie de observa-ciones, cuando se comparan respecto a una de ellas, tomada como punto de referencia, denominada período base.

Por lo general, los números índices se constituyen en series cronológicas, cuan-do se utili an para indicar las variaciones porcentuales de una variable a través del tiempo.

En una serie corta, el período base corresponder al primer valor de la misma en una serie larga, debe seleccionarse aquel período que haya sido m s estable, es decir, que no presente cambios bruscos debido a factores, ya sean internos o externos. En algunas ocasiones, la selección del período base depender de lo que se quiera presentar, por ejemplo si se examina una serie referente a los precios de un artículo, se tendr que el índice de variación ser mucho m s alto, cuanto m s lejano se encuentre el período base y ser m s bajo cuanto m s cercano esté ese período.

Los números índices son muy usados en el an lisis de las ventas, producción, �� ?��?�� ?�� ?�� `� ��?� ��&?�+� �� -cial cuando se quiere comparar dos series, como por ejemplo, los cambios en los

1111 NÚMEROS ÍNDICESNÚMEROS ÍNDICES

Objetivos�� {� ��?�� K�� W� ��#�� &� Desarrollar destre as necesarias para elaborar índices simples y

ponderados.� Desarrollar destre as en la aplicación de los números índices en la

gestión administrativa.

Contenido� Conceptos sobre números � Empalme de dos o m s series

índices� ndices simples � Encadenamiento� ndices agregativos simples � Usos de los números índices.� ndices compuestos o ponderados


precios de dos o m s artículos durante un determinado período de tiempo. Por lo tanto habr necesidad de tener cuidado con su uso, pues a diferencia de lo que la mayoría cree, el índice no mide, sólo es un indicador k� �� K�� observaciones en forma aproximada.

Según su composición, el índice puede ser: simple o compuesto. A su ve los índices compuestos�� agregativos y de promedios. Los promedios, a su ve , se clasi-�� aritméticos, geométricos, medianos, etc, siendo los m s utili ados los aritméticos.

INDICES SIMPLESUn índice simple se obtiene dividiendo cada precio, cantidad o valor de una serie dada

ya sea en períodos anuales, mensuales, etc. por el precio, cantidad o valor de uno de esos períodos, el cual ha sido tomado como base o punto de referencia, el resultado de ese cociente se multiplica por cien.

I índice La fórmula general es: I t Xt 100t período que se anali a0 período baseXt precio, cantidad o valor del período que se investigaX0 precio, cantidad o valor del período considerado como base.A veces, se cambia el símbolo X por el de �?�� ?�+��

q cuando se trata de cantidades. Así por ejemplo:

I t Pt 100 I t qt 100Po qo

Ejercicio 1. Supongamos los precios de un artículo en el período 00 - 01 , según la Tabla 11.1. Con estos datos, calcular los índices simples de precios con base 00 y luego los índices simples con base 010.

SoluciónTabla 11.1

A OS PRECIOSINDICE DE VARIACIÓN

00 100 010 100 (A) (B)A B

00 .000 100 50 - -50008 .800 140 0 40 -30009 .400 1 0 60 0 -40010 4.000 00 100 100 0011 4.800 40 1 0 140 001 6.000 300 150 00 50

Xoo

o o

CAPÍTULO 11: NÚMEROS ÍNDICES ��

Los índices simples con �� 1� se calculan de la siguiente manera:

I t Xt 100 Xo

siendo la base X0 00 , se tendr :

I 0 X0 100 .000 100 100 I 08 X08 100 .800 100 140X0 .000 X0 .000

I 09 X09 100 .400 1 0 y así sucesivamente.X0 .000

Si consideramos, como período base al precio de 010 se tendr n un valor de X10 4000

I 0 X0 100 .000 100 50 I 08 X08 100 .800 100 0X10 4.000 X10 4.000

I 09 X09 100 .400 100 60 y así sucesivamente. X10 4.000

bservemos que el índice de precios para 01 con base 00 es de 300. Dicho re-sultado nos indica que los precios han aumentado en un 00 . Para la lectura del índice se requiere que le restemos 100, pues corresponde el punto de partida o período base. En cambio, el índice para ese mismo año de 01 con base 01 , nos muestra un aumento menor, es decir, apenas del 50 . Desde el punto de vista matem tico, los dos resultados son equivalentes, pero la forma como impresiona al lector, en el aspecto sicológico, son diferentes.

El índice simple��>�� K?��_ � �� -mente, en este caso cada índice se obtiene cambiando de base. Se dice, que en una serie, los índices son de base variable, cuando a cada observación se le divide por el valor de la observación inmediatamente anterior, multiplic ndolo por 100.

Ejercicio 2. Con los datos de la Tabla 11.1 calcular los índices con base variable y el respectivo porcentaje de variación.

SoluciónLos índices de base variable se calculan de la siguiente forma:

I 0 X0 100 .000 100 100 debido a que supuestamente no se tiene X0 .000 información del período anterior.

I 08 X08 100 .800 100 140X0 .000

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10

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Tabla 11.1

A OS PRECIOS INDICE ASE VARIA LE

Indice Variación

00 .000 100,00 -008 .800 140,00 40,00009 .400 85, 1 -14, 9010 4.000 166,66 66,66011 4.800 1 0,00 0,0001 6.000 1 5,00 5,00

I 09 X09 100 .400 100 85, 1 I 10 X10 100 4.000 100 166,66 X08 .800 X09 .400

I 11 X11 100 4.800 100 1 0,00 I 1 X1 100 6.000 100 1 5,0X10 4.000 X11 4.800

Los incrementos o las diminuciones que se presentan para cada período, se dan respecto al año inmediatamente anterior. Así por ejemplo, el precio aumentó en un 5 para 01 , con respecto al precio de 011.

Ejercicio 3. En enero de 011 una f brica pagó un total de 99. 00.000.oo a 1 0 empleados en nómina. En julio del mismo año, la f brica tuvo 30 empleados m s en nó-mina y pagó 30.000.000 m s que en enero. Tomando al mes de enero como base, hallar:

a) El índice de empleo.b) El índice del costo de mano de obra.c) Mediante la igualdad. Precio relativo x cantidad relativa. ¿Qué interpretación podría

darse al precio relativo en este caso?

Solución

a) Número índice de empleo NIE NIE N de empleados en julio

x 100 N de empleados en enero

Número índice de empleo NIE NIE 150 x 100 1 5 en cantidad relativa sería 1, 5. 1 0 Crecimiento del 5 .

b) Número índice del costo de mano de obra ICM Salarios pagados en julioSalarios pagados en enero

Indice de costo mano de obra ICM ICM 1 9. 00.000 x 100 130, 4 99. 00.000

08

10

09

11


Valor relativo 1,30 4. Crecimiento del 30, 4 .

c) Precio relativo P P Valor relativo 1,04193 Cantidad relativa

Si lo multiplicamos por 100 se tendr que el índice de precio es de 104,19 . Es decir, que el índice de costo medio por empleado aumentó en un 4,19 para el mes de julio en relación con el del mes de enero.

INDICES ESLA ONADOSEl índice simple, lo mismo que el ponderado, con base variable presenta la ventaja en

primer lugar, de indicar las variaciones para cada período respecto al anterior, adem s se puede transformar en índices con �� 1�, el cual se obtiene, mediante sucesivas multi-plicaciones de los relativos para cada eslabón:

I t Io x R1 x R x R3 x ...Rt

Supongamos que se desea indicar la variación en el precio de 011 respecto al precio de ese artículo en 008. Supongamos que en la Tabla 11.1 se tienen únicamente los precios de esos dos períodos, el c lculo del índice ser :

I 11 X11 100 4.800 100 1 1,43 X08 .800

*�� >��W�� #�� K?��como lo presenta la misma tabla. Con dicha información se podr calcular el índice, en la siguiente forma:

I 11I 11

100 40 100 1 1,43 I 08 140

Ahora, si solo se tiene una serie de índices con base variable, se podr n encadenar ��[��#�� ?�� #�� K}

I 11 I 08 x R09 x R10 x R11

R es el relativo o sea Xt sin ser multiplicado por 100. Reempla ando se tendr :Xo

I 11 100 x 0,85 1 x 1,6666 x 1, 0 1 1,43 Siendo lo mismo que:

I 11 .800 100 .400 4.000 4.800 4.800 100 1 1,43 .800 .800 .400 4.000 .800

o o o 1 1-1

08

080

0

08

08

08 08 08 09 10


El encadenamiento anterior lo hemos reali ado con índices simples de base variable, pero también se puede hacer utili ando índices ponderados con base variable.

Ejercicio . Un índice para 011 revela un aumento del 0 respecto del año ante-rior. En 01 alcan ó a 1 4, es decir, presenta un incremento anual del 18 . Calcular los índices de 010 y 011.

Solución

I 11 1 0 ya que el aumento con respecto I 1 118 debido a que el incrementodel año anterior fue del 0 en ese año fue del 18

Se requiere determinar los I100 y I11

0. La base en este ejercicio no se conoce, por lo tanto puede ser considerado cualquier año.

I 1 1 4 I 1 I 11 R1

Si reempla amos se obtendr que 1 4 I 11 1,18 donde 1 4 I 11 14 ,451,18

Para obtener I 11 se hace lo mismo que para: I 11 I 10 R11

reempla ando se tiene que 14 ,45 I11 1, 0 siendo: 14 ,45 I 11 1 ,81, 0

Ejercicio . Existen tres índices, cuyas cifras son: para 010 10 , para 011 108, para 01 104, es decir, que entre 009 y 01 , el índice eslabonado aumentó en un ��¢&�! �� _��&

Solución

A OS INDICE( ase variable)

009 100010 10011 108

� �� _��&

INDICES AGREGATIVOS SIMPLESSon los de mayor aplicación, especialmente cuando se cuenta con una serie de precios

de un grupo de artículos, dados en unidades con medida diferentes.

Estos índices se calculan teniendo en cuenta la suma de los precios, cantidades o valores de un grupo de artículos para un período, dividida por la suma de los precios, cantidades o valores para ese grupo de artículos en otro período, considerado como base.

I1 I 09 R10 R11 R1

I1 100 x 1,0 x 1,08 x 1,04 1 0,18

I1 1 0,18 119

10 11

0 00 11( )

0 ( ) 0

0 ( )

0

1000

( )0

09 ( ) ( ) ( )09

09 09 10 11

09


I t �Xt 100 I t �Pt 100 I t �qt 100��Xo ��po ��qo

Ejercicio . Con los datos de la tabla siguiente, calcular el índice agregativo de las cantidades que resultaron en mal estado de conservación, en un grupo de artículos, com-prados en el mes de junio de 01 , respecto a las cantidades compradas, en mal estado de conservación, en el mes de mayo del mismo año:

ARTÍCULOSUNIDAD DE CANTIDADES DEFECTUOSAS

MEDIDA Mayo 01 Junio 01

A Kg 1 18B Lt 8 15C Doc. 0 8D Lbs. 14 0E Un 50 0� - 104 131

SoluciónUn primer método, consiste en dividir la suma de las cantidades en mal estado, de

los diferentes artículos en el mes de junio, por la suma de las cantidades en dicho esta-do de esos mismos artículos para el mes de mayo:

I junio 1 �q junio 1 100 (131÷104)100 1 5,96� ��q mayo 1

Este procedimiento es poco usual, ya que se reali a sumando las cantidades de un período, dividiéndola por la suma de las cantidades de otro período, por tal ra ón el índice no queda afectado por las variaciones grandes que pueden presentarse en uno o varios artículos, de un período a otro de ahí que se requiera utili ar otro método�k� �� K�� K �esa variación y, consiste en obtener los índices simples para cada artículo, luego sumarlos y dividirlos por el número de artículos considerados.

ARTÍCULOSUNIDAD DE MESESMEDIDA Mayo Junio INDICES

(a) (b) SIMPLES

A Kg 1 18 150,0B Lt 8 15 18 ,5C Doc. 0 8 40,0D Lb. 14 0 14 ,8E Un 50 0 140,0� - 104 131 660,3

mayo 1

b x 100a

o o o


��Xt 100I t Xo n 5

El resultado es un poco mayor al obtenido por el método anterior. Este aumento se debe, a la variación que se presenta en el artículo , durante ese período.

ÍNDICES COMPUESTOSPara explicar los índices compuestos, consideraremos como punto de partida los ín-

dices agregativos simples, utili ados en el an lisis de un grupo de artículos, sin tener en cuenta la importancia que algunos de ellos pueden presentar en relación al conjunto. Esa importancia se denomina ponderación.

Supongamos dos artículos de consumo diario: la leche y la sal. Si cada unidad de consumo aumenta en 00 (el precio por botella y por kilo), los gastos familiares se ver n m s afectados por el aumento del precio en la leche que por el de la sal. Si se supone el consumo de dos botellas diarias, implica un incremento en el gasto en 400 diarios, o sea 1 .000 al mes, mientras que el consumo de sal, ser menos de un kilo al mes, implica

un incremento de 00. Esa importancia que tiene el artículo leche, en relación a la sal, se denomina ponderación.

Existe gran cantidad de fórmulas para calcular índices ponderados, cuyo empleo de-pender de la naturale a misma del problema. Recomend ndose utili ar aquella fórmula k� �� K�� K � �� _��`��?� �� k� �� precios o cantidades de un grupo de artículos.

Generalmente en los índices que brevemente se expondr n, las ponderaciones son las cantidades o los precios. Cuando se van a calcular los índices de precios, en un grupo de artículos, las ponderaciones son las cantidades, y en el c lculo de los índices de cantidad, las ponderaciones son los precios. Los índices m s conocidos y utili ados son los de Laspeyres, Paasche, Fisher, eynes, Marshall, Edge orth, alsh, Drobisch y Sidg ic .Veremos algunas de estas fórmulas y el procedimiento de c lculo para obtener los índices tanto de precios como de cantidad.

Indices de preciosa) Indice de Laspeyres de precios. Puede interpretarse, como la

relación existente, al comparar los precios actuales de un grupo de artículos, con los precios de esos mismos artículos considerados en el período base, manteniéndose constante como ponderación las cantidades del período base:

Pt precio de los artículos en el período que se investigaP precio de los artículos en el período baseq cantidad de artículos en el período baseL índice de LaspeyresI índice de precios.

660,3 13 ,06

L I t �Ptqo 100

��Poqo

o

o


b) Indice de Paasche. Se interpreta como la relación existente entre los precios actuales de un grupo de artículos, con los pre-cios de esos mismos artículos en el período base, manteniéndose constante las ponderaciones correspondiente a las cantidades de dichos artículos, dadas para el período que se investiga:

bservemos que la diferencia entre las dos fórmulas anteriores, radica únicamente en la base tomada para las ponderaciones, en la primera son las q0�k� �� cantidades del período base y en la segunda, las qt que corresponden a las cantidades del período que se investiga.

c) Indice de Fisher. *�� >��?�k� �� #$��del producto del índice de Laspeyres por el de Paasche:

��Ptqo �Ptqt 100 �Poqo �Poqo

Indices de cantidadLas fórmulas que se dan para el c lculo de los índices de cantidades de Laspeyres,

Paasche y Fisher son muy parecidas a las de los precios, con la diferencia de que las ponderaciones son los precios.

Se obtendr con el c lculo de los índices de Laspeyres y Passche una indicación de las variaciones en las cantidades para un grupo de artículos, manteniéndose constantes los precios tomados como ponderaciones. En el índice de Laspeyres las ponderaciones son los precios del período base, en cambio, en el de Paasche, son los precios del período que se investiga.

El índice de Fisher es la raí cuadrada del producto de los índices ponderados de cantidad de Laspeyres por el de Paasche.

Ejercicio . Con los siguientes datos, referentes a los precios (cientos de ) y can-tidades (en ambos casos se han tomado valores arbitrarios) para un grupo de artículos dados para dos períodos.

P I t �Ptqt 100

��Poqt

o

F I t o P I t

oL I to

L t �Poqt 100

��Poqo

o P t �Ptqt 100

��Ptqo

o F t o P t

oL to

F I t o

�Poqt �Ptqt 100�Poqo ��Ptqo

F t o


ARTÍCULOSUNIDAD DE 011 01MEDIDA Precio Cantidad Precio Cantidad

A Kg 6,0 10 38,0 8B Lts 6,0 5 10,0C Lbs. 1,0 4,0 5D Doc. 6,0 1 15,0E Unidad 3,6 ,0 1

Calcular los índices de precios y de cantidades, aplicando las fórmulas de Laspe-yres, Paasche y Fisher.

SoluciónArtículos P11 q11 P1 q1 P11q11 P1 q1 P1 q11 P11q1

A 6 10 38 8 60 304 380 08B 6 5 10 30 0 50 4C 1 4 5 0 8 5D 6 1 15 6 30 15 1E 3,6 1 , 4 3,6� - - - - 305, 4 6 45 0,6

a) C lculo de los índices de precios:

También se puede calcular así:

b) C lculo de los índices de cantidad:

c)

también se puede calcular así:

L P qP q

I111 1 11

11 11100 45

305100 149 34= ∑

∑= =

,, P P q

P qI11

1 1 1

11 1100 4 6

0 6100 15 43= ∑

∑= =

,,

F L PI I I111

111

111 149 4 15 43 153 54= = ( )( ) =. , , ,

F P qP q

P qP q

FI I111

1111 11

11 11

1 1

11 1100 45

305= ∑

∑∑∑

=.,

4 60 6

100 1 49 4 1 5 43 100 153 54×,

, , ,= ( )( ) =

L P qP q

P P111

11111 1

11 11100 0 6

305100 88 66=

∑= = = ,

,, 11 1

1 11100 4 6

45100 93q

P q∑= = ,

F P qP q

P qP q

111 1 11

11 11

1 1

11 1100 0 6

3054 645

= ∑∑

× ∑∑

= ,,

× 1100 90 91= ,

F L P111

111

111 88 66 93 90 91= = ( )( ) =× , , ,


Ejercicio . El índice de cantidad de un grupo de artículos es igual a 00, si se usa la fórmula de Fisher, y a 160 si se emplea la de Laspeyres. ¿Cu l es el índice de cantidad utili ando la fórmula de Paasche?

Solución

Ejercicio . Una empresa espera aumentar sus ventas en el año próximo en un 50 . ¿En qué porcentaje deber incrementar los precios para que el ingreso total se convierta en un 50 ?

SoluciónSe sabe que el índice de ingreso total es igual al índice de cantidad vendida por el

índice de precios:

50 (150) x Ind. precios Ind. precios 50 166,6 100quiere decir, que se deben aumentar los precios en un 66,6 .

Ejercicio 10. El índice de precios de Laspeyres es 3 del de Paasche y éste asciende a 130. ¿Cu l es el índice de Fisher?

Solución

LI t 3PI t LI t (130) 86,66 FI t LI t x PI t 86,66 (130) 106,14

Exámenes de las fórmulasFisher �K�� `��W� �� _��&�'��

en cada una de ellas los diversos criterios por él establecidos, eliminando de esta manera aquellas fórmulas que no los cumplieran, hasta llegar a la conclusión de que la única que cumple con todos ellos es la de él, queriendo demostrar así la bondad de su fórmula. Sin embargo, el hecho de que la mayoría no cumple con todos los criterios, no es ra ón v lida para recha arlas, por el contrario, en la pr ctica son m s utili adas la fórmula de Laspeyres y la de Paasche, que la del mismo Fisher.

Los dos criterios de Fisher m s conocidos son los de reversibilidad temporal y defactores. Ellos se basan en un principio sencillo y aparentemente lógico: si cierta relación se cumple para un artículo, también debe cumplirse para el conjunto.

a) Criterio de reversibilidad temporal. Este criterio consiste en obtener, el relativo del precio de un artículo, calcular nuevamente el relativo para ese mismo precio, pero invirtiendo la base y el producto de dichos relativos deber ser igual a 1.

o o o o oo

F L P P P

P

ot

ot

ot

ot

ot

ot

= → = ( ) → = →

=

× 00 160 40 000 16040 000

1

..660

50=


Ejercicio 11. Supongamos que un artículo en 011 costaba 400, y en 01 el valor de ese mismo artículo era de 1. 00. Apliquemos el criterio de reversibilidad temporal a los índices de Laspeyres, Paasche y Fisher.

Solución

El criterio nos dice que debemos calcular el precio relativo: R1 1. 00 400 3

luego se calcula el relativo para esos precios, pero invirtiendo la base:

R11 400 1. 00 1 3

�� ?��#� �� }

R0 x R06 3(1 3) 3 3 1

bservaremos que en los índices de Laspeyres y de Paasche este criterio no se cumple, pero sí en la fórmula de Fischer.

Supongamos los índices de precios calculados mediante dichos índices para los años 011 y 01 :

b) El criterio de reversibilidad de factores. Consiste en que el producto de un precio por su cantidad debe ser igual al valor. Al relacionar los valores de un período con otro, debe darnos una relación de valores.

Precio x Cantidad Valor Relación de valores Vt �Ptqt V Vo �Poqo

INDICE DE VALORMediante el proceso anterior se obtiene la relación de valores EPtqt multiplicada por

100 nos da el índice de valor. En la pr ctica para hallar el índice de valor no es costumbre obtenerlo de la anterior manera, sino multiplicando el índice de precios de Laspeyres por el índice de cantidad de Paasche, o también multiplicando el índice de cantidad de Laspeyres por el de precios de Paasche, tal como lo muestran las fórmulas siguientes:

LI 1 x LI 11 �P1 q11 x �P11q1 1 � ��P11q11 ��P1 q1

PI 1 x PI 11 �P1 q1 x �P11q11 1� ��P11q1 ��P11q1

FI 1 x FI 11 ��P1 q11 x �P1 q1 x ��P11q11 x �P11q11 �P11q1 1� ��P11q11 ��P11q1 ��P1 q1 ��P11q1 �P11q1

LI t L t �Ptqo x �Poqt �Ptqt V � ��Poqo ��Poqo �Poqo

PI t P t �Ptqt x �Ptqt �Ptqt V� ��Poqt ��Ptqo �Poqo

FI t x F t ��Ptqo x �Ptqt x ��Poqt x �Ptqt

� ��Poqo ��Poqt ��Poqo ��Ptqo

�Ptqt

�Poqo

11

1

06 0

11

11

111

1

1

o oo o

o o ( (o o FI t x F t ��Ptqt V� ��Poqo


EMPALME DE UNA SERIECorresponde a aquel método que se emplea, cuando la serie ha sido suspendida, debido

al inicio de una nueva serie, como consecuencia del cambio de base.

El empalme hacia abajo, consiste en estimar los índices para aquellos períodos para los cuales no se obtuvo información, por haberse suspendido la recolección, siendo reem-pla ada dicha serie por la del índice con la nueva base.

Veamos un ejercicio, para comprender no sólo cómo se efectúa el empalme de una serie hacia abajo, sino también el empalme hacia arriba. Consideremos datos arbitrarios de una serie de índices de precios al consumidor y con dicha información realicemos los empalmes respectivos.

A OS MESES

INDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR PARA EMPLEADOS

Base julio 00 Empalmejunio 01

009 100Hacia abajo Hacia arriba

003 Mar o 133, 0 4,5 Agosto 140,41 5,81

008 Febrero 03,54 3 ,41 ctubre 36,5 43,4

009 Abril 9 ,80 146,63 Julio 8 9,61 15 ,48 Diciembre 903,08 165,99

010 Enero 1.360,03 49,9 Junio 1.644,01 30 ,16

01 Enero 1. 18,1 315, 9 Abril 1.8 9,40 336,30

Mayo 34 ,80 1.864, 5 Junio 345,11 1.8 ,3 Julio 34 , 0 1.888, 0 Agosto 350,63 1.90 ,35

Enero

Mayo 1 336,30 1.8 9,40 X 1.8 9,4(34 ,8) 1.864, 5 34 ,80 X 336,30

L P PqP q

PqPq

PqP q

IVI J t o

o o

t t

t o

t t

o o

ot

ot

=∑∑

×∑∑

× =∑∑

× =100 100

L P P qP q

PqP q

PqP q

IVJ I o t

o o

t t

o t

t t

o o

ot

ot

=∑∑

×∑∑

× =∑∑

× =100 100


o sea K 1.8 9,4 336,3 5,439 8 K y se multiplica por 34 ,8 luego por 345,11 por 34 , y 350,63 haciéndose de esta manera el �� $�� 1��

Si se tiene que K 336,3 1.8 9,4 0,1838 y lo multiplicamos por 1.360,03 903,08 8 9,61 9 ,8 etc., de esta manera se har el empalme hacia arriba.

USOS DE LOS N MEROS ÍNDICESHemos observado con los ejercicios anteriores, algunas de las aplicaciones de los

números índices tal fue el caso al determinar las variaciones que sufren los precios, cantidades o valores de un conjunto de artículos, o aplicados en una serie de tiempo, constituida por una sola variable. Sin embargo, el uso de los números índices es mucho m s amplio, especialmente en la actividad económica. Veamos algunas de las aplicaciones m s importantes que tienen los números índices:

Cálculo el Salario y el Ingreso RealMediante el uso de las siguientes fórmulas, se obtienen

a) Salario real: b) Ingreso real:

SR Salario nominal ( ) x 100 IR Ingreso nominal ( ) x 100I. de precios al consumidor I. de precios al consumidor

Este proceso de convertir el salario y el ingreso nominal en real, se conoce como ��#�� o sea la transformación de valores expresados a precios corrientes en valores a precios constantes, con respecto a un período. Hoy en día se utili a con frecuencia el termino indexación.

Ejercicio 12. Supongamos que un empleado en noviembre de 011 ganaba un salario de 860.000 y en el mes de junio de 01 , su salario fue reajustado con un aumento de 1 4.000. Se sabe adem s, que los índices de precios al consumidor para los mismos meses

y años son de 1.564,31 y .4 9,43 respectivamente. Se quiere saber si con el reajuste que le hicieron su salario mejoró con relación al que tenía anteriormente.

SoluciónLo primero que hacemos es el traslado de la base del índice de precios al consumidor

(IPC), a 011 pues ambos tienen la misma base (supuestamente) en 1996.

I11 1.564,3 100 100 (noviembre 011) I1 .4 9,43 100 155,30 (junio 01 )1.564,3 1.564,31

Lo anterior quiere decir, que los precios de los artículos de primera necesidad au-mentaron para dicho período en un 55,3 , por lo tanto debe haber un porcentaje igual o mayor de incremento en el salario nominal, para que las condiciones económicas sean iguales o mejores, para 01 .

El salario real para junio de 01 debería ser:

11 11


SR Salario nominal x 100 SR 984.000 x 100 633.61 ,36 IPCjunio11 155,30

El anterior resultado nos indica que el aumento es demasiado bajo, es decir, que a pesar de estar recibiendo m s dinero que antes, o sea 984.000, este salario apenas equivale a 633.61 ,86 de aquel período, cuando estaba ganando 860.000.oo. El aumento esperado

es de 4 5,580, o sea que su nuevo salario debería ser de 1.335.580, en ve de 984.000.

SR 1.335.580 x 100 860.000155,30

Ejercicio 13. La depreciación monetaria, en una país cualquiera, aumenta cada año. Durante el período 006 - 01 , el aumento es de un 10 , respecto al año anterior. Co-rregir la siguiente serie de valores, (miles ), de la depreciación monetaria.

A OS VALORES

006 30000 900008 1. 00009 .000010 .500011 .60001 3.000

SoluciónComo el índice se incrementa en un 10 anual, a partir de 006 se tendr n los si-

guientes índices:

006 100 008 110 x 1,10 1 1 y así00 100 x 1,10 110 00 1 1 x 1,10 133,1 sucesivamente

Luego dividimos cada valor por su respectivo índice obteniéndose de esta manera los valores corregidos.

A OS VALORES ÍNDICE VALORES(miles) 200 100 CORREGIDOS

006 300 100,0 300,0000 900 110,0 818,18008 1. 00 1 1,0 991, 3009 .000 133,1 1.50 ,63010 .500 146,41 1. 0 ,53011 .600 161,05 1.614,4101 3.000 1 ,15 1.693,48


Po er e compraDenominado también como poder adquisitivo del dinero o valor del dinero&�̂ ��

a la relación existente entre la unidad monetaria y la cantidad de bienes que se pueden obtener a cambio de ella.

El poder de compra se halla mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

PA 1 100 y el índice de poder adquisitivo o de compra IPA Io 100IPC It

I0 índice de precios al consumidor, considerado como período de referencia.It índice de precios al consumidor, considerado como el período investigado.

Ejercicio 1 . En el caso del ejercicio 1 , se consideró que el índice de precios al consumidor era de 1.564,3 para noviembre de 011 y de .4 9,4 para junio de 01 . Adem s, cuando se hi o el cambio de base, para el mes de junio de 01 , este índice era de 155,30. Con esos datos se puede calcular tanto el poder de compra, como el índice de poder de compra para junio respecto a noviembre de 008.

Solución

PA 1 x 100 PA 1 x 100 0,6439IPCjunio 1 155,30

Lo anterior quiere decir, que un peso de noviembre de 011, para el mes de junio de 01 vale 64 centavos. Su valor se ha reducido durante ese período en 36 centavos. En

otras palabras 1000 en el 011, tiene un poder de compra de 643,90 para 01 .El índice de poder adquisitivo, se podría calcular de dos maneras diferentes, a saber:a) Multiplicando el poder de compra por 100 para expresarlo en términos porcentuales:

IPA 0,6439 x 100 64,39

b) Utili ando los índices de precios al consumidor de los dos períodos considerados:

IPA Io x 100 1,564,3 x 100 64,39 It .4 9,4

Por otra parte, conociéndose el índice de poder adquisitivo, se puede obtener el salario real. Recordemos, que en ese mismo ejercicio para el cual se calculó el IPA, el salario nomi-nal para el mes de junio de 01 fue de 984.000 y en noviembre, este era de 860.000.oo

S SN x IPA 384.000 (0,6439) 633.59 ,6 como se pudo comprobar, se obtiene,aproximadamente, el mismo resultado. Dar exacto si trabajamos con todos los decimales.

Porcentaje e Desvalori aciónCorresponde a la pérdida de poder de compra para un período con respecto a otro

considerado como base.


de desvalori ación 100 1 IoIt

De acuerdo con los datos anteriores, el porcentaje de desvalori ación ha sido de:

de desvalori ación 100 1 1.564,3 100 1 0,6439 100 (0,3561) 35,61 .4 9,4

De noviembre de 011 a junio de 01 , la moneda ha perdido un 35 de su poder de compra, es decir, ahora necesitamos m s dinero para comprar el mismo artículo o la misma cantidad, debido al aumento en el precio.

Ejercicio 1 . Cuando el IPC sube en un 5 , el índice de poder adquisitivo baja en un 0 . ¿Es cierta o falsa la información?

Solución

IPA 100 Io 100 100 80 100 0. Es cierto, bajó en un 0It 1 5

Porcentaje e DevaluaciónEn primer lugar, indiquemos cómo se obtiene el porcentaje de aumento o de dismi-

nución en el tipo de cambio.

El tipo de cambio es la cantidad de pesos que debemos dar por un dólar.

Ejercicio 1 . En un país X desde el año de 001 hasta 011 el tipo de cambio en el

A OS COTI ACIÓN

001 1.005,3300 1. 93,58003 1.54 ,11004 1.8 3,005 . 9,18006 . 91,1800 .864,99008 . 8, 1009 .389, 5010 . 84,011 . 89,61

Septiembre de 006

así que la variación del tipo de cambio para sep-tiembre del 011 con respecto a diciembre 001 es:

de variación 100 Tt 1 100 . 89,61 1To 1.005,33

de V 100 ,465 1 1 , 5

Ahora, el porcentaje de devaluación para el mismo período ser igual a:

devaluación 100 1 To 100 1 1.005,33 Tt . 89,33

devaluación 56,09

La devaluación se entiende como la pérdida de valor de una moneda en relación a las monedas extranjeras y, por lo general, se hace referencia al dólar.

mes de diciembre ha sido:


Ejercicio 1 .��*�� &��?�� colombiano en un respecto a qué coti ación?

Solución

devaluación 100 1 - To 100 1� To 0, 1�

To

Tt .5 9,80 .5 9,80

1 0, To To ,5 9,8 (0, 3) 1.846, 5

.5 9.80

Indice de producción y de productividadEl índice de producción se obtiene mediante la aplicación de la fórmula utili ada para

calcular el índice simple:

I. de producción Pt x 100 Po

El índice de productividad se puede calcular de dos formas diferentes: a) Dividiendo cada índice de producción por su respectivo índice de obreros y el valor resultante se multiplica por 100:

I. de productividad I. de producción x 100 I. de obreros

b) Dividiendo la producción de cada año por el número de obreros, obteniéndose así la productividad por obrero. Luego cada valor resultante se divide por uno de la serie considerado base, dando como resultado el índice de productividad de cada año en relación al período base. También se puede calcular considerando el total de horas trabajadas en ve del No. de obreros.

Productividad Producción I. de producción Productividad del período t 100 N de obreros Productividad del período o

Ejercicio 1 . Con los siguientes datos, obtener el índice de producción y el de pro-ductividad, tomando como base el período 006.

A OS PRODUCCIÓN PROMEDIO(Miles e Ton.) O REROS

006 1.4 0 1 .38000 1.630 13.6 0008 1.580 1 .400009 1. 10 13.500010 1.81 1 . 00011 1. 50 1 .10001 1.800 1 .000

CAPÍTULO 11: NÚMEROS ÍNDICES �

Solucióna) El índice de producción ser Pt x 100 Po

IP 1.630 x 100 114, 8 IP 1.580 x 100 111,3, etc.1.4 0 1.4 0

b) El índice de obreros ser : I de N obreros del período t x 100 N obreros del período o

I. de . 13.6 0 x 100 110,0 I. de . 1 .4 0 x 100 100, 1 .380 1 .380

c) El índice de productividad IP

IP Indice de producción x 100Indice de obreros

A OSINDICE INDICE INDICE DE

DE PRODUCCIÓN DEO REROS PRODUCTIVIDAD006 100 006 100 006 100

006 100,0 100,0 100,000 114,8 110,0 104,36008 111,3 100, 111,08009 1 0,4 109,1 110,36010 1 ,6 98,5 1 9,54011 1 3, 9 , 1 6,1001 1 6,8 96,9 130,86

Ejercicio 1 . En 01 el precio de un cierto bien de consumo aumentó en un 60 por encima del de 011, mientras que su producción disminuyó en un 40 . ¿En qué porcentaje aumentó o disminuyó el índice de valor de dicho bien en 01 respecto a 011?

SoluciónI de precio 160 I de producción 100 40 60

Valor Precio X Producción I. de valor I. precio X R. producción

I. de valor 160 (0,60) 96 Siendo el I de valor igual a 96, de este valor le restamos su base 100 y nos da el aumento o la disminución.

96 100 4 Disminuyó el índice de valor en un 4 en dicho período.

In ice Relación Precios e Intercambio (IRPI)En el comercio exterior se tienen índices de precios y de cantidad. Los primeros se

denominan índices de valores unitarios, ya que los precios (Pt, Po) se obtiene dividiendo el valor total de la mercancía (importada o exportada), por su cantidad los segundos, o

11 1111


sean los índices de quantum, se denominan en esa forma por la sencilla ra ón que siendo la mercancía tan heterogénea, no sólo en cuanto a la unidad de medida, sino en cuanto a sus características (marca, modelo, tamaño, etc.) se debe utili ar una unidad común kilos, la que a su ve es considerada como cantidad.

Se tiene por lo tanto índices de valores unitarios y de quantum, tanto para importacióncomo para exportación.

La relación de precios de intercambio, como su nombre lo da a entender, es un in-dicador de las variaciones entre los precios de los artículos de exportación y los precios de importación. La fórmula para determinar la relación de estos precios es la siguiente:

IRPI I de valor unitario de exportación x 100I de valor unitario de importación

Un índice de I PI superior a 100, indica una mejora en los términos de intercambio, y un índice inferior, corresponde a un empeoramiento de los mismos.

Teniendo el I PI se puede determinar la capacidad que tiene un país para importar y se obtiene multiplicando el I PI por el relativo del quantum de exportación:

Capacidad para importar I PI x Q

Ejercicio 20. Con los datos (arbitrarios) de la siguiente tabla, determinar la relación de precios de intercambio y la capacidad para importar, tomando como base 006.

Solución

a) Primero cambiamos la base 003 por la de 006, dividiendo cada uno de los índices por el primero de su serie:

Ix 143, x 100 8, 0 (I de valor unitario de exportación)183,1

AÑOS

ÍNDICES DE VALORES UNITARIOS

ÍNDICE DE QUANTUM DEEXPORTACIÓN

2003 = 100EXPORTACIÓN2003=100

IMPORTACIÓN2003=100

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

183,1

143,2

126,5

148,1

137,4

139,1

160,5

103,0

108,6

110,4

106,2

99,1

108,6

112,5

105,2

109,3

107,3

124,8

112,0

120,4

123,1


IM 108,6 x 100 105,43 (I de valor unitario de importación) 103,0

IQX 109,3 x 100 103,89 (I de quantum de exportación) 105,y así sucesivamente, se procede en cada una de las (3) tres columnas.

b) El índice de relación de precios intercambio (IRPI) se obtiene dividiendo cada índice de valor unitario de exportación I U por su respectivo índice de valor unitario de importación I UM .

IRPI IVUX x 100 8, 0 x 100 4,1 IVUM 105,43

c) El índice que nos determina la capacidad para importar (ICM) se obtiene multipli-cando el índice de relación de precios de intercambio (I PI) por el relativo de quantum de exportación ( Q ).

ICM IRPI (RQX) 4,1 (1,0389) ,06ICM IRPI (RQX) 64,45 (1,0199) 65, 3

A OSINDICES DE VALORES UNITARIOS INDICE DE

IRPI UANTUM DE ICMExportación Importación E PORTACIÓN

006 100 006 100 006 100 006 100 006 100

006 100,00 100,00 100,00 100,00 100,0000 8, 0 105,43 4,1 103,89 ,06008 69,08 10 ,18 64,45 101,99 65, 3009 80,88 103,10 8,44 118,63 93,05010 5,04 96, 1 8,0 106,46 83,06011 5,9 105,43 ,06 114,44 8 ,401 8 ,66 109, 80, 6 11 ,0 93,9

Proporciones Porcentajes Ra ones y TasasConstantemente estamos hablando de índices o de indicadores, que puede dar lugar

a cierta confusión acerca de términos, tales como: ��% ��% ��1�� tasas, así que es conveniente hacer algunas observaciones.

Los números índices, tal como se ha visto, relacionan una o m s variables en un período dado (colocado como numerador) con la misma variable o variables en otro período, denominado base (como denominador) y sirven para indicar las variaciones que presenta una variable en función de uno de sus valores, que se toma como referencia o término de comparación. Como cada relativo lo multiplicamos por 100, los números índices son porcen-


��1�� de variación que presenta cada valor de la variable con respecto al tomado como referencia. Estos números índices generalmente son aplicados en las series cronológicas.

La razón, la proporción y la tasa tienen en común, como los números índices, la re-lación entre dos valores, el uno como numerador y el otro como denominador, siendo el cociente de dividir una cantidad por otra, pero con las siguientes diferencias:

En la razón, el valor considerado como numerador no debe estar contenido en el valor correspondiente al denominador, en consecuencia, la ra ón puede ser un número superior o inferior a la unidad. En el caso de que la ra ón se multiplique por 100 se tiene nuevamente un ��1�.

Supongamos que el número de personas que visitan un centro mercantil, en un día cualquiera, es de .000, de las cuales, 4. 00 son mujeres y .800 hombres. Ahora si dividimos a 4. 00 por .800 se tendr :

La relación 4. 00 mujeres 1,5.800 hombres

La anterior relación es una razón por el hecho de que el numerador (4. 00) no est �� &��&�*�� k� ��[�� mujer y media, en otras palabras por cada 100 hombres, 150 mujeres visitan dicho lugar:

La relación 4. 00 x 100 150.800

El anterior resultado nos indica, que las mujeres frecuentan ese centro mercantil en un 50 m s que los hombres.

Cuando el valor del numerador est incluido en el denominador, se establece una proporción, es decir, el cociente de dividir un sumando cualquiera por su total. Si tal �� 1�.

Con el ejemplo de las .000 personas que en un día cualquiera van a un centro mercantil, se tendr que la proporción de hombres que lo visitan es:

P .800 0,40 .000

Esta proporción nos indica que por cada 100 personas que van a ese centro, en un día, 40 son hombres y 60 son mujeres.

Ahora, si multiplicamos por 100 se tendr :.800 x 100 40 son hombres y 4. 00 x 100 60 son mujeres..000 .000

Se observar que la proporción no puede ser menor que 0 ni mayor que 1. En términos porcentuales se dir que es un número comprendido entre 0 y 100.


Ambos casos fueron considerados en la elaboración de una tabla de frecuencias y, se les denominó frecuencias relativas.

A los ��1�� y a las razones, en numerosas ocasiones, se les denomina tasas sin embargo al estudiar los cambios que se operan en una población, los porcentajes y las �$�� $�� _�� ?�� necesario recurrir a la elaboración de tasas.

La palabra tasa se emplea para estudiar una variable en función de otra con la que est relacionada. Estos cocientes se multiplican por 100, 1.000, etc., para evitar el uso de decimales.

El mismo ejemplo que ha servido para explicar lo que es una razón, una proporcióno un ��1�% lo utili aremos para calcular una tasa:

T N de visitantes al centro mercantil de un día x 10n

Población de la ciudad estimada para ese día

Con lo cual se quiere indicar que 1,45 por 1.000 de los habitantes de esta ciudad visitan el centro mercantil.

La tasa� �� #��?� ��k� ��k� �� [��>� �� población, sin tomar en cuenta la totalidad de la población.

Con base en el conocimiento de los índices, las proporciones, las tasas, las ra ones, los cocientes, y los porcentajes, se presentar n a continuación una serie de indicadores �� ?�� &

� La liquidez absoluta LA

LA Disponible y reali able a corto pla oTotal del balance

� La liquidez relativa LR

LR Disponible y reali able a corto pla oExigible a corto pla o

� Inversión I

I Capitales circulantes�� K��

� Financiación F

F Capitales propios Capitales ajenos

� 9�� A

A Reservas

Capitales propios

� D�� 1�� RO

RO �� Total balance

� D�� 1�� RS

RS � � �� Capital social

� D�� RF

RF �� Capitales propios


� Productividad P

P Producción (en cantidad o valor) Horas de trabajo

� E�� < � � ��

Ingresos

� entabilidad global Utilidades netas Total archivo

� �� ECF

ECF Ventas netasTotal activo

� De independencia ��K�Pasivo total

� De capital circulante DCC

DCC Activo circulante - pasivo circulanteActivo circulante

� De pasivo y activo Pasivo totalActivo Total

� Costos de publicidad CDP

CDP Costos de publicidadVentas

� Costos de distribución CDD

CDD Costos de distribuciónVentas

� De rotación de personal DRP

DRP N de personal que se retiraronTotal de personal

� De penetración de ventas DPV

DPV VentasMercado potencial

� De mecanización DM

DM Valor del equipoMano de obra directa

� :� �� $�� 1�� DCHT

DCHT Total de gastosHoras trabajadas

� De solvencia Activo corrienteActivo Pasivo

� �� !�� CGV

CGV Gastos de ventas x 100Cifras de negocios

� �� CE

CE Gastos x 100Ingresos

+�� ?� k� � � �#��largos de enumerar y que se podían ver con m s claridad en la asignatura respectiva.

En demografía hay un sinnúnero de Tasas y azones, en las que podríamos mensionar:

� Ra ón de masculinidad N Personas sexo Masculino

N Personas sexo Femenino

� Ra ón de niños a mujeres N Niños ambos sexos menores de 5 años N Mujeres entre 15 y 44 años

� Tasa de crecimiento de la población Población .01 - Población .006 Población .006

� Tasa bruta de defunción N Total de defunciones 1.000 Población total

� Tasa bruta de natalidad Total de nacimientos 1.000 Población totaltros m s.


RESUMEN DEL CAPÍTULOLos números índices son indicadores muy utilizados en el sector económico, es

así como una empresa puede utilizar los índices de producción, de productividad, de obreros, de ventas, de costos, de fabricación, de ventas, sueldos, etc.

Uno de los índices más criticado y más utilizado es el índice de precios al consumidor IPC mal denominado índice de costo de vida es un indicador de la variación de precios de productos y servicios de primera necesidad que pueden ser incluidos en la canasta familiar de un grupo social: obreros y empleados.

Con los índices de valor unitario precios de artículos importados y exportados, se puede calcular la relación de precios de intercambio, el cual multiplicado por el relativo de quantum cantidad de exportación nos da la capacidad para importar.

Los índices se dividen en simples, agregativos simples y ponderados.Términos para recordar

órmulas

I t Xt 100 ndice simple Xo

I t �Xt 100 ndice agregativo��Xo simple

L t �Poqt 100 ndice de Laspeyres��Poqo de cantidad

PI t �Ptqt 100 ndice de Paasche��Poqt de precios.

FI t LI t PI t ndice de Fischer de precios.

ndice de Fischer de cantidad.

t �Ptqt 100 Relación de valores��Poqo

Relación de valores

Relación de valores

o FI t F t Relación de valores

I t Io x R1 x R x R3 x ...Rtt-1

Encadenamiento de una serie

Indice de producciónIndice agregativo simpleIndice quantumIndice valor unitarioIndexarIngresoPeríodo basePoder de compraProductividad

elación precios de intercambioSalario nominalSalario real

Capacidad de importación:�#��DevaluaciónDesvalorizaciónEmpalme de una serieEncadenamientoEslabones relativosIndices de preciosIndice simpleIndices de cantidadIndice ponderado

o

o

o

o

o

o

o

o o

o

o 1

Indexar

F L Pot

ot

ot

=

V L Pot J Io

tot

=

V L Pot I Jo

tot

=


Salario Salario nominal 100��I de precios al consumidor

Ingreso Ingreso nominal 100��I de precios al consumidor

Poder 1 100��I de precios al consumidor

I poder adquisitivo Io 100It

real

real

adquisitivo

de desvalori ación 100 1 Io

It

de devaluación 100 1 To

Tt

Indice de I de producción 100productividad I de obrerosndice de relación de precios intercambio

IRPI I de valor unitario de exportación 100I de valor unitario de importación


�&��^�� _�� -maciones?a) Un índice es una cifra relativa (ex-

presada en términos porcentuales).b) El índice de Fisher es el promedio

geométrico de los índices de Laspey-res y Paasche.

c) La capacidad para importar se obtie-ne multiplicando el índice de la rela-ción neta de cambio por el relativo del índice quantum de exportación.

d) El porcentaje de al a de un índice se obtiene dividiendo el índice del período que se investiga por el del período base, multiplic ndolo por 100.

e) El índice de productividad se obtiene dividiendo la cantidad producida por el número de obreros.

f) La fórmula de Laspeyres se puede escribir:

LI t �Pt�qo 100��Po�qo

g) Si el tipo de cambio sube de .305 a . 3,51 por dólar, la devaluación

de la moneda ser del 0 .h) Cuando no se altera la relación de

precios de intercambio, los valores unitarios de importación y de expor-tación tampoco varían.

�� ! �� -vertir precios corrientes de merca-deo a precios constantes respecto a un período.

. Dados los siguientes índices, calculados para una serie de artículos:

L t 115 F t 1 5

LI t 130. Se pide calcular Vt

3. Tomadas las cosechas de ciertos pro-ductos agrícolas, determinar el índice agregativo simple para 01 con base en 010, utili ando los métodos conocidos.

o

o

o o

o


PRODUCTOSCOSECHA

(Cientos de toneladas)

010 01

A 11.158 13.044B 1.196 1.35C 1.111 1.3 6D 1.460 1.840E 859 99F 1.106 8 0G 41 59H 6.686 .9 8I 04 0� 3.8 1 .6 3

4. Las cifras de ventas en miles de millones de de unos grandes almacenes desde 00 hasta 01 son los siguientes:

A OS VENTAS A OS VENTAS

00 1 008 1003 14 009 16004 18 010 0005 18 011 4006 19 01 3500 15

... continuación

Se pide:a) Hallar los índices de ventas, toman-

do como base primero 00 y luego 00 .

b) Hallar los índices con base variable, para la misma serie.

5. Si se tiene un índice de precios al con-sumidor de 38 ,5 para el mes de enero de 01 , ¿se podría determinar el poder adquisitivo del peso para ese mes res-pecto a 004 que es el período base? Explicar el resultado.

6. Conocidos los índices de precios y de cantidades de Paasche y el índice de va-lor, ¿cómo se podrían obtener los índices de precios y de cantidad de Laspeyres?

. Los índices de producción de un deter-minado bien de consumo desde 006 hasta 01 fueron los siguientes:

A OS ÍNDICES

006 10000 11008 115009 110010 105011 11001 1 0

Sabiendo que en 010 se produjeron 3 toneladas de dicho bien, hallar las cantidades producidas para los años de 006 a 01 .

continua


8. Un empleado ganaba .000 men-suales en 011. Hoy día ( 01 ) recibe 91 .000 mensuales, con lo cual mejora

su ingreso real en un 1 . Si el actual índice de precios es 560,00 ¿cu l era el de 011?

9. El índice de costo de construcción de casas de habitación (base 1985) registró las siguientes cifras.

Si el costo de construcción de una casa en 198 era de 1 .000.000, ¿a cu nto ascender en 01 ?

10.En 01 el precio de un bien disminuyó en un 5 con relación a 00 , pero se incrementó en un 50 con relación a 1999. Hallar el precio relativo para 00 con base en 1999.

11. Con los siguientes datos

A OS SALARIOS O REROS

INDICE

(Miles millones ) N .

DE PRECIOSAL CONSUMIDOR

1999 100006 18,0 3 0 14000 0,6 380 148008 3,0 400 15009 38,0 00 160010 51,0 1.000 166011 58,0 1.050 16801 60,0 1.100 1 0

Se pide:a) Calcular los salarios reales con res-

pecto a 006.

A OS INDICES194 6,195 59,3196 4 ,519 0,6198 108,4199 13 ,6

011 56,401 1.1 0,3

b) Calcular los salarios nominales porobreros.

c) Calcular los índices de los salarios reales con base 006.

d) Calcular los índices de los salarios nominales, con base 006.

e) Calcular los salarios reales por obrero, con base 006.

f) Calcular los índices de salarios rea-les por obrero, con base 006.

1 .Se conocen los índices sobre comercio exterior de un país:

R índice de relación de precios de intercambio.Qe índice de quantum de exportación.

A OS R E(Base variable) 010 100

00 100 90008 110 1 0009 80 90010 1 0 100011 115 11001 116 80

Se pide determinar la capacidad para importar con base en 00 .

13. ¿Qué indica cada uno de los siguientes índices?a) El índice de precios de Laspeyres.b) El índice de precios de Paasche.c) El índice de cantidad de Laspeyres.d) El índice de cantidad de Paasche.

14. ¿Por qué cree que sea necesario cambiar el período base de un índice de ve en cuando?

��&�*�� $�?�� uso de los números índices. Concretar.

16. Suponiendo que la información dispo-nible es:

CAPÍTULO 11: NÚMEROS ÍNDICES �

A OS INDICE A INDICE

00 100008 98009 110010 135 100011 10801 96

Empalmar dichas series.

1 . En los siguientes datos de índices esla-bonados, se pide encadenarlos, tomando como periodo base el año 1.

A O INDICE ESLA ONADO

1 100108

3 944 115 104

18. Las ponderaciones o peso en un índice de precios son:a) Preciob) Cantidadesc) Promedio de preciosd) Promedio de cantidadese) Ninguno de los anteriores

Cuestionario e Evaluación

�&� *�� &��?��?��una devaluación del 3 respecto a la coti ación de:a. 96 ,30 b. 1.0 6, 0c. 1.196,84 d. 1. 06,34e. 1. 50,6 f. Ninguno

. Se tienen dos índices de precios al con-sumidor, para dos períodos determina-dos (con la misma base), 36 ,8 y 436,4 respectivamente. Se puede decir que el porcentaje de desvalori ación entre esos dos períodos fue:a. 13,41 b. 16,86 c. 1 ,18d. 19,3 e. 0,13 f. Ninguno

3. Se tiene que el tipo de cambio en dos períodos determinados son 1.468,3 y

1.60 ,94 respectivamente. Se puede decir que el porcentaje de devaluación en dicho período fue:

a. 5,6 b. 6,3 c. 8,68d. 9,51 e.1 ,15 f. Ninguno

4. Se tienen los siguientes índices de base variable.I09 105,6 I10 93,5I11 1 8,6 I1 109,8

� ^ �� k� � ��#�� K�008) encadenado para 01 es:

a. 108,6 b. 11 ,5 c. 118,4d. 1 1,6 e.13 ,0 d. 139,41

5. Si al calcular el índice de poder adquisi-tivo entre dos períodos es 80,5 se podr decir, que el salario real para un sueldo mensual de 800.000,oo, el último pe-ríodo ser de:a. 4 .000 b. 5 5.000c. 644.000 d. 650.000e. 8 .000

06

10

09

09


6. Si se tiene hipotéticamente que el índice de precios al consumidor para el mes de mayo de un período es de 4 0,8, siendo para el año siguiente en el mismo mes de 46 ,5, se podr decir que el porcentaje de al a en ese período es:

a. 5,4 b. 6, c. 9,9d. 10, e.10,8

. De acuerdo con la información del punto anterior, si se sabe adem s, que un empleado que ganaba 300.000.oo quincenales en el primer período, y lue-go su sueldo fue ajustado a 350.000.oo para el segundo período, se podr decir que el empleado:

a) Mejoró su salario real en 8.44 con respecto al primer período.

b) Mejoró su salario real en 0. 0,91 con respecto al primer período

c) Desmejoró su salario real en 8.44d) Desmejoró su salario real en

0. 0,91e) No hubo cambio en su salario real.

8. Si el índice de precio al consumidor para un mes del presente año es de 436, con respecto a la base (un mes de 1995), � ��k� ��dicho período es:a. 136, b. 36, c. 336, d. 436, e.536,

9. Con el punto ocho (8), se puede decir que el poder adquisitivo del peso para el mes del presente año con respecto al período base es:

a. 1 ,94 b. ,93 c.3 ,94 d. 4 ,94 e.5 ,94

10.Con base en la información del punto ocho (8), el porcentaje de desvalori a-ción del peso para el período es:a. 8 ,06 b. ,0 c.6 ,06 d. 5 ,06 e.4 ,06

11. Si se tiene un salario nominal para el último período del punto ocho (8) de ��&��?��?� � �� ?�k� � ��salario real con respecto al período base y el índice dado es:

a. 1 1.939,48 b. 181.513,60c. 190.650, d. 10.3 0,8e. 310.360,4

��&�! �� }

a) Dividir la cantidad producida en un año investigado, por el total de obreros en ese año.

b) Multiplicar la relación neta de cambio por el índice de exportación

c) Convertir precios corrientes de mercado interno a precios constantes respecto a un período dado.

d) Cambiar la relación de precios de intercambio.

e) Ninguna de las anteriores.

14.Dados los índices de producción cuya base es 006.

006 00 008 009 010 011 0169 86 100 1 3 16 150

El índice para 011 con base en 006 es:a. 168,0 b. 19 ,0 c. 5,0d. 86,0 e.3 0,0


15.Cuando un índice de costo de vida (ín-dice de precios al consumidor) sube en un 5 , el índice de poder adquisitivo baja en un:

a. 8 b. 10 c. 15 c. 18 d. 0

16.Con los siguientes índices de base variable

009 010 011 01 100 10 108 104

� ��k� � ��#�� K� �� a. 19 b. 0,18 c. 1,0 d. 3,6 e. 8,34

1 .Si el índice de producción en un sector de la industria es del 136,8, mientrasque el índice de obreros para ese sector es del 109, . Se dice que el índice de productividad es:a. 4, b. ,6 c. 93,8d. 115,4 e.1 4,

18.Si el índice de precios al consumidor para un mes determinado del presente �� ?�?�� k� � ��poder de compra para ese mes respecto al período base es:

a. 0,1 1 b. 0,1 96 c. 0,1354d. 0,1386 e.0,1453

Capí

tulo

Capí

tulo

1212 In e encia estadísticaIn e encia estadísticaObjetivos

Describir en forma muy general algunos aspectos de la inferencia estadística.Inquietar o despertar en el alumno, la importancia que tiene el método estadístico en la actividad económica o comercial de una empresa.Inculcar en el estudiante el deseo de profundi ar un poco m s en esta disciplina.

Contenido¶� *� � �� ¶� "#�� $

Distribución binomial Prueba de hipótesisDistribución normal Distribución ji-cuadrado

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ELEMENTOS DEL C LCULO DE PRO A ILIDADESProbabili a Elemental

El concepto de probabilidad�� ?�� utili ado para expresar, de algún modo, un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tenga. Con frecuencia observamos o escuchamos el estado del tiempo , o sea los pronósticos meteorológicos sobre la posibilidad de un buen tiempo o la presencia de lluvias fuertes o ligeras, gran nubosidad, vientos fuertes o en calma, etc. los hinchas de los diferentes equipos de fútbol discuten frecuente-� �� <��ocurre con los que juegan lotería o apuestan en las carreras de caballos el mismo �� k� �� -natura todos ellos son pronósticos que hacemos con la esperan a de que sucedan.

El origen de las probabilidades en los juegos de a ar se remonta al siglo XVII cuando Antoine Gombauld, m s conocido como el caballero de Meré, jugador profesional quien pensó haber descubierto una t ctica infalible de jugar a los dados, con muy buenos resultados durante un determinado tiempo, después del cual comen ó a perder, y por ende disminuyó su fortuna, situación que lo obligó a consultar a Blas Pascal y Pierre de Fermat, inici ndose así poco a poco una ciencia bien fundamentada.


En la actualidad las probabilidades guardan una estrecha relación con la Teoría de conjuntos, siendo de gran importancia en el campo de la Inferencia estadística debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones, permitiendo el an lisis de los riesgos que se corren y la forma de minimi ar el a ar inherente. En estadística el uso de las predicciones son de gran utilidad, cuando se reali an investigaciones por muestreo, en la mayoría de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevaría la reali a-ción de una investigación total, lo cual nos limita a un reducido número de elementos y con base en esa información disponible, procedemos a la reali ación de predicciones o �� ?��#�� $�� &

"�� K�� #�� a problemas de economía y ciencias sociales, de la misma manera a las ciencias físicas, industria, comercio y gobierno, con la observación de que en cada uno de ellos tendr sus requisitos particulares.

Algunos Conceptos ásicosPara desarrollar estas breves nociones sobre probabilidades se requiere claridad en

algunos conceptos b sicos que faciliten no sólo la explicación, sino el procedimiento que debe seguirse en la solución de problemas modelo que nos permitan comprender otros � ��+��&

Experimento. Es un conjunto de pruebas o la reali ación de un proceso que condu can a un resultado y observación del cual no se est seguro.

Son ejemplos de experimentos:� El lan amiento de una moneda para observar el lado que aparece.�� *`�� k��?�� W� ��

unidades defectuosas.�� [�� ?�� W� ��

mayor frecuencia.� Extraer una carta de una baraja de 40 o de 5 cartas.� Entrevistar a los alumnos de la universidad acerca de una reciente medida académica.

Prueba Es la reali ación de un acto. El conjunto de pruebas conforma un experimento.*�� k� � �� `� �� ?��

ya sea por observación directa de sucesos incontrolados en la naturale a o por experimen-�� &�*�� apriori y la empírica.� Probabilidad apriori. Es aquella que se determina sin necesidad de reali ar el ex-

perimento, es decir, se conocen de antemano los resultados, como por ejemplo en el lan amiento de una moneda, se sabe cu l es la probabilidad de que apare ca cara.

� Probabilidad empírica. Es aquella que para su determinación requiere de la reali ación del experimento. Hallar la probabilidad de germinación de una semilla en especial.

� Probabilidad Subjetiva. Creencia de una persona de la posibilidad de que algo suceda.

CAPÍTULO 12: INFERENCIA ESTADÍSTICA ��

� Frecuencia relativa. Es un método empírico, que resulta al dividir el número de eventos ocurridos en el pasado por el número total de observaciones

� Eventos. Son los resultados posibles que presentan una condición dada al reali ar un experimento. Cada resultado posible lo constituye el elemento o suceso.

� Espacio muestral. Es un conjunto de sucesos, elementos, puntos o resultados posibles al reali ar en experimento.

� Conjunto.�� K �� &

Probabili a! �� probabilidad es casi imposible, sin embargo hay

��_�� >��&�*�� -mos que la probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1. Este concepto es muy parecido al de la frecuencia relativa, cuando decimos que 0 hi 1, sólo que en nuestro caso, la probabilidad puede ser igual a 0 cuando existe la imposibilidad absoluta, o igual a 1 cuando se tiene la completa certe a de la presentación del suceso.

- P - 1

�� ?� �� k� � �� cociente de dividir al número de éxitos o total de casos favorables por el total de casos posibles. Ve moslo mediante un ejemplo: supongamos que lan amos una moneda 500 veces (es lo mismo que lan ar 500 monedas una ve ), y que los resultados obtenidos fueron : 6 caras y 38 sellos. Las frecuencias relativas ser n:

P Aparición de cara 6 0,5 4 5 ,4 500

Q Aparición de sello 38 0,4 6 4 ,6 500

P No. de éxitos Q 1 PTotal de casos posibles

Los casos: el lan amiento de una moneda, o del dado, el sexo en el nacimiento de una persona, la extracción de una carta de la baraja, y otros muchísimos ejemplos, caen dentro del grupo denominado probabilidad apriori, es decir, se puede determinar de antemano la probabilidad de presentarse un suceso sin necesidad de reali ar el experimento en el caso de la moneda, la aparición de cara es 1 0,5 en el lan amiento de un dado, la probabilidad de obtener un 5 es 1 6 en el nacimiento de una persona la probabilidad de que sea varón es 1 , etc.

En otros casos, se requiere reali ar un número grande de experimentos para hallar la probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo y se le denomina probabilidad empírica. Supongamos que se quiere determinar la probabilidad de obtención de pie as o artículos defectuosos en un proceso de producción para ello hay que reali ar varias


veces el experimento, en las mismas condiciones, para poder determinar la probabilidad de obtención de una pie a o artículo defectuoso.

Hemos visto que la prueba es la reali ación de un acto. El conjunto de pruebas reali a-das en las mismas condiciones se denomina experimento. El resultado de una prueba se llama punto muestral o suceso. El conjunto de sucesos constituyen un espacio muestral. Ejemplo: el acto de lan ar una moneda es una prueba. Si se lan an tres monedas, esto es un experimento. Los puntos muestrales del experimento son: CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC,SSS. Estos 8 puntos muestrales conforman el espacio muestral. tros ejemplos: a) En el lan amiento de un dado el espacio muestral es: 1, , 3, 4, 5, 6

La probabilidad de obtener un seis es 1 6 0,166. La probabilidad de obtener un dos

o un cinco es:( ) (5)

1 6 1 6 1 36 0,0

La probabilidad de obtener un en el primer dado y un cinco en el segundo ( ,5) es igual a: 1 6 x 1 6 6 0,33b) En el lan amiento de dos dados el espacio muestral es:

11 1 13 14 15 161 3 4 5 6

31 3 33 34 35 3641 4 43 44 45 4651 5 53 54 55 5661 6 63 64 65 66

La probabilidad de obtener en uno de ellos el y en el otro el cinco: ( ,5) (5, )P 36 1 18 0,0555La probabilidad de obtener en uno de ellos el o el 4 y en el otro el 3 o el 5 se tendr( ,3) ( ,5) (4,3) (4,5) (3, ) (5, ) (3,4) (5,4) p 8 36 0,

Permutaciones Variaciones y Combinaciones�� ^ �� permutaciones de n elementos, los diferentes grupos que se puede hacer

tom ndolos todos de una ve . Las permutaciones implican orden en la colocación de los elementos.Ejemplo con los números 1, , 3 y 4 se van a efectuar permutaciones, tom ndolos en

su totalidad se pueden obtener las siguientes cifras de cuatro dígitos:1 34 134 314 4131 43 143 31 4 41 3134 341 3 14 4 3113 4 314 3 41 4 13143 413 341 43114 3 431 34 1 43 1


La fórmula para calcular las permutaciones es Pn n y se lee permutacionesde n elementos es igual a n factorial

P4 4 4 x 3 x x 1 4�� "��variaciones son permutaciones, con la diferencia de que se toma parte de los

elementos. Ejemplo: con los números 1, , 3 y 4, formar cifras de dos dígitos.

1 1 31 4113 3 3 414 4 34 43

La fórmula para el c lculo de las variaciones es: Vn n ó nPr n (n r) (n r)

Variación de n elementos tomados de r en r, esigual, a n factorial dividido por (n - r) factorial V4 4 4 4 . 3 . . 1 1 (4 )

�� *��combinaciones no se tiene en cuenta el orden de colocación de los elementos.

Combinaciones de n elementos tomados de r en r Cr n

(n r) r

Ejemplo con las letras A, B, C, D:

a) ¿Cu ntas combinaciones se logran si se toman las 4 letras? Los resultados son: ABCD BACD ABDC DBCA CBAD, etc. En total se obtiene una sola combinación, ya que da lo mismo ABCD que DBCA, y así sucesivamente pues no se tiene en cuenta el orden de los elementos.

b) ¿Cu ntas combinaciones se pueden hacer con las cuatro letras anteriores, si sólo se toman dos de ellas?

AB BA BD DBAD DA BC CB AC CA CD DC

Leyes o Reglas e Probabili aAl comien o del capítulo se mencionaba la estrecha relación que hay entre la Teoría

de Conjuntos y la Teoría de las probabilidades. Como el propósito de este capítulo no es profundi ar en los dos temas, sólo se considerar n los elementos b sicos, que permitan una mejor explicación de las operaciones que se pueden hacer con las probabilidades, �� k� �� #��&

4C 4 4 . 3 . . 1 4 6(4 ) 4

r

n


Se ha dicho, que espacio muestral es el conjunto de resultados posibles de un expe-rimento o ensayo. Un ensayo es considerado como un experimento, cuyos resultados no necesariamente tienen que ser los mismos cada ve que se repita.

Cualquier subconjunto del espacio muestral es considerado como evento un sub-conjunto que contiene un solo punto muestral se denomina un evento elemental o punto muestral. De ahí que los resultados individuales que constituyen el espacio muestral reciban la denominación de sucesos o puntos muestrales.

a se ha visto cómo se elabora un espacio muestral, siendo visuali ado de la siguiente manera. Por ejemplo:

Un experimento consistente en lan ar un dado. Los eventos posibles son:

cara uno cara dos cara tres

cara cuatro cara cinco cara seis

El espacio muestral ser U 1, , 3, 4, 5, 6

Probabilidad. Los seis resultados en el lan amiento del dado son igualmente probables. Si se pregunta cu l es la probabilidad de que apare ca el tres, observamos que sólo hay un evento favorable y la probabilidad ser :

Probabilidad de un tres número de resultados favorables 1 6 0,16 1,6 número de resultados posibles

El evento favorable es el tres , es decir, hay uno solo, de seis eventos elementales posibles en el espacio muestral. Los cinco eventos restantes: uno , dos , cuatro , cinco , seis , se denominan eventos complementarios. Se dice que el complemento de

un evento consta de todos los resultados del espacio muestral que no forman parte de él.

Existe otra forma de visuali ar los elementos del espacio muestral, utili ando el diagrama de enn, que indica los espacios muestrales y los eventos, mediante círculos, cuadrados o cualquier otra forma geométrica.

Figura 12.1 Algunos ejemplos el iagrama e Venn.

Evento

A

Evento

A

EventoA

� ��

��

��

��

��

��

��

CAPÍTULO 12: INFERENCIA ESTADÍSTICA �

En el caso del lan amiento de un dado el diagrama de Venn puede ser representado así:

Figura 12.2 Diagrama e Venn para el lan amiento e un a o

Recordemos que la probabilidad representada por el espacio muestral es 100 y la probabilidad de cualquier evento A, corresponder a un valor que puede variar de 0 a 1.

- P(A) - 1

Adem s, la probabilidad de que un evento no ocurra es igual a uno, menos la proba-bilidad de que sí ocurra.

P(A ) 1 P(A) P(A ) 1 1 6 1 5 0,833 83,33 6 6 6 6

Por lo tanto se puede decir que P(A) P (A ) 1,0 y se dir que los eventos A y A son complementarios.

A

A

� E3

� E1

� E � E5

� E6

� E4A

Figura 12.2. Eventos complementarios

Supongamos ahora, que al reali ar el experimento del lan amiento de un dado, se quiere hallar la probabilidad de que apare ca el dos o el cuatro . Sabemos que al hacer un solo lan amiento de un dado, debe aparecer el dos o el cuatro , pero no los dos, es decir, la aparición de uno de ellos excluye la aparición del otro y, en este caso, se dice que los eventos son mutuamente excluyentes.

Se puede decir, que dos o m s eventos son mutuamente excluyentes , cuando uno de los eventos ocurre, ninguno de los otros puede ocurrir al mismo tiempo.


Se dice que si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes se debe aplicar la regla de adición, es decir, que la probabilidad de que ocurra uno o el otro de los eventos es igual a la suma de sus posibilidades. Lo anterior es v lido para dos o m s eventos, donde uno solo de ellos debe ocurrir.

Los eventos A y B son mutuamente ex-cluyentes, ya que no se superponen, es decir, son incompatibles.

Figura 12. . Sucesos mutuamente e cluyentes.

La probabilidad de que apare ca el dos ser P(A) 1 6 de que apare ca el cuatro es P(B) 1 6 de acuerdo con la regla de adición, se tendr :

P(A o B) P(A) P(B) 1 1 1 0,33 33,33 6 6 6 3Si se dijera ¿cu l es la probabilidad, al lan ar un dado, de que apare ca el dos o el

cuatro o el seis ?, la solución ser :

P(A o B o C) P(A) P(B) P(C) 1 1 1 3 0,50 6 6 6 6

Volvamos al experimento de extraer una carta (oígase bien, una sola carta, de una sola baraja): ¿cu l es la probabilidad de obtener un as o un seis de copas o un rey ?

Probabilidad de que sea un as : P(A) 4

40

Probabilidad de que sea un seis de copas : P(B) 1

40

Probabilidad de que sea un rey : P(C) 4

40

Como sólo debe ocurrir uno de esos eventos, dado que se extraer una carta, la pro-babilidad de que sólo uno de ellos ocurra estar dada por:

P(A o B o C) P(A) P(B) P(C) 4 1 4 9 0, 5 ,5 40 40 40 40

Ahora, el experimento con la baraja de 40 cartas consiste en que al extraer una carta, se desea saber cu l es la probabilidad de que sea as o copas .

A


AA

bservemos que al extraer una carta puede ser as , pero también puede ser as de copas , cumpliéndose la reali ación de dos pruebas en forma simult nea por tal ra ón, se dice que los sucesos son compatibles, o también nos podemos referir a una probabilidad conjunta.

Si se dice que dos sucesos son compatibles, o que no son mutuamente excluyentes, cuando la posibilidad de que ocurra un suceso no impide la ocurrencia del otro. En este caso la probabilidad de uno de los dos sucesos se halla así:

P(A o B) P(A) P(B) P(A y B) P(A o B) 4 10 1 13 40 40 40 40

0,3 5 3 ,5 Probabilidad de que sea as : P(A) 4 40

Probabilidad de que sea copas : P(B) 10 40

Probabilidad de que sea as de copas : P(C) 1 40

En un diagrama de Venn se pueden presentar eventos compatibles.

Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes, ya que tienen algunos ele-mentos en común.

Figura 12. . Eventos compatibles.

Es corriente utili ar símbolos, tales como A B para indicar la unión de A con B, y A 9 B, la intersección de A con B. La anterior expresión de P(A o B) P(A) P(B) P(A y B)se podr reempla ar por P(A y B) P (A) P(B) P (A 9 B).

Regla de multiplicación Se dice que dos o m s eventos son independientes entre sí, cuando la ocurrencia de un evento no est relacionada con la ocurrencia de los otros. Si hay tres eventos independientes A, B y C, la probabilidad de que ocurran A, B y C se obtiene al multiplicar las tres probabilidades.

P(A y B y C) P(A) . P(B) . P(C)

Supongamos que se dispone de tres barajas de 40 cartas. Se desea extraer tres cartas, una de cada baraja ¿cu l es la probabilidad de obtener un as y un rey de oros y un seis de copas ?


En la primera baraja se tienen 4 ases , siendo : P(A) 4 40

en la segunda baraja se tiene un rey de oros : P(B) 1 40

en la tercera baraja hay un seis de copas : P(C) 1 40

bservemos que los resultados son independientes, pues ninguno de ellos se ve afectado por la aparición del otro en estos casos aplicamos la regla especial de multi-plicación, siendo

P (A y B y C) 4 x 1 x 1 4 1 0,00006 5 40 40 40 64.000 16.000

Se hubiera podido enunciar el anterior problema de otra manera, con el mismo resul-tado: ¿cu l es la probabilidad de extraer tres cartas, con reposición, de una baraja de 40 cartas, de que sean as y rey de oros y seis de copas ?

Cuando se dice con reposición se entiende que al extraer la primera carta para ser observada, se regresa nuevamente al mazo, es decir, la baraja queda completa con sus cuarenta cartas, procediendo después a una nueva extracción.

*�� _ � �� excluyentes y sucesos independientes.

a) En el primero se tiene un solo dado, una baraja en el segundo son dos o m s dados o barajas.

b) En el primero se extrae una sola carta, es decir, se espera la presentación de un suceso en el segundo se espera la presentación de dos o m s sucesos.

c) En el primero utili amos la conjunción o y en el segundo la conjunción y .

Ejercicio 1. En una f brica de cal ado se manufactura independientemente costura (toda la parte superior del cal ado relacionada con el cuero), suela y tacón, siendo estas partes armadas aleatoriamente en cada apato. Se sabe que en este proceso, el cinco por ciento de las costuras, el cuatro por ciento de las suelas y el uno por ciento de los tacones tienen fallas ¿qué porcentaje de pares de apatos resultan:

a) ¿con fallas en sus tres componentes?b) ¿sin fallas en sus tres componentes?

Solucióna) P(C y S y T) (0,05) (0,04) (0,01) 0,0000 0,00b) P(C) 1��0,05 0,95 P(s) 1 �� 0,04 0,96 P(T) 1 �� 0,01 0,99

P(C y S y T) (0,95) (0,96) (0,99) 0,903 90,3


Ejercicio 2. Una m quina en buenas condiciones de trabajo, produce un artículo defectuoso por cada mil. Los resultados correspondientes a artículos producidos su-cesivamente son independientes. ¿Cu l es la probabilidad, para que los próximos dos artículos producidos por esta m quina, no tengan fallas?

Solución

P 1 1 0,999 1.000 1 999 0,9991.000 1.000 1.000 1.000

Ahora la probabilidad para A y B ser P(A y B) (0,999) 0,998001 99,8 .

� Sucesos dependientes Se dice que dos o m s eventos son dependientes, cuando la ocurrencia de uno, determina la ocurrencia de los otros en un orden determinado. En caso contrario los sucesos son independientes.

De una baraja de 40 cartas, se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposi-ción, es decir, la carta que se extrae no se regresa a la baraja ¿cu l es la probabilidad de que en la primera extracción apare ca un as y en la segunda un rey de oros , y en la tercera un seis de copas ?

Solución: Al extraer la primera carta as , se tiene que P(A) 4 luego, al extraer 40la segunda rey de oros , se har sobre un total de 39 cartas, por tanto P(B) 1 39luego, la tercera carta seis de copas , se tendr que P(C) 1 . 38La probabilidad de que todos estos sucesos dependientes ocurran, ser igual a:

P(A y B y C) P(A) P(B) P(C) 4 x 1 x 1 4 40 39 38 59. 80

P(A y B y C) 1 0,00006 4 0,006 14.8 0

Generalmente se expresa de la siguiente manera con el mismo resultado

P(A y B y C) P(A) . P(B:A) . P(C:A y B)

P(A y B y C) 4 x 1 x 1 4 40 39 38 59. 80

Ejercicio 1. Supongamos que se tiene una caja con 10 monedas de 1.000, y dos de ellas son falsas. Se van a extraer dos monedas, una después de otra sin reposición ¿cu l es la probabilidad de seleccionar una moneda falsa seguida por otra también falsa?


Solución P(A y B) P(A) . P(B;A) también se puede expresar así

P(A 9 B) P(A) . P(B:A)

P(A y B) 3 x 6 1 0,0666 6,6 10 9 90 15

P(A 9 B) se denomina probabilidad conjunta de A y B P(A) se llama probabilidad marginal de A P(B A) es la probabilidad condicional de B respecto a A.

Ejercicio 2. Se extraen tres cartas sin reposición de una baraja de 40 cartas ¿cu l es la probabilidad de que las tres sean otas?

P(A1 9 A 9 A3) P(A1) . P(A ;A1) . P(A3;A1 y A )

P(A1 9 A 9 A3) 4 x 3 4 1 0,000404 0,04

40 39 38 59. 80 .4 0

DISTRI UCIONES DE PRO A ILIDADSe dice que una distribución de probabilidades muestra los resultados esperados al

reali ar un experimento, junto con la probabilidad en cada uno de estos resultados. Es decir, nos referimos a los valores posibles de una variable con sus respectivas probabilidades.

Estas distribuciones de probabilidad pueden corresponder a variables aleatorias discretas o continuas.

Una variable es aleatoria cuando los valores que toma est n determinados por factores en los que interviene el a ar.

ariable aleatoria discreta,� ��k� ��k� �� W� �� y si los valores que asume se pueden contar.

Entre las distribuciones discretas los modelos m s utili ados son: ernoulli, binomial, multinomial, hipergeométrico, Poisson y exponencial. De estos sólo explicaremos en forma breve el modelo binomial.

La variable aleatoria continua es aquella que puede asumir cualquier valor dentro de �� ?� �� ?�� W� �� &�*��modelo m s importante y b sico en la inferencia estadística es la distribución normal.


Distribución inomialEn la aplicación de la distribución binomial se requiere tener presente cinco caracte-

rísticas de gran importancia, al plantear un problema.

� *`�� W� ��K�� ?b) Cada uno de las n pruebas da lugar a un acontecimiento favorable o des-

favorable uno de los dos debe presentarse.c) La probabilidad de éxito es aquél acontecimiento que consideremos fa-

vorable debe ser la misma en cada una de las pruebas. Por lo tanto, p ser constante.

d) Las pruebas son independientes.e) Nos interesa determinar el número de éxitos en las n pruebas.Los anteriores son los criterios que debe satisfacer una experiencia binomial.

La distribución binomial puede describirse, para cada uno de los términos, mediante la fórmula:

P(x) n px qn 1 p probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo x

n es el número de éxitos probabilidad de fracaso

es el número de éxitos son combinaciones nCx n

(n x) x

Consideremos como ejercicio de aplicación, el lan amiento de cuatro monedas y elaboremos en primer lugar un espacio muestral.

Exitos 0 caras 1 caras caras 3 caras 4 caras

1 16 4 16 6 16 4 16 1 16 16 16 1

En el anterior espacio muestral se puede observar que la probabilidad de obtener exactamente 3 caras, en el lan amiento de 4 monedas, es igual a 4 16 1 4 0, 5.

Si consideramos como éxito la aparición de cara y lo simboli amos por p, siendo su probabilidad igual a 0,5, mientras que q 0,5 es la probabilidad de fracaso o sea la aparición de sello, se tendr que:

( )

nx( )

SSSCSSCSSCSSCSSS

SSCCSCSCSCCSCSCSCCSSCSSC

SCCCCSCCCCSCCCCS

SSSS CCCC S selloC cara


P(ssss) qqqq q4 q4P(sssc) qqqp q3pP(sscs) qqpq q3p 4q3pP(scss) qpqq q3pP(csss) pqqq q3p

P(sscc) qqpp q pP(scsc) qpqp q pP(cssc) pqqp q p 6q pP(cscs) pqpq q pP(ccss) ppqq q pP(sccs) qppq q p

P(sccc) qppp q p3

P(cscc) pqpp q p3

P(ccsc) ppqp q p34q p3

P(cccs) pppq q p3

P(cccc) pppp p4 p4

Reemplacemos la anterior información en un cuadro m s sencillo, que nos permita visuali ar mejor las probabilidades para cada suceso.

E ITOS PRO A ILIDADES P( )CARAS

0 q4 (1 )4 0,06 51 4 q3p 4 (1 )3 (1 ) 0, 500

6 q p 6 (1 ) (1 ) 0,3 503 4 q p3 4 (1 ) (1 )3 0, 5004 p4 (1 )4 0,06 5

1,0000

Vemos que q4 4q3 p 6 q p 4 q p3 p4 1,0

Es decir, que sumando todas las probabilidades dadas cuando x 0, 1, , 3, 4, es igual a uno. Adem s, recordemos el desarrollo del binomio de Ne ton cuando n 1 n n 3 y n 4.

Siendo (a b)n

(a b)1 a b (a b)3 a3 3a b 3ab b3

(a b) a ab b (a b)4 a4 4a3b 6a b 4ab3 b4


En la anterior expresión reemplacemos la a por y la b por p:

(q p)4 q4 4q3p 6q p 4qp3 p4

De esta manera se puede comprender por qué se denomina distribución binomial, al conjunto de probabilidades obtenidas mediante la aplicación de la fórmula dada, para determinar la probabilidad de un suceso o conjunto de sucesos.

P(x) n px qn x

xEn nuestro ejercicio de aplicación decíamos hallar la probabilidad de obtener exac-

tamente 3 caras al lan ar 4 monedas , la cual se puede obtener mediante el uso de la fórmula de la binomial.

P(x 3) 4 1 3 1 1

4 1 1 4 1 4 1 0, 5 3 (4 3) 3 8 1 3 16 16

Una forma m s r pida de c lculo se logra con el uso de la calculadora.Veamos los pasos a seguir, en el ejercicio anterior.

Casio 350 HB requiere emplear la tecla SHIFT y luego xy los dem s pasos o tecleado es igualCasio 991 MS tiene dos situaciones diferentes, así: 4 SHIFT nCr 3 x ( 1 : ) 3 x ( : )

En Muchas calculadores que tienen la tecla nCr se de operar paso a paso:( ( 4 : ( 3 x 1 ) ) x ( 0,5 xy 3 ) x ( 0,5 xy 1 )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Se pide que:

( )( )

( )

Ampliemos el ejercicio anterior al lan amiento de 8 monedas, si se quiere calcular la probabilidad de obtener:

a) exactamente 6 caras. a) éxitos X 6 P(x 6)

b) menos de dos caras. b) X 0,1 P(x - 1)

c) menos de seis caras. c) X 0, 1, , 3, 4, 5 P(x - 5)

d) m s de dos caras. d) X 3, 4, 5, 6, , 8 P(x �8 3)

e) m s de 4 y menos de 6 caras. e) X 5 P(x 5)

f) menos de 4 y m s de 6 caras. f) X 0, 1, , 3, , 8 P(3�8 x �8 )

Solución

a) P(x 6) 8 (0,5)6 (0,5) 0,1093 5 10,946

b) P(x - 1) P(0) P(1) 8 (0,5)0 (0,5) 8 8 (0,5)1 (0,5) 0,0039 0,031 5 0,03515 3,5 0 1


( ) ( )

c) P(x - 5) P(0) P(1) P( ) P(3) P(4) P(5)

Recordemos que la probabilidad de x desde 0 hasta 8, es igual a 1 ya que:

� n px qn 1 1 100

x

� �� $�� }

P(x - 5) 1 P(6) P( ) P(8) 1 8 (0,5)6 (0,5) 8 (0,5) (0,5)1 8 (0,5)8 (0,5)0 6 8

P(x - 5) 1 (0,1094 0,0313 0,0039) 1 0,1446 0,8554 85,54

Nota al usar la calculadora en el desarrollo de estos ejercicios, se puede teclear 0,5 o también (1 >� ) cuando lo represente como 1 , así por ejemplo

P(x 6) 8 1 6 1 ser calculado así:6

y el resultado ser igual a 0,1093 5 ?�0,1094 10,94

d) P(x �8 3) P3 P4 P5 P6 P P8 1 P(o) P(1) P( )

P(x �8 3) 1 (0,0039 0,0313 0,1094) 1 0,1446 85,54

puede observarse que el resultado es igual al anteriormente dado, siendo p q.

e) P(x 5) 8 (0,5)5 (0,5)3 0, 18 5 1,885

f) P(3�8 x �8 ) P(o) P(1) P( ) P(3) P( ) P(8)

P(3�8 X �8 ) 0,0039 0,0313 0,1094 0, 188 0,0313 0,0039 0,3986 39,86

Distribución NormalEn una distribución binomial, si el valor de n� �� ?��

�� <�� utili a la distribución normal.

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( 8 SHIF nCr 6 ) ( 0,5 6 ) ( 0,5 )

CAPÍTULO 12: INFERENCIA ESTADÍSTICA

La distribución binomial es una distribución de variable discreta, en cambio la distri-bución normal corresponde a una variable continua, así que los problemas de distribución binomial (denominado método exacto), se pueden resolver mediante la distribución normal(denominado método aproximado), transformando la variable discreta en continua. Por otra parte, adem s, se debe obtener la media y la desviación est ndar de una distribución binomial, mediante la aplicación de las siguientes fórmulas:

� 4 1 � 4 1 1 1

La distribución normal�� _�� -pana denominada indistintamente curva normal, curva de error, curva de probabilidad o campana de auss, siendo de gran utilidad en la inferencia estadística.

El rea bajo la curva normal es igual al 100 . La media (�) se encuentra locali ada en el centro, dividiendo la curva en dos partes iguales, correspondiéndole a cada una de ellas el 50 .

Para hallar el rea bajo la curva utili amos la variante estadística , en otras palabras, la �� ±�� $��?�� _��}

"�� ±� �� ª?�� _ ��k�� normal a un tipo único cuyos par metros ser n � 0 y � 1. Si consideramos el lan amiento de 4 monedas del ejercicio anterior, la probabilidad de obtener exactamen-te dos caras, mediante la aplicación de la distribución binomial se vio que era igual a 0,3 5 o 3 ,5 ahora, mediante la utili ación de la distribución normal se tendr :

En primer lugar, la forma de plantear la pregunta varía, ya que en la binomial era P(X ) y en la normal ser P(1,5 X ,5), transformando la variable discreta en continua.

68,3

95,5

99,

-3�� - �� -1�� .1�� 3��

-3� - � -1� 0� 1� � 3�

( ) ( )( )� np

� n p q

@��X ��


Siendo � y � 1 se tendr :

Para 0,5 el rea (ver tabla, rea bajo la curva normal) ser igual a 0,1915 por ser simétrico, para -0,5 se tendr el mismo valor de 0,1915, el rea total de la región sombreada ser igual a la suma: 0,1915 0,1915 0,3830 38,3 . Se observar que el resultado es bastante aproximado al obtenido mediante la binomial.

LÍMITES DE CONFIAN A*�� #�� ?��#�

altos costos, requeriría de un gran número de personas para encuestar y un tiempo dema-siado largo, para poder abarcar la totalidad de las unidades que conforman la población en algunas investigaciones, el elemento o unidad se destruye al ser anali ado, tal como ocurre, por ejemplo en la vida o duración de una bombilla, de una batería para carro, o de una pila, en la dure a de un vidrio, de un tornillo, de un alambre ,etc., lo cual impide que tomemos la totalidad de las unidades producidas, ya sea de una m quina o de un conjunto � ��k��<� ��?�� ?�� $��características de los peces en un río. En todos estos casos se hace necesario la reali ación de una muestra, generalmente aleatoria, que conlleva a tomar tan sólo una parte de los elementos que constituyen la población que se va investigar.

Supongamos que se desea estudiar alguna característica o características de los obreros de un sector industrial, por ejemplo: los salarios.

Podríamos recurrir a toda la población (total de obreros en el sector) pero sería muy dispendioso la recolección de esa información, debido al número tan elevado de obreros. Así que recurrimos a una muestra aleatoria de 00 obreros, obteniéndose un promedio de salarios de 3 . 00 y desviación est ndar de 5 .800. El resultado del promedio � �� ?� �� _� �� k� �� totalidad de los obreros, sin embargo observemos que se podr obtener un número M de �� N elementos, así:

M CN N (N n) n

0,1915

1,5 ,5

0,1915

-0,5 �� 0,5

@��X � ,5 0,5�� 1@��1,5 0,5��1

n


^�� k� �� ?�� k� �� muestras de 4 elementos. El número de muestras posibles ser igual a:

M C13 13 6. .0 0.000 6. .0 0.800 15 total de muestras9 4 (36 .880) ( 4) 8. 09.1 0 posibles

El anterior resultado nos est indicando, que se obtendrían 15 medias aritméticas muestrales, con sus respectivas desviaciones típicas. Si comparamos las medias obtenidas, observamos que algunas son diferentes unas a otras, por lo tanto no todas las muestras representarían igualmente bien a la población de la cual se extrajo la muestra.

Se dir que la representatividad con respecto a la población, de la media aritmética obtenida a través de una muestra, depender de dos aspectos o características de la distri-�� k� �[�� `��#�}�� ?� �� en tal forma que sea el óptimo. b) de la desviación típica (s o s). Si la desviación típica es grande, nos estar indicando que los datos se encuentran muy dispersos en relación a �� ?�� ?�� k� �&

Con las dos medidas anteriores se obtiene el error est ndar de la media, la que es igual a:

� � � o sx s

n n

Cuanto menor sea el error, m s representativa ser la media.

En el ejemplo de los 00 obreros, el error est ndar es: sx s 5 .800 3. 33, 5 n 00

si consideramos que el salario promedio obtenido es del 3 . 00, siendo uno de los �� k� �� $�?�� k� �� ?�� k� ��K��#�� $�� muestral con una probabilidad (por ejemplo del 95 , aceptando que nos equivoquemos 5 veces de 100, o sea con un margen de error del 5 ) dentro de la cual debe estar la media poblacional. En este caso, la tabla para calcular el rea bajo la curva de probabilidad nos dar que 1,96 y se tendr , que los límites para la media poblacional estimada ser n:

X x s 1 f X 3 . 00 1,96 (3. 33, 5)

Xsuperior 3 . 00 .31 , 0 44.51 , 0 Xinferior 3 . 00 .31 , 9.88 ,30

El resultado anterior nos indica que la media, de todos los obreros del sector industrial estudiado, debe quedar incluida dentro de los límites con una seguridad del 95 . No es una certe a, ya que hemos aceptado un error o riesgo a equivocarnos del 5 .

4

x

n

CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO

^��>�� `��K�� ?��-�#��_�� ?�� +��_�� muestreo sea mayor o igual al 5 .

Siendo 3.500 el número total de obreros en el sector, la fracción de muestreo ser

f n 00 0,05 1 5, 1 N 3.500

��#�� $�� #}

Xsi x s 1 f Xsi 3 . 00 .31 , 1 0,05 1n

Xs 3 . 00 .105, 1 44.305, 1 Xi 3 . 00 .105, 1 30.094, 9

*�� k� � �� 30) se utili a la tabla t de Student en ve de la tabla , en la siguiente forma: se determinan los grados de libertad, simboli ando por la letra griega nu (7), siendo 7 n - 1 luego se buscar �� $�+�� &�

Consideremos que en ve de n 00, se trabajó con n 5, por lo tanto 7 5 - 1 4. ^��$� �� ¢?� ��$�� ¢�� ?��?�� t

,0639. Por otra parte se considera que s ��cuando n - 30, siendo necesario corregirla de la siguiente manera:

a) Si la desviación típica se ha calculado para n - 30 (caso en ue el problema a el valor e la esviación t pica) se debe corregir así:

s 5 .800 5 5 .800 1,04 5 .800(1,0 ) 53.856 5 1

y el error estándar ser : sx s 53.856 10. 1, siendo igual:

n 5

sx s 53.856 53.856 10. 1, n 1 5 1 4

b) La desviación típica se puede calcular directamente corregida.


"��#�� $?�� +��&��+��$�� ?��?�� calculados así:

Xsi x t s n

^�� _�� ?��k� �_�£��?��

Xs 3 . 00 ,0639 53,856 Xs 3 . 00 . 30,6 59.430,65 Xs 3 . 00 . 30,6 14.969,33

PRUE A DE HIPÓTESISComo en la mayoría de los casos no se conoce la media poblacional (ver a era), (ya

que nos tocaría trabajar con todos los elementos que constituyen la población), se puede tener un valor aproximado, como resultado de una larga experiencia, debido a continuas evaluaciones que nos permitan tomarlo como el comportamiento normal de esa distribu-ción. Así, por ejemplo, se tendr que un fabricante ofrece baterías (pilas) para transistor que tienen una duración promedio de 4.000 horas. Un comprador cualquiera adquiere 36 pilas y encuentra que la duración promedio es de 3.600 horas, resultado que lo obliga a � ��k� � �� ?�� ?�� -ración promedio de las 36 pilas fue inferior a la ofrecida por el fabricante. La desviación típica de la duración de estas pilas es de 985 horas.

Al nivel del 5 , se quiere saber si el fabricante est ofreciendo un producto de menor calidad.

El proceso a seguir es:

a) Se plantea la hipótesis nula (Ho) y la hipótesis alternativa (Ha). La prueba puede ser bilateral o unilateral ( erec a o i uier a).

� �� ^ � �� ?�k� �� k� ��$&

c) Se dan valores a la variante estadística.

d) Locali amos el valor obtenido en el punto (c) y tomamos la decisión de aceptar o recha ar la hipótesis nula en este último caso, se estar aceptando la hipótesis alternativa.

1) En el ejercicio que hemos planteado, la prueba se desarrolla de la siguiente manera:

a) Ho : � 4.000 horas hipótesis nula Ha : � 4.000 horas hipótesis alternativa

i


b) A 0,05 7�� !��8

c) s 985 desviación típica conocida, la distribución es normal y la muestra es aleatoria

d)

RC región crítica o de recha oA ona de aceptación

0,5000 - 0,05 0,4500 1,64

Siendo que ,43 cae en la región crítica, se recha a la hipótesis nula y se acepta ��[�� &�� ¢?�k� � �� pilas con una duración inferior a la garanti ada.

) La prueba de hipótesis puede ser bilateral, cuando consideramos que el resultado de la muestra puede ser menor o mayor que el promedio utili ado en la hipótesis nula. Por ejemplo, si en la información anterior la pregunta se hace de que si al nivel del 5 , probando que si lo asegurado por el fabricante es correcto.

a) Ho : �� 4.000 Ha : ��/�4.000

b) A 0,05c) s 985d)

Utili ando la tabla de obtenemos los puntos críticos.

0,5000 0,0 50 A(0,4 50) 4 1,96El valor ,43 cae en la ona de recha o o región crítica, por tal ra ón recha amos la

�� _�� &

� �� ^�� [�� k� �� por el fabricante, la prueba ser unilateral a la derecha y se plantea así:

a) Ho : � 4.000 b) A 0,05 c) Ha : � 4.000

x � 3.600 4.000 ,43 s 985n 36

A 0,05

RC A

-1,64

RC A

-1,96

RC

1,96 3.600 4.000 ,43 985

36

x � 4.400 4.000 ,43 s 985n 36

ó 1,65

α 0 0 5= ,α 0 0 5= ,


El valor cae en la ona de recha o, por lo tanto la duración de esas pilas es superior a las 4.000 horas.

1) Ahora, si se trabaja con la desviación típica de la muestra, siendo n menor o igual a 30 � �� &Ejemplo:

s 985 n 5 A 0,05

Solución

a) Ho : � 4.000 Ha : � / 4.000

b) ��A 0,05 s 985 5 1.005,31 4

c)

Los gra os e liberta son

7 n - 1 4 t ,0639A 0,05 (obtenido en la tabla t )

En este caso como -1,99 cae en la ona de aceptación, se podr concluir, al nivel de 5 que el fabricante tiene ra ón.

Si se trata de una prueba unilateral a la derecha, el punto crítico de t siendo A 0,05, ser :7 n 1 5 1 4A 0,10 (se toma el doble)

t 1, 109

A� 0,05

RCA

1,64

t x � 3.600 4.000 1,99 s 1.005,31n 5

RC A

- ,0639

RC

,0639t

A 0,05 A 0,05

�A 0,10

RCA1, 109

t


b) Prueba unilateral a la i quierda.

DISTRI UCIÓN I CUADRADOEn la aplicación de la prueba anterior se presentan dos posibilidades, pero en el caso

de que se tengan m s de dos posibilidades, ese procedimiento no es aplicable y se hace necesario la utili ación de otro tipo de distribución, denominado ji o chi cuadrado, cuyo nombre se deriva del uso como símbolo de la letra griega C, la que se lee ji o chi. La fórmula que se aplica, para el c lculo de esta distribución, es la siguiente:

C ��(ni n )

ni frecuencias observadas o reales non n frecuencias teóricas o esperadas ne

Supongamos que se lan a un dado 1 0 veces ó 1 0 dados una sola ve la aparición de cada una de las caras fueron: el uno, se presentó 6 veces el dos, ocurrió 3 veces el tres, 19 veces el cuatro, 14 veces el cinco, 18 veces y el seis, 0 veces. La frecuencia esperada para cada cara es de 0, calculadas así:

E np n 1 0 lan amientos p 1 6 (probabili a e presentación e ca a cara)

y así para todas las caras. Con ésta información calcularemos el valor de C

CARAS ni n ni n (ni n )

1 6 0 6 36 1,803 0 3 9 0,45

3 19 0 -1 1 0,054 14 0 -6 36 1,805 18 0 - 4 0, 06 0 0 0 0 0

�� 1 0 1 0 0 - 4,30

Para la prueba de hipótesis se procede en la siguiente forma.

�A 0,10

RC At

n 1 (1 0) 1 0 06 6

(ni n )n

C2 30(ji cua ra o calcula o)

1, 109

i

i

�

i ii

ii

i

i


a) Ho : El dado es correcto (no está carga o)

Ha : El dado no es correcto (está carga o)

b) A 0,05

c) Siendo C 4,30

d) Usando la tabla de C , el punto crítico para C ser igual a 11,07 n 1 6 1 5 A 0,05

La distribución C es asimétrica positiva, es decir, la curva presenta un alargamiento a la derecha por otra parte, sólo se tendr una región crítica, ubicada siempre al lado derecho. En nuestro ejercicio el valor de ji calculado es 4,30 el cual cae dentro de la ona de aceptación, por lo tanto, consideremos que el dado es correcto (no est cargado), en otras palabras, las diferencias que se presentan entre las frecuencias observadas y las �� &

La distribución se utili a frecuentemente cuando los datos est n ordenados en tablas denominadas de contingencia, que son arreglos en los cuales un conjunto de observacio-� �� _�� }��+��#� �?�� K ��}�dos procedimientos de fabricación, A y ?�[�� +�� duración de conservación de productos enlatados. Los resultados obtenidos son:

PROCEDIMIENTOS FRACASOS E ITOS TOTAL

A 63 140B 54 66 1 0

Total 131 1 9 60

¿A qué conclusión se puede llegar? (nivel del 5 )

Solución

La anterior tabla es de x ya que se tienen dos columnas (fracasos y éxitos) y dos líneas (A y ). El procedimiento que se sigue es similar al anterior.

p1 140 0,54 o sea que el 54 corresponde al procedimiento A60

p 1 0 0,46 o sea que el 46 corresponde al procedimiento B60

De 60 enlatados 131 fueron fracasos, ahora si lo multiplicamos por 0,54, se obtendr el número de enlatados esperados que fracasan en el procedimiento A si se multiplica por 0,46, se obtendr el número de fracasos esperados para el procedimiento , esto mismo

�A� 0 05

C2

11 07

�A�= 0,05

ZA RC C2

11,07


sucede con los 1 9 éxitos, que al ser multiplicados por 0,54 y 0,46, respectivamente, dar n el número de éxitos esperados para A y , de 69,66 y 59,34 respectivamente.

ni n ni n (ni ni

C ,59 (ji cua ra o calcula o). Adem s C 3,84 (ji cua ra o obteni o en la tabla para�7 1)

7 ( - 1) ( - 1) 11) Ho : ni ni

Ha : ni / ni

) D 0,05

Siendo ,59 3,84, se acepta la hipótesis nula (Ho), o sea que ninguno de los proce-dimientos es superior al otro.

Siempre que se tenga una tabla de x es decir que 7 1 se debe calcular el valor de C utili ando la correción de ates, la fórmula y aplicación ser :

ni ni ni ni ni ni ni ni 0,5

0, 4 6, 6 6, 6 5, 6 33,18 0,454 60, 6 -6, 6 6, 6 5, 6 33, 6 0,5563 69,66 -6,66 6,66 6,16 3 ,95 0,5466 59,34 6,66 6,66 6,16 3 ,95 0,6460 60,00 0 - - - , 0

, 0 3,84. Se acepta la hipótesis nula, como en el caso anterior.

�A� 0 05

C2

11 07

A 0,05

RCA3,84

C

0,05

C �( ni n i 0,5)

n i

( ni ni 0,5) ( ni n

i 0,5)

n

i i

54636660

0, 460,6669,6659,3460,00

6, 6-6, 6-6,666,66

0

39,1939,1944,3644,36

0,550,650,640, 5,59

(ni ni )ni

i

es estas a s e e cici s est s a g n s c esti na i s de eva ación

es estas a s e e cici s est s a g n s c esti na i s de eva ación

Cap tulo 1Ejercicios propuestos9.1 (c) 10.a Falso9. (b) 10.b Cierto9.3 (d) 10.c Falso

10.d Cierto10.e Falso

Cap tulo 2Ejercicios propuestos1.1 (d) .a Falso .g Cierto1. (a) .b Cierto .h Cierto1.3 (c) .c Cierto .i Falso1.4 (c) .d Falso .j Falso.e Falso .f Falso .k Falso

Cap tulo 3Ejercicios propuestos1.a 1 3 4 5 151.b (3 4 5 6) 361.c 3 (1 3 4 5) � 10 351.d 9 (1 3 4 ) � 1 (1 3

4 5) 16 1061.e (1) � ( ) � (3) �

(4) � (5) � 3.4961.f (1 3 4 5 6 8 9

10) � 0 35

1.g (1 3 4) (1 3 4) 0 50

1.h (1 3 4 5 ) 5 60

.a1ii

=∑ .b

5

1i

i2

=∑ .c

6

3i

ix

=∑

.d ( )6

3i i

i=

⎡ ⎤−∑⎢ ⎥⎣ ⎦

3.a (4 5 1) � 8 43.b 3(5 1 3 10) � 4(1) 5 � 4 533.c 16 4 5 1 9 554.a (4 5 1 3) 30 900 5.a 1 3 4 5 1 05.e 5 5 5 53 1 5

Cap tulo Ejercicios propuestos

1.a Falso 1.d Cierto1.b Cierto 1.e Falso1.c Falso 1.f Falso1.g Falso (no debe ser mayor a 1)1.h Cierto (entre y4 y y6 sí hay un 40 que resulta al restar H6 � H4)1.i N4 n5 N5 30 6 36

55

36 0, 0,3650

NHn

= = = ≠

1.f Falso: H3 H4 1,9 (h1 h h3) (h1 h h3 h4) 1,9 (0, 0,4 h3)


(0, 0,4 h3 0, ) 1,9

H h1 h 0,6 0, hh4 0,4Como m 6 se tendrh1 h h3 h4 h5 h6 10, 0,4 0, 5 0, h5 h6 11,05 h5 h6 1 (no puede ser)

1.k Falso, la frecuencia relativa no puede ser negativa

1.l Puede ser cierto1

130 0,650

n hn

= = =

1.m Falso m 1 3,3 log n.1 (d). (b)

3. yi ni ni Ni Hi

1 0,04 0,040,04 4 0,08

3 6 0,1 10 0, 04 1 0,0 11 0,5 4 0,08 15 0,306 5 0,10 0 0,40

0,04 0,449 9 0,18 31 0,610 8 0,16 39 0, 815 0,04 41 0,816 1 0,0 4 0,840 1 0,0 43 0,86

3 0,06 46 0,95 4 0,08 50 1,00

� 50 1,00 - -

x 1 15 y4 4 n3 6h5 0,08 N4 11 H6 0,40m 14

4. xm x 89 xm x��xmin Rangoxmin 63 89 � 63 6

n 50 m 1 3,3 log n m 1 3,3 log 50 6,6 m

6 3, 4angoCm

= = = =

El rango se incrementa en ( ) dos unidades, por tal motivo, le restamos uno (1) al límite inferior y le sumamos uno (1) al límite su-perior.

xi-1�xi ni hi Ni Hi

6 ,1�66 3 0,0 5 3 0,0 566,1� 0 6 0,150 9 0, 50,1� 4 9 0, 5 18 0,4504,1� 8 9 0, 5 0,6 58,1�8 0,050 9 0, 5

8 ,1�86 5 0,1 5 34 0,85086,1�90 6 0,150 40 1,000

� 40 1,000

5. a)Total de hogares de clase media en el barrio El Futuro de la ciudad Caracas

b)150 hogares de clase media del barrio El Futuro de la ciudad Caracas

c)Característica cualitativad)Clase de aceite o materia usada en la

cocinae)f) Aceite Hogares

Maí 14 Soya 65 Ajonjolí 1 Al detal 1 Cerdo 1 Vegetales 6 liva 13

g)Algunos usan m s de una marca

, ,

RESPUESTAS 369

6. yi ni hi

10 6 0,10 10 0, 0

30 18 0,3640 10 0, 050 6 0,1� 50 1,00

9. a.( ) b.(8) c.(1 ) d.(14)Cuestionario de evaluación1(c) (e) 3(d) 4(c) 5(b)6(b) (d) 8(b) 9(b) 10(d)


�&� � �� -��?� �� &�En su opinión ¿cu l le parece mejor?

�&� �� &��

�&� '��_�� a) Cierto b) Cierto c) Ciertod) Falso e) Falso f) Falsog) CiertoCuestionario de evaluación:1(b) (d) 3(d) 4(a) 5(e) 6(c)


4. a) Media x 93.600 Mediana Me 8 6.500 Moda Md No hayb) El valor central dado por la mediana,

por no estar afectado por valores ex-tremos

5. 80 00 58 000 40 60100

. .=

−( ) + ( )x x

2 830.400x = 1 .400x =

6. ( ) ( )35 9 8.000 15 1.193.160 1.04 .54850

x += =

. yi hi yihi

0,10 0, 08 0,65 5, 09 0, 5 , 5� 1,00 8,15

y 8 empleadas por sucursal8. El promedio es x 0.610 diarios

Con el 10 el promedio ser x .6 1Con el aumento de 000 el promedio es x .610.Para los que ganan 0.000, les da lo mismo .000 que el 10 .Para los salarios inferiores a 0.000 les conviene un aumento de .000.Para los salarios superiores a 0.000 les conviene un aumento del 10 .

9. 9.1 Falso 9. Falso 9.3 Cierto9.4 Cierto

10. a) x 10.5 5 b) Me 8. 5c) Md 5.000d) Mediana valor centrale) 35.000

11. 11.1 (b) 11. (c) 11.3 (d)1 . a) Asimetría negativa b) Asimetría positiva c) Simétrica d) Ligeramente asimétrica negativa

13. [ ] [ ]1, 5 . 00i iyM M +=

[ ] [ ] [ ]. 001, 5i iyM M M= +

[ ] 1, 5 00iyM x= +

[ ] ( )1, 5 665.000 00 833.450iyM = + =


14. yi ni Ni i ini

y1 4 4 -1 -450 16 0 0 0y3 5 45 1 5y4 5 50 10� 50 - - 31

i it

ny O Cn

⎡ ⎤∑= + ⎢ ⎥⎣ ⎦

316 ,4 5050

C= +

C 0yi ni yihi

30 4 1 050 16 8000 5 1. 50

90 5 450� 50 3.1 0

Por los dem s métodos, la media aritmética debe dar 6 ,4

La moda 03.1 0 6 ,4

50y = =

15. x 3 .38 millones

16.

yi ni Ni yi ni i ini

4 0 0 840 -4 -8046,5 5 45 1.16 ,5 -3 - 551 30 5 1.530,0 - -6055,5 30 105 1.665,0 -1 -3060 5 130 1.500,0 0 064,5 0 150 1. 90,0 1 0� 150 - .98 ,5 - - 5

n1 n n3 n4 n5 n6 150n1 (n1 5) 30 30 (n1 5) n1 1504n1 0 1504n1 80n1 0

553, 5 60150

C −⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠ C 4,5 y 53, 5

1 51 55,5 53, 5j je

y yM − + += = =

Es bimodal Md 51 y Md 55,5

1 .yj-1 - yj nj Nj yj yjnj

84 .000,1 - 89 .000 1 0 1 0 86 .000 104.040.00089 .000,1 - 94 .000 0 140 91 .000 18.340.00094 .000,1 - 99 .000 14 96 .000 6. 69.00099 .000,1 -1.04 .000 8 155 1.00 .000 8.016.0001.04 .000 -1.09 .000 5 160 1.06 .000 5.335.0001.09 .000 -1.14 .000 16 1.11 .000 . 34.000

� 16 - - 144. 34.000

a) 144. 34.000 893.419, 516

y = =

b) Me 86 .000 Md 86 .000

18. a) x � �3 311

408 8. ,

8 83 8 ,5eM += =

88dM =b) ni Ni yi yi ni

49,1 - 58 53,5 10 ,058,1 - 6 5 6 ,5 43 ,56 ,1 - 6 14 1,5 500,56,1 - 85 9 3 80,5 4,5

85,1 - 94 6 9 89,5 53 ,094,1 -103 8 3 98,5 88,0

103,1 -11 3 40 10 ,5 3 ,5� 40 - - 3.41 ,0

, ,1i iy y− −

RESPUESTAS 371

c) 3.41 85,4340

y = =

0 146 9 89eM −⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦

M d = ++

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=6 9 66

80 15,

d)

80,5d jM y= =

80,5d jM y= =

Cuestionario de evaluación:1 (c) (d) 3 (b) 4 (c) 5 (e)6 (b) (d) 8 (e) 9 (c) 10 (d)11 (b) 1 (b) 13 (d) 14(b) 15 (a)16 (c) 1 (c) 18 (c)


. a) Md 3( 9,5) � (80,3) ,9

3. Media armónica

5. 1 x1 6 x3 1 316 6x x= ⋅ ⋅

15 x1 x3 1 3166

x x= ⋅

1 336 x x= xx1

3

36�

33

3615 xx

= + 3 315 36x x= +

3 315 36 0x x− + = x1 3 x 6 x3 1

a) 11 5,14

1 3 1 6 1 1M − = =

+ +

b) C =+

=3 1 5,

c) 3 6 1 ,933

M + += =

. 1 3,1 1 8

M − = =+

9. M − =+ + +1

80000 50 00 55 00 0 00 5

ML1 55 0� ,

10. 1 4 ,961 40 1 60

M − = =+


1. a) 3.000 6 3. 8450

s falso= − = −

b) Falso c) Falso

d) ( )0, 10 0,4 4 Falso= ≠

. a) e dx M M= =

b) e dx M M> >

c) e dx M M< <

85,43y �


3.5 1, 5 1 54

scv óx

= = = la media no representa a la distribución4. (d)5. (d) Falso (e) Falso

. x � 35 4, y � 5 5.

sx �19 33, .390ys =

19,33 0,546 54,635,4A Acv cv cv= = = >

cv � � �3905 5

0 0866 8 66..

, ,

8. a) Variabilidad absoluta

s sA 800 5 400> > . .

b) Variabilidad relativa

cvA � � �88 3800

0 1104 11 04, , ,

3,48 0,1131 11,31650

cv = = =

Acv cv>

9. b) 144 1AS = = S SA % SB ��^#��

10. 1 46x = 8,6x =

s1 8 4� , s 8 4� ,

13. a) S SA ' 6.000 8.000<

b) C A � � �6 000

963 0000 0 89 89.

., ,

88.000 0,0905 9,059 .000

C = = =

AC C<

c) 968.000 963.000 0,06.000A

−= =

A > mejor en A que en B968.000 9 .000 0,05

88.000−= = −

14. a)yi ni yi ni yi ni yi-y (yi-y) ni

10 30 300 3.000 -33,4 33.466,8030 5 50 .500 -13,4 4.489,0050 15 50 3 .500 6,6 653,40

0 13 910 63. 00 6,6 9.198, 890 1 1.080 9 . 00 46,6 6.058,

110 5 550 60.500 66,6 .1 ,80� 100 4.340 84.400 - 96.044,00

43,4y =

c)84.400 43,4 960,44100

s = − =

s 96 044100

960 44� �. ,

Cuestionario e evaluación 1 (c) (d) 3 (c) 4 (e) 5 (c) 6 (b) (c) 8(a) 9(b) 10 (a)11 (e) 1 (b) 13(a) 14(a) 15 (d)

Cap tulo Ejercicios propuestos. Por tener la misma covarian a.

3. Que la recta es descendente, por ser la pendiente negativa.

RESPUESTAS 373

4. a) falso b) cierto c) falso d) falso e) falso

5. a) falso b) falso c) falso d) falso e) falso

6.1 91 1 0,64 0,8

5yx

y

sr

s= − = − = =

. rms s

xy

x y�

( )( )0,6 10 8 48=

a) 4864 40,96100

xyyx y

x

ms s

s= − = − =

b) ( )50yx yxb c= +

48 0,48100yxb = =

( )3 0,48 16 4,68yxc = − = −

=0,48(50)-4,68=19,32

8. a) Cierto R 0,81

b) ( )64 10 6 4yxc Falso= − = − ≠

��|��?�� mismo signo

d) 60 1,50yxb = = cierto

9. a) ( )( )

0 1,333 5

xy

x y

mr

s s= = =

es falso, no puede ser mayor a 1.

10. a) yx xyb b=0,8836 , 10,40xy

yxb

b= = =

( )0,40 18 ,yx x xyb s m= = =

, 3, 6, 1ys = =

( )0,8836 3, 6 ,88yx ys S= = =

,881 1 1 0,8834 0,11663, 6

− = − = − =

11,66

b) [ ] ( )18 3, 6 , 35,66x y+ = + + =

11. a) 36 94yxb = = ( )1 9 8 51yxc = − = −

=9 (20) - 51=129

b) ( )( )

36 9r = = no puede ser r 1

1 . a) (1) 480,9 bxy (6 ,3) 3cxy (-6 ,3)( ) 1.445, 1 bxy ( 0 , 1) 6 ,3cxy ( 3)

( )( )

33. 39,83 4.66 ,33 1,54 ,91 3 .364,5 4.5 9, 9 1,54 ,9

8 5, 6 133,04

xy xy

xy xy

xy

b cb c

b

= +

− =− − −

=

8 5, 6 6,58133,04xyb = =

( )( )x y xyr s s m=


( )480,9 6 ,3 6,58 1,663xyc −

= =

( )6,58 0 1,66 133, 6= + =

b) ( )( )1,65 0,4

,01 0,5xy

x y

mr

s s= = =

1.445, 1 480,9 6 ,33 3 3xym ⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1,65xym =

( )11.18 ,59 3 0,913xs −

= =

,01xs =

( )0 , 1 3 ,93 0,53ys −

= =

13. ( )( )316 4,53 ,03 1,3430xym = − =

sx 4 05� , 1,11ys =

byx � �1 344 05

0 33,,

,

1,34 1, 11,11xyb = =

cyx = − ( ) =03 0 33 4 53 0 54, , , ,

( )4,53 1, 1 ,03 ,0xyC = − =

, , ,= ( ) + =0 33 30 0 54 10 44�

, , ,= ( ) + =1 21 20 2 07 36 71�

( )( )1,34 0,6

,01 1,11r = =

14. ( )0, 0 4xy yx xm b S= = =

( ) ( )( )4 0,99

0,81 0xy

yx

mS

r S= = =

[ ] ( )0 0,99 4 8,99x y+ = + + =

15. El (a), (b) y (c) se le deja al alumno. Solamente se le ayudar a determinar las ecuaciones y la estimación.

( )( )1.16 11,1 5 11, 5 0,8xym = − =

13,69ys =

sy = 3 69,0, 0,64

3 ,61yxb = =

0, 1,5113,69xyb = =

( )11, 5 0,64 11,1 5 4,13yxC = − =

( )11,1 5 1,51 11, 5 5,86xyC = − = −

1,51 5,86y= −11, 5y =11,1 5x =

( )0,64 40 4,13 9, 3= + =

Cuestionario de evaluación: 1 (a) (d) 3 (b) 4 (a) 5 (c) 6 (d) (c) 8 (d) 9 (e) 10 (c)11 (a) 1 (d) 13 (e) 14 (d) 15 (e)16 (c) 1 (c) 18 (d) 19 (d) 0 (a)

RESPUESTAS 375

Cap tulo 10Ejercicios propuestos

1. a) Falso b) Cierto c) Cierto d) Cierto

Años yi x xy x008 5 - -10 4009 ? -1 -y 1010 10 9,8 0 0 0011 ? 1 y4 101 14 14, 8 4

� 49 10

a) 14, 9,8 ,b −= =

9,8c =

, 9,8x= +

( ), 1 9,8 36,= + =

010 ser año de origen, por lo tanto,x 1 para el 018

b) xybx

∑=∑

( ) ( ), 10b x xy= = =∑ ∑

ycn

∑= ( )5 9,8 49nc y= = =∑

449 9 0 y y− = = +

418 4 y y− = = − +

4

4

4

4

044

1

y yy y

yy

+ =− + =

==

0 1 8 y− = =

4.Años y x x xy y

00 8 0 0 0 64005 16 3 9 48 56009 14 4 16 56 196010 0 49 140 400011 9 81 198 48401 6 10 100 60 6 6

� 106 33 55 0 .0 6

( ) ( )( )1 106 33 6 5,5

0 55 33b cb c

= + −

= +

0 55 33583 181,5 33119 3,5

b cb cb

= +− = − −

=

119 1,63,5

b = =

( )0 55 1,6 33c= +8, 5C =

( )9 1,6 0 8, 5 8, 5= + =

, , ,05 1 62 3 8 75 13 61= ( ) + =�

, , ,06 1 62 4 8 75 15 23= ( ) + =�

, , ,09 1 62 7 8 75 20 09= ( ) + =�

( )06 1,6 9 8, 5 3,33= + =

( )0 1,6 10 8, 5 4,95= + =

Ahora estime usted los años que pide el ejercicio

0

11

1

�

�


Cap tulo 11Ejercicios propuestos

1. Problemas propuestos: a) Cierto d) Cierto b) Cierto e) Falso c) Cierto f) Falso g) 3051 100 15,3

3,51devaluación ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠15,3 0 Falso≠

h) Falso i) Falso

. 0 0t t t

oF L P= 1 5 115 toP=

1 5 135,8115

toP= =

( )130 1,358 1 6,63t to oIt

o L P= × = =

3. a) Primer método1210

27.673 100 116,1723.821

I = × =

b) 116,9 113,46 119,35 1 6,03+ + + +

116,0 8,66 143,9 119,3 999

+ + + +

1.03 ,69 114, 49

= =

4.a) 00 100 b) 00 80 003 116,6 003 93,33 004 150 004 1 0 005 150 005 1 0 006 158,33 006 1 6,66 00 1 5 00 100 008 100 008 80 009 133,33 009 106,66 010 166,66 010 133,33 011 00 011 160 01 91,6 01 33,33

b) 00 100 003 116,66 004 1 8,5 005 1 8,5 006 105,55 00 8,95 008 80 009 133,33 010 1 5 011 1 0 01 145,83

5. 100 100 6,1438 ,5

IPA = × =

Se ha perdido el poder de compra en un 3,86 , de 009 a 01 . En otras palabras,

un peso de 009 hoy en día equivale a 6 centavos.

6.to

to

toI

LP

=

. 006 ,86 00 3, 0 008 3, 9 009 3,14 010 3,00 011 3,14 01 3,43

8.12

912.000 100 162.857,14560

S× = =

11

162.857,14 100 139.194,14117,0

S× = =

06.000 100 554,6

139.194,14IPC× = =

9. ( )1 .000.000 1.1 0,3 1 4.018.450108,4

= =

RESPUESTAS 377

11.Años IPC (a) (b) (c) (d) (e) (f)

199 100006 100 18,0 56. 50 100 100 56. 50 10000 105, 19,5 54, 10 108,33 96 51.315 91,008 108,6 1, 5 .500 11 , 10 , 53.000 94,009 114,3 33, 54. 85 184,44 96,51 4 .4 8 84,31010 118,6 43,0 51.000 38,88 90,6 43.000 6,44011 1 0,0 48,3 55. 38 68,33 98, 0 46.000 81,01 1 1,4 49,4 54.455 4,44 96,9 44.909 9,83

1 .Años 00 100 IQ 0 ICPM0

00 100,0 100,0 100,0008 110,0 133,3 146,63009 88,0 100,0 88,0010 105,6 111,1 11 ,3011 1 1,4 1 , 148,3501 140,8 88,8 1 5,03

��&� � ��

14. Porque la base deja de ser representativa.

16.Años A B

1 100,0 4,198,0 ,6

3 110,0 81,54 135,0 1005 145,8 108,06 1 9,6 96,0

1 .Años I

1 100,0108,0

3 101,54 118,5 1 3,5

Cuestionario e evaluación 1 (b) (b) 3 (d) 4 (e) 5 (c) 6 (c) (b) 8 (c) 9 (b) 10 (b)11 (a) 1 (b) 13 (c) 14(c) 15 (e)16 (b) 1 (a)

ApéndiceApéndiceApéndiceApéndiceApéndice

TTTTTABLA I Números al azarABLA I Números al azarABLA I Números al azarABLA I Números al azarABLA I Números al azar

��

��

��

��

��

��

��

��

(Continúa)


Números al azarNúmeros al azarNúmeros al azarNúmeros al azarNúmeros al azar (continuación)

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

ESTADÍSTICA BÁSICA APLICADA 381

Números al azarNúmeros al azarNúmeros al azarNúmeros al azarNúmeros al azar (continuación)

��

��

��

��

��

��

��

��


TTTTTabababababla II de una distrla II de una distrla II de una distrla II de una distrla II de una distribibibibibución norución norución norución norución normal ordinarmal ordinarmal ordinarmal ordinarmal ordinariaiaiaiaia

Cada cantidad de la tabla es la proporción bajo la cur-va que se encuentra entre Z = 0 y un valor positivo deZ. Las áreas para valores negativos de Z se obtiene porSimetría.

Z� 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0488 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3740 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4317 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4806 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

O Z

0


TTTTTabababababla III distrla III distrla III distrla III distrla III distribibibibibuciónuciónuciónuciónución t t t t t de studentde studentde studentde studentde student

La primera columna señala el número de grados de li-bertad (v). El encabezado de las otras columnas de lasprobabilidades (P) de que t exceda numéricamente alvalor de la tabla.

�

�0,50 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005

1 1,00000 2,4142 6,3138 12,706 25,452 63,657 127,32 2 0,81650 1,6036 2,9200 4,3027 6,2053 9,9248 14,089 3 0,76489 1,4226 2,3534 3,1825 4,1765 5,8409 7,4533 4 0,74070 1,3444 2,1318 2,7764 3,4954 4,6041 5,5976

5 0,72669 1,3009 2,0150 2,5706 3,1634 4,0321 4,7733 6 0,71756 1,2733 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 4,3168 7 0,71114 1,2543 1,8946 2,3646 2,8412 3,4995 4,0293 8 0,70639 1,2403 1,8595 2,3060 2,7515 3,3554 3,8325 9 0,70272 1,2297 1,8331 2,2622 2,6850 3,2498 3,6897

10 0,69981 1,2213 1,8125 2,2281 2,6338 3,1693 3,5814 11 0,69745 1,2145 1,7959 2,2010 2,5931 3,1058 3,4966 12 0,69548 1,2089 1,7823 2,1788 2,5600 3,0545 3,4284 13 0,69384 1,2041 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 3,3725 14 0,69242 1,2001 1,7613 2,1448 2,5096 3,9768 3,3257

15 0,69120 1,1967 1,7530 2,1315 2,4899 2,9467 3,2860 16 0,69013 1,1937 1,7459 2,1199 2,4729 2,9208 3,2520 17 0,68919 1,1910 1,7396 2,1098 2,4581 2,8982 3,2225 18 0,68837 1,1887 1,7341 2,1009 2,4450 2,8784 3,1966 19 0,68763 1,1886 1,7291 2,0930 2,4334 2,8609 3,1737

20 0,68696 1,1848 1,7247 2,0860 2,4231 2,8453 3,1534 21 0,68635 1,1831 1,7207 2,0796 2,4138 2,8314 3,1352 22 0,68580 1,1816 1,7171 2,0739 2,4055 2,8188 3,1188 23 0,68531 1,1802 1,7139 2,0687 2,3979 2,8073 3,1040 24 0,68485 1,1789 1,7109 2,0639 2,3910 2,7969 3,0905

25 0,68443 1,1777 1,7081 2,0595 2,3846 2,7874 3,0782 26 0,68405 1,1766 1,7056 2,0555 2,3788 2,7787 3,0669 27 0,68370 1,1757 1,7033 2,0518 2,3734 2,7707 3,0565 28 0,68335 1,1748 1,7011 2,0484 2,3685 2,7633 3,0469 29 0,68304 1,1739 1,6991 2,0452 2,3638 2,7564 3,0380

30 0,68276 1,1731 1,6973 2,0423 2,3596 2,7500 3,0298 40 0,68066 1,1673 1,6839 2,0211 2,3289 2,7045 3,9712 60 0,67862 1,1616 1,6707 2,0003 2,2991 2,6603 2,9146

120 0,67656 1,1559 1,6577 1,9799 2,2699 2,6174 2,8599 � 0,67449 1,1503 1,6449 1,9600 2,2414 2,5758 2,8070

�� 0 �

�P

Tabla III distribución “t ” de Student


Exponencial Logaritmos Neperianos ln x xx eye �

Logaritmos Decimales ln x �� ln � lg � �� ln � lg �

0,1 1,105 2 0,904 8 1 0,000 0 0,000 0 51 3,931 8 1,707 6 0,2 1,221 4 0,818 7 2 0,693 1 0,301 0 52 3,951 2 1,716 0 0,3 1,349 9 0,740 8 3 1,098 6 0,477 1 53 3,970 3 1,724 3 0,4 1,491 8 0,670 3 4 1,386 3 0,602 1 54 3,989 0 1,732 4 0,5 1,648 7 0,606 5 5 1,609 0 0,699 0 55 4,007 3 1,740 4 0,6 1,822 1 0,548 8 6 1,791 8 0,778 2 56 4,025 4 1,748 2 0,7 2,013 8 0,496 6 7 1,945 9 0,845 1 57 4,043 1 1,755 9 0,8 2,225 5 0,449 3 8 2,079 4 0,903 1 58 4,060 4 1,763 4 0,9 2,459 6 0,406 6 9 2,197 2 0,954 2 59 4,077 5 1,770 9

1,0 2,718 3 0,367 9 10 2,302 6 1,000 0 60 4,094 3 1,778 2 1,1 3,004 2 0,332 9 11 2,397 9 1,041 4 61 4,110 9 1,785 3 1,2 3,320 1 0,301 2 12 2,484 9 1,079 2 62 4,127 1 1,792 4 1,3 3,669 3 0,272 5 13 2,564 9 1,113 9 63 4,143 1 1,799 3 1,4 4,055 2 0,246 6 14 2,639 1 1,146 1 64 4,158 9 1,806 2 1,5 4,481 7 0,223 1 15 2,708 1 1,176 1 65 4,174 4 1,812 9 1,6 4,953 0 0,201 9 16 2,772 6 1,204 1 66 4,189 7 1,819 5 1,7 5,473 9 0,182 7 17 2,833 2 1,230 4 67 4,204 7 1,826 1 1,8 6,049 6 0,165 3 18 2,890 4 1,255 3 68 4,219 5 1,832 5 1,9 6,685 9 0,149 6 19 2,944 4 1,278 8 69 4,234 1 1,838 8

2,0 7,389 1 0,155 3 20 2,995 7 1,301 0 70 4,248 5 1,845 1 2,1 8,166 2 0,122 5 21 3,044 5 1,322 2 71 4,262 7 1,851 3 2,2 9,025 0 0,110 8 22 3,091 0 1,342 4 72 4,276 7 1,857 3 2,3 9,974 2 0,100 3 23 3,135 5 1,361 7 73 4,290 5 1,863 3 2,4 11,023 2 0,090 7 24 3,178 1 1,380 2 74 4,304 1 1,869 2 2,5 12,182 5 0,082 1 25 3,218 8 1,397 9 75 4,317 5 1,875 1 2,6 13,463 0,074 3 26 3,258 1 1,415 0 76 4,330 7 1,880 8 2,7 14,880 0,067 2 27 3,295 8 1,431 4 77 4,343 8 1,886 5 2,8 16,445 0,060 8 28 3,335 2 1,447 2 78 4,356 7 1,892 1 2,9 18,174 0,055 0 29 3,367 3 1,462 9 79 4,369 4 1,897 6

3,0 20,086 0,049 8 30 3,401 2 1,477 1 80 4,382 0 1,903 1 3,1 22,198 0,045 0 31 3,434 0 1,491 4 81 4,394 4 1,908 5 3,2 24,533 0,040 8 32 3,465 7 1,505 1 82 4,406 7 1,913 8 3,3 27,113 0,036 9 33 3,496 5 1,518 5 83 4,418 8 1,919 1 3,4 29,964 0,033 4 34 3,526 4 1,531 5 84 4,430 8 1,924 3 3,5 33,115 0,030 2 35 3,555 3 1,544 1 85 4,442 7 1,929 4 3,6 36,598 0,027 3 36 3,583 5 1,556 3 86 4,454 3 1,934 5 3,7 40,447 0,024 7 37 3,610 9 1,568 2 87 4,465 9 1,939 5 3,8 44,701 0,022 4 38 3,637 6 1,579 8 88 4,477 3 1,944 5 3,9 49,402 0,020 2 39 3,663 6 1,591 1 89 4,488 6 1,949 4

4,0 54,598 0,018 3 40 3,688 9 1,602 1 90 4,499 8 1,954 2 4,1 60,340 0,016 6 41 3,713 6 1,612 8 91 4,510 9 1,959 0 4,2 66,686 0,015 0 42 3,737 7 1,623 2 92 4,521 8 1,963 8 4,3 73,700 0,013 6 43 3,761 2 1,633 5 93 4,532 6 1,968 5 4,4 81,451 0,012 3 44 3,784 2 1,643 5 94 4,543 3 1,973 1 4,5 90,017 0,011 1 45 3,806 7 1,653 2 95 4,553 9 1,977 7 4,6 99,484 0,010 1 46 3,828 6 1,662 8 96 4,564 8 1,982 3 4,7 109,95 0,009 1 47 3,850 1 1,672 1 97 4,574 7 1,986 8 4,8 121,51 0,008 2 48 3,871 2 1,681 2 98 4,585 0 1,991 2 4,9 134,29 0,007 4 49 3,891 8 1,690 2 99 4,595 1 1,995 6

5 148,41 0,006 7 50 3,912 0 1,699 0 100 4,605 2 2,000 0 6 403,43 0,002 5 7 1 096,63 0,000 9 8 2 981,0 0,000 3 9 8 108,1 0,000 1 10 22 026 0,000 05

59302,210ln143429,0lg ��M

eM

TTTTTabababababla IV ela IV ela IV ela IV ela IV exponencial y logarxponencial y logarxponencial y logarxponencial y logarxponencial y logaritmositmositmositmositmos

22 026


TTTTTabababababla la la la la V distrV distrV distrV distrV distribibibibibución de ución de ución de ución de ución de JiJiJiJiJi cuadr cuadr cuadr cuadr cuadradoadoadoadoado

A significa el área del extremo derecho para los valores c2 que aparecen en la tabla. u significa el número de gradosde libertad.

�� A = 0,99 A = 0,98 A = 0,95 A = 0,90 A = 0,80 A = 0,70 A = 0,50

1 0,00016 0,00063 0,0039 0,016 0,064 0,15 0,46 2 0,02 0,04 0,10 0,21 0,45 0,71 1,39 3 0,12 0,18 0,35 0,58 1,00 1,42 2,37 4 0,30 0,43 0,71 1,06 1,65 2,20 3,36 5 0,55 0,75 1,14 1,61 2,34 3,00 4,35

6 0,67 1,13 1,64 2,20 3,07 3,83 5,35 7 1,24 1,56 2,17 2,83 3,82 4,57 6,35 8 1,65 2,03 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34 9 2,09 2,53 3,32 4,17 5,38 6,39 8,34 10 2,56 3,06 3,94 4,86 6,18 7,27 9,34

11 3,05 3,61 4,53 5,58 6,99 8,15 10,34 12 3,57 4,18 5,23 6,30 7,81 9,03 11,34 13 4,11 4,76 5,89 7,04 8,63 9,93 12,34 14 4,66 5,37 6,57 7,79 9,47 10,82 13,34 15 5,23 5,98 7,26 6,55 10,31 11,72 14,34

16 5,81 6,61 7,96 9,31 11,15 12,62 15,34 17 6,41 7,26 8,67 10,08 12,00 13,53 16,34 18 7,02 7,91 9,39 10,86 12,86 14,44 17,34 19 7,63 8,57 10,12 11,65 13,72 15,35 18,34 20 8,26 9,24 10,85 12,44 14,58 16,27 19,34

21 8,90 9,92 11,59 13,24 15,44 17,18 20,34 22 9,54 10,60 12,34 14,04 16,31 18,10 21,34 23 10,20 11,29 13,09 14,85 17,19 19,02 22,34 24 10,86 11,99 13,85 15,66 18,06 19,94 23,34 25 11,52 12,70 14,61 16,47 18,94 20,87 24,34

26 12,20 13,41 15,38 17,29 19,82 21,78 25,34 27 12,88 14,12 16,15 18,11 20,70 22,72 26,34 28 13,56 14,85 16,93 18,94 21,59 23,65 27,34 29 14,26 15,57 17,71 19,77 22,48 24,58 28,34 30 14,95 16,31 18,49 20,60 23,36 25,51 29,34

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�� A = 0,99 A = 0,98 A = 0,95 A = 0,90 A = 0,80 A = 0,70 A = 0,50

1 1,07 1,64 2,71 3,84 5,41 6,64 10,83 2 2,41 3,22 4,60 5,99 7,82 9,21 13,82 3 3,66 4,64 6,25 7,82 9,84 11,34 16,27 4 4,88 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 18,46 5 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 20,52

6 7,23 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 22,46 7 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 24,32 8 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,09 26,12 9 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21,67 27,88 10 11,78 13,44 15,99 18,31 21,16 23,21 29,59

11 12,90 14,63 17,28 19,68 22,62 24,72 31,26 12 14,01 15,81 18,55 21,03 24,05 26,22 32,91 13 15,12 16,98 19,81 22,36 25,47 27,69 34,53 14 16,22 18,15 21,06 23,68 26,87 29,14 36,12 15 17,32 19,31 22,31 25,00 28,26 30,58 37,70

16 28,42 20,46 23,54 26,30 29,63 32,00 39,25 17 19,51 21,62 24,77 27,59 31,00 33,41 40,79 18 20,60 22,76 25,98 28,87 32,35 34,80 42,31 19 21,69 23,90 27,20 30,14 33,69 36,19 43,82 20 22,78 25,04 28,41 31,41 35,02 37,57 45,32

21 23,86 26,17 29,62 32,67 36,34 38,93 46,80 22 24,94 27,30 30,81 33,92 37,66 39,29 48,27 23 26,02 28,48 32,01 35,17 38,97 41,64 49,73 24 27,10 29,55 33,20 36,42 40,27 42,98 51,18 25 28,17 30,68 34,38 37,65 41,57 44,31 52,62

26 29,25 31,80 35,56 38,88 42,86 45,64 54,05 27 30,32 32,91 36,74 40,11 44,14 46,96 55,48 28 31,39 34,03 37,92 41,34 45,42 48,28 56,89 29 32,46 35,14 39,09 42,56 46,69 49,59 58,20 30 33,53 36,25 40,26 43,77 47,96 50,69 59,70

(Continuación)

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�� Barbancho, Alfonso G. Estadística elemental moderna 1973

�� Barbancho, Alfonso G. Ejercicios de estadística descriptiva para economistas1973

�� Berenson y Levine Estadística básica en administración,1992

�� Chevry, Gabriel R. Práctica de las encuestas estadísticas 1967

�� Chou, Ya Lun. Análisis estadísticos, 1969

�� Donzallaz, Paul La estadística comercial, 1964

�� Goode, William J. y Hatt, Paul K Métodos de investigación social, 1967

�� Grassau S., Erika Elementos de estadística, 1969

�� Kendall, Maurice G. y Bucklan William R. Diccionario de términos estadísticos1959

�� Kish, Leslie. Muestreo de encuestas 1975

�� Martínez B. Ciro. Estadística y muestreo1998

�� Mason y Lind. Estadística para administración, 1992

�� Mendenhall. Estadística para las ciencias sociales 1987

�� Mendenhall. Introducción a la probabilidad y la estadística, 1982

�� Núñez del Prado B. Arturo. �� 1976

�� Proaño, Humberto Estadística Aplicada a la mercadotecnia, 1975

�� Servin, Luis. Introducción al muestreo, 1978

�� Yamane, Taro. Estadística, 1976

�� Yamane, Taro. Problemas de estadística aplicada 1976

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Otros títulos de interés:

∙ Estadística y muestreo, Ciro Martínez Bencardino

∙ Fundamentos de estadística. Para la investigación en educación, Mireya Ardila Rodríguez

∙ Álgebra lineal y programación lineal Francisco Soler, Fabio Molina y Lucio Rojas.

∙ Didáctica de las matemáticas Robinson Castro Puche y Rubby Castro Puche.

∙ Fundamentos de matemática Francisco Soler Fajardo y Reinaldo Nuñez.

∙ Matemáticas financieras aplicadas Jhonny de Jesús Meza Orozco

∙ Matemáticas financieras empresariales Jhonny de Jesús Meza Orozco

∙ Matemáticas para informática Ismael Gutiérrez García.

Estadísticabásica aplicada

FOTOC

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La estadística es una disciplina aplicada en todos los campos de la actividad humana, de ahí que se tenga como asignatura indispensable en casi todos los programas, desde niveles medio vocacional hasta posgrado.

En los primeros once capítulos se presentan temas de estadística descriptiva: preparación de una investigación; elaboración de cuadros y gráficas; promedios (media aritmética, mediana, moda, media cuadrática, geométrica y armónica); medidas de dispersión (varianza, desviación típica, coeficiente de variación, puntaje típico); regresión y correlación; series cronológicas; números índices e indicadores económicos. Los capítulos 12 y 13 contienen una síntesis de inferencia estadística, con temas de gran importancia (probabilidad, distribución normal, distribución de medidas muestrales y límites de confianza, prueba de hipótesis, distribución “t” de student y por último, la distribución Ji- cuadrado) y la aplicación de algunas técnicas de muestreo, todo ello en un lenguaje sencillo y claro, con ejemplos de fácil comprensión y ejercicios para resolver.

En esta cuarta edición se revisó y corrigió todo el contenido, incluye un gran número de ejercicios; se presentan algunas formas del uso de la calculadora, dependiendo del modelo y finalmente, encontrará algunas aplicaciones de Excel para una mayor agilización de los procesos de cálculo y presentación de los datos. Al final, aparece el solucionario a los ejercicios propuestos y un apéndice que contiene aquellas tablas estadísticas más usuales, que el lector deberá aprender a manejar para desarrollar los ejercicios propuestos y los que se le presenten en la vida práctica.

Coleccción: Ciencias ExactasÁrea: Estadística.

estadistica basica aplicada de ciro martinez

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