Estadistica0834402

Probabilidad

Medida de la confianza en que ocurra un evento

Inferencia de aquello que no se esta seguro de que suceda

Tabla 2.2: posibles resultados al lanzar 2 dados

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

S Espacio muestral

A, B, C … eventos o subconjuntos de S

a, b, c … elementos del conjunto

Notación:

Eventos

S

AB

Diagrama de Venn

S

B

Diagrama de Venn

A

A es un subconjunto de B

S

Diagrama de Venn

S

Diagrama de Venn

Teoremas de Probabilidad

Conjunto Vacio = P(Ø) = 0

P(A) + P(Ac )= 1

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

0≤P(E) ≤1

Ejemplo 1:

si se lanza una moneda una sola vez ¿cuál es la probabilidad de que caiga cara?

E = {obtener cara}

P(E)= 1 / 2

Ejemplo 2:

si se lanza una dado ¿cuál es la probabilidad de que la cara superior sea 1 o 3?

D = {1,3}

P(D)= 2/6

Ejemplo 3:

si se lanzan dos dados ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dos de igual a 5?

Tabla 2: Suma igual a 5 al lanzar 2 dados

P(C) = 4 /36

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Ejemplo 4:

si se lanza dos dados ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dos sea menor o igual a 6?

E={suma sea 1, 2, 3, 4, 5 o 6}

P(E)= 15/36

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Tabla 3: Suma menor o igual a 6 al lanzar 2 dados

Ejemplo 5:

si se lanza una moneda 3 veces ¿cuál es la probabilidad de que caiga cara las 3 veces?

Ci = {obtener cara en el i-esimo lanzamiento}

P(C1∩C2∩C3) = P(C1 ).P(C2). P(C3) = 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8

Para dos eventos cualesquiera A y B de un espacio muestral S, tales que P(A) > 0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define por

P(B/A) = P(A∩B) / P(A)

Probabilidad Condicional

Ejemplo 6: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:a.La primera semilla sea roja? b.La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución: R1: {primera semilla sea roja} B2 : {segunda semilla sea blanca}

a.La probabilidad de que la primera semilla:

Puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15 tenemos: P(R1) = 10 /15

b.La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por:

P(B2/R1), y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.

Veamos la situación en el siguiente diagrama de árbol:

P(B1)=5/15

P(R1)=10/15

P(R2/B1)= 10/14

P(B2/B1)= 4/14

P(R2/R1)= 9/14

P(B2/R1)= 5/14

b) P(B2/R1)= 5/14

Teorema de la probabilidad total

Nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidente es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%

Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

Ejemplo 7: En el ejemplo de las semillas encontrar la probabilidad de que la segunda semilla extraída sea roja

R2 : {segunda semilla sea roja}

P(R2)= P(R2/R1).P(R1) + P(R2/B1).P(B1)

P(R2)= (9/14) . (10/15) + (10/14).(5/15)

P(R2)= 140/210 = 0,667

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

donde:

P(Ai) son las probabilidades a priori.

P(B/Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.

P(Ai/B) son las probabilidades a posteriori.

Esto se cumple

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea.

En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas.

El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.

fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes

Técnicas de Conteo Principio de multiplicación:

Si un suceso P1 ocurre de n1 maneras diferentes y otro suceso P2 ocurre de n2 maneras diferentes entonces el suceso P1 Y P2 ocurren de n1 por n2 maneras diferentes. Esto se conoce como principio de multiplicación o principio fundamental del análisis combinatorio.

Variaciones, Vn,r: sirve para contar los diferentes grupos de r elementos que se pueden formar en un conjunto de n elementos (r < n).

• Los elementos no se pueden repetir e influye el orden en el que los colocamos.

Vn,r = n! / (n-r)!

• Variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r, VRn,r: es una variación en la que los elementos se pueden repetir.

VRn,r = nr

Permutaciones, Pn, es una variación en la que r = n.

Pn = Vn, n = n! Combinaciones Las combinaciones de n elementos tomados de

r en r, Cn,r, cuentan el número de grupos diferentes (no influye el orden y ninguno puede estar repetido) que se pueden formar con r elementos distintos, elegidos de un conjunto de n elementos:

Cn,r = n ! / r! (n –r)!

Ejercicio propuesto:

Se tienen 5 productos químicos de los cuales se conoce que 2 están vencidos y 3 no.

Si se escogen al azar dos productos de los cinco:

a) ¿cuál es la probabilidad de seleccionar dos no vencidos?

b) ¿cuál es la probabilidad de seleccionar dos vencidos?

c) ¿cuál es la probabilidad de seleccionar uno no vencido y uno vencido?

La regla de Chebyshev

En cualquier conjunto de observaciones (muestra o población), la proporción de los valores que queda dentro de k desviaciones estándar de la media es por lo menos 1 – 1/k2 donde k es un constante mayor a uno.

Esto significa que no importa como se distribuyen los datos. el porcentaje de las distribuciones están contenidas dentro de las distancias de k desviaciones estándar alrededor de la media debe ser al menos 1 - 1 / k2, es decir, al menos 75% de las observaciones deben estar contenidas dentro de distancias de +/-2 desviaciones estándar alrededor de la media. Al menos 88,89% de las observaciones deben estar contenidas dentro de una distancia de +/-3 desviaciones estándar alrededor de la media. Al menos 93.75% de las observaciones deben estar contenidas dentro de distancias de +/-4 desviaciones estándar alrededor de la media.

PUNTUACIÓN Z    

es la puntuación típica o resultado estándar individual más utilizada. Gracias a la puntuación z podemos comparar los resultados de un individuo (o de varios) en distintas pruebas en las que las distribuciones de los resultados de los otros miembros de la población sean distintas. Se obtiene restando a la puntuación que obtiene un individuo la media aritmética de una distribución, y dividiendo esta diferencia por la desviación típica.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD