esperanza condicional

Probabilidad y Esperanza condicional

Garro

Octubre de 2010

Indice

1 Probabilidad Y Esperanza Condicional 11.1 Probabilidad y Esperanza condicional dado un evento de probabilidad

positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Probabilidad y esperanza condicional dado un evento . . . . . . . . . 51.3 Probabilidad y Esperanza condicional dada una particion finita . . . 61.4 Generalizaciones para particiones numerables . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Esperanza y probabilidad condicional dada una σ-algebra . . . . . . . 121.6 Probabilidad y esperanza condicional dada una variable aleatoria X . 141.7 Propiedades de la esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Teoremas de convergencia

para esperanzas condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Mas propiedades de la esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Algunas desigualdades para esperanza condicional . . . . . . . . . . . 201.11 Teorema de Radon-Nicodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11.1 Funciones de conjunto aditivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11.2 Medida y medida con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.11.3 Teorema de Descomposicion de Jordan . . . . . . . . . . . . . 261.11.4 Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

Capıtulo 1

Probabilidad y esperanzacondicional

1.1 Probabilidad y Esperanza condicional dado un

evento de probabilidad positiva

Sea (Ω,F ,P) un espacio de probabilidad.

Definicion 1 (Probabilidad condicional dado un evento de probabilidad positiva).Sea A ∈ F con P (A) > 0. La probabilidad condicional de B ∈ F dado A, es lamedida de probabilidad

P (B|A) =P (A ∩B)

P (A).

Ahora verificamos que la definicion anterior define en efecto una medida de pro-babilidad.

Proposicion 1. Si A ∈ F tal que P(A) > 0, entonces la probabilidad condicional

B 7→ P(B | A) =P(A ∩B)

P(A), B ∈ F ,

es una medida de probabilidad sobre (Ω,F). En particular, la restriccion al σ-algebraFA = B ∩ A : B ∈ F ⊂ F es una medida de probabilidad sobre (A,FA).

Demostracion. Es obvio que 0 ≤ P(B | A) ≤ 1 para todo B ∈ F . Ahora,

P(Ω | A) =P (A ∩ Ω)

P (A)=

P (A)

P (A)= 1.

Si Bn : n ≥ 1 es una coleccion numerable de conjuntos disjuntos en F ,

P

(∞⋃n=1

Bn

∣∣∣A) =P (⋃∞

n=1 Bn ∩ A)

P (A)=∞∑n=1

P (Bn ∩ A)

P (A)=∞∑n=1

P(Bn | A).

1

CAPITULO 1. PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIONAL 2

Proposicion 2. Sea B ∈ F . P (B|Ω) = P (B) y si B∩A = ∅ con A ∈ F y P (A) > 0,entonces P (B|A) = 0.

Demostracion. P (B|Ω) = P (B) /P (Ω) = P (B) y si B ∩ A = ∅ con A ∈ F yP (A) > 0 entonces P (A ∩B) = 0, por lo tanto

P (B|A) = P (A ∩B) /P (A) = 0.

En ocaciones resulta bastante practico usar la notacion PA para la medida deprobilidad condicional.

Proposicion 3. Sea A ∈ F tal que P(A) > 0. Si X es una v.a. integrable respecto aP entonces es integrable respecto a PA y

EA(X) :=

∫Ω

X dPA =1

P (A)

∫A

X dP =E(X1A)

P (A).

Demostracion. Sea X = 1D donde D ∈ F . Entonces∫Ω

X dPA =

∫A

X dPA +

∫Ω\A

X dPA

=

∫A

1D dPA = PA(A ∩D)

=P (A ∩D)

P (A)=

1

P (A)

∫A∩D

dP

=1

P (A)

∫A

1D dP =1

P (A)

∫A

X dP.

Luego, para el caso general se sigue por el metodo habitual de aproximacion.

Este hecho motiva la definicion siguiente.

Definicion 2 (Esperanza condicional de una v.a. integrable dado un evento deprobabilidad positiva). Definimos la experanza condicional de una v.a. integrable Xdado A, A ∈ F y P (A) > 0, como la esperanza (numero real) EA(X) y se denotacomo E(X|A). Esto es

E(X|A) =E(X1A)

P (A). (1.1)

El sentido de esta definicion puede ilustrarse facilmente cuando X es de formasimple.

Proposicion 4. Si X es una variable aleatoria discreta con valores en un conjuntofinito x1, ..., xm ⊂ R y A ∈ F con P (A) > 0, entonces

E(X|A) =m∑j=1

xjP (X = xj|A) .


Demostracion. Primero notamos que X =∑m

j=1 xj 1X=xj, de modo que X1A =∑mj=1 xj 1X=xj∩A. Ası,

E(X|A) =E(X1A)

P (A)

=m∑j=1

xjP (X = xj ∩ A)

P (A)

=m∑j=1

xjP (X = xj|A) .

Ejercicio 1. Supongamos que X y Y son dos variables aleatorias indepedientes condistribucion exponencial λ1 y λ2, respectivamente. Ecuentra E(X | X > y), paracada y ∈ R, y E(X | X > Y ).

Proposicion 5. Si P(A) > 0 y B ∈ F ,

P (B|A) = E(1B|A). (1.2)

Demostracion. Por la proposicion anterior,

E(1B|A) = 1 · P (1B = 1|A) + 0 · P (1B = 0|A) = P (B|A) .

Observacion 1. La Proposicion 5 significa que podrıamos haber definido unicamenteesperanza condicional con la formula (1.1) y deducir la formula (1.2) para probabilidadcondicional.

Ejercicio 2. Sea A ∈ F tal que 0 < P(A) < 1 y sea X una v.a. integrable. Sidefinimos la v.a. Z = E(X|A) · 1A + E(X|Ac) · 1Ac , muestra que Z es integrable yE(Z) = E(X).

Como es de esperarse la esperanza condicional tambien satisface la propiedad delinealidad.

Proposicion 6. Sea A ∈ F con P (A) > 0. Si X y Y son dos variables aleatoriasintegrables y a y b son numeros reales, entonces

E(aX + bY |A) = aE(X|A) + bE(Y |A).

Demostracion. Es claro que aX + bY es una v.a. integrable. Ası,

E(aX + bY |A) =E[(aX + bY )1A

]P (A)

=E[(aX1A) + (bY 1A)

]P (A)

= aE(X1A)

P (A)+ b

E(Y 1A)

P (A)

= aE(X|A) + bE(Y |A).


Recordemos que si X es una v.a. generalmente aceptamos que E(X) puede serincluso alguno de los valores extendidos −∞ o bien ∞. Decimos que E(X) estadefinida si y solo si

minE(X+),E(X−), <∞

donde X+ := max0, X y X− := −min0, X, y en este caso

E(X) = E(X+)− E(X−).

En este orden de ideas podemos generalizar la definicion 2.

Definicion 3 (Esperanza condicional dada un evento de probabilidad positiva). SeaA ∈ F tal que P(A) > 0 y sea X una variable aleatoria no-negativa. Definimos laesperanza condicional de X dado A como el numero real no-negativo (posiblemente∞) E(X | A) dado por

E(X | A) =E(X1A)

P(A).

En general, para cualquier variable aleatoria X, decimos que la esperanza condi-cional de X dado A, esta definida si

minE(X+|A),E(X−|A) <∞,

y en cuyo caso definimos la esperanza condicional de X dado A, como el numero real(posiblemente extendido) E(X | A) dado por

E(X|A) = E(X+|A)− E(X−|A).

Esta primera generalizacion es por supuesto consistente con la definicion 2.

Proposicion 7. Sea A ∈ F con P(A) > 0 y X una variable aleatoria. La esperanzacondicional E(X|A) esta definida si, y solo si, E(X1A) esta definida. De hecho,

E(X | A) =E(X1A)

P(A).

En particular E(X | A) esta definida si E(X) esta definida.

Demostracion. Es facil comprobar que (X1A)+ = X+1A y (X1A)− = X−1A. Dedonde E(X | A) esta definida si y solo si E(X1A) esta definida. En este caso,

E(X1A)

P(A)=

E(X+1A)− E(X−1A)

P(A)= E(X+ | A)− E(X− | A).

Ejercicio 3. Muestre con un ejemplo que E(X | A) puede estar definida, incluso serfinita, pero E(X) puede no estar definida.


Ejercicio 4. Sea A ∈ F tal que P(A) > 0 y seanX y Y dos variables aleatorias tal queE(X1A) y E(Y 1A) estan definidas. Si X ≤ Y c.s., muestra que E(X|A) ≤ E(Y |A).En particular, si X es una v.a. no-negativa (c.s.), entonces E(X|A) siempre estadefinida y E(X|A) ≥ 0.

Ejercicio 5. Sea A ∈ F tal que 0 < P(A) < 1 y sea X una v.a. tal que E(X) estadefinida. Sea Z = E(X|A) · 1A + E(X|Ac) · 1Ac . Muestra que Z es una v.a. convalores en los reales extendidos y E(Z) = E(X).

Ejercicio 6. Sea A ∈ F tal que P(A) > 0 y supongamos que X y Y son dos variablesaleatorias tal que aE(X1A) + bE(Y 1A) esta definida, con a, b ∈ R. Muestra queE(aX + bY |A) = aE(X|A) + bE(Y |A). En particular, este resultado es valido siaE(X) + bE(Y ) esta definida. Explica por que no es suficiente suponer que E(X1A)y E(Y 1A) esten definidas.

1.2 Probabilidad y esperanza condicional dado un

evento

La definicion de P(B|A) de la seccion anterior tiene la desventaja de exigir P(A) > 0.Esta restriccion puede eliminarse de una forma muy natural.

Definicion 4 (Probabilidad condicional dado un evento). Sea (Ω,F ,P) un espaciode probabilidad y A ∈ F . Si B ∈ F , definimos la probabilidad condicional de B dadoA como el numero

P(B|A) =

P(B ∩ A)

P(A)si P(A) > 0,

0 si P(A) = 0.

Lo que se pierde en esta nueva definicion es que P(B|A) no es medida de probabi-lidad si P(A) = 0. Sin embargo tiene otras ventajas que estudiaremos mas adelante.

Ejercicio 7. Para este ejercicio y los que siguen en esta seccion, consideramos ladefiniciones 4 y 5. Si Bn, n ≥ 1 es una coleccion de eventos disjuntos, prueba que

P

( ∞⋃n=1

Bn

∣∣∣A) =∞∑n=1

P(Bn | A).

Por lo pronto extendemos el concepto de esperanza condicional.

Definicion 5 (Esperanza condicional de una v.a. dado un evento). Sea (Ω,F ,P) unespacio de probabilidad y A ∈ F . Sea X una v.a tal que E(X1A) esta definida. Defini-mos la esperanza condicional de X dado A como el numero (posiblemente extendido)

E(X|A) =

E(X1A)

P(A)si P(A) > 0,

0 si P(A) = 0.


Ejercicio 8. Si X es una v.a. con valores en x1, ..., xm ⊂ R y A ∈ F , muestra queE(X|A) =

∑m1 xjP(X = xj | A).

Ejercicio 9. Muestra que P(B|A) = E(1B|A) (A y B en F).

Ejercicio 10. Demuestra que E(X | A) esta definida si y solo si

minE(X+ | A),E(X− | A) <∞,

y en cuyo caso E(X | A) = E(X+ | A)− E(X− | A).

Ejercicio 11. Sea A ∈ F y sea X una v.a. tal que E(X) esta definida. Sea Z =E(X|A) · 1A + E(X|Ac) · 1Ac . Muestra que Z es una v.a. con valores en los realesextendidos y E(Z) = E(X).

Ejercicio 12. Sea A ∈ F , a, b ∈ R y sean X y Y dos variables aleatorias talesque aE(X1A) + bE(Y 1A) esta definida. Muestra que E(aX + bY |A) = aE(X|A) +bE(Y |A). En particular, este resultado es valido si aE(X) + bE(Y ) esta definido.

1.3 Probabilidad y Esperanza condicional dada una

particion finita

Los conceptos de esperanza y probabilidad condicional respecto de un evento de pro-babilidad positiva no son suficientes para el desarrollo de ideas teoricas y aplicacionesmas interesantes y completas. Heurısticamente, podemos introducir conceptos masextensos de probabilidad y esperanza condicional vıa un razonamiento que no esen absoluto desconocido: Supongamos que toda la informacion sobre un fenomenoaleatorio esta concentrado en una familia de eventos distinguidos (ajenos) A1,... An.Entonces, la probabilidad de algun otro evento B asociado con el fenomeno en cuestionpuede analizarse completamente conociendo las probabilidades “restringidas” a cadaparte Ai. La conocida Formula de Probabilidad Total establece

P (B) =n∑

i=1

P (B|Ai) · P (Ai) .

Observamos que el lado derecho de la igualdad anterior es el calculo de la esperanzade la v.a. discreta

ω 7→n∑

i=1

P (B|Ai) · 1Ai(ω), ω ∈ Ω.

Esta v.a. suministra toda la informacion necesaria para estudiar estocasticamente alevento B. Es natural entonces pensar esta v.a. como una extension del concepto deprobabilidad condicional.

Vayamos ahora con precision.

Definicion 6 (Particion medible). Una coleccion D = D1, ..., Dk de subconjuntosde Ω se denomina particion finita medible (p.f.m.) de Ω si:


i) D ⊂ F ,

ii) Di ∩Dj = ∅ si i 6= j, y

iii)k⋃

i=1

Dj = Ω.

Una particion finita medible es positiva (p.f.m.p.) si ademas P (Di) > 0 para todoi = 1, ..., k.

Definicion 7 (Probabilidad condicional dada una particion finita medible). Sea Des una particion finita medible y B ∈ F . La probabilidad condicional de B dada laparticion D es la v.a. discreta P (B|D) dada por

P (B|D) =k∑

i=1

P (B|Di) · 1Di,

donde

P(B | Di) =

P(B ∩Di

P(Di)si P(Di) > 0,

0 si P(Di) = 0.

Remarcamos el hecho de que P (B|D) no es un numero sino una variable aleatoria.

Proposicion 8. Sea D es una p.f.m. Si Bn, n ≥ 1 son subconjuntos disjuntos en F ,

P

(∞⋃n=1

Bn|D

)=∞∑n=1

P(Bn | D).

Si ademas D es positiva, P (Ω|D) = 1. Si D = Ω,

P (B|D) = P (B|Ω) = P (B) .

Demostracion.

P (B ∪ C|D) =k∑

i=1

P (B ∪ C|Di) · 1Di

=k∑

i=1

[P (B|Di) + P (C|Di)

]· 1Di

=k∑

i=1

P (B|Di) · 1Di+

k∑i=1

P (B|Di) · 1Di

= P (B|D) + P (C|D) .


Proposicion 9 (Formula de Probabilidad Total). La probabilidad condicional P (B|D)es integrable y

E[P (B|D)

]= P (B) .

Demostracion. Suponemos que P(Di) > 0 para todo i = 1, ..., k.

E[P (B|D)

]=

k∑i=1

P (B|Di) · P (Di) =k∑

i=1

P (B ∩Di) = P (B) .

Definicion 8 (Esperanza condicional dada una particion finita medible). Sea D esuna particion finita medible y X una v.a tal que E(X) esta definida. La esperanzacondicional de X dada la particion D es la v.a. E(X|D) dada por

E(X|D) =k∑

i=1

E(X|Di) · 1Di, (1.3)

donde

E(X | Di) =

E(X1Di

)

P(Di)si P(Di) > 0,

0 si P(Di) = 0.

Remarcamos ademas el hecho de que E(X|D) no es un numero, sino una variablealeatoria. El sentido de la definicion anterior puede facilmente ilustrarse cuando Xes de una forma simple.

Proposicion 10. Si X una v.a. discreta con rango de valores x1, ..., xm ⊂ R yD = D1, ..., Dk es una particion finita medible, entonces

E(X|D) =m∑j=1

xjP (X = xj|D) .

Demostracion.

E(X|D) =k∑

i=1

E(X|Di) · 1Di

=k∑

i=1

(m∑j=1

xjP (X = xj|Di)

)· 1Di

=m∑j=1

xj

(k∑

i=1

P (X = xj|Di) · 1Di

)

=m∑j=1

xjP (X = xj|D) .


Proposicion 11. Si D es una p.f.m. y B ∈ F ,

P (B|D) = E(1B|D). (1.4)

Demostracion. De la proposicion anterior,

E (1B|D) = 1 · P (1B = 1|D) + 0 · P (1B = 0|D) = P (B|D) .

Observacion 2. La proposicion anterior significa que podrıamos haber difinido uni-camente E (X|D) y deducir una definicion para la probabilidad condicional usandola formula (1.4). (Ver Observacion 1.)

Evidentemente, existe una relacion entre la v.a. X y la v.a. E(X|D) la cual espatente en el calculo de sus respectivas esperanzas.

Proposicion 12. Sea X una variable aleatoria tal que E(X) esta definida y sea Duna p.f.m. Entonces,

E[E(X|D)

]= E(X).

En particular, si X es integrable entonces la esperanza condicional E (X|D) es inte-grable.

Demostracion. Podemos suponer que D es ademas positiva.

E(E(X|D)) =k∑

i=1

E(X|Di) · P (Di)

=k∑

i=1

E(X1Di)

= E

[X

(k∑

i=1

1Di

)]= E(X).

Observamos que el resultado enunciado en la anterior proposicion puede tambienescribirse como ∫

Ω

E(X|D) dP =

∫Ω

X dP.

El siguiente resultado se aproxima a la definicion general de esperanza condicionalque estudiaremos en la siguiente seccion.

Proposicion 13. Sea X una v.a. integrable y D una p.f.m. La esperanza condicionalE(X|D) es una variable aleatoria σ(D)-medible y si A ∈ σ(D) entonces∫

A

E(X|D) dP =

∫A

X dP.


Inversamente, si Y es una variable aleatoria σ(D)-medible tal que∫A

Y dP =

∫A

X dP,

para todo A ∈ σ(D), entonces Y = E(X|D), P-c.s.

Demostracion. Que E(X|D) es σ(D)-medible es inmediato desde la definicion.Como D es una coleccion finita de subconjuntos ajenos, σ(D) es la coleccion deuniones finitas de los subconjuntos en D y el conjunto vacıo ∅, por lo tanto bastaraprobar la primera parte del teorema para cada Dj ∈ D. Tenemos pues∫

Dj

E(X|D) dP =

∫Dj

k∑i=1

E(X|Di) · 1DidP

=k∑

i=1

E(X|Di) ·∫Dj

1DidP

=k∑

i=1

E(X|Di) · P (Dj ∩Di)

= E(X|Dj) · P (Dj)

= E(X1Dj)

=

∫Dj

X dP.

La segunda parte del teorema es practicamente trivial y se deja como ejercicio allector.

Como es deseable, la esperanza condicional cumple con una de la importantepropiedad de linealidad.

Proposicion 14. E( · |D) es un operador lineal. Esto es, si X y Y son variablesaleatorias integrables y a, b ∈ R,

E(aX + bY |D) = aE(X|D) + bE(Y |D).

La prueba se sigue casi inmediatamente de la Proposicion 6 y se deja al lectorcomo ejercicio.

La definicion de E (X|D) debe pensarse como una extension mas que como unageneralizacion del concepto de E (X|A), en el sentido de que, en general, no existeuna particion D tal que E (X|A) = E (X|D).

1.4 Generalizaciones para particiones numerables

Como antes sea (Ω,F ,P) un espacio de probabibilidad y sea D = Dn : n ∈ Nuna particion numerable de Ω. Decimos que D es medible si D ⊂ F y si ademasP (Dn) > 0 para cada n ∈ N, decimos entonces que es positiva.


Definicion 9. Si B ∈ F definimos la probabilidad condicional de B dada la particionD como la variable aleatoria

P (B|D) =∞∑n=1

P (B|Dn) · 1Dn ,

donde

P(B | Dn) =

P(B ∩Dn)

P(Dn)si P(Dn) > 0,

0 si P(Dn) = 0.

Si X es una variable aleatoria cuya esperanza E(X) esta definida, entonces defi-nimos la esperanza condicional de X dada la particion D como la variable aleatoria(posiblemente extendida)

E(X|D) =∞∑n=1

E(X|Dn) · 1Dn , (1.5)

donde,

E(X | Di) =

E(X1Dn)

P(Dn)si P(Dn) > 0,

0 si P(Dn) = 0.

Las siguientes propiedades son generalizaciones de las propiedades descritas enlas secciones anteriores, y las demostraciones se siguen de aplicaciones clasicas de losteoremas de convergencia para integrales y por ello se dejan al lector como un buenejercicio de comprension.

Proposicion 15.

Proposicion 16. P (B|D) = E(1B|D).

Proposicion 17. Sea D es una particion medible numerable de Ω, A y B son sub-conjuntos ajenos en F , X y Y variables aleatorias integrables, y a y b numeros reales,entonces

i) P (A ∪B|D) = P (A|D) + P (B|D).

ii) E(aX + bY |D) = aE(X|D) + bE(Y |D).

Proposicion 18. Sea D una particion numerable medible de Ω, B ∈ F y X unavariable aleatoria con esperanza definida, entonces

i) E[P (B|D)

]= P (B), y

ii) E[E(X|D)

]= E(X).

Proposicion 19. Sea D una particion numerable medible de Ω y X una variablealeatoria con esperanza definida. Para cada A ∈ σ(D),∫

A

E(X|D) dP =

∫A

X dP.


1.5 Esperanza y probabilidad condicional dada una

σ-algebra

Para poder definir en general probabilidades y esperanzas condicionadas a una v.a.X cualquiera, debemos primero introducir los conceptos de probabilidad y esperanzacondicional dada un σ-algebra.

Como se ha hecho notar, las probabilidades condicionales son casos particulares deciertas esperanzas condicionales. En esta seccion, la esperanza condicional se deduciraprimero de una aplicacion del Teorema de Radon-Nikodym para probar un teoremaque generaliza las Proposiciones 6 y 19, y a partir de aquı se definira el concepto deprobabilidad condicional como un caso particular.

Teorema 1. Sea (Ω,F ,P) un espacio de probabilidad y sea X una variable aleatoriatal que E(X) esta definida. Si G ⊂ F es una sub-σ-algebra, entonces existe unavariable aleatoria Z : Ω→ R, G-medible tal que∫

A

Z dP =

∫A

X dP, (1.6)

para todo A ∈ G. Si para alguna otra aplicacion G-medible W , (1.6) es valida, entoncesZ = W P-c.s.

Demostracion. Consideremos la funcion de conjunto µ : G → R, dada por µ(A) =∫AX dP. Entonces µ es una medida con signo σ-aditiva y absolutamente continua

respecto a P, luego, por el Teorema de Radon-Nikodym existe una funcion Z : Ω→ RG-medible unica P-c.s. tal que µ(A) =

∫AZ dP para todo A ∈ G.

Definicion 10. Sea (Ω,F ,P) un espacio de probabilidad y sea X una v.a. integrable.Si G ⊂ F es una sub-σ-algebra, entonces la esperanza condicional de X dado G esuna v.a. G-medible denotada por E(X|G) tal que∫

A

X dP =

∫A

E(X|G) dP,

para todo A ∈ G.

Definicion 11. La probabilidad condicional de un evento B ∈ F dada la sub-σ-algebraG se denota por P (B|G) y esta dada por

P (B|G) = E(1B|G).

Ejemplo 1. Si X es una v.a. con esperanza E(X) definida, entonces

E(X|Ω, ∅) = E(X) y E(X|F) = X.

Y para B ∈ F ,P (B|Ω, ∅) = P (B) y P (B|F) = 1B.

M


Ejemplo 2. Si X es una v.a. simple con valores en x1, ..., xm y G ⊂ F es unasub-σ-algebra, entonces, para A ∈ G,∫

A

m∑i=1

xiP (X = xi|G) dP =m∑i=1

xi

∫A

E(1X=xi|G

)dP

=m∑i=1

xi

∫A

1X=xidP

=

∫A

m∑i=1

xi1X=xidP

=

∫A

XdP.

Es decir, E (X|G) =∑m

i=1 xiP (X = xi|G). M

Ahora debemos comprobar que estas definiciones extienden los conceptos estudia-dos en las dos secciones presedentes. Empezaremos tratando un ejemplo sencillo.

Ejemplo 3. Si X es una v.a. integrable (o bien, tal que E(X) esta definida) y A ∈ Ftal que 0 < P (A) < 1, entonces

E(X|σ(A)) = E(X|A) · 1A + E(X|Ω\A) · 1Ω\A,

donde σ(A) = Ω, ∅, A,Ω\A. Y por otro lado,

P (B|σ(A)) = P (B|A) · 1A + P (B|Ω\A) · 1Ω\A.

En este caso observamos que A,Ω\A es una particion medible positivaSi P(A) = 1, entonces

E(X|σ(A)) = E(X|A) · 1A = E(X) · 1A.

En tanto que si P (A) = 0,

E(X|σ(A)) = E(X|Ω\A) · 1Ω\A = E(X) · 1Ω\A.

M

Proposicion 20. Si D = Di : i ≥ 1 es una particion medible positiva de Ω y X esuna v.a. integrable, entonces

E(X|σ(D)) = E(X|D).

Donde E (X|σ(D)) corresponde a la Definicion 10 y E (X|D) esta dado por la formula(1.5) de la Definicion 9.

Demostracion. Es inmediato de la Defincion 10 y la Proposicion 19.

Lo interesante es observar que podemos considerar ahora particiones medibles nopositivas. Precisamos en el resultado siguiente.


Proposicion 21. Si D = Di : i ≥ 1 es una particion medible de Ω y X es una v.a.integrable (o bien, cuya esperanza E(X) esta definida), entonces

E (X|σ(D)) =∑j∈I+

E(X|Dj) · 1Dj,

donde I+ = i ≥ 1 : P(Di) > 0.

Demostracion. Para abreviar, sea Y =∑

j∈I+ E(X|Dj) · 1Dj. Si P (Di) = 0 para

algun ındice i ≥ 1, entonces ∫Di

XdP =

∫Di

Y dP = 0,

dado que de hecho Y = 0 en Di. Si en cambio P (Di) > 0,∫Di

Y dP =

∫Di

E (X|Di) dP = E(X1Di) =

∫Di

XdP.

1.6 Probabilidad y esperanza condicional dada una

variable aleatoria X

Como antes, sea X una v.a. sobre el espacio de probabilidad (Ω,F ,P). Denotamospor σ(X) a la mınima σ-algebra en Ω para la cual X es medible, es decir, σ(X) =X−1(B) : B ∈ B(R).

Cuando X es una v.a. discreta, con rango de valores en un subconjunto numerablex1, x2, ... ⊂ R entonces la familia DX := (X = xi) : i ∈ N es una particionmedible del espacio Ω. Si ademas P(X = xi) > 0 para todo i ≥ 0, entonces DX esuna particion medible positiva de Ω, de tal manera que si A ∈ F , podemos definir demanera natural la probabilidad condicional del evento A dada la v.a. X como

P (A|X) := P (A|DX) .

Esto es

P (A|X) =∞∑i=0

P (A|X = xi) · 1(X=xi).

Por otro lado, si Y es una v.a. cuya esperanza E(Y ) esta definida, entoncestambien podemos definir la esperanza condiciona de Y dada la v.a. X como

E(Y |X) := E(Y |DX).

Esto es

E(Y |X) =∞∑i=0

E(Y |X = xi) · 1X=xi,


donde

E(Y |X = xi) =E(Y 1X=xi)

P(X = xi), para cada i = 0, 1, ...

Lo importante es observar que, segun lo hecho en la seccion precedente, E(Y |X) =E(Y |σ(X)). En general tenemos la siguiente definicion.

Definicion 12. Si X y Y son v.a. tal que E(Y ) esta definida, la esperanza condicionalde Y dada X, denotada como E(Y |X) es la esperanza condicional E(Y |σ(X)). Detal manera que ∫

X−1(B)

E(Y |X) dP =

∫X−1(B)

Y dP,

para cada B ∈ B(R).

Antes de estudiar las caracterısticas de E(X|Y ) debemos recordar algunos hechosfundamentales. Sobre (R,B(R)) la v.a. X define una medida PX(B) := P (X ∈ B)para cada B ∈ B(R) llamada medida de distribucion de X. Observamos que σ(X) ⊂F y que PX = P X−1.

Teorema 2 (Cambio de variable o Teorema del estadıstico inconciente). Si X es unav.a. sobre (Ω,F ,P) y f : R → R es una funcion Borel medible tal que f X tieneesperanza definida, entonces ∫

Ω

f X dP =

∫Rf dPX .

De manera mas general, si B ∈ B(R),∫X−1(B)

f X dP =

∫B

f dPX .

Demostracion. Sea f = 1C donde C ∈ B(R). Si ω ∈ Ω, (f X)(ω) = 1C(X(ω)),y

1C(X(ω)) = 1 ⇔ X(ω) ∈ C ⇔ ω ∈ X−1(C) ⇔ 1X−1(C)(ω) = 1.

De modo que f X = 1X−1(C). Por lo tanto, para cada B ∈ B(R),∫X−1(B)

f X dP =

∫X−1(B)

1X−1(C) dP

=

∫Ω

1X−1(C∩B) dP

= P(X−1(C ∩B)

)= PX(C ∩B)

=

∫R

1C∩B dPX

=

∫B

1C dPX =

∫B

f dPX .

El caso general se sigue por el metodo habitual de aproximacion.


Teorema 3 (Teorema de representacion de Doob). Sea X una v.a. sobre (Ω,F ,P).Una funcion ζ : Ω → R es σ(X)-medible si y solo si existe una funcion h : R → RBorel medible tal que ζ = h X.

En la prueba de este teorema vale la pena describir el procedimiento “habitual”de desmostracion.

Demostracion. Sea ζ = 1A donde A ∈ σ(X), es decir, A = X−1(B) para algunB ∈ B(R). En este caso, como se muestra en la demostracion del teorema anterior,1A = 1B X, y entonces elegimos h = 1B. El resultado es facilmente extendible porlinealidad a funciones simples σ(X)-medibles. En el caso general, si ζ ≥ 0, entoncessea ζn una sucesion de funciones simples σ(X)-medibles tales que 0 ≤ ζn ≤ ζn+1 ↑ ζ ytomamos las respectivas funciones Borel medibles hn tales que ζn = hn X. Entoncesh := supn hn es nuevamente Borel medible y

h X = (supnζn) X = sup

n(hn X) = sup

nζn = ζ.

Finalmente, si ζ es cualquier funcion σ(X)-medible, consideramos ζ+ := max0, ζ yζ− := −min0, ζ y tomamos h1 y h2 funciones Borel medibles tales que ζ+ = h1 Xy ζ− = h2 X y definimos h = h1 − h2, de modo que

h X = h1 X − h2 X = ζ+ − ζ− = ζ.

La implicacion inversa es obvia.

Con lo anterior estamos en condiciones de describir algunas propiedades de E(Y |X).

Teorema 4. Existe una funcion h : R → R Borel medible, unica c.s. (rel. a lamedida de Lebesgue en R) tal que E(Y |X) = h X. De modo que para cualquierB ∈ B(R), ∫

X−1(B)

Y dP =

∫B

h dPX .

Demostracion. Dado que E(Y |X) es una funcion σ(X)-medible, se sigue del Teo-rema de representacion de Doob que tal funcion h existe, y para cada B ∈ B(R), poruna aplicion del Teorema de cambio de variable tenemos∫

X−1(B)

Y dP =

∫X−1(B)

E(Y |X) dP

=

∫X−1(B)

h X dP

=

∫B

h dPX .


Ejemplo 4. Sea X una v.a. con valores en xi : i ≥ 1 ⊂ R tal que P (X = xi) > 0para todo i ≥ 1. Si definimos la funcion h : R→ R, dada por

h(x) =

E(Y |X = x) si x ∈ xi : i ≥ 0,0 en otro caso,

entonces E(Y |X) = h X y en virtud de la Proposicion 19,

E(Y ) =∞∑i=0

h(xi)P(X = xi). (1.7)

Note que la funcion h es Borel medible aunque no es la unica que satisface (1.7). Enefecto, si c ∈ R y hc : R→ R esta dada por

hc(x) =

E(Y |X = x) si x ∈ xi : i ≥ 0,c en otro caso,

entonces hc es Borel medible y cumple (1.7). M

En generla, la notacion usada para la funcion h del teorema anterior es h(x) =E(Y |X = x), pero no debemos confundir esta expresion con la formula (1.1).

Ejemplo 5. Sea (X, Y ) un vector aleatorio absolutamente continuo con funcion dedensidad conjunta fX,Y . Como sabemos, la densidad marginal de X esta dada por

fX(x) =

∫RfX,Y (x, y)dy.

Definimos h : R→ R dada por

h(x) =

∫Ry · fX,Y (x, y)

fX(x)dy.

Si B ∈ B(R), ∫B

h dPX =

∫B

h(x)fX(x)dx

=

∫R

∫Ry · 1B(x) fX,Y (x, y)dy dx

= E(Y · 1B(X)).

Esto es h(x) = E (Y |X = x). M

1.7 Propiedades de la esperanza condicional

En todo lo que sigue, consideramos variables aleatorias X y Y definidas sobre unespacio de probabilidad (Ω,F ,P), y un sub-σ-algebra G ⊂ F .


Teorema 5. Si X es una variable aleatoria tal que E(X) esta definida, entoncesE(E (X|G)) = E(X). En particular si X es integrable, E (E|G) es integrable.

Demostracion. Es inmediato que∫Ω

E (X|G) dP =

∫Ω

XdP.

Ahora, si X es integrable,∣∣∣∣∫Ω

E (X|G) dP∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Ω

XdP∣∣∣∣ <∞.

Teorema 6 (Linealidad). Si X y Y son variables aleatorias integrables y a, b ∈ R,

E (aX + bY |G) = aE (X|G) + bE (Y |G) P-c.s.

Demostracion. Claramente, aE (X|G) + bE (Y |G) es una variable aleatoria G-medible integrable. De este modo, si A ∈ G,∫

A

(aX + bY )dP = a

∫A

XdP + b

∫A

Y dP

= a

∫A

E (X|G) dP + b

∫A

E (Y |G) dP

=

∫A

(aE (E|G) + bE (E|G))dP.

Teorema 7. Si X es una v.a. no-negativa P-c.s, entonces E (X|G) esta definida y esno-negativa P-c.s.

Demostracion. Si X es una v.a. no-negativa P-c.s., entonces E(X) esta definida,por lo que E (X|G) tambien esta definida. Sea Y = E (X|G), E = ω ∈ Ω : Y (ω) < 0y para cada n ∈ N sea En = ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ −1/n. Claramente En ⊂ En+1 yE =

⋃nEn. Luego, si P(E) > 0 entonces existe m ∈ N tal que P(Em) > 0, y dado

que Em ∈ G (pues Y es G-medible),∫Em

XdP =

∫Em

Y dP ≤ − 1

mP(Em) < 0,

lo cual es imposible puesto que X es no-negativa. Por lo tanto,P (E) = 0.

Corolario 1. Si X y Y son variables aleatorias integrables tales que X ≤ Y P-c.s.,entonces E (X|G) ≤ E (Y |G) P-c.s.


Demostracion. En vista del teorema anterior Y −X ≥ 0 P-c.s., y por la linealidadde la esperanza condicional E (Y −X|G) = E (Y |G) − E (X|G) P-c.s. Consideremoslos conjuntos nulos

N = ω ∈ Ω : Y (ω)−X(ω) < 0y M = ω ∈ Ω : E (Y −X|G) (ω) 6= E (Y |G) (ω)− E (X|G) (ω).

Entonces P (N ∪M) = 0 y si ω /∈ N ∪M ,

0 ≤ E (Y −X|G) (ω) = E (Y |G) (ω)− E (X|G) (ω).

Teorema 8. Si X es una v.a tal que E(X) esta definida entonces

E (X|G) = E(X+|G

)− E

(X−|G

)P-c.s.,

donde X+ = maxX, 0 y X− = minX, 0.

Demostracion. Notamos que E (X+|G) y E (X−|G) siempre estan definidas cual-quiera que sea X (pues X+ y X− son variables aleatorias no-negativas). En particular,si E(X) esta definida y A ∈ G,∫

A

XdP =

∫A

(X+ −X−)dP

=

∫A

X+dP−∫A

X−dP

Teorema 9. Si X es integrable,

|E (X|G) | ≤ E (|X||G) .

Teorema 10. Si X es integrable y G-medible,

E (X|G) = X.

Teorema 11. Si X es integrable e independiente de G,

E (X|G) = E(X).

Teorema 12. Si X es integrable,

E(E (X|G)

)= E(X).

Teorema 13. Si H ⊂ G son sub-σ-algebras de F , y X es una v.a. integrable,

E (E (X|G) |H) = E (E (X|H) |G) = E (X|H) .


1.8 Teoremas de convergencia

para esperanzas condicionales

Teorema 14 (Lema de Fatou). Si Xn ≥ 0,

E(

lim infn→∞

Xn|G)≤ lim inf

n→∞E (Xn|G) .

Teorema 15 (Convergencia Monotona). Si 0 ≤ Xn ≤ Xn+1 y limnXn existe c.s.,

limn→∞

E (Xn|G) = E(

limn→∞

Xn|G).

Teorema 16 (Convergencia Dominada). Si Xn ∈ L1, limnXn existe y para algunav.a. Y ∈ L1 se cumple que |Xn| ≤ Y ,

limn→∞

E (Xn|G) = E(

limn→∞

Xn|G).

1.9 Mas propiedades de la esperanza condicional

1.10 Algunas desigualdades para esperanza condi-

cional

1.11 Teorema de Radon-Nicodym

1.11.1 Funciones de conjunto aditivas

Sea Ω 6= ∅ un conjunto.

Definicion 13 (Funcion de Conjunto). Sea F una clase de subconjuntos de Ω novacıa. Una funcion µ : F → R se llama Funcion de Conjunto.

Definicion 14 (Aditividad finita y contable). Sea F una clase de subconjuntos de Ωtal que ∅ ∈ F .

Una funcion de conjunto µ : Ω→ R es finitamente aditiva si

i) µ(∅) = 0,

ii) Si Anmn=1 ⊂ F es una sub-coleccion finita de subconjuntos ajenos tal que⋃mn=1 An ∈ F entonces

(a) N∞ = ∅ o bien N−∞ = ∅, donde

N∞ := 1 ≤ n ≤ m : µ(An) =∞ y N−∞ := 1 ≤ n ≤ m : µ(An) = −∞.

(b) µ

(m⋃

n=1

An

)=

m∑n=1

µ(An)..


Decimos que µ es contablemente aditiva si se cumple i) y

ii’) Si An∞n=1 ⊂ F es una sub-coleccion contable de subconjuntos ajenos tal que⋃∞n=1 An ∈ F entonces

(a) N∞ = ∅ o bien N−∞ = ∅, donde

N∞ := n ≥ 1 : µ(An) =∞ y N−∞ := n ≥ 1 : µ(An) = −∞.

(b) µ

(∞⋃n=1

An

)=∞∑n=1

µ(An).

Observacion 3. Notamos que las igualdades en ii)-b) y ii’)-b) incluyen implıcita-mente las condiciones ii)-a) y ii’)-a). Sin embargo el autor de estas notas ha preferidoenuciarlas para hacerlas observar precisamente. En particular la serie

∑∞n=1 µ(An) es

absolutamente convergente, dado que el lado izquierdo en ii’)-b) es independiente delorden de la union de los subconjuntos Ann≥1.

De aquı en adelante, cuando digamos que µ es contablemente (o finitamente)aditiva supondremos implıcitamente que µ : F → R es una funcion de conjuntocontablemente (o finitamente) aditiva y que ∅ ∈ F .

Proposicion 22. Si µ es contablemente aditiva entonces es finitamente aditiva.

Demostracion. Sea Anmn=1 ∈ F una subcoleccion finita de subconjuntos ajenostal que

⋃mn=1 An ∈ F . Definimos para n > m, An = ∅. Claramente An∞n=1 es una

coleccion contable de subconjuntos ajenos en F tal que⋃∞

n=1 An ∈ F , y dado queµ(An) = 0 si n > m, se sigue

µ

(m⋃

n=1

An

)= µ

(∞⋃n=1

An

)=∞∑n=1

µ(An) =m∑

n=1

µ(An).

Proposicion 23. Si ∅ ∈ F y µ : F → R entonces µ es finitamente aditiva si y solosi µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B) para todo A,B ∈ F tales que A ∩B = ∅ y A ∪B ∈ F .

Demostracion. Si µ es finitamente aditiva entonces claramente por definicionµ(A∪B) = µ(A)+µ(B) si A,B ∈ F , A∪B ∈ F y A∩B = ∅. La implicacion inversatambien es inmediata por induccion.

Existe al menos una condicion evidente para decir cuando aditividad finita esequivalente a aditividad numerable.

Proposicion 24. Si F es una clase finita, entonces cualquier funcion de conjuntoµ : F → R finitamente aditiva es contablemente aditiva.

Bajo una condicion sobre la clase F , una funcion de conjunto aditiva, definidasobre F , exhibe algunas de las “buenas” propiedades que razonablemente esperamos.


Proposicion 25. Supongamos que µ es finitamente aditiva. Sean A y B dos subcon-juntos en F tales que A ⊂ B y B\A ∈ F .

a) Si µ(A) es infinito entonces µ(B) es infinito y del mismo signo que µ(A).

b) Si µ(B) es finito entonces µ(A) es finito.

c) Si µ(B) es finito o µ(A) es finito entonces

µ(B\A) = µ(B)− µ(A).

d) Si ademas µ es no-negativa (i.e. µ(F ) ≥ 0 ∀ F ∈ F), entonces µ(A) ≤ µ(B).

Demostracion. Claramente

µ(B) = µ(A) + µ(B\A),

de donde se siguen de forma inmediata los enunciados.

Ejemplo 6. La Proposicion 25 no es valida sin la hipotesis B\A ∈ F . Sea F =∅, 1, 1, 2 ⊂ 2N y consideremos µ : F → [0,∞] dada por

µ(F ) =

0 si F = ∅ o bien F = 1, 2,∞ si F = 1.

Claramente µ es finitamente aditiva y no-negativa. Por otra parte, 1 ⊂ 1, 2 pero∞ = µ(1) > µ(1, 2) = 0. M

Ejemplo 7. La parte d) de la Proposicion 25 no es valida sin la hipotesis de que µes no-negativa. Sea F = ∅, 1, 2, 1, 2 ⊂ 2N y definimos µ : F → R por

µ(A) =

0 si A = ∅,−∞ si A = 1 o bien A = 1, 2,

1 si A = 2.

Claramente µ es finitamente aditiva. Por otra parte, 2 ⊂ 1, 2 y 1 = 1, 2\2 ∈F , sin embargo, 1 = µ(2) > µ(1, 2) = −∞. M

Existe una forma de debilitar la hipotesis B\A ∈ F y reformular, salvo la partedel inciso d), la Proposicion 25 anterior para una cierta clase de subconjuntos quedefinimos a continuacion.

Definicion 15. Una clase F de subconjuntos de Ω es un δ-anillo si ∅ ∈ F y siA,B ∈ F , con A ⊂ B, entonces B\A es la union finita de subconjuntos disjuntospertenecientes a F .

Proposicion 26. Sea F un δ-anillo y µ una funcion de conjunto finitamente aditivasobre F . Sean A y B dos subconjuntos en F tales que A ⊂ B.

a) Si µ(A) es infinito entonces µ(B) es infinito y del mismo signo que µ(A).


b) Si µ(B) es finito entonces µ(A) es finito.

c) Si ademas µ es no-negativa (i.e. µ(F ) ≥ 0 ∀ F ∈ F), entonces µ(A) ≤ µ(B).

Demostracion. Para alguna familia finita de subconjuntos disjuntos C1,...,Cn ∈ F ,B\A =

⋃ni=1Ci. Entonces

µ(B) = µ

(A ∪

( n⋃i=1

Ci

))= µ(A) +

n∑i=1

µ(Ci).

De donde se siguen de forma inmediata los enunciados de la proposicion.

Resulta importante conocer criterios que establescan cunado un funcion de con-juntos finitamente aditiva es contablmente aditiva. Si se imponen mas propiedadesa la clase F es posible establecer uno de estoss criterios. Los siguientes resultadosenucnian ademas algunas caracterısticas que satisfacen las funciones de conjuntoscontablemente aditivas. Primero una definicion.

Definicion 16. Decimos que una clase F de subconjuntos de Ω es una demianillosi ∅ ∈ F ; y si A,B ∈ F entonces A ∩ B y A\B pueden expresarse como una unionfinita de subconjuntos disjuntos pertenecientes a F .

Necesitamos ahora un resultado previo.

Lema 1. Sea F un demianillo. Si A ∈ F y A1,...,An ∈ F , entonces existe unafamilia finita B1,...,Bk ∈ F de subconjuntos disjuntos tal que

A∖ n⋃

j=1

Aj =k⋃

i=1

Bi

Demostracion. Procederemos por induccion. El caso n = 1 es parte de la definicionde semianillo. Sea A, A1,...,An ∈ F . Por hipotesis de induccion, para una subfamiliafinita Bi ∈ F , i = 1, ..., k de subconjuntos disjuntos dos a dos,

k⋃i=1

Bi = A∖ n⋃

j=1

Aj. (1.8)

De este modo,

A∖ n+1⋃

j=1

Aj =

(A∖ n⋃

j=1

Aj

)∖An+1 =

k⋃i=1

(Bi\An+1).

Dado que F es un semianillo, para cada i = 1, ..., k, Bi\An+1 es una union finita desubconjuntos disjuntos contenidos en F , se sigue que (1.8) tambien se puede expresarcomo una union finita de subconjuntos disjuntos contenidos en F .

Proposicion 27. Sea F una un demi-anillo de subconjuntos de Ω. Una funcion deconjunto no-negativa µ : F → [0,∞] es contablemente aditiva si y solo si


a) µ(∅) = 0,.

b) Si A ∈ F y A1, ..., Am ⊂ F es una subcoleccion finita de subconjuntos en Fdisjuntos dos a dos tal que

⋃mn=1 An ⊂ A, entonces

m∑n=1

µ(An) ≤ µ(A).

c) Si A ∈ F y An : n ≥ 1 ⊂ F es una subcoleccion numerable de subconjuntosen F disjuntos dos a dos tal que A ⊂

⋃∞n=1An, entonces

µ(A) ≤∞∑n=1

µ(An).

Demostracion. Supongamos que µ es contablemente aditiva, entonces µ(∅) = 0es inmediato. Para probar b), sean A ∈ F , A1,...,An ∈ F disjuntos con

⋃ni=1 Ai ⊂ A.

Por el lema anterior, para alguna familia finita de subconjuntos ajenos B1,...,Bk ∈ F ,A\⋃n

i=1Ai =⋃k

j=1Bj, de modo que

µ(A) = µ

((n⋃

i=1

Ai

)∪

(k⋃

j=1

Bj

))=

n∑i=1

µ(Ai) +k∑

j=1

µ(Bj) ≥n∑

i=1

µ(Ai).

Es importante observar que en no podemos aplicar directamente la Proposicion 26puesto que no podemos garantizar que

⋃ni=1Ai ∈ F .

Por otra parte, sea Ann∈N ⊂ F una coleccion numerable de subconjuntos ajenos;si definimos B1 = A1 y Bk+1 = Ak+1\ ∪ki=n Ai entonces Bi ⊂ Ai y ∪∞i=1Bi =

⋃∞i=1 Ai.

Por el lema anterior, para cada i ≥ 1, existe una subcoleccion finita de subconjuntosdisjuntos Ci,j : j = 1, ..., ki ⊂ F tal que Bi =

⋃kii=1Ci,j. Luego por la parte b),∑ki

j=1 µ(Ci,j) ≤ µ(Ai). Ahora, si A ⊂⋃∞

i=1Ai, entonces

A =∞⋃i=1

Bi ∩ A =∞⋃i=1

ki⋃j=1

Ci,j ∩ A.

Si ademas A ∈ F , entonces para cada i ≥ 1 y cada j ∈ 1, ..., ki, existe una coleccionfinita de subconjuntos disjuntos Di,j,h : h = 1, ...,mi,j ⊂ F tal que Ci,j ∩ A =∪mi,j

h=1Di,j,h. Y de nueva cuenta por la parte b),∑mi,j

h=1 µ(Di,j,h) ≤ µ(Ci,j).De esta manera,

A =∞⋃i=1

ki⋃j=1

mi,j⋃h=1

Di,j,h,

y por aditividad contable,

µ(A) =∞∑i=1

ki∑j=1

mi,j∑h=1

µ(Di,j,h) ≤∞∑i=1

ki∑j=1

µ(Ci,j) ≤∞∑i=1

µ(Ai).


1.11.2 Medida y medida con signo

Definicion 17 (Medida y Medida con signo). Si F es un σ-algebra de subconjuntosde Ω y µ : F → R es una funcion de conjunto contablemente aditiviva, entoncesdecimos que µ es una medida con signo sobre (Ω,F). Si µ es no-negativa, decimossimplemente que µ es una medida.

De aquı en adelante, cuando digamos que µ es una medida con signo (o medida)supondremos que µ : F → R es una funcion de conjunto contablemente aditiva, dondeF es un σ-algebra.

Ahora determinaremos cuando una funcion de conjunto finitamente aditiva definidasobre un σ-algebra es contablemente aditiva.

Teorema 17. Si F es un σ-algebra y µ : F → R es una funcion de conjunto fini-tamente aditiva, entonces µ es contablemente aditiva si y solo si para toda sucesioncreciente Enn≥1 ⊂ F ,

µ

(∞⋃n=1

En

)= lim

n→∞µ(En).

Demostracion. Si Enn≥1 es una sucesion creciente de subconjuntos en F , defin-imos un nueva sucesion F1 = E1 y Fk = Ek\Ek−1 para k > 1. Entonces Fk ∈ F ,k ∈ N,

⋃nk=1 Fk = En, para n ∈ N,

⋃∞k=1 Fk =

⋃∞k=1 Ek, y Fi ∩ Fj = ∅ si i 6= j. De

este modo,

µ

(∞⋃k=1

Ek

)= µ

(∞⋃k=1

Fk

)=∞∑k=1

µ(Fk) = limn→∞

n∑k=1

µ(Fk) = limn→∞

µ(En).

Inversamente, sean En ∈ F , n ∈ N, ajenos. Definimos Fn =⋃n

k=1Ek, para todon ∈ N. Entonces Fn ∈ F , Fn ⊂ Fn+1, n ∈ N, y

⋃∞k=1 Fk =

⋃∞k=1Ek. Tenemos,

µ

(∞⋃k=1

Ek

)= µ

(∞⋃k=1

Fk

)= lim

n→∞µ(Fk) = lim

n→∞

n∑k=1

µ(Ek) =∞∑k=1

µ(Ek).

Corolario 2. Si µ es una medida con signo y Enn≥1 ⊂ F es una sucesion decre-ciente tal que para algun m ≥ 1, |µ(Em)| <∞, entonces

µ

(∞⋂n=1

En

)= lim

n→∞µ(En).

Demostracion. Definimos la familia Fn = Em\En ∈ F , n ∈ N. Entonces Fn ⊂Fn+1 y

⋃∞n=1 Fn = Em

∖⋂∞n=1En. De este modo, dado que µ(Em) <∞,

µ(Em)− µ

(∞⋂n=1

En

)= lim

n→∞(µ(Em)− µ(En)),

de donde se sigue la igualdad deseada.


Ejemplo 8. La condicion |µ(Em)| < ∞ no puede ser debilitada en el corolarioanterior. M

Sin embargo, si µ es finita se puede decir mucho mas y completar el Teorema 17.

Corolario 3. Si µ : F → R es una funcion de conjunto finitamente aditiva sobre unσ-algebra F , entonces µ es contablemente aditiva si y solo si,

a) para toda sucesion creciente Enn ⊂ F , µ(⋃

nEn) = limn µ(En); o bien,

b) para toda sucesion decreciente Dnn ⊂ F , µ(⋂

nDn) = limn µ(Dn)

Demostracion. Es claro que solo debemos probar la condicion suficiente de laparte b), pero ello es completamente evidente ya que el enunciado b) es equivalenteal enunciado a).

Cierto tipo de medidas con signo reciben un nombre y una espaecial antencion.

Definicion 18. Decimos que una medida con signo sobre un σ-algebra F es unamedida si es no-negativa.

Con siguiente corolario estudiamos como se comporta una medida respecto desubcolecciones numerables de subconjuntos en F .

Corolario 4. Sea µ : F → [0,∞] una medida y sea Enn≥1 ⊂ F .

a) µ(lim inf En) ≤ lim inf µ(En).

b) Si µ(⋃

nEn) <∞, µ(lim supEn) ≥ lim supµ(En).

c) Si Enn es convergente y µ(⋃

nEn) <∞, entonces

µ(limEn) = limµ(En).

1.11.3 Teorema de Descomposicion de Jordan

1.11.4 Teorema de Radon-Nikodym

Definicion 19.

esperanza condicional

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