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Espacios de dimensin infinitaEspacios de dimensin infinitaEl espacio de HilbertEspacios de Funciones Espacios L2 Bases de espacios L2Bases ortogonalesSeries de FourierAproximacin de FuncionesPolinomios de LegendreCurso Propedutico de Matemticas DEPFIE Curso Propedutico de Matemticas DEPFIEM. C. Jos Juan Rincn Pasaye M. C. Jos Juan Rincn Pasaye El Espacio de HilbertEl Espacio de HilbertEl espacio R contiene las sucesiones de nmeros reales de la forma: [x1,x2,x3,...], por ejemplo:[0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesin aritmtica)[1, , , 1/8, ...] (Sucesin geomtrica)[1, , 1/3, , ...] (Sucesin armnica)[1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesin de Fibonacci)[0, sen(1), sen(2), sen(3),....] Etc..Este espacio es demasiado grande y con pocas propiedades interesantes, ya que la norma de sus vectores puede ser infinita. El Espacio de HilbertEl Espacio de HilbertSi nos restringimos a considerar solamente sucesiones de longitud finitao norma euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial llamado Espacio de Hilbert o espacio l2.As, un vector[x1,x2,x3,...] est en el espacio de Hilbert si ||x||2=x12+x22+x32,+... Es un nmero finito. El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert22 211qqSn+Ejemplo: Averiguar si la sucesin geomtrica de razn q: [q0,q1,q2,q3,...,] pertenece al espacio de Hilbert:Solucin: Sea S = 1+q2+q4+q6+...+q2nEs fcil ver que q2S = S-1+q2n+2, despejando STomando el lmite cuando n , la suma es finita si y slo si |q| < badu u f f f f Espacios de FuncionesEspacios de FuncionesEjemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2]Producto interno:= 0, es decir, son funciones ortogonales.Normas:= = f) Normalizacin: las siguientes funciones son ortonormales: > < 20) cos( ) sin( , du u u g f2 / 1202) ( sin

,`

.|du u f2 / 1202) ( cos

,`

.|du u g) cos( ) (), sin( ) (1 1x x g x x f Espacios de FuncionesEspacios de FuncionesEjemplo: Cul es el ngulo entre las funciones del ejemplo anterior? , es decir, =90cul es la proyeccin ortogonal de la funcin h(x) = sin(x+) sobre sin(x)?=cos() sin(x)Lo cual era de esperarse, porqu?0,cos > < Espacios de FuncionesEspacios de FuncionesTarea: Cul es el ngulo de la funcin h(x)=cos(x+), respecto a f(x)=sin(x)?Cul es la proyeccin ortogonal de h sobre f?y sobre g(x)=cos(x)?Cul es la norma de h(x)? Espacios LEspacios L2 2Las Normas lp definidas para vectores en R se transforman en las normas Lp que se definen para una funcin f(x) en el intervalo [a,b]como sigueAs, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.( )pbapdx x f f/ 1| ) ( | Espacios LEspacios L2 2Ejemplo: Para que valores de r la siguiente funcin est en L2 considerando el intervalo [0,1]?f(x) = xrSolucin: comoEntonces la funcinxr pertenece a L2 si y slo sir > -1/2 ' >+2 / 12 / 11 21| |1022r parar parardx x fr Espacios LEspacios L2 2La siguiente grfica representa la funcin f(x)=xr para diferentes valores de r0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1012345678910r=1r=1/2r=1/5 Bases de Espacios LBases de Espacios L2 2Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podramos expresar cualquier funcin como una Combinacin Lineal (serie) de funciones de la base.Algunas bases comnmente utilizadas son:{1,x,x2,x3,...} Series de Taylor{1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}Series de Fourier{1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}Series de Hartley Bases OrtogonalesBases OrtogonalesDada una base {f1,f2,f3,...} de L2 es posible obtener la serie correspondiente de una funcin arbitraria f calculando los coeficientes c1,c2,... de dicha serie:f= c1f1+c2f2+c3f3+...Esto en general es complicado, pero si la base es ortogonal el problema se vuelve simple.Dehecho,elplanteamientoesvlidopara cualquierespaciovectorial.Yloscoeficientes calculadosnosonmsquelascoordenadasdel vector f en la base dada. Bases OrtogonalesBases OrtogonalesSeaporejemplo{b1,b2,b3,...bn}unabasedeRn,y seax=[x1,x2,x3,...,xn]unvectorarbitrarioenRn, entonces:x= c1b1+c2b2+c3b3+...+cnbnSilabasenoesortogonal,estoconduceaun sistema de n ecuaciones con n incgnitas. Perosilabaseesortogonal,tomandoelproducto interno con b1 tenemos = c1+c2+...+cnDe donde2111,bb xc> < Bases OrtogonalesBases OrtogonalesEn forma similar:Ysilabaseesortonormal:lasexpresionesse reducen a: 2 22222111,,...,,,,nnnbb xcbb xcbb xc> < > < > < 20, 0 ) cos( ) ( ) cos( ), ( Series de FourierSeries de FourierAs,unafuncinarbitrariaf(x)definidaenel intervalo [0,2], se puede expresar en ese intervalo comoCombinacinLineal(SeriedeFourier)de las funciones de la base anterior, como:f(x)=a0+a1cos(x)+a2cos(2x)+a3cos(3x)+...+b1sen(x)+b2sen(2x)+b3sen(3x)+...Donde los coeficientes a0,a1,a2,a3,...,b1,b2,b3,...Sonlascoordenadasdelafuncinf(x)enlabase dada y se calculan como ya se dijo, es decir: Series de FourierSeries de FourierPara k=0,1,2,3,4,...Laserieobtenidaparaf(x)servlidasolamenteenel intervalo [0,2] si f(x) est en L2.Si queremos generalizar la serie de Fourier para cualquier valordexf(x)debercumplirlascondicionesde Dirichlet> < > < > < > < > < > < > < > < >