espacios l2

Espacios de dimensión infinitaEspacios de dimensión infinita

• El espacio de Hilbert• Espacios de Funciones • Espacios L2

• Bases de espacios L2

• Bases ortogonales• Series de Fourier• Aproximación de Funciones• Polinomios de Legendre

Curso Propedéutico de Matemáticas DEPFIECurso Propedéutico de Matemáticas DEPFIEM. C. José Juan Rincón PasayeM. C. José Juan Rincón Pasaye

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

El espacio R∞ contiene las sucesiones de números reales de la forma: [x1,x2,x3,...], por ejemplo:

[0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesión aritmética)[1, ½, ¼, 1/8, ...] (Sucesión geométrica)[1, ½, 1/3, ¼, ...] (Sucesión armónica)[1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesión de Fibonacci)[0, sen(1), sen(2), sen(3),....] Etc..

Este espacio es demasiado grande y con pocas propiedades interesantes, ya que la norma de sus vectores puede ser infinita.


Si nos restringimos a considerar solamente sucesiones de “longitud” finita o norma euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial llamado Espacio de Hilbert o espacio l2.

Así, un vector [x1,x2,x3,...] está en el espacio de Hilbert si ||x||2=x1

2+x22+x3

2,+... Es un número finito.


2

22

11

qq

Sn

−−=

+

Ejemplo: Averiguar si la sucesión geométrica de razón q: [q0,q1,q2,q3,...,] pertenece al espacio de Hilbert:Solución: Sea S = 1+q2+q4+q6+...+q2n

Es fácil ver que q2S = S-1+q2n+2, despejando S

Tomando el límite cuando n →∞ , la suma es finita si y sólo si |q|<1.


Tarea: Averiguar si la sucesión siguiente: [p,√2p,√3p,√4p,...] pertenece al espacio de Hilbert. Para ello,

• Sea S = p2+2p2+3p2+...+np2. Encontrar una expresión compacta para S.

• Tomar el límite de S cuando n →∞.

• Concluir para diferentes casos de p.


El espacio de Hilbert es de interés especial porque en él está bien definido el producto interno (no se hace infinito).

Así, para dos vectores arbitrarios x= [x1,x2,x3,...], y= [y1,y2,y3,...] en este espacio:

<x,y>= x1y1+x2y2+x3y3... <∞


De hecho, al igual que en todo espacio vectorial, se cumple la desigualdad de Schwartz-Cauchy:

|<x,y>| ≤ ||x|| ||y||

Y como x, y tienen norma finita, <x,y> será finito.


Ejemplo: ¿qué significa la desigualdad de Schwartz para vectores en R3?

Solución. Sean dos vectores arbitrarios en R3, x=[x1,x2,x3], y= [y1,y2,y3], la desigualdad de Schwartz garantiza que:

|x1y1+x2y2+x3y3|2 ≤ (x12+x2

2+x32)(y1

2+y22+y3

2)

Por ejemplo, sean x=[1 2 3], y= [4 5 6], la desigualdad da: 1024 ≤ (14)(77)=1078


Tarea:• Usando la desigualdad de Schwartz en Rn,

demostrar que para cualesqiera n números x1,x2,...,xn, se cumple que:

|x1+x2+...+xn|2 ≤ n (x12+x2

2+...+xn2)

Dar un ejemplo en R3.2) Demostrar que la desigualdad de Schwartz se

convierte en igualdad cuando los vectores son Linealmente Dependientes en Rn. Dar un ejemplo en R3.

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Los vectores en el espacio R∞ se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica

[1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la función f(x)=(1/2)x, valuada en x=0,1,2,3,...En forma similar, la sucesión aritmética

[2, 4, 6, 8, 10,...]Se expresa como la función f(x) =2x+2 valuada en x=0,1,2,3,...

¿y qué pasa si x toma valores continuos?


Si x toma valores continuos en el intervalo de números reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo.

Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son de interés, especialmente los de funciones de norma finita.

¿Pero y ... Como se define la norma de una función?


La manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, así, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]:

De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

∫>=<b

a

duugufgf )()(,

2/12 )(,

∫=><=

b

a

duuffff


Ejemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2π]

• Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales.

• Normas: = √π

= √πf) Normalización: las siguientes funciones son

ortonormales:

∫>=<π2

0

)cos()sin(, duuugf

2/12

0

2 )(sin

∫=π

duuf

2/12

0

2 )(cos

∫=π

duug

)cos()(ˆ),sin()(ˆ 11 xxgxxf ππ ==


Ejemplo:

• ¿Cuál es el ángulo θ entre las funciones del ejemplo anterior? , es decir, θ=90°

• ¿cuál es la proyección ortogonal de la función h(x) = sin(x+θ) sobre sin(x)?

=cos(θ) sin(x)

Lo cual era de esperarse, ¿porqué?

0,

cos =><=gfgfθ

)sin()sin()sin(1, 2

0

xduuufffh

∫ +=>< π

θπ


Tarea:

• ¿Cuál es el ángulo de la función h(x)=cos(x+θ), respecto a f(x)=sin(x)?

• ¿Cuál es la proyección ortogonal de h sobre f?

• ¿y sobre g(x)=cos(x)?

• ¿Cuál es la norma de h(x)?

Espacios LEspacios L22

Las Normas lp definidas para vectores en R∞ se transforman en las normas Lp que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue

Así, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.

( ) pb

a

p dxxff/1

|)(|∫=


Ejemplo: ¿Para que valores de r la siguiente función está en L2 considerando el intervalo [0,1]?

f(x) = xr

Solución: como

Entonces la función xr pertenece a L2 si y sólo si

r > -1/2

−≤∞

−>+=∫=

2/1

2/112

1||

1

0

22

rpara

rparardxxf r


La siguiente gráfica representa la función f(x)=xr para diferentes valores de r

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

r=-1

r=-1/2

r=-1/5

Bases de Espacios LBases de Espacios L22

Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podríamos expresar cualquier función como una Combinación Lineal (serie) de funciones de la base.

Algunas bases comúnmente utilizadas son:{1,x,x2,x3,...} Series de Taylor{1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}Series de Fourier{1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}Series de Hartley

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Dada una base {f1,f2,f3,...} de L2 es posible obtener la serie correspondiente de una función arbitraria f calculando los coeficientes c1,c2,... de dicha serie:

f= c1f1+c2f2+c3f3+...

Esto en general es complicado, pero si la base es ortogonal el problema se vuelve simple.

De hecho, el planteamiento es válido para cualquier espacio vectorial. Y los coeficientes calculados no son más que las coordenadas del vector f en la base dada.


Sea por ejemplo {b1,b2,b3,...bn} una base de Rn, y sea x=[x1,x2,x3,...,xn] un vector arbitrario en Rn, entonces:

x= c1b1+c2b2+c3b3+...+cnbn

Si la base no es ortogonal, esto conduce a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Pero si la base es ortogonal, tomando el producto interno con b1 tenemos

<x,b1> = c1<b1,b1>+c2<b1,b2>+...+cn<b1,bn>

De donde 2

1

1

1

,b

bxc

><=


En forma similar:

Y si la base es ortonormal: las expresiones se reducen a:

22

2

2

22

1

1

1

,,...,

,,

,

n

n

n bbx

cb

bxc

bbx

c><=><=><=

>=<>=<>=<nn

bxcbxcbxc ,,...,,,,2211


Ejemplo: En R2, sea la base

• Verificar que es una base ortonormal

• Encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en esta base.

Solución:

• En efecto, <b1,b1>=<b2,b2>=1 y <b1,b2>=0.

• c1 = <x,b1> = (x1-x2)/√2

c2 = <x,b2> = (x1+x2)/√2

],[],,[2

12

122

12

11 =−= bb


Tarea:• En R2, proponer una base ortonormal diferente

a la del ejemplo anterior y encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en dicha base.

• Sea {b1,b2,...bn} una base no ortogonal de Rn, y sea x=[x1,x2,...,xn] un vector arbitrario en Rn, usar el producto interno para expresar la matriz A del sistema Ac=x, donde x es el vector arbitrario y c es el vector de las coordenadas c1,c2,...,cn de x la base dada

Series de FourierSeries de Fourier

Al igual que en cualquier espacio vectorial, en L2 las bases ortogonales facilitan el cálculo de las coordenadas de un vector arbitrario.Una base ortogonal en el intervalo [0,2π] para L2 es la siguiente

{1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...}Ya que:

∫

=≠

=>=<π

π

2

0

0)()()(),(

mnpara

mnparadxmxsennxsenmxsennxsen

∫

=≠

=>=<π

π

2

0

0)cos()cos()cos(),cos(

mnpara

mnparadxmxnxmxnx

enterosmntodoparadxmxnxsenmxnxsen ∫ =>=<π2

0

,0)cos()()cos(),(


Así, una función arbitraria f(x) definida en el intervalo [0,2π], se puede expresar en ese intervalo como Combinación Lineal (Serie de Fourier) de las funciones de la base anterior, como:

f(x)=a0+a1cos(x)+a2cos(2x)+a3cos(3x)+...

+b1sen(x)+b2sen(2x)+b3sen(3x)+...

Donde los coeficientes a0,a1,a2,a3,...,b1,b2,b3,...

Son las coordenadas de la función f(x) en la base dada y se calculan como ya se dijo, es decir:


Para k=0,1,2,3,4,...

La serie obtenida para f(x) será válida solamente en el intervalo [0,2π] si f(x) está en L2.

Si queremos generalizar la serie de Fourier para cualquier valor de x f(x) deberá cumplir las condiciones de Dirichlet

∫=><=π

π

2

02 )cos()(

1

)cos(

)cos(),(dxkxxf

kx

kxxfak

∫=><=π

π

2

02 )()(

1

)(

)(),(dxkxsenxf

kxsen

kxsenxfbk


Ejemplo: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función:

<≤−<≤

=ππ

π21

01)(

xpara

xparaxf

π 2π

1

−1

f(x)

x


Solución: Calculamos los coeficientes ak:

en forma similar para los coeficientes bk:

Por lo cual, la serie de fourier queda:

∫∫∫ =−==π

π

ππ

πππ

2

0

2

0

0)cos(1

)cos(1

)cos()(1

dxkxdxkxdxkxxfak

∫∫

=−=π

π

π

πππ

2

0 0

4)(

1)(

1

parkpara

imparkparakdxkxsendxkxsenbk

+++= ...

7)7(

5)5(

3)3(

1)(4

)(xsenxsenxsenxsen

xfπ


En la siguiente figura se muestran la primera y la quinta componentes de la serie:


El Fenómeno de Gibbs:


Tarea: 1) Obtener la serie de Fourier para la siguiente función:

2) Hacer un programa en Matlab para ilustrar el fenómeno de Gibbs para la función del inciso anterior

π 2π

1

−1

f(x)

x


Funciones Pares e Impares:

Una función par es una función simétrica respecto al eje vertical, es decir, f(x) es par si

f(x) = f(-x)

π 2π

f(x)

x

−π −2π


En forma similar, una función f(x) se dice función impar si es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente

-f(x) = f(-x)

π 2π

f(x)

x

−π −2π


Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)= x+1/x, g(x)=1/(x2+1), h(x)=i(x2) donde i es una función arbitraria.

Solución:

Como f(-x) = -x - 1/x = -f(x), f es función impar.

Como g(-x)=1/((-x)2+1)=1/(x2+1)=g(x), g es función par.

Como h(-x) = i((-x)2) = i(x), h es función par.


Tarea: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)=x3-1/x, g(x)=x2/(x2+1), h(x)=i(x2+1) donde i es una función arbitraria. Verificar en cada caso con la gráfica de la función en el intervalo [-1,1], en el caso de la función i proponerla arbitrariamente para graficar.


Como la función sen(kx) es una función impar para todo k≠0 y la función cos(kx) es una función par para todo k, es de esperar que:

–Si f(x) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bk=0 para todo k

–Si f(x) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto ak=0 para todo k

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

En ocasiones se busca expresar una función f(x) en términos de otra función, o funciones más sencillas, esto es especialmente útil para simplificar cálculos o modelar comportamientos en forma aproximada.

En este caso es posible simplemente truncar una serie a partir de algún término, o bien, obtener la aproximación mediante proyección ortogonal.


Sea una función f que se desea aproximar como la C. L. finita siguiente:

f =c1g1+c2g2+...+cngn

Donde g1,g2,...,gn son n funciones arbitrarias, mediante las cuales se desea expresar f.Tomando el producto interno con cada función g, obtenemos:

<f,g1> = c1<g1,g1>+c2<g2,g1>+...+cn<gn,g1>

<f,g2> = c1<g1,g2>+c2<g2,g2>+...+cn<gn,g2>

. . .<f,gn> = c1<g1,gn>+c2<g2,gn>+...+cn<gn,gn>


Lo cual puede ser expresado en forma matricial como:

><

><><

=

><><><

><><><><><><

nnnnnn

n

n

gf

gf

gf

c

c

c

gggggg

gggggg

gggggg

,

...

,

,

...

,...,,

............

,...,,

,...,,

2

1

2

1

21

22221

11211


Ejemplo: ¿cómo aproximar la función f(x) = √x mediante una recta que pasa por el origen en el intervalo [0,1]?

Solución: sea g(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=cg(x), donde c=<f,g>/<g,g>, es decir:

56

1

0

2

1

0 =∫

∫=

dxx

dxxxc

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f(x)=x1/2

f(x)=(6/5)x


Ejemplo: ¿cómo aproximar la función f(x) = √x mediante una recta que no pasa por el origen en el intervalo [0,1]?

Solución: sea g1(x)=1, g2(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=c1g1(x)+c2g2(x), resolvemos el sistema de ecuaciones:

Es decir,

De donde c1=4/15 c2=4/5

><><

=

><><><><

2

1

2

1

2221

1211

,

,

,,

,,

gf

gf

c

c

gggg

gggg

=

5/2

3/2

3/12/1

2/11

2

1

c

c


Con lo cual, la recta obtenida es f(x)=0.26666 +0.8x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x1/2

0.2666+0.8x


Tarea: Obtener el polinomio de grado 2 que aproxima a f(x)= √x en el intervalo [0,1] y dibujar las dos gráficas juntas

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Si continuamos incrementando el grado del polinomio deseado (hasta n-1), llegaríamos a plantear un sistema cuya matriz es la siguiente:

La cual para n regularmente grande es una matrizmal condicionada.

−+

+=

)12/(1)1/(1/1

...

)1/(13/12/1

/12/11

nnn

n

n

H


Por ello, los polinomios {1, x, x2, x3,...,xn} no resultan muy prácticos para aproximar funciones, de hecho, no son ortogonales en el intervalo [0,1]

Existe una gran variedad de familias de polinomios ortogonales en algún intervalo dado. Por ejemplo, los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1,1]

Otras familias de polinomios ortogonales son los polinomios de Chevichev, Laguerre, Bessel, etc.


Los siguientes son los primeros 6 polinomios de Legendre

1/8(63x5-70x3+15)5

1/8(35x4-30x2+3)4

½(5x3-3x)3

½(3x2-1)2

x1

10

Pn(x)n


Tarea: Verificar la ortogonalidad de los primeros cuatro polinomios de Legendre. Verificar también si son ortonormales.

½(5x3-3x)3

½(3x2-1)2

x1

10

Pn(x)n


Ejemplo: Expresar la función h(x)=cos(π/2x) mediante un polinomio de grado 2, usando los polinomios de Legendre.

Solución: obtendremos los coeficientes de la aproximación cos(π/2x)≈c0P0(x)+c1P1(x)+C2P2(x):

∫ ==><=−

1

122

0

00

2)cos(

2

1,

ππ dxx

P

Phc

∫ ==><=−

1

122

1

11 0)cos(

2

3,dxxx

P

Phc π

∫ −=−=><=−

1

132

221

22

22

20)cos()13(

4

5,

ππ dxxx

P

Phc


Con lo cual, la aproximación obtenida es

cos(π/2x) ≈ f(x) = 2/π + 10/π3 P2(x)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cos(pi/2x)

f(x)


Tarea:Hallar una aproximación para la función h(x)=sen(π/2x) en el intervalo [-1,1], usando un polinomio de grado 2, usando polinomios de Legendre.

Graficar juntas la función h(x) y el polinomio obtenido.

espacios l2

Technology