Espacio métrico

2º Bachillerato

Ángulo entre dos rectas

cos (∧

r , s) = | cos ∧

(→u ,→v ) | =

|→ur . →us |

|→ur |.|→us |

Definición: Es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales.

cos (∧

r , s) = cos ∧

(→ur ,→us ) cos (

∧r , s) = – cos

∧(

→ur ,

→us )

Ángulo entre dos rectas: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo

Sean r: c

zz

b

yy

a

xx 111 −=−=− y s: ''' c

zz

b

yy

a

xx 222 −=−=− dos rectas

cualesquiera. Entonces:

cos ( ∧r , s) = |aa' + bb' + cc'|

a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2

r ⊥ s ⇔ ru

· su = 0 ⇔ a a' + b b' + c c' = 0

Condición de perpendicularidad

Condición de paralelismo

''' orc.//

c

c

b

b

a

aupropusr sr ==⇔⇔

Ángulo entre dos planos

Definición: El ángulo de dos planos secantes a y b es el menor de los ángulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.

cos (∧α , β) = cos

∧(→nα , →nβ)

cos (∧α , β) = | cos

∧(→nα , →nβ) | =

|→nα . →nβ|

|→nα| . |→nβ|

cos (∧α , β) = – cos

∧(→nα , →nβ)

Ángulo de dos planos: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad

Si a y b son dos planos cualesquiera a: Ax + By + Cz + D = 0 y b: A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces:

cos (∧

α , β) = |AA' + BB' + CC'|

A2 + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2

α ⊥ β ⇔ →nα .

→nβ = 0 ⇔ A A' + B B' + C C' = 0

Condiciones de perpendicularidad

Ángulo entre recta y plano

Definición: El ángulo de una recta r y un plano a es igual al ángulo que forma la recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre a.

sen (∧

r , α) = | cos ∧

(→ur ,

→nα) | =

|→ur .

→nα|

|→ur | . |

→nα|

sen (∧

r , α) = cos ∧

(→ur , →nα) sen (∧

r , α) = cos ∧

(–→ur , →nα) = | cos ∧

(→ur , →nα) |

Ángulo entre recta y plano: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo

Sean r: x – x1

a = y – y1

b = z – z1

c y α: Ax + By + Cz + D = 0. Entonces:

cos (∧

r , α) = |aA + bB + cC|

a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2

r ⊥ α ⇔ →ur || →nα ⇔

aA =

bB =

cC

r || α ⇔ →ur . →nα = 0 ⇔ a A + bB + cC = 0

Condiciones de perpendicularidad

Condiciones de paralelismo

Proyección ortogonal

1 Punto sobre plano 2 Recta sobre plano

P no pertenece π

P pertenece π r incluida π

r no incluida π

Distancia entre dos puntos

→b

• B(x2, y2, z2)

→a

•

A(x1, y1, z1)

d (A, B) = |→AB| = (x2 – x1)

2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)

2

→AB = (x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1)

→a +

→AB =

→b

→AB =

→b –

→a

= 0

→ → → → → →ΑαP • nα = AαQ • nα + QP • nα

d (P, α) = d(P, Q) = |→QP| =

Distancia entre punto y plano

Dado P (un punto) y α (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, α), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano.

Según la definición anterior: d(P, α) = d(P, Q)→

AαP = →

AαQ + →QP

|→

AαP • →nα|

|→nα|

=|Ax1 + By1 + Cz1 + D|

A2 + B2 + C2

Distancia entre dos planos paralelos

La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.

d(α, β) = d(Pα, β) = d(Pβ, α)

d (P, r) = d(P, Q) = |→QP| =

|→

ArP x →ur |

|→ur |

=

= 0→

→ΑrP x

→ur =

→ArQ x

→ur +

→QP x

→ur

|(x1 – xo, y1 – yo, z1 – zo) x (a, b, c)||(a, b, c)|

Distancia entre punto y recta

Dado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de Q sobre la recta.

→ArP =

→ArQ +

→QP

(a, b, c)

(xo , y

o , zo )

(x1, y1, z1)Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)

Distancia entre dos rectas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra.

d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)

s

Distancia entre dos rectas que se cruzan

La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa por s y el plano paralelo a s que pasa por r.

• d(r, s) = d(As, α)=d(Ar, β)

d (P, α) = |→

AαP • →nα|

|→nα|

• Como sabemos que

Tomamos Aα = Ar ; P = As ; →nα = →ur x →us•

Partiendo de la figura

Y nos quedará:

d (r, s) = d(As, α)| = | →

ArAs . ( →ur x →us ) |

|→ur x →us |

= | det (→

ArAs, →ur , →us ) |

|→ur x →us |

Esto nos da la altura del paralelepípedo (volumen/ área)

Perpendicular común (I)

La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas.

r

s

us

→

ur

→• Ar

• As

α

β ur x us→→

p• La recta p, perpendicular

común, queda determinada por el corte de los planos α y β.

• Se observa queα (Αr, ur, ur x us)

β (Αs, us, ur x us)

→ → →

→ → →

Por lo tanto p: det(

→ArX,

→ur ,→ur x→us ) = 0

det(→

AsX,→us ,→ur x→us ) = 0

Perpendicular común (II)

s

r

p

us

vr

Ps

Pr

La distancia entre las dos rectas, viene dada por la distancia entre los puntos Pr y Ps situados uno sobre dada una de las rectas y en la perpendicular común

El punto Pr tendrá por coordenadas genéricas las correspondientes a las ecuaciones paramétricas de la recta: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3)

Análogamente las coordenadas del punto de s serán: Ps = (x2 + t v1, y2 +t v2, z2 + t v3)

El vector PrP2 es ortogonal a los vectores u y v, luego

=

=

0u·PP

0u·PP

ssr

rsr

Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y s que permiten conocer los puntos y luego su distancia.

A partir de ellos se puede escribir la ecuación de la perpendicular común.

Áreas de paralelogramos y triángulos

S(ABCD) = | AB x AC |→ →

→S(ABC) = |AB x AC|

→12

Paralelogramos

Triángulos

Volumen de paralelepípedos y tetraedros

Paralelepípedo

Tetraedro Por ser una pirámide: V = (1/3) · base · altura

→Altura = h = |AD| cos(AD, h)

→ →Por tanto:

12

Base = S(ABC) = |AB x AC|→ →

V = |det (AB, AC, AD)|→ → →

→V= |AD · (AB x AC)| = |det (AB, AC, AD)|1

6→ → → → →1

6