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Espacio métrico 2º Bachillerato

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  • Espacio mtrico2 Bachillerato

  • ngulo entre dos rectasDefinicin: Es el menor de los ngulos que forman sus vectores direccionales.

    cos ( EC \o\ac(\s\up25(();r , s)) = | cos );u) EC \o\ac(\s\up25(();(, EC \o(\s\up14();v))) | = );ur) EC \f( . EC \o(\s\up14();us)|;| EC \o(\s\up14();ur)|.| EC \o(\s\up14();us)|)

    cos ( EC \o\ac(\s\up25(();r , s)) = cos );ur) EC \o\ac(\s\up25(();(, EC \o(\s\up14();us)))

    cos ( EC \o\ac(\s\up25(();r , s)) = cos );ur) EC \o\ac(\s\up25(();(, EC \o(\s\up14();us)))

  • ngulo entre dos rectas: expresin analtica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismoCondicin de perpendicularidadCondicin de paralelismo

    Sean r:

    y s:

    dos rectas cualesquiera. Entonces:

    _1103644676.unknown

    _1103644703.unknown

    r ( s (

    = 0 ( a a' + b b' + c c' = 0

    _1103645219.unknown

    _1103645255.unknown

  • ngulo entre dos planosDefinicin: El ngulo de dos planos secantes a y b es el menor de los ngulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ngulo rectilneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.

    cos ( EC \o\ac(\s\up25((); , )) = | cos );na) EC \o\ac(\s\up25(();( , EC \o(\s\up14();nb))) | = );n) EC \f( . EC \o(\s\up14();n)|;| EC \o(\s\up14();n)| . | EC \o(\s\up14();n)|)

  • ngulo de dos planos: expresin analtica. Condiciones de perpendicularidad Si a y b son dos planos cualesquiera a: Ax + By + Cz + D = 0 y b: A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces: Condiciones de perpendicularidad

    ( ( EQ \o(\s\up15();na) . EQ \o(\s\up15();n) = 0 ( A A' + B B' + C C' = 0

  • ngulo entre recta y planoDefinicin: El ngulo de una recta r y un plano a es igual al ngulo que forma la recta r con la proyeccin ortogonal, r', de r sobre a.

    sen ( EQ \o\ac(\s\up25(();r , )) = | cos );ur) EQ \o\ac(\s\up25(();( , EQ \o(\s\up14();n))) | = );ur) EQ \f( . EQ \o(\s\up14();n)|;| EQ \o(\s\up14();ur)| . | EQ \o(\s\up14();n)|)

  • ngulo entre recta y plano: expresin analtica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismoCondiciones de perpendicularidadCondiciones de paralelismo

    Sean r: EQ \f(x x1;a) = \f(y y1;b) = \f(z z1;c) y : Ax + By + Cz + D = 0. Entonces:

    r ( ( EC \o(\s\up15();ur) || EC \o(\s\up15();n) ( EC \f(a;A) = \f(b;B) = \f(c;C)

    r || ( EC \o(\s\up15();ur) . EC \o(\s\up15();n) = 0 ( a A + bB + cC = 0

  • Proyeccin ortogonal1Punto sobre plano2Recta sobre plano P no pertenece pP pertenece pr incluida pr no incluida p

  • Distancia entre dos puntos B(x2, y2, z2)

    d (A, B) = | EC \o(\s\up15();AB)| = EC \r((x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2)

    EC \o(\s\up15();AB) = (x2 x1 , y2 y1, z2 z1)

    EC \o(\s\up20();a) + EC \o(\s\up22();AB) = EC \o(\s\up20();b)

    EC \o(\s\up22();AB) = EC \o(\s\up20();b) EC \o(\s\up20();a)

  • Distancia entre punto y planoDado P (un punto) y (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, ), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyeccin ortogonal de P sobre el plano.Segn la definicin anterior: d(P, a) = d(P, Q)

    d (P, ) = d(P, Q) = | EC \o(\s\up15();QP)| =

    EC \o(\s\up15();AP) = EC \o(\s\up15();AQ) + EC \o(\s\up15();QP)

    );AP) EC \f( ( EC \o(\s\up14();n)|;| EC \o(\s\up14();n)|) =

    EC \f(|Ax1 + By1 + Cz1 + D|;\r(A2 + B2 + C2))

  • Distancia entre dos planos paralelosLa distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.d(a, b) = d(Pa, b) = d(Pb, a)

  • Distancia entre punto y rectaDado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyeccin ortogonal de Q sobre la recta.Segn la definicin anterior: d(P, r) = d(P, Q)

    d (P, r) = d(P, Q) = | EC \o(\s\up15();QP)| = );ArP) EC \f( x EC \o(\s\up14();ur)|;| EC \o(\s\up14();ur)|) =

    EC \o(\s\up17();rP) x EC \o(\s\up17();ur) = EC \o(\s\up17();ArQ) x EC \o(\s\up17();ur) + EC \o(\s\up17();QP) x EC \o(\s\up17();ur)

    EC \o(\s\up15();ArP) = EC \o(\s\up15();ArQ) + EC \o(\s\up15();QP)

  • Distancia entre dos rectas paralelasLa distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra.d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)

  • Distancia entre dos rectas que se cruzan La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa por s y el plano paralelo a s que pasa por r. d(r, s) = d(As, a)=d(Ar, b)Partiendo de la figuraY nos quedar:Esto nos da la altura del paraleleppedo (volumen/ rea)

    d (r, s) = d(As, )| = );ArAs) EC \f( . ( EC \o(\s\up14();ur) x EC \o(\s\up14();us)) |;| EC \o(\s\up14();ur) x EC \o(\s\up14();us) | ) = );ArAs) EC \f(| det (, EC \o(\s\up14();ur), EC \o(\s\up14();us)) |;| EC \o(\s\up14();ur) x EC \o(\s\up14();us) | )

  • Perpendicular comn (I)La perpendicular comn a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas.abLa recta p, perpendicular comn, queda determinada por el corte de los planos a y b.

    Por lo tanto p: );ArX) EC \B\lc\{(\s(det(, EC \o(\s\up15();ur), EC \o(\s\up15();ur)x EC \o(\s\up15();us)) = 0;det( EC \o(\s\up15();AsX), EC \o(\s\up15();us), EC \o(\s\up15();ur)x EC \o(\s\up15();us)) = 0))

  • Perpendicular comn (II)La distancia entre las dos rectas, viene dada por la distancia entre los puntos Pr y Ps situados uno sobre dada una de las rectas y en la perpendicular comnEl punto Pr tendr por coordenadas genricas las correspondientes a las ecuaciones paramtricas de la recta: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3) Anlogamente las coordenadas del punto de s sern: Ps = (x2 + t v1, y2 +t v2, z2 + t v3)Se obtiene as un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas t y s que permiten conocer los puntos y luego su distancia.A partir de ellos se puede escribir la ecuacin de la perpendicular comn.

  • reas de paralelogramos y tringulosParalelogramosTringulos

  • Volumen de paraleleppedos y tetraedrosParaleleppedoTetraedro Por ser una pirmide: V = (1/3) base alturaPor tanto: