esfuerzo simple de corte y de aplastamiento

RESISTENCIA DEMATERIALESUNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

ING. FERNANDOURRUTIA.

RESISTENCIA DE MATERIALES

ING. FERNANDO URRUTIA Página 1

ContenidoESFUERZO SIMPLE ............................................................................................................................... 2

103............................................................................................................................................... 3

104.- ............................................................................................................................................ 5

105............................................................................................................................................. 10

106............................................................................................................................................. 14

107............................................................................................................................................. 18

108............................................................................................................................................. 20

109............................................................................................................................................. 22

110............................................................................................................................................. 24

111............................................................................................................................................. 27

112............................................................................................................................................. 29

113............................................................................................................................................. 32

ESFUERZO CORTANTE ....................................................................................................................... 35

114............................................................................................................................................. 36

115............................................................................................................................................. 39

116............................................................................................................................................. 42

117............................................................................................................................................. 45

118............................................................................................................................................. 47

119............................................................................................................................................. 50

120............................................................................................................................................. 53

121............................................................................................................................................. 56

ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO. ................................................................................ 58

123............................................................................................................................................. 59

124............................................................................................................................................. 62

125............................................................................................................................................. 65

126............................................................................................................................................. 67

127............................................................................................................................................. 69

128............................................................................................................................................. 72

129............................................................................................................................................. 76



ESFUERZOSIMPLE



103.- Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en lafigura. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder los 100 MPa y 50 MPa,respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 Para el cable AB y200 Para el cable AC.

CB

45O

O300

W

A



DATOS.

σab= 100 MPa

σac= 50 MPa

AREA AB= 400 = 4 *10AREA AC= 200 = 2 *10SOLUCION.

Procedemos a sacar el valor de P respecto al cable AB y cable AC, aplicando la siguiente

formula: σ =Respecto al cable AB.

100mpa = P4 ∗ 10 P = 40 KN.

Respecto al cable AC.σ = P50mpa = P2 ∗ 10 P = 10 KN.

Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto a Y e igualamos a cero para de esta maneracumplir con la condición de equilibrio.

Σfy= 0

Sen45*Tac + Sen30*Tab – W = 0

Sen45*(10KN) + Sen30*(40KN) – W = 0

W = 7.07KN + 20KN

W = 27.07 KN.



104.- Calcule para la armadura de la figura los esfuerzos producidos en los elementosDF, CE Y BD. El área transversal de cada elemento es 1200 . Indique la tensión (T) obien la compresión (C).

E

D

A

6m

4m

4m 3m 3m

B

F

100KN 200KN

FDFDy

RfyEF

α

NODO F

CE

200 KN

ED

EF

NODO E

NODO B

Ωβ

BA

BC

BD



DATOS.

σdf= ?

σce= ?

σbd= ?

AREA TRANSVERSAL= 1200 = 120 x 10SOLUCION.

Realizamos la sumatoria de fuerza en A respecto a Y. Y la sumatoria de momentos de A.

ΣMA= 0

-4m(100KN) – 7m(200KN) + 10 Rfy = 0

(-400 – 1400 = -10Rfy)*(-1) Multiplicamos por -1 para dejar los términos positivos.

1800 = 10Rfy

Rfy = 180 KN.

ΣF.Ay= 0

Ray + Rfy – 100KN – 200KN = 0

Ray + Rfy = 300 KN

Ray = 300 KN – 180KN

Ray = 120 KN

Encontramos el ángulo que se ubica en el triángulo DEF.

Tangente α = 4/3

Α= (4/3)

Α= 53.13

Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo F y calculamos el esfuerzo DF.

ΣF.fy= 0

Rfy + FD*Sen53.13= 0



FD = − Rfy53.13FD = − 180kn53.13FD = - 225 KN.

ΣF.fx= 0

- EF – FD*Cos53.13= 0

-EF = -(-225*Cos53.13) = 0

-EF = 224*Cos53.13

EF = -134.40 KN

σdf= .σdf= 1200x10− 6 2σdf= -187500 kpa

σdf= -187.5 mpa

Concluimos que el esfuerzo en DF está comprimiendo a la estructura, porque es negativo.

Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo E y calculamos el esfuerzo EC.

ΣF.ey= 0

ED – 200KN= 0

ED=200KN

ΣF.ex= 0

EF - CE=0

CE=134.40 KN

σec=.1200x10− 6 2

σec=112000 kpa



σec=112.mpa

Concluimos que el esfuerzo es de tensión puesto que este es positivo.

Sacamos el valor del ángulo β y ángulo Ω para aplicarlo en el nodo B

Tangente β = 4/6

Β = (4/6)

Β = 33.69

Tangente Ω = 3/2

Ω = (3/2)

Ω = 56.31

Realizamos la sumatoria de fuerza para A.

Tangente ᶲ = 3/2

ᶲ = (3/2)

ᶲ = 56.31

ΣF.ay= 0

Ray + AB*Sen56.3 = 0

AB= .AB= -144.239KN

ΣF.ax= 0

AC – 144.239*Cos56.3 = 0

AC= 80.2KN

Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo B y calculamos el esfuerzo BD.

ΣF.bx= 0

-AB*Sen33.6 + BD*Sen56.31 = 0



BD=. ∗ ..

BD= - 95.93 KN

σdf= 1200x10− 6 2σbd=

.1200x10− 6 2σbd= - 79943.67 kpa

σbd= - 79.943 mpa

Concluimos que el esfuerzo en BD está comprimiendo a la estructura, porque es negativo.



105.- Determine, para la armadura de la figura las áreas transversales de las barras BE,BF y CF de modo que los esfuerzos no excedan de 100 MN/ En tensión, ni de 80MN/ En compresión. Para evitar el peligro de un pandeo, se especifica una tensiónreducida en la compresión.

F

B

40KN

8m

E

50KN

C

D

A

8m

3m3m6m G

B

P

G

GEx

GEy

E

EB

EBx

EBy

50 KN

FC

EBx

40 KN

FG



DATOS

σtorsion= 100 MN/

σcompresion= 80 MN/

ABE= ?

ABF= ?

ACF= ?

SOLUCION.

Procedemos a sacar el valor de los ángulos β y Ω.

Tangente β = 8/6

Β = (8/4)

Β = 53.13

Tangente Ω = 8/6

Ω = (8/3)

Ω = 69.4

Realizamos una sumatoria de momentos respecto a F.

Σmf= 0

-50KN*(3m) + (EB*Cos53.13KN)*4m = 0

-150 + 2.40*EB = 0

EB= .EB= 62.49 KN = PEB

Reemplazamos EB para sacar sus components en X y Y.

Eby = EB * Sen β

Eby = 62.49 *Sen53.13



Eby = 50 KN

Ebx = EB * Sen Ω

Ebx = 62.49 *Sen 69.4

Ebx = 37.5 KN

Efectuamos la sumatoria respecto al nodo F e igualamos a 0, para cumplir con la condiciónde equilibrio.

ΣF.fy = -40 -50 + eby + FB*senΩ

ΣF.fy = -40 -50 + 50 + FB*Sen69.4

0 = -40 -50 + 50 + FB*Sen69.4

FB*Sen69.4 = 40

FB =42.73 KN = PFB

ΣF.fx = -FC – ebx – FB*Cos69.4

0 = -FC - 37.5 KN – 42.73*Cos69.4

FC = - 37.5 KN – 15.03KN

FC = 52.53 KN = PFC

Para la compresión usamos el esfuerzo de 80 MN/ Y la tensión de FC.

σcf=

σcf=.

ACF=.80MN/ 2

ACF= 6.55 x 10ACF= 655

El área en compresión con un esfuerzo de 52.53KN es de 655 . Para la tensión empleamos el esfuerzo 100 MN/ Y la tensión de BF y BE.

σbf=



σbf=.

σBF=.100MN/ 2

ABF= 4.27 x 10ABF= 427

El área en tensión con un esfuerzo de 42.73KN es de 427 .σbe=

σbe=.

ABE=.100MN/ 2

ABE= 6.249 x 10ABE= 624

El área en tensión con un esfuerzo de 62.49KN es de 624 .



106.- Todas las barras de la estructura articulada de la figura tienen una sección de 30mm por 60 mm: determine la máxima carga P que puede aplicarse sin que los esfuerzosexcedan a los fijados en el problema 105.

B

8m

CA

10m

3m

P

A

B Cβα

CyByx

P

ABy

AB

AC ABxAy

α

A

B



DATOS.

σT = 100 MPa

σcortante = 80 MPa

A = (30 * 60)A = 1800 A = 1.8 * 10 SOLUCION.

Aplicando la ley de cosenos se obtiene β y α, asi:

64 = 36 + 100 – 2(60)Cosβ

β= ( )

β= 53.13

36 = 64 + 100 -2(80)Cosα

α= ( )

α= 36.87

Procedemos a sacar el valor de x situado en el triangulo

Cos 36.87 =

X = 6.4m

Con la sumatoria de momentos

(-6.4m)P + (10)Cy = 0

Cy = 0.64 P

BCx

BAy

BCy

BAx

BA BCx

P

α β



Hacemos sumatoria respecto a X

ΣFy = 0

Ay + Cy = P

Ay = P – 0.64P

Ay = 0.36 p

Respecto al nodo A sumatoria de fuerzas en X e Y.

ΣF.Ax = 0

AC + AB*Cos36.87 = 0

AC = - AB*Cos36.87 ECUACION 1

ΣF.Ay = 0

Ay + AB*Sen36.87 = 0

Ay = - AB*Sen36.87

Aplicamos sumatoria de fuerzas en x, respecto al nodo B

ΣF.Bx = 0

BC*Cos53.13 – BA*Cos36.87 = 0

BA =BC∗Cos53.13.

BA = 0.75BC ECUACION 2

ΣF.By = 0

-BA*Sen36.87 – BC*Sen53.13 = P

-(0.75BC) *Sen36.87 – BC*Sen53.13 = P

BC(-0.75BC*Sen36.87 – Sen53.13) = P

BC(-1.25) = P

BC = -0.8P COMPRESION



Remplazamos BC en ECUACION 2.

BA = 0.75 * BC

BA = 0.75 * (-0.8P)

BA = - 0.6P COMPRESION

Remplazamos BA en ECUACION 1.

AC = - AB*Cos36.87

AC = -(-0.6P) * Cos36.87

AC = 0.48P TENSION

Aplicando la formula de esfuerzo calcular el valor de P, respecto a los tres puntosanalizados antes. Con dichos resultados obtenemos la carga máxima P que puedeaplicarse.

σ= AσBA= A(80 * 10 Pa) * (1.8 * 10 ) = - 0.6P

P = 240 KN

σBC= A(80 * 10 Pa) * (1.8 * 10 ) = - 0.8P

P = 180 KN ES LA CARGA MAXIMA QUE SE DEBE APLCIAR, SI SE APLICA MAS SE ROMPERAN LOSSOPORTES

σAC= A(80 * 10 Pa) * (1.8 * 10 ) = 0.48P

P = 375 KN



107.- Una columna de hierro fundido (o Fundición) soporta una carga axial decomprensión de 250 KN. Determine su diámetro interior si el exterior es de 200 mm yel máximo esfuerzo no debe exceder de 50 MPa.

DATOS.

σmax= 50mpa

P= 250 KN

Diámetro Exterior= 200 mm = 0.2m = De

Diámetro Interior = Di = ?

SOLUCION.

Empleamos la formula del esfuerzo y aplicando la ecuación del área, despejamos el valordel diámetro.

σ=

A=

A= 0.005 Remplazamos el valor de A en la siguiente ecuación:

= ( − )4

Di

200 mm



0.005 = (0.2 − )40.02 = ∗ 0.2 − ∗

= 0.02 − ∗ 0.2= 0.0336= 0.1834= 183.4

El diámetro interno es de 183.4 m.



108.- Calcule el diámetro exterior de un tirante tubular de acero que debe soportar unafuerza de tensión de 500KN con un esfuerzo máximo de 140MN/m2: Suponga que elespesor de las paredes es una décima parte del diámetro exterior.

DATOS.

P = 500KN

σ = 140 mpa

Diámetro Externo = ?

SOLUCION.

σ=

A = Ecuación 1

= ( )Ecuación 2

Igualamos la ecuación 1 y ecuación 2 para obtener el valor del diámetro exterior.( − )4 = σ

0.8*x

0.1*x

x



( − 0.8 )4 = 500140mpa0.2827 = 3.5714 10 .= 0.01263 .= 0.1123= . El diámetro externo del tirante tubular es de 112.3 mm



109.- En la figura se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determine elesfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar por una reaccióndel terreno R=20KN, AB forma un ángulo de 53.1o con BC.

DATOS.

σ= ?

R = 20 KN

Diámetro Interno = Di = 30mm = 0.03m

Diámetro Externo = De = 40mm = 0.04m

SOLUCION.

Realizamos momento respecto al punto C.

ΣM.c =0

0 = -R(650mm) + AB*Sen 53.1(450mm)

20KN(650mm) =AB*Sen 53.1*(450mm)

450mm450mm

R.ABRcy

R

B C



= 20 (650 )Sen53.1 ∗ (450mm)= 36.125350KN= 36125.350N

Encontramos el área y aplicamos la fórmula para hallar el esfuerzo.

= ( − )4= (0.04 − 0.03 )4= 5.497 10

σ=

σ=36125.350N5.497 10− 4 2

σ= . / .Se produce un esfuerzo de compresión de 65.72 MN/ En el tornapunta, cuando el aviónaterriza.



110.- Un tubo de acero se encuentra rígidamente sujeto por un perno de aluminio y porotro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en lospuntos indicados. Calcule el máximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80 MPaen el aluminio; de 150 MPa en el acero ; 0 de 100 MPa en el bronce.

A=200mmA=500mm

A=400mm3P

3p

2PP

AluminioAcero

Bronce

1m 2m 2,5m

Aluminio.

P

PMax

200mm2

Acero.

-2P

400mm2

PMax

Bronce.

-4P

500mm2

PMax



DATOS.

σ.al = 80 MPa

σ.Ace = 150 MPa

σ.Bron = 100 MPa

Área.al= 200 = 0.0002Área.Ace= 400 = 0.0004Área.Bron= 500 = 0.0005P.al = ?

P.Ace = ?

P.Bron = ?

SOLUCION.

Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al aluminio.

σ=

P = 80 mpa * 0.0002P = 0.016MN.

P = -16KN.

El valor máximo de P respecto al aluminio es de -16KN, debido a que esta se dirige de derecha aizquierda, es decir en sentido anti horario (negativo).

Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al Acero.

σ=

P = 150 mpa * 0.0004P = 0.06MN.

P = 60 KN.

Realizamos sumatoria de fuerzas respecto a X para obtener el valor máximo de P en la unión delAcero.



P -3P + P = 0

P = 2P

P = KN

P = 30 KN

El valor máximo de P respecto al acero es de 30 KN.

Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al Bronce.

σ=

P = 100 mpa * 0.0005P = 0.05MN.

P = 50 KN.

Realizamos sumatoria de fuerzas respecto a X para obtener el valor máximo de P en la unión delBronce.

P -3P - 2P + P = 0

P = 4P

P = KN

P = 12.5 KN

El valor máximo de P respecto al bronce es de 12.5 KN.



111.- Una barra homogénea AV (de 150Kg) soporta una fuerza de 2KN, como puedeverse en la figura. La barra esta sostenida por un perno (en B) y un cable (CD) de 10mmde diámetro. Determine el esfuerzo ejercido en el cable.

DATOS.

W= 150 Kg

F= 2KN

Diametro Cable= 10mm = 0.01 m

A

B

C

4m2m

3m

2KN

D

3m

4m

C αBA

D

3m

2 KN 150 Kg

3m



SOLUCION.

Procedemos a encontrar el ángulo α que se encuentra en el triangulo BCD.

Tangente α = 4/3

Α = (4/3)

Α = 53.13

Aplicamos la sumatoria de momentos respecto al punto B.

2KN*(6m) + (150Kg*9.8)*(3m) - (CD*Sen α)*(3m) = 0

12knm + 4410Nm = (CD*Sen53.13) *(3m)

1200Nm + 4410Nm =CD*2.3999m

= 164102.3999m= 6837.7849N Encontramos el área del cable que sostiene a la barra.

A= π *

A= π * (0.05 )A= 0.000078539

Empleando la formula de esfuerzo encontramos su valor.

σ=

σ=..

σ= 87062286.25 Pa.

σ= 87.062 MPa

Concluimos que el esfuerzo que realiza el cable para sostener a la barra es 87.062 MPa.



112.- Calcule el peso del cilindro mas pesado que se puede colocar en la posición que seindica en la figura; sin rebasar un esfuerzo de 50MN/m2 en el cable BC: Desprecie elpeso de la barra AB . El área transversal del cable BC es de 100mm2.

α

A

C Bβ

α

β

W

P



DATOS.

σmax = 50MN/m2

A = 100 mm2 = 0.0001 m2

W = ?

SOLUCION.

Encontramos los ángulos α y β.

Tangente α = 6/10

α = (6/10)

α = 36.86

Para el ángulo β:

β = 90 – 36.86

β = 53.14

Realizamos la sumatoria de momentos respecto A, para encontrar el valor del peso delcilindro.

ΣM.a =0

R * (4) + BC* (sen 53.14.)(10) = 0

BC = -

BC = -

De la fórmula del esfuerzo se tiene

== − 2100 10= 50 10

Reemplazando se tiene:

6m

4m

530

370

R

BC

AY

AX



50 10 = Despejando R se tiene

R = 10 KN

Del diagrama del cuerpo libre del cilindro se tiene:

ΣFy=0

W = R. sen37

W= 10 ( )

W = 6 KN

W = 6 KN

El peso máximo que debe tener el cilindro es de 6 KN para que pueda soportar ubicado en laposición indicada.

R1

W

R

370



113.- Una barra homogénea AB (de 1000Kg de masa) pende de dos cables AC Y BD,cada uno de los cuales tiene un área transversal de 400 mm2, como se observa en lafigura. Determine la magnitud P. Así como la ubicación de la fuerza adicional máximaque se puede aplicar a la barra. Los esfuerzos en los cables AC y BD tiene un limite de100MPa y 50 MPa, respectivamente.

B

1,8m 1,8m

C D

x P

2m

BD

W

ACP

x

1m



DATOS.

M = 1000Kg

Área = 400 mm2 = 0.0004 m2

P = ?

X = ?

.AC = 100 MPa

. BD = 50 MPa

SOLUCION.

Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos los valores de las tensiones para AC y BD.

.AC =

PAC = 100 MPa * 0.0004 m2

PAC = 0.004 MN.

PAC = 40000 N

.BD =

PBD = 50 MPa * 0.0004 m2

PBD = 0.002 MN.

PBD = 20000 N

Efectuamos la sumatoria de fuerzas en Y, para obtener el valor de P

ΣF.y =0

TAC – P – (1000Kg * 9.8m/s2) + TBD = 0

40000N – P – 9800N +20000 = 0

P = 50200N

P = 50.2 KN.

El valor de la fuerza máxima (P) que se debe aplicar a la barra es de 50.2KN.



Realizamos sumatoria de momentos respecto al nodo A, para obtener el valor de x.

ΣM.a =0

-P(x) – 9800N*(1m) + 20000N(2m) = 0

-50200N*(x) – 9800Nm + 40000Nm = 0

X =

X =

X = 0.602 m

La ubicación de la fuerza máxima que debe aplicarse en la barra es de 0.602 m



ESFUERZOCORTANTE



114.- Se desea punzonar una placa, tal como se indica en la figura 1-10c, que tiene unesfuerzo cortante ultimo de 300 MPa.

a) Si el esfuerzo de compresión admisible en el punzon es 400 MPa, determine elmáximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100mm dediámetro.

b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el máximo diámetro que puedepunzonarse.

DATOS

Ʈ=300 MPa (al hablar de un esfuerzo cortante ultimo se deduce que es lo máximo que la placapuede soportar el corte).

=400 mpa.

(a)

d= 0,1m

t=?



(b)

t=0,01m

d=?

SOLUCIÓN

(a)

Ʈ =V=carga cortante

Remplazamos τ en la formula.

3 10 = Al remplazar aun se obtienen dos incógnitas por lo que usamos otro de los datos

proporcionados en el problema.= El análisis lo realizamos en el punzón, ya que el esfuerzo de contacto

se produce en el.

P: carga

A: área de el punzónσ = 400X10A= (π x )/4

A= (π (0,1) /4)

Remplazamos σ y A en la fórmula

400X10 = (π(0,1) /4)P=(400X10 / ) (7,954x10 )

P=3,14 x 10 Con el valor obtenido de la carga podemos remplazar en el esfuerzo cortante para así

obtener el espesor de la placa t.

El área a la que nos referimos en este esfuerzo y el área del punzón son dos áreas distintas.



Ʈ =V=P

A=π *d*t El área en este esfuerzo se refiere al corte que el punzón provoque en laplaca. Por lo que se debe multiplicar el perímetro del punzón por el espesor de la placa (a).

Remplazamos A, V Y Ʈ en la formula.

3 10 = 3,14x10Π ∗ d ∗ tAl tener t como única incógnita se la despeja y se habrá encontrado el valor de el espesor.

= 3,14x103 10 Pa(π ∗ 0,1)t=0,0333m

(b)

Al buscar el diámetro el procedimiento es muy similar, remplazamos los valores tanto de Ʈ comode .Ʈ =3 10 / = ∗ ∗ (0,01)σ =400X10 = (π /4)

Al tener ambas ecuaciones en función del mismo diámetro, y al notar también que V=P,podemos igualar las dos ecuaciones para encontrar el diámetro:3X10 N/m (π ∗ d ∗ 0,01 ) = 400X10 N/m (πd /4)

d = 4(300x10 N ∗ π 0,01m10 )400 ∗ 10 ∗ πd = 0,03m



115.- La figura muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de madera.Despreciando el rozamiento.

a) Determine la dimensión b si el esfuerzo cortante admisible es de 900KPa.

b) Calcule también la dimensión c si el esfuerzo de contacto no debe exceder de7 MPa.

DATOSƮ = 900 10 Pa

(a)

P= 50KN

(b)

Σ= 7 10 SOLUCIÓN

(a)

El problema señala que existe un esfuerzo cortante, para este esfuerzo tenemos una carga de50KN, pero no se menciona el lugar donde la fuerza actúa por lo cual se debe determinar el áreadonde la carga trabaja.



= + Al tener un ángulo se deduce que la fuerza es la resultante de lasumatoria de otras dos fuerzas

=V=Pcont= P Cos30°

= Psen30°

Del análisis del grafico se determina el área del esfuerzo cortante y la fuerza que actúan enella para así encontrar b:

Ʈ =A= b x 0,15m el área debe ser paralela a la fuerza para que le provoque un corte.

Remplazando valores en la fórmula dada:

900 10 N/m= °( , )

b=, / ( , )

b

Px=V=Pcont

P

Py30˚

0,15

=V= P Cos30°



b= 3,208 10(b)

De la misma manera, se debe analizar tanto la fuerza como el área para la cual se puedausar el valor dado en el ejercicio.

σ=

A=c x 0,15m se toma un área que sea perpendicular a la carga y que además estecompuesta con la medida de c.

Remplazamos en la fórmula

7 10 Pa= ° ,

C=,( , )

C=0,04124m

C

0,15

=Pcont= P Cos30°



116.- En el dispositivo del tren de aterrizaje descrito en el Prob.109, los pernos en A y Btrabajan a cortante simple y el perno en c a cortante doble. Determine los diámetrosnecesarios si el esfuerzo cortante admisible es de 50 MN/ .

DATOS

Ʈ=50MN/ .

ƟAB=53,1˚

R=20KN

SOLUCION

Para encontrar los diámetros se debe realizar un cálculo que implique al esfuerzocortante.

Ʈ =A= π /4

Realizamos una sumatoria de momentos que actúan en el dispositivo e igualamos a cero(equilibrio) para así obtener la carga V.

450mm

200mmm

B

A

C

Detalle C.



Para AB.

Σmc=0

-20x 10 N(0,65)+P(Sen 53,1) (0,45)=0

P=( , )( , )P=36125,35

P=V=36125,35N

Al tener el dato de la carga y del esfuerzo podemos encontrar el último dato que aun no seha obtenido.

= ƮA= , /A= 7,2250 10 .

Con el valor del área, se puede obtener el radio al remplazar en la formula de área:

A= π /44(7,2250 10 )/ =d

d=0,0303m

Para C

Realizamos el mismo procedimiento para encontrar la carga, es decir; sumamos losmomentos en el punto b.

P=VRcy

R

C

B



Σmb=0

-20 10 (0,2)+Rc(sen53,1°)(0,45m)=0

-400+Rc(sen 53,1)(0,45)=0

Rc=( , )( , )Rc=11115,4925N

Rc=V

Con el valor de la carga y de Ʈ se calcula el área, al hablar de un cortante doblemultiplicamos el área obtenida por dos ya que después del corte son dos las áreas que seobtendrán.

= ƮA= . /A= 2,2230 10 X2

A=4,446 10Se usa la formula del área en función del diámetro.

A= π /4D= 4(4,446 10 )/ D=0,0238m

ARcy

R

C

B



117.- Una polea de 750mm sometida a la acción de las fuerzas que indica la figura estamontada mediante una cuña en un eje de 50mm de diámetro. Calcule el ancho b de lacuña si tiene 75mm de longitud y el esfuerzo cortante admisible es de 70MPa.

DATOS

Τ=70 10Dext= 0,75m

Dint= 0,0 50m

SOLUCIÓN

Partimos de la fórmula de el esfuerzo cortante.

Ʈ =Dado que no contamos con los suficientes datos nos basamos en el grafico para el cálculo tanto decarga como de área.

Al contar con fuerzas externas aplicada a la polea, realizamos una sumatoria de todasestas fuerzas incluida la carga cortante que buscamos, determinamos el sentido de la

10 KN

50 mm

6 KN

75mm10mm

β

Cuña



carga cortante tomando en cuenta que esta debe ser paralela al area de estudio que debeestar relacionada con b.

Σfx=0

V-10KN+6KN=0

V=10-6

V=4KN

La carga encontrada es perpendicular (puesto que esta cortando el impulso de las poleas) a lascargas dadas, por lo que debemos encontrar un área que cumpla con las mismas características yaque se habla de un esfuerzo cortante.

A=b(0.075)

Remplazamos los valores encontrados en la formula

70 10 = ( . )b=

∗ .b=0,00076m

Al remplazar los valores y despejar b se encuentra el valor del ancho de la misma.

V



118.- La palanca acodada que representa la figura P-118 esta en equilibrio.

a) Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal esta limitado a100 MN/m2.

b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador en D, de 20 mm de diámetro.

DATOS

(a)

σ=100x10 N/m(b)

d=0,02

SOLUCIÓN

(a)

Para encontrar el diámetro se debe usar el esfuerzo dado y una carga (perpendicular aldiámetro de AB) se procede a sumar las fuerzas externas tanto en y como en x.

El análisis se realiza en D, ya que es un punto en el cual podemos acceder al resto de las fuerzas.

B

200mm

D

P

A

60˚

C

30KN



ΣFx=0

Dx-P-30KNcos60˚=0 (1)

ΣFy=0

Dy-30Sen60˚=0

Dy=30Sen60˚

Dy=25,98KN

Al tener una ecuación con dos incógnitas no se puede resolver el sistema, por lo quebuscamos otra ecuación aplicando momento de una fuerza.

Σmx=0

P(0,2)-30knsen60˚*0,24=0

P=˚∗ ,,

P=31,17KN

P en 1

Dx=15KN+31,17

Dx=46,18KN

P

P

Py60˚



Al tener los valores de X e Y de la fuerza D, se encuentra su modulo.

D= 46,18N + 25,98ND= 2761,5988D=52,98

Teniendo los valores de las cargas remplazamos en la formula de esfuerzo simple:

σ=

100 10 N/ = . /d=

( . )( )d=0,0199m

Al remplazar los valores en la formula y al despejar d se encuentra el diámetro de la barra AB.

(b)

Del grafico concluimos que en D se produce un esfuerzo cortante doble por lo que su area semultiplicara por dos.

Ʈ = 2V=D

Remplazamos en la formula

Ʈ = 52,98 1032 ((0,02)2/2)Ʈ = 84,320 106N/ Remplazando los valores dados se obtiene el esfuerzo cortante al cual se le multiplica 2 en su áreaya que son dos áreas las que se cortaran.



119.- La masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura P-119 es 2000Kg. Labarra está apoyada, mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa enA. Determine el diámetro del perno más pequeño que puede usarse en B si su esfuerzocortante está limitado a 60MPa: El detalle del apoyo en B es idéntico al apoyo Dmostrado en la figura P-118.

DATOS

M=2000Kg

W=mg

W=19600NƮ=60 10 Pa.

SOLUCIÓN

Para encontrar el diámetro aplicamos un procedimiento similar al del ejercicio 118, esdecir realizamos una sumatoria de todas las fuerzas y momentos en el punto B.

B

A

6m

10m

W

By

Ra

Bx

W



Σfy=0

By-19600N=0

By=19600N

MB=0

-w(3m)+8Ra=0

Ra= ( )Ra=7350N

Σfx=0

Bx-Ra=0 (1)

Bx=Ra

Remplazando Ra en (1)

Bx=7350N

La carga que se necesita para que se produzca un corte es B ya que esta es paralela al áreade estudio, al tener sus componentes en X e Y buscamos su modulo.

B= ( ) + ( )B= (7350) + (19600)B=20932,81N

Remplazamos B y Ʈ en la formula de esfuerzo cortante, al tener el área aun en función deldiámetro es posible encontrarlo al remplazar los valores conocidos.

A= π

Ʈ = 260 10 Pa= ,( )



D= ( , ) 106D=0,0149m

D=14,9mm



120.- Dos piezas de madera de 50mm de ancho y 20mm de espesor, están pegadascomo indica la figura.

a) Aplicando las ideas que se expresan en la figura 1-4a, determine la fuerza cortante elesfuerzo cortante en la unión si P=6000N.

b) Generalice el procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una seccióninclinada un ángulo Ѳ respecto a una sección transversal de área A, tiene un valor dadopor Ʈ = (P/2A)(sen 2Ѳ).

DATOS

P=6000N

(b)

T = (P/2A)(sen 2 Ѳ)

SOLUCIÓN

(a)

Al analizar el grafico notamos que existen dos secciones, se especifica que el esfuerzo en la uniónasí que tomamos una de las secciones para nuestro estudio. En este caso tomamos la piezaizquierda.

60°

P

50mm

PAx

Pparal=V

P0,05

0,02

60˚



Para el análisis buscamos un área paralela en la unión y a la carga, por lo quedescomponemos la fuerza P en una componente axial y una paralela.

V=Pcos60˚

V=6000Cos60˚

V=3000N

Para encontrar el área usamos el ángulo dado:

A=X(0,02)

Cos30˚= ,X=Cos30˚(0,05)

X=0,057

A=X(0,02)

A=(0,02)( 0,057)

A= 0,00114

A= 1,14m

(b)

Para el caso particular de un área inclinada la carga será igual a PCosɵ, y su área será A/Senɵ. Estose deduce en el grafico ya que el área de estudio es un área inclinada y el área a la que nosreferimos como A no lo es.

Ʈ =Ʈ = pcosɵASenɵ

x 0,05

60˚



Ʈ = Ɵ senɵA Nos basamos en la entidad geométrica del ángulo doble:

Sen2 Ɵ = 2senɵcosɵPara apoyarnos en esta entidad es necesario realizar un artificio matemático; dividimos tanto elprimer miembro como el segundo para 2.2Ɵ2 = 2 Ɵ Ɵ2Ɵ= Ɵ ƟRemplazamosestevalorenla formula de Ʈ.

Ʈ = Sen2Ɵ2AƮ = ( ) Sen 2ƟRemplazando valores se obtiene una formula general para casos similares.



121.- Un cuerpo rectangular de madera, de sección transversal de 50mm x 10mm, seusa como elemento de compresión, según se muestra en la figura.

Determine la fuerza axial máxima P que pueda aplicarse con confianza al cuerpo si elesfuerzo de compresión en la madera esta limitado de 20 MN/m2 y el esfuerzo cortanteparalelo a las vetas lo esta a 5 MN/m2. Las vetas forman un ángulo de 20o con lahorizontal, según se muestra. (Indicación: Use los resultados del Problema 120).

DATOS

σ= 20 10 N/m2Ʈ = 5 10 N/m2

Ɵ=20 o

SOLUCIÓN

Para poder determinar la carga se debe tomar en cuenta las dos cargas tanto de corte como decompresión.

Tomamos en cuenta en primera instancia al esfuerzo de corte. P

P=V

Pinc.

P

20°



Buscamos el valor del área inclinada que es paralela a la fuerza cortante:

20 == 0,1cos20

A= x*(0,05)

Ʈ =5 106N/m2 = / 20( 0,1cos20)(0,05)P= 77N

El análisis es similar con el esfuerzo simple, se debe tomar en cuenta que el área es perpendiculara la carga P.:

=A=(0,1)(0,05)

− 20 106N/m2 = ((0,1)(0,05))P=-1 10 N

Al tener el resultado de ambas cargas se las analiza y como conclusión se nota que la carga de 77N,soportara perfectamente corte y compresión. Si se tomara la carga de -1 10 N soportaría compresión perono corte por lo que no es la mas adecuada.



ESFUERZO DECONTACTO O

APLASTAMIENTO.



123.- En la figura se supone que el remache tiene 20mm de diámetro y une placas de100 mm de ancho.

a) Si los esfuerzos admisibles son de 140 MN/m2 para el aplastamiento y de 80MN/m2 para el esfuerzo cortante, determinar el mínimo espesor de cada placa.

b) Según las condiciones especificadas en la parte (a), ¿Cuál será el máximoesfuerzo medio de tensión en las placas?

DATOS.

Dremache = 20mm = 0.02m

Anchoplaca= 100mm = 0.1m

= 140 MN/m2

Τ= 80 MN/m2

Espesor= ?

SOLUCION.

Con las ecuaciones de σ y τ, igualamos las tensiones ejercidas respectivamente yencontramos el espesor de la placa.

Τ =

PP

P

P



V = τ * A

V = (80 * 106 N/m2) * (∗ 2

) Ecuación 1.

Σ =

P = σ * A

P = (140 * 106 N/m2) * (0.1*Espesor) Ecuación 2.

Igualamos la Ecuación 1 y Ecuación 2, sabiendo que P y V son iguales puesto que ambasson tensiones.

V = P

(80 * 106 N/m2) * (∗ 2

) = (140 * 106 N/m2) * (0.02*Espesor)

(80 * 106 N/m2) * (∗( . )

) = (140 * 106 N/m2) * (0.02m*Espesor)

25132.74 N/m4= 2800000 N/m3 * Espesor

Espesor = 0.008976 m

Espesor = 8.976 mm

El espesor mínimo de la placa es de 8.976 mm

Encontrar la tensión(V) que se aplica para el esfuerzo de corte y lo aplicamos en la tensiónque se emplea para el esfuerzo de compresión (P).

Τ =

V = (80 * 106 N/m2) * (∗( . )

)

V = 25132.74 N

σ = . .σ=

. . ∗ . . ∗ .



σ =. .

σ = 35298792.13 N/m

σ = 35.30 KN/m

El máximo esfuerzo que se puede aplicar para compresión es de 35.30 KN/m.



124.- La junta que se muestra en la figura esta sujeta mediante tres remaches de 20mmde diámetro. Suponiendo que P= 50KN, determine

a) el esfuerzo cortante en cada remache.

b) el esfuerzo de contacto en cada placa.

c) el máximo esfuerzo promedio en cada placa. Suponga que la carga aplicada Pesta distribuida igualmente entre los tres remaches.

DATOS.


P = 50KN

Τ = ?

b = ?

= ?

d=20

t=25mm

130 mm

P



SOLUCION.

Empleando la ecuación de esfuerzo cortante encontrar el valor de τ

Τ =

Τ = 3pernos∗( ∗( . ) )Τ = 0.000942mΤ = 53078556.26 Pa

Τ = 53.078 MPa

El esfuerzo cortante que se aplica a cada remache es de 53.078 MPa.

Con la formula de esfuerzo de contacto, encontrar su valor respecto a cada placa.

b =b

b =∗( . ∗ . )

b =.

b = 33333333.33 Pa

= 33.333 MPa

El esfuerzo de contacto para cada placa es de 33.333 MPa.

Aplicando la formula de esfuerzo de contacto, encontramos el máximo esfuerzo promedioen cada placa, tomando en cuenta que el área es igual al área total de la placa, menos elárea de los pernos.

= = . . =

. ∗ . . ∗ .



=.

= 18181818.18 Pa

= 18.18 MPa

El esfuerzo promedio aplicado en cada placa es de 18.18 MPa

Se debe tomar en cuenta que para el último cálculo no hay que multiplicar por 3 pernos, por laforma en la que estos están ubicados (uno tras otro, mas no: uno junto al otro).



125.- Para la junta traslapada del problema 124, determine la máxima carga P quepueda aplicarse con confianza si el esfuerzo cortante en los remaches esta limitado, a60 MPa; el esfuerzo de contacto en las placas, a 110 MPa; y el esfuerzo de tensión medioen las placas, a 140 MPa.

DATOS.


Τ = 60mpa

b = 110 MPa

= 140 MPa

Pmaximo = ?

SOLUCION.

Empleando la ecuación de esfuerzo cortante (τ), encontrar el valor de V.

Τ =

V= τ * A

V = 60 ∗ (3pernos ∗ ∗ 0.02 24 )V = 0.056548667 MN

V = 56548.667 N

P

P



V = 56.55 KN

Con la formula de esfuerzo de contacto (σb), encontrar el valor de Pb.

b =b

Pb = σb * A

Pb = (110 mpa )*( 0.02 ∗ 0.025 ) * 3Pb = 0.165 MN

Pb = 165000 N

Pb = 165 KN

Aplicando la formula de esfuerzo de contacto (σ), encontrar el valor de P.

= = . .

P = σ * . − . ℎP = (140 mpa ) * 0.13 ∗ 0.025 − 0.02 ∗ 0.025P = 0.385 MN

P = 385000 N

P = 385 KN

La carga máxima P que debe aplicarse con confianza es de 56.55KN, puesto que si se trabaja con lacarga de 165KN O 385KN la junta traslapada colapsaría y se rompería.

Se debe tomar en cuenta que solamente para el último cálculo no hay que multiplicar por 3pernos, por la forma en la que estos están ubicados (uno tras otro, más no; uno junto al otro).



126.- En la articulación de la figura, determine el diámetro mínimo de perno, el mínimoespesor de cada rama de la horquilla si debe soportar una carga P = 55KN, sinsobrepasar un esfuerzo cortante de 70mpa ni uno de 140mpa a compresión.

DATOS.

Dminimo= ?

Espesorminino= ?

P= V = 55KN

Τ = 70mpa

σb = 140mpa

SOLUCION.

Con la ecuación de τ; despejamos y calculamos el valor del Diámetro.

Τ =

Τ = ( ∗d2)D2 = ∗τ

b



D2 = ∗ / D2 = 0.000500201m2 Aplicando Raíz en ambos lados encontramos el diámetro.

D = 0.022365m

El diámetro mínimo del perno es de 0.022365 m.

Aplicando la ecuación de esfuerzo, encontramos el valor del espesor mínimo.

σb = σb = ∗ ∗ Espesor = ∗ ∗ Espesor = ∗ ∗ . Espesor = 0.008782855 m

El espesor mínimo para cada rama de la horquilla es de 0.00878 m

Es importante mencionar que se multiplica por dos (2) en las respectivas formulas, puestoque se trata de un esfuerzo cortante doble.



127.- Un tornillo de 22.2 mm de diámetro exterior y 18.6 mm en el fondo e la rosca,sujeta dos piezas de madera, como se indica en la figura P-127: Se aprieta la tuercahasta tener un fuerza de 34 KPa en el tornillo.

(a)Calcular el esfuerzo cortante en la cabeza del mismo y en la rosca.

(b) Determine también el diámetro exterior de las arandelas si el interior es de 28 mmy el esfuerzo de aplastamiento admisible en la madera es de 6 MPa.

DATOS

Dext=0,0222m

Dint=0,0186m

=34KPa

(b)

En arandelas

Dint=0,028m

=6 10 N/m2



SOLUCION

(CABEZA)

τ=

τ *A= V

Calculamos τ en la rosca

τ= ∗ ∗τ= ∗ ^∗ . ∗ . τ=40.62 MPa

Calculamos τ en el fondo de la rosca.

τ= ∗ ∗τ= ∗ ^∗ . ∗ . τ=40.62 MPa

τ=36.366 MPa

(b)

Con los valores dados se puede obtener fácilmente el área; la que contiene a lasarandelas.

h

P=V



δb=

A = ( − )A = ( − 0.028 )Remplazamos A en τ

δb =

6*10^6 = ∗ ^4( 2− 0.0282)

de=4,17mm



128.- En la figura P-128 se muestra el esquema de una armadura y en le croquis (b) eldetalle de la unión de las barras, mediante una placa, en el nudo B. ¿Cuantos remachesde 19 mm de diámetro se necesitan para unir la barra BC a la placa, si los esfuerzosadmisibles son Ʈ= 70mpa. Y σb= 140mpa? ¿Cuántos para la barra BE? ¿Cuál es elesfuerzo medio de compresión o tensión en BC y BE?



DATOS

D=0,019m

Ʈ= 70 10 Pa

σb= 140 10 Pa

SOLUCIÓN

Al tener los esfuerzos se deben buscar tanto sus áreas como sus cargas. Por estática y analizandoel grafico se pueden calcular las cargas.

Con los datos es posible encontrar la reacción en A.

Σfy=0

Ray-96-200-96+Rhy=0

Ray=196KN

Σma=0

-96(4)-200(8)-96(12)+16Rhy=0

-3136000+16rhy=0

16rhy=3136

Rhy=196KN

Aplicando el método de secciones para resolver armaduras; tomamos una parte delsistema y lo resolvemos.



Tan=

Ɵ=36,87 o

Σfx=0

-BDcos36,87 o +BEcos36,87 o +CE=0 (1)

ΣFy=0

196-96-BE Sen36,87 o -BD Sen36,87 o =0(3)

100 -0,600BE -0,600BD=0

BE= , ,Usamos el momento de una partícula para encontrar CE.

ΣM=0

-196(4)+CE(3)=0

CE=261,33

CE EN (1)

-BDcos36,87 o +BEcos36,87 o +261,33=0 (2)

Al tener dos ecuaciones con dos incógnitas se resuelve el sistema de ecuaciones.

BE en (2)

-BDcos36,87 o +( , , )Cos36,87 o +261,33=0



0,4799BD +0,4799BD -79,999-260,73=0

BD=246,667

Para encontrar BE remplazo BD en (2).

-(246,667)Cos36,87 o +becos36,87 o +261,33=0

BE=-80,00

ANALISIS EN BC

Ʈ =70 10 Pa = 96 10( ∗ 0,019 )4 )N=4,84≡5

=

N= , ∗ , ( )N=6,015≡7

Se necesitan 7 remaches ya que estos soportaran perfectamente los esfuerzos tanto de cortecomo de contacto. Al usar un número menor de remaches la estructura inminentemente seromperá y si se usa un número mayor tan solo se perderán recursos.

Análisis en BE.

Ʈ =70 10 Pa = 80 10( ∗ 0,019 )4 )N=4,031≡5

=

140 10 = , ∗ ,N= , ∗ , ( )N=5,012≡6

Al igual que en el análisis anterior se toman 6 remaches que soportaran ambos esfuerzos.



129.- Repetir el problema anterior con remaches de 22 mm de diámetro sin variar losdemás datos.



DATOS

D=0,022m

Ʈ= 70 10 Pa

σb= 140 10 Pa

BD=246,78KN

BE=80KN

BC=96KN

SOLUCIÓN

Al tener los esfuerzos se deben buscar tanto sus áreas como sus cargas. Por estática y analizandoel grafico se pueden calcular las cargas.

Análisis en BC.

Ʈ =70 10 Pa = 96 10( ∗ 0,022 )4 )N=( ∗ , ) )N=3,61≡4

=

140 10 = , ∗ ,N= , ∗ , ( )N=5,19≡6



PARA EL CASO DE BC SE DEBEN USAR 6 REMACHES.

Análisis en BE.

Ʈ =70 10 Pa = 80 10( ∗ 0,022 )4 )N=( ∗ , ) )N=2,36≡3

=

140 10 = , ∗ ,N= , ∗ , ( )N=4,33≡5

Al igual que en el análisis anterior se toman 5 remaches que soportaran ambos esfuerzos.

Al ser los diámetros diferentes el número de remaches varía en ambos ejercicio, al ser mayor elárea del remache se usaran menos remache.

esfuerzo simple de corte y de aplastamiento

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