esercizi di fisica dello stato solido
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Picchiotti Alessandra
Esercizi svolti di fisica dello stato solido
Universita Cattolica del Sacro Cuore, BresciaFacolta di scienze matematiche fisiche e naturali [5]
A.S. 2007-2008
2
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Indice
1 Modello di Drude, conducibilita termica 5
2 Modello di Sommerfeld e densita degli stati 9
3 Strutture cristalline 13
4 Scattering elastico, trattazione di Laue 17
5 Diffrazione 19
6 Bande nello schema di zona ridotto 25
7 Metodo tight-binding per un reticolo FCC 27
8 Tight-binding su un reticolo quadrato 31
9 Catena unidimensionale biatomica 37
10 Calore specifico elettronico e di reticolo 41
11 Modello di Debye 43
3
4 INDICE
Capitolo 1
Modello di Drude, conducibilitatermica
Consegna 1. Seguendo la traccia delineata da [3]capitolo 1, mostrare che laconducibilita termica k di un metallo calcolata con il modello di Drude e:
k = 13
v2τcV, (1.1)
dove v2 e la velocita quadratica media, t il tempo di rilassamento e cV il calorespecifico a volume costante. Nello svolgimento mettere in evidenza quali sonole ipotesi del modello utilizzate per derivare k.
Svolgimento
Consideriamo una barra metallica, con una densita volumetrica di elettronin, lungo la quale la temperatura varia lentamente. Se le estremita dellabarra sono termicamente isolate con l’ambiente, in generale ci sara un flussodi calore dall’estremita calda a quella fredda. A questo punto si puo creareun sistema stazionario scaldando l’estremita calda della barra della stessaquantita di calore e con la stessa velocita con cui si raffredda. La correnteassociata alla conduzione del calore in un metallo e definita dall’espressione:
J = −KB∇T (1.2)
nel caso unidimensionale il gradiente esplicitato e1:
Jc = −KB∂T∂x, (1.3)
1Il meno ha, come per la corrente elettrica, il significato che la corrente di calore e diverso opposto al gradiente termico.
5
6 CAPITOLO 1. MODELLO DI DRUDE, CONDUCIBILITA TERMICA
nel generico punto x della barra.Per calcolare la corrente termica si deve prendere una delle ipotesi del
modello di Drude: gli elettroni raggiungono l’equilibrio termico con il lorointorno solo attraverso le collisioni, per cui un elettrone dopo un urto emergecon una velocita che dipende dalla temperatura in quel punto e non da quellache aveva prima dell’urto.Se calcoliamo l’energia termica di tale elettrone, dobbiamo considerare chenel generico punto x, meta degli elettroni e proveniente dalla regione a tem-peratura superiore e meta da quella a temperatura inferiore. Gli elettroniprovenienti da un lato della barra avranno subito un impatto (l’ultimo primadi arrivare in x) al punto x−vτ, mentre quelli provenienti dalla parte oppostaavranno subito l’impatto successivamente precedente nel punto x + vτ. Lerispettive energie termiche saranno quindi dipendenti dalla temperatura inquesti punti:
ε = ε[T(x ± vτ)]. (1.4)
Una corrente in generale si definisce come J = ∂Q∂t , nel nostro caso Q rap-
presenta l’energia termica; quindi la corrente dovuta ai portatori che hannoenergia ε[T(x − vτ)] e2:
J− = ∂Q∂t
= n2∂ε∂t
= n2ε[T(x − vτ)]∂x
∂t= (−v)n
2ε[T(x − vτ)], (1.5)
analogamente:
J+ = ∂Q∂t
= n2∂ε∂t
= n2ε[T(x + vτ)]∂x
∂t= (v)n
2ε[T(x + vτ)]. (1.6)
La corrente complessiva e la somma delle due componenti:
J = J − +J+ = n2
v{ε[T(x + vτ)] − ε[T(x − vτ)]} (1.7)
Supponendo che la variazione di temperatura, all’interno di un liberocammino medio, sia piccola3, si puo sviluppare ε nel punto x = vτ:
ε[T(x − vτ)] ≈ ε[T(0)] + ∂ε∂x
∣x=vτ(x − vτ) +⋯ (1.8)
Analogamente:
ε[T(x + vτ)] ≈ ε[T(0)] + ∂ε∂x
∣x=−vτ(x + vτ) +⋯ (1.9)
2 n2 e dovuto al fatto che in generale solo meta degli n elettroni proviene da un lato,
mentre l’altra meta proviene dall’altra estremita.3Questo e certamente vero, perche si e presa come ipotesi che la temperatura lungo la
sbarra variasse poco, a maggior ragione varia poco lungo un libero cammino medio.
7
Sostituendo nell’equazione (1.7) i due sviluppi e fermandosi al primo ordine,si ottiene:
J = n2
v [ε[T(0)] + ∂ε∂x
∣x=vτ(x − vτ) − ε[T(0)] − ∂ε∂x
∣x=−vτ(x + vτ)] . (1.10)
Si ricordi che da teoremi dell’analisi si puo scrivere:
∂ε∂x
= ∂ε∂T∂T∂x, (1.11)
definendo la quantita:
cV = n∂ε∂T
∣N,V, (1.12)
il calore specifico a volume (e numero di particelle) costante, e sostituendonell’equazione (1.10) si ottiene:
J = 12
v [cv (∂T∂x
) (x − vτ) − cv (∂T∂x
) (x + vτ)] =
= 12
vcV [−2vτ∂T∂x
] = cVv2τ(−∇T). (1.13)
L’estensione al caso tridimensionale e possibile introducendo al posto div, il vettore velocita media ⟨v⟩; ma poiche ⟨v⟩ = ⟨v⟩x + ⟨v⟩y + ⟨v⟩z, suppostoche la velocita media sia la medesima nelle tre direzioni, si ha:
∣vx∣2 = ∣vy∣2 = ∣vz∣2 =∣v∣23, (1.14)
allora:
J = −13
v2τcV∇T, (1.15)
da cui:
k = 13
v2τcV (1.16)
8 CAPITOLO 1. MODELLO DI DRUDE, CONDUCIBILITA TERMICA
Capitolo 2
Modello di Sommerfeld edensita degli stati
Consegna 2. Calcolare l’espressione della densita degli stati di un gas dielettroni secondo il modello di Sommerfeld nel caso 1D, 2D e 3D.
Svolgimento
In un gas di elettroni liberi ed indipendenti si ha che l’energia di particellalibera e:
ε(k) = h2k2
2m(2.1)
Nello stati fondamentale, cioe a temperatura nulla, tutti i livelli sonooccupati fino all’energia di fermi εF, mentre dopo tale limite, i livelli sonotutti vuoti.
Per la funzione di Fermi-Dirac valgono le relazioni:
limT→0+
fk,s =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1 seεF < µ,0 seεF > µ,
(2.2)
come in figura 2.
Affinche le due condizioni siano consistenti e necessario che valga la seguenterelazione1:
limT→0+
εF = µ. (2.3)
1Per i metalli questo vale con buona approssimazione fino alla temperatura ambiente[3].
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10CAPITOLO 2. MODELLO DI SOMMERFELD E DENSITA DEGLI STATI
Figura 2.1: Funzione di Fermi a temperatura nulla (0 K).
Si cerca ora di calcolare il contributo elettronico al calore specifico avolume costante di un metallo:
cV ∶= TV
(∂S∂T
)V= (∂u∂T
)V, (2.4)
dove u ∶= UV .
Poiche per le ipotesi del modello di Drude gli elettroni sono indipendenti,l’energia interna U e la semplice somma delle energie delle singole particellemediate con la probabilita di occupazione2:
U = 2∑k
ε(k) f (ε(k)). (2.5)
La funzione di Fermi f (ε(k)) sottolinea il fatto che fk dipende da k nondirettamente, ma solo attraverso l’energia εk.
CASO UNIDIMENSIONALE
Nell’equazione (2.5) e possibile trasformare la sommatoria in integrale, con-
siderando il numero di particelle del sistema molto grande (NA), cosicche kdiventa molto fitto, fino a diventare una quantita continua, a questo puntosi puo scrivere:
u = 2∫dk2π
f (ε(k))ε(k)dε, (2.6)
2Il fattore 2 e dovuto al principio di esclusione di Pauli, infatti per ogni livello sonopossibili solo due elettroni
11
Utilizzando l’equazione (2.1) si ottiene che: k =√
2mε/h2 e quindi differen-
ziando: dk =√
2m/εh2(1/2)dε, quindi l’equazione (2.6) diventa:
u = ∫
√2mεh2
12π
f (ε)εdε = ∫ g(ε) f (ε)εdε, (2.7)
dove e stata definita la quantita:
g(ε) ∶=√
2mεh2
12π. (2.8)
CASO BIDIMENSIONALE
Dall’equazione (2.5), nuovamente:
u = 2∫d2k4π2 f (ε(k))ε(k)dε, (2.9)
Utilizzando nuovamente le sostituzioni fatte nel caso unidimensionale, con leopportune modifiche:
d2k4π2 = 2πkdk
2π2 = kdkπ
=√
2mεh2
√2mεh2
12π
dε = mh2π
dε, (2.10)
e sostituendo:
u = ∫m
h2πf (ε)εdε = ∫ g(ε) f (ε)εdε, (2.11)
dove e stata definita la quantita:
g(ε) ∶= mh2π
. (2.12)
CASO TRIDIMENSIONALE
Dall’equazione (2.5), nuovamente:
u = 2∫d3k8π3 f (ε(k))ε(k)dε, (2.13)
Ancora una volta si calcolano le quantita:
d3k4π3 = 4πk2dk
4π3 = k2dkπ2 = 2mε
h2π2
√2mεh2
12
dε = mh2π2
√2mεh2 dε, (2.14)
12CAPITOLO 2. MODELLO DI SOMMERFELD E DENSITA DEGLI STATI
(a) 1-D (b) 2-D (c) 3-D
Figura 2.2: Densita degli stati per un gas di elettroni liberi nel modellodi Sommerfeld nei tre casi unidimensionale(2.2(a)), bidimensionale(2.2(b)) etridimensionale(2.2(c)), figure create grazie a [2].
da cui si ottiene:
u = ∫m
h2π2
√2mεh2 f (ε)εdε = ∫ g(ε) f (ε)εdε, (2.15)
dove e stata definita la quantita:
g(ε) ∶= mh2π2
√2mεh2 . (2.16)
Capitolo 3
Strutture cristalline
Consegna 3. Alla temperatura di circa 13℃, lo stagno grigio (α − Sn) esoggetto ad una transizione di fase cristallina nella struttura dello stagnobianco (β−Sn). L’α−Sn ha la struttura del diamante con una cella unitaria
cubica il cui lato misura 6,49 A. Invece la fase β−Sn presenta una strutturatetragonale a corpo centrato (bct) con 4 atomi per cella unitaria e parametridi cella a = 5,83 A e c = 3,18 A. Si calcoli la densita (g/cm3) di ciascunadelle due fasi.
Svolgimento
La struttura dell’α − Sn e riproposta in figura 3, si tratta di due FCC com-penetrati (la struttura del diamante). Da tale figura si possono ricavare leseguenti informazioni:
• numero di atomi sui vertici: 188 = 1,
• numero di atomi sulle facce: 126 = 3,
• numero di atomi interni: 4;
quindi in totale in una cella ci sono 8 atomi. Il peso atomico dello stagnovale 1,97 ⋅ 10−25 Kg, per cui la densita dello stagno grigio, utilizzando i datiforniti nel testo, e:
ρ = 1,97 ⋅ 10−25 Kg ⋅ 8[6,49 ⋅ 10−10 m]3 = 0,0576 ⋅ 105 Kg/m3 =
= 0,0576 ⋅ 102 g/cm3 = 5,76 g/cm3. (3.1)
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14 CAPITOLO 3. STRUTTURE CRISTALLINE
Figura 3.1: Struttura dell’α-stagno, (3.1(a)) immagine presa da [1], (3.1(b))immagine liberamente presa da [4].
La struttura del β − Sn e riproposta in figura 3, si tratta di un BCT. Datale figura si possono ricavare le seguenti informazioni:
• numero di atomi sui vertici: 188 = 1,
• numero di atomi sulle facce: 124 = 2,
• numero di atomi interni: 1;
quindi in totale in una cella ci sono 4 atomi. Il peso atomico dello stagno
Figura 3.2: Figura presa da [1].
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vale, come prima, 1,97 ⋅ 10−25 Kg, per cui la densita dello stagno bianco e:
ρ = 1,97 ⋅ 10−25 Kg ⋅ 4[5,83 ⋅ 10−10 m]2 ⋅ [3,18 ⋅ 10−10 m]
= 0,0729 ⋅ 105 Kg/m3 =
= 0,0729 ⋅ 102 g/cm3 = 7,29 g/cm3. (3.2)
16 CAPITOLO 3. STRUTTURE CRISTALLINE
Capitolo 4
Scattering elastico, trattazionedi Laue
Consegna 4. Spiegare l’origine del fattore di struttura geometrica S(G) edel fattore di forma fα(G) in caso di diffusione elastica di raggi X da partedi un reticolo.
S(G) =∑α
fαe−iG⋅Rα , (4.1)
dove e e la carica dell’elettrone, la sommatoria e estesa agli atomi della cellaunitaria e l’integrazione e fatta sul volume di un atomo e vale:
fα(G) = 1e ∫ ρα(r)e−iG⋅rd3 r. (4.2)
Svolgimento
Consideriamo una struttura cristallina di cui si conosca la cella primitiva euna sua base, formata da n vettori (n atomi interni alla cella primitiva).
Ogni cella primitiva, uguale alle altre attraverso operazioni di traslazio-ne, ha all’interno, in generale, n atomi o ioni, cioe un insieme di n puntifissati nelle posizioni d1, . . . , dn, questi saranno i centri diffusori. Si suppongainizialmente che gli n atomi siano tra loro identici.
La struttura della cella elementare influisce sull’intensita dell’onda diffrat-ta, infatti l’intensita di un picco di Bragg dipende dall’interferenza; se taleinterferenza e costruttiva, l’intensita e massima, ha senso quindi associare aldato picco di Bragg un vettore d’onda cosı definito:
K′ − K = K, (4.3)
17
18CAPITOLO 4. SCATTERING ELASTICO, TRATTAZIONE DI LAUE
ogni atomo nella posizione di della cella primitiva contribuisce indipenden-temente e quindi e separabile dai contribuiti degli altri atomi, posti nelleposizioni d j ≠ di, in tal modo la differenza di fase tra due generiche onde
piane, provenienti dai due centri diffusori di e d j, sara:
eiK⋅(di−d j). (4.4)
Si puo a questo punto calcolare l’intero apporto all’intensita dei picchi diBragg, facendo la somma di tutti i contributi, dati dall’equazione (4.4), per
tutti i di = d1, . . . , dn:
SK =n
∑i=1
eiK⋅di , (4.5)
l’equazione (4.5) definisce la quantita SK, chiamata fattore geometrico distruttura, proporzionale all’intensita, cioe all’ampiezza di diffusione. Natu-ralmente, per alcuni valori di K il fattore geometrico puo annullarsi, precisa-mente in corrispondenza della separazione dei punti di diffrazione.
Nel caso in cui gli atomi (o gli ioni) della base non siano tutti uguali,
il fattore geometrico di struttura cambia un poco, in quanto ognuno dei di
centri diffusori avra una densita elettronica diversa, tale informazione puoessere esplicitata tramite la quantita:
fi(K), (4.6)
chiamata fattore di forma atomica, che appunto dipende dalla distribuzionedelle cariche elettroniche.
Utilizzando l’equazione (4.5) e l’equazione (4.6), si ottiene:
SK =n
∑i=1
fi(K)eiK⋅di , (4.7)
che e l’espressione piu generale del fattore geometrico di struttura.Si osservi che utilizzando la definizione (4.7) nel caso di n atomi uguali, il
fattore atomico puo essere raccolto e portato fuori dalla sommatoria, diven-tando una semplice costante moltiplicativa.
Inoltre dall’equazione (4.7) si puo anche vedere come, nel caso di diffrazionedi raggi X, le ampiezze di diffusione associate ad ogni atomo della cella sonole trasformate di Fourier della densita elettronica dell’atomo [4], infatti:
fi(K)∝ ∫ ρJ(r)eiK⋅rdr. (4.8)
Capitolo 5
Diffrazione
Consegna 5 ([3] capitolo 6, esercizio 1). Siano tre campioni di cui uno eFCC, uno e BCC e uno ha la struttura del diamante. Le posizioni approssi-mate dei primi quattro anelli di diffrazione per ciascun caso sono scritte nellatabella (5)
A B C42,2℃ 28,8℃ 42,8℃49,2℃ 41,0℃ 73,2℃72,0℃ 50,8℃ 89,0℃87,3℃ 59,6℃ 115,0℃
Tabella 5.1: Valori dell’angolo φ per i campioni.
1. Identificare le strutture cristalline di A, B e C.
2. Data una radiazione X, con λ = 1,5 A, qual’e il passo reticolare dellacella cubica convenzionale nei tre casi?
3. Se si sostituisce la struttura a diamante con la struttura a zincoblendacon una cella unitaria cubica della stessa dimensione, a quale angolosi vedrebbero i primi quattro anelli riflessi?
Suggerimento: si tenga conto della relazione tra la distanza dhkl tra ipiani della famiglia hkl e la costante reticolare a:
1d2
hkl= h2 + k2 + l2
a2 . (5.1)
19
20 CAPITOLO 5. DIFFRAZIONE
Figura 5.1: Camera di Debye-Scherrer, i picchi di diffrazione sono registratisulle sottili strisce (film strip), immagine liberamente tratta da [3].
Svolgimento
1
Le strutture cristalline FCC, BCC e quella del diamante possono essere ri-costruite partendo dall’SC ed aggiungendo una base.
Si ricorda che l’ampiezza di scattering avra un fattore di struttura geo-metrica:
SG =n
∑j=1
eiG⋅x j , (5.2)
dove x j sono i vettori della base e G e un vettore del reticolo reciproco.Il generico vettore del reticolo reciproco dell’SC e:
G = 2πa
(hb1 + kb2 + lb3), (5.3)
dove come al solito a e il passo reticolare.La struttura BCC e formata dall’SC piu la seguente base:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x1 = (0; 0; 0)x2 = a
2(1; 1; 1)(5.4)
Quindi utilizzando l’equazione (5.2), otteniamo in questo caso:
Sk = 1 + eiπ(h+k+l) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
2 se h + k + l e pari,
0 se h + k + l e dispari.(5.5)
21
Nel caso della struttura FCC, costruiamo il reticolo tramite il solito SC ela seguente base:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x1 = (0; 0; 0)x2 = a
2(0; 1; 1)x3 = a
2(1; 0; 1)x4 = a
2(1; 1; 0)
(5.6)
Quindi utilizzando l’equazione (5.2), otteniamo in questo secondo caso:
Sk = 1+eiπ(k+l)+eiπ(h+k)+eiπ(h+l) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
4 se h, k, l sono tutti e tre pari o dispari,
0 altrimenti.(5.7)
Nell’ultimo caso, la struttura del diamante e formata dall’SC e la base:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x1 = (0; 0; 0)x2 = a
4(1; 1; 1)(5.8)
Quindi utilizzando l’equazione (5.2), otteniamo:
Sk = 1 + ei π2 (h+k+l) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 se h + k + l = 4n, con n ∈Z,1 + i se h + k + l = 1 + 4n, con n ∈Z,0 se h + k + l = 2 + 4n, con n ∈Z,1 − i se h + k + l = 3 + 4n, con n ∈Z.
(5.9)
I piani di Bragg sono costruiti partendo da un’interferenza costruttiva trai vari riflessi, per cui vale l’equazione (5.1) e quindi si puo stabilire quali pianidanno diffrazione:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
(1; 1; 0); (2; 0; 0); (2; 1; 1); (2; 2; 0) BCC(1; 1; 1); (2; 0; 0); (2; 2; 0); (3; 1; 1) FCC(1; 1; 1); (2; 2; 0); (3; 1; 1); (4; 0; 0) diamond
(5.10)
Ora si calcolano i vettori del reticolo reciproco G che fanno picchi diffrat-tivi attraverso gli angoli φ della tabella:
G = k − k′ = 2k sinφ
2. (5.11)
Caso A:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
G1 = 0,72 kG2 = 0,83 k = 1,15 G1
G3 = 1,17 k = 1,63 G1
G4 = 1,38 k = 1,92 G1
(5.12)
22 CAPITOLO 5. DIFFRAZIONE
Caso B:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
G1 = 0,49 kG2 = 0,70 k = 1,43 G1
G3 = 0,85 k = 1,73 G1
G4 = 0,99 k = 2,02 G1
(5.13)
Caso C:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
G1 = 0,73 kG2 = 1,19 k = 1,63 G1
G3 = 1,40 k = 1,92 G1
G4 = 1,69 k = 2,32 G1
(5.14)
dove, poiche k non e espresso, sono stati calcolati i rapporti con il rispettivoG1:
Il modulo del vettore K0 e pari a K0 = 2d
√h2 + k2 + l2, quindi si puo calco-
lare per le tre strutture.Caso BCC:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
G1 = 2πa
√2
G2 = 2πa
√4 =
√2 G1 = 1,42 G1
G3 = 2πa
√6 =
√3 G1 = 1,73 G1
G4 = 2πa
√8 =
√4 G1 = 2 G1
(5.15)
Caso FCC: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
G1 = 2πa
√3
G2 = 2πa
√4 =
√43 G1 = 1,15 G1
G3 = 2πa
√8 =
√83 G1 = 1,63 G1
G4 = 2πa
√11 =
√113 G1 = 1,91 G1
(5.16)
Caso del diamante:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
G1 = 2πa
√3
G2 = 2πa
√8 =
√83 G1 = 1,63 G1
G3 = 2πa
√11 =
√113 G1 = 1,91 G1
G4 = 2πa
√16 = 4
√13 G1 = 2,31 G1
(5.17)
dove, poiche a non e espresso, sono stati calcolati i rapporti con il rispettivoG1.
Confrontando questi ultimi risultati con quelli sperimentali si concludeche il caso A coincide con un FCC, il caso B con un BCC, mentre il caso Ccoincide con la struttura del diamante.
23
2
Dai dati forniti nel testo si possono trovare il vettore d’onda ∣k∣ ∶= k e i passireticolari a, per i tre casi descritti:
k = 2πλ
= 4,2 1/A (5.18)
da cui, utilizzando l’equazione (5.3):
a =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
2,94 A FCC5,20 A BCC3,50 A diamond
(5.19)
3
Poiche la struttura della zincoblenda e geometricamente uguale a quella deldiamante, i piani che generano i riflessi sono gli stessi del diamante, infatti ilfattore di struttura e lo stesso1, cioe:
(1; 1; 1); (2; 0; 0); (2; 2; 0); (3; 1; 1) (5.20)
Se si eguaglia l’equazione (5.3) ed (5.18) con la condizione di interferenzacostruttiva G = 2π
d , si ottiene:
2πd
= 22πλ
sinφ
2, (5.21)
da cui:
φ = 2 arcsin(λ√
h2 + k2 + l2
2a), (5.22)
sviluppando i conti si trova che:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
43,57°35,28°50,75°57,26°
(5.23)
1La differenza tra la struttura della zincoblenda e quella del diamante e che la secondaha un solo tipo di ioni/atomi, mentre la prima ha due differenti specie.
24 CAPITOLO 5. DIFFRAZIONE
Capitolo 6
Bande nello schema di zonaridotto
Consegna 6. Determinare l’espressione delle bande energetiche di elettronelibero relative a un reticolo quadrato di lato a. Rappresentare nello schemadi zona ridotta (−π/a < k < π/a) le prime 5 bande lungo la direzione [1,0].
Svolgimento
Nella rappresentazione a zona ridotta, quando i vettori d’onda k degli elet-troni escono dalla prima zona di Brillouin, tali vettori vengono traslati all’in-terno della stessa, attraverso un vettore G del reticolo reciproco.
L’equazione di Scrhodinger per l’elettrone libero e:
Hψ = − h2
2m∇2ψ = εψ (6.1)
la cui soluzione e:
ε(r′) = h2(r′)2
2m(6.2)
Definendo r′ = r − G dove r e un vettore della prima zona di Brillouin, allorasostituendo r′ si ottiene:
ε(r) = h2(r − G)2
2m= h2
2m[(rx −Gx)2 + (ry −Gy)2] , (6.3)
con:
Gx = Gy =2πa
n, con n ∈Z. (6.4)
25
26 CAPITOLO 6. BANDE NELLO SCHEMA DI ZONA RIDOTTO
Figura 6.1: Schema di zona ridotta
Per trovare le prime cinque bande e necessario semplicemente sostituire ncon i valori interi (naturali con segno); inoltre poiche il reticolo e quadrato,rx = ry:
ε(r) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
h2
2mr2x prima banda
h2
2m[rx ± 2πa ]2
seconda e terza bandah2
2m[rx ± 4πa ]2
quarta e quinta banda
(6.5)
Capitolo 7
Metodo tight-binding per unreticolo FCC
Consegna 7. Si consideri un reticolo cubico a facce centrate. Risolvere, nel-lo schema di tight-binding, l’equazione di Schrodinger per orbitali di tipo sconsiderando il contributo dei 12 atomi primi vicini. Discutere il significa-to degli integrali α, β e γ che compaiono nella espressione degli autovaloridell’energia ε(k). Tracciare, al variare di k, l’andamento della banda ener-getica in direzione (kx, ky, kz) = (1,1,1), cioe nella direzione ΓL. Si trascurila dipendenza di ε(k) da a.Suggerimento: si veda la trattazione proposta da [3], capitolo 10.
Svolgimento
Attraverso la teoria del tight-binding si arriva alla seguente equazione:
∑m
bm
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
(E(k) − Em)δm,m′ + ∫ φ∗m′(r)∆Uφm(r)dr +∑R≠0∫ φ∗m(r)∆Uφm(r − R)dr
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
= 0, (7.1)
dove la seconda sommatoria e stata ristretta solo ai primi vicini, infatti R sono i vettoridel reticolo diretto primi vicini, perche la φm, la funzione d’onda atomica1, e per ipotesiben localizzata attorno al suo atomo (vero nel caso di orbitale s, come questo) per cui soloper i primi vicini la sommatoria e sensibilmente diversa da zero; m e l’indice che ricopre gli
1Tale funzione d’onda atomica viene presa per ipotesi come una combinazione linearedi funzioni d’onda atomiche, che soddisfano la condizione di Bloch:
φnk(r) =∑R
eik⋅rφn(r − R), (7.2)
tale funzione d’onda a sua volta soddisfa le condizioni di Bloch.
27
28CAPITOLO 7. METODO TIGHT-BINDING PER UN RETICOLO FCC
orbitali degeneri, ma in questo caso solo l’orbitale s viene considerato, che non e degenere,per cui la sommatoria su m viene ristretta al solo caso in cui m = 1, cioe esplicitando anchela funzione d’onda:
Es − E(k) + α +∑R≠0
eik⋅Rβ(R) = 0, (7.3)
dove sono state definite le seguenti quantita:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
α ∶= ∫ ψ∗
s (r)∆Uψ(r)dr,β(R) ∶= ∫ ψ
∗
s (r)∆Uψ(r − R)dr.(7.4)
Poiche ψ(r) e una funzione d’onda reale e non ha dipendenza angolare, ma solo dipendenzadall’ampiezza, dati garantiti dal fatto che si considera solo l’orbitale s, allora:
β(−R) = β(R). (7.5)
Considerando solo i 12 atomi primi vicini si ha:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
R1 =a2(±1; 0;±1)
R2 =a2(±1;±1; 0)
R3 =a2(0;±1;±1)
(7.6)
i corrispondenti valori di r − R sono:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
r − R1 =a2(±rx ± rz),
r − R2 =a2(±rx ± ry),
r − R3 =a2(±ry ± rz).
(7.7)
∆U ha la stessa simmetria del cristallo, quindi cambiando segno ai suoi argomenti, opermutando gli indici (rx; ry; rz) non cambia il suo valore, mentre α e lo stesso per tutti edodici i valori di R, perche dipende solo da ∣r∣ che e fissato. Ora e necessario calcolare lasommatoria dell’equazione (7.3), definendo per comodita:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
βa = β (a/2(1; 0; 1)) = β (a/2(−1; 0;−1)) ,βb = β (a/2(1; 0;−1)) = β (a/2(−1; 0; 1)) ,βc = β (a/2(1; 1; 0)) = β (a/2(−1;−1; 0)) ,βd = β (a/2(1;−1; 0)) = β (a/2(−1; 1; 0)) ,βe = β (a/2(0; 1; 1)) = β (a/2(0;−1;−1)) ,β f = β (a/2(0; 1;−1)) = β (a/2(0;−1; 1)) ,
(7.8)
per esempio l’addendo della sommatoria in (7.3) relativo a βa e:
βaei a2 (kx+ky) + βaei a
2 (−kx−ky) = 2βa cosa2(kx + ky), (7.9)
mentre l’addendo relativo a βb e:
βbei a2 (kx−ky) + βaei a
2 (−kx+ky) = 2βa cosa2(kx − ky), (7.10)
e cosı via.
29
Ricordiamo che per ipotesi il potenziale ∆U = ∆U(r) = ∆U(x, y, z) e periodico, questosignifica che assume lo stesso valore per tutti i vettori traslati di un vettore del reticolodiretto rispetto ad r, cioe:
∆U(r) = ∆U(r ± R) = ∆U; (7.11)
di conseguenza β diventa, ricordando che φ e la funzione d’onda di un orbitale s, per cuidipende solo da r:
β(R) = ∫ ψ∗s (r)∆Uψ(r)dr = ∫ ψ∗s (r)∆U(r)ψ(r)dr = β ∀R. (7.12)
Questo significa che β si puo raccogliere e quindi i due termini (7.9) e (7.10), utilizzandole formule di prostaferesi:
2β [cos a/2(kx + kz) + cos a/2(kx − kz)] = 4β [cosa2
kx cosa2
kz] , (7.13)
e cosı via anche per gli altri quattro termini. Sommando tutto quanto, l’equazione (7.3)diventa:
E(r) = Es + α + 4β [cosa2
kx cosa2
kz + cosa2
ky cosa2
kz + cosa2
kx cosa2
ky] . (7.14)
Come ultimo punto dell’esercizio si calcola ora l’andamento della banda ener-getica nella direzione Γ − L, al variare di r, i due punti Γ ed L sono cosı definiti,nello spazio reciproco:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Γ = (0; 0; 0)L = ( 1
2 ; 12 ; 1
2)(7.15)
per cui il reciproco del vettore r, cioe k = (kx; ky; kz), dovendo essere compresotra questi due punti, dovra variare tra un minimo di (0; 0; 0) ed un massimo di(1
2 ; 12 ; 1
2), cioe:
0 ≤ ki =2πa
≤12
i = x, y, z (7.16)
dove pero le tre componenti sono uguali tra loro, per quanto richiesto dal testo,quindi parametrizzando:
kx = ky = kz = l2πa
0 ≤ l ≤12. (7.17)
Ora e possibile sostituire i valori trovati:
E = Es + α + 4β [3 ⋅ cos2(
12
l2πa
a)] = Es + α + 12β cos2(πl). (7.18)
30CAPITOLO 7. METODO TIGHT-BINDING PER UN RETICOLO FCC
Figura 7.1:
Capitolo 8
Tight-binding su un reticoloquadrato
Consegna 8. Si considerino gli elettroni in un reticolo quadrato bidimensionalele cui bande energetiche, trattate con l’approssimazione di tight-binding hanno laseguente dipendenza da k:
ε(k) = E0 [2 − cos(akx) − cos(aky)] , (8.1)
dove a e la costante reticolare.
1. Si traccino alcune curve di energia costante nel piano kx, ky.
2. Si mostri che la maggior parte delle curve di energia costante attraversanoi bordi della zona di Brillouin perpendicolarmente ai piani di Bragg.
3. Tracciare la curva di dispersione ε(k) nella direzione WX (vedi (8)).
4. Disegnare la superficie di Fermi nel caso in cui ogni atomo del reticolo con-tribuisca con 1 elettrone ( half-filling condition). Abbiamo a che fare con unmetallo o con un isolante?
5. Disegnare la superficie di Fermi nel caso in cui ogni atomo del reticolo con-tribuisca con 2 elettroni. Abbiamo a che fare con un metallo o con unisolante? Discutere le differenze con il caso in cui la superficie di Fermi siaquella calcolata per un gas di elettroni in presenza di un potenziale debole.
6. Calcolare il tensore Mi j (matrice 2×2, in questo caso) della massa efficace acentro zona, cioe Γ = (0,0), e nei punti a bordo zona X = (1,0) e W = (1,1).
31
32 CAPITOLO 8. TIGHT-BINDING SU UN RETICOLO QUADRATO
Figura 8.1:
Svolgimento
1
Data la relazione di dispersione:
E(kx, ky) = E0[2 − cos(akx) − cos(aky)], (8.2)
ottenuta mediante metodo di tight-binding su reticolo quadrato, si possono trovarele curve di energia costante, tenuto conto che a e la costante reticolare. Le seguentifigure sono state ottenute con Mathematica ver. 6.01.
In figura 8 si riporta l’andamento dell’energia in funzione di kx e ky relativoalla prima zona di Brillouin, il cui codice e:
Manipulate[Plot3D[{2*e-e*Cos[a*x]-e*Cos[a*y]},{x,-\[Pi]/2,\[Pi]/2},{y,-\[Pi]/2,\[Pi]/2},ImageSize->{400,400}],{{a,-48},-10,10,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"},{{e,-7.5},-10,10,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"},AutorunSequencing -> {1, 3, 5, 7, 9}]
2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
∂∂kx
(2 − cos (akx) − cos (aky)) = a sin (kx)∂∂ky
(2 − cos (akx) − cos (aky)) = a sin (ky)(8.3)
33
(a) (b)
Figura 8.2: Si riporta l’andamento dell’equazione (8.2). (8.2(a)) In piu zonedi Brillouin. (8.2(b)) Ristretta alla prima zona di Brillouin. I due assi inbasso sono kx e ky, sull’asse verticale l’energia.
Quindi il gradiente dell’energia e:
∇E(kx, ky) = a sin (kx)ekx + a sin (ky)eky (8.4)
Quindi andando a prendere i piani con kx o ky costante:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
∇E(πa , ky) = a sin (aky)eky
∇E(kx,πa ) = a sin (akx)ekx
(8.5)
Il gradiente e ortogonale alle superfici equipotenziali, allora le superfici equipoten-ziali sono sempre ortogonali ai piani di Bragg, esclusi i punti (±
pia ,0), (0,±pi
a ),(±
pia ,±
pia ), per i quali la divergenza di E e nulla.
3
In figura 8 e riportata la curva di dispersione in direzione W −X:
E(kx, ky) = E(π
a, ky) = E0 [2 − cosπ − cos (aky)] = E0 [3 − cos (aky)] . (8.6)
Il codice e:
Plot[3-Cos[\[Pi]-x],{x,0,\[Pi]},PlotRange->{-0.1,4.5},Ticks->None]
34 CAPITOLO 8. TIGHT-BINDING SU UN RETICOLO QUADRATO
Figura 8.3: Curva di dispersione per un reticolo quadrato nella direzioneW-X.
4
In questa situazione il volume di un singolo modo k e: (2πL )
2, l’area della prima
zona di Brillouin e (2πa )
2, allora il volume occupato dagli elettroni nello stato
fondamentale e:
Vk =1a2
4π2
L2 L2 12=
2π2
a2 . (8.7)
Il volume occupato e quindi la meta di quello della prima zona di Brillouin.
ContourPlot[2-Cos[x]-Cos[y],{x,-\[Pi],\[Pi]},{y,-\[Pi],\[Pi]}]
5
Nel caso che ogni atomo contribuisca con due elettroni, il volume occupato nelk-spazio dagli stati occupati e 4π2
a2 , la banda e completamente piena ed il materialee ISOLANTE.
Nel caso in cui i calcoli vengano eseguiti con l’approssimazione a elettroni quasiliberi, le superfici equipotenziali sono circonferenze lontano dai piani di Bragg esono deformate in prossimita del piano per effetto del potenziale.
Quando ci sono n = 2a elettroni, il vettore d’onda di Fermi kF confina dalla prima
zona e se non cade nella regine di energia d’ampiezza 2∣u1∣ data dal potenziale, puoverificarsi che alcuni livelli nella banda successiva siano occupati. Questo e il casodei CONDUTTORI.
35
(a) 1 elettrone (b) 2 elettroni
Figura 8.4:
6
Ora si calcola la massa efficace:
1m∗
=1h2∂2En(k)∂k2 . (8.8)
Poiche E(k) = E0 [2 − cos (akx) − cos (aky)], si trova:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
∂2E∂k2
x= a2 cos (akx),
∂2E∂k2
y= a2 cos (aky),
∂E2
∂kx∂ky= ∂E2
∂ky∂kx= 0,
(8.9)
si trova che la massa efficace e la seguente matrice:
1m∗
=a2
h2 [cos (akx) 0
0 cos (aky)] (8.10)
Sostituendo kx e ky con i valori richiesti nel testo si trovano i seguenti risultati.Per il punto Γ = (0; 0), (kx, ky) = (0; 0):
1m∗
(Γ) =a2
h2 [1 00 1
] (8.11)
Per il punto X = (1; 0), (kx, ky) = (π/a; 0):
1m∗
(X) =a2
h2 [−1 00 1
] (8.12)
36 CAPITOLO 8. TIGHT-BINDING SU UN RETICOLO QUADRATO
Figura 8.5: (8.5(a)): nearly free electron model; (8.5(b)): prima zona diBrillouin.
Per il punto W = (1; 1), (kx, ky) = (π/a;π/a):
1m∗
(W) =a2
h2 [−1 00 −1
] (8.13)
kx ky −π
aπ
a0 E (8.14)
Capitolo 9
Catena unidimensionalebiatomica
Consegna 9. Si consideri un reticolo di Bravais unidimensionale con due ioni percella primitiva, posti nelle posizioni di equilibrio na e na+ d. Calcolare le relazionidi dispersione per le bande fononiche ω = ω(k) relative a tale reticolo nel caso incui i due atomi 1 e 2 della base abbiano la stessa massa M1 = M2 = M, ma lecostanti di forza G e K tra gli atomi primi vicini dipendano dal fatto che la loroseparazione sia +d o −d. Discutere i casi limite dei fononi di centro zona (k=0) ebordo-zona (k = π/a).
Svolgimento
Il problema puo essere schematizzato come in figura 9. Le equazioni classiche del
Figura 9.1: In blu le molle con costante di forza G, in rosso K.
moto, considerando solo l’interazioni con i primi vicini, sono le seguenti:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Mun,1 = −K (un,1 − un,2) −G (un,1 − un−1,2)
Mun,2 = −G (un,2 − un+1,1) −K (un,2 − un,1) ,(9.1)
dove le coordinate un,1 e un,2 si riferiscono allo spostamento relativo dalle posizionid’equilibrio degli atomi nella cella n-esima di tipo 1 o di tipo 2.
37
38 CAPITOLO 9. CATENA UNIDIMENSIONALE BIATOMICA
Si stanno cercando soluzioni del tipo un,i(q, ω) = uiei(q⋅na−ωt), dove i = 1,2. Orasi sostituisce tale tipo di soluzione nel sistema (9.1), che quindi diventa:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Mω2u1ei(q⋅na−ωt) = −K (u1ei(q⋅na−ωt) − u2ei(q⋅na−ωt)) −G (u1ei(q⋅na−ωt) − u2ei(q⋅(n−1)a−ωt))Mω2u2ei(q⋅na−ωt) = −K (u2ei(q⋅na−ωt) − u1ei(q⋅na−ωt)) −G (u2ei(q⋅na−ωt) − u1ei(q⋅(n+1)a−ωt)) ,
(9.2)semplificando quanto possibile si trova:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(−ω2M +K +G)u1 − (K +Ge−iqa)u2 = 0− (K +Ge+iqa)u1 + (−ω2M +K +G)u2 = 0.
(9.3)
Questo sistema si trova imponendo l’equazione secolare nulla:
∣G +K −Mω2 −K −Ge−iqa
−K −Ge+iqa G +K −Mω2∣ = 0, (9.4)
i cui calcoli espliciti sono:
(G +K −Mω2)2− (K +Ge−iqa) (K +Ge+iqa) =
= G2+K2
+M2ω4+ 2GK − 2GMω2
− 2KMω2−
−K2−G2eiqae−iqa
−KGeiqa−KGe−iqa
=
= M2ω4− 2Mω2
(G +K) −GK (eiqa+ e−iqa
− 2) = 0, (9.5)
Risolvendo questa equazione di quarto grado si ottiene:
ω2=
M(G +K) ±
√
M2(G +K)2+GKM2(2 cos (qa) − 2)
M2 , (9.6)
cioe la legge di dispersione:
ω2=
G +KM
±1M
√
G2 +K2 + 2GK cos (qa). (9.7)
Ora e possibile studiare i casi limite.
q = 0
Per q << πa il coseno puo essere approssimato, sviluppando in serie e troncando al
secondo termine, che equivale a fare il limite per qa→ 0:
cos (qa) ≈ 1 −(qa)2
2. (9.8)
Al primo ordine di q le due radici diventano:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
ω2 =2(K+G)
Mω2 = 0,
(9.9)
39
Definendo:u1
u2∶=−ω2M +K +G(K +G)e−iqa , (9.10)
in questo caso si ha qa = 0, per cui:
u1
u2=−ω2M +K +G
(K +G), (9.11)
Utilizzando le soluzioni (9.9):
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
u1u2= K+G(K+G) = 1
u1u2= −2G−2K+K+G
(K+G) = −1(9.12)
cioe:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
u1 = u2
u1 = −u2(9.13)
nella banda acustica i due ioni della cella si muovono in fase con gli altri, mentrenella banda ottica i due atomi nella cella sono sfasati di un angolo piatto.
q = π/aIn questo caso il coseno vale −1 e quindi sostituendo, le radici diventano:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
ω2 = 2GM
ω2 = 2KM ,
(9.14)
Sostituendo qa = π nell’equazione (9.10):
u1
u2=
K −G−ω2M +K +G
, (9.15)
Utilizzando le soluzioni (9.14):
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
u1u2= G−K(G−K) = 1
u1u2= K−G(G−K) = −1
(9.16)
In questo caso il moto delle celle vicine e sfasato di 180, ma gli ioni all’internodi ciascuna cella si muovono in fase nel modo acustico e sfasati di 180 nel modoottico.
40 CAPITOLO 9. CATENA UNIDIMENSIONALE BIATOMICA
Capitolo 10
Calore specifico elettronico e direticolo
Consegna 10. Si consideri l’espressione del calore specifico elettronico ricavata dalmodello di Sommerfeld e quella del calore specifico di reticolo ricavata dal modellodi Debye. Si calcoli a quale temperatura T0 il contributo del calore specifico direticolo diventa maggiore del calore specifico elettronico.
Svolgimento
L’espressione per il calore specifico elettronico ricavata dal modello di Sommerfelde:
CElv =
π2
2(
KBTεF
)ZnKB, (10.1)
dove εF = KBTF.L’espressione per il calore specifico di reticolo ricavata dal modello di Debye e:
CRv =
12π4
5nKB(
TTD
)
3. (10.2)
Il rapporto tra queste due quantita e:
CElv
CRv=
π2
2KBTKBTF
ZnKB
12π4
5 nKBT3
T3D
=5ZT3
D24π2T2TF
, (10.3)
Calcoliamo quando G−K(G+K) = Cret
v , cioe poniamo (10.3) pari ad uno, da cui si ricava:
T2=
¿ÁÁÀ 5ZT3
D24πTF
= 0,65T3
DZTF
, (10.4)
41
42CAPITOLO 10. CALORE SPECIFICO ELETTRONICO E DI RETICOLO
cioe:
T = 2,510−1
¿ÁÁÀT3
DZTF
. (10.5)
Poiche si ha che TD ≈ 102 K e che TF ≈ 104 − 105 K, sostituendo si ottiene:
T ≈ 10−1
¿ÁÁÀ106
104 ≈ 1 − 2 K. (10.6)
Questa e la temperatura alla quale il contributo di CRv diventa maggiore di CEl
v .
Capitolo 11
Modello di Debye
Consegna 11. Si consideri la formula che esprime nel caso piu generale la densitadi modi vibrazionali in un reticolo in dipendenza dalla frequenza ω:
g(ω) =∑s∫
dk(2π)3 δ(ω −ωs(k)). (11.1)
Si dimostri che, nel modello di Debye in cui si considera una relazione di disper-sione lineare ω = ck per tutti i rami fononici, la densita degli stati g(ω) dipende daω2. Identificare le analogie tra questa relazione di dispersione e quella per i modidel campo elettromagnetico in una cavita.
Svolgimento
Utilizzando lo stesso metodo con il quale abbiamo calcolato la densita dei livellielettronici, si definisce:
1V∑
k,s
Q (us(k)) =∑s∫ dk
1
(2π)3 Q (ωs(k)), (11.2)
ossia una sommatoria mediata su tutti i livelli fotonici.Si introduce la densita dei modi normali g(ω), definita in modo tale che g(ω)dω
sia il numero totale dei modi con frequenze comprese in un range infinitesimo[ω,ω + dω], mediato sul volume totale del cristallo. In termini di g si ha:
∫ g(ω)Q(ω)dω. (11.3)
Uguagliando l’equazione (11.2) con l’equazione (11.3) si ricava l’espressione perla g(ω):
g(ω) =∑s∫
18π3 δ(ω −ωs(k))dk. (11.4)
43
44 CAPITOLO 11. MODELLO DI DEBYE
Come ipotesi per il modello di Debye si prende una dispersione di tipo lineareω = ck per tutti i rami fotonici e si assume che i vettori d’onda dei modi normalirimangono all’interno di una sfera di raggio k0, cioe:
g0(ω) = 3∫k<k0
18π3 δ(ω − c(k))dk, (11.5)
dove il fattori di 3 e dovuto al numero di rami fotonici.Si ricorda che:
dk = 4πk2dk, (11.6)
quindi sostituendo e calcolando l’integrale si trova:
g0(ω) =3
2π2 ∫k0
0k2dkδ(ω − ck) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
32π2
ω2
c3 se ω < ω0 = k0c0 se ω > ω0.
(11.7)
Le analogie e le differenze con la dispersione per i modi del campo elettromag-netico in una cavita sono descritte di seguito.Il fallimento della legge di Dulong-Petit nel spiegare il calore specifico dei solidi allebasse temperature e paragonabile alla catastrofe di Rayleigh-Jeans: il fallimentodella teoria classica nel predire la densita di energia della radiazione da corpo nero.La velocita del suono e formalmente sostituita da quella della luce nel corponero, per cui il grado di liberta longitudinale e soppresso in quanto la velocita dipropagazione e quella della luce.La formula per la radiazione da corpo nero ha un fattore extra di 2/3 che cor-risponde al fatto che ci sono solo due rami nello spettro dei fotoni, infatti la radi-azione elettromagnetica non e longitudinale.Il limite superiore dell’integrale non e limitato a k0 dal momento che non ci sonorestrizioni al numero massimo di k permessi nel caso dei fotoni, il k massimo deifononi dipende dal numero di atomi del reticolo.
Bibliografia
[1] webmineral.com.
[2] www.mathe-fa.de.
[3] N. W. Ashcroft and N. D. Mermin. Solid State Physics. 1993.
[4] F. Bassani and U. M. Grassano. Fisica dello stato solido. Bollati Boringhieri.
[5] L. E. Sangaletti. Lucidi delle lezioni. Technical report, Universita Cattolica delSacro Cuore, dipartimento di Matematica, Fisica e Scienze Naturali, Brescia,Italia, 2008-2009. Lucidi del corso di Fisica Dello Stato solido 1.
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