ESER ŞENYÜREK MATEMATİK ÖĞRETMENİ

Fraktal: Fraktal, parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractus kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.

Fraktal; çoğunlukla kendine benzeme özelliği gösteren karmaşık, geometrik şekillerin ortak adıdır. Bu şekillerin en önemli özelliği, ne kadar büyütürseniz büyütün, görüntünün her küçük ayrıntısının, bütün ile tıpatıp aynı karakteristikleri taşımalarıdır.

Fraktalın, ele alınan bir şeklin belli bir oranda büyütülmesi veya küçültülmesi ile oluşturulduğuna dikkat ediniz.

2

FRAKTAL

SORU: Aşağıdaki şekillerden hangisi frarktal örneğidir?

Kan damarlarımız da fraktal yapıdadır ve böylece çok az hacim(vücudun %5′i) ile vücudun en ücra köşesine kan taşımaktadırlar.

3

3. adım

1. adım 2. adım

4. adım

Helge von Koch, doğadaki fraktal geometrik düzenden ilham alarak 1904’te “Koch kar tanesi” adını verdiği kar tanelerini kağıt üzerinde oluşturmuştur. Başlangıç şekli olarak üçgeni kullanan Koch, her üçgenin kenarlarına daha küçük üçgenler yerleştirerek çeşitli kar taneleri şekilleri elde etmiştir.

4

Helge von Koch

5

Yansıma ve dönmeyi ele almak için simetri konusunu hatırlayalım. Simetriyi iki merkezde ele almıştık.

Noktaya göre simetri.

Doğruya göre simetri.

DOĞRUYA GÖRE SİMETRİ

Doğruya göre simetri, yansıma simetrisidir.

NOKTAYA GÖRE SİMETRİ

6

DÖNME

YANSIMAÖTELEME

Noktaya göre simetride şeklin 180 derece dönme hareketi yaptığı görülür. Böyle bir dönme hareketine merkezil dönme denir.

Şimdi de öteleme hareketini ele alalım:

Hatırlayacak olursak, ötelemeyi bir nesnenin istenen birim ve yönde hareket ettirilmesi şeklinde tanımlayabiliyorduk.

4 birim sağa 2 birim aşağı öteleyelim.

7

.A A

A BCD

Tüm bu geometrik hareketler koordinat düzleminde gerçekleşirse koordinatlarda nasıl bir değişme olur?

Şimdi bu ABC üçgenini x e paralel 2 birim sağa öteleyelim

Gördük ki x’e paralel ötelemede her bir noktanın apsisi değer değiştirir. Sağa doğru ötelemede apsis istenen birim kadar artarken, sola doğru ötelemede azalır.

Sizce y’ye paralel ötelemede koordinatlar nasıl bir değişim gösterir?

8

A BCD A B

CD

A(1,3)B(2,4)C(3,1)

A(1,3)A(3,3)B(2,4)B(4,4)C(3,1)C(5,1)

SONUÇ: A(x,y) içinx’ e paralel a birim öteleme:Sağa: A(x+a,y)Sola: A(x-a,y)y’ ye paralel a birim öteleme:Yukarı: A(x,y+a)Aşağı: A(x,y-a)

Şimdi 90, 180 ve 270 derecelik dönme hareketlerini saat yönüne ve saat yönünün tersine inceleyelim bakalım koordinatlarda nasıl bir değişim olacak?

A(2,3) B(5,3) C(4,1)

Aynı hareketi B ve C için de yapalım.

Burada ABC üçgeninin saat yönünün tersine 90 derece döndürülmesiyle elde edilen görüntüsünü görmekteyiz.A(2,3)èA(-3,2) B(5,3)èB(-3,5) C(4,1)èC(-1,4) Dikkat edecek olursak koordinatlarda (x,y)è(-y,x) durumu ortaya çıktı.

9

Aynı durum bir kez daha tekrar ettirildiğinde saat yönünün tersine 180 derece ; iki kez daha tekrar ettirildiğinde ise saat yönünün tersine 270 derece dönme hareketi gerçekleşmiş olur.

Saat yönünün tersine 270 derecelik dönme saat yönünde kaç derecelik dönmeye karşılık gelir? SONUÇ:A(x,y) içinSaat yönünün tersine 90 derece dönme ile saat yönüne 270 derece dönme aynı dönme hareketidir ve A(x,y)èA(-y,x) olur.Saat yönünün tersine 180 derece dönme ile saat yönüne 180 derece dönme aynı dönme hareketidir ve orijine göre simetri alınmaktadır. (MERKEZİL DÖNME) A(x,y)èA(-x,-y) olur.Saat yönünün tersine 270 derece dönme ile saat yönüne 90 derece dönme aynı dönme hareketidir. A(x,y)èA(y,-x) olur.

Şimdi x’e ve y’ye göre yansımayı inceleyelim bakalım koordinatlarda nasıl bir değişim olacak?

y’ye göre yansıma A(4,3)èA(-4,3) B(1,2)èB(-1,2) C(3,1)èC(-3,1)

x’e göre yansıma A(4,3)èA(4,-3) B(1,2)èB(1,-2) C(3,1)èC(3,-1)

SONUÇ:A(x,y) için;y ’ ye göre yansıma alındığında: A(x,y)èA(-x,y) (y sabit x ’ in işareti değişir.)x ‘ e göre yansıma alındığında: A(x,y)èA(x,-y) (x sabit y ‘ nin işareti değişir.)

10

Soru:

Şekilde görülen [AB] ‘ nın y ‘ye paralel 2 birim yukarı ötelenmesi ile elde edilen görüntü saat yönünde 90 derece döndürülüyor.

Son durumdaki görüntünün ise x ‘e göre yansıması altındaki görüntüsü alınıyor. Bu üç hareketin sonun da elde edilen her bir yeni koordinatı yazınız.

HHİİSTOGRAMSTOGRAM İstatistik: İstatistik verilerin toplanmasını, değerlendirilmesini, yorumlanmasını ve sunulmasını konu alan matematiksel bilim dalıdır.

Örneklem: Veri toplamak amacıyla üzerinde araştırma yapılacak gruptur.Örneklem seçimi değerlendirme ve yorumlama aşamasında yanlış sonuçlara ulaşmayacak şekilde yapılmalı, olabildiğince farklı elemanlardan oluşan bir örneklem seçilmelidir.Örneğin; bir okulda kantinle ilgili bir araştırma yapmak istersek veri toplamak amacıyla sadece öğretmenlere sorular yöneltmek bizi pek sağlıklı sonuçlara götürmez.Sizce böyle bir araştırma için seçilecek örneklemde kimler bulunmalıdır?

Histogram oluşturalım…Histogram aslında sütun grafiğinin özel bir halidir. Burada farklı olan grupların tek tek ele alınmasındansa belirli bir genişlikte ele alınmasıdır.

Histogram çiziminde gereken grup genişliğini elde etmek amacıyla aşağıdaki yol izlenir.

1. Verilerin açıklık değeri hesaplanır.2. Veri gruplarının sayısı belirlenir. (Veri gruplarının sayısı histogramı oluşturacak kişi tarafından belirlenir.) 3. Verilerin açıklık değeri, veri gruplarının sayısına bölünür ve elde ettiğimiz bölüme üstten en yakın tek sayı değeri alınır. Sonuç bizi grup genişliğine götürür.

Şimdi bir örnekle histogram çizimini inceleyelim…

ÖRNEK:Bir markette 15 günlük satışlar sonucunda A marka deterjan satışlarının günlük dağılımı aşağıdaki gibidir: 21 35 30 27 22 27 30 30 36 27 22 30 27 30 27 Bu bilgiler marketin satış müdürlüğüne iletilmiş ve 3 tane veri grubu için bir histogram hazırlanması istenmiştir.

• Bu marketin satış müdürü sizsiniz, uygun histogramı çiziniz.

11

21 35 30 27 22 27 30 30 36 27 22 30 27 30 27 Verilerin açıklık değeri: 36-21=15 3 tane veri grubu için grup genişliği: (15:3)=5Hatırlatma: Verilerin açıklık değeri, veri gruplarının sayısına bölünür ve elde ettiğimiz bölüme üstten en yakın tek sayı değeri alınır. Grup genişliği 5è 7 alınacak.

Burada genişliği 5 aldık ve grup sayısı 3 istenmesine rağmen 4 tane elde edildi.

Şimdi grup genişliğini 7 olarak alalım ve bakalım gerçekten de üstten en yakın tek sayıyı almak bize ne kazandıracak:

Görüldüğü gibi istenen 3 grup bu şekilde elde edildi. Belki her zaman böyle sıkıntılar yaşanmayabilir ama kendimizi garantiye almak amacıyla üstten en yakın tek sayıya yuvarlamak gerekebilir. Her zaman bu yuvarlama yapılmak zorunda değildir.Şimdi yukarıdaki çetele tablosuna ait histogramı çiziniz.

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Farkı

Rasyonel Sayı: a ,b∈Z ve b≠0 olmak üzere ab

şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel sayı denir.

Rasyonel sayıların oluşturduğu küme Q (QuotientàOran) ile gösterilir.

12

İrrasyonel Sayı: İrrasyonel sayı rasyonel olmayan sayı anlamına gelir.

Bu anlamda: : a ,b∈Z ve b≠0 olmak üzere ab

şeklinde yazılamayan sayılara İrasyonel sayı denir.

Her rasyonel sayıya karşılık gelen bir devirli ondalık açılım mutlaka vardır.

Devirli ondalık açılımı olmayan bir sayı nasıl bir sayıdır?

İrrasyonel sayılar kümesi Qı ile gösterilir.

Örnek: 3,574∈Q 2 ,14∈Q

Verilen sayıları a , b∈Z ve b≠0 olmak üzere ab şeklinde yazalım:

2 ,14 =2,14141414… = x olsun.

214,141414… = 100x olur.

Burada; 2 ,14=x iken; 214 ,14 =100x oldu.

13

3,574=3,574

1000

1000 =3574

1000

Şimdi elde edilen verileri alt alta yazıp taraf tarafa çıkarma yaptığımızda:

Buradan; x=212

99 olur.

Burada taraf tarafa çıkardığımızda devreden sayının 0 olması amacıyla virgülden sonrası sadece devirli olan ve devredeni aynı olan iki sayı elde ettik.

Bu amaçla yeni sayılar elde etmek için genişletme kullanıldığına dikkat edelim.

Soru: 2,8 3 açılımını rasyonel sayı şeklinde yazalım.

Soru: 1 ,7 açılımını rasyonel sayı şeklinde yazalım.

Örnek: 1,565758596061… açılımını rasyonel sayı şeklinde yazalım.

Burada verilen açılımın devirli bir açılım olmadığı görülmektedir. Yani bu açılım rasyonel sayı olarak yazılamaz.

1 ,565758596061 .. .∈Qı

ÜSLÜ SAYILARLA YAPILAN İŞLEMLER

Üslü sayılarla yapılacak işlemleri örneklerle ele alalım.

14

214,14=100x 2,14= x 212,0 = 99x

14,2 14,214

3.3 3.3.3.3 3.3.3.3.3.3= 32+4=36

Örnekler:

1.)32 .34

Tabanları eşit olan iki üslü sayı çarpılırken üsler toplanıp toplam, ortak tabana üs olarak yazılır.

2.)

52 .62

Üsleri eşit olan iki üslü sayı çarpılırken tabanlar çarpılıp çarpım, ortak kuvvete taban olarak yazılır.

3.)

27

23=2.2 .2.2 .2 .2.2

2.2 .2=2.2.2 .2.2 .2 .2

2.2.2=24

Tabanları eşit olan iki üslü sayıdan biri diğerine bölünürken, bölünenin üssünden bölenin üssü çıkarılır. Ortak tabana üs olarak yazılır.

4.)

(42 )3=42 .42. 42=42+2+2=42.3=46

Verilen bir üslü sayının kuvveti alındığında yani üssün üssü istendiğinde üsler çarpılıp çarpım, tabana üs olarak yazılır.

Üslü Sayılarla Toplama-ÇıkarmaAslında toplama-çıkarma işleminin her şekilde tek bir mantığı vardır. Gerek üslü sayılarda, gerek cebirsel ifadelerde, gerek kesirlerde v.s. Her zaman toplanacak ifadelerin benzer terim olması gerekir.

Bunu özetle “ELMA İLE ELMA” toplanabilir, ancak “ELMA İLE ARMUT” toplanmaz şeklinde ifade edebiliriz.

Bu çerçevede üslü sayılarla toplama çıkarma yaparken toplanacak üslü ifadelerin taban ve kuvveti aynı olmalıdır.

15

30 x 30¿302 5.5 6.6

Katsayılar miktarı anlattığı için şöyle bir durum ortaya çıkar:

Tabanları ve üsleri eşit olan üslü sayılar toplanırken katsayılar toplanıp toplam, ortak üslü sayıya katsayı olarak yazılır.

Örnek: 2.34+5.34−4.34=(2+5−4 ) . 34=3.34=35

Eğer toplanacak olan ifadelerde taban ve üsler aynı değilse, taban ve üsler eşitlenmeye çalışılır, eşitlemeden sonra toplamaya geçilir.

Örnek: 5.43+6. 44=5. 43+6.4.43=5. 43+24. 43=29. 43

Örnek: 2.73+6.492=2.73+6. (72)2=2.73+6 .74=2.73+6 .7 .73=¿¿2.73+42 .73=44 .73

Soru: 2.34+5.33+4. 92=¿

Üslü ifadelerle ilgili çözüm üretirken elde ettiğimiz eşitlikleri iki yönlü düşünmek zorundayız. Şöyle ki:

16

Bir sayının 1. kuvveti sayının kendisine eşittir.

551

0 hariç, bir sayının 0. kuvveti 1’e eşittir.

150 TANIMSIZ00

Bir Tam Sayının Negatif Kuvvetini Bulma

Hatırlatma:Tabanları eşit olan iki üslü sayıdan biri diğerine bölünürken, bölünenin üssünden bölenin üssü çıkarılır, ortak tabana üs olarak yazılır. ETKİNLİK: Bir üslü sayıyı iki üslü sayının bölümü şeklinde yazalım.

Kuvveti 2 ile 10 arasında olan bir üslü sayı alalım. Bu sayının üssünü iki doğal sayının farkı şeklinde yazalım.

Kuvvetteki fark işleminden yararlanarak ifadeyi bölme işlemi şeklinde yazalım.

Etkinlikte istenenleri yapalım:

25

27−2

27

22

Örnek: 3−7=32−9=32

39=3.3

3.3 .3.3 .3 .3 .3.3 .3= 1

37=( 13 )7

Örnekten de görüldüğü gibi bir tam sayının negatif kuvveti alınırken tabandaki sayının çarpma işlemine göre tersi alınıp kuvvet pozitif yapılır.

17

yxyx

yxyx

a.aa

aa.a

y

xyx

yxy

x

aaa

aaa

xxx

xxx

b.ab.a

b.ab.a

yxy.x

y.xyx

aa

aa

Aynı durum rasyonel sayıların tümü için de geçerlidir.

Ondalık Kesirlerin veya Rasyonel Sayıların KuvvetiÖncelikle rasyonel sayıların kuvvetini ele alalım.

ab∈Q olmak üzere ;

( ab )n

=ab

∙ ab

∙ ab

∙ ab

∙…∙ ab⏟

n tane

=a ∙ a ∙ a∙ a ∙…∙a ∙a⏞n tane

b ∙ b ∙ b∙ b ∙…∙b∙ b⏟n tane

=an

bn

olur.

Yani ( ab )n

=an

bn

Örnek: ( 23 )4

=24

34=1681

Soru: ( 57 )2

=¿

Soru: ( 25 )−3

=¿

Negatif bir rasyonel sayının çift kuvveti alınırsa sonucun işareti ne olur?

Negatif bir rasyonel sayının tek kuvveti alınırsa sonucun işareti ne olur?

Şimdi ondalık sayıların kuvvetini ele alalım:Bir ondalık sayının kuvveti istendiğinde, öncelikle verilen ondalık sayıyı rasyonel hale getirirsek kuvvet almamız daha kolay olur.Örnekler:

1.) (0,3 )2=( 310 )

2

= 32

102=9

100Soru: (1 , 2 )2=¿

Sayıların Bilimsel Gösterimi

18

Yukarıda Dünya’nın Ay’a ve Güneş’e olan uzaklıkları verilmiştir, inceleyiniz.

Şekilde bir DNA modeli görülmektedir.

Yapılan araştırmalar DNA’nın genişliğinin:2,4 nanometre civarında olduğunu göstermektedir.

1 nanometre 1 milimetrenin milyonda biridir. Yani elimizdeki bir DNA’nın kaç milimetre olduğunu bulmak için 2,4’ü 1000000’a bölmek gerekir sonuç olarak:

DNA’nın genişliği= 2,4

1000000mm

Bilimsel çalışmalarda bazen çok büyük ya da çok küçük sayılarla işlemler yapmak gerekebilir. Böyle bir durumda işlemlerde kolaylık sağlaması açısından sayıların bilimsel gösteriminden yararlanılır.

19

DÜNYA

AY

GÜNEŞ

150000000 km

384403 km

a∈R ve 1 ≤ a<10 ise, n∈Z olmak üzere; a .10n şeklindeki gösterim bilimsel gösterimdir.

Şu ana kadar gördüğümüz çok büyük ve çok küçük sayıları bilimsel olarak gösterelim.

Dünya ile Güneşin arasındaki mesafe 150000000 km.

150000000=1,5.100000000=1,5.108

DNA’nın genişliği= 2,4

1000000mm

2,41000000

=2,4106=2,4. 10−6

Sorular: Aşağıdaki sayıların bilimsel gösterimlerini yazınız.

1.) 35000000000=2.) 0,75=3.) 0,0035=

Sorular: Aşağıdaki işlemleri yapıp sonucunu bilimsel gösterimle ifade ediniz.

1.) 7,2. 10−5× 1,3.1013=¿2.) (3,2. 10−5 )÷ (1,6.108 )=¿

32

Yukarıdaki sayının 3 üssü 2 veya 3’ün 2. kuvveti diye okunduğunu biliyoruz.Bunun yanı sıra bir sayının 2. kuvveti o sayının karesi olarak ifade edilebilir.

20

Kareköklü Sayılar

Bu anlamda yukarıdaki sayı 3’ün karesi şeklinde ifade edilebilir.

42→ 4' ün karesi →16

72 →7 ' nin karesi→ 49

-Dedem dedi ki bizim kökümüz çok eskilere dayanırmış.

Yukarıdaki cümlede altı çizili kelime hangi anlamda kullanılmıştır?

Bir sayının kökünü bulmak, o sayıya ulaşmak için kuvveti alınan değeri (geçmiş değeri) bulmaktır.

ÖRNEK: 16 sayısı hangi sayının karesi alınarak elde edilmiştir?

İşte burada 16 sayısının kare alınmadan önceki geçmiş değerin bulunması isteniyor.

Hangi sayının karesi 16 dır?

Hangi sayının karesi 4 tür?Hangi sayının karesi 9 dur?Hangi sayının karesi 36 dır?

Hangi sayının karesi 4 tür? à√4Yukarıda görüldüğü gibi √❑ sembolü “hangi sayının karesi?” sorusunu sorar. Bu sembol “Karekök” diye okunur.

√16 ifadesinin nasıl okunduğunu ve ne anlama geldiğini söyleyiniz.

İleride yapacağımız işlemlerde kolaylık sağlaması açısından aşağıdaki tabloyu inceleyelim.

21

Soru: √13+√2+√55−√36 = ?

Kareköklü Sayılarla Toplama-ÇıkarmaKareköklü Sayılarla Toplama-Çıkarma

3 ELMA + 2 ELMA = 5 ELMA

3√5+2√5=5√5

Verilen bir işlemde toplama çıkarma varsa öncelikle toplanabilirlik durumu incelenmelidir.

22

Toplama işlemi yaparken toplanacak olan ifadelerin aynı cins olmasına dikkat edilir aksi halde toplama yapılamaz. Aynı durum çıkarma işlemi için de geçerlidir.

Toplama-çıkarma işlemi yaparken toplanacak-çıkarılacak ortak cinslerin miktarını anlatan sayılar (katsayılar) toplanır-çıkarılır.

Kareköklü sayılarla toplama yapılırken: Kök içlerinin aynı olmasına dikkat edilir. Katsayılar toplanır-çıkarılır katsayı olarak yazılır. Ortak kök, elde edilen katsayının yanına yazılır.

ÖRNEK: 3√2+7√2−4 √2=(3+7−4 )√2=6 √2

ÖRNEK:

23

Katsayılar toplanıp, katsayı olarak yazılır.

ÖRNEK: 8√6+5√2−3√6+√2=5√6+6√2

Soru: 18√5−2√7−20√5+√7=?

Kareköklü Sayılarla ÇarpmaKareköklü Sayılarla ÇarpmaKareköklü sayılarla çarpma yaparken katsayılar çarpılır katsayı olarak yazılır. Kök içleri çarpılır kök olarak yazılır. Bölmede de aynı mantık geçerlidir.

ÖRNEKLER:

1.) 3√7 ×2√5=6√352.) 5√3× 4 √12=20√36=20 ×6=1203.) 27√6 ÷ 3√2=9√3

4.) 25√12÷ 4 √6=254 √2

Kareköklü Sayıyı a√c Şeklinde Yazma

√144=√12.12=12√81=√9.9=9√162=√81.2=9√2√72=√36.2=6√2Her zaman için verilen ifade bu kadar kolay çarpanlarına ayrılamayabilir. Bu durumda kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak işlemimize devam edebiliriz.

24

34335

(5-1+4)=8

38Burada 2. terimin katsayısı görülmemektedir. Bir ifadenin katsayısı görülmüyorsa çarpmada etkisiz eleman olan 1 o ifadenin katsayısıdır.

5√6 6√2

√768 için:

768 2384 2192 2 96 2 48 2 768=2.2.2.2.2.2.2.2.3 à √768=√2.2 .2.2 .2.2 .2.2 .3=2.2.2 .2 .√3=16 √3 24 2 12 2 6 2 3 3 1

Soru: √12=?

Soru: √720=?

Soru: √12+3√27−2√75=? (Kök dışına aldığınız sayı katsayı olarak alınır ve eğer daha önceden de bir katsayı var ise önceki katsayı ile kök dışına alınan katsayı mutlaka çarpılıp yeni katsayı belirlenmelidir.)

Gerçek SayılarSayı doğrusunda iki rasyonel sayı arasına sonsuz rasyonel sayı yazılabilir.Ancak her ne kadar sonsuz rasyonel sayı yazılsa da sayı doğrusunu rasyonel sayılarla tam olarak dolduramayız. Bu anlamda sayı doğrusunda boş kalan noktalara karşılık irrasyonel sayılar gelmektedir.Böylece Q ile Qı elemanları bir araya gelerek sayı doğrusunu hiç boşluk kalmayacak şekilde doldururlar.Bu iki kümenin birleşimi reel sayılar(gerçek sayılar) kümesini verir.

Q∪Qı=R olur.

N ⊂Z⊂Q⊂RQı⊂RQ∪Qı=RQ ∩Qı=∅

Standart Sapma Bir örnekle standart sapmayı ele alalım.

25

İki öğrencinin 3 yazılı sonunda aldığı notlar aşağıdaki gibidir:

Bu öğrencilerden hangisi daha tutarlı notlar almıştır?

Standart sapma değerlerini hesaplayarak tutarlılıklarını değerlendirelim.

NOTLAR İLE ORTALAMA ARASINDAKİ FARKIN KARELERİ TOPLAMI

Şimdi elde ettiğimiz bu standart sapma değerlerini yorumlayalım:

Bir veri grubunun standart sapması 0’a ne kadar yakınsa bu veri grubu o kadar tutarlıdır. Bu durumda 1. öğrencinin standart sapması 2. öğrencinin standart sapmasından küçük olduğundan 1. öğrencinin daha tutarlı notlar aldığı sonucuna ulaşılır.

Neden verilerin aritmetik ortalamaya olan uzaklıklarını direk toplamak yerine karelerini topluyoruz?

Bir adamın Salı ve Çarşamba günleri 3’er saat süresince her saat tuttuğu balık sayısı aşağıdaki gibidir:

26

ARİTMETİK ORTALAMA

693

726570

54

3429030

ARİTMETİK ORTALAMA

26916193)6972(

16)4()6965(

11)6970(

22

22

22

20161441296576144)12()5442(

1296)36()5490(

576)24()5430(

22

22

22

Standart Sapma

Standart Sapma5,313

1326

7,31100813

2016

Salı:1. saatà6 tane Çarşamba:1. saatà6 tane 2. saatà5 tane 1. saatà5 tane 3. saat à4 tane 1. saatà1 tane Burada ortalamaları alıp ortalamaya olan uzaklıkları direk toplarsakSalı Günü Ortalaması: 5 Çarşamba Günü Ortalaması:4Ortalamaya olan uzaklıklar1. Saat+1 1. Saat +2 2. Saat 0 2. Saat +13. Saat -1 3. Saat -3TOPLAMLARIà0 TOPLAMLARIà0

Bu durumda her iki gündeki tutarlılığın aynı olduğunu söylemek gerekecekti. Sizce her iki günün tutarlılığı aynı mı? Yorumlayınız.

Yazılıdan 70 alan bir çocuğun aldığı bu tek not için tutarlılığı hakkında ne söylersiniz?Şimdi bu çocuğun aldığı tek not için standart sapmayı hesaplayalım.Aritmetik ortalama: 70Aritmetik ortalamaya uzaklıkların kareleri toplamı: (70-70)2=0Şimdi bulduğumuz bu değeri veri sayısına bölüp karekök alarak standart sapmayı bulalım:

√ 01=0

Bu durumda bu çocuğun çok tutarlı olduğu söylenebilir. Oysaki tek notla bir çocuğun tutarlılığı yorumlanamaz.Şimdi de veri sayısının 1 eksiğine bölüp karekök alarak standart sapmayı hesaplayalım.

√ 00=TANIMSIZ

Bu durumda bu çocuğun tutarlılığı yorumlanamaz.

OLASILIKOlasılığı Deneysel, Teorik ve Öznel olasılık olmak üzere üç başlıkta değerlendirebiliriz.DENYSEL OLASILIK: Bir olasılık deneyi sonunda hesaplanan olasılıktır.TEORİK OLASILIK: Bir olasılık deneyi gerçekleşmeden bu deneyin sonucunda gerçekleşmesi beklenen olasılıktır.

Bir olasılık deneyinde deneme sayısı arttıkça teorik olasılık değerine yaklaşılır.

27

5,31313

26

Neden veri sayısının 1 eksiği alınıyor?

ÖZNEL OLASILIK: Kişilerin kendi yorumlarını katarak ulaştıkları olasılıktır.

Bağımlı ve Bağımsız Olaylarİki olaydan birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştiriyorsa bu olaylar bağımlı, değiştirmiyorsa bağımsız olaylardır.

Örnek: Bir adam bir eline madeni para, diğer eline bir zar alıp ikisini birden attığında zarın hangi yüzünün üste geleceği paranın yazı veya tura gelmesiyle ilgili değildir. Bu iki olay bağımsız olaylardır.

Örnek: Bir okulda kızlar için voleybol ve basketbol, erkekler için futbol ve atletizm kursları açılmıştır. Bu okulda her sınıftan sadece bir öğrenciye ücretsiz kurs verileceği açıklanmıştır. Bu okulda herhangi bir sınıf ele alındığında, bu sınıftan seçilen öğrencinin kız ya da erkek olması seçilecek kursun olasılığını etkileyeceğinden öğrenci seçilmesi ve kurs tercihi bağımlı olaylardır.

Olasılık Hesaplama

28

- Bari bu kez bana çıksın.

Milli Piyango İdaresi Genel Müdürlüğünün yılbaşı özel çekilişinde çeyrek bilete ikramiye çıkma olasılığının yüzde 85, bu şansın yarım bilette yüzde 9, tam bilette ise yüzde 6 olduğu bildirildi.

-Hocam bu maçı Milli Takımımızın kazanma olasılığını yüksek görüyorum. - %90 biz kazanırız.

Bir adam katılacağı bir davet için kıyafet seçiyor. Bu adamın 4 pantolonu, 3 ayakkabısı olduğuna göre pantolon ve ayakkabı için kaç farklı seçim yapabilir?4.3=12Bu şekilde a farklı seçeneği olan bir durum ile b farklı seçeneği olan bir durumun birlikte gerçekleşmesi için axb farklı seçenek vardır. Buna genel çarpma özeliği veya saymanın temel ilkesi adı verilir.

Verilen bir örnek uzay E olsun bu örnek uzayda bir A olayının olma olasılığı, O (A )=S (A)S (E)

şeklinde hesaplanır.

A ve B olayının olma olasılığıBir A ve bir B olayının birlikte gerçekleşme olasılığı,O(A ve B)=O(A).O(B) olur.Örnek: Bir adam pastaneye girip kek ve meyve suyu almak istiyor. Adamın kek veya meyve suyuyla ilgili özel bir tercihi yoktur. Pastanede üzümlü, kakaolu ve sade olmak üzere 3 çeşit kek, şeftali, kayısı, vişne ve elma olmak üzere 4 çeşit meyve suyu bulunduğuna göre bu adamın rasgele seçimi sonucunda üzümlü kek ve kayısı suyu seçme olasılığı kaçtır?

KEK O (Ü )=13

MEYVE SUYU O (K )= 14

O (Ü ve K )=13

× 14= 1

12

Örnek: Bir kutuda bulunan 25 ampulden 13’ü arızalıdır. Çekilen ampul tekrar kutuya konmamak üzere rastgele art arda çekilen 2 ampulün her ikisinin de sağlam olma olasılığı kaçtır?

Bu sorunun çözümünü şema ile yapalım. Çözümü yaparken sağlam ampulleri S, arızalı olanları A ile gösterelim.

Bizden istenen

29

Olasılık hesabının nasıl yapıldığını hatırlayalım

S

1. ÇEKİLİŞ

A

2. ÇEKİLİŞ

2512

2513

SA

SA

2411

2413

2412

2412

S AS S

OLASILIK

A AA S

5011

2411

2512

5013

2413

2512

5013

2412

2513

5013

2412

2513

S S 5011

2411

2512

EŞİTLİK VE EŞİTSİZLİKAşağıdaki terazi dengededir.

Buradaki dengeyi eşitlikle ifade edebiliriz.

Bu anlamda ■=▲olduğu açıktır.

Şimdi terazinin sağ kefesinden bir

Tane ▲ alalım.

Bu durumda aşağıdaki durum ortaya çıkar:

Buradaki dengesizlik eşitsizlikle açıklanabilir.

▲▲< ■■■ veya ■■■ >▲▲

Üçgenin Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişkiyi AçıklayalımETKİNLİK:

30

Yandaki şekilde sırasıyla 12 cm ve 13 cm uzunluğunda A noktasından birbirine bağlı iki çubuk ve bu çubukların uçlarına bağlı bir lastik görülmektedir.

Çubukları bağlantı noktasından tam olarak açtığımızda aşağıdaki görüntü elde edilir.

Bu son durumda lastiğin uzunluğunun 25 cm olduğu görülür. Ancak oluşan görüntü üst üste iki doğru parçası modelidir.

Görüntünün bir üçgen modeli meydana getirmesi için A noktasında 180o den küçük bir açı olmasını sağlamalıyız.

Böyle bir üçgen modeli oluşturduğumuzda lastiğin uzunluğu kesinlikle 25 cm’den küçük olacaktır.

Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyüktür.

Yandaki şekilde b + c > a olur.

Bu durumu aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.

Terazinin her iki darasından c çıkarırsak terazi mevcut durumunda kalacaktır.

31

A

B Ca

bc

Buradan b>a-c olduğu görülmektedir. Bu duruma yukarıdaki üçgenin verilerinden ulaştığımızı unutmayalım. Sonuç olarak:

Bir üçgende her hangi iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri üçüncü kenardan küçüktür.

Bu iki durum üçgen eşitsizliği olarak isimlendirilir.Örnek: Uzunlukları verilen aşağıdaki doğru parçası gruplarından hangisi bir üçgen oluşturamaz ?

a) 5 cm 7 cm 4 cmb) 8 cm 6 cm 1 cmc) 4 cm 9 cm 6 cmd) 3 cm 4 cm 5 cm

Burada b) şıkkında 6+1=7 ve 7<8 olduğundan verilen uzunluklar üçgen eşitsizliğine uygun değildir. Bu durumda böyle bir üçgen çizilemez.Soru: Aşağıdaki şekilde verilenlere göre a’nın alabileceği tamsayı değerlerini bulunuz.

Soru: Aşağıdaki şekilde verilenlere göre k’nın alabileceği gerçek sayı değerlerini sayı doğrusunda gösteriniz.

Soru: Yandaki şekilde verilenlere göre a’nın alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.

32

A

B Ca cm

N

K

L

M

k c m

Soru: Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre a+k’nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.

Üçgende Kenar-Açı İlişkisini AçıklayalımYukarıda iki çubuk ve bir lastikle yapılan etkinliği ele alalım. Bu etkinlikteki çubukları bağlantı noktasından açtıkça lastiğin boyu uzayacaktır. Yani A köşesindeki açı büyüdükçe bu açının gördüğü kenar da büyüyecektir.

Ancak bu büyüme orantılı olmak zorunda değildir. Yani açı 2 katına çıkınca kenarın da 2 katına çkmak zorunda olduğu anlaşılmamalıdır.

Herhangi bir üçgende açılar incelendiğinde en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur.

Soru: Aşağıdaki şekilde S ( A )>S ( B )>S (C ) olduğuna göre a’nın alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.

Üçgen İnşa EdelimBir üçgen inşa etmemiz istendiğinde bu üçgenin en az biri kenar olmak üzere en az üç elemanı bilinmelidir.

33

B

A

C

D

A

B Ca cm

Aşağıda bilgileri verilen üçgenleri çiziniz.

|AB|=28 cm,|BC|=30 cm,|AC|=32 cm|KL|=28 cm , s ( K )=40o , s ( L)=60o

|PR|=28 cm, s( P )=50o ,|PS|=30 cm

Üçgende yardımcı elemanları tanıyalım.Kenarortay: Bir üçgende bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktası ile birleştiren doğru parçasına üçgenin o kenarına ait kenarortayı denir.Kenarortaylar, üçgenin içinde bir noktada kesiştiklerinden noktadaştır.

Açıortay: Bir üçgende bir köşedeki açıyı iki eş parçaya bölerek o köşenin karşısındaki kenara birleştiren doğru parçasına üçgenin o köşesine ait açıortayı denir.Açıortaylar, üçgenin içinde bir noktada kesiştiklerinden noktadaştır.

Kenar Orta Dikme (K.O.D.): Bir üçgende bir kenarın orta noktasına çizilen dikmeye üçgenin o kenarına ait kenar orta dikmesi denir.K.O.D.’ lar, dar açılı üçgende üçgenin iç bölgesinde, geniş açılı üçgende üçgenin dış bölgesinde, dik üçgende ise hipotenüs (90onin karşısındaki kenar) üzerinde kesişir. Dolayısıyla her durumda noktadaştır

Yükseklik: Bir üçgende bir köşeden karşı kenara ya da o kenarın uzantısına çizilen dikmeye üçgenin o kenarına ait yüksekliği adı verilir.Yükseklikler, dar açılı üçgende üçgenin iç bölgesinde, geniş açılı üçgende üçgenin dış bölgesinde, dik üçgende ise dik açının köşesinde kesişir. Dolayısıyla noktadaştır.

Kenarortay, açıortay, kenar orta dikme ve yükseklik nasıl çizilir? Araştırıp birer örnek gösteriniz.

PİSAGOR BAĞINTISIPİSAGOR BAĞINTISI

34

Bu durumu kısaca “dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir” şeklinde ifade edebiliriz.

Örnek: Aşağıda verilenlere göre b kaçtır?

Burada 22+52=b2 olur. 4+25= b2 29= b2 Her iki tarafın karekökünü alırsak √29=√b2 olur. Buradan

√29=b olur.

35

1 2

7

3

8 94 5 6

1 2 3 45 6 7 8

121110913 14 15 16

A

BC

Yanda görüldüğü gibi bir dik üçgende dik

kenarların her birini kenar kabul eden

karelerin alan büyüklüklerinin toplamı, hipotenüsü kenar kabul

eden karenin alan büyüklüğüne eşittir.

PYTHAGORAS (Pisagor) M.Ö. 500

a

bc

A

C B

222 cba Genel olarak ifade ettiğimiz bu bağıntı PİSAGOR bağıntısı olarak isimlendirilir.

A

B C

2 cm

5 cm

b cm

Soru: Aşağıda verilenlere göre x kaçtır?

Soru: Aşağıda verilenlere göre x kaçtır?

Üçgen eşitsizliğine kısa bir dönüş yapalım.Soru: Aşağıdaki şekilde m(Ê)>90o ise e’ nin alabileceği gerçek sayı değerlerini sayı doğrusunda gösteriniz.

Soru: Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasında [AC] ye prizmanın cisim köşegeni denir.

Şekilde verilenlere göre bu prizmanın cisim köşegeni kaç cm’ dir? Bulunuz.

36

M

K

L6 cm

5 cmx

cm

4 cm

2 cm

3 cm

2 cm

B

A

CD

E

x cm

P

E

Se

7 cm 9 cm

Soru: Bir eşkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenar ortay ve aynı zamanda açı ortaydır.Aşağıdaki üçgen bir eş kenar üçgen ise verilenlere göre |EH| kaç cm’ dir? Bulunuz.

ÖZEL SAYI ÖRÜNTÜLERİÖZEL SAYI ÖRÜNTÜLERİ

Yukarıda görülen 1 3 6 10 15 … sayı dizisi üçgensel sayılar dizisi olarak isimlendirilir.

Genel Terimin .(n+1)

2

37

A

B

CD

E F

H

G

4 cm

3 cm

5 cm

E

S RH

4 cm

…1 3 6 10

Yukarıda görülen 1 4 9 16 25 … sayı dizisi karesel sayılar dizisi olarak isimlendirilir.

Genel Terimi

n2

1 1 2 3 5 8 ...Yukarıdaki sayı dizisinde her terim kendisinden önce gelen iki terimin toplamına eşittir.Yukarıda gördüğümüz bu diziye Fibonacci Sayı Dizisi adı verilir.

Aritmetik Dizi: Ardışık iki terimi arasındaki farkı aynı olan diziye aritmetik dizi denir.Örneğin, 4 7 10 13 16... dizisi aritmetik dizidir. Bu dizinin genel terimini bulalım: 4 7 10 13 16...

+3 +3 +3 +3

+3n (ortak fark x n) Burada 3n alınınca 1. Terim için n=1 alınır ve 3x1=3 olur. Oysa

burada 1. Terimin 4 olduğu görülmektedir. Bunun için genel terim 3n+1 olmalıdır.Yaptığımız bu çalışmadan bir formül üretecek olursak:Dizinin:İlk Terimi: kArtış miktarı: aGenel Terim=a.n+(k-a)Aritmetik Orta:Bir aritmetik dizide bir terim kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortasıdır.Örneğin yukarıdaki dizide 10 ;7 ile 13 ün ve4 ile 16 nın aritmetik ortasıdır.

Geometrik Dizi: Ardışık iki terimin oranı aynı olan diziye geometrik dizi denir.Örneğin, 5 10 20 40 ... dizisi geometrik dizidir. Bu dizinin genel terimini bulalım:

5 10 20 40 ...

x2 x2 x2

38

…1 4 9 16

2n [(ortak çarpan)n] Burada 2n alınınca 1. Terim için n=1 alınır ve 21=2 olur. Oysa burada 1. Terimin 5 olduğu görülmektedir. Bunun için bunun için bulduğumuz değeri 2’ye bölüp 5 ile

çarparız. Yani 22

×5 olur ki buradan genel terimin 2n

2×5=2n−1× 5 olur.

Yaptığımız bu çalışmadan bir formül üretecek olursak:Dizinin:İlk Terimi: kOrtak çarpanı: aGenel Terim=an−1× kGeometrik Orta:Bir geometrik dizide bir terim kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortasıdır.Örneğin yukarıdaki dizide 20 ;10 ile 40 ın ve5 ile 80 in geometrik ortasıdır.

Paskal Üçgeni 1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 . . . . . . . .

ÖZDEŞLİKLERÖZDEŞLİKLERÖnerme:Kesin yargı belirten ifadelere önerme denir.

Örneğin, “Van gölü dünyanın en büyük gölüdür.” ifadesi yanlış bir yargı olsa da bir önermedir. Buradan da anlaşılacağı gibi ifadenin kesin bir yargı olması yeterlidir doğru olması ya da yanlış olması önerme olmasına olumlu ya da olumsuz bir katkı sağlamaz.

39

40

“Yarın arkadaşı

m gelecek.

”

İfade kesin yargı belirtir gibi görünse de olmamış bir şey hiçbir zaman kesinlik içermez. Önerme değildir.

“En lezzetli yemek makarnadır.”

İfade kesin bir yargı belirtse de kişiden kişiye değişir. Önerme değildir.

Şimdi birkaç tane eşitlik yazalım.

3+2=7 (Yanlış önerme)5=1+4 (Doğru önerme)8+6=14 (Doğru önerme)7+5=11 (Yanlış önerme)

AÇIK ÖNERME: Doğruluğu ya da yanlışlığı henüz belli olmayan önermedir. Açık önermenin içinde bilinmeyenler vardır ve bilinmeyenin yerine yazılacak kavrama göre doğru ya da yanlış olduğu anlaşılır. Açık önermelere örnek olarak boşluk doldurma soruları verilebilir. Örnek: Aşağıdaki boşluğu uygun olarak doldurunuz.……………… Türkiye’nin başkentidir.

Görüldüğü gibi yukarıdaki ifade kesin bir yargıdır ama boşluk olduğu için doğruluğu ya da yanlışlığı hakkında ilk olarak bir şey söylenemez. Boşluğa ANKARA yazılınca önerme doğru, İSTANBUL yazılınca önerme yanlış önerme olur. Sonuç olarak; yukarıdaki ifade bir açık önermedir.

Şimdi de açık önerme şeklinde iki tane eşitlik yazalım.x+5=92x = x+x

Şimdi x+5=9 ’u inceleyelim…x=2 için 2+5=9 Yanlış bir önermedir.

41

İfade bir yargı belirtmez önerme değildir.

“Haydi top

oynayalım.”

“Bu gün

yağmur

yağabilir.”

İfadede kesinlik olmadığı açıkça görülmektedir. Önerme değildir.

x=4 için 4+5=9 Doğru bir önermedir.Bu şekilde bilinmeyenin aldığı bazı değerler için doğru bazı değerler için yanlış olan eşitliklere DENKLEM adı verilir.

Şimdi de 2x = x+x eşitliğini inceleyelim.x=2 için 2.2=2+2 Doğru önermedir.x=4 için 4.4=4+4 Doğru önermedir.Bu şekilde bilinmeyenin alacağı tüm gerçek sayı değerleri için doğru olan eşitliklere ÖZDEŞLİK adı verilir.

BAZI ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLERBAZI ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLERTam Kare Özdeşliği (İki Terimin Toplamının Karesi):

Tam Kare Özdeşliği (İki Terimin Farkının Karesi):

Örnek: (2x+3y)2==(2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2

42

)yx).(yx()yx( 2

=x.x

+x.y

+y.x

+y.y

+2x.y=x2+2

x.y+y2

)yx).(yx()yx( 2

=x.x

-x.y

-y.x

+y.y

-2x.y

=x2-2x.y+y2

=4x2+12xy+9y2

Soru: (3k-m)2=?

İki Kare Farkı Özdeşliği (Eşleniklerin Çarpımı):

Eşlenik: Genel olarak (a+b) ifadesinin eşleniği (a-b)’ dir.

Örnek:

(5-x) eşleniği (5+x)

(x+3y) eşleniği (x-3y)

Soru: √3+2 ifadesinin eşleniğini yazınız.

Soru: √7 ifadesinin eşleniğini yazınız.

Şimdi eşleniklerin çarpımını ele alalım.

Örnek: (2x+y).(y-2x)=

=(y+2x).(y-2x)

=y2-4x2

Soru: (2k-5m).(2k+5m)=?

43

)yx).(yx(

=x.x

-x.y

+y.x

-y.y0

=x2-y2

Bir ifadenin paydasında kareköklü bir ifade varsa karekökten kurtulmak için mümkünse sayı kökten çıkarılır. Eğer mümkün değilse ifadenin eşleniği ile çarparak paydayı iki kare farkı haline getirir kökten o şekilde kurtuluruz.

Yapılan bu işleme paydayı rasyonel yapma diyoruz.

Örnek: Aşağıdaki ifadenin paydasını rasyonel yapalım.

1√3−√2

(√3+√2 ) ile genişletme yapalım.

√3+√2(√3−√2 ) . (√3+√2 )

=√3+√23−2

=√3+√21

=(√3+√2 )

Soru: 3

√5−√2 ifadesini en sade şekilde yazınız.

Soru: 14√7

ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Soru: 15

√49−4 ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

CEBİRSEL İFADELERİ CEBİRSEL İFADELERİ ÇARPANLARINA AYIRMAÇARPANLARINA AYIRMA

x7+x5

x4 işlemini yapmak istediğimizde doğrudan sadeleştirme yapılamayacağını ifade etmiştik.

Doğrudan sadeleştirme yapılabilmesi için engel nedir?Bu durumda pay ve paydadaki ifadeleri çarpım şeklinde yazabilirsek işlem yürütülebilir.Şimdi verilen bir cebirsel ifadenin nasıl çarpanlarına ayrılabileceğini inceleyelim:Öncelikle bilmeliyiz ki:

• Her cebirsel ifade çarpanlarına ayrılamayabilir. • Çarpanlara ayırma amacıyla farklı yöntemler kullanılabilir.

44

ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA:

Bu yöntemde çarpmanın toplama üzerine dağılma özeliğinden yararlanılır. Örneklerle ele alalım:

Örnekler:

1.) 5a+5b=

=5(a+b)

2.) 10a+25b= =5(2a+5b)

3.) 6ab+9ac==3a(2b+3c)

4.) 15x2y3-20x4y2+30x6y5c+5x2y2= =5x2y2(3.1.y-4x2.1+6x4y3c+1.1.1) =5x2y2(3y-4x2+6x4y3c+1)

Soru: 12a5b3-28a4b4-20a6b3+16a4b5=?Soru: 15k6m3+27k5m4+18k7m3r-3k4m5=?

GRUPLANDIRMA:Bu yöntemde cebirsel ifadedeki terimler ortak çarpanlarına göre uygun şekilde gruplarına ayrılırlar. Örnek üzerinde inceleyelim:Örnek:1.) ax-by+bx-ay= x.(a+b)-y.(a+b)=(a+b).(x-y)

İKİ KARE FARKI ŞEKLİNDEKİ İFADEYİ ÇARPANLARINA AYIRMA:Bu yöntemde cebirsel ifade iki kare farkı şeklindeyse eşleniklerin çarpımı şeklinde yazılıp çarpanlarına ayrılır. Örneklerle inceleyelim:

Örnekler:1.) a2-b2=

=(a+b).(a-b) 2.) 25-36x2=

=(5-6x).(5+6x)

Soru: 16a2-9b2=?

a≠0 için ax2+bx+c ŞEKLİNDEKİ İFADEYİ ÇARPANLARINA AYIRMA:

45

+x.(a+b)

-y.(a+b)

Bu yöntemde iyi bir planlama yaparak cebirsel ifadenin çarpma işlemi yapılmadan önceki hali elde edilmeye çalışılır. Örneklerle inceleyelim:

Örnek: 3x2+5x+2=

Şimdi burada 3x2 ’ye nasıl ulaşabileceğimizi planlayalım.

(3x ).(x )

Şimdi de 2 ’ye nasıl ulaşabileceğimizi planlayalım. Ancak bu planlamayı yaparken aradaki 5x’i nasıl elde edeceğimizi de düşünmeliyiz. Örneğin:

3x2+7x+2

(3x + 1).(x + 2)

Bu durumda 3x2+5x+2 olması için (3x+2).(x+1) şeklinde çarpanlarına ayrılmalı, yani;

3x2+5x+2=(3x+2).(x+1) olur.

Örnek: 2x2-4x-6=2x2-4x-6=(2x-6).(x+1)=2.(x-3).(x+1) olur.

Soru: 6x2-25x+4 =?Soru: 10x2+13x-3 =?

RASYONEL CEBİRSEL İFADELERİ SADELEŞTİRME

Örnek: x2+3 x+2x2−4

× x2−4 x+4x2−1

ifadesini en sade şekilde yazınız.

x2+3x+2=( x+2 ) .(x+1)x2−4= (x+2 ) .(x−2)x2−4 x+4=( x−2 ) .(x−2)

46

3x2 2

6x

x7x

5x olmalıydı.

x2−1=( x+1 ) . (x−1 )

(x+2). (x+1)(x+2).(x−2)

× (x−2).(x−2)(x+1) .(x−1)

= x−2x−1

Soru: 25 x2 y−15 x y2

25 x2−9 y2 ÷ 15 xy5 x+3 y

ifadesinin x=32, y=12 için değerini hesaplayınız.

Soru: x2+8 x+16−36 y2

5 x+20−30 y× 10

x2+4 x+6 yx ifadesini en sade şekilde yazınız.

DENKLEM

Yukarıdaki terazi dengededir. Verilenlere göre elmanın kütlesini hesaplayalım.Terazinin her iki darasından 3’er tane ▲ çıkarırsak dengeyi bozmamış oluruz ve son görüntü aşağıdaki gibi olur:

Son durumda ▲+▲=120 gr olduğundan elmanın 120 gr olduğu anlaşılır.

Denklem çözerken eşitliğin her iki tarafına aynı işlemler uygulanır ve bilinmeyenin karşılığı olan doğru değer elde edilir.Sorular:

47

60 gr

60 gr

1.) 3x=5 ise x=?2.) x+4=7 ise Ç=?3.) 2x+3=9 ise x=?4.) 3.(x+1)=7 ise Ç=?

Örnek: x5+ 2x

4= 7

10 ise x=?

Burada paydaları eşitlersek:4 x20+ 10 x

20=14

20 olur.

Buradan da 4 x20+ 10 x

20=14

20 olur.

Sonuç olarak 4 x+10 x=14’ten 14x=14 olur. Buradan da x=1 olduğu görülür.

Sorular:

1.)x+4

8−2 x+3

20= 1

10 ise Ç=?

2.) x2−1x−1

=0

Bazı özel durumlar:

1.)2.(x+1)

3× 6=x+4+3 x ise Ç=?

2.) 2. ( x+3 )=2 x−6 ise Ç=?

Problem: Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 86, yaşları farkı 22 olduğuna göre her ikisinin yaşlarını bulunuz.

► Çocukà 1 katBabaà 1 kat +22

Yaşlarının toplamı 2 kat +22à86Bu durumda 2 katà641 katà64:2=32 Çocuğun yaşı32+22=54 Babanın yaşı

► Çocuk: xBaba: x+22

Toplam: x+x+22=2x+22=86Denklemi çözersek:

2x+22=86 2x=86-22 2x=64 2 x2=64

2x=32 (Çocuk)32+22=54 (Baba)

Doğrusal Denklem SistemleriHatırlatma:Genel olarak x,y değişken ve a,b birer reel sayı olmak üzere a.x+b.y+c=0 şeklinde yazılabilen denklemler doğrusal (grafiği doğru olan) denklemlerdir.

48

Doğrusal Denklem Sistemi: En az iki doğrusal denklemden oluşan sisteme doğrusal denklem sistemi denir.

Örnek: x-y=1x+y=5 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.

x-y=1 ise x ve y’nin alabileceği değerler aşağıdaki gibidir:x=1 y=0x=2 y=1x=3 y=2. .. .. .

x+y=5 için x ve y’nin alabileceği değerler aşağıdaki gibidir:x=1 y=4x=2 y=3x=3 y=2. .. .. .

Burada her iki denklemi de sağlayan x ve y değerleri x=3 ve y=2’dir. Bu değerleri sıralı ikili olarak yazarsak: (x,y)à(3,2) olur.

Doğrusal denklem sistemlerini çözerken her defasında yukarıda yapılan ortak değerleri bulma yöntemini kullanmak hem zaman kaybına yol açar, hem de sonuca ulaşmak bu kadar kolay olmayabilir.Bu anlamda aşağıdaki yöntemleri inceleyelim:

1.) Yok Etme YöntemiBu yöntemde izlenecek yolun aşamaları şu şekildedir:

i) Hangi terimi yok edeceğine karar ver,ii) Yok etmeye karar verdiğin terimin sistem içinde katsayılarının mutlak değer olarak eşit olmasını

sağla,iii) Katsayının işaretine göre taraf tarafa topla ya da çıkar.

Örnek: 2x+y=85x+3y=21 ise Ç=?

Burada sistem içinde 2x+y( ‘in her iki tarafını 3 ile çarparsak:

6x+3y=245x+3y=21 durumu ortaya çıkar. 5x+3y=21 in her iki tarafını (–) ile çarparsak:

6x+3y=24–5x–3y= –21 olur. Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:x=3 olur. Bulduğumuz bu değeri 2x+y=8 ifadesinde yerine koyalım:

2.3+y=8 olur ve buradan y=2 elde edilir. Buradan Ç={(3,2)} olur.

Soru: 2x+7y=173x-4y=11 ise Ç=?

2.) Yerine Koyma YöntemiBu yöntemde izlenecek yolun aşamaları şu şekildedir:

i) Denklemlerden biri alınır ve alınan denklemde bilinmeyenlerden biri yalnız bırakılır,ii) Yalnız bırakılanın eşiti diğer denklemde yerine koyulur.

Örnek: 3x+5y=18x+y=6 ise Ç=?

49

x+y=6 ise x=6–y olur. Bunu ilk denklemde yerine koyarsak:

3x+5y=18 3.(6–y)+5y=18 18–3y+5y=18 18+2y=18 olur ve y=0 elde edilir.

x=6–y olduğundan x=6–0 x=6 olur. Ç={(6,0)} olur.

Soru: 2x+y=173x+4y=28 ise Ç=?

Problem:Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 86, yaşları farkı 22 olduğuna göre her ikisinin yaşlarını bulunuz.Bu problemi daha önce bir bilinmeyenli denklem kurarak çözmüştük. Şimdi iki bilinmeyenli denklemlerden yararlanarak çözelim.Çocuk: x Baba: yx+y=86y-x=22 denklem sistemini çözersek x’i ve y’yi buluruz.

Problem:Bir bahçıvan çalıştığı bahçedeki güllerin 3 yaprağı, papatyaların 2 yaprağı kalacak şekilde budama yapıyor. Sadece güllerin ve papatyaların bulunduğu bu bahçede 25 çiçek, 65 yaprak bulunduğuna göre kaç tane gül vardır?

KOMBİNASYONHatırlatma:Geçtiğimiz yıllarda permütasyon konusuna değinilmişti ve permütasyonun sıralı seçme veya diziliş olarak düşünülebileceği üzerinde durulmuştu.

Bu anlamda permütasyonda 5 kişinin bulunduğu bir gruptan 3 kişinin seçilip bunların kaç farklı dizilişe geçebileceğini elde edebiliyorduk.

Yukarıda verilen hatırlatmalar doğrultusunda kombinasyonu şöyle açıklayabiliriz.

Kombinasyon: Sıranın ya da diziliş şeklinin önemli olmadığı seçmedir.

Örneğin; 5 kişinin bulunduğu bir gruptan 3 kişinin seçilmesi istendiğinde sıralama önemli olmadığından kombinasyon kullanılır.

Örnek: 5 elemanlı bir kümenin,a) 3 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?b) 2 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?

Burada 5’in 3’lü permütasyonu alınırsa:

P (5,3 )= 5!(5−3 )!

=5 !2 !

Burada permütasyon olduğundan 3 elemanın kendi içindeki yer değişiklikleri de hesaba katılmıştır.

Şöyle ki: A={a,b,c,d,e} kümesinin 3 elemanlı altkümelerinden bir kaçını inceleyelim;{a,b,c}; {a,c,b}, {b,a,c}; {b,c,a}; {c,a,b}; {c,b,a}

Ancak kümede elemanların yer değişiklikleri önemli olmadığından P(5,3) değerini 3!’e bölmemiz gerekir.

Buradaki 3! 3 elemanın kendi içindeki yer değişikliği sayısıdır.

50

C (5,3 )=P(5,3)3!

=

5 !2 !3 != 5 !

2! .3 !Bu durumu genelleyecek olursak:

C (n , r )=P(n ,r )r !

= n !(n−r )! . r !

sonucuna ulaşılır.Soru: Buna göre örneğimizin b) şıkkını yapınız.

Sorular.1.) 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?2.) A={a,b,c,d,e,f } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur?3.) B={k,l,m,n,o,p,3,7} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde mutlaka iki sayı bulunur ama sesli harf bulunmaz?

ETKİNLİK:C(0,0)

C(1,0);C(1,1) C(2,0);C(2,1),C(2,2)C(3,0);C(3,1);C(3,2);C(3,3)bulduğunuz değerleri aşağıdaki sayı örüntüsüyle karşılaştırınız. 1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 . . . . . . . .Sonuç: Paskal Üçgeni n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmada kullanılır.

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİKÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

İki üçgenin açıları eş ise bu açılara ait köşeler arasında eşleme kurulabilir.

Örnekte de görüldüğü gibi kurulabilen böyle bir eşlemeye birebir eşleme diyoruz.

51

40o

80o 60o

40o

80o 60o

D

A

B C E F

A≃DB≃EC≃F ABC

Δ

↔ DEFΔ

İki üçgen arasında kurulan birebir eşlemede kenarlar arasında da orantı kurulabildiği dikkat çeker.

Verilen iki üçgenin açıları eş ve kenarları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

Kurulan orantıda orantı sabiti 1’e eşitse bu üçgenler eştir.

sembolleriyle gösterilebilir.

İki üçgenin benzer olduğunu söylemek için tüm ölçülerini bilmek zorunda değiliz.

1.) Kenar – Kenar – Kenar (Eşlik ve Benzerlik)

İki üçgen arasında kurulan birebir eşlemede üçgenlerin kenarları arasında orantı kurulabiliyorsa bu iki üçgen benzerdir.

2.) Kenar – Açı – Kenar (Eşlik ve Benzerlik)

İki üçgen arasında kurulan birebir eşlemede üçgenlerin karşılıklı iki kenarları orantılı ve bu kenarlar arasında kalan açıları eş ise bu iki üçgen benzerdir.

52

Üçgenler arasında kurulan,

eşlik ~benzerlik

2 cm

4 cm

3 cm 6

cm

12 cm

9 cm

EFAC

DFBC

EDAB

31

93

124

62

Benzerlik Oranı

EDFABC ~

ABCΔ

↔ EDFΔ

MLKΔ

↔ RPSΔ

3.) Açı – Kenar – Açı (Eşlik)

İki üçgen arasında kurulan birebir eşlemede üçgenlerin karşılıklı iki açıları eş ve bu açılar arasında kalan kenarları da eş ise bu iki üçgen eştir.

4.) Açı – Açı – Açı (Benzerlik)İki üçgen arasında kurulan birebir eşlemede üçgenlerin karşılıklı tüm açıları eş ise bu iki üçgen benzerdir.

53

PSLK

RSMK

RPML

155

22

Benzerlik Oranı

RPSMLK

)R(s)M(s

HLRΔ

↔ TKCΔ

s( H )=s ( T )

HLRΔ≃TKC

Δs( L)=s ( K )|HL|=|TK|

s( A )=s( E )ABC

Δ↔ ERS

Δ

ABCΔ

~ ERSΔs( B)=s ( R)

s(C )=s ( S )

Örnek:

Yandaki şekilde [AB]//[DE] ise verilenlere göre x=?

Burada [AB]//[DE] olduğundan S ( A )=S ( E )S (B )=S ( D )S (C )=S (C ) (ortak köşe)Buradan

olur. Buradan da |AB||ED|

=|AC||EC|

=|BC||DC|

orantısı elde edilir. Verilenleri orantıda yerleştirdiğimizde:

83=16

x=|BC||DC| olur. Bu durumda x=6 olur.

Sorular:1.)

Yukarıdaki şekilde S (O )=S ( R ) ise verilenlere göre x=?

2.)

54

ABCΔ

~ EDCΔ

Yandaki şekilde[DE]//[BC] ise verilenlere göre x+y=?

Bir üçgende kenarlardan birine paralel ve diğer iki kenarı kesen bir doğru parçası çizildiğinde oluşan yeni üçgenle bir önceki üçgen benzerdir. Buna temel benzerlik kuralı denir.

GEOMETRiK CiSiMLER

HATIRLATMA

Nokta tanımlanamayan bir kavram olup, doğada karşılaşabileceğimiz bir örnek yoktur.

Nokta için kalemin bir dokunuşla kâğıtta bıraktığı iz örnek olarak gösterilse de aslında elde edilen iz noktayı temsilen çizilmiş bir resimden ibarettir.

Nokta boyutsuz bir kavramdır.

Doğru da tanımı yapılamayan bir kavram olup, sonsuz noktalardan oluşan bir kümedir.

Düzlem sonsuz doğrunun birleşimidir.

55

A

d

GEOMETRİK CİSİMLER

Hatırlayacak olursak, doğrular noktalardan, düzlemler doğrulardan oluşur. Nokta boyutsuz, doğru 1 boyutlu, düzlem 2 boyutludur.

Düzlem parçaları belli bir yükseklik boyunca bir araya geldiğinde 3. boyuta geçilir ki oluşan ifade bir cisimdir.

Şekilde üst üste düzlem parçaları görülmektedir. Bunlar birleştirildiğinde:

şeklinde bir cisim meydana gelir.

Hacim kelimesi size ne ifade etmektedir?

Yukarıdaki şekilde de görüldüğü gibi yükseklik tane taban bize oluşan cismin hacmini verir. Buradan bir prizmanın hacmi:

(TABAN ALANI x YÜKSEKLİK) formülü ile hesaplanır.

Örnek:

Yukarıdaki üçgen dik prizmada tabanda bulunan üçgene ait yükseklik 3 cm ve bu yüksekliğin ait olduğu kenar 8 cm’dir. Bu prizmanın yüksekliği 12 cm ise, hacmi kaç cm3 tür?

Hacim=Taban Alanı.Yükseklik

56

P

Öncelikle tabandaki üçgenin alanını bulalım.

Taban Alanı: a . ha

2=8.3

2=12 cm2

Hacim= 12 cm2.12 cm=144 cm3

Prizmanın nasıl isimlendirildiğini aratışınız.

Yan yüzey alanı size ne ifade etmektedir?

Herhangi bir dik prizmada yan yüzey alanını (Taban Çevresi.Yükseklik) ile hesaplayabiliriz.

Sizce yan yüzey alanını hesaplamanın başka yolu da var mıdır?

Örnek:

Yüksekliği 8 cm olan yandaki kare dik prizmada tabanda bulunan karenin alanı 16 cm2 ise bu prizmanın yan yüzey alanı kaç cm2’dir?

Öncelikle taban çevresini bulalım:

Taban kare olduğuna ve Taban alanı=16 cm2 olduğuna göre Tabanın bir kenarı √16=4 cm olur.

Buradan Taban Çevresi=4.4=16 cm olur.

Yan Yüzey Alanı=Taban Çevresi.Yükseklik=16 cm . 8 cm=128 cm2 olur.

Yukarıdaki örnekte prizmanın tüm yüzey alanı kaç cm2 dir?

KÜRE KONİ PİRAMİT

KÜRE:

Örnek:

57

r

Siz de küre için birkaç örnek veriniz.

Kürenin Hacmi=43

π r 3

Kürenin Yüzey Alanı=4 π r2

KONİ:

Örnek:

siz de koni için bir kaç örnek veriniz.

Koninin Hacmi=13

π r2h

Koninin Yüzey Alanı=Sektör Alanı+Taban Alanı

Sektör Alanı: π a2θ360

Taban Alanı: π r2

58

SEKTÖR

TABAN

a

r

h

a

r

Burada sektörün yay ölçüsü ile çemberin çevre uzunluğu eşittir.

Yani 2πa θ360=2 πr olur.

Buradan:

2 π a θ360=2 π r

a .θ360=r olur.

Sonuç olarak sektör alanı;

π a2θ360

= πaaθ360

=πa aθ360=πar olur.

PİRAMİT:

Örnek:

59

Yayın Ölçüsü=

2πa θ360Çemberin Çevresi=2 πr

r

a

Piramidin Hacmi=Tabanalanı× h

3

Piramidin Yüzey Alanı=Yan Yüzey Alanı+Taban Alanı

Tabanı a kenarlı düzgün çokgen olan bir piramitte Yan Yüzey Alanı=(a.Yandaki bir üçgenin alanı) olacaktır.

Sorular:

1.) Aşağıdaki şekilde kare dik prizma içine eş iki tane küre yerleştirilmiştir. Buna göre kare dik prizma ile küreler arasında kalan boş kısmın hacmi kaç cm3 tür?

2.) Tabanının bir kenarı 6 cm olan düzgün altıgen dik prizmanın yüksekliği 8 cm ise bu prizmanın hacmini ve tüm yüzey alanını bulunuz.

3.) 27π cm3 hacmindeki bir silindirin taban yarıçapı 3 cm dir. Bu silindirle eş taban ve eş yüksekliğe sahip bir koniye su doldurulup daha sonra konideki su silindire boşaltılmıştır. Silindirde suyun yüksekliği kaç cm görülür.

BİR DÜZLEM İLE BİR CİSMİN ARA KESİTİBu konuda hayal gücümüzün bize neler kattığını göreceğiz ve belki de bu konuyla hayal gücümüzün geliştiğine tanık olacağız.Bir cismin bir düzlemle kesilmesiyle oluşan ara kesiti (kesişimi) cismi kesen düzlemin cisim içerisinde kalan düzlemsel bölgesidir.

Yukarıdaki düzlem küreyi kestiğinde ara kesit nasıl bir geometrik şekil oluşturur?

60

Bir küreyi bir düzlem boyunca ne şekilde kesersek keselim oluşacak arakesit (kesişim) bir daire olacaktır.

Yukarıdaki düzlem, kare dik piramidi kestiğinde arakesit nasıl bir geometrik şekil oluşturur?Bir kare dik piramidi yüksekliği içeren ve tabanının iki kenarına paralel olan bir düzlemle kesersek oluşacak arakesit bir ikizkenar üçgen olacaktır.

Bu piramit tabana paralel bir düzlemle kesilirse arakesit ne olur?

Yukarıdaki düzlem, dik silindiri kestiğinde arakesit nasıl bir geometrik şekil oluşturur?Bir silindir tabanlara dik bir düzlemle kesilirse oluşacak arakesit bir dikdörtgen olacaktır.

Bu silindir tabana paralel bir düzlemle kesilirse arakesit ne olur?CİSİMLERİN SİMETRİLERİ:

61

90o

Küp ekseni etrafında 90, dikdörtgenler prizması ise ekseni etrafında 180 derecelik dönme yaptığında değişmez kalır.Küp ve dikdörtgenler prizması, karşılıklı yüzlerine paralel olan veya eksenlerini dik kesen düzlemlere göre simetriktirler.

PERSPEKTİF

Düz bir yola baktığımızda yolun gittikçe daralarak ufukta gözden kaybolduğunu ve bir noktada kesiştiğini görürüz.Bu şekilde perspektif çizimlerinde belirlenen noktaya kaybolunan nokta, kaybolunan noktaya göre ayrıtların belirlenmesi için çizilen doğrulara kaybolunan doğrular adı verilir.

Örnek: Bir küpe sol taraftan bakılarak yapılan perspektif çizimin adımlarını inceleyelim.

62

180o

Kaybolunan nokta

Kaybolunan doğrular

Perspektif yapılan cismin ön yüzü çizimin yapıldığı düzleme paralel ise bu perspektif çizim türü 1 nokta perspektifidir.

Örnek: Bir küpe bir ayrıtından bakılarak yapılan perspektif çizimin adımlarını inceleyelim.

Küpün önden ve üstten görünüşünü ele alacağız.

63

Bu çizimde görüldüğü gibi bir cismin 1 ayrıtından bakılarak perspektif çizimi yapmak için 2 nokta perspektifi kullanılır.

ÇOK YÜZLÜLERYüzleri çokgensel bölgeler olan ve bunların sınırlarıyla örtülen geometrik cisimler çok yüzlü olarak adlandırılır. Prizma ve piramitler çok yüzlülerin iki özel alt sınıfıdır. Çok yüzlüler yüz sayılarına göre isimlendirilirler.

Çok yüzlülerde köşe ve yüz sayısı toplamından ayrıt sayısı çıkarıldığında her zaman sonuç 2 olur.Örnek: Köşe sayısı 6, ayrıt sayısı 9 olan çok yüzlü …… yüzlüdür.Köşe sayısı+Yüz sayısı-Ayrıt sayısı=2 olmalıdır.Buradan: 6+Yüz sayısı-9=2 olmalıdır. Sonuç olarak yüz sayısı 5 bulunur.Bu durumda; Köşe sayısı 6, ayrıt sayısı 9 olan çok yüzlü 5 yüzlüdür.

Bütün yüz ve ayrıtları eş olan çok yüzlülere düzgün çok yüzlüler denir.

ÇOK KÜPLÜLER:Aşağıdaki kodları inceleyiniz.

64

Örnek:

Yanda verilen çok küplünün kodu nedir?Burada farklı renklerle küpler dizilmiştir. Kodları ele alalım:

Buradan verilen şeklin kodu: LZZ1 olur.

Soru:

Yanda verilen çok küplünün kodu nedir?

65

L

Z1

Z

TRİGONOMETRİTRİGONOMETRİ

İfadesinde içler çarpımıyla, dışlar çarpımının eşit olmasına etki etmeyeceğinden b ile f nin yeri değiştirilebilir.

cb= f

e olur. Elde edilen bu yeni orantı bizi x’in sinüsüne götürür.

sinx= cb= f

e

Benzer yaklaşımlarla açının kosinüs, tanjant ve kotanjantını da elde edebiliriz.

Aşağıdaki bağıntıları inceleyelim:

66

A

B Cx

y

a

bc

D

E Fd

ef

y

x

DEFABC A.A.A. gereğince

DEFABC ~

EFBC

DFAC

DEAB

da

eb

fc

eb

fc

Örnek: Bir dik üçgende dar açılardan biri x ise. sinx=13

olduğuna göre, cot x kaçtır? Bulunuz.

Burada;

c=1 b=3 alınabilir.

Pisagor bağıntısını kullandığımızda, a=√3 elde edilir. Bu bilgilere göre de cotx=ac=√3

1=√3 elde

edilir.

Soru: 0o<x<90o ve tanx=34

ise (sin x + cos x)’i bulunuz.

67

hipotenüskenar dik karşısinüs

hipotenüskenar dik komşukosinüs

kenar dik komşukenar dik karşıt anjant

kenar dik karşıkenar dik komşukot anjant

A

B Cx

y

a

bc

Aşağıdaki boşlukları uygun olarak doldurunuz.sin x=.........

sin y=.........cos x=.........

cos y=.........tan x=.........

tan y=.........cot x=.........

cot y=.........

A

B Cx

a

bc

Yukarıdaki dik üçgende x+y kaçtır?

x’in karşı dik kenarı y’nin komşu dik kenarıdır.

y’nin karşı dik kenarı x’in komşu dik kenarıdır.

Elde edilen bu bağıntılardan x+y=90o ise;

sin x=cos y cos x=sin y tan x=cot y cot x=tan y

Soru: sin 70. tan 50cot 40. cos20

=?

Soru: cosx . tan 25

cot 65.sin (90−x) =?

tanjant= karşı dik kenarkomşu dik kenar

kotanjant= komşu dik kenarkarşıdik kenar

tanjant × kotanjant= karşı dik kenarkomşu dik kenar

× komşu dik kenarkarşı dik kenar

=1

tan x.cot x=1

Soru: sin 17. tan58cot 32.cos73

+ tan70. cot 70=?

Soru: tan 40. tan 50+¿=?

68

A

B Cx

y

a

b

tan x= ca

coty= ca

cos x= ab

siny= ab

sin x= cb

cosy= cb

cot x=ac

tany=ac

Soru: tan20. cot 70+ sin 18cos72

−2.( sin 40cos40

×cot 40)=?

Soru:sin 50sin 40

× tan 40=?

69

kenar dik komşukenar dik karşı

kenar dik komşu

kenar dik karşısin hipotenüs

hipotenüshipotenüs

hipotenüscos

tankenar dik komşu

kenar dik karşı

tancossin

cotsincos

Soru: tan20. tan70+ sin 16. cot 61cos74. tan 29

−( sin236+cos2 36 )=?

Soru: 1−sin2 40

sin 2 40× 1

cot 40× cot 50=?

Yapılacak uygulamalarda aşağıdaki trigonometrik oranların değerleri için trigonometrik oranlar tablosundan yararlanılır.

70

A

Cx

y

a

bc

2

22

2

2

2

22

22

bac

ba

bcxsin

ba

bcxsin

xcos

xcos

2

22

ba

bcxsin cosx

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

222 bac

1bb

bacxsin 2

2

2

222

xcos2

B

Ancak 30, 45 ve 60 derecelik açılar için bize herhangi bir kaynak verilmeyebilir. Bu anlamda bu açıların trigonometrik oranlarını bilmekte yarar vardır.

Şimdi bu açıların oranlarını ele alabileceğimiz üçgenleri inceleyelim.

71

TRİGONOMETRİK ORANLAR TABLOSUAÇILAR sin cos tan cot AÇILAR0 0,0000 1,0000 0,0000 901 0,0175 0,9998 0,0175 57,2900 892 0,0349 0,9994 0,0349 28,6363 883 0,0523 0,9986 0,0524 19,0811 874 0,0698 0,9976 0,0699 14,3007 865 0,0872 0,9962 0,0875 11,4301 856 0,1045 0,9945 0,1051 9,5144 847 0,1219 0,9925 0,1228 8,1443 838 0,1392 0,9903 0,1405 7,1154 829 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138 81

10 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713 8011 0,1908 0,9816 0,1944 5,1446 7912 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046 7813 0,2250 0,9744 0,2309 4,3315 7714 0,2419 0,9703 0,2493 4,0108 7615 0,2588 0,9659 0,2679 3,7321 7516 0,2756 0,9613 0,2867 3,4874 7417 0,2924 0,9563 0,3057 3,2709 7318 0,3090 0,9511 0,3249 3,0777 7219 0,3256 0,9455 0,3443 2,9042 7120 0,3420 0,9397 0,3640 2,7475 7021 0,3584 0,9336 0,3839 2,6051 6922 0,3746 0,9272 0,4040 2,4751 6823 0,3907 0,9205 0,4245 2,3559 6724 0,4067 0,9135 0,4452 2,2460 6625 0,4226 0,9063 0,4663 2,1445 6526 0,4384 0,8988 0,4877 2,0503 6427 0,4540 0,8910 0,5095 1,9626 6328 0,4695 0,8829 0,5317 1,8807 6229 0,4848 0,8746 0,5543 1,8040 6130 0,5000 0,8660 0,5774 1,7321 6031 0,5150 0,8572 0,6009 1,6643 5932 0,5299 0,8480 0,6249 1,6003 5833 0,5446 0,8387 0,6494 1,5399 5734 0,5592 0,8290 0,6745 1,4826 5635 0,5736 0,8192 0,7002 1,4281 5536 0,5878 0,8090 0,7265 1,3764 5437 0,6018 0,7986 0,7536 1,3270 5338 0,6157 0,7880 0,7813 1,2799 5239 0,6293 0,7771 0,8098 1,2349 5140 0,6428 0,7660 0,8391 1,1918 5041 0,6561 0,7547 0,8693 1,1504 4942 0,6691 0,7431 0,9004 1,1106 4843 0,6820 0,7314 0,9325 1,0724 4744 0,6947 0,7193 0,9657 1,0355 4645 0,7071 0,7071 1,0000 1,0000 45

cos sin cot tan

A

B C30o

60o

12

3

A

B C45o

45o

12

1

Örnek:

Şekilde verilenlere göre x=?, y=?

Burada sin30 ve co30 değerlerini kullanarak sırasıyla x ve y değerleri bulunabilir.

sin 30=12 buradasin 30= 1

y olur ve 12=1

y dir. Sonuç olarak y=2 olur.

cos30=√32

buradacos30= xy olur ve √3

2= x

y dir. Yukarıda y=2 bulunmuştu. Sonuç olarak x=√3

olur.

Soru: Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı 50o iken gölge boyu 4 m olan bir direğin boyu kaç m’ dir?sin 50o =0,766; cos 50o =0,643; tan 50o =1,19; cot 50o =0,84

Soru: 0o<x<90o için. sin x ve cos x değerleri aşağıdaki tabloda saklanmıştır. Buna göre sin x+ cos x ’i bulalım.

DOĞRU GRAFİKLERİ VEDOĞRU GRAFİKLERİ VE DOĞRUNUN EĞİMİDOĞRUNUN EĞİMİ

Grafik: Verilen bir ilişkiye uygun noktaların koordinat düzleminde gösterilmesiyle oluşan ifadeye grafik adı verilir.

ax+by+c=0 şeklindeki denklemlerin (bu denklemler x ile y arasındaki ilişkiyi verir.) grafikleri bir doğru olup bu tip denklemlere doğrusal denklem adı verilir.

Bize verilen bir ilişkiye uygun olan noktaları koordinat düzleminde göstererek o ilişkiyi görsel olarak ifade etmiş yani verilen ilişkinin grafiğini çizmiş oluruz.

1.) y=x+2 ‘nin grafiğini çiziniz.

2.) y=3x’in grafiğini çiziniz.

72

A

B C30o

1

x

y

3.) y=3’ün grafiğini çiziniz.

4.) x=2’nin grafiğini çiziniz.

Grafik çizerek iki bilinmeyenli denklem sistemini çözebileceğimizi biliyor musunuz?

Örnek:

x+y=5

x-y=1 denklem sisteminin çözüm kümesini grafiklerini çizerek bulalım .

Şimdi her iki grafiğin kesim noktasını (her iki grafiğin şartını sağlayan noktayı) belirleyelim. Sonuç olarak her iki denklemi de sağlayan (x,y) sıralı ikilisi sistemin çözümü olduğuna göre kesim noktası bizim çözüm kümemizi oluşturacaktır.

Ç={(3,2)}

DOĞRUNUN EĞİMİBir doğrunun x ekseniyle saat yönünün tersine (pozitif yönde) yaptığı açının tanjantı o doğrunun eğimini verir.

73

x+y=5’in grafiği:x=0 için 0+y=5

y=5

A(0,5)y=0 için x+0=5

x=5

B(5,0)

A

B

CD

x+y=5

x-y=1

x-y=1’in grafiği:x=0 için 0-y=1

y=-1

C(0,-1)y=0 için x-0=1

x=1

D(1,0)

K(3,2)

y=m. x olduğundan m= yx

olur.

ve m= yx

olduğundan tanθ=m= y

x⏟EĞİM

Orijinden geçen bir doğru denkleminde y yalnızken eşitliğin diğer tarafında x’in katsayısı o doğrunun eğimini verir.Aynı durum orijinden geçmeyen doğrular için de geçerlidir.Sorular:1.) 3x+y=10 ; 5x+2y=18 denklemlerine ait grafiklerin ortak noktasını bulunuz.2.) 3x=y doğrusunun eğimini bulunuz.3.) 5x+7=y doğrusunun eğimini bulunuz.4.) 2x+7=5y doğrusunun eğimini bulunuz.5.) Grafikleri paralel iki doğru olan denklemler aşağıda verilmiştir:

i. 3x+4=yii. ax+8=3y

Verilenlere göre a kaçtır?6.) A(3,6) noktası ax+5=y doğrusunun üzerindeyse, bu doğrunun eğimini bulunuz.

Bir doğrunun üzerinden iki nokta A(x1,y1), B(x2,y2) ise bu doğrunun eğimi:

tanθ=y2− y1

x2−x1

Soru: Bir doğru A(1,5) ve B(3,1) noktalarından geçiyorsa bu doğrunun eğimini bulunuz. Soru: Bir doğru A(2,7) ve B(4,3) noktalarından geçiyorsa bu doğrunun denklemini bulunuz.

Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı geniş açıysa bu açının tanjantı, yani doğrunun eğimi negatif değer alır. x=2 , x=3 , x=-5 , ... gibi x=a şeklindeki doğruların eğimi yoktur.

Örneğin x=2 ise x=2+0.y olarak alınabilir.Burada eğimi nasıl elde edersiniz? y=2 , y=3 , y=-5 , ... gibi y=a şeklindeki doğruların eğimi 0’dır.

Örneğin y=2 ise y=2+0.x olarak alınabilir.Burada eğimi nasıl elde edersiniz?

Eksenlere paralel olmayan iki doğru birbirine dikse bu doğruların eğimlerinin çarpımı -1’dir.Örneğin y=2x+5 ile y=ax+7’nin grafikleri birbirine dik ise burada m1=2 ve m2=a olduğundan 2.a=-1 alınarak a bulunabilir.

74

x

y

x

y xytan

mxy

Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi¿ Büyüktür¿Küçüktür≥ Büyük veya eşittir≤ Küçük veyaeşittir

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenip, çıkarılabilir; aynı sayıyla çarpılıp, bölünebilir.Ancak çarpılıp bölünecek sayı negatif ise eşitsizlik yön değiştirir.Örnek: xєR için x+4>8 eşitsizliğinin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.

x+4 - 4 > 8- 4 x>4 olur.

Elde ettiğimiz bu ifade 4’ten büyük olan tüm reel değerlerin eşitsizliğimizin çözüm kümesi olduğunu bize gösteriyor.Bu anlamda sayı doğrusunda x=4 noktası sınır noktasıdır. SINIRàx=4

Soru: xєR için –3 x−5≤ 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösteriniz.

İKİ BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLERİN GRAFİKLERİNİ ÇİZELİM

Genel olarak a,b,c єR olmak üzere ;

ax+by+c>0

ax+by+c<0

ax+by+c ≥ 0

ax+by+c ≤ 0 şeklindeki ifadeler doğrusal eşitsizliklerdir.

Şimdi eşitsizliklerin grafiklerini ele alalım.

Örnek: xєR için x>3 eşitsizliğinin çözüm kümesini koordinat düzleminde gösterelim.

SINIRàx=3

75

x>3 şartına uygun olan noktaları gösterelim.

Soru: yєR için y ≤2 eşitsizliğinin çözüm kümesini koordinat düzleminde gösteriniz.

Örnek: x+2y<4 eşitsizliğinin çözüm kümesini koordinat düzleminde gösterelim.

SINIRàx+2y=4

x=0 için 0+2y=4

2y=4ày=2 A(0,2)

y=0 için x+2.0=4

x=4 B(4,0)

76

x=3

x=3

x+2y<4 şartına uygun olan noktaları gösterelim.

Bu noktaların bulunduğu bölgeyi tespit etmek için bir Tespit noktası belirleyelim.

T(0,0)

Acaba bu nokta bizim aradığımız x+2y<4 ilişkisine uygun mu?

x+2y<4à0+2.0<4à0<4 durumu doğrudur. Tespit noktasının bulunduğu bölge doğru bölgedir.

Soru: 3 x≥ y eşitsizliğinin çözüm kümesini koordinat düzleminde gösteriniz.

77

A

B

x+2y=4

A

B

x+2y=4