독특한 계산 모형

서울대학교 이대근

튜링 기계

P ?= NP

$ 1,000,000

3-SAT (NP-완전)

• 리터럴: 𝑥, 𝑥

• 클로저: 𝑥 ∨ 𝑦 ∨ 𝑧

• SAT: 주어진 논리식이 참이 되는 해가 존재?

3-SAT (NP-완전)

• k-SAT: 논리식이 리터럴 수가 k개 이하인 클로저들의 논리곱으로 표현되어 있는 경우

• 모든 NP-완전 문제는 3-SAT로 변환 가능

• 3-SAT를 다항 시간에 풀면 P = NP

튜링 기계보다 훌륭한 것을 만들어서 NP 문제를 효과적으로 풀 수 있을까?

물리학적으로 접근해보자!

1. 비누방울 계산기

스타이너 트리 (NP-완전)

평면 상에 주어진 점들을 모두 연결하는 가장 짧은 길이의 트리는?

(점을 추가할 수 있는 최소 신장 트리 문제)

비누방울 계산기

1. 유리판에 핀을 꼽는다.

2. 비눗물에 담궜다 뺀다.

3. 스타이너 트리 완성!

어떻게?

비눗막은 길이를 최소화하려는 성질이 있다

스타이너 트리 = 에너지 최소 상태

한계점

비눗막은 최소점이 아닌 극소점에 도달한다

2. 단백질 계산기

단백질 접힘 문제 (NP-완전)

• DNA에는 아미노산 서열에 대한 정보만 있을 뿐, 단백질의 3차원 구조에 대한 정보는 없다.

• 단백질은 10n 개의 가능한 구조 중 고유한 1가지로 수초 안에 접히게 된다.

• 안핀센 열역학 가설 (1972 노벨 화학상): 단백질은 에너지 최소 구조를 갖는다.

단백질 계산기

1. 3SAT 문제를 단백질 접힘 문제로 바꾼다.

2. 인공 DNA을 만들어 단백질을 합성한다.

3. 문제 해결!

한계점

인공 단백질이 에너지 최소점으로 항상 수렴한다는 보장이 없다

(극소점에 도달할 수도 있다)

그렇다면 현대물리학은 어떨까?

3. 상대성이론 계산기

상대성이론 101

빠르게 움직이면 시간이 천천히 간다

상대성이론 계산기

1. 컴퓨터에게 3-SAT 문제를 풀게 한다.

2. 우주선에 실은 후 빛에 속도에 매우매우 가깝게 가속시킨다.

3. 우주선이 지구로 돌아오면 답을 얻는다!

한계점

매우매우 많은 에너지가 필요하다

타임머신 계산기

1. 컴퓨터에게 3-SAT 문제를 풀게 한다.

2. 다 풀면 타임머신을 타고 돌아오게 한다.

3. 답을 얻는다!

한계점

타임머신을 만들 수 있어?!

(인과율에 위배)

4. 인류원리 계산기

인류원리 101

존재 자체가 어떤 특성을 설명한다

인류원리 계산기

1. 3-SAT 문제를 풀기 위해 컴퓨터에게 랜덤 배정을 시킨다.

2. 만약 랜덤 배정이 참이면 컴퓨터를 살려주고 그렇지 않으면 컴퓨터를 폭파한다.

3. 평행우주론을 믿는다면 어느 우주에선 컴퓨터가 살아남았을 것이다. -_-;

한계점

운에 맡겨야 한다

5. 양자역학 계산기

양자컴퓨터 101

n비트 양자컴퓨터는 2n비트를 동시에 처리할 수 있다

한계점

• 어떤 양자 알고리즘도 정렬되지 않은 n개의 데이터 중에서 특정 데이터를 가져오기 위해서는 sqrt(n) 번의 시도가 필요하다.

– (Bennett et al., 1994)

• 따라서 모든 가능한 경우를 생성해보는 방법은 양자컴퓨터로도 2^(n/2)의 시간이 필요

6. 아날로그 계산기

아날로그 계산기

• Thm. 두 실수 x, y (!=0) 에 대해 만약

x+y, x-y, xy, x/y, floor(x)를

상수 시간에 계산할 수 있으면

NP와 PSPACE까지(!) 다항시간에 풀 수 있다.

(Schonhage, 1979)

한계점

아날로그 컴퓨터는 물리적으로 만들 수 없다

양자역학 효과로 무한한 정밀도의 실수가 불가능

6가지 독특한 계산 모형들을 살펴봄

마음에 드는 것은 없었다 (...)

결론

덧. 저의 요즘 고민 같이 고민해보아요

컴퓨터를 꼭 수학으로 만들어야 할까?

참고로 제가 바라보는 CS의 목표는 “인간 지능의 확장” 사람처럼 생각하는 인공지능 개발을 꿈꾸고 있습니다

두뇌 ?= 컴퓨터

컴퓨터가 잘 푸는 문제

2009*5897 = ?

컴퓨터가 잘 못 푸는 문제

캐치볼

둘 다 정보처리 기계

지능도 하나의 물리 현상

혹시 최소작용원리로 계산을 새롭게 정의해볼 수 있지 않을까?

컴퓨터를 오토마타가 아닌 에너지 관점에서 바라보기 (비누방울이나 단백질처럼)

• 기계학습 분야의 에너지 기반 모형들 • 자유 에너지 원리 (K. Friston)

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