Ingenieur-Archiv 54 (1984) 321--327 Ingenieur-Archiv | Springer-Verlag 1984

Erweiterung einer ~hnlichkeitstheorie fiir Sand zur Erfassung yon Kapillarkohiision und Kornbruch

A. Hettler, Karlsruhe

Ubersieht: Eine A_hnlichkeitstheorie ftir troekenen Sand aus starren KSrnern wird erweitert zur Erfassung yon Kornbruch und Kapillarkoh~sion. Fiir Kreisfundamente wird gezeigt, wie sieh die Kapillarkohb2sion auf die Verschiebungen in Abhgngigkeit vom Fundamentradius auswirkt. Bei Kornbruch werden Entwurfs- formeln entwiekelt, mit denen die Ergebnisse yon kleinmai~st/~blichen Versuchen auf grol3e Prototypen iibertragen werden kSnnen. Die dargestellte Theorie wird durch Modellversuche sowie Sondertriaxialversuehe geprfift und best/~tigt.

Extension of a similarity theory to sand with capillary cohesion and grain crushing

Smnmary: A theory of similarity for dry sand with rigid grains is extended to sand with capillary cohesion and grain crushing. The influence of capillary cohesion on the displacements of circular foundations is dis- cussed. For sand with grain crushing the model laws are outlined describing the force-displacement relation- ship. The theory is checked and verified by model tests and special element tests.

1 Einleitung

Ziel dieses Aufsatzes ist es, die von Winter allgemein entwiekelte und von I te t t ler fiir troekenen S~nd aus starren KSrnern formulierte A~hnlichkeitstheorie [1] auf feuchten Sand mit starren KSrnern und Sand mit Kornbrueh zu erweitern.

I m Gegensatz zu trockenem Sand weist der im Gel/inde anstehende feuchte Sand infolge Kapillarwirkung eine Kohiision auf [2]. Wie sich in Abschnitt 2 zeigen wird, hat diese Koh~sion eine Verringerung der BaukSrperversehiebungen bei sonst gleiehen Bedingungen zur Folge. Sie wirkt sieh um so st/~rker aus, je kleiner die Fundamentabmessungen sind, so dab ohne Beriick- sichtigung der Koh~sion mit den in Modellen gemessenen Verschiebungen die Versehiebungen grogmaBst~Lblicher Pro to typen untersch~tzt werden. In Abschnitt 2 wird ein Verfahren fiir Kreis- fundamente entwickelt, mit dem der EinfluB der Kapillarkoh/~sion auf die Verschiebungen in Abhgngigkeit yon der Fundamentgr6Be beriieksichtigt werden kann.

Meistens besteht Sand und Kies aus QuarzkSrnern mit hoher Bruchfestigkeit. In diesem Fall l~Bt sich bei vielen Problemen des Grundbaus das Sandverha]ten mit einem sturrk6rnigen Modell beschreiben [3]. Sind leieht zerbreehliehe Kalkbestandteile vorhanden, ist dieses Modell nicht mehr zutreffend. Wie in Abschnitt 3 gezeigt wird, kann die fiir starrkSrniges Verhalten ent- wiekelte ]~hnliehkeitstheorie dutch eine Modifikation des Stoffgesetzes auf Sand mit Kornbruch- erseheinungen erweitert werden. Die praktisehe Bedeutung liegt darin, dab aueh in diesem :Fall die Ergebnisse yon kleinmal~st/ibliehen Modellversuehen bei lg Erdbeschleunigung korrekt auf Pro to typen iibertragen werden kSnnen, wie es auch sehon yon KSgler 1928 [4] auf empirischer Grundlage und yon Vermeer [5] durch Betr~ehtungen mit einem elasto-plastisehen Stoffgesetz vorgesehlagen wurde.

Grund]age dieses Aufsatzes ist der im Ingenieur-Arehiv 53 (1983) auf den Seiten 27--39 er- sehienene Beitrag ,,A_hnliehkeit bei Randwertproblemen und ihre Anwendung in der Sand- mechanik", der als bekannt vorausgesetzt wird und lnit [1] zitiert wird.

21

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2 Starrkiirniger Sand mit Kapillarkoh~ision

2.1 Theorie

Es sollen dieselben Voraussetzungen wie in Abschnitt 2.1 und 2.2 in [1] gelten. Anstelle der Stoffgleichung 2.3 wird der Ansatz

Ar = (I~, ~- 3pK) L(n, ~o/I , . , e) (1)

gewghlt, wobei PK den allseitigen Druck infolge Kapillarwirkung bezeichnet. Experimentell ist io~: nur schwer zu bestimmen. Unter Voraussetzung der Mohrschen Bruchhypothese [2] lgBt sich im Grenzzustand beim einaxialen Druckversuch die Beziehung

1 - - sin PK = 2cK (2)

1 ~- sin ~v

zwischen PK und der Kapillarkoh/~sion c~: [8] herleiten. Dabei bezeichnet ~v den Reibungswinkel. Die Kapillarkoh~sion kann z. B. in einfacher Weise aus einaxialen Druckversuchen best immt werden.

Fiir Sand wird 30 ~ ~_ ~ ~ 45 ~ gemessen. Mit diesen Werten ergibt sich

0,343 ~_ 2 1 - - sin ~ ~ 0,666, (3) 1 ~ sin ~o - -

so dab man fiir praktische Zwecke

PK ~ 0,5oK (4)

setzen kann. Mit GI. (4) ergibt sich aus G1. (1)

Aa = (I~ + 1,5c~) L(n, ~o/Io~ c). (5)

Gleichung (5) bedeutet, dab fiir einen Sandhalbraum die Kapillarkoh~sion dieselbe Wirkung wie eine ErhShung des mittleren Drucks Io. an jeder Stelle hat. Herrscht vor Aufbringen einer Be- lastung der l%uhedruckzustand [1], gilt

I~o : yz(1 ~- 2K0). (6)

Aus G1. (5) und (6) ergibt sich, dab eine Aufschfittung mit der H5he

CK �9 1,5 h : (7)

y(1 ~- 2K0)

dieselbe Wirkung wie CK hat. Folglich erfiihrt ein Fundament mit mittiger Belastung auf einem Sandhalbraum mi t Kapillarkoh~sion und der Einbindetiefe t dieselben Verschiebungen wie ein Fundament auf dem gleichen, aber trockenen Sandha]braum mit der Einbindetiefe

cg . 1,5 t* : t -~- (8)

y(1 -~ 2K0) "

Fiir ein Kreisfundament mit Radius r grit [1]

- - = Co , (9)

wobei co yore Porenanteil n und yon t /r abh~ngt. Versuche [3] haben gezeigt, dal3 man

co = Clt

setzen kann, wobei C eine yon n abh~ngige Funktion und te eine yon t/r abh~ngige Funktion be- zeichnen. Bild 1 zeigt den Verlauf yon it, der nach bisherigen Ergebnissen unabhs yon der Sandsorte ist. Bei t = 0 soll it = 1 gelten, wie aus Bild I hervorgeht. Bei bekannten cK, y und K0

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l~gt sich aus G1. (8) t* und da raus die d imensionslose E inb inde t i e fe

t* t c1( - 1,5 _ + (10)

r r ry(1 + 2Ko)

bereehnen. Wie aus G1. (10) und Bi ld 1 hervorgeht , i s t der Einflul3 der Koh/~sion um so grSger, je k le iner de r F u n d a m e n t r a d i u s ist . Bei geni igend grol3em r k a n n er schl ieNich vernachl~ssigt wer- d~n,

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

I

00 2 I I I I I I

6 8 10 12 14 16 18 t~ r

Bild 1. Faktor fiir die Einbindetiefe

2.2 Versuchsergebnisse

Bild 2 zeigt die Las tve r sch iebungskurven ue/r in Abh/ ingigkei t yon F/yr 3 eines F u n d a m e n t s mi t r = 5 cm und t = 0 auf t rockenem und auf f euch tem Sand mi t n = 0,37. Wegen des Potenz- gesetzes in G1. (9) erscheinen die K u r v e n bei doppe l t - loga r i thmischer Dars te l lung als para.llele Geraden. Die Wich t e des t rockenen Sandes be t rug y = 16,7 k N / m 3. Beim feuchten Sand mi t e inem Wasse rgeha l t w ~ 5~o ergab sich ~ = 17,5 k N / m 3. Aus e inax ia len Druckversuchen wurde be im feuchten Sand als Mi t te lwer t c ~ 1,8 k N / m 2 1nit e iner S t reuung yon ~ :20% gemessen.

tl F r

10 -i

10-2 trockene Sand ~ Sand

1 0 - 3 I I I I I I I I I K q i e i t

10 1 10 2 10 3 F

~r3

Bild 2. Last-Setzungslinie eines Einzelfund~ments auf trockenem und auf feuehtem Sand bei n ~ 0,37

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Mit K0 ---- 0,5 [2], 7 -~ 17,5 kN/m 3, t ---- 0 und r ---- 5 cm errechnet sich aus G1. (8) t* = 7,5 em und t*/r = 1,5. Aus Bild 1 ergibt sich mit t*/r = 1,5 2t ---- 0,5. Somit miiBten die bei feuchtem Sand gemessenen Setzungen um den Faktor 0,5 kleiner sein als bei trockenem. Tats/~chlich ergibt sich aus Bild 2 der Faktor 0,6, was eine gute l~bereinstimmung bedeutet.

3 Sand mit Kornbrueh

3.1 Theorie

Anstelle der Stoffgleichung (2.3) in [1], bei der starrk6rniges Verhalten vorausgesetzt wurde, wird bei Kornbruch der fiir kleine Dehnungen giiltige Ansatz

= IooL(n, ~ (11) Voo/

gew~hlt. Dabei bezeichnet an eine typisehe Kornbruchspannung, die veto Mineral des Einzel- korns, yon der Korngr6Be und der Kornform abh~ngt. Der Exponent fl h~ngt ebenfalls yon diesen Gr6Ben ab und ist ein MaB dafiir, wie sieh das Bruehverhalten des Einzelkorns auf das Haufwerk auswirkt. Es gilt fl ~ 0. Gleichung (11) ist eine N~herung, die den im Randwertproblem interes- sierenden Spannungsbereieh abdeeken sell.

Wie bei starrk6rnigem Verhalten [1] sell die Homogenit~tsforderung

L(ae) = aKL(e) (12)

gelten. Fiir den Fall der zylindrisehen Kompression ergibt sich aus G1. (11) und (12)

- (Yl ffl0

ale \ale/

wobei der Faktor B1 von n, veto Ausgangsspannungszustand und der Riehtung des Spannungs- pfads abh~tngt. Fiir die Seitendehnung e~ ergibt sich dieselbe G1. mit B2 anstatt B1. Gleiehung (13) besagt, dal] bei konstanter Dehnung die Spannungsverhi~ltnisse mit zunehmendem Seitendruek abnehmen wegen fl ~ 0. Bei starrk6rnigem Verhalten betrggt fl ---- 0, und das Spannungsverhglt- his (al - - alo)/alo ist unabh~ngig veto Seitendruck konstant [1].

Mit Stoffgleichung (11) ergibt sich fiir das Problem des starren Einzelfundaments (s. Bild 1 in [1]) wie bei starrk6rnigem Verhalten das Gleiehungssystem (2.7 bis 2.14) in [1]. Anstelle yon G1. (2.15) in [1] gilt

\Ioo/ I~o(71c) -~ L(n, ao/I.o, e). (14)

Setzt man wie in [1] die Existenz einer l~eferenzl6sung voraus, so l~Bt sich unter Verwendung yon G1. (12) und der dimensionslosen Last

F (Tlcy-- (15) P : = 71--~ \aK]

zwischen Fundamentlast und Verschiebung die Beziehung

l--f = co (16)

herleiten, wobei gilt

: = (fi~) sowie (17)

cr :---- 1/K. (18)

A. Hettler: Erweiterung einer Ahnlichkeitstheorie ffir S~nd 325

Die GrSge c o hgngt wiederum vom Porenanteil, yon a0 und der Geometrie ab. Versuchsergebnisse zeigen

1,1 < a < 2. (19)

Wegen fl ~ 0 ergibt sich

> o. (20)

Aus G1. (16) kSnnen folgende Schlul3folgerungen fiir die Modelltechnik gezogen werden: Bei Darstellung der Last-Verschiebungskurven in dimensionsloser Form ergibt sich

a) bei starrkSrnigem Verhalten wegen ~ = 0 unabhgngig yon der FundamentkSrpergr56e irnmer dieselbe Kurve, b) bei Kornbruch d~gegen ein Anwachsen der dimensionslos dargestellten Verschiebungen mit zunehmender FundamentgrSge.

3.2 Versuchsergebnisse

Bild 3 zeigt die Ergebnisse yon Dreiaxialversuchen mit konstantem Seitendruck g~ --~ a3, ~us- gehend yon einem isotropen Spannungszustand mit ai0 = a~0 --~ as0- Dargestellt ist die normierte Spa, nnung al/g2 bzw. die Volumendehnung ev : = $1 @ 2S2 in Abh~ngigkeit yon el. Der getestete Meeressand, der neben QuarzkSrnern auch Kalkbestandteile enth/ilt, zeigt deutlich einen Einflul] des Seitendrucks im Gegensatz zu dem friiher untersuchten Quarzsand, der in diesem Bereich keinen Einflu6 des Seitendrucks aufweist [6]. Best immt man den Exponenten fi in Gleichung (13) aus Bild 3 bei e~ = 0,5% und e~ = 1~o, ergibt sich 0,16 < fl < 0,21. In Bild 4 ist (a~ - - q0)/~0 in Abh/~ngigkeit yon ~71 in doppelt-logarithmischem M~gst~b aufgetragen. Bis el < 1~ ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung man K ~ 0,62 und damit cr ~ 1,6 erh~lt (s. Gleichung (13) und

ffl #2

5

0"2= 50 kN/m 2

~-hO0

] I I t I I I I I I

a 0 5 10 c 1 ( % l s

3

d2 = 50 k N / m 2 ~

0 ~ .

! - 2

b 0 5 10

'-1 [ % ] Bild 8a and b. Ergebnisse yon Triaxialversu- chen an holl'~ndischem Feinsand

0"1- ~|0 0 " 1 0

10 o

10-1 ,~l 10-2 10-1 10 0

E 1 [ % ]

BUd 4. Ergebnis eines Triaxialversuchs an hollS~n- dischem Feinsand bei Dehnungen e~ < l% und az = 400 kN/m 2

326 Ingenieur-Archiv 54 (1984)

(18)). Fiir den Exponen ten ~ nach Gleichung (17) ergibt sich somit

0,25 < ~ < 0,33.

Bild 5 zeigt die dimensionslos dargestell ten L~stverschiebungskurven u/r in Abh~tngigkeit yon F/TrS fiir Kreispla t ten ohne Einbindet iefe mi t den Durchmessern 2r = 50 cm und 2r = 25 cm, gemessen yon Deventer und Molenkamp [7].

Bei der gew~hlten doppelt- logari thmischen Darstel lung ergeben sich paralle]e Geraden, bUS deren Steigung m a n fiir ~ nach Gleichung (16) ~ ~ 1,6 wie aus dem Triaxialversuch erh~lt. Bild 6 zeigt die Ergebnisse von P la t tendruckversuchen verschiedener GrSl]e, gemessen von Deventer und Molenkgmp. Dargestell t ist die mi t uF/r bei 2r ~ 15,6 cm normierte Verschiebung fiir ver- schiedene Las tzus tgnde F/yr ~ in Abhgngigkei t vom Durchmesser. Wie nach Gleichung (16) vor- hergesagt, nehmen die Verschiebungen mit wachsendem Durchmesser zu. Deventer und Molen- kamp l inden

0,25 ~ ~ ~ 0,3,

was eine gute Ubere ins t immung mit der Vorhersage aus Triaxialversuchen bedeutet .

UF r

0,3 0,25

0,2

0,15

0,1

0,08 0,07 0.06 0.05

100

5 0 c m - ~ /

I I I

150 200 300 /,00 F

~r 3"

Bild 5. Last-Setzungslinien yon Lastplattenversuchen auf holl~ndischem Yeins~nd, durehgefiihrt yon Deven- te rund Molenkamp [7]

UF s

UF -~- (2r=15,6cm)

1

~176 I 0, h

0,5 10

i [ I i

20 30 40 50 60 2r [cm ]

Bild 6. Einflu6 des Durchmessers auf die Verschie- bungen bei konstanter dimensionsloser Last F/yr ~, durchgeffihrt yon Deventer und Molenkamp [7]

4 Danksagung

Ein herzlicher Dank ergeht an die Deutsche Forschungsgemeinschaft ffir die FSrderung der hier dargestellten Versuche. Bei Dr. Molencamp und Dr. Deventer am laboratorium voor grondmechanica in Delft mSchte ieh reich ffir die Zusendung der bisher unverSffentliehten Ergebnisse yon Plattendruckversuchen bedanken, ebenso bei Prof. Gudehus ffir die wertvollen Hinweise bei der Erstellung des Manuskripts.

Li tera tur

1. Winter, H. ; Hettler, A. : Ahnlichkeit bei Randwertproblemen und ihre Anwendung in der Sandmechanik. Ing. Arch. 53 (1983) 27--39

2. Gudehus, G.: Bodenmechanik. Stuttgart: Enke (1981) 3. Hettler, A.: Modelluntersuchungen fiir Griindungen in Sand. Bauing. 58 (1983) 41--48 4. KSgler, F.: ~ber Baugrund-Probebelastungen. Bauteehn. 9 (1931) 357--361 5. Vermeer, P .A. : Formulation und prediction of s~nd behaviour, XICSMFE Stockholm 1981, Vol. 1,

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A. Het t l e r : Erwei terung einer Ahnl ichkei ts theor ie ffir Sand 327

6. Hett ler , A. ; Vardoulakis, I. : Behaviour of dry sand tes ted with a large tr iaxial apparatus . Geotechnique. In Vorberei tung

7. Deventer , J . M. M. ; Molenkamp, F. : PersSnliche Mittei lung fiber P la t t endruckversuche am labora tor ium voor grondmechaniea in Delft

8. Hett ler , A.: 3. Ber icht zum Forsehungsvorhaben , ,Setzungen yon F laeh fundamen ten" . GefSrdert vom Bundesminis ter ffir Raumordnung , Bauwesen und Stgdtebau. In Vorbere i tung

Eingegangen am 22. September 1983

Dr. A. Het t le r

I n s t i t u t ffir Bodenmechan ik und Felsmechanik Universi t i i t Kar l s ruhe Postf~ch 6380 D- 7500 Kar l s ruhe 1 Bundesrepubl ik Deutsch land