erostyak janos a fizika alapjai

Szerkesztette

ALAPVET FIZIKAI LLANDK

A mennyisg

neve jele kzelt rtke

Atomi tmeglland (atomi tmegegysg) 1,66 lO"27 kgAvogadro-lland 6,02 10231/molBohr-magneton Hb 9,27 -10"24 A-m2Bohr-sugr 0 5,29-10-'1 mBoltzmann-lland k 1,38-10 23 J/KElektromgneses hullm (fny)

terjedsi sebessge vkuumban c 3108 m/sElemi (elektromos) tlts e 1,6-10-19 CFaraday-lland F 9,65-104 C/molGravitcis lland G 6,67 lO"11 N m2/kg2Molris gzlland R 8,31 J/(mol K)Molris trfogat

(idelis gz norml llapotban) vr m,0 2,24-102 nrVmolMag-magneton 5,05 10 27 A m2Nehzsgi gyorsuls (Fldn) S 9,81 m/s2Nyugalmi elektrontmeg "h 9,11-10 31 kgNyugalmi neutrontmeg 1,67-lO'27 kgNyugalmi protontmeg P 1,67-10 27 kgPlanck-alland h 6,63-10 34 J sRydberg-lland (H-atomra) 1,10-107 l/mStefan-BoItzmann-lland O 5,67-10^ W/(m2 K4)Vkuum permeabilitsa V* 1.26 106 V-s/(Am )Vkuum permittivitsa 8,85 10~12 C2/(N m2)

SI-PREFIXUMOK

aatto-10-'

ffemto-o-15

Ppiko-io-'2

nnano-

10 gmikro-

io-*

mmilli-10 3

ccenti-io-2

ddeci-io-

da h k M G T P Edeka- hekto- kilo- mega- g'ga- tera- peta- exa-

10* 102 103 10 109 1012 1015 10'

A FIZIKA ALAPTRVNYI

1. Klasszikus mechanika

) A dinamika alaptrvnye:

F _ A(mv)At

ha At 0

2. Termodinamika

a) 1. fttel. A U = Q + W

b) Gravitcis ertrvny:

F = _ G H hH L7r r

b) II. fttel (nylt folyamatokra): AS > ^

3. Elektromgnessgtan

a) Maxwell-trvnyek:

^ y QE -AA = , ha AA 0

fellet

zrtw, Ad)V E As = -------, ha As 0 s At > 0^ Atgzrt

^ B AA = 0, ha AA > 0fellet

zrt

E B A s X + A T )A

, ha As Os A 0

b) Elektromgneses ertrvny:

F =

A FIZIKA ALAPJAIT a s n d i P t e r - S k r a p i ts L a jo s - B r c e s G y r g y

Klasszikus mechanika

LlTZ JZSEF

Termodinamika s molekulris fizika

LlTZ JZSEF

Elektromgnessgtan

EROSTYK JNOS

Fnytan s relativitselmlet

p i n t r F e r e n c - K le b n ic z k i J z s e f Atomhj fizika

R a ic s P t e r - S k sd C sa b a Atommag- s rszecskefizika

NEMZETI TANKNYVKIAD, BUDAPEST

TARTALOM

Elsz ............................................................................................................................................... 13

Bevezets

1. A fizikrl lta lban ..........................................................................................15

I. KLASSZIKUS MECHANIKA

I. A) Az anyagi pont mechanikja

I. A) 1. Az anyagi pont kinem atikja......................................................................................24

2. A mozgsok lersa, vonatkoztatsi rendszer............................................... 243. Egyenes vonal m ozgsok............................................................................... 264. Harmonikus rezgmozgs. Prhuzamos rezgsek sszet te le................. 335. A sebessg s a gyorsuls ltalnos fogalma................................................. 386. Grbe vonal mozgsok....................................................................................407. Merleges rezgsek sszettele.......................................................................45

I. A) 2. Az anyagi pont d in am ik ja ........................................................................................ 48

8. Newton-trvnyek.............................................................................................. 489. Az ertrvnyek s a mozgsegyenlet............................................................ 54

10. A dinamika alaptrvnynek alkalm azsa.................................................... 5611. A m unkattel....................................................................................................... 5812. Periodikus mozgsok dinamikai le r sa ........................................................ 6613. Csillapod rezg sek ...........................................................................................6914. A p erd le tt te l................................................................................................... 7115. A gravitcis er tr.............................................................................................7416. Mozgs gravitcis e r t rb e n ..........................................................................8117. Mozgsok lersa gyorsul koordinta-rendszerekben...............................84

6 Tartalom

I. B) A pontrendszerek mechanikja

I. B) 1. A pontrendszer mozgsra vonatkoz ltalnos ttelek...................................... 91

18. Az impulzusttel s a tm egkzppont-ttel...............................................9119. A p e rd le tt te l..................................................................................................9420. A m unkattel...................................................................................................... 97

I. B) 2. Specilis pontrendszerek m ozgsa.......................................................................... 98

21. tk zsek .......................................................................................................... 9822. Raktam ozgs..................................................................................................10323. Csatolt rezgsek................................................................................................105

I. C) A merev test mechanikja

I. C) 1. ltalnos le r s ...........................................................................................................106

24. A merev test kinem atikja.............................................................................10625. A merev test egyenslya.................................................................................111

I. C) 2. A merev test specilis m ozgsa...............................................................................121

26. A merev test forgsa rgztett tengely krl...............................................12127. A merev test skmozgsnak dinamikai le r sa ........................................ 12628. Prgettymozgs..............................................................................................128

I. D) A deformlhat testek mechanikja

I. D) 1. Rugalmas alakvltozsok..........................................................................................135

29. Egyszer rugalmas alakvltozsok................................................................13530. sszetett rugalmas alakvltozsok..............................................................14031. A szilrdtestek szerkezetrl........................................................................ 145

I. D) 2. Nyugv folyadkok s gzok mechanikja (Hidro- s aerosztatika)............... 148

32. Nyugv folyadkok mechanikja (H idrosztatika).................................... 14833. Molekulris erk folyadkokban..................................................................15434. Nyugv gzok mechanikja (A erosztatika)...............................................159

I. D) 3. Folyadkok s gzok ram lsa (Hidro- s aerodinam ika)................................ 162

35. Idelis folyadkok ram lsa...........................................................................16236. Srld folyadkok ram lsa........................................................................ 16837. A folyadkok s rismolekulj anyagok szerkezete..............................175

I. D) 4. A hullm m ozgs.........................................................................................................177

38. A hullmok le r sa ......................................................................................... 17739. A hullmok energiaviszonyai........................................................................ 19040. H an g tan .............................................................................................................193

Tartalom 7

II. TERMODINAMIKA S MOLEKULRIS FIZIKA

II. A) Hmrsklet s htguls

41. A hm rsklet.................................................................................................. 20242. Szilrd testek s folyadkok htgulsa......................................................20543. Gzok h tgu lsa............................................................................................ 208

II. B) M olekulris fizika

44. Az anyagok atomos sze rk eze te ..................................................................... 21645. Kmiai (korpuszkulris) anyagtranszport.................................................... 21746. lepedsi (szedimentcis) je len sg ek ...................................................... 22147. Kinetikus g ze lm le t............................... ........................................... 22348. Az ekvipartcittel ........................................................................................ 228

II. C) A termodinamika els fttele s nhny kvetkezmnye

49. Termodinamikai alapfogalm ak.................................................................... 23250. A termodinamika els f t te le .....................................................................23451. Termikusenergia-transzport........................................................................... 24152. Kondenzlt anyagok s gzok hkapacitsai............................................. 24453. Az els fttel alkalmazsa idelis gzok nylt fo lyam ataira................. 250

II. O) A termodinamika msodik fttele s az entrpia

54. A reverzibilis Carnot-fle krfolyam at.........................................................25555. A reverzibilis folyamatok s az en trpia...................................................... 26056. Az irreverzbilis folyamatok s a termodinamika msodik f t te le . . . . 26257. Az irreverzbilis folyamatok s az entrpia.................................................. 26658. Termikusenergia-talaktk............................................................................26959. Az entrpia statisztikus rtelm ezse.............................................................27160. Entrpia s informci.................................................................................... 275

II. E) Fzistalakulsok s fzisegyenslyok

61. Az anyagi rendszerek s a fzistalakulsok ltalnos jellem zse.........28062. Halmazllapot-vltozsok, elegyek s oldatok...........................................28363. A gzok cseppfolystsa s alacsony hmrskletek ellltsa . . . . 290

III. ELEKTROMGNESSGTAN

III. A) Elektrosztatika

64. Elektrosztatikai alapjelensgek.................................................................... 29465. A Coulom b-trvny........................................................................................29666. Elektromos tltseloszlsok...........................................................................299

8 Tartalom

67. Az elektromos m ez ....................................................................................... 30168. Az elektromos mez fluxusa s forrserssge........................................ 30669. Az elektromos mez munkja s feszltsge.............................................31670. Az elektrosztatikai mez rvnyerssge...................................................321

71. A tltsek elhelyezkedse, az elektromos trerssgs az elektromos potencil a vezetkn..................................................... 328

72. Elektromos kapacits, kondenztorok....................................................... 32973. Az elektromos mez energija s energiasrsge.................................. 33474. Szigetelk (dielektrikumok)...........................................................................336

III. B) Egyenramok s ramvezetsi jelensgek

III. B) 1. Az egyenramok trvnyei........................................................................................341

75. Az elektromos ra m ....................................................................................... 34176. A stacionrius elektromos mez trvnyei................................................. 34477. Ohm trvnye homogn vezetre s az elektromos ellenlls...............346

78. A feszltsgforrsok s az egyszer ramkrre vonatkozO hm -trvny.................................................................................................. 357

79. Az sszetett ramkr s a Kirchhoff-trvnyek........................................ 36180. Fogyasztk (ellenllsok) kapcsolsa..........................................................36581. ramerssg- s feszltsgmr m szerek ...............................................36882. Ellenllsm rs................................................................................................37183. Feszltsgforrsok kapcsolsa...................................................................... 37384. Az egyenram munkja s teljestm nye................................................... 37685. Termoelektromos jelensgek........................................................................ 38086. Egyenram RC-krk tmeneti jelensgei...............................................381

III. B) 2. M agnetosztatika.........................................................................................................38387. Mgneses alapjelensgek...............................................................................38388. A mgneses m ez ............................................................................................38589. A mgneses mez fluxusa s forrserssge...............................................38990. Erhatsok mgneses mezben.................................................................... 39091. Az anyagok mgneses tulajdonsgai............................................................39992. A magnetosztatikai mez rvnyerssge................................................. 402

III. B) 3. ramvezetsi jelensgek............................................................................................407

93. Az ramvezets mechanizmusa.................................................................... 407

III. C) Az idben vltoz elektromgneses mez

III. C) 1. Az elektromgneses indukci................................................................................... 413

94. Nyugalmi (Faraday-) indukci...................................................................... 41395. Mozgsi indukci..............................................................................................42096. . rvnyramok.................................................................................................. 42297. A klcsns indukci s az nindukci....................................................... 423

Tartalom 9

98. . A mgneses mez energija s energiasrsge.....................................42699. A M axwell-trvnyek....................................................................................430

III. C) 2. Elektromgneses rezgsek........................................................................................434100. A vltakoz ram s a vltakoz ram ellenllsok ............................ 435

101. Elektromgneses rezgsek RLC vltakoz ram rezgkrkben . . . 439102. A vltakoz ram teljestmnye.................................................................. 443103. Nagyfrekvencis rezgsek s elektromos impulzusok............................ 445

III. C) 3. Elektromgneses hu llm ok ......................................................................................448

104. Az elektromgneses hullmok terjedsi sebessges dinamikai jellem zi................................................................................... 448

105. Szabad elektromgneses hullm ok............................................................ 450

III. C) 4. Alkalmazott (gyakorlati) elektromgnessgtan....................................................454

106. . Villamosenergia-talaktk.........................................................................454107. Az elektronika alapjai................................................................................... 460

IV. FNYTAN S RELATIVITSELMLET

108. A fnytan trgya s felosztsa.......................................................................467

IV. A) Geometriai optika

109. A fny terjedse, sebessge...........................................................................469110. A fny visszaverdse s t r s e .................................................................. 473111. Optikai szlak.................................................................................................. 477112. Az optikai kp.................................................................................................. 479

113. Lekpezs kzegek hatrfelletn visszaverdtt fnynyalbokkal. . . 480114. Lekpezs kzegek hatrfelletn megtrt fnynyalbokkal............... 483115. Lencserendszerek, lekpezsi hibk............................................................ 489116. Optikai kszlkek kpalkotsa.................................................................. 492117. A lts s a sznek............................................................................................ 499

IV. B) Fizikai optika

118. A fizikai optika alapjai................................................................................... 505119. Interferenciajelensgek................................................................................. 508120. Interferencis alkalm azsok.........................................................................515121. Diffrakcis jelensgek s alkalm azsaik................................................... 517122. Fnyszrs.........................................................................................................527123. Hologrfia.........................................................................................................530124. A fny polarizcija........................................................................................534125. Ketts trs kristlyokban, optikai aktivits............................................. 539126. A nemlineris optikrl................................................................................. 546

10 Tartalom

IV. C) Fotometria, fnyabszorpci

127. A fotometria alapjai....................................................................................... 548128. A fny abszorpcija....................................................................................... 552

IV. D) Relativitselmlet

129. A specilis relativitselmlet elzmnyei...................................................555130. Relativisztikus kinematika.............................................................................558131. Relativisztikus d inam ika...............................................................................562132. ltalnos relativitselmlet...........................................................................564

V. ATOMHJFIZIKA

V. A) A kvantumfizika kialakulsnak elzmnyei

133. A hmrskleti sugrzs...............................................................................570134. A fnyelektromos je len s g ...........................................................................576135. A fny ketts term szete...............................................................................580136. A ketts termszet de Broglie-fle ltalnostsa.................................... 583

V. B) A kvantummechanika alapjai

137. A hatrozatlansgi elv. A komplementaritsi e lv .................................... 587138. Atomsznkpek. Sznkpsorozatok..............................................................590139. Klasszikus atom m odellek .............................................................................593140. A Bohr-fle atom m odell...............................................................................597141. A Schrdinger-egyenlet s alkalm azsai...................................................601142. Az egyelektronos atomok hullmmechanikai m odellje......................... 606143. Az atomok elektromgneses momentuma s a sp in ................................610144. A Pauli-elv s az atomok elektronrendszere.............................................618145. A rntgensugrzs s alkalm azsai............................................................620

V. C) Molekulafizika s kvantumelektronika

146. A molekulk ktstpusai. Molekulasznkpek........................................ 626147. A kvantumelektronika alapjai. Lzerek..................................................... 630

VI. ATOMMAG- S RSZECSKEFIZIKA

VI. A) Atommagfizika

VI. A) 1. Az atommagok alaptulajdonsgai...........................................................................636

148. Az atommagot jellemz fizikai m ennyisgek...........................................636

VI. A) 2. Atom m agm odellek.....................................................................................................651

149. Tlttt folyadkcsepp-modell...................................................................... 651

Tartalom 11

150. Hj m odell.........................................................................................................654151. Egyestett magmodell......................................................................................656

VI. A) 3. A tom m ag-talakulsok............................................................................................. 656152. Radioaktivits.................................................................................................. 656153. M agreakcik.....................................................................................................665

VI. A) 4. A m agerk....................................................................................................................672

154. A magerk tulajdonsgai............................................................................... 672

VI. A) 5. Nukleris energetika...................................................................................................674

155. N eutronfizika.................................................................................................. 675156. Maghasadson alapul energiaterm els................................................... 676157. Fzis reakcik a csillagokban s a Fldn............................................... 681

VI. B) Rszecskefizika

VI. B) 1. A rszecskefizika a lap ja i.......................................................................................... 685158. Rszecskk s jellemzik............................................................................... 685159. Ncutrnfizika.................................................................................................. 688

VI. B) 2. Standard M odell.........................................................................................................691160. A fundamentlis elemi rszek.......................................................................692161. Az anyag fe lp t se ........................................................................................694162. K lcsnhatsok.............................................................................................. 695

VI. B) 3. Anyagfejlds............................................................................................................... 698163. A sokszn h tt r ............................................................................................698164. Az srobbans elmlete................................................................................. 700

VI. C) Ksrleti mdszerek

165. Sugrzsok detekt lsa................................................................................. 703166. Rszecskegyorstk........................................................................................711

VII. FGGELK: DIFFERENCIL- S INTEGRLSZMTS

167. Differencilszmts......................................................................................715168. Integrlszmts.............................................................................................. 719

Irodalom .........................................................................................................................................723

Nv- s trgym utat......................................................................................................................725

Keveset tudunk, mgis csodlatos, hogy ez milyen sok, s mg csodlatosabb, hogy kevs ismeretnk

mekkora hatalom a keznkben.Bertrand Rvssell

ELSZ

A vilgegyetem 15 millird vvel ezeltt srobbanssal vette kezdett, majd drmai folyamatokban kialakult a Fld, s rajta kisarjadt az let. Ennek a nagyon kicsi rszekbl ll, de roppant kiterjeds mindensgnek a bebarangolsra hvjuk most a kedves Olvast, csodljuk meg szpsgeit, az gbolt kksgt, a csillagok ragyogst s az let soksznsgt. Kpzeletbeli utazsunk sorn tudatosodni fog bennnk, hogy a termszet mindig blcs s mindig tudja, hogy mit csinl, jtka s jtkszablyai mindig korrektek, sohasem kvet el hibt. Neknk, gondolkod lnyeknek pedig megadatott, hogy kpesek vagyunk kifrkszni titkait, s ezltal gazdagodik szellemnk. Jl tudjuk azonban, hogy utazsunk fraszt lesz, mert

rtkes dolgok nem tmadnak soha knnyen,Nem szletik nagysg, csak knz ldozatokbl,Roppant fradozs kell a tudshoz,De tenger kzdelmed sose bnd.

JANUS PANNONIUS

Ezt a knyvet azzal a cllal rtuk, hogy a fizikatudomny alapjaival ismertessk meg azokat az egyetemi-fiskolai hallgatkat, akik nem a fizikt vlasztottk lethivatsuknak, hanem ms tudomnyok (kmia, biolgia, mszaki tudomnyok) irnt rdekldnek, de ezek mvelsekor a megfelel fizikai ismereteket nem nlklzhetik. Bzunk abban is, hogy knyvnket rdekldssel fogadjk a fizikatanrok s a fizikt szeret kzpiskolai tanulk.

A trgyi anyagot gy rendszereztk, hogy tfogja a fizika legfontosabb mondanivalit. A knyv ht rszre oszlik. Ezek a kvetkezk:

I. Klasszikus mechanikaII. Termodinamika s molekulris fizika

III. ElektromgnessgtanIV. Fnytan s relativitselmlet

V. Atomhjfizika

14 Elsz

VI. Atommag- s rszecskefizikaVII. Fggelk: differencil- s integrlszmts

A tanknyv fbb jellemzi az albbiak.- Az ismeretkzls sorn az induktv utat kveti: a tapasztalatbl, a ksrletekbl s a

mrsi eredmnyekbl kiindulva jut el a fizikai trvnyek megfogalmazshoz.- A szakmai anyag kivlasztsakor megklnbztetett figyelmet fordtottunk az utbbi

vtizedek, ill. vek kiemelked eredmnyeinek bemutatsra s a trstudomnyokkal (biolgival, kmival, mszaki tudomnyokkal) val kapcsoldsokra, koordincikra.

- A knyv trzsanyagnak megrtse a kzpiskolai matematika tananyagot meghalad felkszltsget nem ignyel. Az ezen tlmen matematikai ismereteket is felhasznl kiegszt rszeket a lapszlen fggleges vonallal jelltk, ezek elhagysa azonban a trzsanyag megrtst nem veszlyezteti.

A szerzk t hazai egyetem tbb vtizedes tapasztalattal rendelkez oktati: Brces Gyrgy (ELTE), Erostyk Jnos (PTE), Klebniczki Jzsef (SZTE), Litz Jzsef (PTE), Pintr Ferenc (SZTE), Raics Pter (DE), Skrapits Lajos (ELTE), Sksd Csaba (BMGE), Tasndi Pter (ELTE).

A knyv ltrehozsban tbb segttrsunk volt. Ksznett mondunk lektorainknak, DR. FARKAS Z s u z s a egyetemi adjunktusnak, DR. GROMA ISTVN egyetemi docensnek, DR. KRTI JEN egyetemi tanrnak s DR RAJKOVITS ZSUZSA egyetemi docensnek gondos, minden rszletre kiterjed, segtksz szrevteleikrt. A knyv kiadsnak tmogatsrt, a kzirat magas sznvonal gondozsrt, az brk szp megrajzolsrt hlnkat fejezzk ki PALOJTAY MRIA fszerkesztnek, BALASSA ZSFIA fszerkeszt-helyettesnek s GRG IstvN N mszaki szerkeszt-rajzolnak. A knyv II., III. s VII. rsznek szerzje kln ksznett mond BNSZKI BARBARnak kiemelked technikai segtsg- nyjtsrt. Nlklk ez a knyv nem szlethetett volna meg. Fogadjk egytt is szeretetteljes ksznetnket.

Budapest - Debrecen - Pcs - Szeged, 2002. esztend februr havban

A szerzk

A legcsodlatosabb dolog amit megtapasztalhatunk, a titokzatossg.Ez a forrsa minden igazi tudomnynak.

A l b e r t E in s t e in

BEVEZETS

1. A fizikrl ltalban

1. A fizika trgya s felosztsa

a) A fizika trgyaA fizikatudomny1 blcsjt az kori Grgorszgban ringattk, s a 18. szzad vgig

magban foglalta a termszetre vonatkoz ismeretek sszessgt. Ezt kveten a tudatosan tgondolt, rendszeres megfigyelsek, ksrletek s mrsek eredmnyeknt hihetetlen mennyisg ismeret halmozdott fel. Ennek kvetkeztben az addig egysges tudomny rszekre szakadt szt. A. fizika krbe soroltk az lettelen vilgnak azokat a jelensgeit, amelyek nem jrnak az anyag mlyrehat megvltozsval, a kmia krbe pedig a mlyrehat vltozssal jr (vegyi) talakulsokat utaltk.

A fizika trgykre a 20. szzad kzeptl jelentsen megvltozott. A ma fizikja a mindensget alkot lettelen s l anyag egyetemes mozgstrvnyeit vizsglja, mert lehetetlen a rszeket az egsz nlkl megismerni (Blaise PASCAL, 1670). A fizika ltal vizsglt anyagi vilg m rettartomnya az elemi rszecskktl az univerzum (vilgegyetem) ismert hatrig terjed, s gy vlt a fizika - mint integrl (sszegez) tudomny - valamennyi termszettudomny kzs alapjv.

b) A fizika felosztsa

A tanulmnyozott folyamatok szerint a fizikatudomny rszei a kvetkezk: mechanika, termodinamika s molekulris fizika, elektromossgtan s mgnessgtan, fnytan, relativitselmlet, atomhj-, atommag- s rszecskefizika.

A kutats mdszere szerint ksrleti s elmleti fizikt szoks megklnbztetni. A ksrletifizika feladata a tapasztalati trvnyek gyjtse, rendszerezse s elmleti kvetkeztetsek ellenrzse, az elmleti fizik pedig az ltalnos trvnyek megkeresse s bellk kvetkeztetsek levonsa.

A kutats cljnak hangslyozsa esetn alap- s alkalmazott (gyakorlati) kutatsrl szoks beszlni.

1 A fizika elnevezs a grg oi

16 Bevezets l .

Ezek az elhatrolsok azonban csak korltozott rtelemben helytllak: a fizika egyes rszei, a kutatsi mdszerek s clok szorosan kapcsoldnak egymshoz. Rbert MlLLIKAN szavaival (1924): A tudomny kt lbon halad elre, e kett: ksrlet s elmlet.

c) A fizika kapcsolata a tbbi termszettudomnnyal s a technikval

A fizika valamennyi termszettudomnnyal kapcsolatban van. A relativitselmlet s az atomfizika vetette meg az gitestek fizikai tulajdonsgaival foglalkoz tudomnyg, az asztrofizika alapjait. Az atomhjfizika (ezen bell a kvantummechanika) az alapja a kmiai reakcik elmletnek. A fizika s a kmia hatrterletn fejldtt ki a fizikai kmia. A fizika s a biolgia, valamint a fizika s a geolgia kapcsolata vezetett a biofizika s a geofizika kialakulshoz.

Rendkvl szoros a kapcsolat a fizika s a technika kozott. Ez utbbi tbbnyire alkalmazott fizika, s elrehaladsban ltalban nyomon kveti a fizika fejldst, pl. az elektromgneses indukci felfedezse vezetett a transzformtor megalkotshoz. Emellett a technika sajt elveket is kifejlesztett, gy pl. a hergpek hatsfoknak javtsra irnyul vizsglatok nyomn alakult ki a termodinamika.

d) A fizikai megismers ttri

Az alapvet termszeti trvnyek felfedezi mly s meghatroz befolyst gyakoroltak vilgunk kialakulsra. A 17-19. szzadban Galileo GALILEI (1564-1642) s Isaac NEWTON (1642-1727) a mechanika, Michael FARADAY (1791-1867) s James Clerk MAXWELL (1831-1879) az elektromgnessgtan, Rudolf CLAUSIUS (1822-1888), William T h o m so n [Lord KELVIN] (1824-1907) s Ludwig BOLTZMANN (1844-1906) a termodinamika alaptrvnyeinek felismersvel dnten hozzjrultak a klasszikus fizika kialakulshoz. A 20. szzad elejn pedig kezdett vette a Max PLANCK (1858-1947), Albert EINSTEIN (1879-1955), W erner HEISENBERG (1901-1976) s Niels B o h r (1885-1962) nevvel fmjelzett modern fizika.

Az emberi halads igazi hseinek munkssga nyomn kialakult fizikatudomny eredmnyei tszvik mindennapi letnket s bizton remljk, hogy az sz s a tuds nagy mvei jval tartsabbak a hatalom s a kz emlkmveinl" (Francis BACON, 1605).

2. A fizikai mennyisg

A fizikai llapotokat (pl. a testek hllapott) s folyamatokat (pl. a munkavgzst) fizikai jelensgeknek nevezzk. Ezek lersra fizikai mennyisgek szolglnak, amelyek lehetnek extenzv s intenzv mennyisgek. Az extenzv mennyisegek additv jellegek, rtkk az anyagban szlelhet helyi rtkek sszegeknt addik (pl trfogat, tmeg, energia). Ezzel szemben az intenzv mennyisgek rtke a helyi rtkek sszegzsvel nem adhat meg, rtkk fggetlen az anyag trfogattl s tmegtl (pl. nyoms, hmrsklet).

A fizikai mennyisgek kapcsolatt a mennyisgegyenletek fejezik ki. Mennyisgegyenlet pl. az m tmeg s V trfogat anyagot jellemz p = m /V (tmeg-) srsg.

A fizikai mennyisgek kztti sszefggseket mrssel llaptjuk meg Ahhoz, hogy fizikai mennyisget mrni tudjunk, alapul kell vlasztani a mennyisgnek valamely rgztett r

l . A fizikrl ltalban 17

tkt. A fizikai mennyisgnek (jele: x) ezt az alapul vlasztott, rgztett rtkt mrtkegysgnek (rviden: egysgnek, jele: [*]) nevezzk. A megmrt mennyisg s az alapul vlasztott mrtkegysg hnyadost szmrtknek (mrszmnak, jele: {jc}) nevezzk. Ennek megfelelen a fizikai mennyisg a szmrtk s a mrtkegysg szorzata:

x = {x} [x] . (1.1)

A fizikai mennyisgek kzl egyeseket alapmennyisgl vlasztottak (pl. hosszsg, id). Ezek a tbbi mennyisg alapjn nem definilhatk. Minden olyan fizikai mennyisg viszont, amely nem alapmennyisg, definilhat az alapmennyisgekkel, ezrt ezeket szrmaztatott mennyisgeknek nevezzk (pl. a sebessg a hosszsg alapmennyisg s az id alapmennyisg hnyadosa).

Az alapmennyisgek mrtkegysgei az alapegysgek [pl. mter, jele: m; msodperc (szekundum), jele: s]. A szrmaztatott mennyisgek egysgei a szrmaztatott egysgek (pl mter per msodperc, jele: m/s).

Az lland szmrtk fizikai mennyisgek tnyezk, egytthatk, szmok vagy llandk.

- Tnyeznek (rgebbi nevn faktornak) nevezzk azokat a fizikai mennyisgeket, amelyeknek mrtkegysge 1 (p!. srldsi tnyez) Kivtelt kpeznek azok a mennyisgek, amelyeknek mrtekegysge 1, de elfogadott nevk van (pl. hatsfok, relatv permittivits).

- Egytthatnak (rgebbi nevn koefficiensnek) nevezzk a mrtkegysges szmokat (pl. nindukcis egytthat, kivtel pl. a bomlsi lland).

- A szmok ltalban szemlynevekhez fzdnek (pl. Avogadro-szm, kivtel pl. a rendszm).

- A z llandk univerzlis (egyetemes) termszeti tnyezk (pl. finomszerkezeti lland) vagy egytthatk (pl gravitcis lland). Az llandk gyakran szemlynevekhez kapcsoldnak (pl. Avogadro-lland, Faraday-lland), de sok llandnak kln neve is van (plvkuumbeli fnysebessg, a vkuum permittivitsa).

3. A Nemzetkzi Mrtkegysgrendszer (S)

a) Az S alapmennyisgei s alapegysgei

A nemzetkzi egyttmkds szksgess tette a tudomny, a technika s a mindennapi let valamennyi terletre rvnyes, sszehangolt (koherens), tfog Nemzetkzi Mrtkegysgrendszer [franciul: Systme International dUnits, angolul: System International of Units, jele: S (kiejtse: es-i)] kidolgozst s elfogadst (1960).

A Nemzetkzi Mrtkegysgrendszernek ht alapmennyisge, ill alapegysge van (1.1. tblzat).

Megjegyzsek:- Rgebben az alapmennyisgeken s az alapegysgeken, ill. a szrmaztatott mennyis

geken s a szrmaztatott egysgeken kvl megklnbztettek kt kiegszt mennyisget (skszget, trszoget) s kt kiegszt egysget (radiant, jele: rd; szteradint, jele: sr). Az

18 Bevezets l .

jabb nemzetkzi megllapodsok szerint ezek is szrmaztatott S-mennyisgek, ill. Sl-egysgek. A magyar mrsgyi rendelet ezt mg nem tkrzi.

- A radin a kr sugarval egyenl hosszsg korvhez tartoz kzpponti szg.- A szteradin a gmbsugr ngyzetvel egyenl terlet gmbfelletrszhez tartoz k

zpponti trszg.

Az S alapmennyisgei s alapegysgei 1.1. tblzat

Sorszm

Az alapmennyisg Az S-alapegysg

neve jele neve jele meghatrozsa

I. hosszsg l mter m A mter annak az tnak a hosszsga, amelyet a fny vkuumban 1/299 792 458- ad msodperc alatt tesz meg.

II. tmeg m kilogramm kg A kilogramm az 1889. vben Prizsban megtartott Els ltalnos Sly- s Mrtkgyi rtekezlet ltal a tmeg nemzetkzi etalonjnak elfogadott, a Nemzetkzi Sly- s Mrtkgyi Hivatalban, Svres-ben rzott platina-irdium henger tmege.

III. id t msodperc(szekundum)

s A msodperc az alapllapot czium-133- atom kt hiperfinom energiaszintje kztti tmenetnek megfelel sugrzs 9 192 631 770 peridusnak idtartama.

IV. elektromosramerssg

I amper A Az amper olyan lland elektromos ram erssge, amely kt prhuzamos, egyenes, vgtelen hosszsg, elhanyagolhatan kicsiny kr-keresztmetszet s vkuumban egymstl 1 mter tvolsgban lev vezetben ramolva, e kt vezet kztt mterenknt 2 10 7 newton ert hoz ltre.

V. termodinamikai

hmrsklet

T kelvin K A kelvin a vz hrmaspontja termodinamikai hmrskletnek 1/273,16-szorosa.

VI. anyag-mennyisg

n ml mol A ml annak a rendszernek az anyag- mennyisge, amely annyi elemi egysget tartalmaz, mint ahny atom van 0,012 kilogramm tiszta szn-12-ben.

VII. fnyerssg

h kandela cd A kandela az olyan fnyforrs fnyerssge adott irnyban, amely 540 10 hertz frekvencij monokromatikus fnyt bocst ki, s sugrerssge ebben az irnyban 1/683-ad watt per szteradin.


b) A prefixumok

Az S-egysgek a gyakorlatban sokszor tlsgosan nagyoknak vagy kicsinyeknek bizonyulnak. Ezrt az alapegysgeket 10-nek meghatrozott pozitv vagy negatv egsz kitevj hatvnyaival, az n. prefixumokkal (decimlis szorztnyezkkel) szorozzuk (1.2. tblzat).

S-egysgekhez alkalmazhat prefixumok 1.2. tblzat

aatto-10-18

ffemto-o-15

Ppiko-io-12

nnano-io-9

mikro-tr6

mmilli-io-3

ccenti-O2

ddeci-o-1

da h k M G T P Edeka- hekto- kilo- mega- giga- tera- peta- exa-

10' 102 103 106 109 1012 1015 1018

Megjegyzsek:- A 103n (n = 1, 2 ,..., 6) alak prefixumok korltozs nlkl hasznlhatk. Az ezek

kel kpezett egysgek az ajnlott prefixlt S-egysgek.- A prefixum nevt s jelt egyberjuk a mrtkegysg nevvel, ill. jelvel (pl. kilomter,

jele: km).- sszetett prefixumot nem szabad alkalmazni (pl. mjj.m helyett nm rand).- A hekt- prefixum S-egysggel kapcsolatban nem hasznlhat, de a liter (jele: 1 vagy

L) s a meteorolgiban (lgkrtanban) a pascal (jele: Pa) egysggel kapcsolatban igen (1 hl = 1021,1 hPa = 102 Pa). - A deka-prefixum csak a grammal kapcsolatban hasznlhat, a dekagramm jele dag, de dkg is lehet (1 dkg = 10 g ) .-A deci- prefixum csak a mterrel kapcsolatban hasznlhat (1 dm = 10' m). - A centi- prefixum csak a mterrel, a grammal s a gray2-jel kapcsolatban hasznlhat (1 cm = 102 m, 1 cg = 10-2 g, 1 cGy = 10~2 Gy). - A hekt, a deka, a deci s a centi prefixumokkal kpzett egysgek a megengedettprefixlt SI- egysgek. - A kilogramm alapegysg mr a nevben tartalmazza a kilo prefixumot, ezrt decimlis tbbszrseinek kpzsekor a prefixumot a gramm nevhez kell kapcsolni (pl. 15 Mg = 15 106 g = 15 103 kg = 15 t).

-T ilo s prefixumokat kapcsolni a fokhoz, az vperchez, az vmsodperchez, a perchez, az rhoz, a naphoz, a hthez, a hnaphoz, az vhez, a Celsius-fokhoz, a kelvinhez s a hektrhoz.

- A szmtsoknl ajnlatos olyan prefixumot vlasztani, hogy a szmrtk (mrszm)0,1 s 1000 kztt legyen (pl. 15 000 m helyett 15 km, 0,003 m helyett 3 mm).

- Az egysgek nevt s jelt ltalban kisbetvel juk (pl. mter, jele: m). A szemlynevekbl szrmaz egysgek nevt kisbetvel, de jelt nagy kezdbetvel kell rni (pl. volt, jele: V).

2 A gray [grj] az elnyelt sugrdzis S-egysge (165. ).

20 Bevezets l.

4. A trvnyes mrtkegysgek

Magyarorszgon a trvnyes mrtkegysgek a kvetkezk:

a) Az S-egysgek

b) A pr efixlt S-egysgek

c) Az Sl-n kvli, korltozs nlkl hasznlhat mrtkegysgek

- Trfogat-mrtkegysg a liter, jele: 1 vagy L, 11 = 1 dm3 = 103 m3.- Skszgmrtkegysgek a fok, jele: ; az vperc, j e l e : a z vmsodperc, jele:- Tmegmrtkegysg a tonna, jele: t, 1 t = 103 kg.-Idmrtkegysgek a perc, jele: min, 1 min = 60 s; az ra (hra), jele: h,

1 h = 60 min = 3600 s; a nap (den), jele: d, 1 d = 24 h = 86 400 s; a hnap; az v (annus), jele:a, 1 a = 365,24 d.

- Sebessg-mrtkegysg a kilomter per ra, jele: km/h, 1 km /h = m/s.3,6

-M u n ka - (energia-) mrtkegysg a watt ra, jele: W h, 1 W h = 3600 J.- Hmrsklet-mrtkegysg a Celsius-fok [celziusz-fok], jele: C.

d) Az Sl-n kvli, kizrlag meghatrozott szakterleten hasznlhat mrtkegysgek

- Terlet-mrtkegysg a hektr, jele: ha, 1 ha = 104 m2. Csak fldterlet meghatrozsra hasznlhat mrtkegysg.

- Nyomsmrtkegysg a bar, jele: bar, 1 bar = 105 Pa. Csak folyadkok s gzok nyomsnak meghatrozsra hasznlhat mrtkegysg.

- Energia-mrtkegysg az elektronvolt, jele: eV, 1 eV = 1,6 1019 J (69. 6.). Csak az atomhj-, az atommag- s a rszecskefizikban alkalmazhat.

5. A dimenzi

A dimenzi olyan m atematikai kifejezs, amely megmutatja, hogy valamely fizikai mennyisg - a mrtkegysgtl fggetlenl - milyen kapcsolatban van az alapmennyisgekkel.

Nemzetkzi ajnls szerint az Sl-alapmennyisgek dimenziinak jelei az albbiak:

hosszsg: Ltmeg: Mid: Telektromos ramerssg: Itermodinamikai hmrsklet: fnyerssg: Janyagmennyisg: N


Ennek megfelelen pl. a sebessg dimenzija a hosszsg dimenzijnak (L) s az id dimenzijnak (T) a hnyadosa, vagyis L /T .

A Nemzetkzi Mrtkegysgrendszer alkalmazsa elvileg feleslegess teszi a dimenzi hasznlatt, mert az S-egysg a dimenzival egyenrtk informcit ad a mennyisgrl. Ugyanis minden alapdimenzinak megfelel egy alapegysg, a dimenziazonossg pedig ugyanazt fejezi ki, mint a mrtkegysgek egyenlsge. Ez az oka annak, hogy az Olvas knyvnknek csak a mechanika rszben tallkozik a dimenzi-fogalommal.

I. rsz

KLASSZIKUS MECHANIKA

irta: R. TASNDI PTER, SKRAPITS LAJOS, DR. BRCES GYRGY

A mechanika a fizika tudomnynak az anyagi testek mozgsval foglalkoz fejezete. Feladata a mozgsok trvnyeinek s a nyugalom feltteleinek megllaptsa. A mechanikn bell a GALILEI s NEWTON nevvel fmjelzett klasszikus mechanika a viszonylag kis sebessg mozgsokkal, a relativisztikus mechanika pedig a nagy sebessg mozgsokkal foglalkozik (129. - 132. ).

A kvetkezkben a klasszikus mechanikt az albbi feloszts szerint trgyaljuk:

I. A) Az anyagi pont mechanikja1. A z anyagi pont kinematikja2. A z anyagi pont dinamikja

I. B) A pontrendszerek mechanikja1. A pontrendszer mozgsra vonatkoz ttelek2. Specilis pontrendszerek mozgsa

1. C) A merev test mechanikja1. ltalnos lers2. Merev test specilis mozgsa

I. D) A deformlhat testek mechanikja1. Rugalmas alakvltozsok2. Nyugv folyadkok s gzok mechanikja3. Folyadkok s gzok ramlsa4. A hullmmozgs

I. A) AZ ANYAGI PONT MECHANIKJA

A testek mozgst vizsglva a test mretei gyakran elhanyagolhatak az elmozdulsokhoz kpest. Ilyenkor a test egyetlen ponttal helyettesthet. A kvetkezkben az ilyen pontszer testek mozgsval foglalkozunk.

A mechaniknak az az ga, amely a mozgsokat keletkezskre val tekintet nlkl rja le, a kinematika. A dinamika viszont azokat az okokat vizsglja, amelyek ltrehozzk a mozgsokat s a testek mozgsllapot-vltozst.

I. A) 1. AZ ANYAGI PONT KINEMATIKJA

2. A mozgsok lersa, vonatkoztatsi rendszer

A mozgs az em ber egyik legsibb tapasztalata. Mozgs kzben a testek egymshoz viszonytott helye, helyzete vltozik. Ahhoz, hogy egy test mozgst lerhassuk, clszer kivlasztani egy msik testet - vonatkoztatsi rendszert - , amelyhez viszonytva megadjuk a szban forg test hely-, illetve helyzetvltozst. Vonatkoztatsi rendszer lehet pldul a tanterem, amelyhez viszonytva lerjuk a ksrletekben felhasznlt testek mozgst. Hasonlan vonatkoztatsi rendszer lehet a Fld, amikor a Hold vagy a mestersges holdak mozgst tanulmnyozzuk, illetve a Nap, a bolygk mozgsnak lersakor.

Az anyagi pont mozgst a vonatkoztatsi rendszerhez rgztett koordinta-rendszerben ijuk le (2.1. bra).

A koordinta-rendszer kezdpontjbl (origjbl) az anyagi ponthoz hzott irnytott szakaszt, r-t helyvektornak nevezzk. A helyvektor a mozgs sorn vltozik, azaz r az id fggvnye, amit rviden gy jellnk: r (t).

Azt a grbt, amelyet az anyagi pont mozgsa sorn ler, a mozgs plyjnak nevezzkn n

(AB). A plya egsznek vagy egy rsznek hossza az t s(= CD). A plya kezd- s vg

2. A mozgsok lersa, vonatkoztatsi rendszer 25

pontjt sszekt irnytott szakasz az elmoz

duls (CD = r 2 - r , = Ar), vagyis a helyvektor megvltozsa, mikzben az anyagi pont C-bl D-be jutott. Az brrl is leolvashat, hogy a megtett t hossza s az elmozduls nagysga ltalban nem egyenl, vagyis hogy s * |Ar|.

A plya alakja ltalban fgg a vonatkoztatsi rendszertl. Pldul a leejtett test a tanteremhez viszonytva fggleges egyenest, a mgtte mozgatott fggleges paprlaphoz, mint vonatkoztatsi rendszerhez viszonytva pedig grbt r le (2.2. bra).

A test mozgsnak lersa azt jelenti, hogy megadjuk a helyvektor nagysgt s irnyt minden idpillanatban, vagy ami ezzel egyenrtk, a helyvektor koordintinak x(f),y(t),z(t) rtkt, minden pillanatban.

A mozgsok kinematikai lersa sorn arra a krdsre keresnk vlaszt, hogyan mozognak a testek, hogyan fgg a megtett t, elmozduls, helyvektor az idtl. Ekzben j fizikai fogalmakat is bevezetnk (sebessg, gyorsuls), hogy a mozgs rszleteirl tovbbi informcikat szerezznk. Elszr a legegyszerbb plyn, az egyenes vonalon trtn mozgsokat vizsgljuk.

2.1. bra

a) b)

2.2. bra

26 I. Klasszikus mechanika 3-

3. Egyenes vonal mozgsok

1. Egyenes vonal egyenletes mozgs

A szlltszalagon fekv tgla, a mozglpcsn ll utas, az egyenes, nylt plyn halad vonat, a derlt gen egyenes kondenzcskot hz replgp a Fldhz kpest - szemmel lthatan - egyenes vonal mozgst vgez. H a valamilyen id- s hosszsgmr eszkzzel megmrjk a fent emltett testek ltal az egyenl idkzk alatt megtett utat, arra az eredmnyre jutunk, hogy mindegyik esetben a megtett t s a kzben eltelt id hnyadosa az

As, As, As.egyes mozgsokra jellemz lland: -

At At AtAkrmilyen idtartam ot is vlasztunk, a mozgs sorn megtett t s a kzben eltelt id

As segymssal egyenesen arnyos: As ~ A/, illetve s ~ t, vagy = - = lland.

At tA z ilyen tpus mozgsokat egyenletes mozgsoknak nevezzk. Az t s az id hnyado

saknt kapott lland annak a mrtke, hogy milyen gyorsan mozog a test. Ezrt ezt az llandt j fogalomknt vezetjk be, s a test sebessgnek nevezzk:

As = V illetve s = VA t

(3.1,2)

Ez utbbibl

s = vt. (3.3)

[ = t, a spatium (latin sz) kezdbetjbl s hasonlan t = id (tempus), v = sebessg (velocitas).]

A sebessg szrmaztatott fizikai mennyisg, s megmutatja az egysgnyi id alatt megtett utat; - dimenzija a hosszsg dimenzijnak (L) s az id dimenzijnak (T) a hnyadosa, vagyis ITT; - S-egysge a m ter per msodperc, jele: m/s. Meghatrozsa: 1 m/s annak az anyagi pontnak a sebessge, amely 1 s alatt 1 m utat tesz meg. Ajnlott prefixlt SI- egysge: km/s. M egengedett prefixlt S-egysge: cm/s. Trvnyes, nem S-egysge a km/h.

Ha az egyenes vonal egyenletes mozgs t-id trvnyt brzoljuk az (s, t) koordinta-rendszerben, az orign tmen, valamilyen (tg a * 0 ) meredeksg egyenest kapunk, a (v, f) rendszerben pedig az idtengellyel prhuzamos egyenest (3. l/a , b. bra).

A mozgs geometriai brzolsbl szemlletesen addik a sebessg nagysga mint az egyenes meredeksge, valamint a megtett t szmrtke mint a sebessg-id grafikon alatti terlet nagysga (a megfelel mrtkegysgekben mrve).

Egyenes vonal egyenletes mozgst vgez pldul a ferdre lltott, vzzel tlttt vegcsben (Mikola-csben) mozg bubork, vagy az egyenletesen forg motorral hajtott vgtelentett fggleges szlltszalag (vertiklis kinematogrf). A fggleges szlltszalag a mozgsok vizsglatban gyakran hasznlhat, ezrt rdemes az eszkz felptsvel rszletesebben is megismerkedni. Az eszkz lelke a kt csapgyazott, fggleges hengerre felfe-

3. Egyenes vonal mozgsok 27

3.1 bra

sztett paprszalag, amely motormeghajtssal egyenletesen mozgathat (3.2. bra). Mivel a szalag tetszleges pontja (lsd a nyilat) az idvel egyenesen arnyos utat tesz meg, s ~ t, ezrt a mozg szalagot idmrknt - raknt - hasznlhatjuk. A szalag eltt fgglegesen mozg, lyukas testbe illeszked, szelepgumis injekcis fecskendbl sznes folyadkot fecskendeznk a szlltszalagra. Ily mdon a test sajt maga rajzolja fel mozgsnak kitrs-id grafikonjt. Ezt a ksrleti grbt kirtkelve meghatrozhatjuk az t-id sszefggst. A mozgst ler fggvnybl pedig matematikai mveletek segtsgvel tovbbi, a mozgst jellemz mennyisgeket kaphatunk.

3.2. bra


2. Egyenes vonal egyenletesen vltoz mozgs

Lejtn grdl goly, szabadon es test, indul jrm a mozgs kezdettl szmtva- szemmel lthatan - egyre gyorsabban mozog. Ha az elz pontban ismertetett szlltszalag eltt, csign tvetett fonal segtsgvel, ellensllyal felhzzuk a fecskendvel elltott testet, akkor az idmr szalagra a test a 3.3. brn lthat t-id grbt rajzolja le. A grafikon kirtkelsbl kiderl, hogy a test ltal megtett t a mozgs kezdettl szmtott id ngyzetvel arnyos, vagyis

s ~ t 2 , illetve s = k t2 , (3.4,5)t

3.3. bra ahol k a mozgsra jellemz lland.

Tovbbi mrsekkel meggyzdhetnk arrl, hogy a bevezet pldkban emltett esetekben is ilyen tpus - a ngyzetes ttrvny szerint lefoly - mozgsokrl van sz.

Termszetesen merl fel a krds, hogy mekkora az gy mozg test sebessge, illetve hogy mit rtsnk a nem egyenletesen mozg test sebessgn?

Az egyenletesen mozg test esetn definilt sebessg most nyilvnvalan ms s ms rtket szolgltat attl fggen, hogy a v = s/t tlagsebessgknt bevezetett sebessget mekkora idtartam ra szmtjuk; eszerint

- s k t2 ,v = = -----= k t , (3-6)t t

vagyis v az idvel egyenesen arnyos. [Az tlagrtket a fizikai mennyisg (pl. sebessg) jele fl hzott vzszintes vonallal jelljk.] Ez a sebessg azonban nem ad felvilgostst a mozgs rszleteirl; arrl, hogy adott helyen (idpillanatban) milyen gyorsan mozog a test. Ezrt clszer az tlagsebessget rvid tszakaszra, illetve rvid idtartam ra kiszmtani.

Szmtsuk ki teht az tlagsebessg rtkt arra a As tra, amelyet a test At id alatt tett meg. A (3.5) figyelembevtelvel

= a , = sQ + * ) -(>) = * (. t ) 1 - . = 2kl t ^At At A

vagyis az tlagsebessg fgg attl, hogy mennyi id telt el a mozgs kezdettl a sebessg- mrs kezdetig (t), s mennyi ideig m rtnk (At). A (3.7)-bl lthat, hogy v annl pontosabban jellemzi a t idhz tartoz pillanatnyi sebessg-llapotot, minl kisebbre vlasztjuk a At mrsi idt.

A most alkalmazott eljrst a konkrt mozgstl fggetlenl definciknt hasznljuk. A t idpillanatbeli v pillanatnyi sebessget a v tlagsebessgek sorozatnak hatrrtkeknt definiljuk, amikor a At idtartam tart a nullhoz (A/ >0).


Matematikai formban a v pillanatnyi sebessg:

.. As di . v = hm = = s*

30 I. Klasszikus mechanika 3.

Tegyk fel, hogy a test v0 sebessgnl kezdett el gyorsulni, s t id alatt s utat tett meg. Hogyan fgg s a r-tl (3.4. bra)?

-so-Ol-

----- 0------- vo

3.4. bra

Induljon a test egyenletesen gyorsulva s gy 0 id alatt s 0 t megttele utn v0 = at0 sebessgre tesz szert, majd ugyangy gyorsulva t id a la tti utat tesz meg. Eszerint a zs0 utat s a z 0 + utat is kezdsebessg nlkl tette meg, ezrt

a)

3.5. bra


s o ~ 2 t(l e 's s * s ~~ 2 (3.19,20)

A kt egyenlet klnbsge

(3.21)

Mivel a felttel szerint atn = vn, ezrt

2s = v0 + t v = v0 +at a = lland (3.22-24)

Amikor a test v kezdsebessgrl nem gyorsul, hanem lassul, akkor a (3.22,23)-ban az tra s a sebessgre vonatkoz formulkban a gyorsulst tartalmaz tag eljele negatv.

Azokat az egyenes vonal mozgsokat, amelyeket a (3.22-24) sszefggsek rnak le, egyenes vonal egyenletesen vltoz mozgsoknak nevezzk.

Ha a (3.16-18) alatti sszefggseket az id fggvnyben brzoljuk (3.5. bra), akkor a 3.5/a. brrl leolvashat az tlagsebessg rtke, ami nem ms, mint a grbe P s Q pontjhoz tartoz szel irnytangense (tg a '). A pillanatnyi sebessg rtke pedig egyenl az t- id grafikon t idpontbeli rintjnek irnytangensvel (tg a). A 3.5/b. brn a sebessgid grafikon alatti terlet szmrtke a r id alatt megtett ttal egyenl, s hasonlan a 3.5/c. brn a gyorsuls-id grbe alatti terletbl a t id alatt elrt pillanatnyi sebessget kapjuk.

A3.6/a,b. bra alapjn pedig kiszmthatjuk az egyenletesen gyorsul, illetve az egyenletesen lassul test adott t id alatt megtett tjt.

a) b)

3.6. bra


3. Szabadess, nehzsgi gyorsuls

A testek essnek jelensgt Galileo GALILEI (olasz fizikus, matematikus s csillagsz, 1564-1642) tanulmnyozta Megllaptotta, hogy a vH =0 kezdsebessg, szabadon es test is egyenletesen gyorsulva mozog. Errl ksrletileg pldul gy gyzdhetnk meg, hogy az elz pontokban megismert fggleges szlltszalaggal felvesszk a szabadon es test t-id grafikonjt, s meggyzdnk arrl, hogy a fggvny kpe parabola. Ugyancsak ezt igazolja az ejtzsinros ksrlet (3.7. bra). Mintegy 2 m hossz zsinr egyik vgre, majd innen szmtva 10,40,90,160 cm-re csavaranykat ktnk. A zsinrt fgglegesen tartva elengedjk gy, hogy a legals csavar a fldn legyen. Jl hallhat, hogy az egyms utni becsapdsok egyenl idkznknt kvetik egymst, azaz hogy az 1 ,2 ,3 ,4 egysgnyi id alatt a testek 1,4,9,16 egysgnyi utat tettek meg.

Kiszivattyzott zrt vegcsben a fagoly, a tollpihe s ms testek, az anyagi minsgtl fggetlenl egyenl id alatt esnek le. Ez, s az ehhez hasonl ksrletek eredmnye alapjn megllapthatjuk, hogy minden szabadon es (mozgsban nem akadlyozott)

test gyorsulsa egyenl. Ezt a kitntetett gyorsulst nehzsgi gyorsulsnak nevezzk s g- vel jelljk. A nehzsgi gyorsuls rtke Magyarorszgon g ~ 9,81 m /s2. Az szaki-sarkon gwo = 9,83 m /s2, az egyenltn g() = 9,78 m /s2, a 45-os szlessgi krn cs tengerszinten az n. norml nehzsgi gyorsuls g45 = 9,806 65 m /s2.

Ezek utn a szabadon es test utjat, sebessgt az albbi kpletekkel adhatjuk meg:

1 160 cm

1 90 cm

1 40 cm

11 10 cm

/ / / / / / / * ' / / / / / / / /

3.7. bra

* r 2, l ' = g t, S = ~ - > V = y 2 ~gS, 2 g

ha v =0. (3.26-29)

A fgglegesen lefel, illetve felfel hajtott test altal megtett t s sebessg pedig

2s v = v g t , (3.30,31)

ahol a pozitv eljel lefel, a negatv felfel hajts esetn rvnyesA nehzsgi gyorsulst legegyszerbben gy hatrozhatjuk meg, hogy megmrjk a sza

badon es test tjt s essi idejt.

4. Harmonikus rezgmozgs. Prhuzamos rezgsek sszettele 33

4. Harmonikus rezgmozgs. Prhuzamos rezgsek sszettele

1. Harmonikus rezgmozgs

A rugra akasztott testet fggleges irnyban trtsk ki nyugalmi helyzetbl s hagyjuk magra. A test rezeg, kt szls helyzet kztt periodikusan ismtld mozgst vgez. Ha a fggleges szlltszalagra lerajzoltatjuk a test kitrs-id grbjt, a grafikon harmonikus fggvny kpe lesz (4.1. bra). Az egy teljes rezgs megttelhez szksges T idt rezgsidnek vagy peridusidnek, a m axim list kitrst pedig amplitdnak nevezzk.

Ha az idt attl a pillanattl kezdjk szmtani, amikor a test nyugalmi helyzetbl a vlasztott pozitv irnyban halad t, vagyis t = 0-nl x = 0, majd pozitv, akkor a pillanatnyi kitrst az

. . 271 x = A sin t T

(4.1)

sszefggs rja le. Az ilyen mozgst harmonikus rezgmozgsnak nevezzk.Ha a t = 0 idpillanatban a rezgmozgst vgz anyagi pont kitrse nem nulla, akkor a

kitrs:

y4sin 271-t+


A (4.3-5) alatti frekvencia megmutatja az egysgnyi id alatti rezgsek szmt; - S-egysge a hertz [here], jele: Hz, kifejezse: 1 Hz = l/s. A frekvencia egysgt Heinrich HERTZ (1857-1894) nmet fizikusrl neveztk el.

Mekkora a rezg test sebessge? A pillanatnyi sebessg (3.8) alatti defincija alapjn

v = = ^[/lsin((U/ +t+ (p). (4-6)

A gyorsuls (3.14) alatti defincija alapjn

a = ^ = ^[y4wcos(


2. Egyirny, azonos frekvencij harmonikus rezgsek sszettele

Arra a krdsre keressk a vlaszt, hogy milyen ered mozgst eredmnyez kt azonos frekvencij prhuzamos rezgs sszettele (szuperpozcija).

A ksrlet sszelltsa a 4.3. brn lthat.Kt egyforma rugn fgg, ugyanolyan test, kln- kln egyenl frekvencival rezeg. Egyttes mozgsuk eredmnyt a hozzjuk mozgcsigval csatlakoz kis test rja le a fggleges szlltszalagra.

Tekintsnk kt azonos frekvencij, klnbz amplitdj s eltr kezdfzis rezgst, amelyeknek kitrse:

Xj = A, sin()t + (pj), x 2 = A.l sin ^wr + +


Az ered rezgs kezdfzisnak tangense a (4.15,16) egyenletek hnyadosa:

,g ^ = 4, sin


. a>, -


5. A sebessg s a gyorsuls ltalnos fogalma

Az egyenes vonal mozgsok lersakor a sebessg nagysgnak ismerete elgsges volt a mozgs gyorsasgnak jellemzsre. Az elmozduls irnya a plya egyenesbe esik, s ha megllapodunk az irny eljelben, a test mozgsllapott egyrtelmen lerhatjuk.

Amikor a test grbe vonal plyn mozog, mozgsirnya pillanatonknt vltozik. Emiatt az egyenes vonal mozgsra bevezetett sebessgfogalom ltalnostsra szorul; ugyanis a sebessg nagysgn kvl meg kell adnunk a sebessg irnyt is.

A 2. -ban bevezettk a helyzetvektor fogalmt. A test At id alatti elmozdulsa egyenl ennek a vektornak a megvltozsval (5.1. bra):

A r = r ( + A / ) - r ( f ) . (5.1)

Vezessk be az tlagsebessg-vektort mint az elmozduls s a kzben eltelt id hnyadost,

Az tlagsebessg nagysga s irnya is fgg a mrs idtartamtl: nagysga egyenesen arnyos a grbe kt pontjt sszekt elmozduls (hr) hosszval, irnya pedig megegyezik az elmozdulsval.

Amint a mrs idtartam t cskkentjk, a hr hossza egyre kevsb klnbzik a hozz tartoz grbe hossztl, s az tlagsebessg-vektor irnya egyre jobban megkzelti a grbe adott P pontjban hzott rint irnyt (5.1. bra).

Ezek alapjn a t idpillanathoz tartoz (P pontbeli) pillanatnyi sebessget gy definiljuk, mint az (5.2) alatti tlagsebessgek sorozatnak hatrrtkt, amikor a At mrsi idtartam nullhoz tart.

1. A sebessg mint vektor

O

5.1. bra

Kplettel:

.. Ar dr v = lim = = rA,~* Al d/

(5.3-5)

A sebessg a helyzetvektor id szerinti derivltja, amit matematikai alakban az (5.3-5) alatti kifejezsek jellnek. A fentebb mondottakbl kvetkezik, hogy a sebessg nagysga

5. A sebessg s a gyorsuls ltalnos fogalma 39

|v| =dr i

(SA-9)

vagyis szmrtke egyenl az egysgnyi id alatt megtett ttal, irnya pedig a plya rintjnek egyenesbe esik.

2. A gyorsulsvektor

A sebessgvltozs gyorsasgt a gyorsuls fogalmval adjuk meg. E clbl vegynk fel egy pontban kt, idben kzeli sebessget (5.2. bra).

A sebessg At id alatti megvltozsa

Av = v(f + A /)-v (f),

az tlaggyorsuls pedig

_ Av a - . At

(5.10)

(5.11)

v(+A)

5.2. braAz tlaggyorsuls nagysga s irnya is fgg a mrs At idtartamtl. Lthat, hogy

mozgs kzben ltalban vltozik a sebessg nagysga s irnya is. Az brn feltntettk a sebessg irnyvltozsbl, valamint nagysgnak megvltozsbl szrmaz Av, s Av2 sebessgvltozsokat.

Ezek utn a pillanatnyi gyorsulst gy definiljuk (rtelmezzk), mint az tlaggyorsulsok sorozatnak hatrrtkt, midn a mrs idtartama nullhoz tart.

Matematikai alakban:

Av dva = hm = = v = r A,-* A/ d/

(5.12-15)

A gyorsuls a sebessg id szerinti derivltja, illetve a helyvektor id szerinti msodik derivltja.

Vegyk szre, hogy a sebessg irnyvltozsa miatti gyorsuls merleges a sebessgre (Av, a A /^ 0 h a t re se tb e n merleges lesz a t idhz tartoz sebessgre), a sebessg nagysgnak megvltozsbl szrmaz gyorsuls pedig rintirny (5.3. bra). Az brrl leolvashat, hogy az ered gyorsuls irnya a mozgs plyjnak homor oldala fel mutat. Az at rintirny gyorsulst tangencilis gyorsulsnak, az erre (illetve a sebessgre) merleges a gyorsulst pedig normlis gyorsulsnak nevezzk.

40 I Klasszikus mechanika 6.

6. Grbe vonal mozgsok

1. Vzszintes hajts

a a6.1. bra

A 6.1. brn lthat szerkezettel (Lwy- fle ejtgp) egyidejleg kt golyt indtunk. Az egyik goly kezdsebessg nlkl fgglegesen, szabadon esik, a msik v0 vzszintes irny kezdsebessggel grbe vonal plyn mozog. Azt tapasztaljuk, hogy a kt goly egyszerre r fldet, attl fggetlenl, hogy milyen magasrl indtottuk ket. Megllapthatjuk, hogy az elhajtott test ugyangy szabadon esik lefel, mint a fggleges mentn mozg, mikzben vzszintes irnyban vu lland sebessggel tvolodik a kilvs helytl. Azt mondjuk, hogy a kt mozgs fggetlen egymstl, egyik sem zavarja a msikat (mozgsok fggetlensgnek elve).

A 6.2. brn lthat kilv szerkezettel vzszintesen elhajtunk egy testet, amely a hozz csatlakoz gumifecskend mkdtetse kzben a mgtte lev tblra lerajzolja sajt mozgsplyjt. Illessznk a grbhez derkszg (x,y) koordinta-rendszert!

, a)

r V -------M M kK

- h mVYVVl

( L )

1 1

k

e)

] c)

b)

a) kilvrugb) testc) vezetsn

d) kiold szerkezete) csukls rgztf) folyadkos gumics

a) b)

6.2. bra

6. Grbe vonal mozgsok 41

Az elhajtott test elmozdulsnak x, illetve y irny skalrkomponenseire a kvetkez sszefggseket kapjuk:

x = v 0t, y =^ f2- (6 1 >2)

A megfelel sebessgkomponensekre

v * = vo> v,=&, ( 6 -3 >4 )a gyorsulskomponensekre pedig

* = 0. a y = g (6.5,6)

addik.Ha a (6.1) egyenletbl kifejezzk az idt s a (6.2)-be helyettestjk, megkapjuk a test*

s y helykoordinti kztti sszefggst, az n. plyaegyenletet:

y = (6.7)2v0

Lthat, hogy a mozg test plyja parabola. A mozgsok fggetlensge elvnek felhasznlsval a grbe vonal mozgst kt egyenes vonal mozgsra vezettk vissza.

2. Ferde hajts

A 6.2. brn bem utatott szerkezettel ljk ki a testet v0 kezdsebessggel felfel, a vzszinteshez mrt a szgben, mikzben a fecskendbl a szelepgumin t kiraml sznes folyadk az ll httrre lerajzolja a mozgs plyjt (6.3. bra).

A plyagrbhez illesztett derkszg koordinta-rendszerben az x, illetve y irny elmozdulsok skalrkomponenseit a kvetkez egyenletek rjk le:

x = v0 cosa t, y = v0 sina (6.8,9)


A megfelel irny sebessgkomponensek:

v, = Vq cosa, Vy = v0 s i n a - g f ,

a gyorsulskomponensek pedig

a y = ~ g -

(6.10,11)

(6.12,13)

Ebben a lersban a ferde hajtst kt egymsra merleges, egyenes vonal mozgsra bontottuk fel, nevezetesen a vzszintes irny egyenletes s a fggleges irny egyenletesen vltoz mozgsra.

H a a (6.8) egyenletbl kifejezzk az idt s behelyettestjk a (6.9)-be, megkapjuk a hajts plyaegyenlett:

A plyagrbe parabola. Ha a kzegellenlls hatst is figyelembe vesszk, az gynevezett ballisztikus grbt kapjuk, amelynek a jobb oldali, leszll ga meredekebb, mint a parabol.

3. Krmozgs

a) Egyenletes krmozgs

A 6.4. brn M motorral meghajtott, tengelyezett karhoz rgztett, csapos veg lthat, amely sznes folyadkot tartalmaz. Ha a csepegst megfelelen lltjuk be, az ll korongon egyenl venknt - s egyben egyenl kzpponti szgenknt - kvetik egymst a sznes fo- lyadkcseppek, mikzben az veg egyenletesen forog.

y = x t g a - (6-14)

a)

6.4. bra

b)

6. Grbe vonal mozgsok 43

A mozgs nyomkpbl leolvashat, hogy egyenl idtartamok alatt a krmozgst vgz test egyenl veket s kzpponti szgeket fut be, brmekkork is az idtartamok:

= lland = v , At

= lland = co .Al

(6.15)

(6.16)

A kt sszefggssel definiljuk a v-vel jellt kerleti sebessget, illetve az co szgsebessget. Mivel a mrs idtartama tetszleges lehet, vlaszthatjuk a T teljes peridusidt, amelyhez 2 m hosszsg krv s 2n nagysg kzpponti szg tartozik. Ezrt

2 m

valamint

2n = (

(6.17)

(6.18)

A szgsebessg S-egysge a radin per msodperc, jele: rad/s, kifejezse: 1 rad/s = l/s. E kt utbbi egyenletbl a kerleti sebessg s a szgsebessg kapcsolatra a

v= rco (6.19)

sszefggst kapjuk.Az egyenletes krmozgs jellemzsre bevezettk a fordulatszm fogalmt is, jele n. For

dulatszmon rtjk a fordulatok N szmnak s az eltelt t idnek a hnyadost: n = N/f. Mivel N = 1 fordulathoz t = T peridusid tartozik, ezrt a fordulatszm:

= N _ n t T

(6.20)

S-egysge: l/s.A fordulatszm felhasznlsval a peridusidt tartalmaz fenti sszefgg

sek knnyen trhatk.A krmozgs teljes kinematikai lershoz meg kell hatroznunk a test gyor

sulst is. Br a test sebessgnek nagysga lland, irnya pillanatonknt vltozik, teht a test gyorsul. A 6.5. brn egy pontbl mrtnk fel kt, idben kzeli sebessget. A sebessg megvltozsnak nagysga (a hr hossza):

|Av| = v -A(p, (6.21) 6.5. bra


vagyis kzeltleg egyenl a v sugrral rajzolt v hosszval. Hatresetben, amikor a mrs|A v |

idtartama At > 0, az tlaggyorsuls a = - - > a-hoz, vagyis tart a pillanatnyi gyorsulshoz:At

v-A m v 2----- = v c = = rco

At r(6.22-25)

A gyorsuls irnya merleges a sebessgre s a kr kzppontja fel mutat, ezrt centri- petlis gyorsulsnak nevezzk:

cp = - rco VC (6.26-28)

b) Egyenletesen vltoz krmozgs

Ha a 6.4. brn lthat csapos veget motor helyett csign tvetett, fonlon fgg s lefel gyorsul test forgatja, akkor az vegbl egyenl idkznknt lehull cseppek a 6.6. brn lthat nyomkpet adjk. A pontsorozat kirtkelse alapjn kiderl, hogy a test ltal befutott vek s kzpponti szgek az eltelt id ngyzetvel arnyosak, vagyis

s ~ t 2 s ( p ~ t2 , (6.29,30)

illetve ms alakban

6.6. bra s = k t2 s (p - K t2, (6.31,32)

ahol k, illetve K lland. A (6.31) egyenlettel az egyenes vonal egyenletesen vltoz mozgs trgyalsakor mr tallkoztunk. Teljesen hasonl gondolatmenettel a kvetkez sszefggseket kapjuk erre az esetre is:

s = ^ - t 2 , v = a tt, , = lland, (6.33-35)

ahol s a t id alatt befutott v hossza, v a krmozgst vgz test pillanatnyi kerleti sebessge, , pedig a test rintleges (tangencilis, kerleti) gyorsulsa (a sebessg nagysgnak vltozsa miatti gyorsuls). Hasonlan a (6.32) kpletbl

q> = ^ t 2, a> = pt, p = lland, (6.36-38)

ahol a pillanatnyi szgsebessg, P pedig a

Merleges rezgsek sszettele 45

P = = = lland (6.39,40)At t

egyenlettel bevezetett szggyorsuls. A szggyorsuls S-egysge a radin per msodperc a ngyzeten, jele: rad/s2, kifejezse: 1 rad/s2 = l/s2.

Figyelembe vve a krv s a kzpponti szg kztti kapcsolatot, azaz hogy

s = r(p, (6.41)

a kerleti gyorsuls s a szggyorsuls kztti sszefggs:

, = rfi, (6.42)

ahol r a krplya sugara.Ha a kezdeti sebessg v0 * 0 s vele egytt a kezdeti szgsebessg < t = lland

P 2


s / y /

- f -

Figyelembe vve, hogy az egyenletes krmozgs miatt (p = at, valamint hogy a vetlet maximlis rtke A = r, a (7.1) az albbi alakot lti:

x = A sin tot (7.2)

ahol c a krmozgs szgsebessge, illetve a rezgmozgs k r f r e k v e n c i j a . (Harmonikus rezgmozgs esetn ugyanis a szgsebessg elnevezsnek nincs rtelme.)

A krmozgs vkr = rco kerleti sebessgbl knnyen szrmaztathat a rezgmozgs sebessge. A 7.3. bra jellseivel, valamint figyelembe vve, hogy q> = oyt s r= A,

v = Aco cos tat (7.3)

ahoMc a maximlis sebessg ( s e b e s s g a m p l i t d ) .

7.3. bra 7.4. bra

7. Merleges rezgsek sszettele 47

Hasonlan, a rezgmozgs gyorsulsa (7.4. bra):

a = -A co 2 s incot

ahol Aco2 a maximlis gyorsuls (gyorsulsamplitd), a (7.2) alapjn pedig

a = - c x

(7.4)

(7.5)

addik. (A negatv eljel azt jelzi, hogy a gyorsuls ellenttes irny a kitrssel.)A rezgmozgs x kitrsnek, v sebessgnek s a gyorsulsnak t idbeli vltozst a

4.2. bra mutatja.

2. Merleges rezgsek sszettele

a) Termszetesnek tnik a krds, ltalban milyen mozgs jn ltre akkor, ha kt egymsra merleges, egyenl krfrekvencij rezgst adunk ssze?

A kt egymsra merleges rezgst ler fggvny:

x = A x sin(


ges grbt tntettnk fl. Ezeket Jules LISSAJOUS [liszazsu] (francia fizikus, 1822-1880) tiszteletre Lissajous-grbknek nevezzk (7.6. bra).

7.6. bra

I. A) 2. AZ ANYAGI PONT DINAMIKJA

8. Newton-trvnyek

1. A tehetetlensg trvnye

a) Newton /. trvnye

A vzszintes asztallapon ellktt s magra hagyott test hamarosan megll. A lgprns snen mozg kocsi azonban gyakorlatilag egyenletes sebessggel halad a snen. Ha a kocsit s a sn vgt is rugs tkzkkel ltjuk el, akkor a kocsi a sn vgre rve rugalmasan tkzik, s visszapattanva gyakorlatilag vltozatlan sebessggel folytatja tjt. Mozgsa nem vltozik, jl belltott sn esetn percekig is eltarthat.

A testek mozgst (mozgsllapott) kinematikailag a sebessg nagysga s irnya jellemzi. A ksrleti tapasztalatok arra utalnak, hogy a nyugv testek mozgsba hozshoz, ill. a mozg testek mozgsllapotnak megvltoztatshoz ms testekkel val klcsnhats szksges. Klcsnhats nlkl a testek tehetetlenl folytatjk mozgsukat. Laboratriumi krlmnyek kztt a testek sohasem kerlnek tkletesen klcsnhatsmentes helyzetbe, gy a ksrleti tapasztalatokbl csak extrapollhatunk a klcsnhatsmentes llapotra. Ezt az extrapolcit GALILEI nyomn Isaac NEWTON [nyutn] (angol fizikus, 1642-1727) tette meg, kimondva a tehetetlensg trvnyt, a rla elnevezett I. trvnyt:

Minden test mindaddig megtartja nyugalmi llapott, vagy egyenes vonal egyenletes mozgst, amg ms testekkel val klcsnhats annak megvltoztatsra nem knyszerti.

b) Az inerciarendszer fogalmaA tehetetlensg trvnye a minden ms testtl tvoli objektumok mozgsra vonatko

zik. Jelentsge nem annyira a mozgsrl tett megllapts, hanem az, hogy segtsgvel de

8 Newton-trvnyek 49

finilhat az inerciarendszer fogalma. Newton I. trvnye a kvetkezkppen is megfogalmazhat:

Mindig tallhat olyan koordinta-rendszer, amelyben a minden ms testtl tvol elhelyezked testek nyugalomban vannak, vagy egyenes vonal egyenletes mozgst vgeznek.

Az ilyen koordinta-rendszert inerciarendszernek nevezzk. A defincibl azonnal kvetkezik, hogy vgtelen sok inerciarendszer ltezik, ha ugyanis mr talltunk egy inerciarendszert, akkor minden hozz kpest egyenletesen mozg koordinta-rendszer is az. A tovbbiakban a mechanika trvnyeit, hacsak kln meg nem szabjuk a koordinta-rendszert, mindig inerciarendszerben fogalmazzuk meg.

Inerciarendszert elvileg a vilgrben minden ms testtl nagy tvolsgban elhelyezked testek segtsgvel jellhetnk ki. Gyakorlati szempontbl az llcsillagokhoz, teht pldul a Naphoz rgztett koordinta-rendszer inerciarendszemek tekinthet, s e knyv keretei kztt ez szmunkra megfelel koordinta-rendszer lesz. Az esetek tbbsgben azonban a Fldhz rgztett n. laboratriumi koordinta-rendszert is kzeltleg elfogadhatjuk inerciarendszerknt. (Ez a koordinta-rendszer a Fld plya menti mozgsa s elssorban tengely krli forgsa miatt termszetesen nem inerciarendszer, az eltrs azonban a htkznapi jelensgek trgyalsa sorn csak kis hibt okoz. A krds vizsglatra a ksbbiekben mg visszatrnk.)

2. Newton II. trvnye

a) A mechanikai klcsnhats mrtke; az er

A tehetetlensg trvnye szerint a testek mozgsllapott csak ms testekkel val klcsnhats vltoztathatja meg. A kvetkezkben ennek a klcsnhatsnak a mennyisgi jellemzsvel, az er fogalmnak bevezetsvel foglalkozunk.

Ehhez elszr olyan mreszkzre van szksgnk, amely a mrend hatsra jl reprodukld vltozssal reagl. Megfelel mreszkz lehet pl. egy csavarrug. Rgztsnk a lgprns snen elhelyezett kiskocsik egyikre laza csavarrugt, majd tkztessk a kocsikat. A rug a klcsnhats sorn sszenyomdik, majd visszanyeri eredeti alakjt.

A kocsik klcsnhatsnak mrtke, erssge a rug sszenyomdsval jellemezhet. A klcsnhats mennyisgi lersra vezetjk be az er fogalmt a rug alakvltozsra alapozott mrsi utastssal. Alapfeltevsknt azzal lnk, hogy a rug ltal kifejtett er adott megnyls mellett az egyb krlmnyektl fggetlenl ugyanakkora. gy az ermr ksztsekor knyelmesen, statikus krlmnyek kztt is ltrehozhatjuk a rug megnylst, s nem kell ragaszkodnunk a klcsnhats eredeti krlmnyeihez, amikor mozgsllapotvltozs jn ltre.

b) Er mr (dinamomter) ksztse

Fggessznk fel csavarrugt, s tegynk mgje millimter beoszts sklt (8.1. bra). Az erskla kezdpontjt a rug nyjtatlan hossza jelli ki. Az egysgnyi er kivlasztsa kiss nehezebb. Legegyszerbb az lenne, ha az egysgnyi ert a rug adott megnylsval


rtelmeznnk. Clszerbb azonban, ha az egysgnyi nagysg ert knnyebben reproduklhat s sokszorozhat erfajthoz ktjk.

A tapasztalat szerint a nyugv testek a Fld vonzereje kvetkeztben adott fldrajzi helyen jl meghatrozott ervel nyomjk a vzszintes altmasztst, ill. hzzk a felfggesztst. Ezt az ert nevezzk a test slynak. A Fld adott helyn nyugv testek slya nagy pontossggal lland. Az er mrtkegysgt pl. nknyesen vlasztott testnek a mreszkzl vlasztott rugra gyakorolt hzerejvel, slyval definilhatjuk.

Az erm r skljnak meghatrozshoz jabb, tapasztalatbl leszrt s elfogadott tnyek szksgesek. Az egysgnyi slynak vlasztott testet az ermrre akasztva kijellhetjk a skla egysgpontjt. Ktszeres, hromszoros stb. ert

8.1. bra gy hozhatunk ltre, hogy az ermrre kt, hrom stb. egysgnyi sly testet akasztunk. Ezzel felttelezzk, hogy az erhatsok egymstl fggetlenl, addi

tv (sszeadd) mdon fejtik ki hatsukat. Az osztsrszek kztti trt sklarszek kijellst csak jabb feltevsek bevezetsvel tehetjk meg. Kzenfekv, hogy az er egysgt meghatroz homogn anyag test darabolsval slya is trfogatnak arnyban darabo- ldik. Ezt felhasznlva az egysgnyi er tetszleges trt rsze elllthat.

c) A dinamika alaptrvnye

Az ermr birtokban vgezznk mrst az er s a gyorsuls kapcsolatnak meghatrozsra. Knnyen mozg kiskocsit ermr kzbeiktatsval a 8.2. brn lthat mdon gyorstsunk klnbz mrtkben. Mrjk az ert s a gyorsulst, majd brzoljuk grafikonon a m rt rtkprokat.

A 8.3. bra gyorsuls-er mrs eredmnyt mutatja. Lthat, hogy a kt mennyisg kztt lineris kapcsolat van. Az adatokra illeszked egyenes azonban gyakran nem az origbl indul. Ennek az az oka, hogy a kiskocsira nem pusztn a fonal hzereje hat, hanem a kerekeknl fellp a mozgs irnyval ellenttes srldsi er is. Ennek az ernek a nagysgt m utatja a mrsi pontokra illeszked egyenes zrus gyorsulshoz tartoz tengelymetszete.

8.2. bra 8.3. bra

8. Newton-trvnyek 51

A mrst klnbz nagysg kocsikkal elvgezve megllapthat, hogy az er s a gyorsuls kztti

F ~ a (8.1)

arnyossg mindig fennll, az arnyossgi egytthat azonban klnbz testek esetn ms s ms. A ksrletben a kocsit hz fonal irnya egybeesik a gyorsulssal. Termszetesnek vesszk azt is, hogy a fonal trbeli helyzete egyben a fonaler irnyt is kijelli. Minthogy a gyorsuls vektormennyisg, az eddigiek azt sugalljk, hogy az er is az. Ez valban igaz, az erk nagysggal s irnnyal jellemezhet mennyisgek, amelyek sszege a paralelogrammaszabllyal kpezhet. Ez ppen azt jelenti, hogy az er vektormennyisg. Az er kttt vektor, azaz nagysga s irnya mellett ltalban tmadspontjt is meg kell adnunk ahhoz, hogy hatst tanulmnyozni tudjuk. (Pontszer testek vizsglatakor a tmadspont krdse fel sem merlhet, hiszen az ernek a vizsglt testre kell hatnia.)

d) A testek tmege, a tmeg s az er egysge

A z er gyorst hatst klnbz testek esetn vizsglva megllapthatjuk, hogy az

- = m (8.2)a

hnyadossal megadott mennyisg, a tmeg csak a gyorstott testre jellemz. Minl nagyobb a test tmege, annl nagyobb er szksges ahhoz, hogy a testet adott mrtkben gyorstsuk. Newton I. trvnye kimondja azt, hogy a testek csak ms testekkel val klcsnhats miatt vltoztatjk meg mozgsllapotukat. A testeknek ezt a tulajdonsgt a testek tehetetlensgnek tulajdontjuk. gy a tmeget a gyorstott test tehetetlensgnek mrtkeknt kezelhetjk.

A tmeg egysgt nemzetkzi megllapodssal, egy platina-irdium testtel mint tmegetalonnal rgztettk 1898-ban. A tmegetalont a Prizs melletti Svres-ben rzik. A tmeg az SI-nek alapmennyisge, egysge a kilogramm, jele: kg. A kilogramm elnevezs alapegysg esetn nem szerencss, mert tbbszrseinek s trtrszeinek nevt gy kell kpezni, mintha az alapegysg a gramm lenne. Ajnlott prefixlt S-egysgei: Mg, g, mg, |ig. Megengedett SI-egysgei: dkg, cg. (1 Mg = 106 g, 1 mg = 10 3 g, 1 |ig = O"6 g, 1 dkg = 10 g, 1 cg = 10~2 g). Nem S-egysge a tonna, jele: 1 .1 1 = 103 kg.

A dinamika (8.2) alaptrvnye alapjn az er dimenzija a tmeg dimenzijnak (M) s a gyorsuls dimenzijnak (L/T2) a szorzata, vagyis ML/T2 ; - S-egysge a newton, jele: N. Meghatrozsa: 1 N = 1 kg m/s2 az az er, amely 1 kg tmeg testet 1 m/s2 gyorsulssal mozgat. Ajnlott prefixlt SI-egysgei: MN, kN (1 MN = 10 N, 1 kN = 103 N).

A tmeg s az er ismeretben definilhatjuk a srsget (pontosabban: tmegsrsget) s a nyomst.


e) A srsg

A z m tmeg, V trfogat homogn (egynem) test srsgn rtjk a

mP = V

(8.3)

fizikai mennyisget.A srsg megmutatja az egysgnyi trfogat anyag tmegt; - dimenzija a tmeg di

menzijnak (M) s a trfogat dimenzijnak (L3) a hnyadosa, vagyis M/L3; - S-egysge a kilogramm per kbmter, jele: kg/m3. M eghatrozsa-1 kg/m3 annak az anyagnak a srsge, amelynek 1 m3-e 1 kg tmeg. Ajnlott prefixlt S-egysge: Mg/m3. Megengedett prefixlt S-egysgei: kg/dm3, g/cm3. Sl-n kvli megengedett egysge: t/m3.

f ) A nyoms

Nyomson rtjk a felletre merleges F nyomernek s a nyom ott/I felletnek a hnyadost:

(8.4)

A nyoms megmutatja az egysgnyi felletre hat nyomert; - dimenzija az er dimenzijnak (ML/T2) s a fellet dimenzijnak (L2) a hnyadosa, vagyis M/(LT2); - SI- egysge a pascal, jele: Pa. Meghatrozsa: 1 Pa = 1 N/m2 az a nyoms, amellyel egyenletesen eloszl 1 N er 1 m2 felletre merlegesen hat. Ajnlott prefixlt S-egysgei: GPa, MPa, kPa, mPa, (iPa (1 GPa = 109 Pa, 1 MPa = 106 Pa, 1 kPa = 103 Pa, 1 mPa = O 3 Pa, 1 |aPa = = 106 Pa).

A normlis lgkri nyoms 101,325 kPa (34. , 43. ).Folyadkok s gzok nyomsnak meghatrozsra hasznlhat nem S-egysg a bar, a

millibar (mbar) s a hektopascal (hPa) [1 bar = 105 Pa, 1 mbar = 1 hPa = 10-3 bar].

g) Az erlks s az impulzus (lendlet, mozgsmennyisg)

A specilis esetekben ksrleti ton meghatrozott er-gyorsuls sszefggs ltalnosan igaz, a pontszer test gyorsulsa s a r hat F er kztt fennll az

F = m a (8 5)

sszefggs, ahol m a test tmege. A trvnyt NEWTON ismerte fel elszr, ezrt a dinamika alaptrvnye mellett hasznlatos a Newton II. trvnye elnevezs is.

A trvnyt NEWTON nem pontosan ebben a formban fogalmazta meg. O a p = mv impulzus segtsgvel a dinamika alaptrvnyt az

F = ^ At

(8.6)

8. Newton-trvnyek 53

alakban rta fel. A trvnynek ez az alakja az m = lland esetben egyenrtk a (8.5) sszefggssel, hiszen

Ap A(mv) Av = ----- - = m = m a . (8.7)A/ A/ A/ v '

A klasszikus mechanikban a tmeg llandsga mindig teljesl, nagy sebessgeknl azonban, amikor a relativitselmlet trvnyeit (129-132. ) kell alkalmazni, akkor a tmeg az

m = (8.8)

sszefggs szerint a sebessg fggvnyv vlik, ahol m a test mozgsi tmege, m 0 a nyugalmi tmege, c = 3 10s m /s pedig a vkuumbeli fnysebessg. Ilyen esetben a trvny ktfle megfogalmazsa mr nem egyenrtk. rdemes megjegyezni, hogy a Newton-fle megfogalmazs relativisztikus esetben is rvnyben marad.

A (8.6) sszefggs lland er esetn trhat az

FA/ = Ap (8.9)

alakra. Az FA/ szorzatot erlksnek nevezzk. Rvid ideig tart klcsnhatsok esetn az er tbbnyire llandnak tekinthet. gy a trvnynek ezt az alakjt ltalban ilyen esetben hasznljuk. Vltoz er esetn a vizsglt idtartamot olyan kicsi szakaszokra kell bontani, amelyeken az er llandnak tekinthet, ekkor az impulzusvltozst az egyes szakaszokra vett erlksek sszege adja.

Amennyiben F = 0, akkor a test impulzusvltozsa zrus, azaz p = lland, vagyis az impulzus megmarad. Ezt fejezi ki az impulzus megmaradsnak trvnye. Mivel az impulzus vektormennyisg, megtrtnhet az is, hogy az impulzusnak csak valamelyik komponense marad meg. Pldaknt, ha Fx =0, akkor az impulzus* irny sszetevje lland.

h) Az erhatsok fggetlensgnek elve (szuperpozci elve)

Ha valamely test egyszerre tbb msikkal van klcsnhatsban, akkor felmerlhet a krds, hogy vajon, ha az egyes klcsnhatsokat egyms utn, a tbbiektl elszigetelve engednnk a testre hatni, akkor az egyes erk additv mdon, egymstl fggetlenl rakdnak-e egymsra. A tapasztalat azt mutatja, hogy ez valban teljesl. Az erk szuperponldsnak ezt a tulajdonsgt az erhatsok fggetlensge elvnek nevezzk. Az elvet NEWTON, br hasznlta, nem fogalmazta meg nll trvnyknt. Az erhatsok fggetlensgnek elve szerint teht, ha egy testre egyszerre tbb er hat, akkor


3. A hats-ellenhats trvnye (Newton III. trvnye)

Az er fogalmt a testek klcsnhatsnak lersra vezettk be. A ksrleti tapasztalatok szerint, ha valamely test ert fejt ki egy msikra, akkor a msik ugyanakkora, de ellenttes irny ert fejt ki r, azaz az A testre B rszrl hat FAB er s a B testre A ltal kifejtett Fba er kztt fennll az

F a b = - F ba (8.11)sszefggs. Ez a hats-ellenhats trvnye, amelyet, mivel NEWTON aximarendszerben is szerepel, Newton III. trvnynek is neveznk. A kt ert szoks er-ellener prnak is nevezni. Termszetesen az sszefggs szimmetrikus, teljesen mindegy, hogy a pr melyik tagjt tekintjk ernek s melyiket ellenernek. Fontos azonban megjegyezni, hogy az er s az ellener tmadspontja mindig kt klnbz testen van.

9. Az ertrvnyek s a mozgsegyenlet

1. A mozgsegyenlet

A dinamika F = ma alaptrvnye a testre hat ered er s a test gyorsulsa kozott llapt meg kapcsolatot. A trvny ktflekppen hasznlhat j ismeretek szerzsre. Ha az erket ismerjk, akkor a test mozgsra kvetkeztethetnk, ha pedig a test kinematikai jellemzi vannak birtokunkban, akkor az erkrl nyerhetnk felvilgostst.

A tapasztalat azt mutatja, hogy az erk igen sokszor a klcsnhats termszettl fggetlenl, pusztn az ert kifejt test meghatrozott paramtereinek, pl. helykoordintinak fggvnyben megadhatk. Az ilyen fggvnyeket ertrvnyeknek nevezzk. A z az egyenlet, amit akkor kapunk, ha a dinamika alaptrvnybe berjuk az ertrvnyeket, a mozgsegyenlet.

Ha a gyorsuls helybe a helyvektor msodik derivltjt rjuk, akkor az

mr = F (9.1)

mozgsegyenlet ltalban a mozgs plyjt meghatroz msodrend differencilegyenlet, ezrt ahhoz, hogy a mozgs pontos lerst megadjuk, az erk mellett ismernnk kell valamely pillanatban a mozgs kinematikai jellemzit is. ltalban a mozgs kezdpillanatban szoks megadni a test helyt s sebesseget. Ezeket az adatokat kezdeti feltteleknek nevezzk.

9- Az ertrvnyek s a mozgsegyenlet 55

2. Ertrvnyek

A kvetkezkben pldaknt, anlkl, hogy rszleteznnk, megadunk nhny jellegzetes ertrvnyt.

A Fld kzelben a testekre - dnten a Fld vonzsa miatt - hat nehzsgi er j kzeltssel lland. Az ertrvny:

Fch = "*g, (9-2)

ahol g a nehzsgi gyorsuls.Az empirikus erskla bevezetsekor az ermr ksztse sorn mr megllaptottuk,

hogy a csavarrug ltal kifejtett F, rugalmas er arnyos s ellenttes irny a rug megnylsval, vagyis a rugalmas er az

F, = -D x (9.3)

sszefggs szerint fgg a megnylstl, ahol D a direkcis lland (S elnevezse: rugmerevsg), S-egysge: N/m. A fizikatanknyvek jelents rszben D-t rugllandnak nevezik, ellenttben az Sl-vel, amelyben l/D a ruglland.

ltalnos tapasztalat, hogy a testek mozgsba hozst, ill. a mozg testek elcsszst az altmaszt fellet akadlyozza. A testek mozgsba hozst akadlyoz n. tapadsi srldsi er hatsvonala az rintkez felletekbe esik, irnya s nagysga pedig olyan, hogy a testre hat tbbi erk ellenben az egyenslyt fenntartsa. Ez azonban csak egy hatrig lehetsges, a tapadsi srldsi er maximlis rtkt a felletek anyagi minsge s a felleteket sszeszort er szabja meg az

(9-4)

trvny szerint. Itt a tapadsi srldsi tnyez, K pedig az altmasztsi fellet ltal a testre hat egyetlen T er felletre merleges (normlis) K komponensnek, az n. knyszerernek a nagysga (11.5. bra). A T er fellettel prhuzamos (rint menti, tangencilis) sszetevje a tapadsi srldsi ervel egyezik meg. Amikor a hzer meghaladja a tapadsi er maximumt, akkor a test mozgsba jn.

Amikor a testek elmozdulnak egymson, akkor az rintkez felleten csszsi srldsi er lp fel. A csszsi srldsi er az

Fc i= n K (9.5)

sszefggssel adhat meg, ahol K az rintkez felletekre merleges knyszerer, a i csszsi srldsi tnyez pedig j kzeltssel csak az rintkez felletek anyagi minsgtl fgg. A csszsi srldsi er irnya az egymson elcssz felletek relatv sebessgnek irnyval ellenttes.

A tapadsi srldsi er ertrvnye hinyos. Az er meghatrozshoz ugyanis ismernnk kell a test mozgsnak, ill. a klcsnhatsban fellp tbbi erknek bizonyos tulajdonsgait.

56 I. Klasszikus mechanika

3. Knyszererk s szabaderk

Az ertrvnyek trgyalsakor tallkoztunk olyanokkal, amelyek meghatrozshoz a vizsglt test mozgsrl is kellett, hogy ismeretnk legyen (srldsi er). Ez utbbi mg inkbb fennll, ha a test mozgsnak valamilyen elrt plyn kell trtnnie. Ilyen elrt plya jn ltre pldul ingamozgs, vagy a lejtn lecssz test esetn. De megszabhatja a test egyenslyt valamilyen geometriai felttel is, pl. ha fonalra fggesztjk, vagy az asztal lapjra helyezzk a testet, akkor a fonal hossza rgztett, ll. a test az altmasztson nem hatolhat keresztl.

Ezekben az esetekben a knyszert megvalst test ltal kifejtett ert nem tudjuk elre ertrvnnyel megadni, az er csak a mozgs, ill. egyensly krlmnyeinek ismeretben adhat meg. Az ilyen erket knyszererknek nevezzk, szemben az n. szabaderkkel, amelyek esetn az er a klcsnhatstl fggetlenl meghatrozhat, mert az ertrvnyt pontosan ismerjk.

Felhvjuk a figyelmet arra, hogy az ertrvnyeket, akr szabad-, akr knyszererkrl van sz, mindig tapasztalati ton llaptjuk meg, azaz az ertrvnyek nem vezethetk le a Newton-trvnyekbl.

A knyszerernek tbbfle megnyilvnulsa ismert. gy pl. a lejt a rajta lev testre knyszerert fejt ki. Hasonlkppen a ktl vgn lev anyagi pontra is knyszerer hat, s knyszerti krplyra.

Megjegyzsek:- A vzszintes felleten nyugv vagy srldsmentesen mozg testre a fellet ltal kifej

tett er egyttal knyszerer is.- Valamely nyugv felleten srldsos mozgst vgz testre a fellet ltal kifejtett er

nek csak a felletre merleges komponenst hvjuk knyszerernek, a fellettel prhuzamos sszetevjt srldsi ernek nevezzk.

- A knyszererk gyakran a fellet mentn elosztva lpnek fel. Ilyenkor a fellet loklis (adott pontbeli) terhelst a nyomssal jellemezzk.

10. A dinamika alaptrvnynek alkalmazsa

A dinamika alaptrvnynek legegyszerbb alkalmazsa az, ha a testre hat erk eredj t ismerjk, s a trvny segtsgvel a gyorsulst hatrozzuk meg. Ilyen esetben a testre szabaderk hatnak, azaz olyanok, amelyek hatsa pontos ertrvnnyel adhat meg. A gyorsulsfggvny s a kezdeti felttelek (sebessg- s helykoordintk) ismeretben a test mozgsnak kinematikai jellemzi meghatrozhatk.

A dinamika alaptrvnynek alkalmazsa 57

1. lland er hatsra ltrejv mozgs

lland er hatsra ltrejv mozgs pl. a szabadess s a hajtsok. Pldaknt ezeket trgyaljuk.

A ksrleti tapasztalat szerint tetszleges m tmeg testre a Fld kzelben Fnch = mg nehzsgi er hat. gy a mozgsegyenlet a 10.1. brn lthat, szoksos koordinta-rendszerben:

t O

ma = m g .

A mozgsegyenletet integrlva addnak a jl ismert

v(i) = gt + v, x(t) = ~ t2 + V + xv

(10.1) x10.1. bra

(10.2,3)

sszefggsek. Termszetesen a most trgyalt mozgs magban foglalja a fggleges hajtst is.Hajtsrl akkor beszlnk, ha a nehzsgi er hatsra mozg testet kezdsebessggel ind

tottuk el. Ekkor olyan skbeli koordinta-rendszert rdemes hasznlni, amelynek x tengelye vzszintes, y tengelye pedig fgglegesen felfel mutat (10.2. bra).

Ekkor a mozgsegyenlet sszetevi:

max = 0 , ma = -m g . (10.4,5)

A mozgsegyenletek integrlsbl addnak a kinematikbl mr ismert sebessg-sszetevkre vonatkoz (6.10,11) s a hely- koordintkat megad (6.8,9) sszefggsek. 10.2. bra

2. A lejtn lecssz test mozgsa

A dinamika alaptrvnynek msik lehetsges felhasznlsa az, amikor a mozgs plyjrl vagy gyorsulsrl is rendelkeznk ismeretekkel. Ebben az esetben a dinamika alapegyenletre vonatkoz indirekt feladatrl beszlnk s a kinematikai jellemzk mellett a mozgsegyenletbl a knyszererkre vonatkoz sszefggseket is meghatrozhatjuk. A plyra vonatkoz ismereteket a mozgsegyenletet kiegszt, n. knyszerfelttelek formjban szoktuk megfogalmazni.

A 10.3. bra a sima (srldsmentes) lejtre helyezett testre hat erket mutatja.

58 I. Klasszikus mechanika

Vegynk fel olyan koordinta-rendszert, amelynek x tengelye a lejt mentn a test mozgsnak irnyba,y tengelye pedig a lejt skjra merlegesen felfel mutat. A sima lejtn a testre a fgglegesen lefel mutat mg er s a lejt skjra merleges K knyszerer hat. A mozgsegyenletek:

m ax = mg sin a , m ay = K - mg cos a . (10.6,7)

A knyszerfelttel pedig az, hogy a testnek a lejt mentn kell mozognia, azaz

y() = 0, v ,( ) = 0, a y{t) = 0 . (10.8-10)

gy a mozgsegyenletekbl

vx(l) = g'sin a + vUx, vy(t) = 0, (10.11,12)

x = gsma_(i + v^ ( + x^ >, =Q (10.13,14)

addik.

Amennyiben a lejt nem sima, de tudjuk, hogy a test biztosa

erostyak janos a fizika alapjai

Documents