equilibri de cuerpo rigido1.pptx

7/24/2019 EQUILIBRI DE CUERPO RIGIDO1.pptx

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1 I.T.I. :MECANICA I

Departamento: INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES

TEMA N 6:STTICA

QUILIBRIO D CU RPOS

RGIDOS


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I.T.I 1:MECANICA I

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-

In"$e Punto 6.1 Intro$$"/n

Punto 6.- D"a!rama) e )/("o ("0re Punto 6.2.1 Idealizacin de apoyos y conexiones bidimensionales

Punto 6.2.2 Idealizacin de apoyos y conexiones tridimensionales

Punto 6. E2"("0r"o en o) "men)"one) Punto 6.3.1 Cuerpo de dos fuerzas (miembros de dos fuerzas)

Punto 6.3.2 Cuerpo de tres fuerzas (miembros de tres fuerzas)

Punto 6.3.3 eacciones !iperest"ticas y li#aduras parciales

Punto 6.3.$ esolucin de problemas

Punto 6.3 E2"("0r"o en tre) "men)"one)


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I.T.I 1:MECANICA I



En el captulo 4 se vio que, en el caso de un cuerpo rgido, el sistema de fuerzas ms

general se puede expresar mediante una fuerza resultante Ry un par resultante C.

Por tanto, para que est en equilibrio un cuerpo rgido debern anularse la fuerza

resultante Ry el par resultante C.

6.1 Introduccin

ectorialmente!

=++=

=++=

"

"

kMjMiMC

kFjFiFR

zyx

zyx

Escalarmente!

===

===

"""

"""

zyx

zyx

MMM

FFF

Estas #ltimas ecuaciones son condiciones necesariaspara el equilibrio de un cuerporgido. $uando a partir de estas ecuaciones se puedan determinar todas las fuerzas que

se e%ercen sobre el cuerpo, sern tambin condiciones suficientespara el equilibrio.


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3

& 'uerzas exteriores! 'uerza que sobre un cuerpo rgido e%erce otro cuerpo por contacto

directo o a distancia. E%.& Peso

& 'uerzas interiores! 'uerzas que mantienen unidas las partculas del cuerpo rgido o, si

el cuerpo de inters est compuesto de varias partes, las fuerzas que mantienen unidas

dic(as partes.

)as fuerzas exteriores pueden dividirse a su vez, en fuerzas aplicadas yfuerzas de reaccin:

& 'uerzas aplicadas! 'uerzas que sobre el cuerpo e%ercen agentes exteriores.

& 'uerzas de reacci*n! 'uerzas que sobre el cuerpo e%ercen los apoyos y las conexiones.

$omo las fuerzas interiores son, dos a dos, de igual m*dulo y recta soporte

pero de sentidos opuestos, no tendrn efecto sobre el equilibrio del cuerpo

rgido en su conjunto. Por tanto, en este capitulo solo nos ocuparemos de las

fuerzas exteriores y de los momentos que esta originan.

)as fuerzas y momentos que se e%ercen

sobre un cuerpo rgido pueden ser

exteriores o interiores!


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4

6. !iagramas de slido libre

)a me%or manera de identificar todas las fuerzas que se e%ercen sobre el cuerpo de

inters es seguir el mtodo del diagrama de s*lido libre.

Este diagrama de s*lido libre debe mostrar todas las fuerzas aplicadas y todas las

reacciones vinculares que se e%ercen sobre el cuerpo.

Repasamos de nuevo el procedimiento bsico

"rimer paso:+ecidir qu cuerpo o combinaci*n de cuerpos se va a consideraren el +).

#egundo paso:Preparar un dibu%o o esquema del perfil de este cuerpo aislado

o libre.

$ercer paso: eguir con cuidado el contorno del cuerpo libre e identificar

todas las fuerzas que e%ercen los cuerpos en contacto o en interacci*n que (an

sido suprimidos en el proceso de aislamiento.Cuarto paso: Elegir el sistema de e%es de coordenadas a utilizar en la

resoluci*n del problema e indicar sus direcciones sobre el +).


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6..1 Idealizacin de apoyos y

conexiones bidimensionales

- continuaci*n se indican los tipos (abituales de apoyos y conexiones

utilizados en cuerpos rgidos sometidos a sistemas bidimensionales de

fuerzas, %unto con las % y & que se utilizan para representar sus acciones

sobre el cuerpo rgido en el +).

'( 'traccin gra)itatoria

Peso de cuerpo *.Recta soporte! pasa por el centro de gravedad

del cuerpo y dirigida al centro de la ierra.

+( ,ilo- cuerda- cadena o cable flexible

E%erce siempre una fuerza R de traccin

sobre el cuerpo.Recta soporte! tangente al (ilo, cuerda,

cadena o cable flexible en el punto de amarre.


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C( Conexin rgida barra(

Puede e%ercer sobre el cuerpo una fuerza Rde

traccino de compresin.

Recta soporte! dirigida seg#n el e%e de

conexi*n.

!( +ola- rodillo o zapata

Pueden e%ercer sobre el cuerpo una fuerza R

de compresin.

Recta soporte! normal a la superficie deapoyo.


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/( #uperficie lisa plana o cur)a(


compresin.

Recta soporte! normal a la superficie lisa en

el punto de contacto del cuerpo con la

superficie.

%( "asador liso


m*dulo / y direcci*n 0 desconocidos.

+ebido a ello, la fuerza Rsuele representarse

en el +) mediante sus componentes

rectangulares Rxy Ry.


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0( #uperficie rugosa

Pueden resistir una fuerza tangencialde rozamiento Rt

as como una fuerza normal de compresinRn.

+ebido a ello, la fuerza R es de compresin dirigida

seg#n un ngulo 0 desconocido.

)a fuerza Rsuele representarse en el +) mediante sus

componentes rectangulares Rny Rt.

,( "asador en una gua lisa

olo puede transmitir una fuerza R

perpendiculara las superficies de la gua.

e supondr un sentido para R en el +)pudiendo ser (acia aba%o y a la izda o (acia

arriba y a la dc(a.


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I( Collar sobre un rbol liso

1$onexi*n con pasador2 1$onexi*n fi%a&soldada2

2( 'poyo fi3o empotramiento(

Puede e%ercer sobre el cuerpo una fuerza Ry un

momento &.

$omo no se conoce ni el m*dulo ni la direcci*nde R, esta suele representarse mediante sus

componentes rectangulares.


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4( Resorte elstico lineal)a fuerza Rque e%erce el resorte sobre el cuerpo

es proporcional a la variaci*n de longitud del

resorte.

!entido! dependiendo si el resorte est alargado

o acortado.

Recta soporte! coincide con el e%e del resorte.

5( "olea ideal

El pasador que conecta una polea ideal con un

miembro puede e%ercer sobre el cuerpo una

fuerza Rde m*dulo y direcci*n desconocidos.

$omo el pasador es liso, la tensi*n $del cableser constantepara satisfacer el equilibrio de

momentos respecto al e%e de la polea.


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1-

9R;LEMA 6.1

+)

!ibu3ar el diagrama de slido libre de la )iga de la figura.


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1

9R;LEMA 6.-

+)

!ibu3ar el diagrama de

slido libre de la )iga de la

figura. !espreciar el peso

de la )iga.

D t t I " # M % " E &t" M t " (


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13

9R;LEMA 6.

+)3s

n cilindro se apoya sobre una superficie lisa formadapor un plano inclinado y una armadura de dos barras.

!ibu3ar el diagrama de slido libre para el cilindro-

para la armadura de dos barras y para el pasador en C.

D I " # M % " E & " M " (

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9R;LEMA 6.3

+)3s

!ibu3ar el diagrama de slido libre para la polea- para

el poste '+ y la )iga C!.

D p t t I " # M % " E &t" M t " (

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9R;LEMA 6.6


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15

9R;LEMA 6.5


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1

9R;LEMA 6.13


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p ! , ! 'In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a

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6.. Idealizacin de apoyos y

conexiones tridimensionales

- continuaci*n se indican los tipos (abituales de apoyos y conexiones

utilizados en cuerpos rgidos sometidos a sistemas tridimensionales de

fuerzas, %unto con las % y & que se utilizan para representar sus acciones

sobre el cuerpo rgido en el +).

'( RtulaPuede transmitir una fuerza Rpero no momentos. Esta fuerza suele representarse

mediante sus tres componentes rectangulares.

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epa ta e to e !e e a e$% $a, e !&t $a ' e ate a e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a

p ! ! 'In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a

-8

C( Co3inete de bolas

El co%inete de bolas ideal 1liso2 tiene por misi*n transmitir

una fuerza R en una direcci*n perpendicular al e%e del

co%inete.i el co%inete tiene la direcci*n del e%e y, la acci*n del

co%inete se representa en el +) por las componente Rxy Rz.

+( 0ozne +isagra(ormalmente destinado a transmitir una fuerza Ren una

direcci*n perpendicular al e%e del pasador del gozne.

u dise5o puede tambin permitir transmitir una componente de la fuerza a lo largo

del e%e del pasador.

$iertos goznes pueden transmitir peque5os momentos respecto a e%es perpendiculares

a e%es del pasador.

)as pare%as de goznes alineadas adecuadamente s*lo transmiten fuerzas en las

condiciones de utilizaci*n normales.




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p ! , ! 'In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(aIn!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a

-1

/( Co3inete de empu3e

6a de transmitir componentes de fuerza tanto

perpendiculares como paralelas al e%e del co%inete.

$iertos co%inetes de empu%e pueden transmitir peque5os

momentos respecto a e%es perpendiculares al e%e del rbol.

)as pare%as de co%inetes alineados adecuadamente s*lo

transmiten fuerzas en condiciones normales de

funcionamiento.

!( Co3inete de friccin C7umacera(6an de transmitir una fuerza R en una direcci*n

perpendicular a su e%e.

$iertas c(umaceras pueden transmitir peque5os momentos

respecto a e%es perpendiculares al e%e del rbol.

)as pare%as de c(umaceras alineadas adecuadamente s*lo

transmiten fuerzas perpendiculares al e%e del rbol.


Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)I " "t M + "+ E t"+ t M t " ( S "(


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In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(aIn!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a

--

%( 'rticulacin lisa de pasador6a de transmitir una fuerza R en una direcci*n

perpendicular al e%e del pasador, pero tambin

puede transmitir una componente de la fuerza

seg#n dic(o e%e.

ambin pueden transmitir peque5os momentos

respecto a e%es perpendiculares al e%e del pasador.

0( 'poyo fi3o /mpotramiento(

Puede resistir tanto una fuerza Rcomo un par C. e

desconocen los m*dulos y direcciones de fuerza y

par por lo que en el +) se representan las trescomponentes rectangulares de cada uno.

Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)I " " M + "+ E "+ M " ( S "(

Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a


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-

9R;LEMA 6.4

+)

!ibu3ar el diagrama de slido libre de la barra cur)a soportada por una rtulaen '- un cable flexible en + y una articulacin de pasador en C. !espr8ciese el

peso de la barra.

Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t a Me+an"+oa Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a

Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a


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-3

9R;LEMA 6.-1


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-4

9R;LEMA 6.-3


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6.9 /quilibrio en dos dimensiones

Problema bidimensional! en l, las fuerzas que intervienen estn contenidas en un planoy los e%es de todos los pares son perpendiculares al plano que contiene las fuerzas.

)as ecuaciones de equilibrio se reducen 1vectorialmente2 a!

-s, tres de las seis ecuaciones escalares independientes del equilibrio se satisfacen

automticamente!

Por tanto, s*lo (ay tres ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un

cuerpo rgido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas!

)a tercera ecuaci*n se refiere a la suma de momentos de todas las fuerzas respecto a un

e%e z que pase por un punto cualquiera - perteneciente al cuerpo o no.Esta #ltimas ecuaciones constituyen las condiciones necesarias y suficientes para el

equilibrio de un cuerpo rgido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas.

==

=+=

"

"

kMC

jFiFR

z

yx

=== """yxz MMF

=== """ "yx MFF




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In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a! , !

-5

En la primera figura se aprecian la resultante R y el par

resultante C de un sistema bidimensional cualquiera de fuerzas

que se e%ercen sobre un cuerpo rgido.

)a resultante puede expresarse mediante sus componentes

rectangulares 1figura 72.

i se cumple la condici*n!

i adems se cumple que!

Para todo punto 8 del cuerpo o exterior a l, que no se (alle en el

e%e y, la ecuaci*n s*lo puede satisfacerse si

-s pues, otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio

en problemas bidimensionales es!

en donde los puntos - y 8 (an de tener coordenadasxdiferentes.

"" == C"M == jFF yx R"

= "#M = "yF

=== """ #"x MMF

6ay otras dos maneras de expresar las

ecuaciones de equilibrio de un cuerpo sometido

a un sistema bidimensional de fuerzas.

1




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!e a t a e a oa, e !et oa eta ate a ee Sa a

-

)as ecuaciones de equilibrio para unsistema bidimensional de fuerzas se

pueden escribir tambin utilizando tres

ecuaciones de momentos.i se cumple la condici*n!

-dems para un punto 8 del e%e x que pertenezca o no al cuerpo

1excepto en el punto -2, la ecuaci*n podr satisfacerse

s*lo si

-s pues,Para todo punto $, perteneciente al cuerpo o no, que no est sobre

el e%e x, la ecuaci*n solo podr satisfacerse si

-s pues, otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio en

problemas bidimensionales es!

donde -, 8 y $ son tres puntos cualesquiera no alineados.

"" == C"M

= iFxR

= "#M = "yF

=== """ C#" MMM

= "CM = "xF




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! , !

-7

6.9.1 Cuerpos miembros( de fuerzas

El equilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas se presentacon bastante frecuencia por lo que se le presta especial atenci*n.

E%emplo! barra de conexi$n de peso despreciable1figura2.

)as fuerzas que sobre la barra e%ercen los pasadores lisos

situados en - y 8 se pueden descomponer en componentes

seg#n el e%e de la barra y perpendicular a l. -plicado

ecuaciones de equilibrio!

)as fuerzas -yy 8yforman un par que debe ser nulo si la barra

est en equilibrio, por tanto!

-s pues, en los miembros de dos fuerzas, el equilibrio exige

que las fuerzas sean de igual mdulo y recta soporte, peroopuestas. )a forma del miembro no influye en este sencillo

requisito. )os pesos de los miembros deben ser despreciables.

yyyyy

xxxxx

#"#"F

#"#"F

===

===

""

""

"== yy #"




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8

6.9. Cuerpos miembros( de 9 fuerzas

El equilibrio de un cuerpo ba%o la acci*n de tres fuerzas constituye tambin unasituaci*n especial.

E%emplo!

i un cuerpo est en equilibrio ba%o la acci*n de tres fuerzas las rectas soportes de

8stas deben ser concurrentes1pasar por un punto com#n2.

i no fuera as, la fuerza no concurrente e%ercera un momento respecto al punto de

concurso de las otras dos fuerzas.

$aso particular! 9n cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. El punto de concurso es

el infinito.

+) de -8




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1

6.9.9 Reacciones 7iperestticas y

ligaduras parciales

enemos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanarias. Este puede sustituirsepor uno equivalente formado por una fuerza que pase por un punto arbitrario - y un par.

Para que el cuerpo est en equilibrio, los apoyos deben poder e%ercersobre el cuerpo un sistema fuerza&par igual y opuesto 1ligaduras2.

E%emplo! $onsideremos los apoyos de la figura 1a2

El pasador en - puede e%ercer fuerzas en x y en y que eviten la

traslaci*n del cuerpo pero no puede e%ercer un momento que impida la

rotaci*n entorno a -. )a barra 8 origina una fuerza en y generando as

un momento respecto a - que impida la rotaci*n del cuerpo.

$uando las ecuaciones de equilibrio sean suficientes para determinar lasfuerzas inc*gnitas en los apoyos el cuerpo est determinado

estticamente con ligaduras adecuadas 1isostticas2.




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-

res reacciones vinculares para un cuerpo

sometido a un sistema de fuerzas coplanario no

siempre garantizan que el cuerpo est determinado

estticamente con ligaduras isostticas.

E%emplo :! El pasador en - puede e%ercer fuerzas en xy enyque eviten la traslaci*n

del cuerpo, pero como la recta soporte de +x pasa por -, no e%erce el momento

necesario para evitar la rotaci*n en torno a -.

El cuerpo est ligado parcialmente 1insuficientemente2 y las ecuaciones deequilibrio no son suficientes para determinar todas las reacciones inc*gnitas.

)o mismo ocurre en el siguiente e%emplo!




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E%emplo 7! us tres conexiones pueden evitar la rotaci*n en torno a un punto

cualquiera y la traslaci*n del cuerpo en la direcci*n ypero no la traslaci*n del cuerpo

en la direcci*nx.

9n cuerpo con un n#mero adecuado de reacciones est insuficientemente ligado

cuando las ligaduras estn dispuestas de tal manera que las fuerzas en los apoyos

sean concurrenteso paralelas.




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3

)os cuerpos ligados parcialmente pueden estar

en equilibrio ba%o la acci*n de sistemas de

fuerzas especficos.

E%emplo! )as reacciones R-y R8de la viga se pueden determinar usando

in embargo, la viga est insuficientemente ligada ya que se movera en la direcci*n x

si cualquiera de las cargas aplicadas tuviera una peque5a componente seg#n x.

=

=

"

"

"

y

M

F




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4

-s, las ; ecuaciones independientes de equilibrio no proporcionan suficienteinformaci*n para determinar las 4 inc*gnitas.

)os cuerpos ligados con apoyos de ms estn indeterminados estticamente ya que

sern necesarias relaciones referentes a propiedades fsicas del cuerpo 1sistemas

7iperestticos2. )os apoyos que no son necesarios para mantener el equilibrio del

cuerpo se llaman superabundantes. E%emplos!

i en vez de una conexi*n rgida en 8

colocamos un pasador, se obtiene una reacci*n

adicional +x que no es necesaria para evitar el

movimiento del cuerpo.

+)+)




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6

6.9.; Resolucin de problemas

"asos para analizar y resol)er problemas de equilibrio!:. )eer atentamente el enunciado.

7.


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I.T.I 1:MECANICA I

5

9R;LEMA 6.6

+)

na armadura conectada mediante pasadores est cargada y apoyada en laforma que se indica en la figura. /l cuerpo * tiene una masa de 1


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9R;LEMA 6.5

+)

na )iga est cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.!eterminar las componentes de las reacciones en los apoyos ' y +.




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7

9R;LEMA 6.

+)

na )iga est cargada y

apoyada en la forma que

se indica en la figura.

!eterminar las compo>

nentes de las reacciones

en los apoyos ' y +.




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I.T.I 1:MECANICA I

38

9R;LEMA 6.7

+)

n entramado conectado mediante pasadores est cargado y apoyado seg?n seindica en la figura. !eterminar las reacciones en los apoyos ' y +.




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31

9R;LEMA 6.18

+)3s

n entramado de dos barras conectado porpasadores est cargado y apoyado seg?n se

indica en la figura. !eterminar las reacciones

en los apoyos ' y +.




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3-

9R;LEMA 6.11

+)

na barra que pesa 1@< A est soportada por un poste y un cable seg?n seindica en la figura. #e suponen lisas todas las superficies. !eterminar la tensin

del cable y las fuerzas que se e3ercen sobre la barra en las superficies de contacto.




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3

9R;LEMA 6.1-

n cilindro de masa @< =g se apoya sobre

un plano inclinado y un entramado

de dos barras articulado por pasador.

#uponiendo lisas todas las superficies-

determinar:

a( 5as fuerzas que sobre el cilindro

e3ercen las superficies de contacto.

b( 5as reacciones en los apoyos ' y C

del entramado de dos barras.



9R;LEMA 6 1- 0"


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33

9R;LEMA 6.1- 0")

+)3s




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34

9R;LEMA 6.41


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36

R/C/R!':

Resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera

)a resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera 1figura :2 sepuede determinar descomponiendo cada fuerza del sistema en una fuerza igual y

paralela que pase por un punto dado 1A origen de coordenadas2 y un par. 1figura 72

El sistema dado se sustituye por dos sistemas 1figura ;2 ! 9n sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en A con m*dulo,

direcci*n y sentido igual a los de las fuerzas del sistema original.

9n sistema de paresno coplanarios.

6.; /quilibrio en tres dimensiones




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35

$ada una de las fuerzas y cada uno de los pares

de los dos sistemas se pueden descomponer en

componentes seg#n los e%es de coordenadas

1figuras : y 72

)a resultante del sistema de fuerzas concurrentes es un

fuerza R que pasa por el origen y la resultante del

sistema de pares no coplanarios es un par C.

$asos particulares! / B " $ B " / B " y $ B " 1istema en equilibrio2

"or tanto- la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera puede ser o

una fuerza R o un par C o una fuerza ms un par.




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3

6.; /quilibrio en tres dimensiones

Continuacin(

Por tanto y como ya se (a dic(o, un sistema genrico, tridimensional, de n fuerzas y npares puede sustituirse por un sistema equivalente constituido por fuerzas concurrentes

no coplanarias y un sistema de pares no coplanarios cuyas resultantes se pueden

expresar as!

++=

++=

kMjMiMC

kFjFiFR

zyx

zyx

)a fuerza resultante R, %unto con el par resultante C, constituyen la resultante del

sistema genrico tridimensional de fuerzas.

-s pues, un cuerpo rgido sometido a un sistema genrico tridimensional de fuerzas

estar en equilibrio si RB CB ", lo que exige que

===

===

"""

"""

zyx

zyx

MMM

FFF> ec. escalares de equil. indep.

Estas son las condiciones necesarias y suficientes para el equilibriodel cuerpo.




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37

9R;LEMA 6.1

+)

na placa que pesa -@ =A est soportada por un rbol '+ y un cable C. /n '

7ay un co3inete de bolas y en + un co3inete de empu3e. 5os co3inetes estn

alineados adecuadamente de forma que solo trasmiten fuerzas. !eterminar las

reacciones en los co3inetes ' y + y la tensin en el cable C cuando se apliquen a la

placa las tres fuerzas indicadas.



9R;LEMA 6 13


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48

9R;LEMA 6.13

+)

n poste y un soporte sostienen una

polea. n cable que pasa sobre la polea

transmite una carga de @


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41

9R;LEMA 6.14

+)

5as masas de las ca3as que descansan sobre la plataforma son 9


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4-

9R;LEMA 6.16

+)

/l tablero de la figura tiene una masa de @ =g y lo mantienen en posicin

7orizontal dos goznes y una barra. 5os goznes estn alineados adecuadamente de

forma que solo e3ercen reacciones de fuerza sobre el tablero. #upngase que el

gozne en + resiste toda fuerza dirigida seg?n el e3e de los pasadores de los goznes.

!eterminar las reacciones en los apoyos '- + y !.




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4

9R;LEMAS Re$omenao):Lo) e>er$"$"o) e (a) 9a!"na) -45-4

De( 65- a( 61



9R;LEMA 6 5


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43

9R;LEMA 6.5


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44

9R;LEMA 6.53

equilibri de cuerpo rigido1.pptx

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