equações biquadradas prof. andré aparecido da silva [email protected]
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O que é uma equação biquadrada?
• Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Forma geral de uma Equação Biquadrada
• Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.
4 2 0ax bx c
Exemplo de Equação Biquadrada
• A) 9x4 - 13x2 + 4 = 0
Onde a = 9, b = -13 e c = 4
Exemplos de Equações Biquadradas
• b) x4 - 13x2 + 36 = 0
Onde a = 1; b = -13 e c = 36
Como resolver a Equação?
Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.
Exemplo
4 24 17 4 0x x
Como resolver
• Primeiramente transformamos a equação biquadrada em uma equação do segundo grau.
• Vamos trabalhar com a seguinte igualdade: x2 = y.
• Essa igualdade será utilizada para determinar suas raízes.
4x4 – 17x² + 4 =0
Temos como definição que x² = y
Decompomos x4 em (x²)²
Temos agora: 4 (x²)² - 17 x² + 4 = 0
4 (x²)² - 17 x² + 4 = 0
Substituindo: 4y² - 17y + 4 = 0
Temos agora uma equação do 2° grau com os coeficientes: A = 4 B = -17 e C = 4.
Resolvendo por Bhaskara
4y² - 17y + 4 = 0 A = 4 B = -17 e C = 4.
Resolvendo por Bhaskara
4y² - 17y + 4 = 0 A = 4 B = -17 e C = 4.
Resolvendo por Bhaskara
4y² - 17y + 4 = 0 A = 4 B = -17 e C = 4.
Resolvendo por Bhaskara
4y² - 17y + 4 = 0 A = 4 B = -17 e C = 4.
Resolvendo por Bhaskara
4y² - 17y + 4 = 0 A = 4 B = -17 e C = 4.
Resolvendo por Bhaskara
4y² - 17y + 4 = 0 A = 4 B = -17 e C = 4.
Encontrando as Raízes
• Para determinar as raízes de uma equação biquadrada, vamos utilizar a relação de igualdade:
x2=y
Aplicando a solução Biquadrada
Aplicando a solução Biquadrada
Aplicando a solução Biquadrada
Aplicando a solução Biquadrada
A resolução da equação nos retorna de 0 a 4 resultados:
S = {2; -2; 0,5; -0,5}
Solução
• Observando a resolução pode-se observar que encontramos 4 soluções.
Solução
• A equação biquadrada nem sempre terá quatro soluções. Se o valor encontrado na resolução da equação do segundo grau for negativo não teremos como calcular a raiz quadrada da solução (Na situação acima descrita).
ATENÇÃO
Observe as equações abaixo:
a)x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0
b)6x4 + 2x3 - 2x = 0
c)x4 - 3x = 0
• As equações acima não são biquadradas!