Unitat 3:Equacions amb una incògnita

Llenguatge algebraic

• Una expressió algèbrica és una sèrie de lletresque representen nombres (valors que noconeixem).

• En el llenguatge matemàtic s’utilitzen moltesvegades les lletres com a substituts delsnombres.

• Cal tenir present:– Les lletres més utilitzades són: x i y , s’anomenen

incògnites

Exemples d’expressions algèbriques

- Un nombre més quinze:

- Deu menys el doble d’un nombre:

- El quadrat d’un nombre més el seu doble:

- La suma d’un nombre i el triple d’un altre:

- La meitat d’un nombre:

- Les tres quartes parts d’un nombre:

- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre:

Exemples d’expressions algèbriques

- Un nombre més quinze: x + 15

- Deu menys el doble d’un nombre: 10 – 2a

- El quadrat d’un nombre més el seu doble: y2 + 2y

- La suma d’un nombre i el triple d’un altre: a + 3b

- La meitat d’un nombre: a/2

- Les tres quartes parts d’un nombre: 3b/4

- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre: 0,073 x

Valor numèricEl valor numèric d’una expressió algèbrica és el nombre obtingut en substituir les lletres que hi apareixen per nombres determinats.

3x + 1 Si x = 2 3 . 2 + 1 =7

Si x = 0 3 . 0 + 1 = 1

Si x = -1 3 . (-1) + 1 = -3 + 1 = -2

Si x = ½ 2

5

2

231

2

31

2

1.3

Termes, coeficient i part literal

Anomenem terme d’una expressió algèbrica cada bloc de nombres i lletres separats pels signes de suma o resta

En aquesta expressió tenim 4 termes:

Cada terme pot tenir dues parts: coeficient i part literal

yxxxx 232 32

353

Operacions amb expressions algèbriques

Sumes i restes:La suma i la resta d’expressions algèbriques, només es poden sumar i restar els termes semblants.

Procediment:- Es sumen o resten els coeficients dels termes

semblants.- Es deixa la mateixa part literal

2a + 4a = a+a+a+a+a+a = 6a5x – 2x = 3x2a + 3b + 3a - b= 5a + 2b

Operacions amb expressions algèbriques

La multiplicació o la divisió d’una expressió algèbrica sempre es pot efectuar encara que els termes no siguin semblants.

Procediment:

• Multiplicarem o dividirem els signes tenint en compte la regla dels signes

• Multiplicarem o dividirem els coeficients

• Multiplicarem o dividirem la part literal– Recordatori: xm · xn = xm+n

– Recordatori: xm : xn = xm-n

Exemples de multiplicacions

3a · 4a =

4x2: 2x=

4x · 5y3 =

-5x3 · 2x2=

2x · 3x4 · 10x3=

15xy2 · (-5y) =

10 y2 : 15 xy2 =

2 2

Solucions

3a · 4a = 12a2

4x2:2x= 2x1

4x · 5y3 = 20 xy3

-5x3 · 2x2= -10x5

2x · 3x4 · 10x3= 60x8

15xy2 · (-5y) = -75xy3

10 y2 : 15 xy2 = 20 x-1

2 2 30

Propietat distribuiva

Encara que no hi hagi el signe de multiplicació, quan tenim un nombre davant d’un parèntesis, està multiplicant als termes de dins els parèntesis.Exemples:

4 (x + 5y) = 4x + 20y

a (b + c) = a·b + a·ca (b - c) = a·b - a·c2x (3x +x) = 6x2 + 2x2

Multiplicació

(5x+11)·(x3+2x2+4) = 5x4 + 10x3+20x+11x3+22x2+44 =5x4 +21x3 +22x2 +44

Factor comú

El factor comú és l’inversa de la propietat distributiva

5·a +5·b = x + x2 = 3x +3y + 3z = 6bx + 6by =2x4 +12x3+18x=12x3 -3x=12x3 +12x2+3x-1=

Factor comú

El factor comú és l’inversa de la propietat distributiva

5·a +5·b = 5 · (a + b)x + x2 = x · (1 + x)3x +3y + 3z = 3 ( x + y + z)

6bx + 6by = 6b ( x + y)2x4 +12x3+18x= 2x ( x3 + 4x2 + 9)12x3 -3x= 3x (4x2 - 1)12x3 +12x2+3x-1= no puc

Productes notables

Quadrat d’una suma (a + b)2 DemoEl quadrat d’una suma és igual el quadrat del primer, més el quadrat del segon més el doble del primer pel segon

(a + b)2 = a2 + b2 + 2·a·b

Quadrat d’una diferència (a - b)2 DemoEl quadrat d’una diferència és igual el quadrat del primer, més el quadrat del segon menys el doble del primer pel segon

(a - b)2 = a2 + b2 - 2·a·b

Productes notables

Suma per diferència (a + b) · ( a – b)El producte d’una suma per diferència és igual al quadrat del primer menys el quadrat del segon.

(a + b) · ( a – b) = a2 - b2

Resolució d’equacions sense parèntesis:

Passos a seguir per resoldre equacions Exemple: 3x + 1 = -x + 9

• Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre costat els termes independents (termes sense x)– Per passar d’un costat a l’altra de la igualtat canviarem els

termes de signe

3x + 1 = -x + 93x + x = +9 - 1

• Reduïm els termes semblants4x = 8

• Aïllem la incògnitax = 8/4

• Obtenim el resultatx = 2

Exercicis

a) x + 3 = 5b) x – 4 = 8c) x – 12 -3 =10d) 2x + 6 = x + 10 e) 3x – 5 = 2x + 1

Enllaç per practicarUn cop tenim el resultat hem de fer la comprovació.

Resolució d’equacions amb parèntesis:

Passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis:Exemple: 2(x – 2) + 3(x-3) = 2 – 2(2x -1) +13

• Suprimim els parèntesis2x – 4 + 3x - 9 = 2 – 4x + 2 +13

• Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre costat els termes independents (termes sense x)

2x + 3x +4x = 2 + 2 +13 +4 + 9• Reduïm els termes semblants

9x = 30• Aïllem la incògnita

x = 30/9• Obtenim el resultat

x = 10/3

Resolució d’equacions amb denominadors

Passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis:

Multipliquem els dos membres pel mínim comú múltiple dels dos denominadors m.c.m. (3, 4) =12

134

xx

12

12

1243

1243

123

12x

4

12

13

.124

·12

x

x

xx

xx

x

xx

Resolució de problemesLectura atenta

de l'enunciat

En sumar 37 al doble d’un nombre, obtenim 97. De quin nombre es tracta?

Elecció de la incògnita

Nombre que no coneixem =x

Plantejament de l’equació

2 x + 37 = 97

Resolució de l’equació

2x= 97 – 37

2x = 60 x=60/2=30

Resposta El nombre és 30

Comprovació 2· 30 +37 = 60+37=90 Correcte!

Resolució de problemesLectura atenta

de l'enunciat

Un pare té 33 anys i el seu fill 8. Al cap de quants anys l’edat del pare serà el doble que la del seu fill?

Elecció de la incògnita

Anys que transcorren =x

Ara: pare=33 i fill=8

x anys: pare = 33 + x fill= 8 + x

Plantejament de l’equació

33 + x = 2 . (8 + x)

Resolució de l’equació

33 + x = 16 +2x

-x = 16-33 x=17

Resposta Al cap de 17 anys

Comprovació 33+17=50 i 2·(8+17)= 2·25=50 Correcte!

Resolució de problemesLectura atenta

de l'enunciat

Un ciclista recorre la distància que separa dues ciutats en tres etapes. Primer recorre un terç del trajecte; en la segona, un quart i en la tercera, els 35 km restants. Quants km separen les dues ciutats?

Elecció de la incògnita

km totals entre les dues ciutats =x

1ª etapa 1/3·x

2ª etapa ¼·x

3ª etapa 35 km

Plantejament de l’equació

Resolució de l’equació

Resposta 84km

Comprovació 1/·84+ ¼·84 +35 = 28+21+35= 84 Correcte!

xxx

xxx

·123543

·12

3543