““EPSILON”EPSILON”

Griselda CasasGriselda Casas Pablo EstradaPablo Estrada Ulises PerezUlises Perez Oscar RuizOscar Ruiz Carlos AcostaCarlos Acosta

I = f I = f (T, H)(T, H) HH

TT 5050 5555 6060 6565 7070 7575 8080 8585 9090

9090 9696 9898 100100 103103 106106 109109 112112 115115 119119

9292 100100 103103 105105 108108 112112 115115 119119 123123 128128

9494 104104 107107 111111 114114 118118 122122 127127 132132 137137

9696 109109 113113 116116 121121 125125 130130 135135 141141 146146

9898 114114 118118 123123 127127 133133 138138 144144 150150 157157

100100 119119 124124 129129 135135 141141 148148 154154 161161 168168

I = f I = f (T, H)(T, H)

I I se puede escribir como:se puede escribir como:

g g (T)=(T)= f f (T, 70)(T, 70)La temperatura varíaLa temperatura varía

La humedad relativa (H) es constante = 70La humedad relativa (H) es constante = 70

CuandoTemperatura = 96 ° F; CuandoTemperatura = 96 ° F;

g g (T)=(T)= f f (T, 70)(T, 70)

g g (96)=(96)= f f (96, 70)(96, 70)

. H. H

TT5050 5555 6060 6565 7070 7575 8080 8585 9090

9090 9696 9898 100100 103103 106106 109109 112112 115115 119119

9292 100100 103103 105105 108108 112112 115115 119119 123123 128128

9494 104104 107107 111111 114114 118118 122122 127127 132132 137137

9696 109109 113113 116116 121121 125125 130130 135135 141141 146146

9898 114114 118118 123123 127127 133133 138138 144144 150150 157157

100100 119119 124124 129129 135135 141141 148148 154154 161161 168168

g’ g’ (96)=(96)= 3.75 3.75

II aumenta 3.75°F por cada °F de la temperatura real aumenta 3.75°F por cada °F de la temperatura real

. H. H

TT 5050 5555 6060 6565 7070 7575 8080 8585 9090

9090 9696 9898 100100 103103 106106 109109 112112 115115 119119

9292 100100 103103 105105 108108 112112 115115 119119 123123 128128

9494 104104 107107 111111 114114 118118 122122 127127 132132 137137

9696 109109 113113 116116 121121 125125 130130 135135 141141 146146

9898 114114 118118 123123 127127 133133 138138 144144 150150 157157

100100 119119 124124 129129 135135 141141 148148 154154 161161 168168

I = f I = f (T, H)(T, H)

I I se puede escribir como:se puede escribir como:

G G (H)=(H)= f f (96, H)(96, H)

La humedad relativa (H) varíaLa humedad relativa (H) varía

La temperatura es constante = 96 ° FLa temperatura es constante = 96 ° F

Cuando la Humedad es 70%Cuando la Humedad es 70%

G’G’(H)=(H)= f f (96, H)(96, H)

G’G’ (70)=(70)= f f (96, 70)(96, 70)

==

Si h = 5Si h = 5

Si h = -5Si h = -5

. H. H

TT5050 5555 6060 6565 7070 7575 8080 8585 9090

9090 9696 9898 100100 103103 106106 109109 112112 115115 119119

9292 100100 103103 105105 108108 112112 115115 119119 123123 128128

9494 104104 107107 111111 114114 118118 122122 127127 132132 137137

9696 109109 113113 116116 121121 125125 130130 135135 141141 146146

9898 114114 118118 123123 127127 133133 138138 144144 150150 157157

100100 119119 124124 129129 135135 141141 148148 154154 161161 168168

G’ (70)= 0.9

I aumenta 0.9 ° F por cada porcentaje que la humedad se incrementa

. H. H

TT 5050 5555 6060 6565 7070 7575 8080 8585 9090

9090 9696 9898 100100 103103 106106 109109 112112 115115 119119

9292 100100 103103 105105 108108 112112 115115 119119 123123 128128

9494 104104 107107 111111 114114 118118 122122 127127 132132 137137

9696 109109 113113 116116 121121 125125 130130 135135 141141 146146

9898 114114 118118 123123 127127 133133 138138 144144 150150 157157

100100 119119 124124 129129 135135 141141 148148 154154 161161 168168

La razón de cambio del índice de calor I con respecto a la temperatura T y la humedad H, para T = 96 ° F, y H = 70%

fx(a,b) = g’(a) donde g(x) = f(x,b)

Derivada con respecto a x

Derivada con respecto a y

Derivada parcial de Derivada parcial de ff con respecto con respecto a a xx en (a, b) en (a, b)

Notaciones para derivadas Notaciones para derivadas parcialesparciales

Ejemplo 1Ejemplo 1

SiSi f f (x,y) = x(x,y) = x3 3 + x+ x22yy33 - 2y - 2y22, encuentre, encuentre

ffxx(2,1) y (2,1) y ffyy(2,1)(2,1)

Ejemplo 2Ejemplo 2

SiSi f f (x,y) = 4 - 4x(x,y) = 4 - 4x22 - 2y - 2y22, calcule, calcule

ffxx(1,1) y (1,1) y ffyy(1,1)(1,1)

Funciones de dos o mFunciones de dos o máás variabless variables

Es posible también, definir derivadas parciales para funciones de dos o más variables. Por ejemplo la derivada parcial de la función f(x,y,z) con respecto a x se define como:

Lo anterior se calcula considerando a z y a y como constantes. Si w=f(x,y,z) entonces se interpreta como la razón de cambio de w con respecto a x cuando z y y permanecen constantes.

La definición anterior se puede generalizar para una funciones de n-ésimas variables. Si u es una función de n variables u=f(x1,x2,…,xn), su derivada parcial con respecto a la i-ésima variable xi es

Existen varias formas de expresar lo anterior:

Derivadas de Orden SuperiorDerivadas de Orden Superior

Si f es una funcion de dos variables, sus Si f es una funcion de dos variables, sus derivadas fderivadas fx x y fy fyy tambien son funciones de dos tambien son funciones de dos

variables.variables.

(f(fxx))xx, (f, (fxx))y, y, (f(fyy))x, x, (f(fyy))y y se denomina segundas se denomina segundas

derivadas de f. si z=f(x,y) se utiliza la siguiente derivadas de f. si z=f(x,y) se utiliza la siguiente notacion.notacion.

(f(fxx))x x = d= d22z/dxz/dx22

(f(fxx))y y = d= d22z/dydxz/dydx

(f(fyy))xx = d = d22z/dxdyz/dxdy

(f(fyy))yy = d = d22z/dyz/dy22

fxy=fyx para la mayoria de las funciones. Esto se demuestra con el teorema de Clairaut:

fxy(a,b) = fyx(a,b)

Halle las derivadas parciales Halle las derivadas parciales indicadasindicadas

Ejercicio 11.3.65Ejercicio 11.3.65

Si le dijera que existe una función cuyas Si le dijera que existe una función cuyas derivadas parciales son derivadas parciales son ffxx(x,y)= x + 4y(x,y)= x + 4y

y y ffyy(x,y) = 3x – y(x,y) = 3x – y y cuyas derivadas y cuyas derivadas

parciales de segundo orden son parciales de segundo orden son continuas, ¿usted lo creeria?continuas, ¿usted lo creeria?

-- Ecuación de Laplace y Ecuación de Onda

- - Movimiento Ondulatorio “Ecuacion de Onda Viajera”

Las derivadas parciales se presentan en las ecuaciones diferenciales parciales que expresan ciertas leyes físicas:

Ecuacion de Laplace:

La ecuación de Laplace describe siempre procesos estacionarios enlos que el tiempo no es una de las variables independientes.

Ecuacion de Onda:

Ejemplo No. 1 . Probar que la función:

u (x,y) = e^x sen y

Es una solución para la ecuación de Laplace

Ejemplo No. 2 . Compruebe que la función:

u (x, t) = sen (x - at)

satisface la ecuación de la onda.

¿Qué fenómenos describen las ¿Qué fenómenos describen las ondas viajeras?ondas viajeras?

f(x,y)

En el mar En una cuerda El sonido

La posición de una particula esta definida La posición de una particula esta definida por la distancia a la que se encuentra del por la distancia a la que se encuentra del

origen, y el tiempo en el que esta oscilandoorigen, y el tiempo en el que esta oscilando

)(),( tkxASentxfy

De donde:De donde:

y es su posicióny es su posiciónA es su amplitudA es su amplitudk es el numero de oda angulark es el numero de oda angular

w es la frecuencia angularw es la frecuencia angularx y t son las variables de las cuales depende x y t son las variables de las cuales depende la posición y de la partículala posición y de la partículaØ es el angulo de faseØ es el angulo de faseT y T y son periodo y longitud de la ondason periodo y longitud de la onda

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.htmlArmonica/ondasArmonicas.html

2

k

T

2

Posición, velocidad y Posición, velocidad y aceleración de propagación aceleración de propagación

de onda en “x”de onda en “x”Posición respecto al origen Posición respecto al origen

Velocidad de propagación Velocidad de propagación

Aceleración en dirección xAceleración en dirección x

v y a son constantes conocidas, y la posición x v y a son constantes conocidas, y la posición x respecto al origen esta definida para encontrar respecto al origen esta definida para encontrar las posición de una partícula y=f(x,t)las posición de una partícula y=f(x,t)

0xa

0xx

Tvx

Posición, velocidad y Posición, velocidad y aceleración de una aceleración de una

partícula en “y”partícula en “y”Posición respecto al origen en “y”Posición respecto al origen en “y”

Velocidad de una partícula en “y”Velocidad de una partícula en “y”

Aceleración de una partícula en “y”Aceleración de una partícula en “y”

)(

tkxACost

y

dt

dyv

cxy

)( tkxASeny

)(2

tkxASent

v

dt

dva y

cx

yy

¿Cuál es la posición, velocidad y aceleración de una partícula que se ¿Cuál es la posición, velocidad y aceleración de una partícula que se encuentra en una cuerda que esta oscilando con una frecuencia de encuentra en una cuerda que esta oscilando con una frecuencia de

1Hz con una velocidad de propagación de 2m/s y una Amp. de 0.5m?1Hz con una velocidad de propagación de 2m/s y una Amp. de 0.5m?

Cuando x = 3m y t = 1 segundosCuando x = 3m y t = 1 segundos Primero requerimos los valores de k y wPrimero requerimos los valores de k y w

1 2 3 4 51 2 3 4 5

6 6

7 8 7 8

2

kT

v

vTf

T1

f

v

2)1(222

HzfT 5.0A

0

Por lo tanto nuestra ecuación de onda es:Por lo tanto nuestra ecuación de onda es:

Y la posición en x = 3m y t = 1 segundosY la posición en x = 3m y t = 1 segundos

Con este resultado nos damos cuenta de que la Con este resultado nos damos cuenta de que la posición de la partícula esta dado por la posición de la partícula esta dado por la coordenada:coordenada:

)2(5.0),( txSentxfy

0)]1(2)3([5.0)1,3( Senfy

)0,3(),( yx

Su velocidad en x es 2, y su velocidad en y Su velocidad en x es 2, y su velocidad en y esta dada por:esta dada por:

Por lo tanto su velocidad en x = 3m y t = 1 Por lo tanto su velocidad en x = 3m y t = 1 segundo es:segundo es:

La velocidad neta es entonces:La velocidad neta es entonces:

)2(2),( txACostxfvy

)(

tkxACost

y

dt

dyv

cxy

)]1(2)3([)1,3( Cosfvy

jjvv y

Su aceleración en x es 0, y su aceleración en Su aceleración en x es 0, y su aceleración en y esta dada por:y esta dada por:

Por lo tanto su aceleración en x = 3m y t = 1 Por lo tanto su aceleración en x = 3m y t = 1 segundo es:segundo es:

La aceleración neta es:La aceleración neta es:0 jaa y

22 2)]1(2)3([2)1,3( Senfay

)(2

tkxASent

v

dt

dva y

cx

yy