epäsymmetriset pelit ii: luokittelu ja esimerkkejä

S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 12 – Jouni Pousi

Optimointiopin seminaari - Syksy 2008

Epäsymmetriset pelit II:luokittelu ja esimerkkejä

Jouni Pousi

[email protected]

5.11.2008



Sisältö

• Epäsymmetristen pelien luokittelu

• Yhden epäsymmetrian pelit

• Esimerkkejä yhden epäsymmetrian peleistä

• Useamman epäsymmetrian pelit

• Esimerkkejä useamman epäsymmetrian peleistä

• Yhteenveto



Epäsymmetristen pelien luokittelu 1/2

1. Yksi epäsymmetria, molempien pelaajien tiedossa

a) Epäsymmetriä ei korreloi palkkioiden tai resurssivarannon (Resource Holding Power, RHP) kanssa

• Kappale 9

b) Palkkio ja/tai resurssivarannot erilaiset eri rooleissa• Kappale 9

c) Strategiajoukot, palkkiot ja resurssivarannot eroavat eri rooleissa• Kappale 10

2. Yksi epäsymmetria, pelaaja tietää vain oman roolinsa• Palkkiot satunnaisia

• Kappale 3 (viivytystaistelu), liite G



Epäsymmetristen pelien luokittelu 2/2

• Luokat 3 ja 4 tämän esityksen aiheena

3. Yksi epäsymmetria, epäsymmetriaan liittyvä informaatio epävarmaa

• Esim. koko tai voimakkuus

• Peliin liittyy arviontivaihe

4. Useampi epäsymmetria

• Esim. omistajuus ja kokoero



Seltenin teoreema

• Pelillä jossa on molempien tiedossa oleva epäsymmetria ei voi olla ESS:ää joka on sekastrategia (Selten, 1980)

– Esim. eläin tietää olevansa suurempi tai vahvempi

• Seltenin teoreeman avulla voidaan hakea epäsymmetristen pelien ESS

• ”Neutraalisti stabiilit” sekastrategiat kuitenkin mahdollisia

– Sekastrategia ”yhtä hyvä” kuin ESS

– Edellisen esityksen esimerkki, Maynard Smith s.105



Seltenin teoreeman todistus 1/2

• Oletetaan peli, jossa:

– Toiminnot A ja B

– Roolit 1 ja 2

• Määritellään sekastrategia I:

– A todennäköisyydellä p

– B todennäköisyydellä 1-p

• Määritellään strategia J:

– Joko puhdas- tai sekastrategia



Seltenin teoreeman todistus 2/2• Oletetaan sekastrategia-ESS

– Rooli 1: pelaa I

– Rooli 2: pelaa J

• Bishop-Cannings: E(I, J) = E(A, J) = E(B, J)

• Jos I ESS, oltava voimassa

– E(I, A) > E(A, A)

– E(I, B) > E(B, B)

• I vastaan A tai B ei mahdollista, koska I, A, B roolissa 1!

ESS ei voi olla sekastrategia



Arviointi epäsymmetrisessä pelissä

• Muodostetaan epäsymmetrian sisältävä pelimalli

– Epäsymmetria: kokoero

• Oletukset:

– Molemmat osapuolet tunnistavat kokoeron

– Kokoero ennustaa eskaloituneen kamppailun lopputuloksen täydellisesti

• Lisätään haukka-kyyhky peliin ”arvioija” (A)-strategia

– Jos suurempi, pelaa haukka

– Jos pienempi, pelaa kyyhky

• Seltenin teoreemasta:

– Ainoa ESS A, jos V>0, C>0

H D A

H (V-C)/2 V (V-C)/2

D 0 V/2 V/4

A V/2 3V/4 V/2



Haukka-kyyhky-arvioija (HKA) pelin laajennus

• Aikaisempi tulos ei uskottava, kamppailua tapahtuu luonnossa

• Laajennetaan peliä lisäoletuksilla:

1. Arvionti ei ole ilmaista

– Molemmille arvioijille kustannus c < C

2. Kokoero ei ennusta eskaloituneen kamppailun lopputulosta täydellisesti

– Suurempi eläin voittaa todennäköisyydellä x

– Eläimen täytyy tietää olevansa suurempi, muutoin Seltenin teoreema ei voimassa!



Laajennettu haukka-kyyhky-arvioija

H D A

H(V-C)/2 - c

(V-C)/2 - c

0

V

[Vx - C(1-x)]/2 - c

[V(1-x) – Cx]/2 + V/2 – c

DV

0

V/2

V/2

V

0

A[V(1-x) – Cx]/2 + V/2 - c

[Vx - C(1-x)]/2 - c

0

V

V/2 – c

V/2 - c

Huomaa Maynard Smithin notaatio: rivipelaajan palkkiot alempana

Systems Analysis Laboratory

Tätä täytyy avata - tee esim. sarjakuva. JoP



HKA-pelin ESS:t• ESS:t Seltenin teoreemaa hyödyntäen

• A on ESS jos– c < V/2

– Cx > V(1-x)

• H on ESS jos– c < (V-C)/2

– Cx < V(1-x) Arviointi on järkevää, jos

i. Arvionti on halpaa (pieni c)

ii. Eskalointi on kallista (suuri C)

iii. Koko ennustaa eskaloituneen kamppailun voiton (x ≈ 1)



Epävarmuus epäsymmetrian arvioinnissa

• Entä jos koon arviointiin liittyy epävarmuutta?

• Tällöin myös arvioija-populaatiossa eskaloituneita konflikteja

• Maynard Smith ja Parker (1976): ESS muotoa

– H jos arvioi olevansa suurempi

– D jos arvioi olevansa pienempi

Käytännön merkitys

• Vaikka populaatio arvioija-ESS:ssä, voidaan havaita eskaloituneita konflikteja



Arviontistrategia luonnossa

• Minkälaista käyttäytymistä tulisi näkyä luonnossa, jos arviointistrategia käytössä?

i. Eläimet havaitsevat jonkin ominaisuuden toisissaan, joka ratkaisee pelin ilman eskaloitunutta kamppailua

ii. Pelissä on aloitusvaihe, jonka aikana ominaisuus havaitaan

iii. Ominaisuuden valehteleminen vaikeaa

iv. Ominaisuus korreloi taistelumenestyksen kanssa



Ominaisuuksien esittely• Alaskanlampaiden (ovis dalli)

sarvikoko vaihetelee suuresti(Geist 1966)– Sarvet esittellään kilpailutilanteissa

• Oliivipaviaanien (papio anubis) taistelukyky riippuu kulmahampaiden kunnosta(Packer 1977a)– Kilpailutilanteessa kulmahampaat

esittellään haukottelemalla

• Linnuilla ja nisäkkäillä matalat äänet viittaavat aggressiivisuuteen, korkeat pelkoon(Morton 1977, Collias 1960)– Matalat äänet viittaavat suureen

kokoon Todistusaineistoa oletusten

voimassaolosta?



Saksanhirvien parittelu• Saksanhirvet (cervus elaphus) parittelevat syys-

lokakuun aikana (Clutton-Brock ja Albon 1979)

• Naarashirvet (hind) keskittyvät tietylle alueelle, uroshirvet (stag) seuraavat

• Uroshirvet kamppailevat naarashirviryhmien eli ”haaremien” hallinasta

• 7-11 vuotias uroshirvi voi pitää haaremia 2-4 viikkoa

– Yhteenotto n. 5 päivän välein

• Taistelu kallista

– 6% uroshirvistä loukkaantuu vakavasti

– 25% loukkaantuu vakavasti elinaikanaan

– Yhteenoton aikana haaremista saatetaan varastaa naarashirviä

C mahdollisesti suuri



Saksanhirvien parittelu:ominaisuuksien esittely - mylvimiskilpailu

• Uroshirvet mylvivät vuorotellen kilpailijalleen

• Mylvimiskilpailun jälkeen toinen uroshirvistä saattaa vetäytyä

• Onnistuminen taistelussa korreloi voimakkaasti (+0.80) mylvimistahdin kanssa

• Taistelu yleisintä hirvillä joiden mylvimistahti yhtä suuri

• Selitys: mylvimiskyky sekä taistelukyky heikkoja

– Vanhoilla uroshirvillä (11 vuotta)

– Pitkään haaremia pitäneillä uroshirvillä



Saksanhirvien parittelu:ominaisuuksien esittely – rinnakkain kävely

• Useimpia taisteluita edeltää rinnakkain kävely

– Uroshirvet kävelevät vierekkäin muutaman metrin päässä toisistaan

– Yleisintä uroshirvillä joiden mylvimistahti on yhtä suuri

• Rinnakkain kävelyn jälkeen toinen uroshirvistä saattaa vetäytyä

• Pitkä rinnakkainkävely

– Taistelu epätodennäköistä

– Syntyessään taistelu pitkä

• Selitys: jos taistelukyvyssä suurta eroa, se havaitaan pitkän rinnakkain kävelyn aikana



Saksanhirvien parittelu:50 yhteenoton tulokset

Lähestyminen(50)

Mylvimiskilpailu(33)

Ei mylvimiskilpailua(17)

Rinnakkain kävely(17)

Vetäytyminen(16)

Rinnakkainkävely(7)

Ei rinnakkainkävelyä(10)

Taistelu(8)

Vetäytyminen(9)

Taistelu(5)

Vetäytyminen(2)

Taistelu(1)

Vetäytyminen(9)




Lähestyminen(50)




Vetäytyminen(16)



Taistelu(8)

Vetäytyminen(9)

Taistelu(5)

Vetäytyminen(2)

Taistelu(1)

Vetäytyminen(9)

14 taistelua

50 kohtaamisessa

14 taistelua

50 kohtaamisessa




Lähestyminen(50)




Vetäytyminen(16)



Taistelu(8)

Vetäytyminen(9)

Taistelu(5)

Vetäytyminen(2)

Taistelu(1)

Vetäytyminen(9)

Vain 1 taistelu

ilman arviointia!

Vain 1 taistelu

ilman arviointia!



Rupikonnien parittelu

• Naaraat saapuvat lammikoihin kutemaan1-2 viikon aikana keväällä (Davies ja Halliday 1978)

• Koiras tarttuu naaraan selkään, ja saattaa pysyä siellä useita päiviä

• Ylimäärä koiraita, paljon kilpailua

• Kilpailija yrittää irrottaa tarrautuneen koiraan painimalla



Rupikonnien parittelu:ominaisuuksien esittely - kurnutus

• Painimisessa koko tärkeä, mutta pienempi tarrautuja voi pärjätä– Suurempi voitti pienemmän

tarrautuneen 10 tapauksessa 23:sta

– Pienempi voitti suuremman tarrautuneen 0 tapauksessa 18:sta

• Tarrautunut koiras kurnuttaa ennen taistelun alkua– Kurnutuksen syvyys kertoo koosta

• Davies ja Halliday tutkivat laboratorio-olosuhteissa– Sekä koko että kurnutuksen

syvyys vaikuttavat Kurnutus on arviontivaihe



Yhteenveto yhden epäsymmetrian peleistä

• Resurssivarannon arviontia havaittu tapahtuvan eläinten välisessä kilpailussa– Sarvien koko, kulmahampaat, mylvimiskilpailut, rinnakkain kävely,

kurnuttaminen resurssivarannon mittareita

– Valehteleminen vaikeaaa

• Esimerkeissä välitetty signaali– Liitty taistelukykyyn

– Vaikuttaa eläinten käyttäytymiseen

• Saksanhirvillä ja rupisammakoilla lisäksi omistajuuteeen liittyvä epäsymmetria

– Miksei omistajuus ratkaise suoraan?

• Haukka-kyyhky-porvari pelin ominaisuudet– B on ESS vain jos V<C

– H on ESS vain jos V>C

• Saksanhirvillä ja rupisammakoilla luultavasti V>C



Useamman epäsymmetrian pelit

• Epäsymmetrioita voi olla useampia– Esim. kokoero ja omistajuus

• Tällöin sekä porvari- että arvioija-ESS mahdollinen• Todennäköisesti reviiristä, pesästä tai seitistä kilpaileminen

– Kamppailun vaihtoehtona on oman löytäminen tai rakentaminen

• Epäsymmetrioista toinen voi vaikuttaa palkkioihin enemmän– Ratkaiseeko tärkeämpi epäsymmetria pelin suoraan

– Hammerstein (1981): ei välttämättä

• Esiintyykö tällaisia pelejä luonnossa?



Taskurapu uca pugilator• Ravut kilpailevat pesäkolojen hallinnasta

(Hyatt ja Salmon, 1978)

– Pesäkolot parittelupaikkoja

• Epäsymmetriat:

– Pesäkolon omistajuus

– Kokoero

• Havainnot:

– Omistajuus vaikuttaa eniten

– Kokoero vaikuttaa vähemmän

• C:n arvo vaikea määrittää

– Saksella voisi murskata vastustajan

– Taisteluista ei kuitenkaan merkkejä

– Rinnakkaislaji uca burgersi taistelee(Jones 1980)

Omistaja

voitti

Tunkeilija

voitti

Tunkeilija

suurempi

349

50

Ei kokoeroa

3

Tunkeilija pienempi

1



Suppilohämähäkki agelenopsis aperta



Hämähäkkien kilpailu verkoista

• Naarashämähäkit kilpailevat verkkojen omistuksesta (Richert 1978, 1979, 1981)

• Osalla naaraista ei verkkoja– Aavikkoisella ruohotasangolla 5-35%

• Verkkojen arvo vaihtelee– Arvokkaammista verkoista taistellaan enemmän

– Vain omistaja tietää verkon arvon

• Omistajan paino kasvaa keskimäärin 3.3 mg päivässä

• Ei-omistajien paino vähenee keskimäärin 8.6 mg päivässä

• Heinäkuussa hämähäkit hukkuvat sateissa– Munat säilyvät

– Munien määrä riippuu naaraan painosta



Suppilohämähäkkien kilpailun vaiheet

i. ”Asemointi”; asettautuminen verkkoon, verkon väristely

• Väristely välittää tietoa hämähäkin massasta

ii. ”Signalointi”; pitkä viestintä väristämällä ja visuaalisilla esityksillä

iii. ”Uhkailu”; vastustajaa kohti juokseminen ja syöksyminen

iv. ”Kontakti”; äärimmäisillään kilpailijat pyörivät verkossa toisissaan kiinnittyneinä

• Kuolemisen tn. 1%

• Loukkaantuminen tavallista



Havainnot kilpailuistai. Lyhimmät kilpailut kun omistaja paljon suurempi kuin

tunkeilija

– Suurempi hämähäkki voitti 91% havaituista kilpailuista

– Jos painoero yli 30%, signalointivaihe voi jäädä väliin

– Jos samankokoisilla hämähäkeillä tunkeilijan painoa lisätään punnuksin, tunkeilija voittaa

ii. Pitkä kilpailu ja signalointivaihe jos kokoero alle 10 %

– Omistaja yleensä voittaa

iii. Pisimmät kilpailut kun verkko arvokas ja tunkeilija hieman pienempi

– Usein myös uhkailu- ja kontaktivaihe



Pelimalli suppilohämähäkkien kilpailulle• Muodostetaan pelimalli havaitun käyttäytymisen selittämiseksi

• Oletukset

i. Osuudella p verkoista arvo V, 1-p arvo v, jossa V >> v

ii. Kaksi toimintoa, haukka (H) ja kyyhky (D)

iii. Omistajalla ja tunkeilijalla kokoero

– Eskaloituneessa kamppailussa omistaja voittaa tn. x

iv. Eskaloituneen kamppailun palkkiot

– Voittajalle V tai v

– Häviäjälle -C

v. Molemmat kilpailijat tietävät arvon x, verkon arvo vain omistajan tiedossa

vi. Tapauksessa (D, D) molemmilla yhtä suuri todennäköisyys saada verkko



Pelimallin strategiat• Kiinnitetään strategiat omistajalle ja tunkeilijalle

• Omistajan strategiat

– Haukka (H): eskaloi aina

– Kyyhky (D): älä ikinä eskaloi

– Ehdollinen haukka (CH): eskaloi jos verkon arvo V, älä muulloin

• Tunkeilijan strategiat:

– Haukka (H): eskaloi aina

– Kyyhky (D): älä ikinä eskaloi

– Ei ehdollista strategiaa, koska verkon arvo vain omistajan tiedossa

• Muuttuja x molempien kilpailijoiden tiedossa ennen peliä

Strategiat tulevat olemaan ehdollisia x:n arvolle



Pelimatriisi suppilohämähäkkien kilpailulle

H D

HE(1-x) - Cx

Ex - C(1-x)

0

E

CHp[V(1-x) - Cx] + (1-p)v

p[Vx - C(1-x)]

(1-p)v/2

(E+pV)/2

DE

0

E/2

E/2

E = pV + (1-p)v

Omistaja

Tunkeilija



Pelimallin analysointi

• Pelimatriisista voidaan löytää parhaat vasteet

• Jos tunkeilija valitsee H:n, paras vaste omistajalle on

– H jos x > C/(v+C)

– CH jos C/(C+V) < x < C/(v+C)

– D jos x < C/(V+C)

• Maynard Smith: jos tunkeilijan paras vaste omistajan strategiaan on omistajan paras vaste tunkeilijan strategiaan, kyseessä ESS

– Vrt. kuitenkin Nashin tasapaino!



Pelimallin tulokset

• Numeerinen esimerkki– V=2C, v=C/2, p=1/4

• Vasteet x:n funktiona

• Kaksi ESS:ää– A-tyyppi

– B-tyyppi

• Molemmat selittävät havainnot– Pieni kokoero (x ≈ ½), omistajan strategia

riippuu verkon arvosta

– Ei eskaloitunutta kamppailua jos suuri kokoero

– Alue pisteen x = ½ ympäristössä jossa eskaloituneita taisteluita tapahtuu verkon arvon perusteella



Lantakärpästen kilpailu• Parittelun jälkeen koiraat jäävät naaraan

selkään

• Yhteenotot tarrautuneen koiraan ja tunkeilijan välillä

• Sigurjónsdóttir ja Parker (1981) tutkivat 200 yhteenottoa

– Pituus, lopputulos, koot

– Naaraan jäljellä olevat munat naaraan arvon mittari

• 195 tapauksessa tunkeilija suurempi– Kokoero havaitaan ennen taistelua

– Omistaja voittaa, ellei kokoero suuri

• Omistaja voitti 75% taisteluista koosta riippumatta

– Omistajalla asemointietu

• Strategioiden arviointi vaikeaa– Vain häviäjän valitsema aika tiedossa

– Voittaja valmis odottamaan pidempään



Havainnot lantakärpästen kilpailusta

i. Suhteellinen koko tärkeää• Kun omistajan koko kasvaa, tunkeilijan kärsivällisyys lyhenee

• Omistajan pitenee?

ii. Tunkeilijan onnistumistodennäköisyys kasvaa jos naaras suurempi

• Suuri koko viittaa suureen munien määrään

• Tunkeilija valmis odottamaan kauemmin

iii. Omistajan kärsivällisyys korreloi negatiivisesti jo odotetun ajan kanssa

• Positiivinen korrelaatio jäljellä olevien munien kanssa

• Hyökkääjän kärsivällisyys ei korreloi

• Munien määrä vain omistajan tiedossa



Yhteenveto

• Epäsymmetriat yleisiä eläinten välisissä yhteenotoissa

• Havaintoaineisto vahvistaa arvioinnin tärkeyden

• Muodostamalla sopiva pelimalli voidaan selittää eläinten käytös

• Miten löydetään ESS, jos strategiajoukot erilaiset?

– Seuraava esitys?



Kotitehtävä

• Muodosta pelimalli jollekin luonnossa esiintyvälle epäsymmetriselle yhteenotolle ja ratkaise sen ESS, jos mahdollista/helppoa

• Pohdi lähestymistavan, pelimallin ja ESS:n järkevyyttä



Sanastoa 1/2

• Escalated conflict: eskaloitunut kamppailu

• Canines: kulmahampaat

• Olive baboon (papio anubis): oliivipaviaani, anubispaviaani

• Stone’s sheep (ovis dalli): alaskanlammas. Kaksi alalajia, ovis dalli dalli (Dall’s sheep) ja ovis dalli stonei (Stone’s sheep)

• Red deer (cervus elaphus): saksanhirvi, nykyään isokauris

• Stag: uroshirvi tai uroskauris

• Hind: naarashirvi tai naaraskauris



Sanastoa 2/2

• Roaring contest: mylvimiskilpailu

• Parallel walk: rinnakkain kävely

• Toad (bufo bufo): rupikonna

• Sand fiddler crab (uca pugilator): eräs taskurapu, suomenkielinen nimi ei tiedossa

• Burrow: pesäkolo

• Funnel web spider: suppilo(verkko)hämähäkki, mattohämähäkki

• Desert grass spider (agelenopsis aperta): eräs suppilohämähäkki, suomenkielinen nimi ei tiedossa



Lähteet

• Kaikki viitteet ja teksti: Maynard Smith (1982). Evolution and the Theory of Games, Cambridge University press.

• Kuvamateriaali: Wikimedia Commons

epäsymmetriset pelit ii: luokittelu ja esimerkkejä

Documents