Entwurf superstabiler Regelkreise

BetreuerProf. A.Hofer

Institut für Regelungstechnik

Hauser Helmut

Ausgangspunkt - L1-Theorie

G(z)

LTI , BIBO-stabil

w(k) e(k)

ZusammenhängeForderungen

• |w(k)| 1 für alle k

• ||e(k)|| möglichst klein

)ik(w)i(g)k(ek

0i

)k(w)k(g)k(e

1

Grundidee der Diplomarbeit

Nachteile der L1-Theorie

Die Reglerordnung kann sehr hoch werden

von Anfangsbedingungen gleich Null wird ausgegangen

Vorteile der L1-Theorie

Der Reglerentwurf findet direkt im Zeitbereich statt

Eine Robuste Regelung und Stellgrößenbeschränkung können berücksichtigt werden

Neuer Ansatz um Nachteile zu beseitigen und

Vorteile zu übernehmen

Alte und neue Definition

Eine Strecke hat l1 -Performance kleiner als l1 genau dann, wenn für die Zustandsgrößen zum Zeitpunkt Null x(0)=0 und für die Eingangsfolge |w(k)| 1 gilt, und der Betrag der Ausgangsfolge e(k) für alle Zeitpunkte k 0 unter der Schranke l1 bleibt.

Eine Strecke besitzt genau dann eine Equalized Performance kleiner als , wenn für die ersten n Werte der Ausgangsfolge |e(i)| gilt, und für die Eingangsfolge |w(j)| 1, j=0,1,... gilt, und die Ausgangsfolge auch weiterhin unter der Grenze bleibt

|e(k)| für k n

L1-Theorie

Equalized Performance

Berechnung der Equalized Performance μ

Eingang w(k)

LTIAusgang e(k)

Abschätzungen:

N

1iia

)(wa1

b

)(e N

1i

ii

N

0j

jj

N

0jj

N

1ii )jk(wb)ik(ea)k(e

bzw.

N

0jjb|)k(e| 1|)k(w|

Zugehöriges ARMA Modell

1z

Berechnung der Equalized Performance μ

1|b||a|N

0jj

N

1ii

TN10 ]x,x,x[x

N

0ii1

xx

Definition der 1-Norm

Equalized Performance

1

1

a~1

b

Superstabilität

1. superstabilisieren

2. minimieren

NN1o xxx)(x 0

N

1ii x|x|

Idee für den Reglerentwurf:

Superstabiles Systeme: Wenn Nennerpolynom superstabil ist !

1a~b1

11

Superstabiles Polynom:

Reglerentwurf

Strecke

Regler

e(k)

y(k)u(k)

w(k)

)(u

)(w

)(n)(n

)(n)(n

)(d

1

)(y

)(e

2221

1211

Reglerentwurf

1.) Ziel des Reglers:

Auswirkung der Störung w(k) auf Ausgang e(k) optimal unterdrücken.

3.) Problem läßt sich mich LP lösen

wird außerhalb von LP durch Intervallhalbierung optimiert

TTT pq 11

11

2.) Übertragungsfunktion von w(k) e(k)

Abhängigkeit der Koeffizienten des geschlossenen Kreises von den Reglerkoeffizienten

Reglerentwurf

Wir suchen diejenigen Reglerkoeffizienten pi und qi , die

unsere Übertragungsfunktion von w(k) e(k) superstabilisieren, und dabei die optimale Equalized

Performance liefern.

Mathematische Problemformulierung

0

min

1)p,q(a~)p,q(b1

11

Verbale Problemformulierung:

Stellgrößenbeschränkung

Equalized Performance stellt eine Obergrenze für die Absolutwerte der Ausgangsfolge dar.

Idee:

1l~

k1

11

Zusätzliche Beschränkung für die Reglerkoeffizienten

Erforderliche Ordnungen werden höher sein

Übertragungsfunktion Gu mit Ausgang Stellgröße zusätzliche Gleichungen Ungleichungen

)(l~

1

)(k)(Gu

Beispiel mit u(k) Beschränkung

• Beispiel der Form:

Forderung: |u(k)| 80 !!

R(z)y(k)u(k)

d‘(k) d(k)

P(z)

F(z)

Vergleich: u(k) beschränkt und unbeschränkt

Regler-

Ordnung

1 2 3 4 5 6

x 0.04901 0.04208 0.03712 0.03488 0.03350

Regler-

Ordnung

7 8 9 10 11 12

x x x 0.05231 0.04840 0.04719

|u| 80

u = unbeschränkt

Resultate

• L1-Theorie

liefert Regler der Ordnung = 11

mit = 0.04839902

• Mit neuem Ansatz

Wenn Ordnung = 11 vorgegeben wird

mit = 0.04839902

Nullstellen Pole

Zusammenfassung - SISO

• Liefert gute Ergebnisse im Störentwurf

• Ordnung kann vorgegeben werden

• Anfangszustände ungleich Null möglich

• Lösung mit LP möglich

• Vergleich mit L1-Theorie – niedere Ordnungen

• Stellgrößenbeschränkung

• Robustheitsforderungen

Erweiterung auf MIMO

kk

kk1k

xCy

uBxAx

Abschätzungen

kk1k uBxAx

Maximal 1Definition: ||A|| = q

q1

Bxq

q1

Bx 0

kk

Induktion

Superstabilität - MIMO

1Aq1

Bedingung: Equalized Performance

1

1

A1

B

q1

Bxq

q1

Bx 1

0k1

k

|u(k)| = 0

0k

k xqx q1

Bx 1

k

|u(k)| 1

Reglerentwurf

k2kk

k1kk1k

dDxCy

dDuBxAx

Statische Regler

1

121

BKCA1

BKDD

1BKCAAC

kk yKu

Strecke

D2D1

u(k)

d(k)

y(k)

K

Reglerentwurf

Gleichungen, die Abhängigkeiten widerspiegeln Ungleichungen

Analoge Idee wie im SISO-Fall

Wir suchen diejenige Reglermatrix K, welche die Ungleichung ||A+BKC||<1 erfüllt, und gleichzeitig die optimale Equalized Performance liefert.

Für LP wird benötigt:

1BKCABKDD1

1121

Beispiel Papiermaschine

1)k(d1

5.0)k(d2

Ergebnisse

0.99016091508199

Equalized Performance

20.32709359303108

0.2 0

0 0.1

0 0

0 0

0 0

1D 0D2

qA1

Zusammenfassung - MIMO

Wenige Systeme superstabilisierbar (auch mit Zustandsregelung)

Oft bis knapp über der Grenze von 1

Große Systeme weiter weg von Superstabilität

Regler mit Koeffizienten = Null zusätzliche Beschränkung notwendig

Stark eingeschränkt in seiner Anwendbarkeit