Entropie (Thermodynamik) 1

Entropie (Thermodynamik)

Physikalische Größe

Name Entropie

Formelzeichen der Größe

Größen- undEinheitensystem

Einheit Dimension

SI L2·M·T−2·θ−1

Schmilzt Eis, wird die geordneteEiskristallstuktur in eine regellose Bewegung

einzelner Wassermoleküle überführt. DieEntropie nimmt dabei zu (Rudolf Clausius 1862).

Die Entropie (griechisches Kunstwort ἐντροπία [entropía], von εν~[en~] – ein~, in~ und τροπή [tropē] – Wendung, Umwandlung) isteine fundamentale thermodynamische Zustandsgröße. Sie beschreibtdie Zahl der Mikrozustände, durch die der beobachtete Makrozustanddes Systems realisiert werden kann. Sie ist eine extensiveZustandsgröße, jedem Zustand eines thermodynamischen Systemskann also ein Wert der Entropie zugeordnet werden. Die statistischePhysik interpretiert diese Zahl als Maß für das vom System erreichbarePhasenraumvolumen, in der klassischen Thermodynamik sindGleichgewichtszustände mit gleicher Entropie adiabatisch äquivalent.

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Dem Gas steht nach dem Entfernen der Zwischenwand ein größerer Raum zurVerfügung. Es existieren nach der Expansion also mehr Mikrozustände und das

System besitzt eine höhere Entropie.

Einordnung in dieThermodynamik

Die klassische Thermodynamik ist einDenkmodell, das die energetischenWechselwirkungen des Systems mit seinerUmgebung beschreibt. Das System hat dabeizwei prinzipielle Möglichkeiten, mit seinerUmgebung Energie auszutauschen: in Formvon Wärmeübertragung und in Form vonArbeit. Im Zuge eines solchenEnergieaustauschs ändert sich die Entropiedes Systems und der Umgebung. Nur wenndie Summe dieser beidenEntropieänderungen positiv ist, das Systemnach der Änderung also mehrMikrozustände besitzt als vorher, erfolgt die Änderung spontan.

GrundlagenDie Entropie (Einheit J/K) ist eine extensive Zustandsgröße eines physikalischen Systems und verhält sich beiVereinigung mehrerer Systeme additiv wie auch das Volumen, die Elektrische Ladung oder die Stoffmenge.Dividiert man durch die Masse des Systems, erhält man die spezifische Entropie mit der Einheit J/(kg·K) alsintensive Zustandsgröße. Der deutsche Physiker Rudolf Clausius führte diesen Begriff 1865 zur Beschreibung vonKreisprozessen ein.Das Differential (ein nicht-kursives d wird benutzt, um herauszuheben, dass es sich um ein vollständigesDifferential, das heißt eine Zustandsgröße, handelt) ist nach Clausius bei reversiblen Vorgängen das Verhältnis vonübertragener Wärme und absoluter Temperatur :

Diese Entropieänderung ist bei Wärmezufuhr positiv, bei Wärmeabfuhr negativ. Clausius beschrieb auch dieEntropievermehrung ohne Wärmeübertragung durch irreversible Vorgänge in einem isolierten System mit derUngleichung:

Man unterscheidet heute zwischen der transportierten Entropie (1. Gleichung) und der produzierten Entropie (2.Gleichung) und fasst − allgemein gültig, also auch für das nicht adiabate System – beide Gleichungen zusammen:

Dabei ist die innerhalb des Systems dissipierte Arbeit, die immer positiv ist, also dem System zugeführtwird (z. B. Reibungsarbeit). Die 3. Gleichung ist eine Form des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. DasDifferential existiert allerdings nur für quasi-statische Zustandsänderungen, d. h., dass eine Folge vonZuständen messtechnisch erfasst werden kann (Zustände mit nur geringen Ungleichgewichten). Bei dem im Bilddargestellten Vorgang im adiabaten System, bei dem nur Anfangszustand und Endzustand angegeben werdenkönnen, wäre das nicht der Fall. Für ein ideales Gas kann aber die Entropiedifferenz auf einfache Weise über einenreversiblen isothermen Ersatzprozess (Abgabe von Arbeit und Aufnahme von Wärme aus der Umgebung) berechnetwerden, wie dies im Abschnitt Beispiele geschehen ist.

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Geschichte des BegriffesDie Entropie ist neben der Energie der wichtigste Begriff der Thermodynamik und es ist hilfreich, sich für einbesseres Verständnis an den Ausgangspunkt dieser Wissenschaft zu begeben und die Entwicklung zu rekapitulieren.Im Jahre 1712 wurde die erste Dampfmaschine von Thomas Newcomen in einem Bergwerk installiert, um Wasserzu pumpen. Die Maschine wurde ihrer Aufgabe gerecht, benötigte aber sehr viel Brennstoff. Zu diesem Zeitpunktwar der Zusammenhang zwischen Energie und Wärme völlig unklar und es sollten noch über 130 Jahre vergehen,bis Julius Mayer den 1. Hauptsatz der Thermodynamik publizierte. Ab 1764 verbesserte James Watt dieDampfmaschine und konnte deren Wirkungsgrad auf über 1 % mehr als verdoppeln, und das ohne Kenntnis derformalen thermodynamischen Gesetze. Erst 60 Jahre später hatte der junge französische Ingenieur Sadi Carnot dieentscheidende Idee, die er 1824 publizierte. Inspiriert von der Arbeit seines Vaters über Wassermühlen beschriebCarnot eine Dampfmaschine durch einen zyklischen Prozess, bei dem Wärme von einer heißen Quelle zu einerkalten Senke fließt und dabei Arbeit leistet. Das Verhältnis von entnommener mechanischer Arbeit ΔW zueingeleiteter Wärme ΔQ war der Wirkungsgrad η:

In seiner ursprünglichen Schrift vertrat Carnot die Meinung, dass Wärme eine Art unwägbarer Stoff sei, der immervon einem heißen zu einem kühleren Körper fließe, ähnlich wie Wasser sich immer bergab bewegt. Und genau wieherabstürzendes Wasser könne Wärme umso mehr Arbeit leisten, je höher das Gefälle sei, insbesondere könne dieMaschine nicht mehr Arbeit leisten als Wärme zugeführt wurde. Carnot korrigierte sich später und erkannte bereitsein Jahrzehnt vor Mayer, Joule und Thomson die Äquivalenz von Wärme und Energie. Er war also seiner Zeit weitvoraus, starb jedoch jung und sein Werk blieb zunächst unbemerkt. Erst Clausius formulierte den Zusammenhangvon Temperaturdifferenz – der Quelle und Senke – mit dem Wirkungsgrad der Carnot-Maschine und dass dieserWirkungsgrad nicht von einer anderen Wärmekraftmaschine überschritten werden kann, da sonst Wärme spontanvon einem kalten zu einem heißen Körper fließen würde. Die Unmöglichkeit eines solchen Vorgangs in der Naturbezeichnet man heute als 2. Hauptsatz der Thermodynamik. Clausius formulierte ihn mit einem Kreisprozess:

Es existiert keine zyklisch arbeitende Maschine, deren einzige Wirkung Wärmetransport von einem kühlerenzu einem wärmeren Reservoir ist.

Einfacher ausgedrückt besagt also der 2. Hauptsatz, dass Temperaturdifferenzen sich in der Natur nicht spontanvergrößern können. Clausius konnte mit dieser Forderung den Satz

für beliebige Kreisprozesse herleiten. Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur für reversible Prozesse. Mit diesem Satzvon Clausius liegt es auf der Hand, die Größe

differentiell zu definieren. Rudolf Clausius nannte diese Größe Entropie, ein Kunstwort, welches dem Begriff derEnergie nachempfunden wurde und in etwa mit Wandlungsgehalt zu übersetzen ist – im Gegensatz zumWärmeinhalt. Es wurde mit der Zeit üblich, den 2. Hauptsatz direkt mit der Entropie zu formulieren, was keineswegszu einem tieferen Verständnis führt. Erst Jahrzehnte später konnte Ludwig Boltzmann mit seiner statistischenMechanik eine Erklärung für die Entropie als Maß für die erreichbaren Mikrozustände des Systems finden. Wärmeist zufällig über Atome und Moleküle verteilte Energie und fließt von heiß nach kalt, weil der umgekehrte Weg zuunwahrscheinlich ist.Im Jahre 1999 haben die theoretischen Physiker Elliott Lieb und Jakob Yngvason die Definition der Entropie in derphänomenologischen Thermodynamik auf eine streng axiomatische Basis gestellt. Diese Definition macht keinenGebrauch von Größen wie „Wärme“ und „Temperatur“, die sich ohne Entropie nicht exakt definieren lassen, sondernberuht auf dem Konzept der adiabatischen Erreichbarkeit.

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Hilfestellung zum VerständnisEnergie wird – entgegen der landläufigen Redeweise – im physikalischen Sinn nicht verbraucht, sondern nurumgewandelt, z. B. in mechanische Arbeit und Wärme (1. Hauptsatz der Thermodynamik – Energieerhaltung).Einem Benzinmotor wird also im Laufe eines Zyklus dieselbe chemische Energiemenge in Form von Kraftstoffzugeführt, wie als Antriebsarbeit und Wärme abgeführt wird. Da auch die Antriebsarbeit durch Reibung schließlichin Wärme umgesetzt wird, landet am Ende der gesamte Energieinhalt des Kraftstoffes als Wärmemenge in derUmgebung, sieht man von eventuell in potenzielle Energie oder mechanisch in Deformationsenergie umgewandeltenAnteilen ab. Die Energie wurde also nicht verbraucht, sondern lediglich umgewandelt; es ist sinnvoll, von einerEnergieentwertung zu sprechen. Man benötigte also eine Größe, um die Arbeitsfähigkeit der Energie zu beschreiben,da die Energiemenge alleine nichts über die Arbeitsfähigkeit aussagt. So enthalten die Weltmeere eine riesigeEnergiemenge. Da diese aber bei Umgebungstemperatur vorliegt, kann damit keine Arbeit verrichtet werden.Deshalb erscheint es wegen Gleichung (1) konsequent, die gewichtete Entropiedifferenz , die z. B. auch beiDifferenzen der sog. Freien Energie F = U-TS auftritt (U = Innere Energie), als „Abwärme“, „Verlust-Energie“ oderähnlich zu bezeichnen, wie es z. B. in der Physikdidaktik häufig geschieht.Clausius fand heraus, dass man mit einem Kreisprozess eine gegebene Wärmemenge umso besser in Arbeitumwandeln kann, je höher die Temperatur ist, bei der sie der Maschine zugeführt wird (siehe Carnot-Wirkungsgrad).Am Beispiel des Motors wird die chemische Energie des Kraftstoffs durch die Verbrennung dem Motor beica. 2000–2500 °C zugeführt und verlässt ihn wieder zu je etwa einem Drittel bei ca. 800 °C durch die Abgase, beica. 50 °C durch den Kühler sowie über die Räder. Mit Hilfe der Gleichungen von Clausius kann man nunvorhersagen, wie viel der Kreisprozess des Motors maximal erbringen könnte. Die zugeführte Energie hat dabei einegeringe Entropie, während die Abwärme eine hohe Entropie hat. Aus der Differenz lässt sich die mögliche Arbeitberechnen. Die Aussage des sog. 2. Hauptsatzes der Thermodynamik, dass die Entropie bei einem beliebigenreversiblen Kreisprozess konstant ist, während sie bei irreversiblen Kreisprozessen zunehmen muss, ist zu folgenderAussage äquivalent:Bei isothermen Prozessen (T = konstant), bei denen die Freie Energie zunimmt ( ), kann maximal dieArbeit gewonnen werden. (Man beachte, dass hier nicht steht, sondern ).

Problematik des BegriffsIn populärwissenschaftlichen Büchern, aber auch in vielen Lehrbüchern wird die Entropie mit Unordnunggleichgesetzt. Diese Analogie trifft für einige Systeme zu, z. B. besitzt ein geordneter Kristall eine viel geringereEntropie als seine Schmelze. Für andere Systeme ist diese Betrachtung eher problematisch, z. B. besitzt einegeordnete Biomembran in Wasser eine höhere Entropie als ihre ungeordneten, in Wasser gelösten Bestandteile (sieheBeispiele unten). Das Problem besteht in erster Linie darin, dass der umgangssprachliche Begriff Unordnung nichteindeutig definiert ist und die Entropie kein Maß für die Symmetrie des Systems darstellt, sondern für die Anzahl dermikroskopisch erreichbaren Zustände, unabhängig von ihrem wie auch immer definierten Ordnungsgrad.Insbesondere in Lehrbüchern der theoretischen Physik wird der Begriff Unordnung deshalb gemieden.Verwirrung entsteht auch dadurch, dass der Begriff der Entropie in unterschiedlichen Disziplinen mit Bezug aufunterschiedliche Phänomene verwendet wird. Die Entdeckung der Entropie im Zusammenhang mit derThermodynamik und ihre zentrale Rolle für diese Theorie verhinderte nicht ihre Übertragung auf andere Bereiche,wie z. B. die Informationstheorie. Die Entropie ist eine statistisch definierte Größe und kann in vielen Kontextensinnvoll verwendet werden. Unbeschadet dessen können die Definitionen in den Einzeldisziplinen sogarwidersprüchlich sein. So nutzte Norbert Wiener den Begriff der Entropie ebenso zur Beschreibung vonInformationsphänomenen wie Claude Elwood Shannon, allerdings mit einem negativen Vorzeichen. Dass sich dieDefinition von Shannon durchgesetzt hat, ist vor allem der besseren technischen Verwertbarkeit seiner Arbeitenzuzuschreiben. Es wird aber aus diesem Beispiel deutlich, dass bei einer interdisziplinären Anwendung desEntropiebegriffes mindestens Vorsicht und eine genaue Quellenanalyse geboten ist.[1]

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Die Entropie ist keine direkt messbare statistische Größe, wie z. B. die Temperatur und der Druck. Es können nurÄnderungen der Entropie erfasst werden, und sie ist auch keine strenge Erhaltungsgröße wie Energie, Masse,Teilchenzahl oder Ladung eines Systems. Dies ist auch ein wesentlicher Unterschied zwischen erstem und zweitemHauptsatz der Thermodynamik. Während der erste Hauptsatz nichts anderes als die Formulierung des streng gültigenEnergieerhaltungssatzes in der Sprache der Thermodynamik ist, stellt der zweite Hauptsatz nur eine statistischgerechtfertigte Behauptung dar. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit für einen Verstoß gegen den zweitenHauptsatz in makroskopischen Systemen extrem gering. Er kann allerdings nicht direkt aus den mikroskopischenGleichungen gefolgert werden und wurde sogar im Rahmen der klassischen Mechanik durch Poincaré widerlegt. Alldiese Eigenschaften führen zu Problemen beim Verständnis des Begriffs der Entropie.

Entropie in der ThermodynamikEin idealer, jederzeit umkehrbarer Prozess ohne Reibungsverluste wird auch reversibel genannt. Oft bleibt dieEntropie während eines Prozesses unverändert, , bekanntes Beispiel ist die adiabate Kompression undExpansion im Zyklus einer Carnot-Maschine. Man nennt Zustandsänderungen mit konstanter Entropie auch isentrop,allerdings sind nicht alle isentropen Zustandsänderungen adiabatisch. Ist ein Prozess adiabatisch und reversibel, folgtjedoch stets, dass er auch isentrop ist.

Wird in einem Kreisprozess bei der Temperatur die Wärme aufgenommen und die Wärmemenge beiwieder abgegeben, gilt, dass sich die Entropie nicht ändert:

;     oder  

sofern Wärmeaufnahme und Abgabe reversibel erfolgen.

Daraus lassen sich die maximale Energieleistung und der maximale Wirkungsgrad ableiten.

Mischungsentropie

Das Bild rechts zeigt die Mischung einer braunen Farbe in Wasser. ZuBeginn ist die Farbe ungleichmäßig verteilt. Nach längerem Wartennimmt das Wasser eine gleichmäßige Färbung an.Die Entropie ist ein Maß für Unwissenheit. Als Maß für Unordnungmuss man genau auf die Begrifflichkeit achten. So ist im Bildbeispieldie Flüssigkeit im rechten Glas zwar „ordentlicher“ verrührt, aber durchdie große Durchmischung von Wasser- und Farbteilchen herrscht dorteine größere Unordnung. Mithin ist dort die Entropie höher als imlinken Glas. Von der Farbe wissen wir, dass sie im rechten Glas überallim Wasser verteilt ist. Das linke Bild sagt uns mehr. Wir können Bereiche ausmachen, in denen Farbe in hoherKonzentration anzutreffen ist, oder Bereiche, die frei sind von Farbe.

Die Mischungsentropie lässt sich berechnen. Josiah Willard Gibbs wies auf den Widerspruch hin, dass derEntropiezuwachs auch auftreten sollte, wenn statt der Tinte Wasser ins Wasserglas gegossen wird (GibbsschesParadoxon).Die Zahl der Anordnungen der Farbmoleküle am Anfang ist deutlich geringer als die, wenn sich die Farbe imgesamten Volumen verteilen kann. Denn die Farbmoleküle sind nur auf wenige Bereiche konzentriert. Im rechtenBild können sie sich im gesamten Glas aufhalten. Die Entropie ist hier größer, weshalb das System im Lauf der Zeitdieser Gleichverteilung zustrebt.Die Entropie bleibt nur dann unverändert, wenn die Prozesse reversibel verlaufen. Reale Zustandsänderungen sindimmer mit Energieverlusten (z. B. durch Reibung) verbunden, wodurch sich die Entropie erhöht. Eine Verringerungder Gesamtentropie in einem geschlossenen System ist nicht möglich. Aber die Entropie kann lokal verkleinert

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werden, wenn sie an anderen Orten des Systems entsprechend anwächst.Siehe auch: Mischungsentropie eines idealen Gasgemischs

Zweiter und dritter HauptsatzRudolf Julius Emanuel Clausius hatte erkannt, dass die durch

differentiell gegebene Größe eine extensive Zustandsgröße darstellt, also unabhängig vom Reaktionspfad undproportional zur Systemgröße ist. Die Bezeichnung statt betont, dass die vom Systemaufgenommene oder abgegebene Wärme wegabhängig (Beispiel siehe Kreisprozess) und deshalb nur bei reversiblerProzeßführung ein vollständiges Differential ist.Clausius fand außerdem, dass in einem isolierten System die Entropie monoton wächst:

Er formulierte diese Beobachtung im 2. Hauptsatz der Thermodynamik als Negation der Existenz eines Perpetuummobile zweiter Art:„Es existiert kein Kreisprozess, dessen einzige Wirkung darin besteht, Wärme von einem kälteren Reservoir zu einemwärmeren Reservoir zu transportieren.“Offenbar hätte man sonst eine unerschöpfliche Energiequelle konstruiert. Äquivalent dazu ist die Formulierung vonWilliam Thomson:„Es existiert kein Kreisprozess, der eine Wärmemenge aus einem Reservoir entnimmt und vollständig in Arbeitverwandelt.“Im Gegensatz zu den bereits bekannten extensiven Größen von thermodynamischen Systemen, wie Energie ,Volumen und Masse , entzog sich die Entropie zunächst dem tieferen Verständnis. Die Entropie konnte erstim Rahmen der statistischen Mechanik von Ludwig Boltzmann befriedigend als Maß für das Phasenraumvolumenerklärt werden, das von der Phasentrajektorie des Systems unter Einhaltung der Konstanz ausgewähltermakroskopischer Observablen, wie Temperatur , Volumen oder Teilchenzahl , erreicht werden kann.Anschaulich ist die Entropie demnach ein Maß für fehlende Information über den tatsächlichen Mikrozustand, wennlediglich eine geringe Anzahl beobachtbarer Größen zur Charakterisierung des Makrozustands vorliegen. DieErgodenhypothese behauptet, dass die Trajektorie des Systems tatsächlich im Laufe der Zeit das gesamte durch dieEntropie gemessene Phasenvolumen überdeckt. Systeme, die dieses Verhalten zeigen, nennt man auch ergodisch.Nur bei diesen kann der 2. Hauptsatz sinnvoll angewandt werden. Eng damit verbunden ist die Irreversibilität vonProzessen in der Natur.Der dritte Hauptsatz (der so genannte „Nernstsche Wärmesatz“) legt die Entropie einer perfekt kristallinen Substanz,bei der beispielsweise keine Spinentartung auftritt, am absoluten Nullpunkt als Null fest:

Eine Folgerung ist beispielsweise, dass die Wärmekapazität eines Systems bei tiefen Temperaturen verschwindet,und vor allem, dass der absolute Temperaturnullpunkt nicht erreichbar ist (das gilt auch bei Spinentartung).

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Beispiele

Überströmversuch von Gay-Lussac. Der Versuch mit einem idealen Gas in einemabgeschlossenen System zeigt, dass sich nach dem Druck- und

Temperaturausgleich die Anfangstemperatur einstellt ( ). Da sich dieinnere Energie nicht ändern konnte, kann im Umkehrschluss gefolgert werden,

dass die innere Energie einer bestimmten Menge des idealen Gases nurtemperaturabhängig, nicht aber druck- oder volumenabhängig ist.

Expansionsversuch von Gay-LussacIn der Einleitung wird das Experiment vonGay-Lussac beschrieben. Das Experimentzeigt, dass beim Überströmen eines idealenGases in ein größeres Volumen keineTemperaturänderung stattfindet, d. h. dieinnere Energie des Gases hat sich nichtverändert ( ). Wie groß ist nun dieEntropieänderung in dem beschriebenenVersuch? Da die Entropie eineZustandsgröße ist, ist sie wegunabhängig.Anstatt die Trennwand herauszuziehen,kann man sie auch langsam nach rechtsschieben, bis das Endvolumen erreicht ist.Für eine infinitesimale Verschiebungvergrößert sich das Volumen um , dieEntropie steigt um . Ausdem ersten Hauptsatz folgt mit und ,da ausschließlich Volumenarbeit verrichtetwird:

Aus der Zustandsgleichung für ideale Gase (ist die Anzahl der Gasatome):

folgt:

.

Hieraus ergibt sich durch Integration sofort:

Da im obigen Beispiel Atome eingezeichnet sind, gilt:

.

Realistischer wäre z. B. 1 mol Atome, also Atome, womit sich

ergibt.Entropiezunahme bei Expansion, statistischDie Entropie eines Makrozustands lässt sich auch über sein statistisches Gewicht W (die Anzahl seinerMikrozustände) ermitteln. Sind Moleküle auf zwei Raumhälften so verteilt, dass sich in der einen Hälfte undin der anderen Moleküle befinden, dann ist das statistische Gewicht

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und die Entropie dieses Zustands .

Befindet sich ein ganzes Mol ( ) in einer Hälfte (und in der anderen nichts), dann ist

und die Entropie . Bei gleichmäßiger Aufteilung

wird

.

Die Fakultät kann man mit der Stirling-Formel annähern, wobei man sich auf beschränken kann. DerLogarithmus von ist . Damit wird

und

.

Mit kB = 1,3807·10-23 J/K und NA = 6,0220·1023 Mol-1 erhält man für die Entropie nach der Expansion

, wie aus der thermodynamischen Rechnung.

ZahlenbeispielIn einem System, welches mit seiner Umgebung weder Masse noch Energie austauscht, kann die Entropie niemalsspontan abnehmen. Beispiel: Ein Kilogramm Wasser besitzt bei 10 °C die Entropie , bei 20 °C

, bei 30 °C . 1 kg kaltes Wasser (10 °C) und 1 kg warmes Wasser (30 °C) könnenbei Berührung spontan in den Zustand 2 kg lauwarmes Wasser (20 °C) übergehen, weil die Entropie desAnfangszustandes (151 + 437 = 588) kleiner ist als die Entropie des Endzustandes (297 + 297 = 594). Die spontaneUmkehrung dieses Vorganges ist nicht möglich, weil sich hierbei die Entropie des aus 2 kg Wasser bestehendenSystems von 594 J/K auf 588 J/K verringern müsste, was dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik widerspräche.BiomembranenGibt man Lipide, bei Lebewesen beispielsweise als Bausteine der Biomembranen vorkommend, in Wasser, so bildensich spontan geschlossene Membranstrukturen, sogenannte Vesikel. Da hier Temperatur und Druck gegeben sind(Wärmebad und Druckensemble) ist das thermodynamische Potential, das ein Minimum anstrebt die freie Enthalpie

. Die Enthalpie lässt sich experimentell nachweisen, ist also messbar und ist positiv.Da der Prozess spontan abläuft, muss aber negativ sein, d. h. die Entropie muss steigen. Dies ist auf den erstenBlick verwirrend, da die Entropie meistens dafür verantwortlich ist, dass sich Substanzen vermischen(Mischungsentropie). Die Entropiezunahme liegt in einer besonderen Eigenschaft des Wassers begründet. Es bildetzwischen den einzelnen Wassermolekülen Wasserstoffbrückenbindungen aus, die ständig fluktuieren und somiteinen hohen Beitrag zur Entropie des Wassers leisten. Um die langen Fettsäureketten der Lipide entsteht bei Lösungin Wasser ein größerer Bereich, in dem keine Wasserstoffbrückenbindungen mehr gebildet werden können. In denBereichen um die Fettsäureketten herum fehlt der Entropiebeitrag der Wasserstoffbrücken, so dass die Entropieinsgesamt abnimmt. Diese Abnahme ist erheblich größer als die durch das bloße Vermischen des Wassers und desLipids zu erwartende Zunahme. Wenn sich die Fettsäureketten zusammenlagern, können mehr Wasserstoffbrückengebildet werden, und die Entropie steigt. Man könnte dies auch so formulieren, dass die Fähigkeit des Wassers,fluktuierende Wasserstoffbrücken zu bilden, die Lipide aus der Lösung treibt. Letztlich ist diese Eigenschaft auchmit für die schlechte Löslichkeit vieler unpolarer Substanzen verantwortlich, die die Bildung vonWasserstoffbrückenbindungen stören.Lebende Organismen: Ein lebender Organismus kann in gewissem Sinne als eine thermodynamische Maschine betrachtet werden, die chemische Energie in Arbeit und Wärme umwandelt und gleichzeitig Entropie zu produzieren

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scheint. Es ist nach dem gegenwärtigen Stand der Forschung noch nicht geklärt, ob einem biologischen SystemEntropie zuzuordnen ist, da es sich nicht im Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts befindet.Andere DisziplinenNeben ihrer Rolle als fundamentale Zustandsgröße der phänomenologischen und statistischen Thermodynamik wirddie Entropie in anderen Gebieten, insbesondere in der Informationstheorie und in der Wirtschaftswissenschaftbenutzt. Die Entropie besitzt in diesen Gebieten eine eigenständige Bedeutung. So ist es z. B. in der Astrophysiknotwendig, bei der Beschreibung von Sterngeburten, weißen Zwergen, Neutronensternen, schwarzen Löchern (siehaben die höchste Entropie aller bekannten physikalischen Systeme), Kugelsternhaufen, Galaxien(haufen) undletztendlich dem ganzen Kosmos, auf den Begriff der Entropie zurückzugreifen.

Statistische PhysikUm 1880 konnte Ludwig Boltzmann mit der von ihm und James Maxwell begründeten statistischen Physik aufmikroskopischer Ebene die Entropie erklären. In der statistischen Mechanik wird das Verhalten makroskopischerthermodynamischer Systeme durch das mikroskopische Verhalten seiner Komponenten, also Elementarteilchen unddaraus zusammengesetzter Systeme wie Atome und Moleküle, erklärt. Ein Mikrozustand ist klassisch gegeben durchAngabe aller Orte und Impulse der zum System zählenden Teilchen. Ein solcher Mikrozustand ist demnachein Punkt in einem 6N-dimensionalen Raum, der in diesem Zusammenhang Phasenraum genannt wird. Diekanonischen Gleichungen der klassischen Mechanik beschreiben die zeitliche Evolution des Systems, diePhasentrajektorie.Alle unter gegebenen makroskopischen Randbedingungen, wie z. B. Gesamtenergie E, Volumen V und TeilchenzahlN, erreichbaren Phasenpunkte bilden ein zusammenhängendes Phasenraumvolumen . Die Entropie ist ein Maß fürdas unter bestimmten makroskopischen Randbedingungen zugängliche Phasenraumvolumen, also für die Zahl derzugänglichen Zustände. Je größer die Entropie ist, desto unbestimmter ist der mikroskopische Zustand, destoweniger Informationen sind über das System bekannt. Das grundlegende Postulat der statistischen Physik besagt,dass jeder der zugänglichen Mikrozustände eines vollständig abgeschlossenen Systems im Gleichgewicht mitgleicher Wahrscheinlichkeit auftritt und somit die Entropie maximal ist (siehe: Maximum-Entropie-Methode,Mikrokanonischer Zustand).Die Entropie ist proportional zum Logarithmus des zugänglichen Phasenraumvolumens (bzw. quantenmechanisch:der Zahl der zugänglichen Zustände) und berechnet sich im SI-System aus

in der Einheit J/K. Um diese Rechnung konkret ausführen zu können, müssen also zunächst die makroskopischenObservablen des betrachteten Systems bekannt sein. Für das ideale Gas ergibt sich die Sackur-Tetrode-Gleichung.Die Konstante wird in Anerkennung der Leistungen Ludwig Boltzmanns bei der Entwicklung der statistischenTheorie als Boltzmann-Konstante bezeichnet, er selbst hat ihren Wert jedoch nicht bestimmt.Die Entropie der Thermodynamik ist die Shannon-Entropie der Verteilung der Zustände, welche dieShannon-Entropie maximiert (multipliziert mit einer Konstanten). Damit ist die thermodynamische Entropie nur einSpezialfall für Gleichgewichtszustände mit maximaler Unkenntnis bei gegebenen Randbedingungen.

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Quantenmechanik

In der Quantenstatistik ist ein Mikrozustand gegeben durch einen Vektor im Hilbertraum des Systems(typischerweise Teilchen!). Den zugehörigen Makrozustand beschreibt man durch einen statistischenOperator, der auch als Dichteoperator bezeichnet wird.Dieser enthält alle Informationen über das System, die durch eine ideale Messung zugänglich sind (das ist vielweniger als bei dem reinen Zustand , dem Mikrozustand). Der Makrozustand ist klassisch gegeben durch einEnsemble von Mikrozuständen, die mit als „typische makroskopische Werte“ bestimmte Erhaltungsgrößengemein haben, wie z. B. Energie, Volumen und Teilchenzahl. Die Verteilung der Mikrozustände im Phasenraum istklassisch durch eine Verteilungsfunktion gegeben, an deren Stelle in der quantenmechanischen Beschreibung derDichteoperator tritt:

ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das betrachtete System im quantenmechanischen Zustand befindet.Dabei ist jetzt die Zahl der betrachteten Freiheitsgrade gewöhnlich viel kleiner als Der Erwartungswert einer Observablen auf dem durch den Dichteoperator beschriebenen Zustandsgemisch istgegeben durch eine Spurbildung:

Die Spur eines Operators ist folgendermaßen definiert: für beliebiges vollständiges

Orthonormalsystem .Die Entropie ist über die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen reinen quantenmechanischen Zustände imMakrozustand gegeben durch

wobei die Wahrscheinlichkeit ist, im i-ten Mikrozustand zu sein. kB ist die Boltzmann-Konstante. DieWahrscheinlichkeiten können Werte zwischen 0 und 1 annehmen, somit ist und die Entropie

positiv semidefinit.

Als Beispiel nehmen wir ein Spinsystem mit 4 Elektronen. Spin und magnetisches Moment sind bekanntlichantiparallel; das magnetische Moment eines nach unten zeigenden Spins besitzt im äußeren Magnetfeld B dieEnergie . Die Grundzustandenergie des Systems soll insgesamt sein, was auf folgende vierZustände führt:

Daraus folgt, dass die Spinentartung ist und gilt.Die obige allgemeine Formel, (*), ist bis auf einen konstanten Faktor (der Ausdruck wird durch den sog.dualen Logarithmus ld ... ersetzt, den Logarithmus zur Basis 2) identisch mit der Formel für die Shannon'scheInformationsentropie. Das bedeutet, die physikalische Entropie ist auch ein Maß für die Information, die einemdurch Kenntnis des Makrozustands zum Mikrozustand fehlt.

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Eigenschaften der statistischen Entropie eines quantenmechanischen Zustandes

Seien und Dichteoperatoren auf dem Hilbertraum .•• Gibbs-Ungleichung

• Invarianz unter unitären Transformationen von (mit )

•• Minimum

Minimum wird bei reinen Zuständen angenommen•• Maximum

Maximum wird angenommen, wenn alle möglichen Zustandsvektoren mit gleicher Wahrscheinlichkeitauftreten

•• Konkavität

  mit   •• Dreiecksungleichung

Sei Dichteoperator auf   und   bzw. reduzierte Dichteoperatoren auf bzw.

Entropie im ÜberblickDie Thermodynamik beschreibt den Zustand einer Substanz mit Hilfe makroskopisch messbarer Größen wieTemperatur, Druck, innere Energie, Enthalpie, aber auch durch die relativen Mengen von Produkten und Edukten. Esgibt viele Zustandsgrößen und einige können als Funktionen anderer dargestellt werden (Zustandsfunktionen). Einedavon ist die Entropie (Einheit: Joule/Kelvin).Während man aus der Alltagserfahrung mit Größen wie Länge, Energie oder Leistung und ihren Einheitenquantifizierbare Vorstellungen verbindet, ist die Einheit „Joule/Kelvin“ der Größe Entropie wenig anschaulich. Siehat den Bedeutungsinhalt, dass „ein Zustand höherer Entropie sich auch mit höherer Wahrscheinlichkeit einstellt“.Der Begriff wurde ursprüngllich von Clausius geprägt und mit Hilfe thermodynamischer Größen quantifiziert, späterdann auch von Boltzmann aus einer statistischen Überlegung heraus und mit Hilfe der Atom- bzw.Molekülvorstellung.

1. Statistische FormulierungWas kann man sich nun unter der Wahrscheinlichkeit eines Zustands vorstellen? Eine Substanz besteht aus sehr vielen Teilchen. So wie bei einem Patienten derselbe Zustand (Temperatur, Pulsfrequenz) eine Vielzahl von Ursachen haben kann, die sich erst bei näherer Untersuchung herausstellen, so kann auch derselbe thermodynamische Zustand auf vielen und ganz unterschiedlichen Anordnungen der Moleküle beruhen. Würde man z.B. alle N Moleküle eines Gases nummerieren, dann könnte der Zustand der gleichmäßigen Verteilung über ein Volumen dadurch gebildet werden, dass sich alle Moleküle mit niedrigen Nummern (bis N/2) in der einen, die höheren Nummern in der anderen Hälfte aufhalten. Derselbe Zustand ergibt sich jedoch auch, wenn sich alle geraden bzw. ungeraden Nummern in der einen bzw. andern Hälfte befänden. Der Zustand der „gleichmäßigen Verteilung des Gases über das gesamte Volumen“ wird von einer außerordentlich großen Anzahl von Verteilungsmustern der Moleküle gebildet. Hingegen wird der Zustand, in dem sich die Moleküle auf ein Teilvolumen konzentrieren und der

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Rest leer bleibt, von deutlich weniger Anordnungen der Moleküle gebildet, wie im folgenden Beispiel:

Entropie und die Verteilung im Raum

Zu Säulen gestapelt sind alle Mikrozustände, diedem System dieselben makroskopischen

Eigenschaften verleihen

Frei bewegliche Moleküle verteilen sich gleichmäßig über einen Raum.Dieser Zustand weist die maximale Entropie auf, oder, andersausgedrückt, er ist am wahrscheinlichsten. Das lässt sich an vierMolekülen zeigen (Abbildung), die in einem Becherglas ständigzwischen der linken und rechten Hälfte in Bewegung sind. (Um es aufdas Wesentliche zu reduzieren, ist senkrechter Platztausch erst einmalnicht vorgesehen.) Es ergeben sich ganz unterschiedliche und stetswechselnde Verteilungen. In einer Momentaufnahme könnte z. B. nurdas zweite Molekül von oben in der rechten Hälfte zu sehen sein, dierestlichen drei links, in einer anderen die Moleküle zwei und drei aufder linken Seite (jeweils grau hervorgehoben). Jede einzelneAufteilungsvariante – Mikrozustand genannt – ist gleich häufig oderwahrscheinlich. Zu Säulen gestapelt sind diejenigen Mikrozustände,bei denen sich auf einer Seite gleich viele Moleküle versammelt haben(keines bzw. maximal vier). Sie verleihen dem Gesamtsystemdieselben makroskopischen Eigenschaften (z. B. die Höhe des Drucksauf die linke oder rechte Wand) und bilden zusammen einenMakrozustand. Am häufigsten ist die gleichmäßige Aufteilung aufbeide Hälften, denn sie kann durch die größte Anzahl vonMikrozuständen verwirklicht werden (in diesem Fall sechs). Sind mehr Moleküle im Becherglas, stehen mehrRaumzellen zur Verfügung oder lässt man auch senkrechten Platztausch zu, dann steigt die Vielfalt derAnordnungsmöglichkeiten rapide an. Aber immer hat eine gleichmäßige Aufteilung die höchste Anzahl vonMikrozuständen und stellt sich am häufigsten ein, auch wenn man anfangs die Moleküle, dicht gedrängt, nur in eineEcke eingebracht hätte. Dies geschieht aus sich heraus und zufällig und nur deshalb, weil sich die Molekülebewegen.

Die Anzahl der Mikrozustände eines Makrozustands heißt sein „Statistisches Gewicht W“. Das W kann, wenn es sichum viele Teilchen in der Gasphase handelt, eine sehr große Zahl sein (im Gegensatz zur mathematischenWahrscheinlichkeit), kann aber auch sehr klein werden, wenn starke Kräfte zwischen den Teilchen wirken(Nullpunktsentropie). Der natürliche Logarithmus des statistischen Gewichts W eines Zustands, multipliziert mit derBoltzmann-Konstante , ergibt seine Entropie S:

Ändert man die Bedingungen, denen eine Substanz ausgesetzt ist (indem man z.B. das Volumen vergrößert), danngehen die Moleküle in einen neuen Zustand über, nämlich in den, der unter den geänderten Bedingungen derwahrscheinlichste ist. Die Ursache dafür liegt in der Bewegung der Moleküle, die sich ständig neu über den Raumund die Energieniveaus verteilen. Die Annäherung an den Gleichgewichtszustand ist gekennzeichnet – nicht bewirkt– durch die Zunahme der Entropie. Diese ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Zustands. Die Entropie istweder eine Energie noch eine Art von Substanz, sondern die Messgröße für einen Zustand höherer oder geringererWahrscheinlichkeit.Über die spontane Einstellung des wahrscheinlichsten Makrozustands im Hinblick auf die räumliche Verteilungkönnen der Joule-Thomson-Effekt, die Osmose und die Temperaturkonstanz beim Schmelzvorgang gedeutet werden.Kurz: Allgemein ist ein Mikrozustand ein bestimmtes Verteilungsmuster der Moleküle, aber nicht nur im Raum, sondern auch über die Freiheitsgrade der Bewegung (z.B. Translation, Schwingungen und über deren

Entropie (Thermodynamik) 13

Energieniveaus) und auch auf die Edukt- bzw. Produktmoleküle einer Reaktion. Viele Mikrozustände könnendenselben makroskopischen Zustand bilden, eben den „Makrozustand“, der dann durch makroskopisch messbarethermodynamische Größen charakterisiert werden kann. Da die Moleküle stets durcheinander schwirren,vergleichbar einem Bienenschwarm, sind alle Mikrozustände gleich häufig oder wahrscheinlich. Nicht aber dieeinzelnen Makrozustände, da sie von unterschiedlich vielen Mikrozuständen gebildet werden können. Das Systemnähert sich von selbst dem wahrscheinlichsten Zustand, dem mit der größten Anzahl von Mikrozuständen. Aus demstatistischen Gewicht W kann die Entropie berechnet werden. Sie ist ein (logarithmisches) Maß für die Anzahl derArten W, auf die ein mikroskopisches System – im makroskopischen Sinn – gleich sein kann.

2. Thermodynamische Formulierung

Carnot-Diagramm eines einatomigen Gases. Beieiner isothermen Expansion wird dem System die

Wärmemenge Q1 bei der Temperatur T1zugeführt, bei Kompression (untere rote Linie)

gibt es Q2 bei T2 ab.

Im Zusammenhang mit dem Carnot-Prozess findet man, dass umsomehr Wärme zwischen Reservoir und Arbeitsmedium fließt, je höherdie Temperatur ist und umgekehrt. (Das ist mit Hilfe derMolekülvorstellung verständlich, da die Wärmeübertragung auf derBewegungsenergie der Moleküle beruht und diese sich proportionalzur absoluten Temperatur verhält.) Auch ohne die Molekülvorstellungfand Clausius diese Proportionalität, nämlich, dass im Carnot-Prozessdie Größe Q/T, die reduzierte Wärme, beim Wärmezufluss (bei hoherTemperatur) und bei der Kühlung (bei tieferer Temperatur) desArbeitsmediums den gleichen absoluten Wert hat und, zumindest imreversiblen Fall, in der Summe null ergibt.

Im ersten Schritt des Carnot-Prozesses, der isothermen Expansion,wird die zugeführte Wärmeenergie QT1 während der Ausdehnung desArbeitsmediums in potenzielle Energie umgewandelt und sogespeichert (eine Anordnung, die dies leistet, beschreibt [2]). UnterEinsatz dieser gespeicherten Energie könnte der Vorgang wieder rückgängig gemacht werden. Gelingt dieseUmwandlung von QT1 in Epot nicht vollständig, etwa weil Reibung Verluste bewirkt (irreversibler Fall), dann wirdweniger Arbeit gespeichert (die nicht mehr für eine Umkehrung ausreichen würde) und die Differenz erscheint alszusätzliche (Reibungs-)Wärme, die abgegeben wird. Dieser Wärmebetrag zählt negativ und so ist die Summe allerQ/T-Beträge ebenfalls negativ. Je größer das Ausmaß der Irreversibilität ist, desto negativer ist die Summe. Damitgibt die Funktion Q/T auch eine quantitative Beschreibung der Irreversibilität. Clausius hat in diesemZusammenhang die Funktion

definiert, mit bzw. (irreversibel).

Kurz: Aus makroskopisch messbaren thermodynamischen Größen lässt sich eine Zustandsfunktion ableiten, die dasAusmaß der Irreversibiltiät wiedergibt.

3. Äquivalenz der EntropiebegriffeBei der Expansion eines Gases können zwei unterschiedliche Vorgänge vom gleichen Ausgangs- zum gleichenEndzustand führen:a) Die isotherme Expansion im ständigen Gleichgewicht, unter Wärmezufuhr und äquivalenter Arbeitsleistung(erster Schritt im Carnot-Prozess). Von der zugeführten Wärmeenergie QT1 bleibt dabei nichts im Medium zurück;der Vorgang ist mit Hilfe der extern gespeicherten Energie umkehrbar.b) Eine spontane isotherme Ausdehnung in einen größeren Raum (ins Vakuum), ohne Wärmezufuhr und ohne Arbeitsleistung (Versuch von Gay-Lussac). Es wird keine Wärme zugeführt, es wird keine Arbeit geleistet und auch

Entropie (Thermodynamik) 14

nicht gespeichert. Wollte man aber den Vorgang umkehren, also isotherm komprimieren, dann müsste zusätzlicheArbeit aufgewendet werden, die dann als Wärme abgegeben wird. Also bei der Ausdehnung kein Wärmeeintrag insArbeitsmedium, aber Wärmeproduktion bei der Umkehrung; außerdem bleibt eine Veränderung in der Umgebungzurück, da die notwendige Arbeit beschafft werden muss. Ein irreversibler Vorgang.Trotz der beiden unterschiedlichen Vorgehensweisen ist die Veränderung, die am Ende der isothermen Expansionam Arbeitsmedium bleibt, in beiden Fällen dieselbe. Mikroskopisch betrachtet weist der Endzustand eine größereZahl von Mikrozuständen auf und hat damit ein größeres statistisches Gewicht W.Der Wahrscheinlichkeit, ausgedrückt durch das statistische Gewicht, kommt in der statistischen Thermodynamikdieselbe Rolle zu wie der Entropie in der chemischen Thermodynamik. Es muss also eine Beziehung geben zwischender Entropie und dem statistischen Gewicht. Um diesen zu finden, betrachtet man zwei unabhängige Systeme vonTeilchen als ein Gesamtsystem. Dessen Entropie S muss gleich der Summe der einzelnen Entropien S1+S2 sein(Zustandsfunktionen). Die statistischen Gewichte W1 und W2 müssen jedoch multipliziert werden, da jederMikrozustand des einen mit jedem Mikrozustand des anderen Systems einen neuen Mikrozustand desGesamtsystems bildet (W=W1·W2). Diese beiden Forderungen sind erfüllt, wenn die Entropie eine logarithmischeFunktion des statistischen Gewichts W ist:

Die Konstante k* ist erst einmal willkürlich gewählt. Es stellt sich heraus, dass sie gleich der Boltzmann-KonstantenkB = R/NA = 1,38∙10-23 Joule/Kelvin ist, wenna) W im thermodynamisch stabilen Zustand einen Maximalwert annimmt und b) die für den stabilen Zustand gültigeVerteilungsfunktion die Boltzmann-Verteilung ist [3].

Damit hat dieselbe Dimension wie die Zustandsgröße , also Joule/Kelvin. Während mit

makroskopisch messbaren Größen nur Entropiedifferenzen bestimmt werden können (z.B. vor und nach einerErwärmung oder Reaktion), erlaubt die statistische Thermodynamik die Berechnung absoluter Entropien.Kurz: Die mikroskopische und die makroskopische Vorgehensweise in der Thermodynamik führen auf denselbenEntropiebegriff.

4. Berechnung und Verwendung tabellierter EntropiewerteDie molare Entropie Smol bei einer bestimmten Temperatur T2 und bei konstantem Druck p erhält man mit Hilfe dermolaren Wärmekapazität cp(T) durch Integration vom absoluten Nullpunkt bis zur aktuellen Temperatur:

Dazu kommen noch Entropieanteile bei Phasenübergängen. Nach Planck wird die Entropie ideal kristallisierter,reiner Festkörper am absoluten Nullpunkt gleich null gesetzt (Gemische oder frustrierte Kristalle behalten dagegeneine Restentropie). Unter Standardbedingungen spricht man von der Standardentropie S0. Auch nach der statistischenBetrachtungsweise hängen Entropiewert und Wärmekapazität miteinander zusammen: Eine hohe Wärmekapazitätbedeutet, dass ein Molekül viel Energie speichern kann, und das kann z.B. auf einer großen Zahl niedrig liegenderund daher leicht erreichbarer Energieniveaus beruhen. Entsprechend viele unterschiedliche Verteilungsmöglichkeitenauf diese Niveaus gibt es dann auch für die Moleküle und das führt auch auf einen hohen Entropiewert für denwahrscheinlichsten Zustand.In elektrochemischen Reaktionen ergibt sich die Reaktionsentropie ∆S aus der gemessene Änderung von dE(elektromotorische Kraft) mit der Temperatur:

(z = Ladungszahl, F = Faraday-Konstante)

Die Entropieänderung bei idealen Mischungen erhält man mit Hilfe der Molenbrüche xi der beteiligten Substanzen:

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wobei sich in realen Mischungen noch eine Zusatzentropie durch die Veränderung der zwischenmolekularen Kräftebeim Mischen ergibt.Entstehen bei einer chemischen Reaktion neue Moleküle, dann tritt die höchste Entropie in einem ganz bestimmtenGleichgewichtszustand auf, bei dem sich die Moleküle sowohl auf die Edukt- wie auch auf die Produktniveausverteilen können. Über die folgende Beziehung, in der die Differenzen der Standard-Entropiewerte ∆S0 derbeteiligten Substanzen eine wesentliche Rolle spielen, kann die Gleichgewichtskonstante K berechnet werden:

(das ∆ bedeutet in diesem Fall die Änderung der Größe bei vollständigem Reaktionsablauf). Woran man bei einemspontanen Vorgang (z.B. chemischen Reaktionen, Lösungs- und Mischungsvorgängen, Einstellung vonPhasengleichgewichten und deren Temperaturabhängigkeit, Osmose u.a.) die Intensität dieses Vorgangs abschätzenkann, das ist die Zunahme der gesamten Entropie zwischen Anfangs- und Gleichgewichtszustand, die der Reaktantenund die der Umgebung zusammen genommen (→chemisches Gleichgewicht). Die spontane Zunahme der Entropiewiederum ist eine Folge der ständigen Bewegung der Moleküle.Kurz: Die Standard-Entropie von Substanzen kann aus dem Verlauf der Wärmekapazität mit der Temperaturberechnet werden. Die Kenntnis tabellierter Entropiewerte ermöglicht (zusammen mit den Reaktonsenthalpien) dieVoraussage des chemischen Gleichgewichts.

LiteraturE-Books• http:/ / www. job-stiftung. de/ index. php?id=8,22,0,0,1,0

• Georg Job, Regina Rüffler: Physikalische Chemie. Teil 1: Grundzüge der Stoffdynamik, Kapitel 2: Entropieund Temperatur [4] (PDF-Datei; 3,16 MB)

• http:/ / www. physikdidaktik. uni-karlsruhe. de/ skripten/ thermod. pdf (PDF-Datei; 12,87 MB)•• Grundlagen der Thermodynamik aufbauend auf der Entropie.

• http:/ / www. egonsthermosite. eu/ german_ttd/ ger_ttd_scr/ files/ TTD_Kap_04_200. pdf, oder: http:/ / web. me.com/ egon. hassel/ german_ttd/ ger_ttd_scr/ files/ TTD_Kap_04_200. pdf: Entropiekapitel

Lehrbücher und Übersichtsartikel• Überblick über die verschiedenen Entropiebegriffe und deren Verknüpfungen: Frigg, R. and Werndl, C. "Entropy

– A Guide for the Perplexed". In Probabilities in Physics; Beisbart C. and Hartmann, S. Eds; Oxford UniversityPress, Oxford, 2010. PDF-Datei [5]

• G. Adam, O. Hittmair: Wärmetheorie. 4. Auflage. Vieweg, 1992, ISBN 3-528-33311-1.• Richard Becker: Theorie der Wärme. 3., erg. Auflage. Springer, 1985, ISBN 3-540-15383-7.• Arieh Ben-Naim: Statistical Thermodynamics Based on Information: A Farewell to Entropy. 2008, ISBN

978-981-270-707-9• Johan Diedrich Fast: Entropie. Huethig, 1982, ISBN 3-87145-299-8.• Ulrich Nickel, Lehrbuch der Thermodynamik. Eine verständliche Einführung. 2. Auflage. PhysChem, 2011, ISBN

978-3-937744-06-3•• E. P. Hassel, T. V. Vasiltsova, T. Strenziok: Einführung in die Technische Thermodynamik; FVTR GmbH;

Rostock 2010; ISBN 978-3-941554-02-3• Arnold Sommerfeld: Vorlesungen über theoretische Physik – Thermodynamik und Statistik. Nachdruck der 2.

Auflage. Harri Deutsch, 1988, ISBN 3-87144-378-6.

Entropie (Thermodynamik) 16

• Andre Thess: Das Entropieprinzip – Thermodynamik für Unzufriedene Oldenbourg-Wissenschaftsverlag, 2007,ISBN 3-486-58428-6.

• Handbuch der experimentellen Chemie Sekundarstufe II, Band 7: Chemische Energetik, Aulis Verlag DeubnerGmbH & Co. KG, ISBN 978-3-7614-2385-1

Populärwissenschaftliche Darstellungen• Arieh Ben-Naim: Entropy Demystified - The Second Law Reduced to Plain Common Sense. New Jersey: World

Scientific, Expanded Ed. 2008, ISBN 978-981-283-225-2 (populärwissenschaftliche, aber exakte Erklärung aufGrundlage der statistischen Physik).

• H. Dieter Zeh: Entropie. Fischer, 2005, ISBN 3-596-16127-4.• Jeremy Rifkin, Ted Howard: Entropy: A New World View. Viking Press, New York 1980 (dt.: Entropie: Ein

neues Weltbild. Hamburg, Hofmann & Campe, 1984).

Einzelnachweise und Anmerkungen[1][1] Die verschiedenen Begriffe der Entropie werden etwa in Werndl und Frigg (2010) diskutiert.[2] Wedler: Lehrbuch der Physikalischen Chemie, Verlag Chemie 1982. Abschnitt 1.1.16, S.46[3] Wedler: Lehrbuch der Physikalischen Chemie, Verlag Chemie 1982. Abschnitt 4.2.1, S. 632[4] http:/ / www. job-stiftung. de/ pdf/ skripte/ Stoffdynamik/ 2. pdf?hashID=ql36c1jdqv1iljgcsdb326iof1[5] http:/ / charlottewerndl. net/ Entropy_Guide. pdf

Weblinks• Was ist Entropie? (http:/ / www. br. de/ fernsehen/ br-alpha/ sendungen/ alpha-centauri/

alpha-centauri-entropie-harald-lesch100. html) aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri. Erstmaligausgestrahlt am 4. Aug. 2004.

• Tomasz Downarowicz:  „Entropy“ (http:/ / www. scholarpedia. org/ article/ Entropy). In: Scholarpedia (englisch,inkl. Literaturangaben)

• Martin Buchholz: Entropie - Von Kühltürmen und der Unumkehrbarkeit der Dinge (http:/ / www. youtube. com/watch?v=z64PJwXy--8) Siegerbeitrag beim Science Slam Deutschland 2010 auf Youtube

• Ulf von Rauchhaupt: Zeit, Tod und schmutziges Geschirr (http:/ / www. faz. net/ s/Rub163D8A6908014952B0FB3DB178F372D4/Doc~E35850976F5F74039BC85C6E222E87009~ATpl~Ecommon~Scontent. html) Artikel in der Frankfurter

Allgemeinen Zeitung über Ludwig Boltzmann und die Entropie

• Was ist Entropie? (Publikationsmanuskript, A. Thess) (http:/ / www. tu-ilmenau. de/ fakmb/ fileadmin/ template/fgtfd/ Thess-Entropie. pdf) (PDF-Datei; 107 kB)

• Thomas Neusius: Entropie und Richtung der Zeit (http:/ / tneusius. com/ thermo. htm) Kursmaterial, beginnend auf

Schulniveau

• Owen Maroney:  Information Processing and Thermodynamic Entropy. (http:/ / plato. stanford. edu/ entries/information-entropy/ ) In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy

• Nico G. van Kampen: Entropie (http:/ / pluslucis. univie. ac. at/ PlusLucis/ 973/ entropie. pdf) kurze, gut verständliche

Erläuterung

• Welf A. Kreiner: Entropie – was ist das? (http:/ / vts. uni-ulm. de/ doc. asp?id=583) Überblick für Studierende und

Lehrer

Quelle(n) und Bearbeiter des/der Artikel(s) 17

Quelle(n) und Bearbeiter des/der Artikel(s)Entropie (Thermodynamik)  Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?oldid=108947074  Bearbeiter: 1420MHz, Accipiter gentilis, Acetobacter, Acky69, Aegon, Ahrtaler, Aka, Alex1011,Allen McC., Amtiss, Andreas S., AndreasE, AndreasPraefcke, Anony, Anton, Antonsusi, Archaeoraptor, Archiv45, Armin P., Asb, Avjoska, Ayacop, Bahnmoeller, Bas89, Ben-Zin, Benzh,BigBen666, Bildungsbürger, BitterMan, Blaufisch, Bleckneuhaus, Blutfink, Boehm, Boemmels, Brudersohn, Bur, C.lingg, CHNB, Ca$e, Caller1982, Carbenium, Cepheiden, Che010, CholoAleman, ChristophDemmer, Conversion script, Cvf-ps, DL5MDA, DTeetz, Dagox, David314, De02272, DerHexer, Dishayloo, Doctom, Don Magnifico, Doraguma, EBB, Ephraim33,Eschenmoser, Faulenzius Seltenda, Felix Stember, Fgb, FlügelRad, Franzl aus tirol, FreakingOut, G, GDK, Gangleri2001, Georg-Johann, Gerhardvalentin, Gissi, Glockenklang1, Gmeyer,Gugerell, Gum'Mib'Aer, Gurgelgonzo, HaSee, Hadhuey, HaeB, Heliozentrik, Hi-Lo, Homosapiens, Hutschi, I-user, Igge, Imwanderer, InDepth, Isarrauschen, JHoffmueller, JSturany, JWBE,Jaellee, Jed, Jergen, Jkbw, Jms, Jmsanta, Joachim Schnitter, Joeplatter, JuTa, Jürgen Schmidtke, K4ktus, Kai Petzke, Karl-Henner, Katimpe, Kein Einstein, KlausFueller, Knipptang, Knochen,Koi888, Komischn, Korrektor-170453, KreuzbergSteffen, Kölscher Pitter, LC, LKD, Lokalpatriot-Tegel, MFM, Marcel Kuster, MargitLuise, Marilyn.hanson, Markus Bärlocher, MarkusSchweiß, Martin-vogel, MartinHinrichs, Mathias Schindler, Matt1971, Matthias M., Media lib, Midnightsnack, Mnmngb, Mooreule, Morini4me, Mose, Mschlindwein, My name, Möchtegern,Nacho, Nagy+, Nameless23, Necto, Nerd, Netzmeister, Nicouh, Niemeyerstein, Niesen, Nighttrain, Nopherox, Numbo3, Odin, Orpharion, Ozuma, Pallasathena, Passifleur, Pediadeep, Pemu,Peter200, Phrood, Physikochemiker, Physikr, Pingi, Pittimann, Pjacobi, Qwqchris, Rabanus Flavius, Rade Kutil, Rainer Bielefeld, Rainer Nase, Regi51, RoB, Roger Zenner, Roland.chem, RoterBaron, Rovanu, Rudi der Regenwurm, STBR, Saperaud, Schewek, Schlurcher, Schmei, Schnitte, Schuermann, Schusch, Schwijker, Seewolf, Shoshone, Simon-Martin, Skriptor, Snahlemmuh,Snooper77, Southpark, Spuk968, Steak, Stefan@bsdmail.org, StefanPohl, Steffen 962, Steflabc, StephanKetz, Sterex, Stern, Synapse, TGS, Takeru-kun, Tetris L, Th., TheWolf, Thess, Thiesi,Thukydides, TorbenMeyer, Trewq, Troubled asset, Tschebureki, UKoch, Ulm, Umweltschützen, Uwe Gille, VMH, Viola sonans, WA Reiner, WAH, WOBE3333, Waldglas2, Waschddl,WissensDürster, Wiwi268, Wolfgang Schulze, WortUmBruch, Wrongfilter, Wö-ma, Xorx, Xqt, Yellowcard, Youandme, YourEyesOnly, Zeitgeister, Zeno Gantner, Zenon, Zipferlak, Zoelomat,Zwikki, p3EE30E5D.dip.t-dialin.net, 335 ,א anonyme Bearbeitungen

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The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any titlepage as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text.A section "Entitled XYZ" means a named subunit of the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses following text that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a specific sectionname mentioned below, such as "Acknowledgements", "Dedications", "Endorsements", or "History".) To "Preserve the Title" of such a section when you modify the Document means that it remains a section "Entitled XYZ" accordingto this definition.The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reference in this License, but only as regardsdisclaiming warranties: any other implication that these Warranty Disclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License.2. VERBATIM COPYINGYou may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproducedin all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you mayaccept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3.You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies.3. COPYING IN QUANTITYIf you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers) of the Document, numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers thatcarry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front covermust present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Documentand satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects.If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages.If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy acomputer-network location from which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added material. If you use the latteroption, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last timeyou distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public.It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.4. MODIFICATIONSYou may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the roleof the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:• A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use

the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.• B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal

authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.• C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.• D. Preserve all the copyright notices of the Document.• E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.• F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.• G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.• H. Include an unaltered copy of this License.• I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled

"History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.• J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These

may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.• K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given

therein.• L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.• M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.• N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.• O. Preserve any Warranty Disclaimers.If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections asinvariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organizationas the authoritative definition of a standard.You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one ofBack-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you areacting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.5. COMBINING DOCUMENTSYou may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all ofthe original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make thetitle of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list ofInvariant Sections in the license notice of the combined work.In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled"Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements".6. COLLECTIONS OF DOCUMENTSYou may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection,provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regardingverbatim copying of that document.7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKSA compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilationis not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are notthemselves derivative works of the Document.If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket theDocument within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.8. TRANSLATIONTranslation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders,but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and anyWarranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version ofthis License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.9. TERMINATIONYou may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminateyour rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSEThe Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address newproblems or concerns. See http:/ / www. gnu. org/ copyleft/ .Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms andconditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any versionever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.ADDENDUM: How to use this License for your documentsTo use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page:

Copyright (c) YEAR YOUR NAME.Permission is granted to copy, distribute and/or modify this documentunder the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2or any later version published by the Free Software Foundation;with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.A copy of the license is included in the section entitled"GNU Free Documentation License".

If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts, replace the "with...Texts." line with this:with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with theFront-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.

If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other combination of the three, merge those two alternatives to suit the situation.If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in freesoftware.