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Enseigner le calcul mental au cycle 3
Formation Décembre 2015
Aurélie BELLANGER-RAOUL
enseignante-ressources en sciences
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Déroulé
Sur quoi s’appuie le calcul mental ?
Enseigner les faits numériques & les procédures
Des ressources pratiques : du matériel, des activités ritualisées…
Pause
Ateliers: jeux
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Calcul mental : pas de traitement écrit du calcul lui-même, même si l’énoncé du calcul, le résultat et éventuellement des
résultats intermédiaires peuvent être écrits.
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Intérêt social du calcul mental Usage du calcul mental dans la vie quotidienne du Chat !
«…les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne…»
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Le calcul mental dans la vie courante, quelques exemples…
Calcul de la monnaie qui doit être rendue
(complément à…)
Calcul du nouveau prix après réduction (pourcentage)
Calcul des proportions d’une
recette de cuisine (proportionnalité)
Vérification d’une addition au restaurant (calcul approché)
Calcul d’une quantité de peinture
à acheter (calcul d’une surface et division) …
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Intérêts pédagogiques du calcul mental en lien avec tous les autres domaines mathématiques
CALCUL MENTAL
Numération et calcul
Ex: Ajouter +30 numération décimale
de position
25 X 100 = 2500 25 centaines
Espace et géométrie
Ex: Trouver le milieu d’un segment.
Agrandissement réduction d’une figure.
Grandeurs et mesures
ex: calcul d’une
somme d’euros ou d’une durée.
Organisation et gestion des données
Ex: proportionnalité
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Calculer mentalement
Développer des stratégies
personnelles, des procédures de calcul adaptées aux nombres en présence.
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En résumé …
Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne
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La limite entre automatisé et réfléchi
Voici une façon de situer approximativement notre propre limite entre calcul automatisé/réfléchi:
l’endroit où la réponse n’est plus immédiate (avec une marge de quelques secondes).
ADDITION
6+4 12+18
250 + 650 127 + 190 326 + 544 774 + 689
SOUSTRACTION
6-1 19 - 7
100 - 45 37 - 22
860 - 515 774 - 389
MULTIPLICATION
7 x 8 15 x 10 7 x 15 6 x 17 24 x 24 39 x 102
DIVISION
10 / 2 100 / 4 63 / 7
17 200 / 100 105 / 5 972 / 27
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L’aisance calculatoire est fortement corrélée à une partie automatisée riche.
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Un calcul pour dégager les différentes procédures
31 – 18 = …
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Un calcul pour dégager les différentes procédures
31 – 18 = … 13
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13
Un calcul soustractif pour dégager les différentes procédures
Décompostion « Jalonnement » : Calcul de l’écart en « avançant » par bond en passant par des nombres « ronds ».
Décomposition : Calcul de l’écart en « reculant » par bond en décomposant le second terme.
Exemple : 31 – 18 = 31 - (1 + 10 + 7) = 31 - 1 - 10 - 7
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Pivotement : Enlever trop et ajuster.
Décalage : « C’est comme »
A partir du Calcul mental au quotidien cycles 2 et 3, François Boule, SCEREN
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Un calcul pour dégager les différentes procédures
31 – 18 = … 13
•Calculer l’écart « 18 pour aller à 31 » •Décomposer 18
•Enlever trop et ajuster •Décaler, « c’est comme »
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Un calcul soustractif pour dégager les différentes procédures
« Jalonnement » : Calcul de l’écart en « avançant » par bond en passant par des nombres « ronds ».
Décomposition : Calcul de l’écart en « reculant » par bond en décomposant le second terme.
Exemple : 31 – 18 = 31 - (1 + 10 + 7) = 31 - 1 - 10 - 7
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Pivotement : Enlever trop et ajuster.
Décalage : « C’est comme »
A partir du Calcul mental au quotidien cycles 2 et 3, François Boule, SCEREN
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Sur quoi s’appuie le calcul mental ?
des résultats mémorisés
une habileté à décomposer des nombres
les propriétés des opérations
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Les propriétés des opérations
Le calcul mental s’appuie et renforce les connaissances des propriétés des opérations.
La commutativité
permet de modifier l'ordre
des termes sans changer
le résultat.
ex: 65 + 13 + 5 = 65 + 5 + 13
L’associativité
permet de changer l'ordre
des calculs sans changer
le résultat.
ex: 10 x 25 x 10 = 10 x 10 x 25
La distributivité
permet de distribuer une
opération sur les autres termes du
calcul.
ex: 53 x 30 = 50x30 + 3x30
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Enseigner le calcul mental
Enseigner des procédures
Enseigner des faits numériques
Enseigner le calcul approché
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Enseigner les faits numériques
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Entraîner la mémoire des
nombres
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jeu de mémoire visuelle
100 000 908
4820 34
calcul mental ~ Cycle 3 23
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jeu de mémoire visuelle
? ?
? ?
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jeu de mémoire visuelle
100 000 908
4820 34
calcul mental ~ Cycle 3 25
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jeu de mémoire auditive
18,3
23,06
0,65
calcul mental ~ Cycle 3 26
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calcul mental ~ Cycle 3 27
jeu de mémoire auditive
?
?
?
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jeu de mémoire et traitement Ecrire dans l'ordre croissant
calcul mental ~ Cycle 3 28
99,8
100,1
99,09
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jeu de mémoire et traitement (1) Ecrire dans l'ordre croissant
?
?
?
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jeu de mémoire et calcul Multiplier par 100
208
723,6
0,65 30
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jeu de mémoire et calcul (2) Multiplier par 100
?
?
?
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Enseigner le calcul mental
Enseigner des procédures
Enseigner des faits numériques Mémoire des nombres
Enseigner le calcul approché
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Enseigner les tables
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Structurer les résultats des tables
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Structuration des résultats « Il est plus facile de mémoriser un ensemble de résultats qui sont structurés, qui ont du lien entre eux, qu’un ensemble de résultats qui sont tous isolés les uns des autres » Roland Charnay, professeur de mathématiques en IUFM
•Disposer de la connaissance de la commutativité de la multiplication permet une économie de 50% de mémorisation. Connaître 6 x 7, c’est connaître 7 x 6 •Etre capable de raisonner sur la différence entre 7 x 6 et 7 x 7 permet de retrouver plus facilement un résultat non mémorisé (7 x 7). •Disposer de résultats particuliers : doubles, carrés…
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36
Synthèse des résultats La table de Pythagore
Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne
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Structuration des résultats
Doubles
Carrés
Il reste 42 résultats à mémoriser
Doubles
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38
Structuration des résultats
Commutativité
Résultats reconstruits à partir des doubles et des carrés
Il reste 10 résultats à mémoriser Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne
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39
Outil d’apprentissage
Dans un tableau propre à chaque élève, chacun ne conserve que les résultats non mémorisés donc à travailler
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40
D’après les travaux de Jean-Luc Bregeon, IUFM d’Auvergne
Présentation des tables de multiplication En utilisant le mot « fois », on trouve les deux présentations pour la table de 2
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Enseigner le calcul mental
Enseigner des procédures
Enseigner des faits numériques Mémoire des nombres Structurer les résultats des tables
Enseigner le calcul approché
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Interroger les tables
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La mémorisation et la restitution
« Les conditions de la mémorisation influent sur les conditions de la restitution. » Roland Charnay, professeur de mathématiques en IUFM
La manière dont on a incité les élèves à mémoriser, dont on les a interrogés va avoir une influence sur la manière dont les élèves vont solliciter leurs résultats.
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Varier les façons d’interroger les tables, quelques exemples 6 x 7 = 42
Ecrites 6 x 7 = ? 7 x 6 = ? ? x 6 = 42 6 x ? = 42 42 : 6 = ? 42 : 7 = ? ? x ? = 42 QCM : 6 x 7 = 56 ? 13 ? 42? Vrai / Faux : 6 x 7 = 49 (V) (F) Suite croissante et décroissante des nombres de 6 en 6…
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Varier les façons d’interroger les tables, quelques exemples 6 x 7 = 42
Orales « 6 fois 7 » « 7 fois 6 » «Quel est le produit de 6 par 7 ? » « Dans 42, combien de fois 6 ? » « 42 divisé par 7 ? » « Quel est le quotient de 42 par 6? » « Eliott doit courir 4200 mètres. Chaque tour de terrain mesure 700 mètres. Combien de tours doit-il faire?»…
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•Limiter le rituel de « récitation des tables » difficulté à isoler un résultat de cette liste de résultats. •Varier les formes d’interrogations jouer des combinaisons multiples autour des tables •Alterner interrogations orales (pas de support écrit) et interrogations écrites (pas de lecture de l’enseignant) l’utilisation de résultats mémorisés n’est pas facilitée à l’oral et plus explicite à l’écrit • Utiliser des petits problèmes issus de situations
concrètes de la vie quotidienne
Quelques conseils pour interroger les tables
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12 = 10 + 2 9 = 10 -1 25 = 100 / 4 290 300
Passage à la dizaine Ajout de 10, 100
Doubles, Compléments à 10 Tables add, mult 25 ( x 2, 3 et 4) 50 x 2
Ce qu’il faut automatiser Inspiré de Enseigner /apprendre le calcul mental, DGESCO
Des faits numériques
Des procédures
« Notion » de nombre
Décomposition Estimation
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Enseigner le calcul mental
Enseigner des procédures
Enseigner des faits numériques Mémoire des
nombres Structurer
les résultats des tables
Varier les façons d’interroger les tables.
Enseigner le calcul approché
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Enseigner les procédures Des procédures de calcul à découvrir,
entraîner et automatiser
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Enseigner des procédures
Des procédures pour calculer 45 + 17
A 45 + 17 = 45 + 10 + 7 = 55 + 7 = 62
B 45 + 17 = 45 + 5 + 12 = 50 + 12 = 62
C 45 + 17 = 40 + 5 + 10 + 7 = 50 + 12 = 62
D 45 + 17 = 45 + 15 + 2 = 60 + 2 = 62
E 45 + 17 = 45 + 20 - 3 = 65 - 3 = 62
F 45 + 17 = 2 + 43 + 17 = 2 + 60 = 62
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Catégoriser les différentes procédures Décomposition du 2nd nombre A: 45 + 17 = 45 + (10 + 7) = 55 + 7 = 62 D : 45 + 17 = 45 + ( 15 + 2) = 60 + 2 = 62 Décomposition du 1er nombre F : 45 + 17 = ( 2 + 43 ) + 17 = 2 + 60 = 62 Passage à la dizaine supérieure B: 45 + 17 = 45 + 5 + 12 = 50 +12 Décomposition des 2 nombres C : 45 + 17 = ( 40 + 5 ) + ( 10 + 7) = 50 +12 = 62 Ajout de dizaines et soustraction (pivotement) E : 45 + 17 = 45 (+20 – 3) = 65 -3 = 62
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Dégager des objectifs d’apprentissage
Faire expliciter l’ensemble des procédures (apport du maître si nécessaire) Sélectionner les procédures pertinentes les consolider. Faire découvrir et utiliser des nouvelles procédures: Programmer: une semaine utilisation de la procédure « Ajout de dizaines et soustraction » une semaine utilisation de la procédure « Passage à la dizaine supérieure » une semaine utilisation de la procédure 3 « Décomposition du 2nd nombre » une semaine les élèves choisissent leur procédure.
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Importance du choix des calculs pour favoriser l’utilisation d’une procédure
plutôt qu’une autre
• Décomposition du 2nd nombre : 26 + 16 (26 + 10 + 6) / 35 + 17 (35 + 10 + 7) • Passage à la dizaine supérieure : 37 + 18 (37 + 3 + 15) / 59 + 24 (59 + 1 + 23)
• Ajout de dizaines et soustraction (pivotement) : 58 + 26 (60 + 26 – 2) / 45 + 37 (45 + 40 – 3)
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Citation DGESCO « Etre expert, c’est choisir une procédure personnelle. C’est être capable de choisir parmi les procédures apprises, celle qui est la plus adaptée aux singularités, à la « personnalité » des nombres en présence et celle qui est la plus adaptée aux performances acquises à un moment de sa scolarité. » C’est une initiative , un choix
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Pour choisir, il faut avoir le choix... Ainsi, on peut recommander aux élèves : d’observer avant de calculer de chercher des relations « faciles » (c’est-à-dire,
connues) avant de calculer. de recommencer le calcul en utilisant une autre
procédure que celle qu’ils ont spontanément utilisée.
Enseigner des procédures
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56
Evaluer les procédures
•Évaluer la capacité d’un élève à choisir une procédure adaptée Exemples autour des compléments 100 67 + … =100 100 - 24 =… 42 + … = 60 70 - 35 =… •Évaluer la capacité d’un élève à reconnaître une procédure Exemples : 58 + 32 = 60 + … 58 - 32 = 56 -… •Évaluer le niveau d’automatisation d’une procédure Pour chaque procédure, on donne quelques calculs à réaliser dans un temps donné, par exemple, 5 cas à réaliser en 2 minutes : Donner la consigne à l’oral et à l’écrit. 67+…= 100 …+86=100 78+…=100 …+55=100 39+…=100 100-27=… 100-….=76 100-28=… 100-19=… 100-…=52 •Évaluer l’application d’une procédure dans des problèmes simples Prix 65 centimes ; on paie avec 1 euro. J’ai 34 euros. Combien me manque-t-il pour acheter un cadeau à 50 euros ? Différence d’âge entre deux frères de 23 ans et 40 ans.
A partir du module de formation, MENJVA / DGESCO, mai 2011
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Enseigner le calcul mental
Enseigner des procédures Faire expliciter Consolider
« Programmer » l’utilisation de nouvelles procédures
Entraîner Evaluer
Enseigner des faits numériques
Enseigner le calcul approché
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58
Enseigner le calcul approché
Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne
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Calcul approché
C’est le parent pauvre du calcul mental. Il repose sur une bonne connaissance de la numération. Il passe par le traitement séparé des deux nombres de départ : ne pas traiter tous les chiffres, valeur approchée (dizaine ou centaine supérieure ou inférieure). •Encadrements : Ex : 573 + 215 = ? 500 < 573 < 600 200 < 215 < 300 700 < ? < 900 570 < 573 < 580 210 < 215 < 220 780 < ? < 800 •Traitement des deux nombres de départ : Ex : 297 + 610 = ? 300 + 600 = 900 •Traitement d’un seul nombre : Ex : 4 x 42 = ? 4 x 40 = 160
Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne
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CALCUL APPROCHÉ 1) Au Cycle 3 : donner le résultat arrondi Les 2 nombres sont situés à 3 unités au plus d’un
nombre « rond ». Exemples: 79 – 42 ≈ 80 – 40 ≈ 40 187 + 78 ≈ 190 + 80 ≈ 270 L’utilisation d’une calculette permet de comparer le résultat exact au résultat arrondi (37 et 40; 265 et
270).
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CALCUL APPROCHÉ 2) Au Cycle 3 : déterminer l’ordre de grandeur du
résultat Entourer le nombre le plus proche du résultat, sans le calculer exactement 1004 - 123 1500 700 900
17 x 12 200 300 150
1,5 x 1,5 3 2,2 2
54 ÷ 0,1 0,5 500 5
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Equilibre entre l’enseignement du calcul mental et calcul posé
La pratique des techniques opératoires, met en jeu des compétences de calcul mental (tables d’addition et de multiplication, calcul mental de sommes, de différences, de produits) mais sur des zones localisées du nombre. 537 + 299 ______ Ce travail technique a tendance à éloigner de la perception globale du sens des nombres. Travail sur les chiffres. En calcul mental, on a intérêt à intégrer la globalité des nombres. Ex: 537 + 300 - 1
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Place du calcul mental dans l’emploi du temps?
Des séances courtes, 1/4 d’heure au quotidien pour l’entraînement. Quelques séances «longues» pour l’enseignement de procédures de calcul ou de nouveaux résultats.
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Du matériel
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Du matériel pour faciliter la représentation des nombres en
calcul mental Le boulier La table de Pythagore analogique Carrés de 10, 20, 50, 100 Le trio
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Le boulier 100 boules
FILM
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Support de visualisation : le boulier 100 boules
Le complément à 100 de 29 se lit directement sur le boulier : c’est 71.
On voit bien 9 lignes entières (2 en haut et 7 en bas) et une ligne décomposée (1 à gauche et 9 à droite)
2d
7d
1u + 9u
Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne
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Du matériel pour faciliter la représentation des nombres en
calcul mental Le boulier La table de Pythagore analogique Carrés de 10, 20, 50, 100 Le trio
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Les supports papier
Labynombre
Coloriage magique…
Jeu des carrés
Cascades
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Les supports papier Le jeu du trio
38
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Les supports papier Le jeu du trio
6 x 8 -5
4 x 9 + 2
7 x 5 + 3…
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Des activités ritualisées
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Des activités ritualisées
Le nombre pensé
Avec trois chiffres
Le jeu des 6 cartes
Vous savez que…
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Le nombre pensé
Je pense à un nombre, je lui ajoute 9, j’obtiens 13. Quel est ce nombre ?
Je pense à un nombre, je le multiplie par 7, j’obtiens 56. Quel est ce nombre ?
Je pense à un nombre, je lui ajoute 3,2 j’obtiens 13, 2. Quel est ce nombre ?
Je pense à un nombre, je lui ajoute 3,2 j’obtiens 10. Quel est ce nombre ?
![Page 75: Enseigner le calcul mental au cycle 3 - Académie de …...Calcul mental: pas de traitement écrit du calcul lui -même, même si l’énoncé du calcul, le résultat et éventuellement](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040806/5e46d672605de8694b5f2ad7/html5/thumbnails/75.jpg)
Le nombre pensé
Je pense à un nombre, je le multiplie par 7, j’obtiens 21. Quel est ce nombre ?
Je pense à un nombre, je le multiplie par 7, j’obtiens 42. Quel est ce nombre ?
Je pense à un nombre, je le multiplie par 7, j’obtiens 420. Quel est ce nombre ?
![Page 76: Enseigner le calcul mental au cycle 3 - Académie de …...Calcul mental: pas de traitement écrit du calcul lui -même, même si l’énoncé du calcul, le résultat et éventuellement](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040806/5e46d672605de8694b5f2ad7/html5/thumbnails/76.jpg)
Le jeu des 3 chiffres
Niveau CE2
« Quels nombres peut-on écrire en combinant deux ou trois de ces chiffres avec un signe d’opération au
choix =, -, x ? »
Niveau CM1 &CM2
« Quels nombres peut-on écrire en combinant deux ou trois de ces chiffres et deux signes opératoires ? »
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Le jeu des 6 cartes Chaque équipe choisit une couleur et tire une carte à tour de rôle:
Si c’est une carte de sa couleur la carte est gardée, l’équipe gagne la valeur entière de la carte.
Si c’est une carte de la couleur adverse la carte est donnée à l’autre équipe qui gagne la moitié de la valeur
de la carte.
Si c’est une carte sans couleur la carte est gardée, mais elle ne vaut plus que le quart de sa valeur.
(tiré d’Ermel CM1)
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Vous savez que…
Vous savez que …9 x 8 = 72.
Calculez 90 x 8 = …
9 x 16 = …
900 x 8 = …
(tiré du « Calcul mental à l’école » Hachette éducation)
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Vous savez que…
Vous savez que … 3 + 4 = 7.
Calculez 3,2 + 4= …
3 + 3,8 = …
3, 156 + 4 = …
(tiré du « Calcul mental à l’école » Hachette éducation)
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Des sites
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Pour entraîner les élèves, des sites ressources
Calculatice Matoumatheux Primaths
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![Page 83: Enseigner le calcul mental au cycle 3 - Académie de …...Calcul mental: pas de traitement écrit du calcul lui -même, même si l’énoncé du calcul, le résultat et éventuellement](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040806/5e46d672605de8694b5f2ad7/html5/thumbnails/83.jpg)
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Le jeu du quadricalc Le jeu de la grenouille
Le jeu du boule à boule Le jeu des planètes
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Et surtout…
Utilisation des jeux, pour susciter du plaisir chez les élèves
dans la pratique du calcul et l’usage des nombres.
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Des jeux pour s’entraîner et pour le plaisir!
1 Le 5000 2 Math puzzles 3 Mathsumo 4 Mathador’flash 5 Lobo 77
6 Pikomino
7 Bon débarras
8 Folix 9 Mathaboum 10 Multiplay
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Le 5000
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Le Mathsumo
Editions: Mattika Prix: 29,50 euros Tutoriel disponible sur le site Mattika
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Lobo 77
Editions: Gigamic Prix: environ 13 euros Tutoriel disponible sur le Dailymotion
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Pickomino
Editions: Zoch Prix: environ 14 euros Tutoriel disponible sur le VidéoRègles.net
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Folix
Editions: Anaton’s editions Prix: environ 21 euros Tutoriel disponible sur Dailymotion
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Mathaboum
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Des jeux pour s’entraîner et pour le plaisir!
Les « + » Ludique, supports attrayants. favorise la motivation Travail en ateliers implique davantage tous les élèves. Les « - » Le dispositif: ateliers, parfois difficile à installer et souvent coûteux en temps (au moins au début). Un apprentissage des règles de jeu parfois un peu longue.
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Des jeux pour s’entraîner et pour le plaisir!
Point de vigilance: La notation des scores doit « imposer » un calcul mental et non un recours à la technique opératoire. Temps d’une partie pas trop long privilégier plusieurs parties de temps court. A développer ? Les jeux dits de « calcul mental inversé » Les concours de calcul mental.
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Un tournoi de calcul mental Lien tournoicalculmental.unblog.fr
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Bibliographie
Le nombre au cycle 3 apprentissages numériques
SCEREN
Des jeux et des maths à l’école Gérard Champeyrache, Didier Faradji
SCEREN
Fort en calcul mental ! Christophe Bolsius
SCEREN
Le calcul mental au quotidien cycles 2 et 3, François Boule
SCEREN
Le calcul mental à l’école élémentaire Sylvie Gama, Daniel Djament
Hachette Education
Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne