Chapitre 1

Cinematique

1.1 Exercice 1

Soit le champ de vitesse instationnaire u = u ex + v ey + w ez suivant (ou t0 et v0

sont deux constantes) :

u =1

(t0 + t)x

v = v0

w = 0

1. Trouvez les equations parametriques et cartesiennes de la ligne de courantpassant par le point x0 = (x0, y0, z0) a l’instant t.

2. Trouvez les equations parametriques et cartesiennes de la trajectoire d’uneparticule initialement situee en t = 0 au point x0 = (x0, y0, z0).

3. Calculez la vitesse de la particule le long de sa trajectoire.

4. Trouvez les equations cartesiennes de la ligne d’emission d’un point x∗ =(x∗, y∗, z∗) a l’instant t.

1.2 Exercice 2

Soit le champ de vitesse stationnaire u = u ex + v ey +w ez suivant (ou a et w0 sontdeux constantes) :

u = a (x+ y)

v = a (x− y)

w = w0

1. Calculez la divergence du champ de vitesse.

2. Calculez la vorticite du champ de vitesse.

1

3. Trouvez les equations parametriques de la trajectoire d’une particule initiale-ment situee en t = 0 au point x0 = (x0, y0, z0).

4. Trouvez les equations cartesiennes de cette trajectoire projetee dans le plan(ex, ey).

5. Trouvez les equations cartesiennes des lignes de courant.

6. Calculez la variation temporelle de chaque composante de vitesse que mesureune sonde qui se deplace dans l’ecoulement selon la loi x = y = c0 t.

1.3 Exercice 3

Soit un ecoulement plan instationnaire dont le champ de vitesse u = u ex + v ey estle suivant (ou a et b sont deux constantes positives) :

u = [a+ b sin (ω t)] x

v = − [a+ b sin (ω t)] y

1. Trouvez les equations cartesiennes des lignes de courant. Trouvez l’equationde la ligne de courant passant par le point x0 = (x0, y0) a l’instant t.

2. Trouvez les equations cartesiennes de la trajectoire d’une particule initialementsituee en t = 0 au point x0 = (x0, y0, z0).

3. Trouvez l’equation des lignes d’emission passant par l’origine x = 0.

4. Calculez la variation temporelle de chaque composante de vitesse que mesureune sonde qui se deplace dans l’ecoulement selon la loi x = y = c0 t.

2

Chapitre 2

Theoremes integraux

2.1 Jet incident bidimensionnel

Soit un fluide incompressible et non visqueux en incidence d’un angle α sur uneplaque plane, impermeable et de dimensions infinies placee dans l’air ambiant.L’epaisseur du jet amont est L et la vitesse incidente U est uniforme. On sup-pose que les vitesses se reuniformisent suffisamment loin du point d’arret et que lesepaisseurs de fluide a et b sur la plaque sont constantes. On demande de calculer,dans le cas d’un regime permanent, l’expression des epaisseurs a et b ainsi que laforce exercee par le fluide sur la plaque en fonction de l’angle α.

y

U

a

bL

pa

paα

x

2.2 Grille d’aubes

Considerons l’ecoulement stationnaire bidimensionnel d’un fluide incompressibleideal autour d’une grille comportant un nombre infini d’aubes. La distance separantdeux aubes (periode de la grille) est t.

3

Les profils de pression et de vitesse en amont (en aval) du systeme sont uniformes,et valent respectivement p1 (p2) et U1 (U2). L’ecoulement est en incidence d’un angleβ1 (β2) par rapport a la corde de l’aubage.On demande– de calculer la force exercee par le fluide sur l’aubage en fonction de la circulation

Γ,– de particulariser au profil d’aile isole.

β2

t

x

y

U1 U2

p1 p2

β1

2.3 Flasque

Une conduite cylindrique de rayon a et de longueur L est fixee a la sortie d’unreservoir contenant un fluide incompressible de masse volumique ρ au moyen d’uneflasque et de boulons.A l’entree de la conduite, le profil de vitesse est uniforme et vaut U1. La pressionstatique y est egale a p1. A l’autre extremite de la conduite, ou regne une pressionstatique p2, le profil de vitesse est parabolique.En regime stationnaire, on demande– l’expression de la vitesse U2 en fonction de U1,– la force que doivent exercer les boulons sur la flasque pour maintenir la conduite

en place, la gravite etant negligee.

p1 p2a

L

U1 U2

4

2.4 Helice

Un systeme a helice possede une conduite d’aspiration de section Ae connue. L’air,suppose incompressible, a une vitesse d’entree Ve uniforme. Il est ejecte au traversd’un conduit de section As a la vitesse uniforme Vs.Dans l’helice de section Ah, on suppose que le profil de vitesse Vh est uniformementreparti. La pression est assimilee a la pression atmospherique et le regime est etabli.On demande d’ecrire les bilans de masse, de quantite de mouvement et d’energiepour etablir, en fonction de la puissance W developpee par l’helice, de la section Ah,de la masse volumique ρ de l’air et du debit volumique Dv, les relations permettantde determiner Ae et As.

pa paW

Ue Us

AeAs

Ah

Uh

2.5 Lance incendie

L’embout d’une lance d’incendie a 3 cm de diametre interieur et est visse a untube cylindrique de 8 cm de diametre interieur. Quand l’embout est ouvert, la lanceincendie debite 40 litres d’eau par seconde. On demande de determiner :

1. la pression totale Pt sous laquelle la lance fonctionne,

2. la resultante F des forces exercee par l’eau et a laquelle devra resister l’embout– quand celui-ci est ouvert,– quand celui-ci est ferme (en supposant que la pression totale Pt n’a pas

change).

On negligera les pertes visqueuses et p2 sera choisie comme pression de reference.La masse volumique ρ de l’eau est 1000kg/m3.

p1

V1 V2

p2

D1=8cm

D2=3cm

D =40l/s

5

2.6 Ajutage de Borda

Determiner le rapport de contraction n = σ/S d’un jet a la sortie d’un reservoirsous les hypotheses suivantes :– la section S du trou est tres petite devant les dimensions du reservoir,– la longueur du tube L est beaucoup plus grande que sa section S de telle sorte

que la distribution de pression sur la paroi verticale n’est pas influencee par lapresence du trou,

– les dimensions du reservoir sont beaucoup plus grandes que la longueur L du tubepour les memes raisons,

– la gravite est negligee,– le fluide est incompressible et non visqueux,– le jet ne touche pas les parois du tube.

pa

S

L

σ

pr

2.7 Conduite

On considere une conduite horizontale convergente de longueur L, parcourue par unfluide parfait incompressible de masse volumique ρ. Le debit volumique traversantla conduite depend du temps selon une loi connue

D(t) = D0f(t) ou D0 est une constante.

La geometrie de la conduite etant connue, on considere que le fluide possede, danschaque section A(x) , une vitesse axiale u uniforme. La gravite etant negligee, ondemande :

1. de calculer, en fonction du temps, la difference de pression p1 − p2,

2. de calculer la force F (t) exercee par le fluide sur la conduite. Indiquer claire-ment le sens conventionnel positif de cette force.

6

L

p2p1

A(x)

A1

a2

2.8 Systeme de ventilation

Un systeme de ventilation possede une conduite d’aspiration de section Ae connue.L’air, suppose incompressible possede une vitesse d’entree Ve uniforme. L’air estejecte au travers d’une conduite axiale de section A2 inconnue et de deux conduiteslaterales symetriques de section A1 connue, inclinees d’un angle α par rapport al’axe du ventilateur.Dans la conduite d’entree, le ventilateur, de puissance W donnee, engendre un debitvolumique D connu a priori. La pression dans le systeme est assimilee a la pressionatmospherique. On demande :

1. la valeur de la section A2 pour que les vitesses uniformes d’ejection V1 et V2

soient identiques. Quelle est cette vitesse commune ? A2 et V1 seront exprimeesen fonction de Ae, A1, D et W :

W = WA2e

ρD3

2. l’expression de la force de reaction F exercee sur l’axe du ventilateur en fonc-tion de ρ, α,Ae, A1, D et W . Indiquez la direction effective de cette force.

V1

Ve

A1

Ae

A1

A2

V2

V1

7

Chapitre 3

Equations de Navier-Stokes

Les equations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible, de viscosite ν et deconductivite k constantes s’ecrivent– Continuite

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0

– Quantite de mouvement

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z= Fx − ρ−1 ∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z= Fy − ρ−1 ∂p

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2

)

∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z= Fz − ρ−1 ∂p

∂z+ ν

(∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2

)– Temperature

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y+ w

∂T

∂z=

k

ρc

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2+∂2T

∂z2

)+

2ν

c

∑i,j

γ2ij

ou γij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)

NB : Les forces de volume ~F sont exprimees en N/kg.

3.1 Ecoulement plan de Couette

Soit un fluide incompressible de viscosite ν constante place dans le champ de lapesanteur entre deux plaques planes distantes de H et de dimensions infinies. Laplaque superieure, animee d’une vitesse de translation horizontale V , met le fluideen mouvement. La plaque inferieure est au repos.On demande, en regime permanent et laminaire, d’etablir le profil de vitesse ainsique le champ de pression.

8

ρ,υ

V

y

x

g H

3.2 Ecoulement plan de Poiseuille

Entre deux plaques planes distantes de 2b, infiniment longues et immobiles, on en-gendre un mouvement a un fluide incompressible visqueux. (ν =cste)On demande :

1. de determiner le champ de vitesse laminaire si le gradient horizontal de pressionnecessaire au mouvement est stationnaire.

2. de determiner le profil de temperature au sein du fluide lorsque les plaquesinferieure et superieure ont respectivement une temperature uniforme T0 et T1.Discutez la forme de ce profil en fonction de la valeur du nombre de BrinkmanBr.

T0

T1

3.3 Ecoulement de Poiseuille dans une conduite

cylindrique

Soit un ecoulement force par un gradient de pression axial constant dans un cylindrede rayon R et de longueur L >>> R pour negliger les effets de bords. Si la graviteest negligeable et l’ecoulement permanent, on demande de calculer :

9

– le champ de vitesse vr, vθ, vz,– le debit volumique Dv,– la tension visqueuse exercee sur la conduite par le fluide.

dp<0 R

eθer

ez

3.4 Ecoulement de Couette dans une conduite cy-

lindrique

Soit deux cylindres concentriques de rayons R1 et R2 animes d’une vitesse angu-laire Ω1 et Ω2 respectivement et contenant du fluide. On suppose que le regime estetabli, que la gravite est negligeable et que le fluide, incompressible, a une viscositeconstante. On demande :

1. le profil de vitesse et la distribution de pression entre les deux cylindres.

2. le couple par unite de longueur a appliquer sur le cylindre pour maintenir savitesse de rotation Ω1 constante.

3. de particulariser les resultats aux cas limites R1 → 0 et R2 →∞.

R1

υ

R2

Ω2

Ω1

ezρ

3.5 Plan incline

Une fine couche H de fluide (milieu 1) s’ecoule et tombe, sous l’influence de la pesan-teur, sur une plaque tres grande et lisse qui presente un angle α avec l’horizontale.L’atmosphere (milieu 2) dans laquelle l’experience est realisee se trouve a la pressionpa et possede une viscosite dynamique et une conduction thermique negligeables. Ennegligeant les effets de bords, determinez

10

1. la distribution des vitesses et de la pression dans cette mince couche dans lecas d’un ecoulement permanent,

2. l’epaisseur H de la couche en fonction du debit massique D et des proprietesdu fluide,

3. le profil de temperature dans la couche et le flux thermique a la paroi si onsuppose que la plaque a une temperature uniforme T0.

On suppose que les tensions superficielles a l’interface fluide-atmosphere sont negligeables.

y

x

1

H

α

µ<<<k<<<

pa

Το2

3.6 Fil en mouvement force dans une conduite

Soit une conduite droite de section circulaire de rayon R. Le long de l’axe de laconduite, on place un fil rigide de section circulaire de rayon a << R. La conduite,horizontale, est remplie d’un fluide incompressible, de viscosite µ et de conducti-vite thermique k supposees constantes. Initialement, l’ensemble est au repos a latemperature uniforme T0.On donne alors au fil un mouvement de translation de vitesse constante U dansune direction parallele a l’axe. L’ecoulement de fluide resultant ne presente pas degradient de pression axial.Si on considere que le nombre de Brinkman Br n’est pas tres petit devant l’unite, lechamp de temperature ne reste pas uniforme. Il en resulte notamment un echangethermique du fluide vers la paroi de la conduite. Considerant la tres grande conduc-tivite thermique de celle-ci, on supposera que la temperature de cette paroi resteuniforme et egale a T0. Quant a l’echange entre le fil et le fluide, il a pour effetde modifier progressivement la temperature du fil pour atteindre une temperatured’equilibre Te a priori inconnue. Celle-ci est atteinte lorsque le flux thermique entrele fil et le fluide est nul. On se trouve alors dans une situation ou l’ecoulement et lechamp de temperature sont permanents.On ne vous demande pas de calculer la solution instationnaire transitoire qui decritl’evolution temporelle des vitesses et de la temperature de l’instant initial (le filau repos a temperature T0) jusqu’a l’obtention de la situation d’equilibre (fil enmouvement a la vitesse U et a temperature Te). On vous demande uniquementd’analyser l’ecoulement permanent.Dans cette situation d’ecoulement permanent, on demande de calculer :

1. la distribution des vitesses dans la conduite,

11

2. la force de traction par unite de longueur necessaire au deplacement du fil ala vitesse constante U ,

3. la quantite de chaleur dissipee dans le fluide par frottement visqueux par unitede longueur du cylindre et par unite de temps,

4. le champ de temperature dans le fluide et la temperature d’equilibre Te du fil,

5. la flux de chaleur transmis au cylindre exterieur par unite de longueur et parunite de temps. On demande de verifier que cette quantite est independantede T0 et de justifier physiquement le resultat obtenu.

U

z

r R

2a

To

Te

3.7 Sphere de rayon R(t) variable

Soit une sphere de rayon R(t) connu immergee dans un fluide incompressible etvisqueux. En supposant les forces de volume negligeables, montrez que la distributionde pression sur la sphere est telle que

p(R, t) = p∞ +ρ

2

d2R2

d2t2+

(dR

dt

)2

ou p∞ est la pression a l’infini– en utilisant les equations de Navier-Stokes,– en appliquant le theoreme de Bernoulli.Si le rayon R(t) de la sphere suit une loi du type R(t) = a(1 + cosnt) ou a et n sontdes constantes positives, determinez la valeur de la pression maximale exercee surla sphere par le fluide.

3.8 Verre d’eau

Soit un fluide de densite ρ et de viscosite ν constantes confine dans un cylindrevertical place dans le champ de la pesanteur. Initialement, le niveau de fluide setrouve a une hauteur H. On met le cylindre en mouvement autour de son axe ala vitesse angulaire Ω. Apres un certain temps, le systeme atteint une situationd’equilibre dans laquelle l’ecoulement est independant du temps et la surface libreprend une certaine forme egalement independante du temps. On demande d’etablirl’equation decrivant la forme de la surface libre dans cette situation stationnairelorsque

12

– les tensions de surface sont negligeables,– les tensions de surface ne sont plus negligeables.On suppose que la composante axiale de la vitesse est nulle et que le milieu exterieurest a la pression atmospherique patm. La forme de la surface libre est mesuree parune fonction h(r) telle que z = H + h(r).On donne a titre indicatif : (

1

R1

+1

R2

)O

= 2h′′

0

(1

R1

+1

R2

)P

=1

(1 + h′2)3/2(h′′

+h′

r(1 + h

′2))

Ω

H

ez

er

oP h(r)

g

pa

3.9 Ecoulement de Couette pour deux fluides non

miscibles

Soient deux fluides superposes non miscibles en mouvement entre deux plaquesplanes, impermeables et de dimensions infinies. Les caracteristiques des deux fluidessont constantes et sont ρ1, ν1, k1 pour le fluide le plus dense et d’epaisseur H1 etρ2, ν2, k2 pour l’autre milieu, d’epaisseur H2. La paroi inferieure, immobile, est uneparoi adiabatique tandis que la temperature de la plaque superieure, animee d’unevitesse de translation uniforme V , est maintenue a la temperature T0 (paroi iso-therme). On demande de determiner le champ de vitesse, le champ de pression et

13

le champ de temperature dans chacun des deux fluides en precisant quelles sont lessimplifications apportees aux equations et en expliquant les conditions aux limites.

T0

q = 0

3.10 Ecoulement de Couette cylindrique pour deux

fluides non miscibles

Un cylindre de longueur infinie et de rayon R est en rotation a la vitesse angulaireΩ dans un milieu compose de deux fluides non miscibles. Le premier fluide, decaracteristiques ρ1, ν1, k1 est en contact direct avec le cylindre et entoure celui-cisur une distance a − R constante. Ce systeme est alors plonge dans un secondfluide, de caracteristiques ρ2, ν2, k2. On demande de determiner le champ de vitessevr, vθ, vz ainsi que le champ de pression p dans les deux milieux si on suppose que lestensions superficielles ne sont pas negligeables. Calculez egalement la distributionde temperature en supposant que la temperature du cylindre est maintenue a latemperature TR.

Ω

IIR

a

I

3.11 Diffusion moleculaire

Le phenomene de diffusion se traduit par une diminution au cours de temps desgrandes variations de certaines grandeurs physiques. Ce phenomene est du a l’agita-tion moleculaire et tend a uniformiser les grandeurs physiques. On demande d’etudierle cas d’une plaque plane qui subit un demarrage soit impulsif, soit periodique dansun milieu semi-infini de fluide visqueux. Caracterisez l’etat du fluide lorsque la gra-vite est negligee.

14

Chapitre 4

Ecoulements supersoniques

4.1 Irreversibilite au travers d’un choc suivi d’une

detente

Un ecoulement supersonique horizontal (M1 = 2) rencontre un coin de paroi d’angleδ = 20 suivi d’un retour a l’horizontale. On demande de calculer l’angle du choc θ,le nombre de Mach (M3) de l’ecoulement aval ainsi que les rapports de pression et detemperature entre l’amont et l’aval. Comparez les resultats de la theorie isentropiquenon lineaire et de la theorie exacte.

4.2 Irreversibilite au travers d’une detente suivie

d’un choc

Un ecoulement supersonique horizontal (M1 = 2) rencontre un coin de paroi d’angleδ = 20 suivi d’un retour a l’horizontale. On demande de calculer l’angle du choc ψ,le nombre de Mach (M3) de l’ecoulement aval ainsi que les rapports de pression et detemperature entre l’amont et l’aval. Comparez les resultats de la theorie isentropiquenon lineaire et de la theorie exacte.

15

4.3 Tube de Pitot

Un tube de Pitot permet de mesurer le nombre de Mach M1 d’un ecoulement uni-forme place parallelement a celui-ci. En effet, si on suppose le tube tres fin, la pressionps mesuree suffisamment loin de la tete du tube est pratiquement egale a la pressionp1 qui regne dans l’ecoulement amont. On demande de calculer M1 pour differentesvaleurs du rapport de pression ps

pcou pc est la pression mesuree dans l’orifice de tete.

Les differentes valeurs sont les suivantes : 1, 0.7528, 0.5283, 0.2060 et 0.02136.

4.4 Profil d’aile triangulaire

Un profil d’aile triangulaire dont l’angle d’incidence α est non nul est place dans unecoulement uniforme de Mach M∞ = 2, 6 et provoque sur son extrados une detentecentree. L’angle λ entre l’extrados et la premiere onde de detente vaut 27, 62 . Ondemande de calculer l’angle d’incidence α et l’angle ψ entre la premiere et la derniereonde de detente.

16

4.5 Profil d’aile en losange

Un profil d’aile en losange est place dans un ecoulement uniforme de Mach M∞avec un angle d’incidence α = 8 . Un tube de Pitot, place dans l’ecoulement amontindique une pression d’arret de 5, 64 atm. On demande de calculer les caracteristiquesde l’ecoulement (M ,T ,p) le long des parois, les forces de portance et de traıneeexercices sur le profil et la configuration de l’ecoulement en aval de l’aile sachantque e

c= 0, 1 et que p∞ = 1 atm.

4.6 Reflexion d’un choc sur une paroi solide

Dans le systeme ci-dessous, on demande de comparer l’angle d’incidence α et l’anglede reflexion β pour un nombre de Mach M1 = 2 et un angle de deflexion δ = 10 .

17

4.7 Plaque mince

Une plaque mince de longueur c = 20 cm dont l’angle d’incidence α est non nul estplacee dans un ecoulement uniforme de pression p∞ = 0, 15 atm et de temperatureT∞ = 180 K et provoque sur son extrados une detente centree. L’angle λ entrel’horizontale et la derniere onde de detente vaut 6, 2915 . Un tube de Pitot placesur l’extrados indique un rapport de pressions de 21,6598. On demande de calculerl’angle d’incidence α, les caracteristiques de l’ecoulement le long de l’extrados et del’intrados ainsi que les forces de portance et de traınee.

18

Chapitre 5

Ecoulements en tuyere

5.1 Exercice 1

Pour la tuyere ci-dessous, calculez le rapport entre la section de sortie et celle d’entreesi la pression de sortie vaut 0,3 bar. Calculez aussi le Mach a la sortie. On donnepe = 1 bar et Me = 2,15 et on suppose qu’il n’y a pas de choc.

5.2 Exercice 2

Soit une buse de Laval raccordee a un reservoir. On suppose qu’il n’y as pas de choc.Calculez As

A∗, ps

pr, Ts

Tr, pr, Ts (pour Tr =290 K) et Tr (pour Ts =290 K) dans les cas ou

Ms =2, 4 et 10.

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Resultats :

MsAs

A∗ps

pr

Ts

Trpr (atm) Ts (K) Tr (K)

2 1,688 0,1278 0,5556 7,8247 161,124 521,954 10,72 0,06586 0,2381 15,184 69,049 1217,9810 535,9 0,2356 10−4 0,04762 4,24 104 13,809 6089,88

5.3 Exercice 3

Soit la tuyere plane suivante dont la buse de Laval a la forme parabolique y = x2 +1dans les axes determines. Pour les regimes d’ecoulement en tuyere adaptee, en tuyeresubsonique (Mach au col : Mc = 0.8) et le cas d’un choc dans le divergent (positiondu choc : x = 0.5), calculez p

pr, TTr

, AA∗

et M au col et a la sortie. Pour chacun deces regimes, calculez aussi le debit massique par unite de section au col ainsi que ledebit de quantite de mouvement a la sortie, sachant que Tr = 288 K et pr = 1 atm.

5.4 Exercice 4

Soit la tuyere suivante, en regime subsonique a l’entree. Determinez le regime del’ecoulement pour M0 = 0, 1 et M0 = 0, 4.

20

5.5 Exercice 5

Soit la tuyere plane suivante dont la buse de Laval a la forme parabolique y =x2 + 1 dans les axes determines. Connaissant la pression exterieure pe = 0, 8235 pr(6= ps !) et le rapport des sections de sortie et au col (As

Ac= 2), determinez le regime

d’ecoulement et la position d’un choc eventuel.

5.6 Exercice 6

Soit la tuyere a double col suivante. Pour un Mach unitaire a la sortie, un Mach etune temperature d’entree connus (Me = 4 et Te = 200 K) ainsi que les rapports desection Ae

Ac1= 2, 7, Ax1

Ac2= 1, 4 et As

Ae= 2, determinez le regime d’ecoulement. Calculez

aussi ps, Ts,Ax1

Ac1, pe et le debit massique par unite de section a la sortie.

21

5.7 Exercice 7

Soit la tuyere a double col suivante. Pour un Mach, une temperature et une pressiond’entree connus (Me = 0, 3, Te = 300 K et pe = 1 bar), une pression de sortie

ps = 0, 6 bar ainsi que les rapports de sections Ae

Ac2= 2, 0351,

Ac1

Ac2= 1, 30564 et

Achoc

Ac2= 2, determinez le regime d’ecoulement. Calculez le Mach de sortie Ms, le

rapport As

Aeet le debit massique par unite de section au col 2.

22