ENGRANAJES HELICOIDALES

Los engranes helicoidales son muy similares a los rectos: La diferencia estriba en que sus dientes están inclinados en un ángulo de hélice Ψ que llega a variar desde 10 hasta 45°. Los dientes forman una hélice que puede ser derecha o izquierda.

ENGRANES HELICOIDALES PARALELOS Se acoplan con una combinación de rodamiento y deslizamiento,

con el inicio del contacto en un extremo del diente y "barriendo" a todo el ancho de su cara.

Esto es bastante distinto al contacto de un diente de engrane recto,

que ocurre todo de una vez, a lo largo de una línea sobre la cara del diente, en el instante de contacto con el diente.

Un resultado de esta diferencia es que los engranes

helicoidales operan con mayor silencio y menor vibración que los rectos debido al contacto gradual entre dientes.

Las transmisiones para automóvil están construidas casi siempre

con engranes helicoidales, a fin de obtener una operación silenciosa.

FIGURA 12-2 Cremallera helicoidal básica, con los planos

normal y transversal y la resolución de las fuerzas

Geometría del engrane helicoidal

La Figura 12-2 muestra la geometría de una cremallera helicoidal básica. Los dientes forman el ángulo de hélice Ψ sobre el "eje" de la cremallera.

Los dientes se cortan utilizando este ángulo y la forma del diente ocurre entonces en el plano normal. El paso normal pn y el ángulo de presión normal Фn se

miden sobre este plano. El paso transversal pt, y el ángulo de presión transversal

Фt se miden sobre el plano transversal. Estas dimensiones están relacionadas una con otra mediante el ángulo de la hélice. El paso transversal es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC. Pt = Pn /cos Ψ (12.1a)

También es posible definir un paso axial px como la hipotenusa del triángulo rectángulo BCD.

Pt corresponde al paso circular Pc, medido en el plano de paso de un engrane circular. El paso diametral se aplica más para definir el tamaño de diente y está relacionado con el paso circular por

(12.1 c)

Donde: N = número de dientes d = diámetro de paso.

El paso diametral en el plano normal es Pnd = Pt / Cos Ψ (12.1d)

Los ángulos de presión en los dos planos están relacionados entre sí por tanФt = tanФ = tan Фn /cos Ψ (12.2)

Fuerzas en los engranes helicoidales

En la Figura 12-2 se muestra esquemáticamente un conjunto de fuerzas actuando sobre un diente.La fuerza W resultante aparece en un ángulo compuesto, definido por la combinación del ángulo de presión y el ángulo de la hélice. Es posible determinar la componente de fuerza tangencial W en el acoplamiento a partir del par de torsión aplicado, ya sea al engrane o al piñón, según se definió en la ecuación 11.13a para el piñón. Wt = Tp = 2Tp = 2 Pd Tp (11.13a)

rp dp Np

Además de la componente radial Wr, según el ángulo de flexión, ahora también hay una componente de fuerza Wa, que tiende a separar axialmente a los engranes.

A fin de resistir esta componente de fuerza, cuando se

instalen engranes helicoidales deberán montarse cojinetes con capacidad de empuje axial, a menos de que en una misma flecha se monten engranes helicoidales en pares opuestos con el fin de cancelar la componente de fuerza axial.

A veces, para este fin, se cortan juntos juegos de dientes

derechos e izquierdos uno al lado del otro sobre un mismo engrane, con una ranura entre ambos para salida de la herramienta de corte. Estos engranes se conocen como engranes helicoidales dobles.

Las componentes de fuerzas en un acoplamiento de engranes helicoidales son

Wr = Wt tanФ (12.3a)

Wa = Wt tanΨ (12.3b)

W = Wt (12.3c)

cosΨ cosФn

Número virtual de dientes Además de su operación silenciosa, los engranes helicoidales tienen otra

ventaja sobre los rectos, la de que sus dientes serán relativamente más resistentes que en engranes rectos con el mismo paso normal, el mismo diámetro de paso y el mismo número de dientes.

La razón de lo anterior se aprecia en la Figura 12-2. La componente de fuerzas que transmite. el par de torsión es Wt, la que ocurre en el plano transversal. El tamaño del diente (paso normal) queda definido sobre el plano normal. El espesor del diente en el plano transversal es 1/cosΨ mayor que el

correspondiente en un engrane recto de un igual paso normal. Otra forma de ver lo anterior es considerar el hecho de que la intersección del plano normal y del cilindro de paso de diámetro d es una elipse cuyo radio es re = (d/2)/cos² Ψ.

Podemos entonces definir un número virtual de dientes Ne como el cociente de la circunferencia de un círculo de paso virtual con radio re y un paso normal

(12.4a)

2cos

2

pn

d

pn

reNe

Sustituya la ecuación 12.1a en lugar de pn:

(12.4b)

y sustituya pt=πd/N de la ecuación 12. 1c para obtener (12.4c)

Esto define un engrane virtual equivalente a un engrane recto con Ne dientes, lo que da un diente más resistente, tanto a la fatiga por flexión como a la fatiga superficial, que un engrane recto con el mismo número de dientes físicos que el engrane helicoidal.

3cospt

dNe

3cos

NNe

Razones de contacto En la ecuación 11.7 se definió la razón de contacto transversal mp

para engranes rectos y es igual para engranes helicoidales. El ángulo de la hélice introduce otra razón conocida como razón de contacto axial mF, que es el cociente del ancho de una cara F y el paso axial px:

(12.5)

Esta razón deberá ser por lo menos 1.15 e indica el grado de

superposición helicoidal del acoplamiento. Advierta que ángulos mayores de hélice incrementarán la razón de

contacto axial, lo que permite el uso de engranes de ancho menor, pero será a expensas de componentes de fuerzas axiales más elevados.

tand

FFp

pxF

m

Esfuerzos en engranes helicoidales

Las ecuaciones AGMA para el esfuerzo a flexión y el esfuerzo superficial en engranes rectos también se aplican a los engranes helicoidales.

Para esfuerzos a flexión:

y para esfuerzos superficiales

Las únicas diferencias significativas de aplicación para engranes helicoidales implica a los factores geométricos I y J.

En la referencia 3 se presentan los valores de J para diversas combinaciones de ángulo de hélice (10, 15, 20, 25, 30°), ángulo de presión (14.5, 20, 25°) y razón de altura de la cabeza (0, 0.25, 0.5).

En las Tablas de la 12-1 a la 12-6 se reproducen unos cuantos ejemplos.

El cálculo de I, para pares de engranes helicoidales convencionales, requiere la inclusión de un término adicional en la ecuación 11.22e, que entonces se convierte en

El nuevo término mN es la razón de distribución de carga, que se

define como:

Donde:

F= ancho de la cara.

El cálculo de la longitud mínima de las líneas de contacto Lmin

requiere varios pasos. Primero, deben formarse dos factores a

partir de los residuos de la razón de contacto transversal mp y de la

razón de contacto axial mF.

Si na > 1-nr entonces:

Lmin = mpF-(1-na)(1-nr)px (12.6e)

cos Ψb

Donde:

Ψb = angulo base de la helice

También, el radio de curvatura de un piñón helicoidal para la

ecuación 12.6a se calcula según una fórmula distinta a la de

los engranes rectos. En vez de la ecuación 11.22b, use

Donde:(rp, ap) y (rg, ag) = (radio de paso, altura de la cabeza) tanto del piñón como del engrane.

C = distancia entre centros real (operativa). Los esfuerzos a flexión y superficiales pueden calcularse a partir de las ecuaciones arriba citadas, de acuerdo con los datos de las Tablas de la 12-1 a la 12-6.Las resistencias de los materiales y los factores de seguridad se pueden calcular de la misma

forma como se calculan para engranes rectos.

EJEMPLO 12-1Análisis de esfuerzo para un tren de engranes

helicoidales

Problema.- Vuelva a diseñar el tren de engranes rectos de los

ejemplos 11-4 a 11-7, incorporando engranes helicoidales y compare

sus factores de seguridad.

Datos.- del tren de tres engranes :

Wt = 432.17 Ib,

Np = 14,

Nenqrane intermedio = 17,

Ng = 49,

Ф = 25°, pd = 6, F = 2.667 in,

velocidad del piñón = 2 500 rpm y 20 hp.

Kv = 0.66 factor de velocidad

PremisasPremisas.-.- Los dientes tienen perfiles estándar AGMA de profundidad completa. Tanto la carga como la fuente son de naturaleza ambas uniformes. Se aplicará un índice de calidad de engrane Qv = 6. Todos los engranes son de acero con 0.28 = ע La vida de servicio requerida es de 5 años en una operación de un turno. La temperatura de operación es de 200°F: Con base en la premisa de una carga y fuente uniformes. factor de aplicación Ka =1 Se puede estimar el factor de distribución de carga a partir de la Tabla

11-16 con base en el ancho de cara supuesto: Km =1.6. El factor de engrane intermedio KI = 1 para piñón y engrane, y KI = 1.42 para el engrane loco. El factor de tamaño Ks =1 para los tres engranes. Cf = 1 Kb = 1 Mantenga el mismo Ф y pd de los ejemplos anteriores para engranes rectos, y pruebe con un ángulo de hélice de 20°.

Solución.-

1.- A partir de la Tabla 12-5 se determina el factor geométrico a flexión J, para un piñón de 14 dientes con ángulo de presión de 25°, ángulo de hélice de 20°, acoplado a un engrane intermedio de 17 dientes, como JPiñón = 0.51.

El esfuerzo a flexión de los dientes del piñón es entonces:

σbp = Wt pd Ka Km Ks KB KI = 432.17(6) 1(1.6) (1)(1)(1) = 4 620 psi (a)

F J Kv 2.667(0.51) 0.66

2.- El factor geométrico a flexión J para el engrane intermedio loco de 25°, 17 dientes acoplado a un piñón de 14 dientes es, a partir de la Tabla 12-5 Jengranaje loco = 0.54

El esfuerzo a flexión de los dientes del engrane intermedio será entonces

σbi = Wt pd Ka Km Ks KB KI = 432.17(6) 1(1.6) (1)(1)(1.42) = 6 200 psi (b)

FJ Kv 2.667(0.54) 0.659

Advierta en la Tabla 12-5 que el engrane intermedio loco tiene un factor J distinto si se le considera como "engrane" en acoplamiento con un piñón más pequeño, que si se le considera como "piñón" acoplado con un engrane mayor. Se aplicará el valor más pequeño entre ambos, ya que ello nos da el esfuerzo más elevado.

3.- El factor geométrico a flexión J para el engrane de 25° y 49 dientes,

acoplado con el engrane loco de 17 dientes, se determina a partir de la Tabla 12-5 como Jengranaje =0.66

Entonces el esfuerzo a flexión en los dientes del engrane será de

σbg = Wt pd Ka Km Ks KB KI = 432.17(6) 1(1.6)(1)(1)(1) = 3 570 psi (c)

F J Kv 2.667(0.66) 0.66

4.- El factor geométrico a picado I se calcula para un par de engranes en acoplamiento. Ya que tenemos dos acoplamientos (piñón/engrane intermedio y engrane intermedio/ engrane), existirán dos valores distintos de I a calcular, según las ecuaciones 12.6

Ipi = 0.144 Igi = 0.208 (d)

5.- Se determina el coeficiente elástico Cp de la ecuación 11.23 y, como antes, su resultado es 2 276

6.- El esfuerzo superficial para los dientes del piñón será entonces

7.- El esfuerzo superficial para los dientes del engrane intermedio será entonces de

8.- El esfuerzo superficial para los dientes del engrane será entonces

9.- La resistencia a la fatiga por flexión corregida del acero del ejemplo 11-7 es de 38 937 psi, y su resistencia a la fatiga superficial corregida de 105 063 psi.

10.- Los factores de seguridad contra falla a flexión se determinan comparando el esfuerzo a flexión corregido con el esfuerzo a flexión para cada uno de los engranes en el acoplamiento:

.