energia potencial elétrica q f p o -...

$: Energia Potencial Elétrica Q F P o - lilith.fisica.ufmg.brlilith.fisica.ufmg.br/~feletro/TRANSPARENCIAS/Transp-Cap3.pdf · Energia Potencial Elétrica SE força conservativa: \ Quando$
Energia Potencial Elétrica

Q - Como encontrar o trabalho realizado por uma força Fsobre um objeto que se desloca entre dois pontos Po e P ?

PoP

Q - O que se pode dizer sobre o trabalho realizado por esta força F em diferentes trajetórias entre os dois pontos Po e P ?

R- Recordando . . .

R- W ≡ F. dr∫P

Po

2

1


SE força conservativa:

∴ Quando força conservativa ⇒

No limite de pequenos deslocamentos

∫ ⋅= O drFW = 0

A diferença de energia potencial entre os pontos P (em r) e em Po (em ro) é igual ao trabalho realizado pela força entre os pontos P e Po

rF d U d .−=

PoP oPP WW PU PU →→ −==− )()( o

∫−=−r

rr F rr o

o

)()( d U U .

F. dr∫1,P

Po

+ F . dr = 0∫2, Po

PF. dr =∫

1,P

Po∫

2,Po

P− F. dr ∫

2,P

Po

= F . dr ∴

PoP

2

1

∫ F. dr independe do caminho

∫ F. dr ≡ variação de uma função de r ≡ (x,y,z)Então

Define-se :


Força elétrica ↔ gravitacional 2

r̂r

∝ CONSERVATIVAS

∫−=−r

rr F rr o

o

)()( d U U . rF d U d .−=

⇓

Vale para forças elétricas que também são conservativas


Carga q2 em região com campo elétrico criado por uma carga positiva q1

C

q1

2q

P

Po

àW Felet. = ?r

rd

rqq

Wo

PPo ⋅= ∫→ C 321

4 επ

A trajetória C equivale à trajetória C’ na qual tem-se dr = deslocamentos radiais + deslocamentos angulares

⇒ W = ? F . dr

∴ apenas deslocamentos radiais contribuem para a integral.

{ {

dr // a F ⇒ W≠ 0 dr ⊥ F ⇒ W = 0

Formalmente r . dr = ½ d(r . r) = ½ d(rr) = rdr

∴

−== ∫→ rr

qqrdrqq

Woo

r

roPPo

o

114'

'4

212

21

πεπε

∴só depende das posições inicial ro e final r das partículas!

q1

2q

P

Poro

ro

r-roC

C'

Trabalho nuloneste percurso

Todo o trabalhoé realizado aqui

Qualquer trajetória leva a um mesmo resultado!

Energia Potencial Elétrica Foi vista a definição: a diferença de energia potencial entre os pontos P e Po = trabalho

da força elétrica quando a partícula se desloca de P para Po.

1 2 1 22

1 14 4

o

r

o o or

q q q qdrr r rπε πε

= − = −

∫

PoP oPP WW PU PU →→ −==− )()( o

No caso de cargas pontuais, PoP WU →−=∆

Tomando-se como referência (valor nulo) a energia potencial quando a separação entre elas é infinita tem-se

1 2

( ) 01( ) ( ) ( )

4 o

Uq qU r U r U

rπ ε

∞ =

= − ∞ =

q1 q2 > zero (cargas de mesmo sinal), interação repulsiva ⇒ U > zero

q1 q2 < zero (cargas de sinal contrário), interação atrativa ⇒ U < zero ∴Q - O que significa o sinal de U?

R - . . . a energia externa para levar à situação de d(q1 ↔ q2) = ∞ !


⇒ Princípio da Superposição(interação entre duas cargas independe da existência das outras)

Se ∃ configuração qq de várias partículas carregadas . . . Como calcular U ?

1) colocar a partícula 1 em seu local definido r1, enquanto as outras partículas estão no infinito; trazemos a partícula 2 para seu local r2 :

1 212

2 1

14 o

q qU

πε=

−r r

2) Traz-se agora a partícula 3: 1 3 2 313 23

3 1 3 2

1 14 4o o

q q q qU U

π ε π ε+ = +

− −r r r r

3) Para N partículas ⇒1

1 12 4

N Ni j

i j io i j

q qU

πε = ≠

=−

∑∑r r

Q – Por que o fator ½ ?

( i ? j → ri ? rj : evita auto-energias infinitas das cargas)

para uma carga qi soma-se em todas as outras qj; muda-se a carga qi e . . . repete-se o procedimento para todas as N cargas


ab ac bcU U U U= + +

q

qqa

b

c

Uab

Uac

Ubc

Exemplo: 3 partículas carregadas com qa, qb e qc

1

1 12 4

N Ni j

i j io i j

q qU

πε = ≠

=−∑∑ r r

+ab

bar

q q +ba

abr

q q +ca

car

q q +a c

acr

q q +cb

cbr

qq b cbc

r q q

o41 2

1πε=U { }

+ab

bar

q q +ca

car

q q cb

cbr

qq o4

1 πε=U { }


29

2

Nm 1,0nC 2,0nC 1,0nC 3,0nC 2,0nC 3,0nC9,0 10

C 0,30m 0,30m 2 0,30mU

× × ×= × + +

×

2 18 2 18 2 18

7

29

2

9

Nm 2,0 10 C 3,0 10 C 6,0 10 C9,0 10

C 0,30m 0,30m 1,42 0,30m

9,0 10 Nm(6,67+10+14.2 2,8 10 J) U

U− − −

− −=

× × ×= × + + ×

×

= × ⇒

2,0 nC

1,0 nC 3,0 nC

30 c

m

30 cm

P

Exemp. 3.1 – Calcular a energia potencial eletrostática do sistema de partículas mostrado na Figura.


Energia potencial de cargas com distribuição continua

A soma em vira integral 1

1 12 4

N Ni j

i j io i j

q qU

πε = ≠

=−

∑∑r r

1 2

1 2

1 12 4 o

dq dqU

π ε=

−∫ ∫ r r

Em um caso geral, existe uma distribuição de cargas com densidade ρ (r)

1 1 1( )dq dVρ= r 2 2 2( )dq dVρ= r

1 21 2

2 1

( ) ( )1 12 4 o

U dV dVρ ρ

π ε=

−∫ ∫r rr r

(em geral é um cálculo complicado!)

∴

⇒

⊕⊕⊕

⊕

⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ ⊕⊕

⊕⊕

⊕

⊕⊕

⊕

⊕ ⊕ ⊕

⊕

⊕


Energia do campo elétrico

Onde fica armazenada a energia potencial ?

e que, em qualquer caso, será

Evidência experimental:→ a energia potencial elétrica está armazenada no campo elétrico!

(caso geral: nos campos elétrico e magnético)

Ex. óbvios: a radiação eletromagnética. a energia da luz solar; energia em um forno de microondas;energia nas telecomunicações.

Mostra-se que a densidade de energia u (energia por unidade de volume) é:

)()( 2Euuu =⋅= EE

2

2Eu oε

=

a densidade de energia u(r) é proporcional ao quadrado do valor do campo E(r) (para cada ponto em r)

Energia Potencial Elétrica Potencial elétrico

Foi visto que:

Pode-se definir (energia potencial) / (unidade de carga) = potencial elétrico V(r)

( , )( )

U qV

q≡ r

r no SI de unidades:1 joule

1 volt1coulomb

=

Obs. para o campo elétrico: [ ]metrovolt

CmJ

CN

E =⋅

==

Em uma situação geral: carga de teste q sob o efeito de um campo elétrico E

o o

( , ) ( ) ( ) ( )o

U q d q d q d′ ′ ′ ′ ′ ′= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫r r r

r r r

r F r r E r r E r r

onde ro é o ponto de referência do potencial, ou seja, U(q,ro ) = 0.

Então,

o

( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r

r

r E r r

se ∃ distribuição de cargas qualquer, para se trazer

carga q do ∞ ⇒ trabalho = ∆ energia potencial U(q,r)

= potencial elétrico

V(∞) = 0

Energia Potencial Elétrica Potencial elétrico

Ilustrando: o potencial elétrico em um ponto qq r gerado por carga pontual Q em r = 0

041πε 2´r

Q´r̂

∴ 2 2

ˆ 1( )

4 r 4 4

r

o o o

Q d Q dr QV

r rπ ε π ε π ε∞ ∞

′ ′ ′⋅= − = − =

′ ′∫ ∫r r r

r

Tem-se E(r )́=

Se Q em r´ (fora da origem das coordenadas) →1

( )4 'o

QV

π ε=

−r

r r

o

( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r

r

r E r re

Se configuração qualquer de partículas carregadas . . . como calcular V ?(cargas discretas qi situadas nos pontos ri )

⇒ Princípio da Superposição1

( )4

i

io i

qV

π ε=

−∑rr r

Para uma distribuição contínua: ')'( dVdq rρ=

⇒ 1 ( ')( ) '

4 'o

V dVρ

π ε=

−∫r

rr r


29

2

Nm 1,0nC 2,0nC 1,0nC 3,0nC 2,0nC 3,0nC9,0 10

C 0,30m 0,30m 2 0,30mU

× × ×= × + +

×

2 18 2 18 2 18

7

29

2

9

Nm 2,0 10 C 3,0 10 C 6,0 10 C9,0 10

C 0,30m 0,30m 1,42 0,30m

9,0 10 Nm(6,67+10+14.2 2,8 10 J) U

U− − −

− −=

× × ×= × + + ×

×

= × ⇒

2,0 nC

1,0 nC 3,0 nC

30 c

m

30 cm

P

(B) VP =

P 171VV =

29

P 2

Nm 1,0nC 3,0nC 2,0nC 9,0 Nm 1,09,0 10 3,0 2,0C 0,30m 0,30m 0,30 C2 0,30m 2

V = × + + = + + ×

Calcular a energia potencial eletrostática do sistema de partículas mostrado na Figura e (B) o potencial no ponto P.

1( )

4i

io i

qV

π ε=

−∑rr r

Potencial elétrico


1 ( ')( ) '

4 'o

V dVρ

π ε=

−∫r

rr r

0dO =⋅= ∫ rFW∫−=−

r

rr F rr o

o

)()( d U U .

Foi visto:

Ø força elétrica (conservativa) →∫ F. dr independe do caminho

⇒ define-se Energia potencial elétrica: função apenas da CONFIGURAÇÃO

∴

⇒ define-se Energia potencial por unidade de carga ≡ POTENCIAL ELÉTRICO

( , )( )

U qq

≡ rr

o

( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r

r

r E r r

o o

( , ) ( ) ( ) ( )o

U q d q d q d′ ′ ′ ′ ′ ′= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫r r r

r r r

r F r r E r r E r r

≡

Para uma distribuição geral de cargas:

( , )( ) U qVq

≡ rr


EXEMPLO: Potencial em um ponto no eixo um anel de raio R, tendo um carga Q uniformemente distribuída

dQr

kdQdV

r=dQ r

dQr

dQ

r r é o mesmo (constante) para qq elemento dQ

⇒

R

2 2

kQV

R x=

+

x )( ∫=

rkdQ

rV⇒

)( ∫= dQrk

rV

Potencial elétrico

rkQ

=


Exercício-exemplo 3.5 – Calcular o potencial elétrico no interior e no exterior de uma esfera não condutora de raio R que tem uma carga Q distribuída uniformemente.

Sol. – Vimos que o campo elétrico gerado por uma esfera uniformemente carregada é:

3

2

,4

.4

o

o

QE r r R

RQ

E r Rr

πε

πε

= <

= ≥{Para pontos externos à esfera, tem-se

2 2

1( )

4 4 4o o or r

Q Q dr QV r dr r R

r r rπε πε πε

∞ ∞ ′′= = = ≥

′ ′∫ ∫(é o mesmo de uma carga

pontual Q no centro da esfera)

∴ na superfície da esfera (r = R) será1

( )4 o

QV R

Rπε=

Potencial elétrico

Toma-se referência no infinito → V(∞) = 0o

( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r

r

r E r rTem-se


Exercício-exemplo 3.5 – Calcular o potencial elétrico no interior e no exterior de uma esfera não condutora de raio R que tem uma carga Q distribuída uniformemente.

na superfície da esfera (r = R), 1( )

4 o

QV R

Rπε=

No interior da esfera

( ) ( )R

r

V r V R Edr r R′= + ≤∫

3( ) ( )4

R

o r

QV r V R rdr r R

Rπε′ ′= + ≤∫

2 23

1( ) ( )

4 4 2o o

Q QV r R r

R Rπε πε= + −

23

3( )

8 8o o

Q QV r r r R

R Rπε πε= − ≤

Potencial elétrico

( ≡ ∫R

r ∫∞

R∫∞

r+ )


4 o

qdU dq

Rπε=

2

0

14 8

Q

o o

QU q dq

R Rπ ε π ε= =∫

R

q

dq

∴ a auto-energia da casca após carregar até Q

Auto-energia eletrostáticaUm objeto de forma qualquer contendo uma carga total q:

→ há uma energia associada (como foi possível criar esta situação?)

⇒ auto-energia eletrostática

Ex. Casca esférica de raio R , com carga Q

Q - Como é a distribuição de cargas?

R- uniformemente distribuída na superfície.

Q - Qual a força que a casca faz sobre dq?

R- como a de carga pontual no centro.

Q - Qual é a quantidade de energia dU necessária para se adicionar dq?

Energia Potencial Elétrica Cálculo do campo elétrico a partir do potencial

Foi visto: conhecer E(r) ⇒ conhecer V(r)

também . . . conhecer V(r) ⇒ conhecer E(r) ! ! !

o

( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r

r

r E r r

Recordando. . . o gradiente de uma função escalar f (r) = f (x, y, z) é

pois⇒ ( ) x y zdV d E dx E dy E dz= − ⋅E r r = - - -

Mas V V VdV dx dy dz

x y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

, ,x y zV V V

E E Ex y z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂⇒

f∇ f f fx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂i j k

Logo, x y z

V V VE E E

x y z∂ ∂ ∂

= + + = − − −∂ ∂ ∂

E i j k i j k

∴ E = − ∇V

“o campo elétrico num dado ponto é menos o gradiente do potencial elétrico naquele ponto”

Energia Potencial Elétrica Superfícies equipotenciais

Foi visto: no interior de um condutor em equilíbrioE(r) = 0 ∴ V(r) = constante

⇒ superfície de um condutor é uma superfície equipotencial.

Mas dV = E. dr ⇒ E(r) = zero ou E ⊥ dr“uma superfície equipotencial é ortogonal, em cada ponto, ao campo elétrico”

V não varia em uma superfície equipotencial → dV = 0

EquipotenciaisEquipotenciais

+q

E

+

+

+

+

+

+

+

Q - O que se pode dizer sobre o trabalho realizado pela força elétrica para se deslocar uma carga em uma mesma superfície equipotencial?

R- Tem-se E ⊥ dr em uma superfície equipotencial, logo . . .

Energia Potencial Elétrica Dipolo elétrico

Carga elétrica pontual = monopolo elétrico.

dipolo elétrico = um par de cargas elétricas de mesmo valor q e sinais opostos, separadas por uma dada distância d.

O potencial no ponto r é dado por

r1 r2

O

q

r

-q +q

d

θ

V = 04

1πε ∑

=

N

1nrq

n =04

1πε

+

12rr

qq -

1 2

1 14 o

qV

r rπε

= − =

Usando-se |r1|2= (d/2 + r) . (d/2 + r) e |r2|2 = (d/2 – r) . (d/2 – r) (ver livro)

e considerando-se d << r → aproximação de dipolo(ignoram-se termos de ordem = 2) 2

cos( )

4 o

q dV

rθ

πε=r⇒

Define-se o vetor dipolo elétrico p ≡ q d

Assim, pode-se escrever2

ˆ1( )

4 o

Vrπε⋅

= p rr

com d apontando de –q para +q

Energia Potencial Elétrica Dipolo elétrico

→ o potencial do dipolo elétrico decai com r −2

→o potencial de uma carga (monopolo elétrico) decai com r −1.

Para o Edipolo, é conveniente escolher-se o eixo z // dipolo p→ z = r cosθ

r1 r2

O

q

r

-q +q

d

θ

O potencial elétrico e o campo elétrico de um dipolo são simétricos em torno do eixo z.

332 2 2 2

( , , )4 4

( )o o

qd z p zV x y rr

x y zπε πε

= =+ +

∴2

cos( )

4 o

q dV

rθ

πε=r


( ) oU r q E r+ = − ⋅rr r

( )o oU q E r r

= − ⋅ −

r r r

U pE=U pE= −

0U =

Eo

⇒

ror

d θ

O

( )o o oU r q E r− = + ⋅rr r

Exemplos:

Dipolo elétrico p em campo elétrico uniforme Eo

U = − qo E . d U = − p . E = − p E cos θ

U é mínima quando p // E∴ dipolos elétricos tendem a ficar alinhados com o campo

(resultado interessante: o comportamento de materiais não condutores sob o efeito de campos elétricos).


θF

– F

R- ⊥ ao papel e ⊗

Dipolo elétrico p em campo elétrico uniforme Eo

Q- ∃ Fdipolo se E é uniforme ??

R- Não! (Fq+ = − Fq−)

Mas . . . ∃ torque ! ! ( τ = r x F)

Usando z ⊥ ao papel, positivo para fora, tem-se

θθτ sensen2

2 pEd

qEz −=−=

τ = ×p Eou seja,

Q- Qual a direção e sentido do torque na presente situação?

Energia Potencial Elétrica Distribuição de cargas elétricas em condutores

Foi visto: condutor em equilíbrio → cargas na superfície(tendência a um distanciamento máximo entre as cargas)

Se for um condutor esférico → distribuição uniforme.

Se forma qualquer . . . ???


q1

⊕

⊕

⊕ ⊕

⊕

⊕

⊕⊕

⊕

⊕

⊕ ⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

R1 rr

V

rR1

Potencial na superfície

⊕

⊕

⊕ ⊕

⊕

⊕

⊕⊕

⊕

⊕

⊕ ⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

q2

2

2

kqR

1

1

kqR

V

rR2

Q

1

kQR

⊕

R2

Potencial nas superfícies

1 2

1 2

kq kqR R

=

⇒

⇒

Densidade superficial de cargas e campo elétrico são maiores nas pontas

+++

++ + + +

++

+

+

+

+

++

+ ++

+ ++++

Se E > rigidez dielétrica do meio ⇒ ionização. Para o ar Emax = 3kV/mm.

Distribuição de cargas elétricas em condutores

2

222

1

21 1

RR

R R RR σ

=σ

1

2

2

1RR

R

R =σσ

Geral: as densidades de cargas são inversamente proporcionais aos raios de curvatura


EE3.6 – Dado o potencial 1

( )4 o

QV

rπε=r calcular o campo elétrico.

Sol. – Sabe-se que E(r) = −∇ V(r) →

Pode-se escrever:222

11

zyxr ++=

x y zV V V

E E Ex y z

∂ ∂ ∂= + + = − − −

∂ ∂ ∂E i j k i j k

∴ as derivadas parciais: ( )

3 32 2 2 2

1 1 22

x xx r r

x y z

∂ = − = − ∂ + +

3 3

1 1,

y zy r r z r r

∂ ∂ = − = − ∂ ∂ Analogamente para y e z:

∇233

ˆ1rrr

zyxr

rrkji −=−=++

−=

2

ˆ14 4o o

Q QV

r rπε πεr

E = −∇ = − ∇ =

Logo,

e, então,

Q- parece com . . .?

energia potencial elétrica q f p o -...

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