energia ime
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7/26/2019 Energia IME
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Resistência dos Materiais II
• Trabalho de deformação.• Trabalho específico de deformação em um ponto.• Trabalho de distorção.
SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃOMAJ MONIZ DE ARAGÃO
7/26/2019 Energia IME
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Trabalho de Deformação
Trabalho elementar:
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 7 5
dx P dU
Trabalho ou Energia de Deformação: 1
0
x
dx P U
N m = J = joule
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Trabalho de Deformação
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 7 5
Trabalho de deformação linear e elástica:
21
02
11
xk dxkxU
x
112
1 x P U
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Trabalho de Deformação
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 7 5
Trabalho de deformação específica:
11
00
x
x x
x
d L
dx
A
P
V
U u
dV
dU
V
U u
V
0
limEnergia por unidade de volume
necessária para provocar a rupturado material
Energiarecuperável
Energiaperdida
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Trabalho de Deformação
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 7 5
Módulo de resiliência:
E E
d
E d E
u x
x x
x
x x
2
221
0
21
0
1
1
Trabalho de deformação específica:
E
f u
y
res
2
2
onde f y tensão de escoamento
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Trabalho de Deformação
Tensões Normais
(para A cte)
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 7 5
dx AdV
dV uU
E u
2
2
1
Trabalho de deformação para carga axial:
dV EA
P
dV E U 2
221
22
L
dx EA P U
0
2
2
EA
L P U
2
2
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Trabalho de Deformação
Tensões Normais
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 7 5
dxdAdV
dV uU
E u x
2
2
Trabalho de deformação na flexão:
dV EI
y M
dV E U
x
2
222
22
I
My x
L L
dx
EI
M dxdA y
EI
M U
0
2
0
2
2
2
22
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Trabalho de Deformação
Tensões Normais - Exemplos
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 7 5
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Trabalho de Deformação
Tensões Cisalhantes
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 8 6
Trabalho específico de deformação para um material submetido a
tensões cisalhantes:
1
0
x
x x d u
xy
xy xy d u
0
Abaixo do limite de proporcionalidade:
GGu
xy
xy xy xy 22
1
2
12
2
dV uU
dV GU
x
2
2
Trabalho de deformação :
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Trabalho de Deformação
Tensões Cisalhantes
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P á g .
9 7 5
Trabalho de deformação na torção:
(para A, T cte)
J
T
dx AdV
dV uU
Gu
xy
xy
2
2
L
dxdAGJ
T
dV GJ
T
U 0
2
2
2
2
22
22
GJ
LT U
2
2
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Trabalho de Deformação
Tensões Cisalhantes - Exemplos
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P
á g .
9 9 0
GA
L P
EI
L P
5
3
6
232
U U U
desprezível
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Trabalho de Deformação
Caso Geral de Tensões
R e f :
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J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P
á g .
9 9 0
Expressão geral do trabalho de deformação:
Expressão geral do trabalho em função das tensões principais:
Trabalho específico: u = uv + ud
variação volumétrica “reta”
distorção: mudança de forma
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Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
Primeiro Teorema de Castigliano:
,
0 ,
i jii
i ji
i
P d P dU
d d U
dU
ii
U
P
Segundo Teorema de Castigliano:
i
i P
U
ji
P
i j
ij
U U k
i
2
não realizam trabalho
Def. coef. de rigidez
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Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
R e f :
B e e r e
J o
h n s
t o n ,
R e s
i s t ê n c
i a d o s M
a t e r i a
i s ,
3 ª E d
. P
á g .
1 0 4 7
P
U y B
8060 ,
BD BD
,
BC BC
P
F
AE
BD F
P
F
AE
BC F
2º Teo Castigliano:
P F BC 6,0pois P F BD 8,0e
EA
PL y B 728,0
EA
L P ,U
2
3640
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Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
B B B B x yC D B x DC B yr
5
4
5
3ˆcosˆcos1
ou ainda 1º Teo Castigliano:
1r
B B x yr
5
3
5
42
1r
B y
B x
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Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
1º Teo Castigliano (cont.): 222
211
2
1
2
1r k r k U
2
2
2
1 22 r BD
EA
r BC
EA
U
2
2
2
1 6,12,1 r L
EA
r L
EA
22
5
3
5
4
61
1
5
4
5
3
21
1 B B B B x y
,
x y
, L
EA
22758020007000 B B B B x , x y , y ,
L
EA
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Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
1º Teo Castigliano (cont.):
EA PL y B 728,0
P
y
U
B
B B x , y ,
L
EA2041
0
B x
U B B x , y ,
L
EA517120
B B y , , x51712000